AVL树研究与实现

AVL树研究与实现摘要：计算机最广为人知的优点之一是其能储存大量的数据，如今随着时代的发展，储存容量更是犹如日进千里一般极速扩展，大容量的硬盘、u盘早已随处可见。

然而，要在巨大的数据中搜索出需要的内容却不是一件容易的事，由此，为了能减少在搜索储存数据上的开销，各种适应于不同访问搜索背景的数据结构应运而生。

树，便是计算机学科中最基本的数据结构之一，提供了快速的储存和访问性能。

该文探究了带有平衡条件的二叉查找树——avl树的原理，并对其使用c语言进行了实现。

关键词：数据结构；平衡二叉查找树；avl树中图分类号：tp311 文献标识码：a 文章编号：1009-3044（2013）07-1532-04对于大量的输入数据，普通的线性数据结构访问时间太慢，例如，对于一个有n个数据的线性数据结构，假设对每个数据的访问几率大致相同，每个数据每次访问有1/n的机会被访问，由于是线性数据，因此每个数据的访问花销可以经过一定的排列，最通常的是访问第一个数据花销1个单位时间，第二个2个单位时间，第三个3各单位时间……第n个n各单位时间，于是访问一次的平均花销为（n+[n2]）/2n = （1+n）/ 2，用计算机专业的符号来说，其访问运行时间可以用o（n）来表示，即访问一次线性数据结构的花销在n这个数量级上。

使用树这一数据结构可将访问花销将至logn这个数量级上，也即o（logn），这里logn是以二为底的n的对数。

可以对比一下，若n=1267650600228229401496703205376，则logn=100。

数字越大，则o（n）与o（logn）相差越大。

一般来说，计算机学科中使用的最基本的树为二叉查找树，下图是一颗二叉树的简单示意图：图1 二叉树示意图二叉查找树则是在二叉树的基础上得来。

假设在一颗二叉树中，每个节点都有一个关键词值，并且关键词值都是互异且可以比较，若对于此二叉树中的每个节点，其左子树中所有节点的关键词值小于其本身关键词值，其右子树中所有关键词值大于其本身关键词值，则此二叉树为二叉查找树。

数据结构与算法系列研究五——树、⼆叉树、三叉树、平衡排序⼆叉树AVL树、⼆叉树、三叉树、平衡排序⼆叉树AVL⼀、树的定义树是计算机算法最重要的⾮线性结构。

树中每个数据元素⾄多有⼀个直接前驱，但可以有多个直接后继。

树是⼀种以分⽀关系定义的层次结构。

a.树是n(≥0)结点组成的有限集合。

{N.沃恩}(树是n(n≥1)个结点组成的有限集合。

{D.E.Knuth})在任意⼀棵⾮空树中：⑴有且仅有⼀个没有前驱的结点----根(root)。

⑵当n>1时，其余结点有且仅有⼀个直接前驱。

⑶所有结点都可以有0个或多个后继。

b. 树是n(n≥0)个结点组成的有限集合。

在任意⼀棵⾮空树中：⑴有⼀个特定的称为根（root）的结点。

⑵当n>1时，其余结点分为ｍ（ｍ≥0）个互不相交的⼦集T1，T2，…，Tm。

每个集合本⾝⼜是⼀棵树，并且称为根的⼦树（subtree）树的固有特性---递归性。

即⾮空树是由若⼲棵⼦树组成，⽽⼦树⼜可以由若⼲棵更⼩的⼦树组成。

树的基本操作1、InitTree(&T) 初始化2、DestroyTree(&T) 撤消树3、CreatTree(&T,F) 按F的定义⽣成树4、ClearTree(&T) 清除5、TreeEmpty(T) 判树空6、TreeDepth(T) 求树的深度7、Root(T) 返回根结点8、Parent(T,x) 返回结点 x 的双亲9、Child(T,x,i) 返回结点 x 的第i 个孩⼦10、InsertChild(&T,&p,i,x) 把 x 插⼊到 P的第i棵⼦树处11、DeleteChild(&T,&p,i) 删除结点P的第i棵⼦树12、traverse(T) 遍历树的结点：包含⼀个数据元素及若⼲指向⼦树的分⽀。

●结点的度: 结点拥有⼦树的数⽬●叶结点: 度为零的结点●分枝结点: 度⾮零的结点●树的度: 树中各结点度的最⼤值●孩⼦: 树中某个结点的⼦树的根●双亲: 结点的直接前驱●兄弟: 同⼀双亲的孩⼦互称兄弟●祖先: 从根结点到某结点j 路径上的所有结点（不包括指定结点）。

AVL树和红黑树的性能对比和适用场景AVL树和红黑树都是常用的自平衡二叉查找树，它们在不同的应用场景下具有不同的性能特点。

本文将对AVL树和红黑树的性能进行对比，并分析它们适用的场景。

一、性能对比1. 插入和删除操作AVL树和红黑树在插入和删除操作方面具有不同的性能表现。

由于AVL树要求保持平衡，每次插入或删除操作后都需要进行旋转操作来调整树的平衡。

这样虽然能够保持树的平衡，但是会造成频繁的旋转操作，导致性能较低。

而红黑树则通过颜色标记和旋转操作来保持树的平衡，相比AVL树的旋转操作更少，因此在插入和删除操作方面性能更优。

2. 查找操作在查找操作方面，AVL树和红黑树的性能相当。

它们都保持了二叉查找树的性质，可以在对数时间内完成查找操作。

3. 内存占用由于AVL树要存储额外的平衡信息，每个节点需要额外的一个整数来表示平衡因子，因此相比红黑树来说，AVL树的内存占用更高。

二、适用场景1. 数据插入与删除频繁的场景如果应用场景中涉及频繁的数据插入和删除操作，而对查找操作的性能要求相对较低，则适合选择红黑树。

红黑树通过更少的旋转操作来保持树的平衡，能够在频繁插入和删除操作时，保持较好的性能。

2. 数据查询频繁的场景如果应用场景中涉及频繁的数据查询操作，而对插入和删除操作的性能要求相对较低，则适合选择AVL树。

AVL树由于保持了严格的平衡性，能够在频繁查询操作时，提供更高的查找性能。

3. 对内存占用有限制的场景如果应用场景对内存占用有较严格的限制，则适合选择红黑树。

红黑树相比AVL树的内存占用更低，能够在有限的内存条件下，存储更多的节点。

4. 平衡性要求高且内存占用不是关键问题的场景如果应用场景对平衡性要求较高，而对内存占用没有过多的限制，则AVL树是更好的选择。

AVL树能够保持严格的平衡性，但相对红黑树来说，需要更多的旋转操作，导致性能较低。

三、总结AVL树和红黑树是常用的自平衡二叉查找树，在不同的应用场景下具有不同的性能表现。

平衡⼆叉树详解平衡⼆叉树详解简介平衡⼆叉树（Balanced Binary Tree）具有以下性质：它是⼀棵空树或它的左右两个⼦树的⾼度差的绝对值不超过1，并且左右两个⼦树都是⼀棵平衡⼆叉树。

平衡⼆叉树的常⽤实现⽅法有红⿊树、AVL、替罪⽺树、Treap、伸展树等。

其中最为经典当属AVL树，我们总计⽽⾔就是：平衡⼆叉树是⼀种⼆叉排序树，其中每⼀个结点的左⼦树和右⼦树的⾼度差⾄多等于1。

性值AVL树具有下列性质的⼆叉树（注意，空树也属于⼀种平衡⼆叉树）：l 它必须是⼀颗⼆叉查找树l 它的左⼦树和右⼦树都是平衡⼆叉树，且左⼦树和右⼦树的深度之差的绝对值不超过1。

l 若将⼆叉树节点的平衡因⼦BF定义为该节点的左⼦树的深度减去它的右⼦树的深度，则平衡⼆叉树上所有节点的平衡因⼦只可能为-1,0,1.l 只要⼆叉树上有⼀个节点的平衡因⼦的绝对值⼤于1，那么这颗平衡⼆叉树就失去了平衡。

实现平衡⼆叉树不平衡的情形：把需要重新平衡的结点叫做α，由于任意两个结点最多只有两个⼉⼦，因此⾼度不平衡时，α结点的两颗⼦树的⾼度相差2.容易看出，这种不平衡可能出现在下⾯4中情况中：1.对α的左⼉⼦的左⼦树进⾏⼀次插⼊2.对α的左⼉⼦的右⼦树进⾏⼀次插⼊3.对α的右⼉⼦的左⼦树进⾏⼀次插⼊4.对α的右⼉⼦的右⼦树进⾏⼀次插⼊（1）LR型（2）LL型（3）RR型（4）RL型完整代码#include<stdio.h>#include<stdlib.h>//结点设计typedef struct Node {int key;struct Node *left;struct Node *right;int height;} BTNode;int height(struct Node *N) {if (N == NULL)return0;return N->height;}int max(int a, int b) {return (a > b) ? a : b;}BTNode* newNode(int key) {struct Node* node = (BTNode*)malloc(sizeof(struct Node));node->key = key;node->left = NULL;node->right = NULL;node->height = 1;return(node);}//ll型调整BTNode* ll_rotate(BTNode* y) {BTNode *x = y->left;y->left = x->right;x->right = y;y->height = max(height(y->left), height(y->right)) + 1;x->height = max(height(x->left), height(x->right)) + 1;return x;}//rr型调整BTNode* rr_rotate(BTNode* y) {BTNode *x = y->right;y->right = x->left;x->left = y;y->height = max(height(y->left), height(y->right)) + 1;x->height = max(height(x->left), height(x->right)) + 1;return x;}//判断平衡int getBalance(BTNode* N) {if (N == NULL)return0;return height(N->left) - height(N->right);}//插⼊结点&数据BTNode* insert(BTNode* node, int key) {if (node == NULL)return newNode(key);if (key < node->key)node->left = insert(node->left, key);else if (key > node->key)node->right = insert(node->right, key);elsereturn node;node->height = 1 + max(height(node->left), height(node->right)); int balance = getBalance(node);if (balance > 1 && key < node->left->key) //LL型return ll_rotate(node);if (balance < -1 && key > node->right->key) //RR型return rr_rotate(node);if (balance > 1 && key > node->left->key) { //LR型node->left = rr_rotate(node->left);return ll_rotate(node);}if (balance < -1 && key < node->right->key) { //RL型node->right = ll_rotate(node->right);return rr_rotate(node);return node;}//遍历void preOrder(struct Node *root) { if (root != NULL) {printf("%d ", root->key);preOrder(root->left);preOrder(root->right);}}int main() {BTNode *root = NULL;root = insert(root, 2);root = insert(root, 1);root = insert(root, 0);root = insert(root, 3);root = insert(root, 4);root = insert(root, 4);root = insert(root, 5);root = insert(root, 6);root = insert(root, 9);root = insert(root, 8);root = insert(root, 7);printf("前序遍历：");preOrder(root);return0;}。

算法导论思考题P177：13-3:AVL树主要思路：实现AVL树的关键在于维持树的平衡性。

为了保证平衡，AVL树中的每个结点都有一个平衡因子，它表示这个结点的左、右子树的高度差，也就是左子树的高度减去右子树的高度的结果值。

AVL树上所有结点的平衡因子bal值只能是-1、0、1。

反之，只要二叉树上一个结点的bal的绝对值大于1，则该二叉树就不是平衡二叉树。

每当插入一个节点或删除都有可能破坏了树的平衡性。

因此首先检查是否破坏了树的平衡性，如果因插入结点而破坏了二叉查找树的平衡，则找出离插入点最近的不平衡结点，然后将该不平衡结点为根的子树进行旋转操作，称该不平衡结点为旋转根，以该旋转根为根的子树称为最小不平衡子树。

要对树进行翻转，以满足平衡性。

翻转使用的方法是红黑树中提到的左旋和右旋。

根据出现的不同情况对树进行旋转。

归纳为4种旋转类型：LL型旋转、RR型旋转、LR型旋转、RL型旋转。

1、LL型旋转：2、LR型旋转：3、RR型旋转：4、RL 型旋转：上图（a ）（b ）（c ）（d ）为四种类型的旋转图示。

证明：假设h N 是一颗高度为h 的AVL 树中最小的节点数：1,0,11021==++=--N N N N N h h h可以看到h N 的定义与斐波那契数列的定义非常相似1,0,1021==+=--F F F F F h h h利用归纳法证明：当0≥h 时12-=+h h F N ，而5/h h F ϕ≈（其中251+=ϕ），则15/2-=+h h N ϕ。

反之，含有n 个结点的平衡树的最大深度为)(log )2(log 44.1~2))1(5(log 2n O n n =+-+ϕ。

在平衡的的平衡二叉查找树Balanced BST 上插入一个新的数据元素e 的递归算法可描述如下：(1)若BBST 为空树，则插入一个数据元素为e 的新结点作为BBST 的根结点，树的深度增1；(2)若e 的关键字和BBST 的根结点的关键字相等，则不进行；(3)若e 的关键字小于BBST 的根结点的关键字，而且在BBST 的左子树中不存在和e 有相同关键字的结点，则将e 插入在BBST 的左子树上，并且当插入之后的左子树深度增加（+1）时，分别就下列不同情况处理之：a 、BBST 的根结点的平衡因子为-1（右子树的深度大于左子树的深度，则将根结点的平衡因子更改为0，BBST 的深度不变；b 、BBST 的根结点的平衡因子为0（左、右子树的深度相等）：则将根结点的平衡因子更改为1，BBST 的深度增1；c 、BBST 的根结点的平衡因子为1（左子树的深度大于右子树的深度）：若BBST 的左子树根结点的平衡因子为1：则需进行单向右旋平衡处理，并且在右旋处理之后，将根结点和其右子树根结点的平衡因子更改为0，树的深度不变；（4）若e的关键字大于BBST的根结点的关键字，而且在BBST的右子树中不存在和e有相同关键字的结点，则将e插入在BBST的右子树上，并且当插入之后的右子树深度增加（+1）时，分别就不同情况处理之。

AVL树数据结构的特点与使用场景AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，它在插入或删除节点时会通过旋转操作来保持树的平衡，以确保树的高度始终保持在较小的范围内。

AVL树得名于其发明者Adelson-Velsky和Landis，是一种高度平衡的二叉搜索树，具有快速的查找、插入和删除操作的特点。

在本文中，将介绍AVL树数据结构的特点以及其在实际应用中的使用场景。

一、AVL树的特点1. 自平衡性：AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，任何时刻，AVL 树的任意节点的左右子树的高度差不超过1。

当插入或删除节点后，AVL树会通过旋转操作来保持树的平衡，以确保树的高度始终保持在较小的范围内，从而保证了查找、插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)。

2. 高度平衡：由于AVL树的自平衡性，使得树的高度相对较低，这样在进行查找操作时，平均查找时间较短，提高了搜索效率。

3. 严格平衡：AVL树是一种严格平衡的二叉搜索树，任何时刻，AVL树的任意节点的左右子树的高度差不超过1，这种严格平衡性保证了AVL树的高度始终保持在较小的范围内，使得其在各种操作下都能保持高效性。

4. 插入和删除操作复杂度低：由于AVL树的自平衡性，插入和删除节点时需要进行旋转操作来保持树的平衡，但这些旋转操作的时间复杂度为O(log n)，因此插入和删除操作的复杂度仍然为O(log n)，保证了操作的高效性。

二、AVL树的使用场景1. 数据库索引：在数据库系统中，AVL树常被用作索引结构，用于加速数据库的查找操作。

由于AVL树具有快速的查找、插入和删除操作，能够保持树的平衡，因此在数据库索引中得到广泛应用。

2. 编辑器中的自动补全功能：在文本编辑器或代码编辑器中，常常需要实现自动补全功能，AVL树可以用来存储单词或代码片段，通过快速查找实现自动补全功能，提高编辑效率。

3. 路由表：在网络路由中，需要快速查找目标地址对应的路由信息，AVL树可以用来存储路由表，通过快速查找实现高效的路由转发，提高网络传输效率。

avl方案1. 引言AVL树是一种自平衡二叉查找树，它在操作过程中保持树的高度平衡，从而保证了各种基本操作的时间复杂度为O(log n)。

本文将介绍AVL树的原理、实现方法以及应用场景。

2. AVL树的原理AVL树是由G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis在1962年提出的，它的名称取自于他们的名字的首字母。

AVL树的特点是每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1，即保证了树的高度平衡。

AVL树的插入和删除操作会导致树的失衡，为了维持树的平衡，AVL树使用了旋转操作。

旋转操作主要包括左旋和右旋，通过重新调整子树的结构来使得树重新达到平衡。

3. 实现AVL树实现AVL树可以采用递归或迭代的方式，这里以递归方式为例进行说明。

3.1 AVL树节点定义首先需要定义AVL树的节点结构，一个简单的AVL树节点可以包括以下几个字段：class AVLNode:def__init__(self, key):self.key = keyself.left =Noneself.right =Noneself.height =1其中，key字段用于存储节点的键值，left和right字段分别指向节点的左子树和右子树，height字段表示节点的高度。

3.2 AVL树的插入操作AVL树的插入操作分为以下几个步骤：1.找到插入位置，若树为空，则直接插入新节点。

2.根据插入节点的键值与当前节点的键值进行比较，决定向左子树或右子树递归插入。

行旋转操作。

4.若当前节点失衡，根据失衡情况选择合适的旋转操作进行平衡调整。

下面是插入操作的递归实现代码：def insert(root, key):if not root:return AVLNode(key)elif key < root.key:root.left = insert(root.left, key)else:root.right = insert(root.right, key)root.height =1+ max(get_height(root.left), get_height(root.right)) balance = get_balance(root)# 左旋if balance >1and key < root.left.key:return rotate_right(root)# 右旋if balance <-1and key > root.right.key:return rotate_left(root)# 左右旋if balance >1and key > root.left.key:root.left = rotate_left(root.left)return rotate_right(root)# 右左旋if balance <-1and key < root.right.key:root.right = rotate_right(root.right)return rotate_left(root)return root3.3 AVL树的删除操作AVL树的删除操作也需要进行树的平衡调整，它分为以下几个步骤：1.找到待删除的节点。

avr、avl和avf的计算公式摘要：1.AVR、AVL 和AVF 的定义和特点2.AVR、AVL 和AVF 的计算公式3.公式的应用和实例正文：AVR、AVL 和AVF 是三种不同的树结构，它们各自有着独特的特点和计算公式。

AVR（Average Value of Random）树，即随机平均值树，是一种基于随机优先级调度的二叉树。

在AVR 树中，每个节点的优先级都是随机的，且所有节点的优先级之和等于一个定值。

AVR 树的计算公式为：AVR(x) = (a + b) / 2，其中x 为节点，a 和b 分别为其左右子树的AVR 值。

AVL（Average Value of Level）树，即层次平均值树，是一种基于层序优先级调度的二叉树。

在AVL 树中，每个节点的优先级都是按照其所在的层级进行排序的，且所有节点的优先级之和等于一个定值。

AVL 树的计算公式为：AVL(x) = (a + b + c) / 3，其中x 为节点，a、b 和c 分别为其左子树、右子树和当前节点的优先级。

AVF（Average Value of Function）树，即函数平均值树，是一种基于函数优先级调度的二叉树。

在AVF 树中，每个节点的优先级都是根据某个特定的函数值进行排序的，且所有节点的函数值之和等于一个定值。

AVF 树的计算公式为：AVF(x) = f(a) + f(b) + f(c)，其中x 为节点，a 和b 分别为其左子树和右子树的函数值，f(c) 为当前节点的函数值。

这些公式在实际应用中可以帮助我们计算出各种树结构的节点值，以便进行后续的操作和处理。

例如，在AVR 树中，我们可以通过AVR 公式计算出每个节点的值，从而实现随机优先级调度；在AVL 树中，我们可以通过AVL 公式计算出每个节点的值，从而实现层序优先级调度；在AVF 树中，我们可以通过AVF 公式计算出每个节点的值，从而实现函数优先级调度。

1引言数据结构课程是计算机及相关专业的核心课程，是程序设计的重要理论技术基础[1].在动态查找表中，平衡二叉树被广泛的应用，平衡二叉树又称AVL 树,它是由Adel ，son-Vel ，skii 和Landis 两位数学家于1962年提出并用他们的名字来命名的.平衡二叉树或者是一棵空树，或者是满足下列条件的二叉排序树：二叉排序树的所有结点的平衡因子为-1、0和1.所谓平衡因子BF （BalanceFactor ）可定义为某结点左子树的深度减去右子树的深度[2].若二叉树中任一个结点的平衡因子的绝对值大于1，则该二叉树就不是平衡二叉树.平衡二叉树在插入结点和删除结点时候，会使其变得不平衡.为此，需要对二叉排序树进行调整,使之重新变为平衡二叉树.相关教材和论文中关于平衡二叉树的调整方法较难理解，学生难以接受.笔者通过阅读大量的相关资料，并且总结教学经验，提出了一种易于理解和实用的二叉排序树转换成平衡二叉树方法.2平衡二叉树调整方法的文献综述由于平衡二叉树的重要性，以及学生在学习平衡二叉树调整的过程中，普遍反映对用于平衡二叉树调整的四种方法较难理解，算法复杂.为此，许多学者对平衡二叉树的调整进行了大量的研究.严蔚敏、吴伟民[1]在《数据结构》（C 语言版）一书中二叉排序树调整为平衡二叉树采用左旋转（LL ）、右旋转（LR ）、先左旋转后右旋转（LR ）、先右旋转后左旋转（RL ）四种旋转方法.李春葆[2]在《数据结构教程》（第2版）一书中也是采用了LL 、LR 、RR 、RL 四种旋转方法.朱宇、张红彬[3]在《平衡二叉树的选择调整算法》一文中，提出利用“中为根、小为左、大为右”的调整策略，但本质上仍然是利用旋转的思想.胡云[4]在《快速构建AVL 树》一文中采用“将二叉排序树中的数据进行排序,将中点数据作为根,大于中点的数据构成右子树，小于中点的数据构成左子树，然后采用同样的方法分别对左子树和右子树进行调整.”但从作者举出的实例可以看出，该方法与传统方法得到的平衡二叉树并不一致.杜薇薇[5]等在《基于平衡因子的AVL 树设计实现》一文中则从平衡因子出发,并用数学公式进行了验证了插入和删除操作.刘绍翰[6]等在《一种简化的AVL 树的实现方法》一文提出了高度平衡树(HAVL)它是一种新的AVL 树的数学描述.以上文献中虽然提出了较好的调整方法，但在平衡二叉树的调整基本上仍然是采用旋转的方法进行调整，并没有从根本上解决学生的困惑.笔者在教学中发现学生对二叉排序树的建立普遍能熟练掌握，并且平衡二叉树的前提必须是一棵二叉排序树，为此，本文提出了一种利用平衡因子和构建二叉排序树的方法来实现平衡二叉树的调整，从而Vol.28No.3M ar.2012赤峰学院学报（自然科学版）Journal of Chifeng University （Natural Science Edition ）数据结构中平衡二叉树的教学探讨与研究朱洪浩（蚌埠学院计算机科学与技术系，安徽蚌埠233000）摘要：平衡二叉树是对二叉排序树的一种改进，又被称为AVL 树，平衡二叉树的结构较好，可以提高查找运算的速度.本文分析了权威教材和相关论文中平衡二叉树的调整方法，这些方法学生普遍反映理解和掌握较困难.据此，本文依据平衡因子和二叉排序树的特性，设计出一种基于平衡因子和二叉排序树的平衡二叉树的调整方法，该方法易于理解和掌握.关键词：二叉排序树；平衡因子；平衡二叉树中图分类号：TP311.12文献标识码：A文章编号：1673-260X （2012）03-0019-03第28卷第3期（上）2012年3月基金项目：安徽省自然科学基金项目（11040606M151）资助19--解决了学生的困惑.3平衡二叉树的调整方法根据平衡二叉树的定义可知，插入和删除结点造成平衡二叉树不平衡的原因是产生2或者-2的平衡因子，其实，调整的方法只需将以平衡因子为2或者-2为根结点的子二叉排序树重新找一个根结点建立新的子二叉排序树.从而使二叉排序树中的平衡因子都为-1、0或者1，即调整成为平衡二叉树.问题的关键是如何找根结点，即序列中的第一个结点，具体方法如下文所示规则.3.1插入结点的调整插入结点时，可以利用规则一、规则二进行：规则一某结点的平衡因子为2时，把以该结点为根的树采用中序遍历的方法进行遍历，即得到一个递增的子序列，同时看该结点的左孩子的平衡因子.（1）若左孩子的平衡因子为-1时，则取该左孩子的右孩子结点，并将其移动到序列的最前面，得到一个新的序列，对该序列构造二叉排序树.（2）若左孩子的平衡因子为1时，则取该左孩子结点，并将其移动到序列的最前面，得到一个新序列，对该序列构造二叉排序树.规则二某结点的平衡因子为-2时，把以该结点为根的树采用中序遍历的方法进行遍历，即得到一个递增的子序列，同时看该结点的右孩子的平衡因子.（1）若右孩子的平衡因子为-1时，则取该右孩子结点，并将其移动到序列的最前面，得到一个新的序列，对该序列构造二叉排序树.（2）若右孩子的平衡因子为1时，则取该右孩子的左孩子结点，并将其移动到序列的最前面，得到一个新序列，对该序列构造二叉排序树.3.2删除结点的调整删除结点时，要确定删除的结点是否是叶子结点，具体方法见规则三.规则三（1）若删除的是叶子结点，直接删除，并且自底向下查看树中的平衡因子，若发现存在平衡因子为2时，采用规则一进行调整，若平衡因子为-2时，则采用规则二进行调整.（2）若不是叶子结点，首先按照二叉排序树非叶子结点的删除方法即用该结点左子树的最大值（或者右子树的最小值）代替该结点，然后在从二叉排序树中删去它的最大值（或者最小值），同样，自底向下查看树中的平衡因子，若发现存在平衡因子为2时，采用规则一进行调整，若平衡因子为-2时，则采用规则二进行调整.4算法描述4.1插入结点的算法平衡二叉树的插入实现算法步骤：（1）插入结点L（L总是作为新的叶子结点插入的），插入的方法同一般的二叉排序树插入结点一样.（2）沿着插入结点L的路线返回，逐层回溯.必要时修改L的祖先的平衡因子，发现平衡因子为2或-2时，则利用规则一、规则二找到结点R.（3）把该二叉排序树进行中序遍历，得到一递增序列，并把结点R移动到该序列的最前面，然后对新形成的序列构造二叉排序树.同时检查树中其它结点，若发现平衡因子为2或-2的结点，进行调整.重复（2）（3）直到所有的结点都保持平衡为止.（4）回到（1），继续插入新的结点，直到所有的结点都插入完为止.实例1：输入关键字序列{16,3,7,11,9,26,18, 14,15}，构造一棵平衡二叉树[2].图1利用规则一、规则二构造AVL树的过程20 --4.2删除结点的算法平衡二叉树的删除实现算法步骤：（1）用二叉排序树的删除算法找到并删除结点L.（2）从被删除结点到根结点逐层向上回溯，必要时修改L的祖先结点的平衡因子，发现平衡因子为2或-2时，则利用规则一、规则二找到结点R.（3）把该二叉排序树进行中序遍历，得到一递增序列，并把结点R移动到该序列的最前面，然后对新形成的序列构造二叉排序树.（4）如果调整之后，子树的总高度比调整前降低了，仍然要继续回溯，直到所有结点平衡因子都为-1、0、1时，即都保持平衡为止.实例2：对实例1生成的AVL树，给出删除结点11,9,14的步骤[2].5结束语平衡二叉树的调整是数据结构教学中的重点和难点，学生在学习的过程中对该部分内容难以理解和接受，为了打破这种局面，作者通过阅读大量的资料，总结了此方法，该方法“只需找到新的根结点，重新构造成二叉排序树”即可，通过教学实践发现，本文采用的方法容易被学生理解和掌握，在教学中得到了良好的效果，得到学生的认可.———————————————————参考文献：〔1〕严蔚敏，吴伟民．数据结构(C语言版)[M]．北京：清华大学出版社，2007．〔2〕李春葆.数据结构教程（第2版）.北京：清华大学出版社，2007.〔3〕朱宇，张红彬．平衡二叉树的选择调整算法[J]．中国科学院研究生院学报，2006，23（4）:527-533．〔4〕胡云．快速构建AVL树[J]．安阳师范学院学报，2007（6）：61-63．〔5〕杜薇薇，张翼燕，瞿春柳．基于平衡因子的AVL 树设计实现[J]．计算机技术与发展，2010，20（3）: 24-27．〔6〕刘绍翰，高天行，黄志球．一种简化的AVL树的实现方法[J]．三峡大学学报(自然科学版)，2011，33（1）:85-87．图2删除AVL中结点的过程21--。

AVL树的平衡策略AVL树是一种自平衡二叉搜索树，通过保持树的左右子树的高度差在指定范围内来维持平衡。

在本文中，我们将介绍AVL树的平衡策略以及它的实现。

一、AVL树的介绍AVL树是一种二叉搜索树，它的每个节点都包含一个额外的平衡因子，即该节点的左子树和右子树的高度差。

平衡因子可以是 -1、0 或 1，当平衡因子的绝对值超过1时，树就不再平衡，需要通过旋转操作进行调整。

二、插入操作在AVL树中插入一个节点时，首先进行二叉搜索树的插入操作。

接着，从插入节点的父节点开始向上回溯，更新每个祖先节点的平衡因子。

如果某个祖先节点的平衡因子超过了1，即左子树高度大于右子树，或者小于-1，即右子树高度大于左子树，那么就需要进行相应的旋转操作来恢复平衡。

三、旋转操作AVL树的旋转操作包括左旋和右旋。

左旋是指将当前节点的右子树提升为新的根节点，当前节点成为新根节点的左子树。

右旋则是相反的操作，将当前节点的左子树提升为新的根节点，当前节点成为新根节点的右子树。

四、平衡调整在进行插入操作后，AVL树可能会失去平衡，而需要进行相应的平衡调整。

平衡调整可以通过不同类型的旋转操作来实现，包括左旋、右旋、左右旋和右左旋等。

1. 左旋：当插入节点导致某个祖先节点的平衡因子为2，并且插入节点在该祖先节点的左子树的左子树上时，进行左旋操作。

2. 右旋：当插入节点导致某个祖先节点的平衡因子为-2，并且插入节点在该祖先节点的右子树的右子树上时，进行右旋操作。

3. 左右旋：当插入节点导致某个祖先节点的平衡因子为2，并且插入节点在该祖先节点的左子树的右子树上时，先对插入节点的左子树进行一次右旋操作，然后对祖先节点进行左旋操作。

4. 右左旋：当插入节点导致某个祖先节点的平衡因子为-2，并且插入节点在该祖先节点的右子树的左子树上时，先对插入节点的右子树进行一次左旋操作，然后对祖先节点进行右旋操作。

五、删除操作在AVL树中删除一个节点时，首先进行二叉搜索树的删除操作。

AVL树插⼊操作InsertAVL的实现AVL树是⾮常重要的⼀种数据结构，这⾥实现了在AVL树中的插⼊操作，包括插⼊后整个树的⾃平衡。

这⾥有⼏点值得注意的地⽅：1).左旋L_Rotate与右旋R_Rotate操作：这两个操作传递进来的参数是以TreeNode*&的形式传递进来的，也就是说传递的是指针的引⽤，效果等价于传递⼆级指针如果不加⼊&，则在函数内部更改的是形参的指向，因为实际上函数调⽤时，如果不采⽤引⽤传递，则会构造⼀个与原T指向同⼀个地⽅的临时变量指针，在X_Rotate的内部也是对这个临时变量进⾏操作，等到返回后对原来的T⼀点影响都没有。

因此对于指针的操作，如果说需要在某个函数内更改这个指针的指向，则要么传递⼆级指针，要么传递指针的引⽤。

2).在LR型或RL型中：以LR型为例，要根据不平衡点的左⼦树的根的右孩⼦rd的bf值来确定T与lc的bf值，其中rd->bf会出现等于0的情况。

这种情况只会出现在rc才是新插⼊的节点，也就是说lc->right在原来未插⼊时是NULL，只有在这种情况下才会显现在rc->bf=0，树却增⾼的情况。

⼀点⼩⼩的总结：AVL树第⼀次接触感觉很复杂，转来转去，四个形状，其实思考清楚后整个思路还是很简单的：⾸先是LL型与RR型：这两种情况是最简单的，只需要简单的右旋/左旋即可.以LL型为例⼦：对T右旋后，实际上就是将T->left->right接到T的left上，并将T->left->right改为接上T。

RR型也是如此。

然后是LR型与RL型：这两种情况复杂的原因在于，仅仅是右旋/左旋，T的bf仍不会变化。

以LR型为例⼦：问题出现在右旋后将T->left->right接到T的left并不会改变T的bf。

但实际上LR型可以看做这样⼀个过程：先将他转换为LL型。

也就是说，如果把插⼊节点插⼊到T->left的左⼦树上，就转变为第⼀个问题了。

一．实验内容分析：1.实验目的：模拟用户登录系统，在O（lgn）时间内完成用户登录、删除、修改等工作。

2.设计思路：主要分以下四个类：A VLTreeNode:存储平衡树节点；A VLTree:A VL平衡树的主要实现算法；UserInfo:存储用户信息；Interface:界面,与用户交互；3.流程图以及类的主要包含和调用关系：二.实验验证分析（1）输入的形式和输入值的范围；控制台的输入：如图，输入为数字，超出范围将提示不正确并返回重新输入文件的输入：程序会找寻当前目录的database.data文件，并读入数据，如果未找到则自创此文件，创建空树（2）输出的形式；程序退出时析构函数保存文件到database.data并覆盖原文件。

（3）程序所能达到的功能；在O(lgn)时间内添加、查找、删除、修改用户信息。

（4）测试数据：本系统包含三个测试函数样例：1.顺序插入测试（分别在debug和release环境下和STL map比较速度）2.随机插入测试（分别在debug和release环境下和STL map比较速度）3.删除测试测试函数均在main文件里void randomTest();//随机数测试void orderTest();//顺序插入测试void deleteTest();//删除测试void main_interface();//主界面1,2均在debug模式下插入100W数据，在release模式下插入1000W数据。

顺序插入的实现是用整数1~n转换为string，位数不够的在前面补‘0’。

测试结果：1.debug下顺序插入测试：2.Release下顺序插入测试3.debug下随机插入测试4.release下随机插入测试实践证明map的红黑树在顺序插入测试时慢于我的avl树，但随机插入测试表现比A VL树要好。

3.删除数据的图形化表示（‘R’‘L’‘=’为平衡因子以检验正确性）下面删除3（树中无3）：还是一样，下面删除2删除成功，下面删除7删除成功。

AVL树及其平衡性AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，它得名于它的发明者Adelson-Velsky和Landis。

AVL树在插入和删除节点时会通过旋转操作来保持树的平衡，以确保树的高度始终保持在一个较小的范围内，从而提高搜索、插入和删除操作的效率。

本文将介绍AVL树的基本概念、特点以及如何保持其平衡性。

一、AVL树的基本概念AVL树是一种二叉搜索树，具有以下特点：1. 每个节点最多有两个子节点，左子节点的值小于父节点的值，右子节点的值大于父节点的值；2. 每个节点都有一个平衡因子（Balance Factor），定义为左子树的高度减去右子树的高度；3. AVL树的平衡因子必须为-1、0或1，即任意节点的左右子树高度差不超过1；4. AVL树中任意节点的左子树和右子树都是AVL树。

二、AVL树的平衡性AVL树通过旋转操作来保持树的平衡，主要包括左旋转、右旋转、左右旋转和右左旋转四种操作。

在插入或删除节点后，如果AVL树的平衡因子不满足要求，就需要进行相应的旋转操作来调整树的结构，以保持平衡性。

1. 左旋转（LL旋转）当某个节点的平衡因子为2，且其左子树的平衡因子为1或0时，需要进行左旋转操作。

左旋转是将当前节点向左旋转，使其右子节点成为新的根节点，原根节点成为新根节点的左子节点，新根节点的左子节点成为原根节点的右子节点。

2. 右旋转（RR旋转）当某个节点的平衡因子为-2，且其右子树的平衡因子为-1或0时，需要进行右旋转操作。

右旋转是将当前节点向右旋转，使其左子节点成为新的根节点，原根节点成为新根节点的右子节点，新根节点的右子节点成为原根节点的左子节点。

3. 左右旋转（LR旋转）当某个节点的平衡因子为2，且其左子树的平衡因子为-1时，需要进行左右旋转操作。

左右旋转是先对当前节点的左子节点进行右旋转，然后再对当前节点进行左旋转。

4. 右左旋转（RL旋转）当某个节点的平衡因子为-2，且其右子树的平衡因子为1时，需要进行右左旋转操作。