高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算
知 识 梳 理
1.导数的概念
(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0
lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）
Δx .
(2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0
lim
x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）
Δx 为f (x )的导函数.
2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y ＝e x
ln x ；(2)y ＝x ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；
解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3
＋1＋1x
2，
所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
2′＝3x 2
－2x
3.
【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e
解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1
x
，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B
(2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________.
(2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3
考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程
【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1
－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的
切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1
＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e
x －1
＋x ，
所以当x >0时，f (x )＝e
x －1
＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e
x －1
＋1，f ′(1)＝e 0
＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1，
2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0
【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0
(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0).又∵f ′(x )＝1＋ln x ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1，0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.答案 B
命题角度二 求切点坐标
【例3】 (2017·西安调研)设曲线y ＝e x
在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x
(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐
标为________.
解析 由y ′＝e x ，知曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率k 1＝e 0
＝1.设P (m ，n )，又y ＝1x
(x >0)的导数y ′＝－
1
x
2
，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1
m
2.依题意k 1k 2＝－1，所以m ＝1，从而n ＝1.
则点P 的坐标为(1，1).答案 (1，1)
【训练3】若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.解析 (1)由题意得y ′＝ln x ＋x ·1
x
＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以
n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e). 答案 (1)(e ，e)
命题角度三 求与切线有关的参数值(或范围)
【例4】 (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2
＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.
解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1
x
，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －
1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.又该切线与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0，∴a ≠0且Δ＝a 2
－8a ＝0，解得a ＝8.答案 8
【训练4】1.函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________. 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a 在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x ，因为a ＞0，所以2－1
x
＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2).答案
(2)(－∞，2)
2.点P 是曲线x 2
－y －ln x ＝0上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A.1 B.
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C.
5
2
D. 2 解析 点P 是曲线y ＝x 2
－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y ＝x －2的斜率为1，令y ＝x 2
－ln x ，得y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故曲线y
＝x 2
－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1，1)，点(1，1)到直线y ＝x －2的距离等于2，∴点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.答案 D
