浙教版九年级上册第三章圆的基本性质 专题：圆内接四边形与正多边形

专题：圆内接四边形与正多边形一．选择1. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，BC=DC，∠BOC=130°，则∠BAD的度数是（）A.120°B.130°C.140°D.150°2. 如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点.若∠BOC=40°，则∠D的度数为（）A.100°B.110°C.120°D.130°3. 如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）cmA． 6cm B． 12cm C． 6cm D． 4cm4. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长为（）A.1B.C.4-2D.3-45. 已知⊙的半径为1,以它的内接正三角形,正方形,正六边形的边心距为三边作三角形,则()A. 这个三角形是锐角三角形B. 这个三角形是直角三角形C. 这个三角形是钝角三角形D. 不能构成三角形6. 以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A. B. C. D.7. 如图,六边形 ABCDEF内接于⊙O,则∠A+∠C+∠E的值为( ）A.90°B.180°C.270D.3608. 如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（）A.16B.12C.8D.69. 如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）A.55°B.60°C.65°D.70°10. 如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E=α，∠F=β，则∠A等于( )A. α+βB.C. 180°﹣α﹣βD.11. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，现将它沿AB方向平移1个单位，得到正六边形A′B′C′D′E′F′，则阴影部分A′BCDE′F′的面积是（）.A.3B.4C.D.2+12. 如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是弧EB的中点，则下列结论不成立的是( )A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE13. 如图，平面上有两个全等的正十边形ABCDEFGHIJ、A′B′C′D′E′F′G′H′I′J′，其中A点与A′点重合，C点与C′点重合，则∠BAJ′的度数为（）A.96°B.108°C.118°D.126°14. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，P是上一点，则∠CPD的度数是（）A.30°B.36°C.45°D.72°15. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF，CF，若∠EDC=135°，CF=2，则AE2+BE2的值为（）A.8 B.12 C.16 D.20二．填空题16. 如图，⊙C经过正六边形ABCDEF的顶点A，E，则所对的圆周角∠APE等于____.17. 如图，点A，B，C，D都在⊙O中，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的面积是____.18.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=12，则CD=_____．19. 如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是的内接多边形，则 ______ ．20. 小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形.图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为____cm.21. 如图，边长为4的正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上，CD与PN交于点H，则HN的长为____.三．解答题22. 如图，已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，AB=BD，BM⊥AC于点M.求证：AM=DC+CM.23. 如图，BD，CE是△ABC的两条高，F和G分别是DE和BC的中点，O是△ABC的外心．求证：AO∥FG．24. 已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E.（1）当∠BAC为锐角时，如图1，求证：∠CBE=∠BAC.（2）当∠BAC为钝角时，如图2，CA的延长线与⊙O相交于点E，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.25. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在上．（1）求∠E的度数；（2）连接OD、OE，当∠DOE=90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．26. 如图①，正方形ABCD内接于⊙O，E为上任意一点，连接DE，AE.（1）求∠AED的度数；（2）如图②，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF.若AF=1，AE=4，求DE的长.27. 如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.（1）若∠E=∠F，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°，求∠A的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小.28. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D=90°，P为上一动点（不与点C，D重合）.（1）若∠BPC=30°，BC=3，求⊙O的半径；（2）若∠A=90°，=.求证：PB-PD=PC.29. 某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨：甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内接矩形不一定是正方形．乙同学：我知道，边数为3时，它是正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五边形…丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形．如图2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，这样构造的六边形ADBECF不是正六边形．（1）如图1，若圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，则∠ABC=____，请简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由．（2）如图2，请证明丙同学构造的六边形各内角相等．（3）根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n （n≥3，n为整数）”的关系，提出你的猜想（不需证明）．30. 如图1、图2、图3、…，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.（1）求图1中∠MON的度数；（2）图2中∠MON的度数是____，图3中∠MON的度数是____；（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）.参考答案1. --------------------------------------------------------------------------答案：B.解：连接OD，∵BC=DC，∴=，∴∠BOC=∠COD=130°，∴∠BOD=360°-2×130°=100°，∴∠BCD=∠BOD=50°，∴∠BAD=180°-∠BCD=180°-50°=130°.故选B.【解题方法提示】分析题目先根据题意画出辅助线，如图，连接OD，此时你有思路吗？根据圆心角、弧、弦的关系由BC=DC得，则∠BOC=∠COD=130°，再利用周角定义计算出∠BOD=100°；再根据圆周角定理得到∠BCD=∠BOD=50°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠BAD的度数.2. --------------------------------------------------------------------------答案：B.解：∵AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，∴四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ABC=180°.∵∠BOC=40°，OC=OB，∴∠ABC=(180°-40°)÷2=70°，∴∠D=180°-70°=110°.故选B.【考点提示】本题考查圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质，分析题意，确定出四边形ABCD是⊙O的内接四边形是解题的切入点；【解题方法提示】由已知条件可知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则圆内接四边形的对角互补，因此要求∠D的度数，需求出∠ABC的度数；由OC=OB，∠BOC=40°，结合三角形内角和定理可求出∠ABC的度数，从而进一步求出∠D的度数.3. --------------------------------------------------------------------------答案：C【解答】解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=6cm，∠AOB=60°，∴cos∠BAC=，∴AM=6×=3（cm），∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=AC，∴AC=2AM=6（cm）．故答案为C【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30°，再根据锐角三角函数的知识求解．4. --------------------------------------------------------------------------答案：C.解：设EF=x.∵EF⊥AB，∴∠EFB=90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°.∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠FBE=45°，∴△EFB是等腰直角三角形，∴FB=x，∴BE=x.∵正方形ABCD的边长为4，∴BD=4.∵∠BAE=22.5°，∠BAD=90°，∴∠EAD=67.5°.∵∠EAD=67.5°，∠ADB=45°，∴∠AED=67.5°，∴AD=ED.∵AD=ED，AD=4，∴ED=4.∵BD=BE+ED，BD=4，BE=x，ED=4，∴x+4=4.解得x=4-2，即EF=4-2.故选C.【解题方法提示】分析题意，首先设EF=x，由正方形的性质即可得到∠ABC=90°，进而可得△EFB是等腰直角三角形，所以有BE= x；接下来根据正方形的边长为4，可得BD=4；结合角度间的关系可推出AD=ED=4，再根据BD=BE+ED，BD=4，BE=x，ED=4列方程求解即可.5. --------------------------------------------------------------------------B分别求半径为1的圆内接正三角形,正方形,正六边形的边心距,再利用勾股定理的逆定理判断．解：如图1,O为正三角形的中心,则OB=1,∠OBD=30°,则边心距OD= BO= ;如图2,O为正方形的中心,则OB=1,∠OBE=45°,则边心距OE= ;如图3,O为正六边形的中心,AB为边,则OA=1,∠OAB=60°,则边心距OH= ;∵OD 2+OE 2=OH 2,∴三角形是直角三角形．故选B．6. --------------------------------------------------------------------------【解答】解：如图1，∵OC=1，∴OD=1×sin30°= ；如图2，∵OB=1，∴OE=1×sin45°= ；如图3，∵OA=1，∴OD=1×cos30°= ，则该三角形的三边分别为：、、，∵（）2+（）2=（）2，∴该三角形是以、为直角边，为斜边的直角三角形，∴该三角形的面积是 × × = ，故选：D．【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．7. --------------------------------------------------------------------------答案：D8. --------------------------------------------------------------------------答案：C.解：△BCD与△BCF同底，其高的比为1:2，∵△BCD的面积为4，∴△BCF的面积为8.故选C.【考点提示】本题是关于正多边形与圆的题目，首先回想一下正六边形的性质有哪些；【解题方法提示】利用正六边形的性质可得出：△BCD与△BCF同底，其高的比为1:2；根据三角形的面积关系可知，△BCF的面积是△BCD面积的2倍，据此问题得解.9. --------------------------------------------------------------------------答案：C.解：连结BD，如图.∵点D是的中点，∴=，∴∠ABD=∠CBD.∵∠ABC=50°，∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=×50°=25°.∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB=90°-25°=65°.故选C.10. --------------------------------------------------------------------------D【解答】解：连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A= ．故选D．【分析】连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．11. --------------------------------------------------------------------------答案：B.解：连接A′E′，BD，过F′作F′H⊥A′E′于H，则四边形A′E′DB是矩形.∵正六边形ABCDEF的边长为2，∠A′F′E′=120°，∴∠F′A′E′=30°，∴F′H=1，A′H=，∴A′E′=2.∵将它沿AB方向平移1个单位，∴A′B=1，∴阴影部分A′BCDE′F′的面积=S△A′F′E′+S矩形A′E′DB+S△BCD=2××2×1+1×2=4.故选B.【解题方法提示】连接A′E′，BD，过F′作F′H⊥A′E′于H，得到四边形A′E′DB是矩形；解直角三角形求出F′H，A′H，进而求得A′E′的值；最后根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论.12. --------------------------------------------------------------------------解：A、∵点C是弧EB的中点，∴OC⊥BE，∵AB为圆O的直径，∴AE⊥BE，∴OC∥AE，本选项正确；B、∵点C是弧EB的中点∴BC=CE，本选项正确；C、∵AD为圆O的切线，∴AD⊥OA，∴∠DAE+∠EAB=90°，∵∠EBA+∠EAB=90°，∴∠DAE=∠EBA，本选项正确；D、AC不一定垂直于OE，本选项错误，故选D13. --------------------------------------------------------------------------答案：B.解：∵两个图形为全等的正十边形∴CB′=AB′=AB=BC，∠ABC=∠AB′C==144°，∵CB′=AB′=AB=BC，∴四边形ABCB′为菱形，∵四边形ABC B′为菱形，∴∠BAB′=180°-144°=36°，∴∠BAJ′=∠B′AJ′-∠B′AB=144°-36°=108°.故选B.【解题方法提示】由正多边形的各边相等可得CB′=AB′=AB=BC，即四边形ABCB′为菱形，想想还能得到哪些性质?由正n边形每一个内角度数=，可得∠ABC=∠AB′C=144°；由∠BAB′=180°-144°=36°，结合∠B′AJ′=144°，即可求出∠BAJ′的度数，试试吧!14. --------------------------------------------------------------------------答案：B.解：∵正五边形内接于⊙O，∴的度数为72°.由圆周角定理的推论可知∠P=36°.故选B.15. --------------------------------------------------------------------------答案：C.解：连接BD、OC.∵四边形BEDC是⊙O的内接四边形，∠ACB=90°，∠EDC=135°，∴∠BED=90°，∠EBC=45°.圆内接四边形的对角互补在Rt△BED中，BE2=BD2-ED2.∵∠BED=90°，∴△AED是直角三角形.∵∠EDC=135°，∴∠ADE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=ED，∴BE2=BD2-AE2，∴AE2+BE2=BD2.勾股定理∵∠BED=90°，∴BD为⊙O的直径.直径所对的圆周角是直角∵∠EBC=45°，∴∠EOC=90°，∠EFC=45°，∴△FOC是等腰直角三角形.等腰直角三角形的判定∵CF=2，∴OF=OC=2，即⊙O的半径为2，∴BD=4，∴AE2+BE2=BD2=16.勾股定理故选C.【解题方法提示】连接BD，由圆内接四边形的性质可得∠BED=90°，∠EBC=45°，在Rt△BED中，由勾股定理可得BE2=BD2-ED2，由圆的知识可知BD是⊙O的直径，则BD经过点O；由题目信息可得△AED是等腰直角三角形，则AE=ED，结合上步结论可得BE2=BD2-AE2，即AE2+BE2=BD2，问题转化为求BD的长；连接OC，由圆周角定理可得∠EOC=90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠EFC=45°，则△FOC是等腰直角三角形，由CF的长可得OF的长，即得到圆的半径，进而可得直径BD的长，至此本题不难解答.16. --------------------------------------------------------------------------答案：30°.解：连接AC、EC，如图所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BCD=∠BAF=∠F=∠DEF=∠B=∠D==120°，AB=BC，CD=DE，∴∠BCA=∠BAC=(180°-∠B)=30°，同理∠ECD=30°，∴∠ACE=∠BCD-∠BCA-∠ECD=60°，∴∠APE=∠ACE=30°.17. --------------------------------------------------------------------------答案：π.解：连接AC，∵点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，∴AC是直径，∴∠ADC=90°，∵AD=3，CD=2，∴AC==，∴⊙O的面积是π×()2=π.【考点提示】本题考查圆的相关知识，掌握圆周角定理是解题的关键；【解题方法提示】连接AC，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，根据圆周角定理可得到AC是直径；接下来根据勾股定理可得AC=，进而求解⊙O的面积.18. --------------------------------------------------------------------------第1空：5【解答】解：连接OA，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=30°，∠D=60°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴∠DBC=30°，∴∠ABO=60°，∵BO=AO，∴△ABO是等边三角形，∴BO=AB=5，∴BD=10，∴CD=5，故答案为：5．【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=30°，根据圆内接四边形对角互补可得∠D=60°，然后再证明△ABO是等边三角形，进而可得BO的长，从而可得DB长，然后可得CD长．19. --------------------------------------------------------------------------解：连接OA，五边形ABCDE是正五边形，，是正三角形，，，故答案为：．连接OA，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可．本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．20. --------------------------------------------------------------------------答案：8.解：设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH⊥AB，由题意得：∠MNP=∠NMP=∠MPN=60°.∵小正六边形的面积为cm2，∴小正六边形的边长为7cm，即PM=7cm，∴S△MPN=cm2.∵OG⊥PM，且O为正六边形的中心，∴PG=PM=cm，在Rt△OPG中，根据勾股定理得：OP==7cm.设OB=xcm，∵OH⊥AB，且O为正六边形的中心，∴BH=x，OH=x，∴PH=（5-x）cm，在Rt△PHO中，根据勾股定理得：OP2=(x)2+(5-x)2=49，解得x=8（负值舍去），则该圆的半径为8cm．【考点提示】此题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解本题的关键；【解题方法提示】设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH⊥AB，由正六边形的性质及邻补角性质得到三角形三角形PMN为等边三角形，由小正六边形的面积求出边长，确定出PM的长；进而求出三角形PMN的面积，利用垂径定理求出PG的长，在直角三角形OPG中，利用勾股定理求出OP的长，设OB=xcm，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果.答案：2-2.解：在Rt△BCM中，∵AB=BC=4，∠CBM=60°，∠M=90°，∴∠BCM=30°，∴BM=BC=2，∴CM=2，∴AM=4+2=6.∵四边形AMNP是正方形，∴MN=MA=6，∴CN=MN-CM=6-2，∵∠BCD=120°，∴∠HCN=30°.∵∠M=∠N=90°，∴△BMC∽△HNC，∴，∴，∴HN=2-2.【解题方法提示】根据正方形和正六边形的性质结合已知可得AB=BC=4，∠CBM=60°，∠M=90°，则根据直角三角形的性质可得∠BCM=30°；由上步可得BM=BC=2，根据勾股定理可得CM=2，由AM=AB+BM得到AM的长，再根据正方形的性质得出MN的长；由CN=MN-CM可得出CN的长，由∠BCD=120°结合第一步可得∠HCN=30°，再结合∠M=∠N=90°可得△BMC∽△HNC；根据相似三角形的性质可得，据此得出HN的长.证明：在MA上截取ME=MC，连接BE.∵BM⊥AC，∴BE=BC，∴∠BEC=∠BCE.∵AB=BD，∴=，∴∠ADB=∠BAD.∵∠ADB=∠BCE，∴∠BCE=∠BAD.∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，∴∠BEA=∠BCD.∵∠BAE=∠BDC，∴△ABE≌△DBC，∴AE=CD，∴AM=AE+EM=DC+CM.【重点难点】本题重点考查了圆周角定理.在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半.同时考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质.【辅助线提示】在MA上截取ME=MC，连接BE，根据垂直平分线的性质，那么有AM=DC+CM=DC+EM，此时就将问题转化为证明DC=AE；【解题方法提示】依据弦、弧的关系以及圆周角定理，可得∠ADB=∠BAD以及∠ADB=∠BCE，进行等量代换即可得∠BCE=∠BAD；再结合圆的内接四边形以及邻补角的性质，易得∠BEA=∠BCD，从而可证出△ABE≌△DBC，得到AE=CD，至此问题可解.23. --------------------------------------------------------------------------【解答】证明：如图，连接GD和GE．∵∠BDC=∠BEC=90°，BG=GC，∴，又∵DF=EF，∴GF⊥DE，延长OA交DE于H．∵∠BDC=∠BEC=90°∴B，C，E，D四点共圆，，即，又∵OA=OB，∴，∠EAH+∠AEH=90°，∴AD⊥DE，即OA⊥DE∴AO∥FG．【分析】根据∠BDC=∠BEC=90°，可判断出B，C，E，D四点共圆，然后利用同弧所对的圆周角相等且等于圆心角的一半可得出，，，结合OA=OB可判断出OA⊥DE，继而可得出结论．24. --------------------------------------------------------------------------解：（1）连接AD.∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC.∵∠CAD=∠CBE，∴∠CBE=∠BAC.（2）结论成立.理由如下：连接AD.∵AB为直径，∴AD⊥BC.∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC.∵∠CAD+∠DAE=180°，∠CBE+∠DAE=180°，∴∠CAD=∠CBE，∴∠CBE=∠BAC.25. --------------------------------------------------------------------------解析（1）首先连接BD，由在⊙O的内接四边形ABCD中，∠C=120°，根据圆的内接四边形的性质，∠BAD的度数，又由AB=AD，可证得△ABD是等边三角形，则可求得∠ABD=60°，再利用圆的内接四边形的性质，即可求得∠E的度数；（2）首先连接OA，由∠ABD=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOD的度数，继而求得∠AOE的度数，继而求得答案．试题解析：（1）连接BD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠BAD=60°，∵AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED+∠ABD=180°，∴∠AED=120°；（2）连接OA，∵∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°，∵∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°，∴n==12．答案26. --------------------------------------------------------------------------解：（1）如图①，连接OA，OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°.（2）如图②，连接CF，CE，CA，过点D作DH⊥AE于点H.∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠CDE=∠ABF.∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴AC为⊙O的直径，∴∠AEC=∠CFA=90°.∵∠AED=∠ACD=45°，∠BFC=∠BAC=45°，∴∠DEC=∠BFC=135°.∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=.∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=(4-x)2+x2，解得x=或，∴DE=DH=或.【考点提示】本题是一道有关直径所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等的题目；【解题方法提示】所对的圆周角是∠AED，圆心角是∠AOD.∠DEC=∠AED+∠AEC.AC2=AD2+DC2=2AD2.在Rt△ADH中，利用勾股定理建立关于x的方程.27. --------------------------------------------------------------------------（1）证明：∵∠ADC是△DCE的一个外角，∠ABC是△BCF的一个外角，∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF.∵∠E=∠F，∠DCE=∠BCF，∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC.（2）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°.∵∠ADC=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠ABC=90°.∵在△ABE中，∠ABC=90°，∠E=42°，∴∠A=48°.（3）解：连接EF.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ECD=∠A.∵∠ECD是△CEF的一个外角，∴∠ECD=∠CEF+∠CFE.∵∠ECD=∠CEF+∠CFE，∠ECD=∠A，∴∠A=∠CEF+∠CFE.∵∠A+∠CEF+∠CFE+∠AEB+∠AFD=180°，∠E=α，∠F=β，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=90°-.28. --------------------------------------------------------------------------解：（1）连接AC.∵∠D=90°，∴AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°.∵∠BAC=∠BPC=30°，∴AC=2BC=6，所以⊙O的半径为3；（2）∵∠BAD=90°，∴∠BCD=90°.∵AC为⊙O直径，∴∠ADC=∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形.∵=，∴AB=AD，∴矩形ABCD为正方形，∴BC=DC.在BP上截取BE=DP，连接CE，DP.∵BE=DP，∠CBP=∠PDC，BC=DC，∴△BCE≌△DCP，∴∠BCE=∠DCP，PC=CE，又∵∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°，∴∠DCP+∠ECD=∠ECP=90°，∴△CPE为等腰直角三角形，∴PE=PC，∴PB-BE=PB-PD=PE=PC.29. --------------------------------------------------------------------------解：（1）∵五边形的内角和=（5-2）×180°=540°，∴∠ABC==108°，理由：∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，∠A对着，∠B对着，∴=，∴-=-，即=，∴BC=AE．同理可证其余各边都相等，∴五边形ABCDE是正五边形；（2）由图知∠AFC对，∵=，而∠DAF对的=+=+=，∴∠AFC=∠DAF．同理可证，其余各角都等于∠AFC，故图2中六边形各角相等；（3）由（1）、（2）可知，当n（n≥3，n为整数）是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形；当n（n≥3，n为整数）时偶数时，各内角都相等的圆内接多边形不一定为正多边形．（1）先根据多边形内角和定理求出正五边形的内角和，再求出各角的度数；根据同弧所对的圆周角相等，得出=，利用等式的性质，两边同时减去即可得到=根据同弧所对的弦相等，得出DC=AE；（2）由图知∠AFC对，由=，而∠DAF对的=+=+=，故可得出∠AFC=∠DAF．，同理可证，其余各角都等于∠AFC，由此即可得出结论；（3）根据（1）、（2）的证明即可得出结论．30. --------------------------------------------------------------------------解：（1）连结OB、OC.∵M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，∴OB、OC分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，∠ABC=∠ACB，∴∠OBM=∠OCN.∵等边△ABC内接于⊙O，∴∠BOC=120°.∵BM=CN，OC=OB，∠OBM=∠OCN，∴△OMB≌△ONC，∴∠BOM=∠NOC，∴∠MON=∠BOC.∵∠BOC=120°，∠MON=∠BOC，∴∠MON=120°．（2）同（1）可得图2中∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；（3）在图1中，∠MON==120°，在图2中，∠MON==90°，在图3中，∠MON==72°.故在正n边形中，∠MON的度数为.【解题方法提示】对于（1），连结OB、OC，可以得到∠OBM=∠OCN.结合已知条件，就能证得△OMB≌△ONC；根据全等三角形的性质推出∠BOM=∠NOC，于是有∠MON=∠BOC.结合∠BOC的度数，求出∠MON的度数；对于（2），运用（1）中同样的方法，还可求出图2以及图3中∠MON的度数；对于（3），根据（1）和（2）的结果找出规律，就能确定∠MON的度数与正多边形的边数的关系.。

浙教版数学九年级上册《3.6 圆内接四边形》教学设计一. 教材分析浙教版数学九年级上册《3.6 圆内接四边形》是圆内接四边形的相关知识，主要包括圆内接四边形的性质及其判定。

这部分内容是初中数学中的重要知识点，也是中考的热点，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要作用。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和判定有一定的了解。

但是，对于圆内接四边形的性质和判定，学生可能还没有完全掌握。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，从学生的已有知识出发，引导学生探索和发现圆内接四边形的性质和判定。

三. 教学目标1.让学生了解圆内接四边形的性质和判定方法。

2.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.培养学生独立思考和合作交流的能力。

四. 教学重难点1.圆内接四边形的性质及其判定。

2.如何运用圆内接四边形的性质和判定解决实际问题。

五. 教学方法1.引导发现法：引导学生通过观察、思考、讨论，自主发现圆内接四边形的性质和判定方法。

2.案例分析法：通过具体的例子，分析圆内接四边形的性质和判定。

3.练习法：通过适量的练习，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，帮助学生直观地理解圆内接四边形的性质和判定。

2.练习题：准备一些相关的练习题，用于课堂练习和课后作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的例子，引导学生思考圆内接四边形的性质和判定。

例如，可以给学生展示一个圆内接四边形，让学生观察并猜想它的性质。

2.呈现（10分钟）利用教学课件，呈现圆内接四边形的性质和判定方法。

通过讲解和示例，让学生了解圆内接四边形的性质和判定。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个圆内接四边形，根据性质和判定方法，判断给定的四边形是否为圆内接四边形。

每组选出一个代表，进行汇报。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。

教师可以在这个过程中，对学生的解题情况进行观察和指导。

2021年浙教版数学九年级上册3.6《圆内接四边形》教案一. 教材分析《圆内接四边形》是2021年浙教版数学九年级上册第三章第六节的内容。

本节课主要让学生了解圆内接四边形的性质，并能运用这些性质解决一些简单的问题。

教材通过实例引入圆内接四边形，让学生观察、探究、发现其性质，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质有一定的了解。

但是，对于圆内接四边形的性质，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，逐步引导他们发现、总结圆内接四边形的性质，提高他们的几何思维能力。

三. 教学目标1.了解圆内接四边形的性质。

2.学会运用圆内接四边形的性质解决简单问题。

3.培养学生的观察能力、动手操作能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.圆内接四边形的性质。

2.如何运用圆内接四边形的性质解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和直观演示法，引导学生观察、操作、思考，培养他们的几何思维能力。

六. 教学准备1.准备一些圆内接四边形的图片，用于导入和展示。

2.准备一些练习题，用于巩固和拓展。

七. 教学过程1.导入（5分钟）出示一些圆内接四边形的图片，让学生观察，并提出问题：“你们能发现这些圆内接四边形有什么特殊的性质吗？”引导学生观察、思考，激发他们的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）让学生分组讨论，每组尝试找出圆内接四边形的性质。

讨论结束后，邀请几组代表进行分享，总结出圆内接四边形的性质。

3.操练（10分钟）出示一些练习题，让学生运用圆内接四边形的性质进行解答。

解答过程中，教师引导学生注意运用圆内接四边形的性质，提高他们的解题能力。

4.巩固（5分钟）让学生自主完成一些圆内接四边形的练习题，巩固所学知识。

教师巡回指导，解答学生的问题。

5.拓展（5分钟）出示一些综合性的练习题，让学生运用圆内接四边形的性质进行解答。

教师引导学生运用所学知识，提高他们的解决问题的能力。

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。

浙教版数学九年级上册《3.6 圆内接四边形》说课稿2一. 教材分析《圆内接四边形》是浙教版数学九年级上册第3.6节的内容，本节课是在学生已经掌握了圆的基本性质、四边形的性质等知识的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是探讨圆内接四边形的性质，通过证明圆内接四边形的对角互补，进一步推广到圆内接四边形的其他性质。

教材通过例题和练习题的形式，让学生在掌握知识的同时，提高解题能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对圆的基本性质和四边形的性质有一定的了解。

但是，对于圆内接四边形的性质，学生可能还没有完全理解，需要通过本节课的学习，进一步掌握。

此外，学生在学习过程中可能存在对圆内接四边形性质的误解，认为圆内接四边形的对角互补是唯一性质，需要教师在教学过程中进行纠正。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握圆内接四边形的性质，能够证明圆内接四边形的对角互补，并能够运用这一性质解决相关问题。

2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流等方法，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神，使学生体验到数学的乐趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：圆内接四边形的性质，圆内接四边形的对角互补的证明。

2.教学难点：圆内接四边形的性质的证明和应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究，培养学生的解决问题的能力。

2.教学手段：利用多媒体课件，生动形象地展示圆内接四边形的性质，帮助学生直观理解。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习圆的基本性质和四边形的性质，引出圆内接四边形的性质。

2.探究圆内接四边形的性质：引导学生通过小组合作、讨论交流，探索圆内接四边形的性质，证明圆内接四边形的对角互补。

3.性质的应用：通过例题和练习题，让学生运用圆内接四边形的性质解决实际问题。

4.总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的探究欲望。

浙教版数学九年级上册《3.6 圆内接四边形》教案2一. 教材分析浙教版数学九年级上册《3.6 圆内接四边形》是圆内接四边形的相关知识，主要包括圆内接四边形的性质和判定。

这部分内容是学生在学习了圆的基本性质和四边形的性质之后进行学习的，对于学生来说，这部分内容较为抽象，需要学生具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆和四边形的性质有一定的了解。

但是，由于圆内接四边形的性质和判定较为抽象，学生可能难以理解和掌握。

因此，在教学过程中，需要教师通过具体的例子和直观的图形，帮助学生理解和掌握圆内接四边形的性质和判定。

三. 教学目标1.了解圆内接四边形的性质和判定。

2.能够运用圆内接四边形的性质和判定解决相关问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.圆内接四边形的性质和判定。

2.如何运用圆内接四边形的性质和判定解决相关问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生思考和探索圆内接四边形的性质和判定。

2.运用图形辅助教学，帮助学生直观地理解和掌握圆内接四边形的性质和判定。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和图形资料。

2.准备一些与圆内接四边形相关的问题和例题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾圆的基本性质和四边形的性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT和图形资料，展示圆内接四边形的性质和判定，让学生直观地了解和感受圆内接四边形的性质和判定。

3.操练（10分钟）教师给出一些与圆内接四边形相关的问题和例题，让学生独立或小组合作解决，从而加深对圆内接四边形的性质和判定的理解。

4.巩固（10分钟）教师针对学生的解答情况进行讲解和点评，帮助学生巩固圆内接四边形的性质和判定。

5.拓展（10分钟）教师给出一些拓展问题，让学生思考和探索，进一步培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

浙教版九年级上册第三章圆的基本性质《3.7正多边形》《3.7正多边形》《正多边形》是新教材九年级（上）第三章的内容。

学生已经学习了圆的性质和与圆有关的三种位置关系，这些知识都将为本节的学习起着铺垫作用。

本节内容正多边形和圆也是今后进一步研究圆的性质的基础，在教才中有着承上启下的重要地位。

在当今的改革大潮中，我们应以《新课标》的眼光来重新审视它。

《新课标》对数学学习内容的要求是：现实的、有意义的、富有挑战性的。

数学作为一种普遍适用的技术，要有助于人们收集信息、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。

本节课从定性、定量的两个角度去探讨，挖掘蕴涵的数学知识，把感性认识转化成理性认识，具体到抽象，让学生主动参与，亲身体验知识的发生与发展的过程。

利用正多边形和圆的位置关系探究数量关系，把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想。

【知识与能力目标】了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径、中心角、弦心距、边（一）、创设情景，导入新课本节课开始，让他们观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体，让学生感受到数学来源于生活，并从生活中感受到数学美。

同时，提出本节课要研究的问题：正多边形和圆有什么关系？你能借助圆做出一个正多边形吗？然后引导学生观思考这个问题。

采用小组合作交流的方式，给他们足够的时间和空间，这里用到了等分圆周的方法，提示学生等分圆心角，即360°/n.讨论完后让学生自由发言，阐述自己的观点，对他们的观点我将给予及时的表扬和鼓励，同时，纠正学生的学法和知识错误。

（二）、实践说明，深入新知提出本节课的第三个问题：将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论。

首先，我将在黑板上演示这个作图，用等分圆心角的方法，把圆分成相等的五段弧，依次连接各个分点得到五边形，剩下的证明引导学生从正多边形的定义入手，证明多边形各边都相等，各角都相等，引导学生观察、分析。

第3章圆的基本性质3.6 圆内接四边形1.了解正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，•正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．2.通过实例使学生理解，体会正多边形边数增加与圆的无限接近思想.3.经历探索正多边形与圆相关结论的过程，发展学生的数学思考能力.正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理.对定理的理解以及定理的证明方法.请同学们口答下面两个问题．1．什么叫正多边形？2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？新概念定义：顶点都在同一个圆上的正多边形叫圆内接正多边形，这个圆叫正多边形的外接圆．这个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．例1 如图在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径OC =4，OG ⊥BC ，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距例2 有一个亭子它的地基是半径为4 m 的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1平方米）．解：如图，正六边形ABCDEF 的中心角为60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，亭子地基的周长l =4×6=24（m ）．在Rt △OPC 中，OC =4，PC =2．利用勾股定理，可得边心距224223m r -==（）．亭子地基的面积211242341.6(m )22S lr ==⨯⨯≈．本节课应掌握：1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距．ROr2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系.。

浙教版数学九年级上册《3.6 圆内接四边形》说课稿一. 教材分析浙教版数学九年级上册《3.6 圆内接四边形》这一节主要介绍了圆内接四边形的性质。

在本节课中，学生需要掌握圆内接四边形的对角互补性质，并能运用这一性质解决一些几何问题。

教材通过实例引导学生探索圆内接四边形的性质，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和判定有一定的了解。

但是，对于圆内接四边形的性质，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要注重引导学生从已知知识出发，探索新知识，并将其与已有知识相结合，形成体系。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握圆内接四边形的对角互补性质，并能运用这一性质解决一些几何问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生探索几何问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生自信心，培养团队协作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：圆内接四边形的对角互补性质。

2.教学难点：如何引导学生探索并证明圆内接四边形的对角互补性质。

五. 说教学方法与手段在本节课中，我将采用问题驱动法、合作学习法和几何画板辅助教学法。

问题驱动法可以帮助学生激发学习兴趣，培养解决问题的能力；合作学习法可以培养学生的团队协作精神；几何画板辅助教学法可以直观地展示圆内接四边形的性质，帮助学生更好地理解。

六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的几何问题，引导学生回忆已学的平面几何知识，为新课的学习做好铺垫。

2.探索圆内接四边形的性质：让学生分组进行实验，观察、操作、猜想圆内接四边形的对角互补性质，并尝试用已知知识进行证明。

3.展示与交流：各小组汇报探索成果，其他小组进行评价，教师进行点评和指导。

4.总结与拓展：引导学生总结圆内接四边形的性质，并给出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。

七. 说板书设计板书设计如下：圆内接四边形的性质1.对角互补八. 说教学评价教学评价主要包括过程性评价和终结性评价。

浙教版数学九年级上册《3.6 圆内接四边形》教案一. 教材分析浙教版数学九年级上册《3.6 圆内接四边形》是圆的内接四边形的性质的学习，是在学生已经掌握了圆的基本性质，四边形的性质等知识的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是圆内接四边形的性质，包括圆内接四边形的对角互补，四边形的对边互补，以及圆内接四边形的对角相等。

这些性质对于学生解决与圆和四边形有关的问题有着重要的指导意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆和四边形的性质有一定的了解。

但是，对于圆内接四边形的性质的理解还需要教师的引导和启发。

此外，学生可能对于一些概念和性质的证明过程感到困惑，需要教师耐心讲解和引导。

三. 教学目标1.理解圆内接四边形的性质，能够熟练运用性质解决问题。

2.培养学生的逻辑思维能力和证明能力。

3.培养学生的合作意识和团队精神。

四. 教学重难点1.圆内接四边形的性质的理解和运用。

2.证明过程的理解和运用。

五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、证明等方式，自主探索圆内接四边形的性质，并在探索过程中培养学生的逻辑思维能力和证明能力。

同时，采用合作学习法，让学生在小组内进行讨论和交流，培养学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.准备相关的图片和案例，用于引导学生观察和理解圆内接四边形的性质。

2.准备相关的证明过程的示例，用于引导学生理解和掌握证明方法。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些与圆和四边形有关的图片，引导学生观察和思考，引发学生对圆内接四边形的性质的兴趣。

2.呈现（10分钟）教师引导学生观察和思考，引导学生发现圆内接四边形的性质，包括对角互补，对边互补，对角相等。

同时，教师给出相关的证明过程，让学生理解和掌握证明方法。

3.操练（10分钟）教师给出一些相关的练习题，让学生独立完成，检查学生对于圆内接四边形的性质的理解和掌握情况。

4.巩固（10分钟）教师引导学生进行小组讨论，让学生在小组内交流自己的理解和证明方法，巩固学生对于圆内接四边形的性质的理解和掌握。

- 1 -【文库独家】圆的基本性质章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图4图5- 2 -三、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD四、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

《圆的基本性质》单元教学设计
2.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方
法；了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念
3.了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质以及简单平面图形旋转后的图形的作
法 .
4.掌握垂径定理和垂径定理逆定理，理解其探索和证明过程；
5.理解圆、弧、弦、弦心距、圆周角、圆心角、扇形、圆内接四边形、弧长、正多边形 等有关概念，学会圆、弧、弦、弦心距、圆周角、圆心角、扇形、圆内接四边形、弧长、
正多边形等的表示方法
6.掌握扇形面积计算公式，会用公式解决问题. ( 二 ) 教 学 重 点 、 难 点
重点：1.理解圆的相关概念。

2.掌握圆的基本性质和弧长扇形面积的计算方法。

难点：1.综合运用圆的基本性质解决相关的几何问题和相关的实际问题。

2.运用弧长的计算公式计算，能熟练运用面积的转化求不规则图形的面积。

单元知识 结构框架 及课时安
士上
-F
(一)单元知识结构框架
(二)课时安排 课时编号
单元主要内容 课 时 数 圆 2 图形的旋转 1
选动一：点与区的位置关系
圆的概念
还动二：视学候的条件
活动一：母的验转不变性，中C 时称性
活动二：直径与弦、张，国心角与弦、强、楚心死之间的相互 关系
活动一：探究更两角、圆心角定理
圆居鱼 、 医心角
活动二：运用定理算决实际问题
弧长、扇形的面积 细充需长以及乘形的面积
圆 的 基 本 性 质
图形的旋转。

3.6圆内接四边形教材分析本课是在学生学习了圆的基本概念和圆心角和圆周角概念及性质的基础上对圆内接四边形性质的探索。

圆内接四边形性质是几何中最重要的定理之一，它揭示了圆和四边形之间的数量关系，它既是前面所学知识的继续，又是后面研究圆与其它平面图形的桥梁和纽带。

本课从具体的问题情境出发，引导学生经历猜想、探索、推理验证的过程，有机渗透“由特殊到一般”思想、“分类”思想、“化归”思想。

因此无论在知识上，还是方法上，本节课都起着十分重要的作用。

教学目标【知识与能力目标】1.掌握圆内接四边形的性质定理及其证明；2.能用定理解决相关的几何问题。

【过程与方法目标】经历圆内接四边形性质的证明，使学生了解分类证明命题的思想和方法，体会类比、分类的教学方法.【情感态度价值观目标】通过学生主动探索圆内接四边形性质，合作交流的学习过程，体验实现自身价值的愉悦及数学的应用价值。

教学重难点【教学重点】圆内接四边形性质定理的应用【教学难点】性质定理的灵活应用课前准备教师准备：圆规，三角尺，PPT课件，多媒体学生准备：圆规，三角尺，练习本教学过程1.复习提问1、如图(1),若弧BC的度数为1000, 则∠BOC=__ ,∠A=__2、如图(2)四边形ABCD中, ∠B与∠1互补,AD的延长线与DC所夹∠2=600 ,则∠1=___,∠B =___.2.概念学习⑴什么叫圆的内接四边形？⑵如图1，说明四边形ABCD与⊙O的关系.3.探讨性质：如图：圆内接四边形ABCD中，∠A＋∠C的和为多少，同理∠B＋∠D的和呢？小组合作，得出性质.⑴前面我们已经学习了一类特殊四边形----平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性质，那么要探讨圆内接四边形的性质，一般要从哪几个方面入手？⑵打开《几何画板》，让学生动手任意画⊙O和⊙O的内接四边形ABCD.⑶量出可试题的所有值(圆的半径和四边形的边，内角，对角线，周长，面积)，并观察这些量之间的关系.⑷ 改变圆的半径大小，这些量有无变化？由(3)观察得出的某些关系有无变化？⑸移动四边形的一个顶点，这些量有无变化？由(3)观察得出的某些关系有无变化？移动四边形的四个顶点呢？移动三个顶点呢？⑹如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢？(让学生回答)4.性质的证明及巩固练习⑴证明猜想已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O.求证：∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°⑵完善性质①若将线段BC延长到E( 如图 2)，那么，∠DCE与∠BAD又有什么关系呢？②圆的内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.⑶练习①找出图中相等的角、互补的角。