2020年河南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|−2⩽x<3},B={0,2,4}，则A∩B=()A. {0,2,4}B. {0,2}C. {0,1,2}D. ϕ2.复数z满足z(3−4i)=1(i是虚数单位)，则|z|=()A. √55B. √525C. 125D. 153.CPI是居民消费价格指数(consumerpriceindex)的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2018年1月−7月的CPI同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2018年2月与2017年2月相比较，叫同比；2018年2月与2018年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是()A. 2018年1月−7月CPI有涨有跌B. 2018年2月−7月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳C. 2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，1月CPI涨幅最大D. 2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI有涨有跌4.已知命题p：对∀x∈(−∞,0)，x2019<x2018，则￢p为()A. ∃x0∈[0,+∞)，使得x02019<x02018B. ∀x∈[0,+∞)，使得x2019≥x2018C. ∃x0∈(−∞,0)，使得x02019≥x02018D. ∀x∈(−∞,0)，使得x02019<x020185.已知向量a⃗=(1,−1),b⃗ =(m,2)，若a⃗//b⃗ ，则实数m的值为()A. 0B. 2C. −2D. 2或−26.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x，则b的值等于()A. 12B. 1C. 2D. 47. 已知x 与y 之间的一组数据如右表，根据表中提供的数据求出y 关于x 的线性回归方程为y ̂=0.8x +0.5，那么t 的值为x 2 4 6 8 y345tA. 5B. 6C. 7D. 88. 已知某个三棱锥的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，则这个三棱锥的体积是( )A. 13cm 3B. 23cm 3C. 43cm 3D. 83cm 39. 在区域{x +y −√2≤0x −y +√2≥0y ≥0内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2+y 2=1内的概率为( )A. π8B. π6C. π4D. π210. 函数f(x)=sin(2x +φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则φ等于( )A. π6B. −π6C. π3D. −π311. 有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母．现规定：当卡片的一面为字母P 时，它的另一面必须是数字2.如图，下面的四张卡片的一个面分别写有P ，Q ，2，3，为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是( )A. 第一张，第三张B. 第一张，第四张C. 第二张，第四张D. 第二张，第三张12. 已知f(x)=x 2+ax +3ln x 在(1,+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−2√6]B. [−2√6,+∞)C. (−∞,√62]D. [−5,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=(x+1)lnx−4(x−1)在(1,f(1))处的切线方程为______ ．14.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)和椭圆x216+y29=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为______．15.△ABC中，∠C=90°，点M在边BC上，且满足BC=3BM，若sin∠BAM=15，则sin∠BAC= ______ ．16.A，B，C，D是同一球面上的四个点，△ABC中∠BAC=π2,AB=AC,AD⊥平面ABC，AD=2，BC=√6，则该球的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{2a n}的公比为2，且a4+a32=21．(1)求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求数列{1(2a n−1)(2n−1)}的前n项和S n．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面ABC，D，E分别为BC，CC1的中点，AA1=AC=AB=2，BC=3．(Ⅰ)证明：A1B//平面ADC1；(Ⅱ)求三棱锥E−A1BC的体积．19.某农科站技术员为了解某品种树苗的生长情况，在该批树苗中随机抽取一个容量为100的样本，测量树苗高度(单位：cm).经统计，高度均在区间[20,50]内，将其按[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，其中高度不低于40cm 的树苗为优质树苗．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)已知所抽取的这100棵树苗来自于甲、乙两个地区，部分数据如下2×2列联表所示，将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关？甲地区乙地区合计优质树苗5非优质树苗25合计附：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(2√3,√3)且离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 上存在三个不同的点A ，B ，P ，满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求弦长|AB|的取值范围．21. 已知函数f(x)=x 2+2x ，g(x)=xe x ．(1)求f(x)−g(x)的极值；(2)当x ∈(−2,0)时，f(x)+1≥ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√2ty =t 2(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=4，M 为曲线C 2上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|⋅|OP|=16.(Ⅰ)求点P的轨迹C3的直角坐标方程；(Ⅱ)设C1与C3的交点为A，B，求△AOB的面积．23.已知函数f(x)=|x|+|x−4|．(1)若f(x)≥|m+2|恒成立，求实数m的最大值；(2)记(1)中m的最大值为M，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题解：集合A={−2,−1,0,1,2}，B={0,2,4}，所以A∩B={0,2}．故选B．2.答案：D解析：解：复数z满足z(3−4i)=1(i是虚数单位)，可得|z(3−4i)|=1，即|z||3−4i|=1，可得5|z|=1，∴|z|=1，5故选：D．直接通过复数方程两边求模，化简求解即可．本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．3.答案：D解析：解：对于A：2018年1月−7月CPI有4，7月涨有2，3，5，6，跌，故A正确；对于B：2018年2月−7月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳，涨跌幅均在±0.1，0.2，故B正确；对于C：2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，1月涨幅2.5，其值最大，故C正确；对于D：2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI全部上涨，故D错误．故选：D．根据同比和环比的概念逐项分析可得．本题考查统计图的应用，属中档题．4.答案：C解析：本题主要考查含有量词的命题的否定，为基础题．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题命题p：对∀x∈(−∞,0)，x2019<x2018为全称命题，则命题的否定为：∃x0∈(−∞,0)，使得x02019≥x02018，故选：C．5.答案：C解析：解：∵a⃗=(1,−1),b⃗ =(m,2)，且a⃗//b⃗ ，∴1×2−(−1)×m=0，解得m=−2故选：C由向量的平行可得1×2−(−1)×m=0，解方程可得．本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题．6.答案：C解析：本题考查双曲线的渐近线的方程，考查学生的计算能力，比较基础．利用双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x，可得b1=2，即可求出b的值．解：∵双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x，∴b1=2，∴b=2，故选：C．7.答案：B解析：先计算平均数，然后根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论，本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用线性回归方程恒过样本中心点是解题的关键，属于基础题．解：由题意，x=2+4+6+84=5，y=3+4+5+t4=12+t4，代入线性回归方程ŷ=0.8x+0.5，可得12+t4=0.8×5+0.5，解得t=6．故选B．8.答案：C解析：【试题解析】解：由三视图可得原几何体如图，底面三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，且BD=DC=1，AD=2，面PBC⊥面ABC，PD=2为棱锥的高，所以V P−ABC=13×S△ABC×PD=13×12×2×2×2=43cm3．故选C．俯视图是等腰三角形，且内部有一条实线，该实线是三棱锥的一条侧棱在地面上的垂直投影，所以棱锥顶点在底面的射影为底面三角形一边的中点，结合正视和左视图即可还原得到原图形，底面积可求，高已知，则体积可求．本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是由三视图还原得到原几何体，由三视图得原几何体的方法是，先看俯视图，结合正视图和左视图．此题是基础题．9.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则B(−√2,0)，C(√2,0)，A(0,√2)，则△ABC的面积S=12×√2×2√2=2，点P落在单位圆x2+y2=1内的面积S=12×π×12=π2，则由几何概型的概率公式得则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为π22=π4，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的计算，利用数形结合求出对应的区域面积是解决本题的关键．10.答案：D解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得π3+φ=kπ，k∈Z，由此根据|φ|<π2求得φ的值．解：函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位后，得到函数y=sin[2(x+π6)+φ]=sin(2x+π3+φ)的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得π3+φ=kπ，k∈Z，由|φ|<π2得φ=−π3，故选：D．11.答案：B解析：解：由于当牌的一面为字母P时，它的另一面必须写数字2，则必须翻看P是否正确，这样2就不用翻看了，3后面不能是Q，要查3．故为了检验如图的4张牌是否有违反规定的写法，翻看第一张，第四张两张牌就够了．故选：B．由于题意知，一定要翻看P，而3后面不能是Q，要查3．本题考查了归纳推理，注意推理要合乎情理，利用p后面要写2，并没有说2这个数字后面是其他字母违规进而得出是解题关键．12.答案：B解析：本题考查利用导数研究函数的单调性.属于一般题．先对函数进行求导，然后根据二次函数的性质可列不等式，进而求得a的范围．解：由题意得f′(x)=2x+a+3x =2x2+ax+3x≥0在(1,+∞)上恒成立，⇔g(x)=2x2+ax+3≥0在(1,+∞)上恒成立，⇔Δ=a2−24≤0或{−a4≤1, g(1)≥0⇔−2√6≤a≤2√6或a≥−4，综上实数a的取值范围为a≥−2√6．故选B．13.答案：2x+y−2=0解析：解：函数f(x)=(x+1)lnx−4(x−1)的导数为f′(x)=lnx+x+1x−4，可得在(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=ln1+2−4=−2，切点为(1,0)，则在(1,f(1))处的切线方程为y−0=−2(x−1)，即为2x+y−2=0．故答案为：2x+y−2=0．求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线方程．本题考查函数导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，正确求得导数和运用导数的几何意义是解题的关键，属于基础题．14.答案：x24−y23=1解析：解：由题得，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点坐标为(√7,0)，(−√7,0)，c=√7：且双曲线的离心率为2×√74=√72=ca⇒a=2.⇒b2=c2−a2=3，双曲线的方程为x 24−y 23=1．故答案为：x 24−y 23=1．先利用双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)和椭圆有相同的焦点求出c =√7，再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求出a =2，即可求双曲线的方程．本题是对椭圆与双曲线的综合考查．在做关于椭圆与双曲线离心率的题时，一定要注意椭圆中a 最大，而双曲线中c 最大．15.答案：√155解析：解：设AC =b ，AB =c ，BM =a 3，MC =2a 3，∠MAC =β，在△ABM 中，由正弦定理可得：a3sin∠BAM=csin∠AMB ，代入解得：sin∠AMB =3c5a ，cosβ=cos(π2−∠AMC)=sin∠AMC =sin(π−∠AMC)=sin∠AMB =3c5a ， 在RT △ACM 中，cosβ=AC AM =√(23a)+b ，√(23a)+b =3c5a ，由勾股定理可得a 2+b 2=c 2，化简整理得：(2a 2−3b 2)2=0， a =√62b ，c =√102b ， 在RT △ABC 中，sin∠BAC =a c=√6b2√10b 2=√155． 故答案为：√155．在△ABM 中，由正弦定理可知，sin∠AMB =3c 5a，进而可得cosβ=3c5a ，在RT △ACM 中，还可得cosβ=√(23a)2+b 2，建立等式后可得a =√62b ，c =√102b ，在RT △ABC 中，sin∠BAC =a c=√155． 本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属难题．16.答案：10π解析：解：由题意画出几何体的图形如图， 把A 、B 、C 、D 扩展为三棱柱，上下底面中心F 、E 连线的中点O 与A 的距离为球的半径，AD=2，AB=AC=√3，OE=1，△ABC是等腰直角三角形，E是BC中点，AE=12BC=√62，∴球半径AO=√32+1=√52．所求球的表面积S=4π(√52)2=60π．故答案为：10π画出几何体的图形，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内接体问题，考查空间想象能力以及计算能力．17.答案：解：(1)依题意可得：2a n+12a n=2a n+1−a n=2，则a n+1−a n=1，从而数列{a n}是公差为1的等差数列．∵a4+a32=a1+3+(a1+2)2=21，∴a1=2或a1=−7，当a1=2时，a n=n+1，当a1=−7时，a n=n−8.(2)因为a1>0，所以a n=n+1，1(2a n−1)(2n−1)=1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1)，则S n=12(1−13+13−1 5+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．解析：本题考查数列的基本运算，等差数列的通项公式以及裂项相消法求和．(1)由等比数列的概念得到{a n}为等差数列，由通项公式求得{a n}的通项；(2)直接对通项裂项，由裂项相消法求和即可．18.答案：(Ⅰ)证明：设A1C与AC1相交于O点，连接OD，则O为A1C的中点，∵D为BC的中点，∴OD是△A1CB的中位线，∴OD//A1B，∵A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，∴A1B//平面ADC1；(Ⅱ)解：∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵BB1⊥底面ABC，AD⊂平面ABC，∴BB1⊥AD，又BB1∩BC=B，BB1、BC⊂平面BCE，∴AD⊥平面BCE，又AD=√AB2−BD2=√72，S△BCE=12×3×1=32．∴V E−A1BC=V A1−EBC=13S△EBC⋅AD=13×32×√72=√74．解析：本题考查线面平行的判定，考查多面体体积的求法，属于中档题．(Ⅰ)设A1C与AC1相交于O点，连接OD，则O为A1C的中点，由三角形中位线定理可得OD//A1B，再由线面平行的判定可得A1B//平面ADC1；(Ⅱ)由题意得到AD⊥BC和BB1⊥AD，进而证明AD⊥平面BCE.由勾股定理求得AD，再求出三角形BEC的面积，由等体积法求三棱锥E−A1BC的体积．19.答案：解：(1)根据概率的性质可得：(a+3a+0.04+0.07+0.04+a)×5=1，解得a=0.01．(2)2×2列联表如下：K2=100×(5×25−20×50)255×45×25×75，≈16.50>10.828．所以有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关．解析：本题考查了独立性检验，属于中档题．(1)根据概率的性质可得：(a +3a +0.04+0.07+0.04+a)×5=1，解得a =0.01； (2)根据列联表计算观测值，根据临界值表可得结论．20.答案：解：(1)由题意知c a =12,(2√3)2a 2+(√3)2b2=1，又因为c 2+b 2=a 2，解得a 2=16，b 2=12．则椭圆标准方程为x 216+y 212=1；(2)因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则由向量加法的意义知四边形OAPB 为平行四边形， 设直线l 过A 、B 两点，①若直线l 垂直于x 轴，易得：P(4,0)，A(2,3)，B(2,−3)或者P(−4,0)，A(−2,3)，B(−2,−3)， 此时|AB|=6，②若直线l 不垂直于x 轴，设l ：y =kx +m(m ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0)， 将直线y =kx +m 代入C 的方程得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−48=0， 故x 1+x 2=−8km3+4k 2,x 1x 2=4m 2−483+4k 2，因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以x 0=x 1+x 2，y 0=y 1+y 2， 则x 0=−8km 3+4k ，y 0=y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =6m 3+4k 2，即P(−8km 3+4k ,6m3+4k )， 因为P 在椭圆上，有(−8km 3+4k 2)216+(6m 3+4k 2)212=1，化简得m 2=3+4k 2，验证，△=64k 2m 2−16(3+4k 2)(m 2−12)=144m 2>0， 所以x 1+x 2=−8km3+4k 2=−8k m,x 1x 2=4m 2−483+4k 2=4m 2−48m 2，所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=12√1+k 2|m|=12√1+k 23+4k 2=12√14+14(3+4k 2)，因为3+4k 2≥3，则0<13+4k 2≤13，即14<14+14(3+4k 2)≤13，得6<|AB|≤4√3， 综上可得，弦长|AB|的取值范围为[6,4√3]．解析：(1)根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可求出椭圆的标准方程； (2)由题意可知四边形OAPB 为平行四边形，设直线l 过A 、B 两点，对直线l 的斜率分情况讨论，若直线l 垂直于x 轴此时|AB|=6，若直线l 不垂直于x 轴，设l ：y =kx +m(m ≠0)，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出P(−8km3+4k 2,6m3+4k 2)，代入椭圆方程得到m 2=3+4k 2，再利用弦长公式求出|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=12√1+k 2|m|=12√1+k 23+4k 2=12√14+14(3+4k 2)，因为3+4k 2≥3，则0<13+4k 2≤13，解得6<|AB|≤4√3．本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21.答案：解：(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ′(x)=(x +1)(2−e x )，∴ℎ(x)极小值=ℎ(−1)=1e −1， ∴ℎ(x)极大值=ℎ(ln2)=ln 22；(2)由已知，当x ∈(−2,0)时，x 2+2x +1≥axe x 恒成立 即a ≥x 2+2x+1xe =x+2+x −1e 恒成立，令t(x)=x+2+x −1e x，则t′(x)=−(x 2+1)(x+1)x 2e x，∴当x ∈(−2,−1)时，t′(x)>0，t(x)单调递增， 当x ∈(−1,0)时，t′(x)<0，t(x)单调递减， 故当x ∈(−2,0)时，t(x)max =t(−1)=0，∴a ≥0．解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查恒成立问题的等价转化能力及计算能力，属于中档题．(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，求导数，确定函数的单调性，即可求f(x)−g(x)的极值； (2)当x ∈(−2,0)时，x 2+2x +1≥axe x 恒成立，即a ≥x 2+2x+1xe x=x+2+x −1e x恒成立，求出右边的最大值，即可求实数a 的取值范围．22.答案：解：(Ⅰ)根据题意，设M(ρ0,θ0)，P(ρ,θ)，则|OM|=ρ0，|OP|=ρ，易知ρ≠0．由题意，得{ρρ0=16ρ0sinθ0=4θ=θ0，解得ρ=4sinθ．故轨迹C 3的直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4(y ≠0)．(Ⅱ)将参数方程曲线C 1的参数方程为{x =√2ty =t 2(t 为参数)，转化为普通方程为y =x 22．联立{x 2+(y −2)2=4(y ≠0)y =x 22，可得A(2,2)，B(−2,2)．所以|AB|=4，所以S △AOB =12×2×|AB|=4．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，抛物线和圆的位置关系的应用，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用抛物线和圆的位置关系的应用及三角形的面积公式的应用求出结果． 23.答案：解：(1)由已知可得f(x)={−2x +4,x ≤04,0<x <42x −4,x ≥4，所以f min (x)=4，所以只需|m +2|≤4，解得−6≤m ≤2， 所以实数m 的最大值M =2； ( 2)由(1)知a 2+b 2=2， 又a 2+b 2⩾2ab ，∴ab ≤1，∴√ab ≤1 ①,当且仅当a =b 时取等号， 又∵√ab a+b≤12，∴ab a+b ≤√ab2②，当且仅当a =b 时取等号，由①②得aba+b ≤12， 所以a +b ≥2ab ．解析：本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查分析法与综合法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．(1)求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m +2|≤4，求解m 的范围，得到m 的最大值M ．(2)综合法，利用基本不等式证明即可．。
