高二数学向量数量积的坐标运算与度量公式1

向量数量积的坐标运算与度量公式The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 20202.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式一、本单元的地位和作用学生通过学习向量数量积的坐标运算与度量公式，使他们进一步了解向量数量积在今后的学习做题中起重要作用，从而为日后学习打好基础，培养学生数与形之间的相互转换与独立思考，解决问题的能力。

二、内部结构向量数量积的坐标运算a·b= a₁b₁+a₂b₂两个向量垂直的坐标表示a₁b₁+a₂b₂=0练习A 1题练习A 2题向量的长度计算公式|a|=√a₁2＋a₂2或| AB|=√（x₂－x₁）2+(y₂－y₁) 2练习A 1题向量数量积的坐标表示与数量积定义向量夹角的坐标表示cos<a,b>=( a₁b₁+a₂b₂)/√a₁2＋a₂2√b₁2+ b₂2三、教材内容（一）复习引入教师提问，学生回答。

1、平面向量数量积（内积）定义。

定义：|a||b|cos<a,b>叫做向量a和b的数量积（或内积）。

a·b=|a||b|cos<a,b> 2、向量垂直，共线的充要条件。

a⊥b·b=0 a∥b3、平面向量数量积的运算律。

a·b=b·a （a+b）·c=a·c+b·cλ（a·b）=（λa）·b（二）讲解新课1、向量内积的坐标运算。

向量数量积的坐标表达式：a ·b= a ₁b ₁+a ₂b ₂教师引导学生证明该公式。

证明：建立正交基底{e ₁，e ₂}，a ·b =(a ₁e ₁+a ₂e ₂)·(b ₁e ₁+b ₂e ₂)=a ₁b ₁e ₁·e ₁+a ₁b ₂e ₁·e ₂+a ₂b ₁e ₂·e ₁+a ₂b ₂e ₂·e ₂因为e ₁·e ₁= e ₂·e ₂=1，e ₁·e ₂= e ₂·e ₁=0从而得到向量数量积的坐标表达式：a ·b= a ₁b ₁+a ₂b ₂教师小结：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a ·b= a ₁b ₁+a ₂b ₂2、垂直的坐标表示由向量垂直的充要条件知道：aa ·b =0所以用坐标表示为：如果a ⊥b ，则a ₁b ₁+a ₂b ₂=0如果a ₁b ₁+a ₂b ₂=0，则a ⊥b说明：当120b b ≠时，条件a 1b 1+a 2b 2=0，可以写成1221a a k b b ==-。

向量内积的坐标运算与度量公式向量内积是向量运算中的一种重要概念，它能够衡量两个向量之间的相似度和夹角关系，同时也具有一些重要的性质和应用。

本文将详细介绍向量内积的坐标运算和度量公式，包括内积的定义、性质、计算方法以及一些重要的应用。

一、向量内积的定义向量内积是指两个向量之间的一种数学运算，也称为点积、数量积或内积，用符号"·"表示。

给定两个n维向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)和B=(B₁,B₂,...,Bₙ)，它们的内积定义为：A·B=A₁B₁+A₂B₂+...+AₙBₙ二、向量内积的性质1.交换律A·B=B·A2.分配律(A+B)·C=A·C+B·C3.结合律k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)，其中k为标量4.内积为零的充要条件若A·B=0，则A与B垂直或其中至少有一个为零向量。

5.内积与夹角的关系A·B = ，A，，B，cosθ，其中，A，和，B，为向量A和B的模，θ为夹角。

三、向量内积的计算方法1.坐标乘法法设向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)和B=(B₁,B₂,...,Bₙ)，则有：A·B=A₁B₁+A₂B₂+...+AₙBₙ2.基向量法设A=α₁i+α₂j+...+αₙeₙ和B=β₁i+β₂j+...+βₙeₙ，其中α₁、α₂、..、αₙ和β₁、β₂、..、βₙ为向量A和B的坐标。

则有：A·B=(α₁i+α₂j+...+αₙeₙ)·(β₁i+β₂j+...+βₙeₙ)=α₁β₁+(α₂β₂+...+αₙβₙ)四、向量内积的度量公式1.模的平方公式对任意n维向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)，有：A，²=A·A=A₁²+A₂²+...+Aₙ²2.角的余弦公式设向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)和B=(B₁,B₂,...,Bₙ)，则有：cosθ = A·B / (，A，，B，)3.柯西不等式对任意n维向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)和B=(B₁,B₂,...,Bₙ)，有：A·B，≤，A，，B4.三角不等式对任意n维向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)和B=(B₁,B₂,...,Bₙ)，有：A+B，≤，A，+，B五、向量内积的应用向量内积在许多领域有广泛的应用，包括几何、物理、计算机图形学等等。

向量数量积的坐标运算与度量公式1.向量数量积及向量垂直的坐标表示设a= (a i, a2), b= (b i, b?)(1)数量积 a b=a也i + 32^2.(2)若a, b为非零向量，a丄b ? ab土ab=0・［点睛］记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”.2.三个重要公式(1)向量的长度公式：已知a = (a i,(2)两点间的距离公式：A(X I ,A/(X2—X1)2+ (y2—y i f.(3)向量的夹角公式：a= (a i, a2), a2),则|a| =寸a1 + a2.y i), B(X2 , y2),则| AB | = b= (b l, b2),贝J cos〈a, b>a ib i +a2b2Q a2+ a2J b2+ b2［小试身手］1.判断下列命题是否正确.(正确的打“"”，错误的打“X”(i)向量的模等于向量坐标的平方和.( )(2)若a= (a i, a2), b= (b i,切，贝J a丄b? a i b i + a zte = 0.((3)若两个非零向量的夹角0满足cos 0< 0,则两向量的夹角一定是钝角.()答案：(i)x (2)x (3)x2.已知a= (—3,4), b= (5,2),贝J a b 的值是( )A. 23B. 7C. - 23D. - 7答案：D3.已知向量 a = (X — 5,3), b = (2, 成的集合是( )A . {2,3}B . {— 1,6}C . {2}答案：C4 .已知 a = (1，衍)，b = (— 2,0),答案：2平面向量数量积的坐标运算［典例］(1)(全国卷n )向量 a = (1, — 1), b = (—1,2),则(2a +b) aB . 0(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB = (1,— 2), AD = (2,1),贝J AD -AC =()B . 4［解析］(1)a = (1,— 1), b = (— 1,2), •••(2a + b) a = (1,0) (1,— 1)= 1.⑵由 AC = AB + AD = (1,— 2)+ (2,1)= (3,— 1),得 AD -AC =X)，且a 丄b ,则由x 的值构则 |a + b| =课堂讲练设让.举一能迪冀题(2,1) (•, - 1)= 5.［答案］(1)C (2)A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性'质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行'数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.［活学活用］已知向量a与b同向，b= (1,2), a b= 10.(1)求向量a的坐标;⑵若c= (2,- 1),求(b c) a.解：⑴因为a与b同向，又b= (1,2),所以a=入b (入2 0.又 a b= 10,所以 1 -H 22 A10,解得r 2>0.因为后2符合a与b同向的条件，所以a= (2,4).(2)因为 b c= 1X 2+ 2X (- 1)= 0, 所以(b c) a= 0 a= 0.向量的模的问题［典例］⑴设x, y€ R，向量a= (x,1), b= (1, y), c= (2,-4), 且a丄c, b// c,则|a+ b|=( )A A /5C . 2躬-------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1—(2)已知点 A(1,— 2)，若向量 AB 与 a = (2,3)同向，|AB | = 2/13,则点B 的坐标是 _________ .［解析］(1)由F 丄c，? !2x — 4=0，?片2,L 」' 丿 l b // c ［2y + 4= 0 l y =— 2. •••a =(2,1), b = (1,- 2), a + b = (3,- 1). •••|a + b|=/i0.(2)由题意可设AB =入a A 0),••• AB = (2 入 3?).又 |AB |= ^13,•••(2?)2 + (3 沪=(^/13)2，解得 后 2 或—2(舍去).求向量的模的两种基本策略(1) 字母表示下的运算：利用|a|2= a 2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的 问题.(2) 坐标表示下的运算：若 a = (x , y)，贝J a a = a 2= |a|2= x '+y 2,于是有 |a| = A /x 2+ y 2.［活学活用］1.已知向量 a = (cos 0, sin B),向量 b = («3, 0),则|2a -b|的最二 AB = (4,6).又 A(1,— 2),二 B(5,4).(2)(5,4)大值为解析：2a - b = (2cos 0-^3, 2sin 0),|2a - b| = p (2cos0—羽)2+(2sin 0)2=寸4coS 0— 4V3cos 0+ 3 + 4sin 20 =>/ 7—^/Scos 0,当且仅当cos 0=- 1时，|2a — b|取最大值2 + ^/3. 答案：2+V 32.已知平面向量 a = (2,4), b = (- 1,2),若 c = a -(a b)b,则|c|解析：•/ a = (2,4), b = (- 1,2),二 ab = 2X (- 1)+ 4X 2= 6,二 c=a -(a b)b = (2,4)- 6(- 1,2)= (2,4)- (- 6,12)= (8,- 8), 二|c|=782+( —= 8^2.答案：8返(1)v a = (3,2), b = (-1,2),向量的夹角和垂直问题［典例］(1)已知 a = (3,2), b = (- 1,2), (a +入 b 丄 b ,则实数 入= (2)已知 a = (2,1), b = (— 1,- 1), c = a + kb , d = a + b , c 与 d的夹角为n 则实数k 的值为［解析］• • a+ 入 b (3—入2+ 2?).又T (a +入b丄b,即(3— ?X (—1) + 2X (2+ 2?)= 0,1解得=—g.(2)c= a+ kb= (2 —k,1—k), d= a + b= (1,0),由cos n爭寸；2—2常:—岸02誇,•- (2—k)2= (k—1)2,二k= 2.［答案］⑴—5 (2)|解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a b _,cos 0= 及|a||b|，再由cos 0=厂蔺求出cos 0,也可由坐标表示l a ll b l硏a l应b2直接求出cos0由三角函数值cos0求角'意角0的取值范围是0W 0W na b _(2)由于0w 0< n利用cos 0= "lOl日来判断角0时，要注意cos 0<0 有两种情况：一是0是钝角，二是0= n cos 0>0也有两种情况：一是0为锐角，二是0= 0.［活学活用］已知平面向量 a = (3,4), b= (9, X), c= (4, y)，且 a II b, a丄c.(1)求b与c;⑵若m= 2a- b, n= a+c,求向量m, n的夹角的大小.解：(1)T a I b,. 3x= 4X 9,. x= 12.-a丄c,. • 3 X 4 + 4y= 0,. • y= —3,••• b= (9,12), c= (4,- 3).(2)m= 2a- b= (6,8)-(9,12)= (- 3,- 4),n= a + c= (3,4) + (4,- 3)= (7,1).设m, n的夹角为0,□ ［m n —3X 7+(—4)X 1则cos 0=丽=&-3)2+ (-4布+ 12-25 V2=丽=-2.•••0€ ［0,兀］•••0=3n，即m, n的夹角为¥・、求解平面向量的数量积［典例］已知点A, B, C 满足|AB|= 3, |BC| = 4, |CA|= 5,求AB BC + BC CA + CA -AB 的值.［解］［法一定义法］全国名校高一数学优质学案，试题汇编（附详解）盯 3如图，根据题意可得△ ABC 为直角三角形，且B =-, cosA =3,4cosC = 5,二 AB BC + BC CA + CA -AB =BC CA + CA -AB=4X 5cos( C)+ 5X 3cos( A)=—20cosC — 15cosA=—20 X 5— 15X 5=—25.［法二坐标法］如图，建立平面直角坐标系, 则 A(3,0)，B(0,0), C(0,4).二 AB = (— 3,0), BC = (0,4), CA = (3, 二 AB BC = — 3 X 0+ 0X 4= 0,BC CA = 0X 3+ 4X (— 4)= — 16, CA -AB = 3X (— 3)+ (— 4)X 0= — 9.二 AB BC + BC CA + CA AB = 0— 16— 9=— 25.［法三转化法］T |AB |= 3, |BC | = 4, |AC | = 5, AB 丄 BC ，— AB BC = 0,二 AB BC + BC CA + CA -AB = CA (AB + BC )c—3全国名校高一数学优质学案，试题汇编(附详解)-- ---- --------- 2=CA AC =— |AC | = — 25.求平面向量数量积常用的三个方法(1) 定义法：利用定义式a b = |a||b|cos 0求解; (2) 坐标法：利用坐标式ab = a i b i + a z b z 解题;(3) 转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数 量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算.［活学活用］如果正方形OABC 的边长为1,点D , E 分别为AB , BC 的中点，那么cosZ DOE 的值为1 1—―1X-+-X 1 ,卄0D 0E2 2 4 故 cos/ DOE ==—㈡ =c.| 0D| |0E |Y 5 x /552 X2法二：••• OD = OA + AD = OA + -OC ,■■■ ■ ELL —. ■•■■■■■-■ 1 —OE = OC + CE = OC + 20A ,—V s — v s|0D |= 2，|0E |= 2，解析：法一：以0为坐标原点，0A , OC 所在的 直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示,2,1〕则由已知条件，可得0D =f 1、1, 2 0E =J_E _________ 甘全国名校高一数学优质学案，试题汇编(附详解) n I----- n I IL亠I 2 I 2 ■OD OE = 2OA2+ 2OC2= 1,• cos Z DOE = rOD•咅5.| OD ||OE | 5答案：4课后层级训练，涉步提升能力层级一学业水平达标1已知向量a = （0,- 2/3）, b= （1, 凤贝y向量a在b方向上的投影为（）B. 3C. —\[3a b — 6解析：选D向量a在b方向上的投影为血=2 —3•选D.2.设x€ R,向量a= (x,1),b= (1, —2),且a丄b,则|a+b|=( A・诵C. 2质BA/IO D. 10解析：选B由a丄b得ab= 0,••• X X 1 + 1X (—2)= 0, 即卩x= 2,• • a+ b= (3, —1),••• |a + b| = p 32 +( —1)2= V1O・3.已知向量 a = (2,1), b= (—1, k), a (2a—b) = 0,贝J k=(A. —12B.—6D. 12解析：选 D 2a—b= (4,2) —(—1, k) = (5,2—k)，由 a (2a—b)=0,得(2,1) (5,2— k) = 0,二 10 + 2-k = 0,D .—65解析：选 C 设 b = (x , y)，贝J 2a + b = (8+ x,6+y)= (3,18),所I _ 3_ ^5以〔6 + y = 18,解得〔y _ 12/ 故 b _(—所以 CO〈亠 &〉_a b _ 16丽 _ 65-5.已知 A(— 2,1), B(6,— 3), C(0,5),则^ABC 的形状是()解析：选 A 由题设知 AB = (8, — 4), AC = (2,4), BC = (— 6,8),••• AB -AC = 2X 8+ (— 4)X 4= 0, 即卩 AB 丄 AC .:丄 BAC _ 90° 故^ ABC 是直角三角形.6.设向量 a = (1,2m), b = (m +1,1), c = (2, m).若(a + c)丄b , 则 |a= ____________ .解析：a + c = (3,3m),由(a + c)丄b ,可得(a + c) b= 0, 即卩 3(m +答案•.迄解得k = 12.4. a , b 为平面向量，已知a = （4,3）, 角的余弦值等于（ ）8 A.652a + b = (3,18),贝J a , b 夹B .865C-HA .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .等边三角形 1) + 3m = 0,解得 m2,则 a = (1,— 1),故|a|=^7.已知向量 a — (1,、/3), 2a + b — (— 1, A /3), a 与 2a + b 的夹 角为e,贝J e — _____ .解析：V a — (1, V 3), 2a + b — (— 1,^3),2, |2a + b| = 2, a (2a + b) = 2,••• cos e = a ^2a+b)= 1,|a||2a + b| 2〉答案：n8.已知向量a = (\/3, 1), b 是不平行于X 轴的单位向量，且a b= Q 3,则向量b 的坐标为 ___________ .y)(y M 0),则依题意有｛—1 解得W 3x + y —/ 3,答案:9.已知平面向量 a = (1, X), b = (2X + 3,— X), x € R. (1)若 a 丄b , 求 X 的值；⑵若 a // b ,求|a — b|. 解：⑴若a 丄b ,则 a b = (1, X)(•2x + 3,— X)=1X (2x + 3)+ x( — X)= 0, 即 X 2— 2x — 3= 0,解得 x =- 1 或 x = 3.解析: 设 b =(X ,「x =2I y — 2 ,(1故b —1(2)若a// b,贝J 1X ( —X) —x(2x + 3)= 0, 即x(2x + 4)= 0,解得x = 0 或x=— 2. 当x= 0 时，a= (1,0), b= (3,0),a—b= (—2,0), |a—b| = 2.当x= — 2 时，a= (1,—2), b= (—1,2),a—b= (2,—4), |a—b|=/4+ 16 = ^/s. 综上，|a—b|= 2或2品10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(—2,3)，C(2, —1)・(1)求AB -AC 及| AB + AC |;⑵设实数t满足(AB —t OC)丄OC,求t的值. 解：(1)T AB = (—3,—1), AC = (1,—5),…AB •AC = —3 X 1 + (—1) X (—5)= 2.-AB + AC = (—2, —6), •• |AB + AC |=/4+ 36 = ^/10.(2)V AB —t oe = (—3—2t, —1+ t), 0C = (2, —1)，且(AB —t OC)丄OC ,• ••(AB —t OC) OC = 0,•••(—3—2t) X 2+ (—1 +1) (—1) = 0,…t= — 1.层级二应试能力达标1.设向量a= (1,0), b=(2, g),则下列结论中正确的是( )A. |a|=|b|B. ab證C. a—b与b垂直D. all b解析：选C由题意知|a=Vl2+02= 1, |皆寸+(P=普,1 11 11 a b= 1X 2+ 0x2 = 2, (a—b) b= ab- |b|2=㊁一£ 0,故a—b与b垂直.2.已知向量OA = (2,2), OB =(4,1),在x轴上有一点P,使AP BP 有最小值，则点P的坐标是( )A. (—3,0)B. (2,0)C. (3,0)D. (4,0)解析：选 C 设P(x,0)，则AP = (x—2,—2), BP = (x—4,—1),••• AP EP = (x —2)(x —4) + 2 = x2—6x+ 10=(x—3)2+ 1,故当x= 3时，AP BP最小，此时点P的坐标为(3,0).3.若a= (x,2), b= (—3,5), 且a与b的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是()f 10、I ，3丿A.C.fj, +"B.解析：选C x应满足(x,2) (- —3,5)v0且a, b不共线，解得x10 口 6 10＞亍，且x M—5,二x＞亍4 .已知OA = (—3,1), OB = (0,5),且AC ll OB , BC 丄AB (O 为全国名校高一数学优质学案，试题汇编（附详解）坐标原点），则点C 的坐标是（）又 0A = (-3,1),--AC = 0C — 0A = (x + 3, y — 1).•/ AC // OB ,--5(x + 3) — 0 (y — 1) = 0,…x = — 3.T OB = (0,5),BC = 0C — 0B = (x , y — 5), AB = OB — OA = (3,4).—— 29••• BC 丄 AB ，二 3x + 4(y — 5)= 0,. y =4， f29、c 点的坐标是一3, 29 .V4 /5.平面向量 a = (1,2), b = (4,2), c = ma + b(m € R)，且 c 与 a的 夹角等于c 与b 的夹角，贝J m = ______ .解析：因为向量 a = (1,2), b = (4,2),所以 c = ma + b = (m + 4,2m + 2),所以 a c = m +4 + 2(2m + 2)= 5m + 8, bc = 4(m + 4)+ 2(2m +2) = 8m + 20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以肃=肃，即菁b^ nci f5m + 8 8m+ 2029)A.— 3,—429、c.®石B ・「3, /D.g ,- 29、29、解析：选B 设C （x , y ）,则0C =（X , y)・全国名校高一数学优质学案，试题汇编(附详解)而所以育="WT,解得m = 2. 答案：26.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点，则解析：以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如设 E(1, a)(0 < a < 1). 所以 DE CB = (1, a) (1,0)= 1,DE DC = (1, a) (0,1) = a < 1, 故DE DC 的最大值为1.答案：1 17.已知a , b , c 是同一平面内的三个向量，其中 (1)若|c|= 2^/5,且 c// a ,求 c 的坐标；J 5⑵若初=专，且a + 2b 与2a — b 垂直，求a 与b 的夹角a解：(1)设 c = (x , y),v |c| = 2^/5,「.^Jx 2+y 2 = ^/s , ••• X 2+ y 2=20.由 c / a 和|c| = 2^5,[1 y — 2 x = 0, 可得 k + y 2= 20,l x = 2, l x =— 2, 解得 l y =4, 或y = — 4.故 c = (2,4)或 c = (-2,— 4).DE CB 的值为；DE DC 的最大值为图所示.则 D(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1),a = (1,2).CE全国名校高一数学优质学案，试题汇编（附详解）(2)T(a + 2b)丄(2a—b),：(a+ 2b) (2a- b)= 0,即2a2 + 3a b—2b2= 0,5 5• 2X 5+ 3a b— 2X4 = 0,整理得 a b= —Q,a b• cos 0=厂蔺=—1.|a||b|又0€ [0, n, •- 0= n.8.已知OA = (4,0), OB = (2,^/3), OC = (1—?)O A + ?OB(^2^ ；).(1)求OA OB及OA在OB上的射影的数量；（2）证明A, B, C三点共线，且当AB = BC时，求入的值;⑶求|OC|的最小值.解：（1）OA OB = 8,设OA与0B的夹角为0,则cos0=q A单=丄=1,则|OA||OB| 4X 4 ；,••• 0A在0B上的射影的数量为|OA|COS0= 4X 1= 2.■ ■■H H H(2) AB = OB —OA = (—2,^/3), BC = OC —OB = (1 —片OA —(1—"OB =(入—1)AB，所以A, B, C三点共线.当AB = BC 时，—1 = 1,所以=2.(3)|OC|2= (1—护OA' + 2/(1— "OA OB + J^OB；=16" —16 + 16= 16(「z) +12,X 2/•••当=1时，|OC|取到最小值，为2屈全国名校高一数学优质学案，试题汇编（附详解）第21页。

向量数量积的坐标运算与度量公式教学目标：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式 教学重点：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式 教学过程一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义2．向量的数量积的几何意义3．两个向量的数量积的性质4． 平面向量数量积的运算律二、讲解新课：1、平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a⋅设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b22+=所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x+⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即b a ⋅2121y y x x +=2、向量垂直的判定设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x3. 向量的长度、距离和夹角公式（1）设),(y x a = ，则222||y x a += 或22||y x a += (长度公式)（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-= (距离公式)(3) co s θ =||||b a b a ⋅⋅ 222221212121y x y x y y x x +++=（πθ≤≤0）(夹角公式)4、例子例1 设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b例2 已知a (1, 2)，b (2, 3)，c (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形例3 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?例5 在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值小结：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式 课堂练习：第122页练习A 、B课后作业：第123页A 4、5、6。

张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则 如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律 a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<b a b a λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行． 如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c AB B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式， 这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a == 则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为 （填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 -3所示，若,,b a ==则=,,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60oABC =∠b 与D所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角． 考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值．于是,4||,5||==b a且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角． 考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造P B 及Q C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,.Q ,B B CA QA C A AP P =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴AC AB C B ().AP (.Q P ⋅+⋅-=B A AC AP AP .)()22.r AC AB AP AB AP AC -⋅=⋅+- =-+)(=⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2r A AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与同向时，⋅最大为.||.||ra AP =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：Q B P 与 的夹角θ为何值时，.CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(,0k A B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标，考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角．[解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a a b a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -= 得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+ 得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B b a 0,,以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠这时,,0b a BA b a C -=+=而|,|||||b a b a -==即 .||||||==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30 =∠AOC即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围，考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b ,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥ 由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433t t k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t t t k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47 [点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x 5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )． )14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D 2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a=+=|2|,1||),0b a b 则( )． 3.A 32.B 4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-OB O ().OC B (,0)2=-则△ABC 的形状为( )．A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(),6,4(==O 且,//,0⊥则向量=0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D 7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )． ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //. 8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足⋅=PA PM AP 则,2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅F E A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||ob a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-=(1)求||tb a +的最小值及相应的t 值；(2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明： ;)1(EF PA =.)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(B ),7,1(===OP O OA 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。

1、知识与技能2、过程与方法3、情感、态度、价值观掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，度量公式的推导应用（1）根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角.（2）运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题，特别是运用坐标法证明两个向量垂直.（3）掌握平面内两点间的距离公式通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合思想，增强用两种方一向量法与坐标法处理向量问题的意识.通过本节内容的启发探研式学习，培养学生的动手能力和探索精神.向量数量积的坐标运算和度量公式1、向量数量积的坐标运算和度量公式2、向量垂直的坐标表示的充要条件.平面向量数量积的两种形式的内在联系及灵活运用坐标运算与度量公式解决有关问题。

设置情境，启发引导学生由旧知推新知，自主探索研究，使数学的学习成为再创造的过程，使学生树立学习数学的信心。

教学内容师生互动设计意图引入新课及公式推导在充分复习的基础上，培养学生用旧知解决新问题的能力，独立思考探索的意识向量的坐标表示，为我们解决向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便,那么向量的坐标表示，对数量积的表达方式会带来哪些变化呢？问题1如果已知OM Q I J I A M GJ I),怎样用a、b的坐标表示呢?推广1 ：设a = (x, y),则I a l2= x2 + y2或|刃=& + ),2.(长度公式)推广2：设#m)、昭・为)则闽=也-寸+SFy (距离公式)学生独立进行每个公式的证明，教师个别指导=树'+ w J+W 7+w^/=f♦心教师小结：(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即a -h = x}x2 + 力光(2)向量的长度、距离和夹角公式节一提问1:如何用向量的长度、夹角反映由学生口答，教师板书向量数量积的定数量积？又如何用数量积、长度来反义及向量的运算律公式映夹角？向量的运算律有哪些？为数的坐标运算及度量公式复习提问练习 2：已知 |a|=l, |2>| = V2, (1)若a〃b,求a・8；⑵若a、b的夹角为 6 0 ° ,求 | a^b\； (3)若a~b与 a 垂直，求a与力的夹角.练习3：设i, j•为正交单位向量，则①「= ②③7= ④』学生板书，教师分析，引导学生复习前课重点……两个向量的数量积的运算性质的推导证明打好理论基础推广3：cos©=\a\-\b\山2日迂（夹角公式）问题2内积为何值时说明两个向量是垂直的？a Lb <=> x}x2 + y}y2 = 0 教师小结：向量垂直的充要条件设刁=（明必）,b =（工2，力），则a A.b x,x2 + y{y2 = 0应用举例例 1 设。

向量数量积的坐标运算与度量公式向量的数量积，也叫点积或内积，表示了两个向量之间的数值关系。

向量的数量积被定义为两个向量的相应分量的积的和。

设向量A和B的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3)，则它们的数量积可以表示为：A·B=A1*B1+A2*B2+A3*B3向量的数量积具有以下几个重要的性质：1.A·B=B·A（数量积的交换律）数量积满足交换律，即A与B的数量积等于B与A的数量积。

2.A·(B+C)=A·B+A·C（数量积的分配律）数量积满足分配律，即A与向量B和向量C的和的数量积等于A与B的数量积加上A与C的数量积。

3.k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)（数量积的结合律）数量积满足结合律，即向量A与k乘以B的数量积等于k乘以A与B的数量积，也等于A与k乘以B的数量积。

4.A·A≥0，当且仅当A=0时，A·A=0任意非零向量A与自身的数量积大于等于0，当且仅当A是零向量时，A与自身的数量积等于0。

数量积的几何意义是，它等于一个向量在另一个向量上的投影的长度乘以两个向量夹角的余弦值。

设向量A和向量B的夹角为θ，则有：cosθ = A·B / (，A， * ，B，)其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的长度。

这个公式说明了向量的数量积与夹角之间的关系。

当夹角θ等于90度时，cosθ等于0，所以此时A·B=0，即两个向量相互垂直；当夹角θ等于0度时，cosθ等于1，所以此时A·B等于两个向量的模的乘积，即数量积最大。

通过数量积的度量公式，我们可以计算出向量的模和夹角。

向量A的模可以通过数量积计算得出：A，=√(A·A)这里的√表示开方运算。

向量A和向量B的夹角可以通过数量积和模的计算得出：cosθ = A·B / (，A， * ，B，)θ = arccos(A·B / (，A， * ，B，))这里的arccos表示反余弦函数。

第三节 向量的数量积和坐标运算一、基础知识 1.数量积的定义已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为θ，则 a 和 b 的数量积(或内积)⋅=a b a b cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即a ⋅=00，这里要特别注意向量的起点与向量间的夹角.2.平面向量数量积的运算律(1)⋅=⋅a b b a (交换律).(2)⋅=⋅=⋅λλλa b a b a b )()((结合律).(3)⋅⋅=⋅+⋅a b c a c b c )((分配律).3.向量数量积的应用 1.模长(1)公式：= a a 22推导过程（=⋅= a a a a cos022） (2)坐标运算：=,a x y )(，=+a x y 222.垂直公式：a b a b a b ⊥⇔⋅=⋅︒=cos900)(3.夹角已知两个非零向量 a 和 b ，记=a ，=b ，则AOB θθ0180∠=︒≤≤︒)(，叫做向量a 与b 的夹角.公式：cos cos θθ⋅=⋅⇔=⋅a b a b a b a b4.投影（1）向量 a 在向量 b 方向上的投影为cos ,a ab ，向量 b 在向量 a 方向上的投影为cos , b a b ，其中,a b 为向量 a ， b 的夹角.（2）数量积的几何意义：数量积⋅a b 等于 a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影b cos θ的乘积. 二、课堂练习 1.数量积的定义1．已知向量==a m b (1,),(2,5)，若⊥a b ，则=m ( ) A ．1 B ．31C ．−52D ．25 【答案】C【解答】解：因为⊥a b ， 所以=+=a b m 250， 所以=−m 52，故选：C ．变式1．已知=a (1,1)，=b m (2,)，⊥−a a b ()，则=b ||( )A ．2 BC ．1D ．0【答案】A【解答】解：−=−−a b m (1,1)；⊥−a a b ()；∴−=−+−=a a b m ()110； ∴=m 0；∴=b (2,0)； ∴=b ||2． 故选：A ．变式2．已知=ααa (sin ,cos )，=b (3,1)，且⊥a b ，那么+=απ3sin() ．【答案】±21【解答】解：⊥a b ；∴=+=ααa b 3sin cos 0；∴=ααcos ；∴+=+=ααααcos sin 3sin sin 12222；∴⎩⎪=−⎪⎨⎪⎪=⎧αα2cos 2sin 1或⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=−⎧αα2cos 2sin 1；∴+=+=−=−αααπ32442sin()sin 1131或+=−+=απ3442sin()131． 故答案为：±21．2.数量积的应用 2.1模长例1．如图，在∆ABC 中，O 为BC 中点，若=AB 1，=AC 3，<AB ，>=︒AC 60，则=OA || ．【解答】解：如图所示， 根据题意，O 为BC 中点， ∴=+AO AB AC 2()1，=++OA AB AB AC AC 4||(2)1222=+⨯⨯⨯︒+4(1213cos603)122 =413； ∴=OA ||13．变式1．已知向量==a b ||||2，若+=−a b a b |3|||，则+=a b |2|| ． 【答案】2【解答】解：向量==a b ||||2，且+=−a b a b |3|||，∴+=−a b a b (3)()22；∴=−a b 4；∴+=+=++==a b a b a a b b |2|(2)4442222；故答案为：2．变式2．平行六面体ABCDA B C D 1111中，向量AB 、AD 、AA 1两两的夹角均为︒60，且=AB ||1，=AD ||2，=AA ||31，则AC ||1等于 ．【答案】5【解答】解：由平行六面体ABCDA B C D 1111可得：=++AC AB AD AA 11，∴=+++++AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA 22211112222=+++︒⨯+⨯+⨯1232cos60(121323)222=25，∴=AC ||51． 故答案为：5． 2.2夹角例1．已知向量a ，b 满足=a ||1，=b ||2，+=a b |3|5，则a ，b 的夹角为( ) A ．π4B ．π3C ．π32 D ．π43 【答案】D【解答】解：由=a ||1，=b ||2，+=a b |3|5，所以+=++=⨯+⨯⨯⨯+=θa b a a b b (3)9691612cos 25222，化简得=−θ6，解得=−θ2cos ； 又∈θ[0，π]，所以=θπ43， 所以a ，b 的夹角为π43．变式1．若两个非零向量a ，b 满足，+=a b ||2，−=a b ||2，=b ||1，则向量+a b 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π3C ．π32 D ．π65 【答案】B【解答】解：根据题意，设向量+a b 与b 的夹角为θ， 又由+=a b ||2，−=a b ||2，则有=+−−=a b a b a b 4()()022， 则++===++θa b b a b b a b b a b b ||||||||2cos ()12，则=θπ3，即向量+a b 与b 的夹角为π3； 故选：B ．变式2．在∆ABC 中，=AB (1,3)，=BC 2(1，x )，若∠=︒B 120，则x 的值为( )A．2B ．0 C．2D ．0或2【答案】B【解答】解：在∆ABC 中，=AB (1,3)，=BC 2(1，x )，∠=︒B 120，∴<>===︒AB BC AB BC AB BC 2||||cos ,cos6021， 解得=x 0．∴x 的值为0．故选：B ．变式3．已知向量==+a m b m (1,),(1,2)，若a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为 【答案】−∞(,⋃−−2)(2,−3)1【解答】解：向量==+a m b m (1,),(1,2)，若a 与b 的夹角为钝角， 则=++<a b m m (1)20，且a 、b 不共线，即+−≠m m (1)20， 求得<−m 31，且≠−m 2，故选：D ．则实数m 的取值范围为−∞(，⋃−−2)(2，−3)1，故答案为：−∞(，⋃−−2)(2，−3)1．变式4．在二面角−−αβAB 中，直线AC ，BD 分别在两个半平面内，且都垂直于AB ，已知==AB AC 2，=BD 4，若=CD 4，则向量DB 与AC 所成的角为 ．【答案】π32 【解答】解：根据题意，设向量DB 与AC 所成的角为θ，则有=++DC DB BA AC ， 则有==++=+++++DC DC DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC ||()()222222222， 又由==AB AC 2，=BD 4，=CD 4，且⊥AC AB ，⊥BD AB ， 则有=+++⨯⨯⨯θ164416242cos ， 解可得=−θ2cos 1，则=θπ32；故答案为：π32． 2.3投影7．已知向量=a (1,2)，=−b (2,1)，=c x y (,)，若+⊥a b c ()，则b 在c 上的投影为( )A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解答】解：向量=a (1,2)，=−b (2,1)，=c x y (,)， 若+⊥a b c ()，∴+=−a b c ()(1，3)(x ，=−+=y x y )30，∴=c (y 3，y )．设b 与c 的夹角为θ，则=−+=−==θθb c y y y b c y 2315||||cos 510||cos ，求得=−−θy y2||cos 2，∴b 在c 上的投影为=−=±−θy b y ||||cos 5()210， 故选：A ．例1．已知向量a ，b 满足=b ||2，a 与b 的夹角为︒60，则b 在a 上的投影是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．−1【答案】A【解答】解：向量a ，b 满足=b ||2，a 与b 的夹角为︒60， 则=︒==a b a b a a 2||||cos60||2||1， 则b 在a 上的投影=a a b||1． 故选：A ．变式1．已知点=−A (1,1)、=B (1,2)、=−C (3,2)，则向量AB 在AC 方向上的投影为( )A ．−53B C ． D ．53【答案】C【解答】解：由已知可得，=AB (2,1)，=−AC (2,1)，∴=⨯−+⨯=−AB AC 2(2)113，=AC ||5， 设AB ，AC 的夹角为θ，则向量AB 在AC 方向上的投影为：===−−θAC AB AB AC 5||||cos 335．故选：C ．变式2．设e 1，e 2为单位向量．且e 1，e 2的夹角为π3，若=+−a xe x e (1)12，∈x [0，1]，=b e 21则向量a 在b 方向上的投影的取值范围是( )A ．2[1，1]B ．[0，2]C ．[0，1]D ．[1，3]【答案】A【解答】解：由题意可得=⨯⨯=πe e 3211cos112，=+−=+a b x x x 22(22)11，=b ||2，则向量a 在b 方向上的投影为=+b a b x ||21． 再根据∈x [0，1]，则∈+x 22[11，1]，即向量a 在b 方向上的投影的取值范围是2[1，1]， 故选：A ．变式3．在∆ABC 中，角A 为π3，角A 的平分线AD 交BC 于点D，已知=AD ，且=−∈λλAB AD AC R 3()1，则AB 在AD 方向上的投影是( )A ．1B ．23 C ．3 D．2【答案】D【解答】解：由=−λAB AD AC 31可得：=+λAD AB AC 31，B ，C ，D 三点共线，故+=λ311，即=λ32．∴=+AD AB AC 3321． 以A 为原点，以AB 为x轴建立平面直角坐标系如图所示，则D ， 设B m (,0)，C n ()，由=+AD AB AC 3321得：=⎪⎪=+⎧m n 33321，解得=m 3，=n 3．故B (3,0)，∴AB 在AD上的投影为︒=AB ||cos30． 故选：D ．三、课后练习1．已知向量=a m (,1)，=b (3,3)，且−⊥a b b ()，则=m ( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解答】解：−=−−a b m (3,2)；−⊥a b b ()；∴−=−−=a b b m ()3(3)60； ∴=m 5．故选：C ．2．若=−a (3,1)，=b t (1,)，且+⊥a b a (2)，则=t ． 【答案】23【解答】解：由题意计算+=−+a b t 2(7,2)， 又+⊥a b a (2)， 则+=a b a (2)0，即⨯+−⨯−+=t 37(1)(2)0， 解得=t 23． 故答案为：23．3．已知平面向量a ，b ，c 满足=a ||3，=b ||2，a ，b 的夹角等于π6，且−−=a c b c ()()0，则c ||的取值范围是 ．【答案】 【解答】解：因为−−=a c b c ()()0，即有=+−=+−⨯=+−ααπc a b c a b a b c a b c 6()||||cos 32cos||||cos 32，其中α为+a b 与c的夹角，又因为+=++=++⨯=πa b a b a b 6()234232cos 13222，所以+=a b ||13，所以=−αc c 13||cos 32，解得=+αc c 13||cos 32，因为απ0，−α1cos 1，所以+c c 13||132，即有−+c c ||13||302，解得−+c 2||131131，故答案为−2[1，2]1． 4．已知平面向量a b ,满足==a b ||23,||4，且a b ,的夹角为︒30，则( ) A ．⊥+a a b () B ．⊥+b a b ()C ．⊥−b a b ()D ．⊥−a a b ()【答案】D【解答】解：平面向量a b ,满足==a b ||23,||4，且a b ,的夹角为︒30，∴对于+=+=+⨯⨯︒=≠A a a b a a b :()(23)234cos3024022； 对于+=+=+⨯⨯︒=≠B b a b b a b :()4423cos3028022； 对于−=−=−⨯⨯︒=≠C b a b b a b :()4423cos302022； 对于−=−=−⨯⨯︒=D a a b a a b :()(23)234cos30022；∴⊥−a a b () 故选：D ．5．向量+=−a b a b ||3||，且+⊥−a b a b ()()，则b 与+a b 2所成角的余弦值是( )A ．7B C D ．0【答案】B 【解答】解：+⊥−a b a b ()()，∴+−=−=a b a b a b ()()022，即=a b ||||．向量+=−a b a b ||3||，∴++=a a b b 2322−+a a b b 6322，即+=a b a b 422，∴=a a b 242，∴+=++=a b a a b b a |2|447||22，∴+<+>===+a b a b b a b b a b a 7|||||2|cos ,2(2)2||2722． 故选：B ．6．已知平面上两个力的合力F 的大小为N 8，其中F 1的大小为N 10，若F 与F 2垂直，则F 1，F 2夹角的余弦值为( )A ．−54B ．54 C ．−53D ．53【答案】C【解答】解：如图，根据题意，在∆Rt ACD 中，=AC 8，=AD 10，∠=︒ACD 90，∴∠===CAD 105sin 63，设F 1，F 2的夹角为θ，则=∠+︒=−∠=−θCAD CAD 5cos cos(90)sin 3．故选：C ．7．已知=a ||8，e 是单位向量，当它们之间的夹角为π3时，a 在e 方向上的投影为( )A ．B ．4C ．D ．+8【答案】B【解答】解：由两个向量数量积的几何意义可知：a 在e 方向上的投影即： ==⨯⨯=πa e a e 32||||cos8141故选：B ．8．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若=+a e e 312，=b e 21，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A ．21 B ．25 C ．−23D ．−2【答案】B【解答】解：由题意可得，==πe e e e 32||||cos 111212，=+a e e 312，=b e 21，∴=+=+=a b e e e e e e (3)(2)2651211122，=b ||2， 则向量a 在b 方向上的投影为=b a b ||25． 故选：B ．9．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为︒60，若=+a e e 212，则a 在−a e 21方向上的投影为 ．【答案】2 【解答】解：=+a e e 212，∴−=a e e 212，又向量e 1，e 2为单位向量且夹角为︒60，∴a 在−a e 21方向上的投影为： −==+=⨯⨯⨯︒+=−+a e e e e e a a e e e e |2|||2||211cos6012(2)(2)1212211222．。

向量数量积
向量的数量积，也称为内积或点积，是两个向量的一种特殊乘法运算。

向量数量积的数学表达式为：如果有两个非零向量a和b，那么它们的数量积定义为|a||b|cosθ，其中θ是向量a与向量b之间的夹角。

在笛卡尔坐标系中，如果向量a=(x₁，y₁)和向量b=(x₁，y₁)，那么它们的数量积可以通过它们的坐标进行计算，即a·b=x₁·x₁+y₁·y₁。

向量数量积的几何意义可以理解为一个向量在另一个向量方向上的投影的长度与第二个向量长度的乘积。

这个运算在物理中有着广泛的应用，例如在分析力的作用时，力和位移的点积可以用来计算做功的多少。

向量的数量积是一个非常重要的概念，它在数学、物理以及工程学等领域都有着广泛的应用。

了解其定义和性质对于解决相关问题是非常有帮助的。