人教版高中数学选修4-1全套教案

D AA ′ M N NA A ′B ′ B 直角三角形的射影定理教学目标（一） 知识与技能1．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题；2．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力．（二）过程与方法类比正方体、长方体的表面积，讨论柱体、锥体、台体的表面积的求法．（三） 情感态度与价值观通过小组活动，让学生体验合作学习的愉悦，培养学生团队合作精神．教学重点 射影定理的证明．教学难点 建立三角形以外的、和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系．教学方法 师生协作共同探究法．教学用具 黑板 多媒体教学过程设计一 复习引入前面已经学习了相似三角形的判定定理及性质定理，请学生回答以下两个问题：1．相似三角形的判定定理及性质定理分别是什么？2．如何判定两个直角三角形相似？（通过这两个问题很自然地过渡到本节课要讨论的问题．）二 新知探究如图，⊿ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．提出问题：图11．在这个图形中,有哪几组相似三角形？（三组：△ACD 与△CBD ，△BDC 与△BCA ，△CDA 与△BCA ）2．把学生分为三组，分组讨论：结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找每组三角形中的线段长度关系： △ACD 与△CBD 中，CD 2= AD·BD ,△BDC 与△BCA 中，BC 2= BD·AB ,△CDA 与△BCA 中，AC 2= AD·AB ．这三个关系式形式上完全一样，但不便于记忆，因此，在这里教师适时的引入射影的定义： 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．一条直线在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影之间的线段． C BA点和线段的正射影简称为射影．图2请学生结合射影定义及图1，观察三个关系式的特点，在此基础上，即可得出射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．三 例题分析 例1 如图3，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ．AD=2，DB=8,求CD 、AC 和BC 的长．解：∵∠ACB 是半圆上的圆周角，∴∠ACB=90°，即⊿ABC 是直角三角形．由射影定理可得：CD 2=AD·BD=2×8=16，解得CD=4；AC 2=AD·AB=2×10=20，解得AC=25； BC 2=BD·AB=8×10=80，解得BC= 45． （师生一起分析思路，由学生完成求解．）图3 图4例2 如图4，⊿ABC 中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且CD 2=AD·BD．求 证：⊿ABC 是直角三角形．证明：在⊿CDA 和⊿BDC 中，∵点C 在AB 上的射影为D ，∴CD⊥AB． ∴∠CDA=∠BDC=90°．又∵CD 2=AD·BD，∴AD:CD=CD:DB．∴⊿CDA∽⊿BDC．在⊿ACD 中， ∵∠CAD+∠ACD=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°．∴∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°．∴⊿ABC 是直角三角形． A D CA D O BC M NN NBb（该例题表明，射影定理的逆定理也是成立的．学生在这个①“射影”总是与“垂直”相伴，由此可以与“直角三角形”相联系；②我们往往将等式CD 2=AD·B D 变形为DBCD CD AD ,这个比例式启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形” ．学生明确了上述思路就容易得出本例的证明了．）四 课堂练习1 在⊿ABC 中，∠C=90°, CD 是斜边AB 上的高．已知CD=60，AD=25，求BD 、AB 、AC 、BC 的长．（直接运用射影定理．）2 如图，已知线段a 、b ，求作线段a 和b 的比例中项．(引导学生根据射影定理的三个公式考虑是否有不同的作图方法．)五 课堂小结 （引导学生从知识内容和思想方法两方面进行归纳．）1 知识内容：掌握射影定理及其逆定理，并能熟练运用．2 思想方法：化归．六 课后作业1 基础训练：在⊿ABC 中，∠C=90°, CD⊥AB，垂足为D ，AC=12,BC=5,求CD 的长．2 小组探究：请学生以四人学习小组为单位，探究是否还有其它的方法来证明射影定理．（培养学生的创造性思维及团结协作的能力．）a。

_1.3圆幂定理与圆内接四边形1．3.1圆幂定理[对应学生用书P25][读教材·填要点]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．3．圆幂定理已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A，B两点，则PA·PB为定值，设定值为k，则：(1)当点P在圆外时，k＝PO2－r2，(2)当点P在圆内时，k＝r2－OP2，(3)当点P在⊙O上时，k＝0.[小问题·大思维]1．从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积有什么关系？提示：相等．2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．[对应学生用书P26][例1] 如图，AB 、CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝23a ，∠OAP ＝30°，求CP 的长．[思路点拨] 本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用．解决本题需要先在Rt △OAP 中，求得AP 的长，然后利用相交弦定理求解．[精解详析] ∵P 为AB 的中点， ∴由垂径定理得OP ⊥AB .在Rt △OAP 中，BP ＝AP ＝a cos30°＝32a . 由相交弦定理，得BP ·AP ＝CP ·DP ， 即⎝⎛⎭⎫32a 2＝CP ·23a ，解之得CP ＝98a .在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．1．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析：因为AF ＝3，EF ＝32，FB ＝1，所以CF ＝AF ·FB EF ＝3×132＝2，因为EC ∥BD ，所以△ACF ∽△ADB ，所以AF AB ＝CF BD ＝AC AD ＝AD －CD AD ＝34，所以BD ＝CF ·AB AF ＝2×43＝83，且AD ＝4CD ，又因为BD 是圆的切线，所以BD 2＝CD ·AD ＝4CD 2， 所以CD ＝43.答案：43[例2] 自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点，过点M 引圆的割线交圆于B ，C 两点，且∠BMP ＝100°，∠BPC ＝40°.求∠MPB 的大小．[思路点拨] 本题考查切割线定理，由定理得出△BMP ∽△PMC 而后转化角相等进行求解．[精解详析] 因为MA 为圆O 的切线， 所以MA 2＝MB ·MC . 又M 为PA 的中点， 所以MP 2＝MB ·MC . 因为∠BMP ＝∠PMC ， 所以△BMP ∽△PMC ， 于是∠MPB ＝∠MCP .在△MCP 中，由∠MPB ＋∠MCP ＋∠BPC ＋∠BMP ＝180°，得∠MPB ＝20°.相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．。

一平行线等分线段定理[对应学生用书P1]1．平行线等分线段定理(1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)用符号语言表述：已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A 、B 、C 和A ′、B ′、C ′(如图)，如果AB ＝BC ，那么A ′B ′＝B ′C ′.[说明](1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线；它是由三条或三条以上的平行线组成的．(2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等． 2．平行线等分线段定理的推论[对应学生用书P1][例1] 已知如图，直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，l ，l ′分别交l 1，l 2，l 3，l 4于A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1，AB ＝BC ＝CD .求证：A 1B 1＝B 1C 1＝C 1D 1.[思路点拨] 直接利用平行线等分线段定理即可． [证明] ∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝BC ， ∴A 1B 1＝B 1C 1.∵直线l 2∥l 3∥l 4且BC ＝CD ， ∴B 1C 1＝C 1D 1， ∴A 1B 1＝B 1C 1＝C 1D 1.平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明．1．已知：如图，l1∥l 2∥l 3，那么下列结论中错误的是( ) A ．由AB ＝BC 可得FG ＝GH B ．由AB ＝BC 可得OB ＝OG C ．由CE ＝2CD 可得CA ＝2BC D ．由GH ＝12FH 可得CD ＝DE解析：OB 、OG 不是一条直线被平行线组截得的线段． 答案：B2．如图，已知线段AB ，求作线段AB 的五等分点．作法：如图，(1)作射线AC ；(2)在射线AC 上依任意长顺次截取AD ＝DE ＝EF ＝FG ＝GH ；(3)连接HB ；(4)过点G ，F ，E ，D 分别作HB 的平行线GA 1，F A 2，EA 3，DA 4，分别交AB 于点A 1，A 2，A 3，A 4.则A 1，A 2，A 3，A 4就是所求的五等分点． 证明：过点A 作MN ∥HB ， 则MN ∥DA 4∥EA 3∥F A 2∥GA 1∥HB . 又AD ＝DE ＝EF ＝FG ＝GH ，∴AA 4＝A 4A 3＝A 3A 2＝A 2A 1＝A 1B (平行线等分线段定理)．[例2] 交AD 的延长线于E .求证：AG ＝2DE .[思路点拨] AF ＝FC ，GF ∥EC →AG ＝GE →△BDG ≌△CDE →AG ＝2DE [证明] 在△AEC 中， ∵AF ＝FC ，GF ∥EC ， ∴AG ＝GE . ∵CE ∥FB ，∴∠GBD ＝∠ECD ，∠BGD ＝∠E . 又BD ＝DC ， ∴△BDG ≌△CDE .故DG ＝DE ，即GE ＝2DE ， 因此AG ＝2DE .此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果．3.如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，OE 平行于AB 交BC 于E ，AD ＝6，求BE 的长．解：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以OA ＝OC ，BC ＝AD . 又因为AB ∥DC ，OE ∥AB ， 所以DC ∥OE ∥AB . 又因为AD ＝6，所以BE ＝EC ＝12BC ＝12AD ＝3.4．已知：AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F . 求证：AF ＝13AC .证明：如图，过D 作DG ∥BF 交AC 于G .在△BCF 中，D 是BC 的中点， DG ∥BF ，∴G 为CF 的中点．即CG ＝GF .在△ADG 中，E 是AD 的中点，EF ∥DG ， ∴F 是AG 的中点．即AF ＝FG . ∴AF ＝13AC .[例3] 已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，M 是CD的中点，求证： AM ＝BM .[思路点拨] 解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件． [证明] 过点M 作ME ∥BC 交AB 于点E ， ∵AD ∥BC ， ∴AD ∥EM ∥BC .又∵M 是CD 的中点， ∴E 是AB 的中点． ∵∠ABC ＝90°， ∴ME 垂直平分AB . ∴AM ＝BM .有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理的推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．5．若将本例中“M 是CD 的中点”与“AM ＝BM ”互换，那么结论是否成立？若成立，请给予证明．解：结论成立．证明如下： 过点M 作ME ⊥AB 于点E ， ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴AD ⊥AB ，BC ⊥AB . ∵ME ⊥AB ，∴ME ∥BC ∥AD . ∵AM ＝BM ，且ME ⊥AB ，∴E 为AB 的中点，∴M 为CD 的中点．6．已知：如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点A ，B ，C ，D ，O 分别作直线a 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，D ′，O ′；求证：A ′D ′＝B ′C ′.证明：∵▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵AA ′⊥a ，OO ′⊥a ，CC ′⊥a ， ∴AA ′∥OO ′∥CC ′.∴O ′A ′＝O ′C ′. 同理：O ′D ′＝O ′B ′.∴A ′D ′＝B ′C ′.[对应学生用书P3]一、选择题1．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且EF ＝2 cm ，则AB ＋CD 等于( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm解析：由梯形中位线定理知EF ＝12(AB ＋CD )，∴AB ＋CD ＝4 cm. 答案：D2．如图，AD 是△ABC 的高，E 为AB 的中点，EF ⊥BC 于F ，如果DC ＝13BD ，那么FC 是BF 的( )A.53倍 B.43倍 C.32倍 D.23倍 解析：∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD . 又E 为AB 的中点，由推论1知F 为BD 的中点， 即BF ＝FD .又DC ＝13BD ，∴DC ＝23BF .∴FC ＝FD ＋DC ＝BF ＋DC ＝53BF .答案：A3．梯形的中位线长为15 cm ，一条对角线把中位线分成3∶2两段，那么梯形的两底长分别为( )A ．12 cm 18 cmB ．20 cm 10 cmC ．14 cm 16 cmD ．6 cm 9 cm解析：如图，设MP ∶PN ＝2∶3，则MP ＝6 cm ，PN ＝9 cm.∵MN 为梯形ABCD 的中位线，在△BAD 中，MP 为其中位线， ∴AD ＝2MP ＝12 cm. 同理可得BC ＝2PN ＝18 cm. 答案：A4．梯形的一腰长10 cm ，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm ，则此梯形的面积为( )A ．30 cm 2B ．40 cm 2C ．50 cm 2D ．60 cm 2解析：如图，过A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm ，∴AD ＋BC ＝2×12＝24(cm)． ∴梯形的面积S ＝12(AD ＋BC )·AE＝12×5×24＝60 (cm 2)． 答案：D 二、填空题5．如图所示，已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A 、B 、C 和A ′、B ′、C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32，则B ′C ′＝________.解析：直接利用平行线等分线段定理． 答案：326.如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ，CD ＝12AD ，若EG ＝2 cm ，则AC ＝______；若BD ＝10 cm ，则EF ＝________.解析：由E 是AB 的中点，EF ∥BD ，得EG ＝12AD ＝FD ＝2 cm ，结合CD ＝12AD ，可以得到F 、D 是AC 的三等分点， 则AC ＝3EG ＝6(cm)．由EF ∥BD ，得EF ＝12BD ＝5(cm)．答案：6 cm 5 cm7．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 的中点，EF ∥BC ，G 是BC 边上任一点，如果S △GEF ＝2 2 cm 2，那么梯形ABCD 的面积是________cm 2.解析：因为E 为AB 的中点，EF ∥BC ， 所以EF 为梯形ABCD 的中位线， 所以EF ＝12(AD ＋BC )，且△EGF 的高是梯形ABCD 高的一半， 所以S 梯形ABCD ＝4S △EGF ＝4×2 2 ＝82(cm 2)． 答案：8 2 三、解答题8．已知△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是BC 的三等分点(BE >CE )，AE 、CD 交于点F . 求证：F 是CD 的中点．证明：如图，过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，在△ABE 中，∵AD ＝BD ，DG ∥AE ， ∴BG ＝GE .∵E 是BC 的三等分点， ∴BG ＝GE ＝EC .在△CDG 中，∵GE ＝CE ，DG ∥EF ， ∴DF ＝CF .即F 是CD 的中点．9．如图，先把矩形纸片ABCD 对折后展开，并设折痕为MN ；再把点B 叠在折痕线上，得到Rt △AB 1E .沿着EB 1线折叠，得到△EAF .求证：△EAF 是等边三角形．证明：因为AD∥MN∥BC，AM＝BM，所以B1E＝B1F.又因为∠AB1E＝∠B＝90°，所以AE＝AF，所以∠B1AE＝∠B1AF.根据折叠，得∠BAE＝∠B1AE，所以∠BAE＝∠B1AE＝∠B1AF＝30°，所以∠EAF＝60°，所以△EAF是等边三角形．10.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，四边形ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F.求证：EF＝FC.证明：法一：如图，连接BE交AF于O，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BO＝OE.又∵AF∥BC，∴EF＝FC.法二：如图，延长ED交BC于点H，∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥ED，AB∥DH，AB＝ED.又∵AF∥BC，∴四边形ABHD是平行四边形．∴AB＝DH.∴ED＝DH.∴EF＝FC.法三：如图，延长EA交CB的延长线于M，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥EA，AE＝BD.又AD∥BC.∴四边形AMBD是平行四边形．∴AM＝BD.∴AM＝AE. ∴EF＝FC.。

【人教A 版】2017-2018学年高中数学选修4-1创新应用教学案[对应学生用书P16]近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果．在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系．1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析：由CD ＝2，AB ＝4，EF ＝3， 得EF ＝12(CD ＋AB )，∴EF 是梯形ABCD 的中位线，则梯形ABFE 与梯形EFCD 有相同的高，设为h ， 于是两梯形的面积比为 12(3＋4)h ∶12(2＋3)h ＝7∶5. 答案：7∶52.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB＝3AD ，则CEEO的值为________．解析：连接AC ，BC ，则∠ACB ＝90°. 设AD ＝2，则AB ＝6，于是BD ＝4，OD ＝1.如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8，则CD ＝2 2. 在Rt △OCD 中，DE ＝OD ·CD OC ＝1×223＝223.则CE ＝DC 2－DE 2＝ 8－89＝83， EO ＝OC －CE ＝3－83＝13.因此CE EO ＝8313＝8.答案：8[对应学生用书P16]平行线分线段相关定理线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为1的特例．[例1] 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DH ∥GC . 求证：EG ∥BH . [证明] ∵DE ∥BC ， ∴AE AC ＝AD AB. ∵DH ∥GC ，∴AH AC ＝ADAG .∴AE ·AB ＝AC ·AD ＝AH ·AG . ∴AE AH ＝AGAB.∴EG ∥BH . [例2] 如图，直线l 分别交△ABC 的边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，且AF ＝13AB ，BD ＝52BC ，试求ECAE.[解] 作CN ∥AB 交DF 于点N ，并作EG ∥AB 交BC 于点G ，由平行截割定理，知BF CN ＝DB DC ，CN AF ＝ECAE， 两式相乘，得BF CN ·CN AF ＝DB DC ·ECAE ，即EC AE ＝BF AF ·DC DB. 又由AF ＝13AB ，得BFAF ＝2，由BD ＝52BC ，得DC DB ＝35，所以EC AE ＝2×35＝65.相似三角形的判定与性质常广泛，涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情况．[例3] 如图所示，AD 、CF 是△ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线与AC 交于点Q .求证：PQ ＝CF .[证明] ∵AD 、CF 是△ABC 的两条高线， ∴∠ADB ＝∠BFC ＝90°. 又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBF . ∴AD CF ＝ABCB. 又∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC . ∴PQ BC ＝AP AB .∴AP PQ ＝AB BC .∴AD CF ＝AP PQ. 又∵AP ＝AD ，∴CF ＝PQ .[例4] 四边形ABCD 中，AB ∥CD ，CE 平分∠B CD ，CE ⊥AD 于点E ，DE ＝2AE ，若△CED 的面积为1，求四边形ABCE 的面积．[解] 如图，延长CB 、DA 交于点F ，又CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD .∴△FCD 为等腰三角形，E 为FD 的中点． ∴S △FCD ＝12FD ·CE＝12×2ED ·CE ＝2S △CED ＝2， EF ＝ED ＝2AE . ∴F A ＝AE ＝14FD .又∵AB ∥CD ， ∴△FBA ∽△FCD . ∴S △FBA S △FCD ＝(F A FD)2＝(14)2＝116.∴S △FBA ＝116×S △FCD ＝18. ∴S 四边形ABCE ＝S △FCD －S △CED －S △FBA ＝2－1－18＝78.射影定理为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．[例5] 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，EF ⊥AB于F .求证：CE 2＝BD ·DF .[证明] ∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ， ∴DE ∥BC .∴BD CE ＝AB AC .同理：CD ∥EF ，∴CE DF ＝ACAD .∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴AC 2＝AD ·AB . ∴AC AD ＝ABAC . ∴CE DF ＝BD CE. ∴CE 2＝BD ·DF .[对应学生用书P41] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知AA ′∥BB ′∥CC ′，AB ∶BC ＝1∶3，那么下列等式成立的是( )A ．AB ＝2A ′B ′ B ．3A ′B ′＝B ′C ′ C ．BC ＝B ′C ′D ．AB ＝A ′B ′解析：∵AA ′∥BB ′∥CC ′，∴AB BC ＝A ′B ′B ′C ′＝13.∴3A ′B ′＝B ′C ′. 答案：B2.如图，∠ACB ＝90°.CD ⊥AB 于D ，AD ＝3、CD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4C.3∶ 2D.2∶ 3解析：Rt △ACD ∽Rt △CBD ，∴AC BC ＝AD CD ＝32.答案：A3．在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若BD ＝3 cm ，AC ＝ 2 cm ，则CD 和BC的长分别为( )A. 3 cm 和3 2 cm B ．1 cm 和 3 cm C ．1 cm 和3 2 cm D. 3 cm 和2 3 cm 解析：设AD ＝x ，则由射影定理得x (x ＋3)＝4， 即x ＝1(负值舍去)， 则CD ＝AD ·BD ＝3(cm)， BC ＝BD ·AB ＝3(3＋1)＝23(cm)． 答案：D4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，DE 是△ACD 的高，且AC＝5，CD ＝2，则DE 的值为( )A.2215B.215C.3215D.2125解析：AC 2＝CD ·BC ， 即52＝2×BC ， ∴BC ＝252.∴AB ＝BC 2－AC 2＝ 2524－52＝5212. ∵DE AB ＝DC BC ，∴DE ＝2215. 答案：A5．如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝ABBC ；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由∠B ＝∠ACD ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；②由∠ADC ＝∠ACB ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；③AC CD ＝ABBC ，而夹角不一定相等，所以两个三角形不一定相似；④AC 2＝AD ·AB 可得AC AD ＝ABAC，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似．答案：C6.如图，DE ∥BC ，S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，则AD ∶DB 的值为( )A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶5解析：由S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8 得S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9. ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC . ∴(ADAB )2＝S △ADE S △ABC ＝19. ∴AD AB ＝13，AD DB ＝12. 答案：C7．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中不一定使△ABC 与△DEF 相似的是( ) A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108° B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16 C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝c D ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40° 解析：A 中∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ＝108°， ∴△ABC ∽△DEF ；B 中AB ∶AC ∶BC ＝EF ∶DE ∶DF ＝2∶3∶4； ∴△ABC ∽△EFD ； D 中AB AC ＝DEDF，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ∽△DEF ；而C 中不能保证三边对应成比例． 答案：C8．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°.CD ⊥AB 于D .若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( ) A.14B.13C.12D ．2解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶4. 令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝4x 2，∴CD ＝2x ，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. 答案：C9.在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶CE ＝2∶3，连接AE 、BE 、BD 且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝( )A ．4∶10∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．2∶5∶25解析：∵AB ∥CD ， ∴△ABF ∽△EDF . ∴DE AB ＝DF FB ＝25. ∴S △DEF S △ABF ＝(25)2＝425.又△DEF 和△BEF 等高． ∴S △DEF S △EBF ＝DF FB ＝25＝410. 答案：A10．如图，已知a ∥b ，AF BF ＝35，BCCD ＝3.则AE ∶EC ＝( )A.125 B.512 C.75D.57解析：∵a ∥b ，∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AGBD .∵BCCD ＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD . 又AF BF ＝35， ∴AG BD ＝AF BF ＝35.∴AG 4CD ＝35.∴AG CD ＝125. ∴AE EC ＝AG CD ＝125. 答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．如图，D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么△ADE 的周长∶△ABC 的周长等于________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵BD ＝2AD ，∴AB ＝3AD .∴AD AB ＝13. ∴△ADE 的周长△ABC 的周长＝AD AB ＝13.答案：1312．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：∵DE ∥BC ， ∴DE BC ＝AE AC ，∴BC ＝DE ·AC AE ＝6×53＝10， 又DF ∥AC ，∴DE ＝FC ＝6. ∴BF ＝BC －FC ＝4. 答案：413．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点O ，直线AO 与DE 、BC 分别交于N 、M ，若DN ∶MC ＝1∶4，则NE ∶BM ＝________，AE ∶EC ＝________.解析：OD OC ＝DN MC ＝14，∴OE OB ＝OD OC ＝14. ∴NE BM ＝OE OB ＝14. 又DE BC ＝OD OC ＝14， ∴AE AC ＝DE BC ＝14. ∴AE ∶EC ＝1∶3. 答案：1∶4 1∶314．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7 m 宽的亮区(如图所示)，已知亮区一边到窗下的墙角距离CE ＝8.7 m ，窗口高AB ＝1.8 m ，那么窗口底边离地面的高BC 等于________m.解析：∵BD ∥AE ，∴BCAB ＝CDDE .∴BC ＝AB ·CDDE.∵AB ＝1.8 m ，DE ＝2.7 m ，CE ＝8.7 m ， ∴CD ＝CE －DE ＝8.7－2.7＝6(m)． ∴BC ＝1.8×62.7＝4(m)．答案：4三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，BC 的中点为D ，∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：MN ∥BC .证明：∵MD 平分∠ADB ， ∴AD BD ＝AM MB. ∵ND 平分∠ADC ，∴AD DC ＝ANNC .∵BD ＝DC ， ∴AM MB ＝AD BD ＝AD DC ＝AN NC. ∴MN ∥BC .16．(本小题满分12分)如图，已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求证：BP 2＝PE ·PF .证明：连接PC ，∵AB ＝AC ，AD 是中线， ∴AD 是△ABC 的对称轴， 故PC ＝PB ， ∠PCE ＝∠ABP . ∵CF ∥AB ， ∴∠PFC ＝∠ABP ， 故∠PCE ＝∠PFC ，∵∠CPE ＝∠FPC ， ∴△EPC ∽△CPF ， 故PC PF ＝PE PC， 即PC 2＝PE ·PF ， ∴BP 2＝PE ·PF .17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是BD 上任意一点，过P 点的直线分别交AB 、DC 于E 、F ，交DA 、BC 的延长线于G 、H .(1)求证：PE ·PG ＝PF ·PH ；(2)当过P 点的直线绕点P 旋转到F 、H 、C 重合时，请判断PE 、PC 、PG 的关系，并给出证明．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴PE PF ＝PB PD .∵AD ∥BC ，∴PH PG ＝PBPD ，∴PE PF ＝PHPG.∴PE ·PG ＝PH ·PF . (2)关系式为PC 2＝PE ·PG .证明：由题意可得到右图， ∵AB ∥CD ， ∴PE PC ＝PBPD. ∵AD ∥BC ，∴PC PG ＝PBPD .∴PE PC ＝PCPG，即PC 2＝PE ·PG . 18．(本小题满分14分)某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 m 、20 m 的梯形空地上种植花木(如图)．(1)他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单位为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用；(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？解：(1)∵四边形ABCD 为梯形，∴AD ∥BC . ∴△AMD ∽△CMB ，∴S △AMD S △CMB ＝(AD BC )2＝14.∵种植△AMD 地带花费160元， ∴S △AMD ＝1608＝20(m 2)．∴S △CMB ＝80(m 2)．∴△CMB地带的花费为80×8＝640元．(2)S△ABMS△AMD ＝BMDM＝BCAD＝2，∴S△ABM＝2S△AMD＝40(m2)．同理：S△DMC＝40(m2)．所剩资金为：1600－160－640＝800元，而800÷(S△ABM＋S△DMC)＝10(元/m2)．故种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．11。

D B E F 平行线等分线段定理与 平行线分线段成比例定理一．学习目标：一．学习目标：1. 探索并理解平行线分线段定理的证明过程；探索并理解平行线分线段定理的证明过程；2．能独立证明平行线分线段定理的推论1、推论2； 3.3.平行线分线段成比例定理与推论的区别平行线分线段成比例定理与推论的区别平行线分线段成比例定理与推论的区别4.能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题二．知识梳理：二．知识梳理：1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段截得的线段推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线2.2.三条平行线截两条直线，所得的对应线段三条平行线截两条直线，所得的对应线段三条平行线截两条直线，所得的对应线段推论：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线。

所截得的三角形的三边与原三角形的三边角形的三边 三．基本技能：判断下列命题是否正确1.1. 如图△如图△ABC ABC 中点D 、E 三等分AB AB，，DF DF∥∥EG EG∥∥BC BC，，DF DF、、EG 分别交AC 于点F 、G ，则点F 、G 三等分AC AC（（ ））2. 四边形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CD 上若AM=BM 、DN=CN 则AD ∥MN ∥BC ( ) 3. 一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相等，则这组平行线能等分线段。

一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相等，则这组平行线能等分线段。

（ ）4.4.如图，如图，如图，DE DE DE∥∥BC BC，分别交，分别交AB AB、、AC 于点D 、E 则：BC DEAC AE AB AD ==（ ）A C G 四．典型例题例1.已知：如图所示，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F 求证：AF ＝ AC . 例2在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，E 为AB 的中点．求证：EC ＝ED . . 例3.如图所示，已知直线FD 和△ABC 的BC 边交于点D ，与AC 边交于点E ，与BA 的延长线交于点F ，且BD ＝DC ，求证：AE ·FB ＝EC ·F A . 例4.如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 为底边BC 上的任意一点，过E 点作与AD 平行的直线，分别交直线AB 、CA 于点F 、G .求证：求证： ＝ . 13BE BF CE CG当堂检测：当堂检测：1．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是 （）2．如图所示，l1∥l2∥l3，直线AB与l1、l2、l3相交于点A、E、B，直线CD与l1、l2、l3相交于点C、E、D，AE＝EB，则有() A．AE＝CE B．BE＝DEC．CE＝DE D．CE＞DE3.顺次连接梯形各边中点连线所围成的四边形是__________ 4.如图所示，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E、F分别为线段AB、AD的中点，则EF＝____. 5.如下图所示，已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则DG＝____，点H是______的中的中点．点，点F是______的中点．6.如图所示，AB＝AC，AD⊥BC于点D，M是AD的中点，CM交AB于点P，DN∥CP.若AB＝6 cm，则AP＝____；若PM＝1 cm，则PC＝______. 7.如图所示，AD 是△ABC 的中线，E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为( ) A ．2∶1B ．3∶1C ．4∶1D ．5∶1 8.在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中，不能判定DE ∥BC 的是( ) A ．AD ＝5，AB ＝8，AE ＝10，AC ＝16 B ．BD ＝1，AD ＝3，CE ＝2，AE ＝6 C ．AB ＝7，BD ＝4，AE ＝4，EC ＝3 D ．AB ＝AC ＝9，AD ＝AE ＝8 9.如图所示，BD ∶DC ＝5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值．的值．10.如图所示，在梯形ABCD 中，A D ∥BC BC，，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF EF∥∥AD（（1）求证：）求证：OE=OF OE=OF OE=OF；；（2）求OE OE AD BC + （（3）求证：112=AD BC EF+平行线等分线段定理与平行线分线段成比例定理答案例1.证明：如图，过点D作DG∥BF交AC于点G. 在△BCF中，D是BC的中点，DG∥BF，∴G为CF的中点，即CG＝GF. 在△ADG中，E是AD的中点，BF∥DG，∴F是AG的中点，即AF＝FG∴AF＝1/3 AC. 点评：构造基本图形法是重要的数学思想方法：构造基本图形法是重要的数学思想方法例2.证明：过点E作EF∥BC交DC于点F. 在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC. ∵E是AB的中点，的中点，∴F是DC的中点．的中点．∵∠BCD＝90°，°，∴∠DFE＝90°. ∴EF⊥DC于点F，且F是DC的中点，的中点，∴EF是线段DC的垂直平分线．的垂直平分线．∴EC＝ED.(线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等) 例3. 证明：过点A作AG∥BC交DF于点G. ∵AG∥BD，∴FAFB=AGBD. 又∵BD=DC，∴FAFB =AG DC. ∵AG∥BD，AG AE例4. ＝ 证明：∵∥∴=. ∵∴=∴=2229. 10. 解析：过D作DG∥CA交BF于G，则BGGF＝BDDC＝53. ∵E为AD的中点，DG∥AF，∴△DGE≌△AFE，EG＝EF. ∴BGEF＝BG12GF＝2BGGF＝2×53＝103. 故BEEF＝BG＋EFEF＝10＋33＝133. (1)证明：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC. ∴AEAB=DFDC，OEBC=AEAB，OFBC=DFDC. ∴OEBC=OFBC，∴OE=OF. (2)解析：∵OE∥AD，∴OEAD=BEAB. 由(1)知OEBC=AEAB，∴OEAD+OEBC=BEAB+AEAB=BE AEAB+=1 (3)证明：由(2)知OEAD+OEBC=1，∴2OEAD+2OEBC=2. 又EF=2OE，∴EFAD+EFBC=2，∴1AD+1BC=2EF. 。

一圆周角定理课标解读1.了解圆心角定理．2.理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题.1．圆周角定理及其推论(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(3)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数． 1．圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】 不一定相等．一般有两种情况：相等或互补，弦所对的优弧与所对劣弧上的点所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补．2．在推论1中，把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话，结论还成立吗？ 【提示】 不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的． 3．“相等的圆周角所对的弧相等”，正确吗？【提示】 不正确．“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图．若AB ∥DG ，则∠BAC ＝∠EDF ，但BC ≠EF .利用圆周角定理和圆心角定理进行计算在半径为5 cm 的圆内有长为5 3 cm 的弦，求此弦所对的圆周角．【思路探究】 过圆心作弦的垂线构造直角三角形．先求弦所对的圆心角度数，再分两种情况求弦所对的圆周角的度数．【自主解答】 如图所示，过点O 作OD ⊥AB 于点D . ∵OD ⊥AB ，OD 经过圆心O ， ∴AD ＝BD ＝532 cm.在Rt △AOD 中，OD ＝OA 2－AD 2＝52cm ，∴∠OAD ＝30°，∴∠AOD ＝60°. ∴∠AOB ＝2∠AOD ＝120°. ∴∠ACB ＝12∠AOB ＝60°.∵∠AOB ＝120°，∴劣弧AEB 的度数为120°，优弧ACB 的度数为240°. ∴∠AEB ＝12×240°＝120°，∴此弦所对的圆周角为60°或120°.1．解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个，它们互为补角．2．和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时，还可以通过比例线段，相似比来计算．图2－1－1已知如图2－1－1，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，点D 是BC 上任意一点，AD ＝6 cm ，BD ＝5 cm ，CD ＝3 cm ，求DE 的长．【解】 ∵AB ＝AC ， ∴∠ADB ＝∠CDE . 又∵BD ＝BD ， ∴∠BAD ＝∠ECD . ∴△ABD ∽△CED . ∴AD CD ＝BD ED .即63＝5ED. ∴ED ＝2.5 cm.与圆周角定理相关的证明如图2－1－2，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .图2－1－2(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．【思路探究】 (1)通过证明角相等来证明三角形相似．(2)利用(1)的结论及面积相等求sin ∠BAC 的大小，从而求∠BAC 的大小．【自主解答】 (1)由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .(2)因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝ADAC，即AB ·AC ＝AD ·AE . 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°.1．解答本题(2)时关键是利用AB ·AC ＝AD ·AE 以及面积S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 确定sin∠BAC 的值．2．利用圆中角的关系证明时应注意的问题(1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁；(2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形中处理相关问题．如图2－1－3，△ABC 内接于⊙O ，高AD 、BE 相交于H ，AD 的延长线交⊙O 于F ，求证：BF ＝BH .图2－1－3【证明】 ∵BE ⊥AC ，AD ⊥BC ， ∴∠AHE ＝∠C .∵∠AHE ＝∠BHF ，∠F ＝∠C ， ∴∠BHF ＝∠F . ∴BF ＝BH .直径所对的圆周角问题 如图2－1－4所示，AB 是半圆的直径，AC 为弦，且AC ∶BC ＝4∶3，AB ＝10 cm ，OD ⊥AC 于D .求四边形OBCD 的面积．【思路探究】 由AB 是半圆的直径知∠C ＝90°，再由条件求出OD 、CD 、BC 的长可得四边形OBCD 的面积．【自主解答】 ∵AB 是半圆的直径，∴∠C ＝90°. ∵AC ∶BC ＝4∶3，AB ＝10 cm ， ∴AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm. 又∵OD ⊥AC ，∴OD ∥BC . ∴OD 是△ABC 的中位线，∴CD ＝12AC ＝4 cm ，OD ＝12BC ＝3 cm.∴S 四边形OBCD ＝12(OD ＋BC )·DC＝12(3＋6)×4＝18 cm 2. 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等．图2－1－5如图2－1－5，已知等腰三角形ABC 中，以腰AC 为直径作半圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，若∠BAC ＝50°，则EF 的度数为( )A ．25°B ．50°C ．100° D．120° 【解析】 如图，连接AF . ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠AFC ＝90°， ∴AF ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴∠BAF ＝12∠BAC ＝25°，∴EF 的度数为50°. 【答案】 B(教材第26页习题2.1第3题)图2－1－6如图2－1－6，BC 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB ＝AF ，BF 和AD 相交于E ，求证：AE ＝BE .(2013·陕西高考)如图2－1－7，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.图2－1－7【命题意图】 本题主要考查圆周角定理、三角形相似等知识，证明三角形相似考查了逻辑推理能力，求线段的长度考查了知识的应用能力及转化意识．【解析】 ∵BC ∥PE ，∴∠C ＝∠PED . ∵∠C ＝∠A ，∴∠A ＝∠PED . 在△PED 和△PAE 中， ∠PED ＝∠A ，∠P ＝∠P ， ∴△PED ∽△PAE ，∴PE PA ＝PD PE. ∵PA ＝PD ＋DA ＝3，PD ＝2， ∴PE 2＝PA ·PD ＝3×2＝6， ∴PE ＝ 6. 【答案】61．如图2－1－8，在⊙O 中，∠BAC ＝60°，则∠BDC ＝( )图2－1－8A ．30°B ．45°C ．60° D．75°【解析】 ⊙O 中，∠BAC 与∠BDC 都是BC 所对的圆周角，故∠BDC ＝∠BAC ＝60°. 【答案】 C2．在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，则AB 所对的圆心角为( ) A ．22.5° B．45° C ．90° D．不确定【解析】 ∵∠ACB ＝45°，∴AB 所对的圆心角为2∠ACB ＝90°. 【答案】 C3．(2013·焦作模拟)如图2－1－9，A 、B 、C 是⊙O 的圆周上三点，若∠BOC ＝3∠BOA ，则∠CAB 是∠ACB 的________倍．图2－1－9【解析】∵∠BOC＝3∠BOA，∴BC＝3AB，∴∠CAB＝3∠ACB.【答案】 34．如图2－1－10所示，两个同心圆中，CmD的度数是30°，且大圆半径R＝4，小圆半径r＝2，则AnB的度数是________．图2－1－10【解析】AnB的度数等于∠AOB，又CmD的度数等于∠AOB，则AnB的度数是30°.【答案】30°一、选择题图2－1－111．如图2－1－11所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有( ) A．1对B．2对C．3对 D．4对【解析】由推论知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.【答案】 B2．在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是( )A．30° B．30°或150°C．60° D．60°或120°【解析】弦所对的圆心角为60°，又弦所对的圆周角有两个且互补，故选B.【答案】 B3．如图2－1－12所示，等腰△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠A ＝40°，D 是BC 的中点，E 是AC 的中点，分别连接BD 、DE 、BE ，则△BDE 的三内角的度数分别是( )图2－1－12A ．50°，30°，100° B．55°，20°，105° C ．60°，10°，110° D．40°，20°，120° 【解析】 如图所示，连接AD . ∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD 过圆心O . ∵∠A ＝40°，∴∠BED ＝∠BAD ＝20 °， ∠CBD ＝∠CAD ＝20°. ∵E 是AC 的中点， ∴∠CBE ＝12∠CBA ＝35°，∴∠EBD ＝∠CBE ＋∠CBD ＝55°. ∴∠BDE ＝180°－20°－55°＝105°， 故选B. 【答案】 B4．如图2－1－13，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝30°，则圆O 的面积等于( )图2－1－13A ．4π B．8π C ．12π D．16π 【解析】 连接OA ，OB . ∵∠ACB ＝30°， ∴∠AOB ＝60°， 又∵OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形． 又AB ＝4，∴OA ＝OB ＝4.∴S ⊙O ＝π·42＝16π. 【答案】 D 二、填空题图2－1－145．(2013·平顶山模拟)如图2－1－14，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BDDA＝________. 【解析】 连接CD ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠CDA ＝90°.由射影定理得BC 2＝BD ·BA ，AC 2＝AD ·AB ，∴BC 2AC 2＝BD DA ，即BD DA ＝169. 【答案】1696．如图2－1－15，AB 为⊙O 的直径，弦AC ，BD 交于点P ，若AB ＝3，CD ＝1，则sin ∠APD ＝__________.图2－1－15【解析】 由于AB 为⊙O 的直径，则∠ADP ＝90°， 所以△APD 是直角三角形． 则sin ∠APD ＝AD AP ，cos ∠APD ＝PD AP， 由题意知，∠DCP ＝∠ABP ，∠CDP ＝BAP ， 所以△PCD ∽△PBA . 所以PD AP ＝CD AB ，又AB ＝3，CD ＝1，则PD AP ＝13.∴cos ∠APD ＝13.又∵sin 2∠APD ＋cos 2∠APD ＝1，∴sin ∠APD ＝223.【答案】223三、解答题7．如图2－1－16，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD 、AD .(1)求证：DB 平分∠ADC ；(2)若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长．图2－1－16【解】 (1)证明：∵AB ＝BC ，∴AB ＝BC ， ∴∠BDC ＝∠ADB ， ∴DB 平分∠ADC . (2)由(1)可知AB ＝BC . ∴∠BAC ＝∠ADB . ∵∠ABE ＝∠ABD .∴△ABE ∽△DBA .∴AB BE ＝BD AB. ∵BE ＝3，ED ＝6，∴BD ＝9. ∴AB 2＝BE ·BD ＝3×9＝27. ∴AB ＝3 3.8．如图2－1－17, △ABC 是圆O 的内接等边三角形，AD ⊥AB ，与BC 的延长线相交于点D ，与圆O 相交于点E ，若圆O 的半径r ＝1，求DE 的长度．图2－1－17【解】 连接BE ，∴AD ⊥AB ， ∴BE 为⊙O 的直径，且BE ＝2r ＝2. 又∵∠AEB ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABE ＝30°，∠EBD ＝30°. 又∵∠ABD ＝60°， ∴∠D ＝∠EBD ＝30°， ∴DE ＝BE ＝2.9．如图2－1－18①所示，在圆内接△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的一点，E 是直线AD 和△ABC 外接圆的交点．图2－1－18(1)求证：AB 2＝AD ·AE ；(2)如图2－1－18②所示，当D 为BC 延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由．【解】 (1)证明：如右图①，连接BE.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠ACB＝∠AEB，∴∠ABC＝∠AEB.又∠BAD＝∠EAB.∴△ABD∽△AEB.∴AB∶AE＝AD∶AB，即AB2＝AD·AE.(2)如图②，连接BE，结论仍然成立，证法同(1)．10.已知：如图，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是BF的中点，AD ⊥BC于点D，BF交AD于点E.(1)求证：BE·BF＝BD·BC；(2)试比较线段BD与AE的大小，并说明道理．【解】(1)证明：连接FC，则BF⊥FC.在△BDE和△BCF中，∵∠BFC＝∠EDB＝90°∠FBC＝∠EBD，∴△BDE∽△BFC.∴BEBC＝BDBF.即BE·BF＝BD·BC.(2)连接AC、AB，则∠BAC＝90°.∵AF＝AB，∴∠1＝∠2.又∵∠2＋∠ABC＝90°，∠3＋∠ABD＝90°，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.∴AE＝BE.在Rt△EBD中，BE>BD，∴AE>BD.。

2022-2022学年人教B版高中数学选修4-1全册教学案目录第一章1.11.1.1相似三角形判定定理第一章1.11.1.2相似三角形的性质第一章1.11.1.3平行截割定理第一章1.11.1.4锐角三角函数与射影定理第一章1.21.2.1圆的切线第一章1.21.2.2圆周角定理第一章1.21.2.3弦切角定理第一章1.31.3.1圆幂定理第一章1.31.3.2圆内接四边形的性质与判定第一章章末小结第二章2.1平行投影与圆柱面的平面截线第二章2.2用内切球探索圆锥曲线的性质第二章章末小结2022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案_1.1相似三角形1．1.1相似三角形判定定理[对应学生用书P1][读教材·填要点]1．相似三角形的定义及相关概念如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形．设相似三角形对应边的比值为k，则k叫做相似比(或相似系数)．2．相似三角形判定定理(1)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似．(2)判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似．(3)判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．[小问题·大思维]1．两个三角形“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系？提示：两个三角形全等是两个三角形相似的一种特殊情况．相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等．2．如果两个三角形的两边对应成比例，且有一角相等，那么这两个三角形相似吗？提示：不一定．只有当这个角是对应成比例的两边的夹角时，这两个三角形才相似．[对应学生用书P1][例1]如图，若O是△ABC内任一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的靠近O的三等分点．求证：△DEF∽△ABC.[思路点拨]本题考查相似三角形判定定理2的应用．解答此题需相似三角形的判定12022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案要根据已知条件，寻找三角形相似的条件．利用三等分点找出对应边成比例即可．[精解详析]∵D，E，F分别是OA，OB，OC靠近点O的三等分点，∴DE＝AB，EF311＝BC，FD＝CA.33∴DEEFFD1＝＝＝.ABBCCA3由三角形相似的判定定理得△DEF∽△ABC.在相似三角形的判定中，应用最多的是判定定理1，因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2、3则常见于连续两次证明相似时，在第二次使用的情况较多．1．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.证明：(1)∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，∴∠BFC＝∠CEB.又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE.(2)由(1)得△CPF∽△BPE，∴EPFP＝.BPCP又∵∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP.[例2]如图所示，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，求当BD与a，b之间满足怎样的关系时，△ABC与△CDB相似？[思路点拨]由于△ABC与△CDB相似且都是直角三角形，因此，只要对应边成比例即可．而斜边肯定是三角形的最大边，所以AC一定与BC对应，这里要注意分类讨论的运用．[精解详析]∵∠ABC＝∠CDB＝90°，斜边AC与BC为对应边，以下分两种情况讨论．ACBCab①当＝时，△ABC∽△CDB，即＝.BCBDbBDb2∴BD＝时，△ABC∽△CDB.aa2－b2ACABa②当＝时，△ABC∽△BDC，即＝.BCBDbBD22022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案ba2－b2∴当BD＝时，△ABC∽△BDC.aba2－b2b2故当BD＝或BD＝时，aa△ABC与△CDB相似．(1)在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的应用．(2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．2．如图，BD、CE是△ABC的高．求证：△ADE∽△ABC.证明：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB.∴ADAE＝.ABAC又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.[例3]如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于点P，交AC于点E.求证：BP2＝PE·PF.[思路点拨]本题考查相似三角形的判定及其应用，解答本题需要注意AD是等腰△ABC底边上的高，所以PB＝PC，从而将所求证的结论转化为PC2＝PE·PF.进而可以证明△PCE∽△PFC来解决问题．[精解详析]连接PC，在△ABC中，因为AB＝AC，D为BC中点，所以AD垂直平分BC.3相似三角形的应用2022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案所以PB＝PC，∠1＝∠2.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，所以∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.因为CF∥AB，所以∠3＝∠F，所以∠4＝∠F.又因为∠EPC＝∠CPF，所以△PCE∽△PFC，PCPF所以＝，所以PC2＝PE·PF.PEPC因为PC＝PB，所以PB2＝PE·PF.(1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．adba(2)要说明线段的乘积式ab＝cd，或平方式a2＝bc，一般都是证明比例式＝或＝，cbac再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．3．如图所示，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，当△ADP与△QCP相似时，求BQ的值．解：由题知∠D＝∠C＝90°，ADDP①当△ADP∽△PCQ时，＝，PCCQ112113∴＝，∴CQ＝，∴BQ＝1－＝.1CQ44421ADDP12②当△ADP∽△QCP时，＝，∴＝，QCCPQC12∴CQ＝1，∴BQ＝0.3综上可知，当△ADP与△QCP相似时，BQ＝0或.442022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案即S△DEC1＝.S△ABD61．△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且AD∶A′D′＝7∶3，下面给出四个结论：①BC∶B′C′＝7∶3；②△ABC的周长与△A′B′C′的周长之比为7∶3；③△ABC与△A′B′C′的对应高之比为7∶3；④△ABC与△A′B′C′的对应中线之比为7∶3.其中正确的个数为()A．1C．3B．2D．4解析：由相似三角形的性质知4个命题均正确，故选D.答案：D[例2]如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200mm，高AD＝300mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长．利用相似三角形的性质解决实际问题[思路点拨]本题考查相似三角形性质的应用．解答本题需要设出所求矩形零件的某一边长，然后借助△AEH∽△ABC求解．[精解详析]设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E、H分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为某mm.因为EH∥BC，所以△AEH∽△ABC.102022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案APEH所以＝.ADBC300－2某某所以＝，3002006001200解得某＝(mm)，2某＝(mm)．776001200答：加工成的矩形零件的边长分别为mm和mm.77将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键，要注意相似三角形的性质在实际问题中的作用．2．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影长是2m.(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？(2)求古塔的高度．解：(1)△ABC∽△ADE.∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB＝∠AED＝90°.∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE.(2)由(1)得△ABC∽△ADE，∴ACBC＝.AEDE∵AC＝2m，AE＝2＋18＝20m，BC＝1.6m.21.6∴＝，20DE∴DE＝16m.答：古塔的高度为16m.[例3]如图，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P是AD边上的一动点(P异于A、D)，Q是BC边上的任意一点．连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.相似三角形性质的综合应用112022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案(1)求证：△APE∽△ADQ；(2)设AP的长为某，试求△PEF的面积S△PEF关于某的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？(必须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明)[思路点拨]本题考查相似三角形的判定及性质的综合应用．解答问题(1)只需证明△APE和△ADQ中有两个角对应相等即可；解答问题(2)要注意△ADQ的面积为定值，且S△PEF1＝(S△ADQ－S△APE－S△PDF)；解答问题(3)可作点A关于直线BC的对称点A′，利用三点共线2解决．[精解详析](1)证明：因为PE∥DQ，所以∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，所以△APE∽△ADQ.S△APEAP2(2)因为△APE∽△ADQ，所以＝.S△ADQAD因为AD∥BC，所以△ADQ的高等于AB.1所以S△ADQ＝3.所以S△APE＝某2.3同理，由PF∥AQ，可证得△PDF∽△ADQ，S△PDFPD2所以＝.S△ADQAD因为PD＝3－某，所以S△PDF＝(3－某)2.3因为PE∥DQ，PF∥AQ，所以四边形PEQF是平行四边形．1所以S△PEF＝SPEQF21＝(S△ADQ－S△APE－S△PDF)23113某－2＋.＝－某2＋某＝－33243所以当某＝时，即P是AD的中点时，23S△PEF取得最大值，最大值为.4122022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案(3)作A关于直线BC的对称点A′，连接DA′交BC于Q，则这个Q 点就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点．在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积．3．如图(1)，已知矩形ABCD中，AB＝1，点M在对角线AC上，AM＝AC，直线l过4点M且与AC垂直，与边AD相交于点E.(1)如果AD＝3，求证点B在直线l上；(2)如图(2)，如果直线l与边BC相交于点H，直线l把矩形分成的两部分的面积之比为2∶7，求AD的长；(3)如果直线l分别与边AD，AB相交于E，G.当直线l把矩形分成的两部分的面积之比为1∶6时，求AE的长是多少？解：(1)证明：连接BD，交AC于O点，1∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝AC.21∵AM＝AC，∴AM＝OM.4在Rt△ABD中，AB＝1，AD＝3，∴BD＝AB2＋AD2＝2.∴BO＝OA＝AB＝1，∴△AOB是等边三角形，又AM＝OM，∴BM⊥AO，∴点B在直线l上．(2)设AD＝a，则AC＝1＋a2.∵∠EAM＝∠CAD，∠AME＝∠D＝90°，132022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案AEAM∴△AEM∽△ACD，∴＝.ACAD11又AM＝AC＝1＋a2，442AC·AM1＋a∴AE＝＝.AD4a由AE∥HC，得△AEM∽△CHM，∴AEAM1＝＝，∴HC＝3AE.HCMC331＋a2a2－3又BH＝BC－HC＝a－＝，4a4a1而S梯形ABHE＝(AE＋BH)·AB222a2－111＋aa－3＝(＋)·1＝.24a4a4a∵S梯形ABHE∶S梯形EHCD＝2∶7，22∴S梯形ABHE＝S矩形ABCD＝a，99a2－12∴＝a，4a9解得a＝3，即AD＝3.(3)如图，设l分别交AD、AC、AB于E、M、G三点，则有△AEG∽△DCA，∴AGAE＝.ADDCAG∵DC＝1，∴AE＝.ADS△AEG11∵S△AEG＝AE·AG，＝，2S多边形EGBCD6∴S△AEG1＝.S矩形ABCD7AE·AG21AE·AG2∴＝，即＝.AD·DC7AD7214∴AE2＝，AE＝.77 [对应学生用书P7]一、选择题1．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC 的周长是16，142022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为()A．8,3C．4,3B．8,6D．4,6解析：∵AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，且相似比为2.∵△ABC的周长是16，面积是12，∴△DEF的周长是8，面积是3.答案：A2．如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则A．1C．3 EFAF解析：∵EF∥BC，∴＝，BCACFGCF又∵FG∥AD，∴＝，ADAC∴EFFGAFCFAC＋＝＋＝＝1.BCADACACACB．2D．4EFFG＋＝()BCAD答案：A3．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于()A．1∶3C．1∶2B．1∶4D．2∶3解析：设正方形边长为某，则由△AFE∽△ACB，某1－某可得AF∶AC＝FE∶CB，即＝.212AF1所以某＝，于是＝.3FC2答案：CAD4．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC且＝2，那么△ADEDB与四边形DBCE的面积比是()2A.32B．5152022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案4C.54D．9解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，S△ADEAD2∴＝2.S△ABCAB∵∴S△ADE4ADAD2＝2，∴＝，∴＝，DBAB3S△ABC94＝.S四边形DBCE5S△ADE答案：C二、填空题5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，1CF交AD于点F.若S△AEG＝S四边形EGCB，则＝________.3AD解析：∵S△AEG＝S四边形EGCB，3∴S△AEG1＝.S△ABC4AE1由相似三角形的性质定理，得＝，AB2∴E为AB的中点．由平行线等分线段定理的推论，知G为AC的中点．∵EF∥BC，AC⊥BC，∴FG⊥AC.又点G为AC的中点，∴FG为AC的中垂线．∴FC＝FA.∵EF∥BD，E为AB的中点，∴F为AD的中点，∴CFAF1＝＝.ADAD21答案：26．如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为________．162022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案解析：∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE.∴BF∶AE＝BG∶GA＝3∶1.AEAD ∵D为AC中点，∴＝＝1.CFDC∴AE＝CF.∴BC∶AE＝2∶1，∵BC＝10，∴AE＝5.答案：57．(广东高考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上△CDF的面积且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________.△AEF的面积解析：由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，△CDF的面积CD2AB2于是＝＝＝9.△AEF的面积AEAE答案：98．△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝12cm，高AD＝8cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形的边长为________cm.解析：设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，△ABC的高AD与边PN相交于点E，设正方形的边长为某cm.∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC.∴8－某某AEPN＝，∴＝.ADBC812解得某＝4.8.即加工成的正方形零件的边长为4.8cm.答案：4.8三、解答题9．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的三等分点，AE的延长线交BC于172022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案S△BEFF，求的值．S四边形DEFC解：过D点作DM∥AF交BC于M，因为DM∥AF，BFBE1所以＝＝，BMBD3因为EF∥DM，S△BEF1所以＝，SBDM9即S△BDM＝9S△BEF，因为D为AC的中心，且AF∥DM，则M为FC的中点．S△DMC2所以＝，S△BDM32即S△DMC＝S△BDM＝6S△BEF，3所以S四边形DEFC＝14S△BEF，S△BEF1因此＝.S四边形DEFC14 10．有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC＝12cm，高AD＝8cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍．则加工成的铁片的面积为多少？解：本题有图(1)和图(2)两种情况．如图(1)，矩形的长EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为某cm，则长为2某cm.由HG∥BC，得△AHG∽△ABC.得AK∶AD＝HG∶BC，24所以(8－某)∶8＝2某∶12，即某＝(cm)．71152则S矩形EFGH＝2某2＝(cm2)．49182022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案如图(2)，矩形的宽MN在BC上，类似地可求得S矩形MNPQ＝18(cm2)．1152即加工成的铁片的面积为cm2或18cm2.4911．如图所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC(AB>AE)．(1)△AEF与△ECF是否相似？若相似证明你的结论；若不相似，请说明理由．(2)设AB＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结BC论，并求出k的值；若不存在，说明理由．解：(1)相似．在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°.∵EF⊥EC，A、D、E共线，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.又∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.EFAF∴△AEF∽△DCE，∴＝.ECDE∵AE＝DE，∴EFAF＝.ECAE又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF.(2)存在，由于∠AEF＝90°－∠AFE<180°－∠CFE－∠AFE＝∠BFC，∴只能是△AEF∽△BCF，∠AEF＝∠BCF.由(1)知∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠FCB＝30°.∴ABCDCD33＝＝＝，即k＝.BCBC2DE223DE1时，＝，∠DCE＝30°，2CD3反过来，在k＝∠AEF＝∠DCE＝30°，∠ECF＝∠AEF＝30°，∠BCF＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF.∴△AEF∽△BCF.192022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案1．1.3平行截割定理[对应学生用书P8][读教材·填要点]1．平行截割定理(1)定理的内容：三条平行线截任两条直线，所截出的对应线成比例．ABDE(2)符号语言表示：如图，若l1∥l2∥l3，则＝.BCEF2．平行截割定理的推论(1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．(2)符号语言表示：ADAEDE如图，若l1∥l2∥l3，则＝＝.ABACBC[小问题·大思维]1．在平行截割定理中，被截的两条直线m，n应满足什么条件？提示：被截取的两条直线m、n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行直线a、b、c都相交．2．若将定理中的“三条平行线”改为“三个互相平行的平面”，是否仍然成立？提示：仍然成立．[对应学生用书P9]202022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案利用定理证明“比例式”[例1]已知：如图，l1∥l2∥l3，ABm＝.BCnDEm求证：＝.DFm＋nDE[思路点拨]本题考查平行截割定理及比例的基本性质．解答本题需要利用定理证得EF＝ABDE，然后利用比例的有关性质求出即可．BCDF[精解详析]∵l1∥l2∥l3，∴∴即ABDEm＝＝.BCEFnEFnEF＋DEn＋m＝，＝，DEmDEmDFm＋nDEm＝，∴＝.DEmDFm＋n解决此类问题要结合几何直观，合理地利用比例的性质，常见的性质有：(1)比例的基本性质：ac＝(bd≠0)ad＝bc；bdab＝(bc≠0)b2＝ac；bcacbd＝(abcd≠0)＝.bdacaca±bc±d(2)合分比性质：如果＝，那么＝.bdbda＋c＋＋maacm(3)等比性质：如果＝＝＝(b dn≠0，b＋d＋＋n≠0)，那么＝.bdnb＋d＋＋nb1．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC交BC于D.求证：111＝＋.ADABAC证明：过D点作DE∥AB交AC于E点，∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∴∠DAE＝60°，∠BAD＝60°.212022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案∵DE∥AB，∴∠ADE＝60°，∴AD＝DE＝AE，∴∴∵∴ADDECE＝＝.ABABACADADCEADCEAE＋＝＋＝＋.ABACACACACACCEAEACADAD＋＝＝1，∴＋＝1.ACACACABAC111＋＝.ABACAD[例2]如图所示，已知直线l截△ABC三边所在的直线分别于E，F，D三点，且AD＝BE.求证：EF·CB＝FD·CA.[思路点拨]借助平行线分线段成比例定理即可证得．EFEBCABC[精解详析]法一：如图1，过D作DK∥AB交EC于点K，则＝，＝，即FDBKADBKCAAD＝.BCBK∵AD＝BE，∴CABEEFCA＝，∴＝.BCBKFDCB利用定理证明“乘积式”即EF·CB＝FD·CA.图1法二：如图2，过E作EP∥AB，交CA的延长线于点P.∵AB∥EP，∴CBCACAAP＝，即＝.BEAPCBBE在△DPE中，∵AF∥PE，∴EFAP＝.FDADCAEF∵AD＝BE，∴＝.∴EF·CB＝FD·CA.CBFD222022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案图2法三：如图3，过D作DN∥BC，交AB于N.EBEF∵ND∥EB，∴＝，DNDFBCCA∵DN∥BC，∴＝，DNAD即CAAD＝.CBDNEFCA＝，即EF·CB＝FD·CA.FDCB∵AD＝EB，∴图3本题所作的辅助线，不仅构造了两个常见的基本图形，而且可以直接利用三角形一边的CAEF平行线的性质定理，找到与的比值关系，再借助等量代换，使问题得以突破．CBFD2.如图所示，已知直线FD和△ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BD＝DC，求证：AE·FB＝EC·FA.证明：过A作AG∥BC，交DF于G点．FAAG∵AG∥BD，∴＝.FBBD又∵BD＝DC，∴FAAG＝.FBDCAGAE∵AG∥DC，∴＝.DCEC∴AEFA＝，即AE·FB＝EC·FA.ECFB[例3]如图，已知ABCD中，延长AB到E，使BE＝AB，连接ED2利用定理进行计算232022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案交BC、AC于F、G.求EF∶FG∶GD的值．[思路点拨]本题考查平行截割定理及其推论的应用．解答本题需要求出EF∶FG，EF∶GD的比值，进而求出EF∶FG∶GD的值．[精解详析]∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.1∵BE＝AB，2∴EFBE1BF＝＝＝.EDAE3AD设EF＝k，ED＝3k，∴FD＝2k.FGFC2∵BC∥AD，∴＝＝.GDAD3∴FG246＝，∴FG＝k，GD＝k，FD55546∴EF∶FG∶GD＝k∶k∶k，55即EF∶FG∶GD＝5∶4∶6.求线段长度比的问题，通常引入一个参数k，然后用所设的参数k表示所求结论中的各个线段，最后消掉参数k即可得到所求结论．3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF ＝4，则DE＝________.解析：设DE＝某，∵DE∥AC，EF∥BC，∴∴BE某15某＝，解得BE＝.15某＋4某＋4BDBEBE某＝＝＝.DCEA15－BE4又∵AD平分∠BAC，∴BDBA15某＝＝＝，DCAC某＋44解得某＝6.答案：6[对应学生用书P11]242022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案一、选择题1．如图，AB∥CD∥EF，AF，BE相交于O，若AO＝OD＝DF，BE＝10cm，则BO的长为()10A.cm35C.cm2解析：∵CD∥EF，OD＝DF，∴C为OE中点，∴OC＝CE.∵AB∥CD，AO＝OD，∴O为BC中点，110∴BO＝OC，∴OB＝BE＝cm.33答案：A2．如图，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为()A．2∶1C．4∶1B．3∶1D．5∶1B．5cmD．3cm解析：要求AF∶FD的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．过D作DG∥AC交BE于G，如图，因为D是BC的中点，1所以DG＝EC，又AE＝2EC，2故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1.2答案：C3.如图，梯形ABCD中，E是DC延长线上一点，AE交BD于G，交BC 于F，下列结论：①④ECEFFGBGAEBD＝；②＝；③＝；CDAFAGGDAGDGAFAE＝，其中正确的个数是()CDDEB．2个D．4个A．1个C．3个ECEFFGBG解析：∵BC∥AD，∴＝，＝，∴①、②正确．CDAFAGGD252022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案AFCD由BC∥AD得＝，EFCE∴即AFCD＝.AF＋EFCD＋CEAFCDAFAE＝，即＝，∴④正确．AEDECDDE答案：CBP2CQ3AR4．如图，已知P、Q分别在BC和AC上，＝，＝，则＝() CP5QA4RPA．3∶14C．17∶3解析：过点P作PM∥AC，交BQ于M，则ARAQ＝.RPPMBP2＝，CP5B．14∶3D．17∶14∵PM∥AC且∴QCBC7＝＝.PMBP2CQ3又∵＝，QA4∴即答案：B二、填空题5．如图，AB∥EM∥DC.AE＝ED，EF∥BC，EF＝12cm，则BC的长为________．AB∥EM∥DCE为AD中点，M为BC的中点．解析：AE＝EDEF∥BCEF＝MC＝12cm.262022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案∴BC＝2MC＝24cm.答案：24cmBCAB6．如图，ABCD中，N是AB延长线上一点，－的值为BMBN________．ABDM解析：∵AD∥BM，∴＝.BNMNDMMC又∵DC∥AN，∴＝，MNMB∴∴DM＋MNMC＋MBDNBC＝，即＝.MNMBMNBMBCABDNDMMN－＝－＝＝1.BMBNMNMNMN答案：17.如图所示，l1∥l2∥l3，若CH＝4.5cm，AG＝3cm，BG＝5cm，EF＝12.9cm，则DH＝________，EK＝________.DHBG解析：由l1∥l2∥l3，可得＝，CHAGBG·CH5某4.5所以DH＝＝＝7.5(cm)，AG3同理可得EK的长度．答案：7.5cm34.4cm8.梯形ABCD中，AD∥BC，AD∶BC＝a∶b.中位线EF＝m，则MN的长是________．解析：易知EF＝(AD＋BC)，21EM＝FN＝AD.2又AD∶BC＝a∶b，设AD＝ak，则BC＝bk.1∵EF＝(AD＋BC)，2k2m∴m＝(a＋b)，∴k＝.2a＋b11∴MN＝EF－EM－NF＝m－ak－ak22mb－a＝m－ak＝.a＋bmb－a答案：a＋b三、解答题272022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案9．如图，M是ABCD的边AB的中点，直线l过M分别交AD、AC于E、F，交CB的延长线于N.若AE＝2，AD＝6.求：AF∶AC的值．解：∵AD∥BC，∴AFAEAFAE＝，∴＝.FCNCAF＋FCAE＋NC∵AM＝MB，∴∴AEAM＝＝1，∴AE＝BN.BNMBAFAEAE＝＝.ACAE＋BN＋BC2AE＋BCAF21＝＝.AC2某2＋65∵AE＝2，BC＝AD＝6，∴即AF∶AC＝1∶5.10．如图，在ABCD中，E和F分别是边BC和AD的中点，BF和DE分别交AC于P，Q两点．求证：AP＝PQ＝QC.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，AD边上的中点，∴DF綊BE，∴四边形BEDF是平行四边形．∵在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ，∴P是AQ的中点，∴AP＝PQ.∵在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP，∴Q是CP的中点，∴CQ＝PQ.∴AP＝PQ＝QC.11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.(1)求证：OE＝OF；(2)求OEOE＋的值；ADBC112＋＝.ADBCEF28(3)求证：2022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案解：(1)证明：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC.OEAEOFDF∵EF∥BC，∴＝，＝.BCABBCDCAEDF∵EF∥AD∥BC，∴＝.ABDC∴OEOF＝，∴OE＝OF.BCBCOEBE(2)∵OE∥AD，∴＝.ADABOEAE由(1)知＝，BCAB∴OEOEBEAEBE＋AE＋＝＋＝＝1.ADBCABABABOEOE(3)证明：由(2)知＋＝1，ADBC∴∴∴1．1.4锐角三角函数与射影定理[对应学生用书P12]2OE2OE＋＝2.又EF＝2OE，ADBCEFEF＋＝2，ADBC112＋＝.ADBCEF[读教材·填要点]1．锐角三角函数的定义含有相等锐角α的所有直角三角形都相似，锐角三角函数(或三角比)为：α的对边α的邻边对边inα＝，coα＝，tanα＝.斜边斜边邻边292022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案2．射影定理(1)定理的内容：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项．(2)符号语言表示：如图若CD是R t△ABC的斜边AB上的高，则：①AC2＝AD·AB②BC2＝BD·AB③CD2＝AD·BD[小问题·大思维]1．线段的正射影还是线段吗？提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，线段的正射影为一个点．2．如何用勾股定理证明射影定理？提示：如图，在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，∴AD2＋2·AD·DB＋DB2＝AC2＋BC2，即2AD·DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2.∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，∴2AD·DB＝2CD2，即CD2＝AD·DB.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD·DB＝AD(AD＋DB)＝AD·AB，即AC2＝AD·AB.在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD·DB＋BD2＝BD(AD＋DB)＝BD·AB，即BC2＝BD·AB.[对应学生用书P13]302022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案利用射影定理解决求值问题[例1]如图，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4，AB＝29，试求BC，AC和CD的长度．[思路点拨]本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，AC和CD的长度．[精解详析]∵BD＝4，AB＝29，∴AD＝25.由射影定理得CD2＝AD·BD ＝25某4＝100，∴CD＝10.BC2＝BD·BA＝4某29.∴BC＝229.AC2＝AD·AB＝25某29，∴AC＝529.运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理．1．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶9，则tan∠BCD＝________.解析：由射影定理得CD2＝AD·BD，又BD∶AD＝1∶9，令BD＝某，则AD＝9某(某>0)．∴CD2＝9某2，CD＝3某.BD某1Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.CD3某31答案：3[例2]如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，交AD于F.DFAE求证：＝.AFEC[思路点拨]本题考查射影定理的应用，利用三角形的内角平分线定理及射影定理可证得．[精解详析]由三角形的内角平分线定理得，利用射影定理解决证明问题312022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案DFBD在△ABD中，＝，①AFABAEAB在△ABC中，＝，②ECBC在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，即BDAB＝.③ABBCDFAB由①③得：＝，④AFBCDFAE由②④得：＝.AFEC将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类问题时，一定要注意对图形进行剖析．2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H，求证：DF2＝FG·FH.证明：∵BE⊥AC，∴∠ABE＋∠BAE＝90°.同理，∠H＋∠HAF＝90°∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA，∴△BFG∽△HFA.∴BF∶HF＝FG∶AF.∴BF·AF＝FG·FH.Rt△ADB中，DF2＝BF·AF，∴DF2＝FG·FH.[对应学生用书P14]一、选择题1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝3，则AC等于()A.53B.213322022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案C.5231D．3解析：由射影定理知，4CD2＝BD·AD，∴AD＝.313∴AB＝AD＋BD＝.∴AC2＝AD·AB＝某＝.339∴AC＝52.3答案：C2．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD ＝6cm，AD∶DB＝1∶2，则AD的值是()A．6cmC．18cm解析：∵AD∶DB＝1∶2，∴可设AD＝t，DB＝2t.又∵CD2＝AD·DB，∴36＝t·2t，∴2t2＝36，∴t＝32(cm)，即AD＝32cm.答案：BAC3BD3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则＝() AB4CD3A.416C.9解析：如图，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC.AC2CD32CD9∴2＝＝4.即＝.ABBDBD16∴BD16＝.CD94B．39D．16B．32cmD．36cm答案：C4．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD周长的相似比为()A．2∶3C.6∶3B．4∶9D．不确定332022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案解析：如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得，CD2＝CDBDAD·BD，即＝.ADCD又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2某，BD＝3某(某>0)，∴CD2＝6某2.∴CD＝6某.AD2某6∴△ACD与△CBD周长的相似比为＝＝，CD6某3即相似比为6∶3.答案：C二、填空题5．如果两条直角边在斜边上的射影分别是4和16，则此直角三角形的面积是________．解析：由题意知，直角三角形斜边长为20，根据射影定理知，斜边上的高为4某16＝8，1所以直角三角形的面积为某20某8＝80.2答案：806．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，BC＝15cm，BD＝3cm，则AD的长是________．解析：∵BC2＝BD·AB，∴15＝3AB，∴AB＝5(cm)．∴AD＝AB－BD＝5－3＝2(cm)．答案：2cma7．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F2分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.解析：连接DE，可知△AED为直角三角形，则EF是Rt△DEAa斜边上的中线，其长等于斜边长的一半，为.2a答案：28．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，AC＝6cm，则此梯形的面积为________．解析：如图，过C作CE⊥AB于E.342022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案在Rt△ACB中，∵AB＝10cm，AC＝6cm，AC2＝AE·AB，∴AE＝3.6cm，BE＝AB－AE＝6.4cm.又∵CE2＝AE·BE，∴CE＝6.4某3.6＝4.8(cm)．又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，∴DC＝AE＝3.6cm.10＋3.6某4.8∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)．2答案：32.64cm2三、解答题9．已知∠CAB＝90°，AD⊥CB，△ACE，△ABF是正三角形，求证：DE⊥DF.证明：如图，在Rt△BAC中，AC2＝CD·CB，AB2＝BD·BC，AC∴＝ABCD＝BDCD2＝CD·BDCD2CDAD＝＝.AD2ADBD∵AC＝AE，AB＝BF，∴AEADAEBF＝，即＝.BFBDADBD又∠FBD＝∠60°＋∠ABD，∠EAD＝60°＋∠CAD，∠ABD＝∠CAD，∴∠FBD＝∠E AD.∴△EAD∽△FBD.∴∠BDF＝∠ADE.∴∠FDE＝∠FDA＋∠ADE＝∠FDA＋∠BDF＝90°.∴DE⊥DF.10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，试证明：(1)AB·AC＝BC·AD；(2)AD3＝BC·CF·BE.证明：(1)Rt△ABC中，AD⊥BC，11∴S△ABC＝AB·AC＝BC·AD.22352022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案∴AB·AC＝BC·AD.(2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC.又AB·AC＝BC·AD，即AD3＝BC·CF·BE.11．如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE＝103，连接DE交BC于点F，AC＝4，BC＝3.求证：(1)△ABC∽△EDC；(2)DF＝EF.证明：(1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5.∵D为斜边AB的中点，∴AD＝BD＝CD＝12AB＝2.5.∴CDCE＝2.510＝34＝BCAC.3∴△ABC∽△EDC.(2)由(1)知，∠B＝∠CDF，∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，∴∠CDF＝∠DCF.∴DF＝CF.①由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD.∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF.②由①②，知DF＝EF.362022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案_1.2圆周角与弦切角1．2.1圆的切线[对应学生用书P15][读教材·填要点]1．直线与圆的位置关系(1)相离：直线和圆没有公共点，称直线和圆相离．(2)相交：如果圆心到一条直线的距离小于半径，则这条直线和该圆一定相交于两点，此时称直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．(3)相切：如果一条直线与一圆只有一个公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点．2．圆的切线判定定理经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等．推论2：经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角．4．三角形的内切圆、旁切圆(1)内切圆：与一三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆．(2)旁切圆：与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆，一个三角形有三个旁切圆．[小问题·大思维]1．下列关于切线的说法中，正确的有哪些？①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．提示：由切线的定义及性质可知，只有③④正确．2．圆的切线的判定方法有哪些？37。