命题逻辑与条件判断(1)

离散数学-----命题逻辑逻辑：是研究推理的科学。

公元前四世纪由希腊的哲学家亚里斯多德首创。

作为一门独立科学，十七世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。

逻辑可分为：1. 形式逻辑（是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。

）→数理逻辑（是用数学方法研究推理的形式结构和规律的数学学科。

它的创始人Leibniz，为了实现把推理变为演算的想法，把数学引入了形式逻辑中。

其后，又经多人努力，逐渐使得数理逻辑成为一门专门的学科。

）2. 辩证逻辑（是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。

）一、命题及其表示方法1、命题数理逻辑研究的中心问题是推理,而推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。

基本概念：命题：能够判断真假的陈述句。

命题的真值：命题的判断结果。

命题的真值只取两个值:真（用T(true)或1表示）、假（用F(false)或0表示）。

真命题：判断为正确的命题，即真值为真的命题。

假命题：判断为错误的命题，即真值为假的命题。

因而又可以称命题是具有唯一真值的陈述句。

判断命题的两个步骤：1、是否为陈述句；2、是否有确定的、唯一的真值。

说明：（1）只有具有确定真值的陈述句才是命题。

一切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子，如感叹句、祁使句、疑问句等都不是命题。

（2）因为命题只有两种真值，所以“命题逻辑”又称“二值逻辑”。

（3）“具有确定真值”是指客观上的具有，与我们是否知道它的真值是两回事。

2、命题的表示方法在书中，用大写英文字母A,B,…,P,Q或带下标的字母P1,P2,P3 ,…,或数字(1),*2+, …,等表示命题，称之为命题标识符。

命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元之分。

命题常量：表示确定命题的命题标识符。

命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标志，就称为命题变元。

命题逻辑的基本概念命题逻辑（propositional logic），又称命题演算，是数理逻辑的一个分支，它研究命题与命题之间的逻辑关系。

在命题逻辑中，命题是语句或陈述，可以判断为真或假。

命题逻辑的基础概念包括命题、联结词和复合命题等。

一、命题在命题逻辑中，命题是用来陈述某种事实或陈述的语句，可以判断为真或假。

命题通常用字母表示，如p、q、r等。

下面是一些例子：1. p：今天是晴天。

2. q：明天会下雨。

3. r：1+1=2。

二、联结词联结词是用来连接命题的词语，它们可以表示不同的逻辑关系。

常见的联结词有否定、合取、析取、条件、双条件等。

1. 否定（¬）：表示命题的否定，将命题的真值取反。

例如，¬p表示命题p的否定。

2. 合取（∧）：表示逻辑与的关系，表示两个命题都为真时，结果命题才为真。

例如，p∧q表示命题p和命题q都为真。

3. 析取（∨）：表示逻辑或的关系，表示两个命题中至少一个为真时，结果命题为真。

例如，p∨q表示命题p或命题q至少一个为真。

4. 条件（→）：表示逻辑蕴含的关系，表示命题p成立时，命题q也必定成立。

例如，p→q表示命题p蕴含命题q。

5. 双条件（↔）：表示逻辑等价的关系，表示命题p和命题q有相同的真值。

即当p和q同时为真或同时为假时，结果命题为真。

例如，p↔q表示命题p和命题q等价。

三、复合命题复合命题是由多个命题通过联结词构成的新命题。

复合命题的真假取决于其组成命题的真假以及联结词的逻辑关系。

例如：1. (p∧q)→r：表示命题p和命题q的合取蕴含命题r。

2. ¬(p∨q)：表示命题p和命题q的析取的否定。

3. p↔q∧r：表示命题p和命题q等价，并且命题r为真。

在命题逻辑中，通过运用联结词的组合和推理规则，可以进行逻辑推理和推断。

命题逻辑为我们提供了分析和解决复杂问题的思维工具。

总结：命题逻辑是数理逻辑的一个重要分支，研究命题与命题之间的逻辑关系。

逻辑与的名词解释逻辑与，也称为“逻辑与运算”，是数学和计算机科学领域的一个基本概念。

在逻辑学中，逻辑与是一种二元运算，用于判断两个语句的真假关系。

逻辑与的符号是“∧”，在数学和计算机科学中经常用于表示逻辑与运算。

当两个语句都为真时，逻辑与的结果即为真，否则为假。

这个运算与日常生活中常常使用的“而且”、“同时”等概念类似，它要求两个条件同时满足。

在逻辑学中，逻辑与是命题逻辑的基本运算之一。

命题逻辑是研究命题间的关系与推理的一门学科。

将各个命题用逻辑符号表示，并通过逻辑运算来推导命题之间的关系，是逻辑学的核心内容之一。

逻辑与的运算规则非常简单直观。

假设有两个命题P和Q，它们分别有两个可能的取值：真（T）和假（F）。

那么，逻辑与运算的结果可以总结如下：- 当P为真而Q为真时，逻辑与的结果为真。

- 在其他所有情况下，结果为假。

这个规则可以通过真值表来展示，真值表是描述逻辑运算结果的一种二维表格。

例如，以下是逻辑与的真值表：```P Q P∧Q---------T T TT F FF T FF F F```从真值表中可以看出，只有当P和Q都为真时，逻辑与的结果才会是真。

否则，结果都是假。

逻辑与作为命题逻辑的基本运算，广泛应用于计算机科学领域。

在编程中，逻辑与常用于条件判断和逻辑运算。

例如，在程序中我们可以使用逻辑与来判断两个条件是否同时满足，从而决定程序的执行路径。

另外，逻辑与也常用于构建复杂的逻辑表达式。

通过嵌套多个逻辑与运算，我们可以实现更复杂的逻辑关系。

这在计算机科学中十分重要，因为它能帮助程序进行复杂的决策和判断。

总而言之，逻辑与是一种基本的逻辑运算，用于判断两个命题的真假关系。

它广泛应用于逻辑学、数学和计算机科学领域。

逻辑与的运算规则简单明了，通过逻辑与运算可以构建复杂的逻辑表达式，用于条件判断和逻辑推理。

【课题】命题【课型】新授课【教学目标】理解命题的概念．知道真命题与假命题的意义；【教学重点】命题的真假．【教学难点】命题的真假．【教学设计】（1）通过日常生活、生产中的实例导入命题的概念；（2）引导学生认识命题、真命题和假命题的概念；【教学备品】多媒体设备、课件【课时安排】一课时【教学过程】*第一章引言我们经常说到一个词叫做“逻辑”,它指的是思维的规律.人们常说“说话要有条有理”,有条有理就是思路清晰,思路清晰就是思维逻辑合理.通常我们说的每一句话都需要合乎逻辑.“我和小张一起上网”,“如果下午不下雨,那么我们去踢球”.你知道这些话里包含了哪些逻辑关系吗?在这一章里我们将学习命题逻辑与条件判断的知识,它们帮助我们学会思维,学会理性地去思考与分析问题.*创设情景兴趣导入在日常生产、生活中和科学研究中,经常要说一些表示判断的语句,如“今天是星期二”、“含有未知数的等式叫做方程”等.这种句子叫做陈述句.有些陈述句叙述的事情是真的,有些陈述句叙述的事情是假的,有些陈述句叙述的事情,可能在叙述的时候尚不能判断是真是假,但到一定的时候能判断是真是假.下列陈述句叙述的事情是真的:(1)中国是亚洲最大的国家;(2)4>3;下列陈述句叙述的事情是假的:(3)地球是方的;(4)-1是自然数;下列陈述句叙述的事情,可能在叙述的时候尚不能判断是真是假,但到一定的时候能判断其是真是假:(5)明天是晴天.*动脑思考探索新知能判断真假的陈述句叫做命题.一个命题叙述的事情如果是真的，则称其为真命题.一个命题叙述的事情如果是假的，则称其为假命题.例1下列语句是命题吗?（1）4大于3吗?（2）请关门.(3)x大于y.(4)本页这一行的这句话是假话.解(1) 是一个疑问句,不是陈述句,它不是命题．(2) 是一个祈使句,不是陈述句,它不是命题.(3) 是一个不能确定其真假的陈述句,它可能为真,也可能为假,从而不是命题.(4) 在判断一个语句是否是命题时,从语法上看就是看它是否是陈述句,但需注意,这类陈述句不包括那些”自指谓”的语句,如本句这样的结论是对自身而言的,这种自指谓的语句往往会产生自相矛盾的结论,即所谓的悖论.命题通常用小写字母表示p,q,r,…,例如：p:4>3,意思是p表示命题“4大于3”.通常用大写字母T表示真值为真，用F表示真值为假，有时也可分别用1和0表示.*运用知识强化练习练习1.1.1下列语句哪些是命题？如果是命题,在后面的括号中写出它的真假(真命题用1,假命题用0,不是命题用×)．(1) 我们的教室太小啦. ( )(2) 半径的大小决定圆的周长. ( )(3) 不准乱扔垃圾. ( )(4) 6<2. ( )(5) x∈{x}. ( )(6) {a,b,c}{b,c,d}={b,c}. ( )(7) 0是{0,1,2}的真子集. ( )(8) {0}是{0,1,2}的子集. ( )【板书设计】【课题】逻辑连接词一【课型】新授课【教学目标】知识目标：（１）了解简单命题和复合命题的概念；（２）掌握连接词“且”，掌握该复合命题的真假判断。

考研逻辑基础之必要条件假言判断必要条件假言命题：是陈述某一事物情况是另一件事物情况的必要条件的假言命题，即条件与结果之间存在一种可能性的关系，条件成立时，结果不一定成立。

必要条件假言命题的的命题形式可表示为：只有p，才q。

符号为：p←q 。

一、什么是假言判断假言判断，又称条件判断，是指断定某一事物情况的存在是另一事物情况存在的条件的判断。

例如：①如果他是三好学生，那么他的成绩好。

②只有他的成绩好，他才是三好学生。

③一个三角形等角，当且仅当它等边。

二、假言判断的结构从逻辑结构上看由两部分构成：(1)假言肢。

属逻辑变项，有两个：一个作为条件的称为“前件”;一个作为结果的称为“后件”。

(2)联结项。

常见三种形式“如果……那么……”;“只有……才……”;“……当且仅当……”三、假言判断的种类根据假言判断所断定的前件是后件的不同条件，假言判断又可以区分为三种：充分条件假言判断;必要条件假言判断;充要条件假言判断。

四、充分条件假言判断(1)必要条件假言判断就是断定一事物情况是另一事物情况存在的必要条件的假言判断。

例如：只有成绩好，才能当三好学生。

(2)所谓必要条件是指：设有事物情况p和事物情况q，没有P一定没有Q，有P不一定有Q(即可能有q，也可能没有q)。

在这种情况下，p就是q的必要条件。

(3)其逻辑形式如下：p←q (←读做“只有……才”)(4)语言表达式：只有p，才q除非P，才Q不p，不q除非P，否则不Q没有P，没有QP是Q的基础P是Q的前提P是Q的保障P是Q必不可少的条件P是Q的先决条件(5)必要条件假言判断的逻辑值可用下面的真值表图示：PQp←—qT T TT F TF T FF F T必要条件假言判断的逻辑特征：前件假而后件真时该判断为假，其它情况都真。

(6)应用案例：正是因为有了第二味觉，哺乳动物才能够边吃边呼吸。

很明显，边吃边呼吸对保持哺乳动物高效率的新陈代谢是必要的。

以下哪种哺乳动物的发现，最能削弱以上的断定?A.有高效率的新陈代谢和边吃边呼吸的能力的哺乳动物。

命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若，则”形式的命题中的称为命题的条件，称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若，则”，它的逆命题为“若，则”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若，则是的充分条件，是的必要条件．若，则是的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作．当、都是真命题时，是真命题；当、两个命题中有一个命题是假命题时，是假命题．用联结词“或”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作．当、两个命题中有一个命题是真命题时，是真命题；当、两个命题都是假命题时，是假命题．对一个命题全盘否定，得到一个新命题，记作．若是真命题，则必是假命题；若是假命题，则必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对中任意一个，有成立”，记作“，”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在中的一个，使成立”，记作“，”．10、全称命题：，，它的否定：，．全称命题的否定是特称命题．考点：1、充要条件的判定2、命题之间的关系典型例题：★1．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是A．B．C．D．★2．已知命题P：n∈N，2n＞1000，则P为A．n∈N，2n≤1000 B．n∈N，2n＞1000C．n∈N，2n≤1000 D．n∈N，2n＜1000★３．的A．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件。

11.2 命题逻辑与条件判断1【预习】第三册课本第5至7页内容.【预习目标】了解命题的概念，尝试判断简单命题的真假.【导引】1．命题：用语言、符号或式子表达的，能够判断真（准确）或假（错误）的陈述句.2．真命题：判断为准确的命题.3．假命题：判断为错误的命题.4．命题的结构：命题通常表述为“若…，则…”的形式，“若”后面的称为命题的条件，“则”后面的称为命题的结论.5．命题表示方法：通常用小写字母p ，q ，r 等来表示命题.例如：（1）p ：空集是任何集合的子集.（2）q ：若整数a 是素数，则a 是奇数.【试试看】1.阅读下列语句，判断哪些是命题？若是命题，判断其是真命题还是假命题？（1）矩形的对角线相等； （2）312>； （3）312>吗？； （4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点； （6）他是个高个子.2.将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式：（1）对顶角相等； （2）全等的两个三角形面积也相等.【本课目标】理解命题的概念，并能准确地判断命题的真假，掌握简单命题的结构形式及命题的常用表示方法.【重点】命题的概念及其真假判断.【难点】命题的结构分析.【导学】任务1 理解命题的概念，学会判别语句是否是命题.【例1】下列句子中，那些是命题？（1）532=+；（2）0>a ；（3）如果一个三角形有两个内角等于︒60，那么这个三角形是等边三角形；（4）请你出去；（5）你考试通过了吗？；（6）你今天气色真好啊！；（7）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；【试金石】判断下列语句那些是命题？（1）在ABC ∆中，若b a >，则B A ∠>∠；（2）若空间中的两条直线不相交，则这两条直线平行；（3）若b a >，则2+>b a ；（4）若y x +是有理数，则y x ,也都是有理数；任务2 能够使用现有知识判断命题的真假.【例2】下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题？（1）0>ab ，则0>a 且0>b ；（2）0>a 且0>b ，则0>ab ；（3）已知2lg =m ，则100=m ；（4）平行于同一个平面的两条直线相互平行.【试金石】下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题？（1）0>+b a ，则0>a 且0>b ；（2）圆()9322=-+y x 经过原点()0,0； （3）已知29log =a ，则3=a ；（4）垂直于同一条直线的两条直线相互平行.任务3 了解命题的结构形式.【例3】将下列命题改写成“若…，则…”的形式，并判断真假：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）负数的立方根是负数；（3）对顶角相等；（4）已知y x ,为正整数，当1+=x y 时，3,2==y x .【试金石】将下列命题改写成“若…，则…”的形式，并判断真假：（1）当0=abc 时，000===c b a 或或；（2）当0>m 时，方程02=-+m x x 有实根；（3）已知b a ,为实数，当02≤++b ax x 有非空解集时，042≥-b a .【检测】1. 下列句子中，那些是命题？（1）如果y x +是整数，那么x 、y 都是整数；（2）人类能够在火星生活.（3）等边三角形的三条高相等；（4）若b a >，则22b a >.2. 下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题？(1) 26既是2的倍数，也是3的倍数.(2) 矩形的对角线相等；(3) 方程012=++x x 有实数解.【导练】一、选择题1. 如下句子：（1）今天天气好热啊！（2）禁止通行；（3）若6π=A ，则21sin =A ； （4）若21sin =A ，则6π=A .其中是命题的个数为 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.给出如下命题：（1）0.01不是有理数；（2）三边长分别是3,4,5的三角形一定是直角三角形；（3）在ABC ∆中，若AC AB >，则B C ∠>∠；（4）若0322>--x x ，则13-<>x x 或.其中真命题的个数为 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列说法中正确的是 （ ）A. 因人类认知水平不够的不能称为命题B. 错误的命题称为否命题C. 不知道正确与否的命题称为不真不假命题D. 正确的命题称为真命题二、填空题4. 叫做命题．5. 一个命题的值只有两种： ．三、解答题6. 下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？(1) 612> ；(2) 3是15的约数 ；(3) 0.2是整数 ；(4) 今天会下雨吗？(5) 点()8,8-A 在曲线022=-y x 上； (6) 请勿打扰；(7) 当k 取不同数值时，直线)3(2-=-x k y 始终通过点()2,3；(8) 直线53+=x y 与直线5+-=x y 的交点不是()5,0.7. 下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题？(1) 二次函数的图像是一条抛物线；(2) 两个内角等于45 的三角形是等腰直角三角形；(3) 末尾数是0的多位数一定是5的倍数；8. 将下列命题改成“若…，则…”的形式，并判断真假.(1) 等腰三角形的两腰上的中线相等；(2) 偶函数的图像关于y轴对称；(3) 菱形的对角线互相垂直；(4) 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；。

《命题与简易逻辑知识总结》一、知识总结：1．命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．真命题：判断为真的语句．假命题：判断为假的语句．2．“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．3．原命题：“若p ，则q ”逆命题：“若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝”逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4．四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．5．若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系：例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6．逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨；⑶非（not ）：命题形式p ⌝．7．⑴全称量词—“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀；全称命题p 的否定p ⌝：)(,x p M x ⌝∈∃．⑵存在量词—“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃；特称命题p 的否定p ⌝：)(,x p M x ⌝∈∀；二、专项训练1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是（ ）A ．简单命题B ．非p 形式的命题C ．p 或q 形式的命题D ．p 且q 的命题答案：D解析：“垂直平分”的含义是“垂直且平分”．所以是D ．2．如果命题p 是假命题，命题q 是真命题，则下列错误的是（ ）A ．“p 且q ”是假命题B ．“p 或q ”是真命题C ．“非p ”是真命题D ．“非q ”是真命题答案：D解析：“p 且q ”型命题的真假是一假必假，“p 或q ”型命题的真假是一真必真，“非p ”型命题和命题p 的真假相反．所以答案是D ．3．已知命题p 、q ，如果p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，那么q 是p 的（ ） A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充要条件D 既不充分也不必要答案：B解析：因为互为逆否命题的命题真假相同，所以q 是p 充分不必要条件，答案是B ．4．命题“若090=∠C ，则ABC ∆是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ）A 0B 1C 2D 3答案：C解析：原命题是真，则逆否命题为真，逆命题为假，所以否命题为假，即有两个真命题，答案是C ．5．下列命题中为全称命题的是（ ）A 有些圆内接三角形是等腰三角形 ；B 存在一个实数与它的相反数的和不为0；C 所有矩形都有外接圆 ；D 过直线外一点有一条直线和已知直线平行．答案：C解析：“所有的”、“任意一个”等属于全称量词，“存在一个”、“至少有一个”等属于存在量词，因此全称命题是C ，答案为C ．6．下列全称命题中真命题的个数是（ ）①末位是0的整数，可以被3整除；②对12,2+∈∀x Z x 为奇数． ③角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；A 0B 1C 2D 3答案：C解析：①比如10，末位是0，但不能被3整除，所以是假命题；②③是真命题．答案是C ．7．下列特称命题中假命题的个数是（ ）①0,≤∈∃x R x ；②有的菱形是正方形；③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．A 0B 1C 2D 3答案：A解析：①比如-1，；②正方形都是菱形③1既不是合数也不是素数．答案是A ．8．命题“存在一个三角形，内角和不等于 180”的否定为（ ）A 存在一个三角形，内角和等于 180B 所有三角形，内角和都等于 180C 所有三角形，内角和都不等于 180D 很多三角形，内角和不等于180．答案：B解析：存在命题的否定是全称命题：“所有三角形，内角和都等于 180”．答案是B ．9．命题“a 、b 都是偶数，则a+b 是偶数”的逆否命题是 __________ ．答案：若a+b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数．解析：“是”的否定是“不是”，“都是”的否定是“不都是”．10．（1）如果命题“p 或q ”和“非p ”都是真命题，则命题q 的真假是_________．（2）如果命题“p 且q ”和“非p ”都是假命题，则命题q 的真假是_________． 答案：（1）真；（2）假解析：（1）“p 或q ”型命题一真则真，“非p ”型命题和命题p 真假相反．所以“非p ”为真则p 为假，又因为“p 或q ”为真，所以q 为真．（2）“p 且q ”型命题一假必假，“非p ”型命题和命题p 真假相反．所以“非p ”为假则p 为真，又因为“p 且q ”为假，所以q 为假．11．填空：指出下列复合命题的真假．(1)5和7是30的约数．（ ）(2)菱形的对角线互相垂直平分． （ ）(3)8x －5＜2无自然数解． （ ）答案：（1）真；（2）真；（3）假解析：(1) “p 或q ”的形式．其中p ：5是30的约数；q ：7是30的约数，为真命题．(2) “p 且q ”．其中p ：菱形的对角线互相垂直；q ：菱形的对角线互相平分；为真命题．(3)是“┐p ”的形式．其中p ：8x －5＜2有自然数解．∵p ：8x －5＜2有自然数解．如x ＝0，则为真命题．故“┐p ”为假命题．12．填空：判断下列命题真假：（1）10≤8（ ）（2）π为无理数且为实数（ ）（3）2+2=5或3＞2（ ）（4）若A ∩B=∅，则A=∅或B=∅（ ）．答案：（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题．（4）假命题．解析：（1）10>8；（2）π为无限不循环小数，所以是无理数且是实数；（3）“p 或q ”型命题一真则真，3＞2为真，所以命题为真；（4）若A={有理数}，B={无理数}，则A ∩B=∅．13．求关于x 的一元二次不等式ax ax >+12对于一切实数x 都成立的充要条件． 解析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化由题可知等价于000004040a a a a a a ≠⎧⎪=>⇔=<<⇔≤<⎨⎪∆<⎩或或14．证明：对于R y x ∈,，0xy =是220x y +=的必要不充分条件． 解析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件必要性：对于R y x ∈,，如果220x y +=则0x =，0y = 即0xy =故0xy =是220x y +=的必要条件不充分性：对于R y x ∈,，如果0xy =，如0x =，1y =，此时220x y +≠ 故0xy =是220x y +=的不充分条件 综上所述：对于R y x ∈,，0xy =是220x y +=的必要不充分条件． 15．p ：210x -≤≤；q ：()110m x m m -≤≤+>．若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解析：由于p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件于是有12101m m -≤-⎧⎨≤+⎩9m ∴≥16．已知p ：方程012=++mx x 有两个不等的负实根，q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解析：由p 命题可解得2>m ，由q 命题可解得31<<m ；由命题p 或q 为真，p 且q 为假，所以命题p 或q 中有一个是真，另一个是假（1）若命题p 真而q 为假则有21,3m m m >≤≥⎧⎨⎩或3m ⇒≥（2）若命题p 真而q 为假，则有213m m ≤<<⎧⎨⎩12m ⇒<≤所以213≤<≥m m 或．。

True和False是逻辑运算中的两个重要概念，它们在计算机科学、数学、哲学等领域都有广泛的应用。

一、True和False的概念True和False最早起源于数学中的逻辑运算。

True代表“真”或“成立”，False代表“假”或“不成立”。

在逻辑运算中，True和False 通常用来表示命题的真假，作为逻辑运算的基础。

二、True和False的运算1. 逻辑运算在逻辑运算中，True和False通过逻辑运算符进行组合。

常用的逻辑运算符包括与（and）、或（or）、非（not）等。

通过这些逻辑运算符，可以对True和False进行逻辑运算，得到新的True或False值。

2. 条件判断在编程语言中，True和False常常用于条件判断。

通过判断某个条件是否为True或False，可以控制程序的流程，实现不同的功能。

3. 真值表True和False在逻辑运算中有着严格的真值表。

通过真值表，可以清晰地了解不同逻辑运算符对True和False的组合所得到的结果。

三、True和False的应用领域1. 计算机科学在计算机科学中，True和False是必不可少的概念。

在编程语言中，条件判断、逻辑运算等都离不开True和False。

通过对True和False 的灵活运用，可以实现各种复杂的逻辑功能。

2. 数学在数学中，True和False被广泛运用于逻辑运算、证明推理等领域。

在数学证明中，经常需要通过对True和False的合理运用来推理论证。

3. 哲学在哲学中，True和False是逻辑思维的基础。

通过对True和False的思考，可以推演出各种复杂的哲学观点和逻辑推理。

四、True和False的思考True和False作为逻辑运算的基础概念，其背后蕴含着丰富的哲学思想。

通过深入思考True和False的含义，可以拓展人们的逻辑思维能力，提高问题解决的能力。

对True和False的深入思考也有助于人们更好地理解逻辑运算、数学证明等领域的知识。

逻辑运算与条件概率逻辑运算和条件概率是概率论和数理逻辑中重要的概念。

逻辑运算是对命题进行推理和判断的方式，而条件概率则是用于描述事件之间的依赖关系和可能性的度量。

本文将介绍逻辑运算和条件概率的基本概念、性质以及它们之间的关联。

一、逻辑运算逻辑运算是对逻辑命题进行推理和判断的方式。

常见的逻辑运算包括合取、析取、否定、蕴含以及等价。

1. 合取运算（∧）：合取运算也称为“与”运算，表示逻辑命题的同时成立。

例如，如果命题A为真且命题B为真，则合取命题A∧B为真。

2. 析取运算（∨）：析取运算也称为“或”运算，表示至少有一个逻辑命题成立。

例如，如果命题A为真或命题B为真，则析取命题A∨B为真。

3. 否定运算（¬）：否定运算表示逻辑命题的否定。

例如，如果命题A为真，则否定命题¬A为假。

4. 蕴含运算（→）：蕴含运算表示若一个命题成立，则另一个命题也必定成立。

例如，如果命题A成立，则蕴含命题A→B成立。

5. 等价运算（↔）：等价运算表示两个逻辑命题具有相同的真值。

例如，如果命题A与命题B具有相同的真值，则等价命题A↔B成立。

二、条件概率条件概率是指在某个条件下事件发生的可能性。

条件概率可以用于描述事件之间的依赖关系。

设A和B为两个事件，且P(A)和P(B)不为零，则事件B在事件A发生的条件下的概率定义为条件概率P(B|A)。

条件概率的计算可使用如下公式：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。

三、逻辑运算与条件概率的关系逻辑运算和条件概率之间存在一定的关联。

以合取运算为例，当两个事件A和B同时发生时，可以通过判断P(A∩B)的概率大小来确定是否满足合取运算。

同样地，可以使用条件概率来描述事件的依赖关系和可能性。

举例来说，假设有一个袋子中有红球和蓝球两种颜色的球，已知红球的数量为10个，蓝球的数量为15个。