高考数学模拟试题专题训练：函数模型及其应用含解析

课时提升作业(十二)函数模型及其应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·中山模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()【解析】选B.由题知运输效率即Qt,即相当于图象上的点(t,Q)与原点连线的斜率,即连线斜率逐步提高.由题知选项A,效率不变,选项C逐步减小,选项D先减小,再增大,选项B为逐步提高,故选B.2.(2015·嘉兴模拟)某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(近似抛物线的一段),则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大()A.3B.4C.5D.6【解析】选C.求得:y=-(x-6)2+11,y2512(x)12102,x x=-+≤-=所以yx有最大值2,此时x=5.3.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间与储藏温度的关系为指数型函数y=kax,若牛奶在0℃的冰箱中,保鲜时间约为100 h,在5℃的冰箱中,保鲜时间约为80 h,那么在10℃时保鲜时间约为() A.49 h B.56 h C.64 h D.72 h【解析】选C.由5100ka,80ka,⎧=⎪⎨=⎪⎩得k=100,a5=45,所以当10℃时,保鲜时间为100·a10=100·(45)2=64(h),故选C.4.(2015·天津模拟)国家规定某行业征税如下:年收入在280万元及以下的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税,有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是()A.560万元B.420万元C.350万元D.320万元【思路点拨】设年收入为x,构建分段函数模型求解.【解析】选D.设该公司的年收入为x,纳税额为y,则由题意,得y=()()x p%,x 280,280p%x 280p 2%,x 280,⨯≤⎧⎪⎨⨯+-⨯+>⎪⎩万万 依题意有,()()280p%x 280p 2%x ⨯+-⨯+=(p+0.25)%,解之得x=320(万元).【加固训练】(2015·张家界模拟)由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔5年计算机的价格降低13,现在价格为8 100元的计算机经过15年价格应降为( )A. 2 000元B. 2 400元C. 2 800元D. 3 000元【解析】选B.设经过3个5年,产品价格为y 元,则y=8 100×(1-13)3=2 400.5.图形M(如图所示)是由底为1,高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成,函数S=S(a)(a ≥0)是图形M 介于平行线y=0及y=a 之间的那一部分面积,则函数S(a)的图象大致是( )【解析】选C.依题意,当0≤a ≤1时,()()2a 2a 1S a 2a a 3a;22-=+=-+当1<a ≤2时,S(a)= 12+2a;当2<a ≤3时,S(a)= 12+2+a=a+52;当a>3时,S(a)= 12+2+3=112,于是S(a)=21a3a,0a1,212a,1a2,25a,2a3,211,a 3.2⎧-+≤≤⎪⎪⎪+<≤⎪⎨⎪+<≤⎪⎪⎪>⎩由解析式可知选C.【一题多解】本题还可以采用如下方法选C.直线y=a在[0,1]上平移时S(a)的变化量越来越小,故可排除选项A,B.而直线y=a在[1,2]上平移时S(a)的变化量比在[2,3]上的变化量大,故可排除选项D.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·漳州模拟)有一批材料可以建成200 m长的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示),则围成场地的最大面积为(围墙厚度不计).【解题提示】根据题目中条件,建立二次函数模型,采用配方法求最高值即可.【解析】设矩形场地的宽度为x m,则矩形场地的长为(200-4x)m,面积S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2 500.故当x=25时,S取得最大值2 500,即围成场地的最大面积为2 500 m2.答案:2 500 m27.某单位“五一”期间组团包机去上海旅游,其中旅行社的包机费为30 000元,旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团中的人数在30或30以下,飞机票每张收费1 800元.若旅游团的人数多于30人,则给以优惠,每多1人,机票费每张减少20元,但旅游团的人数最多有75人,那么旅游团的人数为人时,旅行社获得的利润最大.【解析】设旅游团的人数为x人,飞机票为y元,利润为Q元,依题意,①当1≤x≤30时,y =1 800元,此时利润Q=yx-30 000=1 800x-30 000,此时最大值是当x=30时,Qmax=1 800×30-30 000=24 000(元);②当30<x≤75时,y=1 800-20(x-30)=-20x+2 400,此时利润Q=yx-30 000=-20x2+2 400x-30 000=-20(x-60)2+42 000,所以当x=60时,旅行社可获得的最大利润42 000元.综上,当旅游团的人数为60人时,旅行社获得的利润最大.答案:608.(2015·潍坊模拟)某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/100 kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:时间t 60 100 180 种植成本Q 116 84 116根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系.Q=at+b,Q=at2+bc+c,Q=a ·bt,Q=a ·logbt利用你选取的函数,求得:(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是 .(2)最低种植成本是 (元/100kg).【解析】根据表中数据可知函数不单调,所以Q=at2+bt+c 且开口向上,对称轴b 60180t 120.2a 2+=-==代入数据3600a 60b c 116,10000a 100b c 84,32400a 180b c 116,++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩得b 2.4,c 224,a 0.01.=-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120.最低种植成本是14 400a+120b+c=14 400×0.01+120×(-2.4)+224=80.答案:(1)120 (2)80三、解答题(每小题10分,共20分)9.某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线.当t ∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分,当t ∈[14,40]时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0且a ≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳.(1)试求p=f(t)的函数关系式.(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.【解析】(1)t ∈(0,14]时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),将(14,81)代入得c=-14,t ∈(0,14]时,p=f(t)=-14(t-12)2+82;t ∈[14,40]时,将(14,81)代入y=loga(t-5)+83,得a=13,所以p=f(t)=()(]()(]2131t 1282,t 0,14,4log t 583,t 14,40.⎧--+∈⎪⎨-+∈⎪⎩(2)t ∈(0,14]时,由-14(t-12)2+82≥80,解得12-22≤t≤12+22, 所以t∈[12-22,14],t∈(14,40]时,由log 13(t-5)+83≥80,解得5<t≤32,所以t∈(14,32],所以t∈[12-22,32],即老师在t∈[12-22,32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳.10.(2015·徐州模拟)近年来,某企业每年消耗电费约24万元,为了节能减排,决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位:万元)与太阳能电池板的面积x(单位:平方米)成正比,比例系数约为0.5.为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系是C(x)=k20x100+(x≥0,k为常数).记F(x)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共消耗的电费之和.(1)试解释C(0)的实际意义,并建立F(x)关于x的函数关系式.(2)当x为多少平方米时,F(x)取得最小值?最小值是多少万元?【解析】(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的电费,即未安装太阳能供电设备时企业每年消耗的电费为C(0)=k100=24,得k=2 400,所以F(x)=15×2 40020x100++0.5x=1 800x5++0.5x(x≥0).(2)因为F(x)=1 800x5++0.5(x+5)-2.5≥()1 80020.5x5x5⋅++-2.5=57.5,当且仅当1 800x5+=0.5(x+5),即x=55时取等号,所以当x为55平方米时,F(x)取得最小值,最小值为57.5万元.【加固训练】围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).(1)将y表示为x的函数.(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.【解析】(1)设矩形的另一边长为a m,则y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360,由已知xa=360,得a=360x,所以y=2360225xx+-360(x>2).(2)因为x>2,所以225x+22 3603602 225xx x≥⋅=10 800,所以y=225x+2360x-360≥10 440.当且仅当225x=2360x时,等号成立.即当x=24 m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10 440元.(20分钟40分)1.(5分)已知一容器中有A,B两种菌,且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积为定值1010,为了简单起见,科学家用PA=lg(nA)来记录A菌个数的资料,其中nA为A菌的个数,则下列判断中正确的个数为()①PA≥1;②若今天的PA值比昨天的PA值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个;③假设科学家将B菌个数控制为5万个,则此时5<PA<5.5.A.0B.1C.2D.3【解析】选B.当nA=1时PA=0,故①错误;若PA=1,则nA=10,若PA=2,则nA=100,故②错误;设B菌的个数为nB=5×104,所以nA=10410510⨯=2×105,所以PA=lg(nA)=lg 2+5.又因为lg 2≈0.3,所以5<PA<5.5,故③正确.2.(5分)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为60°(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为93平方米,且高度不低于3米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的范围为()A.[2,4]B.[3,4]C.[2,5]D.[3,5]【解析】选B.根据题意知,93=12(AD+BC)h,其中AD=BC+2×x2=BC+x,h=3x,所以93=12(2BC+x)·3x,得BC=18x-x2,由3h x3,218xBC0x2⎧=≥⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩得2≤x<6.所以y=BC+2x=18x+3x2(2≤x<6),由y=18x+3x2≤10.5解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6),所以腰长x的范围是[3,4].故选B.3.(5分)(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.p q2+B.()()p 1q112++-C.pqD.()()p1q1++-1【解析】选D.设该市这两年生产总值的年平均增长率为x,则由已知,列得(1+x)2=(1+p)(1+q),解得x=()()p1q1++-1.4.(12分)(2015·长春模拟)某产品原来的成本为1 000元/件,售价为1 200元/件,年销售量为1万件,由于市场和顾客要求提高,公司计划投入资金进行产品升级,据市场调查,若投入x万元,每件产品的成本将降低34x,在售价不变的情况下,年销售量将减少2x万件,按上述方式进行产品升级和销售,扣除产品升级资金后的纯利润为f(x)(单位:万元).(1)求f(x)的函数解析式.(2)求f(x)的最大值,以及f(x)取得最大值时x的值.【解题提示】(1)求出升级后每件的成本、利润及年销售量,则利润的函数解析式可求.(2)利用基本不等式求出f(x)的最大值.【解析】(1)依题意,产品升级后,每件的成本为1 000-3x4元,利润为200+3x4元,年销售量为1-2x万件,纯利润为f(x)=3x2 (200)(1)x4x+--=198.5-400x x4-.(2)f(x)=198.5-400xx4-≤198.5-2×400xx4⨯=178.5.等号当且仅当400xx4=,即x=40时成立.所以f(x)取最大值时的x的值为40.【加固训练】如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知|AB|=3米,|AD|=2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则AN的长度应在什么范围内?(2)当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小值.【解析】设AN的长为x(x>2)米,由DN DC ,AN AM =得|AM|=3x x 2-, 所以S 矩形AMPN=|AN|·|AM|=23x x 2-.(1)由S 矩形AMPN>32,得23x x 2->32,又x>2,于是3x2-32x+64>0,解得2<x<83或x>8,即AN 长的取值范围为(2, 83)∪(8,+∞).(2)S 矩形AMPN=()()223x 212x 2123x x 2x 2-+-+=--=()()12123x 21223x 212x 2x 2-++≥-⋅+--=24,当且仅当3(x-2)=12x 2-, 即x=4时,y=23x x 2-取得最小值24.所以当AN=4米时,矩形AMPN 的面积最小,最小为24平方米.5.(13分)(能力挑战题)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)=22x 2|a|2a x 13-+++,x ∈[0,24],其中a 是与气象有关的参数,且a ∈[0,1],若用每天f(x)的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作M(a).(1)令t=22xx 1+,x ∈[0,24],求t 的取值范围.(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标?【解析】(1)当x=0时,t=0;当0<x ≤24时,22x 21x 1x x =++≤1(当x=1时取等号),所以0<t ≤1, 综上,t 的取值范围是[0,1].(2)当a ∈[0,1]时,记g(t)=|t-a|+2a+23,则g(t)=2t3a,0t a,32t a,a t1,3⎧-++≤≤⎪⎪⎨⎪++<≤⎪⎩因为g(t)在[0,a]上单调递减,在(a,1]上单调递增,且g(0)=3a+23,g(1)=a+53,g(0)-g(1)=2（a-1 2）.故M(a)=()()1 g1,0a,21g0,a1,2⎧≤≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩即M(a)=51 a,0a,32213a,a1.32⎧+≤≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪⎩所以当且仅当0≤a≤13时,M(a)≤2.故当0≤a≤13时不超标,当13<a≤1时超标.【加固训练】某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元,设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).(1)该厂从第几年开始盈利?(2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方法:①年平均纯利润达到最大时,以48万元出售该厂,②纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂,问哪种方案更合算?【解析】(1)由题意,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,可知每年的支出构成一个等差数列,用g(n)表示前n年的总支出,所以g(n)=12n+()n n12-×4=2n2+10n(n∈N*),因为f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额,所以f(n)=50n-(2n2+10n)-72=-2n2+40n-72. 由f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得2<n<18.由n∈N*知,从第三年开始盈利.(2)方案①:年平均纯利润为()f nn=40-2（n+36n）≤16,当且仅当n=6时等号成立.故方案①共获利6×16+48=144(万元),此时n=6.方案②:f(n)=-2(n-10)2+128.当n=10时,f(n)max=128.故方案②共获利128+16=144(万元).比较两种方案,获利都是144万元,但由于方案①只需6年,而方案②需10年,故选择方案①更合算.。

高中数学函数模型及其应用练习题(含答案)高中数学函数模型及其应用练习题(含答案)数学必修1(苏教版)2．6 函数模型及其应用某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，于是商场经理决定每件衬衫降价15元，经理的决定正确吗？基础巩固1．某商场售出两台取暖器，第一台提价20%以后按960卖出，第二台降价20%以后按960元卖出，这两台取暖器卖出后，该商场()A．不赚不亏 B．赚了80元C．亏了80元 D．赚了160元解析：960＋960－9601＋20%－9601－20%＝－80.答案：C2．用一根长12 m的铁丝折成一个矩形的铁框架，则能折成的框架的最大面积是__________．解析：设矩形长为x m，则宽为12(12－2x) m，用面积公式可得S的最大值．答案：9 m23．在x g a%的盐水中，加入y g b%的盐水，浓度变为c%，答案：a(1－b%)n7．某供电公司为了合理分配电力，采用分段计算电费政策，月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数关系的图象如下图所示．(1)填空：月用电量为100度时，应交电费______元；(2)当x100时，y与x之间的函数关系式为__________；(3)月用电量为260度时，应交电费__________元．解析：由图可知：y与x之间是一次函数关系，用待定系数法可求解析式．答案：(1)60 (2)y＝12x＋10 (3)1408．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过12 m3的部分 3元/m3超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3超过18 m3的部分 9元/m3若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量为__________m3.解析：设每户每月用水量为x，水价为y元，则y＝3x，012，36＋x－126，1218，36＋36＋x－189，x＞18，即y＝3x，012，6x－36，1218，9x－90，x18.48＝6x－36，x＝14.答案：149．国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫做税率为8个百分点，即8%)，计划收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调整后，不低于原计划的78%，试确定x的范围．解析：(1)y＝120m[1＋(2x)%](8%－x%)＝－0.024m(x2＋42x－400)(08)．(2)－0.024m(x2＋42x－400)120m8%78%，即x2＋42x－880，(x＋44)(x－2)0，解得－442.又∵08，02.10．有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9 m，AB＝10 m，BC＝2.4 m．现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4 m，宽为2 m的装有集装箱的汽车要通过隧道．问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁至少多少米才不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁)?解析：由已知条件分析，得知抛物线顶点坐标为(5,2.5)，C 点的坐标为(10,0)，所以设抛物线的解析式为y＝a(x－5)2＋2.5，①把(10,0)代入①得0＝a(10－5)2＋2.5，解得a＝－110，y＝－110(x－5)2＋2.5.当y＝4－2.4＝1.6时，1.6＝－110(x－5)2＋2.5，即(x－5)2＝9，解得x1＝8，x2＝2.显然，x2＝2不符合题意，舍去，所以x＝8.OC－x＝10－8＝2.故汽车应离开右壁至少2 m才不至于碰到隧道顶部．。

2020届高考数学命题猜想函数与方程﹑函数模型及其应用1【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国I卷理数）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.【变式探究】【2017课标1，理21】已知函数.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()0,1.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时， ()f x 取得最小值，最小值为.①当1a =时，由于，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于，即，故()f x 没有零点；③当()0,1a ∈时，，即. 又，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数n 满足，则.由于，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上， a 的取值范围为()0,1.【变式探究】(1)已知偶函数y ＝f(x)，x ∈R 满足f(x)＝x2－3x(x ≥0)，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，－1x，x<0，则函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x3，x ≤a ，x2，x>a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】（1）B （2）（－∞，0）∪（1，＋∞）【解析】（1）作出函数f （x ）与g （x ）的图像如图所示，易知两个函数的图像有3个交点，所以函数y ＝f （x ）－g （x ）有3个零点.（2）令φ（x ）＝x3（x ≤a ），h （x ）＝x2（x>a ），函数g （x ）＝f （x ）－b 有两个零点，即函数y ＝f （x ）的图像与直线y ＝b 有两个交点.结合图像，当a<0时，存在实数b 使h （x ）＝x2（x>a ）的图像与直线y ＝b 有两个交点；当a ≥0时，必须满足φ（a ）>h （a ），即a3>a2，解得a>1.综上得a ∈（－∞，0）∪（1，＋∞）.【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来．【变式探究】已知函数f(x)＝|x ＋a|(a ∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x2－1|的零点的个数为( ) 络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套．(1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝mx －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x3－56x2＋240x －278（2<x<6），从而f ′（x ）＝12x2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f ′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，103上，f ′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103，6上，f ′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.【感悟提升】 函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型)，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等)，对实际问题作出合乎要求的解释．需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出．【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20<x<200时，车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数.（1）当0<x<200时，求函数v （x ）的解析式；（2）当车流密度x 为多少时，车流量（每小时通过桥上某观测点的车辆数）f （x ）＝x ·v （x ）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）【解析】解：（1）由题意知，当0<x ≤20时，v （x ）＝60；当20<x<200时，设v （x ）＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故所求函数v （x ）的解析式为v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200. （2）由（1）可知v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200.当0<x ≤20时，f （x ）＝60x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20<x<200时，f （x ）＝13x （200－x ）＝－13（x2－200x ）＝－13（x －100）2＋10 0003，当x ＝100时，f （x ）取得最大值10 0003≈3333.综上可知，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【高考真题解读】1. （2018年全国I 卷理数）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.2. （2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1). (1,4) (2).【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。

2020届高考数学命题猜想函数与方程﹑函数模型及其应用【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国卷Ⅱ）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．【答案】见解析【解析】（2）由于，所以等价于．设=，则g ′（x ）=≥0，仅当x=0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．又f （3a –1）=，f （3a+1）=，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．【感悟提升】新定义问题的本质是转化思想的应用，即把新定义问题转化为已知的问题加以解决，解题的关键是理解新定义，把新定义表达的问题转化为我们已经掌握的数学问题，然后根据题目的要求进行推理计算得出结论．【变式探究】给出定义：如果函数f(x)在[a ，b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，满足f ′(x1)＝f （b ）－f （a ）b －a ，f ′(x2)＝f （b ）－f （a ）b －a ，则称实数x1，x2为[a ，b]上的“对望数”，函数f(x)为[a ，b]上的“对望函数”．已知函数f(x)＝13x3－x2＋m 是[0，m]上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，3 B ．(2，3) C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，2 3 D ．(2，2 3)【答案】A【命题热点突破三】 函数模型及其应用解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．例3、(2017·江苏)设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N*，则方程f(x)－lg x ＝0的解的个数是_____.【答案】8【变式探究】随着网络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套．(1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝mx －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x3－56x2＋240x －278（2<x<6），从而f ′（x ）＝12x2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f ′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，103上，f ′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103，6上，f ′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.1 、(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x ＋a(ex －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a 等于 A.－12B.13C.12 D.1【解析】f(x)＝x2－2x ＋a(ex －1＋e －x ＋1) ＝(x －1)2＋a[ex －1＋e －(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g(t)＝f(t ＋1)＝t2＋a(et ＋e －t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e －t ＋et)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数.∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点. 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12 .【答案】C.2、(2017·江苏)设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N*，则方程f(x)－lg x ＝0的解的个数是_____.【答案】81.【2016高考新课标1卷】函数在[]2,2-的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D2.【2016高考山东文数】已知函数其中0m>，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.【答案】() 3,+∞【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b=有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得3m >。

高三数学函数模型及其应用试题答案及解析1.某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌新墙所用材料最省时，堆料场的长和宽的比为()A．1B．2C．D．【答案】B【解析】设宽为x，长为kx，则kx2＝512，用料为y＝(k＋2)x＝(＋2)x＝2(＋x)≥4＝64(当且仅当x＝16时取“＝”)，所以k＝＝2.2.某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为(30－R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是() A．[4,8]B．[6,10]C．[4%,8%]D．[6%,100%]【答案】A【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需(30－R)×160×R%≥128，整理得R2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8]．3.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为()A．上午10：00B．中午12：00C．下午4：00D．下午6：00【答案】C【解析】当x∈[0,4]时，设y＝kx，1＝80，∴y＝80x.把(4,320)代入，得k1x＋b.当x∈[4,20]时，设y＝k2把(4,320)，(20,0)代入得解得∴y＝400－20x.∴y＝f(x)＝由y≥240，得或解得3≤x≤4或4<x≤8，∴3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.4.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15—0.1x万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？【答案】（1）340(万元)（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元【解析】解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x元时，由解得0<x<150.依题意，单套丛书利润P＝x－(30＋)＝x－－30，∴P＝－[(150－x)＋]＋120.∵0<x<150，∴150－x>0，由(150－x)＋≥2＝2×10＝20，＝－20＋120＝100.当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，此时，Pmax∴当每套丛书售价定为100元时，书商获得总利润为340万元，每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．5.[2014·武汉模拟]国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为()A．3000元B．3800元C．3818元D．5600元【答案】B【解析】由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y＝，显然由0.14(x－800)＝420，可得x＝3800.6.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【答案】（1）当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元（2）当长为16米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 882元．【解析】(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米．则总造价f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162＝1 296x＋＋12 960＝1 296(x＋)＋12 960≥1 296×2 ＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．(2)由限制条件知，∴10≤x≤16，设g(x)＝x＋(10≤x≤16)，g(x)在上是增函数，∴当x＝10时（此时），g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即为1 296×＋12 960＝38 882元．∴当长为16米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 882元．7.为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品，同时获得国家补贴万元．（1）当时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？【答案】(1) 国家最少需要补贴万元，该工厂才能不会亏损；（2）30.【解析】（1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润，化简后它是关于的二次函数，利用二次函数的知识求出的取值范围，如果有非负的取值，就能说明可能获利，如果没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是中最大值的绝对值. （2）每吨平均成本等于，由题意，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的值.试题解析：（1）根据题意得，利润和处理量之间的关系：2分，.∵，在上为增函数，可求得. 5分∴国家只需要补贴万元，该工厂就不会亏损． 7分（2）设平均处理成本为 9分11分当且仅当时等号成立，由得．因此，当处理量为吨时，每吨的处理成本最少为万元． 14分【考点】函数应用题，二次函数的值域，基本不等式的应用.8.设函数f（x）的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D）有x+l∈D，且f（x ＋l）≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数，如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f （x）＝｜x－a2｜－a2，且f(x)为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，则，即为上的8高调函数；当时，函数的图象如图所示，若为上的8高调函数，则，解得且.综上.【考点】1.新定义题；2.函数图像.9.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)．【答案】当r＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．【解析】由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为＝1.2－2r，∴塑料片面积S＝πr2＋2πr(1.2－2r)＝πr2＋2.4πr－4πr2＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)＝－3π(r－0.4)2＋0.48π.∴当r ＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．10.要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？【答案】半圆直径与矩形的高的比为2∶1【解析】设半圆直径为2R,矩形的高为a，则2a＋2R＋πR＝L(定值)，S＝2Ra＋πR2＝－R2＋LR，当R＝时S最大，此时＝1，即半圆直径与矩形的高的比为2∶1时，窗户能够透过最多的光线．11.已知某种产品今年产量为1000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件．【答案】1331【解析】1000×(1＋10%)3＝1331.12.某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y＝x－2lnx＋a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)【答案】（1）不符合（2）a的值为1.【解析】审题引导：正确理解三个条件：①要求模型函数在[2，10]上是增函数；②要满足y≥恒成立；③要满足y的最大值小于8.规范解答：解：(1)函数y＝0.05(x2＋4x＋8)在[2，10]上是增函数，满足条件①，(2分)当x＝10时，y有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件③.(4分)但当x＝3时，y＝，即y≥不恒成立，不满足条件②，故该函数模型不符合该单位报销方案．(6分)(2)对于函数模型y＝x－2lnx＋a，设f(x)＝x－2lnx＋a，则f′(x)＝1－＝≥0.∴f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①.由条件②，得x－2lnx＋a≥，即a≥2lnx－在x∈[2，10]上恒成立，令g(x)＝2lnx－，则g′(x)＝－＝，由g′(x)>0得0＜x<4，∴g(x)在(0，4)上是增函数，在(4，10)上是减函数．∴a≥g(4)＝2ln4－2＝4ln2－2.(10分)由条件③，得f(10)＝10－2ln10＋a≤8，解得a≤2ln10－2.另一方面，由x－2lnx＋a≤x，得a≤2lnx在x∈[2，10]上恒成立，∴a≤2ln2.(12分)综上所述，a的取值范围为[4ln2－2，2ln2]，∴满足条件的整数a的值为1.(14分)13.用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm时，容器的容积最大．【答案】10【解析】设容器的高为xcm，即小正方形的边长为xcm，该容器的容积为V，则V＝(90－2x)(48－2x)x＝4(x3－69x2＋1080x)，0<x<12，V′＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)，当0<x<10时，V′>0；当10<x<12时，V′<0.所以V在(0，10]上是增函数，在[10，12)上是减函数，故当x ＝10时，V最大．14.某同学从A地跑步到B地，随路程的增加速度减小．若以y表示该同学离B地的距离，x表示出发后的时间，则下列图象中较符合该同学走法的是____________．(填序号)【答案】③【解析】由于y表示该同学离B地的距离，所以答案在①③中选，又随路程的增加速度减小，一半的时间内所走的路程要大于总路程的一半，故选③.15.里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为__________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.【答案】6 10000【解析】由题意,在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则M=lgA-lgA=lg1000-lg0.001=3-(-3)=6.设9级地震的最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y,9=lgx+3,5=lgy+3,解得x=106,y=102.所以==10000.16.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过小时,才能开车(精确到1小时).【答案】5【解析】设x小时后,该驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL,则有0.3·()x≤0.09,即()x≤0.3,估算或取对数计算得至少5小时后,可以开车.17.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?【答案】(1) 国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损(2) 当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.【解析】(1)该项目不会获利.当x∈[200,300]时,设该项目获利为S,则S=200x-(x2-200x+80000)=-x2+400x-80000=-(x-400)2,所以当x∈[200,300]时,S<0,因此该项目不会获利.当x=300时,S取得最大值-5000,所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损.(2)由题意,可知二氧化碳的每吨处理成本为:=①当x∈[120,144)时,=x2-80x+5040=(x-120)2+240,所以当x=120时,取得最小值240.②当x∈[144,500]时,=x+-200≥2-200=200,当且仅当x=,即x=400时,取得最小值200.因为200<240,所以当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.18.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q(a)．【答案】（1）L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．（2）当每件售价为6＋a元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝43(万元)．【解析】(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)·(18＋2a－3x)．令L′＝0，得x＝6＋a或x＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a≤5，∴8≤6＋a≤.在x＝6＋a两侧，L′的值由正变负．所以①当8≤6＋a<9，即3≤a<时，＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)；Lmax②当9≤6＋a≤，即≤a≤5时，＝L 2＝43，Lmax所以Q(a)＝故若3≤a<，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；若≤a≤5，则当每件售价为6＋a元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝43(万元)．19.设y＝f(x)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝h＋A sin (ω＋φ)的图象，写出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是______．【答案】y＝5.0＋2.5sin t.【解析】由数据可知函数的周期T＝12，又T＝12＝，所以ω＝，函数的最大值为7.5，最小值为2.5，即h＋A＝7.5，h－A＝2.5，解得h＝5.0，A＝2.5.所以函数为y＝f(x)＝5.0＋2.5sin又y＝f(3)＝5.0＋2.5sin＝7.5，所以sin ＝cos φ＝1，即φ＝2kπ，k∈Z，故y＝5.0＋2.5sin t20.某镇政府为了更好地服务于农民，派调查组到某村考察．据了解，该村有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员x(x＞0)户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高2x%，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入将为3 (a＞0)万元．(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前从事蔬菜种植的农民的总年收入，求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a的最大值．【答案】（1）0＜x≤50（2）5【解析】(1)由题意，得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，即x2－50x≤0，又x＞0，解得0＜x≤50.(2)从事蔬菜加工的农民总年收入为3x万元，从事蔬菜种植的农民的总年收入为3(100－x)(1＋2x%)万元．根据题意，得3x≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，即ax≤100＋x＋恒成立．因为0＜x≤50，所以a≤＋＋1恒成立，而＋＋1≥5，当且仅当x＝50时取等号，所以a的最大值为5.21.某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．【答案】30【解析】本题要列出总费用与的函数关系式，然后利用不等式知识或函数的性质解决.根据题意总费用，当且仅当，即时等号成立.【考点】函数的应用与基本不等式.22.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度(单位:)满足关系：若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。

§2.9函数的模型及其应用Ａ组基础题组1.(2021浙江重点中学协作体适应性测试,4)已知0<a<1,则a2、2a、log2a的大小关系是( )A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a22.(2021福建泉州一中期中,5,5分)给出四个函数,分别满足:①f(x+y)=f(x)+f(y),②g(x+y)=g(x)g(y),③h(xy)=h(x)+h(y),④m(xy)=m(x)m(y).下列为四个函数的图象,对应正确的是( )A.①甲,②乙,③丙,④丁B.①乙,②丙,③甲,④丁C.①丙,②甲,③乙,④丁D.①丁,②甲,③乙,④丙3.(2021湖北,5,5分)小明骑车上学,开头时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后来为了赶时间加快速度行驶.与以上大事吻合得最好的图象是( )4.(2021陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.105.(2022北京,8,5分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次试验的数据.依据上述函数模型和试验数据,可以得到最佳加工时间为( ) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟6.(2021浙江五校第一次联考)一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底部一个微小的小孔渐渐地漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8min后发觉容器内还有一半的沙子,则再经过min,容器中的沙子只有开头时的八分之一.7.(2022杭州学军中学其次次月考,13,4分)不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切实数m都成立,则x的取值范围是.8.(2021湖南师大附中月考)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.8元;当超过4吨时,超过部分按每吨3元收费.已知某个月甲、乙两户共交水费y元,并且该月甲、乙两户的用水量分别为5x、3x吨.(1)求y与x的函数关系式;(2)若该月甲、乙两户共交水费26.4元,分别求出该月甲、乙两户的用水量和水费.9.(2022上海普陀调研测试,21,14分)某中学为了落实“阳光运动一小时”活动,方案在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S平方米的矩形AMPN健身场地.如图,点M在AC上,点N在AB上,且P点在斜边BC上,已知∠ACB=60°且|AC|=30米,|AM|=x米,x∈[10,20].(1)试用x表示S,并求S的取值范围;(2)若在矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪.已知:矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元,草坪每平方米的造价为(k为正常数)元.设总造价T关于S的函数为T=f(S),试问:如何选取AM的长,才能使总造价T最低?B组提升题组1.(2022湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,其次年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A. B.C. D.-12.(2021北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率状况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油3.(2021浙江重点中学协作体摸底)一高为H,满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时,水的体积为V1,则函数V1=f(h)的大致图象可能是图.4.(2021浙江杭州九中期末)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运年时,其营运的年平均利润最大.5.求实数a的范围,使得关于x的方程x2-ax+2=0在[1,3]上有解.6.(2022杭州学军中学其次次月考,18,14分)已知集合P=,y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q.(1)若P∩Q≠⌀,求实数a的取值范围;(2)若方程log2(ax2-2x+2)=2在内有解,求实数a的取值范围.7.(2021江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型大路,为进一步改善山区的交通现状,方案修建一条连接两条大路和山区边界的直线型大路,记两条相互垂直的大路为l1,l2,山区边界曲线为C,方案修建的大路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设大路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.①请写出大路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②当t为何值时,大路l的长度最短?求出最短长度.8.(2022超级中学原创猜测卷六文,20,15分)某市为迎接元旦的到来,拟在市观光巡游区建筑一个花坛,已知用钢管焊接而成的花坛围栏如图所示,它的外框是一个等腰梯形PQRS,内部是一段抛物线和一根横梁,抛物线的顶点与梯形上底边的中点均是焊接点O,梯形的腰紧靠在抛物线上,且两腰的中点是梯形的腰、抛物线与横梁的焊接点A,B,抛物线与梯形下底边的两个焊接点为C,D.已知梯形的高是40米,C,D两点间的距离是40米.(1)求横梁AB的长度;(2)求制作梯形外框的用料长度.(注:钢管的粗细等因素忽视不计,≈1.41)Ａ组基础题组1.B 由于当0<a<1时,a2∈(0,1),2a>1,log2a<0,所以2a>a2>log2a,故选B.2.D 由题图可知丁是正比例函数图象,满足①;甲是指数型函数图象,满足②;乙是对数型函数图象,满足③;丙是幂函数图象,满足④.故选D.3.C 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排解A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排解D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排解B.故选C.4.C 由于函数y=3sin+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为3+5=8(m),选C.5.B 由已知得解得∴p=-0.2t2+1.5t-2=-+,∴当t==3.75时p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.6.答案16解析当t=0时,y=a,当t=8时,y=ae-8b=a,∴e-8b=,容器中的沙子只有开头时的八分之一,即y=ae-bt=a,e-bt==(e-8b)3=e-24b,则t=24,24-8=16. 7.答案解析构造函数f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则f(m)是关于m的一次函数,要使2x-1>m(x2-1)对任意|m|≤2恒成立,即f(m)<0对任意m∈[-2,2]恒成立,只需解得x∈.8.解析(1)当甲的用水量不超过4吨,即5x≤4时,乙的用水量也不超过4吨,y=(5x+3x)×1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨,即3x≤4且5x>4时,y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8; 当乙的用水量超过4吨,即3x>4时,y=1.8×8+3(5x-4+3x-4)=24x-9.6.所以y=(2)y=f(x)在各段区间上均为单调递增函数,当x∈时,y max=f<26.4;当x∈时,y max=f<26.4;当x∈时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲户用水量为5x=7.5吨,水费为4×1.8+3.5×3=17.7(元);乙户用水量为3x=4.5吨,水费为4×1.8+0.5×3=8.7(元).9.解析(1)在Rt△PMC中,|MC|=30-x米,∠PCM=60°,∴|PM|=|MC|·tan∠PCM=(30-x)米,则S=x(30-x),x ∈[10,20],于是200≤S≤225.(2)矩形AMPN健身场地造价T1=37k元,又△ABC的面积为450平方米,∴草坪造价T2=(450-S)元,又T=T1+T2,∴f(S)=25k,200≤S≤225.∵+≥12,当且仅当=,即S=216时等号成立,此时x(30-x)=216,解得x=12或x=18,∴选取AM的长为12米或18米时总造价T最低.B组提升题组1.D 设两年前的年底该市的生产总值为a,则其次年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x>0,因此x=-1,故选D.2.D 对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5km,则A错; 对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B 错;对于C选项:甲车以80千米/小时的速度行驶时,燃油效率为10km/L,则行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(升),则C错;对于D选项:当行驶速度小于80km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.3.答案②解析当h=0时,V1=0,可排解①③;由于鱼缸中间粗两头细,所以当h在四周时,体积变化较快;当h小于时,体积增加得越来越快;当h大于时,体积增加得越来越慢.故填②.4.答案 5解析由题图可得营运总利润y=-(x-6)2+11,则营运的年平均利润为=-x-+12,∵x∈N*,∴≤-2+12=2,当且仅当x=,即x=5时取“=”.∴当x=5时,营运的年平均利润最大.5.解析①当x=1是方程的解时,a=3.②当x=3是方程的解时,a=.③设f(x)=x2-ax+2,则函数在(1,3)内有唯一零点的条件为或解得3<a<或a=2.④当方程x2-ax+2=0在(1,3)上有两解时,设f(x)=x2-ax+2,则解得2<a<3.综上,实数a的取值范围是2≤a≤.6.解析(1)由已知得Q={x|ax2-2x+2>0},若P∩Q≠⌀,则说明在内至少有一个x值,使不等式ax2-2x+2>0成立,即在内至少有一个x值,使a>-成立,令u=-,则只需a>u min,又u=-2+,当x∈时,∈,从而u∈,∴a的取值范围是a>-4.(2)∵方程log2(ax2-2x+2)=2在内有解,∴ax2-2x+2=4,即ax2-2x-2=0在内有解,即存在x∈,使a=+=2-,∵≤2-≤12,∴≤a≤12,即a的取值范围是.7.解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=,得解得(2)①由(1)知,y=(5≤x≤20),则点P的坐标为,y'=-,设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B.故f(t)==,t∈[5,20].②设g(t)=t2+,则g'(t)=2t-.令g'(t)=0,解得t=10.当t∈(5,10)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;当t∈(10,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数.从而,当t=10时,函数g(t)有微小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15.答:当t=10时,大路l的长度最短,最短长度为15千米.8.解析(1)建立如图所示的平面直角坐标系,设梯形的下底边与y轴交于点M,抛物线的方程为x2=2py(p<0). 由题意得D(20,-40),代入抛物线的方程得p=-5,所以抛物线的方程为x2=-10y. 当y=-20时,x=±10,即A(-10,-20),B(10,-20),所以|AB|=20≈28.2.故横梁AB的长度约为28.2米.(2)由题意得梯形的腰QR的中点是梯形的腰QR与抛物线唯一的公共点,设直线RQ的方程为y+20=k(x-10)(k<0),由得x2+10kx-100(2+k)=0,则Δ=100k2+400(2+k)=0,解得k=-2,所以直线RQ的方程为y=-2x+20.从而得Q(5,0),R(15,-40).所以|OQ|=5,|MR|=15,|RQ|=30,所以梯形的周长为2×(5+15+30)=100≈141(米),故制作梯形外框的用料长度约为141米.。

第八讲函数模型及其应用考点1常见的函数模型1.已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,则当2<x<4时,有()A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2D.y2>y3>y12.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()A.y=2x-2B.y=(x2-1)C.y=log2xD.y=lo x3.下列函数中,随着x的增大,y的增大速度最快的是()A.y=0.001e xB.y=1 000ln xC.y=x1 000D.y=1 000·2x考点2函数模型的应用4.一种放射性元素的质量按每年10%衰减,这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是()(精确到0.1,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)A.5.2年B.6.6年C.7.1年D.8.3年5.用长度为24米的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3米B.4米C.6米D.12米6.某种动物的繁殖量y(单位:只)与时间x(单位:年)的关系为y=a log3 (x+1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们将发展到()A.200只B.300只C.400只D.500只7.某商场销售A型商品,已知该商品的进价是每件3元,且销售单价与日均销售量的关系如表所示:请根据以上数据分析,要使该商品的日均销售利润最大,则此商品的定价(单位:元/件)应为() A.4 B.5.5 C.8.5 D.10答案1.B解法一在同一平面直角坐标系中画出函数y=log2x,y=x2和y=2x的图象,如图,在区间(2,4)内从上往下依次是y=x2,y=2x,y=log2x的图象,所以y2>y1>y3.故选B.解法二比较三个函数值的大小,作为选择题,可以采用特殊值代入法,如取x=3,经检验易知选B.2.B由题中表可知函数在(0,+∞)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大的越来越快,分析选项可知B符合,故选B.3.A在对数函数、幂函数、指数函数中,指数函数的增长速度最快,故排除B,C;指数函数中,底数越大,函数增大速度越快,选A.4.B设这种放射性元素的半衰期是x年,则(1-10%)x=,化简得0.9x=,即x=log0.9==--≈--≈6 6(年).故选B.5.A设隔墙的长为x(0<x<6)米,矩形的面积为y平方米,则y=x×-=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,所以当x=3时,y取得最大值.故选A.6.A∵繁殖量y与时间x的关系为y=a log3(x+1),这种动物第2年有100只,∴100=a log3(2+1),解得a=100,∴y=100log3(x+1),∴当x=8时,y=100log3(8+1)=100×2=200.故选A.7.C由题意可设定价为x元/件,利润为y元,则y=(x-3)[400-40(x-4)]=40(-x2+17x-42),故当x=8.5时,y有最大值,故选C.。

第9节 函数模型及其应用基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、单项选择题：1. 一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t （小时）的函数关系用图象表示为图中的 （ ）A. B. C. D.2. 某公司今年头6个月的月利润如下表所示： 月份x1 2 3 4 5 6 利润y （万元） 29.9 44.2 54.1 61.7 68.3 73.4在下列四个函数模型（a ，b 为待定系数）中，最能反映x ，y 函数关系的是 （ ）A. y ＝a ＋bxB. y ＝a ＋b xC. y ＝a ＋log b xD. y ＝a ＋b x3. 某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润（单位：万元）为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润（单位：万元）为y 2＝2x ，其中x 为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是 （ ）A. 10.5万元B. 11万元C. 43万元D. 43.025万元4. 当生物体死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”. 当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了. 若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是 （ ）A. 7B. 8C. 9D. 105. 国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是（ ）A. 320万元B. 350万元C. 420万元D. 560万元二、多项选择题：6. 汽车的“燃烧效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程. 下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最少C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油三、填空题：7．（2018·湖北八校联考）某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y（千克）随时间x（天）变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克.（第7题）（第8题）8. 在锐角三角形空地中，欲建一个如图所示的面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为_________m.9.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的. 已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a A（a为常数），广告效应为D＝a A－A. 那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为_________（用常数a表示）四、解答题：10. 某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会. 据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到（15－0.1x）万套. 现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10. 假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：（1）每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？（2）每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？能力提升题组（建议用时:30分钟）11. 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如下图所示，那么水瓶的形状是（）A. B. C. D.12. 将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝ae nt . 假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a 4L ，则m 的值为 （ ）A. 5B. 8C. 9D. 1013. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及实数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a ). 这里，x 被称为乐观系数. 经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c －a ）是（b －c ）和（b －a ）的等比中项. 据此可得，最佳乐观系数x ＝_________.14. 某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，员工每年净增a 人（a ∈N*）.（1）若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？（2）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？第9节 函数模型及其应用1. B2. C3. C4. D5. A6. BD7．1909 8. 20 9. 14a 2 10. 解 （1）每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5（万套），此时每套供货价格为30＋105＝32（元）， 书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340（万元）.（2）每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎨⎧15－0.1x ＞0，x ＞0，解得0＜x ＜150. 依题意，单套丛书利润P ＝x －(30＋1015－0.1x )＝x －100150－x－30， 所以P ＝－[(150－x )＋100150－x]＋120， 因为0＜x ＜150，所以150－x ＞0，则P ＝－[(150－x )＋100150－x ]＋120≤－2(150－x )×100150－x＋120＝100， 当且仅当150－x ＝100150－x，即x ＝140时取到等号， 所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元.11. B 12. A 13.5－1214. 解 设从今年起的第x 年（今年为第1年），该企业人均发放年终奖为y 万元.则y ＝2000＋60x 800＋ax（a ∈N*，1≤x ≤10，x ∈N*）. （1）当a ＝10时，假设该企业的人均年终奖会超过3万元，则2000＋60x 800＋10x＞3，解得x ＞403＞10. 所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元.（2）任取x 1，x 2∈N*，且1≤x 1＜x 2≤10，则f (x 2)－f (x 1)＝2000＋60x 2800＋ax 2－2000＋60x 1800＋ax 1 ＝(48000－2000a )(x 2－x 1)(800＋ax 2)(800＋ax 1)＞0 所以48000－2000a ＞0，解得a ＜24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人.。

考点12 函数模型及其应用1、某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q 2B ．（p ＋1）（q ＋1）－12C.pq D ．（p ＋1）（q ＋1）－1【答案】D【解析】设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝（p ＋1）（q ＋1）－1，故选D.2、在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知p H 值的定义为pH ＝－lg [H ＋]，健康人体血液的p H 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg3≈0.48)( ) A.12 B ．13C ．16D ．110【答案】C【解析】∵[H ＋]·[OH －]＝10－14，∴[H ＋][OH －]＝[H ＋]2×1014，∵7.35<－lg [H ＋]<7.45， ∴10－7.45<[H ＋]<10－7.35，∴10－0.9<[H ＋][OH －]＝1014·[H ＋]2<10－0.7，10－0.9＝1100.9>110，lg(100.7)＝0.7>lg 3>lg 2，∴100.7>3>2，10－0.7<13<12，∴110<[H ＋][OH －]<13.故选C. 3、一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( ) A ．① B ．①② C ．①③D ．①②③【答案】A【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.4、某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时 D ．28小时【答案】C【解析】由已知条件，得192＝e b ，∴b ＝ln 192. 又∵48＝e 22k ＋b ＝e 22k＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2，∴e 11k＝⎝⎛⎭⎫4819212＝⎝⎛⎭⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192 e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝⎛⎭⎫123＝24(小时)． 5、某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P (万元)和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是：P ＝x 4，Q ＝a2 x (a >0)．若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a 的最小值应为( ) A. 5 B ．5 C ． 2 D ．2【答案】A【解析】设投入x 万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20－x )万元，总利润y ＝P ＋Q ＝x 4＋a2·20－x .令y ≥5，则x 4＋a 2·20－x ≥5对0≤x ≤20恒成立．∴a 20－x ≥10－x 2，∴a ≥1220－x 对0≤x <20恒成立．∵f (x )＝1220－x 的最大值为5，且x ＝20时，a 20－x ≥10－x2也成立，∴a m i n ＝ 5.故选A.6、某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B （x －A ），x ＞A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：若四月份该家庭使用了20 m 3A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元 D ．10元【答案】A【解析】根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12（x －5），x ＞5，所以f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5.7、某校甲、乙两食堂某年1月营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( ) A ．甲食堂的营业额较高 B ．乙食堂的营业额较高 C ．甲、乙两食堂的营业额相同D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 【答案】A【解析】设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a ＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可得，m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m （m ＋8a ），因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2＞0，所以y 1＞y 2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．8、加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟． 【答案】3.75【解析】由实验数据和函数模型知，二次函数p ＝at 2＋bt ＋c 的图象过点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)，分别代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－0.2(t －3.75)2＋0.812 5，所以当t ＝3.75时，可食用率p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．9、某商店按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件．若要获得最大利润，销售价应定为每件________元． 【答案】190 元【解析】设售价提高x 元，则依题意y ＝(1 000－5x )×(20＋x )＝－5x 2＋900x ＋20 000＝－5(x －90)2＋60 500. 故当x ＝90时，y m a x ＝60 500，此时售价为每件190元．10、现有含盐7%的食盐水200 g ，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g ，则x 的取值范围是________． 【答案】(100,400)【解析】设y ＝200×7%＋x ·4%200＋x ，令5%＜y ＜6%，即(200＋x )5%＜200×7%＋x ·4%＜(200＋x )6%，解得100＜x ＜400.11、某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km. 【答案】9【解析】由已知可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8＋1，0<x ≤3，8＋x －＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85x －＋1，x >8，＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，2.15x －2.55，3＜x ≤8，2.85x －3.05，x >8.由y ＝22.6解得x ＝9.12、某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)．【答案】8【解析】设过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝⎛⎭⎫1－13n ≤0.1%，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.13、某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e －kt .如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．【答案】10【解析】由题设可得(1－0.1)P 0＝P 0e－5k，即0.9＝e－5k，故－5k ＝ln 0.9；又(1－0.19)P 0＝P 0e －kt ，即0.81＝e－kt，故－kt ＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k ，故t ＝10，应填10.14、渔场中鱼群的最大养殖量为m ，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)，则鱼群年增长量的最大值是________． 【答案】km4【解析】由题意，空闲率为1－xm ，∴y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－xm ，定义域为(0，m )， y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－x m ＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋km 4， ∵x ∈(0，m )，k ＞0，∴当x ＝m 2时，y m a x ＝km 4.15、拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元． 【答案】4.24【解析】∵m ＝6.5，∴[m ]＝6，则f (m )＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.16、某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克． 【答案】1909【解析】 前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.17、候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现， 该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？【答案】(1) ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2) 270【解析】(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，则a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，则a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则v ≥2， 所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．18、某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．【答案】(1) y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t ＞1. (2) 7916【解析】(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t ＞1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a ＝4得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t ＞1. (2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．19、已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用P A＝lg (n A)来记录A菌个数的资料，其中n A为A菌的个数，现有以下几种说法：①P A≥1；②若今天的P A值比昨天的P A值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个；③假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时5＜P A＜5.5.其中正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)【答案】③【解析】当n A＝1时P A＝0，故①错误；若P A＝1，则n A＝10，若P A＝2，则n A＝100，故②错误；设B菌的个数为n B＝5×104，∴n A＝10105×104＝2×105，∴P A＝lg(n A)＝lg 2＋5.又∵lg 2≈0.3，∴5＜P A＜5.5，故③正确．20、某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，那么，大约使用________年后，花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．【答案】4【解析】设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.化简得：x－6×0.9x＝0，令f(x)＝x－6×0.9x.因为f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3，4)上应有一个零点．故大约使用4年后，花费在该车上的费用达到14.4万元．21、某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·q x；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q＞1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)＝4，f(2)＝6.①求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．【答案】(1) f(x)＝x(x－q)2＋p(2) f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5) 9月、10月两个月【解析】(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p . (2)①对于f (x )＝x (x －q )2＋p ，由f (0)＝4，f (2)＝6，可得p ＝4，(2－q )2＝1， 又q ＞1，所以q ＝3，所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)． ②因为f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)， 所以f ′(x )＝3x 2－12x ＋9， 令f ′(x )＜0，得1＜x ＜3.所以函数f (x )在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．22、我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S (平方米)的AMPN 矩形健身场地．如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上．已知∠ACB ＝60°，|AC |＝30米，|AM |＝x 米，x ∈[10,20]．设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为37kS 元，再把矩形AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为12kS 元(k 为正常数)．(1)试用x 表示S ，并求S 的取值范围； (2)求总造价T 关于面积S 的函数T ＝f (S )；(3)如何选取|AM |，使总造价T 最低(不要求求出最低造价)?【答案】选取|AM |为12米或18米时总造价T 最低．【解析】(1)在Rt △PMC 中，显然|MC |＝30－x ，∠PCM ＝60°，|PM |＝|MC |·tan ∠PCM ＝3(30－x )， ∴矩形AMPN 的面积S ＝|PM |·|AM |＝ 3x (30－x )，x ∈[10,20]， ∴2003≤S ≤225 3.(2)矩形AMPN 健身场地造价T 1＝37k S ，又∵△ABC 的面积为4503，∴草坪造价T 2＝12kS (4503－S )．∴总造价T ＝T 1＋T 2＝25k ⎝ ⎛⎭⎪⎫S ＋2163S ， 2003≤S ≤225 3.(3)∵S ＋2163S≥1263，当且仅当S ＝2163S ，即S ＝2163时等号成立，此时3x (30－x )＝2163，解得x ＝12或x ＝18.23、某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可以近似地表示为：y ＝⎩⎨⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴． (1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【答案】(1) 5 000元 (2) 400吨【解析】(1)当x ∈[200,300]时，该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12(x －400)2， ∴当x ∈[200,300]时，S <0，因此，该项目不会获利． 当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损． (2)由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为： yx ＝⎩⎨⎧13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，，12x －200＋80 000x，x ∈[144，当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，∴当x ＝120时，yx 取得最小值240.当x ∈[144,500)时，y x ＝12x －200＋80 000x≥2x 2·80 000x－200＝400－200＝200， 当且仅当x 2＝80 000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.∵240>200，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．。