高中数学2.1.1合情推理教案(1)(新人教B选修2-2)

§2.1.1 合情推理(第一课时)一、教学目标：1、知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

2、过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

3、情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

二、教学重点：归纳推理及方法的总结。

三、教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。

四、教学过程：（一）问题情境：1、引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”①提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？②探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：A ：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B ：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

③思考：整个过程对你有什么启发？④启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

2、数学皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。

这是世界近代三大数学难题之一。

哥德巴赫是一位著名的数学家。

据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，于是他对一些偶数进行验证，由此他大胆地猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想，它是数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。

许多优秀的数学家都在努力证明这个猜想，而且也取得了很好的进展。

思考：哥德巴赫是如何提出这个猜想的？学生交流、探讨：他是通过对一些偶数的验证，发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没有出现反例，从而提出这个猜想。

（二）推进新课1、归纳推理的定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。

2、归纳推理的特点：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理【提出问题】在日常生活中，我们经常会自觉或不自觉的根据一个或几个已知事实或假设得出一个判断（为将来的行动作出预判）。

例如，当我们看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，会得出即将下雨的判断（出门带雨伞），这种思维方式就是推理。

从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知事实(或假设)叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论．例如：推理前提a>b,b>c_________________结论a>c中的“a>b,b>c”是前提，“a>c”是结论。

推理也可以看作是用连接词将前提和结论逻辑的连接，常用的连接词有：“因为……所以……”；“根据……可知……”；“如果……那么……”等．问题1：你能举出一个推理的例子吗？提示：气温从00以下逐渐升高，春天要来了。

推理一般分为合情推理与演绎推理。

【获得新知】考查以下事例中的推理：1856年，法国微生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因，接着通过对蚕病的研究，他发现细菌是引起蚕病的原因，据此，巴斯德推断：人身上的一些传染病也是由细菌引起的。

我国地质学家李四光发现，中国松辽地区和中亚西亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油。

从上述事例可以发现，其中的推理所得结论都是可能为真的判断，像这种前提为真时，结论可能为真的推理叫做合情推理。

归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。

1.归纳推理在学习等比数列时，我们是这样推导首项为a1公比为q的等比数列{a n}的通项公式的：a1=a1q0a2=a1q1a3=a1q2……___________等比数列通项公式是a n=a1q n-1这种根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）。

教学目标：1．了解类比推理的概念和归纳推理的作用，懂得类比推理与归纳推理的区别与联系．2．掌握类比推理的一般步骤． 3．能利用类比进行一些简单的推理．教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理． 教学难点：用类比进行推理，做出猜想．教学过程：一、 复习引入：1. 什么叫推理？推理由哪几部分组成？2. 合情推理的主要形式有 ．3. 归纳推理是从 事实中概括出 结论的一种推理模式．4. 归纳推理的特点: ．5．222233＋＝，333388＋＝，44441515＋＝，…，66a a b b＋＝（a ，b均为实数），请推测a ＝ b ＝ ．二、创设情境在案例2中，由矩形对角线的某一性质，推出长方体的对角线具有类似的性质．这个推理过程是归纳推理吗？我们再看几个类似的推理实例：1．据传，春秋时代鲁国的公输班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，发明了锯子．他的思维过程可能为：齿形草能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．2．试根据等式的性质猜想不等式的性质．等式与不等式有不少相似的属性，例如：三、构建新知上述几个例子均是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理（reasoning by analogy），简称类比法．类比推理的一般步骤：（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；（3）检验猜想，归纳推理的思维过程：类似推理的思维过程：实验，观察概括，推广猜测一般性结论四、数学运用例1 （G.波利亚的类比）类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质．解在实数的加法与乘法之间，可以建立如下的对应关系：加（＋）乘（×）加数、被加数乘数、被乘数和积等等，它们具有下列类似的性质：表2-1-2例2 试将平面上的圆与空间的球进行类比．圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合．球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合．圆截面圆弦大圆直径周长表面积圆面积球体积五、学生探究1．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想． 2．若数列{a n }为等差数列，且()m n a x a y m n m n N +＝，＝≠，，∈，则m n mx nya m n＋－＝－．现已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N ＋)为等比数列，且m b x ＝，n b y ＝ ()m n m n +N ≠，，∈类比以上结论，可得到什么结论？你能说明结论的正确性吗？六、课堂总结1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质．类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠．2．类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或者一致性．圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．七、课后作业教材第68页练习第1题，第2题，第3题，第4题．。

课堂导学三点剖析一,运用归纳推理发现新事实,获得新结论【例1】 在平面内观察:凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,凸六边形有9条对角线……由此猜想凸n 边形有几条对角线?解:凸四边形有2条对角线;凸五边形有5条对角线,比凸四边形多3条;凸六边形有9条对角线,比凸五边形多4条;……于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线.由此凸n 边形对角线条数为2+3+4+5+…+(n -2)=21n(n-3)(n≥4,n ∈N *). 温馨提示归纳推理是由部分到整体\,由个别到一般的推理,是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法,必须认真学习领会.在归纳推理的过程中,应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系,如本例中随多边形边数及对角线条数的共变现象作定量观察分析,才能发现其对角线条数的增加规律.二,运用类比推理揭示事物相似(相同)的性质【例2】 类比实数的加法和向量的加法,列出它们相似的运算性质.解:(1)两实数相加后,结果是一个实数,两向量相加后,结果仍是一个向量.(2)从运算律的角度考虑,它们都满足交换律和结合律,即a+b=b+a ；a+b=b+a.(a+b)+c=a+(b+c);(a+b)+c=a+(b+c).(3)从逆运算的角度考虑,二者都有逆运算,即减法运算.a+x=0与a+x=0都有唯一解,x=-a 与x=-a.(4)在实数加法中,任意实数与0相加都不改变大小,即a+0=a.在向量加法中,任意向量与零向量相加,既不改变该向量的大小,亦不改变该向量的方向,即a+0=a.温馨提示类比是对知识进行理线串点的好方法,在平时的数学学习与复习中,常常以一两个对象为中心,把与它有类比关系的对象归纳整理成一张图表,便于记忆与运用.三,利用合情推理探索新结论拓展知识【例3】 在△ABC 中,余弦定理可叙述为a 2=b 2+c 2-2bccosA,其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比以上定理,给出空间四面体性质的猜想.解:S 1、S 2、S 3、S 分别表示△PAB 、△PBC 、△PCA 、△ABC 的面积,α、β、γ依次表示平面PAB 与平面PBC,平面PBC 与平面PCA\,平面PCA 与平面PAB 所成二面角的大小,猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式应为S 2=S 12+S 22+S 32-2S 1S 2cosα-2S 2S 3cosβ-2S 3S 1cosγ. 上式可叙述为四面体的一个面的面积的平方,等于其他各面面积平方的和,减去每两个面面积与这两个面夹角余弦乘积的两倍.关于三维余弦定理的证明问题我们可以类比平面中的三角形射影定理来证明三角形余弦定理的方法,给出较简捷的证法.各个击破类题演练1意大利数学家斐波那契(L.Fibonacci)在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题:假定每对大兔子每月能生一对小兔子,而每对小兔子过了一个月就可长成大兔子,如果不发生死亡,那么由一对大兔子开始,一年后能有多少对大兔子呢?我们依次给出各个月的大兔子对数,并一直推算下去到无尽的月数,可得数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….这就是斐波那契数列,此数列中a 1=a 2=1,你能归纳出,当n≥3时a n 的递推关系式吗?解：从第3项开始,逐项观察分析每项与其前面几项的关系易得:从第3项起,它的每一项等于它的前面两项之和,即a n =a n-1+a n-2(n≥3,n ∈N *).变式提升1数列{a n }中,a 1=2,a n+1=13+n n a a ,n ∈N *,依次计算a 2\,a 3\,a 4,并归纳猜想出a n 的表达式. 解：a 2=1162123216272162+⨯=+⨯=+==+ a 3=126214321122132172372+⨯=+⨯=+==+⨯, a 4=1362163211821921136132+⨯=+⨯=+==+, 故a n =5621)1(62-=+-⨯n n . 类题演练2类比圆的下列特征,找出球的相关特征.(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;(2)平面内不共线的3个点确定一个圆;(3)圆的周长与面积可求;(4)在平面直角坐标系中,以点(x 0,y 0)为圆心\,r 为半径的圆的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=r 2. 解：(1)在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球;(2)空间中不共面的4个点确定一个球;(3)球有表面积与体积;(4)在空间直角坐标系中,以点(x 0,y 0,z 0)为球心,r 为半径的球的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2=r 2. 变式提升 2从大小正方形的数量关系上,观察如右图所示的几何图形,试归纳得出的结论. 解：从大,小正方形的数量关系上容易发现1=12,1+3=2×2=22,1+3+5=3×3=32,1+3+5+7=4×4=42,1+3+5+7+9=5×5=52,1+3+5+7+9+11=6×6=62.观察上述算式的结构特征,我们可以猜想:1+3+5+7+…+(2n -1)=n 2.类题演练 3S n =)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n ,求出S 1,S 2,S 3,S 4,并归纳猜想S n 的表达式. 解：取n=1,2,3,4,计算可得S 1=21,S 2=32,S 3=43,S 4=54,观察4个结果,都是分数,分子正好等于和式的项数,分母比分子大1,故归纳猜想S n =1+n n . 计算可得S n =(1-21)+(21-31)+…+n 1-1+n n =1-1+n n =1+n n . 变式提升 3观察下列已有的数的规律在( )内填入恰当的数.11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 (①)(②)(③)(④) 11 (⑤)(⑥)(⑦)(⑧)(⑨) 1解：①到⑨依次为5,10,10,5,6,15,20,15,6,每个数均为该数两肩之上的数之和.。

2.1.1合情推理（归纳推理）【教学目标】理解合情推理的概念，掌握归纳推理与类比推理的方法；通过本节的学习，掌握归纳法和类比法的步骤，体会逻辑推理的严谨性；体会数学在现实生活中的应用.【教学重点】归纳推理的概念 【教学难点】利用归纳推理进行简单的推理一、课前预习：（阅读教材53—54页，完成知识点填空）1.根据______或______已知事实（ ）得出_____________，这种思维方式称为 。

推理都是由________和________两部分组成，推理可分为_________与______________2.__________________________________的推理叫做合情推理。

3.______________和____________是数学中常见的合情推理.4.根据一类事物的 具有某种性质，推出这类事物的____________都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称_______）.5.归纳推理的一般步骤：1. ；2. .二、课上学习：例1.蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，结论______________.例2.参照教材54—55页两个例题，完成下列问题（1）=+321 ；=++33321 ；=+++3334321 ；=++++333354321猜想：=++++333...321n（2）=+==+n n n n n a a a a a a 猜测它的通项公式：并且中，数列,1111 （3）已知：2223sin 30sin 90sin 1502++=，2223sin 5sin 65sin 1252++=。

观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题 .三、课后练习：教材55页探索与研究：归纳凸多面体的面数、顶点数、棱数之间的关系.。

课题：2.1.1 合情推理
题进行检验。

S n 具有P(S 「S 2, ,S n 是A 类事物的对象)
例1用推理的形式从函数
值，
并验证其真假。

可见，归纳推理得出的结论不可靠还需要进一步作出判断。

因为归纳推理的基 础是对个别或部分对象的实验和观察，而缺乏对全体对象的考察，因而所得的结论 具有豁然性，只能称之为归纳猜想，其正确与错误是需要严格论证的。

例2用归纳推理的思想填空
这个数列的通项公式。

例 4、：设 f(n) n 2
n 41, n N ，计算 f(1), f(2), f (3) f(10)的值，同时作出归
纳推理，
并用n 40的值说明猜想的结论是否正确。

例5:在平面上有n 条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点， 问：这些直线把平面分成多少部分？ 有效训练：1、通过计算152
,25 2
,352
,452
，你能很快算出1995?吗?
x
2 、设 f (x)
------ ，试求 f[f(x)], f{ f[f(x)]}, f{ f{ f[f(x)]}}的解析式，并 V 1 x 2
数)， (1) 设 x (2) 已知 请推测a ___________ ,b ________ 1 3
x
6艮(a,b 均为实 i b
例3、已知数列｛a n ｝的第一项a 1 1,且a n 1
a n 1 a n
(n 1,2,3 )，试用归纳法归纳出
、对所提出的一般性命
所以，A 类事物具有P.
3、例题分析：
f(x) (x 1)(x 2) (x 1000) 8中归纳出 f(n)(n N *)的。

教学目标：1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用．2．掌握归纳推理的一般步骤．3．能利用归纳进行一些简单的推理．教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理．教学难点：用归纳进行推理，做出猜想．教学过程：一、创设情境从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．下面我们来看3个推理案例：案例1 前提 当0n ＝时， 21111n n －＋＝； 当1n ＝时，21111n n －＋＝； 当2n ＝时，21113n n －＋＝； 当3n ＝时，21117n n －＋＝；当4n ＝时，21123n n －＋＝； 当5n ＝时，21131n n －＋＝．11，11，13，17，23， 31都是质数． 结论 对于所有的自然数n ，211n n －＋的值都是质数．案例2 前提 矩形的对角线的平方等于长、宽的平方和．结论 长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和．案例3 前提 所有的金属都能导电，铜是金属．结论 铜能导电．三个推理案例的共同点是它们都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是在推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可以分为合情推理与演绎推理．二、构建新知在案例1中，由“对自然数n 的几个特殊值，211n n －＋都是质数”，推出“对所有自然数n ，211n n －＋都是质数．”我们再看几个类似的推理实例：1．蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的．因为蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所以我们猜想所有的爬行动物都是用肺呼吸的．2．三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒．归纳推理的一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；（2）提出带有规律性的结论，即猜想；（3）检验猜想．归纳推理的思维过程：三、数学运用例1 已知数列{a n }的每一项均为正数，221111(12)n n a a a n ＋＝，＝＋＝，，，试归纳出数列{a n }的一个通项公式．分析 学生通过具体的：当1n ＝时，11a ＝，当2n ＝时，2a ，当3n ＝时，2a 由此我们猜想{a n }的一个通项公式为n a ．例2 已知数列{a n }的通项公式21()(1)n a n n +N ＝∈＋， 12()(1)(1)(1)n f n a a a ⋅⋅⋅＝－－－．试通过计算(1)(2)(3)f f f ，，的值，推测出()f n 的值．分析 学生讨论结果预测如下：113(1)1144f a ＝－＝－＝ 1213824(2)(1)(1)(1)(1))94936f a a f ⋅⋅＝－－＝－＝＝＝ 12312155(3)(1)(1)(1)(2)(1)163168f a a a f ⋅⋅＝－－－＝－＝＝ 由此猜想，2()2(1)n f n n ＋＝＋ 四、学生探究 1．已知111()1()23f n n n +⋅⋅⋅N ＝＋＋＋＋∈，经计算：3(2)2f ＝，(4)2f ＞，5(8)2f ＞，(16)3f ＞，7(32)2f ＞，推测当2n ≥时，有_______________________． 2．已知：2223sin 30sin 90sin 1502＋＋＝，2223sin 5sin 65sin 1252＋＋＝． 观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之．3．观察（1）tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101＋＋＝． （2）tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51＋＋＝． 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．五、课堂总结1．归纳推理的特点：（1）归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围．（2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性．（3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上． 提出带有规律性的结论．（4）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理．通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．2．归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况发现某些相同的性质．（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）．六、课后作业教材第66页练习第2题，第3题，第4题，第5题．。

导学案：2.1合情推理与演绎推理
教学目标：让学生了解合情推理与演绎推理的概念
教学重点、难点：合情推理与演绎推理的概念及区别
知识链接：
1．合情推理的基本概念
（1）从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是以知的事实（或假设），叫做；一部分是由以知判断推出的新判断，叫做
（2）合情推理的主要形式有和
（3）归纳推理包括和
（4）根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中异类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做
2．演绎推理的基本概念
（1）根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理，叫做
（2）数学中常用演绎推理的规则是，，
（3）“三段论”推理的一般模式包括，，
（4）把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做
3．几种推理的比较
（1）归纳推理是的推理
类比推理是的推理
（2）合情推理的结论
演绎推理的结论
例题讲解：
例1．观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？
例2.把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立：
1）如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必于另一条相交。

2）如果两条直线同时垂直与第三条直线，则这两条直线平行。

例3.（1）证明21001不能被2整除
（2）在锐角三角形ABC中，E
,⊥
⊥是垂足。

求证：的中点M到E
D,的距离相等。

,
AD,
AC
BE
BC
D。

数学：2.1.1《合情推理》教案（1）（新人教B选修2-2）合情推理【教学目标】：1、结合已经学过的教学实例和生活实例，了解推理的含义；2、了解归纳推理的含义，并能用归纳的方法进行简单的推理。

【教学过程】：一、案例引入：在日常生活中，我们常常遇到这样一些问题：1、看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，你能得出什么判断？2、张三今天没来上学，我们会有什么判断？3、八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯；4、朝霞不出门，晚霞行千里；5、瑞雪兆丰年。

问：这些实例具有什么样的共同特征？二、新授：1、推理：（1）定义：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理（2）结构：推理的前提：所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；推理的结论：根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么。

（3）一般形式：注：推理也可看作是用连接词将前提和结论连结起来的一个逻辑连接。

常用的连接有："因为...所以..."、"如果...那么..."、"根据...可知..."等等形式。

下面是三个推理案例：（1）前提当时，（2）前提矩形的对角线的平方等于长和宽的平方和当时，结论长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和当时，（3）前提所有的树都是植物，当时，梧桐是树当时，结论梧桐是植物当时，都是质数结论对于所有的自然数的值都是质数（4）分类：推理一般可分为"合情推理"和"演绎推理"两种类型。

问题引入：分析下列几个推理，寻找它们的共同特征：（1）蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物，所以，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

（2）三角形的内角和是，凸四边形的内角和是，凸五边形的内角和是，...，所以，凸边形的内角和是。

（3），由此，我们得到，（均为正实数）2、归纳推理：（1）定义：上述几个例子均是从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

高中数学第二章《2.1.1. 1合情推理》教案新人教A版选修2-2 "1．教学目标：(1)知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

(2)过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

(3)情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

2．教学重点：归纳推理及方法的总结。

3．教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

6．教学过程：学生探究过程：(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠—“歌德巴赫猜想”。

世界近代三大数学难题之一。

哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。

1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。

如6＝3＋3，12＝5＋7等等。

公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

(b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。

欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。

从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。

当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3+ 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 =5 + 13, . . . . 等等。

《合情推理》的教学设计【教学内容与教学内容解析】1、教学内容推理、合情推理、归纳推理的含义，作用；归纳推理的一般步骤；会利用归纳进行简单的推理.2、教学内容解析本节内容是普通高中程标准实验教科书《数学》人教B版（选修2-2）中第二章《推理与证明》的起始内容. 《推理与证明》是数学的一种基本思维过程，也是人们在学习和生活中经常使用的一种思维方式. 《推理与证明》是新课标教材的亮点，贯穿于高中数学的整个知识体系，本章为《推理与证明》的方法进行总结，归纳，同时也对后续知识的学习起到引领作用.推理包括合情推理和演绎推理，合情推理是一种含有较多猜想成分的推理，它有助于发现新的规律和事实.在数学中，合情推理得到命题的真实性需要通过证明来确立. 一系列演绎推理实际上就组成了数学证明，在解决实际问题中，发现新规律和事实我们更多的使用合情推理，而证明规律和事实一般使用演绎推理，合情推理和演绎推理紧密相连，相铺相成.节内容属于数学思维方法的范畴，在教学过程中让学生了解归纳推理的含义，体会归纳推理的作用，注重归纳推理的过程，加深对数学发现过程的认识，能够让学生更好的体会数学的本质.【教学目标与教学目标解析】1、教学目标：（1）知识与技能：了解推理、合情推理、归纳推理的含义、作用，掌握归纳推理的一般步骤，能够利用归纳进行一些简单的推理.（2）过程与方法：在欣赏哥德巴赫猜想的过程中，学习如何利用归纳推理去发现新事物，获得新结论，从而让学生对归纳推理有一个理性的认识，不仅停留在概念层次，更是一个数学过程.（3）情感与态度：通过教师引导，学生主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索，互相协作的优良作风，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维能力，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度.2、目标解析教学目标（1）和（2）是本节课的教学重点也是难点. 借助学生已有生活常识，形成推理以及合情推理的直观认识；从等差数列通项公式的推导过程中总结归纳推理的概念；让学生通过欣赏歌德巴赫猜想产生的过程，对归纳推理有初步认识，体验数学的一种基本思维过程，总结归纳推理的一般步骤，经历人们学习和生活中经常使用的思维活动. 教学目标（2）是学生初学时不易达到的目标，教学时要紧密地结合学生熟悉的已学过的数学实例和生活实例，让学生体会观察“几个事实”时应该关注的要点，如何观察更能发现“几个事实”中的“共性”.【教学问题诊断分析】（1）如何发现“几个事实”的“共性”，也就是“如何去观察，才能发现规律”. 这是学生学习时遇到的第一个教学问题，也是本节课的教学难点之一. 教学时，应通过实例，帮助学生总结出观察一定要有目标，数、式变形；语言的转化以及多角度的观察等都是有效的途径，并用具体问题让学生练习进行体会.（2）在充分体会了归纳推理的生活实例和数学实例以及其他学科实例之后，学生充分感受到数学美和发现规律的喜悦，能够自主总结出归纳推理的一般步骤，但是容易忽略归纳推理所得结论的不可靠性，从而忽略检验的步骤. 所以本节课设计了一道例题，经过验证后得出猜想是不正确的，体会数学发展的螺旋上升过程.（3）归纳推理的作用：对于归纳推理的作用，不能片面认为“万能”的，也不能由于归纳结论的或然性而否定其在科学中的发现作用，所以通过例题的设置、同学的分析和讨论、教师的必要讲解，要让学生对归纳推理有一个全方位的立体的认识.【教学支持条件】（1）在进行本节课的教学时，学生已经有大量的运用归纳推理生活实例和数学实例，这些内容是学生理解归纳推理的重要基础，因此教学时应充分注意这一教学条件，引导学生多进行归纳与概括.（2）数学史上有一些著名的猜想是运用归纳推理的典范，教学这一内容时应充分利用这一条件，不仅可让学生体会归纳推理的过程，感受归纳推理能猜测和发现一些新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向的作用，还可利用著名猜想让学生体会数学的人文价值，激发学生学习数学的兴趣和探索真理的欲望.【教学过程设计】一、推理推理：根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断的思维方式.推理的结构1：已知的事实（或假设） ——前提由已知推出的判断 ——结论推理的结构2：用连接词将前提和结论逻辑的连接.二、合情推理 （1）1856年，法国微生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因，接着，通过对蚕病的研究，他发现细菌是引起蚕病的原因，据此，巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的；（2）我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，因此，他推断松辽地区也蕴藏着丰富的石油；（3）三角形的内角和是180(32), ︒⨯-四边形的内角和是180(42), ︒⨯-五边形的内角和是180(52)......︒⨯-所以n 边形的内角和是180(n 2).︒⨯-通过这些例子我们发现，前提都是真的，结论可能为真，像这样的推理我们叫做合情推理.设计意图：从实际生活，数学，其他科学展示合情推理的例子，提高学生的学习兴趣，认识到数学与实际生活紧密相连，密不可分.三、从等差数列通项公式的推导的过程中总结归纳推理的概念等差数列通项公式的推导 112113210,1,2,......____________________a a d a a d a d a a d a d =+=+=+=+=+等差数列{}n a 的通项公式是1(n 1)d.n a a =+- 归纳推理概念：根据一类事物的部分对象具有的某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）.设计意图：从学生已知的知识出发，总结出归纳推理的概念，并且引导学生注意，如何发现共同的性质，如何表述得出的一般性命题，让学生重视归纳推理的方法和过程，而不仅仅是概念，抓住重点.四、展示哥德巴赫猜想过程，总结归纳推理的步骤1、从一下几个式子你能发现什么？6=3+38=3+5,10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11，16=3+13=5+11.结论：3,7,13,17都是奇质数，10,20,30都是偶数，它们写成了两个奇质数的和.2、你能得到一般的结论吗？是所有的偶数都能写成两个质数的和吗？显然2,4不能写成奇质数的和，第一个等于两个奇质数和的偶数是 6=3+3，接着有8=3+5,10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11，16=3+13=5+11.这样下去总是对的吗？无论如何我们所观察到的个别情况，可以启发我们提出一个一般性的命题：任何一个大于4的偶数都是两个奇质数的和.3、哥德巴赫猜想是如何被发现的呢？（归纳推理的步骤）几个事实 观察 得出一般性命题寻找共同特征一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就可能为真.【例题精讲】例1、用推理的形式表示等差数列1,3,5，…，（2n-1）,…的前n 项和n S 的归纳过程. 设计意图：巩固归纳推理的步骤，体会如何发现共性，为了便于观察有时候需要做适当的变形以更加突出共性.例2、设2()41, f n n n n N +=++∈,计算f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(10) 的值，同时做出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确.设计意图：巩固归纳推理的步骤，更重要的是要学生注意，归纳推理的前提与结论具有或然性联系，结论不一定正确.结论的正确性还需要理论证明或实验检验.但归纳推理有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于数学的发展是非常有用的，是数学研究的基本方法之一.【小结】归纳推理的含义，作用，步骤设计意图：通过归纳总结，使学生对本节课有一个明晰的认识，并且抓住重点. 【板书】2.1合情推理与演绎推理⎧⎨⎩合情推理推理演演推理1. 归纳推理2.1.1 合情推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出前提为真，结论可能为真的推理叫做所有对象都具有这种性质的推理（简称归纳）. 合情推理. 归纳从特殊到一般.⎧⎨⎩归纳推理合情推理类比推理2、一般步骤：几个事实观察得出一般性命题寻找共同特征【布置作业】P56练习题A1,2有能力的同学在完成探索与研究设计意图:巩固归纳推理的步骤，方法的重要性，面向全体又实现分层教育.。

§2.1.1合情推理与演绎推理〔一〕[内容分析]：归纳是重要的推理方法，在掌握一定的数学基础知识〔如数列、立体几何、空间向量等等〕后，对数学问题的探究方法加以总结，上升为思想方法。

[教学目标]：1、知识与技能：〔1〕结合数学实例，了解归纳推理的含义〔2〕能利用归纳方法进行简单的推理，2、过程与方法：通过课例，加深对归纳这种思想方法的认识。

3、情感态度与价值观：体验并认识归纳推理在数学发现中的作用。

[教学重点]：〔1〕体会并实践归纳推理的探索过程〔2〕归纳推理的局限[教学难点]：引导和训练学生从的线索中归纳出正确的结论)，试归纳出通项→如何证明：将递推公式变k 时命题成立，再证由这两步，可以归纳出什么结论？ 〔目的：渗[练习与测试]： 〔基础题〕1〕数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于〔〕A ．28B ．32C ．33D ．272〕从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。

3)定义,,,A B B C C D D A ****的运算分别对应以下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么以下图中的〔A 〕、〔B 〕所对应的运算结果可能是〔〕.〔1〕 4〕 〔A A.,B D A D ** B.,B D A C ** C.,B C A D ** D.,C D A D ** 4)有10个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________． 5)在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝， 第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形， 第三件首饰如图2， 第四件首饰如图3， 第五件首饰如图4， 以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六变形，依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝，第n 件首饰所用珠宝总数为_________________颗.6)n n a n na 11+=+〔n=1.2. …〕11=a 试归纳这个数列的通项公式答案：1〕B 523,1156,20119,-=-=-=推出2012,32x x -==2〕2*1...212...32(21),n n n n n n n N ++++-+++-=-∈ 注意左边共有21n -项 3〕B4〕〔n-2〕3605〕 91,1+5+9+…4n+1=2n 2+3n+1 6〕 a 1=1,a 2=21 a 3=31… a n =n1〔中等题〕1〕观察以下的图形中小正方形的个数，那么第n 个图中有个小正方形.2〕-1 ．3 ．-7 ．15 ．( ) ，63 ， ， ， 括号中的数字应为〔 〕 A.33 B.-31 C.-27 D.-57 3)设平面内有n 条直线〔n ≥ 3〕，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，假设用表示 n 条直线交点的个数，那么 f 〔4 〕=( ) A.3 B.4 C.5 D.64)顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,的前4项,由此猜测123...)1()1(...321++++-++-++++=n n n a n 的结果. 答案：1〕1+2+3+4+…+(n+1)=)2)(1(21++n n 2〕B 正负相间，3＝1+2，7＝3+22，15＝7+23，15+24＝31，31+25＝63 3〕C4〕依次为，1，22，32，42，所以a n =n 2〔难题〕1)．迄今为止，人类已借助“网格计算〞技术找到了630万位的最大质数。

普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2[人教版A]2.1.1合情推理教学目标：结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用教学过程一、引入新课1归纳推理(一)什么是归纳推理归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。

归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。

也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。

拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。

由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。

”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。

这里就有着归纳推理的运用。

(二)归纳推理与演绎推理的区别和联系归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般。

其实，从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。

一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实。

而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的。

也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。