函数求值域方法之值域换元法

函数求值域的经典方法总结（附小练习）【解题必备】求函数值域的基本方法1．利用常见函数的值域： 一次函数的值域为R ；反比例函数的值域为{|0}y y ≠；指数函数的值域为(0,)+∞；对数函数的值域为R ；正、余弦函数的值域为[1,1]-；正切函数的值域为R .2．分离常数法： 将形如cx d y ax b +=+(a ≠0)的函数分离常数，变形过程为：()c bc bc ax b d d cx d c a a a ax b ax b a ax b ++--+==++++，再结合x 的取值范围确定bc d a ax b -+的取值范围，从而确定函数的值域.3．换元法：对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数()(0)f x ax b cx d ac =+++≠，可以令(0)t cx d t =+≥，得到2t d x c -=，函数()f x ax =(0)b cx d ac +++≠可以化为2()a t d y t b c -=++(t ≥0)，接下来求解关于t 的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t 的取值范围的限制．4．配方法：对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．5．基本不等式法： 利用基本不等式2a b ab +≥(a >0，b >0)求最值．若“和定”，则“积最大”，即已知a ＋b ＝s ，则ab ≤22()24a b s +=，ab 有最大值24s ，当a ＝b 时取等号；若“积定”，则“和最小”，即已知ab ＝t ，则a b +≥22ab t =，a ＋b 有最小值2t ，当a ＝b 时取等号．应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”．6．数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．7．导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.1．函数211y x =+的值域是 A ．(),1-∞- B ．()0,+∞ C ．[)1,+∞D ．(]0,1 2．若函数()(0,1)x f x a a a a =->≠的定义域和值域都是[]0,1，则711log log 1114a a += A ．2-B ．1-C ．0D ．11．【答案】D【解析】由题意：函数211y x =+，211x +≥，21011x ∴<≤+，即函数211y x =+的值域为(]0,1．故选：D ．2．【答案】B【解析】由指数函数的单调性可得，()(0,1)x f x a a a a =->≠是单调递增函数或者是单调递减函数， 因为()10f =，所以()f x 为[]0,1上的递减函数， 所以()011f a =-=，解得2a =， 2log ∴ 27log 11+ 22117111log log 11411142⎛⎫=⨯==- ⎪⎝⎭，故选B ．【名师点睛】本题考查了函数的定义域、值域，函数的单调性以及对数的运算法则，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属中档题．。

函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。

在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。

求函数值域方法求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。

遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。

原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。

定义：因变量y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

函数值域的求法一、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

例1：求函数()1y x =≥的值域。

（y 关于x 是增函数~)+∞）例2：求函数y （内函数为二次函数，二次项系数为1>0，开口向上，有最小值， [)1,+∞）例3：求函数1y =的值域。

0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

解：2242(2)6y x x x =-++=--+，∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴21(2)9x ≤-≤ ∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

（也可判断对称轴，看自变量取值与对称轴的关系）三、最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。

例1 求函数y=223x x --的值域。

解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。

函数y 在［-3，1］内是连续的，在定义域内由二次函数的单调性和对称性求出3-2x-x2的最大值为4，最小值为0。

∴函数的值域是［0,2］四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

换 元 法 求 函 数 值 域某些函数能够利用代数或三角代换将其化成值域简单确立的另一函数，进而求得原函数的值域， 其题型特点是函数分析式含有根式或三角函数公式模型。

形如 y ax bcxd (a 、 b 、 c 、 d 均为常数，且 a ≠0) ，能够令 t = cx d (t0), 则有 t 2cx d ∴ xt 2 d∴ y a t 2 db t ； 进而就把原函数化cc成了对于 t 的二次函数，求出这个函数值域就是原函数的值域， 值得一提的是要 注意参数 t 的取值范围。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一， 在求函数的 值域中相同发挥侧重要的作用。

例 1、求函数 y 3x 1 3x 的值域。

剖析：函数 y3x1 3x 形如 y axbcx d (a 、b 、c 、 d 均为常数，且 a ≠0) ，所以，能够考虑用换元法。

解：令 t13x(t0) ，则 t 21 3x1 t 2∴ x3∴原函数可化为 y31t 2 t = t 2 t 1= (t 1)2 5324∴ 其函数图像如图 1 所示 ∴当 t1时，即 x1 时245y 获得最大值 y max = , 无最小值。

∴函数 y 3x 1 3x 的值域为（ -∞，5] 。

4例 2、求函数 y 4x 12x 3 的值域。

解：[换元法]令 t 2x 3t 2 3(t 0) ，则 x2∴原函数可化为 yt 23 1 t 2t 2t1 )2 39425 2(t84∵t 0∴当 t0时，即 x 3时， y 获得最小值y min =5，无最大值。

2∴函数 y4x12x 3的值域为 [ 5，+∞）。

例 3、求函数 y x1x2的值域。

[4]剖析：函数y x1x2的定义域为 [-1， 1] ，我们注意到 1 sin t 1 (t),所以,对于定义域为[-1，1]的函数,我们能够考虑用22x sin t (2t) 进行三角换元。

2解：函数y x1x2的定义域为 [-1 ，1] ，设 x sin t (t) ，22则原函数 y x1x2可化为y sin t cost = 2 sin(t)4∵t∴t324442看图像（图 2）可知2sin(t)124∴ 1 2 sin(t) 2 ∴1y24即原函数的值域为 [-1 ，2] 。

函数求值域方法之值域换元法值域换元法是一种常见的函数求值域的方法，通过将自变量进行一定的换元变换，从而转化为一个更简单的函数，通过分析这个新的函数的性质，来确定原函数的值域。

值域换元法的基本思想是通过适当的变量替换，将函数的自变量转化为另一个具有一定性质的自变量，从而使得原函数的值域问题变得更加简单。

这种方法适用于多种不同形式的函数，因此具有较广泛的适用性。

具体步骤如下：1.分析原函数的特点：首先需要对原函数进行一定的分析，确定其性质和特点。

这包括确定函数的定义域、奇偶性、单调性等。

2.设定新的变量：根据原函数的性质，选择一个新的变量来替代原函数的自变量，使得新变量的取值范围更为简单。

3.建立新的函数关系式：通过变量替换，建立新的函数关系式。

根据变量替换的方式不同，可以分为三种情况：-线性关系：如果原函数和新变量之间存在线性关系，可以直接建立新的函数关系式。

-可逆替换：如果变量替换是可逆的，即可以通过一定的算法从新变量反解出原函数的自变量，那么可以通过反解的方式建立新的函数关系式。

-不可逆替换：如果变量替换是不可逆的，即不能通过一定的算法从新变量反解出原函数的自变量，那么可以通过构造一个新的函数来近似原函数。

4.分析新函数的性质：对新函数进行分析，确定其定义域、奇偶性、单调性等。

可以通过导数的方法、函数图像的方法等来进行分析。

5.再逆变换回原变量：如果最终确定了新函数的值域，可以将新函数的值域通过逆变换的方式转化回原函数的值域。

值域换元法的优点是可以将原问题转化为一个更简单的问题，并且适用范围广，同时也有一定的局限性。

在实际运用中，需要根据具体的问题来选择合适的变量替换方法，以及确定合适的新函数进行分析。

总的来说，值域换元法是一种常见的函数求值域的方法，通过适当的变量替换和建立新的函数关系式，可以将原函数的值域问题转化为一个更简单的问题。

这种方法在实际问题中具有广泛的应用，可以提高问题求解的效率。

求函数值域的几种常见方法1．直接法：利用常见函数的值域来求。

一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 44|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 44|2-≤}.例1．求下列函数的值域① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x xy 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5]②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2}③1111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵011≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法）（思考：如何使用口算法？） 2．二次函数在给定区间上的值域(最值)。

例2． 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 解：①∵抛物线的开口向上，对称轴2x =，函数的定义域R ， ∴x=2时，y min =-3 , ∴函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵抛物线的开口向上，对称轴2x =∉ [3,4]， 此时142+-=x x y 在[3,4]∴当x=3时，min y =-2 当x=4时，max y =1 ∴值域为[-2，1]. ③∵抛物线的开口向上，对称轴2x =∉ [0,1]， 此时142+-=x x y 在[0,1]∴当x=0时，max y =1 当x =1时，min y =-2 ∴值域为[-2，1]. ④∵抛物线的开口向上，对称轴2x =∈ [0,5]，∴当x=2时，min y =-3 当 x=5时，max y =6（思考：为什么这里直接就说当 x=5时，max y =6，而不去考虑x=0对应的函数值情况？答：因为观察图像可知x=5离对称轴较远，其函数值比x=0对应的函数值大）∴值域为[-3，6]. 注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当a bx 2-=时，其最小值ab ac y 442min -=； ②当a<0时，则当a b x 2-=时，其最大值ab ac y 442max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其对称轴abx 2-=是否属于区间[a,b]. 321-1-2-3654321-1-2xOy①若2b a -∈[a,b],则()2bf a-是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.②若2ba-∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．有解判别法：有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例3．求函数y=1122+++-x x x x 值域解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y ,整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=，若y=1,即2x=0,则x=0； 若y ≠1,由题∆≥0， 即0)14(-)1(22≥+y-y , 解得331≤≤y 且 y ≠1. 综上：值域{y|331≤≤y }. 例4．求函数66522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）解：把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33x x x y x x x x ---===--+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1∵ x=2时 51-=y ∴ 51-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称有解判别法.一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式并且分子、分母，没有公因式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法例5．求函数x x y -+=142的值域 解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==2242t t =-++ 开口向下，对称轴1t =[0,)∈+∞∴1t =时，max (1)4y f == ∴值域为(,4]-∞5．分段函数例6．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解：将函数化为分段函数形式：21(2)3(12)21(1)x x y x x x ⎧-≥⎪=-≤<⎨⎪-+<-⎩，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y ≥3}.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.2-13xO y。

求函数值域常见的五种方法求函数的值域是函数学习的一个难点，求值域时涉及到的知识和方法较多，下面介绍几种常用的方法供参考．一、 判别式法思路：将函数式整理成一元二次方程的形式，借用判别式求值域．例1 求函数的4312--=x x y 值域． 解：原式整理成01432=---y yx yx ， )4()41()1(∞+⋃-⋃--∞∈，，，x ，且0≠y ，∴0)14(492≥++=∆y y y .解得0≥y 或254-≤y ． 当 254-=y 时，)41(23，-∈=x ． 又0≠y ， ∴所求函数的值域是),0(]254--+∞⋃∞，（． 二、 配方法例2 求函数x x y 21-+=的值域． 解：由已知得2121)21(21+-+--=x x y 1)121(212+---=x∴所求函数的值域是]1-，（∞． 三、 单调性法思路：利用函数的图象和性质求解.例3 当)0,21(-∈x 时，求函数)1lg()1lg(x x y -++=的值域．解：由已知得)1lg(2x y -=， ∵)0,21(-∈x ，∴)41,0(2∈x ． 又2x -在)0,21(-∈x 上递增， ∴)1,43(12∈-x ． 又u y lg =在)1,43(上递增， ∴)0,43(lg )1lg(2∈-x ，原函数的值域为)0,43(lg ． 四、 反函数法例4 求函数xx y -+=11的值域． 解：∵函数的定义域是{}1,0|≠≥x x x 且，由原函数变形得011≥+-=y y x ， ∴1≥y 或1-<y ．∴函数的值域为),1[)1,(+∞⋃--∞．五、 换元法例5 求函数x x y --=1的值域。

解：令x t -=1，则)0(12≥-=t t x ，那么45)21(2++-=t y ． ∵1≥t 时，y 在),0[+∞上递减， ∴当t ≥0时，]1,(-∞∈y ．∴原函数的值域是]1,(-∞．。

函数值域的求法求函数的值域时，要明确两点：一是函数值域的概念，二是函数的定义域和对应关系。

常用的方法有：观察法、换元法、配方法、判别式法、数形结合法、分离常数法、反表示法、中间变量值域法等。

（1）观察法：有的函数结构并不复杂，可以通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的函数的值域求出函数的值域。

如函数211xy +=的值域{}10|≤<y y 。

（2）换元法：运用换元，将已知的函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。

例如：形如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数，0≠ac ）的函数常用此法。

（3）配方法：若函数是二次函数的形式，即可化为()02≠++=a c bx ax y 型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间上二次函数最值得求法。

如求函数32+-=x x y 的值域，因为()2212≥+-=x y ，所以所求函数的值域为[)∞+，2。

（4）判别式法：求形如fex dx c bx ax y ++++=22（f e d c b a ,,,,,不同时为0）的值域，常利用去分母的形式，把函数转化为关于x 的一元二次方程，通过方程有实根，判别式0≥∆，求出y 的取值范围，即得到函数的值域。

（5）数形结合法：有些函数的图像比较容易画出，可以通过函数的图像得出函数的值域；或者分段函数也常用画出函数图像的方法判断出函数的值域。

例如：12--+=x x y 。

（6）分离常数法：形如()0≠++=a b ax d cx y 的函数，经常采用分离常数法，将bax d cx ++变形为()b ax a bc d a c b ax a bcd b ax ac +-+=+-++，再结合x 的取值范围确定b ax a bcd +-的取值范围，从而确定函数的值域。

如求函数112+-=x x y 的值域时，因为132+-=x y ，且013≠+x ，所以2≠y ，所以函数的值域为{}2,|≠∈y R y y 且。

高中函数值域和定义域的大小,是高中数学常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.令狐采学一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y －1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

求函数值域（最值）的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法，希望对大家有所帮助。

一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.，反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 二、求函数值域（最值）的常用方法 1. 直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数例1、求函数y =211x +的值域 解： 22111,011x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1例2、求函数y =2－x 的值域。

解： x ≥0 ∴－x ≤0 2－x ≤2故函数的值域是：[-∞，2 ] 2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2*+5，*∈[-1，2]的值域。

求函数值域的四种方法一、观察法。

1.1 这种方法就像是我们用眼睛去打量一个人，直观又简单。

对于一些简单的函数，我们可以直接通过观察函数的性质来确定值域。

比如说一次函数y = 2x + 1，x 可以取任意实数，那随着x的变化，y也会相应地在实数范围内变化，所以这个一次函数的值域就是全体实数。

这就好比我们看一个一目了然的事情，不用费太多周折。

1.2 再看函数y = x²，因为任何实数的平方都大于等于0，所以这个函数的值域就是[0，+∞)。

这就像我们知道太阳总是从东边升起一样确定，一眼就能看出来这个函数值的范围。

二、配方法。

2.1 配方法就像是给函数做个“美容整形”。

拿二次函数y = x² 2x + 3来说，我们可以把它配方成y = (x 1)²+ 2。

因为(x 1)²大于等于0，所以y就大于等于2。

这就好比我们把一个有点杂乱的东西整理得井井有条，然后就能清楚地看到它的价值范围了。

2.2 还有函数y = -x²+ 4x 1，配方后得到y = -(x 2)²+ 3。

由于-(x 2)²小于等于0，所以这个函数的值域就是(-∞，3]。

这就像我们把一个原本模糊不清的东西，通过自己的巧手整理，让它的界限清晰起来。

2.3 配方法就像是一个神奇的魔法，能把复杂的二次函数变得简单易懂，让我们轻松地找出值域这个“宝藏”。

三、换元法。

3.1 换元法有点像“偷梁换柱”。

例如函数y = 2x + √(x 1)，我们可以设t = √(x 1)（t≥0），那么x = t²+ 1。

这样原函数就变成了y = 2(t²+ 1)+ t = 2t²+ t + 2。

这就把原来带根号的复杂函数转化成了一个二次函数，然后我们就可以用配方法或者观察法来求值域了。

这就像我们在一个迷宫里，找到了一条新的通道，一下子豁然开朗。

3.2 再比如函数y = x + √(1 x²)，我们设x = sinθ（-π/2≤θ≤π/2），那么原函数就变成了y = sinθ+ cosθ。

函数求值域方法之值域换元法求值域的方法有很多，在众多的方法中，换元法是比较常用且非常有效的求解值域的办法，这里，给大家总结五种常见的换元方法，欢迎大家补充。

五种常见换元办法：①一般换元法；②三角换元法（难度较大）；③三角换常值换元法；④双换元法；⑤整体换元法类型一：一般换元法 形如：y=ax+b ±d cx +方法：本形式下，部分函数在取值区间内，单调性确定，所以可以直接使用单调性判断，单调性无法确定的时候，本题可使用一般换元的思路，令t=d cx +，用t 表示x ，带入原函数得到一个关于t 的二次函数，求解值域即可。

例1：求函数1)(--=x x x f 的值域分析：本题),1[+∞∈x ，在取值区间内，x 单调增，1-x 单调增，两个单调增的函数相减无法直接判断单调性，所以单调性无法确认，考虑使用一般换元。

解：另1-=x t （0≥t ），则12+=t x ， 代入)(x f 得1)(2+-=t t x f （0≥t ）本题实求二次函数在指定区间内的范围 当0≥t ，43)(≥x f所以),43[)(+∞∈x f变式：求函数1)(-+=x x x f 的值域分析：本题),1[+∞∈x ，在取值区间内，x 单调增，1-x 单调增，两个单调增的函数相加，所以整个函数在取值区间上单调递增所以)1()(f x f ≥即可 答案：),1[)(+∞∈x f由于一般换元法相对来说比较简单，这里就不赘述，留一道练习练习：求1332)(+-+=x x x f 的值域类型二：三角换元记住一句话：三角换元 一个大原则，三个常用公式 A 、一个大原则：x 有界，换成θθcos ,sin x 无界，换成θtanB 、三个常用公式：①遇到2x ，且前面系数为1-，常用1cos sin 22=+θθ ②遇到2x ，且前面系数为1，常用θθ22tan 1cos 1+= ③巧用万能公式：2tan 12tan2sin 2θθθ+=2tan 12tan 1cos 22θθθ+-=三角换元时，尤其注意确定好θ的取值范围，下面用具体的例题跟大家说明。

Җ㊀山东㊀马建国㊀㊀求解函数值域是函数学习的一个关键环节,正确求解值域对函数的运用和计算都十分重要,如果值域的求解错误,运用过程可能会受到阻碍．因此,在教学中应注重函数值域求解方法的选择,化繁为简,提高解题效率．本文从求解函数值域的三种典型方法着手进行研究．１㊀换元法换元法是指将函数中某个式子看成一个整体,用一个变量去替换它,从而将问题进行简化．在运用换元法求函数值域的过程中,通常是将复杂的复合函数进行换元,然后根据新函数的定义域对函数值域进行求解．例１㊀已知函数y＝x２＋x２－１,求解该函数的值域．分析㊀观察可知函数中存在根式,因此可以采用换元法,在本题中可以将x２－１整体换为t(tȡ０),将原函数转化为用t表示的函数,再根据tȡ０的条件得出原函数的值域．解㊀令x２－１＝t,则x２＝t２＋１,所以y＝t２＋t＋１．又因为tȡ０,所以y＝t２＋t＋１＝(t＋１２)２＋３４ȡ１,则函数y＝x２＋x２－１的值域是[１,＋ɕ)．例２㊀已知函数y＝２x－x－１,求解该函数的值域．分析㊀观察可知函数中存在根式,因此可以采用换元法,在本题中可以将x－１整体换为t(tȡ０),将原函数转化为用t表示的函数,再根据tȡ０的条件,得出原函数的值域．解㊀因为x－１＝t,x＝t２＋１,所以y＝２(t２＋１)－t＝２(t－１４)２＋１５８．又因为tȡ０,所以yȡ１５８,则函数y＝２x＋x－１的值域是[１５８,＋ɕ)．２㊀判别式法判别式法是在一元二次方程中,判断方程有没有根以及有几个根的方法．当b２－４a c＜０时,方程无实根;当b２－４a c＝０时,方程有两个相等的实根;当b２－４a c＞０时,方程有两个不相等的实根．在利用判别式法求值域的过程中,首先要构造出一个一元二次方程(将y看作常数),利用判别式Δȡ０,求得函数的值域．例３㊀已知函数y＝２x１＋x２,求解该函数的值域．分析㊀通过观察可知目标函数是分母为一元二次函数的分式函数,因此先将函数变形为一元二次方程,即y x２－２x＋y＝０,然后根据y＝０和yʂ０的情况进行分析,同时利用判别式法对一元二次方程的根进行判断,从而可以得出函数的值域．解㊀因为y＝２x１＋x２,所以y(１＋x２)＝２x,即y x２－２x＋y＝０．当y＝０时,－２x＝０,则x＝０．当yʂ０时,根据Δ＝４－４y２ȡ０,得－１ɤyɤ１．综上所述,函数y＝２x１＋x２的值域是[－１,１]．例４㊀已知函数y＝３x２＋３x＋１x２＋x＋１,求解该函数的值域．分析㊀已知函数是分子㊁分母均为一元二次函数的分式函数,可以利用判别式法进行值域求解,先将函数变形为一元二次方程,即(y－３)x２＋(y－３)x＋y－１,再根据y－３＝０和y－３ʂ０的情况分析,从而得出函数的值域．解㊀因为y＝３x２＋３x＋１x２＋x＋１,所以(y－３)x２＋(y－３)x＋y－１＝０．当y－３＝０时,y＝３,３－１＝０不存在．当y－３ʂ０时,则Δ＝(y－３)２－４(y－３)(y－１)ȡ０,１３ɤy＜３．综上所述,y＝３x２＋３x＋１x２＋x＋１的值域是[１３,３)．３㊀分类讨论法分类讨论法指的是在求解一类问题时,有时会遇到多种情况,无法用同一种方法去解决,需要分类进行讨论,最后再归纳总结得出最终结论．求解函数值域４的分类讨论法通常是用在分段函数求值域或者是含绝对值函数求值域,其主要思路是分别根据定义域分类进行值域求解,最终再汇总结果．例５㊀已知函数y ＝|x ＋１|＋|x －２|,求解该函数的值域．分析㊀通过观察可知函数带有绝对值符号,首先考虑去绝对值符号,从而发现分段区间函数的表达式不同,因此考虑分类讨论法,将函数的定义域求出后,分别代入函数式,就可以得出原函数的值域．解㊀该函数的定义域可分为x ɤ－１,－１＜x ɤ２,x ＞２．在定义域内的函数表达式为y ＝－２x ＋１,x ɤ－１,３,－１＜x ɤ２,２x －１,x ＞２．ìîíïïïï当x ɤ－１时,y ＝－２x ＋１ȡ３;当－１＜x ɤ２时,y ＝３;当x ＞２时,y ＝２x －１＞３．综上所述,函数y ＝|x ＋１|＋|x －２|的值域是[３,＋ɕ)．例６㊀已知函数y ＝x ２－４x ＋３,０＜x ＜５,x ２＋４x ＋３,－３ɤx ɤ０,{求解该函数的值域．分析㊀观察已知函数,分段区间内函数的表达式不同,因此考虑分类讨论法,求得x 的取值范围,再代入函数式,就可以得出函数值域．解㊀令x １＝２,则y １＝－１,令x ２＝－２,则y ２＝－１．当０＜x ＜５时,x ２－４x ＋３的值域为[－１,８);当－３ɤx ɤ０时,x ２＋４x ＋３的值域为[－１,３]．综上所述,y＝x ２－４x ＋３,０＜x ＜５,x ２＋４x ＋３,－３ɤx ɤ０{的值域为[－１,８)．换元法㊁判别式法㊁分类讨论法是函数求值域中典型的三种方法,使用这三种方法时,应注意换元后表达式的等价变形㊁判别式的正确使用㊁分段函数的定义域划分等．这三种方法是值域求解的重要方法,应该要求学生要对方法熟练掌握㊁融会贯通．(作者单位:山东临沂高新区高级中学)Җ㊀湖南㊀蒋迎芳㊀㊀高考对集合问题的考查多与函数㊁不等式进行交会,问题难度不大,只要准确理解集合的关系及运算即可． 集合 是高中生学习的第一个数学知识,为什么把它放在第一章?因为集合是学习其他模块的基础,与其他知识具有紧密的联系．下面谈一谈笔者的几点感悟,供读者参考．１㊀集合的关系和运算丰富了其他问题的求解视角１)集合之间的关系包括子集㊁真子集㊁相等．２)集合之间的运算包括交㊁并㊁补．集合的关系和运算可应用到其他知识的学习或问题的求解中．例如,集合的关系和运算与充分㊁必要条件之间的关系:若A 是B 的子集,即A ⊆B ,则A 是B 的充分条件;若A ＝B ,则A 与B 互为充要条件;若A ɘB ＝∅,则A ,B 之间既不是充分条件,也不是必要条件．再如,集合的关系和运算与概率之间的关系:若A ,B 为互斥事件,则A ɘB ＝∅;若A ,B 为对立事件,则A ɘB ＝∅,且B ＝∁U A ;事件A ,B 至少有一个发生,记为A ɣB ,称为A,B 的和事件;事件A ,B同时发生,记为A ɘB ,称为A ,B 的积事件．例１㊀某高校数学学院举行２０２０届毕业典礼,主席台上有并排的六个座位,出席典礼的甲㊁乙㊁丙等六位院系的教师可随意就座,则甲㊁乙两位教师的座位均不与丙相邻的概率为．设U ＝{六位教师任意就座的所有情况},A ＝{甲㊁丙两位教师的座位相邻的情况},B ＝{乙㊁丙两位教师的座位相邻的情况},则A ɘB ＝{全集U 中甲㊁乙两位教师的座位与丙相邻的情况},A ɣB ＝{全集U 中甲或乙两位教师的座位与丙相邻的情况},A ɣB ＝{全集U 中甲㊁乙两位教师的座位均不与丙相邻的情况}．本题即求P (A ɣB ),而P (A ɣB )＝１－P (A ɣB ),故只需求P (A ɣB )．因为P (A ɣB )＝P (A )＋P (B )－P (A ɘB ),而５。

求函数值域的几种方法求函数值域(最值)的常用方法:(1)基本函数法:对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解.(2)配方法对于形如y=a +bx+c(a ≠0)或F(x)=a[ +bf(x)+c](a ≠0)类的函数的值域问题,均可用配方法求解.(3)换元法 利用代数或三角换元,将所给函数转化成易求值域的函数,形如y= 的函数,令f(x)=t,形如y=ax+b ± (a,b,c,d 均为常数,ac ≠0)的函数, 令 =t;形如含 的结构的函数,可利用三角代换,令x=acos θ, θ∈[0,π]或令x=asin θ,θ∈ . (4)不等式法利用基本不等式:a+b ≥2 ,用此法求函数值域时,要注意条件“一正、二定、三相等”.如利用a+b ≥2 求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件:①a>0,b>0;②a+b(或ab)为定值;③取等号条件a=b ，三个条件缺一不可.(5)函数的单调性法确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域,例如, f(x)=ax+ (a>0,b>0).当利用不等式法等号不能成立时,可考虑用函数的单调性. (6)数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义,可借助几何法求函数的值域,形如: 可联想两点 与 连线的斜率. (7)函数的有界性法形如 ,可用y 表示出sin x,再根据-1<sin x ≤1,解关于y 的不等式,可求y 的取值范围.(8)导数法设y=f(x)的导数为f ′(x),由f ′(x)=0可求得极值点坐标,若函数定义域为[a,b],则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值.x 2()x f 2()x f 1d cx +d cx +x a 22-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππab ab xb x x y y 2121--()y x 11,()y x 22,x x y sin1sin +=典型例题1 定义法要深刻领会映射与函数值域的定义。

函数求值域方法之值域换元法值域换元法是函数求值域的一种方法，它主要通过对自变量进行换元，将原函数转化为一个新的函数，从而求得函数的值域。

下面将介绍值域换元法的基本思路和具体的步骤。

1.基本思路值域换元法的基本思路是通过对自变量进行合适的换元操作，将原函数转化为一个新的函数，使得新函数的值域更易于确定。

一般来说，我们会选择使得新函数具有更简单形式的换元操作。

2.具体步骤值域换元法的具体步骤如下：（1）选择合适的换元变量。

一般来说，我们会选择一个使得新函数具有更简单形式的变量作为换元变量。

换元变量的选择需要根据具体问题进行分析和判断，一般有一定的经验和技巧。

（2）进行换元操作。

根据换元变量的选取，对原函数进行相应的换元操作，得到新的函数表达式。

换元操作需要保证函数的定义域和值域在变换之后保持不变。

（3）确定新函数的值域。

通过分析新函数的特点和性质，可以更容易地确定新函数的值域。

常用的方法包括求导、分析函数的极值和边界值等。

（4）确定原函数的值域。

根据新函数的值域和换元关系，可以通过逆变换的方式确定原函数的值域。

逆变换的具体方法需要根据具体问题进行分析和判断。

3.示例分析下面通过一个具体的例子来说明值域换元法的应用。

例如，求函数f(x)=x^3在定义域为[-1,1]上的值域。

（1）选择合适的换元变量。

由于函数f(x)=x^3是一个奇函数，即满足f(-x)=-f(x)，因此可以选择u=x^3作为换元变量。

（2）进行换元操作。

将x^3替换为u，可得到新函数g(u)=u。

（3）确定新函数的值域。

新函数g(u)=u是一个线性函数，其值域为(-∞,+∞)。

（4）确定原函数的值域。

由于u=x^3，因此可以通过求解u=x^3关于x的逆变换，即x=u^(1/3)，得到原函数的值域为(-1,1)。

4.注意事项在进行值域换元法求解时，需要注意以下几个方面：（1）换元操作需要保证函数的定义域和值域在变换之后保持不变。

（2）选择合适的换元变量可以使求解过程更简单和直观。

探索探索与与研研究究函数问题的考查形式多种多样，其命题方式也各不相同.其中,函数值域问题具有较强的综合性，侧重于考查函数的解析式、定义域、值域、图象、性质等.有些函数的值域问题较为复杂，其中含有根式、三角函数式、对数式，需采用换元法来求解.下面结合实例，重点探究一下如何运用换元法来求这三类函数的值域.一、求含有根式的函数的值域若函数的解析式中含有根式，我们通常无法直接根据基本初等函数的性质和复合函数的性质来求得函数的值域，需利用换元法，将根号下的式子用一个新变量替换，把函数式转化为关于新变量的函数式，根据函数的定义域求得新变量的取值范围，再根据基本初等函数的性质和复合函数的性质来求函数的值域.例1.求函数f ()x =2x -5+13-2x 的值域.解：令t =13-2x ()t ≥0，可得x =13-t 22，由f ()x =2x -5+13-2x 可得f ()t =-t 2+t +8=-æèöøt -122+334，∵当t ∈éëöø12,+∞时，函数f ()t 单调递减；当t ∈éëùû0，12时，函数f ()t 单调递增，∴当t =12时，f ()t 取最大值334，∴函数f ()x 的值域为æèùû-∞,334.令t =13-2x ，可通过换元，去掉根号，将函数式转化为关于t 的二次函数式，利用二次函数的性质即可求得函数的最值，从而得到函数的值域.一般地，若函数的最大值为M 、最小值为m ，则函数的值域为[m ,M ]，因此，只要求得函数的最值，即可得到函数的值域.例2.求函数f ()x =x +1-x 2的值域.解：令sin t =x ，可得1-x 2=1-sin 2t =cos t ，由f ()x =x +1-x 2可得f ()t =sin t +cos t =2sin æèöøt +π4，∵1-x 2≥0，-1≤x ≤1，∴t ∈[]0,2k π，∴t +π4∈éëùûπ4,π4+2k π，∴f ()t ∈[]-2,2，∴函数f ()x 的值域为[]-2,2.由y =1-x 2可得x 2+y 2=1，于是联想到sin 2x +cos 2x =1，便令sin t =x ，使得1-x 2=cos t ，以便去掉根号.这样函数式就可转化为三角函数式，根据正弦函数的有界性即可求得函数的值域.例3.求函数f ()x =1-x +3+x 的值域.解：令2sin α=1-x ，2cos α=3+x ，可得f ()α=2sin α+2cos α=22sin æèöøα+π4，∵α∈éëùû0，π2，∴α+π4∈éëùûπ4，3π4，此时函数单调递增，∴当α+π4=π4时，函数f ()α取最小值2；当α+π4=3π4时，函数f ()α取最大值22，∴函数f ()x 的值域为[]2,22.解答本题，需通过三角换元去掉根号，将问题转化为三角函数最值问题来求解.可见，求含有根式的函数的值域，关键在于将根号下的式子合理换元，去掉根号，将问题转化为常规的函数最值问题来求解，这样才能化难为易.二、求三角函数的值域求三角函数的值域，常需用利用正弦、余弦、正切函数的单调性和有界性.而对于含有高次幂、同时含有不同函数名称的复杂三角函数值域问题，往往需要运用换元法来求解.通常需首先利用三角函数的诱导公式、两角的和差公式、辅助角公式、二倍角公式等将函数式化简；然后选取合适的部分进行换元，将问题转化为简单的正弦、余弦、正切函数的最值问题来求解.例4.已知函数f ()x =sin x +cos x +3sin x cos x ，则陈铤53探索探索与与研研究究函数f()x的值域为解：令t=sin x+可得t2=1+2由f()x=sin x可得f()t=32t2则当t∈éë-2,当t∈éëùû-13,2所以当t=-13当t=2时，故函数f()x式化简，例5.求函数f(解：令t=sin x∴由f()x=cos2f()t=-t2-2t∵t=sin x∈[∴当t∈[]-1,1∴当t=-1取最小值1，∴函数f()x引入变量t，性质来解题.换元，三、关，较为复杂，用新变量替换，.在求含有对数式的函数值（0，+∞），底数求函数f()x=ln2x-2ln x+3的x+3可得)t-12+2，∈[]0,3，f()t单调递减；f()t单调递增，)取最大值6；2，[]2,6.需令t=ln x，将函数式转利用二次函数的性质来解f()x=log2()x2-2x+9，则函数9=()x-12+8≥8，)2x+9可得f()t=log2t，28=3，)+∞，[)3,+∞.为了便于求解，需将对数函通过换元，将问题转化为简单这样便能快速求得问题的需重点研究新旧运用换元法求解函数的选取合适再快速求得（作者单位：江苏省启东中学）54。