2015年武汉市元月调考数学试卷(含答案)

2014—2015学年度武汉市部分学校九年级调研测试数学试卷武汉市教育科学研究院命制 2015.1.28亲爱的同学，在你答题前，请认真阅读下面以及“答题卡”上的注意事项：1.本试卷由第1卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成。

全卷共6页，三大题，满分120分。

测试用时120分钟。

2.答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号。

3．答第1卷（选择题）时，选出每小题答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

不得答在“试卷”上．．．．．．．．．。

4．答第Ⅱ卷（非选择题）时，用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上。

答在第．．．．．．．．．．．．．I．、Ⅱ卷的试卷上无效。

预祝你取得优异成绩！第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答卷上将正确答案的代号涂黑：1．方程5x2-4x -1 =0的二次项系数和一次项系数分别为A．5和4 B．5和-4 C．5和-1 D．5和12．桌上倒扣着背面相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃．从中随机抽取一张，则A．能够事先确定抽取的扑克牌的花色B．抽到黑桃的可能性更大C．抽到黑桃和抽到红桃的可能性一样大D．抽到红桃的可能性更大3．抛物线y=x2向下平移一个单位得到抛物线A．y=(x+1)2B．y=(x-1)2C．y=x2+1 D．y=x2-14．用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指A．连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次．B．连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次．C．抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上”．D．抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5．5．如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD为A．正方形B．菱形C．矩形D．直角梯形6．在平面直角坐标系中，点A( -4，1)关于原点的对称点的坐标为A．(4,1) B．(4，-1) C．( -4, -1) D．(-1, 4)7．圆的直径为13 cm,，如果圆心和直线的距离是d，则．A．当d =8 cm,时，直线和圆相交．B．当d=4.5 cm时，直线和圆相离．C．当d =6.5 fm时，直线和圆相切．D．当d=13 cm时，直线和圆相切．8．用配方法解方程x2 +10x +9 =0，下列变形正确的是A．(x+5)2=16. B．(x+10)2=91. C．(x-5)2=34. D．(x+10)2=1099．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2 +bx +5经过A(2，5)，B( -1，2)两点，若点C在该抛物线上，则C点的坐标可能是A.(-2,0).B.(0.5,6.5).C.(3,2).D.(2,2).10.如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D，若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为A．2- B．-1． C.2．D．+1．第9题图第10题图第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答卷指定的位置．11．经过某丁字路口的汽车，可能左拐，也可能右拐，如果这两种可能性一样大，则三辆汽车经过此路口时，全部右拐的概率为________________．12．方程x2-x-=0的判别式的值等于________________．13.抛物线y=-x2 +4x -1的顶点坐标为_________________．14.某村的人均收入前年为12 000元，今年的人均收入为14 520元．设这两年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为________________________________．15.半径为3的圆内接正方形的边心距等于________________．16.圆锥的底面直径是8cm，母线长9cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为________．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17．（本题8分）解方程：x2 +2x -3=018.（本题8分）不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，除颜色外无其他差别．(1)随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画村状图的方法求出“两球都是绿色”的概率；(2)随机摸出两个小球，直接写出两次都是绿球的概率．19.（本题8分）如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC，点E为垂足，点D在优弧上．(1)若∠AOB= 56°，求∠ADC的度数；(2)若BC=6，AE=1，求⊙O的半径．20．（本题8分）如图，E是正方形ABCD申CD边上任意一点．(1)以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形；(2)在BC边上画一点F，使△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半，请简要说明你取该点的理由。

湖北省武汉市元月调考2015年九年级数学模拟试卷（1）一、选择题（每小题3分，共30分）1．二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠02．在平面直角坐标系中，点A（l，3）关于原点O对称的点A′的坐标为（）A．（﹣1，3）B．（1，﹣3）C．（3，1）D．（﹣1，﹣3）3．下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大的是（）A．y=﹣x2 B．y=x﹣1 C．y=﹣x+1 D．y=4．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为O.1”．下列说法正确的是（）A．抽10次奖必有一次抽到一等奖B．抽一次不可能抽到一等奖C．抽10次也可能没有抽到一等奖D．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖5．若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（）A．直线x=1 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=﹣46．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．7．如图，直线AB、AD与⊙O相切于点B、D，C为⊙O上一点，且∠BCD=140°，则∠A的度数是（）A．70° B．105° C．100° D．110°8．已知x1，x2是方程的两根，则的值为（）A．3 B． 5 C．7 D．9．如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论是（）A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤二、填空题（每小题3分，共18分）11．在⊙O中，半径R=1，弦AB=，弦AC=，则∠BAC的度数为．12．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是度．13．某校准备组织师生观看北京奥运会球类比赛，在不同时间段里有3场比赛，其中2场是乒乓球赛，1场是羽毛球赛，从中任意选看2场，则选看的2场恰好都是乒乓球比赛的概率是．14．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是．15．如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是．16．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是．三、解答题17．解方程：x2﹣5x+2=0．18．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．19．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的三个顶点A、B、O都在格点上．（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1O三角形；点B的运动路径的长；（3）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积．20．为丰富学生的学习生活，某校2015年九年级1班组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：如果人数超过25人，每增加1人，人均活动费用降低2元，但人均活动费用不得低于75元．如果人数不超过25人，人均活动费用为100元．春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？21．箱子里有3个红球和2个黄球，从箱子中一次拿两个球出来．（1）请你用列举法（树形图或列表）求一次拿出的两个球中时一红一黄的概率；往箱子中再加入x个白球，从箱子里一次拿出的两个球，多次实验统计如下取出两个球的次数20 30 50 100 150 200 400至少有一个球是白球的次数13 20 35 71 107 146 288至少有一个球是白球的频率0.65 0.67 0.70 0.71 0.713 0.73 0.72请你估计至少有一个球是白球的概率是多少？（3）在的条件下求x的值．（=0.7222222…）22．如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；若，AD=2，求线段BC的长．23．某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．薄板的边长（cm）20 30出厂价（元/张）50 70（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价﹣成本价），①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）24．已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C 为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．湖北省武汉市元月调考2015年九年级数学模拟试卷（1）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0考点：抛物线与x轴的交点．分析：利用kx2﹣6x+3=0有实数根，根据判别式可求出k取值范围．解答：解：∵二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，∴方程kx2﹣6x+3=0（k≠0）有实数根，即△=36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．故选D．点评：考查二次函数与一元二次方程的关系．2．在平面直角坐标系中，点A（l，3）关于原点O对称的点A′的坐标为（）A．（﹣1，3）B．（1，﹣3）C．（3，1）D．（﹣1，﹣3）考点：关于原点对称的点的坐标．分析：根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．解答：解：点A（l，3）关于原点O对称的点A′的坐标为（﹣1，﹣3）．故选：D．点评：此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．3．下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大的是（）A．y=﹣x2 B．y=x﹣1 C．y=﹣x+1 D．y=考点：二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．分析：根据二次函数的性质对A进行判断；根据一次函数的性质对B、C进行判断；根据反比例函数性质对D进行判断．解答：解：A、y=﹣x2，当x＞0时，y的值随x的值增大而减小，所以A选项错误；B、y=x﹣1，x＞0时，y的值随x的值增大而增大，所以B选项正确；C、y=﹣x+1，当x＞0时，y的值随x的值增大而减小，所以C选项错误；D、y=，当x＞0时，y的值随x的值增大而减小，所以D选项错误．故选B．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线；抛物线的顶点式为y=a（x﹣）2+，对称轴为直线x=﹣，顶点坐标为（﹣，），当a＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数和反比例函数的性质．4．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为O.1”．下列说法正确的是（）A．抽10次奖必有一次抽到一等奖B．抽一次不可能抽到一等奖C．抽10次也可能没有抽到一等奖D．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖考点：概率的意义．分析：根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可．解答：解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为O.1”就是说抽10次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，故选：C．点评：此题主要考查了概率的意义，概率是对事件发生可能性大小的量的表现．5．若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（）A．直线x=1 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=﹣4考点：二次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．分析：先将（﹣2，0）代入一次函数解析式y=ax+b，得到﹣2a+b=0，即b=2a，再根据抛物线y=ax2+bx 的对称轴为直线x=﹣即可求解．解答：解：∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），∴﹣2a+b=0，即b=2a，∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=﹣=﹣=﹣1．故选：C．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中．用到的知识点：点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式；二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣．6．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．考点：解直角三角形；等腰直角三角形；旋转的性质．专题：计算题．分析：根据旋转的性质可得AC′=AC，∠BAC′=30°，然后利用∠BAC′的正切求出C′D的长度，再利用三角形的面积公式列式计算即可求解．解答：解：根据题意，AC′=AC=1，∵∠B′AB=15°，∴∠BAC′=45°﹣15°=30°，∴C′D=AC′tan30°=，∴S阴影=AC′•C′D=×1×=．故选B．点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的两直角边相等，锐角等于45°的性质，是基础题，难度不大．7．如图，直线AB、AD与⊙O相切于点B、D，C为⊙O上一点，且∠BCD=140°，则∠A的度数是（）A．70° B．105° C．100° D．110°考点：切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质．分析：过点B作直径BE，连接OD、DE．根据圆内接四边形性质可求∠E的度数；根据圆周角定理求∠BOD的度数；根据四边形内角和定理求解．解答：解：过点B作直径BE，连接OD、DE．∵B、C、D、E共圆，∠BCD=140°，∴∠E=180°﹣140°=40°．∴∠BOD=80°．∵AB、AD与⊙O相切于点B、D，∴∠OBA=∠ODA=90°．∴∠A=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°．故选C．点评：此题考查了切线的性质、圆内接四边形性质、圆周角定理、四边形内角和定理等知识点，难度中等．连接切点和圆心是解决有关切线问题时常作的辅助线．8．已知x1，x2是方程的两根，则的值为（）A．3 B． 5 C．7 D．考点：根与系数的关系．分析：首先，根据根与系数的关系求得x1+x2=，x1•x2=1；其次，对所求的代数式进行变形，变为含有两根之和、两根之积的形式的代数式；最后，代入求值即可．解答：解：∵x1，x2是方程的两根，∴x1+x2=，x1•x2=1，∴=（x1+x2）2﹣2x1•x2=5﹣2=3．故选A．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．9．如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：延长AO交BC于D，过O作BC的垂线，设垂足为E，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD 是等边三角形，设AB的长为xcm，由此可表示出OD、BD和DE的长；在Rt△ODE中，根据∠ODE 的度数，可得出OD=2DE，进而可求出x的值．解答：解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，设AB的长为xcm，∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD=AD=AB=x；∵OA=4cm，BC=10cm，∴BE=5cm，DE=（x﹣5）cm，OD=（x﹣4）cm，又∵∠ADB=60°，∴DE=OD，∴x﹣5=（x﹣4），解得：x=6．故选B．点评：此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的应用．解答此题时，通过作辅助线将半径OB置于直角三角形OBE中，从而利用勾股定理求得．10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论是（）A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤考点：二次函数图象与系数的关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据抛物线与x轴的交点情况，抛物线的开口方向，对称轴及与y轴的交点，当x=±1时的函数值，逐一判断．解答：解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确；∵抛物线对称轴为x=﹣＜0，与y轴交于负半轴，∴ab＞0，c＜0，abc＜0，故②错误；∵抛物线对称轴为x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，故③错误；∵当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，故④正确；∵当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故⑤正确；正确的是①④⑤．故选D．点评：本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系．关键是会利用对称轴的值求2a与b的关系，对称轴与开口方向确定增减性，以及二次函数与方程之间的转换．二、填空题（每小题3分，共18分）11．在⊙O中，半径R=1，弦AB=，弦AC=，则∠BAC的度数为75°或15°．考点：垂径定理；勾股定理；特殊角的三角函数值．分析：作垂直于弦的半径，构造直角三角形，利用三角函数的特殊值进行解答．解答：解：利用垂径定理可知：AD=，AE=，根据直角三角形中三角函数的值可知：sin∠AOD=，∴∠AOD=60°sin∠AOE=，∴∠AOE=45°，∴∠BAC=75°．当两弦共弧的时候就是15°．故答案为：75°或15°．点评：本题的关键是画图，图形可以帮助学生直观简单的理清题意，然后利用垂径定理和特殊角的三角函数求解即可．注意本题有两种情况．12．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是150度．考点：扇形面积的计算；弧长的计算．专题：计算题．分析：根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．解答：解：扇形的面积公式=lr=240πcm2，解得：r=24cm，又∵l==20πcm，∴n=150°．故答案为：150．点评：此题主要是利用扇形的面积公式先求出扇形的半径，再利用弧长公式求出圆心角．13．某校准备组织师生观看北京奥运会球类比赛，在不同时间段里有3场比赛，其中2场是乒乓球赛，1场是羽毛球赛，从中任意选看2场，则选看的2场恰好都是乒乓球比赛的概率是．考点：列表法与树状图法．分析：先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．解答：解：由树状图可知共有3×2=6种可能，选看的2场恰好都是乒乓球比赛的有2种，所以概率是．点评：画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是6或12或10．考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，而整数k＜5，则k=4，方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．解答：解：根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，解得k≥，∵整数k＜5，∴k=4，∴方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．∴△ABC的周长为6或12或10．故答案为：6或12或10．．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边的关系．15．如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（7，3）．考点：坐标与图形变化-旋转；一次函数的性质．专题：图表型．分析：根据旋转的性质﹣﹣旋转不改变图形的形状和大小解答．解答：解：直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，4）两点，由图易知点B′的纵坐标为O′A=OA=3，横坐标为OA+O′B′=OA+OB=7．则点B′的坐标是（7，3）．故答案为：（7，3）．点评：解题时需注意旋转前后线段的长度不变．16．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是 4.8．考点：切线的性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理．分析：设EF的中点为P，⊙P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形PC+PD=EF，由三角形的三边关系知，PC+PD＞CD；只有当点P在CD上时，PC+PD=EF有最小值为CD的长，即当点P在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC•AC÷AB，进而求出即可．解答：解：如图，设EF的中点为P，⊙P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PD⊥AB；∵AB=10，AC=8，BC=6，∴∠ACB=90°，PC+PD=EF，∴PC+PD＞CD，∵当点P在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，EF=CD有最小值，∴CD=BC•AC÷AB=4.8．故答案为：4.8．点评：此题主要考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解，得出CD=BC•AC÷AB是解题关键．三、解答题17．解方程：x2﹣5x+2=0．考点：解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：找出a，b及c的值，得到根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．解答：解：这里a=1，b=﹣5，c=2，∵△=25﹣8=17＞0，∴x=，则x1=，x2=．点评：此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．18．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：（1）方程有两个实数根，可得△=b2﹣4ac≥0，代入可解出k的取值范围；结合（1）中k的取值范围，由题意可知，x1+x2=2（k﹣1）＜0，去绝对值号结合等式关系，可得出k的值．解答：解：（1）由方程有两个实数根，可得△=b2﹣4ac=4（k﹣1）2﹣4k2=4k2﹣8k+4﹣4k2=﹣8k+4≥0，解得，k≤；依据题意可得，x1+x2=2（k﹣1），x1•x2=k2，由（1）可知k≤，∴2（k﹣1）＜0，x1+x2＜0，∴﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=x1•x2﹣1，∴﹣2（k﹣1）=k2﹣1，解得k1=1（舍去），k2=﹣3，∴k的值是﹣3．答：（1）k的取值范围是k≤；k的值是﹣3．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法；注意k的取值范围是正确解答的关键．19．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的三个顶点A、B、O都在格点上．（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1O三角形；点B的运动路径的长；（3）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积．考点：作图-旋转变换；弧长的计算；扇形面积的计算．专题：作图题．分析：（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；利用弧长公式列式计算即可得解；（3）观察图形，△ABO旋转过程中所扫过的面积等于一个扇形的面积加上三角形的面积列式计算即可得解．解答：解：（1）△A1B1O如图所示；点B的运动路径的长==2π；（3）扫过的面积=S扇形B1OB+S△AOB，=+×4×2，=4π+4．点评：本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，扇形面积的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．20．为丰富学生的学习生活，某校2015年九年级1班组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：如果人数超过25人，每增加1人，人均活动费用降低2元，但人均活动费用不得低于75元．如果人数不超过25人，人均活动费用为100元．春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？考点：一元二次方程的应用．专题：应用题．分析：判断得到这次春游活动的人数超过25人，设人数为x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．解答：解：∵25人的费用为2500元＜2800元，∴参加这次春游活动的人数超过25人，设该班参加这次春游活动的人数为x名．根据题意，得[100﹣2（x﹣25）]x=2800，整理，得x2﹣75x+1400=0，解得：x1=40，x2=35，x1=40时，100﹣2（x﹣25）=70＜75，不合题意，舍去；x2=35时，100﹣2（x﹣25）=80＞75，答：该班共有35人参加这次春游活动．点评：此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．21．箱子里有3个红球和2个黄球，从箱子中一次拿两个球出来．（1）请你用列举法（树形图或列表）求一次拿出的两个球中时一红一黄的概率；往箱子中再加入x个白球，从箱子里一次拿出的两个球，多次实验统计如下取出两个球的次数20 30 50 100 150 200 400至少有一个球是白球的次数13 20 35 71 107 146 288至少有一个球是白球的频率0.65 0.67 0.70 0.71 0.713 0.73 0.72请你估计至少有一个球是白球的概率是多少？（3）在的条件下求x的值．（=0.7222222…）考点：列表法与树状图法；利用频率估计概率．分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与一次拿出的两个球中时一红一黄的情况，再利用概率公式即可求得答案；观察表格，即可求得答案；（3）由共有（x+5）（x+4）取法，至少有一个球是白球的有：（x+5）（x+4）﹣20，可得=，继而求得答案．解答：解：（1）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，一次拿出的两个球中时一红一黄的有12种情况，∴一次拿出的两个球中时一红一黄的概率为：=；观察可得：至少有一个球是白球的概率是：0.72；（3）∵共有（x+5）（x+4）取法，至少有一个球是白球的有：（x+5）（x+4）﹣20，∴=，解得：x=4，经检验，x=4是原分式方程的解．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；若，AD=2，求线段BC的长．考点：切线的判定与性质；勾股定理．专题：计算题．分析：（1）因为BC经过圆的半径的外端，只要证明AB⊥BC即可．连接OE、OC，利用△OBC≌△OEC，得到∠OBC=90°即可证明BC为⊙O的切线．作DF⊥BC于点F，构造Rt△DFC，利用勾股定理解答即可．解答：（1）证明：连接OE、OC．∵CB=CE，OB=OE，OC=OC，∴△OBC≌△OEC．∴∠OBC=∠OEC．又∵DE与⊙O相切于点E，∴∠OEC=90°．∴∠OBC=90°．∴BC为⊙O的切线．解：过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，BF=AD=2，DF=AB=2．∵AD、DC、BC分别切⊙O于点A、E、B，∴DA=DE，CE=CB．设BC为x，则CF=x﹣2，DC=x+2．在Rt△DFC中，（x+2）2﹣（x﹣2）2=2，解得x=．∴BC=．点评：此题考查了切线的判定和勾股定理的应用，作出辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键．23．某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．薄板的边长（cm）20 30出厂价（元/张）50 70（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价﹣成本价），①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）考点：二次函数的应用．分析：（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；①首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=y﹣mx2，进而得出m 的值，求出函数解析式即可；②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．解答：解：（1）设一张薄板的边长为xcm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y=kx+n．由表格中的数据，得，解得，所以y=2x+10；①设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=y﹣mx2=2x+10﹣mx2，将x=40，p=26代入p=2x+10﹣mx2中，得26=2×40+10﹣m×402．解得m=．所以p=﹣x2+2x+10．②因为a=﹣＜0，所以，当x=﹣=﹣=25（在5～50之间）时，p最大值===35．即出厂一张边长为25cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．点评：本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．24．已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．考点：几何变换综合题．专题：综合题．分析：（1）易证△BCC′和△BAA′都是等边三角形，从而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°，∠DC′A′=∠DA′C′=30°，进而可以证到AD=DC′=A′D．解答中提供了两种方法，分别利用相似与全等，证明所得的结论．（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，有∠AC′B=90°，易证Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL），从而可以求出旋转角α的度数．解答：答：（1）AD=A′D．证明：如图1，∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∴BC=BC′，BA=BA′．∵∠A′BC′=∠ABC=60°，∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形．∴∠BAA′=∠BC′C=60°．∵∠A′C′B=90°，∴∠DC′A′=30°．∵∠AC′D=∠BC′C=60°，∴∠ADC′=60°．∴∠DA′C′=30°．∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′．∴AD=DC′，DC′=DA′．∴AD=A′D．仍然成立：AD=A′D．证法一：利用相似．如图2﹣1．由旋转可得，BA=BA′，BC=BC′，∠CBC′=∠ABA′∵∠1=（180°﹣∠ABA′），∠3=（180°﹣∠CBC′）∴∠1=∠3．设AB、CD交于点O，则∠AOD=∠BOC∴△BOC∽△DOA．∴∠2=∠4，=．连接BD，∵∠BOD=∠COA，∴△BOD∽△COA．∴∠5=∠6．∵∠ACB=90°，∴∠2+∠5=90°．∴∠4+∠6=90°，即∠ADB=90°．∵BA=BA′，∠ADB=90°，∴AD=A′D．证法二：利用全等．如图2﹣2．过点A作AE∥A′C′，交CD的延长线于点E，则∠1=∠2，∠E=∠3．由旋转可得，AC=A′C′，BC=BC′，∴∠4=∠5．∵∠ACB=∠A′C′B=90°，∴∠5+∠6=∠3+∠4=90°，∴∠3=∠6．∴∠E=∠6，∴AE=AC=A′C′．在△ADE与△A′DC′中，∴△ADE≌△A′DC′（ASA），∴AD=A′D．（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，如图3，则有∠AC′B=180°﹣∠A′C′B=90°．在Rt△ACB和Rt△AC′B中，．∴Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL）．∴∠ABC=∠ABC′=60°．∴当A、C′、A′三点在一条直线上时，旋转角α的度数为60°．。

201４—2015学年度武汉市部分学校九年级调研测试数学试卷武汉市教育科学研究院命制2015.1.２8亲爱的同学，在你答题前,请认真阅读下面以及“答题卡”上的注意事项:1.本试卷由第1卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成。

全卷共6页，三大题，满分1２0分。

考试用时１20分钟。

2.答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置,并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号。

3.答第1卷（选择题)时,选出每小题答案后，用2Ｂ铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

不得答在“试卷”上．．．．．．．．．。

4．答第Ⅱ卷(非选择题)时，用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上。

答在第．．．．．．I．、Ⅱ卷的试卷上无效。

．．．．．．．预祝你取得优异成绩!第Ⅰ卷（选择题共3０分)一、选择题(共10小题,每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案,其中有且只有一个正确，请在答卷上将正确答案的代号涂黑：1.方程5ｘ２-4x -1 =0的二次项系数和一次项系数分别为A.5和4ﻩB.5和-4C.5和－1ﻩＤ．５和1２.桌上倒扣着背面相同的5张扑克牌，其中３张黑桃、２张红桃．从中随机抽取一张，则A.能够事先确定抽取的扑克牌的花色ﻩﻩＢ．抽到黑桃的可能性更大Ｃ．抽到黑桃和抽到红桃的可能性一样大D．抽到红桃的可能性更大3.抛物线ｙ=x2向下平移一个单位得到抛物线A.y=(x＋1)2B．y=（ｘ-1)2ﻩﻩＣ.y=x2+１ﻩﻩD. y=x２－14．用频率估计概率，可以发现,抛掷硬币,“正面朝上”的概率为０.5，是指A．连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次．B.连续抛掷10０次,结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各5０次．C.抛掷2n次硬币,恰好有n次“正面朝上”.Ｄ.抛掷ｎ次,当ｎ越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于０.5.5．如图,在⊙Ｏ中，弦ＡB,AC互相垂直，D,E分别为AB,AC的中点,则四边形OEAD为A.正方形B.菱形Ｃ．矩形 D.直角梯形6．在平面直角坐标系中，点A( -４，1）关于原点的对称点的坐标为A．(4,1) Ｂ.（4,-1) Ｃ.( -４,-1) D.(-1,4)７.圆的直径为１3 cm,，如果圆心与直线的距离是d，则.Ａ．当d＝８ｃm,时，直线与圆相交. Ｂ．当d=4.5 cm时,直线与圆相离.C．当ｄ=6.5 fm时,直线与圆相切．D．当d＝13 ｃm时,直线与圆相切.8.用配方法解方程x2＋10x +９=０，下列变形正确的是A．(x＋5）2=16. B.(x＋1０）2=９1．C．（x－5)2=34. Ｄ．（x+１０)2＝10９9.如图，在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2 +bx +5经过A(２,5）,Ｂ( -1,2)两点，若点Ｃ在该抛物线上，则Ｃ点的坐标可能是A.（-２,0）. B．(0.5,6.5). Ｃ.(3,２）．Ｄ.（２,２）.１０.如图,在⊙O中，弦ＡD等于半径,Ｂ为优弧AＤ上的一动点，等腰△ＡBC的底边ＢC所在直线经过点Ｄ，若⊙O的半径等于１,则ＯC的长不可能为A．2- B.-1．C．2．Ｄ.+1.第9题图第1０题图第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(共６小题,每小题3分,共18分)下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答卷指定的位置.１1.经过某丁字路口的汽车，可能左拐，也可能右拐，如果这两种可能性一样大，则三辆汽车经过此路口时,全部右拐的概率为_＿＿______＿______．1２.方程x2－x-=0的判别式的值等于_＿_＿_＿__＿_____＿_．13.抛物线y＝-x２+４ｘ-１的顶点坐标为_____＿＿__________．1４.某村的人均收入前年为１2 ０00元，今年的人均收入为14 520元．设这两年该村人均收入的年平均增长率为x,根据题意，所列方程为__＿__＿____＿_＿＿______＿_＿____＿＿___．15.半径为3的圆内接正方形的边心距等于____＿____＿______．16.圆锥的底面直径是8cm，母线长9ｃm,则它的侧面展开图的圆心角的度数为＿_______.三、解答题（共8小题,共72分）下列各题需要在答卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17.(本题8分)解方程：x2＋2ｘ-3＝0１８.(本题8分）不透明的袋子中装有红色小球１个、绿色小球2个，除颜色外无其他差别．(1)随机摸出一个小球后，放回并摇匀,再随机摸出一个，用列表或画村状图的方法求出“两球都是绿色”的概率；（2)随机摸出两个小球，直接写出两次都是绿球的概率．１９.(本题８分)如图，在⊙O中,半径OA⊥弦BＣ，点Ｅ为垂足,点D在优弧上．（1）若∠ＡOB= 56°,求∠ADC的度数；(２)若ＢC=6,AＥ=1,求⊙O的半径．20.(本题８分)如图,E是正方形ABCD申ＣD边上任意一点.(１)以点A为中心,把△ADE顺时针旋转９0°，画出旋转后的图形;(２)在BC边上画一点F,使△CＦE的周长等于正方形ＡBCＤ的周长的一半，请简要说明你取该点的理由。

2015届高三年级调研考试 文 科 数 学 试 卷本试题卷共5页，共22题。

满分150分，考试用时120分钟★祝考试顺利 ★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。

2．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试题卷上无效。

3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。

答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。

4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集为R ，集合}0|{£=x x A ，}21|{<<-=x x B ，则=B A IA ．}0|{£x xB ．}01|{£<-x xC ．}20|{<£x xD ．f2.如果复数)i 1)(i (-+a 的模为10，则实数a 的值为A ．2B ．22C ．2±D ．22± 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．12B ．24C ．40D ．72 4. 根据如下样本数据x34567y4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 得到的回归方程为ˆybx a =+.若9.7=a ,则b 的值为 A ．4.1 B ．4.1- C ．2.1 D ．2.1-5.已知正方形ABCD 的边长为2,E为CD 的中点, F 为AD 的中点,则=×BF AEA ．0B ．1C ．2D ．4俯视图 正视图 侧视图6.如图，取一个底面半径和高都为R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R 的半球放在同一水平面a 上.用一平行于平面a 的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）.设截面面积分别为圆S 和圆环S ，那么A ．圆S >圆环SB ．圆S =圆环SC ．圆S <圆环SD ．不确定7. 函数ïîïíì³<<-=-)0( e ),01)(sin()(12x x x x f x p 满足2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为 A ．1或22-B ．22-C ．1D ．1或228.函数)0(sin 2)(>=w w x x f 在区间4,0[p上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么=w A ．32 B ．34C ．2D ．4 9.设斜率为22的直线l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 交于不同的两点P 、Q ，若点P 、Q 在x 轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是A ．2B ．2C ．3D ．3 10.已知函数()f x 的图象如图所示，若函数a xx f y --=1)(在区间]10,10[-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 A ．]4,4[- B ．)4,4(- C ．1,1[- D ． 1,1(-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11. 已知某地区中小学生人数和近视情况如下表所示：年级 人数 近视率 小学 3500 10% 初中 4500 30% 高中200050%为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则：（Ⅰ）样本容量为___________；（Ⅱ）抽取的高中生中，近视人数为___________． 12.化简oo 10cos 310sin 1-=_____________. 13．已知点M 的坐标),(y x 满足不等式组ïïîïïíì£+£+³³,123,62,0,0y x y x y x 则y x -的取值范围是_____________.14. 阅读如图所示的程序框S 的值为_______.15.以)3,1(为圆心，并且与直线0643=--y x 相切的圆的方程为 . 16.给出以下数对序列：(1，1)(1，2) (2，1)(1，3) (2，2) (3，1)(1，4) (2，3) (3，2) (4，1) ……记第i 行的第j 个数对．．为ij a ，如)2,3(43=a ，则（Ⅰ）=54a ________；（Ⅱ）=nm a ________． 17.已知函数x b x a x x f 223)1(31)(+--=，其中}4,3,2,1{Îa ，}3,2,1{Îb ，则函数)(x f 在R 上是增函数的概率为__________.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC D 三内角A ，B ，C 的对边，3p =B ，8=c ， 71cos -=C . （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求ABC D 的面积.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11=a ，n n a a 21=+；数列{}n b 满足31=b ，62=b ，且{}n n a b -为等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本小题满分13分）如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面是边长为2的正方形，31=AA ，点E 在棱B B 1上运动.（Ⅰ）证明：E D AC 1^；（Ⅱ）若三棱锥E D A B 111-的体积为32时，求异面直线AD ，E D 1所成的角.21.（本小题满分14分）已知函数1ln )(-=xxx f . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0>m ，求)(x f 在区间]2,[m m 上的最大值； （Ⅲ）证明：对*Î"N n ，不等式nnn n +<+1)1ln(e 成立.22．（本小题满分14分）已知椭圆C ：)0(122>>=+b a by a x 的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为1:3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线)2,(¹Î=t t t x R 上纵坐标不为0的任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求t 的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当||||PQ TF 最小时，求点T 的坐标．12015届高三年级调研考试文科数学参考答案及评分细则一、选择题：1. B2.C 3．C 4. B 5.A 6.B 7. A 8.B 9.A 10.C 二、填空题：11.（Ⅰ）200；（Ⅱ）20 12. 4 13． ]4,3[- 14. 5050- 15. 9)3()1(22=-+-y x 或016222=+--+y x y x 16.（Ⅰ） (4，2)；（Ⅱ）)1,(+-m n m 17. 43三、解答题：18.解：（Ⅰ）71cos -=C Q ，734cos 1sin 2=-=\C C . B b C c sin sin =Q，3p =B ，237348b=\，即7=b .…………………………（6分） （Ⅱ）方法一：)sin()sin(sin C B C B A +=--=p Q C B C B sin cos cos sin += 14337342171(23=´+-´=， 3614337821sin 21=´´´==\D A bc S ABC .………………………………………（12分）方法二：B ac c a b cos 2222-+=Q ，3cos 8287222pa a ´-+=\， 即01582=+-a a .3=\a 或5=a .当5=a 时，712cos 222=-+=ab c b a C ，不合题意.36238321sin 21=´´´==\D B ac S ABC .…………………………………………（12分） 19.解：（Ⅰ）由题意知数列{}n a 是首项11=a ，公比2=q 的等比数列， 所以12-=n n a ；因为211=-a b ，422=-a b ，所以数列{}n n a b -的公差为2=d .所以n n d n a b a b n n 2)1(22)1()(11=-+=-+-=-. 所以122-+=n n n b .…………………………………………………（6分）（Ⅱ）n n b b b b T ++++=L 321)2421()2642(1-+++++++++=n n L L21)21(12)22(--´++=n n n 12)1(-++=n n n .………………………………………（12分）20.解：（Ⅰ）连接BD .ABCD Q 是正方形，BD AC ^\.Q 四棱柱1111D C B A ABCD -是直棱柱，^\B B 1平面ABCD .ÌAC Q 平面ABCD ， AC B B ^\1. ^\AC 平面11BDD B .ÌE D 1Q 平面11BDD B ，\E D AC 1^.…………………………………………………（6分） （Ⅱ）111111D B A E E D A B V V --=Q ，^1EB 平面1111D C B A ，111111131EB S V D B A D B A E ×=\D -.1211111111=×=D D A B A S D B A Q ，32311111==\-EB V D B A E .21=\EB .11//D A AD Q ，111B D A Ð\为异面直线AD ，E D 1所成的角.在D Rt 11D EB 中，求得221=ED .^11A D Q 平面11ABB A ，E A A D 111^\.在D Rt 11D EB 中，求得21222cos 11==ÐE D A ，o 6011=ÐE D A . 所以，异面直线AD ，E D 1所成的角为o60.……………………………………………（13分） 21.解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+¥，2ln 1)(x xx f -=¢， 由0ln 1)(2=-=¢xxx f ，得e =x . 当e 0<<x 时，0ln 1)(2>-=¢x x x f ；当e >x 时，0ln 1)(2<-=¢x xx f .所以函数)(x f 在e],0(上单调递增，在),e [+¥上单调递减. ………………………（4分）1（Ⅱ）（1）当e 20£<m ，即2e0£<m 时，)(x f 在]2,[m m 上单调递增，所以 12)2ln()2()(max -==mm m f x f . （2）当e ³m 时，)(x f 在]2,[m m 上单调递减，所以1ln )()(max -==mmm f x f . （3）当2m e <<m ，即e 2e<<m 时，)(x f 在]e ,[m 上单调递增，在]2,e [m 上单调递减，所以1e1)e ()(max -==f x f .…………………………………………………（10分） （Ⅲ）由（Ⅰ）知，当),0(+¥Îx 时，1e1)e ()(max -==f x f ，所以在),0(+¥上，恒有 1e 11ln )(-£-=x x x f ，即e1ln £x x 且当e =x 时等号成立. 因此，对),0(+¥Î"x ，恒有x x e1ln £. 因为01>+n n ，e 1¹+n n ，所以n n n n +×£+1e 11ln ，即n nn n +£+11ln e ， 所以nnn n +£+1)1ln(e . 即对*Î"N n ，不等式nnn n +<+1)1ln(e 成立. …………………………………（14分） 22．解：（Ⅰ）由已知可得ïîïíì==-=,3,42222b a b a c解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . …………………………………………………（4分）（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标为(2，0).由题意知直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线PQ 的方程为x ＝my +2. 将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得îïíïìx ＝my +2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2+4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则34221+-=+m m y y ，32221+-=m y y . 于是3124)(22121+=++=+m y y m x x . 设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为)32,36(+-+m mm . 因为PQ TF ^，所以直线FT 的斜率为m -，其方程为)2(--=x m y . 当t x =时，()2--=t m y ，所以点T 的坐标为()()2,--t m t ，此时直线OT 的斜率为()tt m 2--，其方程为x t t m y )2(-=.将M 点的坐标为32,36(22+-+m mm 代入x t t m y )2(-=， 得36)2(32+×-=+-m t t m m m .解得3=t . ………………………………………（8分） （ⅱ）由（ⅰ）知T 点的坐标为),3(m -. 于是1||2+=m TF ，221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-= ]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m 3)1(2422++=m m . 所以1)3(241)1(2431||||222222++×=++×+=m m m m m PQ TF14)1(4)1(2411)3(2412222222+++++×=++×=m m m m m414124122++++×=m m 33442241=+׳.当且仅当14122+=+m m ，即1±=m 时，等号成立，此时||||PQ TF 取得最小值33． 故当||||PQ TF 最小时，T 点的坐标是)1,3(或)1,3(-．…………………………………（14分）。

2014~2015学年度武汉市部分学校九年级调研测试数 学 模 拟 试 卷2015.1.18说明：本试卷分第I 卷和第II 卷．第I 卷为选择题，第II 卷为非选择题，全卷满分120分，考试时间为120分钟．第I 卷（选择题 共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．将一元二次方程24581x x +=化成一般式后，如果二次项系数是4，则一次项系数和常数项分别是（ ）A 、5,81B 、5，-81C 、-5,81D 、5x ，-81 2．抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）A.（2，3）B.（-2，3）C.（2，-3）D.（-2，-3） 3．下列图形中，为中心对称图形的是（ ）4．有两个事件，事件A ：某射击运动员射击一次，命中靶心；事件B ：掷一枚硬币，正面朝上，则（ ）A 、事件A 和事件B 都是随机事件 B 、事件A 和事件B 都是必然事件C 、事件A 是随机事件，事件B 是必然事件D 、事件A 是必然事件，事件B 是随机事件5．如图，⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离OE 为3cm ，则⊙O 的半径是（ ） A 、3cm B 、4cm C 、5cm D 、10cm6．某地区的消费品零售总额持续增长，10月份为1.2亿元，11月份达到2.8亿元，如果从9月份到11月份每月增长的百分率相同，则9月份的消费品零售总额为（ ）A 、22.8 1.22.81 1.2-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭亿元B 、22.8 1.22.81 2.8-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭亿元C 、22.8 1.22.81 2.8-⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭亿元 D 、22.8 1.22.81 1.2-⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭亿元7．如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上任意一点，把△ADE 绕A 顺时针方向旋转一个角度后得到△ABE ′，则旋转的角度可能是（ ）A 、90°B 、45°C 、135°D 、270°8．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 （ ）（A ）1∶2∶3 （B ）3∶2∶1（C ）3∶2∶1 （D ）1∶2∶3 9．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 、E 是半圆的四等份点，CH ⊥AB 于H ，连接BD 、EC 相交于F 点，连接AC 、EH ，下列结论①CE=2CH ；②∠ACH=∠CEH ；③∠CFD=2∠ACH ，其中正确的结论是（ ） A 、①②③ B 、只有①② C 、只有①③ D 、只有③10．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1,有如下结论：①abc ＜0；②a-b+c>0；③b 2>4ac ；④3a-2b+c<0，则正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②③④第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．用配方法解()1262+-=-x x ，此方程配方形式为 ．12．将函数142+-=x x y 的图象沿x 轴方向向右平移2个单位长度后再沿y 轴向下平移1 个单位长度，得到函数解析式是 ．13．已知圆锥的底面半径为1，全面积为4π，则圆锥的侧面展开图的圆心角为 ．14．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计第41次摸球是白球的概率大约是 ．15．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC ，要求在其内部作出一个半圆，直径在△ABC 的边上，且半圆的弧与△ABC 的其他两边相切，则该半圆的半径是 （结果保留根号）． 16．如图，已知△ABC ，外心为O ，BC=10，∠BAC=60°，分别以AB ，AC 为要腰向形外作等腰直角三角形△ABD 与△ACE ，连接BE ，CD 交于点P ，则OP 的最小值是PED CBA三、解答题（共8小题，共72分）17．（本题6分）．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m =0有两个不相等的实数根21,x x 。

学年度武汉市部分学校九年级元月调研测试2015~2016数学试卷日月21考试时间：2016年1 分）分，共30一、选择题（共10小题，每小题32，一次项系数、常数项分1101．将方程x化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为－8x＝）别是（10 、．8．8、－10 DA．－8、－10 B．－8、10 C）2．如图汽车标志中不是中心对称图形的是（． D ．C．A． B）（3．袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则．摸到黑球、白球的可能性的大小一样BA．这个球一定是黑球D．事先能确定摸到什么颜色的球．这个球可能是白球C2y＝－3(x－1)）－2的对称轴是（4．抛物线2 D．x＝－C．x＝2 ＝A．x1 B．x ＝－1秒．当你抬头看信号灯时，秒，红灯亮25秒，黄灯亮55．某十字路口的交通信号灯每分钟绿灯亮30 ）是绿灯的概率为（1151 ． C A．．B D．6212126.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100°D．130°7．圆的直径为10 cm，如果点P到圆心O的距离是d，则（）A．当d＝8 cm时，点P在⊙O内B．当d＝10 cm时，点P在⊙O上C．当d＝5 cm时，点P在⊙O上D．当d＝6 cm时，点P在⊙O内8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（）A．2根小分支B．3根小分支C．4根小分支D．5根小分支2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（m．关于9x的方程(－2)x）A．m≤3 B．m≥3 C．m≤3且m≠2 D．m＜3PM⊥OA，上的动点，10．如图，扇形OAB的圆心角的度数为120°，半径长为4，P为弧AB 分别在半径上作NM、△PN⊥OB，垂足分别为M、N，D是PMN的外心．当点P运动的过程中，点）O相应运动，从点N离开点O时起，到点M到达点时止，点D运动的路径长为（2 D．2 π．C．BA ．32π3分）3分，共18二、填空题（本大题共6个小题，每小题__________关于原点对称点的坐标为3，2)11．在平面直角坐标系中，点A(－5次．当转盘停止转动时，指针指向大于8个扇形的面积都相等，任意转动转盘112.如图，转盘中__________的数的概率为13．某村种的水稻前年平均每公顷产7 200 kg，今年平均每公顷产8 450 kg．设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为________________________2－2x先向下平移一个单位，再向右平移一个单位，所得新抛．在直角坐标系中，将抛物线y＝－x14物线的解析式为____________________15．如图，要拧开一个边长为a＝12 mm的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要________mm 12x，－1）与函数y＝Z |xkx，ab，c|，直线y＝＋（k＞0三个数的中位数记作、16．我们把ab、cZ |2__________ k的取值为＋1|的图象有且只有2个交点，则＋1，－x分）72三、解答题（共8题，共2的一个根，求a的值和方程的另一根＝－2x＋a0是一元二次方程．（本题178分）已知3x6、5、426．（本题8分）有张看上去无差别的卡片，上面分别写着1、、3、18 2张卡片，用列表或画树状图的方法求出“两张卡片上的数都是偶数”的概率(1) 一次性随机抽取张，直接写出“第二次取出的数字小于第一次1随机摸取张后，放回并混在一起，再随机抽取1(2)取出的数字”的概率19．（本题8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E.(1) 求证：AC平分∠DAB；(2) 连接CE，若CE＝6，AC＝8，直接写出⊙O直径的长20．（本题8分）如图，正方形ABCD和直角△ABE，∠AEB＝90°，将△ABE绕点O旋转180°得到△CDF(1) 在图中画出点O和△CDF，并简要说明作图过程。

武昌区2015届高三年级元月调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题： 1．A 2．B 3．B 4．B 5.B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．C二、填空题：11． 0 12． a n ＝2n ，或a N ＝2N 13. 214.（Ⅰ）126；（Ⅱ）34579 15． 4 16． 2 三、解答题：17．解：（Ⅰ）因为()a x x x f ++=2cos 2sin 3，所以()a x x f ++=)62sin(2π.因为]2,0[π∈x 时，]67,6[62πππ∈+x ，所以67π=x 时)(x f 的取得最小值a f +-=1)67(π. 依题意，01=+-a ，所以1=a ；…………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1)62sin(2++=πx x f .要使()0≥x f ，即21)62sin(-≥+πx .所以Z ∈+≤+≤-k k x k ,6726262πππππ，即Z ∈+≤≤-k k x k ,26ππππ. 当0=k 时，26ππ≤≤-x ；当1=k 时，2365ππ≤≤x .又],0[π∈x ，故使0)(≥x f 成立的x 的集合是],65[]2,0[πππ .………………………………（11分）18．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，1，d +2，d 64+成等比数列，所以()d d 6422+=+，即022=-d d ，所以0=d 或2=d .因此，当=d 时，1=n a ；当2=d 时，12-=n a n .……………………………………………（6分）（Ⅱ）当1=n a 时，1≥=n T n ，此时不存在正整数n ，使得20151007<n T ； 当12-=n a n 时，()()12121531311+⨯-++⨯+⨯=n n T n)]121121()5131()3111[(21+--++-+-=n n 12)1211(21+=+-=n n n . 由20151007<n T ，得2015100712<+n n ，解得1007<n .故n 的最大值为1006. …………………………………………………（12分）19．解：设x BF AE ==.以D 为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：()0,0,0D ，()0,0,2A ，()0,2,2B ，()0,2,0C ，()2,0,01D ,()2,0,21A ，()2,2,21B ,()2,2,01C ,()0,,2x E ,()0,2,2x F -.（Ⅰ）因为)2,2,(1--=x F A ，)2,2,2(1--=x E C ， 所以()()02,2,22,2,11=--⋅--=⋅x x E C F A .所以E C F A 11⊥.………………………………………（4分） （Ⅱ）因为BEF BEF BEF B S BB S V ∆∆-=⨯=323111， 所以当BEF S ∆取得最大值时，三棱锥BEF B -1的体积取得最大值因为()()11122≤--=-=∆x x x S BEF ，所以当1=x 时，即E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点时，三棱锥B 1-BEF 的体积取得最大值，此时E ，F 坐标分别为()0,1,2E ,()0,2,1F .设平面EF B 1的法向量为()c b a m ,,=，则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=⋅=--⋅=⋅,00,1,1,,,02,1,0,,1c b a c b a E B m 得⎩⎨⎧=-=+.0,02b a c b取1,2,2-===c b a ，得()1,2,2-=m .显然底面ABCD 的法向量为()1,0,0=n . 设二面角B EF B --1的平面角为θ，由题意知θ为锐角. 因为31||||,cos -=⋅>=<n m ，所以31cos =θ，于是322sin =θ. 所以22t a n =θ，即二面角BEF B --1的正切值为22.………………………………（12分）20．解：（Ⅰ）设A 1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A 2表示事件“日车流量低于5万辆”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则P (A 1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，P (A 2)＝0.05，所以P (B )＝0.7×0.7×0.05×2＝0.049. …………………………………………………（6x分）（Ⅱ）X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为027.0)7.01()0(303=-⋅==C X P ，189.0)7.01(7.0)1(213=-⋅⋅==C X P ，441.0)7.01(7.0)2(223=-⋅⋅==C X P ，343.07.0)3(333=⋅==C X P .X 的分布列为因为X ～B (3，0.7)（12分）21．解：（Ⅰ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c 解得a 2＝6，b 2＝2.所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . …………………………………………………（4分）（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).设直线PQ 的方程为x ＝my +2，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my +2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2+4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝-4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3.于是x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)+4＝12m 2＋3.设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为)32,36(22+-+m mm .因为PQ TF ⊥，所以直线FT 的斜率为m -，其方程为)2(--=x m y . 当t x =时，()2--=t m y ，所以点T 的坐标为()()2,--t m t ，此时直线OT 的斜率为()tt m 2--，其方程为x t t m y )2(-=. 将M 点的坐标为)32,36(22+-+m m m 代入，得36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m .解得3=t . ………………………………………………（8分）（ⅱ）由（ⅰ）知T 为直线3=x 上任意一点可得，点T 点的坐标为),3(m -. 于是1||2+=m TF ，221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-=]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m 3)1(2422++=m m . 所以1)3(241)1(2431||||222222++⋅=++⋅+=m m m m m PQ TF 14)1(4)1(2411)3(2412222222+++++⋅=++⋅=m m m m m 414124122++++⋅=m m 33442241=+⋅≥. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值33．故当|TF ||PQ |最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，－1)．………………………………………………（14分）22．解：（Ⅰ）由1e )(--=ax x f x ，得a x f x -='e )(.又11)0(-=-='a f ，所以2=a .所以12e )(--=x x f x ，2e )(-='x x f . 由02e )(>-='x x f ，得2ln >x .所以函数)(x f 在区间)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增. ……………………（4分）(Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知4ln 112ln 2e)2(ln )(2ln min -=--==f x f .所以4ln 1)(-≥x f ，即4ln 112e -≥--x x，04ln 22e >-≥-x x. 令1e )(2--=x x g x，则02e )(>-='x x g x.所以)(x g 在),0(+∞上单调递增，所以0)0(1e )(2=>--=g x x g x ，即1e 2+>x x .…………（8分）(Ⅲ)首先证明：当0>x 时，恒有331e x x>. 证明如下：令331e )(x x h x-=，则2e )(x x h x -='. 由(Ⅱ)知，当0>x 时，2e x x >，所以0)(>x h ，所以)(x h 在),0(+∞上单调递增，所以01)0()(>=>h x h ，所以331e x x>.所以)31ln(3x x >，即x x ln 33ln >+.依次取nn x 1,,23,12+= ，代入上式，则12ln 33ln 12>+， 23ln 33ln 23>+， nn n n 1ln 33ln 1+>++. 以上各式相加，有)12312ln(33ln 12312n n n n n +⨯⨯⨯>+++++ 所以()1ln 33ln )131211(+>++++++n n nn ，所以()n n n n --+>++++3ln 1ln 3131211 ，即()n n n n e31ln 1312113+>++++ .………（14分）另解：用数学归纳法证明（略）。

2015届高三元月调考 数学（理科）试卷【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本能力为载体，，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、椭圆、导数、数列、三角函数的性质，立体几何等；考查学生解决实际问题的能力。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）【题文】1.设复数z 满足i i21=+z，则 z =( ) A.i 2+- B.i 2-- C.i 2+ D.i 2-【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案】C【解析】12i i z +=，可得z=212(12)i i i i i++==2-i, z =2+i 【思路点拨】直接化简复数方程，复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，求出复数z 即可．【题文】2.设集合P ＝{x |⎰>=+-x02006103x dt t t ,)(}，则集合P 的非空子集个数是( )A.2B.3C.7D.8【知识点】集合及其运算A1 【答案】B【解析】∵P={x|∫0x （3t 2-10t+6）dt=0，x ＞0}，∴P={2，3}因为集合A 中有2个元素，所以集合A 子集有22=4个，则集合A 的非空子集的个数是4-1=3．【思路点拨】先根据定积分求出集合P ，根据集合子集的公式2n（其中n 为集合的元素），求出集合A 的子集个数，然后除去空集即可得到集合A 的非空真子集的个数． 【题文】3.下列结论正确的是( ) A.若向量//a b ，则存在唯一的实数λ使得aλb =B.已知向量,a b 为非零向量，则“,a b 的夹角为钝角”的充要条件是“,a b ＜0”C.命题：若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 且1-≠x ，则21x ≠D.若命题012<+-∈∃x x x P ,R :，则012>+-∈∀⌝x x x P ，R : 【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件A2 【答案】C【解析】若向量//a b ，0b ≠，则存在唯一的实数λ使aλb =，故A 不正确；已知向量a ,b 为非零向量，则“a ,b 的夹角为钝角”的充要条件是“a •b ＜0，且向量a ,b 不共线”，故不正确；条件否定，结论否定，逆命题，可知C 正确；若命题p ：∃x ∈R ，x 2-x+1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2-x+1≤0，故D 不正确．【思路点拨】根据向量共线定理判断A ，向量a ,b 为非零向量，则“a ,b 的夹角为钝角”的充要条件是“,a b ＜0，且向量a ,b 不共线”，可判断B ，条件否定，结论否定，逆命题可判断C ；命题p ：∃x ∈R ，x 2-x+1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2-x+1≤0，可判断D ．【题文】4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( ) A.π36 B.π9 C.π29 D.π827【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2 【答案】C【解析】∵俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，故底面外接圆半径r=2， 由主视图中棱锥的高h=1，故棱锥的外接球半径R 满足：R=221()(2)2+=32， 故该几何体外接球的体积V=43πR 3=92π. 【思路点拨】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，求出底面外接圆半径和棱锥的高，进而利用勾股定理，求出其外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案．【题文】5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,27),...(43211n 2312=+++=-a a a a a a S n ，则6a =（ ）A.27B.81C.243D.729 【知识点】等比数列及等比数列前n 项和D3 【答案】C【解析】利用等比数列的性质可得，a 1a 2a 3=a 23=27 即a 2=3因为S 2n =4（a 1+a 3+…+a 2n-1）所以n=1时有，S 2=a 1+a 2=4a 1从而可得a 1=1，q=3所以，a 6=1×35=243【思路点拨】利用等比数列的性质可得，a 1a 2a 3=a 23=27 从而可求a 2， 结合S 2n =4（a 1+a 3+…+a 2n-1）考虑n=1可得，S 2=a 1+a 2=4a 1从而可得a 1及公比 q ，代入等比数列的通项公式可求a 6 【题文】6.设函数)22,0)(sin(3)(πφπωφω<<->+=x x f 的图像关于直线32π=x 对称,它的周期是π，则（ ） A.)(x f 的图象过点)21,0( B.)(x f 的一个对称中心是)0,125(πC.)(x f 在]32,12[ππ上是减函数 D.将)(x f 的图象向右平移||φ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案】B【解析】因为函数的周期为π，所以ω=2，又函数图象关于直线x=23π对称， 所以由f(x)=3sin(2x+φ)(ω＞0，-2π＜φ＜2π)， 可知2×23π+φ=k π+2π，φ=k π-56π，-2π＜φ＜2π，所以k=1时φ=6π．函数的解析式为：f(x)=3sin(2x+6π)．当x=0时f （0）=32，所以A 不正确．当x=512π时f （x ）=0．函数的一个对称中心是（512π，0）B 正确；当12π＜x ＜23π，2x+6π∈[3π，32π]，函数不是单调减函数，C 不正确； f （x ）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sin （ωx+φ-ωφ）的图象，不是函数y=3sin ωx 的图象，D 不正确；【思路点拨】根据三角函数的单调性周期性对称性求出。

2015年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷(文科)2015年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集为R，集合A={x|x≤0}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|x≤0} B．{x|﹣1＜x≤0} C．{x|0≤x＜2}D．∅2．（5分）如果复数（a+i）（1﹣i ）的模为，则实数a的值为（）A．2B．C．±2 D．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．24 C．40 D．724．（5分）根据如下样本数据x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0得到的回归方程为．若a=7.9，则b的值为（）A．1.4 B．﹣1.4 C．1.2 D．﹣1.25．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，F为AD的中点，则=（）A．0B．1C．2D．46．（5分）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环B．S圆=S圆环C．S圆＜S圆环D．不确定7．（5分）函数f（x）=若f（1）+f（a）=2，则a的所有可能值为（）A．1B．﹣C．1，﹣D．1，8．函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω=（）A．B．C．2D．49．（5分）设斜率为的直线l与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于不同的两点P、Q，若点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是（）A．B．2C．D．310．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，若函数y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况如表所示：年级人数近视率小学3500 10%初中4500 30%高中2000 50%为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则：（Ⅰ）样本容量为_________；抽取的高中生中，近视人数为_________．12．（5分）=_________．13．（5分）已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，则x﹣y的取值范围是_________．14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为_________．15．（5分）以（1，3）为圆心，并且与直线3x﹣4y﹣6=0相切的圆的方程为_________．16．（5分）给出以下数对序列：（1，1）（1，2）（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）…记第i行的第j个数对为a ij，如a43=（3，2），则（Ⅰ）a54=_________；（Ⅱ）a nm=_________．17．（5分）已知函数f（x）=x 3﹣（a﹣1）x2+b2x，其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，则函数f（x）在R上是增函数的概率是_________．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C 的对边，B=，c=8，cosC=﹣．求：（1）求b的值；（2）求△ABC的面积．19．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n；数列{b n}满足b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}为等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA 1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B 1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．21．（14分）（2011•河南模拟）已知函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：∀n∈N *，不等式ln（）e＜．22．（14分）（2015•武昌区模拟）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．2015年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集为R，集合A={x|x≤0}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）C．{x|0≤x＜2} D．∅A．{x|x≤0} B．{x|﹣1＜x≤0}解答：解：∵A={x|x≤0}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B={x|x≤0}∩{x|﹣1＜x＜2}={x|﹣1＜x≤0}．故选：B．2．（5分）如果复数（a+i）（1﹣i ）的模为，则实数a的值为（）A．2B．C．±2 D．解答：解：∵复数（a+i）（1﹣i）=a+1+（1﹣a）i 的模为，∴=，化为a2=4，解得a=±2．故选：C．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．24 C．40 D．72解答：解：由三视图得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥和长方体的组合体，长方体的长宽高分别为3，4，2，故长方体的体积为3×4×2=24，四棱锥的底面积为：3×4=12，高为6﹣2=4，故四棱锥的体积为：×12×4=16，故组合体的体积V=24+16=40，故选：C4．（5分）根据如下样本数据x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0得到的回归方程为．若a=7.9，则b的值为（）A．1.4 B．﹣1.4 C．1.2 D．﹣1.2解答：解：样本平均数=5，=1.9，∵样本数据中心点必在回归直线上，将=5，=1.9，代入得：1.9=5b+7.9，解得：b=﹣1.2，故选：D5．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，F为AD的中点，则=（）A．0B．1C．2D．4解答：解：=（）•（）=（+）•（﹣）=﹣﹣=﹣﹣0=0，故选A．6．（5分）（2015•武昌区模拟）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R 的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环 B．S圆=S圆环C．S圆＜S圆环D．不确定解答：解：根据题意：∵①半球的截面圆：r=，S截面圆=π（R2﹣d2），②∵取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，∴r=d，S圆环=π（R2﹣d2），根据①②得出：S截面圆=S圆环，故选：B7．（5分）（山东）函数f（x）=若f（1）+f （a）=2，则a的所有可能值为（）A．1B．﹣C．1，﹣D．1，解答：解：由题意知，当﹣1＜x＜0时，f（x）=sin（πx2）；当x≥0时，f（x）=e x﹣1；∴f（1）=e1﹣1=1．若f（1）+f（a）=2，则f（a）=1；当a≥0时，e a﹣1=1，∴a=1；当﹣1＜a＜0时，sin（πx2）=1，∴，x=（不满足条件，舍去），或x=．所以a的所有可能值为：1，．故答案为：C8．（5分）函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω=（）A．B．C．2D．4解答：解：由题意可得y=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，且在这个区间上的最大值是，∴sin（ω•）=，ω•=，ω=，故选：B．9．（5分）设斜率为的直线l与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于不同的两点P、Q，若点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是（）A．B．2C．D．3解答：解：设斜率为的直线l：y=x+t，代入双曲线方程，消去y，可得，（b 2﹣a2）x2﹣a2tx﹣a2t2﹣a2b2=0，由于点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则有上式的两根分别为﹣c，c．则t=0，即有（b 2﹣a2）c2=a2b2，由于b2=c2﹣a2，则有2c 4﹣5a2c2+2a4=0，由e=，则2e4﹣5e2+2=0，解得e 2=2（舍去），则e=．故选：A．10．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，若函数y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同），即函数y=f（x）与y=g（x）=的图象在[﹣10，10]上有10个不同的交点．先研究a≥0时的情况，如图，当a=0时，g（x）=恰好与y=f（x）产生10个交点；当a＞0时，y=的图象是将y=向上平移a个单位，则在y轴右边，当g（9）＜1时，右边产生4个交点；同时y轴左边满足g（﹣10）≤0时，左边产生6个交点．这样共产生10个交点，即，解得0≤a≤．同理，根据函数图象的对称性可知，当a＜0时，只需时满足题意．综上，当时，函数y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同）．故选C二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况如表所示：年级人数近视率小学3500 10%初中4500 30%高中2000 50%为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则：（Ⅰ）样本容量为200；抽取的高中生中，近视人数为20．考分层抽样方法．点：解答：解：由题意可知学生总人数为：3500+4500+2000=10000，（Ⅰ）样本容量为：10000×20%=200；（Ⅱ）2000×20%=40．40×50%=20．故答案为：200；20．12．（5分）=4．解答：解：=故答案为：413．（5分）已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，则x﹣y的取值范围是[﹣3，4]．解答：解：作作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点C（4，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大，此时z max=4，当直线经过点A（0，3）时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．此时z min=0﹣3=﹣3．∴﹣3≤z≤4，故答案为：[﹣3，4]14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为﹣5050．解答：解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=12﹣22+32﹣42+…+992﹣1002的值，∵S=12﹣22+32﹣42+…+992﹣1002=（1﹣2）（1+2）+（3﹣4）（3+4）+…+（99﹣100）（99+100）=﹣（1+2+3+4+…+99+100）=﹣=﹣5050，故答案为：﹣505015．（5分）以（1，3）为圆心，并且与直线3x﹣4y﹣6=0相切的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=9．解答：解：以（1，3）为圆心，与直线3x﹣4y﹣6=0相切的圆的方程的半径r等于圆心到直线的距离d，∴r=d==3，∴圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9．16．（5分）给出以下数对序列：（1，1）（1，2）（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）…记第i行的第j个数对为a ij，如a43=（3，2），则（Ⅰ）a54=（4，2）；（Ⅱ）a nm=（m，n﹣m+1）．分析：由前4行得到，每一行的第一个数对是（1，n），n为行数，接着的每一个数对前一个数是连续的自然数，后一个是依次减1的数，由此推出第n行的数对，即可得到（Ⅰ）、（Ⅱ）的结论，注意每一行中，第一个数是列数，两个数之和减1是行数．解答：解：由前4行的特点，归纳可得：若a nm=（a，b），则a=m，b=n﹣m+1，∴a54=（4，5﹣4+1）=（4，2），a nm=（m，n﹣m+1），故答案为：（Ⅰ）（4，2）；（Ⅱ）（m，n﹣m+1）17．（5分）已知函数f（x）=x3﹣（a﹣1）x2+b2x，其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，则函数f（x）在R上是增函数的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．分析：函数f（x）在R上是增函数转化为f'（x）≥0恒成立，即△≤0解得a，b的一个关系式，一一列举出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．解答：解：f'（x）=x2﹣2（a﹣1）x+b2若函数f（x）在R上是增函数，则对于任意x∈R，f'（x）≥0恒成立．所以，△=4（a﹣1）2﹣4b2≤0，即（a+b﹣1）（a﹣b﹣1）≤0因为a+b﹣1≥1，所以a﹣b﹣1≤0，即a﹣b≤1，则满足的条件有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，3），（3，2），（4，3）9个基本事件，总的基本事件有12种．故函数f（x）在R上是增函数的概率P==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C 的对边，B=，c=8，cosC=﹣．求：（1）求b的值；（2）求△ABC的面积．解答：解：（1）∵cosC=﹣，∴sinC===，∴sinC=，根据正弦定理，得，∴b===7，∴b的值为7．（2）∵sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC==，∴sinA=，∴S=bcsinA==6．∴△ABC的面积6．19．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n；数列{b n}满足b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}为等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n 项和T n．解答：解：（Ⅰ）由题意知数列{a n}是首项a1=1，公比q=2的等比数列，所以；因为b1﹣a1=2，b2﹣a2=4，所以数列{b n﹣a n}的公差为d=2．所以b n﹣a n=（b1﹣a1）+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n．所以．…（6分）（Ⅱ）∵，∴T n=b1+b2+b3+…+b n=（2+4+6+…+2n）+（1+2+4+…+2n﹣1）==n（n+1）+2n﹣1．…（12分）20．（13分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E 的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．解答：解：（Ⅰ）如下图所示：连接BD，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，∴AC⊥平面B1BDD1．∵D1E⊂平面B1BDD1，∴AC⊥D1E．…（6分）（Ⅱ）∵，EB1⊥平面A1B1C1D1，∴．∵，∴．∴EB1=2．∵AD∥A1D1，∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．在Rt△EB1D1中，求得．∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E．在Rt△EB1D1中，得，∴∠A1D1E=60°．∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．…（13分）21．（14分）（2011•河南模拟）已知函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：∀n∈N*，不等式ln （）e ＜．解解：（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）由已知答：令f′（x）=0得，1﹣lnx=0，∴x=e∵当0＜x＜e 时，，当x＞e 时，∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减故①当0＜2m≤e即时，f（x）在[m，2m]上单调递增∴，②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减∴，③当m＜e＜2m，即时，∴．（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，，∴在（0，+∞）上恒有，即且当x=e时“=”成立，∴对∀x∈（0，+∞）恒有，∵，∴即对∀n∈N *，不等式恒成立．22．（14分）（2015•武昌区模拟）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．分析：（Ⅰ）由已知可得，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）（ⅰ）设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ 的方程与椭圆C的方程联立，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出t=3．（ⅱ）T点的坐标为（3，﹣m）．，|PQ|=．由此能求出当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1）．解答：解：（Ⅰ）由已知可得，解得a2=6，b2=2．所以椭圆C 的标准方程是．…（4分）（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标为（2，0）．由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，其判别式△=16m2+8（m2+3）＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．于是．设M为PQ的中点，则M点的坐标为．因为TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为﹣m，其方程为y=﹣m（x﹣2）．当x=t时，y=﹣m（t﹣2），所以点T的坐标为（t，﹣m （t﹣2）），此时直线OT的斜率为，其方程为．将M点的坐标为代入，得．解得t=3．…（8分）（ⅱ）由（ⅰ）知T点的坐标为（3，﹣m）．于是，====．所以==．当且仅当，即m=±1时，等号成立，此时取得最小值．故当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1）．…（14分）。

2014—2015学年度武汉市部分学校九年级调研测试数学试卷武汉市教育科学研究院命制 2015.1.28亲爱的同学，在你答题前，请认真阅读下面以及“答题卡”上的注意事项：1.本试卷由第1卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成。

全卷共6页，三大题，满分120分。

考试用时120分钟。

2.答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号。

3．答第1卷（选择题）时，选出每小题答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

不得答在“试卷”上．．．．．．．．．。

4．答第Ⅱ卷（非选择题）时，用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上。

答在第．．．．．I．、Ⅱ卷的试卷上无效。

．．．．．．．．预祝你取得优异成绩！第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答卷上将正确答案的代号涂黑：1．方程5x2-4x -1 =0的二次项系数和一次项系数分别为A．5和4 B．5和-4 C．5和-1 D．5和12．桌上倒扣着背面相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃．从中随机抽取一张，则A．能够事先确定抽取的扑克牌的花色B．抽到黑桃的可能性更大C．抽到黑桃和抽到红桃的可能性一样大D．抽到红桃的可能性更大3．抛物线y=x2向下平移一个单位得到抛物线A．y=(x+1)2B．y=(x-1)2C．y=x2+1 D．y=x2-14．用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指A．连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次．B．连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次．C．抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上”．D．抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5．5．如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD为A．正方形B．菱形C．矩形D．直角梯形6．在平面直角坐标系中，点A( -4，1)关于原点的对称点的坐标为A．(4,1) B．(4，-1) C．( -4, -1) D．(-1, 4)7．圆的直径为13 cm,，如果圆心与直线的距离是d，则．A．当d =8 cm,时，直线与圆相交．B．当d=4.5 cm时，直线与圆相离．C．当d =6.5 fm时，直线与圆相切．D．当d=13 cm时，直线与圆相切．8．用配方法解方程x2 +10x +9 =0，下列变形正确的是A．(x+5)2=16. B．(x+10)2=91. C．(x-5)2=34. D．(x+10)2=1099．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx +5经过A(2，5)，B( -1，2)两点，若点C 在该抛物线上，则C点的坐标可能是A.(-2,0).B.(0.5,6.5).C.(3,2).D.(2,2).10.如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D，若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为A．2- B．-1． C.2．D．+1．第9题图第10题图第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答卷指定的位置．11．经过某丁字路口的汽车，可能左拐，也可能右拐，如果这两种可能性一样大，则三辆汽车经过此路口时，全部右拐的概率为________________．12．方程x2-x-=0的判别式的值等于________________．13.抛物线y=-x2 +4x -1的顶点坐标为_________________．14.某村的人均收入前年为12 000元，今年的人均收入为14 520元．设这两年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为________________________________．15.半径为3的圆内接正方形的边心距等于________________．16.圆锥的底面直径是8cm，母线长9cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为________．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17．（本题8分）解方程：x2 +2x -3=018.（本题8分）不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，除颜色外无其他差别．(1)随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画村状图的方法求出“两球都是绿色”的概率；(2)随机摸出两个小球，直接写出两次都是绿球的概率．19.（本题8分）如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC，点E为垂足，点D在优弧上．(1)若∠AOB= 56°，求∠ADC的度数；(2)若BC=6，AE=1，求⊙O的半径．20．（本题8分）如图，E是正方形ABCD申CD边上任意一点．(1)以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形；(2)在BC边上画一点F，使△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半，请简要说明你取该点的理由。

2015~2016学年度武汉市中心城区和部分城郊区学校九年级元月调研测试数学试卷武昌区、江岸区、江汉区、硚口区、汉阳区、青山区、洪山区、江夏区，高新开发区、经开区、新州区、黄陂区、东西湖区等考试时间：2016年1月21日 考试时间 120分钟，分值120分一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，请把正确答案填在答题卡）1．将方程x 2－8x ＝10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A ．－8、－10B ．－8、10C ．8、－10D ．8、10分析考点：一元二次方程的概念难易成度：☆2．如图汽车标志中不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．分析考点：中心对称图形的概念 难易成度：☆3．袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则（ ）A ．这个球一定是黑球B ．摸到黑球、白球的可能性的大小一样C ．这个球可能是白球D ．事先能确定摸到什么颜色的球分析考点：概率的概念 难易成度：☆4．抛物线y ＝－3(x －1)2－2的对称轴是（ ）A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2分析考点：抛物线（二次函数的基础）的概念难易成度：☆5．某十字路口的交通信号灯每分钟绿灯亮30秒，红灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为（ ） A ．121 B ．61 C ．125 D ．21 分析考点：概率的基础 难易成度：☆6. (2015²常德)如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠BCD 的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°分析考点：四边形及四点共圆的基础和概念 难易成度：☆7．圆的直径为10 cm ，如果点P 到圆心O 的距离是d ，则（ ）A ．当d ＝8 cm 时，点P 在⊙O 内B ．当d ＝10 cm 时，点P 在⊙O 上C ．当d ＝5 cm 时，点P 在⊙O 上D ．当d ＝6 cm 时，点P 在⊙O 内分析考点：四点共圆的基础和概念 难易成度：☆8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（ ） A ．2根小分支 B ．3根小分支C ．4根小分支D ．5根小分支分析考点：概率的基础难易成度：☆9．关于x 的方程(m －2)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≤3B ．m ≥3C ．m ≤3且m ≠2D ．m ＜3分析考点：一元二次方程的概念，根的判别式。

武昌区2015届高三年级元月调研考试理 科 数 学 试 卷本试题卷共4页，共22题。

满分150分，考试用时120分钟★祝考试顺利 ★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。

2．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试题卷上无效。

3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。

答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。

4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 为虚数单位，若i 3)i 3(-=+z ,则=||z A ．1 B ．2 C ．3D ．22．已知⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≤-≤-=1|1|1|1|),(y x y x A ,()()}111|),{(22≤-+-=y x y x B ，“存在点A P ∈”是“B P ∈”的A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 3．若62)(xb ax +的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为 A ．1 B ．2C ．3D ．44．根据如下样本数据就 A ．增加4.1个单位 B ．减少4.1个单位C ．增加2.1个单位D ．减少2.1个单位5.如图，取一个底面半径和高都为R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R 的半球放在同一水平面α上.用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）.设截面面积分别为圆S 和圆环S ，那么A ．圆S >圆环SB ．圆S =圆环SC ．圆S <圆环SD ．不确定6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是A ．24+26和40B ．24+26和72C ．64+26和40D ．50+26和727．已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为 A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1 8．如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0,—1)，B (π,—1)，C (π,1)，D (0,1)，正弦曲线f (x )=sin x 和余弦曲线g (x )=cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是A ．π21+ B ．π221+ C ．π1D ．π219．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足32π=∠AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 A ．3 B ．23C ．33D ．4310．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，它的图象关于直线1=x 对称，且()x x f =()10≤<x .若函数()a xx f y --=1在区间[]10,10-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 A ．]54,54[- B ．)54,54(- C ．]101,101[- D ． )101,101(-俯视图 正视图侧视图二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对．．．．应题号．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点, F 为AD 的中点,则=⋅BF AE _______.【答案】012．根据如图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是_______.【答案】a n ＝2n ，或a N ＝2N13.设斜率为22的直线l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 交于不同的两点P 、Q ，若点P 、Q 在x 轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是 . 【答案】214. “渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位的“渐升数”）. （Ⅰ）共有 个五位“渐升数”（用数字作答）；（Ⅱ）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是 .【答案】（Ⅰ）126；（Ⅱ）34579（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C .若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________． 【答案】416．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧+==a t y t x ,（t 为参数，a 为实数常数），曲线2C 的参数方程是⎩⎨⎧+-=-=bt y t x ,（t 为参数，b 为实数常数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程是1=ρ. 若1C 与2C 分曲线3C 所成长度相等的四段弧，则=+22b a .【答案】2三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分11分）已知函数a x x x x x f +-+-++=22sin cos )62sin()62sin()(ππ的在区间]2,0[π上的最小值为0.（Ⅰ）求常数a 的值；（Ⅱ）当],0[π∈x 时，求使0)(≥x f 成立的x 的集合. 解：（Ⅰ）因为()a x x x f ++=2cos 2sin 3， 所以()a x x f ++=)62sin(2π.因为]2,0[π∈x 时，]67,6[62πππ∈+x ，所以67π=x 时)(x f 的取得最小值a f +-=1)67(π. 依题意，01=+-a ，所以1=a ；…………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1)62sin(2++=πx x f .要使()0≥x f ，即21)62sin(-≥+πx .所以Z ∈+≤+≤-k k x k ,6726262πππππ， 即Z ∈+≤≤-k k x k ,26ππππ.当0=k 时，26ππ≤≤-x ；当1=k 时，2365ππ≤≤x . 又],0[π∈x ，故使0)(≥x f 成立的x 的集合是],65[]2,0[πππ.………………………………（11分）18．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }的首项为1，前n 项和为n S ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n T 为数列}1{1nn a a +的前n 项和，是否存在正整数n ，使得20151007<n T ？若存在，求n 的最大值；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，1，d +2，d 64+成等比数列，所以()d d 6422+=+，即022=-d d ，所以0=d 或2=d .因此，当0=d 时，1=n a ；当2=d 时，12-=n a n .…………………………………………………（6分） （Ⅱ）当1=n a 时，1≥=n T n ，此时不存在正整数n ，使得20151007<n T ； 当12-=n a n 时，()()12121531311+⨯-++⨯+⨯=n n T n )]121121()5131()3111[(21+--++-+-=n n 12)1211(21+=+-=n n n . 由20151007<n T ，得2015100712<+n n ，解得1007<n .故n 的最大值为1006. …………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图,在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE=BF . （Ⅰ）求证：A 1F ⊥C 1E ；（Ⅱ）当三棱锥BEF B -1的体积取得最大值时，求二面角B EF B --1的正切值. 解：设x BF AE ==.以D 为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：()0,0,0D ，()0,0,2A ，()0,2,2B ，()0,2,0C ， ()2,0,01D ,()2,0,21A ，()2,2,21B ,()2,2,01C , ()0,,2x E ,()0,2,2x F -.（Ⅰ）因为)2,2,(1--=x F A ，)2,2,2(1--=x E C ， 所以()()02,2,22,2,11=--⋅--=⋅x x E C F A .所以E C F A 11⊥.………………………………………（4分） （Ⅱ）因为BEF BEF BEF B S BB S V ∆∆-=⨯=323111， 所以当BEF S ∆取得最大值时，三棱锥BEF B -1的体积取得最大值. 因为()()11122≤--=-=∆x x x S BEF ，所以当1=x 时，即E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点时，三棱锥B 1-BEF坐标分别为()0,1,2E ,()0,2,1F .设平面EF B 1的法向量为()c b a ,,=，AB CD EFA 1B 1C 1D 1x则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=⋅=--⋅=⋅,00,1,1,,,02,1,0,,1c b a EF m c b a B 得⎩⎨⎧=-=+.0,02b a c b取1,2,2-===c b a ，得()1,2,2-=. 显然底面ABCD 的法向量为()1,0,0=n .设二面角B EF B --1的平面角为θ，由题意知θ为锐角. 因为31||||,cos -=⋅>=<n m n m ，所以31cos =θ，于是322sin =θ. 所以22tan =θ，即二面角B EF B --1的正切值为22.………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；（Ⅱ）用X 表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X 的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）设A 1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A 2表示事件“日车流量低于5万辆”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则 P (A 1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70， P (A 2)＝0.05，所以P (B )＝0.7×0.7×0.05×2＝0.049. …………………………………………………（6分） （Ⅱ）X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为027.0)7.01()0(303=-⋅==C X P ， 189.0)7.01(7.0)1(213=-⋅⋅==C X P ，441.0)7.01(7.0)2(223=-⋅⋅==C X P ， 343.07.0)3(333=⋅==C X P .X 的分布列为因为X ～B (3，0.7)12分）21．（本小题满分14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为1:3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线)(R ∈=t t x 上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求t 的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．解：（Ⅰ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . …………………………………………………（4分） （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).设直线PQ 的方程为x ＝my +2，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my +2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2+4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝-4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3.于是x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)+4＝12m 2＋3.设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为)32,36(22+-+m mm .因为PQ TF ⊥，所以直线FT 的斜率为m -，其方程为)2(--=x m y . 当t x =时，()2--=t m y ，所以点T 的坐标为()()2,--t m t ，此时直线OT 的斜率为()tt m 2--，其方程为x t t m y )2(-=. 将M 点的坐标为)32,36(22+-+m m m 代入，得36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m .解得3=t . ………………………………………………（8分）（ⅱ）由（ⅰ）知3=t 及T 为直线3=x 上任意一点可得，点T 点的坐标为),3(m -. 于是1||2+=m TF ，221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-=]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m 3)1(2422++=m m . 所以1)3(241)1(2431||||222222++⋅=++⋅+=m m m m m PQ TF 14)1(4)1(2411)3(2412222222+++++⋅=++⋅=m m m m m414124122++++⋅=m m 33442241=+⋅≥. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值33．故当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(3，1)或(3，－1)．………………………………………………（14分）22．（本小题满分14分）已知函数1e )(--=ax x f x (a 为常数)，曲线y ＝f (x )在与y 轴的交点A 处的切线斜率为－1. (Ⅰ)求a 的值及函数f (x )的单调区间；(Ⅱ)证明：当0>x 时，1e 2+>x x ；(Ⅲ)证明：当*∈N n 时，()nn n e)3(1ln1312113+>++++ . 解：（Ⅰ）由1e )(--=ax x f x ，得a x f x-='e )(. 又11)0(-=-='a f ，所以2=a . 所以12e )(--=x x f x ，2e )(-='xx f . 由02e )(>-='xx f ，得2ln >x .所以函数)(x f 在区间)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增. ……………………（4分） (Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知4ln 112ln 2e )2(ln )(2ln min -=--==f x f . 所以4ln 1)(-≥x f ，即4ln 112e -≥--x x ，04ln 22e >-≥-x x. 令1e )(2--=x x g x ，则02e )(>-='x x g x . 所以)(x g 在),0(+∞上单调递增.所以0)0(1e )(2=>--=g x x g x ，即1e 2+>x x .…………………………………………（8分） (Ⅲ)首先证明：当0>x 时，恒有331e x x>. 证明如下：令331e )(x x h x-=，则2e )(x x h x -='. 由(Ⅱ)知，当0>x 时，2e x x >，所以0)(>x h .所以)(x h 在),0(+∞上单调递增，所以01)0()(>=>h x h ，所以331e x x>. 所以)31ln(3x x >，即x x ln 33ln >+. 依次取nn x 1,,23,12+= ，代入上式，则12ln 33ln 12>+， 23ln 33ln 23>+， nn n n 1ln 33ln 1+>++. 以上各式相加，有)12312ln(33ln 12312nn n n n +⨯⨯⨯>+++++ 所以()1ln 33ln )131211(+>++++++n n n n ，所以()n n n n--+>++++3ln 1ln 3131211即()n n n n e31ln 1312113+>++++ .…………………………………………………（14分）。

湖北省武汉市武昌区2015届高三上学期元月调考数学理本试题卷共5页，共22题。

满分150分，考试用时120分钟 ★祝考试顺利 ★ 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。

2．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试题卷上无效。

3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。

答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。

4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。

【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【题文】1．i 为虚数单位，若i 3)i 3(-=+z ,则=||zA ．1B ．2C ．3D ．2【知识点】复数的模 L4【答案】【解析】A 解析：因为()()2332313422333ii Z iii-====-++-，所以所以2213122Z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以选A. 【思路点拨】由题意化简复数，由复数模的个数即可求得.【题文】2．已知⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≤-≤-=1|1|1|1|),(y x y x A ,()()}111|),{(22≤-+-=y x y x B ，“存在点A P ∈”是“B P ∈”的A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【知识点】充分必要条件 A2【答案】【解析】B 解析：因为集合A 表示的区域包含集合B 表示的区域，所以点P 在B 内一定在A 内，反之不成立，“存在点A P ∈”是“B P ∈”的必要而不充分的条件，所以选B.【思路点拨】根据集合中的“小范围能推大范围，大范围推不出小范围”进行判断，即可. 【题文】3．若62)(xb ax +的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【知识点】二项式定理 J3【答案】【解析】B 解析：由二项式定理的展开公式可得：()626123166..rrr r r r rr b T C ax C a b xx ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，x3项为12333,r r -=⇒=，因为62)(x b ax +的展开式中x3项的系数为20，所以3333362011C a b a b ab =⇒=⇒=，由基本不等式可得2221a b ab +≥=，当且仅当a b =时等号成立.所以选B.【思路点拨】由二项式定理的展开公式可得x3项的系数为333620C a b =可求得3311a b ab =⇒=，然后利用基本不等式求得22a b +的最小值.【题文】4．根据如下样本数据x3 4 5 6 7y4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0x y 就 A ．增加4.1个单位 B ．减少4.1个单位C ．增加2.1个单位D ．减少2.1个单位 【知识点】线性回归 I4【答案】【解析】B 解析：由已知求得样本中心为()5,0.9，代入回归直线方程可得0.957.9 1.4b b =⨯+⇒=-，所以x 每增加1个单位，y 就减少4.1个单位.所以选B.【思路点拨】根据回归直线必过样本中心，求得样本中心代入回归方程，可求得 1.4b =-，所以x 每增加1个单位，y 就减少4.1个单位.【题文】5.如图，取一个底面半径和高都为R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R 的半球放在同一水平面α上.用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）.设截面面积分别为圆S 和圆环S ，那么A ．圆S >圆环SB ．圆S =圆环SC ．圆S <圆环SD ．不确定【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积 G7【答案】【解析】B 解析：根据题意：∵①半球的截面圆：2222r R d S R d π=-=-截面圆，（），②∵取一个底面半径和高都为R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，∴22r d S R d π==-圆环，（），根据①②得出：S S =圆环截面圆.所以选B.【思路点拨】根据图形得出2222S R d r d S R d ππ=-==-圆环截面圆（），，（），即可判断．【题文】6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是A ．24+26和40B ．24+26和72C ．64+26和40D ．50+26和72 【知识点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由三视图可得该几何体是底面为边长分别为2,3,4的正方体，上面为底面边长为3,4高为4的四棱锥，所以其体积为1234344403⨯⨯+⨯⨯⨯=，表面积为：()11113242244343425464622222⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+所以选C. 【思路点拨】由三视图可得该几何体是底面为边长分别为2,3,4的正方体，上面为底面边长为3,4高为4的四棱锥，即可求得其体积以及表面积.【题文】7．已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯．．一．，则实数a 的值为 A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1 【知识点】线性规划 E5 【答案】【解析】D 解析：由题意作出其平面区域，将z y ax =-化为y ax z z =+，相当于直线y ax z =+的纵截距， 由题意可得y ax z =+，与22y x =+或与2y x =-平行， 俯视图正视图侧视图3 642故21a =-或.所以选D. 【思路点拨】由题意作出其平面区域，将z y ax =-化为y ax z z =+，相当于直线y ax z =+的纵截距，由几何意义可得．【题文】8．如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为()()()0,1,1(,10,1)A B C D ππ--，，，，正弦曲线()f x sinx =和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是A ．π21+B ．π221+ C ．π1 D ．π21【知识点】定积分 几何概型 B13 K3【答案】【解析】B 解析：根据题意，可得曲线y sinx =与y cosx =围成的区域，其面积为44|1122sinx cosx dx cosx sinx ππππ-=--=---=+⎰（）（）（） 又矩形ABCD 的面积为2π，.所以选B.【思路点拨】利用定积分计算公式，算出曲线y sinx =与y cosx =围成的区域包含在区域D 内的图形面积为2S π=，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率．【题文】9．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足32π=∠AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是A ．3B ．23C ．33D ．43 【知识点】抛物线定义 基本不等式 H7 E6【答案】【解析】C 解析：设AF a BF b ==，，过A 点作AQ 垂直准线角准线与点Q ，过B 点作BP 垂直准线角准线与点P ，由抛物线定义，得AF BF BP AQ ==，在梯形ABPQ 中，2MN AQ BP a b ∴=+=+．由余弦定理得，()2222222120AB a b abcos a b ab a b ab =+-︒=+=+-+，因为22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以可得()()223342AB a b AB a b ≥+⇒≥+，所以()()1||32||332a b MN AB a b +≤=+.所以选C. 【思路点拨】设AF a BF b ==，，，连接AF BF 、．由抛物线定义得2MN a b =+，由余弦定理可得22AB a b ab =++（），进而根据基本不等式，求得()32AB a b ≥+的取值范围，从而得到本题答案．【题文】10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，它的图象关于直线1=x 对称，且()x x f =()10≤<x .若函数()a x x f y --=1在区间[]10,10-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是A ．]54,54[-B ．)54,54(-C ．]101,101[-D ． )101,101(-【知识点】函数零点的判定定理 B9 【答案】【解析】C 解析：函数a xx f y --=1)(在区间]10,10[-上有10个零点（互不相同），即函数()f x 与()1g x a x=+在区间]10,10[-上有10个零点，先研究0a ≥时的情况，如图，当0a =时，1g x x =（）恰好与y f x =（）产生10个交点；当0a ＞时，()1g x a x =+的图象是1y x=将向上平移a 个单位，则在y 轴右边，当91g（）＜时，右边产生4个交点；同时y 轴左边满足100g -≤（）时，左边产生6个交点．这样共产生10个交点，即()911()00g g -≤⎧⎨⎩＜，解得1010a ≤≤，同理，根据函数图象的对称性可知，当0a ＜时，只需1010a -≤＜时满足题意，综上，当111010a -≤≤时，函数a x x f y --=1)(在区间]10,10[-上有10个零点（互不相同）．所以选C.【思路点拨】可采用数形结合的方法解决问题，因为a xx f y --=1)(是奇函数，只需判断0a ≥时的满足题意的a 的范围，然后即可解决问题【题文】二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11—14题）【题文】11．已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点, F 为AD 的中点,则=⋅BF AE _______.【知识点】向量的数量积 F3【答案】【解析】0解析：建立直角坐标系得()()()()0,0,2,0,2,2,0,2A B C D ，因为E 为CD 的中点, F 为AD 的中点,所以可得()()1,2,0,1E F ，即()()1,2,2,1AE BF ==-，所以可得.0AE BF =.故答案为 0.【思路点拨】建立直角坐标系可得,E F 点坐标，进而可得()()1,2,2,1AE BF ==-，有数量积运算公式可求.【题文】12．根据如图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是_______.【知识点】算法和程序框图 L1【答案】【解析】2nn a =解析：由程序框图知：1122i i a a a +==，，∴数列为公比为2的等边数列，∴2n n a =.故答案为：2nn a =．【思路点拨】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．【题文】13.设斜率为22的直线l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 交于不同的两点P 、Q ，若点P 、Q 在x 轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是 . 【知识点】双曲线的简单性质 H6【答案】解析：由题设知，令x c =±，得2y ab =±，∴2222b ac ＝，即222c a ac -＝，∴22222220c a e -∴-，＝，解得2e e ==-（舍）【思路点拨】由这两个交点在x 轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，知22222b ac ＝ ，再由222b c a =-能导出2222222220c a ac e e -∴--＝，＝，从而能得到该双曲线的离心率．【题文】14. “渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位的“渐升数”）.（Ⅰ）共有 个五位“渐升数”（用数字作答）；（Ⅱ）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是 .【知识点】计数原理 J1【答案】【解析】12634579；解析：（Ⅰ）根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他9个数字中任取5个，每种取法对应一个“渐升数”，则共有“渐升数”59126C =个，（Ⅱ）对于这些“渐升数”，1在首位的有4870C =个，2在首位的有4735C =个，3在首位的有4615C =个，对于3在首位的“渐升数”中，第二位是4的有3510C =个，第三位是5的有246C =，7035106111+++=，所以则第111个“渐升数”是首位是3、第二位是4，第三位是5的“渐升数”中最大的一个，即34589则第110个“渐升数”即34579；故答案为12634579；. 【思路点拨】（Ⅰ）分析可得“渐升数”中不能有0，则可以在其他9个数字中任取5个，按从小到大的顺序排成一列，即可以组成一个“渐升数”，即每种取法对应一个“渐升数”，由组合数公式计算59C 即可得答案，（Ⅱ）， 先计算1和2，3在首位的“渐升数”的个数，可得第100个“渐升数”的首位是3，进而计算3在首位，第二位是4，第三位是5的“渐升数”的个数，即可分 析可得第1111个“渐升数”是首位是3、第二位是4，第三位是5的“渐升数”中最大的一个，即34589，继而求出第110个.【题文】（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 【题文】15．（选修4-1：几何证明选讲）过圆外一点P 作圆的切线PA(A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C.若PA ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________．【知识点】圆的切线的判定定理的证明 N1 【答案】【解析】4解析：由题意PAB C APB CPA ∠=∠∠=∠，， ∴PAB PCA ∽，∴PB ABP C P C A AA P =＝∵689PA AC BC ===，，，∴6,968PB ABPB ==+∴34PB AB ==，，故答案为：4．【思路点拨】由题意PAB C APB CPA ∠=∠∠=∠，，可得PAB PCA ∽，，从而 PB AB P C P C A AA P =＝，代入数据可得结论． 【题文】16．（选修4-4：坐标系与参数方程） 已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧+==a t y t x ,（t 为参数，a 为实数常数），曲线2C 的参数方程是⎩⎨⎧+-=-=bt y t x ,（t 为参数，b 为实数常数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程是1=ρ. 若1C 与2C 分曲线3C 所成长度相等的四段弧，则=+22b a .【知识点】参数方程 极坐标 N3 【答案】【解析】2解析：由题意得，1C 的普通方程：y x a =+，2C 的普通方程：y x b =+，因为曲线3C 的极坐标方程是1ρ=，化为直角坐标方程为221x y +=，因为1C 与2C 分曲线3C 所成长度相等的四段弧，所以直线y x a y x b =+=+、与圆221x y +=，相交截得的弦长所对的圆心角是90°，则圆心到直线的距离，即2d =,即12a =⇒=±，即不妨令11a b ==-、，所以222a b +=，故答案为：2． 【思路点拨】由题意将参数方程、极坐标方程化为普通方程，再由题意判断出直线与圆相交截得的弦长所对的圆心角是90°，利用点到直线的距离公式求出a b 、，代入22a b +求值． 【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【题文】17．（本小题满分11分） 已知函数a x x x x x f +-+-++=22sin cos )62sin()62sin()(ππ的在区间]2,0[π上的最小值为0.（Ⅰ）求常数a 的值；（Ⅱ）当],0[π∈x 时，求使0)(≥x f 成立的x 的集合. 【知识点】三角恒等变换 三角函数的性质 C4 C5【答案】（Ⅰ）1=a ；（Ⅱ）],65[]2,0[πππ.【解析】解析：（Ⅰ）因为()a x x x f ++=2cos 2sin 3，所以()a x x f ++=)62sin(2π.因为]2,0[π∈x 时，]67,6[62πππ∈+x ，所以67π=x 时)(x f 的取得最小值a f +-=1)67(π. 依题意，01=+-a ，所以1=a ；…………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1)62sin(2++=πx x f .要使()0≥x f ，即21)62sin(-≥+πx . 所以Z ∈+≤+≤-k k x k ,6726262πππππ，即Z ∈+≤≤-k k x k ,26ππππ. 当0=k 时，26ππ≤≤-x ；当1=k 时，2365ππ≤≤x .又],0[π∈x ，故使0)(≥x f 成立的x 的集合是],65[]2,0[πππ .……………………（11分）【思路点拨】根据三角恒等变换函数化为：()a x x f ++=)62sin(2π，利用整体思想求得其最大值为1a -+即可解得1=a ；由0)(≥x f 解得：Z ∈+≤≤-k k x k ,26ππππ通过对k 赋值，使其在区间],0[π∈x 内. 【题文】18．（本小题满分12分） 已知等差数列{a n }的首项为1，前n 项和为n S ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记n T 为数列}1{1nn a a +的前n 项和，是否存在正整数n ，使得20151007<n T ？若存在，求n 的最大值；若不存在，说明理由.【知识点】等差等比数列的性质 数列求和 解不等式 D2 D3 D4 【答案】（Ⅰ）12-=n a n ；（Ⅱ）n 的最大值为1006.【解析】解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，1，d +2，d 64+成等比数列， 所以()d d 6422+=+，即022=-d d ，所以0=d 或2=d .因此，当0=d 时，1=n a ；当2=d 时，12-=n a n .……………………………（6分） （Ⅱ）当1=n a 时，1≥=n T n ，此时不存在正整数n ，使得20151007<n T ； 当12-=n a n 时，()()12121531311+⨯-++⨯+⨯=n n T n )]121121()5131()3111[(21+--++-+-=n n 12)1211(21+=+-=n n n .由20151007<n T ，得2015100712<+n n ，解得1007<n .故n 的最大值为1006. …………………………………………………（12分）【思路点拨】根据S 1，S 2，S 4成等比数列，可得1，d +2，d 64+成等比数列，列的等式求得公差，进而可得通项公式，关键数列}1{1nn a a +的特点，采用裂项相消求和得到21n nT n =+，解不等式即可求得n 的最大值.【题文】19．（本小题满分12分）如图,在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE=BF .（Ⅰ）求证：A 1F ⊥C 1E ；（Ⅱ）当三棱锥BEF B -1的体积取得最大值时，求二面角B EF B --1的正切值. 【知识点】线线垂直 二面角 G5 G10【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）22.【解析】解析：设x BF AE ==.以D 为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：()0,0,0D ，()0,0,2A ，()0,2,2B ，()0,2,0C ，()2,0,01D ,()2,0,21A ，()2,2,21B ,()2,2,01C ,()0,,2x E ,()0,2,2x F -.（Ⅰ）因为)2,2,(1--=x F A ，)2,2,2(1--=x E C ， 所以()()02,2,22,2,11=--⋅--=⋅x x E C F A .所以E C F A 11⊥.………………………………………（4分）xA B CD E FA 1B 1C 1D 1（Ⅱ）因为BEF BEF BEF B S BB S V ∆∆-=⨯=323111， 所以当BEF S ∆取得最大值时，三棱锥BEF B -1的体积取得最大值.因为()()11122≤--=-=∆x x x S BEF ，所以当1=x 时，即E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点时，三棱锥BEF B -1的体积取得最大值，此时E F ，坐标分别为()0,1,2E ,()0,2,1F . 设平面EF B 1的法向量为()c b a m ,,=，则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=⋅=--⋅=⋅,00,1,1,,,02,1,0,,1c b a EF m c b a E B m 得⎩⎨⎧=-=+.0,02b a c b取1,2,2-===c b a ，得()1,2,2-=m .显然底面ABCD 的法向量为()1,0,0=n . 设二面角B EF B --1的平面角为θ，由题意知θ为锐角.因为31||||,cos -=⋅>=<n m n m n m ，所以31cos =θ，于是322sin =θ.所以22tan =θ，即二面角B EF B --1的正切值为22.…………………………（12分） 【思路点拨】以D 为原点建立空间直角坐标系，设x BF AE ==，求得)2,2,(1--=x F A )2,2,2(1--=x E C 两向量的数量积为零，所以证得垂直；因为三棱锥BEF B -1的高为1BB 是定值，所以其面积取决于BEF S ∆，而()()11122≤--=-=∆x x x S BEF ，故当1=x 时，面积最大，求得E F ，坐标，利用二面角公式求得夹角的余弦值，再利用同角基本关系是求得正切值. 【题文】20．（本小题满分12分）（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率； （Ⅱ）用X 表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X 的分布列和数学期望． 【知识点】概率 离散型随机变量的期望与方差 K1 K6 【答案】（Ⅰ）0.049；（Ⅱ）2.1.. 【解析】解析：（Ⅰ）设1A 表示事件“日车流量不低于10万辆”， 2A 表示事件“日车流量低于5万辆”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则()()120.350.250.100.700.05P A P A ＝＋＋＝，＝， 所以()0.70.70.0520.049.P B ⨯⨯⨯＝＝…………………………………………………（6分） （Ⅱ）X 可能取的值为0123，，，，相应的概率分别为027.0)7.01()0(303=-⋅==C X P ，189.0)7.01(7.0)1(213=-⋅⋅==C X P，441.0)7.01(7.0)2(223=-⋅⋅==C X P ，343.07.0)3(333=⋅==C X P .X 的分布列为因为3.7()0X B ～，，所以期望30.7 2.1.E X ⨯＝＝………………………………（12分）【思路点拨】（Ⅰ）1A 表示事件“日车流量不低于10万辆”， 2A 表示事件“日车流量低于5万辆”， B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．直接求出概率即可．（ⅡX 可能取的值为0123，，，，相应的概率分别为，写出X 的分布列，即可求出E X （）． 【题文】21．（本小题满分14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为1:3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线)2,(≠∈=t t t x R 上纵坐标不为0的任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求t 的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当||||PQ TF 最小时，求点T 的坐标． 【知识点】椭圆的性质 直线与椭圆 H5 H8【答案】（Ⅰ）12622=+y x ；（Ⅱ）3=t ，()3,1或()3,1-. 【解析】解析： （Ⅰ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c 解得226 2.a b ＝，＝所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . …………………………………………（4分）（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).设直线PQ 的方程为2x my +＝，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22340)2(m y my +＋－＝，其判别式22(1683.)0m m ∆>＝＋＋ 设1122()()P x y Q x y ，，，，则12122242,33m y y y y m m --+==++于是12122(1243)x x m y y m ++＋＝＋＝设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为)32,36(22+-+m mm . 因为PQ TF ⊥，所以直线FT 的斜率为m -，其方程为)2(--=x m y . 当t x =时，()2--=t m y ，所以点T 的坐标为()()2,--t m t ，此时直线OT 的斜率为()tt m 2--，其方程为x t t m y )2(-=. 将M 点的坐标为)32,36(22+-+m mm 代入，得36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m .解得3=t . ………………………………………………（8分） （ⅱ）由（ⅰ）知T 为直线3=x 上任意一点可得，点T 的坐标为),3(m -.于是1||2+=m TF ，221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-=]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m ]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m 3)1(2422++=m m .所以1)3(241)1(2431||||222222++⋅=++⋅+=m m m m m PQ TF 14)1(4)1(2411)3(2412222222+++++⋅=++⋅=m m m m m 414124122++++⋅=m m 33442241=+⋅≥. 当且仅当22411m m +=+，即1m ±＝时，等号成立，此时||||PQ TF 取得最小值33．故当||||PQ TF 最小时，T 点的坐标是()3,1或()3,1-……………………………………（14分）【思路点拨】()Ⅰ由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c ，由此能求出椭圆C 的标准方程．()()Ⅱⅰ设直线PQ 的方程为2x my +＝，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得22340)2(m y my +＋－＝，其判别式22(1683.)0m m ∆>＝＋＋由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出3=t ．()ⅱ点T 的坐标为),3(m -．1||2+=m TF ，221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-=3)1(2422++=m m ．由此能求出||||PQ TF 最小时，T 点的坐标是()3,1或()3,1- 【题文】22．（本小题满分14分）已知函数1e )(--=ax x f x(a 为常数)，曲线y ＝f (x )在与y 轴的交点A 处的切线斜率为－1. (Ⅰ)求a 的值及函数f (x )的单调区间； (Ⅱ)证明：当0>x 时，1e 2+>x x；(Ⅲ)证明：当*∈N n 时，()nn n e)3(1ln1312113+>++++ .【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用 B12【答案】（Ⅰ）)(x f 在区间)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增；(Ⅱ)略. 【解析】解析： （Ⅰ）由1e )(--=ax x f x，得a x f x-='e )(.又11)0(-=-='a f ，所以2=a .所以12e )(--=x x f x ，2e )(-='xx f . 由02e )(>-='xx f ，得2ln >x .所以函数)(x f 在区间)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增. ……………（4分） (Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知4ln 112ln 2e)2(ln )(2ln min -=--==f x f .所以4ln 1)(-≥x f ，即4ln 112e -≥--x x ，04ln 22e >-≥-x x .令1e )(2--=x x g x ，则02e )(>-='x x g x.所以)(x g 在),0(+∞上单调递增，所以0)0(1e )(2=>--=g x x g x， 即1e 2+>x x .…………（8分） (Ⅲ)首先证明：当0>x 时，恒有331e x x>. 证明如下：令331e )(x x h x-=，则2e )(x x h x -='. 由(Ⅱ)知，当0>x 时，2e x x >，所以0)(>x h ，所以)(x h 在),0(+∞上单调递增，所以01)0()(>=>h x h ，所以331e x x>.所以)31ln(3x x >，即x x ln 33ln >+.依次取nn x 1,,23,12+= ，代入上式，则12ln 33ln 12>+， 23ln 33ln 23>+， nn n n 1ln 33ln 1+>++. 以上各式相加，有)12312ln(33ln 12312n n n n n +⨯⨯⨯>+++++ 所以()1ln 33ln )131211(+>++++++n n nn ，所以()n n n n --+>++++3ln 1ln 3131211 ，即()n n n n e31ln 1312113+>++++ （14分） 【思路点拨】（Ⅰ）求出函数的a x f x-='e )(，因为11)0(-=-='a f ，可求得2=a ，通过02e )(>-='xx f ，即可求解函数)(x f 在区间)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增.（Ⅱ）求出f （x ）的最小值，化简14f x ln ≥-（）．构造21x g x e x =--（），通过0g x '（）＞．判断0g x +∞（）在（，）上单调递增，得到0g x g （）＞（），推出结果．（Ⅲ）首先证明：当x ＞0时，恒有313xe x ＞．令()313xh x e x -＝，则2x h x e x '=-（）．推出h x （）在0+∞（，）上单调递增，得到33x ln lnx +＞．利用累加法推出()nn n e)3(1ln 1312113+>++++ .。