第五章 刚体力学习题课

r O
m1
m1 g T = m1a Tr = J 解： a = r v0 at = 0 m1 g 1 2 代入J= mr 有a = = 6.32m / s 2 2 m1 m 2 v0 t = = 0.0095s t
r O

T
a
m1
m1 g
【例】自测提高（15）如图5-23所示，转轮A、B可 分别独立地绕光滑的固定轴O转动，它们的质量 分别为mA＝10 kg和mB＝20 kg，半径分别为rA和 rB．现用力fA和fB分别向下拉绕在轮上的细绳且使 绳与轮之间无滑动．为使A、B轮边缘处的切向加 速度相同，相应的拉力fA、fB之比应为多少？（其 1 2 J A = m A rA 中A、B轮绕O轴转动时的转动惯量分别为 2 1 2 和 J B = mB rB ） B r
解：（1）设当人以速率v沿相对圆盘转动相反的方向走动时， 圆盘对地的绕轴角速度为ω，则人对地的绕轴角速度为
w = w
v 1 R 2 =w 2v R (1)
视人与盘为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量 守恒，设盘的质量为M，则人的质量为M/10，有：
2 2 1 M R 1 M R 2 2 MR w0 = MR w w 10 2 2 10 2 2
600
解：机械能守恒（主要零势点选取） 1 1 2 2 mghc = J w ( J = ml ) 2 3
l 1 mg (1 cos q ) = J w 2 2 2 3g w= = 3 (rad / s) 2l
例题5-3一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘 状定滑轮， 绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物，如图52a所示．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑．两个定滑轮 的转动惯量均为 ．将由两个定滑轮以及质量为m和2m的重物 组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力．
第五章
刚体力学
刚体定轴转动 力矩M=rFsinq
定轴转动定律 M=Ja
力矩的功
W = M (q )dq
角动量定理 的微分形式 dL M= dt
描述转动的物理量 角位置 q 角速度 w = 角加速度
dq dt
转动动能 1 E k = Jw 2 2
动能定理
1 1 2 W = Jw 2 Jw 0 2 2
a = J
2分 J＝m( g－a) r2 / a
④
T a
又根据已知条件 v0＝0 1 2 S = at a＝2S / t 2 ⑤ 2 2分 将⑤式代入④式得： gt 2 J = mr 2 ( 1) 2分 2S

r
T
mg
，
【例】基础训练（18）如图5-17所示、质量分别为m和2m、 半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕 通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动 惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一 质量为m的重物，求盘的角加速度的大小． 【解】：受力分析如图 T1 = T1' T2 = T2' 对质点： mg T1 = ma1 对刚体：
a = r
(5)
解上述5个联立方程得：
11 T = mg 8
【例】基础训练（17）在半径为R的具有光滑竖直固定中心 轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为 1 2 R 处，人的 质量是圆盘质量的1/10．开始时盘载人对地以角速度 匀速转 动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转动相 反方向作圆周运动，如图5-16所示． 已知圆盘对中心轴的转 2 动惯量为 1 2 MR ．求：(1) 圆盘对地的角速度．(2) 欲使圆盘对 地静止，人应沿着 1 2 R 圆周 对圆盘的速度 的大小及方向？
【例】 一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另 一端绕在一轮轴的轴上，如图所示．轴水平且垂直于 轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之 上．当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离 S．试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示)．

r
T
T a
r O
mg
m
【解】设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，则 根据牛顿运动定律和转动定律得： mgT＝ma ① 2分 ② 2分 Tr = J ③ 由①、②、③式解得：
T2 mg = ma2
T1 2r T2 r = J
a1 = 2r
a2 = r
19r
联立以上几式解得： 2 g
，
【例】基础训练（18）如图5-17所示、质量分别为m和2m、 半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕 通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动 惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一 质量为m的重物，求盘的角加速度的大小．
0
2m
v0
m
O
2
v0
3 2l 3
m
l
图5-24
【解】系统所受的合外力矩为零，角动量守恒：
碰前的角动量为： 碰后的角动量为：
2 mv0 l 3
1 2 2 2 1 2 m v0 l [m( l ) 2m( l ) ]w 2 3 3 3
所以： 得：
mv0 2 1 2 2 1 l = m v0 l [m( l ) 2 2m( l ) 2 ]w 3 2 3 3 3
重力势能
角动量定理
E p = mghC

t2
t1
Mdt = Jw 2 Jw1
dw d 2q a= = 2 dt dt
角动量守恒定律 M=0时，Jw=恒量
刚体力学两个重要公式
• 转动定律
dw Mz = J = J dt
• 角动量守恒定律
Lz = Jw = 恒量
• 机械能守恒定律：
• 当除重力矩以外的其他合外力矩不作功或 作功为零时，则刚体盘为系统角动量守恒
1 mv0 R = (mR m0 R 2 )w0 O 2 R v0 mv0 w0 = m 1 ( m0 m) R 2 m = 02 在圆盘上取一半径为r,宽为dr的 （2）圆盘的质量面密度 R 小环带，质量元 dm = 2 rdr • 此环带受到的摩擦阻力矩 dM f = r gdm = r g 2 r 2 dr
T2 mg = ma2
T1 2r T2 r = J
a1 = 2r
a2 = r
19r
联立以上几式解得： 2 g
【例】基础训练（16）一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度 为 ，设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即 M = kw(k为正的常数)，求圆 盘的角速度从w0变为 w0 时所需时间．
(2)
将（1）式代入（2）有：
w = w0
2v 21R (3)
w0
2v =0 21R
（2）欲使盘对地静止，则式（3）必为零，即 所以，v = 21Rw 。式中负号表示人的走动方向与上一问 2 中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致。
0
．
m
把三者看作同一系统时,系统所受合外 力矩为零,系统角动量守恒。
m O
M
J w0 L L = ( J J 子弹 )w J w0 w= w0 J J 子弹
【例】（17）如图5-25所示，一质量均匀分布的圆盘，质量为 ， 半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数 为)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动．开始时， 圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入 圆盘边缘并嵌在盘边上。求：(1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的 角速度．(2) 经过多少时间后，圆盘停止转动．(圆盘绕通过O的 竖直轴的转动惯量为 ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)
2
B
A
rA
fB
fA
5-23 图
【解】据转动定律有： f A rA = J A A
f B rB = J B rB
要使A、B 轮边缘处的切向加速度相同，应有：
a = rA A = rB B
A rA = B rB
所以有： 故
f A J A rB A mA rA A = = f B J B rA B mB rB B
m,r m
m,r 2m
解：受力分析如图所示．
2 对右侧物体：mg T1 = 2ma (1) (2)
(3)
(4)

T2 a m
T

T1
对左侧物体：T2 mg = ma
P1
2m
a
P2
对右侧滑轮：
对左侧滑轮：
1 T1r Tr = mr 2 2 1 Tr T2 r = mr 2 2
2
1 M f dt = Jd w = m0 R 2 mR 2 d w 0 w0 w0 2
t 0 0
2 M f = 2 g r 2 dr = g R3 0 3 dw M f = J dt
R
3mv0 t= 2 m0 g
例：如图所示，一均质杆可绕通过其一端的水平光 滑轴在竖直平面内自由转动，l=(5/3)m,今使杆从与 竖直方向成60⁰角又静止释放，求杆的最大角速度。
f A mA 1 = = f B mB 2
【例】自测提高（16）如图5-24所示，长为 l 的轻杆， 两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光 滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为 l 3 和 2l 3 ．轻杆原来静止在竖直位置．今有一质量为m的 小球，以水平速度 v 0 与杆下端小球m作对心碰撞，碰 v 后以 2 的速度返回，试求碰后轻杆所获得的角速度？
，
【例】基础训练（18）如图5-17所示、质量分别为m和2m、 半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕 通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动 惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一 质量为m的重物，求盘的角加速度的大小． 【解】：受力分析如图 T1 = T1' T2 = T2' 对质点： mg T1 = ma1 对刚体：