专题02 函数与方程及函数的应用-2018年高考数学文考纲解读 2

2018年高考数学考纲与考试说明解读2018年高考数学考纲与考试说明解读专题一：函数、极限与导数的综合问题（一）不等式、函数与导数部分考查特点分析与建议类年份全国Ⅰ全国Ⅱ全国Ⅲ别2 / 883 / 88全国课标卷考查内容分析（考什么）（一）结论：考查的核心知识为:函数的概念、函数的性质、函数的图象、导数的应用函数的概念：函数的定义域、值域、解析式（分段函数）;函数的性质：函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性;函数的图象：包含显性与隐性；导数的应用：导数的概念及其几何意义;利用导数求单调区间、极值、最值与零点；结合函数的单调性解不等式或证明不等式、求参数范围．4 / 88（二）试题题型结构：全国卷基本上是2道选择题或填空题、1道解答题，共3道题.分值为22分．（三）试题难度定位：全国卷对函数与导数的考查难度相对稳定，选择、填空题中，有一道为中等难度，另一道作为选择、填空的“压轴题”进行考查；解答题均放置于“压轴”位置．小题考点可总结为八类：（1）分段函数；（2）函数的性质；（3）基本函数；（4）函数图像；（5）方程的根（函数的零点）；（6）函数的最值；（7）导数及其应用；（8）定积分。

解答题主要是利用导数处理函数、方程和5 / 88不等式等问题，有一定的难度，往往放在解答题的后面两道题中的一个．纵观近几年全国新课标高考题，常见的考点可分为六个方面：（1）变量的取值范围问题；（2）证明不等式的问题；（3）方程的根（函数的零点）问题；（4）函数的最值与极值问题；（5）导数的几何意义问题；（6）存在性问题。

考点：题型1 函数的概念例1 有以下判断：①f(x)＝|x |x与g(x)＝⎩⎨⎧1 x≥0－1 x<0表示6 / 887 / 88同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________.题型2 函数的概念、性质、图象和零点（2017年全国新课标Ⅰ卷理科第8题） 例 2、已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A. 12-B.13C.12D. 1C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee e x x x x x x g x ---+----=-=-='，当()0g x '=时， 1x =；当1x <时， ()0g x '<，函数()g x 单8 / 88调递减；当1x >时， ()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x xx=-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a =.故选C.例3、（2012理科）（10） 已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）B9 / 88（1）定义域 （2）奇偶性 （3）对称性 （4）单调性（求导） （5）周期性 （6）特征点 （7）变化趋势1.考查角度(1)以指、对、幂函数为载体考查函数的单调性、奇偶性等性质;(2)考查分段函数的求值以及指数、对数的运算;(3)函数图象的考查主要是函数图象的识别及应用;(4)高考一般不单独考查函数零点的个数以及函数零点所在区间,有时在导数中考查函数的零点问题;(5)函数与方程的考查既可以是结合函数零点存在性定理或函数图象判断零点的存在性,也1,ln(1)y t x x t==+-1'111x t x x -=-=++(1)0,31()034ln 44f f <-=<-10 / 88可以是利用函数零点的存在性求参数的值、范围或判断零点所在区间. 2.题型及难易度选择题或填空题.难度:中等或偏上.2求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋ (k ∈Z)； (6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求.题型3、函数、方程、不等式及导数的综合应用 例3（2013理科）若函数=的图像关于直线2x =-对称，则的最(1)(3)8(1)(5)15f f a f f b -=-=⎧⎧⇒⇒⎨⎨=-=⎩⎩法一：导数求最值问题大值是______. 1616)5()(,910)3(16)()3(16)34)(34()2(max 2222222==⇒-+-=+-=⇒+-=++-+-=-g t g t t t t t g x x x x x x x f 法二：知识点：函数的奇偶性、对称性和导数的应用 数学思想：考查转化、数形结合 体现了多角度、多维度、多层次题型4 函数、方程、不等式及导数的综合应用例4、已知函数()f x =x ﹣1﹣alnx ． （1）若()0f x ≥ ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21111++1+)222n ()(1)(﹤m ，求m 的最小值．解：（1）()f x 的定义域为()0，+∞.①若0a ≤，因为11=-+2＜022f a ln ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不满足题意；②若＞0a ，由()1a x a f 'x x x-=-=知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x=a 是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当a=1时，()0f x ≥. 故a=1（2）由（1）知当()1，+x ∈∞时，1＞0x ln x --令1=1+2nx 得111+＜22nnln ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而 2211111111++1+++1+＜+++=1-＜12222222nn nln ln ln ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故21111+1+1+＜222ne⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而231111+1+1+＞2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以m 的最小值为3.（6）复习重点函数作为几大主干知识之一，其主体知识包括 1个工具：导数研究函数的单调性、极值、最值和证明不等式；1个定理：零点存在性定理； 1个关系：函数的零点是方程的根；2个变换：图象的平移变换和伸缩变换；2大种类：基本初等代数函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、三次函数、指数函数、对数函数、幂函数)和基本初等函数的复合函数(对勾函数、双曲函数、分段函数和其它函数)；2个最值：可行域背景下的二元函数最值和均值不等式背景下的一元函数最值;2个意义：导数的几何意义和定积分的几何意义；3个要素：定义域、值域、解析式；3个二次：二次函数、二次方程、二次不等式；5个性质：单调性、奇偶性、周期性、凸凹性、对称性.关注二阶导数在研究函数中的拓展应用虽然高中数学没有涉及二阶导数的提法和应用，但将函数的导数表示为新的函数，并继续研究函数的性质的试题比比皆是．因此有必要关注二阶导数在研究函数中的拓展应用，但要注意过程性的学习，而不是定理的记忆．① 当a 1≥时，恒有()'≥h x ()00'≥h ，从而()h x 是增函数，()00h =，()0h x ≥在[)0,+∞恒成立② 当a 1时，()h x '在[)0,+∞是增函数，()00=a 10,0,使'-∃h x ()0x 0'=h ，所用当()()0x 0,0时'∈x h x ，从而()h x 是减函数，()00h =，()0≤h x ，所以()0h x ≥在[)0,+∞不恒成立 故1a ≥即为所求.全国（2）卷文设函数f(x)=(1-x 2)e x . （1）讨论f(x)的单调性；（2）当x ≥0时，f(x)≤ax +1，求a 的取值范围. （2）∵0x ≥时，()1f x ax ≤+，∴()211x x e ax -≤+ ∴210x x x e e ax -++≥，令()21x x h x x e e ax =-++， 即[)0,x ∈+∞时，()0h x ≥，而()00h =再令()()22x x x x h x x e xe e a ϕ'==+-+，()()241x x x x e ϕ'=++ 0x ≥时，()0x ϕ'>恒成立. ∴()h x '在[)0,+∞是增函数（理21）已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。

【2018年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)①确定函数零点；②确定函数零点的个数；③根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围．(2)函数简单性质的综合考查．函数的实际应用问题．(3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考查．利用函数性质解决相关的最值．题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图象和性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．【重点、难点剖析】1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．3．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g (x )，即把方程写成f (x )＝g (x )的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.【题型示例】题型 1、函数与方程问题【例1】【2017江苏，14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ .【答案】8【变式探究】【2016高考新课标1卷】函数22x y x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【举一反三】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a的取值范围是________．答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点．①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x ＞a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图①实线部分所示，其图象与直线y ＝b 可能有两个公共点.②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图②实线部分所示，其图象与直线y ＝b 至多有一个公共点.③若a ＞1，则a 3＞a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图③实线部分所示，其图象与直线y ＝b 可能有两个公共点．综上知，a <0或a >1.图① 图② 图③【变式探究】已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是________．【答案】(2，＋∞)不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2>0，且m >0，解得m > 2.故所求实数m 的取值范围是() 2，＋∞.【特别提醒】解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．题型二 函数的零点 例2、 (1)已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(2)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R)，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)答案：C【变式探究】(2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12【方法技巧】1．确定函数零点的常用方法(1)解方程判定法，若方程易求解时用此法．(2)零点存在的判定定理法，常常要结合函数的性质、导数等知识．(3)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解．2．解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解，常用方法为：(1)利用零点存在性定理及已知条件构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求某函数的值域或最值．(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系，从而构建不等式(组)求解．。

函数的应用考点1 函数的零点题组一 函数零点（方程的根）所在区间的判断 调研1 在下列区间中,A B CD 【答案】C【解析】因为1411()e 40,e 20,1042xf x f f ⎛⎫⎛⎫'=+>=-<=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,选C ． ☆技巧点拨☆确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与x 轴的交点来确定. 题组二 函数零点个数的判断 调研2A B C D【答案】C(如图所示)，它们有2个交点，所以函数 2.故选C．☆技巧点拨☆函数零点个数的判断方法（1）解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.题组三函数零点的应用问题调研3 已知函数12log,02,0xx xx>⎧⎪⎨⎪≤⎩，若关于,ABCD【答案】D12log,02,0xx xx>⎧⎪⎨⎪≤⎩时，由图知，故选D．☆技巧点拨☆高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中．常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略．1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：①求出零点，直接比较大小；②确定零点所在区间；③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.考点2 函数模型及其应用题组一二次函数模型的应用调研1 近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:单位:万元)单位:万元)设单位:万元),单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?【解析】(1),此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,万元).(2)由题知,甲城市投资万元,乙城市投资,,解得,,则,,即万元时,的最大值为44万元,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元. 题组二 指数函数、对数函数模型的应用调研 2 在热学中,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,经过,.现有一杯用195F 热水冲的速溶咖啡,放在75F 的房间内,如果咖啡降到105F 需要20分钟,问降温到95F 需要多少分钟?(F 为华氏温度单位,答案精确到0.1，参考数据【解析】依题意,=代入式子得==0.47711010.3010⎛⎫+≈⎪⎝⎭故降温到95F 约需要25.9分钟.调研3 声强级单位,(单位(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为求人听觉的声强级范围;(2)在一演唱会中,请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍?【解析】(1)由题知∴人听觉的声强级范围是(2)由题知.题组三分段函数模型的应用调研4 经市场调查,某商品在过去的100天内的销售量(单位:件)和价格(单位:元)均为时间单位:天)的函数,() 60,1601150,611002t ttt t+≤≤⎧⎪∈⎨-≤≤⎪⎩N,(1);(2)若销售额超过16610元,商家认为该商品的收益达到理想程度,请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度?【解析】(1)由题意知,()()2214012000160,12503000061100,2t t t tt t t t⎧-++≤≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩NN.(2)所以,,元),所以,,元).若销售额超过16610元,,函数单调递减,故只有第61天满足条件.,,,所以第53,54,…,60天,满足条件.即满足条件的天数为第53,54,…,60,61天,共9天.☆技巧点拨☆解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.强化训练1．（百校联盟2018届TOP20一月联考）命题7:12p a-<<，命题:q函数()12xf x ax=-+在()1,2上有零点，则p是q的A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C2．（绵阳市高中2018届第一次诊断性考试）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米.A．13 B．14C ．15D ．16【答案】C3．（河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测（模拟））已知函数()()2,021,0x a x f x a x x ⎧-≤=∈⎨->⎩R ，若函数()f x 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(],1-∞ C ．[1,0)- D ．(]0,1【答案】D 【解析】显然12x =是()f x 的一个零点，故方程20xa -=在(],0-∞上有解.再根据当(,0]x ∈-∞时，021x <≤，可得01a <≤.4．（湖南省衡阳县2018届高三12月联考）某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.10.041,lg20.301==） A ．2022年 B ．2023年 C ．2024年 D ．2025年【答案】C【解析】设从2016年后，第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得：()100110%200n⨯+≥，即1.12n≥，两边取对数可得：lg20.3017.3lg1.10.041n >=≈，则8n ≥， 即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是2024年.故选C.5．（四川省广安、眉山2018届毕业班第一次诊断性考试）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，当03x ≤≤时，()2f x x =-；当3x ≥时，()()2f x f x =-，则函数()|ln |||y f x x =-的零点个数是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．6【答案】C6．（广西南宁市2018届高三（上）9月摸底）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当x ∈[﹣2，0]时，()12xf x ⎛=- ⎝⎭，若在区间（﹣2，6）内关于x 的方程()log 2)(0a f x x -+=（a＞0且a ≠1）有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是 A ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭B ．（1，4）C ．（1，8）D ．（8，+∞）【答案】D 【解析】∵对于任意的x ∈R，都有()()22f x f x -=+，∴()()()4[22][2f x f x f x +=++=+()2]f x -=，∴函数()f x 是一个周期函数，且4T =，又∵当[]20x ∈-，时，()1xf x =-⎝⎭，且函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若在区间()2,6-内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有4个不同的实数解，则函数()y f x =与()()log 21a y x a =+>的图象在区间()2,6-上有4个不同的交点，如下图所示：又()()()2261f f f -===，则对于函数()log 2a y x =+，由题意可得，当6x =时的函数值小于1，即log 81a <，由此解得8a >，∴a 的取值范围是()8+∞，，故选D ． 7．（2017-2018,且【答案】998．（北京东城27中学2018届高三上学期期中考试）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，*x ∈N ）的关系为21825y x x =-+-，则当每台机器__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元． 【答案】5 8 【解析】2518y x x x =-+-2518x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭8≤．当且仅当5x =时，等号成立，max8y x ⎛⎫=⎪⎝⎭， 即机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元/年．9．（2017-2018学年天津市南开中学2018三个不同的零点,__________. 【答案】10．（北京市海淀区2018届高三上学期期中考试）设在海拔x （单位：m ）处的大气压强为y （单位：kPa ），y 与x 的函数关系可近似表示为100e ax y =，已知在海拔1000 m 处的大气压强为90 kPa ，则根据函数关系式，在海拔2000 m 处的大气压强为__________kPA ． 【答案】81【解析】将()1000,90代入100e ax y =，可得ln 0.91000a =，则y 与x 的函数关系可近似表示为2000x =时，()2ln0.9100e 81y ==，故填81.11．（北京市昌平区2018届高三上学期期末考试）若函数()4,3log ,3a x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩（0a >且1a ≠），函数()()g x f x k =-.①若13a =，函数()g x 无零点，则实数k 的取值范围是__________； ②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[)1,1- (]1,3 【解析】①a =13时，画出函数()f x 的图象，如图所示：若函数()g x 无零点，则y =k 和()y f x =无交点， 结合图象，可知﹣1≤k ＜1；②若0＜a ＜1，显然()f x 无最小值，故a ＞1， 结合log a 3=1，解得a =3， 故a ∈（1，3].12．（2017-2018学年上海市杨浦区高三数学一模）如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）()3y x l x =-，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）6l x =时，2max 12l y =.∴当且仅当6lx =时，2max 12l y =.综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l时，最大面积为212l .13．（2017-2018学年山东省德州市2018届高三上学期期中考试）水培植物需要一种植物专用营养液,已知个单位的营养液,(克/升)随着时间 (天)变化的函其中()()30235(25)xx f x x x x +⎧≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩,若多次投放,则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和,根据经验,当水中营养液的浓度不低于4(克/升)时,它才能有效.(1)若只投放一次2个单位的营养液,则有效时间最多可能达到几天?(2)若先投放2个单位的营养液,3,要使接下来的2天中,营养液能够持续有效,. 【答案】(1) 3；14．（2017-2018学年湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三10月联考）省环保研究所对某市市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污与时刻时)的关系为,且的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作(1)令[]0,24t x=∈.;(2)(3)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前该市市中心的综合放射性污染指数是否超标.【答案】(2)()71,0642113,342a aM aa a⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩；(3)当49a≤≤时不超标,当4192a<≤时超标.真题链接1．（2016四川理科）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）A．2018年B．2019年C ．2020年D ．2021年【答案】B2．（2017新课标全国Ⅲ理科）设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2,π)单调递减 【答案】D【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D ．【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是看解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x 即可；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.3．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C4．（2015四川理科）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系e kx by +=（e 2.718= 为自然对数的底数，k ，b 为常数）.若该食品在0 C 的保鲜时间是192小时，在22 C的保鲜时间是48小时，则该食品在33 C的保鲜时间是_________小时.【答案】24。

（二）函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）1．函数（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.（5）会运用函数图象理解和研究函数的性质.2．指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点.（4））知道指数函数是一类重要的函数模型.3．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.（3）知道对数函数是一类重要的函数模型..（4）了解指数函数与对数函数互为反函数（a>0，且a≠1 ).4．幂函数（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数12321,,,y x y x y x y y xx=====，的图象，了解它们的变化情况.5．函数与方程（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数. （2）根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解. 6．函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.1．涉及本专题知识的考题，大多以选择题、填空题的形式出现，可易可难，预测2018年高考仍然会出小题.2．函数的概念及其表示：考查函数的概念、定义域和值域，函数的解析表示法，其中常以分段函数为载体考查函数、方程、不等式等知识的综合.3．函数的性质：考查单调性，可以从函数图象、单调性定义、导数来理解；考查奇偶性，可以从图象和定义入手，尤其要注意抽象函数奇偶性的判断；对称性和周期性结合，用以考查函数值重复出现的特征以及求解析式.4．基本初等函数：比较大小，基本初等函数的图象和性质，基本初等函数的综合应用，其中常以分段函数为载体考查函数、方程、不等式等知识的综合.考向一 函数的定义域、值域样题1 （2017年山东卷文）设()(),0121,1x x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =得2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．样题2（2016年新课标Ⅱ卷文）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y =10lg x的定义域和值域相同的是 A ．y =xB ．y =lg xC ．y =2xD ．y x=【答案】D 【解析】lg 10xy x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．【名师点睛】对于基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解.考向二 函数的单调性、奇偶性的应用样题3 （2017新课标全国Ⅱ文科）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【答案】D样题4（2017北京文科）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数【答案】B样题 5 （2017天津文科）已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】由题意可得221(log )(log 5)5a f f =-=，且22log 5log 4.12>>，0.8122<<，所以0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性可得0.822(log 5)(log 4.1)(2)f f f >>，即a b c >>，即c b a <<．故选C ．【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．考向三 函数图象的判断样题6 (2016高考新课标Ⅰ) 函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D样题7 函数()xf x x x=+的图象是AB C D【答案】C【解析】对x 进行讨论，将函数()xf x x x=+转化为所熟知的基本初等函数即可作图． 当x ＞0时，()1f x x =+，故图象为直线1y x =+上0x >的部分； 当x ＜0时，()1f x x =-，故图象为直线1y x =-上0x <的部分； 当x =0时，()f x 无意义.综上，1,0()1,0x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩的图象为直线1y x =+上0x >的部分，1y x =-上0x <的部分，即两条射线.故选C.【名师点睛】作分段函数图象的关键是根据定义域的不同部分，分别由解析式作出对应的图象.作图时一定要注意每段自变量的取值范围，且要标出关键点的横、纵坐标.考向三 函数的最值问题样题8 （2017浙江）若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B样题9 （2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________． 【答案】9(,]2-∞【解析】[][]41,4,4,5x x x∈+∈，分类讨论：①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x =--+=--， 函数的最大值为9245,2a a -=∴=，舍去； ②当4a ≤时，()445f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立； ③当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得92a =或92a <． 综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]44,5x x+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．样题10 (2016北京)设函数33,()2,⎧-≤=⎨->⎩x x x af x x x a.①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________.【答案】2 (,1)-∞- 考向四 函数的零点问题样题11 （2017年课标Ⅲ卷文科）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C样题12 （2017年江苏卷）设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n-==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是_________． 【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质，。

专题02函数的概念与基本初等函数1．【2019年天津文科05】已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：由题意，可知：a＝log27＞log24＝2，b＝log38＜log39＝2，c＝0.30.2＜1，∴c＜b＜a．故选：A．2．【2019年天津文科08】已知函数f（x）若关于x的方程f（x）x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（）A．[，] B．（，] C．（，]∪{1} D．[，]∪{1}【解答】解：作出函数f（x）的图象，以及直线y x的图象，关于x的方程f（x）x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，即为y＝f（x）和y x+a的图象有两个交点，平移直线y x，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，可得a或a，考虑直线与y在x＞1相切，可得ax x2＝1，由△＝a2﹣1＝0，解得a＝1（﹣1舍去），综上可得a的范围是[，]∪{1}．故选：D．3．【2019年新课标3文科12】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数∴，∵log34＞log33＝1，，∴0f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴，故选：C．4．【2019年新课标2文科06】设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（）A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+1【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）＝e﹣x﹣1，∵设f（x）为奇函数，∴﹣f（x）＝e﹣x﹣1，即f（x）＝﹣e﹣x+1．故选：D．5．【2019年新课标1文科03】已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．6．【2019年北京文科03】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y【解答】解：在（0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞）上都是减函数．故选：A．7．【2018年新课标2文科12】已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C．8．【2018年新课标1文科12】设函数f（x），则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）【解答】解：函数f（x），的图象如图：满足f（x+1）＜f（2x），可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0，解得x∈（﹣∞，0）．故选：D．9．【2018年新课标3文科07】下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1﹣x）B．y＝ln（2﹣x）C．y＝ln（1+x）D．y＝ln（2+x）【解答】解：首先根据函数y＝lnx的图象，则：函数y＝lnx的图象与y＝ln（﹣x）的图象关于y轴对称．由于函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称．则：把函数y＝ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y＝ln（2﹣x）．即所求得解析式为：y＝ln（2﹣x）．故选：B．10．【2018年北京文科05】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：．故选：D．11．【2018年天津文科05】已知a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：∵a，b，c，且5，∴，则b，∴c＞a＞b．故选：D．12．【2017年北京文科05】已知函数f（x）＝3x﹣（）x，则f（x）（）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数【解答】解：f（x）＝3x﹣（）x＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y＝3x为增函数，y＝（）x为减函数，故函数f（x）＝3x﹣（）x为增函数，故选：B．13．【2017年北京文科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053C．1073D．1093【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴1093，故选：D．14．【2017年天津文科06】已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝﹣f（），b＝f（log24.1），c＝f （20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，∴a＝﹣f（）＝f（log25），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．15．【2017年天津文科08】已知函数f（x），设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．C．D．【解答】解：根据题意，函数f（x）的图象如图：令g（x）＝|a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，若不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得﹣2≤a≤2，故选：A．16．【2018年新课标1文科13】已知函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，则a＝．【解答】解：函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，可得：log2（9+a）＝1，可得a＝﹣7．故答案为：﹣7．17．【2018年新课标3文科16】已知函数f（x）＝ln（x）+1，f（a）＝4，则f（﹣a）＝．【解答】解：函数g（x）＝ln（x）满足g（﹣x）＝ln（x）ln（x）＝﹣g（x），所以g（x）是奇函数．函数f（x）＝ln（x）+1，f（a）＝4，可得f（a）＝4＝ln（a）+1，可得ln（a）＝3，则f（﹣a）＝﹣ln（a）+1＝﹣3+1＝﹣2．故答案为：﹣2．18．【2018年天津文科14】已知a∈R，函数f（x）．若对任意x∈[﹣3，+∞），f （x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是．【解答】解：当x≤0时，函数f（x）＝x2+2x+a﹣2的对称轴为x＝﹣1，抛物线开口向上，要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则只需要f（﹣3）≤|﹣3|＝3，即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）＝﹣x2+2x﹣2a，在射线y＝x的下方或在y＝x上，由﹣x2+2x﹣2a≤x，即x2﹣x+2a≥0，由判别式△＝1﹣8a≤0，得a，综上a≤2，故答案为：[，2]．19．【2017年新课标2文科14】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，则f（2）＝．【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，∴f（﹣2）＝﹣12，又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（2）＝12，故答案为：1220．【2017年新课标3文科16】设函数f（x），则满足f（x）+f（x）＞1的x的取值范围是．【解答】解：若x≤0，则x，则f（x）+f（x）＞1等价为x+1+x1＞1，即2x，则x，此时x≤0，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，x，当x0即x时，满足f（x）+f（x）＞1恒成立，当0≥x，即x＞0时，f（x）＝x1＝x，此时f（x）+f（x）＞1恒成立，综上x，故答案为：（，+∞）．21．【2017年北京文科11】已知x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2的取值范围是．【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2＝x2+（1﹣x）2＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，则令f（x）＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x，开口向上，所以函数的最小值为：f（）．最大值为：f（1）＝2﹣2+1＝1．则x2+y2的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．1．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】若函数的图象关于y轴对称，则实数a的值为（）A．2 B．4 C．2±D．4±【答案】C【解析】f x为偶函数.由于为奇函数，故也为奇函数.而依题意，函数()，故，即，解得2a =±.故选：C.2．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷)】己知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(]0-∞，为增函数，且()30f =，则不等式的解集为（ ）A ．()10-，B ．()12-，C ．()02，D ．()2，+∞ 【答案】B 【解析】根据题意，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数， 所以函数f （x ）在[0，+∞）上为减函数，由f （3）＝0，则不等式f （1﹣2x ）＞0⇒f （1﹣2x ）＞f （3）⇒|1﹣2x|＜3， 解可得：﹣1＜x ＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）. 故选：B ．3．【天津市河北区2019届高三一模】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，则（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】∵f （x ）为偶函数∴∵f （x ）在[0，+∞）内单调递减，∴，即故选：C4．【天津市红桥区2019届高三二模】已知 1.22a =，52log 2=b ，1ln 3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】A【解析】且即a b c ∴>>本题正确选项：A5．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数，若()f a b =，则()4f a -=（ ）A ．bB ．2b -C ．b -D ．4b -【答案】B 【解析】 因为故函数()f x 关于点（2,1）对称，则()4f a -=2b - 故选：B6．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数，则（ ）A ．()f x 在()0,1单调递增B ．()f x 的最小值为4C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的图象关于点()1,2对称【答案】D 【解析】 由题意知：当()0,1x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递减，A 错误；当10x -<时，()0f x <，可知()f x 最小值为4不正确，B 错误；，则()f x 不关于1x =对称，C 错误；，则()f x 关于()1,2对称，D 正确.本题正确选项：D7．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标I)】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足，当01x ≤≤时，2()f x x =，则（ ）A ．2019B ．0C ．1D ．-1【答案】B 【解析】 由得：()f x 的周期为4又()f x 为奇函数()11f ∴=，，，即：本题正确选项：B8．【天津市红桥区2019届高三一模】若方程有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．()1,0-C ．()0,4D ．【答案】D 【解析】 解：y，画出函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象，由图象可以看出，y ＝kx ﹣2图象恒过A （0，﹣2），B （1，2），AB 的斜率为4， ①当0＜k ＜1时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有两个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有两个不同的实数根；②当k ＝1时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有1个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有1个不同的实数根；③当1＜k ＜4时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有两个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有两个不同的实数根；④当k 0≤时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有1个交点.因此实数k 的取值范围是0＜k ＜1或1＜k ＜4. 故选：D ．9．【天津市部分区2019届高三联考一模】设,m n R ∈，则“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】在R 上递减，∴若充分性成立，若112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭，则，必要性成立，即“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的充要条件，故选C.10．【广东省2019届高考适应性考试】某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。

专题02 函数问题的解题规律一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和问题7.分段函数问题8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题10.任意存在问题二．知识点【学习目标】1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；3．了解简单的分段函数，并能简单应用；4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．【知识要点】1．函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}⊆B.2．映射的概念设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A 到集合B的映射．3．函数的特点①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素；③关键是对应法则．4．函数的表示法函数的表示法：图示法、解析法．5．判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等．6．分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数．注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式．三．典例分析及变式训练（一）定义域陷阱例1. 【曲靖一中2019模拟】已知，若函数在（﹣3，﹣2）上为减函数，且函数=在上有最大值，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由在上为减函数，可得；由在上有最大值，可得，综上可得结果,.【解析】在上为减函数，，且在上恒成立，，，又在上有最大值，且在上单调递增，在上单调递减，且，，解得，综上所述，，故选A.【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.故答案为：D.练习2．已知函数则__________．【答案】1008【解析】分析：由关系，可类比等差数列一次类推求值即可.详解：函数，则，故答案为：1008.点睛：可类比“等差数列”或函数周期性来处理.（七）分段函数问题例7．【河北省廊坊市2019届高三上学期第三次联考】若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】通过函数的单调性及存在负的零点，列出不等式，化简即可．【详解】当时，,所以函数在上只能是单调递增函数，又存在负的零点，而当时，f(0)=1+a，当时，f（0）=3a-2，0<3a-21+a，解得.故选B.【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论思想，转化思想以及计算能力．练习1.已知函数，则f（1）- f（9）=（）A．﹣1 B．﹣2 C． 6 D． 7【答案】A【解析】利用分段函数，分别求出和的值，然后作差得到结果.【详解】依题意得，，所以，故选.【点评】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.练习2．已知,那么等于( )A． 2 B． 3 C． 4 D． 5【答案】A【解析】将逐步化为,再利用分段函数第一段求解.【详解】由分段函数第二段解析式可知，，继而,由分段函数第一段解析式，，故选A.【点睛】本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.（八）函数的解析式求法例8. （1）已f ()=，求f(x)的解析式.（2）．已知y =f(x)是一次函数，且有f [f(x)]=9x＋8，求此一次函数的解析式【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用换元法即可求解；（2）已知函数是一次函数，可设函数解析式为f(x)=ax＋b，再利用待定系数法列出关于a、b的方程组即可求解出a、b的值.【详解】（1）设(x≠0且x≠1)（2）设f(x)=ax＋b，则f[f(x)]=af(x)＋b=a(ax＋b)＋b=a2x＋ab＋b=9x＋8或所以函数的解析式为.【点睛】本题考查函数解析式的求解，解题中应用了换元法和待定系数法，待定系数法的主要思想是构造方程（组），对运算能力要求相对较高，属于中档题.练习1.(1) 已知是一次函数,且满足求 ;(2) 判断函数的奇偶性.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）用待定系数法求一次函数解析式.（2）结合分段函数的性质，分别判断各定义域区间内， f（-x）与f（x）的关系，即可判断函数奇偶性.【点评】本题考查了待定系数法求一次函数，考查了函数的奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.再结合分段函数的分段区间，以及对应的解析式，判断关系式f（-x）=f(x)或f（-x）=-f（x）是否成立.练习2．已知函数对一切实数x，y都有f（x+y)﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）已知a，b∈R，当时，求不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合A．【答案】（1）f（0）=﹣2（2）f（x）=x2+x﹣2（3）【解析】（1）令，可得，再根据可得；（2）在条件中的等式中，令，可得，再根据可得所求的解析式；（3）由条件可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立，根据二次函数的知识求出函数上的值域即可得到的范围．【详解】（1）根据题意，在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令x=﹣1，y=1，可得，又，∴．（2）在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）又，∴．（3）不等式f（x）+3＜2x+a等价于x2+x﹣2+3＜2x+a，即x2﹣x+1＜a．由当时不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立．设，则在上单调递减，∴，∴．∴．【点评】（1）解决抽象函数（解析式未知的函数）问题的原则有两个：一是合理运用赋值的方法；二是解题时要运用条件中所给的函数的性质．（2）解答恒成立问题时，一般采用分离参数的方法，将问题转化为求具体函数最值的方法求解，若函数的最值不存在，则可用函数值域的端点值来代替．练习3.如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】B【解析】当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2-x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2-x，∴EM=x-（2-x）=2x-2，∴S△ENM=（2x-2）2=2（x-1）2，∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，∴y=．故选B．练习4.如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙M的半圆形M→A→C→B→M路径匀速慢跑，那么李老师离出发点M的距离与时间x之间的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，得从M到A距离在增加，由A经B到C与M的距离都是半径，由B到M距离逐渐减少，故选D.（九）恒成立问题求参数范围问题例9. 【湖北省武汉市第六中学2018-2019学年调研数学试题】若函数的定义域为，值域为，则的取值范围A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数的定义域、值域结合函数单调性求出的取值范围【详解】由函数的对称轴为且函数图像开口向上则函数在上单调递减，在上单调递增，当且仅当处取得最小值由值域可知，故在上函数单调递增，在处取得最大值故，解得综上所述，故选【点睛】本题在知道函数的定义域与值域后求参量的取值范围，在解答题目时结合函数的单调性判定取值域的情况。

1．已知函数f (x )＝x －a x，若116<a <12，则f (x )零点所在区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析 根据零点存在性定理，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，故选C.答案 C2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，e)D ．(3，4)解析 利用零点存在性定理得到f (1)·f (2)＝(ln 2－2)·(ln 3－1)<0，故选B. 答案 B3．函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4) 解析 利用零点存在性定理得到f (3)·f (2)<0，故选C. 答案 C4．设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为( ) A ．4 B ．2C ．－4D ．与m 有关答案 A5．直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．[－1，2)B ．[－1，2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－1]解析 直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m的图象恰有三个公共点，即方程x 2＋4x ＋2＝x (x ≤m )与x＝2(x >m )共有三个根．∵x 2＋4x ＋2＝x 的解为x 1＝－2，x 2＝－1，∴－1≤m <2时满足条件，故选A. 答案 A6．在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12 000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是( )A ．32人B ．35人C ．40人D ．45 人解析 设旅行团的人数为x 人，每张机票收费为m 元，旅行社获得的机票利润为y ， 当1≤x ≤30且x ∈N 时，m ＝800，y max ＝800×30－12 000＝12 000， 当30<x ≤45且x ∈N 时，m ＝800－20(x －30)＝1 400－20x ，则y ＝(1 400－20x )x －12 000＝－20x 2＋1 400x －12 000，对应的抛物线开口向下，因为x ∈N ，所以当x ＝－ 1 4002×（－20）＝35，函数取得最大值．所以当旅行社人数为35时，旅行社可获得最大利润．故选B. 答案 B7．一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人( )A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但其间最近距离为7米答案 D8．某人在三个时间段内，分别乘摩托车、汽车和火车走了整个行程的三分之一，如果该人乘摩托车、汽车和火车的速度分别为v 1，v 2，v 3，则该人整个行程的平均速度是( )A.v 1＋v 2＋v 33B.1v 1＋1v 2＋1v 33C.3v 1v 2v 3D.31v 1＋1v 2＋1v 3解析 设整个行程为3S ，乘摩托车、汽车和火车的时间分别为t 1，t 2， t 3，则t 1＝S v 1，t 2＝S v 2，t 3＝S v 3，整个行程的平均速度为3St 1＋t 2＋t 3＝3SSv 1＋S v 2＋S v 3＝31v 1＋1v 2＋1v 3，选D.答案 D9．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( ) A ．5 km 处 B ．4 km 处 C ．3 km 处D ．2 km 处解析 设仓库建在离车站x km 处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，根据已知数据可得k 1＝20，k 2＝0.8，两项费用之和y ＝20x＋0.8x ≥220x×0.8x ＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，故仓库应建在离车站5 km 处．答案 A10．设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3]B ．[－3，0)C ．(－∞，3]D ．(0，3]答案：C11．在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )(导学号 55460092) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0解析：y ＝x cos x 为奇函数，y ＝lg x 2－2与y ＝x sin x 为偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数． 答案：B12．函数f (x )＝1－3xx －1的定义域为( )A ．(－∞，0]B ．[0，1]∪[1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ≥0，x ≠1，解得x ≤0且x ≠1，即x ≤0.答案：A13．函数y ＝2xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x－1的图象大致为( )解析：∵f (x )＝2xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x －1＝2x cos 6x4x －1，∴f (－x )＝2－x cos （－6x ）4－x－1＝－2xcos 6x 4x －1＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，排除A ；当x →＋∞时，总会存在x ，使cos 6x ＜0，故排除B ，C ，选D. 答案：D14．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则“同根函数”是( ) A ．f 2(x )与f 4(x ) B ．f 1(x )与f 3(x ) C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )答案：A15．已知函数f (x )＝x 2＋1－ax (其中a ＞0)在区间[0，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝x 2＋1－ax ，∴f ′(x )＝xx 2＋1－a . 又函数f (x )＝x 2＋1－ax (其中a ＞0)在区间[0，＋∞)上是单调函数，且当a ≥1时，f ′(x )＜0，而0＜a ＜1时，f ′(x )的符号不确定，故当a ∈[1，＋∞)时，f (x )在[0，＋∞)上单调递减． 答案：[1，＋∞)16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．答案：217．已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)．图① 图②(1)若f (x )的图象如图①所示，求a 、b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a 、b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )的图象过点(2，0)，(0，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，解得a ＝3，b ＝－3. (2)∵f (x )单调递减， ∴0＜a ＜1，又f (0)＜0，即a 0＋b ＜0，[ ∴b ＜－1.即a 的取值范围是(0，1)，b 的取值范围是(－∞，－1)． (3)画出y ＝|f (x )|的草图(图略)，知当m ＝0或m ≥3时，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解． ∴实数m 的取值范围是{0}∪[3，＋∞)． 18．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．19．已知函数f (x )＝a －22x ＋1.(1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )＜f (2)的x 的范围． 解：(1)f (0)＝a －220＋1＝a －1.(2)∵f (x )的定义域为R ， ∴任取x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a －22x 1＋1－a ＋22x 2＋1＝2·（2x 1－2x 2）（1＋2x 1）（1＋2x 2）∵y ＝2x在R 上单调递增且x 1＜x 2， ∴0＜2x 1＜2x 2，[]∴2x 1－2x 2＜0，2x 1＋1＞0，2x 2＋1＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在R 上单调递增． (3)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x＋1＝－a ＋22x ＋1， 解得a ＝1(或用f (0)＝0去解)． ∴f (ax )＜f (2)即为f (x )＜f (2)， 又∵f (x )在R 上单调递增， ∴x ＜2.∴不等式的解集为(－∞，2)．20．设函数f (x )＝x ＋1x的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．。

第8讲函数与方程、函数的模型及其应用最新考纲 1.了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y ＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根. 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系3.(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0).(2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0).(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0).(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(b>0，b≠1，a≠0).(5)对数函数模型：y＝m log a x＋n(a>0，a≠1，m≠0).4.指数、对数、幂函数模型性质比较1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).()(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x).()解析(1)f(x)＝lg x的零点是1，故(1)错.(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(必修1P88例1改编)函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3解析由已知得f′(x)＝e x＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1e－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点.答案 B3.(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A.y＝cos xB.y＝sin xC.y＝ln xD.y＝x2＋1解析由函数是偶函数，排除选项B、C，又选项D中函数没有零点，排除D，y＝cos x为偶函数且有零点.答案 A4.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到()A.100只B.200只C.300只D.400只。

函数的奇偶性与周期性主标题：函数的奇偶性与周期性副标题：为学生详细的分析函数的奇偶性与周期性的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：函数，奇偶性，周期性难度：3重要程度：5考点剖析：1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．命题方向：高考对本内容的考查主要有：①利用函数的图象与性质求函数定义域、值域与最值，尤其是考查对数函数的定义域、值域与最值问题；②借助基本初等函数考查函数单调性与奇偶性的应用，尤其是考查含参函数的单调性问题或借助单调性求参数的范围，主要以解答题的形式考查；③求二次函数的解析式、值域与最值，考查二次函数的最值、一元二次方程与不等式的综合应用；④在函数与导数的解答题中，考查指数函数、对数函数的求导、含参函数单调性的讨论、函数的极值或最值的求解等．规律总结：1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f －x f x＝±1(f (x )≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．知 识 梳 理1．函数的奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．。