高考数学专题05函数的周期性和对称性黄金解题模板

函数的周期性与对称性-重难点题型精讲周期性(1)周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．思考1.已知函数f(x)满足下列条件，你能否得到函数f(x)的周期？(1)f(x+a)=-f(x)(a≠0)．(a≠0)．(2)f(x+a)=1f x(3)f(x+a)=f(x+b)(a≠b)．提示　(1)T=2|a|；(2)T=2|a|；(3)T=|a-b|.2.若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)=f(2a-x)，或f(a+x)=f(a-x)，则函数f(x)关于直线x=a对称．【题型1函数的对称性】【函数的对称性】(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题；(3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f(x+a)为偶函数(奇函数)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称(关于点(a,0)对称)．【例1】（2020秋•杨浦区校级期末）若函数f（x）=2x+3•2﹣x的图象关于直线x=m成轴对称图形，则m= ．【解题思路】利用已知条件，将问题转化为函数图象关于y 轴对称，利用恒成立分析求解即可．【解答过程】解：由题意可知k >0，因为函数f （x ）=2x +3•2﹣x 的图象关于直线x =m 成轴对称图形，则f （x +m ）为偶函数，图象关于y 轴对称，故f （m ﹣x ）=f （m +x ）恒成立，所以2m ﹣3•2﹣m =0，解得m =12 log 23．故答案为：12 log 23．【变式1-1】（2020秋•乐山月考）已知函数f （x ）=﹣x 3+bx 2﹣c 的图象关于点P （1，﹣1）成中心对称，则下列不等关系正确的是（ ）A.f （﹣2）+f （5）>﹣2B.f （﹣1）+f （2）<﹣2C.f （ln2）+f （ln4）>﹣2D.f （ln2）+f （ln3）>﹣2【解题思路】根据函数的对称性求出b ，c 的值，利用函数的单调性进行判断即可．【解答过程】解：由图象关于点P （1，﹣1）成中心对称，得f （2﹣x ）+f （x ）=﹣2，可知f （1）=﹣1，即b =c ，由f （0）+f （2）=﹣2，得2b ﹣c =3，由此可解得b =c =3，所以f （x ）=﹣x 3+3x 2﹣3，画出其图象，如图所示：对于A ，因为f （﹣2）=﹣2﹣f （4），所以f （﹣2）+f （5）>﹣2即为f （4）<f （5），错误；同理，对于B ，f （﹣1）+f （2）>﹣2，即为f （2）<f （3），错误；对于C ，f （ln2）=﹣2﹣f （2﹣ln2），所以f （ln2）+f （ln4）>﹣2，即为f （2﹣ln2）<f （ln4），正确；对于D ，即为f （ln3）>f （2﹣ln2），因为ln3<2﹣ln2，故D 错误；综上选C ．故选：C ．【变式1-2】（2020春•兴庆区校级月考）已知函数f （x ）=2x 2x 2-4x +8，则（ ）A.函数f （x ）的图象关于x =2对称B.函数f （x ）的图象关于x =4对称C.函数f （x ）的图象关于（2，2）对称D.函数f （x ）的图象关于（4，4）对称【解题思路】通过判断f （x +2）是否为偶函数，从而判断选项A 是否正确；通过判断f （x +4）是否为偶函数，从而判断选项B 是否正确；通过判断f （x +2）﹣2是否为奇函数，从而判断C 是否正确；通过判断f （x +4）﹣4是否为奇函数，从而判断选项D 是否正确．【解答过程】解：f (x +2)=2(x +2)2x 2+4不是偶函数，∴f （x +2）的图象不关于x =0对称，∴f （x ）的图象不关于x =2对称，即A 错误；f (x +4)=2(x +4)2(x +2)2+4 不是偶函数，从而得出f （x ）的图象不关于x =4对称，即B 错误；f (x +2)-2=2(x +2)2x 2+4 -2=8x x 2+4，∴f （x +2）﹣2是奇函数，图象关于（0，0）对称，∴f （x ）的图象关于（2，2）对称，即C 正确；f (x +4)-4=2(x +4)2(x +2)2+4 -4=-2x 2(x +2)2+4，∴f （x +4）﹣4不是奇函数，∴f （x ）的图象不关于（4，4）对称，即D 错误．故选：C ．【变式1-3】（2020秋•崇川区校级期末）设函数y =f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1+x 2=2a 时，恒有f （x 1）+f （x 2）=2b ，则称点（a ，b ）为函数y =f （x ）图象的对称中心．研究函数f （x ）=x +sinπx ﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f (12018 )+f (22018 )+⋯+f (40342018 )+f (40352018)的值为（ ）A.4035 B.﹣4035 C.8070 D.﹣8070【解题思路】根据函数对称中心的定义求出函数f （x ）的一个对称中心，得到f （2﹣x ）+f （x ）=﹣4，利用倒序相加法进行求解即可．【解答过程】解：∵f （2﹣x ）+f （x ）=2﹣x +sinπ（2﹣x ）﹣3+x +sinπx ﹣3=2﹣x ﹣sinπx ﹣3+x +sinπx ﹣3=﹣4，∴函数f （x ）关于（1，﹣2）对称，设f (12018 )+f (22018 )+⋯+f (40342018 )+f (40352018 )=S ，则f （40352018 ）+f （40342018 ）+…+f （22018 ）+f （12018 ）=S ，两式相加得2S =4035[f （12018 ）+f （40352018）]=4035×（﹣4），∴S =﹣2×4035=﹣8070，故选：D ．【题型2 函数的周期性】【函数的周期性】根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质及周期性与奇偶性，都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能，在解决具体问题时要注意结论，若T 是函数的周期，则kT （k ∈Z 且k ≠0）也是函数的周期.【例2】（2020秋•崇明区期末）已知函数y =f （x ），对任意x ∈R ，都有f （x +2）•f （x ）=k （k 为常数），且当x ∈[0，2]时，f （x ）=x 2+1，则f （2021）= ．【解题思路】根据f （x +2）•f （x ）=k ，求出f （x ）是周期为4的周期函数，从而求出函数值即可．【解答过程】解：因为对任意x ∈R ，都有f （x +2）•f （x ）=k 为常数，所以f （x +4）•f （x +2）=k ，从而f （x +4）=f （x ），即f （x ）的周期为4，所以f （2021）=f （1）=2，故答案为：2．【变式2-1】（2020春•包河区校级月考）已知函数f （x ）对于x ∈R 都有f （4﹣x ）=f （x ），且周期为2，当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）=（x +2）2，则f (52)= ．【解题思路】根据函数的周期性及对称性求出函数的值即可．【解答过程】解：∵f （4﹣x ）=f （x ），∴函数f （x ）关于直线x =2对称，且周期为2，当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）=（x +2）2，∴f （52 ）=f （32 ）=f （-12 ）=f （-52 ）=（-52 +2）2=14 ，故答案为：14．【变式2-2】（2020秋•香坊区校级月考）已知f （x ）是定义在R 上的函数，且满足f (x +2)=-1f (x )，当2≤x ≤3时，f （x ）=2x ，则f (log 123)= 【解题思路】通过关系式f (x +2)=-1f (x ) 可以算出函数的周期为4，再利用周期为4把log 123化成满足2≤x ≤3的定义域内，得到f (log 12 3)=f (log 12 3+4)=f (4-log 23)，代入到解析式中求得相应的值．【解答过程】解：∵f (x +2)=-1f (x ) ，∴f (x +4)=-1f (x +2) =-1-1f (x )=f (x )，∴f （x ）的周期为4，∵log 12 3=-log 23，∴-log 23+4=log 2163 ∈[2，3]，∴f (log 12 3)=f (log 2163 )=2log 2163 =163 ，故答案为：163．【变式2-3】（2020秋•哈尔滨期末）定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x +6）=f （x ），当﹣3≤x <﹣1时，f （x ）=﹣（x +2）2；当﹣1≤x <3时，f （x ）=x ，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2021）= ．【解题思路】利用f （x +6）=f （x ），得到函数的周期为6，求出周期内的6个函数值作为一个整体，然后再利用周期性进行分析求解，即可得到答案．【解答过程】解：因为当﹣1≤x <3时，f （x ）=x ，所以f （0）=0，f （1）=1，f （2）=2，又因为f （x +6）=f （x ），所以f （x ）=f （x ﹣6）且函数的周期为6，所以f （3）=f （﹣3），f （4）=f （1），f （5）=f （2），f （6）=f （0）=0，当﹣3≤x <﹣1时，f （x ）=﹣（x +2）2，所以f （3）=f （﹣3）=﹣1，f （4）=f （﹣2）=0，f （5）=f（﹣1）=﹣1，所以f （1）+f （2）+f （3）=f （4）+f （5）+f （6）=1，故f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2021）=337﹣f （6）=337．故答案为：337．【题型3 函数的奇偶性与对称性结合】【例3】（2021春•瑶海区月考）已知y =f （x +2）为奇函数，且f （3+x ）=f （3﹣x ），当x ∈[0，1]时，f（x ）=2x +log 4（x +1）﹣1，则f （2021）=（ ）A.32B.2C.3+log 43D.9【解题思路】由已知结合函数的对称性与周期性关系可求出函数的周期T ，然后把所求函数值转化到已知区间上，代入已知函数解析式即可求解．【解答过程】解：因为y =f （x +2）为奇函数，所以y =f （x ）的图像关于（2，0）对称，即f （2+x ）=﹣f （2﹣x ），因为f （3+x ）=f （3﹣x ），所以函数的图像关于x =3对称，f （x +4）=f （﹣x +2），f （2+x ）=﹣f （x ），即f （4+x ）=f （x ），故函数的周期T =4，因为当x ∈[0，1]时，f （x ）=2x +log 4（x +1）﹣1，则f （2021）=f （1）=2+log 42﹣1=32．故选：A ．【变式3-1】（2020秋•云浮期末）已知函数y =f （x +1）﹣2是奇函数，g (x )=2x -1x -1，且f （x ）与g （x ）的图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x 6，y 6），则x 1+x 2+…+x 6+y 1+y 2+…+y 6=（ ）A.0B.6C.12D.18【解题思路】分别判断函数f （x ）与g （x ）的对称性，结合函数的对称性进行求解即可．【解答过程】解：因为函数y =f （x +1）﹣2为奇函数，所以函数f （x ）的图象关于点（1，2）对称，g (x )=2x -1x -1 =1x -1+2关于点（1，2）对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，则（x 1+x 2+…+x 6）+（y 1+y 2+…+y 6）=2×3+4×3=18，故选：D ．【变式3-2】（2020秋•1月份月考）函数y =f （x ）的图象关于点（a ，b ）成中心对称的充要条件是函数y =f （x +a ）﹣b 为奇函数．由此结论可求f (x )=x x +1 +x +1x +2 +⋅⋅⋅+x +2020x +2021 的对称中心为（ ）A.（1011，1011） B.（﹣1011，2021） C.(11011 ，2021) D.(-12022，1011)【解题思路】根据函数对称的等价条件，利用奇函数的性质建立方程进行求解即可．【解答过程】解：由题知，设f （x ）的对称中心为（a ，b ），则y =f （x +a ）﹣b 为奇函数．即[f （﹣x +a ）﹣b ]+[f （x +a ）﹣b ]=0，即f （x +a ）+f （﹣x +a ）﹣2b =0．又f (x )=2021-(1x +1 +⋅⋅⋅+1x +2021 )，f (x +a )=2021-(1x +a +1 +⋅⋅⋅+1x +a +2021 )，f (-x +a )=2021-(1-x +a +1 +⋅⋅⋅+1-x +a +2021 )=2021-(1-x +a +2021 +⋅⋅⋅+1-x +a +1 )，则f （x +a ）+f （﹣x +a ）﹣2b =4042-(2a +2022(x +a +1)(-x +a +2021)+⋅⋅⋅+2a+2022(-x+a+1)(x+a+2021))-2b=0恒成立，则a=﹣1011，b=2021，故选：B．【变式3-3】（2020秋•淄博期末）我们知道：y=f（x）的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是y=f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：y=f（x）的图象关于（a，b）成中心对称图形的充要条件是y=f（x+a）﹣b为奇函数．若f（x）=x3+3x2的对称中心为（m，n），则f（2019）+f（2017）+f（2015）+…+f（3）+f（1）+f（﹣3）+f（﹣5）+…+f（﹣2017）+f（﹣2019）+f（﹣2021）=（）A.8080B.4040C.2020D.1010【解题思路】根据对称性的定义求出函数的对称中心，结合对称性进行转化求解即可．【解答过程】解：设函数f（x）=x3+3x2图象的对称中心为（m，n），则y=f（x+m）﹣n为奇函数，即y=（x+m）3+3（x+m）2﹣n=x3+（3m+3）x2+（3m2+6m）x+m3+3m2﹣n为奇函数，必有3m+3=0且m3+3m2﹣n=0，解得m=﹣1，n=2，则f（x）的对称中心为（﹣1，2），所以f（﹣2+x）+f（﹣x）=4，设S=f（2019）+f（2017）+f（2015）+…+f（3）+f（1）+f（﹣3）+f（﹣5）+…+f（﹣2017）+f（﹣2019）+f（﹣2021），则S=f（﹣2021）+f（﹣2019）+f（﹣2017）+…+f（3）+f（5）+…+f（2017）+f（2019），由﹣2021=2019﹣2（n﹣1），得n=2021，去掉f（﹣1）项，共2020项，则两式相加得2S=[f（2019）+f（﹣2021）]+[f（2017）+f（﹣2019）]+…+[f（﹣2021）+f（2019）]=4+4+…+4=4×2020，所以S=2×2020=4040，故选：B．【题型4函数的奇偶性与周期性结合】【例4】（2021•临川区校级模拟）已知奇函数f（x）定义域为R，f（1﹣x）=f（x），当x∈（0，1）时，f(x) =log2(x+12 )，则f(52 )= ．【解题思路】根据函数的奇偶性和f（1﹣x）=f（x）可得函数的周期是2，利用周期性进行转化求解即可．【解答过程】解：∵奇函数满足f（1﹣x）=f（x），∴f（x）=f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），即f（x+1）=﹣f（x），则f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），所以f（x）是周期函数且最小正周期为T=2，所以f(52)=f(12)=log2(12 +12 )=log21=0．故答案为：0．【变式4-1】（2021•丙卷模拟）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且当0≤x≤1时，f（x）=log3（x2+2），则f（﹣2021）=（）A.1B.lg9C.lg3D.0【解题思路】由已知先求出函数的周期，然后结合偶函数定义进行转化即可求解．【解答过程】解：由f（x）满足f（x+1）=﹣f（x）得f （x +2）=f （x ），所以函数f （x ）的最小正周期T =2，且当0≤x ≤1时，f (x )=log 3(x 2+2)，f （x ）为偶函数，所以f （﹣2021）=f （2021）=f （1）=1，故选：A ．【变式4-2】（2021•甲卷）设函数f （x ）的定义域为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，当x ∈[1，2]时，f （x ）=ax 2+b ．若f （0）+f （3）=6，则f （92 ）=（ ）A.-94 B.-32 C.74 D.52【解题思路】由f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，可求得f （x ）的周期为4，由f （x +1）为奇函数，可得f （1）=0，结合f （0）+f （3）=6，可求得a ，b 的值，从而得到x ∈[1，2]时，f （x ）的解析式，再利用周期性可得f （92 ）=f （12 ）=﹣f （32 ），进一步求出f (92)的值．【解答过程】解：∵f （x +1）为奇函数，∴f （1）=0，且f （x +1）=﹣f （﹣x +1），∵f （x +2）偶函数，∴f （x +2）=f （﹣x +2），∴f [（x +1）+1]=﹣f [﹣（x +1）+1]=﹣f （﹣x ），即f （x +2）=﹣f （﹣x ），∴f （﹣x +2）=f （x +2）=﹣f （﹣x ）．令t =﹣x ，则f （t +2）=﹣f （t ），∴f （t +4）=﹣f （t +2）=f （t ），∴f （x +4）=f （x ）．当x ∈[1，2]时，f （x ）=ax 2+b ．f （0）=f （﹣1+1）=﹣f （2）=﹣4a ﹣b ，f （3）=f （1+2）=f （﹣1+2）=f （1）=a +b ，又f （0）+f （3）=6，∴﹣3a =6，解得a =﹣2，∵f （1）=a +b =0，∴b =﹣a =2，∴当x ∈[1，2]时，f （x ）=﹣2x 2+2，∴f （92 ）=f （12 ）=﹣f （32 ）=﹣（﹣2×94 +2）=52．故选：D ．【变式4-3】（2021•太和县校级二模）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，∀x ∈R ，恒有f （x ）+f （x +2）=0，且当x ∈（0，1]时，f （x ）=2x +1，则f （0）+f （1）+f （2）+…+f （2021）=（ ）A.1B.2C.3D.4【解题思路】令x =x +2代入f （x +2）=﹣f （x ）即可得出f （x +4）=f （x ）；根据周期可得f （0）+f（1）+f （2）+…+f （2021）=f （1）．【解答过程】解：∵f （x +2）=﹣f （x ），∴f （x ﹣2+2）=﹣f （x ﹣2），即f （x ）=﹣f （x ﹣2），又f （x ）=﹣f （x +2），∴f （x +2）=f （x ﹣2），∴f （x ）=f （x +4）．∴f （x ）的最小正周期是4．∵f （0）=0，f （1）=3，f （2）=0，f （3）=﹣f （1）=﹣3．又f （x ）是周期为4的周期函数，∴f （0）+f （1）+f （2）+f （3）=f （4）+f （5）+f （6）+f （7）=…=f （2 012）+f （2 013）+f （2 014）+f （2 015）=0．∴f （0）+f （1）+f （2）+…+f （2 021）=f （2 021）=f （1）=21+1=3．故选：C ．【题型5 函数的奇偶性与周期性结合】【例5】（2020秋•市中区校级期中）对于定义在R 上的函数f （x ），下列说法正确的是（ ）A.若f （x ）是奇函数，则f （x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称B.若对x ∈R ，有f （x +1）=f （x ﹣1），则f （x ）的图象关于直线x =1对称C.若函数f （x +1）的图象关于直线x =﹣1对称，则f （x ）为偶函数D.若f （1+x ）+f （1﹣x ）=2，则f （x ）的图象关于点（1，1）对称【解题思路】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，将f （x ）的图象向右平移1个单位得到函数f （x ﹣1）的图象，f （x ）为奇函数，则其图象关于点（0，0）对称，则函数f （x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称，A 正确；对于B ，若对x ∈R ，有f （x +1）=f （x ﹣1），即f （x ﹣2）=f （x ），函数f （x ）是周期为2的周期函数，其图象不一定关于直线x =1对称，B 错误，对于C ，将f （x +1）的图象向右平移1个单位得到函数f （x ）的图象，若函数f （x +1）的图象关于直线x =﹣1对称，则f （x ）的图象关于直线x =0对称，即f （x ）为偶函数，C 正确，对于D ，若f （1+x ）+f （1﹣x ）=2，即f （1+x ）﹣1=﹣[f （1﹣x ）﹣1]，则f （x ）的图象关于点（1，1）对称，D 正确，故选：ACD ．【变式5-1】（2020秋•菏泽期末）已知函数f （x ）对任意的x ∈R 都有f （x +6）﹣f （x ）=3f （3），若y =f （x +1）的图象关于直线x =﹣1对称，且f （1）=3，则f （2021）= ．【解题思路】函数y =f （x +1）的图象关于直线x =﹣1对称⇒函数y =f （x ）的图象关于y 轴对称⇒y =f （x ）为R 上的偶函数，从而可求得f （3）=0，进而得函数y =f （x ）是以6为周期的函数，从而可得f （2021）的值．【解答过程】解：∵函数y =f （x +1）的图象关于直线x =﹣1对称，∴函数y =f （x ）的图象关于直线x =0，即y 轴对称，∴y =f （x ）为R 上的偶函数，又对任意x ∈R ，均有f （x +6）﹣f （x ）=3f （3），令x =﹣3，得f （6﹣3）﹣f （﹣3）=3f （3），即f （3）﹣f （3）=3f （3），∴f （3）=0，∴f （x +6）=f （x ），∴函数y =f （x ）是以6为周期的函数，∴f （2021）=f （337×6﹣1）=f （﹣1）=f （1）=3．故答案为：3．【变式5-2】（2021•江西三模）已知函数f （x ）的图象关于原点对称，且满足f （x +4）+f （﹣x ）=0，且当x ∈（2，4）时，f (x )=-log 12(x -1)+m ，若f (2021)-12 =f (-1)，则m =（ ）A.43B.34C.-43D.-34【解题思路】根据已知可得f （x ）为奇函数且是周期为4的周期函数，从而可得f （2021）=f （1），f （﹣1）=﹣f （1），由f (2021)-12=f (-1)，即可求得f （1），再由函数在（2，4）上的解析式，可得关于m 的方程，从而可得结论．【解答过程】解：因为函数f （x ）的图象关于原点对称，所以f （x ）为奇函数，所以f （﹣x ）=﹣f （x ），因为f （x +4）+f （﹣x ）=0，所以f （x +4）=﹣f （﹣x ）=f （x ），所以f （x ）是周期为4的周期函数，故f （2021）=f （4×505+1）=f （1），又f （﹣1）=﹣f （1），所以由f (2021)-12 =f (-1)，可得f (1)=13 ，而f (1)=-f (3)=log 12(3-1)-m =13 ，解得m =-43 ．故选：C ．【变式5-3】（2021•金凤区校级一模）已知函数f （x ）是R 上的满足f （1+x ）=f （﹣1﹣x ），且f （x ）的图象关于点（1，0）对称，当x ∈[0，1]时，f （x ）=2﹣2x ，则f （0）+f （1）+f （2）+⋅⋅⋅+f （2021）的值为（ ）A.﹣2B.﹣1C.0D.1【解题思路】根据题意，分析可得f （x ）为周期为4的函数，结合函数的周期性和对称性求出f （0）、f（1）、f （2）、f （3）的值，结合周期性可得f （0）+f （1）+f （2）+…+f （2020）+f （2021）=f （0）+[f （1）+f （2）+f （3）+f （4）]×505+f （2021），计算可得答案．【解答过程】解：根据f （1+x ）=f （﹣1﹣x ），可得对称轴x =0，即函数f （x ）是R 上的偶函数，且f （x ）的图象关于点（1，0）对称，则有f （﹣x ）=f （x ）且f （2﹣x ）=﹣f （x ），变形可得f （x +2）=﹣f （x ），则有f （x +4）=﹣f （x +2）=f （x ），即f （x ）为周期为4的函数，当x ∈[0，1]时，f （x ）=2﹣2x ，则f （0）=2﹣1=1，f （1）=2﹣2=0，又由f （x ）的图象关于点（1，0）对称，则f （2）=﹣f （0）=﹣1，f （3）=f （﹣1）=f （1）=0，f （4）=f （0）=1，f （0）+f （1）+f （2）+…+f （2020）+f （2021）=f （0）+[f （1）+f （2）+f （3）+f （4）]×505+f （2021）=f （0））+f （1）=1；故选：D ．【题型6 抽象函数性质的综合应用】【例6】（2020秋•贵阳月考）已知定义在R 上的函数f （x ）满足已知定义：①函数y =f （x +1）的图象关于（﹣1，0）对称；②对任意的x ∈R ，都有f （1+x ）=f （1﹣x ）成立；③当x ∈[3，4]时，f （x ）=log 2（﹣3x +13），则f （2021）= ．【解题思路】由①可得f （x ）为奇函数，由②可得f （x ）的周期为4，从而f （2021）=﹣f （3），由③可求得f （3），从而可得结论．【解答过程】解：由①得f （x ）的图象关于点（0，0）对称，为奇函数，由②得f（x）的图象关于x=1对称，且有f[1+（x+1）]=f[1﹣（x+1）]=f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），所以f（x）的周期为4，则f（2021）=f（4×505+1）=f（1）=f（﹣3）=﹣f（3），由③得f（3）=log2（﹣3×3+13）=2，因此f（2021）=﹣2．故答案为：﹣2．【变式6-1】（2021春•宝山区校级期中）已知函数f（x）是R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于x= 1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，计算f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（2021）= ．【解题思路】根据函数的对称性和函数的奇偶性即可得到f（x）是周期函数，结合函数的解析式分析可得f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，据此可得f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2021）=505×0+f（2020）+f（2021），计算可得答案．【解答过程】解：根据题意，f（x）的图象关于x=1对称，则有f（2﹣x）=f（x），又由函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，则f（x）=f[﹣（x﹣2）]=﹣f（x﹣2），则f（x+2）=﹣f（x），即f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），故函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（0）=0，f（1）=2﹣1=1，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，f（4）=f（0）=0，f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，即f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2021）=505×0+f（2020）+f（2021）=f（0）+f（1）=1；故答案为：1．【变式6-2】（2021春•黑龙江月考）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（﹣1）=﹣1，则f（2020）+f（2021）= ．【解题思路】根据题意，由f（x）的奇偶性和对称性分析可得f（x+4）=f（x），即可得f（x）是周期为4的周期函数，由此可得f（2020）与f（2021）的值，相加即可得答案．【解答过程】解：根据题意，奇函数f（x）定义域为R，则f（﹣x）=﹣f（x），且f（0）=0又由f（x+1）为偶函数，即f（x）的图像关于直线x=1对称，则有f（﹣x）=f（2+x），综合可得f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），则有f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），故函数f（x）是周期为4的周期函数，故f（2020）=f（0+505×4）=f（0）=0，f（2021）=f（1+505×4）=f（1）=﹣f（1）=1，故f（2020）+f（2021）=0+1=1，故答案为：1．【变式6-3】（2021•菏泽一模）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）=1，g（x）=f（x﹣1）是奇4n-1f(i)= ．函数，则f（2021）= ，i=1【解题思路】对于第一空：根据题意，分析可得f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，结合f（x）为偶函数可得f（x）=﹣f（x﹣2），变形可得f（x﹣4）=﹣f（x﹣2）=f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，由此可得第一空答案，对于第二空：由f（x）=﹣f（x﹣2），利用特殊值法可得f（1）+f（3）=0，f（2）+f（4）=0，即可得[f4n-1f(i)=n×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]﹣f（4n），结（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0，据此可得i=1合函数的周期性分析可得答案．【解答过程】解：根据题意，g（x）=f（x﹣1）是奇函数，则f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，则有f（﹣x）=﹣f（﹣2+x），且f（1）=0，又由f（x）是定义在R上的偶函数，即f（﹣x）=f（x），则有f（x）=﹣f（x﹣2），变形可得f（x﹣4）=﹣f（x﹣2）=f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，f（2021）=f（1+4×505）=f（1）=0，又由f（x）=﹣f（x﹣2），即f（x）+f（x﹣2）=0，则有f（1）+f（3）=0，f（2）+f（4）=0，故[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0，4n-1f(i)=n×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]﹣f（4n）=0﹣f（0）=﹣1，则i=1故答案为：0，﹣1．。

微专题05 函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。

例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。

① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。

3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。

函数的周期性、对称性一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x -e 2+ln ex e -x ，若f e 2020 +f 2e2020+⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e 2020 =20192a +b ，其中b >0，则12a+a b 的最小值为()A.34B.54C.2D.22【答案】A【解析】因为f x =x -e 2+ln exe -x，所以f x +f e -x =x -e 2+ln ex e -x +(e -x )-e2+ln e (e -x )e -(e -x )=lnex e -x +ln e (e -x )x =ln exe -x ⋅e (e -x )x=ln e 2=2，令S =f e 2020 +f 2e 2020 +⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e2020 则2S =f e 2020 +f 2019e 2020 +f 2e 2020 +f 2018e 2020 +⋅⋅⋅+f 2019e 2020 +f e2020 =2×2019所以S =2019所以20192a +b =2019，所以a +b =2，其中b >0，则a =2-b .当a >0时12|a |+|a |b =12a +2-b b =12a +2b -1=12a +2b ⋅(a +b )2-1=1252+b 2a +2a b-1≥1252+2b 2a ⋅2a b -1=54当且仅当b 2a =2a b, 即 a =23,b =43 时等号成立；当a <0时 12|a |+|a |b =1-2a +-a b =1-2a +b -2b =1-2a +-2b +1=121-2a +-2b ⋅(a +b )+1=12-52+b -2a +-2ab +1≥12-52+2b -2a ⋅-2a b +1=34，当且仅当 b -2a =-2a b, 即 a =-2,b =4 时等号成立；因为34<54，所以12|a |+|a |b 的最小值为34.故选：A .2.(2023春·重庆·高三统考阶段练习)已知函数f (x )=ln x 2+1-x +1，正实数a ,b 满足f (2a )+f (b -4)=2，则4b a +a2ab +b 2的最小值为( )A.1B.2C.4D.658【答案】B【解析】f x +f -x =ln x 2+1-x +1+ln x 2+1+x +1=2，故函数f x 关于0,1 对称，又f x 在R 上严格递增；f (2a )+f (b -4)=2,∴2a +b -4=0即2a +b =4.4b a +a 2ab +b 2=4b a +a b 2a +b =4b a +a4b ≥24b a ⋅a 4b=2.当且仅当a =169,b =49时取得.故选：B .3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R ，f 2x +2 为偶函数，f x +1 为奇函数，且当x ∈0,1 时，f x =ax +b .若f 4 =1，则3i =1f i +12=( )A.12B.0C.-12D.-1【答案】C【解析】因为f 2x +2 为偶函数，所以f -2x +2 =f 2x +2 ，用12x +12代替x 得：f -x +1 =f x +3 ，因为f x +1 为奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ，故f x +3 =-f x +1 ①，用x +2代替x 得：f x +5 =-f x +3 ②，由①② 得：f x +5 =f x +1 ，所以函数f x 的周期T =4，所以f 4 =f 0 =1，即b =1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =0得：f 1 =-f 1 ，故f 1 =0，f 1 =a +b =0，解得：a =-1，所以x ∈0,1 时，f x =-x +1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =12，得f 12 =-f 32 ，其中f 12 =-12+1=12，所以f 32 =-12，因为f -2x +2 =f 2x +2 ，令x =14得：f -2×14+2 =f 2×14+2 ，即f 32 =f 52 =-12，因为T=4，所以f 72 =f72-4=f-12，因为f-x+1=-f x+1，令x=32得：f-12=-f52 =12，故f 72 =12，3 i=1fi+12=f32 +f52 +f72 =-12-12+12=-12.故选：C4.(2023·四川资阳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，f x-2为偶函数，f x-2+f-x=0，当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4．则13k=1f k=( )A.16B.20C.24D.28【答案】C【解析】因为f x-2是偶函数，所以f-x-2=f(x-2)，所以f(x)=f(-x-4)，所以函数f(x)关于直线x=-2对称，又因为f x-2+f-x=0，所以-f x-2=f-x，所以f(x)=-f(-x-2)，所以f(x)关于点(-1,0)中心对称，由f(x)=f(-x-4)及f(x)=-f(-x-2)得f(-x-4)=-f(-x-2)所以f(-x-4)=-f(-x-2)=f(-x)所以函数f(x)的周期为4，因为当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4，所以4=1a-2+2a-4，解得：a=2或a=-4，因为a>0且a≠1，所以a=2.所以当x∈-2,-1时，f x =12x-2x-4，所以f(-2)=4,f(-1)=0，f(-3)=f(-1)=0，f(0)=-f(-2)=-4，f(1)=f(1-4)=f(-3)=0，f(2)=f(-2)=4，f(3)=f(-1)=0，f(4)=f(0)=-4，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8，所以13k=1f k=f(1)+3×8=24,故选：C.5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则22k=1f k =( )A.-21B.-22C.-23D.-24【答案】D【解析】因为y =g (x )的图像关于直线x =2对称，所以g 2-x =g x +2 ，因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +2)-f (x -2)=7，即g (x +2)=7+f (x -2)，因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (x )+g (x +2)=5，代入得f (x )+7+f (x -2) =5，即f (x )+f (x -2)=-2，所以f 3 +f 5 +⋯+f 21 =-2 ×5=-10，f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-2 ×5=-10.因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (0)+g (2)=5，即f 0 =1，所以f (2)=-2-f 0 =-3.因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +4)-f (x )=7，又因为f (x )+g (2-x )=5，联立得，g 2-x +g x +4 =12，所以y =g (x )的图像关于点3,6 中心对称，因为函数g (x )的定义域为R ，所以g 3 =6因为f (x )+g (x +2)=5，所以f 1 =5-g 3 =-1.所以∑22k =1f (k )=f 1 +f 2 +f 3 +f 5 +⋯+f 21 +f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-1-3-10-10=-24.故选：D6.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x =x 3+ax 2+bx +2a ,b ∈R ，若f 2+x +f 2-x =8，则下列不等式正确的是( )A.f e +f 32>8 B.f e +f 2-3 >8C.f ln7 +f 2+3 >8 D.f ln5 +f 3ln2 <8【答案】C【解析】由题(2+x )3+a (2+x )2+b (2+x )+2+(2-x )3+a (2-x )2+b (2-x )+2=8，化简整理得(6+a )x 2+2(2a +b +3)=0，于是6+a =0，2a +b +3=0⇒a =-6，b =9，所以f (x )=x 3-6x 2+9x +2，进而f (x )=3x 2-12x +9=3(x -1)(x -3)，据此，f (x )在(-∞，1)，(3，+∞)上单调递增，f (x )在(1，3)上单调递减，因为f (2+x )+f (2-x )=8，即f (x )+f (4-x )=8．对于A ，由f (e )+f (4-e )=8，又1<4-e <32<3，所以f (4-e )>f 32，即f (e )+f 32<8，故A 错误；对于B ，f (2-3)=(2-3)3-6(2-3)2+9(2-3)+2=4，因为1<2<e<3，所以f(2)>f(e)，而f(2)=23-6×22+9×2+2=4，所以f(e)+f(2-3)<8，故B错误；对于C，f(2+3)=(2+3)3-6(2+3)2+9(2+3)+2=4，而1<ln7<2，所以f(ln7)>f(2)=4，所以f(ln7)+f(2+3)>8，故C正确；对于D，由f(ln5)+f(4-ln5)=8，因为1<3ln2<4-ln5<3，所以f(3ln2)>f(4-ln5)，所以f(ln5)+f(3ln2)>8，故D错误.故选：C．7.(2023·全国·高三专题练习)定义在R上的奇函数f x 满足f2-x=f x ，且在0,1上单调递减，若方程f x =-1在0,1上所有实根之和是( )上有实数根，则方程f x =1在区间-1,11A.30B.14C.12D.6【答案】A【解析】由f2-x=f x 知函数f x 的图象关于直线x=1对称，∵f2-x=f x ，f x 是R上的奇函数，∴f-x=f x+2=-f x ，∴f x+4=f x ，∴f x 的周期为4，考虑f x 的一个周期，例如-1,3，由f x 在0,1上是增函数，上是减函数知f x 在1,2f x 在-1,0上是减函数，f x 在2,3上是增函数，对于奇函数f x 有f0 =0，f2 =f2-2=f0 =0，故当x∈0,1时，f x <f2 =0，时，f x <f0 =0，当x∈1,2当x∈-1,0时，f x >f0 =0，当x∈2,3时，f x >f2 =0，方程f x =-1在0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为f x 在0,1上是单调函数，则由于f2-x上有唯一实数，=f x ，故方程f x =-1在1,2在-1,0上f x >0，和2,3则方程f x =-1在-1,0上没有实数根，和2,3从而方程f x =-1在一个周期内有且仅有两个实数根，当x∈-1,3，方程f x =-1的两实数根之和为x+2-x=2，当x∈-1,11，方程f x =-1的所有6个实数根之和为x+2-x+4+x+4+2-x+x+8+2-x+8=2+8+2+8+2+8=30.故选：A.8.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax3+bx2+cx+d a≠0，给出定义：设f'x 是函数y=f x 的导数，f″x 是f'x 的导数，若方程f″x =0有实数解x0，则称点x0,f x0为函数y =f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数g x =13x3-12x2+3x-512，则g12019+g22019+⋯+g20182019=( )A.2016B.2017C.2018D.2019【答案】C【解析】函数g x =13x3-12x2+3x-512，函数的导数g'x =x2-x+3，g'x =2x-1，由g'x0=0得2x0-1=0，解得x0=12，而g12 =1，故函数g x 关于点12,1对称，∴g x +g1-x=2，故设g12019+g22019+...+g20182019=m，则g20182019+g20172019+...+g12019=m，两式相加得2×2018=2m，则m=2018，故选C.9.(2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习)定义在R上的函数f x 满足f-x+f x =0 ,f x =f2-x，且当x∈0,1时，f x =x2.则函数y=7f x -x+2的所有零点之和为( ) A.7 B.14 C.21 D.28【答案】B【解析】依题意，f x 是奇函数.又由f x =f2-x知，f x 的图像关于x=1对称.f x+4=f1+x+3=f1-x+3=f-2-x=-f2+x=-f2--x=-f-x=f x ，所以f x 是周期为4的周期函数.f2+x=f1+1+x=f1-1+x=f-x=-f x =-f2-x，所以f x 关于点2,0对称.由于y=7f x -x+2=0⇔f x =x-2 7从而函数y=7f x -x+2的所有零点之和即为函数f x 与g x =x-27的图像的交点的横坐标之和.而函数g x =x-27的图像也关于点2,0对称.画出y=f x ，g x =x-27的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数y=7f x -x+2所有零点和为7×2=14.故选：B10.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的可导函数f x 的导函数为f (x)，满足f (x)<f(x)且f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，若f(9)+f(8)=1，则不等式f x <e x的解集为( )A.-3,+∞B.1,+∞C.(0,+∞)D.6,+∞【答案】C【解析】因为f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，所以f x+3=f-x+3，f(x+1)+f(-x+1)=0.所以f x =f-x+6，f(x)+f(-x+2)=0，所以f(-x+6)+f(-x+2)=0.令t=-x+2，则f(t+4)+f(t)=0.令上式中t取t-4，则f(t)+f(t-4)=0，所以f(t+4)=f(t-4).令t取t+4，则f(t)=f(t+8)，所以f(x)=f(x+8).所以f x 为周期为8的周期函数.因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)+f(-x+1)=0，令x=0，得：f(1)+f(1)=0，所以f(1)=0，所以f(9)+f(8)=1，即为f(1)+f(0)=1，所以f(0)=1.记g x =f xe x，所以gx =f x -f xe x.因为f (x)<f(x)，所以g x <0，所以g x =f xe x在R上单调递减.不等式f x <e x可化为f xe x<1，即为g x <g0 .所以x>0.故选：C11.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x 的定义域为R，f x+1为奇函数，f x+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+b．若f0 +f3 =6，则f 92 =( )A.-94B.-32C.74D.52【答案】D【解析】[方法一]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路一：从定义入手．f 92 =f 52+2 =f -52+2 =f -12 f -12 =f -32+1 =-f 32+1 =-f 52-f 52 =-f 12+2 =-f -12+2 =-f 32所以f 92 =-f 32 =52．[方法二]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数f x 的周期T =4．所以f 92=f 12 =-f 32 =52．故选：D ．二、多选题12.(2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 在-1,0 上单调递增，f 2+x =f 2-x ，且图象关于3,0 对称，则f x ( )A.周期T =4B.在0,2 单调递减C.满足f 2021 <f 2022 <f 2023D.在0,2023 上可能有1012个零点【答案】ABD【解析】A 选项：由f (2+x )=f (2-x )知f (x )的对称轴为x =2，且f (4+x )=f (-x )，又图象关于3,0 对称，即f (3+x )=-f (3-x )，故f (6+x )=-f (-x )，所以-f (4+x )=f (6+x )，即-f (x )=f (2+x )，所以f (x )=f (x +4)，f (x )的周期为4，正确；B 选项：因为f (x )在-1,0 上单调递增，T =4，所以f (x )在3,4 上单调递增，又图象关于3,0 对称，所以f (x )在2,3 上单调递增，因为关于x =2对称，所以f (x )在1,2 上单调递减，f (1)=f (3)=0，故f (x )在0,2 单调递减，B 正确；C 选项：根据周期性，f (2021)=f (1)，f (2022)=f (2)，f (2023)=f (3)，因为f (x )关于x =2对称，所以f (1)=f (3)=0，f (2)<f (1)，故f (2022)<f (2021)=f (2023)，错误；D 选项：在0,4 上，f (1)=f (3)=0，f (x )有2个零点，所以f (x )在0,2020 上有1010个零点，在2020,2023 上有2个零点，故f (x )在0,2023 上可能有1012个零点，正确，故选：ABD ．13.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)已知函数f x 、g x 的定义域均为R ，f x 为偶函数，且f x +g 2-x =1，g x -f x -4 =3，下列说法正确的有( )A.函数g x 的图象关于x =1对称 B.函数f x 的图象关于-1,-1 对称C.函数f x 是以4为周期的周期函数 D.函数g x 是以6为周期的周期函数【答案】BC【解析】对于A 选项，因为f x 为偶函数，所以f -x =f x ．由f x +g 2-x =1，可得f -x +g 2+x =1，可得g 2+x =g 2-x ，所以，函数g x 的图象关于直线x =2对称，A 错；对于B 选项，因为g x -f x -4 =3，则g 2-x -f -2-x =3，又因为f x +g 2-x =1，可得f x +f -2-x =-2，所以，函数f x 的图象关于点-1,-1 对称，B 对；对于C 选项，因为函数f x 为偶函数，且f x +f -2-x =-2，则f x +f x +2 =-2，从而f x +2 +f x +4 =-2，则f x +4 =f x ，所以，函数f x 是以4为周期的周期函数，C 对；对于D 选项，因为g x -f x -4 =3，且f x =f x -4 ，∴g x -f x =3，又因为f x +g 2-x =1，所以，g x +g 2-x =4，又因为g 2-x =g 2+x ，则g x +g x +2 =4，所以，g x +2 +g x +4 =4，故g x +4 =g x ，因此，函数g x 是周期为4的周期函数，D 错.故选：BC .14.(2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)设定义在R 上的函数f x 与g x 的导函数分别为f x 和g x ，若f x +2 -g 1-x =2，f x =g x +1 ，且g x +1 为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )A.g 1 =0 B.函数g x 的图象关于x =2对称C.2021k =1f k g k =0D.2022k =1g k =0【答案】AC【解析】因为g x +1 为奇函数，所以g x +1 =-g -x +1 ，取x =0可得g 1 =0，A 对，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 +g 1-x =0；所以f x +g 3-x =0，又f x =g x +1 ，g x +1 +g 3-x =0，故g 2+x +g 2-x =0，所以函数g x 的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为f x =g x +1 ，所以f x -g x +1 =0，所以f x -g x +1 =c ，c 为常数，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x -g 3-x =2，所以g x +1 -g 3-x =2-c ，取x =1可得c =2，所以g x +1 =g 3-x ，又g x +1 =-g -x +1 ，所以g 3-x =-g -x +1 ，所以g x =-g x -2 ，所以g x +4 =-g x +2 =g (x )，故函数g (x )为周期为4的函数，因为g x +2 =-g x ，所以g 3 =-g 1 =0，g 4 =-g 2 ，所以g (1)+g (2)+g (3)+g (4)=0，所以2022k =1g k =g (1)+g (2)+g (3)+g (4) +g (5)+g (6)+g (7)+g (8) +⋅⋅⋅+g (2017)+g (2018)+g (2019)+g (2020) +g (2021)+g (2022)，所以2022k =1g k =505×0+ g (2021)+g (2022)=g (1)+g (2)=g (2)，由已知无法确定g (2)的值，故2022k =1g k 的值不一定为0，D 错；因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 =2-g x +1 ，f x +6 =2-g x +5 ，所以f x +2 =f (x +6)，故函数f (x )为周期为4的函数，f (x +4)g (x +4)=f (x )g (x )所以函数f (x )g (x )为周期为4的函数，又f (1)=2-g (0)，f (2)=2-g (1)=2，f (3)=2-g (2)=2+g (0)，f (4)=2-g (3)=2，所以f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4)=0+2g (2)+2g (4)=0，所以2021k =1f k g k =505f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4) +f (2021)g (2021)2021k =1f kg k =f (1)g (1)=0 ，C 对，故选：AC .15.(2023·全国·高三专题练习)设函数y =f (x )的定义域为R ，且满足f (x )=f (2-x )，f (-x )=-f (x -2)，当x ∈(-1,1]时，f (x )=-x 2+1，则下列说法正确的是( )A.f (2022)=1B.当x ∈4,6 时，f (x )的取值范围为-1,0C.y =f (x +3)为奇函数D.方程f (x )=lg (x +1)仅有5个不同实数解【答案】BCD【解析】依题意，当-1<x<0时，0<f x <1，当0≤x≤1时，0≤f x ≤1，函数y=f(x)的定义域为R，有f(x)=f(2-x)，又f(-x)=-f(x-2)，即f(x)=-f(-x-2)，因此有f(2-x)=-f(-x-2)，即f(x+4)=-f(x)，于是有f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，从而得函数f(x)的周期T=8，对于A，f2022=-f0 =-1，A不正确；=f252×8+6=f6 =f-2对于B，当4≤x≤5时，0≤x-4≤1，有0≤f(x-4)≤1，则f(x)=-f(x-4)∈[-1,0]，当5≤x≤6时，-4≤2-x≤-3，0≤(2-x)+4≤1，有0≤f[(2-x)+4]≤1，f(x)=f(2-x)=-f[(2-x)+4]∈[-1,0]，当x∈4,6，B正确；时，f(x)的取值范围为-1,0对于C，f(x+3)=-f[(x+3)+4]=-f(x-1)=-f[2-(x-1)]=-f(-x+3)，函数y=f(x+3)为奇函数，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数y=f(x)、y=lg(x+1)的部分图象，如图：方程f(x)=lg(x+1)的实根，即是函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象交点的横坐标，观察图象知，函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象有5个交点，因此方程f(x)=lg(x+1)仅有5个不同实数解，D正确.故选：BCD16.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的单调递增的函数f x 满足：任意x∈R，有f1-x+f1+x=2，f2+x=4，则( )+f2-xA.当x∈Z时，f x =xB.任意x∈R，f-x=-f xC.存在非零实数T，使得任意x∈R，f x+T=f xD.存在非零实数c，使得任意x∈R，f x -cx≤1【答案】ABD【解析】对于A，令x=1-t，则f t +f2-t=2，=2，即f x +f2-x又f2+x=4-2-f x=f x +2；=4-f2-x+f2-x=4，∴f x+2令x=0得：f1 +f1 =2，f2 +f2 =4，∴f1 =1，f2 =2，则由f x+2=f x +2可知：当x∈Z时，f x =x，A正确；对于B ，令x =1+t ，则f -t +f 2+t =2，即f -x +f 2+x =2，∴f -x =2-f 2+x =2-4-f 2-x =f 2-x -2，由A 的推导过程知：f 2-x =2-f x ，∴f -x =2-f x -2=-f x ，B 正确；对于C ，∵f x 为R 上的增函数，∴当T >0时，x +T >x ，则f x +T >f x ；当T <0时，x +T <x ，则f x +T <f x ，∴不存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x +T =f x ，C 错误；对于D ，当c =1时，f x -cx =f x -x ；由f 1-x +f 1+x =2，f 2+x +f 2-x =4知：f x 关于1,1 ，2,2 成中心对称，则当a ∈Z 时，a ,a 为f x 的对称中心；当x ∈0,1 时，∵f x 为R 上的增函数，f 0 =0，f 1 =1，∴f x ∈0,1 ，∴f x -x ≤1；由图象对称性可知：此时对任意x ∈R ，f x -cx ≤1，D 正确.故选：ABD .17.(2023·全国·高三专题练习)设函数f (x )定义域为R ，f (x -1)为奇函数，f (x +1)为偶函数，当x ∈(-1,1)时，f (x )=-x 2+1，则下列结论正确的是( )A.f 72 =-34B.f (x +7)为奇函数C.f (x )在(6,8)上为减函数D.方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解【答案】ABD【解析】f (x +1)为偶函数，故f (x +1)=f (-x +1)，令x =52得：f 72 =f -52+1 =f -32，f (x -1)为奇函数，故f (x -1)=-f (-x -1)，令x =12得：f -32 =-f 12-1 =-f -12，其中f -12 =-14+1=34，所以f 72 =f -32 =-f -12 =-34，A 正确；因为f (x -1)为奇函数，所以f (x )关于-1,0 对称，又f (x +1)为偶函数，则f (x )关于x =1对称，所以f (x )周期为4×2=8，故f (x +7)=f (x -1)，所以f (-x +7)=f (-x -1)=-f x -1 =-f x -1+8 =-f x +7 ，从而f (x +7)为奇函数，B 正确；f (x )=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增，又f (x )关于-1,0 对称，所以f (x )在-2,0 上单调递增，且f (x )周期为8，故f (x )在(6,8)上单调递增，C 错误；根据题目条件画出f (x )与y =-lg x 的函数图象，如图所示：其中y =-lg x 单调递减且-lg12<-1，所以两函数有6个交点，故方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解，D 正确.故选：ABD18.(2023·全国·高三专题练习)已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f (x +1)是偶函数，且当x ∈0,1 时，f (x )=-x (x -2)，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为-1,1D.y =f x 在0,2π 上有4个零点【答案】BCD【解析】对于A ，f x +1 为偶函数，其图像关于x 轴对称，把f x +1 的图像向右平移1个单位得到f x 的图像，所以f (x )图象关于x =1对称，即f (1+x )=f (1-x )，所以f (2+x )=f (-x )，f x 为R 上的奇函数，所以f (-x )=-f x ，所以f (2+x )=-f (x )，用2+x 替换上式中的x 得， f (4+x )=-f (x +2)，所以，f (4+x )=f (x )，则f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1.故B 正确.对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1,0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域-1,1 .故C 正确.对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1]，f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2]，2-x ∈[0,1]，f (x )=f (2-x )=-x (x -2)①∴x ∈[0,2]时，f (x )=-x (x -2)，此时函数的零点为0，2；∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，②∴x ∈2,4 时，∵f (x )的周期为4，∴x -4∈-2,0 ，f x =f x -4 =x -2 x -4 ，此时函数零点为4；③∴x ∈4,6 时，∴x -4∈0,2 ，f x =f x -4 =-(x -4)(x -6)，此时函数零点为6；④∴x ∈6,2π 时，∴x -4∈2,4 ，f x =f x -4 =x -6 x -8 ，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2π)上有4个零点.故D 正确；故选：BCD19.(2023春·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习)已知f x 是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f x +1 是偶函数，且当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为[-1，1]D.f x 的图象与曲线y =cos x 在0,2π 上有4个交点【答案】BCD【解析】根据题意，对于A ，f x 为R 上的奇函数，f x +1 为偶函数，所以f (x )图象关于x =1对称，f (2+x )=f (-x )=-f (x )即f (x +4)=-f (x +2)=f (x )则f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1；故B 正确．对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1，0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域[-1，1]．故C 正确．对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1],f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2],2-x ∈[0,1],f (x )=f (2-x )=-x (x -2)，∴x ∈[0,2],f (x )=-x (x -2)，∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，∵f (x )的周期为4，∴x ∈[2,4],f (x )=(x -2)(x -4)，∴x ∈[4,6],f (x )=-(x -4)(x -6)，∴x ∈[6,2π],f (x )=(x -6)(x -8)，设g (x )=f (x )-cos x ，当x ∈[0,2],g (x )=-x 2+2x -cos x ，g ′(x )=-2x +2+sin x ，设h(x)=g′(x),h′(x)=-2+cos x<0在[0,2]恒成立，h(x)在[0,2]单调递减，即g′(x)在[0,2]单调递减，且g′(1)=sin1>0,g′(2)=-2+sin2<0，存在x0∈(1,2),g′(x0)=0，x∈(0,x0),g′(x)>0,g(x)单调递增，x∈(x0,2),g′(x)<0,g(x)单调递减，g(0)=-1,g(1)=1-cos1>0,g(x0)>g(1)>0,g(2)=-cos2>0，所以g(x)在(0,x0)有唯一零点，在(x0,2)没有零点，即x∈(0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈2，4时，，g x =f x -cos x=x2-6x+8-cos x，则g′x =2x-6+sin x，h x =g′x =2x-6+sin x，则h′x =2+cos x>0，所以g′x 在2，4上单调递增，且g′3 =sin3>0,g′2 =-2+sin2<0，所以存在唯一的x1∈2，3⊂2，4，使得g′x =0，所以x∈2,x1，g′x <0，g x 在2,x1单调递减，x∈x1，4，g′x >0，g x 在x1，4单调递增，又g3 =-1-cos3<0，所以g x1<g(3)<0，又g2 =-cos2>0,g4 =-cos4>0，所以g x 在2,x1上有一个唯一的零点，在x1，4上有唯一的零点，所以当x∈2，4时，f x 的图象与曲线y=cos x有2个交点，，当x∈4，6时，同x∈[0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈[6,2π],f(x)=(x-6)(x-8)<0,y=cos x>0，f x 的图象与曲线y=cos x没有交点，所以f x 的图象与曲线y=cos x在0,2π上有4个交点，故D正确；故选：BCD．20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f2x+1的图像关于直线x=1对称，函数y=f x+1关于点1,0对称，则下列说法正确的是( )A.f1-x=f1+xB.f x 的周期为4C.f1 =0D.f x =f32-x【答案】AB【解析】f2x的图像关于直线x=32对称，f x 的图像关于x=3对称，又关于点2,0中心对称，所以周期为4，所以B正确而D错误；又f 3-x =f 3+x ，其中x 换x +1得f 2-x =f 4+x =f x ，再将x 换x +1得f 1-x =f 1+x ，但无法得到f (1)=0 所以A 正确C 错误.故选：AB .21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为R ，记g (x )=f (x )，若f 32-2x ，g (2+x )均为偶函数，则( )A.f (0)=0B.g -12 =0C.f (-1)=f (4)D.g (-1)=g (2)【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于f (x )，因为f 32-2x为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ①，所以f 3-x =f x ，所以f (x )关于x =32对称，则f (-1)=f (4)，故C 正确；对于g (x )，因为g (2+x )为偶函数，g (2+x )=g (2-x )，g (4-x )=g (x )，所以g (x )关于x =2对称，由①求导，和g (x )=f (x )，得f 32-x=f 32+x ⇔-f 32-x =f 32+x ⇔-g 32-x =g 32+x ，所以g 3-x +g x =0，所以g (x )关于32,0 对称，因为其定义域为R ，所以g 32=0，结合g (x )关于x =2对称，从而周期T =4×2-32 =2，所以g -12 =g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g (x )周期为2，关于x =2对称，故可设g x =cos πx ，则f x =1πsin πx +c ，显然A ，D 错误，选BC .故选：BC .[方法三]：因为f 32-2x，g (2+x )均为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ，g (2+x )=g (2-x )，所以f 3-x =f x ，g (4-x )=g (x )，则f (-1)=f (4)，故C 正确；函数f (x )，g (x )的图象分别关于直线x =32,x =2对称，又g (x )=f (x )，且函数f (x )可导，所以g 32 =0,g 3-x =-g x ，所以g (4-x )=g (x )=-g 3-x ，所以g (x +2)=-g (x +1)=g x ，所以g -12=g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．22.(2023·全国·高三专题练习)定义f x 是y =f x 的导函数y =f x 的导函数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0,f x 0 为函数y =f x 的“拐点”.可以证明，任意三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是( )A.存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B.函数f x =x 3-3x 2-3x +5的对称中心也是函数y =tan π2x 的一个对称中心C.存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心D.若函数g x =13x 3-12x 2-512，则g 12021+g 22021 +g 32021 +⋅⋅⋅+g 20202021 =-1010【答案】BCD【解析】对于A .设三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，易知y =f x 是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A 不正确；对于B .由f x =x 3-3x 2-3x +5，得f x =3x 2-6x -3,f x =6x -6，由6x -6=0，得x =1，函数f x 的对称中心为1,0 ，又由π2x =k π2,k ∈Z ，得x =k ,k ∈Z ，∴f x 的对称中心是函数y =tan π2x 的一个对称中心，故B 正确；对于C .设三次函数h x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，所以h x =3ax 2+2bx +c ,h x =6ax +2b联立3ax 02+2bx 0+c =0,6ax 0+2b =0,得3ac -b 2=0，即当3ac -b 2=0时，存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心，故C 正确.对于D .∵g x =13x 3-12x 2-512，∴g x =x 2-x ,g x =2x -1，令g x =2x -1=0，得x =12，∵g 12 =13×12 3-12×12 2-512=-12，∴函数g x =13x 3-12x 2-512的对称中心是12,-12，∴g x +g 1-x =-1，设T =g 12021+g 22021 +g 32021 +⋯+g 20202021 ，所以2T =g 12021 +g 20202021 +g 22021 +g 20192021 +⋯+g 20202021 +g 12021 =-2020所以g 12021 +g 22021 +g 32021+⋯+g 20202021 =-1010，故D 正确.故选:BCD .三、填空题23.(2023·全国·高三专题练习)设f x 的定义域为R ，且满足f 1-x =f 1+x ,f x +f -x =2，若f 1 =3，则f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030=___________.【答案】2024【解析】因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1,f 2 =f 0 =1，由f 1-x =f 1+x ，得f -x =f x +2 ,f x =f 2-x ，有f x +2 +f 2-x =2，可得f x +f 2-x -2 =2，有f x +f 4-x =2，又由f x +f -x =2，可得f 4-x =f -x ，可知函数f x 的周期为4，可得f 2023 =f -1 =-1,f 2028 =f 0 =1,f 2030 =f 2 =1，有f 2023 +f 2028 +f 2030 =1，因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1由f 1-x =f 1+x 得f -x =f x +2 ，所以f x +f x +2 =2,f x +1 +f x +3 =2，即f x +f x +1 +f x +2 +f x +3 =4，所以f -1 +f 0 +f 1 +f 2 + f 3 +f 4 +⋯+f 2021 +f 2022 =4×506=2024所以f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 =2024-f 0 -f -1 =2024-1--1 =2024.故f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030 =2024.故答案为：202424.(2023·全国·高三专题练习)对于定义在D 上的函数f x ，点A m ,n 是f x 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意x ∈D 都有f x +f 2m -x =2n ，判断函数f x =x 3+2x 2+3x +4的对称中心______.【答案】-23，7027【解析】因为f x =x 3+2x 2+3x +4，由于f x +f -23×2-x =x 3+2x 2+3x +4+-23×2-x 3+2-23×2-x 2+3-23×2-x +4=7027×2=14027.即m =-23，n =7027.所以-23，7027是f x =x 3+2x 2+3x +4的一个对称中心.故答案为：-23，7027 .25.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，现给出定义：设f x 是函数y =f x 的导数，f x 是f x 的导数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0，f x 0 为函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g x =2x 3-3x 2+1，则g 1100+g 2100+⋯+g 99100 =____.【答案】4912【解析】依题意得，g x =6x 2-6x ,g x =12x -6，令g x =0，得x =12， ∵g 12 =12,∴函数g x 的对称中心为12,12，则g 1-x +g x =1，∵1100+99100=2100+98100=⋯=49100+51100=1，∴g 1100 +g 99100 =g 2100 +g 98100 =⋯=g 49100 +g 51100 =1∴g 1100 +g 2100+⋯+g 99100 =g 1100 +g 99100 +g 2100 +g 98100 +⋯+g 49100 +g 51100 +g 12=49+12=4912，故答案为4912.26.(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知S n 为数列a n 的前n 项和，数列a n 满足a 1=-2，且S n =32a n+n ，f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，则f a 2021 =______．【答案】0【解析】∵S n =32a n +n ，∴S n -1=32a n -1+n -1n ≥2 ，两式相减得，a n =32a n -32a n -1+1，即a n -1=3a n -1-1 ，∴a n -1a n -1-1=3，即数列a n -1 是以-3为首项，3为公比的等比数列，∴a n -1=-3⋅3n -1=-3n ，∴a n =-3n +1.∵f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，∴令x =2，则f 2 =f 0 =0，又f2-x=f x =-f(-x)，∴f(2+x)=-f(x)，∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(-x)]=f(x)，即f(x+4)=f(x)，即f x 是以4为周期的周期函数.∵a2021=-32021+1=-4-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+C2021202140⋅-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+2其中C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020能被4整除，∴f a2021=f-32021+1=f2 =0.故答案为：0．27.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，当x∈0,2时，f x =-x2+4，则函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．【答案】14【解析】由于定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，∴f-x=-f x ，f x+4=f-x，∴f x+4=-f x ，∴f x+8=-f x+4=f x ，∴函数f x 为周期函数，且周期为8，当x∈0,2时，f x =-x2+4，函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点的个数，即为函数y=f x 与y=a 的交点的个数，作出函数 y=f x ,x∈-4,8上的函数的图象，显然，当a=0 时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为-4+-2+0+2+4+6+8=14 .28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)满足f(x+3)=f(1-x)+9f(2)对任意x∈R恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，且f (1)=2022，则f (45)=_________．【答案】-2022【解析】因为函数f (x )满足f (x +3)=f (1-x )+9f (2)对任意x ∈R 恒成立，所以令x =-1，即f (2)=f (2)+9f (2)，解得f (2)=0，所以f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，将函数f x +9 向右平移9个单位得到f (x )，所以f (x )关于点(0,0)，即f (x )为R 上的奇函数，所以f (x )=-f -x ，又f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，令x =-x -3，得f (-x )=f (x +4)，即-f (x )=f (x +4)，再令x =x +4，得-f (x +4)=f (x +8)，分析得f (x )=f (x +8)，所以函数f (x )的周期为8，因为f (1)=2022，所以在f (x +3)=f (1-x )中，令x =0，得f (3)=f (1)=2022，所以f (45)=f 6×8-3 =f -3 =-f 3 =-2022.故答案为：-2022.29.(2023·全国·高三专题练习)已知f x 是定义在R 上的函数，若对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，且函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，f (2)=3，则f (2022)=_______.【答案】3【解析】因为函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，所以函数f (x )的图像关于直线x =0对称，即函数f x 是偶函数，则有f x =f -x ；因为对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，令x =-4，得f -4+8 =f -4 +f 4 ⇒f -4 =f 4 =0，所以对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)=f x ，即函数f x 的周期为8，则f 2022 =f 252×8+6 =f 6 =f 6-8 =f -2 =f 2 =3，故答案为：3.30.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的函数f (x )和函数g (x )满足2f (x )=g (x )-g (-x )，且对于任意x 都满足f (x )+f (-x -4)+5=0，则f (2021)+f (2019)=________．【答案】5050【解析】由题意知：f (x )定义域为R ，2f (-x )=g (-x )-g (x )，可得：f (x )+f (-x )=0，f (x )为奇函数，又f (-x -4)=-f (x )-5=-f (x +4)，则f (x +4)=f (x )+5，可得：f (2021)+f (2019)=f (1+4×505)+f (-1+4×505)=f (1)+5×505+f (-1)+5×505=5050.故答案为：5050．31.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R 的奇函数f x ，当x >0时，有f x =-log 34-x ,0<x ≤54f x -3 ,x >54，则f 2 +f 4 +f 6 +⋅⋅⋅+f 2022 =______．【答案】0【解析】R上的奇函数f x ，则有f-x=-f(x)，而当x>0时，有f x =-log34-x,0<x≤5 4f x-3,x>5 4，于是有f(2)=f(-1)=-f(1)=1，f(4)=f(1)=-1，f(6)=f(3)=f(0)=0，因∀x>54，f(x)=f(x-3)，则有∀n∈N∗,f(6n-4)=f(2)=1,f(6n-2)=f(1)=-1，f(6n)=f(3)=0，所以f2 +f4 +f6 +⋅⋅⋅+f2022=337f2 +f4 +f6=0.故答案为：032.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x3-3x2+9x+4，若f a =7,f b =15，则a+b=___________.【答案】2【解析】因为f x =3x2-6x+9，对称轴为x=1，所以f x 的对称中心为1,f1，即1，11，因为f x =3x2-6x+9=3(x-1)2+6>0，所以f x 在R上单调递增，所以方程f a =7,f b =15的解a,b均有且只有一个，因为f a +f b =2f1 =22，所以a,7,b,15关于对称中心1，11对称，所以a+b=2，故答案为：233.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R，且f x 为奇函数，其图象关于直线x=2对称．当x∈0,4时，f x =x2-4x，则f2022=____.【答案】4【解析】∵f x 的图象关于直线x=2对称，∴f(-x)=f(x+4)，又f x 为奇函数，∴f(-x)=-f x ，故f(x+4)=-f x ，则f(x+8)=-f(x+4)=f x ，∴函数f x 的周期T=8，又∵2022=252×8+6，∴f2022= f6 =f(-2)=-f2 =-(4-8)=4.故答案为：4.34.(2023·全国·高三专题练习)若函数f(x)=1-x2x2+ax+b，a,b∈R的图象关于直线x=2对称，则a+b=_______．【答案】7【解析】由题意f(2+x)=f(2-x)，即f(x)=f(4-x)，所以f(0)=f(4)f(1)=f(3)，即b=-15(16+4a+b)0=-8(9+3a+b)，解得a=-8b=15，此时f(x)=(1-x2)(x2-8x+15)=-x4+8x3-14x2-8x+15，f(4-x)=-(4-x)4+8(4-x)3-14(4-x)2-8(4-x)+15=-(x4-16x3+96x2-256x+256)+8(64-48x+12x2-x3)-14(16-8x+x2)-32+8x+15= -x4+8x3-14x2-8x+15=f(x)，满足题意．所以a=-8,b=15，a+b=7．故答案为：7．35.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =3x-5x-2，g x =2x+22x-2+1，记f(x)与g(x)图像的交点横，纵坐标之和分别为m与n，则m-n的值为________.【答案】-2.【解析】f(x)=3x-5x-2=3+1x-2在(-∞,2)和(2,+∞)上都单调递减，且关于点(2,3)成中心对称，g(x)=2x+22x-2+1=4×2x-2+22x-2+1=4-22x-2+1在(-∞,+∞)上单调递增，g(4-x)+g(x)=4-222-x+1+4-22x-2+1=8-2(2x-2+1)+2(22-x+1)(22-x+1)(2x-2+1)=8-2(2x-2+22-x+2)2+2x-2+22-x=8-2=6，所以g(x)的图像也关于点(2,3)成中心对称，所以f(x)与g(x)图像有两个交点且关于点(2,3)对称，设这两个交点为(x1,y1)、(x2,y2)，则x1+x2=2×2=4，y1+y2=2×3=6，所以m=4，n=6，所以m-n=4-6=-2.故答案为：-2.。

函数的周期性和对称性【考点综述】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。

在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。

因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。

【解题方法思维导图预览】【解题方法】解题方法模板一：抽象函数的周期性使用情景：函数的解析式不确定，给出抽象函数的性质，来确定函数的周期 解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性； 常见的结论包括：结论1若对于非零常数m 和任意实数x ，等式f (x +m )=－f (x )恒成立，则f (x )是周期函数，且2m 是它的一个周期.结论2定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有()()f x a f x b +=+(其中,a b 为常数，a b ≠)，则函数()f x 是周期函数，a b -是函数的一个周期.结论3定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有()()f x a f x b +=-+(其中,a b 为常数，a b ≠)，则函数()f x 是周期函数，2a b -是函数的一个周期.结论4定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有1()()f x a f x +=，(或1()()f x a f x +=-)(其中a 为常数，0a ≠)，则函数()f x 是周期函数，2a 是函数的一个周期.结论5定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，有f (a +x )=f (a －x )且f (b +x )=f (b －x )， (其中a ，b 是常数，a ≠b )则函数y =f (x )是周期函数，2|a －b |是函数的一个周期.结论6若定义在R 上的函数y =f (x )对任意实数x ∈R ，恒有f (x )=f (a +x )+f (x －a )成立(a ≠0)，则f (x )是周期函数，且6|a |是它的一个周期.结论7若对于非零常数m 和任意实数x ，等式1()()1()f x f x m f x ++=-成立，则f (x )是周期函数，且4m 是它的一个周期.第三步 运用函数的周期性求解问题.例1 定义域为R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -+=+，且()11f -=，则()2017f =( ) A . 2 B . 1 C . －1 D . －2【答案】C 【解析】 解题模板选择：本题中所给的函数是一个抽象函数，可以利用递推关系确定周期性，故选取解题方法模板一抽象函数的周期性进行解答. 解题模板应用：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 由()()11f x f x -+=+可得()()()2f x f x f x =-=-- 第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性； 据此可得函数的周期为4；第三步 运用函数的周期性求解问题.由于201750441=⨯+，故()()()2017111f f f ==--=-. 故选：C .【典型例题】1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)= - f (x ).当x ∈[0，2]时，f (x )=2x -x 2. （1）求证:f (x )是周期函数;（2）当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式; （3）求f (0)+f （1）+f （2）+…+f (2015)的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）f (x )=x 2-6x +8；（3）0. 【解析】 【分析】（1）由已知(2)()f x f x +=-，取x 为2x +证得结论；（2）求出[2x ∈-，0]时的函数解析式，又当[2x ∈，4]时，4[2x -∈-，0]，再结合周期函数求得[2x ∈，4]时的函数解析式；（3）求出()00f =，()20f =，()11f =，()31f =-，利用周期性得答案． 【详解】 解:（1）证明：(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=． ()f x ∴是周期为4的周期函数．（2）当[2x ∈-，0]时，[0x -∈，2]， 由已知得22()2()()2f x x x x x -=---=--． 又()f x 是奇函数，2()()2f x f x x x ∴-=-=--，2()2f x x x ∴=+．又当[2x ∈，4]时，4[2x -∈-，0]， 2(4)(4)2(4)f x x x ∴-=-+-．又()f x 是周期为4的周期函数．22()(4)(4)2(4)68f x f x x x x x ∴=-=-+-=-+．∴当[2x ∈，4]时，2()68f x x x =-+．（3） ()00f =，()20f =，()11f =，()31f =-． 又()f x 是周期为4的周期函数，()()()()()()()()01234567f f f f f f f f +++=+++=⋯ (2008)(2009)(2010)(2011)f f f f =+++(2012)(2013)(2014)(2015)f f f f =+++0=．()()()()01220150f f f f ∴++++=．【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数的解析式的求法，周期的求法函数的奇偶性的应用，考查计算能力，属于中档题．2．定义在R 上的函数()y =f x 满足()(1)(2)0()f x f x f x x ++++=∈R ，(1)f a =，(2),(3)f b f c ==，求(2015)f .（提示：注意()f x 的周期性） 【答案】b 【解析】【分析】根据()(1)(2)0f x f x f x ++++=，证得函数是周期为3的周期函数，根据周期性化简()2015f ，由此求得()2015f 的值. 【详解】()(1)(2)0f x f x f x ++++=，(1)(2)(3)0f x f x f x ∴+++++=两式相减得()=(+3)f f x x ，()f x ∴是周期为3的周期函数于是(2015)(36712)(2)f f f b =⨯+==.【点睛】本小题主要考查抽象函数周期性，考查根据函数的周期性求函数值，属于基础题. 3．已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()111f x f x f x -+=+.（1）证明：2是函数()f x 的周期；（2）当[)0,1x ∈时，()f x x =，求()f x 在[)1,0x ∈-时的解析式，并写出()f x 在[)21,21x k k ∈-+（k ∈Z ）时的解析式；（3）对于（2）中的函数()f x ，若关于x 的方程()f x ax =恰好有20个解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）当[)1,0x ∈-时，()2xf x x =-+，当[)21,21x k k ∈-+（k ∈Z ）时，()[)[)2,21,2,222,2,21.x k x k k f x x k x k x k k -⎧-∈-⎪=+-⎨⎪-∈+⎩（3）1111,,19212119a ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据()()()111f x f x f x -+=+，代换得到()()()()11211f x f x f x f x -++==++得到证明. （2）当[)1,0x ∈-时，[)10,1x +∈，则()11f x x +=+，代入化简得到答案. （3）画出函数图像，根据函数()f x 的图像与直线y ax =的交点个数得到答案. 【详解】（1）因为()()()111f x fx f x -+=+，所以()()()()()()()()11111211111f x f x f x f x f xf x f x fx ---+++===-++++，所以2是函数()f x 的周期.（2）当[)1,0x ∈-时，[)10,1x +∈，则()11f x x +=+，又()()()111f x f x f x -+=+，即()()111f x x f x -=++，解得()2xf x x =-+. 所以当[)1,0x ∈-时，()2x f x x =-+，所以()[)[),1,0,2,0,1.x x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩()f x 的周期为2，当[)21,21x k k ∈-+（k ∈Z ）时，()[)[)2,21,2,222,2,21.x k x k k f x x k x k x k k -⎧-∈-⎪=+-⎨⎪-∈+⎩（3）作出函数的图像，则方程()f x ax =解的个数就是函数()f x 的图像与直线y ax =的交点个数.若0a =，则2x k =（k ∈Z ）都是方程的解，不合题意.若0a >，则0x =是方程的解，要使方程恰好有20个解，在区间1,19上，()f x 有9个周期，每个周期有2个解，在区间[)19,21上有且仅有一个解.则191,211,a a <⎧⎨>⎩解得，112119a <<.若0a <，同理可得111921a -<<-. 综上1111,,19212119a ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了函数的周期，函数解析式，方程解的个数问题，意在考查学生对于函数方程知识的综合应用. 4．已知定义在N 上的函数()f n 满足：(2)(1)()+=+-f n f n f n ． （1）求证：()f n 是周期函数，并求出其周期； （2）若(1)1,(2)3==f f ，求(2012)f 的值． 【答案】（1）见解析，周期为6；（2）3 【解析】 【分析】（1）利用周期函数的定义和已知条件证明周期即可； （2）根据周期函数的定义得()(2012)3f f =，即可得出答案. 【详解】解：（1）因为(2)(1)()+=+-f n f n f n ，所以[](3)(2)(1)(1)()(1)()f n f n f n f n f n f n f n +=+-+=+--+=- 所以()()(6)(3)f n f n f n f n +=-+=--=⎡⎤⎣⎦. 所以()f n 是周期函数，周期为6.（2）因为()f n 是周期为6的函数，且(1)1,(2)3==f f ， 所以，()(2012)(33562)23f f f =⨯+==. 【点睛】本题主要考查抽象函数周期的证明方法，属于中档题.5．已知函数()y f x =的周期为4，试求(21)y f x =+的一个周期． 【答案】一个周期为2 【解析】 【分析】可利用周期函数的定义来探求． 【详解】解 令函数()(21)=+g x f x ，则求()y g x =的周期．∵()y f x =的周期为4，所以对任意x ∈R ，有(4)()f x f x +=成立． ∴()(21)(214)[2(2)1](2)=+=++=++=+g x f x f x f x g x ．∴2是()y g x =的一个周期． 【点睛】本题考查求抽象函数周期，掌握周期的定义是解题关键．解题方法模板二：三角函数的周期性使用情景：所给的函数为三角函数，需要利用函数的周期处理所给的问题 解题模板：第一步 将所给的三角函数式进行化简第二步 利用化简所得的三角函数式，结合周期公式计算三角函数的周期. 第二步 结合三角函数的周期性即可解决所给的问题 例2已知()sin (1)(1)33f x x x ππ⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则(1)(2)(3)...(2020)f f f f ++++=_____【解析】 解题模板选择：本题中所给的问题是一个三角函数的问题，故选取解题方法模板二三角函数的周期性进行解答. 解题模板应用：第一步 将所给的三角函数式进行化简()sin (1)(1)2sin 333f x x x x πππ⎡⎤⎡⎤=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，第二步 利用化简所得的三角函数式，结合周期公式计算三角函数的周期. ∴函数()f x 的最小正周期为263T ππ==，第二步 结合三角函数的周期性即可解决所给的问题由于(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，且202033664=⨯+，(1)(2)(3)...(2020)(1)(2)(3)(4)f f f f f f f f ∴++++=+++=，【典型例题】1．已知函数()()212cos 1sin 2cos 42f x x x x =-⋅+. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）若()0,απ∈，且48f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，求tan 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）最小正周期为2π，单调递减区间为()5,216216k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）2. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角降幂公式和辅助角公式将函数()y f x =的解析式化为()f x =424x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用周期公式可得出函数()y f x =的最小正周期，然后解不等式()3242242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由482f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得出角α的值，再利用两角和的正切公式可计算出tan 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】 （1）()()2112cos 1sin 2cos 4cos 2sin 2cos 422f x x x x x x x=-+=+()1sin 4cos 444sin 4cos cos 4sin 2222244x x x x x x ππ⎫⎫=+=+=+⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭424x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ∴函数()y f x =的最小正周期为242T ππ==， 令()3242242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得()5216216k k x k Z ππππ+≤≤+∈.所以，函数()y f x =的单调递减区间为()5,216216k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）482f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，3444πππα∴-<-<. 42ππα∴-=，故34πα=，因此3tantan43tan 2331tan tan 43πππαππ+⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-+【点睛】本题考查三角函数基本性质，考查两角和的正切公式求值，解题时要利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，利用正弦、余弦函数的性质求解，考查运算求解能力，属于中等题. 2．已知)22()2sin cos cos sin f x x x x x =-． （1）求函数()y f x =的最小正周期和对称轴方程； （2）若50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()y f x =的值域． 【答案】（1）对称轴为()212k x k Z ππ=+∈，最小正周期T π=；（2）()[1,2]f x ∈- 【解析】 【分析】(1)利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由周期公式和对称轴公式可得答案；(2)由x 的范围得到72x ,336πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质即可得到值域. 【详解】（1）)22()2sin cos cossin f x x x x x =-sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令2x k (k Z)32πππ+=+∈，则()f x 的对称轴为()212k x k Z ππ=+∈，最小正周期T π=；（2）当50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72x ,336πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 因为sin y x =在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， 在2x π=取最大值，在76x π=取最小值， 所以1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()[1,2]f x ∈-． 【点睛】本题考查正弦函数图像的性质，考查周期性，对称性，函数值域的求法，考查二倍角公式以及辅助角公式的应用，属于基础题.3．已知函数()22sin cos 6f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）求()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）π，[,],63k k k Z ππππ-++∈ （2）15,24【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式，化简得到1()sin(2)126f x x π=-+，利用正弦型函数的周期公式可得T π=，令222262k x k πππππ-+≤-≤+，可得()f x 的单调递增区间（2）当5,,2[,]36666x x πππππ⎡⎤∈--∈-⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的图像及性质，可得分别当262x ππ-=-，266x ππ-=时，函数取得最小值，最大值【详解】（1）()22sin cos 6f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭1cos(2)1cos 2322cos 2111(cos 22)2221112cos 2)221sin(2)126x x x x x x x x ππ+--=+=-+⨯=+-=-+ 故()f x 的最小正周期22T ππ== 令222262k x k πππππ-+≤-≤+可得63k x k ππππ-+≤≤+故()f x 的单调递增区间为[,],63k k k Z ππππ-++∈（2）当5,,2[,]36666x x πππππ⎡⎤∈--∈-⎢⎥⎣⎦故当262x ππ-=-时，即6x π=-时，min 11()122f x =-+= 当266x ππ-=时，即6x π=时，min15()144f x =+= 【点睛】本题考查了正弦型函数的图像及性质，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题 4．已知()3sin ,cos a x x =，()cos ,cos b x x =，()()21,f x a b m x m R =⋅+-∈.（1）求()f x 关于x 的表达式，并求()f x 的最小正周期； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 的最小值为5，求m 的值. 【答案】（1）π；（2）6m =. 【解析】 【分析】（1）首先化简函数()f x ，根据公式求周期；（2）由（1）可知先求26x π+的范围，再求函数值域，根据最小值为5，求m 的值.【详解】（1）()2cos 2cos 1f x x x x m =++-2cos 2x x m =++2sin 26x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的最小正周期22T ππ==； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()f x ∴的值域是[]1,2m m -+，由题意可知15m -=，解得：6m =. 【点睛】本题考查三角函数的性质，三角恒等变形，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型.5．已知函数2()sin cos f x x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，x ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若α为锐角且7129f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，β满足()3cos 5αβ-=，求sin β．【答案】（Ⅰ）T π=，5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （Ⅱ）415【解析】 【分析】（Ⅰ）把2()sin cos 22f x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭使用降幂公式、逆用二倍角公式以及两角和的正弦公式化成只有正弦函数，然后代入正弦函数的周期公式和递增区间即可求其周期和增区间.（Ⅱ）化简7129f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求出7cos 29α=-，进一步求出α的正弦及余弦，令()βααβ=--，利用两角差的正弦公式代入计算即可. 【详解】解：（Ⅰ）()22sin cos f x x x x x =-+1sin 222x x =+ sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以()f x 的最小正周期T π=， 令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈， 解得51212x k k ππππ-+≤≤，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）得7sin 2cos 21229f ππααα⎛⎫⎛⎫+=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，227cos 22cos 112sin 9ααα=-=-=-因为α为锐角，所以1cos 3α=，sin 3α=， 又因为()3cos 5αβ-=， 所以()4sin 5αβ-=±，所以()()()4sin sin sin cos cos sin 15βααβααβααβ=--=⋅--⋅-=⎡⎤⎣⎦． 【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质、三角函数的诱导公式以及三角恒等变换公式，中档题．解题方法模板三：分段函数的类周期性使用情景：所给的函数不具有周期性，但是可以经过伸缩变换将所给的函数变形为周期函数 解题模板：第一步 确定函数在一个区间上的函数图像第二步 结合所给的递推关系式和伸缩变换的结论确定函数在定义域内的图象性质 常见的伸缩变换结论包括： 结论1若 f (x )=kf (x + m )，即f (x +m )=1kf (x )(m > 0，k > 0)，则只需将函数在一个“周期”内的图象向右平移m 个单位的同时，函数值变为原来的1k倍；向左平移m 个单位的同时函数值变为原k 来的k 倍. 结论2若f (x )=f (x + m )+k ，即f (x +m )=f (x )－k (m > 0，k > 0)，则只需将函数在一个“周期”内的图象向右平移m 个单位的同时，向下平移k 个单位；向左平移m 个单位的同时，向上平移k 个单位.结论3若f (x )=f (mx )，即f (mx )= f (x )(m >0，k >0)，则只需将函数在一个“周期”内的图象的横坐标伸长为原来的m 倍时，函数值不变.结论4若f (x )=kf (mx )，即()()1f mx f x k =(m >0，k >0)，则只需将函数在一个“周期”内的图象的横坐标伸长为原来的m 倍时，函数值变为原来的1k ，横坐标缩短为为原来的1m时，函数值变为原来的k 倍.第三步 解决所给的问题，得到结论例3 设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 解题模板选择：本题中说给的函数即()()(]()1,0,12,10x x x f x f x x x ⎧-∈⎪=⎨≥<⎪⎩或，故选取解题方法模板三分段函数的类周期性进行解答. 解题模板应用：第一步 确定函数在一个区间上的函数图像 绘制函数在区间(]0,1上的图像如图所示：第二步 结合所给的递推关系式和伸缩变换的结论确定函数在定义域内的图象性质(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，第三步 解决所给的问题，得到结论 令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=， 1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==(舍)，(,]x m∴∈-∞时，8()9f x≥-成立，即73m≤，7,3m⎛⎤∴∈-∞⎥⎝⎦，故选B ．【典型例题】1．设函数11,(,2) (){1(2),[2,)2x xf xf xx--∈-∞=-∈+∞，则函数()()1F x xf x=-的零点的个数为( )A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】试题分析：，转化为如图，画出函数和的图像，当时，有一个交点，当时，，，此时，是函数的一个零点，，，满足，所以在有两个交点，同理，所以在有两个交点，，所以在内没有交点，当时，恒有，所以两个函数没有交点所以，共有6个．考点：1．分段函数；2．函数的零点．3数形结合求函数零点个数．2．若函数()y f x=，x M∈，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有()()af x f x T=+恒成立，此时T为()f x的类周期，函数()y f x=是M上的a级类周期函数．若函数()y f x =是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且2T =，当[)0,2x ∈时，()()212,01,22,12,x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩函数()212ln 2g x x x x m =-+++．若[]16,8x ∃∈， ()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．3,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．13,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数f （x ）在[0，2）上的解析式，分析可得函数f （x ）在[0，2）上的最值， 结合a 级类周期函数的含义，分析可得f （x ）在[6，8]上的最大值，对于函数g （x ），对其 求导分析可得g （x ）在区间（0，+∞）上的最小值；进而分析，将原问题转化为g （x ）min ≤f （x ）max 的问题，即可得32+m ≤8，解可得m 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，对于函数f （x ），当x ∈[0，2）时，()()212,01,22,12,x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩分析可得：当0≤x ≤1时，f （x ）=12﹣2x 2，有最大值f （0）=12，最小值f （1）=﹣32，当1＜x ＜2时，f （x ）=f （2﹣x ），函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣32＜f （x ）＜12，又由函数y=f （x ）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2； 则在∈[6，8）上，f （x ）=23•f （x ﹣6），则有﹣12≤f （x ）≤4， 则f （8）=2f （6）=4f （4）=8f （2）=16f （0）=8，则函数f （x ）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12；对于函数()212ln 2x x x x m =-+++ ，有g ′（x ）=﹣2x +x+1=22(1)(2)x x x x x x+--+=， 分析可得：在（0，1）上，g ′（x ）＜0，函数g （x ）为减函数，在（1，+∞）上，g ′（x ）＞0，函数g （x ）为增函数， 则函数g （x ）在（0，+∞）上，由最小值f （1）=32+m ， 若∃x 1∈[6，8]，∃x 2∈（0，+∞），使g （x 2）﹣f （x 1）≤0成立， 必有g （x ）min ≤f （x ）max ，即32+m ≤8， 解可得m ≤132，即m 的取值范围为（﹣∞，132]； 故答案为：B 【点睛】本题主要考查函数的最值问题和新定义，注意将题目中“∃x 1∈[6，8]，∃x 2∈（0，+∞）， 使g （x 2）﹣f （x 1）≤0成立”转化为函数的最值问题．3．定义“函数()y f x =是D 上的a 级类周期函数” 如下: 函数(),D y f x x =∈，对于给定的非零常数a ，总存在非零常数T ，使得定义域D 内的任意实数x 都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的周期. 若()y f x =是[)1,+∞上的a 级类周期函数，且1T =，当[)1,2x ∈时，()()221xf x x =+,且()y f x =是[)1,+∞上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)2,+∞C ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)10,+∞【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】∵x ∈[1,2)时,f(x)=2x (2x+1)，∴当x ∈[2,3)时,f(x)=af(x −1)=a ⋅2x −1(2x −1)；当x ∈[n,n+1)时,f(x)=af(x −1)=a 2f(x −2)=…=a n f(x −n)=a n ⋅2x −n (2x −2n+1) 即x ∈[n,n+1)时,f(x)=a n⋅2x −n(2x −2n+1),n ∈N ∗， ∵f(x)在[1,+∞)上单调递增，∴a>0且a n ⋅2n −n (2n −2n+3)⩾a n −1⋅2n −(n −1)(2n −2n+5)， 解得103a ≥，∴实数a 的取值范围是10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选C.4．已知函数()y f x =，若给定非零实数a ，对于任意实数x M ∈，总存在非零常数T ，使得()()af x f x T =+恒成立，则称函数()y f x =是M 上的a 级T 类周期函数，若函数()y f x =是[0,)+∞上的2级2类周期函数，且当[0,2)x ∈时，21,01()(2),12x x f x f x x ⎧-≤≤⎨-<<⎩，又函数21()2ln 2g x x x x m =-+++.若1[6,8]x ∃∈，2(0,)x ∃∈+∞，使21()()0g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】13(,]2-∞ 【解析】 【分析】由函数f （x ）在[0，2）上的解析式，可得函数f （x ）在[0，2）上的最值，结合a 级类周期函数的含义，可得f （x ）在[6，8]上的最大值，对于函数g （x ），对其求导分析可得g （x ）在区间（0，+∞）上的最小值，将原问题转化为g （x ）min ≤f （x ）max 的问题求解． 【详解】根据题意，对于函数()f x ，当[)x 0,2∈时，()()21x ,01f x 2,12x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨<<⎪⎩，可得：当0x 1≤≤时，()2f x 1x =-，有最大值()f 01=，最小值()f 10=，当1x 2<<时，()()f x f 2x =-，函数()f x 的图像关于直线x 1=对称，则此时有()0f x 1<<，又由函数()y f x =是定义在区间[)0,∞+内的2级类周期函数，且T 2=； 则在[)x 6,8∈上，()()3f x 2f x 6=⋅-，则有()0f x 4≤≤，则()()()f 82f 64f 48=== ()()f 216f 08==， 则函数()f x 在区间[]6,8上的最大值为8，最小值为0；对于函数()21g x 2lnx x x m 2=-+++，有()22x x 2g x |x x x --==' ()()x 1x 2x--=，得在()0,1上，()g x 0'<，函数()g x 为减函数，在()1,∞+上，()g x 0'>，函数()g x 为增函数，则函数()g x 在()0,∞+上，由最小值()3f 1m 2=+. 若[]1x 6,8∃∈，()2x 0,∞∃∈+，使()()21g x f x 0-≤成立，必有()()min max g x f x ≤，即3m 82+≤，解可得13m 2≤，即m 的取值范围为13,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦. 故答案为13,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【点睛】 本题考查了函数的最值问题，数学转化思想方法，利用了导数求函数的最值，属于中档题．5．已知函数y=f （x ），若给定非零实数a ，对于任意实数x ∈M ，总存在非零常数T ，使得af （x ）=f （x+T ）恒成立，则称函数y=f （x ）是M 上的a 级T 类周期函数，若函数y=f （x ）是[0，+∞）上的2级2类周期函数，且当x ∈[0，2）时，f （x ）=()2101212x x f x x ⎧-≤≤⎪⎨-<<⎪⎩，，，又函数g （x ）=﹣2lnx+12x 2+x+m ．若∃x 1∈[6，8]，∃x 2∈（0，+∞），使g （x 2）﹣f （x 1）≤0成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，112] B ．（﹣∞，132] C ．[112+∞，） D ．[132+∞，） 【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数f （x ）在[0，2）上的解析式，分析可得函数f （x ）在[0，2）上的最值，结合a 级类周期函数的含义，分析可得f （x ）在[6，8]上的最大值，对于函数g （x ），对其求导分析可得g （x ）在区间（0，+∞）上的最小值，将原问题转化为 min max g x f x ≤（）（） 的问题求解．【详解】根据题意，对于函数f （x ），当x ∈[0，2）时，()2101 212x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<<⎪⎩，（），， 可得：当0≤x ≤1时，f （x ）=1-x 2，有最大值f （0）=1，最小值f （1）=0，当1＜x ＜2时，f （x ）=f （2-x ），函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，则此时有0＜f （x ）＜1， 又由函数y=f （x ）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；则在x ∈[6，8）上，f （x ）=23•f （x-6），则有0≤f （x ）≤4，则f （8）=2f （6）=4f （4）=8f （2）=16f （0）=8，则函数f （x ）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为0； 对于函数2122g x lnx x x m =+++（）﹣， 有()2(1)2221x x x x g x x x x x-++-'=-++==（） ， 得在（0，1）上，g ′（x ）＜0，函数g （x ）为减函数，在（1，+∞）上，g ′（x ）＞0，函数g （x ）为增函数，则函数g （x ）在（0，+∞）上，由最小值312f m =+（）， 若∃x 1∈[6，8]，∃x 2∈（0，+∞），使g （x 2）-f （x 1）≤0成立，必有g （x ）min ≤f （x ）max ，即382m +≤， 解可得132m ≤ ，即m 的取值范围为13]2-∞（，． 故选B ．【点睛】本题考查函数的最值问题，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．。

第5专题训练 函数的对称性与周期性一、基础知识(一)函数的对称性1、对定义域的要求:无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴(或对称中心)对称2、轴对称的等价描述:(1)()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称(当0a =时,恰好就是偶函数)(2)()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下,构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点,一是等式两侧f 前面的符号相同,且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。

例如:()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-,或得到()()31f x f x -=-+均可,只是在求函数值方面,一侧是()f x 更为方便(3)()f x a +是偶函数,则()()f x a f x a +=-+,进而可得到:()f x 关于x a =轴对称。

① 要注意偶函数是指自变量取相反数,函数值相等,所以在()f x a +中,x 仅是括号中的一部分,偶函数只是指其中的x 取相反数时,函数值相等,即()()f x a f x a +=-+,要与以下的命题区分:若()f x 是偶函数,则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦:()f x 是偶函数中的x 占据整个括号,所以是指括号内取相反数,则函数值相等,所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解,()f x a +是偶函数,则()f x a +关于0x =轴对称,而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位(方向由a 的符号决定),所以()f x 关于x a =对称。

3、中心对称的等价描述:(1)()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 轴对称(当0a =时,恰好就是奇函数)(2)()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下,构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点,一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。

微专题05 函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）f a x f a x f x 关于x a 轴对称（当a 0时，恰好就是偶函数）ab（2）f a x f b x f x 关于x 轴对称2在已知对称轴的情况下，构造形如f a x f b x 的等式只需注意两点，一是等式ab 两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是a, b的取值保证x 为所给2对称轴即可。

例如：f x 关于x 1 轴对称f x f 2 x ，或得到f 3 x f 1 x 均可，只是在求函数值方面，一侧是f x 更为方便（3）f x a 是偶函数，则f x a f x a ，进而可得到：f x 关于x a 轴对称。

①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在f x a 中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即f x a f x a ，要与以下的命题区分：若f x 是偶函数，则f x a f x a ：f x 是偶函数中的x占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有f x a f x a②本结论也可通过图像变换来理解，f x a 是偶函数，则f x a 关于x 0 轴对称，而f x 可视为f x a 平移了a 个单位（方向由a的符号决定），所以f x 关于x a对称。

3、中心对称的等价描述：（1）f a x f a x f x 关于a,0 轴对称（当a 0时，恰好就是奇函数）ab（2）f a x f b x f x 关于 a b,0 轴对称2在已知对称中心的情况下，构造形如f a x f b x 的等式同样需注意两点，一是ab等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是a, b的取值保证x 为所给对称中心即可。

例2如：f x 关于1,0 中心对称f x f 2 x ，或得到f 3 x f 5 x 均可，同样在求函数值方面，一侧是fx 更为方便（3）f x a 是奇函数，则f x a f x a ，进而可得到：f x 关于a,0 轴对称。

高三数学函数的周期性和对称性典型例题解析21.若定义在R 上的奇函数()f x 满足对任意的x ∈R ，都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则()2019f ，()2020f ，()2021f 的大小关系是（）A ．()()()201920202021f f f <<B ．()()()201920202021f f f >>C ．()()()202020192021f f f >>D ．()()()202020212019f f f <<【答案】A 【分析】由()()2f x f x +=-，可推出()()4f x f x +=，从而可知函数()f x 是周期函数，周期为4，进而可得出()()20191f f =-，()()20200f f =，()()20211f f =，然后根据()f x 是R 上的奇函数，求出三个函数值，即可得出答案. 【详解】因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 是周期函数，周期为4， 又函数()f x 是R 上的奇函数，所以()00=f ，()()118f f -=-=-，则()()()2019318f f f ==-=-，()()202000f f ==，()()202118f f ==， 所以()()()201920202021f f f <<. 故选：A.2.已知奇函数()f x 定义域为R ，且(2)f x +为偶函数，若(1)f a =，则(1)(3)(5)(2019)f f f f +++=（ ） A ．0 B ．aC ．2aD ．1010a【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数的周期，分别求出一个周期内的函数值，结合周期性分析，即可得解. 【详解】(2)f x +为偶函数，∴()f x 的图象关于直线2x =对称,∴()(4)f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，()00f =，∴()(4)f x f x +=-，∴()()()(8)4f x f x f x f x +=-+=--=，即()f x 是周期为8的周期函数，()1f a =，∴()1f a -=-，()()()3141f f f a =-+==，∴()()()533f f f a =-=-=-，()()71f f a =-=-，()()()()13570f f f f a a a a +++=+--=，∴()()()()()()1352019252020172019f f f f f f ++++=⨯++()()132f f a a a =+=+=,故选：C.3.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(2)()f x f x +=-，且当01x <≤时，35()2log f x x x =-，则(47)f =（）A ．-1B ．-2C ．0D ．1【答案】B 【分析】根据()()f x f x -=-，(2)()f x f x +=-，可知该函数的周期为4，然后再结合周期性、奇偶性将所求的函数值转化为已知区间上的函数值求解． 【详解】因为()()f x f x -=-，(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的奇函数． 所以(47)(1)f f f =-=-（1）2=-． 故选：B ．4.定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)f x +是偶函数，且当[0,1]x ∈时，()(32),f x x x =-则31()2f =（） A ．12B ．12-C ．1-D ．1【答案】C【解析】()y f x =是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数，()()()111f x f x f x ∴-+=+=--，()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，则()f x 的周期是4，()3111114431122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴=⨯-=-=-=-⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C.5.定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，(1)(1+)f x f x -=，当[]0,1x ∈时，()f x =()f x 的图象与()3xg x =的图象的交点个数为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】因为义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，(1)(1+)f x f x -=， 所以()f x 的周期为2，且图像关于直线1x =对称，由于当[]0,1x ∈时，()f x =()f x 的图像如图所示，再作出()3xg x =的图像， 则由图像可知，两函数图像的交点个数为5， 故选：A6.已知函数()()y f x x =∈R 的图象既关于点()1,1中心对称又关于点()2,2中心对称，则（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 是奇函数C ．()f x 既没有最大值又没有最小值D ．函数()()()g x f x x x =-∈R 是周期函数 【答案】BCD 【分析】根据对称性，结合奇偶性定义证明它是奇函数，判断B ，用反证法（反例）说明函数不是周期函数，函数无最值，判断AC ，根据周期性定义判断D ． 【详解】由题意()(2)2f x f x +-=，()(4)4f x f x +-=，因此[]()2(2)24(42)2(2)f x f x f x f x -=-+=----=-+-[]222(2)()f x f x =-+---=-， 所以()f x 是奇函数，B 正确．例如1()sin()4f x x x π=+满足题意，但()1cos()4f x x ππ'=+0>恒成立，因此()f x 在R 上是增函数，()f x 不是周期函数，A 错；因为()f x 是奇函数，所以若()f x M =-是函数的最小值，则M 是函数的的最大值，设0()f x M =-，则00(2)2()2()2f x f x M M M -=-=--=+>，与M 是最大值矛盾，因此函数无最大值，同理也无最小值．C 正确；()f x 是奇函数，()()()()()g x f x x f x x g x -=---=-+=-，则()()g x f x x =-也是奇函数， ()f x 的图象关于点(1,1)和(2,2)对称，(2)(2)22(2(2))2g x f x x f x x -=--+=----+=()()()f x x g x g x -+=-=-，所以()g x 的图象关于(1,0)对称，同理也关于(2,0)对称．因此()g x 是周期函数，4就是一个周期．D 正确． 故选：BCD ．7.函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是周期为2的周期函数 B ．()f x 是周期为4的周期函数 C ．()2f x +为奇函数 D ．()3f x +为奇函数【答案】BD 【分析】AB 选项，利用周期函数的定义判断；CD 选项，利用周期性结合()1f x -，()1f x +为奇函数判断. 【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数， 所以()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=-+， 所以()()2f x f x =---，()()2f x f x =--+，所以()()22f x f x --=-+，即()()4f x f x +=，故B 正确A 错误；因为()()()3341f x f x f x +=+-=-，且()1f x -为奇函数，所以()3f x +为奇函数，故D 正确； 因为()2f x +与()1f x +相差1，不是最小周期的整数倍，且()1f x +为奇函数，所以()2f x +不为奇函数，故C 错误. 故选：BD.8.定义在R 上的函数()f x 满足：x 为整数时，()2021f x =；x 不为整数时，()0f x =，则（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是偶函数 C ．,(())2021x R f f x ∀∈= D ．()f x 的最小正周期为1【答案】BCD 【分析】根据函数的性质，结合奇偶性的定义和周期的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】A 中，对于函数()f x ，有()12021,(1)2021f f =-=，所以()()f x f x -=-不恒成立，则函数()f x 不是奇函数，所以A 不正确； B 中，对于函数()f x ，若x 为整数，则x -也是整数，则有()()2021f x f x =-=， 若x 不为整数，则x -也不为整数，则有()()0f x f x =-=， 综上可得()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，所以B 正确； C 中，若x 为整数，则()2021f x =，x 不为整数，则()0f x =， 综上函数()f x 是整数，则()()2021f f x =，所以C 正确；D 中，若x 为整数，则1x +也是整数，若x 不为整数，则1x +也不是整数，总之有()()1f x f x +=，所以函数()f x 的周期为1，若(01)t t <<，则x 和x nt +可能是一个整数，也可能不是整数，则有()()f x f x nt ≠+， 所以函数()f x 的最小正周期为1，所以D 正确. 故选：BCD.9.函数()f x 是定义域为R 的奇函数，满足22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当[0,)x π∈时，2sin ()x f x x πx π=-+，给出下列四个结论： ① ()0f π=；② π是函数()f x 的周期；③ 函数()f x 在区间(1,1)-上单调递增；④ 函数()()sin1([10,10])g x f x x =-∈-所有零点之和为3π. 其中，正确结论的序号是___________. 【答案】① ③ ④ 【分析】由22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()()0f f π=直接计算()0f 即可判断① ；根据函数()f x 的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断()f x 在(0,1)的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④. 【详解】对于①：由22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()sin 0()00f f ππ===，故①正确； 对于② ：由22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()f x 关于直线2x π=对称，因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()()f x f x f x π+=-=- 所以()()()2f x f x f x ππ+=-+=， 所以函数()f x 的周期为2π，故② 不正确；对于③ ：当01x <<时，sin y x =单调递增，且sin 0y x =>，22224y =x πx π=x πππ⎛⎫-+-+-⎪⎝⎭在01x <<单调递减，且11y ππ>-+=， 所以2sin ()xf x x πx π=-+在01x <<单调递增，因为()f x 是奇函数，所以函数()f x 在区间(1,1)-上单调递增；故③ 正确；对于④ ：由22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()f x 关于直线2x π=对称，作出示意图函数()()sin1([10,10])g x f x x =-∈-所有零点之和即为函数()y f x =与sin1y =两个函数图象交点的横坐标之和，当π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，两图象交点关于2x π=对称，此时两根之和等于π ，当3π,102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时两图象交点关于52x π=对称，此时两根之和等于5π，当5,22x ππ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时两图象交点关于32x π=-对称，此时两根之和等于5π3,10,2x π⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭时两图象无交点 ，所以函数()()sin1([10,10])g x f x x =-∈-所有零点之和为3π.故④ 正确； 故答案为：① ③ ④10.定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =，则函数1()()1g x f x x =+-在[]-24，上的零点之和为____________. 【答案】6 【分析】把研究函数1()()1g x f x x =+-在[]-24，上零点之和的问题转化为研究函数()y f x =和11y x =-- 图象交点的横坐标之和的问题.通过研究函数的奇偶性，周期性，对称性作出函数()f x 和函数11y x =--的简图，通过图象可得到答案. 【详解】因为函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，所以函数()f x 的对称轴为直线12x =， 又因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x =--又(1)()f x f x +=-，所以(1)()f x f x +=-，所以函数()f x 的周期为2，又因为当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =，作出函数()f x 和11y x =--的简图如图所示，由图可知，有6个交点，这6个交点是关于点()1,0对称的，且关于点()1,0对称的两个点的横坐标之和为2，所以零点之和为326⨯=.故答案为：6.11.定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[2,2)x ∈-时，3()sin 2f x x x π=-，则函数()f x 在区间[0,669)上的零点个数是______．【答案】502 【分析】根据函数周期性，得出()f x 是周期为4的周期函数，令3()sin 02f x x x π=-=，得3sin2x x π=，则函数()f x 在区间[0,669)上的零点个数转化为sin2y x π=与3y x =在[0,669)上的交点个数，根据周期性，即可得出结果.【详解】解：因为(2)(2)f x f x +=-，所以(4)()f x f x +=， 所以()f x 是周期为4的周期函数． 令3()sin02f x x x π=-=，得3sin2x x π=，在同一坐标系下画出sin2y x π=与3y x =的图像，由图知，当[2,2]x ∈-时，函数3()sin 2f x x x π=-有3个零点．又因为66941671=⨯+，即在区间[0,669)上有167个完整的周期，零点个数为1673501⨯=，所以函数3()sin 2f x x x π=-在区间[0,669)共有502个零点.故答案为：502．12.已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________.【答案】-2 【分析】通过函数的对称性，判断函数的周期，然后利用周期性和对称性化简所求表达式，求出函数值即可． 【详解】解：因为()f x 图像关于1x =对称，则()(2)f x f x =-，()(2)(31)(31)(4)(8)f x f x f x f x f x f x =-=--=-++=-+=+，故()f x 是以8为周期的周期函数，82511113851443131222222f f f f ff⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯++=+=++=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23log (21)22=-⨯+=-故答案为：2-. 【点睛】本题考查函数的周期性、函数值的求法，考查计算能力，是中档题．13.定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=．当[)3,3x ∈-时，()()22,3113x x f x x x ⎧-+-≤<-⎪=⎨-≤<⎪⎩，，则(4)f =___________；(1)(2)(3)(2016)(2017)f f f f f +++++=__________．【答案】0 337 【分析】先由(6)()f x f x +=判断周期为6，，直接计算(4)f ；然后计算201763361=⨯+，把(1)(2)(3)(2016)(2017)f f f f f +++++转化为[]336(1)(2)(3)(6)(2017)f f f f f =⨯+++++，即可求解. 【详解】因为(6)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期为6的周期函数，当[)3,3x ∈-时，()()22,3113x x f x x x ⎧-+-≤<-⎪=⎨-≤<⎪⎩，，所以2(4)(2)(22)0f f =-=--+=，因为201763361=⨯+，(1)1f =，(2)2f =，2(3)(3)(32)1f f =-=--+=-， (4)0f =，(5)(1)1f f =-=-，(6)(0)0f f ==，所以(1)(2)(3)(2016)(2017)f f f f f +++++[]336(1)(2)(3)(6)(2017)f f f f f =⨯+++++336(121010)1337=⨯+-+-++=. 故答案为0；337．。

微专题五 函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。

例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。

① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分： 若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。

2、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。

专题05 函数的周期性和对称性【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。

在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。

因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。

【方法点评】一、函数的周期性的判定及应用使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性；（1）若函数)(x f 满足)()(a x f a x f -=+，则函数)(x f 的周期为a 2；（2）若函数)(x f 满足)()(x f a x f -=+或)(1)(x f a x f =+或)(1)(x f a x f -=+， 则函数)(x f 的周期为a 2；第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例 1 函数定义域为，且对任意，都有，若在区间上则（ ）A. B. C. D.【答案】C【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B考点：函数周期性质【变式演练2】定义域为R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -+=+，且()11f -=，则()2017f =（ ）A. 2B. 1C. -1D. -2 【答案】C 【解析】()()11f x f x -+=+()()()24f x f x f x T ⇒=-=--⇒= ,因此()2017f =()()111f f =--=- ，选C.考点：函数的周期性.【变式演练3】定义在R 上的偶函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，且在[2,0]x ∈-上为增函数，3()2a f =，7()2b f =，12(log 8)c f =，则下列不等式成立的是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >> 【答案】B 【解析】试题分析：因为定义在R 上的偶函数()y f x =在[2,0]x ∈-上为增函数，所以在[0,2]x ∈上单调递减，又(4)()f x f x +=，所以()()1271(),(log 8)3122b f f c f f f ⎛⎫====-= ⎪⎝⎭，又13122<<，所以b c a >>．考点：1．偶函数的性质；2．函数的周期性．二、函数的对称性问题使用情景：几类特殊函数类型解题模板：记住常见的几种对称结论：第一类 函数)(x f 满足()()f x a f b x +=-时，函数()y f x =的图像关于直线2a bx +=对称；第二类 函数)(x f 满足()()c f x a f b x ++-=时，函数()y f x =的图像关于点(,)22a b c+对称；第三类 函数()y f x a =+的图像与函数()y f b x =-的图像关于直线2b ax -=对称. 例2 ．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ) A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B例 3 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称, 且满足()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,又()()11,02f f -==-,则()()()()123...2008f f f f ++++=（ ）A ．669B ．670C ．2008D ．1 【答案】D 【解析】试题分析：由()32f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭得()()3f x f x =+，又()()11,02f f -==-， (1)(13)(2)f f f ∴-=-+=，(0)(3)f f =，()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以()1131()()(1),(1)(2)(3)0222f f f f f f f -=--=-+=∴++=，由()()3f x f x =+可得()()()()()()()123...2008669(123)(1)(1)(1)1f f f f f f f f f f ++++=⨯+++==-=，故选D.考点：函数的周期性；函数的对称性．例 4 已知()21y f x =-为奇函数，()y f x =与()y g x =图像关于y x =对称，若120x x +=，则()()12g x g x +=（）A. 2B. -2C. 1D. -1 【答案】B【变式演练4】定义在R 上的奇函数)(x f ，对于R x ∈∀，都有)43()43(x f x f -=+，且满足2)4(->f ，mm f 3)2(-=，则实数m 的取值X 围是. 【答案】1-<m 或30<<m 【解析】试题分析：由33()()44f x f x +=-，因此函数()f x 图象关于直线34x =对称，又()f x 是奇函数，因此它也是周期函数，且3434T =⨯=，∵(4)2f >-，∴(4)(4)2f f -=-<，∴(2)(232)(4)f f f =-⨯=-，即32m m-<，解得103x x <-<<或. 考点：函数的奇偶性、周期性. 【高考再现】1. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C2. 【2016高考某某理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2 【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.3. 【2017某某文】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈- 时,()6x f x -=,则f (919)= . 【答案】64.【2016年高考某某理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+=. 【答案】-2 【解析】考点：函数的奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把5()2f -和(1)f ，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可．5. 【2016年高考某某理数】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y-++； 当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'C 关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）. 【答案】②③ 【解析】考点：对新定义的理解、函数的对称性.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．6. 【2016高考某某卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -=，则(5)f a 的值是. 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=， 因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.【反馈练习】1. 【2018届某某省惠东县惠东高级中学高三适应性考试数学（文）试题】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A. y =()f x 的图像关于点（1,0）对称B. ()f x 在（0,2）单调递减C. y =()f x 的图像关于直线x =1对称D. ()f x 在（0,2）单调递增 【答案】C2. 【2017届某某市巴蜀中学高三下学期期中（三模）考试数学（文）试题】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()31xf x =-，则()9f =（ ）A. -2B. 2C. 23-D. 23【答案】D【解析】由()()22f x f x -=+得函数是周期为4的周期函数，且为奇函数，故()()()()12911313f f f -==--=--=. 3. 【2018届某某省中原名校（即豫南九校）高三上学期第二次质量考评数学（文）试题】定义在上的奇函数，满足，当，，则（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】∵，∴f （x ）的图象关于直线x =1对称，又f （x ）是奇函数，∴f （x ）=f （2-x ）=-f （x-2），∴f （x+4）=-f （x+2）=f （x ），∴f （x ）的周期为4．,故选C4. 【2018届某某省永州市高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题】定义在上的偶函数满足，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】C5. 【某某省某某市普通高中2018届高三一模考试卷（文科）数学试题】已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,作图如下：，四个交点分别关于对称，所以零点之和为，选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数X围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．6. 【2018届某某省庄河市高级中学、某某市第二十中学高三上学期第一次联考数学（理）试题】设是定义在上的奇函数，且其图象关于对称，当时，，则的值为（ ）A. -1,B. 0C. 1D. 不能确定 【答案】C7．【2018届某某省某某市第一中学毕业年级第二模拟考试理科数学试题】已知函数()y f x =的周期为2，当[]0,2x ∈时，()()21f x x =-，如果()()5log 1g x f x x =--，则函数()y g x =的所有零点之和为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D8．【2017届某某省某某市高三下学期第二次统测数学（文）试题】定义“函数()y f x =是D 上的a 级类周期函数” 如下: 函数(),D y f x x =∈，对于给定的非零常数 a ，总存在非零常数T ，使得定义域D 内的任意实数x 都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的周期. 若()y f x =是[)1,+∞上的a 级类周期函数，且1T =，当[)1,2x ∈时，()21f x x =+,且()y f x =是[)1,+∞上的单调递增函数，则实数a 的取值X 围为（ ）A. 5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. [)2,+∞ C. 5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. [)10,+∞ 【答案】C9．【2018届某某省某某市第一中学高三上学期第三次考试数学（理）试题】定义在上的奇函数满足，则__________．【答案】-2【解析】∵函数f （x ）满足f （-x ）=，故函数f （x ）为周期为3的周期函数， ∵f（2014）=2， ∴f（1）=2，又∵函数f （x ）为定义在R 上的奇函数， ∴f（﹣1）=﹣f （1）=﹣2， 故答案为：﹣2．点睛:根据函数奇偶性的性质结合条件判断函数的周期性进行求解即可.10．【2018届某某省某某市第二中学高三7月月考数学（文）试题】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x R ∈，满足()()10f x f x ++=，且当01x <<时，()13x f x +=，则()()3log 184f f +=__________．【答案】6【解析】∵f (x )是定义在R 上的奇函数,对任意的x ∈R ,满足f (x +1)+f (x )=0， ∴f (x +1)=−f (x )， 则f (x +2)=−f (x +1)=f (x )，则函数f (x )是周期为2的周期函数，据此可得：()()()()()()()()3log 2133333log 18log 18log 9log 236,44400,log 184 6.f f f f f f f f +=-====-==∴+=11．【2018届某某省某某市第一中学高三上学期第三次考试数学（文）试题】若函数满足，且在上单调递增，则实数的最小值等于__________．【答案】112. 【2017届某某省某某大学附属中学高三第八次模拟考试数学（理）试题】已知函数()()()22sin 122xf x x x x π=+-+,x R ∈. （Ⅰ）请判断方程()0f x =在区间[]2017,2017-上的根的个数，并说明理由；（Ⅱ）判断()f x 的图像是否具有对称轴，如果有请写出一个对称轴方程，若不具有对称性，请说明理由；（Ⅲ）求证：22122215sin 2ni i f i π=-⎛⎫⎪⎝⎭<-∑． 【答案】（1）4035;;（2）见解析．（3）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅱ） ()f x 具有对称性，猜想()f x 的对称轴是12x =， 下面进行验证：()()()()()22sin 1111x f x f x x x ππ--==⎡⎤-++⎣⎦猜想成立。

判断周期函数的口诀
判断函数的周期性和对称性口诀是和对称差周期。

若f（x+a）=-f（x+b），多一个负号。

（x+a）-（x+b）=a-b，周期X2。

周期性，T=2|a-b|。

若f（x+a）=-f（-x+b），多一个负号。

（x+a）+（-x+b）=a+b，轴变中心。

对称性，对称中心（（a+b）/2,0）。

对称性的概念：
1、函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

2、中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

性质：
1、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两条对称轴x=a，x=b则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。

2、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两个对称中心A（a，0），B（b，0）则函数f （x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。

3、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B（b，0）（a ≠b），则函数f（x）是周期函数，且周期T=4|b-a|（不一定为最小正周期）。

周期性与对称性【知识点讲解】1、周期性(1)如果()()f x a f x +=-(0a ≠),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a =(2)如果1()()f x a f x +=(0a ≠),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a =.(3)如果1()()f x a f x +=-(0a ≠),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a =.(4)如果()()f x a f x c ++=(0a ≠),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a =.(5)如果()()f x a f x b +=+(0,0a b ≠≠),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期||T a b =-.(6)如果()()()f x f x a f x a =++-(0a ≠),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期6T a =.2、对称性（包括奇偶性）(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；(2)若函数y ＝f (x ＋a )是奇函数，即f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝0恒成立，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；（3）若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．（4）若函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称.（5）若函数f (x )满足f (a ＋x )＝－f (b －x )，则y ＝f (x（6）若函数f (x )满足f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则函数f (x （7）指数函数（易忽略点）()x n f x a m =+(01,0)a a mn >≠≠且的对称中心为(log ,)2man m.（还可以在数列求和中出现）3、解题导语做此类问题要注意记住上面一些结论并善于利用。