逻辑学：命题逻辑

第二章 命题逻辑
第一节 命题逻辑概述
命题
命题是通过语句来反映事物情况的思维形态。例如：
（1）西南大学在重庆。 （2）闪光的东西都是金子。 （3）如果小王有作案动机，那么他就会作案。
命题的 主要特征： 命题有真假
符合实际的命题是真命题，不符合实际的命题是假命 题。上述（1）是真命题; 而（2）、（3）是假命题。
负命题的形式: ¬p。其中p称为¬的辖域。 负命题的逻辑性质：负命题的真假与被否定的命题的真假是 相反的。
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负命题
真值表：真值集合只有两个元素｛T，F｝，其中T表示命题为真，而F表示命 题为假。因此，可用列表的方式表示真值运算的过程，这种表称为真值表。 真值函数：当p在真值集合｛T，F｝上取真值后， p 的真值也唯一确定。所 以， p是p的函数，表达形式为f(p)=p，这种函数称真值函数。 的真值表如下：
真值表的作用
•p •T •F •¬p F T
根据这个真值表，也可以给f(p)=p这个一元真值函数作如下定义： p为真当且仅当p为假； p为假当且仅当p为真。
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负命题
根据负命题的逻辑性质，可对¬p再否定得到¬¬p，其真值与 p相同，真值表如下：
•p •T •F •¬p •F •T •¬¬p •T •F
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联言命题的推导规则
合取引入规则（∧+）：从A和B可推出A∧B。图示如下：
•A •B •—— • A∧B
合取消去规则（∧-）：从A∧B可推出A，从A∧B可推出B。图示如下： A∧B A∧B —— —— A B 小张喜爱音乐，小张喜爱体育，所以，小张不但喜爱音乐，也喜爱体育。 •根据∧+作出一个形式正确的推理，推理形式为：p,q├ p∧q 。 小张既有优点，也有缺点，所以，小张是有优点的。 根据∧_作出一个形式正确的推理，推理形式为：p∧q├ p。
由上真值表知，对任意公式A，有等值关系：A ¬¬A 负命题的推导规则:
A 双重否定引入规则（¬¬+）：从A可推出A。图示： —— ¬¬A ¬¬ A 双重否定消去规则（¬¬-）：从A可推出A。图示： —— A
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联言命题
联言命题是由联言联结词(如“并且”)联结支命题而 形成的复合命题，又称合取命题。例如：

•
——研究关于量词的推理(现代谓词逻辑)
——研究关于模态词的推理(模态逻辑)
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把命题中包含的模态词分析出来
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逻辑语形学与逻辑语义学
逻辑语形(语法)学:研究符号与符号关系的逻辑理论。 逻辑语义学:研究符号及其解释的逻辑理论，如:把p、q、r解释为 取真假值的命题变元，把∧、∨ 、→解释为真值集上的运算，把 p∧q、p∨q、p→q解释为真值函数的表达式。 推理是由前提和结论组成的，前提和结论之间的关系称为推出（推 论、推理）关系。例如： 小王既有缺点，又有优点，所以，小王有优点。 • 在推理中，前提是“小王既有缺点，又有优点”，结论是“小王 有优点”， “所以”标志前提和结论之间的推出关系。 • 推理形式：p且q，所以，q。 逻辑学是从语形和语义两个方面来研究推理的： (1)从前提和结论的形式方面进行 (2)从前提和结论的真假方面进行 语形和语义对推出关系的双重刻画
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命题和语句
任何命题都是通过语句来表达的，但语句和命题并非一一对应：
首先，有的语句不能直接表达命题，如： •（1）西南大学在重庆吗? •（2）请把门关上！ 一般来讲：陈述句与反诘句可以直接表达命题。 其次，同一命题可以用不同的语句来表达，如： “所有的鸟都会飞”与“没有鸟不会飞”表达了相同的命题。 此外，同一命题可用不同的民族语言的语句来表达。 再次，同一语句，可以表达不同的命题，如： 小张将书还给小王，因为他要回家了。
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命题的分类
简单命题
非模态命题 命 题
模态命题 复合命题
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命题分析的层次
将联结词所联结的命题作为一个完整的单位来看待
•
•
——研究关于联结词的推理(命题逻Baidu Nhomakorabea)
——研究关于量项和联项的推理(传统词项逻辑)
深入到命题内部，把命题分析为主项、谓项、量项和联项 深入到命题内部，把命题分析为个体词、谓词、量词及联 结词
语句(陈述句和反诘句)有内涵也有外延:语句的内涵即它表达的命题； 语句的外延即真、假这两个真值。 采用这种观点的逻辑理论，称为 二值外延逻辑或经典逻辑。 逻辑学上所说的命题，一般指这种或者 为真或者为假的抽象语句。
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命题和判断
判断：就是被断定者断定了的命题。 判断的主要特征：有所断定。 一个命题是否能成为判断，与断定者的知识、 立场等有关。如：“杜甫是伟大的诗人”能否被 断定就与断定者的知识水平有很大关系。 充分假言命题被断定是前后件的关系，而不是 支命题。如：“如果物体受到摩擦，那么物体发 热”这个命题，我们既没有断定“物体受到摩 擦”，也没有断定“物体发热”，我们所断定的 只是前件是后件的充分条件。
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第二章 命题逻辑
第二节 复合命题及其推理
负命题
负命题由否定联结词(如“并非”)联结支命题而形成的复合命 题。例如： (1)并非选修逻辑的学生都是文科生。 (2)这个班的学生不都学英语。 (3)如果它是三角形，则内角和等于180°，这个观点不对。 注：负命题的支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。
•p •T •T •F •F •q •T •F •T •F •p∧q T F F F
从上表可以得出联言命题的逻辑性质：当p、q同时为真 时，p∧q才为真；只要p、q其中一个为假，则p∧q为假。 由∧的真值表,可得出∧运算的规律: （1）∧的交换律：p∧qq∧p （2）∧的结合律：p∧(q∧r)(p∧q)∧r （3）∧的重言（幂等）律：p∧pp
（1）小张歌唱得好并且舞跳得好。 （2）这样建立的逻辑系统既有可靠性，又有完全性。
联言命题的形式：p并且q（p∧q）。 p称为∧的左辖域， q 称为∧的右辖域。
p∧q是二元真值函数： f(p,q)=p∧q。∧是在两个真值变元p 和q上进行运算的二元运算。
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合取词∧的真值表