2021年广东省高考数学总复习第51讲：直线与圆
锥曲线
1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点个数是( A )
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0
解析：由直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线y ＝b
a x 平行，故直线与双曲线的交点个数是1.
2．已知直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( D )
A ．y ＝x －1
B ．y ＝－2x ＋5
C ．y ＝－x ＋3
D ．y ＝2x －3
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧
y 21＝4x 1①，y 22＝4x 2②，
①－②得y 21－
y 22＝4(x 1－x 2)，由题可知
x 1≠x 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝4
2
＝2，即k AB ＝2，
∴直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.故选D.
3．已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则k 的取值范围为( D )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1，52
C.⎝
⎛⎭⎪⎫－52，52
D.⎝
⎛⎭⎪⎫1，52
解析：由题意知k ＞0，联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －1，
x 2－y 2＝4，
整理得(1－k 2)x 2＋2kx
－5＝0，因为直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则联立所得方程有两个不同的正实数根x 1，x 2，所以
⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＞0，
x 1
＋x 2
＝－2k 1－k 2
＞0，
x 1x 2
＝－51－k
2
＞0，
解得1＜k ＜52，即k ∈⎝
⎛⎭⎪⎫1，52，故选D.
4．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( D )
A.1
2 B.2
3 C.34
D.43
解析：易知p ＝4，直线AB 的斜率存在，抛物线方程为y 2＝8x ，与直线AB 的方程y －3＝k (x ＋2)联立，消去x 整理得ky 2－8y ＋16k ＋24＝0，由题意知Δ＝64－4k (16k ＋24)＝0，解得k ＝－2或k ＝1
2.因为直线与抛物线相切于第一象限，故舍去k ＝－2，故k ＝1
2，可得B (8,8)，又F (2,0)，故k BF ＝8－08－2＝43
，故选D.
5．已知不过原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若OA ，AB 的斜率分别为k OA ＝2，k AB ＝6，则OB 的斜率为( D )
A ．3
B ．2
C ．－2
D ．－3
解析：由题意可知，直线OA 的方程为y ＝2x ，与抛物线方程y 2
＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ，
y 2＝2px ，
得⎩⎨⎧
x ＝p
2
，y ＝p ，
即A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
p 2，p ， 则直线AB 的方程为y －p ＝6⎝
⎛
⎭⎪⎫x －p 2，
即y ＝6x －2p ，与抛物线方程y 2
＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝6x －2p ，
y 2＝2px ，
得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2p 9，
y ＝－2p 3
或⎩⎨⎧
x ＝p 2，
y ＝p ，
所以B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2p
9，－2p 3，
所以直线OB 的斜率为k OB ＝－2p
3
2p 9
＝－3.故选D.
6．已知双曲线x 23－y 2
＝1的右焦点是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，直线y ＝kx ＋m 与抛物线相交于A ，B 两个不同的点，点M (2,2)是线段AB 的中点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积是( D )
A ．4 3
B ．313 C.14
D ．23
解析：由已知可得双曲线的右焦点为(2,0)，因为该点也为抛物线的焦点，所以p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，又因为直线y ＝kx ＋m 与抛物线相交于A ，B 两点，所以将直线方程代入抛物线方程可得(kx ＋m )2＝8x ⇒k 2x 2＋(2km －8)x ＋m 2＝0，
∴x 1＋x 2＝8－2km k 2，x 1x 2＝m 2k 2. 又因为M (2,2)是线段AB 的中点， 所以x 1＋x 2＝8－2km
k 2＝4，且2＝2k ＋m ， 联立解得k ＝2，m ＝－2.|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝ k 2
＋1·(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝215.O 到AB 的距离d ＝2
5
.
∴S △AOB ＝12×215×2
5
＝2 3.
