第三章
一、填空题
1．函数()lnsin f x x =在区间5,66ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦上满足罗尔定理，则ξ= 2． 函数()34f x x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理，则ξ=
3．设函数2ln y x x =，则它在x = 处取得极小值。
4
．设函数(ln y x =+，则它在其定义域(),-∞+∞ 内单调
5．设函数x y xe -=，则曲线的拐点坐标为
6．3231214y x x x =+++的拐点是 __ .
7．a =______b=_______时，曲线32y ax bx =+的拐点是（1，2）.
8．曲线2cos y x x =+在区间[0,
]2π上的最大值为_____________ 9. 曲线3()f x x =的拐点是 ．
二、选择题
1．设在[]0,1上()0f x ''>，则()()()()0,1,10f f f f ''-或()()01f f -几个数的大小顺序为（ ）
A ()()()()1010f f f f ⅱ>>-
B ()()()()1100f f f f ''>->
C ()()()()1010f f f f ''->>
D ()()()()1010f f f f ''>->
2． 设()()()0000,0f x f x f x ''''''==>，则（ ）
A ()0f x '是()f x '的极大值
B ()0f x 是()f x 的极大值
C ()0f x 是()f x 的极小值
D ()()00,x f x 是曲线()y f x =的拐点
3．()f x 二阶可导，()()0,0f f ππ''=>，已知x π=是()f x 的极值点，()()cos g x f x x =则（ ）
A
x π=是()g x 的极大值点 B x π=是()g x 的极小值点 C x π=不是()g x 的极大值点 D x π=是否为()g x 的极值点不定
4．()f x 二阶可导，()()0,0f f ππ''=>，已知x π=是()f x 的极值点， ()()cos g x f x x =则（ ）
A x π=是()g x 的极大值点
B x π=是()g x 的极小值点
C x π=不是()g x 的极大值点
D x π=是否为()g x 的极值点不定
5．设 0,0,a b >>则方程30x ax b ++=的根为（ ）
A 有三个互异的实根
B 有两个互异的实根
C 只有一个正根
D 只有一个负根
6．函数()5x f x =在区间[]1,1-上的最大值为（ ） A 1
5- B 0 C 1
5 D 5
7．若函数()y f x =在定义域内'''()0,()0,f x f x <<则()y f x = ( )
A 单调增加且曲线是凸的
B 单调减少且曲线是凸的
C 单调增加且曲线是凹的
D 单调减少且曲线是凹的
8．若函数()y f x =在定义域内'''()0,()0,f x f x <<则有( )
A ()y f x =单调增加且曲线是凸的
B ()y f x =单调减少且曲线是凸的
C ()y f x =单调增加且曲线是凹的
D ()y f x =单调减少且是凹的
9. 函数()(f x x =-在[1,4]上满足罗尔定理中的ξ=（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
10. 设函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则方程()0f x '=有（ ）
（A ）一个实根 （B ）二个实根 （C ）三个实根 （D ）无实根
11．若函数)(x f y =在定义域内,0)(,0)('''<A ． )(x f y =单调增加且曲线是凸的
B ． )(x f y =单调减少且曲线是凸的
C ． )(x f y =单调增加且曲线是凹的
D ． )(x f y =单调减少且曲线是凹的
12. 函数ln y x =在(0,)+∞内（ ）
（A ）单增且曲线是凸的 （B ）单增且曲线是凹的
（C ）单减且曲线是凸的 （D ）单减且曲线是凹的
13. 0()0f x '=是函数()f x 在0x 点取得极值的（ ）
（A ）充要条件（B ）充分条件 （C ）必要条件 （D ）以上说法都不对
14. 函数()x f x xe =在(0,)+∞内是（ ）
（A ）单调增加 （B ）单调减少 （C ）有増有减 （D ）有界
三、解答题
1. 证明方程510x x +-=只有一个正根。
2．求椭圆223x xy y -+=上纵坐标最大和最小的点。
3.证明多项式()33f x x x a =-+在[]
0,1上不可能有两个零点。 4．设()1,x
a f x a ax >=-在(),-∞+∞内的驻点为()x a ，问a 为何值时，()x a 最小？并求出最小值。
5.设()f x 在[]
0,1上连续，在()0,1内可导，且()10f =，证明至少存在一点()0,1ξ∈，使()()0f f ξξξ'+=
6． 试求过曲线4xy =上任意一点()()000,0x y x >处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的值。
7.设()f x 在[]0,π上连续，在()0,π内可导，证明至少存在一点()0,ξπ∈， 使()()cot f f ξξξ'=-。
8．试确定a 值，使()1sin sin33f x a x x =+在3x π=处有极值，指出它是极大值还是极小值？并求此极值。
9.若()f x 可导，试证在其两个零点间一定有()()f x f x '+的零点。
10．在椭圆22
221x y a b +=的第一象限部分上求一点P ，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围成图形的面积为最小，（其中0,
a b >>
如图：
11．证明：当x>0时，arctan ln(1)1x x x +>+ 12．()f x 在区间[]0,1上连续，在()0,1内可导，且证明：在内（0，1）至少存在一点ξ，使()()0f f
ξξ'+=
