24.3.1锐角三角函数

锐角三角函数介绍在三角函数中，我们经常会遇到锐角三角函数。

所谓锐角，是指小于90度的角度。

锐角三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数在数学中表示为sinθ，余弦函数表示为cosθ，正切函数表示为tanθ。

在本文中，我们将重点介绍锐角三角函数的定义、性质和常用公式。

正弦函数（sinθ）正弦函数是一个周期性函数，其定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]。

数学上可以通过单位圆来理解正弦函数。

单位圆可以被看作是一个半径为1的圆，可以让我们更直观地理解正弦函数。

对于给定的角度θ，正弦函数的值等于单位圆上对应角度处点的y坐标。

正弦函数具有以下性质：1.正弦函数是一个奇函数，即sinθ = -sin(-θ)。

2.正弦函数在0度到90度之间是递增的，即sinθ在(0,90)区间内是单调递增的。

3.正弦函数在90度到180度之间是递减的，即sinθ在(90,180)区间内是单调递减的。

常用公式锐角三角函数有许多与角度相关的常用公式，下面是一些与正弦函数相关的常用公式：1.正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1，即sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1。

2.正弦函数的和差公式：sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ。

3.正弦函数的二倍角公式：sin(2θ) = 2sinθ·cosθ。

4.正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2), 其中±表示与θ的象限有关的正负号。

余弦函数（cosθ）余弦函数也是一个周期性函数，其定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]。

与正弦函数类似，我们可以通过单位圆来理解余弦函数。

对于给定的角度θ，余弦函数的值等于单位圆上对应角度处点的x坐标。

余弦函数具有以下性质：1.余弦函数是一个偶函数，即cosθ = cos(-θ)。

2.余弦函数在0度到90度之间是递减的，即cosθ在(0,90)区间内是单调递减的。

九年级数学上册第24章解直角三角形24.3锐角三角函数1锐角三角函数第1课时锐角三角函数教案（新版）华东师大版1.锐角三角函数 第1课时 锐角三角函数1．理解正弦、余弦、正切的概念；(重点)2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．(重点)一、情境导入牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A )与水面(BC )的高度(AB )．斜坡与水面所成的角(∠C )可以用量角器测出来，水管的长度(AC )也能直接量得．二、合作探究探究点一：锐角三角函数 【类型一】 正弦函数如图，sin A 等于( )A ．2 B.55 C.12D. 5 解析：根据正弦函数的定义可得sin A ＝12，故选C.方法总结：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sin A .即sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac.【类型二】 余弦函数在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则cos A ＝( ) A.513 B.512 C.1213 D.125解析：∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，∴cos A ＝AC AB ＝1213.故选C.方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值．【类型三】 正切函数如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan A ＝( )A.35B.45C.34D.43解析：在直角△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，∴tan A ＝BC AB ＝43.故选D.方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．探究点二：求三角函数值如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 上，AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，求sin B的值．解析：先由AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35及勾股定理求出AC 及AB 的长，再由锐角三角函数的定义解答．解：∵AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，∴CD ＝3.在Rt △ACD 中，∵AD ＝5，CD ＝3，∴AC ＝AD 2－CD 2＝52－32＝4.在Rt △ACB 中，∵AC ＝4，BC ＝5，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋52＝41，∴sin B ＝ACAB＝441＝44141 .方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC . (1)求证：AC ＝BD ；(2)若sin C ＝1213，BC ＝36，求AD 的长．解析：(1)根据高的定义得到∠ADB ＝∠ADC ＝90°，再分别利用正切和余弦的定义得到tan B ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝AD AC ，再利用tan B ＝cos ∠DAC 得到AD BD ＝AD AC，所以AC ＝BD ；(2)在Rt △ACD 中，根据正弦的定义得sin C ＝AD AC ＝1213，可设AD ＝12k ，AC ＝13k ，再根据勾股定理计算出CD ＝5k ，由于BD ＝AC ＝13k ，于是利用BC ＝BD ＋CD 得到13k ＋5k ＝36，解得k ＝2，所以AD ＝24.(1)证明：∵AD 是BC 上的高，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在Rt △ABD 中，tan B ＝AD BD，在Rt △ACD 中，cos ∠DAC ＝AD AC .∵tan B ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝AD AC，∴AC ＝BD ；(2)解：在Rt △ACD 中，sin C ＝AD AC ＝1213.设AD ＝12k ，AC ＝13k ，∴CD ＝AC 2－AD 2＝5k .∵BD＝AC ＝13k ，∴BC ＝BD ＋CD ＝13k ＋5k ＝36，解得k ＝2，∴AD ＝12×2＝24.三、板书设计 锐角三角函数 1．正弦的定义 2．余弦的定义 3．正切的定义 4．求三角函数值本节课的教学设计以直角三角形为主线，力求体现生活化课堂的理念，让学生在经历“问题情境——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中，体验知识间的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学．在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.。

锐角三角形函数公式表锐角三角形是指三角形中最大角度小于90度的三角形。

在数学中，锐角三角形函数是指正弦、余弦和正切等函数，它们是三角函数的一种。

这些函数在数学、物理、工程和其他领域中都有广泛的应用。

正弦函数（sin）正弦函数是指在锐角三角形中，对于一个角度θ，其对边与斜边的比值。

正弦函数的值域在-1到1之间，当θ等于0度时，正弦函数的值为0，当θ等于90度时，正弦函数的值为1。

余弦函数（cos）余弦函数是指在锐角三角形中，对于一个角度θ，其邻边与斜边的比值。

余弦函数的值域也在-1到1之间，当θ等于0度时，余弦函数的值为1，当θ等于90度时，余弦函数的值为0。

正切函数（tan）正切函数是指在锐角三角形中，对于一个角度θ，其对边与邻边的比值。

正切函数的值域在负无穷到正无穷之间，当θ等于0度时，正切函数的值为0，当θ等于45度时，正切函数的值为1。

余切函数（cot）余切函数是指在锐角三角形中，对于一个角度θ，其邻边与对边的比值。

余切函数的值域也在负无穷到正无穷之间，当θ等于0度时，余切函数的值为正无穷，当θ等于45度时，余切函数的值为1。

正割函数（sec）正割函数是指在锐角三角形中，对于一个角度θ，其斜边与邻边的比值。

正割函数的值域在-1到1之间，当θ等于0度时，正割函数的值为1，当θ等于90度时，正割函数的值为正无穷。

余割函数（csc）余割函数是指在锐角三角形中，对于一个角度θ，其斜边与对边的比值。

余割函数的值域在-1到1之间，当θ等于0度时，余割函数的值为正无穷，当θ等于90度时，余割函数的值为1。

总结锐角三角形函数公式表是数学中的重要内容，它们在各个领域中都有广泛的应用。

掌握这些函数的定义和性质，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。

锐角三角函数知识点锐角三角函数是九年级学生在学习了函数概念以及反比例函数、一次函数、二次函数之后学习的又一种形式的函数，本文是店铺整理锐角三角函数知识点的资料，仅供参考。

锐角三角函数的定义锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边余割等于斜边比对边正切与余切互为倒数它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

它有六种基本函数(初等基本表示)：函数名正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y(斜边为r，对边为y，邻边为x。

)以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versinθ =1-cosθ余矢函数coversθ =1-sinθ锐角三角函数的性质1、锐角三角函数定义锐角角A的正弦,余弦和正切都叫做角A的锐角三角函数2、互余角的三角函数间的关系。

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.3、同角三角函数间的关系平方关系：sin2α+cos2α=1倒数关系：cotα=(或tanα·cotα=1)商的关系：tanα= , cotα=.(这三个关系的证明均可由定义得出)4、三角函数值(1)特殊角三角函数值(2)0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

锐角三角函数知识点锐角三角函数是指以锐角为自变量的三角函数，包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan），以及它们的倒数函数（csc、sec、cot）。

1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，即sinθ = 对边/斜边。

正弦函数的定义域是锐角，即0到π/2。

它是一个奇函数，也就是sin(-θ) = -sinθ，且其值域是[-1,1]。

2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，即cosθ = 邻边/斜边。

余弦函数的定义域是锐角，即0到π/2。

它是一个偶函数，也就是cos(-θ) = cosθ，且其值域是[-1,1]。

3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边的比值，即tanθ = 对边/邻边。

正切函数的定义域是锐角，即0到π/2，且不包含π/2。

它是一个奇函数，也就是tan(-θ) = -tanθ，且其值域是实数集。

4. 余割函数（csc）：余割函数是正弦函数的倒数，即cscθ = 1/sinθ。

它的定义域是锐角，除去sinθ=0的点，即θ ≠ kπ，其中k为整数。

它的值域为负无穷到负无穷。

5. 正割函数（sec）：正割函数是余弦函数的倒数，即secθ = 1/cosθ。

它的定义域是锐角，除去cosθ=0的点，即θ ≠(k+1/2)π，其中k为整数。

它的值域为负无穷到负无穷。

6. 余切函数（cot）：余切函数是正切函数的倒数，即cotθ = 1/tanθ。

它的定义域是锐角，除去tanθ=0的点，即θ ≠ kπ，其中k为整数。

它的值域为负无穷到负无穷。

锐角三角函数在数学和物理中广泛应用，可以用于解决与三角形、周期性现象和振荡等相关的问题。

初中数学锐角三角函数知识点锐角三角函数是高中数学的重要内容，它涉及到三角函数的定义、性质以及与三角函数相关的常见解题方法。

以下将详细介绍锐角三角函数的知识点。

一、锐角三角函数的定义1. 正弦函数（sine function）：在锐角ABC中，以角A为自变量，以对边AB与斜边AC的比值作为函数值。

记作sinA = AB/AC。

2. 余弦函数（cosine function）：在锐角ABC中，以角A为自变量，以邻边BC与斜边AC的比值作为函数值。

记作cosA = BC/AC。

3. 正切函数（tangent function）：在锐角ABC中，以角A为自变量，以对边AB与邻边BC的比值作为函数值。

记作tanA = AB/BC。

4. 余切函数（cotangent function）：在锐角ABC中，以角A为自变量，以邻边BC与对边AB的比值作为函数值。

记作cotA = BC/AB。

5. 正割函数（secant function）：在锐角ABC中，以角A为自变量，以斜边AC与邻边BC的比值作为函数值。

记作secA = AC/BC。

6. 余割函数（cosecant function）：在锐角ABC中，以角A为自变量，以斜边AC与对边AB的比值作为函数值。

记作cscA = AC/AB。

二、锐角三角函数的性质1. 正弦函数的定义域为[0, π/2]，值域为[0, 1]，是一个奇函数，即sin(π/2 - A) = cosA。

2. 余弦函数的定义域为[0, π/2]，值域为[0, 1]，是一个偶函数，即cos(π/2 - A) = sinA。

3.正割函数和余割函数的定义域为(0,π/2)∪(π/2,π)，值域为R^+∪R^-。

4.正弦函数和余弦函数的图像是一条周期为2π的曲线，对称于直线x=π/25.正切函数和余切函数的定义域为(0,π/2)∪(π/2,π)，值域为R^+∪R^-。

6.正切函数和余切函数的图像是一条周期为π的曲线，对称于直线x=π/2三、常用的锐角三角函数解题方法1. 利用定义求函数值：根据三角函数的定义，利用已知信息计算出函数值。

锐角三角函数知识点高一在高中数学中，锐角三角函数是重要的数学知识点之一。

本文将介绍与锐角三角函数相关的概念、性质和一些常见的应用。

一、正弦函数（sin）正弦函数是三角函数中最基本的一种函数。

对于一个锐角θ，其正弦函数的定义如下：sinθ = 对边/斜边其中，对边指锐角θ的对边，斜边指与锐角θ相对的斜边。

利用这个定义，我们可以计算任意一个锐角θ的正弦值。

正弦函数具有周期性，即在一个周期内，函数值重复出现。

周期为2π，即sinθ = sin(θ+2π)。

这个周期性质在解三角方程中起到重要作用。

二、余弦函数（cos）余弦函数是另一种常见的锐角三角函数。

对于一个锐角θ，其余弦函数的定义如下：cosθ = 邻边/斜边其中，邻边指锐角θ的邻边，斜边与正弦函数中的斜边定义相同。

余弦函数与正弦函数的图像形状相似，但是在y轴上的位置不同。

同样地，余弦函数也具有周期性，即cosθ = cos(θ+2π)。

这个性质在解一些三角方程时非常有用。

三、正切函数（tan）正切函数是锐角三角函数中的第三种函数。

对于一个锐角θ，其正切函数的定义如下：tanθ = 对边/邻边正切函数的计算相对简单，它将对边与邻边的比值作为函数值。

需要注意的是，正切函数在θ的取值为π/2、3π/2时是无定义的，因为此时邻边的长度为0。

四、割函数（sec）、余割函数（csc）和余切函数（cot）割函数、余割函数和余切函数是三角函数中的补充函数，它们与正弦、余弦和正切函数有以下关系：secθ = 1/cosθcscθ = 1/sinθcotθ = 1/tanθ割函数、余割函数和余切函数在解三角方程和计算复杂三角式时可以派上用场。

五、锐角三角函数的性质与定理除了上述的基本定义和周期性外，锐角三角函数还有许多重要的性质和定理。

1. 锐角三角函数是奇函数。

2. 三角恒等式：包括倒数恒等式、商恒等式、和差恒等式等。

3. 锐角三角函数的符号：在不同象限中的函数值的正负情况。