2019年高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理练习 理

（北京专用）2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第五节定积分与微积分基本定理作业本理1.定积分的值为( )A.e+1B.eC.e-D.e+2.若f(x)=则=( )A.0B.1C.2D.33.若f(x)=x2+2( )A.-1B.-C.D.14.以初速40 m/s竖直向上抛一物体,t s时刻的速度v=40-10t2,则此物体达到最高时的高度为( )A. mB. mC. mD. m5.若函数f(x)=x-,则f(x)dx= .6.设函数f(x)=(x-1)x(x+1),则满足 f '(x)dx=0(a>0)的实数a= .7.汽车以72 km/h的速度行驶,由于遇到紧急情况而刹车,汽车以等减速度a=4 m/s2刹车,则汽车从开始刹车到停止行驶的路程为m.8.已知f(x)在R上可导, f(x)=x2+2f '(2)x+3,试求9.求曲线y=x2,直线y=x,y=3x围成的图形的面积.B组提升题组10.已知函数f(x)=则=( )A. B. C. D.11.若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sin x,g(x)=cos x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( )A.0B.1C.2D.312.dx= .13.如图,设点P从原点沿曲线y=x2向点A(2,4)移动,直线OP与曲线y=x2围成图形的面积为S1,直线OP 与曲线y=x2及直线x=2围成图形的面积为S2,若S1=S2,则点P的坐标为.14.如图,已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:x=2,直线l2:y=-t2+8t(其中0≤t≤2,t为常数).(1)求a,b,c的值;(2)求阴影部分的面积S关于t的函数S(t)的解析式.答案精解精析A组基础题组1.D ==+e-1=+e.2.C =0+2x=2.3.B 令4.A 令v=40-10t2=0,得t2=4,t=2.所以所求高度h===80-=(m).5.答案e2-解析dx==e2-.6.答案 1解析 f '(x)dx=f(a)=0,故a=0或1或-1,又a>0,故a=1.7.答案50解析当时间t=0 s时,速度v0=72 km/h=20 m/s,刹车后,汽车减速行驶,速度(单位:m/s)为v(t)=v0-at=20-4t.令v(t)=0,可得t=5 s,所以汽车从刹车到停车,所走过的路程为:(20-4t)dt=(20t-2t2)=50(m).即汽车从开始刹车到停止,共行驶了50 m.8.解析∵f(x)=x2+2f '(2)x+3,∴f '(x)=2x+2f '(2),∴f '(2)=4+2f '(2),∴f '(2)=-4,∴f(x)=x2-8x+3.∴f(x)dx==-18.9.解析作出曲线y=x2,直线y=x,y=3x,如图所示,所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组可知交点A的横坐标为1,解方程组可知交点B的横坐标为3,因此,所求图形的面积为S=(3x-x)dx+(3x-x2)dx=2xdx+(3x-x2)dx=x2+=1+-=.B 组 提升题组10.11.C 由①得f(x)g(x)=sin xcos x=sin x,是奇函数,所以f(x)g(x)dx=0,所以①为区间[-1,1]上的一组正交函数;由②得f(x)g(x)=x 2-1,所以f(x)g(x)dx===-,所以②不是区间[-1,1]上的一组正交函数;由③得f(x)g(x)=x 3,是奇函数,所以f(x)g(x)dx=0,所以③为区间[-1,1]上的一组正交函数.故选C.12.答案13.答案解析 设直线OP 的方程为y=kx(k≠0),点P 的坐标为(x,y),由题意,令(kx-x 2)dx=(x 2-kx)dx,则=,即kx 2-x 3=-2k-,解得k=,此时直线OP 的方程为y=x,易知满足条件的点P 的坐标为.14.解析(1)由题图可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16,则解得(2)由(1)知函数f(x)的解析式为f(x)=-x2+8x.由消去y,得x2-8x-t(t-8)=0,解得x=t,或x=8-t(舍).由定积分的几何意义知S(t)=[(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+[(-x2+8x)-(-t2+8t)]dx=+=-t3+10t2-16t+(0≤t≤2,t为常数).。

第三章导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理理1．定积分的概念在ʃb a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)；(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x；(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|b a，即ʃb a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则ʃa－a f(x)d x＝2ʃa0f(x)d x.(2)若f(x)为奇函数，则ʃa－a f(x)d x＝0.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.( √)(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃb a f(x)d x>0.( √)(3)若ʃb a f(x)d x<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．( ×)(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的．( ×)(5)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )1．(2017·福州质检)ʃ10(e x＋2x )d x 等于( ) A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1 答案 C解析 ʃ10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝e ＋1－1＝e.2．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4 答案 D解析 如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点为A (2,8)，图中阴影部分即为所求图形面积．S 阴＝ʃ20(4x －x 3)d x＝(2x 2－14x 4)|20＝8－14×24＝4，故选D.3．(教材改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是( )A.132 m B ．6 m C.152 m D ．7 m 答案 A解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝(32t 2＋2t )|21＝32×4＋4－(32＋2) ＝10－72＝132(m)．4．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13T 3＝9，∴T ＝3.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ，e](e 为自然对数的底数)，则ʃe0f (x )d x 的值为________．答案 43解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11xd x＝13x 3|10＋ln x |e1＝13＋ln e ＝43.题型一 定积分的计算例1 (1)(2016·九江模拟)若ʃ10(2x ＋λ)d x ＝2(λ∈R )，则λ等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－1 (2)定积分ʃ2－2|x 2－2x |d x 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 (1)B (2)D解析 (1)ʃ10(2x ＋λ)d x ＝(x 2＋λx )|10＝1＋λ＝2， 所以λ＝1. (2)ʃ2－2|x 2－2x |d x＝ʃ0－2(x 2－2x )d x ＋ʃ20(2x －x 2)d x ＝(x 33－x 2)|0－2＋(x 2－x 33)|20 ＝83＋4＋4－83＝8. 思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．(1)若π20(sin cos )d 2x a x x ⎰－＝，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－ 3 D. 3(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D.67 答案 (1)A (2)C 解析 ππ220(1)(sin cos )d (cos sin )|x a x x x a x ⎰－＝－－＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2， ∴a ＝－1.(2)ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x ＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21 ＝13＋(4－12×4)－(2－12) ＝56. 题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分 例2 (1)计算：ʃ313＋2x －x 2d x ＝________. (2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 答案 (1)π (2)－1解析 (1)由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积，∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π. (2)根据定积分的几何意义ʃm－2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积， 结合图形知m ＝－1. 命题点2 求平面图形的面积例3 (2017·青岛月考)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为______． 答案 4－ln 3解析 由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(13，3)．由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)， 由y ＝x ，y ＝3得交点坐标为(3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为1312311113311(3)d (3)d (3ln )|(3)|2x x x x x x x x -+-=-+-⎰⎰ ＝(3－1－ln 3)＋(9－92－3＋12)＝4－ln 3.思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分； (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(1)定积分ʃ39－x 2d x 的值为( ) A ．9π B ．3π C.94π D.92π (2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________． 答案 (1)C (2)163解析 (1)由定积分的几何意义知ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故ʃ39－x 2d x ＝π·324＝94π，故选C.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为ʃ1－1(2x 2＋4x ＋2)d x ＝(23x 3＋2x 2＋2x )|1－1＝(23×13＋2×12＋2×1)－[23×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝163. 题型三 定积分在物理中的应用例4 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案 C解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t )d t ＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t )]|4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃba v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃba F (x )d x .一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 J C.433 J D ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3×3221＝433，∴F (x )做的功为43 3 J.4．利用定积分求面积典例 由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________． 错解展示解析 所求面积S ＝ʃ20(x 2－1)d x ＝(13x 3－x )|20＝23.答案 23现场纠错解析 如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1,0)． 所以S ＝ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ＝(x －x 33)|1＋(x 33－x )|21＝(1－13)＋[83－2－(13－1)]＝2.答案 2纠错心得 利用定积分求面积时要搞清楚定积分和面积的关系；定积分可正可负，而面积总为正．1．π220sin d 2xx ⎰等于( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14 D.π2－1 答案 B 解析ππ222001cos sin d d 22x x x x -=⎰⎰π2011π1(sin )|.2242x x =-=- 2．ʃ101－x 2d x 的值为( ) A.14 B.π4 C.12 D.π2 答案 B解析 ʃ11－x 2d x 的几何意义为以(0,0)为圆心， 以1为半径的圆位于第一象限的部分，圆的面积为π， 所以ʃ101－x 2 d x ＝π4. 3．(2016·南昌模拟)若ʃa1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 A解析 由题意知ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2.4．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 A解析 ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x ＝(x －x 22)|10＋(x 22－x )|21＝(1－12)＋(222－2)－(12－1)＝1.5．由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8 答案 A解析 22333200228(()|,333m m S m x mx x m m ==-=-=⎰解得m ＝2.6．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73，S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x，y ＝e x与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3.7．π)d 4x x +=________.答案 2解析 依题意得π)d 4x x +ππ220(sin cos )d (sin cos )|x x x x x =+=-⎰＝(sin π2－cos π2)－(sin 0－cos 0)＝2.8．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________．答案3解析 所求面积ππ33ππ33cos d sin |S x x x --==⎰＝sin π3－(－sin π3)＝ 3.*9.(2016·湖北省重点中学高三阶段性统一考试)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则ʃ20f (x )d x ＝________.答案 －4解析 因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)， 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3. 所以f (x )＝x 3－3x 2.故ʃ2f (x )d x ＝ʃ20(x 3－3x 2)d x ＝(x 44－x 3)|20＝－4.10．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，则函数f (a )的最大值为________．答案 29解析 f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝－12a 2＋23a ，由二次函数的性质可得f (a )max ＝－232－12＝29. 11．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B(3，－1)．故所求面积S ＝ʃ10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x 32123201211()|(2)|363x x x x =++- ＝23＋16＋43＝136. 12．(2016·武汉模拟)如图，矩形OABC 的四个顶点依次为O (0，0)，A (π2，0)，B (π2，1)，C (0,1)，记线段OC ，CB 以及y ＝sin x (0≤x ≤π2)的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，求点M 落在区域Ω内的概率．解 阴影部分的面积为π20π(1sin )d 1,2x x -=-⎰矩形的面积是π2×1＝π2， 所以点M 落在区域Ω内的概率为π2－1π2＝1－2π. *13.已知函数y ＝F (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B (12，5)，C (1,0)，求函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积．解 由题意，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12<x ≤1， 则xF (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12<x ≤1，所以函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为11122323122101022101010d (1010)d |(5)|33x x x x x x x x +-+=+-⎰⎰ ＝103×18＋(5－103)－(54－103×18)＝54.。

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§3。

3 定积分与微积分基本定理考纲解读分析解读1。

了解微积分基本定理，会求函数的定积分。

2。

理解定积分的几何意义，会求曲边梯形的面积。

3.本节在高考中分值为5分左右,属中低档题。

五年高考考点一定积分的计算1。

(2014陕西,3，5分)定积分（2x+e x）dx的值为( ）A.e+2 B。

e+1C.eD.e—1答案C2。

（2013江西,6,5分）若S1=（）A.S1〈S2〈S3B。

S2〈S1〈S3C。

S2〈S3〈S1 D.S3〈S2〈S1答案B教师用书专用（5-7）3.（2014湖北,6,5分）若函数f(x），g(x）满足f(x）g（x）dx=0，则称f(x）,g（x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f(x)=sinx，g（x)=cosx；②f（x)=x+1,g(x）=x-1;③f(x)=x，g(x)=x2。

其中为区间［—1，1]上的正交函数的组数是（）A。

0 B。

1 C.2 D.3答案C考点二定积分的意义1.（2014山东,6,5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A.2B.4C.2D.4答案D2。

(2013湖北，7，5分)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v （t)=7-3t+（t的单位:s，v的单位:m/s)行驶至停止。