2020年浙江新高考数学二轮复习专题强化练：解答题规范练(四)

姓名，年级：时间：专题强化训练[基础达标］1．(2019·宁波高考模拟）已知全集U＝A∪B＝｛x∈Z|0≤x≤6}，A∩（∁U B)＝｛1，3，5}，则B＝（）A．{2,4，6} B．｛1，3，5}C．｛0，2，4，6} D．{x∈Z|0≤x≤6}解析：选C。

因为全集U＝A∪B＝｛x∈Z|0≤x≤6}＝｛0，1，2,3，4，5，6｝，A∩(∁U B）＝｛1，3,5｝，所以B＝｛0，2，4，6｝，故选C。

2．复数z满足(1＋i）z＝｜错误!－i|，则错误!＝（）A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1＋i解析：选A。

由题意知：(1＋i）z＝2，设z＝a＋b i，则(1＋i)z＝（1＋i)（a＋b i)＝(a－b）＋(a＋b)i,所以错误!解得a＝1，b＝－1，故错误!＝1＋i，故选A。

3．(2019·温州市高考数学模拟）已知数列｛a n}是递增数列，且满足a n＋1＝f(a n)，a1∈（0，1），则f(x）不可能是（)A．f(x)＝错误!B．f（x）＝2x－1C．f（x）＝错误!D．f(x）＝log2（x＋1）解析：选B.对于A：因为a1∈（0，1），所以a n＋1＝错误!>a n，可得数列｛a n｝是递增数列；对于B：因为a1∈(0,1)，不妨取a1＝错误!，则a2＝2错误!－1＝错误!－1〈错误!，因此数列｛a n｝不是递增数列；对于C：f（x)＝2x－x2，令2x－x2≥0,解得0≤x≤2。

由f（x)＝错误!＝错误!,可知：当0≤x≤1时，函数f（x)单调递增;当1≤x≤2时，函数f（x)单调递减．因为a∈(0，1)，所以1数列{a n}是递增数列；对于D：画出图象y＝log2（x＋1)，y＝x，可知：在x∈(0，1）时，log2(x＋1）>x,所以a n＋1＝log2（a n＋1)〉a n,因此数列{a n}是递增数列．故选B。

4．已知点x，y满足约束条件错误!则z＝3x＋y的最大值与最小值之差为（）A．5 B．6C．7 D．8解析:选 C.作出约束条件错误!对应的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－3x并平移知，当直线经过点A时，z取得最大值，当直线经过点B时，z取得最小值，由错误!，得错误!，即A(2，3)，故zmax＝9。

解答题标准练二1．函数f＝2错误!in co －2co2＋11求函数f的单调递增区间；2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设满足fB＝2，a ＝8，c＝5，求co A的值．2如图，四棱锥恒成立，求实数的m最小值；2对任意的1，2∈0，2且1＜2，假设存在0∈1，2，使得f′0＝错误!，求证：0＜错误!4抛物线C：2＝4上动点＝2，2，2，那么错误!即错误!取2＝1，那么m＝1，1，2．又co〈m，n〉＝错误!＝－错误!，结合图形知，二面角H a＝f e＝错误!因为关于的不等式f≤m恒成立，所以f ma≤m，所以m≥错误!，即m的最小值为错误!2证明：因为对任意的1，2∈0，2，假设存在0∈1，2，使得f′0＝错误!，即错误!＝错误!，所以错误!2－1－[f2－f1]＝0令F＝错误!2－1－[f2－f1]，那么有F0＝0，所以F′＝错误!2－1，当∈0，2时，2n －3＜2n 2－3＜0，又有2－1＞0，所以F′＜0，即F在0，2上是减函数．又因为F错误!＝错误!2－1－[f2－f1]＝错误!2－1－错误!＝错误!错误!－错误!错误!，令错误!＝t＞1，所以F错误!＝错误!错误!，设ht＝t·错误!－错误!，所以h′t＝错误!，设t＝t－t n t－1，所以′t＝－n t＜0t＞1，所以t在1，＋∞上是减函数，所以t＜1＝′t＜0，所以ht在1，＋∞上是减函数，所以ht＜h1＝0所以F错误!＝错误!ht＜0＝F0，因为F在0，2上是减函数，所以0＜错误!4．解：1设直线P A的方程为＝＋b，那么A8－2b，8－b．设P1，1，Q2，2，由错误!得2－4＋4b＝0，所以Δ＝16－16b＞0，b＜1，错误!，又1＋8－b＝22，解得错误!或错误!，经检验都是方程的解，所以P0，0或P16，－8．2设A2t1－8，t1，B2t2－8，t2，t1，t2≥在抛物线C上，可得错误!错误!＝4错误!，整理得t错误!＋21－16t1＋64－错误!＝0，同理t错误!＋21－16t2＋64－错误!＝0，所以t1，t2是方程t2＋21－16t＋64－错误!＝0的两个不相等的非负根．所以错误!，所以－8≤1＜0于是|AB|＝错误!|t1－t2|＝2错误!错误!≤32错误!，当且仅当1＝－8时取等号．所以|AB|的最大值为32错误!5．解：1由题设a n>0，当n＝1时，a1＝错误!；当n≥2时，a错误!＝2n－2n－1＝2n－1，所以a n＝2错误!又a1＝错误!不满足a n＝2错误!，所以数列{a n}的通项公式为a n＝错误!2由1知数列{a n}的通项公式为a n＝错误!，故错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1·2错误!n≥2，记S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，那么当n≥2时，S n＝错误!＋错误!－1[错误!＋错误!2＋…＋错误!n－1]＝错误!＋错误!－1·错误!＝2错误!－错误!，故S n＝错误!当n∈N*，n≥2时，要使得2错误!－错误!>n－错误!恒成立，即2n>n2恒成立．由于当n＝4时，2n＝n2，考察函数f＝2－2的单调性，易证当>4时，函数f＝2－2单调递增，且＝4时，f＝0，所以当n≥5时，错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!>n －错误!恒成立，故所求n的取值范围是n≥5。

姓名，年级：时间：专题强化训练1．已知方程错误!＋错误!＝1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是（)A。

错误!B．（1，＋∞）C．（1，2） D.错误!解析：选C。

由题意可得，2k－1>2－k>0，即错误!解得1〈k<2，故选C。

2．（2019·浙江高考冲刺卷)已知F为抛物线4y2＝x的焦点，点A,B都是抛物线上的点且位于x轴的两侧，若错误!·错误!＝15(O为原点)，则△ABO和△AFO的面积之和的最小值为( ）A。

错误! B.错误!C。

错误!D。

错误!解析：选D.设直线AB的方程为：x＝ty＋m，A(x,y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为M（m,0)，1错误!,可得4y2－ty－m＝0，根据根与系数的关系有y1·y2＝－错误!，因为错误!·错误!＝15，所以x1·x2＋y1·y2＝15，从而16（y1·y2)2＋y1·y2－15＝0，因为点A，B位于x轴的两侧，所以y1·y2＝－1,故m＝4。

不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，如图所示．又F（错误!，0），所以S△ABO＋S△AFO＝错误!×4×（y1－y2)＋错误!×错误!y1＝错误!y＋错误!≥2错误!＝错误!，1当且仅当错误!y1＝错误!,即y1＝错误!时，取“＝”号,所以△ABO与△AFO面积之和的最小值是错误!，故选D.3．（2019·绍兴市柯桥区高考数学二模）已知l是经过双曲线C：错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）的焦点F且与实轴垂直的直线,A，B是双曲线C的两个顶点，若在l上存在一点P，使∠APB＝60°，则双曲线的离心率的最大值为( )A.错误! B。

错误! C．2 D．3解析：选A。

设双曲线的焦点F（c，0）,直线l：x＝c,可设点P（c,n）,A（－a，0），B(a，0)，由两直线的夹角公式可得tan∠APB＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝tan 60°＝错误!，由|n｜＋错误!≥2错误!＝2错误!，可得3≤错误!,化简可得3c2≤4a2,即c≤错误!a，即有e＝错误!≤错误!。

小题专题练(三) 数 列1．无穷等比数列{a n }中，“a 1>a 2”是“数列{a n }为递减数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( )A.12B.1716 C ．2D ．173．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－124．已知数列{a n }满足2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N *)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 2a n log 2a n ＋1的前n 项和为S n ，则S 1·S 2·S 3·…·S 10＝( )A.110B.15C.111D.2115.如图，矩形A n B n C n D n 的一边A n B n 在x 轴上，另外两个顶点C n ，D n 在函数f (x )＝x ＋1x (x >0)的图象上，若点B n 的坐标为(n ，0)(n ≥2，n ∈N *)，记矩形A n B n C n D n 的周长为a n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )A ．208B ．212C ．216D ．2206．设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和为S n .若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值为( )A ．10B.92C.72D.12＋22 7．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ 8．若数列{a n }对于任意的正整数n 满足：a n ＞0且a n a n ＋1＝n ＋1，则称数列{a n }为“积增数列”．已知“积增数列”{a n }中，a 1＝1，数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和为S n ，则对于任意的正整数n ，有( )A ．S n ≤2n 2＋3B ．S n ≥n 2＋4nC ．S n ≤n 2＋4nD ．S n ≥n 2＋3n9．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么S n 取得最小正值时n 等于( )A ．20B ．17C ．19D ．2110．数列{a n }满足a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)，则m ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016的整数部分是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝5，a 5＝3，则a n ＝________，S 7＝________． 12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 4＝________，S 5＝________．13．已知等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .设{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .若n 2(T n ＋1)＝2n S n ，n ∈N *，则d ＝________，q ＝________．14．已知数列{a n }满足(n ＋2)a n ＋1＝na n ，a 1＝1，则a n ＝________；若b n ＝n ＋22n ＋2a n ，T n为数列{b n }的前n 项和，则T 3＝________．15．对任一实数序列A ＝(a 1，a 2，a 3，…)，定义新序列ΔA ＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…)，它的第n 项为a n ＋1－a n .假定序列Δ(ΔA )的所有项都是1，且a 12＝a 22＝0，则a 2＝________．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋12n －32，其前n 项和为S n ，则对任意m ，n ∈N *(m <n ), S n －S m 的最大值为________．17．已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0，6S n ＝a 2n ＋3a n ，n ∈N *, b n＝2an（2an －1）（2an ＋1－1），若任意n ∈N *，k >T n 恒成立，则k 的最小值是________．小题专题练(三)1．解析：选B.数列{a n }递减⇒a n <a n －1.反之不成立，例如a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n ＋1，此数列是摆动数列．故选B.2．解析：选B.设数列{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B.3．解析：选D.因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1，2a 1－1，4a 1－6.因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)，解得a 1＝－12.4．解析：选C.因为2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N *)，所以2a 1＋22a 2＋…＋2n －1a n －1＝n －1(n ≥2)，两式相减得2n a n ＝1(n ≥2)，a 1＝12也满足上式，故a n ＝12n ，故1log 2a n log 2a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，所以S 1·S 2·S 3·…·S 10＝12×23×34×…×910×1011＝111，故选C.5．解析：选C.由题意得|A n D n |＝|B n C n |＝n ＋1n ，设点D n 的坐标为⎝⎛⎭⎫x ，n ＋1n ，则有x ＋1x ＝n ＋1n ，得x ＝1n (x ＝n 舍去)，即A n ⎝⎛⎭⎫1n ，0，则|A n B n |＝n －1n ，所以矩形的周长为a n ＝2(|A n B n |＋|B n C n |)＝2⎝⎛⎭⎫n －1n ＋2⎝⎛⎭⎫n ＋1n ＝4n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝4(2＋3＋4＋…＋10)＝216. 6．解析：选B.由已知得S n ＋8a n ＝na 1＋n （n －1）d2＋8a 1＋（n －1）d ＝n 2＋8n ＋12≥2n 2·8n ＋12＝92，当且仅当n ＝4时“＝”成立．7．解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22（n －1）2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n＝22n －1，1a n ＝122n －1＝12×⎝⎛⎭⎫14n －1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝23⎝⎛⎭⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫23，＋∞. 8．解析：选D.因为a n ＞0，所以a 2n ＋a 2n ＋1≥2a n a n ＋1.因为a n a n ＋1＝n ＋1，所以{a n a n ＋1}的前n 项和为2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝（2＋n ＋1）n 2＝（n ＋3）n 2，所以数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和S n ≥2×（n ＋3）n 2＝(n ＋3)n ＝n 2＋3n .9．解析：选C.因为a 9＋3a 11<0，所以由等差数列的性质可得a 9＋3a 11＝a 9＋a 11＋2a 11＝a 9＋a 11＋a 10＋a 12＝2(a 11＋a 10)<0，又a 10·a 11<0，所以a 10和a 11异号， 又因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是递减的等差数列，所以a 10>0，a 11<0， 所以S 19＝19（a 1＋a 19）2＝19×2a 102＝19a 10>0，所以S 20＝20（a 1＋a 20）2＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，所以S n 取得最小正值时n 等于19.10．解析：选B.由条件得1a n ＋1－1＝1a n （a n －1）＝1a n －1－1a n，即有1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，则m ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016＝1a 1－1－1a 2 017－1＝3－1a 2 017－1.又a n ＋1－a n ＝(a n －1)2≥0，则a n ＋1≥a n ≥…≥a 1>1，当n ≥2时，从而有(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝(a n －1)2－(a n －1－1)2＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1－2)≥0，则a n ＋1－a n ≥a n －a n －1≥…≥a 2－a 1＝19，则a 2 017＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a 2017－a 2 016)≥43＋2 0169＝22513，得a 2 017－1≥22413>1，即有0<1a 2 017－1<1，则m ∈(2，3)，故选B.11．解析：设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－2，d ＝－1，所以a 1＝a 3－2d ＝7， a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋(n －1)×(－1)＝8－n ，S 7＝7a 1＋7×62d ＝7×7＋21×(－1)＝28.答案：8－n 2812．解析：法一：由a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)得a n ＋1＋1＝2a n ＋2＝2(a n ＋1)，所以数列{a n＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，故a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1，所以a 4＝15，S n ＝2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－2－n ，S 5＝57.法二：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，可猜想a n ＝2n －1，验证可知满足题意，故S n ＝2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－2－n ，所以S 5＝57.答案：15 57 13．2 214．解析：法一：由a n ＋1a n ＝n n ＋2可得，a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13×24×35×…×n －1n ＋1，得a n ＝2n （n ＋1）.b n ＝n ＋22n ＋2·2n （n ＋1）＝n ＋22n ＋1n （n ＋1）＝1n ·2n －1（n ＋1）·2n ＋1，所以T 3＝12－14×24＝12－164＝3164. 法二：由(n ＋2)a n ＋1＝na n ，a 1＝1易得a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，…，猜想a n ＝2n （n ＋1），易证结论成立．故b n ＝n ＋22n ＋2·2n （n ＋1）＝n ＋22n ＋1n （n ＋1）＝1n ·2n －1（n ＋1）·2n ＋1，所以T 3＝12－14×24＝12－164＝3164. 答案：2n （n ＋1） 316415．解析：令b n ＝a n ＋1－a n ，依题意知数列{b n }为等差数列，且公差为1，所以b n ＝b 1＋(n －1)×1，a 1＝a 1， a 2－a 1＝b 1， a 3－a 2＝b 2， …a n －a n －1＝b n －1，累加得a n ＝a 1＋b 1＋…＋b n －1＝a 1＋(n －1)·b 1＋（n －1）（n －2）2＝(n －1)a 2－(n －2)a 1＋（n －1）（n －2）2，分别令n ＝12，n ＝22，得⎩⎪⎨⎪⎧11a 2－10a 1＋55＝0，21a 2－20a 1＋210＝0， 解得a 1＝2312，a 2＝100.答案：10016．解析：由a n ＝－n 2＋12n －32＝0，得n ＝4或n ＝8，即a 4＝a 8＝0.又函数f (x )＝－x 2＋12x －32的图象开口向下，所以数列的前3项均为负数，当n >8时，数列中的项均为负数．在m <n 的情况下，S n －S m 的最大值为S 7－S 4＝a 5＋a 6＋a 7＝－52＋12×5－32－62＋12×6－32－72＋12×7－32＝10.答案：1017．解析：当n ＝1时，6a 1＝a 21＋3a 1，解得a 1＝3或a 1＝0.由a n >0得，a 1＝3.由6S n ＝a 2n ＋3a n ，得6S n ＋1＝a 2n ＋1＋3a n ＋1.两式相减得6a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋3a n ＋1－3a n .所以(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0.因为a n >0，所以a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝3.即数列{a n }是以3为首项，3为公差的等差数列，所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n .所以b n ＝2an （2an －1）（2an ＋1－1）＝8n（8n －1）（8n ＋1－1） ＝17⎝⎛⎭⎫18n －1－18n ＋1－1. 所以T n ＝17(18－1－182－1＋182－1－183－1＋…＋18n －1－18n ＋1－1)＝17⎝⎛⎭⎫17－18n ＋1－1<149. 要使任意n ∈N *，k >T n 恒成立，只需k ≥149，所以k 的最小值为149.答案：149。

姓名，年级：时间：专题强化训练1．(2019·宁波模拟）在△ABC 中，角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ,c ,且错误!＋1＝错误!。

（1)求B ；（2）若cos 错误!＝错误!,求sin A 的值．解:（1）由错误!＋1＝错误!及正弦定理，得错误!＋1＝错误!, 所以sin B cos A ＋cos B sin Acos B sin A＝错误!，即错误!＝错误!，则错误!＝错误!。

因为在△ABC 中，sin A ≠0，sin C ≠0， 所以cos B ＝错误!.因为B ∈（0,π)，所以B ＝错误!. (2）因为0＜C ＜2π3， 所以错误!＜C ＋错误!＜错误!. 又cos 错误!＝错误!, 所以sin 错误!＝错误!。

所以sin A ＝sin （B ＋C )＝sin 错误! ＝sin 错误!＝sin 错误!cos 错误!＋cos 错误!sin 错误!＝错误!。

2。

如图所示，在三棱柱ABC .A 1B 1C 1中，AA 1B 1B 为正方形，BB 1C 1C 是菱形，平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C .(1)求证：BC ∥平面AB 1C 1； (2)求证:B 1C ⊥AC 1;(3）设点E ,F ，H ,G 分别是B 1C ，AA 1，A 1B 1，B 1C 1的中点，试判断E ,F ，H ，G 四点是否共面，并说明理由．解：(1）证明：在菱形BB 1C 1C 中，BC ∥B 1C 1. 因为BC ⊄平面AB 1C 1,B 1C 1⊂平面AB 1C 1， 所以BC ∥平面AB 1C 1.（2）证明：连接BC 1。

在正方形ABB 1A 1中,AB ⊥BB 1.因为平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ，平面AA 1B 1B ∩平面BB 1C 1C ＝BB 1，AB ⊂平面ABB 1A 1， 所以AB ⊥平面BB 1C 1C 。

因为B 1C ⊂平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥B 1C . 在菱形BB 1C 1C 中,BC 1⊥B 1C .因为BC 1⊂平面ABC 1，AB ⊂平面ABC 1，BC 1∩AB ＝B ， 所以B 1C ⊥平面ABC 1.因为AC 1⊂平面ABC 1，所以B 1C ⊥AC 1. （3)E ,F ,H ,G 四点不共面. 理由如下: 因为E ，G 分别是B 1C ，B 1C 1的中点， 所以GE ∥CC 1。

高考数学二轮复习专题汇总1专题一：集合、函数、导数与不等式。

此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。

每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。

2专题二：数列、推理与证明。

数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。

3专题三：三角函数、平面向量和解三角形。

平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。

近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。

平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。

4专题四：立体几何。

注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。

5专题五：解析几何。

直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。

近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融“综合性、开放性、探索性”为一体;二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。

我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。

6专题六：概率与统计、算法与复数。

要求具有较高的阅读理解和分析问题、解决问题的能力。

高考对算法的考查集中在程序框图，主要通过数列求和、求积设计问题。

高考数学二轮复习策略1.加强思维训练，规范答题过程解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家要形成良好的思维品质和学习习惯，务必将解题过程写得层次分明结构完整。

第1讲 高考客观题的解法专题强化训练 [基础达标]1．(2019·宁波高考模拟)已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，则B ＝( )A ．{2，4，6}B ．{1，3，5}C ．{0，2，4，6}D ．{x ∈Z |0≤x ≤6}解析：选C.因为全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，所以B ＝{0，2，4，6}，故选C.2．复数z 满足(1＋i)z ＝|3－i|，则z －＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1－iD ．－1＋i解析：选A.由题意知：(1＋i)z ＝2，设z ＝a ＋b i ， 则(1＋i)z ＝(1＋i)(a ＋b i)＝(a －b )＋(a ＋b )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a －b ＝2，解得a ＝1，b ＝－1，故z －＝1＋i ，故选A.3．(2019·温州市高考数学模拟)已知数列{a n }是递增数列，且满足a n ＋1＝f (a n )，a 1∈(0，1)，则f (x )不可能是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝2x－1 C ．f (x )＝2x －x 2D ．f (x )＝log 2(x ＋1)解析：选B.对于A ：因为a 1∈(0，1)，所以a n ＋1＝a n >a n ，可得数列{a n }是递增数列；对于B ：因为a 1∈(0，1)，不妨取a 1＝12，则a 2＝212－1＝2－1<12，因此数列{a n }不是递增数列；对于C ：f (x )＝2x －x 2，令2x －x 2≥0，解得0≤x ≤2.由f (x )＝2x －x 2＝1－（x －1）2，可知：当0≤x ≤1时，函数f (x )单调递增；当1≤x ≤2时，函数f (x )单调递减．因为a 1∈(0，1)，所以数列{a n }是递增数列；对于D ：画出图象y ＝log 2(x ＋1)，y ＝x ，可知：在x ∈(0，1)时，log 2(x ＋1)>x ，所以a n ＋1＝log 2(a n ＋1)>a n ，因此数列{a n }是递增数列．故选B.4．已知点x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥0，x －2≤0则z ＝3x ＋y 的最大值与最小值之差为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选 C.作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥0x －2≤0对应的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－3x 并平移知，当直线经过点A 时，z 取得最大值，当直线经过点B 时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －2y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3，即A (2，3)，故z max ＝9. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，即B (0，2)，故z min ＝2，故z 的最大值与最小值之差为7，选C.5．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (3n －1) B.n （n ＋3）2 C ．n (n ＋1)D.n （3n ＋1）2解析：选C.依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)．6．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C.由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x －2|(x >0)，y 2＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. 7．函数f (x )＝cos x ·log 2|x |的图象大致为( )解析：选B.函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos 12log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝－cos 12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝－cos 12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，排除A 、D ， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－cos 12<0，故排除C.综上，选B. 8．(2019·嘉兴市高三期末)已知圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－4＝0恰有三条公共切线，则（a －3）2＋（b －4）2的最小值为( )A ．1＋ 2B ．2C ．3－ 2D ．4解析：选B.圆C 1的圆心为C 1(a ，0)，半径为r 1＝1， 圆C 2的圆心为C 2(0，b )，半径为r 2＝2， 因为两圆有三条公共切线，所以两圆外切． 所以a 2＋b 2＝3，所以点(a ，b )在半径为3的圆x 2＋y 2＝9上．而（a －3）2＋（b －4）2表示点(a ，b )到点(3，4)的距离． 所以（a －3）2＋（b －4）2的最小值为32＋42－3＝2.故选B. 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30解析：选C.由三视图可知该几何体是由如图所示的直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1截掉一个三棱锥D ­A 1B 1C 1得到的，其中AC ＝4，BC ＝3，AA 1＝5，AD ＝2，BC ⊥AC ，S △A 1B 1C 1＝12×4×3＝6，所以该几何体的体积V ＝S △A 1B 1C 1·AA 1－ 13 S △A 1B 1C 1·DA 1＝6×5－13×6×3＝24. 10．(2019·台州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋y ＋a ＝0与点A (0，2)，若直线l 上存在点M 满足|MA |2＋|MO |2＝10(O 为坐标原点)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－5－1，5－1)B ．[－5－1，5－1]C ．(－22－1，22－1)D ．[－22－1，22－1]解析：选D.设M (x ，y )，因为|MA |2＋|MO |2＝10，所以x 2＋(y －2)2＋x 2＋y 2＝10，即x 2＋(y －1)2＝4，由于点M 在直线l 上，所以直线x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋(y －1)2＝4相交或相切时满足题意，即|1＋a |2≤2，解得－22－1≤a ≤22－1.11．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为________，单调递增区间为________．解析：函数f (x )的最小正周期为2π2＝π，由2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2kπ得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z ，即f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z .答案：π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z12．(2019·金丽衢十二校高三联考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm 3，表面积为________cm 2.解析：根据三视图可知，该几何体为如图所示三棱锥P ­ABC ，所以其体积V ＝13Sh ＝13×12×4×3×1＝233，表面积S ＝12×4×3＋12×4×1＋12×2×2＋12×23×2＝4＋23＋ 6.答案：2334＋23＋ 613．(2019·河南八市重点高中质检)已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，则直线l 1的方程是________．解析：由题可得，圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，其圆心为(0，－1)，半径r ＝2.设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋4×（－1）＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6.故直线l 1的方程为3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0.答案：3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝014．对于任意两个正实数a ，b ，定义a *b ＝λ×a b.其中常数λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，62，若8*3＝3，则λ＝________；若a ≥b >0，a *b 与b *a 都是集合{x |x ＝n2，n ∈Z }中的元素，则a *b ＝________．解析：由8*3＝3得λ×83＝3⇒λ＝98；λ×a b ＝m 2，λ×b a ＝n 2(m ，n ∈Z ，m >n )⇒λ2＝mn 4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32⇒mn ＝5⇒m ＝5，n ＝1，所以a *b ＝52.答案：98 5215．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是__________．解析：函数f (x )的大致图象如图所示，根据题意知只要m >4m －m 2即可，又m >0，解得m >3，故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)16．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．解析：若在[－1，1]内不存在c 满足f (c )>0， 则⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.解得p ≤－3或p ≥32，取补集得－3<p <32，即满足题意的实数p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－3，3217．小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法种数为________．解析：根据题意，分3种情况讨论：①若小明的父母中只有1人与小明相邻且父母不相邻时， 先在其父母中选一人与小明相邻，有C 12＝2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A 22＝2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A 22×A 23＝12种安排方法，此时有2×2×12＝48种不同坐法；②若小明的父母中只有1人与小明相邻且父母相邻时， 将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2＝4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A 33＝6种情况， 此时有2×2×6＝24种不同坐法；③小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边， 将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A 22＝2种情况， 将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A 33＝6种情况， 此时，共有2×6＝12种不同坐法； 则一共有48＋24＋12＝84种不同坐法． 答案：84[能力提升]1．若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a ＜1bB ．a 2＞b 2C.ac 2＋1＞bc 2＋1D ．a |c |＞b |c |解析：选C.取a ＝1，b ＝－1，排除A ，B ；取c ＝0，排除D ，故选C.2．(2019·金华市东阳二中高三调研)若关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选A.由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.3．(2019·杭州市学军中学模拟)已知q 是等比数列{a n }的公比，则“q <1”是“数列{a n }是递减数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.数列－8，－4，－2，…，该数列是公比q ＝－4－8＝12<1的等比数列，但该数列是递增数列，所以，由等比数列{a n }的公比q <1，不能得出数列{a n }是递减数列；而数列－1，－2，－4，－8，…，是递减数列，但其公比q ＝－2－1>1，所以，由数列{a n }是递减数列，不能得出其公比q <1.所以，“q <1”是“等比数列{a n }是递减数列”的既不充分也不必要条件．故选D. 4．当a ＞0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x的图象大致是( )解析：选B.由f (x )＝0，得x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ，因为a ＞0，所以x ＝－2a ＜0，故排除A ，C ；当x 趋向于－∞时，e x趋向于0，故f (x )趋向于0，排除D.5．已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b ( )A ．有最大值为145B ．有最小值为145C ．没有最小值D ．有最大值为3解析：选B.因为a 2－b ＋4≤0，所以b ≥a 2＋4，a ，b >0. 所以a ＋b ≥a 2＋a ＋4，所以aa ＋b ≤aa 2＋a ＋4，所以－aa ＋b≥－aa 2＋a ＋4，所以u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－aa 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a＋1≥3－12a ·4a＋1＝145，当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号．故选B.6．(2019·瑞安四校联考)已知Rt △AOB 的面积为1，O 为直角顶点，设向量a ＝OA→|OA →|，b ＝OB→|OB →|，OP →＝a ＋2b ，则PA →·PB →的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立直角坐标系． 设A (m ，0)，B (0，n )，则a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，OP →＝a ＋2b ＝(1，2)，PA →＝(m －1，－2)，PB →＝(－1，n －2)，Rt △AOB 的面积为1，即有mn ＝2，则PA →·PB →＝1－m －2(n －2)＝5－(m ＋2n )≤5－22mn ＝5－2×2＝1，当且仅当m ＝2n ＝2时，取得最大值1.7．(2019·绍兴一中高三期中)到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为( )A ．相交直线B ．双曲线C ．抛物线D ．椭圆弧解析：选C.如图所示，建立坐标系，不妨设两条互相垂直的异面直线为OA ，BC ，设OB ＝a ，P (x ，y ，z )到直线OA ，BC 的距离相等，所以x 2＋z 2＝(x －a )2＋y 2，所以2ax －y 2＋z 2－a 2＝0，若被平面xOy 所截，则z ＝0，y 2＝2ax －a 2；若被平面xOz 所截，则y ＝0，z 2＝－2ax ＋a 2，故选C.8．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同分配方案的种数为( )A ．50B ．80C ．120D ．140解析：选B.根据题意，分2种情况讨论：①甲组有2人，首先选2个放到甲组，共有C 25＝10种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有C 23A 22＝6种结果， 所以根据分步乘法计数原理知共有10×6＝60种结果， ②当甲中有三个人时，有C 35A 22＝20种结果， 所以共有60＋20＝80种结果，故选B. 9．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x ＜g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 解析：选D.由x ＜g (x )得x ＜x 2－2， 所以x ＜－1或x ＞2； 由x ≥g (x )得x ≥x 2－2， 所以－1≤x ≤2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜－1或x ＞2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，x ＜－1或x ＞2，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，－1≤x ≤2.当x ＜－1时，f (x )＞2；当x ＞2时，f (x )＞8.所以当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0.所以当x ∈[－1，2]时，函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0. 综上可得f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)． 10．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数f ′(x )满足xf ′(x )＋f (x )＝ln xx，且f (e)＝1e ，其中e 为自然对数的底数，则不等式f (x )＋e>x ＋1e的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 解析：选B.根据题意，令g (x )＝xf (x )，则有g ′(x )＝[xf (x )]′＝xf ′(x )＋f (x )＝ln xx，则g (x )＝12(ln x )2＋C ，即xf (x )＝12(ln x )2＋C ，则有f (x )＝12x (ln x )2＋C x，又由f (e)＝1e ，即f (e)＝12e ＋C e ＝1e ，解可得C ＝12，故f (x )＝12x (ln x )2＋12x ，令h (x )＝f (x )－x ，则h ′(x )＝f ′(x )－1＝－（ln x ＋1）22x 2－1<0， 故函数h (x )＝f (x )－x 在(0，＋∞)上递减， 不等式f (x )＋e>x ＋1e ，即f (x )－x >1e －e ＝f (e)－e ，则有0<x <e ，即不等式f (x )＋e>x ＋1e的解集为(0，e)．故选B.11．比较lg 2，(lg 2)2，lg(lg 2)的大小，其中最大的是________，最小的是________． 解析：因为lg 2∈(0，1)，0<(lg 2)2<lg 2， lg(lg 2)<0，所以最大的是lg 2，最小的是lg(lg 2)． 答案：lg 2 lg(lg 2)12．商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是________；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，则EX ＝________．解析：抽奖1次，不中奖的概率为610×510＝310，所以抽奖1次能获奖的概率为1－310＝710；抽奖1次获一等奖的概率为410×510＝15， 所以随机变量X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15， 所以EX ＝3×15＝35.答案：710 3513．在△ABC 中，D 是AC 边的中点，A ＝π3，cos ∠BDC ＝－27，△ABC 的面积为33，则sin ∠ABD ＝________，AC ＝________．解析：过B 作BH ⊥AC 于H ，则cos ∠BDH ＝DH BD＝27， 设DH ＝2k (k >0)，则BD ＝7k ， 所以BH ＝BD 2－DH 2＝3k ，在Rt △ABH 中，∠A ＝π3，所以AH ＝BH3＝k ，所以AD ＝3k ，AC ＝6k ，又S △ABC ＝12×AC ×BH ＝12×6k ×3k ＝33k 2＝33，解得k ＝1，所以AC ＝6， 在△ABD 中，BD sin A ＝ADsin ∠ABD ，所以732＝3sin ∠ABD解得sin ∠ABD ＝32114.答案：32114614．(2019·杭州市七校高三联考)抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1·x 2＝－12，则m 等于________．解析：由条件得A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点连线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－1，而y 2－y 1＝2(x 22－x 21)，得x 1＋x 2＝－12，且(x 1＋x 22，y 1＋y 22)在直线y ＝x ＋m 上，即y 1＋y 22＝x 1＋x 22＋m ，即y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m .又因为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2上， 所以有2(x 21＋x 22)＝x 1＋x 2＋2m ， 即2[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＝x 1＋x 2＋2m ， 可得2m ＝3，解得m ＝32.答案：3215．用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2(比如1 524)的概率＝________．解析：用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，基本事件总数n ＝A 45＝120，其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2包含的基本事件有：1 352，1 425，1 524，3 142，3 524，3 514，3 152，5 241，5 314，5 142，共10个，所以千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2(比如1 524)的概率：p ＝10120＝112. 答案：11216．已知a ＝(3，2)，b ＝(2，－1)，若向量λa ＋b 与a ＋λb 夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．解析：因为a ＝(3，2)，b ＝(2，－1)，所以λa ＋b ＝(3λ＋2，2λ－1)，a ＋λb ＝(3＋2λ，2－λ)， 因为向量λa ＋b 与a ＋λb 夹角为锐角，所以(λa ＋b )·(a ＋λb )＝(3λ＋2)×(3＋2λ)＋(2λ－1)×(2－λ)>0. 且(3λ＋2)(2－λ)－(2λ－1)(3＋2λ)≠0， 整理可得，4λ2＋18λ＋4>0且λ≠±1.解不等式可得，λ>－9＋654或λ<－9－654且λ≠1.答案：λ>－9＋654或λ<－9－654且λ≠117．(2019·广州市综合测试(一))设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为________．解析：a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，令p ＝1，q ＝n ，则有a n ＋1＝a n ＋a 1＝a n ＋2，故{a n }是等差数列，所以a n ＝2n ，S n ＝2×（1＋n ）n 2＝n 2＋n ，f (n )＝S n ＋60n ＋1＝n 2＋n ＋60n ＋1＝（n ＋1）2－（n ＋1）＋60n ＋1＝n ＋1＋60n ＋1－1.当n ＋1＝8时，f (7)＝8＋608－1＝292；当n ＋1＝7时，f (6)＝7＋607－1＝1027，因为292<1027，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为292.答案：292。

第4讲 不等式专题强化训练1．(2019·金华十校联考)不等式(m －2)(m ＋3)＜0的一个充分不必要条件是( ) A ．－3＜m ＜0 B ．－3＜m ＜2 C ．－3＜m ＜4D ．－1＜m ＜3解析：选A.由(m －2)(m ＋3)＜0得－3＜m ＜2，即不等式成立的等价条件是－3＜m ＜2， 则不等式(m －2)(m ＋3)＜0的一个充分不必要条件是(－3，2)的一个真子集， 则满足条件是－3＜m ＜0. 故选A.2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．－12D.12解析：选 B.根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1a ，所以a ＝－2，故选B. 3．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：选C.因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2， 所以x ＋3y ＝1，所以1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x3y ≥4，当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16时，取等号．4．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B. 2C.322D. 5解析：选B.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥02x －y －3≤0x －2y ＋3≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (1，2)、B (2，1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A 与B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A 、B 两点的平行直线间的距离，易得|AB |＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2，故选B.5．(2019·金丽衢十二校高三联考)若函数f (x )＝2x 2－ax －1(a <2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a 的值为( )A ．2 B.32 C ．1D.12解析：选 B.f (x )＝2x 2－a x －1＝2（x －1）2＋4（x －1）＋2－a x －1＝2(x －1)＋2－ax －1＋4≥22（x －1）·2－a x －1＋4＝24－2a ＋4，当且仅当2(x －1)＝2－a x －1⇒x ＝1＋2－a2时，等号成立，所以24－2a ＋4＝6⇒a ＝32，故选B.6．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －（1＋a ）≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4，20]D ．[－4，20)解析：选B.不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1，3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －（a ＋1）≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0⇒a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －（1＋a ）≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4.7．(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥－2x －y ≤0x ≥－4，若不等式2x －y ＋m 2≥0恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－6，6]B ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)C ．[－7，7]D ．(－∞，－7]∪[7，＋∞)解析：选D.作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥－2x －y ≤0x ≥－4所对应的可行域(如图中阴影部分)，令z ＝－2x ＋y ，当直线经过点A (－4，－1)时，z 取得最大值，即z max ＝(－2)×(－4)＋(－1)＝7.所以m 2≥7，即实数m 的取值范围为(－∞，－7]∪[7，＋∞)，故选D. 8．已知b >a >0，a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( ) A ．log 3a >0B ．3a －b<13C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥6解析：选C.对于A ，由log 3a >0可得log 3a >log 31，所以a >1，又b >a >0，a ＋b ＝1，所以a <1，两者矛盾，所以A 不正确； 对于B ，由3a －b<13可得3a －b <3－1， 所以a －b <－1，可得a ＋1<b ，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以B 不正确； 对于C ，由log 2a ＋log 2b <－2可得log 2(ab )<－2＝log 214，所以ab <14，又b >a >0，a ＋b ＝1>2ab ，所以ab <14，两者一致，所以C 正确；对于D ，因为b >a >0，a ＋b ＝1，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b >3×2b a ×ab＝6，所以D 不正确．故选C. 9．(2019·绍兴市柯桥区高三期中)已知x ，y ∈R ，( ) A ．若|x －y 2|＋|x 2＋y |≤1，则(x ＋12)2＋(y －12)2≤32B ．若|x －y 2|＋|x 2－y |≤1，则(x －12)2＋(y －12)2≤32C ．若|x ＋y 2|＋|x 2－y |≤1，则(x ＋12)2＋(y ＋12)2≤32D ．若|x ＋y 2|＋|x 2＋y |≤1，则(x －12)2＋(y ＋12)2≤32解析：选B.对于A ，|x －y 2|＋|x 2＋y |≤1，由(x ＋12)2＋(y －12)2≤32化简得x 2＋x ＋y 2－y ≤1，二者没有对应关系；对于B ，由(x 2－y )＋(y 2－x )≤|x 2－y |＋|y 2－x |＝|x －y 2|＋|x 2－y |≤1，所以x 2－x ＋y 2－y ≤1，即(x －12)2＋(y －12)2≤32，命题成立；对于C ，|x ＋y 2|＋|x 2－y |≤1，由(x ＋12)2＋(y ＋12)2≤32化简得x 2＋x ＋y 2＋y ≤1，二者没有对应关系；对于D ，|x ＋y 2|＋|x 2＋y |≤1，化简(x －12)2＋(y ＋12)2≤32得x 2－x ＋y 2＋y ≤1，二者没有对应关系．故选B.10．若关于x 的不等式x 3－3x 2－ax ＋a ＋2≤0在x ∈(－∞，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)解析：选A.关于x 的不等式x 3－3x 2－ax ＋a ＋2≤0在x ∈(－∞，1]上恒成立， 等价于a (x －1)≥x 3－3x 2＋2＝(x －1)(x 2－2x －2)， 当x ＝1时，1－3－a ＋a ＋2＝0≤0成立， 当x ＜1时，x －1＜0， 即a ≤x 2－2x －2，因为y ＝x 2－2x －2＝(x －1)2－3≥－3恒成立， 所以a ≤－3，故选A.11．(2019·温州市高三高考模拟)若关于x 的不等式|x |＋|x ＋a |＜b 的解集为(－2，1)，则实数对(a ，b )＝________．解析：因为不等式|x |＋|x ＋a |＜b 的解集为(－2，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋|－2＋a |＝b 1＋|1＋a |＝b ，解得a ＝1，b ＝3.答案：(1，3)12．若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则2x ＋1y 的最小值是________，x －yx 2＋y 2的最大值为________．解析：实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则xy ＝2， 则2x ＋1y ≥22x ·1y ＝2，当且仅当2x ＝1y，即x ＝2，y ＝1时取等号，故2x ＋1y的最小值是2，x －y x 2＋y 2＝x －y （x －y ）2＋2xy ＝x －y（x －y ）2＋4＝1（x －y ）＋4x －y ≤12（x －y ）4x －y＝14，当且仅当x －y ＝4x －y，即x －y ＝2时取等号， 故x －y x 2＋y 2的最大值为14，故答案为2，14. 答案：2 1413．(2019·兰州市高考实战模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12，则z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y的最大值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2x －y，令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4，0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16.答案：1614．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0－x 2＋x ，x >0，则关于x 的不等式f (f (x ))≤3的解集为________．解析：令f (t )≤3，若t ≤0，则2－t －1≤3，2－t ≤4，解得－2≤t ≤0；若t >0，则－t 2＋t ≤3，t2－t ＋3≥0，解得t >0，所以t ≥－2，即原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1≥－2x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ≥－2x >0，解得x ≤2.答案：(－∞，2]15．(2019·宁波市九校联考)已知f (x )＝|x ＋1x －a |＋|x －1x－a |＋2x －2a (x ＞0)的最小值为32，则实数a ＝________．解析：f (x )＝|x ＋1x －a |＋|x －1x －a |＋2x －2a ≥|(x ＋1x －a )－(x －1x－a )|＋2x －2a＝|2x|＋2x －2a＝2x＋2x －2a≥22x·2x －2a＝4－2a .当且仅当2x＝2x ，即x ＝1时，上式等号成立．由4－2a ＝32，解得a ＝54.答案：5416．(2019·绍兴市柯桥区高三模拟)若|x 2＋|x －a |＋3a |≤2对x ∈[－1，1]恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：|x 2＋|x －a |＋3a |≤2化为－2－x 2≤|x －a |＋3a ≤2－x 2，画出图象，可知，其几何意义为顶点为(a ，3a )的V 字型在x ∈[－1，1]时，始终夹在y ＝－2－x 2，y ＝2－x 2之间，如图1，图2所示，为两种临界状态，首先就是图1 的临界状态，此时V 字形右边边界y ＝x ＋2a 与y ＝－2－x 2相切，联立直线方程和抛物线方程可得x 2＋x ＋2a ＋2＝0，此时Δ＝0⇒1－4(2a ＋2)＝0⇒a ＝－78，而图2的临界状态显然a ＝0，综上得，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－78，0.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－78，0 17．(2019·温州模拟)已知a ，b ，c ∈R ，若|a cos 2x ＋b sin x ＋c |≤1对x ∈R 成立，则|a sinx ＋b |的最大值为________．解析：由题意，设t ＝sin x ，t ∈[－1，1]，则|at 2－bt －a －c |≤1恒成立， 不妨设t ＝1，则|b ＋c |≤1；t ＝0，则|a ＋c |≤1，t ＝－1，则|b －c |≤1， 若a ，b 同号，则|a sin x ＋b |的最大值为 |a ＋b |＝|a ＋c ＋b －c |≤|a ＋c |＋|b －c |≤2； 若a ，b 异号，则|a sin x ＋b |的最大值为 |a －b |＝|a ＋c －b －c |≤|a ＋c |＋|b ＋c |≤2； 综上所述，|a sin x ＋b |的最大值为2， 故答案为2. 答案：218．(2019·丽水市第二次教学质量检测)已知函数f (x )＝4－|ax －2|(a ≠0)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈[0，1]时，不等式f (x )≥1恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)要使函数有意义，需4－|ax －2|≥0，即 |ax －2|≤4，|ax －2|≤4⇔－4≤ax －2≤4⇔－2≤ax ≤6. 当a >0时，函数f (x )的定义域为{x |－2a ≤x ≤6a }；当a <0时，函数f (x )的定义域为{x |6a≤x ≤－2a}．(2)f (x )≥1⇔|ax －2|≤3，记g (x )＝|ax －2|，因为x ∈[0，1]， 所以需且只需⎩⎪⎨⎪⎧g （0）≤3g （1）≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧2≤3|a －2|≤3⇔－1≤a ≤5，又a ≠0，所以－1≤a ≤5且a ≠0.19．(2019·丽水市高考数学模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |x 2＋1(a ∈R )．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)对任意的b ∈(0，1)，当x ∈(1，2)时，f (x )>bx恒成立，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝|x ＋1|x 2＋1>1⇔x 2＋1<|x ＋1|⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x 2＋1<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x 2＋1<－（x ＋1）⇔0<x <1.故不等式的解集为{x |0<x <1}．(2)f (x )＝|x ＋a |x 2＋1>b x ⇔|x ＋a |>b (x ＋1x )⇔x ＋a >b (x ＋1x )或x ＋a <－b (x ＋1x)⇔a >(b －1)x ＋b x 或a<－[(b＋1)x＋bx]对任意x∈(1，2)恒成立．所以a≥2b－1或a≤－(52b＋2)对任意b∈(0，1)恒成立．所以a≥1或a≤－92.。

解答题规范练(二)1．已知函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足f (B )＝2，a ＝8，c ＝5，求cos A 的值．2.如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AD ＝AB ＝1，BC ＝ 2.(1)求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(2)设H 为CD 上一点，满足CH →＝2HD →，若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为63，求二面角H ­PB ­C 的余弦值．3．已知函数f (x )＝ln xx.(1)若关于x 的不等式f (x )≤m 恒成立，求实数的m 最小值； (2)对任意的x 1，x 2∈(0，2)且x 1＜x 2，若存在x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，求证：x 0＜x 1x 2.4.已知抛物线C：y2＝4x上动点P(x1，y1)，点A在射线x－2y＋8＝0(y≥0)上，满足P A的中点Q在抛物线C上．(1)若直线P A的斜率为1，求点P的坐标；(2)若射线l上存在不同于A的另一点B，使得PB的中点也在抛物线C上，求|AB|的最大值．5．已知数列{a n}的各项均为正数，且满足a21＋a22＋a23＋…＋a2n＝2n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a21a2＋a1＋a22a3＋a2＋a23a4＋a3＋…＋a2na n＋1＋a n>n－22(n∈N*，n≥2)恒成立，求n的取值范围．解答题规范练(二)1．解：(1)f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由题意2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＝2，所以B ＝π3，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝49， 解得b ＝7.所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝17.2．解：(1)证明：由AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝1，可得BD ＝ 2. 又BC ＝2，所以CD ＝2，所以BC ⊥BD . 因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ， 又PD ∩BD ＝D ，所以BC ⊥平面PBD ， 所以平面PBD ⊥平面PBC .(2)由(1)可知∠BPC 为PC 与平面PBD 所成的角， 所以tan ∠BPC ＝63， 所以PB ＝3，PD ＝1.由CH →＝2HD →及CD ＝2，可得CH ＝43，DH ＝23.以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则B (1，1，0)，P (0，0，1)，C (0，2，0)，H ⎝⎛⎭⎫0，23，0.设平面HPB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧HP →·n ＝0，HB →·n ＝0，即⎩⎨⎧－23y 1＋z 1＝0，x 1＋13y 1＝0，取y 1＝－3，则n ＝(1，－3，－2)． 设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧PB →·m ＝0，BC →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－z 2＝0，－x 2＋y 2＝0，取x 2＝1，则m ＝(1，1，2)． 又cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－217，结合图形知，二面角H PBC 的余弦值为217. 3．解：(1)由f ′(x )＝1－ln xx 2＝0解得x ＝e. 当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 所以f (x )max ＝f (e)＝1e.因为关于x 的不等式f (x )≤m 恒成立， 所以f (x )max ≤m ，所以m ≥1e ，即m 的最小值为1e.(2)证明：因为对任意的x 1，x 2∈(0，2)，若存在x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，即1－ln x 0x 20＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1， 所以1－ln x 0x 20(x 2－x 1)－[f (x 2)－f (x 1)]＝0.令F (x )＝1－ln xx 2(x 2－x 1)－[f (x 2)－f (x 1)]，则有F (x 0)＝0，所以F ′(x )＝2ln x －3x 3(x 2－x 1)，当x ∈(0，2)时，2ln x －3＜2ln 2－3＜0， 又有x 2－x 1＞0，所以F ′(x )＜0，即F (x )在(0，2)上是减函数． 又因为F (x 1x 2)＝1－ln x 1x 2x 1x 2(x 2－x 1)－[f (x 2)－f (x 1)]＝1－ln x 1x 2x 1x 2(x 2－x 1)－⎝⎛⎭⎫ln x 2x 2－ln x 1x 1＝1x 1⎝⎛⎭⎫1＋ln x 1x 2－1x 2⎝⎛⎭⎫1＋ln x 2x 1，令x 2x 1＝t ＞1，所以F (x 1x 2) ＝1x 2⎣⎡⎦⎤t ·⎝⎛⎭⎫1－12ln t －⎝⎛⎭⎫1＋12ln t ， 设h (t )＝t ·⎝⎛⎭⎫1－12ln t －⎝⎛⎭⎫1＋12ln t ， 所以h ′(t )＝t －t ln t －12t，设k (t )＝t －t ln t －1， 所以k ′(t )＝－ln t ＜0(t ＞1)， 所以k (t )在(1，＋∞)上是减函数，所以k (t )＜k (1)＝0.所以h ′(t )＜0，所以h (t )在(1，＋∞)上是减函数， 所以h (t )＜h (1)＝0.所以F (x 1x 2)＝1x 2h (t )＜0＝F (x 0)，因为F (x )在(0，2)上是减函数，所以x 0＜x 1x 2.4．解：(1)设直线P A 的方程为y ＝x ＋b ，则A (8－2b ，8－b )．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b y 2＝4x得y 2－4y ＋4b ＝0，所以 Δ＝16－16b ＞0，b ＜1，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4y 1y 2＝4b，又y 1＋8－b ＝2y 2，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0y 1＝0y 2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－24y 1＝－8y 2＝12， 经检验都是方程的解，所以P (0，0)或P (16，－8)．(2)设A (2t 1－8，t 1)，B (2t 2－8，t 2)，t 1，t 2≥0.则由P A 的中点Q ⎝⎛⎭⎫y 218＋t 1－4，t 1＋y 12在抛物线C 上，可得⎝⎛⎭⎫t 1＋y 122＝4⎝⎛⎭⎫y 218＋t 1－4，整理得t 21＋(2y 1－16)t 1＋64－y 21＝0， 同理t 22＋(2y 1－16)t 2＋64－y 21＝0，所以t 1，t 2是方程t 2＋(2y 1－16)t ＋64－y 21＝0的两个不相等的非负根．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2y 1－16）2－4（64－y 21）＞0t 1＋t 2＝16－2y 1＞0t 1t 2＝64－y 21≥0，所以－8≤y 1＜0.于是|AB |＝5|t 1－t 2|＝252y 21－16y 1≤325，当且仅当y 1＝－8时取等号． 所以|AB |的最大值为32 5.5．解：(1)由题设a n >0，当n ＝1时，a 1＝2；当n ≥2时，a 2n ＝2n －2n －1＝2n －1，所以a n ＝2n －12.又a 1＝2不满足a n ＝2n －12，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －12，n ≥2.(2)由(1)知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －12，n ≥2，故a 2na n ＋1＋a n ＝2n －1（2）n ＋（2）n －1＝2n －1（2）n －1·（2＋1）＝(2－1)·2n －12(n ≥2)，记S n ＝a 21a 2＋a 1＋a 22a 3＋a 2＋a 23a 4＋a 3＋…＋a 2n a n ＋1＋a n ， 则当n ≥2时，S n ＝22＋(2－1)[2＋(2)2＋…＋(2)n －1]＝22＋(2－1)·2[1－（2）n －1]1－2＝2n 2－22，故S n＝⎩⎨⎧22，n ＝12n 2－22，n ≥2.当n ∈N *，n ≥2时，要使得2n 2－22>n －22恒成立，即2n >n 2恒成立． 由于当n ＝4时，2n ＝n 2，考察函数f (x )＝2x －x 2的单调性，易证当x >4时，函数f (x )＝2x－x 2单调递增，且x ＝4时，f (x )＝0，所以当n ≥5时，a 21a 2＋a 1＋a 22a 3＋a 2＋a 23a 4＋a 3＋…＋a 2na n ＋1＋a n >n －22恒成立，故所求n 的取值范围是n ≥5.。

专题强化训练1．(2019·台州市高三期末考试)在正项数列{a n }中，已知a 1＝1，且满足a n ＋1＝2a n －1a n ＋1(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3； (2)证明：a n ≥(32)n －1.解：(1)因为在正项数列{a n }中，a 1＝1，且满足a n ＋1＝2a n －1a n ＋1(n ∈N *)，所以a 2＝2×1－11＋1＝32，a 3＝2×32－132＋1＝135.(2)证明：①当n ＝1时，由已知a 1＝1≥(32)1－1＝1，不等式成立；②假设当n ＝k 时，不等式成立，即a k ≥(32)k －1，因为f (x )＝2x －1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，所以a k ＋1＝2a k －1a k ＋1≥2(32)k －1－1（32）k －1＋1＝(32)k ＋13(32)k －1（32）k －1＋1 ＝(32)k ＋13（32）2k －1＋13（32）k－1（32）k －1＋1 ＝(32)k ＋19[（32）k ＋3][2×（32）k －3]（32）k －1＋1， 因为k ≥1，所以2×(32)k －3≥2×32－3＝0，所以a k ＋1≥(32)k ，即当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①②知不等式对任何n ∈N *都成立．2．(2019·嘉兴调研)已知S n 为各项均为正数的数列{a n }的前n 项和，a 1∈(0，2)，a 2n ＋3a n＋2＝6S n .(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，t ≤4T n 恒成立，求实数t 的最大值．解：(1)当n ＝1时，由a 2n ＋3a n ＋2＝6S n ，得a 21＋3a 1＋2＝6a 1，即a 21－3a 1＋2＝0.又a 1∈(0，2)，解得a 1＝1.由a 2n ＋3a n ＋2＝6S n ，可知a 2n ＋1＋3a n ＋1＋2＝6S n ＋1.两式相减，得a 2n ＋1－a 2n ＋3(a n ＋1－a n )＝6a n ＋1，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0.由于a n ＞0，可得a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3，所以{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. (2)由a n ＝3n －2 ，可得b n ＝1a n a n ＋1＝1（3n －2）（3n ＋1）＝13⎝⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1， T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1 ＝n3n ＋1. 因为T n ＝n 3n ＋1＝13－133n ＋1随着n 的增大而增大，所以数列{T n }是递增数列，所以t ≤4T n ⇔t 4≤T n ⇔t 4≤T 1＝14⇔t ≤1，所以实数t 的最大值是1.3．(2019·金华模拟)已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1a n ＝2a n ＋1－1(n ∈N *)，令b n ＝a n －1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝a 2n ＋1a 2n ，求证：c 1＋c 2＋…＋c n <n ＋724.解：(1)因为a n ＋1a n ＝2a n ＋1－1(n ∈N *)，b n ＝a n －1，即a n ＝b n ＋1. 所以(b n ＋1＋1)(b n ＋1)＝2(b n ＋1＋1)－1，化为：1b n ＋1－1b n ＝－1，所以数列{1b n }是等差数列，首项为－2，公差为－1.所以1b n ＝－2－(n －1)＝－1－n ，所以b n ＝－1n ＋1.(2)证明：由(1)可得：a n ＝b n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.所以c n ＝a 2n ＋1a 2n ＝2n ＋12n ＋1＋12n 2n ＋1＝（2n ＋1）22n （2n ＋2）＝1＋12⎝⎛⎭⎫12n －12n ＋2，因为n ≥2时，2n ＋2≤2n ＋1－1， 所以12n －12n ＋2<12n －1－12n ＋1－1，所以c 1＋c 2＋…＋c n <n ＋12⎝⎛⎭⎫12－14＋ 12⎝⎛⎭⎫122－1－12n ＋1－1＝n ＋724－12（2n ＋1－1）<n ＋724. 4．(2019·绍兴市高三教学质量调测)已知数列{a n }满足a n ＞0，a 1＝2，且(n ＋1)a 2n ＋1＝na 2n ＋a n (n ∈N *)．(1)证明：a n ＞1；(2)证明：a 224＋a 239＋…＋a 2nn 2＜95(n ≥2)．证明：(1)由题得(n ＋1)·a 2n ＋1－(n ＋1)＝na 2n －n ＋a n －1，故(a n ＋1－1)(a n ＋1＋1)(n ＋1)＝(a n －1)(na n ＋n ＋1)，由a n ＞0，n ∈N *，可知(a n ＋1＋1)(n ＋1)＞0，na n ＋n ＋1＞0， 所以a n ＋1－1与a n －1同号，又a 1－1＝1＞0，故a n ＞1.(2)由(1)知a n ＞1，故(n ＋1)a 2n ＋1＝na 2n ＋a n ＜(n ＋1)a 2n ，所以a n ＋1＜a n ，1＜a n ≤2.又由题可得a n ＝(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ，所以，a 1＝2a 22－a 21，a 2＝3a 23－2a 22，…，a n ＝(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2n ，相加得a 1＋a 2＋…＋a n ＝(n ＋1)a 2n ＋1－4≤2n ， 所以a 2n ＋1≤2n ＋4n ＋1，即a 2n ≤2n ＋2n (n ≥2)， a 2n n 2≤2n 2＋2n 3≤2⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋⎝⎛⎭⎫1n －1－2n ＋1n ＋1(n ≥2)． 当n ＝2时，a 2222＝34＜95.当n ＝3时，a 2222＋a 2332≤34＋232＋233＜34＋13＜95.当n ≥4时，a 224＋a 239＋a 2416＋…＋a 2nn2＜2⎝⎛⎭⎫14＋19＋116＋14＋⎝⎛⎭⎫14＋227＋13－14＝1＋29＋18＋14＋227＋112＜95.从而，原命题得证．5．(2019·台州市高考一模)已知数列{a n }满足：a n ＞0，a n ＋1＋1a n ＜2(n ∈N *)．(1)求证：a n ＋2＜a n ＋1＜2(n ∈N *)； (2)求证：a n ＞1(n ∈N *)．证明：(1)由a n ＞0，a n ＋1＋1a n ＜2，所以a n ＋1＜2－1a n ＜2，因为2＞a n ＋2＋1a n ＋1≥2a n ＋2a n ＋1， 所以a n ＋2＜a n ＋1＜2.(2)假设存在a N ≤1(N ≥1，N ∈N *)， 由(1)可得当n ＞N 时，a n ≤a N ＋1＜1， 根据a n ＋1－1＜1－1a n ＝a n －1a n ＜0，而a n ＜1，所以1a n ＋1－1＞a n a n －1＝1＋1a n －1.于是1a N ＋2－1＞1＋1a N ＋1－1，…1a N ＋n －1＞1＋1a N ＋n －1－1.累加可得1a N ＋n －1＞n －1＋1a N ＋1－1(*)，由(1)可得a N ＋n －1＜0，而当n ＞－1a N ＋1－1＋1时，显然有n －1＋1a N ＋1－1＞0，因此有1a N ＋n －1＜n －1＋1a N ＋1－1，这显然与(*)矛盾，所以a n ＞1(n ∈N *)．6．(2019·金丽衢十二校高三联考)已知f n (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n ，且f n (－1)＝(－1)n ·n ，n ＝1，2，3，….(1)求a 1，a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)当k >7且k ∈N *时，证明：对任意n ∈N *都有2a n ＋1＋2a n ＋1＋1＋2a n ＋2＋1＋…＋2a nk －1＋1>32成立．解：(1)由f 1(－1)＝－a 1＝－1得a 1＝1， 由f 2(－1)＝－a 1＋a 2＝2，得a 2＝3， 又因为f 3(－1)＝－a 1＋a 2－a 3＝－3， 所以a 3＝5.(2)由题意得：f n (－1)＝－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝(－1)n ·n ， f n －1(－1)＝－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n －1a n －1 ＝(－1)n －1·(n －1)，n ≥2， 两式相减得：(－1)n a n ＝(－1)n ·n －(－1)n －1·(n －1)＝(－1)n (2n －1)，得当n ≥2时，a n ＝2n －1，又a 1＝1符合，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (3)证明：令b n ＝a n ＋12＝n ，则S ＝1b n ＋1b n ＋1＋1b n ＋2＋…＋1b nk －1＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1nk －1，所以2S ＝⎝⎛⎭⎫1n ＋1nk －1＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1nk －2＋⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1nk －3＋…＋⎝⎛⎭⎫1nk －1＋1n .(*)当x >0，y >0时，x ＋y ≥2xy ，1x ＋1y ≥21xy， 所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ≥4，所以1x ＋1y ≥4x ＋y ，当且仅当x ＝y 时等号成立，上述(*)式中，k >7，n >0，n ＋1，n ＋2，…，nk －1全为正，所以2S >4n ＋nk －1＋4n ＋1＋nk －2＋4n ＋2＋nk －3＋…＋4nk －1＋n ＝4n （k －1）n ＋nk －1，所以S >2（k －1）1＋k －1n >2（k －1）k ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1－2k ＋1>2⎝⎛⎭⎫1－27＋1＝32，得证． 7．(2019·宁波市诺丁汉大学附中高三期中考试)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，n ∈N *，设b n ＝log 2(a n ＋1)．(1)求{a n }的通项公式；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1b n －1＜n (n ≥2)；(3)若2c n ＝b n ，求证：2≤(c n ＋1c n)n＜3.解：(1)由a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，则a n ＋1＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2，由a 1＝3，则a n ＞0，两边取对数得到log 2(a n ＋1＋1)＝log 2(a n ＋1)2＝2 log 2(a n ＋1)，即b n ＋1＝2b n . 又b 1＝log 2(a 1＋1)＝2≠0，所以{b n }是以2为公比的等比数列． 即b n ＝2n .又因为b n ＝log 2(a n ＋1)， 所以a n ＝22n －1.(2)证明：用数学归纳法证明：①当n ＝2时，左边为1＋12＋13＝116＜2＝右边，此时不等式成立；②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＜k ＋12k ＋12k＋1＋…＋12k ＋1－1＜k ＋＜k ＋1＝右边，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．综上可得：对一切n ∈N *，n ≥2，命题成立． (3)证明：由2c n ＝b n 得c n ＝n ， 所以(c n ＋1c n )n ＝(1＋n n )n ＝(1＋1n )n ，首先(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n 1n ＋C 2n 1n 2＋…＋ C k n 1n k ＋…＋C n n 1nn ≥2， 其次因为C k n 1n k ＝n （n －1）…（n －k ＋1）k ！n k ＜1k ！≤1k （k －1）＝1k －1－1k (k ≥2)， 所以(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n 1n ＋C 2n 1n 2＋…＋ C k n 1n k ＋…＋C n n 1nn ， ＜1＋1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝3－1n ＜3，当n ＝1时显然成立．所以得证．8．数列{a n }满足a 1＝14，a n ＝a n －1（－1）n a n －1－2(n ≥2，n ∈N )．(1)试判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋（－1）n 是否为等比数列，并说明理由；(2)设b n ＝a n sin （2n －1）π2，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：对任意的n ∈N *，T n ＜47.解：(1)a n ＝a n －1（－1）n a n －1－2⇒1a n ＝（－1）n a n －1－2a n －1＝(－1)n－2a n －1，所以1a n ＋(－1)n ＝2·(－1)n －2a n －1⇒所以1a n ＋(－1)n ＝(－2)·⎣⎡⎦⎤（－1）n －1＋1a n －1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋（－1）n 为公比是－2的等比数列．(2)证明：1a 1＋(－1)1＝3，由(1)可得1a n＋(－1)n ＝⎣⎡⎦⎤1a 1＋（－1）1·(－2)n －1＝3·(－2)n －1， 所以a n ＝13·（－2）n －1－（－1）n . 而sin（2n －1）π2＝(－1)n －1， 所以b n ＝a n ·sin （2n －1）π2＝（－1）n －13·（－2）n －1－（－1）n ＝13·2n －1＋1，所以b n ＝13·2n －1＋1＜13·2n －1， 当n ≥3时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＜(b 1＋b 2)＋13·22＋13·23＋…＋13·2n －1＝14＋17＋112⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －21－12＜14＋17＋16＝4784＜47. 因为{b n }为正项数列，所以T 1＜T 2＜T 3＜…＜T n ， 所以n ∈N *，T n ＜47.。

姓名，年级：时间：小题专题练（二）三角函数与平面向量1．若角α的终边过点P(－1，m），且|sin α|＝错误!，则点P位于( ）A．第一象限或第二象限B．第三象限或第四象限C．第二象限或第三象限D．第二象限或第四象限2．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( ）A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x）的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π,最大值为43．设正方形ABCD的边长为1，则｜错误!－错误!＋错误!|等于（) A．0 B。

错误!C．2 D．2错误!4．已知平面向量a，b的夹角为错误!，且a·（a－b)＝8，|a｜＝2，则|b|等于( )A.错误!B．2错误!C．3 D．45。

如图，在△ABC中，∠C＝错误!，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2错误!,则cos A等于（)A.错误!B.错误!C.错误!D。

错误!6．若函数f（x)＝sin(3x＋φ）（｜φ｜〈π）满足：f（a＋x）＝f（a －x）,a为常数，a∈R,则f错误!的值为（)A 。

错误!B ．±1C ．0D 。

错误!7.若函数y ＝A sin （ωx ＋φ)(A 〉0,ω>0，|φ｜<错误!)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且错误!·错误!＝0，则A ·ω等于（ ）A.错误! B 。

错误! C.错误!πD 。

错误!π8．将函数y ＝2sin 错误!sin 错误!的图象向左平移φ(φ>0）个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数,则φ的最小值为（ ）A 。

错误! B.错误! C 。

错误!D 。

错误!9．已知函数y ＝4sin（⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈错误!的图象与直线y ＝m 有三个交点，其交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3（x 1<x 2〈x 3），那么x 1＋2x 2＋x 3的值是（ ）A 。

专题强化训练 [基础达标]1．已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( ) A ．[2，3] B ．(－2，3]C ．[1，2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B.由于Q ＝{x |x ≤－2或x ≥2}，∁R Q ＝{x |－2＜x ＜2}，故得P ∪(∁R Q )＝{x |－2＜x ≤3}．故选B.2．(2019·金华模拟)已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞2}，B ＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ＜1}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：选A.法一：因为A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞2}＝{y |y ＞1}，B ＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ＜1}＝{y |y ＞12}，所以A ∩B ＝{y |y ＞1}，故选A. 法二：取2∈A ∩B ，则由2∈A ，得log 2x ＝2，解得x ＝4＞2，满足条件，同时由2∈B ，得⎝⎛⎭⎫12x＝2，x ＝－1，满足条件，排除选项B ，D ；取1∈A ∩B ，则由1∈A ，得log 2x ＝1，解得x ＝2，不满足x ＞2，排除C ，故选A.3．(2019·温州市统一模拟考试)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．1或2解析：选B.当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅，故a 的值为2，选B.4．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知a ，b 为两个非零向量，设命题p ：|a ·b |＝|a ||b |，命题q ：a 与b 共线，则命题p 是命题q 成立的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.|a ·b |＝|a ||b |⇔|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝±1⇔a ∥b ，故是充要条件，选C.5．(2019·衢州质检)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A解析：选D.因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}， 所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.6．“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1 解析：选C.若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0，故选C.7．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意得，a n ＝a 1q n －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，故选C.8．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题 B ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题 解析：选B.对于选项A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故选项A 为假命题；对于选项B ，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知选项B 为真命题；对于选项C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故选项C 为假命题；对于选项D ，命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题为“若x ≠π3，则tan x≠3”，易知当x ＝4π3时，tan x ＝3，故选项D 为假命题．综上可知，选B.9．(2019·浙江五校联考模拟)已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题不正确的是( )A ．平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，且两平面的距离为33B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P A 1B 1C 1的体积不变 C ．与所有12条棱都相切的球的体积为23π D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是△AB 1C 外接圆的圆周上任意一点，则|MN |的最小值是3－22解析：选D.A.因为AB 1∥DC 1，AC ∥A 1C 1， 且AC ∩AB 1＝A ，所以平面ACB 1∥平面A 1C 1D ， 正方体的体对角线BD 1＝3， 设B 到平面ACB 1的距离为h ，则V B ­AB 1C ＝13×12×1×1×1＝13×12×2×2×32h ，即h ＝33，则平面ACB 1与平面A 1C 1D 的距离d ＝3－2h ＝3－2×33＝33，故A 正确． B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P A 1B 1C 1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B 正确，C ．与所有12条棱都相切的球的直径2R 等于面的对角线B 1C ＝2，则2R ＝2，R ＝22，则球的体积V ＝43πR 3＝43×π×(22)3＝23π，故C 正确．D ．设正方体的内切球的球心为O ，正方体的外接球的球心为O ′， 则三角形ACB 1的外接圆是正方体的外接球O ′的一个小圆，因为点M 在正方体的内切球的球面上运动，点N 在三角形ACB 1的外接圆上运动， 所以线段MN 长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球的半径， 因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 所以线段MN 长度的最小值是32－12.故D 错误．故选D. 10．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N |y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，集合M 中有两个元素，且这两个元素都是M 的“酷元”，那么这样的集合M 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：选C.由36－x 2>0可解得－6<x <6，又x ∈N ，故x 可取0，1，2，3，4，5，故S ＝{0，1，2，3，4，5}．由题意可知：集合M 不能含有0，1，且不能同时含有2，4.故集合M 可以是{2，3}，{2，5}，{3，5}，{3，4}，{4，5}．11．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1，2}，Q ＝{－1，0，1}，则集合P *Q 中元素的个数为________．解析：法一(列举法)：当b ＝0时，无论a 取何值，z ＝a b ＝1；当a ＝1时，无论b 取何值，a b ＝1；当a ＝2，b ＝－1时，z ＝2－1＝12；当a ＝2，b ＝1时，z ＝21＝2.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，该集合中共有3个元素．法二：(列表法)：因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1，2；b 的取值只能为－1，0，1.z ＝a b 的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎭⎬1，12，2，显然该集合中共有3个元素．答案：312．(2019·温州瑞安高考数学模拟)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝______，(∁U A )∪B ＝________．解析：因为U ＝{1，2，3，4，5，6}， ∁U B ＝{1，5，6}，∁U A ＝{3，4，5，6}， 所以A ∩(∁U B )＝{1，2}∩{1，5，6}＝{1}，(∁U A )∪B ＝{3，4，5，6}∪{2，3，4}＝{2，3，4，5，6}． 答案：{1} {2，3，4，5，6}13．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题． 答案：114．一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充分必要条件是________． 解析：必要性：因为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 即k (－x )＋b ＝－(kx ＋b )， 所以b ＝0.充分性：如果b ＝0，那么f (x )＝kx ， 因为f (－x )＝k (－x )＝－kx ， 所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数． 答案：b ＝015．A ＝{1，2，3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是________． 解析：有序实数对(a ，b )的取值情形共有9种，满足A ∩B ＝B 的情形有： ①(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)，此时B ＝∅；②(2，1)，此时B ＝{1}； ③(3，2)，此时B ＝{1，2}． 所以A ∩B ＝B 的概率为P ＝89.答案：8916．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________．解析：因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：(1)当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a ＋1）2－4（a 2－1）＞0，－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0.解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝ 4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意．(3)当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0， 解得a ＜－1.综上所述，所求实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪{1}． 答案：(－∞，－1]∪{1}17．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅； ②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅； ③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ； ④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R . 其中命题不正确的有________．解析：①若P ＝{1}，M ＝{－1}，则f (P )＝{1}，f (M )＝{1}，则f (P )∩f (M )≠∅，故①错． ②若P ＝{1，2}，M ＝{1}，则f (P )＝{1，2}， f (M )＝{－1}，则f (P )∩f (M )＝∅.故②错． ③若P ＝{非负实数}，M ＝{负实数}， 则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{正实数}， 则f (P )∪f (M )≠R ，故③错．④若P ＝{非负实数}，M ＝{正实数}， 则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{负实数}， 则f (P )∪f (M )＝R ，故④错． 答案：①②③④[能力提升]1．已知集合P ＝{y |y ＝(12)x ，x ≥0}，Q ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，则P ∩Q 为( )A ．(0，1]B ．∅C ．(0，2)D ．{0}解析：选A.由已知得，因为x ≥0，且0＜(12)x ≤(12)0＝1，所以P ＝(0，1]，又因为2x －x 2＞0⇒0＜x ＜2，所以Q ＝(0，2)，因此P ∩Q ＝(0，1]，故选A.2．已知z ＝m 2－1＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R ，i 为虚数单位)，则“m ＝－1”是“z 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意，当m ＝－1时，z 的实部为(－1)2－1＝0，虚部为(－1)2－3×(－1)＋2＝6，此时z 为纯虚数，即充分性成立；当z 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m 2－3m ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1m ≠2，m ≠1⇒m＝－1，即必要性成立，故选C.3．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( ) A ．{x |x ＜－1或x ≥1} B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1}解析：选B.集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以U ＝A ∪B ＝{x |x ≤3}， 所以A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}；所以∁U (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3或x ＜－1}． 故选B.4．若x ∈R ，则“x ＞1”是“1x ＜1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选A.由x ＞1，一定能得到1x ＜1，但当1x ＜1时，不能推出x ＞1(如x ＝－1时)，故“x＞1”是“1x＜1”的充分非必要条件．5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的必要而不充分的条件是( ) A ．a －1＞b B ．a ＋1＞b C ．|a |＞|b |D ．a 3＞b 3解析：选B.“a ＞b ”不能推出“a －1＞b ”，故选项A 不是“a ＞b ”的必要条件，不满足题意；“a ＞b ”能推出“a ＋1＞b ”，但“a ＋1＞b ”不能推出“a ＞b ”，故满足题意；“a ＞b ”不能推出“|a |＞|b |”，故选项C 不是“a ＞b ”的必要条件，不满足题意；“a ＞b ”能推出“a 3＞b 3”，且“a 3＞b 3”能推出“a ＞b ”，故是充要条件，不满足题意．6．(2019·绍兴质检)已知集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞1}，B ＝{x |x ＞2或x ＜0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(－2，0)B ．[－2，0)C ．∅D ．(－2，1)解析：选B.因为集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞1}， 所以∁R A ＝{x |－2≤x ≤1}，集合B＝{x|x＞2或x＜0}，所以(∁R A)∩B＝{x|－2≤x＜0}＝[－2，0)，故选B.7．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是()A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线解析：选C.A.α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误；B.若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；C.利用线面平行的性质定理，可得C 正确；D.若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，故选C.8．已知f(x)＝ax2＋bx，其中－1≤a＜0，b＞0，则“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b ＞1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.因为f(x)＝ax2＋bx，所以a＋b＞1⇔f(1)＞1.因为存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1，所以|f(x)|max＞1.因为－1≤a＜0，b＞0，所以函数f(x)的对称轴x＝－b2a＞0.计算：f(0)＝0，f(1)＝a＋b，f(－b2a)＝b2－4a＞0.f(1)＞1，所以f(－b2a)＝b2－4a＞1，反之也成立，若b2＞－4a，则b＞－4a＞1－a.所以“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b＞1”的充要条件．9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是()A ．(－2，1)B ．[－1，0]∪[1，2)C ．(－2，－1)∪[0，1]D ．[0，1]解析：选C.因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2，1]，A ∩B ＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.10．已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列B ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列解析：选 D.c n ⊥b n ⇒c n ·b n ＝na n ＋(n ＋1)a n ＋1＝0，即a n ＋1a n＝－nn ＋1；所以数列{a n }既不是等比数列又不是等差数列；c n ∥b n ⇒(n ＋1)a n －na n ＋1＝0，即a n ＋1a n ＝n ＋1n ；所以a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝21×32×…×nn －1＝n (n ≥2)，即a n ＝na 1.所以数列{a n }是等差数列． 11．已知A ＝{0，1，2}，B ＝{－1，3}，记：A ＋B ＝{a ＋b |a ∈A ，b ∈B }，试用列举法表示A ＋B ＝________．解析：因为a ∈A ，b ∈B ， 所以当a ＝0时，a ＋b ＝－1或3， 当a ＝1时，a ＋b ＝0或4， 当a ＝2时，a ＋b ＝1或5，所以A ＋B ＝{－1，0，1，3，4，5}． 答案：{－1，0，1，3，4，5}12．设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{1}，则B ＝________． 解析：因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，又因它的解为x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．答案：{1，3}13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.答案：－1 114．设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x∉A}，则集合B中元素的个数为________．解析：若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.答案：115．给出下列四个命题：①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．其中正确命题的序号是________．解析：由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零；反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以④正确．答案：①④16．已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．解析：记P＝{x|(x－m)2>3(x－m)}＝{x|(x－m)·(x－m－3)>0}＝{x|x<m或x>m＋3}，Q＝{x|x2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0}＝{x |－4<x <1}，p 是q 成立的必要不充分条件，即等价于Q P .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)17．(2019·杭州市七校高三联考)下列命题中正确的有________．①常数数列既是等差数列也是等比数列；②在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＝sin 2 C ，则△ABC 为直角三角形；③若A ，B 为锐角三角形的两个内角，则tan A tan B >1；④若S n 为数列{a n }的前n 项和，则此数列的通项公式a n ＝S n －S n －1(n >1)．解析：命题①：由数列{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n －a n －1＝d (n ≥2)(ⅰ)，又数列{a n }是等比数列，设其公比为q ，则a n ＝qa n －1(n ≥2)(ⅱ)，把(ⅱ)代入(ⅰ)得：qa n －1－a n －1＝(q －1)a n －1＝d (n ≥2)，要使(q －1)·a n －1＝d (n ≥2)对数列中“任意项”都成立，则需q －1＝d ＝0，也就是q ＝1，d ＝0.所以数列{a n }为非零常数列，故不正确；命题②：由正弦定理可把sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C 转化为a 2＋b 2＝c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0，所以三角形为直角三角形，故正确； 命题③：若A 、B 是锐角三角形的两内角，则tan A >0，tan B >0，π>A ＋B >π2， 则tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B<0， 得tan A ·tan B >1，故正确；命题④：若S n 为数列{a n }的前n 项和， 则此数列的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1 （n ≥2），故不正确． 故正确的命题为：②③.答案：②③。