高考复习之参数方程 一、考纲要求
1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.
2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.
二、知识结构 1.直线的参数方程
(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是
⎩
⎨
⎧+=+=a t y y a
t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=
a
b
的直线的参数方程是 ⎩⎨
⎧+=+=bt
y y at
x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2
+b 2
=1,②即为标准式，此
时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2
≠1，则动点P 到定点P 0的距离是
22b a +｜t ｜.
直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是
⎩
⎨⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数）
若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;
(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t=
2
2
1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2
2
1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.
2.圆锥曲线的参数方程
(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨
⎧+=+=ϕ
ϕ
sin cos r b y r a x (φ是参数)
φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)
(2)椭圆 椭圆122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)的参数方程是
⎩⎨
⎧==ϕϕ
sin cos b y a x (φ为参数)
椭圆 122
22=+b
y a y (a ＞b ＞0)的参数方程是
⎩⎨
⎧==ϕ
ϕ
sin cos a y b x (φ为参数) 3.极坐标
极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)
极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式
⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩
⎪
⎨⎧≠=+=)
0(2
22x x y
tg y x θρ 三、知识点、能力点提示
(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化
例1 在圆x 2+y 2
-4x-2y-20=0上求两点A 和B ，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.
解： 将圆的方程化为参数方程：
⎩⎨
⎧+=+=θ
θ
sin 51cos 52y x （θ为参数） 则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离
d=
2
2
3
430
sin 15cos 120+++θθ
故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).
(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化
说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.
例2 极坐标方程ρ=θ
θcos sin 321
++所确定的图形是（ ） A.直线
B.椭圆
C.双曲
D.抛物
线
解： ρ=
)
6
sin(12
11)]cos 2
1
23(
1[21
π
θθ+
+⋅=
++
(三)综合例题赏析 例3 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨
⎧Φ
+-=Φ
+=y x （ ）
A.(-3，5)，(-3，-3)
B.(3，3)，(3，-5)
C.(1，1)，(-7，1)
D.(7，-1)，(-1，-1)
解：化为普通方程得
125
)1(9)3(2
2=++-y x ∴a 2
=25,b 2
=9,得c 2
＝１６,c=4.
∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)
∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选B.
例4 参数方程
表示)20()sin 1(212
sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=y x A.双曲线的一支，这支过点(1，
2
1
) B.抛物线的一部分，这部分过(1，
2
1)
