2020年浙江新高考数学二轮复习专题强化练：解答题规范练(四)

解答题规范练(四)

1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b sin A －a cos B ＝0.

3(1)求角B 的大小；

(2)若a ＋c ＝3，求AC 边上中线长的最小值．

2．如图，在四

棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2，BC ＝CD ＝1，顶点D 1在底面ABCD 内的射影恰为点C .

(1)求证：AD 1⊥BC ；

(2)若直线DD 1与直线AB 所成的角为，求平面ABC 1D 1与平面ABCD 所成角(锐角)π

3的余弦值．

3．已知函数f (x )＝x －a ln x ＋b ，a ，b 为实数．

(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋3，求a ，b 的值；

(2)若|f ′(x )|<对x ∈[2，3]恒成立，求a 的取值范围．

3

x 2

4.已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点M (2，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．点P 是直线

x ＝－上的动点，且PO ⊥AB 于点Q .

23

(1)若直线OP 的倾斜角为，求|AB |；

3π4(2)求的最小值及取得最小值时直线l 的方程．

|AB |

|PQ |5．已知正项数列{a n }满足：a 1＝，a ＝a n －1a n ＋a n －1(n ≥2)．S n 为数列{a n }的前n 项122

n 和．

(1)求证：对任意正整数n ，有≤；

Sn n n 2(2)设数列{

}的前n 项和为T n ，求证：对任意M ∈(0，6)，总存在正整数N ，使得

n >N 时，T n >M .

解答题规范练(四)

1．解：(1)由正弦定理得，sin B sin A －sin A ·cos B ＝0，因为0

所以tan B ＝，

3因为B 是三角形的内角，所以B ＝60°.

(2)设AC 边上的中点为E ，由余弦定理得：BE 2＝＝

2（AB 2＋BC 2）－AC 24a 2＋c 2＋ac

4＝＝≥＝，当且仅当a ＝c 时，取“＝”，

（a ＋c ）2－ac

49－ac 49－(a ＋c 2)2 42716所以AC 边上中线长的最小值为.

33

42．解：(1)证明：连接D 1C ，则D 1C ⊥平面ABCD ，所以D 1C ⊥BC .

在等腰梯形ABCD 中，连接AC ，因为AB ＝2，BC ＝CD ＝1，AB ∥CD ，

所以

BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AD 1C ，所以AD 1⊥BC .(2)

法一：因为AB ∥CD ，所以∠D 1DC ＝，

π

3因为CD ＝1，所以D 1C ＝.

3在底面ABCD 中作CM ⊥AB ，连接D 1M ，

则D 1M ⊥AB ，

所以∠D 1MC 为平面ABC 1D 1与平面ABCD 所成角的一个平面角．

在Rt △D 1CM 中，CM ＝，D 1C ＝，

3

23所以D 1M ＝＝，

CM 2＋D 1C 215

2所以cos ∠D 1MC ＝，

5

5即平面ABC 1D 1与平面ABCD 所成角(锐角)的余弦值为.

5

5法二：

由(1)知AC 、BC 、D 1C 两两垂直，

因为AB ∥CD ，所以∠D 1DC ＝，

π3因为CD ＝1，所以D 1C ＝.

3在等腰梯形ABCD 中，

因为AB ＝2，BC ＝CD ＝1，AB ∥CD ，

所以AC ＝，建立如图所示的空间直角坐标系，

3则C (0，0，0)，A (，0，0)，B (0，1，0)，D 1(0，0，)，

33设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

由得{n ·AB → ＝0，n ·AD 1→ ＝0){y －3x ＝0，z －x ＝0，)

可得平面ABC 1D 1的一个法向量n ＝(1，，1)．

3又＝(0，0，)为平面ABCD 的一个法向量，

CD 1→ 3因此cos 〈，n 〉＝＝，

CD 1→ CD 1→ ·n |CD 1→ ||n |55所以平面ABC 1D 1与平面ABCD 所成角(锐角)的余弦值为.

5

53．解：(1)f ′(x )＝1－，

a

x 因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋3，

所以f ′(1)＝2，f (1)＝5，

所以，解得a ＝－1，b ＝4.

{1－a ＝2

1＋b ＝5)

(2)因为|f ′(x )|<对x ∈[2，3]恒成立，3

x 2即|1－|<对x ∈[2，3]恒成立，a x 3

x 2所以|x －a |<对x ∈[2，3]恒成立，

3

x

所以x －

3x 3x 设g (x )＝x －，h (x )＝x ＋，x ∈[2，3]，

3x 3x 则g ′(x )＝1＋>0，h ′(x )＝1－>0，

3x 23

x 2所以g (x )在[2，3]上是增函数，h (x )在[2，3]上是增函数，

所以g max (x )＝g (3)＝2，h min (x )＝h (2)＝.

72所以a 的取值范围是[2，]．

724．解：(1)因为直线OP 的倾斜角为，所以直线l ：y ＝x －2，

3π4由消去y 得x 2－6x ＋4＝0，

{y 2＝2x y ＝x －2)所以|AB |＝×＝2.

1＋136－1610(2)设l ：x ＝my ＋2，由消去x 得y 2－2my －4＝0.

{y 2＝2x x ＝my ＋2)

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以，

{Δ＝（－2m ）2－4·（－4）＞0y 1＋y 2＝2m y 1y 2＝－4)所以|AB |＝.

1＋m 24m 2＋16又直线PQ 的方程为y ＝－mx ，

所以P .于是点P 到直线l 的距离d ＝|PQ |＝·，(－23，2m 3)

23（m 2＋4）1＋m 2所以＝3.

|AB |

|PQ |（m 2＋1）2m 2＋4令m 2＋4＝t (t ≥4)，令f (t )＝＝t ＋－6，所以f (t )在[4，＋∞)上单调递增，

（t －3）2

t 9t 所以f (t )min ＝f (4)＝，此时m ＝0.

1

4所以＝3≥3＝，即的最小值为，此时直线l ：x ＝2.

|AB ||PQ |f （t ）1432|AB ||PQ |3

25．证明：(1)因为a n ＋1－a n ＝<1，

an ＋1

1＋a n ＋1所以n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1

121

2