高中数学教学中数学知识的有效表征

体现数学学科核心素养的四个方面体现数学学科核心素养的四个方面是情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思数学核心素养的四个维度数学核心素养的四个维度如下：一、紧扣核心概念，在厘清认知中发展数学核心素养所有的数学教材和课程都有其基本框架，主要用于为教材的编写和课程教学梳理知识点。

在数学课堂上紧扣核心概念，对学生知识体系的梳理、内在知识体系的构建和学习能力的提高都有莫大的帮助。

二、创设问题情境，在创造契机中发展数学核心素养都说数学对学生的逻辑思维训练有巨大的好处，因此在数学课堂上老师要给予学生充分的训练以培养学生的逻辑思维能力，促进学生认知结构的构建和数学核心素养的培养。

为此，老师要创设适合学生探究的问题情境，将引导式教学转变为自主探究式教学，以培养学生数学核心素养为导向，培养学生自主分析、思维构建和解决问题的能力。

三、联系生活，在解决问题中发展数学核心素养知识源于生活，高于生活，最后又回归生活。

因此，在教学过程中老师要将学生的探究内容和实际生活关联起来，在学习中培养学生的生活能力，在日常生活中培养学生的联想能力。

既能够丰富学生的数学问题解决经验，又能够提高学生的数学核心素养。

四、强化情感体验，在人文熏陶中发展数学核心素养数学核心素养并不是单一的概念，而是复杂的系统化概念。

在注重对学生数学解题能力和逻辑思维能力培养的同时，也注重学生的数学学习态度和体验。

为此，老师要引导学生主动去感知数学中蕴含的思维方式和方法，拓宽学生的认知范围，丰富学生的解题经验。

数学学科核心素养中学数学学科教育价值的凝练数学学科核心素养是学生在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的关于数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现。

数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。

学科核心素养的提出为落实党的十八大、十九大关于立德树人要求，进一步深化基础教育课程改革，教育部组织260多位专家对普通高中课程方案和语文等14门学科课程标准进行了修订，历时4年已全部完成，经国家教材委员会审查通过，于2017年底印发。

高中数学教学中存在的问题及解决策略一、存在的问题1. 数学知识的抽象性难以理解高中数学知识相对抽象，对部分学生来说难以理解和掌握。

代数中的方程、函数，几何中的投影、旋转等内容，对学生来说常常是难以想象和理解的。

2. 数学问题的实际应用缺乏在教学中，很多数学教材中的问题都是纯粹的数学问题，缺乏实际生活中的应用场景。

这使得学生难以理解数学的实际意义，导致了学习兴趣的下降。

3. 数学教学缺乏趣味性高中数学教学多以讲述和记忆为主，缺少趣味性和互动性，容易让学生失去学习兴趣，影响学习效果。

4. 学生学习数学的动力不足由于数学知识的抽象性、高考竞争的压力等原因，部分学生缺乏学习数学的积极性，导致了学习动力的不足。

二、解决策略1. 培养学生对数学知识的直观理解能力针对数学知识的抽象性，教师在教学中应该引导学生培养直观理解能力，通过图形、实际问题等方式来辅助学生理解抽象的数学概念。

教师可以通过实际场景来引入数学问题，使得学生在实际中感受数学的魅力，提高他们的学习兴趣。

在教学中，教师应该注重数学教学的趣味性和互动性，尝试将有趣的数学问题、挑战和游戏引入课堂，激发学生学习数学的兴趣。

教师可以设计一些小组讨论、互动答题等活动，增强学生的学习参与度。

针对学生学习数学的动力不足的问题，教师应该注重激发学生学习数学的动力。

可以通过激励机制、合理的学习目标、学生角色的转变等方式，激发学生学习数学的主动性和积极性。

5. 个性化教学针对不同学生的学习特点和能力水平的不同，教师应该进行个性化教学。

根据学生的特点和需求，设计差异化的教学内容和方式，使得学生能够更好地理解和掌握数学知识。

三、结语高中数学教学中存在的问题是多方面的，需要教师和学校多方面的努力去改善。

通过培养学生的直观理解能力、强化数学知识的实际应用、注重数学教学的趣味性和互动性、激发学生学习数学的动力以及个性化教学等策略，可以有效提高高中数学教学的质量，提高学生的学习积极性和成绩。

·160·1. 新课程的教学理念以往传统的教学模式主要是以教师讲授，学生听从为主，这极大程度地限制了学生的思维发展，很难实现学生的全面发展。

据新课程提出的教学标准，要以学生的全面发展为主，改变以往的教学方式，树立学生正确的人生价值观，使学生能够跟上时代发展的脚步，形成更好的数学思维。

该观念具有一定的科学性、参考性、先进性等意义价值。

因此，为了更好地推进新课程的改革，教师可以根据学生的心理需求积极创新高中数学的教学方案，使学生能够更加自主地投入到高中数学的教学中来，进而提高学生之间的合作交流、自主学习以及各项问题的分析能力，实现高中数学课堂教学效率的提高。

2. 新课标下高中数学有效教学对策2.1 结合生活实际，体现数学学科价值步入高中阶段后，学生的独立意识和对待学习的角度也逐渐变得多元化，他们渴望学到真正有利于社会生活的知识。

但是高中数学教材中的内容并没有给予其这种体会，但身为高中数学教师的我们应当了解新课程改革中所提将生活元素在课堂实践活动中融入的要求，以结合生活实际的教学策略让学生充分认识到高中数学知识是对现实的高度凝练与升华，从而使学生感受到课堂中体现的数学学科价值，增强学生的学习动力，促使学生有能力将数学知识应用于实践当中，达到优化高中数学课堂教学质量的目的。

比如，在指导学生学习《随机事件的概率》这一节为例，首先，我对学生说道：“随着数学经验的积累，相信概率问题与咱们实际生活之间的紧密联系已经被大家所熟知，而这节课，我们会进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

”然后，我通过实际生活中各种现象，引导学生用数学语言阐述了随机事件、必然事件、不可能事件的概念，这一过程中让学生充分感知到了数学知识与现实生活之间的紧密联系。

之后，我通过组织学生进行抛硬币的试验活动，从具体的实践中指导学生获取数据，令学生在探索中提高，帮助学生充分理解了用频率估计概率的数学思想方法。

最后，我做了课堂活动总结，组织学生之间互相交流了这节课的学习收获。

高中数学教学中存在的问题及解决策略一、现存问题1. 学生学习兴趣不高由于数学知识的抽象性和抽象性，很多学生对数学学习兴趣不高。

他们对数学缺乏积极的态度，只是为了应付考试而进行应试性学习。

2. 缺乏实际应用知识高中数学教学往往过于注重理论性知识的传授，缺乏实际应用的案例分析，导致学生对数学知识的实际运用能力薄弱。

3. 教学方法单一大多数数学老师仍然采用传统的讲授与训练的教学方法，忽视了学生的自主学习、合作学习和探究学习，导致学生缺乏主动性和创造性。

4. 课堂氛围单调数学课堂往往显得枯燥乏味，课堂氛围单调，缺乏互动，学生的注意力很难集中。

二、解决策略1. 提高学生的学习兴趣提高学生的学习兴趣是解决数学学习问题的关键。

教师可以通过设置趣味性的数学问题、讲解数学史故事、组织数学竞赛等形式来激发学生的学习兴趣。

还可以通过多媒体教学、互动式教学等方式使课堂变得更加生动有趣。

2. 加强数学知识的实际应用教师在数学教学中应当注重实际应用知识的传授，引导学生学会将所学的数学知识运用到实际生活中。

可以通过设计真实的应用案例，引导学生进行实际操作和分析，从而培养学生的问题解决能力和创新能力。

3. 多样化的教学方法教师在授课过程中应该灵活运用不同的教学方法，对学生的不同学习方式和学习特点进行充分的考虑。

可以采用讨论教学法、问题式教学法、案例教学法等，让学生在学习中主动思考和探索，激发学生的学习主动性和创造性。

4. 营造轻松愉快的课堂氛围教师在课堂教学中应该注重营造轻松愉快的课堂氛围，增强课堂互动，激发学生的学习热情。

可以通过设立小组合作学习、讨论辨析学习等方式，让学生在愉快的氛围中学习。

三、结语高中数学教学的改进需要教师的不断尝试和实践，需要学校和家长的全力支持，更需要学生的积极配合。

希望通过教师和学生的共同努力，能够改变现存问题，提高高中数学教学的质量，使学生在学习数学的过程中能够享受到快乐和成就。

高中数学“有效教学”的几点思考肖凌戆（广东省广州市黄埔区教育局教研室510700）（本文已发表在《中国数学教育》2007年第12期，13-15）在现行高中数学教学中，大搞“题海战术”，追求“熟能生巧”，“三年课程两年完，留下一年搞训练”，是不争的事实．“教得辛苦，学得痛苦”是高中数学教育的现状.“题海战术”盛行，说明课堂教学效率较低．要克服“题海战术”顽疾，就必须提高课堂教学效率．高中数学新课程教学内容不断增加,而教学课时却在减少.要解决新课程教学时间偏紧的问题，迫切需要提升实践中的数学教学效率．在新课程背景下，实施高中数学有效教学具有重要的现实意义．（未用）1．什么是“有效教学”有效教学是一种现代教学理念[1]．要理解“有效教学”，就必须回答“什么是教学”、“什么样的教学是有效的”．所谓“教学”，是指教师引起、维持或促进学生学习的所有行为，是师生互动交往的活动．从教学行为来看，它包括三个方面：一是激发学生的学习动机，教学是在学生“想学”的基础上展开的；二是指明学习目标与学习内容，即教师要让学生知道学到什么程度以及学什么，学生只有知道了自己学什么或学到什么程度，才会有意识地主动参与；三是采用易于学生接受与理解的教与学的方式．从教学过程来看，教学的本质是交往，交往就意味着教学过程就是平等对话、师生互动、合作交流的过程．也就是说，教学要以学生发展为本，课堂教学不能采用简单的灌输方法，把学生当作接受知识的容器，让学生被动接受知识．所谓“有效”，是指教学活动有成效，课堂教学能促进学生发展，能达成教学目标，保证较高的教学效率和教学效益．它包括两个基本要素：一是有效率，二是有效益．教学效率从过程上看，主要是指时间，我们要重视时间的充分利用．教学效率从结果上看，主要指学习效果，我们要追求教学的综合效果．美国著名教育心理学家布鲁姆指出：学习结果包括“成绩的水平、学习的速度和情感的结果”[2]．因此，综合效果应包括认知成绩、学习速度、情感发展等方面．教学效率包含时间和效果两个维度，若用确定的数学关系式表示的话，则有教学效率＝．教学效益是教学活动的效果和收益，体现教学的价值追求，是对教学结果与预期目标的吻合程度的评价．但教学效益难以量化，宜根据学生所获得的进步或发展，采用定性评价．经过一段时间的教学后，学生有无进步或发展是教学有没有效益的主要指标．基于以上认识，笔者认为：（本人认为）有效教学是指教师在以学生发展为本的教育思想指引下，通过选择有效的教学策略，达成预期的教学目标，追求较高的教学效率和效益的教学活动．2．高中数学“有效教学”的主要特征笔者认为：（删掉）“有效教学”是高中数学“有效教学”的上位概念，高中数学“有效教学”既要具有高中数学教学的特点，又要践行“有效教学”的理念．在高中新课程背景下，高中数学“有效教学”的主要特征是什么？通过文献分析与实践反思，笔者认为，（本人认为）有以下主要特征：2.1目的性——促进学生发展目的性，是指数学教学要有明确的教学目标．教学目标是实施有效教学的依据,教学目标有效，是高中数学有效教学的一个基本特征．促进学生发展是高中数学教学的基本目标．“数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界．”[3]学生的发展不仅仅限于认知方面的发展，而是学生全面和谐发展．在数学教学中，学生的全面和谐发展是学生的主体性发展和个性发展，是学生在数学知识、数学能力、情感态度和价值观上的全面提高与和谐发展．为了满足学生全面和谐发展的要求，新课程从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等三个方面提出教学目标（简称“三维目标”）．具体到一堂课的教学目标是否都按照“三维目标”来制定，值得商榷．章建跃认为课堂教学目标应当强调“准确”“具体”“有用”.[4]2.2有效性——追求“高效率、轻负担”有效性，是指通过教学能确保达成教学目标，保证课堂教学的效率和效益．有效性是高中数学有效教学的显著特征．有效教学是提高教学效率的活动．“教学效率从两个维度来认识．在学生的时间投入方面，指能够充分利用时间，全身心、积极、主动地参与数学学习．在数学教学结果方面，指多方面的学习效果——认知成绩、理性精神、效率意识、良好认知结构和数学学习能力．同样的学习结果，学生用时间较少，则教学效率高；同样的学习时间，学习效果好而且多样，则教学效率高．”[5]这里的要点有两个方面：一是时间的充分利用，有效教学要有时间意识．时间是最为珍贵的教育资源，对于学生来说，每个人的青春只有一次，如果我们的数学教学浪费了学生的时间，不能有效地指导学生学会学习，充分、高效地利用时间，那么将造成最大的浪费．二是综合效果，有效教学要有发展意识．“数学教育问题说到底是如何以数学育人的问题”，数学教育所追求的终极目标并不是单位时间内所获得的数学知识的多少，而是学生的和谐发展．因此，在数学教学中，既要强调珍惜时间，又要从学生发展的整体要求出发，追求数学教学的综合效果．有效教学是追求教学效益的活动．有效教学的核心问题是课堂教学效益问题，其实质是课堂教学质量．教学效益与教学效率紧密相关．从某种意义上讲，教学效率是对教学价值的量化评价，教学效益是对数学教学价值的综合评价；提高课堂教学效率讲究方式方法，追求课堂教学效益凸显人文关怀．数学有效教学要有质量意识．在数学教学中，我们要树立一种既掌握数学知识、形成数学能力，又促进学生成长的质量意识．教学质量的高低取决于学生参与学习活动的程度．在数学教学中，既要强调学生的思维参与，也要注重学生的情感参与；既要掌握基础知识、基本技能、基本方法，又要形成情感态度和价值观．数学教学效益在数学知识形成过程中动态生成，在学生可持续发展能力的培养中凸现．（3）有效教学是关注学生成长的活动．“高效率、轻负担”是有效教学追求的教学境界．数学有效教学要降低“心理成本”．“心理成本”是指在数学教学过程中师生认知活动的强度、情感投入的强度等．数学教学活动主要是师生的心理活动，学生成长也主要是一种心理成长．因此，数学教学中的这种“心理成本”直接决定着教学效率的高低．现行的“三年课程两年完，留下一年搞训练”的做法，大大增加了“心理成本”；从高一开始的，高密度的“月考”“模拟考”及没完没了的“解题训练”，是高中生数学课业负担加重的主要根源．这种在应试教育下形成的“拼时间、拼精力”的“题海战术”，是低效教学，必须彻底摒弃！数学教学要关注学生成长、促进学生发展．学生的发展是指个体在原有基础上的变化与提高，是个性发展，教学中要真正体现“不同人在数学上得到不同的发展”．2.3思想性——学会数学思考思想性，是指数学教学要重视数学思想方法的教学．数学是思维的科学,数学教学最重要的是要使学生学会数学地思维．因此，思想性是数学有效教学的重要特征．数学思想方法是一种“隐性知识”,是数学的灵魂．数学思想方法是对数学对象的本质认识，是对数学知识进一步提炼、概括而形成的．数学概念和数学方法都是外显的，而数学思想则是内隐的，蕴涵在数学概念和数学方法之中，数学概念、原理以及数学思想和数学方法共同组成了数学的知识体系．数学思想方法的教学要讲究教学策略．章建跃认为，有序性策略、过程性策略和变式策略是数学思想方法教学的常用策略[6].3.提高数学课堂教学有效性的具体策略3.1面向全体素质教育的核心任务是使每一个学生的身心都得到全面和谐的发展．这就要求数学教师要正视学生知识水平的差异性和认知能力的差异性，在教学中注重因材施教，使每个学生都得到适合自己的数学知识，提高数学能力．为此，教学中可采用“低起点、多层次、勤交流、常总结”的方法．（1）低起点．适当降低教学起点，课堂上尽量使绝大多数学生都能轻松的学习．为此教师要关注学生已有知识水平，关注学生思维的最近发展区．案例1．两点间的距离公式的建立教学时，设计如下问题可体现“低起点”要求．①在平面直角坐标系中，已知，如何求间的距离？②在平面直角坐标系中，已知，如何求的距离？③在平面直角坐标系中，已知，如何求的距离？（2）多层次．降低起点，降低难度，但不能降低要求．对于较难的数学问题，在设计教学过程时要注意由浅入深，对于较浅的典型问题要注意引申推广．（3）勤交流．数学学习是以学生为主体的交流过程，要引导学生积极参与数学知识的形成过程，倡导学生合作交流．（4）常总结．良好的总结能力有助于学生知识的掌握和思想方法的体验．因此，教师在每节课上都要引导学生小结，在每一个单元教学任务完成后也要组织学生进行总结．经常总结归纳，有利于完善学生的认知结构．3.2问题驱动“做数学”是学好数学的有效途径．数学学习要解决“问题”，课后练习是演练“问题”，数学考试是回答“问题”．因此，问题是贯穿数学教学活动的一条主线，是学生开展数学学习的驱动力之一．中国数学双基教学的经验表明，一个基本概念或基本技能的形成需要有一定程度的重复，重复经过变式得以发展[7] ．这里的变式也是用问题来驱动的，变式问题为数学学习提供了认知台阶．不断变化的问题，为学生提供了合适的变异空间，有助于多角度地理解概念的本质和建立实质性联系；循序渐进地解决一系列的变式问题，有利于形成比较系统的数学知识模块．因此，问题驱动是开展有效教学的一种重要策略．教学中如何运用问题驱动呢？笔者认为，可从设计有效“问题”入手，用问题导引学习．本文中的“问题”，即数学问题．数学问题指学生个体与已有认知产生矛盾冲突，还不能理解或者不能正确解答的数学结构．有效的“问题”，至少要具备下列特征之一．第一，目的性:问题要有意义，针对一定的教学目标，能反映当前学习内容的本质．第二，直观性:问题直观而符合学科特点，学生通过直观感知，能领悟数学本质．第三，适度性:问题的难易程度要适合学生的现有发展水平，“跳一跳，够得到”．第四，开放性:问题入手较易，开放性强，探究空间较大，有助于学生创新思维．第五，体验性:问题能提供数学学习的体验，有助于发展学生的问题意识和探究意识．案例2．余弦定理的发现与证明余弦定理的发现与证明是教学的一个重点和难点，学生已有知识主要包括正弦定理、平面向量的数量积、三角函数的定义及坐标法的初步知识等．下面是笔者设计：问题1．正弦定理给出了三角形边角的数量关系，正弦定理是怎样证明的？正弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？问题2．在三角形中已知两边及夹角，怎样求第三边？问题3．在中，角、、的对边分别记为，（Ⅰ）若，则（Ⅱ）若，则（Ⅲ）若，则问题4．一般地，在中，已知、和．怎样求？问题5．你发现了什么结论？你能用文字语言与符号语言表述你的发现吗？能给出证明吗？问题6．若已知三角形的三边，如何求它的三个角？问题7．在上述结论的证明方法中，何种证法更简洁？上述问题是有效的．问题1提供了“先行组织者”，为学生发现并证明余弦定理提供了研究方法的指导．问题2体现了目的性，问题3体现了直观性，问题4、问题5及问题6体现了开放性，问题7体现了体验性．问题2和问题3从学生现有发展水平提出问题，通过这些问题达到一种可能达到的新的发展水平，即潜在发展水平，再在此水平上提出问题4和问题5，引导学生达到另一个潜在发展水平，如此形成余弦定理的发现和证明的问题链，引领学生自主探究，获得新知，发展了学生的思维，加深了对数学的理解．前苏联心理学家维果茨基认为，学生有两种发展水平：一种是现有发展水平（已经达到的发展水平），表现为学生能够独立地、自主地完成教师提出的智力任务；另一种是潜在发展水平（可能达到的发展水平），表现为学生还不能独立地完成教师提出的智力任务，但是在教师的指导下，通过自己的努力才能完成的智力任务．在现有发展水平与潜在发展水平之间存在一个“最近发展区”，教学要在最近发展区提出问题，让学生经历适当的困难，体验探究的过程．3.3展示过程展示过程，是指数学教学要展示思维过程，注重提高学生的数学思维能力。

浅谈高中数学课堂教学的有效性的论文•相关推荐浅谈高中数学课堂教学的有效性的论文（精选7篇）在学习和工作中，大家总免不了要接触或使用论文吧，论文是对某些学术问题进行研究的手段。

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浅谈高中数学课堂教学的有效性的论文篇1摘要：寻求教学效率，提高教学质量是每个中学教师教学活动中的根本目标，有效教学是解决这一问题的重要途径，而让学生有兴趣是课堂有效性的前提，有收获是课堂有效性的体现。

关键词：有效性教学目标有效教学互动兴趣效率老师的抱怨：“这类问题明明已经讲过许多遍，还是很多人不懂，更谈不上运用。

略加条件改变，就束手无策，真让人难以理解。

”学生的抱怨:“老师讲的时候听得明白，上课也认真做了笔记，但到自己做题时还是不会正确分析，找不到突破口，该怎么办？”常规的课堂教学在目前的教学中存在严重的效率不高的问题。

因此对于在一线教学的我们来说，如何改变课堂教学激情不高、课堂教学气氛不浓的局面，是我们在平时的教学中应该思考并在实践的层面上必须解决的问题。

而首先要解决的是：向课堂教学要效益、要成效。

现代教学论认为，教学就是教师有效地组织学生学习的学习活动。

所谓“有效教学”是指在有限时间和空间内，采取恰当的教学方式，激发学生学习的积极性、主动性，让学生参与学习过程，获取较大容量的有效知识，同时，充分培养和锻炼学生的创新精神和实践能力，形成良好的情感、正确的态度和价值观，从而促进学生全面发展的教学。

因此，在教学活动中，教师必须关注课堂，采用各种方式和手段，用有限的时间、最小的精力投入，取得尽可能大的教学效果，努力构建有效的课堂教学。

本文结合自己的教学实践谈谈如何提高课堂教学的有效性。

一、确立有效的教学目标一堂课、一道题到底能教给学生一些什么东西，什么才是这堂课、这道题的真正重心所在。

比如在教学中，我们看到学生的运算能力很差，其原因就在于学生以前和平时的练习较少。

新高考模式下高中数学有效教学分析摘要：在新高考模式下需要在教学中结合高考内容及重点进行教学，分析高考的考点所在，并以此开展高中数学的教学，锻炼学生的数学思维，提高学生的数学高考能力，所以本文对新高考模式下高中数学有效教学进行了分析，仅供参考。

关键词：高中数学：数学知识：理解能力引言：在新高考模式下开展高考教学，就需要有针对性，首先需要分析高考的重点内容，知道高考考试的主要内容及相关知识点，应结合新高考模式进行教学，这样才能够起到好的高中数学教学效果。

一、新高考模式下高中数学中存在的主要问题在高中阶段开展数学教学，学生和老师的目标都是以提高高考的成绩为主，因此将重点放在了应对高考上，在这种教学模式下，导致了老师与学生通过机械性的学习，来增加了他们对数学知识的理解能力。

会向他们布置一定量的数学题当其完成，从而起到巩固知识的效果，但在这种教学也实现，无形中就会给学生增加了很大的学习压力。

对学生的身心健康也起到负面的影响，更无法让学生体会学习带给他们的快乐。

学生长期处于紧张的学习状态，学生还没有成年，长期在这种学习状态下会加重自己的心理负担，降低学习效果。

在教学过程当中，很少有老师会站在学生的角度思考如何开展教学。

因此也降低了高中数学课堂教学的有效性，针对这样的问题就需要做出教学改革。

二、新高考模式下高中数学有效教学方法（一）转变教学观念高中数学老师要转变传统的教学思想，在教学过程当中要体现数学教育立德树人的教育目标，这样可以有助于学生形成理性思维，在学习的过程当中帮助学生建立科学精神和科学研究态度，促进学生的智力可以得到全面的发展。

通过采用符合学生成长及学习规律的教学方法来引导学生进行学习。

注重教学引导，而非适应教学，在教学过程当中要实现服务选材而非服务教学。

在数学教学过程当中要注重数学本质，从而实现突出理性思维教学的重要性。

采用科学合理的方法来检查学生对数学知识的掌握程度以及数学的关键能力和学科素养。

多元表征理论下高中数学概念教学的研究李广丹(江苏省句容市实验高级中学ꎬ江苏句容２１２４００)摘㊀要:很多高中学生在学习数学概念时会遇到困难ꎬ比如对某些数学概念无法理解ꎬ或者可能不知道如何将数学概念应用于实际情况.针对此现象ꎬ本文将对多元表征理论下的数学概念教学与传统教学进行对比研究ꎬ基于和实际教学相结合的案例ꎬ找出合理的教学策略和方法ꎬ从而提升学生的学习效率.关键词:多元表征ꎻ高中数学ꎻ概念教学ꎻ方法与策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０９－００４３－０３收稿日期:２０２３－１２－２５作者简介:李广丹(１９８２.２ )ꎬ女ꎬ江苏省句容人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀多元表征理论(ＭｕｌｔｉｐｌｅＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅｓＴｈｅｏｒｙ)最早是由美国心理学家霍华德 加德纳(ＨｏｗａｒｄＧａｒｄｎｅｒ)于２０世纪８０年代提出的一种关于智力的理论.但是这里所要讲的多元表征理论是与高中数学概念相结合ꎬ指对一个数学概念从使用文字表征㊁操作表征㊁图像(图形)表征㊁符号表征几种表征方式来进行描述ꎬ避免单一描述所带来的误解ꎬ最大限度地使学生从多个角度理解这些概念ꎬ并能利用这些数学概念解释身边的一些问题[１].数学概念则是指数学中的基本概念㊁定义和定理等ꎬ是数学理论的基础和核心.数学概念包括数论㊁代数㊁几何㊁拓扑㊁微积分等各个领域中的基本概念.在数论中ꎬ常见的概念有自然数㊁整数㊁有理数㊁无理数㊁实数㊁复数等.在代数中ꎬ常见的概念有向量㊁矩阵㊁线性方程组㊁函数㊁多项式等.在几何中ꎬ常见的概念有点㊁线㊁面㊁角㊁距离㊁相似㊁全等等.为了系统地研究多元表征理论下的高中数学概念教学ꎬ我们先要弄明白这种教学模式与传统模式的区别.１多元表征理论下高中数学概念教学与传统教学的区别㊀㊀传统的数学教学通常采用了较为抽象和理论化的方式教授数学概念ꎬ这种教学方式可能会让学生难以理解和掌握数学概念.传统的教学方法之所以会跟不上时代的步伐ꎬ就因为其只涉及了对概念进行文字和符号的描述ꎬ而新的概念教学模式即多元表征理论概念教学则会用到文字表征㊁操作表征㊁图像(图形)表征㊁符号表征等多种表征方式ꎬ可最大限度地减少学习障碍㊁提高学习效率.多元表征可以分为内在和外在表征.外在表征是指数学学习对象的代替ꎬ根据数学学习客体的不同形式ꎬ可以归类为言语㊁图像等.而内在表征是外在表征在人脑中的内化ꎬ指数学学习客体在人脑中呈现的不同心理表征ꎬ例如命题㊁图式等.并且在此基础上对数学外在表征分为叙事性和描绘性表征ꎬ叙事性表征与被表征的概念没有直接或相似性联系ꎬ只能通过想象性联系ꎬ而描绘性表征则是与被表征概念有着强相关性联系.同时我们也可以把多元表征分为言语化表征和视觉化表征两种ꎬ这也是我们常用的分类方式ꎬ具体应用如下.以 函数单调性 这一节课来举例ꎬ就可以根据具体情况把相应的数学概念通过言语化表征和视觉化表征两种方式表达ꎬ其中语言化表征包括文字表征和符号表征ꎬ而视觉性表征则包括解析表征ꎬ图像３４表征和列表表征.通过这种方法ꎬ学生可以更直观地了解函数单调性相关的概念ꎬ并且能够与对应的知识加以比较并快速应用的问题的解答中ꎬ还能够增加课程的趣味性.２多元表征理论数学概念教学的方法２.１文字表征文字表征是指通过自然语言来表达数学概念和运算过程的方法.例如ꎬ在几何中ꎬ我们可以使用自然语言来描述图形的特征和性质ꎬ如直角三角形的定义: 一个三角形的一个角是直角ꎬ则称这个三角形为直角三角形 .２.２符号表征符号表征是指通过符号化语言来表达数学概念和运算过程的方法.例如ꎬ在代数中ꎬ我们可以使用加号㊁减号㊁乘号㊁除号等符号来表示加㊁减㊁乘㊁除等运算ꎻ在微积分中ꎬ我们可以使用和等符号来表示微分㊁积分等运算.２.３解析式表征解析式表征是指用代数式或方程式来表达数学概念.例如ꎬ二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ就是一个解析式表征ꎬ通过这个式子可以得到二次函数的图象㊁顶点坐标等信息.２.４图像表征图像表征是指用图象或图形来表达数学概念.例如ꎬ正弦函数的图象就是一个典型的图象表征ꎬ它可以通过函数ｙ＝ｓｉｎ(ｘ)来绘制.这个图象可以让学生更加直观地理解正弦函数的周期㊁振幅㊁相位等概念.另外一个例子是平面直角坐标系中的图形ꎬ例如圆形㊁椭圆形㊁抛物线等ꎬ它们的图象可以帮助学生更加直观地理解它们的性质和特征.２.５列表表征列表表征是指用数据表格或列表来表达数学概念.例如ꎬ正比例函数ｙ＝ｋｘ可以用一个数据表格来表示ꎬ表格中列出ｘ和ｙ的对应关系ꎬ可以让学生更加直观地看出ｙ随ｘ增大的趋势和规律.而实际上我们想要讲好一个数学概念ꎬ只通过一个表征方法是不够的ꎬ往往是通过多种表征方法相结合的方式进行教学的.下面我们以 圆的概念 教学这一节课为例进行讲解.定义:圆是平面上所有距离圆心相等的点的集合. (１)文字表征:圆是一个平面上的几何图形ꎬ由所有到圆心距离相等的点组成.圆通常用 圆 这个词来描述ꎬ圆心是圆的中心点ꎬ半径是从圆心到圆周上任意一点的距离.(２)符号表征:用符号Ｏ表示圆心ꎬ用ｒ表示圆的半径ꎬ用Ｏ(０ꎬｒ)表示圆.(３)解析式表征:方程可以转化为方程ꎬ如为圆上点到圆心的直线与ｘ轴的夹角.图１㊀图像表征(４)图像表征:图像如图１所示(５)列表表征:列表如表１所示表１㊀列表表征ｘ ３.９２３.７１３.３８３２.６２２.２９ｙ ５.３８５.７１５.９２６５.９２５.７１３多元表征理论数学概念教学的策略教学策略是教学模式和课堂教学的纽带ꎬ为了更好地实践多元表征理论在高中数学概念教学中的应用ꎬ笔者提出以下策略ꎬ希望能对课堂授课予以帮助.３.１引入多元表征情景在数学教学中ꎬ引入数学概念的环节通常被称为创设情境引入新知.学生对新知的初始印象很重要ꎬ因为它会影响他们之后对知识的理解程度.因此ꎬ教师在引入数学概念时需要创设多元情境ꎬ即根据日常生活的应用情境设置具有启发性的问题ꎬ或者根据学生现有知识尚无法解决的现象来引入新概念.在创设多元情境时ꎬ教师可以利用不同类型的表征ꎬ如叙述性表征和描绘性表征ꎬ来创设实物模型情境㊁启发性问题情境或进一步研究的需要等多种引入情境.这样可以培养学生分析问题的能力和 ４４逻辑思维能力ꎬ并有效地引出课程学习的数学概念.通过多元表征方式ꎬ可以将抽象的数学概念合理地表现为具体的形式ꎬ学生能够更好地理解和掌握所学概念.例如ꎬ 正弦函数概念的引入 教师可以利用多媒体这种新式方法让同学们了解正弦函数的起源ꎬ让学生动手改变系数和参数的操作情境和利用 在解决求在圆内ꎬ随着圆上点的变动ꎬ其坐标与对应的过圆心的直线与ｘ轴相交形成的圆心角的关系 的问题情境有效引入正弦的概念.３.２把握概念的本质在数学教学中ꎬ要促进学生对概念的形成ꎬ教师需要抓住接近概念本质的表征形式ꎬ这对应教学活动程序中的多元表征活动探究这一环节.数学概念有多种表征方式ꎬ包括实物模型㊁图像图形的形象表征ꎬ以及数学符号㊁语言文字的符号表征等.在概念形成的过程中ꎬ学生需要充分掌握事物的本质属性ꎬ才能形成事物的概念.因此ꎬ在概念教学的初始阶段ꎬ应让学生了解最接近数学概念本质的表征形式ꎬ这样可以保证正确理解数学概念㊁提高解决数学问题的准确性以及熟练应用其他表征形式的能力.例如ꎬ在数列概念的教学过程中ꎬ教师应让学生明确数列概念的语言文字表征形式ꎬ并抓住概念定义中的关键词ꎬ然后再拓展其他表征形式ꎬ以加强学生对数列概念的理解.例如ꎬ在数列概念的教学中ꎬ关键词是 按一定顺序 ꎬ这种有序性是对数列本质的最直接反映.因此ꎬ教师可以通过设计一些正反例来帮助学生深入理解数列概念的关键词和本质属性ꎬ从而更好地掌握这一概念[２].３.３形成标准化在数学教学中ꎬ为了促进学生对概念的精确理解ꎬ教师需要规范学生形成标准化多元表征ꎬ这对应教学活动程序中的规范概念深化理解这一环节.学生构建自己的概念表征后ꎬ往往存在一定的偏差和错误的概念意向.因此ꎬ教师应该帮助学生规范表征ꎬ建立不同表征之间的联系ꎬ使学生获得正确的表征.例如ꎬ在数列概念的教学过程中ꎬ教师可以组织学生用其他方式表示给定的一组数列ꎬ师生一起讨论其他学生用列表㊁图形等表示这组数列的方法是否正确ꎬ有没有清晰刻画出数列序号和项之间的对应关系.通过这样的规范化多元表征的教学活动ꎬ可以帮助学生更准确地理解数学概念ꎬ提高数学学习效果.３.４加强概念间的联系在数学教学中ꎬ为了帮助学生正确理解数学概念ꎬ教师需要加强概念间的多元联系ꎬ这对应教学活动程序中的总结梳理形成图式这一环节.数学概念不是孤立的存在ꎬ而是被纳入学习者构建的数学概念体系中.在解决高中数学问题时ꎬ学生需要恰当地建立概念之间的联系ꎬ才能正确解决问题.具体做法是:在学习了一节或一章内容后ꎬ教师可以引导学生及时总结本章的重要概念和数学思维方法ꎬ梳理以往的学过的旧概念ꎬ并分析㊁比较其中与新概念有联系易混淆的概念ꎬ阐明它们的联系与区别.这有助于学生把握新概念ꎬ区分新旧概念ꎬ将新概念纳入学生的数学概念体系ꎬ从而使概念更具组织性㊁系统性.例如ꎬ在学习等比数列的概念后ꎬ教师可以引导学生对比等差数列与等比数列概念的联系与区别进行梳理总结ꎬ这样不仅能够加深学生对等差数列的概念的理解ꎬ还有助于学生清晰理解等比数列的概念.通过加强概念间的多元联系ꎬ可以帮助学生更好地掌握数学知识ꎬ提高数学学习效果.㊀４结束语本文从多元表征理论的角度出发ꎬ探讨了高中数学概念教学中的相关问题ꎬ并提出了相应的解决策略.希望各位老师在今后的数学教学中ꎬ能够更加注重多元表征理论的应用ꎬ为学生提供更加优质的数学教育.参考文献:[１]易雪琴.多元表征理论下的高中函数概念教学研究[Ｄ].南昌:东华理工大学ꎬ２０２２. [２]潘青.数学多元表征理论下的 角的认识 单元概念教学设计[Ｊ].试题与研究ꎬ２０２２(１６):１０６－１０７.[责任编辑:李㊀璟]５４。

高三数学复习课应把握好的三个基本维度作者：徐小琴肖涵膑来源：《数学教学通讯·高中版》2024年第02期［摘要］知識的“广度”“深度”“厚度”是高三复习课应把握好的三个基本维度，也是对数学知识的高度概括、凝练与深化．高三复习课对已学知识查漏补缺，也为知识“再现”“再认识”“再创造”提供良好的保障，是知识内化、升华的重要阶段．文章以一堂“函数的对称性”的复习课为例，从知识“广度”的延伸、知识“深度”的挖掘、知识“厚度”的积淀进行研究，并倡导数学复习课应把握好“广度”“深度”“厚度”三个维度．［关键词］高三复习；函数对称性；广度；深度；厚度背景复习是高三数学教学的主旋律，它通过对已有知识的回顾，实现对高中数学知识的重建构、再完善，进而实现学生学习能力和核心素养的再提升［1］．高三复习课应注重对知识“广度”的延伸、对知识“深度”的挖掘、对知识“厚度”的积淀．三个维度的学习是全方位的学习，不仅对知识横纵的迁移有广度要求，对知识难易的深化也有深度要求，对知识积淀有厚度要求．对称性是函数重要的性质之一，函数问题的重要解题策略就是从性质出发，这样能简化形式复杂的函数问题．然而，在实际教学中，大部分高中生在“知识层面、表征形式和认知意识”上对函数对称性的理解存有偏差，在数学活动上也未能较好地提升函数应用技能和数学学科核心素养. 基于此，探讨教师“慧教”，促进学生“妙学”，对突破教学的重点和难点有积极意义．本文以一堂名师复习研讨课为例，从“广度”“深度”“厚度”三个维度对函数对称性的复习进行深入分析．教学过程简录1. 轴对称推证问题1 求证：y=f（x）的图象关于直线x=a对称？圳ｆ（ｘ）＝ｆ（2ａ－ｘ）．师：如何证明这个等价命题呢？请同学们先独立尝试完成证明，稍后我们再一起来研究．（学生独立尝试自主探究2分钟，但较少学生能呈现完整的证明过程.）师：刚刚看到很少有同学能完整证明上述命题，鉴于此，现在我们共同来研究这个等价命题的证明．要证明命题等价，即要分别证明命题的“充分性”和“必要性”．（学生跟随教师的思路解题，但整体反应与互动并不强烈，学生的参与度较低.）师：用a+x替换x，得到f（a+x）=f（a－x），这也能表示函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称（简图如图1所示）．评此对称性推证的过程，教师共用时13分钟，约占整堂课时长的三分之一，这是大多数中学数学教师采用的讲授方式．但是，理解此证明方法的学生或许不过半，一周后让学生再推证，能推证的学生可能屈指可数．究其原因是大多数教师过分注重对推证过程的演示，没有揭示推证方法的本质，忽略了对推证方法的引导．倘若教师在推证过程中，先引导学生去揭示推证方法的本质，这样会在一定程度上提升学生对“本质”的认知．抓住方法的本质，是推证命题充分性和必要性的关键．这需要教师对知识的“深度”进行挖掘．在深度教学中，教师必须超越具体知识和技能深入到思维层面，由具体的方法和策略过渡到一般性思维策略的教学与思维品质的提升，还应帮助学生学会学习，真正成为学习的主人［2］．深度教学还要求教师帮助学生深度联结经验与知识，引导学生深度体验学习过程，让学生在情境脉络中更好地理解知识，深度运用知识．2. 轴对称的应用例1 （2018年高考全国卷Ⅱ理科数学第11题）已知f（x）是定义域为（－∞，+∞）的奇函数，满足f（1－x）=f（1+x）．若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．－50 B． 0C． 2？摇？摇？摇？摇 D． 50师：接下来，我们一起感受巧用“对称性”的求解策略．大家来看看例1，根据题意，由函数f（x）是定义域（－∞，+∞）内的奇函数，我们能得到什么？生1：f（－x）=－f（x），f（0）=0．师：由已知条件f（1－x）=f（1+x）又能想到什么呢？生2：用x+1替换x，能得到等式f（－x）=f（x+2）=－f（x）．师：从f（－x）=f（x+2）=－f（x）可得到函数f（x）的周期是多少？生3：周期T=4，结合奇函数的性质，可以算出f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0．生4：再由函数的周期性，可以算出f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=0．师：大家回答得都很好，进而可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=f（49）+f（50）=f （1）+f（2）=2，选C．评此题要运算的项数不少，想快速解题并得到准确的答案，需要教师引导学生回顾与思考“函数的重要性质”——对称性和周期性，这是解决该题的突破口．在教学中，教师的引导可提升学生的元认知水平．此题突破后不难计算，但值得深思的是，教师仅仅是“为了讲题而讲题”吗？答案肯定是否定的．与学生探究完此题之后，教师应引导学生用恒等关联式进行总结，如f（mk+1）+f （mk+2）+…+f（mk+n）=0？摇（m∈R+，k∈Z，n∈N*），还要培养学生的应用意识和数学素养，引导学生在“做中学”中领悟恒等关联式的含义，即m表示函数的周期，k表示函数周期的倍数，n表示周期函数的循环节数．这个恒等关联式不仅可以运用于此题的解决，还可以运用于关于周期数的求和问题的解决．这就是知识“厚度”的积淀．例2 （2017年高考全国卷Ⅲ理科数学第11题）已知函数f（x）=x2－2x+a（ex-1+e-x+1）有唯一零点，则a=（）师：有了刚才例1的思路，继续看看这道题怎么解决，有没有同学找到了策略技巧？（沉默无声，无人发言，学生一直望着讲台.）师：可以先对二次项进行配方，得到f（x）=（x－1）2－1+a（ex-1+e-x+1），配方后发现，这与函数的对称性有关. 通过观察配方得到f（1+x）=x2－1+a（ex+e-x），f（1－x）=x2－1+a（e-x+ex），所以f（1+x）=f（1－x）. 现在大家能从对称性得到什么？师：对的，看来有些同学能通过例1的求解经验和我所给的提示发现巧用“对称性”就可以解决此题．但目前有些同学还不太熟悉“巧解”，因此“一题多解”也是一种有效的方法，现在我给大家提供另外两种解题方法：方法1，通过求导，判断函数的极值点进行解答，这需要同学们熟悉复合函数的求导方法；方法2，把函数有零点转化为方程有解，通过换元得到关于a的表达式（令为新函数），判断为偶函数，利用偶函数的性质以及数形结合求出答案．评巧用对称性可快速求解此题，当然，在实际应用中不可能所有学生都是熟知巧算的，因此教师在讲授时要“以生为本”，“一题多解”的“广度”延伸在复习课中应该大力践行．不同求解策略适应不同水平的学生，这样拓展求解策略的“广度”，能让不同水平的学生得到不同的发展．例3 若方程f（x+3）·f（1－x）=0有五个不相等的实数根，则这五根之和为（）A． 10 B． 5C．－10？摇？摇？摇？摇 D．－5师：同学们渐渐熟悉“对称性”这个性质了，我们再来看最后一道关于轴对称的题. 大家能不能尝试自行求解这道题？（学生纷纷说出自己的解题思路）师：看来大家现在对“函数的对称性”有了更深层次的认知了，解题的速效和正确率都提高了．研究完轴对称，接下来我们研究中心对称的相关知识．评此题除了选用学生提出的解题思路外，教师还可以根据实际情况，适当补充假设法、反證法等求解方法——假设法和反证法也是中学数学常用的求解方法，不同方法的拓展也是对知识“广度”的延伸．3. 中心对称定理的推证问题2 求证：y=f（x）的图象关于（a，0）中心对称？圳f（x）+f（2a－x）=0？圳f（a －x）+f（a+x）=0．师：此命题的推证由同学们课后完成，思考后还是无思路的同学，可以相互讨论或与我探讨交流．评从轴对称到中心对称，这是知识“广度”的延伸，拓展学生数学思维的同时，为学生的后续学习打下了基础．学生的数学学科核心素养是在教师的启发和引导下，通过独立思考或者与他人交流，最终自己“悟”出来的. 因此，在教学活动中，把握数学内容的本质、精心设计合适的教学方案就非常重要［3］．4. 中心对称定理的应用师：大家初看这道题，是不是感觉和刚才的关于轴对称的题差不多，大家先动笔算一算，看看有什么新的发现.（学生动手演算）师：对了，回答得很好.大家思考一下：轴对称的“对称性”与中心对称的“对称性”的区别在哪里？联系又在哪里？生7：轴对称的本质是关于直线对称，而中心对称的本质是关于点对称．评此题是关于中心对称的问题，与轴对称有紧密的联系，但在知识上又各有差异．将知识的共同点巧妙地串联起来，能激发学生的数学思维．在教学过程中，举一反三的教学方法值得借鉴和学习，教师应利用循序渐进的教学原则，引导学生加深对“知识模板”的理解，对已有知识进行“深度”研究．师：在知道中心对称定理的基础上，请大家看看这道题，能不能完成此题的解答？生8：理解题意后，我找到了解题的突破口是f（－x）=－f（x+4）这个关系式. 由它可得f（x）的图象关于点（2，0）中心对称．师：对，分析得很正确．接下来应该怎么考虑呢？师：整个解题思路很清晰，也是正确的．解决此题的关键是将关系式f（－x）=－f（x+4）转化为f（2－x）=－f（x+2），进而得出函数f（x）关于点（2，0）中心对称．评求解此题同样是对中心对称定理的应用，在前面解题经验的基础上，学生能较好地完成此题的求解．解题思路环环相扣，让看似枯燥的数学变得灵活生动．对于此题的拓展，教师应协助学生紧扣函数的对称性，共同探究等式的转化，使学生明白巧妙转化等式，得出函数的对称性是解决此类问题的关键所在．在旧问题上拓展新问题，积淀知识的“厚度”．例6 若函数f（x）=（x2－2x）sin（x－1）+x+1在［－1，3］上的最大值为M，最小值为m，则M+m=_______．师：课堂最后给大家留一道思考题，下节课我请同学们来分享自己的解题策略．给大家一点提示，联系今天我们所学的知识内容，大家在做题前应该先熟悉一下函数的重要性质．评此题作为课堂最后的思考题，具有一定的积极意义．解决此题需要学生回顾目前所学的知识内容，熟悉函数性质、导数求导法则和极值问题. 此题综合性较强，考查学生较高的基本技能与数学素养，将“广度”“深度”与“厚度”三者有机结合起来，为培养学生的数学学科核心素养提供了良好的保障．数学学科核心素养以数学基础知识和基本技能为载体，培养学生数学综合能力（外显表现），引导学生形成数学思维与数学态度（内隐特质）［4］．高三复习课应把握好的三个维度1. 把握知识的“广度”，融会贯通从研究轴对称到中心对称，师生在课堂活动中展现出了一定的示范作用，教师的教学环节完整、知识覆盖面广，将函数“轴对称”“中心对称”的推证和应用紧密地联系在一起，拓展数学教学的“广度”，该“广度”覆盖教材例题、模拟测试题和高考真题．（沉默无声，无人发言，学生一直望着讲台.）师：可以先对二次项进行配方，得到f（x）=（x－1）2－1+a（ex-1+e-x+1），配方后发现，这与函数的对称性有关. 通过观察配方得到f（1+x）=x2－1+a（ex+e-x），f（1－x）=x2－1+a（e-x+ex），所以f（1+x）=f（1－x）. 现在大家能从对称性得到什么？师：对的，看来有些同学能通过例1的求解经验和我所给的提示发现巧用“对称性”就可以解决此题．但目前有些同学还不太熟悉“巧解”，因此“一题多解”也是一种有效的方法，现在我给大家提供另外两种解题方法：方法1，通过求导，判断函数的极值点进行解答，这需要同学们熟悉复合函数的求导方法；方法2，把函数有零点转化为方程有解，通过换元得到关于a的表达式（令为新函数），判断为偶函数，利用偶函数的性质以及数形结合求出答案．评巧用对称性可快速求解此题，当然，在实际应用中不可能所有学生都是熟知巧算的，因此教师在讲授时要“以生为本”，“一题多解”的“广度”延伸在复习课中应该大力践行．不同求解策略适应不同水平的学生，这样拓展求解策略的“广度”，能让不同水平的学生得到不同的发展．例3 若方程f（x+3）·f（1－x）=0有五个不相等的实数根，则这五根之和为（）A． 10 B． 5C．－10？摇？摇？摇？摇 D．－5师：同学们渐渐熟悉“对称性”这个性质了，我们再来看最后一道关于轴对称的题. 大家能不能尝试自行求解这道题？（学生纷纷说出自己的解题思路）师：看来大家现在对“函数的对称性”有了更深层次的认知了，解题的速效和正确率都提高了．研究完轴对称，接下来我们研究中心对称的相关知识．评此题除了选用学生提出的解题思路外，教师还可以根据实际情况，适当补充假设法、反证法等求解方法——假设法和反证法也是中学数学常用的求解方法，不同方法的拓展也是对知识“广度”的延伸．3. 中心对称定理的推证问题2 求证：y=f（x）的图象关于（a，0）中心对称？圳f（x）+f（2a－x）=0？圳f（a －x）+f（a+x）=0．师：此命题的推证由同学们课后完成，思考后还是无思路的同学，可以相互讨论或与我探讨交流．评从轴对称到中心对称，这是知识“广度”的延伸，拓展学生数学思维的同时，为学生的后续学习打下了基础．学生的数学学科核心素养是在教师的启发和引导下，通过独立思考或者与他人交流，最终自己“悟”出来的. 因此，在教学活动中，把握数学内容的本质、精心设计合适的教学方案就非常重要［3］．4. 中心对称定理的应用师：大家初看这道题，是不是感觉和刚才的关于轴对称的题差不多，大家先动笔算一算，看看有什么新的发现.（学生动手演算）师：对了，回答得很好.大家思考一下：轴对称的“对称性”与中心对称的“对称性”的区别在哪里？联系又在哪里？生7：轴对称的本质是关于直线对称，而中心对称的本质是关于點对称．评此题是关于中心对称的问题，与轴对称有紧密的联系，但在知识上又各有差异．将知识的共同点巧妙地串联起来，能激发学生的数学思维．在教学过程中，举一反三的教学方法值得借鉴和学习，教师应利用循序渐进的教学原则，引导学生加深对“知识模板”的理解，对已有知识进行“深度”研究．师：在知道中心对称定理的基础上，请大家看看这道题，能不能完成此题的解答？生8：理解题意后，我找到了解题的突破口是f（－x）=－f（x+4）这个关系式. 由它可得f（x）的图象关于点（2，0）中心对称．师：对，分析得很正确．接下来应该怎么考虑呢？师：整个解题思路很清晰，也是正确的．解决此题的关键是将关系式f（－x）=－f（x+4）转化为f（2－x）=－f（x+2），进而得出函数f（x）关于点（2，0）中心对称．评求解此题同样是对中心对称定理的应用，在前面解题经验的基础上，学生能较好地完成此题的求解．解题思路环环相扣，让看似枯燥的数学变得灵活生动．对于此题的拓展，教师应协助学生紧扣函数的对称性，共同探究等式的转化，使学生明白巧妙转化等式，得出函数的对称性是解决此类问题的关键所在．在旧问题上拓展新问题，积淀知识的“厚度”．例6 若函数f（x）=（x2－2x）sin（x－1）+x+1在［－1，3］上的最大值为M，最小值为m，则M+m=_______．师：课堂最后给大家留一道思考题，下节课我请同学们来分享自己的解题策略．给大家一点提示，联系今天我们所学的知识内容，大家在做题前应该先熟悉一下函数的重要性质．评此题作为课堂最后的思考题，具有一定的积极意义．解决此题需要学生回顾目前所学的知识内容，熟悉函数性质、导数求导法则和极值问题. 此题综合性较强，考查学生较高的基本技能与数学素养，将“广度”“深度”与“厚度”三者有机结合起来，为培养学生的数学学科核心素养提供了良好的保障．数学学科核心素养以数学基础知识和基本技能为载体，培养学生数学综合能力（外显表现），引导学生形成数学思维与数学态度（内隐特质）［4］．高三复习课应把握好的三个维度1. 把握知识的“广度”，融会贯通从研究轴对称到中心对称，师生在课堂活动中展现出了一定的示范作用，教师的教学环节完整、知识覆盖面广，将函数“轴对称”“中心对称”的推证和应用紧密地联系在一起，拓展数学教学的“广度”，该“广度”覆盖教材例题、模拟测试题和高考真题．。

基于数学多元表征下的高中数学问题解决马㊀建(广东省中山市中山纪念中学ꎬ广东中山５２８４５４)摘㊀要:本文基于数学多元表征下的主要三元表征数学图形表征㊁数学符号表征㊁数学文字表征来解决难度较高的不等式整数解题目ꎬ提供两大类别㊁五种解题方法ꎬ一题多解ꎬ拓宽学生的解题思路ꎬ提高学生的数学解题能力ꎬ并借助数学文字表征下的情景创新实例ꎬ总结此类问题的解决办法.关键词:数形结合ꎻ文字表征ꎻ图形表征ꎻ符号表征ꎻ分离参数中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)１２－００３０－０５收稿日期:２０２４－０１－２５作者简介:马建(１９８１ )ꎬ男ꎬ江苏省南通人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事数学教学研究.基金项目:广东省教育科学规划２０２２年度中小学教师教育科研能力提升计划项目一般课题 基于数学表征的高中生运算素养培养实践研究 (课题编号:２０２２ＹＱＪＫ５５４).㊀㊀本文以高三复习中出现的一道较难的考题作为例题ꎬ深入研究展示基于数学多元表征下的主要三元表征:数学图形表征㊁数学符号表征㊁数学文字表征.同时用五大方法进行了分离函数和分离参数ꎬ充分体现数学解题中数形结合的重要思想ꎬ达到数形完美统一ꎬ学生思维得到了迁移ꎬ数学思维和转化的能力得到提高.１数学多元表征在数学教育领域中ꎬ虽然人们经常谈到数学多元表征ꎬ却并没有统一的概念界定ꎬ但基本含义一致.归纳相关研究ꎬ本研究认为数学多元表征ꎬ是指将同一个数学学习对象用叙述性(言语化表征)和描绘性(视觉化表征)两种本质不同的多种形式表征.这包括两层含义:其一ꎬ在数学学习中ꎬ数学学习对象的表征至少出现叙述性表征和描绘性表征两种本质不同的表征ꎻ其二ꎬ在数学学习中ꎬ数学学习对象的表征至少含有叙述性表征或描绘性表征的两种或两种以上的表征形式[１].常见的数学多元表征有数学图形表征㊁数学符号表征㊁数学文字表征㊁数学表格表征等形式.２数学图形表征㊁符号表征㊁算法表征２.１选题概况例１㊀若不等式ａｌｎｘｘ３＋３ｘ>２恰好有两个整数解ꎬ则实数ａ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.０ꎬ４ｌｎ２æèç]㊀㊀㊀㊀Ｂ.４ｌｎ２ꎬ４０ｌｎ２æèç]Ｃ.４ｌｎ２ꎬ２７ｌｎ３æèç]Ｄ.２７ｌｎ３ꎬ４０ｌｎ２æèç](题目来源:广东省中山市中山纪念中学２０２３届高三年级上学期１１月模拟考试)表１㊀例１成绩表(数据来源于智学网阅卷系统)班级平均分得分率最高分最低分高三年级１３班３.３６６％５０物理班３.４６６９.２２％５０年级３.３１６６.１６％５０㊀㊀试题分析:批阅完试卷后ꎬ阅卷系统统计出考试数据(如表１)ꎬ发现本题的得分率比较低ꎬ有将近三分之一的同学作答错误.本题主要考查利用导数研究函数ꎬ判断不等式的整数解ꎬ在数学的图形表征和符号表征下考查学生的分析问题㊁解决问题的能力ꎬ属于较难题.２.２第一大类四种解决办法(数学图形表征的运用ꎬ不同形式的数形结合)解法一㊀分离出典型函数ｙ＝ｌｎｘｘ３ꎬ数形结合设Ｆ(ｘ)＝ｌｎｘｘ３ꎬｇ(ｘ)＝２－３ｘꎬ则原不等式可化为:ａＦ(ｘ)>ｇ(ｘ)接下来研究一下Ｆ(ｘ)㊁ｇ(ｘ)的图象和性质:Ｆᶄ(ｘ)＝１ｘ ｘ３－３ｘ２ ｌｎｘｘ６＝１－３ｌｎｘｘ４ꎬＦᶄ(３ｅ)＝０在(０ꎬ３ｅ)上ꎬＦᶄ(ｘ)>０ꎬＦ(ｘ)单调递增ꎻ在(３ｅꎬ＋ɕ)上ꎬＦᶄ(ｘ)<０ꎬＦ(ｘ)单调递减ꎻ所以ꎬＦ(ｘ)在ｘ＝３ｅ时取得最大值ꎬｘң０时ꎬＦ(ｘ)ң－ɕꎻｘң＋ɕ时ꎬＦ(ｘ)ң０.Ｆ(ｘ)㊁ｇ(ｘ)的图象如图１:图１㊀解法一(ａ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２㊀解法一(ｂ)由图象易知:当ａɤ０时ꎬ显然不符合题意(含有无数个整数解)ꎬ所以ꎬ考虑ａ>０的情况:不等式ａＦ(ｘ)>ｇ(ｘ)恰好有两个整数解ꎬ显然ｘ＝１ꎬ已经符合题意ꎬ且是第一个整数解ꎬ所以ꎬｘ＝２是第二个整数解ꎬｘ＝２之后的整数都不能符合题意ꎬ如图２ꎬ即:ａＦ(２)>ｇ(２)ａＦ(３)ɤｇ(３){⇒ａｌｎ２８>１２ａｌｎ３２７ɤ１ꎬìîíïïïï解得:４ｌｎ２<ａɤ２７ｌｎ３ꎬ答案选Ｃ.解法二㊀分离出典型函数ｙ＝ｌｎｘｘ２ꎬ数形结合设Ｆ(ｘ)＝ｌｎｘｘ２ꎬｇ(ｘ)＝２ｘ－３ꎬ则原不等式可化为:ａＦ(ｘ)>ｇ(ｘ).接下来研究一下Ｆ(ｘ)㊁ｇ(ｘ)的图象和性质:Ｆᶄ(ｘ)＝１ｘ ｘ２－２ｘ ｌｎｘｘ４＝１－２ｌｎｘｘ３ꎬＦᶄ(ｅ)＝０ꎬ在(０ꎬｅ)上ꎬＦᶄ(ｘ)>０ꎬＦ(ｘ)单调递增ꎻ在(ｅꎬ＋ɕ)上ꎬＦᶄ(ｘ)<０ꎬＦ(ｘ)单调递减ꎻ所以ꎬＦ(ｘ)在ｘ＝ｅ时取得最大值ꎬｘң０时ꎬＦ(ｘ)ң－ɕꎻｘң＋ɕ时ꎬＦ(ｘ)ң０.Ｆ(ｘ)㊁ｇ(ｘ)的图象如图３:图３㊀解法二(ａ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀图４㊀解法二(ｂ)由图象易知:当ａɤ０时ꎬ显然不符合题意(含有无数个整数解)ꎬ所以ꎬ考虑ａ>０的情况:不等式ａＦ(ｘ)>ｇ(ｘ)恰好有两个整数解ꎬ显然ｘ＝１ꎬ已经符合题意ꎬ且是第一个整数解ꎬ所以ꎬｘ＝２是第二个整数解ꎬｘ＝２之后的整数都不能符合题意ꎬ如图４即:ａＦ(２)>ｇ(２)ａＦ(３)ɤｇ(３){⇒ａｌｎ２４>１ａｌｎ３９ɤ３ìîíïïïïꎬ解得:４ｌｎ２<ａɤ２７ｌｎ３ꎬ答案选Ｃ.解法三㊀分离出典型函数ｙ＝ｌｎｘｘꎬ数形结合设Ｆ(ｘ)＝ｌｎｘｘꎬｇ(ｘ)＝２ｘ２－３ｘꎬ则原不等式可化为:ａＦ(ｘ)>ｇ(ｘ).接下来研究一下Ｆ(ｘ)㊁ｇ(ｘ)的图象和性质:Ｆᶄ(ｘ)＝１ｘ ｘ－ｌｎｘｘ２＝１－ｌｎｘｘ２ꎬＦᶄ(ｅ)＝０ꎬ在(０ꎬｅ)上ꎬＦᶄ(ｘ)>０ꎬＦ(ｘ)单调递增ꎻ在(ｅꎬ＋ɕ)上ꎬＦᶄ(ｘ)<０ꎬＦ(ｘ)单调递减ꎻ所以ꎬＦ(ｘ)在ｘ＝ｅ时取得最大值ꎬｘң０时ꎬＦ(ｘ)ң－ɕꎻｘң＋ɕ时ꎬＦ(ｘ)ң０.Ｆ(ｘ)㊁ｇ(ｘ)的图象如图５:图５㊀解法三(ａ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀图６㊀解法三(ｂ)由图象易知:当ａɤ０时ꎬ显然不符合题意(含有无数个整数解)ꎬ所以ꎬ考虑ａ>０的情况:不等式ａＦ(ｘ)>ｇ(ｘ)恰好有两个整数解ꎬ显然ｘ＝１ꎬ已经符合题意ꎬ且是第一个整数解ꎬ所以ꎬｘ＝２是第二个整数解ꎬｘ＝２之后的整数都不能符合题意ꎬ如图６.即:ａＦ(２)>ｇ(２)ａＦ(３)ɤｇ(３){⇒ａｌｎ２２>２ａｌｎ３３ɤ９ìîíïïïïꎬ解得:４ｌｎ２<ａɤ２７ｌｎ３ꎬ答案选Ｃ.解法四㊀分离出基本函数ｙ＝ｌｎｘꎬ数形结合设Ｆ(ｘ)＝ｌｎｘꎬｇ(ｘ)＝２ｘ３－３ｘ２ꎬ则原不等式可化为:ａＦ(ｘ)>ｇ(ｘ).接下来研究一下Ｆ(ｘ)㊁ｇ(ｘ)的图象和性质:Ｆᶄ(ｘ)＝１ｘꎬ在(０ꎬ＋ɕ)上ꎬＦᶄ(ｘ)>０ꎬＦ(ｘ)单调递增ꎻｇᶄ(ｘ)＝６ｘ(ｘ－１)ꎬ在(０ꎬ１)上ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬｇ(ｘ)单调递减ꎬ在(１ꎬ＋ɕ)上ꎬｇᶄ(ｘ)>０ꎬｇ(ｘ)单调递增ꎬ当ｘ＝１时ｇ(ｘ)取得最小值－１.Ｆ(ｘ)㊁ｇ(ｘ)的图象如图７:由图象易知:当ａɤ０时ꎬ显然不符合题意(只有一个整数解)(如图８)ꎬ所以ꎬ考虑ａ>０的情况:不等式ａＦ(ｘ)>ｇ(ｘ)恰好有两个整数解ꎬ显然ｘ＝１ꎬ已经符合题意ꎬ且是第一个整数解ꎬ所以ꎬｘ＝２图７㊀解法四(ａ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀图８㊀解法四(ｂ)是第二个整数解ꎬｘ＝２之后的整数都不能符合题意ꎬ如图９.图９㊀解法四(ｃ)即:ａＦ(２)>ｇ(２)ａＦ(３)ɤｇ(３){⇒ａｌｎ２>４ａｌｎ３ɤ２７{ꎬ解得:４ｌｎ２<ａɤ２７ｌｎ３ꎬ答案选Ｃ.这个问题的处理主要运用了数形结合思想方法.数形结合思想ꎬ主要指的是数与形之间的一一对应关系ꎬ是数学符号表征和图形表征相结合的具体体现.数形结合是将数学的抽象语言㊁数量关系和直观图形㊁位置关系结合在一起ꎬ通过抽象思维与形象思维的结合ꎬ让复杂问题简单化㊁抽象问题具体化ꎬ从而实现优化解题途径的目的[２].所以ꎬ以形助数㊁以数辅形的数形结合思想ꎬ可以让问题更直观地呈现ꎬ加深学生对知识的理解和应用ꎬ把复杂的代数问题赋予灵活的变通形式.在解答数学问题时ꎬ数形结合可以快速分析题中数量之间的关系ꎬ启迪了思维ꎬ拓宽了思路ꎬ能让学生迅速找到解决问题的方法ꎬ从而提高分析问题与解决问题的能力和思维迁移能力.２.３第二大类解决办法(数学图形符号表征的运用ꎬ分离参数构造函数)解法五㊀分离参数ꎬ构造函数原不等式ａｌｎｘｘ３＋３ｘ>２ꎬｘ>０可化为:ａｌｎｘ>２ｘ３－３ｘ２.因为题目中不等式ａｌｎｘｘ３＋３ｘ>２恰好有两个整数解ꎬ而ｘɪ(０ꎬ＋ɕ)ꎬ所以ꎬｘɪ(０ꎬ１)不存在整数解ꎬ当ｘ＝１时得３>２显然成立ꎬ符合题意ꎬ所以第一个整数解为ｘ＝１ꎬ第二个整数解在(１ꎬ＋ɕ)中产生.当ｘ>１时ꎬｌｎｘ>０ꎬ所以ꎬ原不等式可化为ａ>２ｘ３－３ｘ２ｌｎｘꎬ设Ｆ(ｘ)＝２ｘ３－３ｘ２ｌｎｘꎬｘ>１ꎬ则:Ｆᶄ(ｘ)＝６ｘ(ｘ－１)ｌｎｘ－(２ｘ２－３ｘ)(ｌｎｘ)２＝６ｘ(ｘ－１)[ｌｎｘ－２ｘ－３６(ｘ－１)](ｌｎｘ)２ꎬ记ｇ(ｘ)＝ｌｎｘ－２ｘ－３６(ｘ－１)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝１ｘ－１６(ｘ－１)２＝(３ｘ－２)(２ｘ－３)６ｘ(ｘ－１)２ꎬｇᶄ(３２)＝０ꎬ在(１ꎬ３２)上ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬｇ(ｘ)单调递减ꎬ在(３２ꎬ＋ɕ)上ꎬｇᶄ(ｘ)>０ꎬｇ(ｘ)单调递增ꎬ当ｘ＝３２时ｇ(ｘ)取得最小值ꎬｇ(ｘ)ȡｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｇ(３２)＝ｌｎ３２>０.所以ꎬＦᶄ(ｘ)>０在(１ꎬ＋ɕ)上恒成立ꎬＦ(ｘ)在(１ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎬｘң１时ꎬＦ(ｘ)ң－ɕꎻｘ＝３２时ꎬＦ(ｘ)＝０ꎻｘ＝２时ꎬＦ(ｘ)＝４ｌｎ２ꎻｘ＝３时ꎬＦ(ｘ)＝２７ｌｎ３.因为第二个整数解在(１ꎬ＋ɕ)中产生ꎬ所以ꎬ这个整数解只能是ｘ＝２ꎬ所以４ｌｎ２<ａɤ２７ｌｎ３ꎬ答案选Ｃ.这个问题的处理主要是运用了分离参数的方法.分离参数法:即将最值㊁值域㊁取值范围㊁恒成立和存在性等问题的参数与未知量分离于表达式的两端ꎬ整理成类似ｋ＝ｆ(ｘ)或ｋ<ｆ(ｘ)的形式ꎬ再转化为求函数ｙ＝ｆ(ｘ)的最大值或最小值问题来处理的方法.通过分离参数ꎬ用函数观点讨论主变量的变化情况ꎬ由此可以确定参数的变化范围ꎬ于是问题顺利解决[３].３数学文字表征例２㊀古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过: 美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式. 在中华传统文化里ꎬ建筑㊁器物㊁书法㊁诗歌㊁对联㊁绘画几乎无不讲究对称之美ꎬ如清代诗人黄柏权的«茶壶回文诗»(如图１０)以连环诗的形式展现ꎬ２０个字绕着茶壶成一圆环ꎬ不论顺着读还是逆着读ꎬ皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系ꎬ如２０２０年０２月０２日２０２００２０２()被称为世界完全对称日(公历纪年日期中数字左右完全对称的日期).数学上把２０２００２０２这样的对称数叫回文数ꎬ两位数的回文数共有９个(１１ꎬ２２ꎬ ꎬ９９)ꎬ则共有多少个这样的三位回文数(㊀㊀).图１０㊀例２题图Ａ.６４㊀㊀㊀Ｂ.７２㊀㊀㊀Ｃ.８０㊀㊀㊀Ｄ.９０题目分析㊀本题给出的题目内容特别多ꎬ有２３０个字左右ꎬ是数学文化知识和数学排列组合相结合的一道例题ꎬ学生拿到这题时第一感觉就是估计这道题是一道难题ꎬ光文字解释就是这么多.这就需要同学们冷静面对ꎬ把对解题有利的信息要加以筛选ꎬ重新用数学的文字表征来重塑这道题:把数字左右完全对称(例如:２０２００２０２)的对称数叫回文数ꎬ两位数的回文数共有９个(１１ꎬ２２ꎬ ꎬ９９)ꎬ则共有多少个这样的三位回文数?这样学生就能够明白:本题主要考查分类加法计数原理的应用.解题的关键信息:三位回文数首尾要相同.解析㊀由题意ꎬ三位数的回文数以１为开头和结尾的有１０个(中间为０~９这１０个数字)ꎻ此外有以２ꎬ３ꎬ ꎬ９分别开头和结尾的也都各有１０个(中间为０~９这１０个数字)ꎻ由分类加法计数原理:综上共有１０＋８ˑ１０＝９０个ꎬ故答案选Ｄ.在作这样的题目的时候ꎬ就要把外在文字表征转换成内在的数学表征ꎬ清晰地用数学的知识做题.例３㊀埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家ꎬ他最出名的工作是计算了地球(大圆)的周长.如图１１ꎬ在赛伊尼ꎬ夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向(这是从日光直射进该处一井内而得到证明的).同时在亚历山大城(该处与赛伊尼几乎在同一子午线上)ꎬ其天顶方向与太阳光线的夹角测得为７.２ʎ.因太阳距离地球很远ꎬ故可把太阳光线看成是平行的.埃拉托斯特尼从商队那里知道两个城市间的实际距离大概是５０００斯塔蒂亚ꎬ按埃及的长度算ꎬ１斯塔蒂亚等于１５７.５米ꎬ则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为(㊀㊀).Ａ.３８６８０千米㊀㊀㊀Ｂ.３９３７５千米Ｃ.４１２００千米Ｄ.４２１９２千米图１１㊀例３题图题目分析㊀本题选自２０２２年的高三数学训练题.对于地理学得比较好的同学来说ꎬ理解这道题是没有问题的ꎬ但是对于地理不太好的学生来说ꎬ看到了地球的各种线ꎬ脑子里面就会乱成一团麻ꎬ再加上各种复杂的人名和地名ꎬ简直没法做.阅读题目后ꎬ需要从繁杂的题设中抽取有用信息ꎬ再进行加工:由平行光线的作用ꎬ得到圆心角也为７.２ʎꎬ在地球的大圆上ꎬ两个城市之间的距离实际为大圆上的一段弧长ꎬ接下来ꎬ求地球的周长几乎就用不到高中的数学知识ꎬ利用比例关系就可以直接求出地球的周长了.实则考查比例的性质㊁圆的周长公式ꎬ主要考查学生的运算能力ꎬ属于基础题.解析㊀由题意知ꎬ太阳光线互为平行线ꎬ则亚历山大城㊁赛伊尼与地球中心所成角和天顶方向与太阳光线的夹角为同位角ꎬ则亚历山大城㊁赛伊尼与地球中心所成角为７.２ʎꎬ且亚历山大城㊁赛伊尼间距离为５０００ˑ１５７.５＝７８７５００(米)＝７８７.５千米ꎬ即亚历山大城㊁赛伊尼与地球中心所成角的７.２ʎ角所对的地球的大圆的弧长为７８７.５千米.所以根据比例关系ꎬ地球周长为７８７.５７.２ʎˑ３６０ʎ＝３９３７５(千米)ꎬ故答案选Ｂ.近年来ꎬ文字阅读型情境创新题在高考试卷中频频出现ꎬ这类根据材料提供的信息现场快速阅读㊁理解和运用的新题型ꎬ知识背景较为宽广ꎬ知识跨度大ꎬ包含的信息也较多ꎬ它综合考查了考生的阅读理解㊁数据处理㊁分析推理㊁文字概括和书面表达及知识迁移等诸多方面的能力.这就要求学生要有良好的阅读习惯ꎬ从阅读中发现信息ꎬ找到有用信息后进行归纳㊁抽象㊁概括并大胆地猜测㊁假设构建数学模型[４].４结束语本文主要基于数学图形和符号表征ꎬ解决高三月考试卷中一道有难度的不等式整数解问题的题目ꎬ用了数形结合与分离参数这两大类别的五种方法解决了问题ꎬ体现出数学学习的通性通法ꎬ也帮助学生拓广了解题思路ꎬ提高学生的数学运算和解题能力.对于学生害怕的文字型情景创新题ꎬ要对它进行抛繁去杂ꎬ留下枝叶ꎬ转化为课堂所学的知识和问题ꎬ再解决问题.参考文献:[１]唐剑岚.数学多元表征学习及教学[Ｍ].南京:南京师大出版社ꎬ２００９.[２]吴有昌ꎬ郑锦松.数形结合思想[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１８(２２):１１２－１１５.[３]王琳茹.分离参数法在解决与函数有关问题中的应用[Ｊ].科教导刊ꎬ２０１９(３３):２０２. [４]晏华东.高中数学 文字题 难得分原因分析及对策[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(１５):３６－３７ꎬ８６.[责任编辑:李㊀璟]。

新高考背景下开展高中数学有效教学的实践研究杨㊀卫(江苏省沭阳高级中学㊀２２３６００)摘㊀要:面对新时期教育所面临的各种挑战和发展机遇ꎬ高考随之也迎来了新的改变ꎬ大部分地区为了适应新高考进行了有针对性的调整和转变ꎬ从而更好地适应如今教育体制的改革.在高中阶段ꎬ数学作为一门重要的基础性课程ꎬ面对新高考政策的变化ꎬ教师应该摒弃传统教学当中的不足ꎬ紧跟新时代的步伐ꎬ本文笔者结合教学实际ꎬ探索了新高考模式下的高中数学有效教学.关键词:新高考ꎻ高中数学ꎻ有效教学中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)３６－００４４－０３收稿日期:２０２２－０９－２５作者简介:杨卫(１９８９.１０－)ꎬ男ꎬ江苏省沭阳人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀随着社会和时代的发展ꎬ人们对于教学质量的要求也逐渐提高ꎬ非常重视学生综合能力的培养ꎬ高中阶段对于学生的成长而言是一个非常重要且关键的时期.新高考下教学策略地全面转变ꎬ高中数学教学也进行了一定的变革和发展.为了更好地寻找适合学生学习的教学方式ꎬ在高中数学的教学过程中ꎬ教师要积极地研究传统教学的一些不足之处ꎬ并根据这些不足进行改进和发展.在为高中学生进行教学中ꎬ教师需要不断对新政策进行研究ꎬ依据学生的变化来调整教师的教学方法ꎬ只有这样才能够让学生的学习更加符合实际教学需要ꎬ帮助学生更好的去适应社会发展.因此本文根据教学实际探索了基于新高考下的高中数学教学策略ꎬ希望能对数学教育工作者有所启示.１当前高中数学教学存在的问题１.１教师教学模式单一数学本身的学科特点就是带有一定复杂性和抽象性ꎬ尤其是高中阶段数学学科ꎬ需要学生掌握的数学知识变得更加复杂ꎬ更加困难.如果教师没有使用恰当的教学策略ꎬ很容易让学生对数学产生厌烦情绪ꎬ有时会使学生失去学习的自信心.在传统的教学模式下ꎬ教师一味地迎合应试教育的要求ꎬ让学生在题海战术的学习模式下进行数学知识的学习ꎬ不仅会让学生的内心产生巨大的心理负担ꎬ也没有办法让学生体会到数学这门学科所带来的乐趣.因此随着新高考制度的推行ꎬ不管是对于学生的学习ꎬ还是对于教师所开展的教学活动ꎬ都是一个新的契机ꎬ我们的最终目标是使学生能够在繁重的学业压力下轻松的学习.１.２课堂练习容量大高中数学的练习题比较大ꎬ且存在着许多偏离新课程标准的比较难的题目.考虑到数学作为基础学科来说ꎬ涉及到大量的练习量ꎬ而习题量很大造成部分学生有一定的畏难心里.高中数学练习存在着内容宽泛㊁数量多且具有一定难度的情况ꎬ占据很大一部分课余时间.高中数学的练习题设计方面ꎬ主要存在着单一化的重复性题目较多ꎬ且大部分题目偏离学生实际以及教学大纲ꎬ应用范围较为狭窄ꎬ背４４离新课标的要求ꎬ会造成浪费学生的学习时间.另外ꎬ单一化的练习形式ꎬ并不能使学生完整掌握各类题型.在应试教育的影响下ꎬ高中学生往往有很大的升学压力.在实际的教学实践中ꎬ部分练习设计过分重视数量而忽视质量ꎬ存在着严重的同质性㊁单一化的问题ꎬ并没有重视如何提升学生的数学实际应用ꎬ很多练习题目设计缺乏必要的规范性ꎬ也会造成学生的学习负担进一步加重ꎬ导致数学练习题完成效率偏低.１.３知识点讲解不够深入高中所开展的数学课程是帮助学生促进自身思维能力和运用能力的关键课程ꎬ但是如今所开设的数学学科当中ꎬ很多教师在进行教学活动的时候ꎬ并没有对其中的学习内容进行深入的挖掘ꎬ也没有重点进行强化训练ꎬ学生在课堂上的参与度较低ꎬ导致整节课堂依旧是以教师作为主体.２新高考模式下高中数学教学的有效策略２.１加强基础知识教学ꎬ帮助学生巩固和理解只有帮助学生建立稳固的基础ꎬ才能够促使学生去学习接下来的数学知识ꎻ只有学生掌握好牢固的基础知识ꎬ才能够更有信心地去面对接下来更为困难的数学学习ꎬ并进行创新.在给学生进行教学活动时ꎬ教师应该重视学生基础知识的学习和掌握ꎬ使学生能够在面对不同数学问题的时候ꎬ灵活地运用所学习到的知识ꎬ这样才能更好地激发学生对数学这门学科的喜爱和热情.为了实现这一点ꎬ首先ꎬ教师可以在每节课上课的时候ꎬ为学生留出一定的时间来巩固基础知识ꎬ由于教材当中很多概念都是由文字来呈现给学生的ꎬ因此学生在这部分的学习过程中很容易出现囫囵吞枣ꎬ只记住一个大概的意思ꎬ教师应该针对这种情况帮助学生巩固基础的概念和公式.其次ꎬ教材中有非常多的课后习题ꎬ大部分课后习题都是依据这节课的内容来进行设计的ꎬ这就需要教师能够重视起这部分练习题来让学生进行训练ꎬ使其对于知识进行巩固和理解.２.２运用合作探究ꎬ突出学生在课堂上的主体地位立足于新高考教学理念当中的高中数学教学ꎬ教师应该努力的改变传统的学习方式.传统教学中往往是通过教师讲授ꎬ学生被动听讲ꎬ或者教师一味地给学生分析知识内容ꎬ让学生来进行笔记的记录ꎬ但是这种学习方式会压制学生的思维能力.在新的教育理念下ꎬ教师应该摒弃传统教学的不足之处ꎬ积极运用探究式合作学习模式ꎬ教师和学生一起进行合作学习ꎬ将课堂的主导权归还给学生ꎬ并引导学生在与教师㊁同伴的合作过程当中发挥自身的智慧ꎬ促进团体的凝聚力ꎬ使每一位学生都能够在学习的过程当中达到教师提出的目标要求.在学习数学知识的同时ꎬ还能够更好地培养学生的责任心㊁合作意识以及道德素养ꎬ让学生能够在合作探究的过程中获得自尊和自信ꎬ从而提升高中课堂教学的效率ꎬ真正实现教师主导性和学生主体性的统一.２.３运用信息化教学ꎬ拓展数学课程资源通过互联网平台可以整合多种信息化教学资源ꎬ对于高中阶段的数学课程教学发展具有重要作用.一般情况下ꎬ数学教师展示课程内容的方式主要以示范讲解为主ꎬ对于数学教学内容的拓展引入和展示还缺乏较好的运用.而在信息化的数学课程教学模式中ꎬ教师可通过互联网途径引入多种数学课程知识ꎬ还可通过多种影音资料展示以及通过线上课程教学途径等ꎬ使学生在当前的数学课程学习中ꎬ可以从多个角度进行深度㊁拓展性学习.因此ꎬ在信息化教学的发展背景下ꎬ教师应重视该种教学方法㊁教学技术手段的应用ꎬ对教学观念进行全面创新.在信息化教学模式中ꎬ教师可通过整合互联网教学资源的方式ꎬ将数学课程的内容进一步拓展和优化.互联网背景主张教学资源之间的整合㊁传播与高效化应用ꎬ满足当前素质教育与全人教育的发展需求.教师在后续的数学课程内容制定与资源拓展中ꎬ应重视信息化教学资源开发与教学模式的有效创设ꎬ使学生可以在当前的信息化数学课程中得到较好的综合素养的培育.例如ꎬ在几何部分的内容教学中ꎬ教师可结合互联网资源引入拓展性几何题型ꎬ或者引入近几年高考高频考查的几何题型ꎬ使学生从数学课程的拓展性题型资源中ꎬ深入当前的数学课程学习.另外ꎬ教５４师在引入拓展性数学课程资源的过程中ꎬ还应在教学模式上进行相应的创新ꎬ使学生从不同的数学课程项目和实践活动中ꎬ锻炼自身的数学解题能力以及拓展自身的数学学科知识视野.２.４运用情境教学ꎬ提高学生整体学习效率在传统教学的开展过程中ꎬ如果仅仅是通过教师在课堂上利用一些基本的教具来进行演示和提高学生对于知识的学习ꎬ那么这种方式很难让每一位学生都能够清晰明了地去理解这个数学知识ꎬ降低教学的效果.新时代高中数学教师为学生开展的课堂教学ꎬ教师应该重视起学生手脑并用ꎬ为学生设计一些可以进行实际操作的教学场景ꎬ运用多元化的教学活动来将教学和活动内容相结合ꎬ使学生在一个真实的情境当中运用数学知识ꎬ从而感受数学知识的乐趣ꎬ提高学习的效率.高中数学练习设计还应结合实际来进行情境创设ꎬ符合学生的生活实际的数学题目能更好激发学生的学习兴趣ꎬ并能积极联系学生已经具备的知识体系内容ꎬ更好地通过教学将知识融入到情境过程中ꎬ体现出生活中的数学的重要性ꎬ帮助学生感悟到数学的魅力ꎬ并全面激发学生学习的积极性.比如ꎬ在进行 立体几何 的教学实践中ꎬ教师可以选择生活中的几何实物图ꎬ这样可帮助学生更快地掌握所涉及到的几何知识ꎬ从点线面三位一体到柱锥台球等知识ꎬ实现学生整体的数学学习效率的提升.２.５增加数学练习的趣味性ꎬ鼓励学生自主探究在新课标理念下ꎬ结合高中数学的特点ꎬ落实相应的知识能力㊁情感态度以及价值观的三维目标的统一ꎬ能更好地发挥出高中数学练习设计的目标ꎬ改变传统模式下不重视情感态度价值观的情况.在实际的数学练习环节ꎬ应重视加强情感表达的内容ꎬ发挥出数学练习的作用ꎬ更好地促进师生交流和沟通ꎬ并能进一步重视开展高质量的数学练习的多样化发展ꎬ实现学生的数学学习积极性全面提升.在实际教学实践中ꎬ应落实题目符合实际ꎬ情况多样化的题型ꎬ贴近学生的生活ꎬ并能融入相应的趣味性的内容ꎬ重视实现思维方式和思维结果的融合发展ꎬ更好地帮助学生来进行教学情境的创设ꎬ鼓励他们勇于探索数学学习的魅力.在实际教学实践中ꎬ高中数学练习设计应发挥答案多元化㊁一题多解等方面的作用ꎬ尽可能鼓励学生进行自主探究ꎬ为学生提供独立思维的锻炼ꎬ鼓励学生有效实现良好的自我发现㊁自主学习㊁自主探究ꎬ鼓励并更好地激发学生的思考ꎬ不断提升学生的交流和沟通能力.在培养数学思维的实践中ꎬ可以选择特定范围的题目ꎬ鼓励学生从自身出发来量身定做部分题目ꎬ重视培养学生发现问题并解决问题的能力ꎬ提升学生的综合实践能力ꎬ通过必要的交流及汇报工作ꎬ大大增强了学生的数学实践应用能力.在新高考背景下ꎬ高考数学不再出现文理的分卷ꎬ而是以统一的标准来进行考试ꎬ这对于传统教学来说是一个较大的冲击.作为高中数学老师ꎬ要能积极地将新高考的政策贯穿到学生的日常学习当中ꎬ注重学生综合能力的培养.随着新的教学理念的深入推进ꎬ在高中的数学课堂上ꎬ教师应该积极地运用恰当的教学模式来培养学生的综合能力ꎬ提高学生的学习水平ꎬ为未来的学习和发展奠定竖实的基础.参考文献:[１]张林.新高考背景下高中数学课堂如何培养学生的核心素养[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１ꎬ５０５(１２):４２－４３.[２]谭桂香.高考内容改革背景下的高中数学教学策略探究[Ｊ].考试周刊ꎬ２０２１(０６):７６－７７.[３]张起洋.新高考模式下高中数学的有效课堂教学方法研究[Ｊ].学苑教育ꎬ２０２１(１１):４５－４６.[４]吴春强.新高考背景下的高中数学课堂有效教学[Ｊ].数学大世界(上旬版)ꎬ２０２１ꎬ４５２(０４):６１.[５]李英刚.培养学生核心素养ꎬ构建高中数学高效课堂[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０２１ꎬ７４８(０３):７１－７２.[６]张园萍ꎬ孙亮萍.高中数学课堂教学发展学生数学核心素养的研究[Ｊ].学周刊ꎬ２０２１ꎬ４６５(０９):２１－２２.[责任编辑:李㊀璟]６４。

高中数学教学中存在的问题及解决策略在高中数学教学过程中，存在着一些问题。

这些问题影响了教学效果，并影响了学生对数学学科的兴趣和理解。

以下是一些高中数学教学中存在的问题及相应的解决策略，以帮助教师更好地教授数学。

问题一：教学内容过于抽象高中数学是一门非常抽象的学科。

很多时候，教师可能会忽略学生的基础知识，直接向学生介绍高级数学概念。

这时，学生可能会感到困惑和无助，从而对学科失去兴趣。

解决策略：教师应该采用具体实例，用实际情境来说明抽象的数学概念。

教师可以使用故事、物理学或经济学方面的例子来解释抽象数学概念，使学生更好地理解和掌握数学知识。

问题二：缺乏实际应用很多学生可能不能理解数学知识与现实生活的关联性。

因此，在教学过程中，需要向学生展示数学的实际应用。

解决策略：教师应该利用实际情境，说明数学的现实应用。

航空、地球科学、工程学、金融业、医学、能源等领域，都需要使用数学知识。

教师应该通过各种途径，大力宣传这些应用，以激发学生的兴趣，使学生更好地理解数学的实际应用。

问题三：缺乏练习很多学生理解数学概念时，需要练习和重复多次。

然而，在教学过程中，有些教师可能注重理论知识，而忽略了练习的重要性。

这可能导致学生缺乏练习，无法掌握基本数学技能。

解决策略：教师应该给学生足够的练习。

教师可以通过作业、考试、小组活动等方式，让学生不断地重复练习，以帮助他们巩固数学技能。

问题四：缺乏互动方式很多时候，老师只是在课堂上讲述知识，并要求学生跟随他们的思路学习。

这可能使学生感到枯燥无味，并不愿意参与到课堂中来。

解决策略：教师应该通过互动方式，来吸引学生的参与。

可以通过小组讨论、案例研究、问题解决和其他活动来激发学生的兴趣和参与度。

这样不仅可以使课堂更加生动有趣，而且还可以提高学生的学习效果。

问题五：缺乏反馈机制教学过程中，学生可能不明白自己的不足之处，也不知道如何改进。

缺乏反馈机制，可能使学生对数学失去信心，无法提高学习效果。

高中数学教学中的板书与展示技巧在高中数学教学中，板书与展示技巧是非常重要的一环。

良好的板书和展示可以提高学生的学习兴趣，促进知识的传授和理解。

本文将介绍一些在高中数学教学中常用的板书与展示技巧，并探讨它们的优点和应用。

一、板书的准备与设计1.清晰易读的字体：在制作板书时，教师应该选择清晰易读的字体，比如宋体或黑体。

字体大小要适中，既能在教室前排的学生看清楚，又不显得太过浓密。

2.结构合理的布局：板书的布局应该结构合理、清晰易懂。

可以采用分栏布局，将不同的内容分别安排在不同的栏目中，这样可以使学生更好地理解课程的结构与内容。

3.图表与图像的运用：在数学教学中，使用适当的图表和图像可以帮助学生更好地理解抽象的数学知识。

比如，在讲解平面几何时，可以使用图形来说明定理的思路和证明过程。

4.重点与关键内容的突出：在板书中，教师应该突出重点和关键的内容，让学生能够一眼看清楚。

可以使用颜色、粗体或下划线等方式来突出关键信息。

二、展示技巧的运用1.教具的使用：在数学教学中，教具是非常重要的辅助工具。

教师可以使用尺子、直角尺、地球仪等教具，让学生更直观地理解数学概念和相关知识。

2.多媒体技术的应用：随着科技的发展，多媒体技术在教育中的应用越来越广泛。

教师可以使用投影仪、电子白板等设备，播放相关的视频、动画等，使学生更好地理解和记忆数学知识。

3.问题解决的案例分享：在数学教学中，教师可以分享一些问题的解决案例，让学生通过实际例子来理解和应用数学原理。

这种案例的分享可以激发学生的思维，培养他们的问题解决能力。

4.学生互动的活动设计：为了增加课堂的趣味性和互动性，教师可以设计一些学生参与的活动。

比如，可以让学生分组进行小组讨论，或者设计一些数学游戏等。

这样能够让学生更积极主动地参与到课堂中来，提高学习效果。

三、板书与展示技巧的优点与应用1.提高学习兴趣：良好的板书和展示技巧可以吸引学生的眼球，增加他们对数学课程的兴趣。

高中数学学科知识与教学能力高中数学学科知识与教学能力是中学教师岗位上最为重要的素质之一。

数学作为一门基础学科，承载着培养学生逻辑思维能力、数学建模能力以及解决实际问题的能力。

因此，高中数学教师不仅需要扎实的数学学科知识，还需要具备教学能力，能够有效地传授知识，激发学生学习兴趣，引导他们掌握数学的解题技巧和方法。

本文将探讨高中数学学科知识与教学能力的关系，以及如何更好地提升教师的教学水平。

一、高中数学学科知识高中数学学科知识包括数学的基础知识、数学的拓展知识以及数学应用技能。

数学基础知识是高中数学教学中最为基础和重要的部分，包括代数、几何、函数、解析几何、概率与统计等内容。

高中数学教师需要熟练掌握这些基础知识，并能够灵活运用到教学中，为学生解决数学问题提供有效的指导。

此外，数学的拓展知识如数学分析、线性代数等内容也是高中数学教师需要具备的知识，可以帮助教师更深入地理解数学的内涵和应用。

数学应用技能则包括数学建模、数学问题求解等方面，教师需要引导学生学会将数学知识运用到实际问题中，培养学生的创新思维和解决问题的能力。

二、高中数学教学能力高中数学教学能力是指教师在数学教学中所需具备的知识、技能和素质。

首先，高中数学教师需要具备良好的教学能力，包括教学设计能力、授课能力、引导能力等。

教学设计能力是指教师在教学过程中能够科学合理地设计教学内容、教学方法和教学形式，使学生能够更好地理解和掌握数学知识。

授课能力是指教师在上课过程中能够生动有趣地讲解内容、激发学生学习兴趣，引导学生积极参与到课堂教学中。

引导能力是指教师能够通过有效的引导和启发，激发学生思维，培养学生的自主学习能力和解决问题的能力。

另外，高中数学教师还需要具备良好的班级管理能力和学生辅导能力。

班级管理能力包括学生管理和课堂纪律管理等方面，教师需要能够有效地管理好班级，营造良好的学习氛围。

学生辅导能力包括与学生进行有效沟通、了解学生的学习进展和困难，帮助学生克服困难，指导学生合理安排学习时间和方法，提升学生学习效果。

高中数学教学设计中有效呈现核心素养一、引言数学是一门非常重要的学科，它不仅是一门工具性学科，还是一门具有高度抽象性和逻辑性的学科。

在高中数学教学中，如何有效地呈现核心素养是非常重要的。

本文将就高中数学教学设计中有效呈现核心素养进行探讨和分析，以期为教师们在日常教学工作中提供一定的参考。

二、核心素养的概念核心素养是指在一定学科领域内的基本能力和基本素质。

在高中数学教学中，核心素养包括数学思维能力、数学知识、数学方法和数学应用能力等方面。

在教学设计中，有效呈现核心素养是指在教学中突出培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，提高学生的数学素养和数学综合能力。

1. 引导学生进行数学实践活动在高中数学教学中，引导学生进行数学实践活动是非常重要的。

通过这些实践活动，学生可以巩固和加深数学知识，培养解决问题的能力和创新精神。

在教学设计中可以设置一些数学建模、数学竞赛和数学探究等实践活动，让学生在实践中感受数学的魅力，提高数学应用能力。

2. 注重培养学生的数学思维能力3. 设计多样化的教学方法和手段在高中数学教学中，设计多样化的教学方法和手段是非常重要的。

通过多样化的教学方法和手段，可以激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。

在教学设计中可以结合多媒体技术，引入数字化教学资源，设计互动性强的教学环节等，提高教学的趣味性和有效性。

4. 培养学生的数学合作精神在高中数学教学中，培养学生的数学合作精神是非常重要的。

数学合作精神是指学生在解决数学问题时能够相互合作、相互协作，共同完成任务。

在教学设计中，可以设置一些小组合作的任务和综合性的项目，培养学生的合作精神和团队意识。

为了更好地说明高中数学教学中有效呈现核心素养的方法和途径，我们以高中数学三角函数的教学为例进行分析。

在三角函数的教学中，可以设计一些实际问题，如利用三角函数解决航空、航海、地理等实际问题。

通过这些实际问题，学生可以深入理解三角函数的概念和性质，掌握三角函数的应用方法，培养解决实际问题的能力。

数学问题表征形式的教学探索摘要：对问题进行表征是问题解决的一个首要环节，提高学生的问题表征能力是提高学生解题能力的有效途径之一。

问题表征从水平上可分为初始表征和深层表征。

从形式上可分为内在表征和外部表征，其中外部表征又分为文字、符号、图形(表)和操作四种方式，结合实例说明了四种外在表征在教学中的应用，并建议在平常的教学中要引导学生对问题进行适当的多元表征。

关键词：数学问题；表征；探索表征，在辞海中的解释是“揭示；阐明”。

同时，它又是认知心理学中的一个重要的概念，意指知识在学习者头脑中的呈现和表达方式，是一个以已有的知识和经验为基础的建构过程。

表征是客观事物的反映，又是被加工的客体。

同一事物，其表征形式不同，对它的加工也不同。

著名的科学家、认知心理学家和人工智能的创始人西蒙（simon）指出：“表征包含了两个方面的含义：信息和对信息的加工。

”问题表征是指解题者通过审题,认识和了解问题的结构,通过联想,激活头脑中与之相关的知识经验,从而形成对所要解决的问题的一种完整的印象。

对一个问题作出的表征不是固定不变的，在问题解决过程中，随着信息的积累，可以从不适宜的表征过渡到适宜的表征，数学问题从形式上看以简单地分为两种：一种是内在表征,即学习者将外在的问题信息转化为头脑中内在的命题形式，其外在的表现就是学习者能有自己的话陈述问题的条件和目标。

另一种是外在表征，即将问题以文字、符号、图表、模型等具体的东西表示出来。

外在表征以内在表征为基础。

外在表征以内在表征为基础。

外在表征可以大大减轻工作记忆的负担，有利于问题的解决。

数学问题的有效解决往往依赖于对问题的适宜表征，如何对数学问题进行外在表征呢？下面介绍几种外在表征的形式在教学中的应用。

一、文字表征数学问题一般都以十分严谨而精练的数学语言表述，因此解释信息就成为表征问题的一项非常重要的工作。

学生首先要用自己的语言重述问题，即用自己熟悉的方式对问题进行编码，使得许多问题成分变为自己熟悉的信息，从而便于理解和思维操作。

数学多元表征一、数学多元表征的基本含义对数学多元表征的含义，可以追溯到数学的萌芽时期，人们用“数”与“形”的结合来认识事物。

在人类的原始时代，数与形是结合在一起的。

譬如，天上有一个太阳(数1与太阳结合在一起)，人的一只手有五个指头〔数5与一只手的指头结合在一起)，等等。

虽然在数学发展史上，数学的“数”与“形”又分又合，但“数”与“形”总是形影相随。

从表征的视角来说，数学中的“数”主要是指数学中言语表征，如文字、数字、式子、数学概念、数学性质、数学定理等概念和命题；相应地，数学中的“形”主要是指数学中视觉化表征如实物、教学模型、图像、几何图形等。

因此，数学学习中，对同一个数学对象，至少可以运用“数”和“形”的多种形式表征出来，这事实上就是数学对象的多元表征。

数学多元表征的含义主要来自20世纪60年代初英国数学教育家迪因斯（Dienes）提出的多元具体化原则（multiple embodiment principle）。

也就是说，多元表征的含义主要是一种学习原则。

目前，数学多元表征的含义主要与认知科学、教育心理学领域研究基本一致。

一般地，在认知心理学、教育心理研究领域中，研究者眼中的多元表征泛指多元外在表征（multiple external representations，MERs)，即指将一个学习对象用叙述性表征、描绘性表征等多种形式显示出来。

也因此，多元外在表征叫多元表征显示（multiple representations display），现在一般用多元表征（multiple representations)来称呼。

在数学教育领域中，虽然人们都谈到多元表征，也没有统一的概念界定，但基本含义一致。

归纳相关研究，本研究认为，所谓的数学多元表征，是指将同一个数学学习对象用叙述性(言语化表征)和描绘性(视觉化表征)两种本质不同的多种形式表征。

这包括两层含义：其一，在数学学习中，数学学习对象的表征至少出现叙述性表征和描绘性表征两种本质不同的表征；其二，在数学学习中，数学学习对象的表征至少含有叙述性表征或描绘性表征的两种或两种以上的表征形式。

苏教版高中数学教材数列内容的呈现特征与教学建议作者：***来源：《中小学班主任》2020年第06期随着2017年版《普通高中数学课程标准》的发布，数学课程的育人目标转向学科核心素养的培育。

核心素养的落地，或者说课程育人的层级转化离不开教师的教材理解与教学实践。

教材作为师生广泛、高频接触的权威知识媒介，其呈现的特征往往潜移默化地影响着教师的实际教学。

数列既是考试命题的重点，也是初等数学的核心知识。

因此，笔者以苏教版高中数学教材为例，分析其中数列部分的呈现特征，并据此结合多年的教学经验，提出相应的教学建议。

一、拾阶而上深化认知——苏教版教材数列部分的呈现特征（一）始于情境的感性认知教材的编写通常需要综合学生的认知特点、知识的学科体系以及教师的使用情况等多个方面，但学生的认知应当是教材编写考量的核心尺度。

正如人们对于事物、概念或观点的理解不可能凭空而来，而需要始于情境的初步感知一样，学生的学习发展也是由事实走向认知、从感性走向理性的过程。

因而苏教版教材“数列的概念和简单表示”“等差数列”与“等比数列”三部分内容均以情境为起始点，期望学生能够从简单了解、感性认知，到逐步向思维深处拓展。

高中阶段正处于学生数学思维形成的关键期，教材通过设计大量感性的、生活的情境去调动学生的学习情感，激发他们对数列知识的学习兴趣与探究意识;并用大量的认知情境，充分调动学生的感性认知，启发学生思考，促使他们由被动学习转变为主动学习。

具体而言，首先在数列章节的导语环节，通过设置社会生活中常见的数列问题，引导学生主动思考，发现数学与现实之间的关联，调动学生学习数列知识的积极情感。

尤其是章头图中所呈现的图案生动地展示了大千世界所蕴含的数学规律，既彰显了自然规律与数列之间的关系，又让学生在观看、了解章头图的过程中，认知到“形象美不只体现在文学和艺术中，而且在数学中也随处可见”。

其次，在教材内容设置上遵循由浅到深、由简单到复杂的原则，通过深入浅出的知识概括，让学生对数列知识形成初步的认知。