2021年广东省高考数学总复习第51讲：直线与圆锥曲线

圆锥曲线的性质与结论知识讲解一、直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与椭圆的位置关系 位置关系：相交、相切、相离．判定条件：设直线l ：0Ax By C ++=，椭圆方程C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩，消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=．24b ac ∆=-，0∆>⇔相交，直线与椭圆有两个交点； 0∆<⇔相离，直线与椭圆无交点； 0∆=⇔相切，直线与椭圆有一个交点．2.直线与双曲线的位置关系位置关系：相交、相切、相离；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切；判定条件：设直线l ：0Ax By C ++=，双曲线C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩，消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=． 若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交，直线与双曲线有两个交点； 0∆<⇔相离，直线与双曲线无交点； 0∆=⇔相切．直线与双曲线有一个交点．若0a =，得到一个一次方程，与双曲线相交，有一个交点，l 与双曲线的渐近线平行．3.直线与抛物线的位置关系位置关系：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；判定条件：设直线l ：0Ax By C ++=，抛物线C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩，消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=． 若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交； 0∆<⇔相离； 0∆=⇔相切．若0a =，得到一个一次方程，与抛物线相交，有一个交点，l 与抛物线的对称轴平行．4.圆锥曲线的弦：连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长方法：1）将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；2）如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则弦长公式为1212||AB x y =-=-．两根差公式：如果12x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=，则12x x -==0∆>）． 注意：（1）讨论直线与圆锥曲线的位置关系一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组，消元（x 或y ），若消去y 得到20ax bx c ++=，讨论根的个数得到相应的位置关系，这里要注意的是：①二次项系数a 可能有0a =或0a ≠两种情况，只有当0a ≠，才能用∆判断根的个数；②直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但有一个公共点不一定相切．（2）在讨论直线与双曲线的交点时，要注意数形结合的方法，结合图象作出判断有时更方便快捷，要注意双曲线的渐近线的斜率，以及直线与渐近线的斜率比较．（3）当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．二、圆锥曲线的常用结论1.椭圆1）点P 处的切线PT 平分12PF F △在点P 处的外角.2）PT 平分12PF F △在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3）以焦点半径1PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.4）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.5）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为1P 、2P ，则切点弦12P P 的直线方程是00221x x y ya b+=. 6）椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.7）椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ，2(,0)F c ，00(,)M x y ).8）AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结知识点精讲一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式)120AB y y k =-=≠三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程(1) AB 是椭圆()22221.0x y a b a b+=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为2020b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆 上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=即()()()()22121202212120y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，故2020AB b x k a y =-（1） 运用类似的方法可以推出；若AB 是双曲线()22221.0x y a b a b-=>的弦，中点()00,M x y ，则2020ABb x k a y =；若曲线是抛物线()220y px p => ，则0AB p k y =题型归纳及思路提示题型1 直线与圆锥曲线的位置关系思路提示（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆> ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。

规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101l y kx =+⇒过定点（，）:(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0）:2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。

练习：1、过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有（ ）条。

A ．4B ．3C ．2D ．1分析：作出抛物线232--=x x y ，判断点P(3,2)相对抛物线的位置。

解：抛物线232--=x x y 如图，点P （3，2）在抛物线的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有一条。

故选择D规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。

（这里可以用公司的设备画图）一、过一定点P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在抛物线外，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点P 在抛物线上，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点P 在抛物线内，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。

二、过定点P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在双曲线内，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点P 在双曲线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；（3）若定点P 在双曲线外且不在渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；（4）若定点P 在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点P 在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P 和双曲线只有一个公共点的直线不存在。

核心突破——直线与圆锥曲线的位置关系1．有关直线与圆锥曲线的交点个数问题有关直线与圆锥曲线的交点个数问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解的个数问题，特别地，对于直线与圆的交点的个数问题，则常利用初中所学有关知识解决；有关弦的中点问题，则应注意灵活运用“差分法”，设而不求，简化运算。

2．解析几何中的最值、定值问题常用的方法和技巧有：利用二次函数的性质、三角函数的有界性、基本不等式、函数的单调性、函数的导数、数形结合等。

3．向量与解析几何的结合运用向量的方法解决解析几何问题，有时可简化运算（平行、垂直与夹角）；也可以把向量转化为坐标运算。

注：（1）关于圆锥曲线的参数取值范围和几何最值问题实属一类问题，其解题方法是统一的，往往都是代数、三角、几何多方面知识的渗透与综合，函数、方程、不等式、转化、化归、分类讨论等多种思想的交叉运用，换元、数形结合、三角代换等多种方法技巧的灵活运用。

（2）求范围与最值问题首先应在做题前弄清：①平面几何知识，如三角形三边不等关系，两点之间线段最短等；②涉及直线与圆锥曲线的公共点， 判别式解出不等式；③圆锥曲线上点的坐标的范围；④题目已知条件，某一参数已知的取值范围。

（3）求范围与最值问题的解题方法主要有以下几种：①数形结合法；②函数法；③变量替换法；④不等式法。

例1 已知抛物线26y x =的弦AB 经过点()4,2P ，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），求弦AB 的长。

分析：要求弦AB 的长，只需求出A 、B 两点的坐标，为此设出A 、B 两点的坐标，利用OA OB ⊥的条件和A 、B 、P 三点共线的条件求解。

解析：由A 、B 两点在抛物线26y x =上，可设221212,,,66y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=。

由221212,,,66y y OA y OB y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得221212036y y y y +=， ∵120y y ≠，∴1236y y =-。

①掌握点与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判定方法：代数方法②掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系(交点个数) 的判定方法：代数方法和几何法(数型结合方法)。

③掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的常见题型的解题思路与方法，会根据直线与圆锥曲线的位置确定参数的值(或范围)。

①培养学生运算能力、探索能力，分析问题解决问题的能力；②培养学生数形结合思想、转化思想函数方程思想及分类讨论思想。

①培养学生运动变化观点；②培养学生认识事物的特殊性与一般性规律。

直线与圆锥曲线位置关系的判定是高中数学的重点内容，是高考数学考查的重要内容，在高考试卷中占有相当的分量。

该内容经常与方程组的解的讨论、方程的区间根、直线的斜率，以及数形结合思想，分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想方法等知识相结合。

该内容知识的综合性、应用性较强，是学生学习的难点之一。

点、直线与圆锥曲线位置关系的判定方法，以及判定方法的灵活应用。

直线与圆锥曲线在某个区间内有交点的问题。

求参数的取值范围。

根据本内容的特点结合学生的实际，采用讲解和学生讨论探索，最后教师总结归纳的教学方法。

指导学生掌握通性，同时注重对一题多解和一题多变的训练，培养思维能力。

<>1、给出下列曲线：① 4x+2y-1=0 , ② ,③⑤=2x. 其中与直线 y=-2x-3 有交点的所有曲线是(A .①③ B.②④⑤ C.①②③ D.②③④2①若题目中没给出直线方程，假设直线方程时应对直线方程的斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论。

②对于研究给定区间的位置关系问题，应转化为方程ax2+bx+c=0 的区间根问题，结合二次函数图象加以解决。

联立方程,消去x或y，得到关于x (或y)的方程ax2+bx+c=0 (或ay2+by+c=0)。

(1)当a=0 时 (2)当 a ≠0 时3<1>判断直线与圆锥曲线交点个数；<2>证明直线与圆锥曲线的位置关系；<3>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线方程(或确定参数的值)；<4>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的取值范围。

【背一背重点知识】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即(,)0Ax By CF x y++=⎧⎨=⎩消去y后得ax2＋bx＋c＝0．通过这个方程解的情况判断直线与圆锥曲线的位置关系，具体如下表所示．2（I）圆锥曲线的弦长的定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．（II）圆锥曲线的弦长的计算：设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1－x2|·|y1－y2|．（抛物线的焦点弦长|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝22sin pθ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)． 【讲一讲提高技能】1．利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元转化成一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，即方程为一次方程；若不为0，则方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．例1．【炎德英才大才大联考湖南师大2017届高三上学期第3次月考，20】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()121,0,10F F -，，点A 在椭圆C 上． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M N 、时，能在直线53y =上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(Ⅰ)2212x y +=；(Ⅱ)点Q 不在椭圆上．【解析】(Ⅱ)椭圆C上不存在这样的点Q，证明如下：设直线l的方程为2=+，y x t2．利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长问题当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)时，则|AB|＝·|x 1－x 2|＝|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．例2．【广西陆川县中学2017届高三上学期12月考，20】（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆C 经过点1,A ⎛ ⎝⎭．直线:l y x m =+与椭圆C 交于不同的,A B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若AOB ∆的面积为1（O 为坐标原点），求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=；（2）2y x =±．【解析】试题分析：（I ）根据题意可以得到,,a b c 的方程组，解方程可以求出,,a b c 的值，进而得到椭圆的方程；（2）将直线y x m =+与椭圆联立得到2258440x mx m ++-=，设出()()1122,,,A x y B x y ，利用韦达定理表示弦长AB =d =，利用面积公式即可得到方程，解得m ．试题解析：（1）∵离心率2c e a ==，∴2234c a =，得224a b =，①∵椭圆C 经过点1,A ⎛ ⎝⎭，∴221314a b +=，② 联立①②，解得224,1a b ==∴椭圆C 的方程为2214x y +=．3．利用点差法求解圆锥曲线问题点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何的某些问题时，合理的运用点差法，可以有效减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的．点差法的基本过程为：设点、代入、作差、整理代换．例3【山东省实验中学2017届高三第一次诊，20】已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点(1,0)F，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点(,0)T t，使得QP TP PQ TQ⋅=⋅？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）22143x y+=（2）1(0,)4t∈直线TR 的方程为：222314()3434k k y x k k k +=--++ ， ……………9分 令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++， ……………10分 因为2(0,)k ∈+∞， 所以234(4,)k +∈+∞，所以1(0,)4t ∈．……………12分 所以线段OF 上存在点(,0)T t 使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中1(0,)4t ∈．……………13分 【练一练提升能力】1．【重庆巴蜀中学2017届高三12月考，20】已知椭圆C ：22221(a b 0)x y a b+=>>的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交于椭圆M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．【答案】(I)22162x y +=；(II)2)y =-． 【解析】（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(x 2)y k =-，点11(x ,y )A ，22(x ,y )B ．33(x ,y )M ，33N(x ,y )--，由221,62(x 2),x y y k ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)x 121260k k x k +-+-=． 所以21221213k x x k +=+，因为121224(x 4)13ky y k x k -+=+-=+． 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k-++．因此直线OD 方程为30(k 0)x ky +=≠．考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．2．【重庆巴蜀中学2017届高三上学期期中，20】（本小题满分12分）已知椭圆222:1x E y a+=（常数1a >），过点(),0A a -且以t 为斜率的直线与椭圆E 交于点B ，直线BO 交椭圆E 于点C （O 坐标原点）．（1）求以t 为自变量，ABC ∆的面积()S t 的函数解析式；（2）若12,,12a t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求()S t 的最大值．【答案】（1）()()22220,11a tS t t a a t =>>+；（2）2．【解析】试题分析：（1）首先设出直线AB 的方程，然后联立椭圆的方程求得点B 的纵坐标，由此利用三角形的面积公式得到()S t 的函数解析式；（2）首先结合（1）得出当2a =时，()S t 的解析式，然后利用基本不等式求出最大值．试题解析：（1）设直线AB 的方程为：()y t x a =+，由()2221y t x a x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222120a t y aty +-=，∴0y =或2221at y a t =+，则点B 的纵坐标为2221B aty a t =+， ∴()()222220,11ABC AOBB a tS t S S OA y t a a t ∆∆====>>+ ．（2）当2a =时，()2881414t S t t t t==++，∵1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴144t t t t +≥=， 当且仅当114,t 2t t ==时，上式等号成立，∴()882144S t t t=≤=+，即()S t 的最大值()max 2S t =．3．【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，20】（本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别是12,F F ，离心率12e =，过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 过椭圆E 的右焦点2F ，且与x 轴不重合，交椭圆E 于,M N 两点，过点2F 且与l 垂直的直线与圆22:2150C x y x ++-=交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=（2）⎡⎣（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设l 的方程()()()()11221,0,,,,y k x k M x y N x y =-≠，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=，则221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，所以()212212143k MN x k +=-=+，过点()21,0F 且与l 垂直的直线()1:1m y x k=--，圆心()1,0C -到m，所以PQ ==． 故四边形MPNQ面积12S MN PQ ==可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(．当l 与x 轴垂直时，其方程为1,3,8x MN PQ ===，四边形MPNQ 面积为12，综上，四边形MPNQ面积的取值范围为⎡⎣．轨迹与轨迹方程【背一背重点知识】 1．曲线与方程的概念：在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x ，y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求轨迹方程的基本步骤：（1）建系设点：建立适当的坐标系，用有序实数对（x ，y ）表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）列出关于动点的几何等量关系是：写出适合条件的p （M ）的集合P={M|p(M)}；（3）坐标化:用坐标表示条件p(M)，列出方程F(x ，y)=0；（4）化简：化方程f(x ，y)=0为最简形式；（5）检验：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上，同时检验前后化简的等价性．3．求轨迹方程的基本方法：直接法、相关点法、定义法、参数法、交轨法等． 【讲一讲提高技能】 1．直接法求轨迹方程当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程，称之直接法．例1．【湖北孝感2017届高三上学期第一次统考，20】（本小题满分12分）双曲线()222:103x y C a a +=>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作x 轴垂直的直线交双曲线C 于A B 、两点，1F AB ∆的面积为12，抛物线()2:20E y px p =>以双曲线C 的右顶点为焦点． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）如图，点(),02P P t t ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭为抛物线E 的准线上一点，过点P 作y 轴的垂线交抛物线于点M ，连接PO 并延长交抛物线于点N ，求证：直线MN 过定点．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()1,0P t t -≠，则2,4t M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭直线PO 的方称为y tx =-，代入抛物线E 的方程有：244,N tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭当24t ≠时，22244444MNt t t k t t t +==--，∴直线MN 的方程为：22444t t y t x t ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，即()2414t y x t =--，∴此时直线MN 过定点()1,0，当24t =时，直线MN 的方称为：1x =，此时仍过点()1,0即证直线MN 过定点．【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现． 2．定义法求轨迹方程如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法．例2．【河北石家庄2017届高三第一次质检，20】（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点()1,0F ，直线:1l x =-，动直线l '垂直l 于点H ，线段HF 的垂直平分线交l '于点P ，设点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）以曲线C 上的点()()000,0P x y y >为切点作曲线C 的切线1l ，设1l 分别与,x y 轴交于,A B 两点，且1l 恰与以定点()(),02M a a >为圆心的圆相切，当圆M 的面积最小时，求ABF ∆与PAM ∆面积的比．【答案】（1）24y x =；（2）14． 【解析】（2）解法一：由题意知切线的斜率必然存在，设为，则 ．由，得，即由，得到．∴，……………………6分解法二：由，当时，，以为切点的切线的斜率为以为切点的切线为即，整理………………6分令则，令则，………………7分点到切线的距离(当且仅当时，取等号)． ∴ 当时，满足题意的圆的面积最小．………………9分∴，．，．……………11分∴．△与△面积之比为．………………12分3．相关点法求轨迹方程相关点法：用动点Q 的坐标x ，y 表示相关点P 的坐标x 0、y 0，然后代入点P 的坐标（x 0，y 0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q 轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法． 例3．【广东省惠州市2017届第二次调研考试数学（理）试题】（本小题满分12分） 已知点()1,0A ，点P 是圆C:()2218x y ++=上的任意一点，线段PA 的垂直平分线与直线C P 交于点E ．（Ⅰ）求点E 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+与点E 的轨迹有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以Q P 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅱ）设()11,x y P ，()22Q ,x y ，则将直线与椭圆的方程联立得：2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，得：()222214220kx kmx m +++-=，0∆>，2221m k <+………①122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+…………………6分 原点O 总在以Q P 为直径的圆的内部∴Q 0OP ⋅O <即12120x x y y +<……7分而()()2212122221m k y y kx m kx m k -=++=+∴2222222202121m m k k k --+<++……9分即22223k m +<∴223m <，且满足①式m 的取值范围是⎛ ⎝⎭…12分 4．交轨法求轨迹方程求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法．例4．【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）数学（理）试题】（本小题满分12分）以边长为4的等比三角形ABC 的顶点A 以及BC 边的中点D 为左、右焦点的椭圆过,B C 两点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过点D 且x 轴不垂直的直线l 交椭圆于,M N 两点，求证直线BM 与CN 的交点在一条直线上．【答案】（1）22196x y +=（2）x =（II ） ① 当MN 不与x 轴重合时，设MN的方程为x my =+B，2)C -联立椭圆与直线MN 2223180x y x my ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩消去x 可得22(23)120m y ++-=，即12223y y m -+=+，1221223y y m -=+ 设11(,)M x y ，22(,)N x y 则BM：2y x -=- ①5．参数法求轨迹方程当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一变数t 的关系，得(),(),x g t x t ϕ=⎧⎨=⎩再消去参变数t ，得到方程(,)0f x y =，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法．例 5．设椭圆方程为1422=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21+=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．).44,4()2,2()(21222121kk k y y x x ++-=++=+=设点P 的坐标为),,(y x 则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y kk x 消去参数k 得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方 程为.0422=-+y y x 【练一练提升能力】1．【河北武邑中学2017届高三上学期第四次调研，21】已知椭圆2222:1x y C a b+=，()0a b >>的离⎛ ⎝⎭． (Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设与圆223:4O x y +=相切的直线l 交椭圆C 与A ，B 两点，求OAB ∆面积的最大值及取得最大值时直线l 的方程．【答案】（1）2213x y +=；（2，此时直线方程1y =±．【解析】AB ===2=≤当且仅当2219kk=，即k=时等号成立11222OABS AB r∆∴=⨯≤⨯，OAB∴∆，此时直线方程1y x=±．2．【河南南阳一中2017届高三上学期第4次月考，20】如图，已知点A是离心率为2的椭圆C：22221(0)y xa ba b+=>>上的一点，的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点互不重合．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值．【答案】（1）22142y x+=；（2）证明见解析．【解析】。

高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。

（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。

二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。

9.8 圆锥曲线的综合问题1．直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线______公共点；相切时，直线与圆锥曲线有______公共点；相交时，直线与椭圆有______公共点，直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．一般通过它们的方程来研究：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0与二次曲线C ：f (x ，y )＝0，由⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f （x ，y ）＝0消元，如果消去y 后得：ax 2＋bx ＋c ＝0， (1)当a ≠0时， ①Δ＞0，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，直线与圆锥曲线________；②Δ＝0，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线有一个公共点，直线与圆锥曲线________；③Δ＜0，则方程无解，直线与圆锥曲线没有公共点，直线与圆锥曲线________． (2)注意消元后非二次的情况，即当a ＝0时，对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线．当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是________；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是________． (3)直线方程涉及斜率k 要考虑其不存在的情形． 2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题 (1)直线l ：y ＝kx ＋m 与二次曲线C ：f (x ，y )＝0交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，f （x ，y ）＝0得ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，则x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________，||AB ＝________． (2)若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以简化运算． 3．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题 中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解． (1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解． (2)点差法：若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点A ，B ，一般地，首先设出A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x 1＋x 2，y 1＋y 2，x 1－x 2，y 1－y 2，从而建立中点坐标和斜率的关系．无论哪种方法都不能忽视对判别式的讨论．自查自纠 1.无 一个 两个 (1)①相交 ②相切 ③相离 (2)平行或重合 平行或重合 2.(1)－b a ca 1＋k 2||x 1－x 2＝1＋k 2b 2－4ac||a1.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定解：由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．故选A.2.设F 为抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，过F 作倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.323B.16C.32D.43 解：由题意知F (2，0)，AB 所在直线的方程为y ＝tan30°·(x －2)＝33(x －2)，联立y 2＝8x 消元得x 2－28x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝28，所以|AB |＝x 1＋x 2＋4＝32.故选C. 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线截椭圆x 24＋y 2＝1所得弦长为433，则此双曲线的离心率为 ( )A. 2B. 3C.62D.6 解：不妨设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝0， 联立⎩⎪⎨⎪⎧bx －ay ＝0，x 24＋y 2＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2aa 2＋4b 2，y ＝2b a 2＋4b2.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2aa 2＋4b 2，y ＝－2ba 2＋4b 2，由渐近线截椭圆x 24＋y 2＝1所得弦长为433，可得4a 2＋4b 2a 2＋4b 2＝43，即2a 2＝b 2＝c 2－a 2，解得e ＝c a ＝3.故选B.4.过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |等于 ．解：由抛物线y 2＝4x 得p ＝2，由抛物线定义可得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2，又因为x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝8.故填8. 5.(河北省廊坊市省级示范校高中联合体2019届高三上学期第三次联考)已知点F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线交双曲线C 的左支于A ，B 两点，且|AF 2|＝3，|BF 2|＝5，|AB |＝4，则△BF 1F 2的面积为 ．解：因为|AF 2|＝3，|BF 2|＝5，又|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4a ＝3＋5－4＝4，所以a ＝1，所以|BF 1|＝3，又|AF 2|2＋|AB |2＝|BF 2|2，则∠F 2AB ＝90°，所以sin B ＝35，所以S △BF 1F 2＝12×5×3×sin B＝12×5×3×35＝92.故填92.类型一 弦的中点问题例1 (1)已知一直线与椭圆4x 2＋9y 2＝36相交于A ，B 两点，弦AB 的中点坐标为M (1，1)，则直线AB 的方程为___________．解法一：根据题意，易知直线AB 的斜率存在，设通过点M (1，1)的直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋1，代入椭圆方程，整理得(9k 2＋4)x 2＋18k (1－k )x ＋9(1－k )2－36＝0.设A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－9k （1－k ）9k 2＋4＝1，解之得k ＝－49. 故直线AB 的方程为y ＝－49(x －1)＋1，即4x ＋9y －13＝0.解法二：设A (x 1，y 1)．因为AB 中点为M (1，1)，所以B 点坐标是(2－x 1，2－y 1)．将A ，B 点的坐标代入方程4x 2＋9y 2＝36，得4x 21＋9y 21－36＝0，①及4(2－x 1)2＋9(2－y 1)2＝36，化简为4x 21＋9y 21－16x 1－36y 1＋16＝0.②①－②，得16x 1＋36y 1－52＝0，化简为4x 1＋9y 1－13＝0.同理可推出4(2－x 1)＋9(2－y 1)－13＝0.因为A (x 1，y 1)与B (2－x 1，2－y 1)都满足方程4x＋9y －13＝0，所以4x ＋9y －13＝0即为所求． 解法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是弦的两个端点，代入椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋9y 21＝36， ①4x 22＋9y 22＝36， ②①－②，得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.因为M (1，1)为弦的中点，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.所以4(x 1－x 2)＋9(y 1－y 2)＝0.所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49.故AB 方程为y －1＝－49(x －1)，即4x ＋9y －13＝0.故填4x ＋9y －13＝0.(2)已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为 ．解：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y 223＝1，②x 1＋x 2＝2x 0，③y 1＋y 2＝2y 0，④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2.所以y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3，因为M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以k MN＝－1，所以y 0＝－3x 0.又因为y 0＝x 0＋m ，所以P (－m4，3m 4)， 代入抛物线方程得916m 2＝18·(－m4)，解得m ＝0或－8，经检验都符合．故填0或－8.点拨 处理中点弦问题常用的求解方法：①点差法，即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．②根与系数的关系，即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．变式1 设抛物线过定点A (－1，0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求实数m 的取值范围．解：(1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )．再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1(x ≠1)．(2)依题意知k ≠0，设弦MN 的中点为P (－12，y 0)，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C上的点，可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4. 两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，将x M ＋x N ＝2×(－12)＝－1，y M ＋y N ＝2y 0，y M －y Nx M －x N＝－1k (k ≠0)代入上式得k ＝－y 02.又点P (－12，y 0)在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m.所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P (－12，y 0)在线段BB ′上(B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y B ′＜y 0＜y B ，即－3＜y 0＜3.所以－334＜m ＜334，又k ≠0，则y 0＝－2k ≠0，从而有m ≠0.故m 的取值范围为(－334，0)∪(0，334)．类型二 定点问题例2 (2019·北京卷)已知抛物线C ：x 2＝ －2py经过点(2，－1)．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程； (2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B.求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．解：(1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1. (2)证明：抛物线C 的焦点为F (0，－1)． 设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y ，得x 2＋4kx －4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x1x 2＝－4.直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x.令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1.同理得点B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.设点D (0，n )，则DA →＝(－x 1y 1，－1－n )，DB →＝(－x 2y 2，－1－n )，所以DA →·DB →＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2（－x 214）（－x 224）＋(n ＋1)2 ＝16x 1x 2＋(n ＋1)2 ＝－4＋(n ＋1)2. 令DA →·DB →＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，则n ＝1或n ＝－3.综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0，1)和(0，－3)．点拨 ①根据已知条件建立方程.②通过假设相关点的坐标，利用函数与方程思想及点的坐标关系，按照“设而不求”的原则计算或化简．③本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．变式2 (2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．解：(1)证明：设D (t ，－12)，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1.由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点(0，12)．(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎨⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22，可得x 2－2tx －1＝0. 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，则|AB |＝1＋t 2·|x 1－x 2|＝1＋t 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1.因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M (t ，t 2＋12)．由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝42. 因此，四边形ADBE 的面积为3或42.类型三 定值问题例3 (河南八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评)已知O 为坐标原点，过点M (1，0)的直线l 与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝－3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点M 作直线l ′⊥l 交抛物线C 于P ，Q 两点，记△OAB ，△OPQ 的面积分别为S 1，S 2，证明：1S 21＋1S 22为定值． 解：(1)设直线l ：x ＝my ＋1，与y 2＝2px 联立消x 得，y 2－2pmy －2p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－2p.因为OA →·OB →＝－3，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＋y 1y 2＝(1＋m 2)y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝(1＋m 2)(－2p )＋2pm 2＋1＝－2p ＋1＝－3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x.(2)证明：由(1)知，M (1，0)是抛物线C 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝my 1＋my 2＋2＋p ＝4m 2＋4.原点到直线l 的距离d ＝11＋m2，所以S 1＝12·|AB |·d ＝12×4(m 2＋1)×11＋m 2＝21＋m 2.因为直线l ′过点(1，0)且l ′⊥l ， 所以S 2＝21＋⎝⎛⎭⎫1m 2＝21＋m 2m2.所以1S 21＋1S 22＝14（1＋m 2）＋m 24（1＋m 2）＝14， 即1S 21＋1S 22为定值14. 点拨 求解此类问题的方法一般有两种：①从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；②直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线．应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，故而不必着急，以防止急中出错．设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算．变式3 (2019·合肥质检二)已知点A (1，0)和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)求动点B 的轨迹方程； (2)已知点P (2，0)，Q (2，－1)，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值．解：(1)如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A ′(－1，0)．依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线． 因为O 为AA ′的中点，C 为AB 的中点，所以|A ′B |＝2|OC |.所以|BA ′|＋|BA |＝2|OC |＋2|AC |＝2|OC |＋2|CD |＝2|OD |＝4>|AA ′|＝2.依椭圆的定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中|BA ′|＋|BA |＝2a ＝4，|AA ′|＝2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以动点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 与椭圆x 24＋y 23＝1相切，与题意不符；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k （x －2），x 24＋y 23＝1， 得(4k 2＋3)x 2－(16k 2＋8k )x ＋16k 2＋16k －8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝16k 2＋8k 4k 2＋3，x 1x 2＝16k 2＋16k －84k 2＋3， 由Δ＝96(1－2k )>0⇒k <12，所以k PM ＋k PN ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2 ＝k （x 1－2）－1x 1－2＋k （x 2－2）－1x 2－2＝2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－2＋1x 2－2＝2k －x 1＋x 2－4（x 1－2）（x 2－2）＝2k －x 1＋x 2－4x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋4＝2k －16k 2＋8k4k 2＋3－416k 2＋16k －84k 2＋3－2×16k 2＋8k4k 2＋3＋4＝2k ＋3－2k ＝3，为定值．类型四 与弦有关的范围与最值问题例4 (甘肃兰州一中2019届高三6月冲刺模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为32，过焦点F 2且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P (x 0，y 0)(y 0≠0)为椭圆C 上一动点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点M (m ，0)，求实数m 的取值范围．解：(1)将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b2＝1中，由a 2－c 2＝b 2可得y 2＝b 4a 2，所以弦长为2b 2a ，故有⎩⎪⎨⎪⎧2b2a＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点P (x 0，y 0)(y 0≠0)，又F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则直线PF 1，PF 2的方程分别为lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0，lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意可知|my 0＋3y 0|y 20＋（x 0＋3）2＝|my 0－3y 0|y 20＋（x 0－3）2.由于点P 为椭圆C 上除长轴外的任一点，所以x 204＋y 20＝1，即y 20＝1－x 204， 所以|m ＋3|（32x 0＋2）2＝|m －3|（32x 0－2）2，因为－3＜m ＜3，－2＜x 0＜2，所以m ＋332x 0＋2＝3－m2－32x 0，即m ＝34x 0，因此，－32＜m ＜32.故实数m 的取值范围是(－32，32)．点拨 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法(解答题中多见)，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法(小题中多见)，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．解决圆锥曲线中的取值范围问题常从五方面考虑：①利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；③利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；⑤利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．变式4 (北师大长春附属中学2019届高三四模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与y 轴正半轴交于点M (0，3)，离心率为12.直线l 经过点P (t ，0)(0＜t ＜a )和点Q (0，1)，且与椭圆E 交于A ，B 两点(点A 在第二象限)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若AP →＝λPB →，当0＜t ≤233时，求λ的取值范围．解：(1)由题意，e ＝c a ＝12且b ＝3，所以a ＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为直线l 经过点P (t ，0)(0＜t ＜a )和点Q (0，1)，所以直线l 的斜率为1－t，直线l 的方程为y ＝－1t x ＋1，将其代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中，消去x ，得(3t 2＋4)y 2－6t 2y ＋3t 2－12＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6t 23t 2＋4，①y 1y 2＝3t 2－123t 2＋4，②因为AP →＝λPB →，所以(t －x 1，－y 1)＝λ(x 2－t ，y 2)，所以y 1＝－λy 2，③联立①②③，消去y 1，y 2，整理得12λ（1－λ）2＝(4t2＋1)2－4. 当0＜t ≤233时，12λ（1－λ）2＝(4t 2＋1)2－4∈[12，＋∞)，解得λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3－52，1∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，3＋52，由y 1＋y 2＝(1－λ)y 2＝6t 23t 2＋4＞0且y 2＜0，故λ＞1，所以λ∈⎝⎛⎦⎥⎤1，3＋52.类型五 存在性问题例5 (天津市河北区2019届高三一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(2，1)，且离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过原点的直线l 1与椭圆C 交于P ，Q 两点，且在直线l 2：x －y ＋26＝0上存在点M ，使得△MPQ 为等边三角形，求直线l 1的方程．解：(1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋1b 2＝1，e ＝c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝22，b ＝2，c ＝6，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)当l 1斜率不存在时，PQ 即为椭圆C 的短轴，此时不合题意；当l 1的斜率k ＝0时，此时PQ ＝42，直线l 2：x －y ＋26＝0与y 轴的交点(0，26)满足题意；当l 1的斜率k ≠0时，设直线l 1：y ＝kx ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 22＝1，得(1＋4k 2)x 2＝8，x 2＝81＋4k 2， 设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)，所以x 20＝81＋4k 2，y 20＝8k 21＋4k 2，所以|PO |＝x 20＋y 20＝8（1＋k 2）1＋4k 2，又PQ 的垂直平分线方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，x －y ＋26＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－26kk ＋1，y ＝26k ＋1，M (－26k k ＋1，26k ＋1)，所以|MO |＝24（k 2＋1）（k ＋1）2，因为△MPQ 为等边三角形，所以|MO |＝3|PO |，即24（k 2＋1）（k ＋1）2＝3×8（1＋k 2）1＋4k 2，解得k ＝0(舍去)，k ＝23，所以直线l 1的方程为y ＝23x.综上可知，直线l 1的方程为y ＝0或y ＝23x.点拨 存在性问题的探求，常用方法是假设存在，并以此为基础进行推证，若推出矛盾，则不存在，否则存在．特殊情形的推证，常使思路明晰．变式5 已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为22，坐标原点O 到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，在线段OF 上是否存在点M (m ，0)，使得|MP |＝|MQ |？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (c ，0)，由坐标原点O 到直线x －y －c ＝0的距离为22，得|0－0－c |2＝22，解得c ＝1，又e ＝c a ＝22，故a ＝2，b ＝1，所以所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m ，0)(0＜m ＜1)满足条件． 因为直线l 与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝k （x －1）得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＞0恒成立，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2. 设线段PQ 的中点为N (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k 1＋2k 2. 因为|MP |＝|MQ |，所以MN ⊥PQ ，所以k MN ·k PQ＝－1，即－k1＋2k 22k 21＋2k 2－m·k ＝－1，所以m ＝k 21＋2k 2＝12＋1k2. 因为k 2＞0，所以0＜m ＜12，即m 的取值范围为(0，12)．1．对于圆锥曲线的综合问题，①要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件；②要重视利用图形的几何性质解题(本书多处强调)；③要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而不求”“整体代入”“点差法”“对称转换”等方法．2．在给定的圆锥曲线f(x，y)＝0中，求中点为(m，n)的弦AB所在直线方程或动弦中点M(x，y)轨迹时，一般可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用A，B 两点在曲线上，得f(x1，y1)＝0，f(x2，y2)＝0及x1＋x2＝2m(或2x)，y1＋y2＝2n(或2y)，从而求出斜率k AB＝y1－y2x1－x2，最后由点斜式写出直线AB的方程，或者得到动弦所在直线斜率与中点坐标x，y之间的关系，整体消去x1，x2，y1，y2，得到点M(x，y)的轨迹方程．3．对满足一定条件的直线或者曲线过定点问题，可先设出该直线或曲线上两点的坐标，利用坐标在直线或曲线上以及切线、点共线、点共圆、对称等条件，建立点的坐标满足的方程或方程组．为简化运算，应多考虑曲线的几何性质，求出相应的含参数的直线或曲线，再利用直线或曲线过定点的知识加以解决．以“求直线l：y＝kx＋2k＋1(k为参数)是否过定点”为例，有以下常用方法.(1)待定系数法：假设直线l过点(c1，c2)，则y －c2＝k(x－c1)，即y＝kx－c1k＋c2，通过与已知直线方程比较得c1＝－2，c2＝1.所以直线l过定点(－2，1)．(2)赋值法：令k＝0，得l1：y＝1；令k＝1，得l2：y＝x＋3，求出l1与l2的交点(－2，1)，将交点坐标代入直线系得1＝－2k＋2k＋1恒成立，所以直线l过定点(－2，1)．赋值法由两步构成，第一步：通过给参数赋值，求出可能的定点坐标；第二步：验证其是否恒满足直线方程．(3)参数集项法：对直线l的方程中的参数集项得y－1＝k(x＋2)，由直线的点斜式方程，易知直线l过定点(－2，1)．若方程中含有双参数，应考虑两个参数之间的关系．4．给出曲线上的点到直线的最短(长)距离或求动点到直线的最短(长)距离时，可归纳为求函数的最值问题，也可借助于图形的性质(如三角形的公理、对称性等)求解．5．圆锥曲线上的点关于某一直线对称的问题，通常利用圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线l(或者是直线系)垂直，圆锥曲线上两点连成线段的中点一定在对称轴直线l上，再利用判别式或中点与曲线的位置关系求解．1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条解：因为p＝1，所以通径长2p＝2，又|AB|＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝3＞2p，故这样的直线有且只有两条．故选B.2．已知M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A.(0，2)B.[0，2]C.(2，＋∞)D.[2，＋∞)解：由题意知圆心F到抛物线的准线的距离为4，且|FM|＞4，根据抛物线的定义知|FM|＝y0＋2，所以y0＋2>4，得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．故选C.3．已知x1，x2是关于x的方程x2＋mx－(2m＋1)＝0的两个不等实根，则经过两点A(x1，x21)，B(x2，x22)的直线与椭圆x216＋y24＝1公共点的个数是()A.2B.1C.0D.不确定解：因为x1，x2是关于x的方程x2＋mx－(2m ＋1)＝0的两个不等实根，所以x1＋x2＝－m，x1x2＝－(2m＋1)，且x21＋mx1－(2m＋1)＝0，x22＋mx2－(2m＋1)＝0，则直线AB的斜率k AB＝x22－x21x2－x1＝x2＋x1＝－m，则直线AB的方程为y－x21＝－m(x－x1)，即y＋mx1－(2m＋1)＝－m(x－x1)，整理得(x－2)m＋(y－1)＝0，故直线AB恒过(2，1)点，而该点在椭圆内部，所以直线和椭圆相交，即公共点有2个．故选A.4．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为()A.y2＝9xB.y2＝6xC.y2＝3xD.y2＝3x解：如图，分别过A，B两点作AE，BD⊥准线于点E ，D.因为|BC |＝2|BF |，所以由抛物线的定义可知∠BCD ＝30°， 且|AE |＝|AF |＝3，所以|AC |＝6.即F 为AC 的中点，所以p ＝12|AE |＝32，故抛物线方程为y 2＝3x.故选C.5.(长沙市浏阳一中2019－2020学年高三上月考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1，F 2分别为其左、右焦点，O 为坐标原点，若点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线C 的离心率是 ( )A. 2B. 3C.2D.3解：由题意，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，设一条渐近线方程为y ＝bax ，则F 2到渐近线的距离为b ，如图，设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，则|MF 1|＝c ，|MF 2|＝2b ，A 为MF 2的中点，又O 是F 1F 2的中点，OA ∥F 1M ，所以∠F 1MF 2为直角，所以△MF 1F 2为直角三角形，由勾股定理得4c 2＝c 2＋4b 2，所以3c 2＝4(c 2－a 2)，所以c 2＝4a 2，所以c ＝2a ，则e ＝2.故选C.6．(2018·邯郸二模)设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作抛物线C ：y 2＝4x 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设切线QS ，QT 的斜率分别为k 1，k 2，F 是抛物线的焦点，直线QF 的斜率为k 0，则下列结论正确的是 ( )A.k 1－k 2＝k 0B.k 1k 2＝2k 0C.k 1－k 2＝2k 0D.k 1＋k 2＝2k 0解：设点Q (－1，t )，由过点Q 的直线y －t ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 相切，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y －t ＝k （x ＋1），整理得k 2x 2＋2(k 2＋kt －2)x ＋(k ＋t )2＝0，则Δ＝4(k 2＋kt －2)2－4k 2(k ＋t )2＝0，化简得k 2＋tk －1＝0.显然k 1，k 2是关于k 的方程k 2＋tk－1＝0的两个根，所以k 1＋k 2＝－t ，又k 0＝－t2，故k 1＋k 2＝2k 0.故选D.7．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 交抛物线于点A ，B ，若AF →＝λFB →，且λ∈(13，12)，则k 的取值范围是 ( )A.(1，3)B.(3，2)C.(2，22)D.(3，22)解：如图，延长BA 交准线l 于点C ，分别过点A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，设直线AB 的倾斜角为θ，|FB →|＝|BB 1→|＝m ，|F A →|＝|AA 1→|＝λm ，则|AC →|＝λm cos θ，|AC →||BC →|＝|AA 1→||BB 1→|，即λm cos θλm cos θ＋λm ＋m＝λm m ，cos θ＝1－λ1＋λ＝21＋λ－1， 则cos θ是关于λ的减函数，由λ∈(13，12)可得cos θ∈(13，12)， 故k ＝tan θ的取值范围是(3，22)．故选D.8．【多选题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为233，右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则有 ( )A.渐近线方程为y ＝±3xB.渐近线方程为y ＝±33xC.∠MAN ＝60° D.∠MAN ＝120°解：双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，离心率为c a ＝233，则c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝43，则b 2a 2＝13，b a ＝33， 故渐近线方程为y ＝±33x ，取MN 的中点P ，连接AP ，利用点到直线的距离公式可得d ＝AP ＝abc，则cos ∠P AN ＝AP AN ＝ab c b ＝ac ，所以cos ∠MAN ＝cos2∠P AN ＝2×a 2c 2－1＝12，则∠MAN ＝60°.故选BC.9．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率为 ．解：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝bax ，代入抛物线方程y ＝x 2＋1，整理得ax 2－bx ＋a ＝0，因为渐近线与抛物线相切，所以Δ＝b 2－4a 2＝0，即c 2＝5a 2，所以离心率e ＝ca＝5.故填 5.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，离心率为22，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 中点为(1，1)，则直线l 的斜率k ＝ .解：由题意，得c a ＝22，所以2c 2＝a 2，所以2(a 2－b 2)＝a 2，即a 2＝2b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2，两式相减，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，所以2b 2(x 1－x 2)＋2a 2(y 1－y 2)＝0，显然x 1－x 2≠0，所以2b 2＋4b 2·（y 1－y 2）（x 1－x 2）＝0，即1＋2k ＝0，所以k ＝－12.故填－12.11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的点P 到点F (p2，0)的距离与到直线x ＝0的距离之差为1，过点M (p ，0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点．(1)求抛物线的方程；(2)若△ABO 的面积为43，求直线l 的方程．解：(1)设P (x 0，y 0)，由定义知|PF |＝x 0＋p 2，所以(x 0＋p2)－x 0＝1，所以p ＝2，故抛物线的方程为y 2＝4x.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知M (2，0)． 若直线l 的斜率不存在，则方程为x ＝2， 此时|AB |＝42，所以△ABO 的面积为42，不满足题意，所以直线l 的斜率存在；设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，代入抛物线方程得k 2x 2－4(k 2＋1)x ＋4k 2＝0，则Δ＝16(k 2＋1)2－16k 4>0，x 1＋x 2＝4＋4k2，x 1x 2＝4，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 2·42k 2＋1k 2， 点O 到直线l 的距离为d ＝2|k |1＋k 2，所以S △ABO ＝12|AB |·d ＝121＋k 2·42k 2＋1k 2·2|k |1＋k2＝43，解得k ＝±1.故直线l 的方程为y ＝x －2或y ＝－x ＋2.12．(珠海市2019－2020学年高三上摸底测试)已知离心率为223的椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，与直线l交于P ，Q 两点，记直线OP 的斜率为k 1，直线OQ 的斜率为k 2. (1)求椭圆的方程； (2)若k 1k 2＝－19，则△OPQ 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，e ＝c a ＝223，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝3，c ＝22，所以椭圆的方程为x 29＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，联立椭圆方程得(9k 2＋1)x 2＋18km x ＋9m 2－9＝0，则x 1＋x 2＝－18km 9k 2＋1，x 1x 2＝9m 2－99k 2＋1，|PQ |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·（－18km 9k 2＋1）2－4（9m 2－9）9k 2＋1＝1＋k 2·69k 2－m 2＋19k 2＋1， 点O 到直线的距离d ＝|m |1＋k2，所以S △POQ ＝12|PQ |·d ＝3（9k 2＋1）m 2－m 49k 2＋1， 由k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2x 1x 2＋km （x 1＋x 2）＋m 2x 1x 2＝－19， 即k 2·9m 2－99k 2＋1－18k 2m 29k 2＋1＋m 29m 2－99k 2＋1＝－19，化简整理得到9k 2＋1＝2m 2，则S △POQ ＝32m 4－m 42m 2＝32.当直线PQ 的斜率不存在时，易算得S △POQ ＝32.综上得，△POQ 的面积是定值32.13．(2020届云南省师范大学附中高三上第一次月考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点F 的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，满足y 1y 2＝－4.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 的坐标为(－2，0)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，求1k 21＋1k 22的最小值．解：(1)因为直线AB 过焦点F (p2，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，消去x 得y 2－2mpy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2＝－4，因为p ＞0，所以p ＝2，因此，抛物线E 的方程y 2＝4x.(2)由(1)知抛物线的焦点坐标为F (1，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，代入抛物线的方程得，y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.又1k 1＝x 1＋2y 1＝m ＋3y 1，1k 2＝x 2＋2y 2＝m ＋3y 2， 所以1k 21＋1k 22＝(m ＋3y 1)2＋(m ＋3y 2)2＝2m 2＋6m (1y 1＋1y 2)＋9(1y 21＋1y 22)＝2m 2＋6m ·y 1＋y 2y 1y 2＋9·（y 1＋y 2）2－2y 1y 2y 21y 22 ＝2m 2＋6m ·4m －4＋9·（4m ）2＋816＝5m 2＋92.因此，当且仅当m ＝0时，1k 21＋1k 22有最小值92.附加题 (黑龙江大庆一中2019届高三下四模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且|QF |＝2|PQ |.(1)求p 的值；(2)已知点T (t ，－2)为C 上一点，M ，N 是C 上异于点T 的两点，且满足直线TM 和直线TN 的斜率之和为－83，证明直线MN 恒过定点，并求出定点的坐标．解：(1)设Q (x 0，4)，由抛物线定义知|QF |＝x 0＋p2， 又|QF |＝2|PQ |，|PQ |＝x 0，所以2x 0＝x 0＋p 2，解得x 0＝p2，将Q (p2，4)点代入抛物线方程，解得p ＝4.(2)由(1)知，C 的方程为y 2＝8x ，所以点T 的坐标为(12，－2)，设直线MN 的方程为x ＝my ＋n ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝8x ，得y 2－8my －8n ＝0，Δ＝64m 2＋32n ＞0.所以y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8n ，所以k MT ＋k NT ＝y 1＋2x 1－12＋y 2＋2x 2－12＝y 1＋2y 218－12＋y 2＋2y 228－12＝8y 1－2＋8y 2－2＝8（y 1＋y 2）－32y 1y 2－2（y 1＋y 2）＋4＝64m－32－8n－16m＋4＝－83，解得n＝m－1，所以直线MN的方程为x＋1＝m(y＋1)，恒过定点(－1，－1)．。