第2讲 参数方程
考点梳理
1．参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨
⎧
x ＝f
t y ＝g
t
①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确
定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨
⎧
x ＝f t ，y ＝g
t
就是
曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．
3．直线、圆和圆锥曲线的参数方程
名称
普通方程
参数方程
直线 y －y 0＝k (x －x 0)
⎩⎨
⎧
x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α
(t 为
参数)
圆 (x －x 0)2＋(y －y 0)2＝R 2
⎩⎨
⎧
x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ
(θ为参数且0≤θ≤2π)
椭圆
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a >b >0) ⎩⎨
⎧
x ＝a cos t ，y ＝b sin t
1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨
⎧
x ＝－1－t ，
y ＝2＋t (t 为参数)所表示的
图形分别是( )． A ．直线、直线 B ．直线、圆
C ．圆、圆
D ．圆、直线
解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝x
ρ
，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆． 又∵⎩⎨
⎧
x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．
答案 D
2．若直线⎩⎨
⎧
x ＝1－2t ，
y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝
________.
解析 参数方程⎩⎨
⎧
x ＝1－2t ，
y ＝2＋3t ，
所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与
直线4x ＋ky ＝1垂直可得－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－4k ＝－1，解得k ＝－6.
答案 －6
3．二次曲线⎩⎨
⎧
x ＝5cos θ，
y ＝3sin θ
(θ是参数)的左焦点的坐标是________．
解析 题中二次曲线的普通方程为x 225
＋y 2
9
＝1左焦点为(－4,0)． 答案 (－4,0)
4．(2012·湖南)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎨
⎧
x ＝t ＋1，
y ＝1－2t (t 为参
数)与曲线C 2：⎩⎨
⎧
x ＝a sin θ
y ＝3cos θ
(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则
a ＝________.
解析 曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 2
9＝1，直线
2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，0，故曲线x 2
a 2＋y 2
9＝1也经过这个点，代入
解得a ＝32⎝
⎛
⎭⎪⎫舍去－32.
答案
32
5．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨
⎧
x ＝ 5cos θ，
y ＝sin θ
(0≤θ＜
π)和⎩⎨⎧
x ＝54
t 2
，y ＝t
(t ∈R )，它们的交点坐标为________．
解析 由⎩⎨
⎧
x ＝5cos θ，
y ＝sin θ(0≤θ＜π)得，x 2
5
＋y 2＝1(0≤y ≤1，－5
<x ≤5)，
由⎩⎨⎧
x ＝54t 2
，
y ＝t
(t ∈R )得，x ＝5
4
y 2，
∴5y 4
＋16y 2
－16＝0.解得：y 2
＝4
5
或y 2＝－4(舍去)．
则x ＝54y 2＝1又θ≥0，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
1，
255. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，
255
对应学生211
考向一 参数方程与普通方程的互化
【例1】►把下列参数方程化为普通方程：
(1)⎩⎨
⎧
x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ；
(2)⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋1
2t ，y ＝5＋3
2t .
解 (1)由已知⎩⎨
⎧
cos θ＝x －3，
sin θ＝2－y ，由三角恒等式cos 2 θ＋sin 2θ＝1,
可知(x －3)2＋(y －2)2＝1.
(2)由已知t ＝2x －2，代入y ＝5＋3
2
t 中， 得y ＝5＋
3
2
(2x －2)，即3x －y ＋5－3＝0. 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去
参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．
【训练1】 (2010·陕西)参数方程⎩⎨
⎧
x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方
程为________． 解析 由⎩⎨
⎧
x ＝cos α，
y ＝1＋sin α
得⎩⎨
⎧
x ＝cos α， ①y －1＝sin α， ②
①2＋②2得：x 2＋(y －1)2＝1.
答案 x 2＋(y －1)2＝1
考向二 直线与圆的参数方程的应用
【例2】►已知圆C ：⎩⎨
⎧
x ＝1＋cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：
⎩⎨
⎧
x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α
(其中t 为参数，α为直线l 的倾斜角)．
(1)当α＝2π
3
时，求圆上的点到直线l 距离的最小值；
(2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值范围． 解 (1)当α＝
2π
3
时，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y －33＝0，圆C 的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d ＝23
2＝3，圆的半径为1，故圆上
的点到直线l 距离的最小值为3－1.
(2)圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α＋3sin α)t ＋3＝0，这个关于t 的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)2
－12≥0，则sin 2
⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6≥34，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32或sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π6
≤－
32.又0≤α＜π，故只能sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π6≥32，即π3≤α＋π6≤2π3，即
π6≤α≤
π2.故α的范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π6，π2. 如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直
角坐标方程．
【训练2】 已知直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝1＋t ，
y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参
数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2cos θ＋2，
y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得
的弦长．[来源: ] 解 由⎩⎨
⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t
消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，
由⎩⎨
⎧
x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ
消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐
标为(2,0)，半径为 2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝|2×2＋0－6|22＋1
＝25
5，
所以所求弦长为2
22
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2552＝85
5.
考向三 圆锥曲线的参数方程的应用
【例3】►求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆x 2
4
＋y 2＝1所得的弦长．
解
由条件可知直线的参数方程是⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－22
t ，y ＝1＋2
2t
(t 为参数)，代入椭
圆方程可得⎝ ⎛⎭⎪
⎫1－22t 2
4＋⎝
⎛⎭⎪⎫
1＋22t 2＝1，
即5
2t 2＋32t ＋1＝0.设方程的两实根分别为t 1、t 2，则由二次方程的根与系数的关系可得⎩⎪⎨
⎪⎧
t 1
＋t 2
＝－625
，t 1
t 2
＝2
5，
则直线截椭圆的弦长是|t 1－t 2|＝t 1＋t 2
2
－4t 1t 2＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－6252－4×25＝ 425.
普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入
参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x ＝f (t )(或y ＝φ(t ))，再代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝φ(t )(或x ＝f (t ))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．
【训练3】 (2013·南京模拟)过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1
t ，y ＝t －1
t (t 为参数)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．
解
直线的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－3＋32s ，y ＝12
s (s 为参数)，
又曲线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t ＋1
t ，y ＝t －1t (t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4，将直线的参数方程
代入上式，得s 2－63s ＋10＝0， 设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2. ∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10. ∴
|AB |
＝
|s 1
－
s 2|＝s 1＋s 2
2
－4s 1s 2＝217.
(时间：30分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共40分) 1．(2013·深圳模拟)直线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2－2t ，
y ＝3＋2t (t 为参数)上与点A (－2,3)的距
离等于2的点的坐标是________．
解析 由题意知(－2t )2＋(2t )2＝(2)2，所以t 2＝12，t ＝±2
2，代入
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2－2t ，
y ＝3＋2t (t
为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)． 答案 (－3,4)或(－1,2)
2．(2013·东莞模拟)若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎨
⎧
x ＝2＋cos θ，
y ＝sin θ(参数θ
∈R )有唯一的公共点，则实数k ＝________.
解析 曲线C 化为普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1.由已知l 与圆相切，则r ＝
|2k |1＋k 2
＝1⇒k ＝±3
3.
答案 ±
3
3
3．直线3x ＋4y －7＝0截曲线⎩⎨
⎧
x ＝cos α，
y ＝1＋sin α
(α为参数)的弦长为________．
解析 曲线可化为x 2＋(y －1)2＝1，圆心到直线的距离d ＝|0＋4－7|9＋16
＝3
5，则弦长l ＝2r 2－d 2＝8
5.
答案
85
4．已知直线l 1：⎩⎨
⎧
x ＝1－2t ，
y ＝2＋kt
(t 为参数)，l 2：⎩⎨
⎧
x ＝s ，
y ＝1－2s
(s 为参数)，若
l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.
解析 将l 1、l 2的方程化为直角坐标方程得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0，由l 1∥l 2，得k 2＝21≠4＋k
1⇒k ＝4，由l 1⊥l 2，得2k ＋2＝0⇒k ＝－1.
答案 4 －1
5．(2013·湛江调研)参数方程⎩⎨
⎧
x ＝3＋3cos θ，
y ＝－3＋3sin θ(θ为参数)表示的图形上
的点到直线y ＝x 的最短距离为________． 解析 参数方程⎩⎨
⎧
x ＝3＋3cos θ，
y ＝－3＋3sin θ
化为普通方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝9，
圆心坐标为(3，－3)，半径r ＝3，则圆心到直线y ＝x 的距离d ＝
|3－
－3
|
2
＝32，则圆上点到直线y ＝x 的最短距离为d －r ＝32－3＝3(2－1)． 答案 3(2－1)
6．(2011·陕西)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨
⎧
x ＝3＋cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)和曲
线C 2：ρ＝1上，则|AB
|的最小值为________．
解析 消掉参数θ，得到关于x 、y 的一般方程C 1：(x －3)2＋y 2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C 2：x 2＋y 2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB |的最小值为3－1－1＝1.[来源: ] 答案 1
7．已知在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与曲线C ：⎩⎨
⎧
x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)有两个不同的交点P 和Q ，则k 的取值范围
为________．
解析 曲线C 的参数方程：
⎩⎨⎧
x ＝2cos θ，y ＝sin θ
(θ是参数)化为普通方程：
x 2
2
＋y 2＝1，故曲线C 是一个椭圆．由题意，利用点斜式可得直线l 的方程为y ＝kx ＋2，将其代入椭圆的方程得x 2
2＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＋k 2x 2＋22
kx ＋1＝0，因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，所以Δ＝8k 2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2
－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22.即k 的取值范围为
⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2
2，＋∞.
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2
2，＋∞
8．如果曲线C ：⎩⎨
⎧
x ＝a ＋2cos θ，
y ＝a ＋2sin θ
(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距
离为2，则实数a 的取值范围是________．
解析 将曲线的参数方程转化为普通方程，即(x －a )2＋(y －a )2＝4，由题意可知，以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C 总相交，根据两圆相交的充要条件，得0＜2a 2＜4，
∴0＜a 2＜8，解得0＜a ＜22或－22＜a ＜0. 答案 (－22，0)∪(0,22) 二、解答题(共20分)
9．(10分)(2012·新课标全国)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨
⎧
x ＝2cos φ，
y ＝3sin φ
(φ
为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为
⎝
⎛
⎭⎪⎫2，π3.
(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；
(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 解 (1)由已知可得A ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，
B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，
C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
＋3π2，
即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)， 令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，
则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．
10．(10分)(2012·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫
233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ
(θ为参数)．
(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．
解 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)， ⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，233.又P 为线段MN 的中点，
从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，
故直线OP 的直角坐标方程为y ＝
33
x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，233，
所以直线l的平面直角坐标方程为3x＋3y－23＝0.又圆C的圆心坐标为(2，－3)，半径r＝2，
圆心到直线l的距离d＝|23－33－23|
3＋9
＝
3
2
＜r.
故直线l与圆C相交．
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