探究等腰梯形分割成三个相似三角形的条件

15、八年级数学培佳班：相似判定和性质姓名一、知识梳理（1）本单元的知识结构数学的单元复习最重要就是梳理知识，穿线结网，形成清晰的知识链，就“相似三角形”这一单元而言，其知识网络大致如图所示：一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）（平行）B （不平行）（二）8字型、反8字型BCB C（蝴蝶型）（平行）（不平行） （三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景一线三等角的变形（五）一线三直角型：二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。

8字型拓展【典型例题】1．已知在平行四边形ABCD 中，AC =2AB ；求证：∠ABD =∠DAC2．已知：如图，在△ABC 中，∠ADE =∠B ，∠BAC =∠DAE ．（1）求证：ACAEAB AD =； （2）当∠BAC =90°时，求证：EC ⊥BC ．3、在Rt ABC ∆中, ∠ACB =90°, CD AB ⊥,垂足为D . E 、F 分别是AC 、BC 边上一点,且CE =13AC ,BF =13BC . (1 )求证∶AC BC =CDBD.(2 )求EDF ∠的度数.4、如图，在ABC △中，90BAC ∠=，AD 是BC 边上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．求证：（1）EG CGAD CD =； （2）FD ⊥DG ．EFEDC BA GF E D CBAC【三等角问题】（1）如图已知△ABC 中，AB=AC,∠APQ=∠B ，求证:△ABP ∽△PCQ变式:等边△ABC 的边长为6,点E 在AC 上,AE=2,BE 的中垂线交AB 于点P,交BC 于点F求 :BPBF的值.【重心问题】（重心问题）在∆ABC 中，矩形DEFG 的一边FG 在BC 上，点D 、E 分别在AB 、AC 上，AH 是BC 边上的高，BC=10，AH=6.（1）如图4，若DG=2DE ，求DE 的长；（2）如图5，对角线DF 与EG 的交点过∆ABC 的重心O ，求矩形DEFG 的面积.（面积问题）在平行四边形ABCD 中，AB=5，AD=3，平行四边形面积是10，点P 是AB 上一动点，（点P 不与点A 、点B 重合），过点P 作PQ ∥AD 交BD 于Q ，连结CQ ，设AP 的长为x ，四边形QPBC 的面积为y 。

知识精要1、比例线段及性质 (1)比例线段的概念(2)比例性质：基本性质、更比性质、合比性质、等比性质、比例中项 2、三角形一边的平行线性质定理及其推论3、相似三角形的判定及性质(1) 相似三角形的判定方法：预备定理、AA 、SSS 、ASA 、HL 、传递性 (2)相似三角形的性质相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方。

4、三角形相似的基本模型：(1)平行型：如图，“A”型即公共角对的边平行，“X”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；常见条件：①//DE BC ，②::AD AB AE AC =，③AD AC AE AB ⋅=⋅，④ADE B ∠=∠(2)相交线型：如图，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角(或对顶角)的两边成比例，就可以判定两个三角形相似.常见条件：①AD AB AE AC ⋅=⋅②::AD AC AE AB =③ ADE C ∠=∠ (3)旋转型：常见条件：已知△BAC ∽△DAE ， 求证：△BAD ∽△CAE. (4)嵌入型：已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠DAE=45°.找出相似的三角形.EA BCDDCB A已知△ABC 是等边三角形，∠DAE=120°.找出相似的三角形.常见条件：① 已知∠B=∠C=∠EDF ，找出相似的三角形.② 已知∠B=∠C=∠EDF ，D 为BC 的中点，找出相似的三角形. (5)一线三等角：常见条件：B C EDF ∠=∠=∠ (6)子母三角形：(相交线型推广)常见条件：①，2AC AD AB =⋅③2BC BD BA =⋅④2CD AD BD =⋅FEBCD(7)双高型推广：左图两对相似三角形：ABD △∽△ACE △OCD ∽△OBE 中图六对相似三角形：ABD △∽△ACE ∽△OCD ∽△OBE右图八对相似三角形：ABD △∽△ACE ∽△OCD ∽△OBE △ADE ∽△ABC △ODE ∽△OBC (后两个相似写出证明过程)常见条件：①ABD ACE ∠=∠，②ADB AEC ∠=∠，③,CE AB BD AC ⊥⊥. 5、常见的三角形面积比(1)如图一：△ABC 中，若BD ：CD=m ：n ， 则S △ABD ：S △ACD=m ：n(2)如图二：△ABC 和△BCD 同底，则两个三角形面积之比 等于两个三角形BC 边上的高之比.(3)蝴蝶定理：在梯形ABCD 中，若AO ：OC=m ：n ，则： 1) S △AOD ：S △COD=S △AOB ：S △BOC=m ：n 2) S △AOD ：S △AOB=S △COD ：S △BOC=m ：n 3)S △COD=S △AOB 4)S △AOD ：S △BOC=22:m nODCBA例1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点(不与B、C重合)，联结AP，过P点做PE交DC于E，使得∠APE=∠B。

中考热点3——等腰三角形分类讨论等腰三角形的分类讨论题多见于初三各级各类模拟考试甚至中考的压轴题中，由于这类题目都与图形运动有关，需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力，而这正是学生最缺乏的，理清这类题目的解题思路和解题策略将会等到在中考中获得高分的重要砝码。

等腰三角形分类讨论的解题思路粗分有两种，第一种：用含有字母的代数式分别表示等腰三角形的三条边，后用三条线段依次相等建立方程后求解，第二种：分别作出三种等腰三角形条件下图形，利用等腰三角形的有关性质和题目中的条件进行合理的转化后建立方程求解。

下面就常见的题型进行分析、归纳 典型例题【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，54sin =B ，AC =4；D 是BC 的延长线上的一个动点，∠EDA =∠B ，AE ∥BC ． （1）找出图中的相似三角形，并加以证明；（2）设CD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△ADE 为等腰三角形时，求AE 的长． 【思路分析】思路一：用含有x 或者y 的代数式来表示等腰三角形的三条边长AD 、DE 、AE 三条线段依次相等建立方程后求解，显然AE 和DE 边都不方便用含含有x 或者y 的代数式表示。

思路二：分别作出三种等腰三角形条件下图形，利用第（1）题中证明的△ABD ∽△EDA 将等腰的条件转化到△ABD 中进行求解，最后带入定义域检验。

解：（1）∵AE ∥BC ∴∠EAD =∠ADB ，∠EDA =∠B ∴△ABD ∽△EDA （2）∵△ABD ∽△EDA ∴AEADAD BD = ∴y x x x 1616322+=++即3162++=x x y 0>x （3）情况一：当AE =AD 时AD =BD 即3162+=+x x67=x 情况二：DE =AE 时AB =AD ，AC ⊥BD BC =CD 即3=x情况三：AD =DE 时AB =BD 即53=+x2=x点评：将等腰三角形的条件进行适当转化，计算过程大大简化，既节约时间又提高正确率【例2】已知直线1l 的解析式63+=x y ，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，直线2l 经过B 、C 两点，E点C 的坐标为)0,8(.又知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线2l 上从点C 向点B 移动.点P 、Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t 秒（100<<t ） （1）求直线2l 的解析式（2）当t 为何值时，△PCQ 是等腰三角形【思路分析】在直角坐标系中对等腰三角形进行讨论，依然遵循两大基本思路此题中PC 、QC 两条边长都方便用含有t 的代数式表示，而PQ 不易表示，将等腰三角形PQ =QC 和PC =PQ 两种情况，通过添加底边上的高转化为直角三角形，再用锐角三角比和相似三角形的方法进行求解则较易求得结果。

相似形（一)一、比例性质1.基本性质:（两外项的积等于两内项积）2.反比性质：（把比的前项、后项交换)3。

合比性质：（分子加(减）分母，分母不变）．4.等比性质:（分子分母分别相加,比值不变.)如果,那么．谈重点：(1)此性质的证明运用了“设法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．（2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．5。

黄金分割：○，1内容○，2尺规作图作一条线段的黄金分割点经典例题回顾：例题1．已知a、b、c是非零实数,且,求k的值.例题2．已知，求的值.概念：谈重点：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关．⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例—-全等形．①定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图:l1∥l2∥l3.②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

○，4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边（或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论错误!的基本图形有三种情况，如图其符号语言:∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE;判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．符号语言：拓展延伸：（1)有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。

(2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。

例题精讲【重难点高效突破】例题1．如图，直线DE分别与△ABC的边AB、AC的反向延长线相交于D、E，由ED∥BC可以推出吗？请说明理由.（用两种方法说明）例题2．（射影定理）已知:如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D.求证：(1）；（2)；（3）例题3．如图，AD是RtΔABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F。

初三数学---相似三角形和解直角三角形一、相似三角形1．相似三角形判定定理：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．即“两角对应相等，两三角形相似”．（3）判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”．（4）判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．即“三边对应成比例，两三角形相似”．（5）若△1∽△2、△2∽△3、则△1∽△3．对于直角三角形相似，还有如下判定定理：（6）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（7）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．2．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；（3）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；（4）相似三角形周长比等于相似比；（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方．二、锐角三角函数1．掌握锐角三角函数的定义，准确地进行计算．2．互余角的三角函数间的关系（1）sin（90°－）＝cos；（2）cos（90°－）＝sin；（3）．3．同角三角函数间的关系（1）；（2）．三、解直角三角形1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2；（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；（3）边与角之间的关系：，，．2．如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；由△ACD∽△ABC或由△ABC的面积，得ab＝ch．从三角函数的角度考虑，有由，得a2＝pc；同理，得b2＝qc；由，得h2＝pq；由，得ab＝ch．在有关直角三角形的相似问题中，可以尝试运用三角函数的知识来解题，即“三角法”．3．如图1，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则（1）CD＝AD＝BD＝；（2）点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径．4．如图2，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则．图1 图2 图3 5．直角三角形的面积：（1）如图2，S△ABC．（2）如图3，S△ABC．6B＝90°－A，，，由求角A，B＝90°－A，由求角A，B＝90°－A例题分析例1．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点（不与B，C重合），连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．（1）你认为图中哪两个三角形相似，为什么?（2）当点P在底边BC上自点B向C移动的过程中，是否存在一点P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．例2．如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求x的值．例3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5，求sin B·sin C的值．例4．如图，D是AB上一点，且CD⊥AC于C，S△ACD∶S△CDB＝2∶3，，AC＋CD＝18，求tan A的值和AB的长．5．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝与x轴交于点E．求点E的坐标．6．已知：如图（a），梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝BC＝4，CD＝6．（1）E为BC边上一点，EF∥AD，交CD边于点F，FG∥EA，交AD边于点G，若四边形AEFG为矩形，求BE的长；（2）如图（b），将（1）中的∠AEF绕E点逆时针旋转为∠A′EF′，EF′交CD边于F′点，且F′点与D点不重合，射线EA′交AB边于点M，作F′N∥EA′交AD边于点N，设BM为x，△NF′D中，F′D边上的高为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围．图（a）图（b）答案例1、解：（1）△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“两角对应相等，两三角形相似”可得△ABP∽△PCE．说明：此图形结构可以称为“一线三等角问题”．（2）作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝，腰长AB＝CD＝2CF＝4，这样原问题转化为在底边BC上是否存在一点P，使得CE＝1.5．假设存在P点，使CE＝1.5，由△ABP∽△PCE，得，可得BP·PC＝AB·CE＝6．设BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7，∴PC＝7－x．∴x（7－x）＝6，即x2－7x＋6＝0．解得x1＝1，x2＝6．答：当BP＝1或BP＝6时，使得DE∶EC＝5∶3．例2、解：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°．∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°．∴∠CMN＋∠AMB＝90°．在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN．∴Rt△ABM∽Rt△MCN．（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，，即．．．当x＝2时，y取最大值，最大值为10．（3）∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM ∽△AMN，只需．由（1）知．∴BM＝MC．∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x＝2．例3、分析:为求sin B，sin C，需将∠B，∠C分别置于直角三角形之中，另外已知∠A的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B，C，向CA，BA的延长线作垂线段，即可顺利求解．解：过点B作BD⊥CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA的延长线于点E．∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°．；．又∵CD＝CA＋AD＝10，，．同理，可求得．．说明：由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线段等方法将其置于直角三角形中．例4、解：作DE∥AC交CB于E，则∠EDC＝∠ACD＝90°．∵，设CD＝4k（k＞0），则CE＝5k，由勾股定理得DE＝3k．∵△ACD和△CDB在AB边上的高相同，∴AD∶DB＝S△ACD∶S△CDB＝2∶3．．即．．∵AC＋CD＝18，∴5k＋4k＝18．解得k＝2．．．说明：本章解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程．在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等．例5、解：作AF⊥x轴于F．∴OF＝OA·cos60°＝1，AF＝OF·．∴点A坐标为（1，）．代入直线解析式，得．．．当y＝0即时，x＝4．∴点E坐标为（4，0）．例6、解：（1）作AH⊥CD于点H（如图（c））可得∠1＝∠2＝∠D．由AB＝BC＝CH＝4可得HD＝CD－CH＝2．．．∴BE＝2，即E为BC的中点．（2）图（d），作NP⊥CD于点P，则PN＝y．可得∠4＝∠5＝∠6，它们的正切值相等．，即．，．，，∵CD＝CF′＋PF′＋PD，，即．整理，得．若点F′与点D重合（见图（e）），则∠BEM＝∠EDC，．．．∴x的取值范围为。

中考数学规律探索题分类评析广东东莞常平中学初中部周爱娇【摘要】：本文从分析近年中考数学题着手，通过题目给出的变化的数、式、图形等相关条件，了解其结构特点，通过比较、发现相互之间的内在联系，归纳出一為殳规律。

【关键词】：规律；新课标；中考；数学思想《新课程标准》指出：数学学习不仅包括数学的一些现成结果，还要包括这些结果的形成过程。

规律探索类题目，可以培养学生学会观察、比较、分析、猜想、类比、归纳等，发展学生直觉思维和合情推理能力。

如何发现规律，是解题的关键所在。

通过题目给出的变化的数、式、图形等相关条件，了解其结构特点，通过比较、发现相互之间的内在联系，归纳出一般规律。

这种由特殊到一般的思维方式，不仅是探索解决问题的重要思想方法，而且是数学创新的重要思想基础。

此外，规律探索类题还涵蕴了重要的数学思想如分类讨论思想、数形结合思想、方程思想等。

规律探索题是近年来广东中考的热点题目，它以“数字型”、“图形型”或“几何计算型” 为主，其解题方法主要是由特殊到一般，关注数据的变与不变，从而写出规律。

因此，在解题过程中，先要找（或计算）出特殊旳前二现:a},a2,a3；再由爭殊旳前二现：cz1,cz2,cz3的变与不变来发现规律，并用n的代数式表示通项a n o1数与式的规律探索通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出蕴含其中的一般规律，一般解法是根据数式的前三项，比较各式中相同的部分与不同的部分，找出共同的特征，改写成要求的规律的形式，并给了验证。

例1.1 观察下列等式：①、9 —1 = 2x4,② 25-1 = 4x6,③ 49-1 = 6x8, 按照这种规律写出第n个等式：分析经过观察发现式子的左边是奇数与1的平方差，等式的右边是两个连续偶数的积，因此，这组等式的一般规律是：（2/7+ 1）2 -1 = 277X（277 + 2）例1.2 （201K山州）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其屮“杨辉三角”就是一例。

相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法主要有以下几种：
1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。

2. SSS判定法：如果两个三角形的对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，而且两个相邻边的比值相等，则这两个三角形是相似的。

4. 共边判定法：如果两个三角形有一条边是相等的，并且其他两边的比值相等，则这两个三角形是相似的。

需要注意的是，以上判定方法只能判断两个三角形是否相似，不能得出相似三角形的具体比例关系。

若要确定相似三角形的比例关系，需要通过对应边长的比值来确定。

第13讲 相似三角形判定定理的证明课程标准1.了解相似三角形判定定理的证明过程，会选择恰当的方法证明两个三角形相似；2.会作辅助线来证明两个三角形相似，掌握证明过程。

知识点01 相似三角形判定定理的证明（一）相似三角形的判定定理1的证明过程已知：如图,在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B ′.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠ADE=∠B ，∠AED=∠C,(.AD AEAB AC=平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F,则(AD CFAB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CFAC CB=∵DE ∥BC,DF ∥AC,∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ∴AD AE DEAB AC BC==. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE ∽△A′B′C′.知识精讲目标导航∴△ABC ∽△A′B′C′.（二）相似三角形的判定定理2的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，∠A=∠A′,''''AB ACA B A C =,求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,∴△ABC ∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似). ∴AB ACAD AE=. ∵''''AB ACA B A C =,AD=A′B′, ∴''AB ACAD A C =∴''AC ACAE A C =∴AE=A ′C′ 而∠A=∠A ′ ∴△ADE ≌△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.（三）相似三角形的判定定理3的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，''''''AB BC ACA B B C A C ==.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE. ∵''''AB ACA B A C =，AD=A′B′,AE=A′C′,∴AB ACAD AE=而∠BAC=∠DAE,∴△ABC ∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴AB BCAD DE=又''''AB BCA B B C =，AD= A′B′, ∴''AB BCAD B C =∴''BC BCDE B C =∴DE=B′C′,∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△ABC ∽△A′B′C′.知识点02 证明相似三角形的一般思路（1）有平行线——用平行线的性质，找“等角”（用判定定理1）。

关于四等分等腰梯形的问题对于一个等腰梯形，是否一定可以划分成四个全等图形呢？答案是否定的．而如果我们对等腰梯形再附加一些制约条件，则有通法将其划分成四个全等图形．本文探讨在什么条件下的等腰梯形可以进行四等分的问题，一、对等腰梯形的上、下底边施加制约条件1、如图1，设等腰梯形的上底为a ，下底为b (a <b )，高为h ，当a ＝3b 时，等腰梯形可以划分成四个全等的直角三角形．其直角边分别为a ．h ．作法：①分别过点A 、D ，作AE ⊥BC 、DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ； ②连结ED ．则AE 、ED 、DF 将等腰梯形分成四个全等的直角三角形． (证明略．)2、如图2，设等腰梯形上底为a ，下底为b (a <b )，当a >3b 时，等腰梯形可分为四个全等的直角梯形，其上底为38a b -，下底为38b a -． 作法：①分别取AD 、BC 的中点M 、N ，连结MN ；②取MN 的中点O ，过点D 作EF ∥AB ，EF 交AD 于点E ，交BC 于点F ；③取ED 的中点H ，过点H 作HG ⊥BC 于点G ，在AD 上截AL ＝EH ，过点L 作LK ⊥BC 于点K ．则LK 、EF 、HG 将梯形ABCD 划成四个全等直角梯形．此时AL ＝KF ＝EH ＝HD ＝38a b -， BK ＝LE ＝FG ＝CC ＝38b a -． (证明略．)二、对等腰梯形的对角线施加制约条件如图3，对角线互相垂直的等腰梯形可以划分成四个全等图形，设等腰梯形上底a ，下底为b ．作法：①分别取AD 、BC 的中点E 、F ，连EF ；②在EF 上截取EC ＝BF ；③过点G 分别作GH 上AB 、GI 上DC ，垂足分别为H 、I ．则GH 、GE 、GF 、GI 将梯形划分成四个全等图形．其中AE ＝ED ＝GF ＝2a ，EG ＝BF ＝FC ＝2b ． (证明略．)三、对底、腰、底角施加多重制约条件1、如图4，梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝CD ，∠B ＝60°，则此梯形可分割成四个和原梯形相似的等腰梯形．作法：①取BC 中点D ，连AO 、DO ；②分别取BO 、OA 、OD 、OC 的中点E 、F 、G 、H ，连结EF 、FG 、GH ．则AF 、EF 、FG 、GD 、GH 把梯形ABCD 分成四个全等且与原梯形相似的全等的等腰梯形．注：此时a ＝2b >13b ． (证明略．)2、如图5，直角梯形的高和上底相等，且等于下底的一半，则此直角梯形可分割成四个全等且与原梯形相似的直角梯形．作法：①分别取AD 、BC 、DC 的中点E 、F 、G ：②过点E ，作EH 上AD ，过点G 作GH ∥AD ，GH 、EH 交于点H ，连HB ；③过点F 作IF ⊥BC ，交HG 于点I ．则HE 、HB 、HG 、IF将原直角梯形分成四个直角梯形．(证明略．)。

证明相似三角形判定方法证明相似三角形的判定方法有多种，以下是其中的50种方法，并对每种方法进行详细描述：1. 相似角对应相等：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。

2. 辅助角相等：如果两个三角形的一个角等于另一个角的辅助角，则这两个三角形相似。

3. 边长比例相等：如果两个三角形的对应边的比例相等，则这两个三角形相似。

4. 三边比例相等：如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。

5. 比较周长：如果两个三角形的周长比例相等，则这两个三角形相似。

6. 比较面积：如果两个三角形的面积比例相等，则这两个三角形相似。

7. 角平分线所成的相似三角形：如果两个三角形的一个角被其相对边的平分线所平分，且两个角相等，则这两个三角形相似。

8. 内切圆和外切圆：如果两个三角形的内切圆和外切圆的半径比例相等，则这两个三角形相似。

9. 三角形的高比较：如果两个三角形的高的比例相等，则这两个三角形相似。

10. 图中的角平分线构成相似三角形：如果两个三角形的一个角被图中一条直线平分，且划分的相邻两边的比例相等，则这两个三角形相似。

11. 内接三角形相似性：如果一个三角形内部有另一个相似的三角形，则这两个三角形相似。

12. 应用正弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的正弦比相等，则这两个三角形相似。

13. 应用余弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的余弦比相等，则这两个三角形相似。

14. 应用正切定理：如果两个三角形中包含的两个角的正切比相等，则这两个三角形相似。

15. 利用半角公式：如果两个三角形中包含的两个角的半角正弦比相等，则这两个三角形相似。

16. 利用角平分定理：如果平分一个三角形的一个角，并且用两条角平分线切分其对边，则所得的小三角形相似。

17. 边角边：如果两个三角形的一对对应边和夹角相等，则这两个三角形相似。

18. 角边角：如果两个三角形的一对对应角和夹边相等，则这两个三角形相似。

19. 边边边：如果两个三角形的三条边相等，则这两个三角形相似。

⼏何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）《⼏何证明选讲》知识点归纳与练习(含答案)⼀、相似三⾓形的判定及有关性质平⾏线等分线段定理平⾏线等分线段定理：如果⼀组平⾏线在⼀条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三⾓形⼀边的中点与另⼀边平⾏的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形⼀腰的中点，且与底边平⾏的直线平分另⼀腰。

平分线分线段成⽐例定理平分线分线段成⽐例定理：三条平⾏线截两条直线，所得的对应线段成⽐例。

推论：平⾏于三⾓形⼀边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例。

相似三⾓形的判定及性质相似三⾓形的判定：定义：对应⾓相等，对应边成⽐例的两个三⾓形叫做相似三⾓形。

相似三⾓形对应边的⽐值叫做相似⽐（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三⾓形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应⾓是否分别相等，三组对应边是否分别成⽐例，显然⽐较⿇烦。

所以我们曾经给出过如下⼏个判定两个三⾓形相似的简单⽅法：（1）两⾓对应相等，两三⾓形相似；（2）两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似；（3）三边对应成⽐例，两三⾓形相似。

预备定理：平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三⾓形与三⾓形相似。

判定定理1：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两个⾓与另⼀个三⾓形的两个⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似。

简述为：两⾓对应相等，两三⾓形相似。

判定定理2：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两边和另⼀个三⾓形的两边对应成⽐例，并且夹⾓相等，那么这两个三⾓形相似。

简述为：两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似。

判定定理3：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的三条边和另⼀个三⾓形的三条边对应成⽐例，那么这两个三⾓形相似。

简述为：三边对应成⽐例，两三⾓形相似。

引理：如果⼀条直线截三⾓形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例，那么这条直线平⾏于三⾓形的第三边。

定理：（1）如果两个直⾓三⾓形有⼀个锐⾓对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直⾓三⾓形的两条直⾓边对应成⽐例，那么它们相似。

图形中的等腰三角形分类讨论1.理解等腰三角形的性质和判定定理；2.能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明；3.初步体会等腰三角形中的分类讨论思想；4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形；5.培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。

知识结构【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学生回顾学过的等腰三角形的性质，可以在黑板上举例让学生画图；2再根据第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些等腰三角形的题型；3.和学生一起分析二次函数背景下等腰三角形的基本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。

建议时间5分钟左右。

一．等腰三角形的性质：二．等腰三角形常见题型分类：三．函数背景下的等腰三角形的考点分析：1.求解相应函数的解析式；2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；3.根据点的位置进行等腰三角形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两大类；4.根据点的位置和形成的等腰三角形立等式求解。

例1.如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5,AB DC ==AD =2，BC =8，MEN B ∠=∠． MEN ∠的顶点E 在边BC 上移动，一条边始终经过点A ，另一边与CD 交于点F ，联接AF 。

（★★★★）（1）设y DF x BE ==,，试建立y 关于x 的函数关系式，并写出函数定义域； （2）若AEF △为等腰三角形，求出BE 的长．C【参考教法】：一．题目分析，和学生一起寻找题目中的已知两或是特殊条件：（以提问式引导学生分析） 1.题目中的梯形有哪些已知？ 提示：各边已知，且为等腰三角形；2.题中有什么特殊的图形没？提示：相似基本型（一线三角）B AEF C ∠=∠=∠。

3.题目中有相似三角形吗？提示：ABE FEC ∆∆∽。

二．求解函数关系式，由相似可以直接得出，你自己求解吧！（如学生不会，提醒学生找x 与y 有关的相似三角形，用比例式求解，本题ABE FEC ∆∆∽）； 三．当AEF △为等腰三角形时： 1.需要讨论吗？提示：需要，分三类；2.怎么讨论？提示：分AE EF AE AF EF AF ===、、三类讨论；3.怎么计算？你能求解看看吗？提示：当等腰三角形不能直接利用边相等求解时，通过“画底边上的高线”辅助线，再利用三角比求解。

探索相似三角形相似的条件(基础)【学习目标】1. 相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A 的对应点是A ′，点B 的对应点是B ′，点C 的对应点是C ′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点诠释：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果AC BC AB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：51AC AB -=≈0.618AB(0.61851-是黄金分割的准确值).2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A 中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B 中什么条件都不满足；D 中只有一条对应边的比相等；C 中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】下列图形中，必是相似形的是（ ）．A ．都有一个角是40°的两个等腰三角形B ．都有一个角为50°的两个等腰梯形C ．都有一个角是30°的两个菱形D ．邻边之比为2：3的两个平行四边形【答案】C.类型二、相似三角形的三个判定定理2、如图，点D 在等边△ABC 的BC 边上，△ADE 为等边三角形，DE 与AC 交于点F ．（1）证明：△ABD ∽△DCF ；（2）除了△ABD ∽△DCF 外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE ⊥AB ， ∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B ，∴△ABD ∽△CBE ．3、已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 、E 分别AB 、CB 延长线上的点，CE=9，AD=15，连接DE ．若BC=6，AC=8，求证：△ABC ∽△DBE ．【思路点拨】首先利用勾股定理可求出AB 的长，再由已知条件可求出DB ，进而可得到DB ：AB 的值，再计算出EB ：BC 的值，继而可判定△ABC ∽△DBE ．【答案与解析】证明：∵在RT △ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8，∴AB=22BC AC +=10，∴DB=AD-AB=15-10=5∴DB ：AD=1：2，又∵EB=CE-BC=9-6=3，∴EB ：BC=1：2，∴EB ：BC=DB ：AD ，又∵∠DBE=∠ABC ，∴△ABC ∽△DBE ．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定，常见的判定方法有：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．举一反三【变式】【答案】4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF ．【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽△DEF ．【答案与解析】证明：∵AC=2，BC=221031=+，AB=4，DF=222222=+，EF=2202621=+，ED=8， ∴12AC BC AB DF EF DE ===，∴△ABC ∽△DEF ． 【总结升华】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A ”型和“X ”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．本题是在网格状中的两个三角形，优先考虑三边对应成比例的方法去考虑.举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似？并证明你的结论．【答案】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，BC=2222822+==；故答案为：135°；22．（2）△ABC ∽△DEF ．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠DEF ．∵AB=2，BC=22，FE=2，DE=2∴22,222AB BC DE FE ===． ∴△ABC ∽△DEF ．类型三、5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215-≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形． （2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可． 【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=- ＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。

关于四等分等腰梯形的问题对于一个等腰梯形，是否一定可以划分成四个全等图形呢？答案是否定的．而如果我们对等腰梯形再附加一些制约条件，则有通法将其划分成四个全等图形．本文探讨在什么条件下的等腰梯形可以进行四等分的问题，一、对等腰梯形的上、下底边施加制约条件1.如图1，设等腰梯形的上底为a，下底为b(a<b)，高为h，当a＝时，等腰梯形可以划分成四个全等的直角三角形．其直角边分别为a,h．作法：①分别过点A,D，作AE⊥BC,DF⊥BC，垂足分别为E,F；②连结ED．则AE,ED,DF将等腰梯形分成四个全等的直角三角形．(证明略．)2.如图2，设等腰梯形上底为a，下底为b(a<b)，当a>时，等腰梯形可分为四个全等的直角梯形，其上底为，下底为．作法：①分别取AD，BC的中点M，N，连结MN；②取MN的中点O，过点D作EF∥AB，EF交AD于点E，交BC于点F；③取ED的中点H，过点H作HG⊥BC于点G，在AD上截AL＝EH，过点L作LK⊥BC于点K．则LK，EF，HG将梯形ABCD划成四个全等直角梯形．此时AL＝KF＝EH＝HD＝，BK＝LE＝FG＝CC＝．(证明略．)二、对等腰梯形的对角线施加制约条件如图3，对角线互相垂直的等腰梯形可以划分成四个全等图形，设等腰梯形上底a，下底为b．作法：①分别取AD，BC的中点E，F，连EF；②在EF上截取EC＝BF；③过点G分别作GH上AB，GI上DC，垂足分别为H，I．则GHGEGFGI将梯形划分成四个全等图形．其中AE＝ED＝GF＝，EG＝BF＝FC＝．(证明略．)三、对底、腰、底角施加多重制约条件1.如图4，梯形ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠B＝60°，则此梯形可分割成四个和原梯形相似的等腰梯形．作法：①取BC中点D，连AO，DO；②分别取BO，OA，OD，OC的中点E，F，G，H，连结EF，FG，GH．则AF，EF，FG，GD，GH把梯形ABCD分成四个全等且与原梯形相似的全等的等腰梯形．注：此时a＝>b．(证明略．)2.如图5，直角梯形的高和上底相等，且等于下底的一半，则此直角梯形可分割成四个全等且与原梯形相似的直角梯形．作法：①分别取AD，BC，DC的中点E，F，G：②过点E，作EH上AD，过点G作GH∥AD，GH，EH交于点H，连HB；③过点F作IF⊥BC，交HG于点I．则HE，HB，HG，IF将原直角梯形分成四个直角梯形．(证明略．)。

相似三角形的判定知识精要判定三角形相似的方法有：预备定理，三个判定定理，斜边--直角边定理。

其中使用频率最高的是“两角对应相等，两三角形相似〞和“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似〞。

所有的判定方法只需证明两点：一是角相等，另一个是边成比例。

证明“角相等〞应特别注意：1〕特殊角〔如直角〕，2〕特殊关系〔如公共角，对顶角，等腰三角形的两底角，等角的余角，等角的补角等〕。

根据图形的构造，可将判定三角形相似的方法概括为三种根本类型：共角共边型，嵌入型，旋转翻折型。

类型一：共角共边型“共角共边型〞是指有一个角为公共角或对顶角的两个三角形，只要再证明一个角相等或者证明夹公共角〔对顶角〕的两边对应成比例就能证明两个三角形相似。

共以下四种根本图形：图中的△ABC和△ADE有一个公共角或一组对顶角，又有一组对应角相等或两条夹边对应成比例。

例题精解例1如图，△ABC中，D,E分别在AC,AB上，且∠ABD=∠ACE,联结DE。

求证：△ADE∽△ABC。

点评：〔1〕假设将题中条件“∠ABD=∠ACE〞变为“BD⊥AC,CE⊥AB〞，那么结论。

（2）证明过程中比例式ACAEAB AD =既是由△ABD ∽△ACE 得到的结论，又是判定△ADE ∽△ABC 的条件，也就是说，证明第一对三角形相似得到的结果〔角相等或边成比例〕作为条件马上用于证明第二对三角形相似，这是证明三角形相似常用的方法。

引申：〔1〕假设设BD,CE 的交点为F ，那么还可以证明 ∽△和 ∽ 可得到4对相似三角形。

（2）假设条件“∠ABD=∠ACE 〞变为“BD ⊥AC,CE ⊥AB 〞，即使BD,CE 成为△ABC 的高，那么共可得到8对相似三角形。

【举一反三】1、如图，D 是Rt △ABC 斜边AB 上的中点，过D 作DF ⊥AB ，交BC 于E ，交A 的延长线于点F ，求证：DC 2=DE ·DF.2、如图，平行四边形ABCD 中，点E 在BC 上，AE 交BD 于F,BE 2=EF ·AE 。