2020年秋高二数学期末模拟试卷及答案

格式：pdf
大小：702.95 KB
文档页数：19

下载文档原格式

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(四)(文科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（四）（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．已f（x）=xsinx，则f′（x）=（）A．cosx B．﹣cosx C．sinx﹣xcosx D．sinx+xcosx3．对两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2）…，（x n，y n），则下列不正确的说法是（）A．若求得相关系数r=﹣0.89，则y与x具备很强的线性相关关系，且为负相关B．同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和E1=1.8，同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和E2=2.4，则模型1的拟合效果更好C．用相关指数R2来刻画回归效果，模型1的相关指数R12=0.48，模型2的相关指数R22=0.91，则模型1的拟合效果更好D．该回归分析只对被调查样本的总体适用4．若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A．3，2 B．3，﹣2 C．3，﹣3 D．﹣1，45．已知x，y的取值如下表所示：x 2 3 4y 6 4 5如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为，则b=（）A． B．C．D．6．曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（）A．y=﹣3x+5 B．y=3x﹣1 C．y=3x+5 D．y=2x7．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根8．若z=4+3i，则=（）A．1 B．﹣1 C． +i D．﹣i9．曲线y=x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为（）A．（2，8）B．（﹣2，﹣8）C．（1，1）或（﹣1，﹣1）D．10．设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点 D．x=﹣1为f（x）的极小值点11．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=1﹣，则a2014的值为（）A．﹣2 B．C．D．412．已知函数在区间[﹣，]上有f（x）＞0恒成立，则a的取值范围为（）A．（0，2]B．[2，+∞）C．（0，5）D．（2，5]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）=x3﹣4x+4在[0，3]上的最大值是．14．调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y=0.354x+0.321．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元．15．i是虚数单位，若复数（x2﹣5x+6）+（x﹣3）i是纯虚数，则实数x的值为．16．观察下列不等式1+＜，1++＜，1+++＜，…照此规律，第五个不等式为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤.17．在直角坐标系xOy 中，已知圆C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的极坐标方程；（2）直线l的极坐方程是，射线OM：θ=与圆的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．18．已知函数f（x）=ax3+bx在x=2处取得极值为﹣16（1）求a，b的值；（2）若f（x）的单调区间．19．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据第2题求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）20．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2 [30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.20.2 0.1[120，150]总计优秀不优秀甲班乙班总计k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 P（K2≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？21．已知函数f（x）=（x﹣k）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．22．设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）﹣g（x）＜对任意x＞0成立．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则解答．【解答】解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A．2．已f（x）=xsinx，则f′（x）=（）A．cosx B．﹣cosx C．sinx﹣xcosx D．sinx+xcosx【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，由导数的乘法计算法则计算即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=xsinx，则f′（x）=（x）′sinx+x（sinx）′=sinx+xcosx；故选：D．3．对两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2）…，（x n，y n），则下列不正确的说法是（）A．若求得相关系数r=﹣0.89，则y与x具备很强的线性相关关系，且为负相关B．同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和E1=1.8，同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和E2=2.4，则模型1的拟合效果更好C．用相关指数R2来刻画回归效果，模型1的相关指数R12=0.48，模型2的相关指数R22=0.91，则模型1的拟合效果更好D．该回归分析只对被调查样本的总体适用【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据r＜0则y与x具备很强的线性相关关系，且为负相关；线性回归方程一定过样本中心点；在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，相关指数表示拟合效果的好坏，指数越小，相关性越强；相关指数R2用来衡量两个变量之间线性关系的强弱R2越接近于1，说明相关性越强，相反，相关性越小，命题可做判断．【解答】解：对于A，r＜0则y与x具备很强的线性相关关系，且为负相关，正确；对于B，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确；对于C，相关指数R2用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，R2越接近于1，说明相关性越强，相反，相关性越小，因此R2越大拟合效果越好，故不正确；对于D，回归分析只对被调查样本的总体适用，正确；故选：C．4．若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A．3，2 B．3，﹣2 C．3，﹣3 D．﹣1，4【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件计算得答案．【解答】解：∵（1+i）+（2﹣3i）=3﹣2i=a+bi，∴a=3，b=﹣2．则a，b的值分别等于3，﹣2．故选：B．5．已知x，y的取值如下表所示：x 2 3 4y 6 4 5如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为，则b=（）A． B．C．D．【考点】BK：线性回归方程．【分析】估计条件中所给的三组数据，求出样本中心点，因为所给的回归方程只有b需要求出，利用待定系数法求出b的值，得到结果．【解答】解：∵线性回归方程为，又∵线性回归方程过样本中心点，，∴回归方程过点（3，5）∴5=3b+，∴b=﹣故选A．6．曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（）A．y=﹣3x+5 B．y=3x﹣1 C．y=3x+5 D．y=2x【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：y=﹣x3+3x2的导数为y′=﹣3x2+6x，可得曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线斜率为k=﹣3+6=3，即有曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即为y=3x﹣1．故选：B．7．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．8．若z=4+3i，则=（）A．1 B．﹣1 C． +i D．﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．【解答】解：z=4+3i，则===﹣i．故选：D．9．曲线y=x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为（）A．（2，8）B．（﹣2，﹣8）C．（1，1）或（﹣1，﹣1）D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设P（m，n），则n=m3，求出函数的导数，可得切线的斜率，解m的方程可得m，n，即可得到P的坐标．【解答】解：设P（m，n），则n=m3，y=x3的导数为y′=3x2，可得曲线y=x3在点P处的切线斜率为3m2，由题意可得3m2=3，解得m=±1，则m=1，n=1；m=﹣1，n=﹣1．即P（1，1），（﹣1，﹣1）．故选：C．10．设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点 D．x=﹣1为f（x）的极小值点【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由题意，可先求出f′（x）=（x+1）e x，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点【解答】解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数令f′（x）=（x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x）的极小值点故选D11．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=1﹣，则a2014的值为（）A．﹣2 B．C．D．4【考点】8H：数列递推式．【分析】根据数列的递推关系得到数列的规律，即可得到结论．【解答】解：∵a1=，a n+1=1﹣，∴a2=1﹣3=﹣2，a3=1+=，a4=1﹣=，…∴{a n}的取值具备周期性，周期性3，则a2014=a671×3+1=a1=，故选：B．12．已知函数在区间[﹣，]上有f（x）＞0恒成立，则a的取值范围为（）A．（0，2]B．[2，+∞）C．（0，5）D．（2，5]【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】在区间[﹣，]上，f（x）＞0恒成立等价于在区间[﹣，]上，f（x）min＞0，由此利用导数性质能求出a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=ax3﹣x2+1，（x∈R，a＞0）∴f′（x）=3ax2﹣3x，由f′（x）=0，得x=0，或x=，①当≥，0＜a≤2时，∵f（﹣）=﹣，f（）=+，f（0）=1，∴在区间[﹣，]上，f（x）min=﹣，∵在区间[﹣，]上，f（x）＞0恒成立，∴f（x）min=﹣＞0，解得a＜5，∴0＜a≤2．②当＜，a＞2时，∵f（﹣）=﹣，f（）=+，f（0）=1，f（）=1﹣，∴在区间[﹣，]上，f（x）min=﹣，∵在区间[﹣，]上，f（x）＞0恒成立，∴f（x）min=﹣＞0，解得a＜5，∴2＜a＜5．综上所述，a的取值范围是（0，5），故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）=x3﹣4x+4在[0，3]上的最大值是4．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，求得导数为0的极值点，再求极值和端点处的函数值，比较即可得到最大值．【解答】解：函数f（x）=x3﹣4x+4的导数为f′（x）=x2﹣4，由f′（x）=0，可得x=2（﹣2舍去），由f（2）=﹣4=﹣，f（0）=4，f（3）=1，可得f（x）[0，3]上的最大值为4．故答案为：4．14．调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y=0.354x+0.321．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.354万元．【考点】BK：线性回归方程．【分析】写出当自变量增加1时的预报值，用这个预报值去减去自变量x对应的值，得到家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加的数字，得到结果．【解答】解：∵对x的回归直线方程y=0.354x+0.321．∴当家庭年收入增加1万元时，y=0.234（x+1）+0.321，∵[0.354（x+1）+0.321]﹣[0.354x+0.321]=0.354．故年饮食支出平均增加0.354万元．故答案为：0.354．15．i是虚数单位，若复数（x2﹣5x+6）+（x﹣3）i是纯虚数，则实数x的值为2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数（x2﹣5x+6）+（x﹣3）i是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0，求解即可得答案．【解答】解：∵复数（x2﹣5x+6）+（x﹣3）i是纯虚数，∴，解得x=2．故答案为：2．16．观察下列不等式1+＜，1++＜，1+++＜，…照此规律，第五个不等式为1+++++＜．【考点】F1：归纳推理．【分析】由已知中不等式1+＜，1++＜，1+++＜，…，分析不等式两边的变化规律，可得答案．【解答】解：由已知中：不等式：1+＜，1++＜，1+++＜，…归纳可得：第n个不等式为：1+++…+＜，当n=5时，第五个不等式为1+++++＜，故答案为：1+++++＜三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤.17．在直角坐标系xOy 中，已知圆C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的极坐标方程；（2）直线l的极坐方程是，射线OM：θ=与圆的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）圆C的参数方程消去参数能求出圆的极坐标方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简能求出此圆的极坐标方程．（II）求出直线l：y+x=3，射线OM：y=x．联立，得Q（），联立，得P（，），由此能求出线段PQ的长．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得此圆的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（II）如图所示，直线l的极坐方程是，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l：y+x=3，射线OM：y=x．联立，解得x=，y=，即Q（）．联立，解得或．∴P（，）．∴|PQ|==2．∴线段PQ的长为2．18．已知函数f（x）=ax3+bx在x=2处取得极值为﹣16（1）求a，b的值；（2）若f（x）的单调区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求得函数f（x）的导数，由题意可得f（2）=﹣16，且f′（2）=0，解a，b的方程组，即可得到a，b的值；（2）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间．【解答】解：（1）函数f（x）=ax3+bx的导数为f′（x）=3ax2+b，由于f（x）在x=2处取得极值为﹣16故有f（2）=﹣16，且f′（2）=0即12a+b=0且8a+2b=﹣16，解得a=1，b=﹣12；（2）由（1）知f（x）=x3﹣12x的导数为f′（x）=3x2﹣12，令f′（x0=0，得x1=﹣2，x2=2，当f′（x）＞0，即x＜﹣2或x＞2时，函数f（x）为增函数；当f′（x）＜0，即﹣2＜x＜2时，函数f（x）为减函数．则f（x）的增区间为（﹣∞，﹣2），（2，+∞），减区间为（﹣2，2）．19．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据第2题求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图；（2）根据所给的这组数据求出回归方程的系数，得到线性回归方程；（3）根据线性回归方程，计算x=100时的生产能耗，求出比技改前降低的标准煤．【解答】解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图如下；（2）由对照数据，计算得=×（3+4+5+6）=4.5，=×（2.5+3+4+4.5）=3.5，=32+42+52+62=86，x i y i=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，∴回归方程的系数为==0.7，=3.5﹣0.7×4.5=0.35，∴所求线性回归方程为=0.7x+0.35；（3）由（2）的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35（吨），∴90﹣70.35=19.65吨，预测比技改前降低了19.65吨标准煤．20．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150]0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？【考点】BL：独立性检验；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由图表得到乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．然后利用枚举法得到从这六名学生随机抽取两名的基本事件个数，进一步得到恰有一位学生成绩优秀的事件个数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）直接由公式求出K的值，结合图表得答案．【解答】解：（Ⅰ）乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个，设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有：{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8个，∴；（Ⅱ）优秀不优总计秀甲班 4 16 20乙班 2 18 20总计 6 34 40．在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．21．已知函数f（x）=（x﹣k）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x 的变化情况即可求出函数的单调区间；（Ⅱ）根据（I），对k﹣1是否在区间[0，1]内进行讨论，从而求得f（x）在区间[0，1]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（x﹣k+1）e x，令f′（x）=0，得x=k﹣1，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：x （﹣∞，k﹣1）k﹣1 （k﹣1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↓﹣e k﹣1↑∴f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k﹣1），f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞）；（Ⅱ）当k﹣1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=﹣k；当0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k﹣1]上单调递减，f（x）在区间（k﹣1，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k﹣1）=﹣e k﹣1；当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=（1﹣k）e；综上所述f（x）min=．22．设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）﹣g（x）＜对任意x＞0成立．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）求导，并判断导数的符号确定函数的单调区间和极值、最值，即可求得结果；（Ⅱ）通过函数的导数，利用函数的单调性，判断两个函数的大小关系即可．（Ⅲ）利用（Ⅰ）的结论，转化不等式，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题设知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，∴g'（x）=，令g′（x）=0得x=1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的单调减区间．当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的单调递增区间，因此，x=1是g（x）的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g（1）=1．（II）设，则h'（x）=﹣，当x=1时，h（1）=0，即，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（1）＜0，因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，即，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即．（III）由（I）知g（x）的最小值为1，所以，g（a）﹣g（x）＜，对任意x＞0，成立⇔g（a）﹣1＜，即Ina＜1，从而得0＜a＜e．。

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(一)(理科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（一）（理科）（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷(选择题60分)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）已知集合{2,1,0,1}A =--，{}=≤B x x a ，A B ⊂，则a 的取值范围是（A ）(,1]-∞ （B ） (,2]-∞- （C ） [1,)+∞ （D ）[2,)-+∞ （2）已知复数z 满足(2i)2i z +=-，则z 的虚部是（A ）i 34-（B ）34-（C ）i 54-（D ）54- （3）已知向量a=(1,),=(1,2)x b x -r r，若a r -b r 与a r 垂直，则|a r |等于（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）3（4）设30log 2.a =，3lg0.10=b ，3010.c =，则（A ）c b a <<（B ）b c a << （C ）c a b << （D ）c b a << （5）已知函数2()()af x x a x =+∈R 在区间[2,)+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（A ）(,4)-∞ （B ）(,4]-∞（C ）(,8)-∞（D ）(,8]-∞（6）函数sin()y A x ωϕ=+的图象如右图，则,,A ωϕ的一组可能值为6π-3π2y x（A ）622π,,- （B ）12,,26π（C ）2,2,3π （D ）2,2,3π-（7）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）π320+ （B ）π324+ （C ）π220+ （D ）π224+（8）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（A ）256 （B ）512 （C ）1024 （D ）1048576（9）在一个样本容量为30的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积和的41，则中间这组的频数为（A ）15（B ）14（C ）6（D ）24 （10）祖暅原理是中国古代一个涉及几何体体积的结论：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等，设,A B 为两个同高的几何体.:,p A B 的体积相等，:,q A B 在等高处的截面积恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件1k k =+开始A A k =+SS A ⋅=2否是?3<k1,0,1k A S ===结束输出S 俯视图侧视图正视图12222（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（11）圆22(4)1x y -+=的圆心到双曲线22221x y a b-=的渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为（A ）233 （B ） 63 （C ）477（D ）3 （12）若函数x y 2sin π=的图象与x y a log =的图象至少有12个交点，则a 的取值范围是（A ）(]141,（B ）[)∞+，14 （C ）(]71,（D ）[)∞+，7第Ⅱ卷(非选择题90分)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.）（13）已知31)cos(=π-x ，0tan >x ，则=x sin .（14）某企业在2017年2月份引入高新技术，预计“用10个月的时间实现产量比2017年1月的产量翻一番”的指标．按照这一目标，甲乙丙三人分别写出在这十个月间平均增长率x 满足的关系式，依次为甲：1102x +=；乙：1012x +=；丙：10(1)2x +=，其中关系式正确的是 .（15）已知点()y ,x 满足()()13122≤-+-y x ，则其落在区域()()041≤-+-y x x 的概率等于．（16）为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积等于．三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）（17）（本小题满分10分）已知向量(3sin ,cos ),(cos ,cos ),m x x n x x x R ==∈u r r ，设()f x m n =⋅u r r．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及单调增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且1,2,()1a b c f A =+==，求△ABC 的面积．（18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：1,7,1,7n n n a n n +⎧=⎨->⎩≤（*n ∈N ），数列{}n b 满足：n a n b )1(-=.（Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并加以说明.（19）（本小题满分12分）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）14 15161718有生育意愿家庭数 4 816 226（Ⅰ）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（Ⅱ）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．（20）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA BEP，4AB PA==，2BE=．（Ⅰ）求证：//CE平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求AFAB的值；如果不存在，说明理由．（21）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，有两定点(2,0) ,(2,0)A B -和两动点(0,),(0,)M m N n ，且1mn =，直线AM 与直线BN 交点轨迹为曲线W（Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）若直线,AM BN 分别与直线4x =交于,C D ，在曲线W 上是否存在点E ，使得△ECD 的面积是△EAB 面积的4倍，若存在，求出E 点的横坐标，若不存在，说明理由．(22)（本小题满分12分）已知函数(1)()ln ()a x f x x a R x-=-∈．（Ⅰ）若1a =,求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）求证：不等式111ln 12x x -<-对一切的(1,2)x ∈恒成立．高二理科数学试题参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题。

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(十)(理科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（十）（理科）一、选择题：本大题共16个小题，每小题4分，共64分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=，则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i2．设集合A={﹣2，0，2，4}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{0，2，4}3．下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=﹣|x|B．f（x）=2x+2﹣xC．f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）D．f（x）=x3﹣14．函数f（x）=ln（x2+2）的图象大致是（）A．B．C．D．5．设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（）A．B． C． D．6．函数f（x）=2x+x3的零点所在区间为（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（1，2）D．（﹣2，﹣l）7．dx=（）A．ln2+ B．ln2﹣C．ln2﹣D．ln2﹣8．已知f（n）=+++…+，则（）A．f（n）中共有n项，当n=2时，f（2）=+B．f（n）中共有n+1项，当n=2时，f（2）=++C．f（n）中共有n2﹣n项，当n=2时，f（2）=++D．f（n）中共有n2﹣n+1项，当n=2时，f（2）=++9．一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（）种不同的坐法．A．7200 B．3600 C．2400 D．120010．若函数f（x）=x2lnx（x＞0）的极值点为α，函数g（x）=xlnx2（x＞0）的极值点为β，则有（）A．α＞βB．α＜βC．α=βD．α与β的大小不确定11．已知函数f（x）=x4﹣2x3+3m，x∈R，若f（x）+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥ B．m＞ C．m≤ D．m＜12．如图，阴影部分的面积是（）A．2B．﹣2 C． D．13．用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项14．对于函数f（x）=x3﹣3x2，给出下列四个命题：①f（x）是增函数，无极值；②f（x）是减函数，有极值；③f（x）在区间（﹣∞，0]及[2，+∞）上是增函数；④f（x）有极大值为0，极小值﹣4；其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．415．如图所示的是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A．B．C．D．16．当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）17．计算（4A84+2A85）÷（A86﹣A95）×0！=．18．若复数z=（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣2）i为纯虚数，则实数a的值等于．19．函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值为；最小值为．20．若函数f（x）=在区中（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．求值：2log2﹣lg2﹣lg5+．22．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0（Ⅰ）求实数a，b的值（Ⅱ）求函数f（x）的极值．23．对于函数f（x）=a﹣（a∈R）．（1）探索并证明函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若有，求出实数a的值，并证明你的结论；若没有，说明理由．24．设t≠0，点P（t，0）是函数f（x）=x3+ax与g（x）=bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．（Ⅰ）用t表示a，b，c；（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣g（x）在（﹣1，3）上单调递减，求t的取值范围．25．如图，设铁路AB长为80，BC⊥AB，且BC=10，为将货物从A 运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小？26．已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，g（x）=mx+5﹣2m．（Ⅰ）若y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f （x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共16个小题，每小题4分，共64分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=，则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到选项．【解答】解：复数z==所以它的共轭复数为：1﹣i故选A2．设集合A={﹣2，0，2，4}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{0，2，4}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中的不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即B=（﹣1，3），∵A={﹣2，0，2，4}，∴A∩B={0，2}．故选：C．3．下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=﹣|x|B．f（x）=2x+2﹣xC．f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）D．f（x）=x3﹣1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义即可得到结论．【解答】解：f（﹣x）=﹣|﹣x|=﹣|x|=f（x），故A是偶函数．f（﹣x）=2x+2﹣x=f（x），故B是偶函数．f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣[lg（1+x）﹣lg（1﹣x）]=﹣f （x），故C是奇函数．f（﹣x）=﹣x3﹣1≠﹣f（x），故D不是奇函数．故选：C4．函数f（x）=ln（x2+2）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】研究函数性质，选择与之匹配的选项．【解答】解：因为定义域为R，且f（﹣x）=f（x），所以函数为偶函数，排除C项；又f（0）=ln2＞0，排除A、B两项；只有D项与之相符．故选：D．5．设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（）A．B． C． D．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】由根式与分数指数幂的互化规则所给的根式化简即可将其表示成分数指数幂，求得其结果选出正确选项．【解答】解：由题意=故选C．6．函数f（x）=2x+x3的零点所在区间为（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（1，2）D．（﹣2，﹣l）【考点】二分法求方程的近似解．【分析】由函数的解析式求得f（﹣1）•f（0）＜0，根据函数零点的判定定理，可得f（x）=2x+x3的零点所在区间．【解答】解：∵连续函数f（x）=2x+x3，f（﹣1）=﹣1=﹣，f（0）=1+0=1，∴f（﹣1）•f（0）=﹣×1＜0，根据函数零点的判定定理，f（x）=2x+x3的零点所在区间为（﹣1，0），故选：B．7．dx=（）A．ln2+ B．ln2﹣C．ln2﹣D．ln2﹣【考点】定积分．【分析】只须求出被积函数的原函数，再利用积分中值定理即可求得结果．【解答】解：∵dx=（lnx﹣﹣）|12=ln2﹣﹣﹣ln1+1+=ln2+．故选：A8．已知f（n）=+++…+，则（）A．f（n）中共有n项，当n=2时，f（2）=+B．f（n）中共有n+1项，当n=2时，f（2）=++C．f（n）中共有n2﹣n项，当n=2时，f（2）=++D．f（n）中共有n2﹣n+1项，当n=2时，f（2）=++【考点】数列的求和．【分析】观察数列的通项公式，可得分母n，n+1，n+2…n2构成以n 为首项，以1为公差的等差数列，从而可得项数为n2﹣n+1【解答】解：分母n，n+1，n+2…n2构成以n为首项，以1为公差的等差数列项数为n2﹣n+1故选D9．一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（）种不同的坐法．A．7200 B．3600 C．2400 D．1200【考点】计数原理的应用．【分析】由题意，6个人之间形成5个空，插入3个座位，即可得不同的坐法．【解答】解：由题意，6个人之间形成5个空，插入3个座位，可得不同的坐法有A66C53=7200种，故选：A．10．若函数f（x）=x2lnx（x＞0）的极值点为α，函数g（x）=xlnx2（x＞0）的极值点为β，则有（）A．α＞βB．α＜βC．α=βD．α与β的大小不确定【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】利用积的导数法则求f′（x），g′（x）；据函数极值点处的导数为零，列出方程解得．【解答】解：∵f′（x）=2xlnx+x，g′（x）=lnx2+2又f（x）=x2lnx（x＞0）的极值点为α，g（x）=xlnx2（x＞0）的极值点为β，∴2αlnα+α=0，lnβ2+2=0∴∴α＞β故选A．11．已知函数f（x）=x4﹣2x3+3m，x∈R，若f（x）+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥ B．m＞ C．m≤ D．m＜【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】要找m的取值使f（x）+9≥0恒成立，思路是求出f′（x）并令其等于零找出函数的驻点，得到函数f（x）的最小值，使最小值大于等于﹣9即可求出m的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）=x4﹣2x3+3m，所以f′（x）=2x3﹣6x2．令f′（x）=0得x=0或x=3，经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f（3）=3m﹣．不等式f（x）+9≥0恒成立，即f（x）≥﹣9恒成立，所以3m﹣≥﹣9，解得m≥．故答案选A．12．如图，阴影部分的面积是（）A．2B．﹣2 C． D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用定积分的几何意义表示出阴影部分的面积，然后计算．【解答】解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是=（3x﹣）|=；故选C．13．用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项【考点】数学归纳法．【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“++…+＞（n＞2）左边的各项，他们都是以开始，以项结束，共n项，当由n=k到n=k+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论．【解答】解：，=故选C14．对于函数f（x）=x3﹣3x2，给出下列四个命题：①f（x）是增函数，无极值；②f（x）是减函数，有极值；③f（x）在区间（﹣∞，0]及[2，+∞）上是增函数；④f（x）有极大值为0，极小值﹣4；其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由已知得f′（x）=3x2﹣6x，由此利用导数性质能能求出f（x）的增区间是（﹣∞，0），（2，+∞）；减区间是（0，2）．f（x）极大值=f （0）=0，f（x）极小值=f（2）=﹣4．【解答】解：∵f（x）=x3﹣3x2，∴f′（x）=3x2﹣6x，由f′（x）=0，得x=0或x=2，当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）的增区间是（﹣∞，0），（2，+∞）；减区间是（0，2）．∴f（x）极大值=f（0）=0，f（x）极小值=f（2）=﹣4．故①②错误，③④正确．故选：B．15．如图所示的是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A．B．C．D．【考点】导数的运算；函数解析式的求解及常用方法；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】由图象知f（x）=0的根为0，1，2，求出函数解析式，x1，x2为导函数的两根，可结合根与系数求解．【解答】解：由图象知f（x）=0的根为0，1，2，∴d=0．∴f（x）=x3+bx2+cx=x（x2+bx+c）=0．∴x2+bx+c=0的两个根为1和2．∴b=﹣3，c=2．∴f（x）=x3﹣3x2+2x．∴f′（x）=3x2﹣6x+2．∵x1，x2为3x2﹣6x+2=0的两根，∴．∴．16．当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]【考点】函数恒成立问题；其他不等式的解法．【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）17．计算（4A84+2A85）÷（A86﹣A95）×0！=4．【考点】排列及排列数公式．【分析】根据排列数的公式进行计算即可．【解答】解：（4+2）÷（﹣）×0!=（4×8×7×6×5+2×8×7×6×5×4）÷（8×7×6×5×4×3﹣9×8×7×6×5）×1=（3×8×7×6×5×4）÷（8×7×6×5×3）=4．故答案为：4．18．若复数z=（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣2）i为纯虚数，则实数a的值等于0．【考点】复数的基本概念．【分析】由纯虚数的定义可知，解之可得．【解答】解：由纯虚数的定义可知，由方程可解得a=0，或a=2，但a=2时a2﹣a﹣2=0，矛盾，故答案为：019．函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值为3；最小值为﹣17．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，通过导数为0，求出极值点，比较极值点的函数值与端点的函数值，即可得到所求的最值．【解答】解：因为函数f（x）=x3﹣3x+1，所以函数f′（x）=3x2﹣3，令3x2﹣3=0，解得x=﹣1，或x=1∉[﹣3，0]，因为f（﹣3）=（﹣3）3﹣3×（﹣3）+1=﹣17，f（﹣1）=（﹣1）3﹣3×（﹣1）+1=3，f（0）=1；所以函数的最大值为：3；最小值为：﹣17．故答案为：3；﹣17．20．若函数f（x）=在区中（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是﹣1＜m≤0．【考点】函数单调性的性质．【分析】若函数变形为，只要考查函数就行了．【解答】解：∵函数变形为，设，只要g（x）是单调减函数即可．画出g（x）的图象：∵解得﹣1＜m≤0故填﹣1＜m≤0．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．求值：2log2﹣lg2﹣lg5+．【考点】对数的运算性质．【分析】根据指数幂和对数的运算性质计算即可．【解答】解：=2×﹣lg10+=1﹣1+=．22．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0（Ⅰ）求实数a，b的值（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b（Ⅱ）对f（x）求导，分别令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值．【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b 从而f′（x）=6y=f′（x）关于直线x=﹣对称，从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．23．对于函数f（x）=a﹣（a∈R）．（1）探索并证明函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若有，求出实数a的值，并证明你的结论；若没有，说明理由．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（1）利用导数判断函数的单调性即可；（2）先由f（0）=0求得a=1，再证明f（﹣x）=﹣f（x），恒成立．【解答】解：∵f（x）=a﹣（a∈R）．∴f′（x）=＞0恒成立，∴函数f（x）在R上为增函数（2）由f（0）=a﹣=0，得a=1，∴f（x）=1﹣=，∵f（﹣x）===﹣=﹣f（x）所以当a=1时，f（x）为奇函数．24．设t≠0，点P（t，0）是函数f（x）=x3+ax与g（x）=bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．（Ⅰ）用t表示a，b，c；（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣g（x）在（﹣1，3）上单调递减，求t的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）根据函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），以及f （x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，建立方程组，即可用t 表示a，b，c；（II）先利用导数求出y=f（x）﹣g（x）的单调减区间，然后使（﹣1，3）是单调减区间的子集，建立关系式，解之即可求出t的范围．【解答】解：（I）因为函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），所以f（t）=0，即t3+at=0．因为t≠0，所以a=﹣t2．g（t）=0，即bt2+c=0，所以c=ab．又因为f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，所以f'（t）=g'（t）．而f'（x）=3x2+a，g'（x）=2bx，所以3t2+a=2bt．将a=﹣t2代入上式得b=t．因此c=ab=﹣t3．故a=﹣t2，b=t，c=﹣t3．（II）y=f（x）﹣g（x）=x3﹣tx2﹣t2x+t3，y'=3x2﹣2tx﹣t2=（3x+t）（x ﹣t）．当y'=（3x+t）（x﹣t）＜0时，函数y=f（x）﹣g（x）单调递减．由y'＜0，若t＞0，则﹣＜x＜t；若t＜0，则t＜x＜﹣．由题意，函数y=f（x）﹣g（x）在（﹣1，3）上单调递减，则（﹣1，3）⊂（﹣，t）或（﹣1，3）⊂（t，﹣）．所以t≥3或﹣≥3．即t≤﹣9或t≥3．∴t的取值范围为（﹣∞，﹣9]∪[3，+∞）．25．如图，设铁路AB长为80，BC⊥AB，且BC=10，为将货物从A 运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数最值的应用．【分析】（1）由已知中铁路AB长为80，BC⊥AB，且BC=10，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4，我们可计算出公路上的运费和铁路上的运费，进而得到由A到C的总运费；（2）由（1）中所得的总运费y表示为x的函数，利用导数法，我们可以分析出函数的单调性，及函数的最小值点，得到答案．【解答】解：（1）依题中，铁路AB长为80，BC⊥AB，且BC=10，将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，且单位距离的铁路运费为2，公路运费为4∴铁路AM上的运费为2（80﹣x），公路MC上的运费为4，则由A到C的总运费为y=2（80﹣x）+4（0≤x≤80）…（2）y′=﹣2+（0≤x≤80），令y′=0，解得x=，或x=﹣（舍）…当0≤x≤时，y′≤0；当≤x≤80时，y′≥0故当x=时，y取得最小值．…即当在距离点B为时的点M处修筑公路至C时总运费最省．…26．已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，g（x）=mx+5﹣2m．（Ⅰ）若y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f （x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）y=f（x）在[﹣1，1]上单调递减函数，要存在零点只需f（1）≤0，f（﹣1）≥0即可（2）存在性问题，只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集即可．【解答】解：（Ⅰ）：因为函数f（x）=x2﹣4x+a+3的对称轴是x=2，所以f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，因为函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则必有：即，解得﹣8≤a≤0，故所求实数a的取值范围为[﹣8，0]．（Ⅱ）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集．f（x）=x2﹣4x+3，x∈[1，4]的值域为[﹣1，3]，下求g（x）=mx+5﹣2m的值域．①当m=0时，g（x）=5﹣2m为常数，不符合题意舍去；②当m＞0时，g（x）的值域为[5﹣m，5+2m]，要使[﹣1，3]⊆[5﹣m，5+2m]，需，解得m≥6；③当m＜0时，g（x）的值域为[5+2m，5﹣m]，要使[﹣1，3]⊆[5+2m，5﹣m]，需，解得m≤﹣3；综上，m的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）．。

2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案(四)(理科)

2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案（四）（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数=（）A．i B．﹣i C．2i D．﹣2i2．已知回归方程为：=3﹣2x，若解释变量增加1个单位，则预报变量平均（）A．增加2个单位B．减少2个单位C．增加3个单位D．减少3个单位3．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二场有4本不同的语文书，第三层有5本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（）种不同的取法．A．120 B．16 C．12 D．604．随机变量X～B（n，），E（X）=3，则n=（）A．8 B．12 C．16 D．205．从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（）A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．至少有1件正品6．下列说法正确的是（）A．归纳推理，演绎推理都是合情合理B．合情推理得到的结论一定是正确的C．归纳推理得到的结论一定是正确的D．合情推理得到的结论不一定正确7．下列命题中正确的为（）A．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强B．线性相关系数r越小，两个变量的线性相关性越弱C．残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好D．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好8．下列求导运算正确的是（）A．（3x）′=x•3x﹣1B．（2e x）′=2e x（其中e为自然对数的底数）C．（x2）′=2xD．（）′=9．一个盒子里有7只好晶体管，3只坏晶体管，从盒子里先取一个晶体管，然后不放回的再从盒子里取出一个晶体管，若已知第1只是好的，则第2只是坏的概率为（）A． B．C． D．10．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（2）=（）A．B．1 C．﹣1 D．﹣11．若（1﹣2x）2017=a0+a1x+a2x2+…+a2017x2017（x∈R），则++…+的值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣212．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=2，且对任意x∈R都有f′（x）＞3，则不等式f（x）＞3x﹣1的解集为（）A．（1，2）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（0≤X≤1）=0.35，则P（X＞2）=．14．对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观察数据（x i，y i）（i=1，2，…8），其回归直线方程是：=2x+a，且x1+x2+x3+…+x8=8，y1+y2+y3+…+y8=16，则实数a的值是．15．若（x2）n的展开式中二项式系数之和为64，则n等于．16．对正整数m的3次幂有如下分解方式：13=1 23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19根据上述分解规律，则103的分解中最大的数是．三、解答题（共5小题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知A （1，2），B（a，1），C（2，3），D（﹣1，b）（a，b∈R）是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为z1，z2．（Ⅰ）若z1+z2=1+i，求z1，z2（Ⅱ）若|z1+z2|=2，z1﹣z2为实数，求a，b的值．18．某高中为了解高中学生的性别和喜欢打篮球是否有关，对50名高中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢打篮球不喜欢打篮球合计男生 5女生10合计已知在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢打篮球的学生的概率为（Ⅰ）请将上述列联表补充完整；（Ⅱ）判断是否有99.5%的把握认为喜欢打篮球与性别有关？附：K2=p（K2≥k0）0.10 0.05 0.0250.0100.005 0.001k02.70 63.8415.0246.6357.87910.82819．已知数列{a n}的首项a1=2，a n+1=2a n﹣1（n∈N*）（Ⅰ）写出数列{a n}的前5项，并归纳猜想{a n}的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中所猜想的通项公式．20．已知某产品出厂前需要依次通过三道严格的审核程序，三道审核程序通过的概率依次为，，，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，该产品只有三道程序都通过才能出厂销售（Ⅰ）求审核过程中只通过两道程序的概率；（Ⅱ）现有3件该产品进入审核，记这3件产品可以出厂销售的件数为X，求X的分布列及数学期望．21．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx（a∈R）（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2ax，若g（x）有两个极值点x1，x2，且不等式g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．选修4-4坐标系与参数方程22．已知圆C的参数方程为（θ为参数），若P是圆C 与x轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l（Ⅰ）求直线l的极坐标方程（Ⅱ）求圆C上到直线ρ（cosθ+sinθ）+6=0的距离最大的点的直角坐标．选修4-5不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[，1]，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分。

2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案(一)(理科)

2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案（一）（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的﹒1．已知：z（1+2i）=3﹣i，则=（）A．B．C．D．2．设随机变量ξ～B（2，p），随机变量η～B（3，p），若，则Eη=（）A．B．C．1 D．3．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线在正方形內的部分）的点的个数的估计值为（）A．1193 B．1359 C．2718 D．34134．x，y的取值如表，从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则m=（）x12345my27812A．15 B．16 C．16.2 D．175．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2=，3=，4=，5=则按照以上规律，若8=具有“穿墙术”，则n=（）A．7 B．35 C．48 D．636．从混有3张假钞的10张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为（）A．B．C． D．7．函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）的部分图象是（）A． B． C．D．8．已知函数函数，其中a＞0，若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰好有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，3）B．（3，+∞）C．D．9．已知：，则a6=（）A．﹣28 B．﹣448 C．112 D．44810．已知数列{a n}各项的绝对值均为1，S n为其前n项和．若S7=3，则该数列{a n}的前七项的可能性有（）种．A．10 B．20 C．21 D．4211．若f（x）=，则fA． B． C． D．12．已知定义在R上函数f（x）是可导的，f（1）=2，且f（x）+f'（x）＜1，则不等式f（x）﹣1＜e1﹣x的解集是（）（注：e为自然对数的底数）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（0，1）D．（﹣∞，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题纸上. 13．在二项式（+）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为．14．若函数f（x）=e x+ax2无极值点，则a的取值范围是．15．已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则=．16．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且，则=．三、解答题：17．已知：二项式展开式中所有项的二项式系数和为64，（1）求n的值；（2）若展开式所有项的系数和为，其中a，b为有理数，求a和b的值．18．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列表：合计喜爱打篮球不喜爱打篮球男生20525女生101525合计302050（1）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽6人，其中男生抽多少人？（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女生的概率．（3）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，计算出K2，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？附：下面的临界值表供参考：p（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.8415.0246.6357.87910.82819．（1）已知：x∈（0+∞），求证：；（2）已知：n∈N且n≥2，求证：．20．学校在军训过程中要进行打靶训练，给每位同学发了五发子弹，打靶规则：每个同学打靶过程中，若连续两发命中或者连续两发不中则要停止射击，否则将子弹打完．假设张同学在向目标射击时，每发子弹的命中率为．（1）求张同学前两发只命中一发的概率；（2）求张同学在打靶过程中所耗用的子弹数X的分布列与期望．21．某兴趣小组有9名学生．若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是．（1）该小组中男女学生各多少人？（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）22．设函数（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）曲线y=xf（x）是否存在经过原点的切线，若存在，求出该切线方程，若不存在说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的﹒1．已知：z（1+2i）=3﹣i，则=（）A．B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】求出z，由复数的除法运算法则化简，再由共轭复数的定义，即可得到所求．【解答】解：z（1+2i）=3﹣i，可得z===，则=+i．故选：B．2．设随机变量ξ～B（2，p），随机变量η～B（3，p），若，则Eη=（）A．B．C．1 D．【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】根据独立重复事件的概率公式计算p，从而得出Eη．【解答】解：∵，∴，解得．∴η～，∴Eη=1．故选C．3．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线在正方形內的部分）的点的个数的估计值为（）A．1193 B．1359 C．2718 D．3413【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】根据正态分布的对称性得出阴影面积，从而得出点落入阴影的概率，即可得出答案．【解答】解：μ=﹣1，σ=1，∵P（μ﹣σ＜x≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜x≤μ+2σ）=0.9544，即P（﹣2＜x＜0）=0.6826，P（﹣3＜x＜1）=0.9544，∴P（0＜x＜1）=（0.9544﹣0.6826）=0.1359，∴点落入阴影的概率p==0.1359，∴落入阴影的点个数约为10000×0.1359=1359．故选：B．4．x，y的取值如表，从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则m=（）x12345y2781m2A．15 B．16 C．16.2 D．17【考点】BK：线性回归方程．【分析】首先求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值，【解答】解：∵==3，==，∴这组数据的样本中心点是（3，），∵y与x线性相关，且回归方程为，∴=3.5×3﹣1.3，∴m=17，故选D．5．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2=，3=，4=，5=则按照以上规律，若8=具有“穿墙术”，则n=（）A．7 B．35 C．48 D．63【考点】F1：归纳推理．【分析】观察所告诉的式子，找到其中的规律，问题得以解决．【解答】解2=2==，3=3=，4=4=，5=5=则按照以上规律8=，可得n=82﹣1=63，故选：D．6．从混有3张假钞的10张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为（）A．B．C． D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】记“抽出的两张中有一张是假币”为事件A，“抽出的两张都是假币”为事件B，利用条件概率计算公式能求出将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率．【解答】解：记“抽出的两张中有一张是假币”为事件A，记“抽出的两张都是假币”为事件B，则将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为：．故选：A．7．函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）的部分图象是（）A． B． C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】由y=sinx的图象画出函数y=﹣sinx的图象，根据图象的形状相同选出答案．【解答】解：根据y=sinx的图象知，函数y=﹣sinx的图象和y=sinx的图象关于x轴对称，则函数f（x）的图象和y=﹣sinx的图象形状大致一致．函数y=﹣sinx的图象如下图：故选D．8．已知函数函数，其中a＞0，若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰好有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，3）B．（3，+∞）C．D．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】求出函数f（x）的导数，分解因式，可得f（x）在区间（﹣2，﹣1）内单调增加，在区间（﹣1，0）单调减少，由零点存在定理可得f（﹣2）＜0，f（﹣1）＞0，f（0）＜0，解不等式即可得到所求a的范围．【解答】解：函数的导数为：f′（x）=x2+（1﹣a）x﹣a=（x+1）（x﹣a），a＞0，易知函数f（x）在区间（﹣2，﹣1）内单调增加，在区间（﹣1，0）单调减少，从而函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰好有两个零点，当且仅当，即为，即有，解得．故选：C．9．已知：，则a6=（）A．﹣28 B．﹣448 C．112 D．448【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】令t=x﹣1，根据展开式的通项公式，即可求出a6．【解答】解：令t=x﹣1，则，故，故选：A．10．已知数列{a n}各项的绝对值均为1，S n为其前n项和．若S7=3，则该数列{a n}的前七项的可能性有（）种．A．10 B．20 C．21 D．42【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，由数列{a n}的前七项和S7=3可知，前七项之中有5项为1，2项为﹣1，由组合数公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}各项的绝对值均为1，即a n=1或﹣1，又由S7=3，则数列{a n}的前七项之中有5项为1，2项为﹣1，故该数列前七项的排列有种，故选：C．11．若f（x）=，则fA． B． C． D．【考点】3T：函数的值．【分析】由题意得f=，由此能求出结果．【解答】解：由题可知：当x＞0时，f（x）=f（x﹣5），所以f=f（﹣3），故f已知定义在R上函数f（x）是可导的，f（1）=2，且f（x）+f'（x）＜1，则不等式f（x）﹣1＜e1﹣x的解集是（）（注：e为自然对数的底数）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（0，1）D．（﹣∞，1）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意，设F（x）=e x（f（x）﹣1），对其求导可得F'（x），分析可得函数F （x）为减函数且F（1）=e，进而可以将不等式f（x）﹣1＜e1﹣x转化为F（x）＜F（1），由F（x）的单调性分析即可得答案．【解答】解：根据题意，设F（x）=e x（f（x）﹣1），则F'（x）=e x[f（x）+f'（x）﹣1]，因为e x＞0，由已知可得，F'（x）＜0，即函数F'（x）是单调减函数，F（1）=e，故f（x）﹣1＜e1﹣x，即F（x）＜F（1），则有x＞1；即不等式f（x）﹣1＜e1﹣x的解集是（1，+∞）；故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题纸上.13．在二项式（+）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为．【考点】DB：二项式系数的性质；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】求出二项展开式的通项，求出前三项的系数，列出方程求出n；求出展开式的项数；令通项中x的指数为整数，求出展开式的有理项；利用排列求出将9项排起来所有的排法；利用插空的方法求出有理项不相邻的排法；利用古典概型的概率公式求出概率．【解答】解：展开式的通项为∴展开式的前三项系数分别为，，∵前三项的系数成等差数列∴=+解得n=8所以展开式共有9项，所以展开式的通项为当x的指数为整数时，为有理项所以当r=0，4，8时x的指数为整数即第1，5，9项为有理项共有3个有理项所以有理项不相邻的概率P==．故答案为：14．若函数f（x）=e x+ax2无极值点，则a的取值范围是．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出f（x）的导数，可得e x=﹣2ax至多一个实数解，设g（x）=e x，h（x）=﹣2ax，求出y=g（x）的过原点的切线方程，可得切线的斜率，由题意可得a的不等式，即可得到a的范围．【解答】解：函数f（x）=e x+ax2导数f′（x）=e x+2ax，令f′（x）=0，即e x=﹣2ax，设g（x）=e x，h（x）=﹣2ax，g′（x）=e x，设切点为（m，e m），可得切线的斜率为e m，切线的方程为y﹣e m=e m（x﹣m），易求过点（0，0）的曲线g（x）的切线斜率为e，切点为（1，e），方程为y=ex，因此，由题意可得，0≤﹣2a≤e，故．故答案为：．15．已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则=3．【考点】F3：类比推理．【分析】设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又因为O为四面体ABCD外接球的球心，结合四面体各条棱长都为1，可得O到四面体各面的距离都相等，所以O也是为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM，从而结果可求．【解答】解：设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又∵O为四面体ABCD外接球的球心，结合四面体各条棱长都为1，∴O到四面体各面的距离都相等，O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有四面体的体积V=4••r=，∴r==，即OM=，所以AO=AM﹣OM=，所以=3故答案为：316．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且，则=﹣32．【考点】67：定积分．【分析】设，根据导数得运算法则，求出函数f（x）的表达式，再根据定积分的计算法则即可求出【解答】解：设，则f（x）=﹣x3+3f'（2）x+a，所以，f'（x）=﹣3x2+3f'（2），令x=2，求得f'（2）=6，故f（x）=﹣x3+18x+a，因此，，则有32+2a=a，得a=﹣32．故答案为：﹣32．三、解答题：17．已知：二项式展开式中所有项的二项式系数和为64，（1）求n的值；（2）若展开式所有项的系数和为，其中a，b为有理数，求a和b的值．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】（1）由题意，2n=64，解得即可，（2）方法一：求出通项公式，即可求出a，b，方法二：赋值法，令x=1时求出a+b=99+70，问题得以解决【解答】解：（1）由题意，2n=64，n=6（2）展开式的通项为（r=0，1，2，…，6）．则，方法二令x=1，则，因为故，a=99，b=70．18．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列表：合计喜爱打篮球不喜爱打篮球男生20525女生101525合计302050（1）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽6人，其中男生抽多少人？（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女生的概率．（3）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，计算出K2，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？附：下面的临界值表供参考：p（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.8415.0246.6357.87910.828【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）根据分层抽样原理计算样本中男生应抽取的人数；（2）计算基本事件数，求出对应的概率值；（3）根据表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】解：（1）在喜欢打蓝球的学生中抽6人，则抽取比例为；∴男生应该抽取人；….4分（2）在上述抽取的6名学生中，女生的有2人，男生4人；则从6名学生任取2名的所有情况为：种情况，其中恰有1名女生情况有：种情况，故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女生的概率概率为；….8分（3）∵，且p（K2≥7.879）=0.005=0.5%，所以有99.5%的把握认为是否喜欢打蓝球是与性别有关系．….12分．19．（1）已知：x∈（0+∞），求证：；（2）已知：n∈N且n≥2，求证：．【考点】RG：数学归纳法．【分析】（1）设，令f（t）=ln（t+1）﹣，判断f（t）在（0，+∞）上的单调性，得出f（t）的值域从而得出结论；（2）把x=1，2，3，…，n﹣1代入（1）的结论，各式相加即可得出结论．【解答】证明：（1）不妨令，则t∈（0+∞），=，设，则f′（t）=﹣=＞0，∴f（t）在（0，+∞）上单调递增，∴f（t）＞f（0）=0，∴．即：．（2）方法一：由（1）知，即，∴ln2＞，ln＞，ln＞，…，ln＞，以上各式相加得：，即得：．方法二：当n=2时，，即左边＞右边，命题成立；②假设当n=k（k≥2）时，命题成立，即成立，当n=k+1时右边=由（1）知：令x=k，有，即因此有：左边=故，左边＞右边，即，当n=k+1时，命题成立．综上①②，当n∈N且n≥2，成立．20．学校在军训过程中要进行打靶训练，给每位同学发了五发子弹，打靶规则：每个同学打靶过程中，若连续两发命中或者连续两发不中则要停止射击，否则将子弹打完．假设张同学在向目标射击时，每发子弹的命中率为．（1）求张同学前两发只命中一发的概率；（2）求张同学在打靶过程中所耗用的子弹数X的分布列与期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）记“第k发子弹命中目标”为事件A k，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且，其中k=1，2，3，4，5，由此能求出张同学前两发子弹只命中一发的概率．（2）X的所有可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记“第k发子弹命中目标”为事件A k，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且，其中k=1，2，3，4，5∴张同学前两发子弹只命中一发的概率为…4分（2）X的所有可能取值为2，3，4，5，，…6分，…8分，…9分，…10分综上，X的分布列为X2345P故E（X）==．…12分．21．某兴趣小组有9名学生．若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是．（1）该小组中男女学生各多少人？（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】（1）设男生有x人，由，可解得，x=6，于是可知该小组中男女学生的人数；（2）（方法一）按坐座位的方法：第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，第二步：余下的座位让3个女生去坐，利用分步乘法计数原理可得答案；（方法二）除序法：第一步：9名学生站队共有种站队方法；第二步：3名女生有种站队顺序，依题意可得答案；（3）第一步：将6名男生分成3组；第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，第三步：3组男生中每组男生站队，利用分步乘法计数原理可得答案．【解答】解：（1）设男生有x人，则，即x（x﹣1）（9﹣x）=90，解之得，x=6故男生有6人，女生有3人．…4分（2）（方法一）按坐座位的方法：第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有=60480种；第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择；故，一共有60480×1﹣1=60479种重新站队方法．…8分（方法二）除序法：第一步：9名学生站队共有种站队方法；第二步：3名女生有种站队顺序；故一共有﹣1=60480﹣1=60479种重新站队方法．…8分（3）第一步：将6名男生分成3组，共有种；第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有种第三步：3组男生中每组男生站队方法共有种故一共有：15×144×8=17280种站队方法．…12分．22．设函数（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）曲线y=xf（x）是否存在经过原点的切线，若存在，求出该切线方程，若不存在说明理由．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的导数，可令h（x）=x2+2﹣2lnx，再求导数和单调区间，可得最小值，即可判断f（x）的单调性；（2）不妨设曲线y=x•f（x）在点（m，mf（m））（m＞0）处的切线经过原点，求出y=xf（x）的导数，可得切线的斜率，求得切线方程，代入原点，可得m2﹣lnm+1=0，（*），记，求出导数，判断单调性，即可得到方程解的情况．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，令h（x）=x2+2﹣2lnx，则，故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，h（x）min=h（1）=3＞0，即当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0所以，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；（2）不妨设曲线y=x•f（x）在点（m，mf（m））（m＞0）处的切线经过原点，则有y=xf（x），y′=[xf（x）]′，即y′=x﹣a+，可得切线的斜率为k=m﹣a+，切线的方程为y﹣（m2﹣am+lnm）=（m﹣a+）（x﹣m），代入（0，0），化为m2﹣lnm+1=0，（*）记，则，令g'（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，g'（x）＜0，当x＞1时，g'（x）＞0，∴是g（x）的最小值，即当x＞0时，．由此说明方程（*）无解，∴曲线y=f（x）没有经过原点的切线．。

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(九)(文科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（九）（文科）本试卷分第I 卷（40分）和第II 卷（110分）两部分，共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}|22A x R x =∈-<<，{}2|430B x R x x =∈-+≥，则A B =I （） A. (2,1]- B. (2,1)- C. (2,2)- D. (,2)[3,)-∞⋃+∞2. 设1332,log 2,cos100a b c ===︒，则（） A. c b a >> B. a c b >> C. c a b >> D. a b c >> 3. 下面是关于复数21z i=-+的四个命题： ①||2z =； ②22z i =； ③z 的共轭复数为1i +； ④z 的虚部为1-. 其中正确的命题（）A. ②③B. ①② C . ②④ D. ③④4. 已知4,0,cos(),25x x ππ⎛⎫∈--=- ⎪⎝⎭则tan 2x =（） A.724 B. 724- C.247D. 247-5. “1x <”是“13log 0x >”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A.34 B. 32 C. 34D. 17. 已知21,[1,0),()1,[0,1],x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩则下列函数的图象错误的是（）A. (1)f x -的图象B. ()f x -的图象C. ()f x 的图象D. ()f x 的图象8. 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为θ（090θ︒<<︒）的平面所截，截面是一个椭圆，当θ为30°时，这个椭圆的离心率为（）A.12B.32 C . 33D.23第II卷二、填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分.9. 若实数,x y满足10,2,3x yxy+-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则z y x=-的最大值是________.10. 函数()2sin()(0,) 22f x xππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则ω=_______________；ϕ=________________________.11. 已知函数()2(0,0)af x x x ax=+>>在2x=时取得最小值，那么a的值为__________.12. 设函数()f x的定义在R上周期为3的奇函数，且(1)2f-=，则(2016)2(2017)3(2018)f f f++=_________________.13. 爸爸去哪儿节目组安排星娃露营，村长要求Feyman、杨阳洋、贝儿依次在A，B，C三处扎篷，AB=8m，BC=4m，AC=6m，现村长给多多一个难题，要求她安扎在B，C两点连线上的D处，∠ADC=3π，如图所示，问多多与Feyman相距__________m.14. 已知函数2()22(4)1,()f x mx m x g x mx =--+=，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是___________________.三、解答题：本大题共6道小题，共80分。

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(七)(文科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（七）（文科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2.请将各题答案填在试卷后面的答题纸上。

3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑，函数，导数及其应用，三角函数，解三角形，平面向量，选修1-2.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合M={x|（x+4）（x-3）<0}，N={x|2<x<6},则M ∪N 等于A.（2，3）B.（-4，6）C.（2，4）D.（-3，6）2.已知向量a=（4，-6），b=（9，m ），且a ⊥b ，则m 的值为A.-544B.-6C.6D. 5443. .复数z=(1−i )（4−i ）1+i的共轭复数的虚部为A.-4iB.-4C.4iD.44.已知a ，b ⋲R ，则“a>0”是“a+b 2>0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在∆ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tanA=12，B=π6，b=1，则a 等于A. 2√55B.1C.√5D. 2√56.函数f （x ）=√3x −xlgx 的定义域为A.（1000，+∞）B.（0，1000]C.（0，11000] D.（-∞，1000]7. 曲线y=x 2+x+12在（0，12）处的切线方程是A. y=-x+12B. y=x+12C. y=-2x+12D. y=2x+128.下列四个命题中，正确的是A.若x>1，则∀y ⋲（-∞，1），xy ≠1B.若x=sin θcos θ，则∀θ⋲（0，π），x ≠2C. 若x>1，则彐y ⋲（-∞，1），xy ＝1D. 若x=sin θcos θ，则彐θ⋲（0，π），x ＝1 9. 下列四个类比中，正确的个数为（1）若一个偶函数在R 上可导，则该函数的导函数为奇函数。

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(八)(理科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（八）（理科）（考试时间：120分钟满分：150分｝注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需攻动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚、必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项申，只有一项是符合题目要求的。

1.己知i 是虚数单位，则ii-12= (A ）-1+i (B)1+i (C)l-i (D)-1-i2.已知集合 A={y|y=x e ,∈x R},B={∈x R|062≤--x x },则A ∩B=(A ）(0,2) (B)(0,3] (C)[-2,3] (D)[2,3] 3.执行右边的程序框图，则输出的S 的值为 (A)9 （B ）19 (C)33 (D)514.双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与直线x +2y-l=O垂直，则双曲线的离心率为 (A ）25(B)5 (C)213+ (D)13+5.右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是(A)72 (B)144 (C)216 (D)105+14536.在△ABC 中，角A,B,C 对应的边分别为c b a ,,,C=60°，b a 4=，13=c ，则△ABC 的面积为 (A)3(B)213(C)32(D)137.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+-≥+083043252y x y x y x ，则y x z -=2的最小值是(A)0 (B)4 (C)5 (D)6 8.已知函数)6sin()(π+ω=x x f 的图象向右平移3π个单位后，所得的图象关于y 轴对称，则ω的最小正值为(A)1 (B)2 (C)3 (D)49.用数字0,1,2,3,4,组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有(A)250个 (B)249个 (C)48个 (D)24个10.函数)1)((xx e e y x x --=-的图像大致是(A)(B)(C)(D)11.已知0＞＞b a ，则ba b a a -+++14的最小值为 (A)2103(B)4 (C)32(D)2312.已知抛物线x y 42=的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A,B 两点，且FBAF 3=.直线1l ，2l 分别过点A,B ，且与x 轴平行，在直线1l ，2l 上分别取点M 、N （M 、N 分别在点A,B 的右侧），分别作∠ABN 和∠BAM 的平分线并相交于P 点，则△PAB 的面积为 (A)364(B)332(C)9332(D)9364第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

黑龙江省八校2020年秋高二数学上学期期末摸底考试卷附答案解析

黑龙江省八校2020年秋高二数学上学期期末摸底考试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是( )2.A3.B4.C5.D2.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关3.执行如图所示的程序框图,若输入的a 值为1,则输出的k 值为( ) A.1 B.2C.3D.44.如图所示的程序框图,如果输入三个实数a ,b ,c ,要求输出这三个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的( )?.c b A > ?.b c B > ?.c x C > ?.x c D >5.△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a>b>c ,a 2<b 2+c 2,则A 的取值范围是( )⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4.ππB ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,3.ππC ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0.πD 6.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中随机取点,则点落在四棱锥O -ABCD 内(O 为正方体的对角线的交点)的概率是 ( )31.A 61.B 21.C 41.D 7.两圆042222=-+++a ax y x 和0414222=+--+b by y x 恰有三条公切线，若,0,≠∈∈ab R b R a 且则2211ba +的最小值为( ) 27.A 4.B 1.C 5.D 8.已知函数1)(2--=bx ax x f ,其中a ∈(0,2],b ∈(0,2],在其范围内任取实数a ,b ,则函数f (x )在区间[1,+∞)上为增函数的概率为( )31.A 21.B 32.C 43.D 9.已知多项式,12)(2467++++=x x x x x f 用秦九韶算法计算当2=x 时2v 的值是（） A.1B.5C.10D.1210.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的精确值为 ( ) A.3B.3.15C.3.5D.4.511.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点 F E ,，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )BE AC A ⊥. 的体积为定值三棱锥BEF A B -.ABCD EF C 平面//. 的面积相等的面积与BEF AEF D ∆∆.12.对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”： ,191715134,11973,532333⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为（）44.A 45.B 46.C 47.D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上） 13.二进制数101 110转化为等值的八进制数为________.14.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若b+c=2a ,3sin A=5sin B ,则角C= .15.已知总体的各个体的值由小到大依次为2, 3, 3, 7,a ,b ,12, 13.7, 18.3, 20,且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则b a ,的取值分别是 . 16.棱长为3的正方体内有一个棱长为x 的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则x 的最大值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(10分)某城镇社区为了丰富辖区内广大居民的业余文化生活,创建了社区“文化丹青”大型活动场所,配备了各种文化娱乐活动所需要的设施,让广大居民健康生活、积极向上,社区最近四年内在“文化丹青”上的投资金额统计数据如表:(为了便于计算,把2015年简记为5,其余以此类推)(1)利用所给数据,求出投资金额y 与年份x 之间的回归直线方程+=a x b y ； (2)预测该社区2019年在“文化丹青”上的投资金额.附:对于一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),其回归直线∧∧∧+=a x b y 的斜率和截距的最小二乘估计分别为.,)()()(__1221__12_1__x b y a xn xy x n yx x x y yx x b ni ini ii ni in i ii∧∧====∧-=--=---=∑∑∑∑18.(12分)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n 天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n ，m 的值，并完成频率分布直方图；(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；(3)在空气质量指数分别为(50,100]和(150,200]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “两天空气质量等级都为良”发生的概率． 19.(12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足.cos cos 2ABa b c =- (1)求角A 的大小;(2)若,52=a 求△ABC 面积的最大值.20.(12分)已知圆,4)4()3(:22=-+-y x C 直线l 过定点).0,1(A （1）若l 与圆C 相切，求l 的方程；（2）若l 与圆相交于Q P ,两点，求CPQ ∆面积的最大值，并求此时直线l 的方程。

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(一)(文科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（一）（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=cosx，x∈A}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}2．下列有关选项正确的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件C．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x≥﹣1，则x2﹣3x+2≤0”D．已知命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∃x∈R，使得x2+x ﹣1≥03．已知a=log32，那么log38﹣2log36用a表示是（）A．5a﹣2 B．a﹣2 C．3a﹣（1+a）2 D．3a﹣a2﹣14．设F（x）=f（x）+f（﹣x），x∈R，若[﹣π，﹣]是函数F（x）的单调递增区间，则一定是F（x）单调递减区间的是（）A．[﹣，0]B．[，0]C．[π，π]D．[，2π]5．设y1=40.9，y2=80.48，y3=，则（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y1＞y2＞y36．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称8．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）C．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）9．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值、最小值分别是（）A．5，﹣4 B．5，﹣15 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣1610．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）11．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b12．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小题5分，共20分）13．曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为．14．要使函数f（x）=x2+3（a+1）x﹣2在区间（﹣∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围．15．若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则a，b的值分别为．16．y=的定义域是．三、解答题（请写出必要的文字说明和推演步骤，第17题10分，其他每题12分，共70分）17．已知A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，B⊆A，求m的取值范围．18．求值：lg500+lg﹣lg64+50（lg2+lg5）2．19．设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．20．求f（x）=x3﹣12x在[﹣3，5]上的最值．21．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，求证：f（x）在x=x0处的导数等于0．22．设函数f（x）=lnx+x2+ax（1）若x=时，f（x）取得极值，求a的值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=cosx，x∈A}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出B={cos1，1}，利用两个集合的交集的定义求得A∩B．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，∴B={y|y=cosx，x∈A}={cos1，1}，则A∩B={1 }，故选B．2．下列有关选项正确的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件C．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x≥﹣1，则x2﹣3x+2≤0”D．已知命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∃x∈R，使得x2+x ﹣1≥0【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；2J：命题的否定．【分析】本题需要逐一判断，到满足题意的选项为止，（选择题四选一）；可以采用先熟悉后生疏的策略判定解答．【解答】解：由复合命题真值表知：若p∨q为真命题，则p、q至少有一个为真命题，有可能一真一假，也可能两个都真，推不出p∧q 为真命题∴选项A错误；由x=5可以得到x2﹣4x﹣5=0，但由x2﹣4x﹣5=0不一定能得到x=5，∴选项B成立；选项C错在把命题的否定写成了否命题；选项D错在没有搞清楚特称命题的否定是全称命题．故选B．3．已知a=log32，那么log38﹣2log36用a表示是（）A．5a﹣2 B．a﹣2 C．3a﹣（1+a）2 D．3a﹣a2﹣1【考点】4H：对数的运算性质．【分析】利用对数的幂的运算法则及积的运算法则将log38﹣2log36用log32，从而用a表示．【解答】解：∵log38﹣2log36=3log32﹣2（1+log32）=log32﹣2=a﹣2故选B．4．设F（x）=f（x）+f（﹣x），x∈R，若[﹣π，﹣]是函数F（x）的单调递增区间，则一定是F（x）单调递减区间的是（）A．[﹣，0]B．[，0]C．[π，π]D．[，2π]【考点】3D：函数的单调性及单调区间．【分析】根据条件先判断函数F（x）的奇偶性，结合函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵F（x）=f（x）+f（﹣x），∴F（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=F（x），则函数F（x）是偶函数，若[﹣π，﹣]是函数F（x）的单调递增区间，则[，π]是函数F（x）的单调递递减区间，∵[，0]⊊[，π]，∴[，0]是函数F（x）的单调递递减区间，故选：B．5．设y1=40.9，y2=80.48，y3=，则（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y1＞y2＞y3【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点．【分析】化简这三个数为2x的形式，再利用函数y=2x在R上是增函数，从而判断这三个数的大小关系．【解答】解：∵=21.8，=（23）0.48=21.44，=21.5，函数y=2x在R上是增函数，1.8＞1.5＞1.44，∴21.8＞21.5＞21.44，故y1＞y3＞y2，故选C．6．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x 的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．【解答】解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．7．已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称【考点】35：函数的图象与图象变化．【分析】由已知中函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），可得f（x）=f（2﹣x），进而可得函数图象的对称性．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），∴f（2﹣x）=ln（2﹣x）+lnx，即f（x）=f（2﹣x），即y=f（x）的图象关于直线x=1对称，故选：C．8．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）C．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．故选：D．9．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值、最小值分别是（）A．5，﹣4 B．5，﹣15 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对函数求导，利用导数研究函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的单调性，判断出最大值与最小值位置，代入算出结果．【解答】解：由题设知y'=6x2﹣6x﹣12，令y'＞0，解得x＞2，或x＜﹣1，故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，2]上减，在[2，3]上增，当x=0，y=5；当x=3，y=﹣4；当x=2，y=﹣15．由此得函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是5，﹣15；故选B．10．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由y=x2﹣lnx得y′=，由y′＜0即可求得函数y=x2﹣lnx 的单调递减区间．【解答】解：∵y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），y′=，∴由y′≤0得：0＜x≤1，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．11．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c的大小．【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，∴a=﹣f（）=f（log25），b=f（log24.1），c=f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．12．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点．从而问题得解．【解答】解：由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点，故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为x﹣y+1=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．【解答】解：曲线y=x2+，可得y′=2x﹣，切线的斜率为：k=2﹣1=1．切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．14．要使函数f（x）=x2+3（a+1）x﹣2在区间（﹣∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围（﹣∞，1] ．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】函数f（x）=x2+3（a+1）x﹣2在区间（﹣∞，3]上是减函数，即说明（﹣∞，3]是函数f（x）的减区间的子集．【解答】解：函数f（x）=x2+3（a+1）x﹣2的单调减区间为（﹣∞，﹣]，又f（x）在区间（﹣∞，3]上是减函数，所以有（﹣∞，3]⊆（﹣∞，﹣]，所以3≤﹣，解得a≤1，即实数a的取值范围为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．15．若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则a，b的值分别为1，1．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由已知切线方程，可得切线的斜率和切点，进而得到a，b的值．【解答】解：y=x2+ax+b的导数为y′=2x+a，即曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线斜率为a，由于在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则a=1，b=1，故答案为：1，1．16．y=的定义域是（] ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案．【解答】解：由，得0＜3x﹣2≤1，∴，∴y=的定义域是（]．故答案为：（]．三、解答题（请写出必要的文字说明和推演步骤，第17题10分，其他每题12分，共70分）17．已知A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，B⊆A，求m的取值范围．【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】解决本题的关键是要考虑集合B能否为空集，先分析满足空集的情况，再通过分类讨论的思想来解决问题．同时还要注意分类讨论结束后的总结．【解答】解：当m+1＞2m﹣1，即m＜2时，B=∅，满足B⊆A，即m ＜2；当m+1=2m﹣1，即m=2时，B=3，满足B⊆A，即m=2；当m+1＜2m﹣1，即m＞2时，由B⊆A，得即2＜m≤3；综上所述：m的取值范围为m≤3．18．求值：lg500+lg﹣lg64+50（lg2+lg5）2．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】利用对数的性质和运算法则求解．【解答】解：lg500+lg﹣lg64+50（lg2+lg5）2=lg+50=2+50=52．19．设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；62：导数的几何意义；IG：直线的一般式方程．【分析】（1）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（2，f（2））在曲线上，利用方程联立解出a，b （2）可以设P（x0，y0）为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可．【解答】解析：（1）方程7x﹣4y﹣12=0可化为，当x=2时，，又，于是，解得，故．（2）设P（x0，y0）为曲线上任一点，由知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为，即令x=0，得，从而得切线与直线x=0的交点坐标为；令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x0，2x0）；所以点P（x0，y0）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为．故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．20．求f（x）=x3﹣12x在[﹣3，5]上的最值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．【解答】解：函数f（x）定义域为R，f′（x）=3（x+2）（x﹣2），令f′（x）=0，得x=±2，当x＞2或x＜﹣2时，f′（x）＞0，∴函数在（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）上是增函数；当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，∴函数在（﹣2，2）上是减函数．∴当x=﹣2时，函数有极大值f（﹣2）=16，当x=2时，函数有极小值f（2）=﹣16，f（﹣3）=9 f（5）=65，因此函数的最大值是f（5）=65，最小值是f（2）=﹣16．21．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，求证：f（x）在x=x0处的导数等于0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f（x）的单调区间；（Ⅱ）求出g（x）的导函数，由题意知，求解可得，得到f（x）在x=x0处的导数等于0．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，a）（a，4﹣a）（4﹣a，+∞）f'（x）+﹣+f（x）↗↘↗∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）证明：∵g'（x）=e x（f（x）+f'（x）），由题意意知，即求解可得，∴f（x）在x=x0处的导数等于0．22．设函数f（x）=lnx+x2+ax（1）若x=时，f（x）取得极值，求a的值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求函数的导函数，根据若时，f（x）取得极值得f′（）=0，解之即可；（2）f（x）在其定义域内为增函数可转化成只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0恒成立，建立不等关系，解之即可；【解答】解：，（1）因为时，f（x）取得极值，所以，即2+1+a=0，故a=﹣3．（2）f（x）的定义域为（0，+∞）．方程2x2+ax+1=0的判别式△=a2﹣8，①当△≤0，即时，2x2+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f（x）为增函数．②当△＞0，即或时，要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0即可，设h（x）=2x2+ax+1，由得a＞0，所以．由①②可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是．。

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(八)(文科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（八）（文科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：1．已知全集U ＝｛1，2，3，4，5｝，集合A ＝｛1，2，5），ðU B ＝｛1，3，5｝，则A∩B ＝A ．｛5｝B ．｛2｝C ．｛1，2，4，5｝D ．｛3，4，5｝ 2．若命题p ：∀x ＞0，2x ＞log 2，则⌝p 为 A ．∀x ＞0，2x ＜log 2x B ．∃x 0＞0，0202log x x ≤C ．∃x 0＞0，0202log x x <D ．∃x 0＞0，0202log x x ≥3．已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点（12，22），则log 2f （2）＝ A ．12B ．12- C ．2 D ．－24．命题“有理数是无限不循环小数，整数是有理数，所以整数是无限不循环小数”是假命题，推理错误的原因是 A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误5．条件p ：－2＜x ＜4，条件q ：（x ＋2）（x ＋a ）＜0，若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是A ．（4，＋∞）B ．（－∞，－4）C ．（－∞，－4]D ．[4，＋∞）6．若数列｛a n ｝是等差数列，则数列｛b n ｝（12nn a a a b n+++=L ）也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列｛c n ｝是等比数列，且｛d n ｝也是等比数列，则d n 的表达式应为A ．12nn c c c d n +++=L B ．12nn c c c d n=g g L gC ．12n n n nn n c c c d n+++=LD ．12n n n d c c c =g g L g7．已知函数(2)1,1(),1x a x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩是（－∞，＋∞）上的增函数，那么a 的取值范围是 A ．（1，2） B ．（1，32]C ．[32，2）D ．（32，2）8．已知定义在R 上的函数f （x ）满足3()()2f x f x =-+，且f （1）＝2，则f （2017）＝A ．2B ．－2C ．1D ．－19．已知f （x ），g （x ）都是定义域为R 的不恒为零的函数，其中f（x ）为奇函数，g （x ）为偶函数，则下列说法中不正确的是 A ．函数｜f （x ）｜为偶函数 B ．函数－g （x ）为奇函数C ．函数f （｜x ｜）＋g （x ）为偶函数D ．函数f （x ）＋g （x ）为非奇非偶函数10．已知定义在R 上的函数f （x ）＝log 2（a x －b ＋1）（a ＞0，a≠1）的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是A ．1101a b <<<B ．101a b<<<C ．101b a <<<D ．101b a<<<11．已知f （x ）＝x 3，若方程f （x 2）＋f （k －2x ）＝0的根组成的集合中只有一个元素，则实数k 的值为 A ．－1 B ．0 C ．1 D ．212．已知22|log |,02,()814,2,x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若存在互不相同的四个实数0＜a ＜b＜c ＜d 满足f （a ）＝f （b ）＝f （c ）＝f （d ），则ab ＋c ＋2d 的取值范围是A ．（132-，132+）B ．（132-，15）C ．[132+，15]D ．（132+，15）第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13．已知函数f （x ）＝2x 2－mx ＋3在（－2，＋∞）上单调递增，在（－∞，－2]上单调递减，则f （1）＝________．14．若函数f （x ）＝a x （a ＞0，a ≠1）在[－2，1]上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14)g x m x =-在[0，＋∞）上是减函数，则以a________．15．若x ∈（1e，1），设a ＝lnx ，1ln 2x b =，c ＝e lnx ，把a ，b ，c 从大到小排列为________．16．已知函数31()233f x x ax bx =-+-，若对于任意的a ∈[－1，23]，任意的x ∈[1，2]都有f （x ）＞0恒成立，则b 的取值范围是________．三、解答题17．已知复数z ＝1＋mi （i 是虚数单位，m ∈R ），且(3i)z +g 为纯虚数（z 是z 的共轭复数）．（Ⅰ）设复数12i1i m z +=-，求｜z 1｜；（Ⅱ）设复数20172i a z z-=，且复数z 2所对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．18．已知0＜a ＜b ＜1，求证：（Ⅰ）a ＋b ＜1＋ab ；（Ⅱ）1a b a b b -<+-+． 19．已知曲线31()23f x x ax a =-+．（Ⅰ）当a ＝1时，求曲线在x ＝2处的切线方程；（Ⅱ）过点（2，0）作曲线的切线，若所有切线的斜率之和为1，求以的值．20．已知f （x ）＝e x －2ax ＋1．（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）若函数f （x ）在（0，∞）上有最小值，且最小值为g （a ），满足g （a ）≤3－2ln 2，求实数a 的取值范围．21．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为11,2322x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（Ⅰ）写出椭圆C 的普通方程和直线l 的倾斜角；（Ⅱ）若点P （1，2），设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求｜PA ｜·｜PB ｜的值．22．已知函数f （x ）＝｜x ＋a ｜－｜x －1｜．（Ⅰ）当a ＝－2时，求不等式1()2f x ≥的解集；（Ⅱ）若f （x ）≥2有解，求实数a 的取值范围．23．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，32sin()42πρθ-=．射线θ＝φ，4πθϕ=+，4πθϕ=-与曲线C 1交于（不包括极点O ）三点A ，B ，C ．（Ⅰ）求证：||||2||OB OC OA +=；（Ⅱ）当12πϕ=时，求点B 到曲线C 2上的点的距离的最小值．24．设函数f （x ）＝｜x －1｜＋｜2x －1｜．（Ⅰ）若对∀x ＞0，不等式f （x ）≥tx 恒成立，求实数t 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a ，b 满足a 2＋b 2＝2M ．证明：a ＋b ≥2ab ．高二数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题 1．B2．B3．A4．C5．B6．D7．C8．A9．B10．D11．C12．D二、填空题：13．1314．1215．b，c，a（b＞c＞a）16．b＞4三、解答题：17．解：∵z＝1＋mi，∴1iz m=-．∴(3i)(1i)(3i)(3)(13)i z m m m+=-+=++-g．又∵(3i)z+g为纯虚数，∴30, 130.mm+=⎧⎨-≠⎩∴m＝－3．∴z ＝1－3i ．（Ⅰ）132i 51i 1i 22z -+==---， ∴2215126||()()222z =-+-=．（Ⅱ）∵z ＝1－3i ， ∴2i (i)(13i)(3)(31)i13i (13i)(13i)10a a a a z --+++-===--+．又∵复数z 2所对应的点在第四象限，∴30,10310.10a a +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ ∴3,1.3a a >-⎧⎪⎨<⎪⎩ ∴133a -<<．18．证明：（Ⅰ）∵（a ＋b ）－（1＋ab ）＝a ＋b －1－ab ＝（a －1）＋b （1－a ）＝（a －1）（1－b ）， 0＜a ＜b ＜1， ∴a －1＜0，1－b ＞0． ∴（a －1）（1－b ）＜0． ∴a ＋b ＜1＋ab ．（Ⅱ）要证：11a b a b -<+-+，只需证：1a b a b b ++<++，只需证：22(1)(1)a b a b ++<++，即1212a b ab a a b ab b ++++<++++，从而只需证：22ab a ab b +<+，即ab a ab b +<+，只需证ab ＋a ＜ab ＋b ，即a ＜b ，显然成立， ∴原不等式成立．19．解：（Ⅰ）当a ＝1时，31()23f x x x =-+，∴f'（x ）＝x 2－1， ∴k 切＝f'（2）＝4－1＝3． ∵8(2)3f =，所以切线方程为83(2)3y x -=-，整理得9x －3y －10＝0．（Ⅱ）设曲线的切点为（x 0，y 0），则321(2)'3k x ax a x a -+=-切，所以切线方程为20()(2)y x a x =--．又因为切点（x 0，y 0）既在曲线f （x ）上，又在切线上，所以联立得20003000()(2),]123y x a x y x ax a⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩可得x 0＝0或x 0＝3，所以两切线的斜率之和为－a ＋（9－a ）＝9－2a ＝1，∴a ＝4． 20．解：（Ⅰ）∵f'（x ）＝e x －2a ．当a≤0时，f'（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增；当a ＞0时，令f'（x ）＝0，得x ＝ln2a ．列表得x（－∞，ln2a ）ln2a（1n2a ，＋∞）f'（x ）－ 0 ＋ f （x ）☎所以函数f （x ）在（－∞，ln2a ）单调递减，在（ln2a ，＋∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a ＞0时，f （x ）有最小值，且在x ＝ln2a 时取到最小值， ∴ln2a ＞0，∴12a >．∵f （x ）min ＝f （ln2a ）＝2a －2aln2a ＋1，∴g （a ）＝2a －2aln2a ＋1≤3－2ln2，即2a －2aln2a －2＋2ln2≤0．令t ＝2a ，t ＞1，∴t －tlnt －2＋2ln2≤0．记φ（t ）＝t －tlnt －2＋2ln2，φ'（t ）＝－lnt ＜0．∴φ（t ）在（1，＋∞）上单调递减，又∵φ（2）＝0，∴φ（t ）≤0时t≥2，即a≥1．所以a 的取值范围是a≥1．21．解：（Ⅰ）消去θ得到椭圆C 的普通方程为2214x y +=．∵直线l 的斜率为3，∴直线l 的倾斜角为3π．（Ⅱ）把直线l 的方程11,232,2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入2214x y +=中，得221(1)32(2)142t t +++=．即213(183)1304t t +++=，∴t 1·t 2＝4，即｜PA ｜·｜PB ｜＝4．22．解：（Ⅰ）当a ＝2时，1,1,()23,12,1,2x f x x x x ≤⎧⎪=-+<≤⎨⎪->⎩当x≤1时，由1()2f x ≥得112≥，成立，∴x≤1；当1＜x ＜2时，由1()2f x ≥得1232x -+≥，解得54x ≤，∴514x <≤．当x ＞2时，由1()2f x ≥得112-≥，不成立．综上，1()2f x ≥的解集为5|4x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．（Ⅱ）∵f （x ）＝｜x ＋a ｜－｜x －1｜≥2有解， ∴f （x ）max ≥2．∵｜x ＋a ｜－｜x －1｜≤｜（x ＋a ）－（x －1）｜＝｜a ＋1｜， ∴｜a ＋1｜≥2，∴a≥1或a≤－3．23．（Ⅰ）证明：依题意｜OA ｜＝2cosφ，||2cos()4OB πϕ=+，||2cos()4OC πϕ=-，则||||2cos()2cos()44OB OC ππϕϕ+=++-2[cos cossin sincos cossin sin ]4444ππππϕϕϕϕ=-++ ＝4cosφcos 4π＝322cos ()42πϕϕ=-=．（Ⅱ）解：∵32sin()42πρθ-=， ∴3sin cos 2ρθρθ-=，曲线C 2的直角坐标方程为302x y -+=．又∵B 的极坐标为（1，3π），化为直角坐标为（12，32）， ∴B 到曲线C 2的距离为133222242d -+==， ∴所求距离的最小值为24． 24．（Ⅰ）解：11()|1||21|12f x tx x x tx t xx≥⇔-+-≥⇔-+-≥恒成立 min 11(12)t x x⇔≤-+-． ∵111112(1)(2)1xx x x-+-≥---=，当且仅当11(1)(2)0x x --≤，即112x ≤≤时取等号， ∴t≤1．∵M ＝1．（Ⅱ）∵a 2＋b 2≥2ab ，∴a b≤1． ∴1ab ≤．（当且仅当“a ＝b”时取等号）又∵2a bab +≤，∴12ab a b ≤+． ∴2ab aba b ≤+．（当且仅当“a ＝b”时取等号）由①②得12ab a b ≤+，（当且仅当“a ＝b”时取等号） ∴a ＋b≥2ab ．。

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(五)(理科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（五）（理科）一、本大题为单项选择题（本题共有12个小题，每个小题5分，满分60分）1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，Q={x|log2（x﹣1）≤2}，则（∁R P）∩Q等于（）A．（2，5]B．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞]C．[2，5]D．（﹣∞，﹣1]∪（5，+∞）2．若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．1 B．2 C．D．3．下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．当a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件4．由直线x=﹣，x=，y=0与直线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1 C． D．5．若x，y满足不等式组，则z=x+y的最小值是（）A．1 B．C．D．36．若（3x﹣）n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为（）A．﹣5 B．5 C．﹣405 D．4057．已知函数f（x）的导函数图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是（）A．f（cosA）＜f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f（sinA）＞f（cosB）8．高三（三）班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有两个节目连排，则不同排法的种数是（）A．240 B．188 C．432 D．2889．函数f（x）=e（e是自然对数的底数）的部分图象大致是（）A．B．C．D．10．“m＞0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件11．若log a（a2+1）＜log a2a＜0，则a的取值范围是（）A．0＜a＜1 B．0＜a＜C．＜a＜1 D．a＞112．设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f′（x）＞f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．D．二．填空题（本大题共4各小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=．14．的最大值是．15．从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，共有种取法；另一类是取出的m个球有m﹣1个白球和1个黑球，共有种取法．显然，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：=．16．已知函数f（x）=xlnx，且0＜x1＜x2，给出下列命题：①＜1②x2f（x1）＜x1f（x2）③当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）④x1+f（x1）＜x2+f（x2）其中正确的命题序号是．三．解答题（本大题共6个大题，满分70分）17．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．18．函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x ﹣a（x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）已知命题p：m∈A，命题q：m∈B，若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一量某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9．求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一所内领到驾照的概率．20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax+b．（1）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式；（2）若φ（x）=﹣f（x）在[1，+∞）上是减函数，求实数m 的取值范围．21．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．22．已知（a∈R）．（Ⅰ）判断f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；（Ⅲ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，试求a的取值范围．参考答案与试题解析一、本大题为单项选择题（本题共有12个小题，每个小题5分，满分60分）1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，Q={x|log2（x﹣1）≤2}，则（∁R P）∩Q等于（）A．（2，5]B．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞]C．[2，5]D．（﹣∞，﹣1]∪（5，+∞）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出P中不等式的解集确定出P，利用对数性质求出Q中不等式的解集确定出Q，确定出P的补集与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即P=[﹣1，2]，∴∁R P=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），由Q中不等式变形得：log2（x﹣1）≤2=log24，即0＜x﹣1≤4，解得：1＜x≤5，即Q=（1，5]，则（∁R P）∩Q=（2，5]，故选：A．2．若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．1 B．2 C．D．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质，求出z，可得|z|．【解答】解：∵复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），∴z===1+i，∴|z|==，故选：C．3．下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．当a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件【考点】2I：特称命题．【分析】A根据复合命题的真假性，即可判断命题是否正确；B根据特称命题的否定是全称命，写出它的全称命题即可；C根据幂函数的图象与性质即可得出正确的结论；D说明充分性与必要性是否成立即可．【解答】解：对于A，当“p且q”为假时，p、q至少有一个是假命题，是正确的；对于B，命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，是正确的；对于C，a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上是减函数，命题正确；对于D，φ=时，y=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，充分性成立，y=sin（2x+φ）为偶函数时，φ=kπ+，k∈Z，必要性不成立；∴是充分不必要条件，命题错误．故选：D．4．由直线x=﹣，x=，y=0与直线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1 C． D．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】画出曲边梯形，利用定积分表示面积，然后计算．【解答】解：如图，由直线x=﹣，x=，y=0与直线y=cosx所围成的封闭图形的面积为=2sinx|=1；故选：B．5．若x，y满足不等式组，则z=x+y的最小值是（）A．1 B．C．D．3【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点C时，直线的截距最小，此时z最小，由得，即C（1，1）此时z=x+y=+1=，故选：B．6．若（3x﹣）n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为（）A．﹣5 B．5 C．﹣405 D．405【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】令二项式中的x为1，求出展开式的各项系数和，求出n；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3，求出r，将r 的值代入通项，求出该展开式中含x3的项的系数．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数之和为2n∴2n=32解得n=5∴=展开式的通项为T r+1=（﹣1）r35﹣r C51x5﹣2r令5﹣2r=3得r=1所以该展开式中含x3的项的系数为﹣34C51=﹣405故选C7．已知函数f（x）的导函数图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是（）A．f（cosA）＜f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f（sinA）＞f（cosB）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】根据导数函数图象可判断；f（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，由△ABC为锐角三角形，得A+B，0﹣B＜A，再根据正弦函数，f（x）单调性判断．【解答】解：根据导数函数图象可判断；f（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，∵△ABC为锐角三角形，∴A+B，0﹣B＜A，∴0＜sin（﹣B）＜sinA＜1，0＜cosB＜sinA＜1f（sinA）＞f（sin（﹣B）），即f（sinA）＞f（cosB）故选；D8．高三（三）班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有两个节目连排，则不同排法的种数是（）A．240 B．188 C．432 D．288【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意，可先将两个音乐节目绑定，与另一个音乐节目看作两个元素，全排，由于三个音乐节目不能连排，故可按一个曲艺节目在此两元素之间与不在两元素之间分成两类分别记数，即可得到所有的排法种数，选出正确选项【解答】解：由题意，可先将两个音乐节目绑定，共有=6种方法，再将绑定的两个节目看作一个元素与单独的音乐节目全排有=2第三步分类，若1个曲艺节目排在上述两个元素的中间，则它们隔开了四个空，将两2个舞蹈节目插空，共有=12种方法；若1个曲艺节目排不在上述两个元素的中间，则它有两种排法，此时需要从两2个舞蹈节目选出一个放在中间避免3个音乐节目相连，有两种选法，最后一个舞蹈节目有三种放法综上，所以的不同排法种数为6×2×（1×12+2×2×3）=288故选D9．函数f（x）=e（e是自然对数的底数）的部分图象大致是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再根据函数的值域即可判断．【解答】解：∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，排除A，B，∵＞0，故排除D，故选：C．10．“m＞0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义集合对数函数的性质分别判断其充分性和必要性，从而得到答案．【解答】解：若“m＞0”，则函数f（x）=m+log2x＞0，（x≥1），故函数f（x）不存在零点，是充分条件，若函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点，则m＞0，是必要条件，故选：C．11．若log a（a2+1）＜log a2a＜0，则a的取值范围是（）A．0＜a＜1 B．0＜a＜C．＜a＜1 D．a＞1【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】对a分类讨论，利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：当0＜a＜1时，∵log a（a2+1）＜log a2a＜0，∴a2+1＞2a＞1，解得，满足条件．当1＜a时，∵log a（a2+1）＜log a2a＜0，∴0＜a2+1＜2a＜1，无解．综上可得：．故选：C．12．设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f′（x）＞f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；63：导数的运算．【分析】根据选项令f（x）=，可以对其进行求导，根据已知条件f′（x）＞f（x），可以证明f（x）为增函数，可以推出f（a）＞f（0），在对选项进行判断；【解答】解：∵f（x）是定义在R上的可导函数，∴可以令f（x）=，∴f′（x）==，∵f′（x）＞f（x），e x＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）为增函数，∵正数a＞0，∴f（a）＞f（0），∴＞=f（0），∴f（a）＞e a f（0），故选B．二．填空题（本大题共4各小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=0.3．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到P（0＜ξ＜2）=P（0＜ξ＜4），得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），μ=2，得对称轴是x=2．P（ξ＜4）=0.8∴P（ξ≥4）=P（ξ≤0）=0.2，∴P（0＜ξ＜4）=0.6∴P（0＜ξ＜2）=0.3．故答案为：0.3．14．的最大值是﹣1．【考点】7F：基本不等式．【分析】先将函数的解析式变为积为定值的形式，再有基本不等式求出最值【解答】解：=由于x＜3，x﹣3＜0故≤﹣2+3=﹣1，当，即x=1时等号成立x＜3时，函数的最大值是﹣1故答案为：﹣1．15．从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，共有种取法；另一类是取出的m个球有m﹣1个白球和1个黑球，共有种取法．显然，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：=C n+k m．【考点】F3：类比推理．【分析】从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有C n+1m种取法．在这C n+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是，取出1个黑球，m﹣1个白球，则C n m+C n m﹣1=C n+1m根据上述思想，在式子：C n m+C k1•C n m﹣1+C k2•C n m﹣2+…+C k k•C n m﹣k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数，根据排列组合公式，易得答案．【解答】解：在C n m+C k1•C n m﹣1+C k2•C n m﹣2+…+C k k•C n m﹣k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数C n+k m故答案为：C n+k m．16．已知函数f（x）=xlnx，且0＜x1＜x2，给出下列命题：①＜1②x2f（x1）＜x1f（x2）③当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）④x1+f（x1）＜x2+f（x2）其中正确的命题序号是②③．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．【解答】解：f′（x）=lnx+1，x∈（0，）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）单调递减，x∈（，+∞），f′（x）＞0，．∴f（x）在（，+∞）上单调递增．①令g（x）=f（x）﹣x=xlnx﹣x，则g′（x）=lnx，设x1，x2∈（1，+∞），则g′（x）＞0，∴函数g（x）在（1，+∞）上是增函数，∴由x2＞x1得g（x2）＞g（x1）；∴f（x2）﹣x2＞f（x1）﹣x1，∴＞1；故①错误；②令g（x）==lnx，则g′（x）=，（0，+∞）上函数单调递增，∵x2＞x1＞0，∴g（x2）＞g（x1），∴x2•f（x1）＜x1•f（x2），即②正确，③当lnx1＞﹣1时，f（x）单调递增，∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）=x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]=（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0∴x1•f（x1）+x2•f（x2）＞x1•f（x2）+x2f（x1），∵x2•f（x1）＜x1•f（x2），利用不等式的传递性可以得到x1•f（x1）+x2•f（x2）＞2x2f（x1），故③正确．④令h（x）=f（x）+x=xlnx+x，则h′（x）=lnx+2，∴x∈（0，）时，h′（x）＜0，∴函数h（x）在（0，）上单调递减，设x1，x2∈（0，），所以由x1＜x2得h（x1）＞h（x2），∴f（x1）+x1＞f（x2）+x2，故④错误；故答案为：②③三．解答题（本大题共6个大题，满分70分）17．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）直接利用关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程．（2）利用参数方程和抛物线方程建立成关于t的一元二次方程组，利用根和系数的关系求出两根和与两根积，进一步利用等比数列进一步求出a的值．【解答】解：（1）曲线C：ρsi n2θ=2acosθ（a＞0），转化成直角坐标方程为：y2=2ax线l的参数方程为（t为参数），转化成直角坐标方程为：x﹣y﹣2=0．（2）将直线的参数方程（t为参数），代入y2=2ax得到：，所以：，t1t2=32+8a，①则：|PM|=t1，|PN|=t2，|MN|=|t1﹣t2||PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以：，②由①②得：a=1．18．函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x ﹣a（x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）已知命题p：m∈A，命题q：m∈B，若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（Ⅰ）根据对数函数的性质得到不等式解出从而求出集合A，根据指数函数的性质求出集合B；（Ⅱ）依题意得到q是p的充分不必要条件，从而B⊆A，得到不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|（x﹣3）（x+1）＞0}={x|x＜﹣1，或x＞3}，B={y|y=2x﹣a，x≤2}={y|﹣a＜y≤4﹣a}．（Ⅱ）∵¬p是¬q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∴B⊆A，∴4﹣a＜﹣1或﹣a≥3，∴a≤﹣3或a＞5，即a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪（5，+∞）．19．某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一量某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9．求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一所内领到驾照的概率．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；C7：等可能事件的概率．【分析】ξ的取值分别为1，2，3，4．ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，ξ=4，表明李明在第一、二、三次考试都未通过，写出概率，做出期望．【解答】解：ξ的取值分别为1，2，3，4．ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（ξ=1）=0.6ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P（ξ=2）=（1﹣0.6）×0.7=0.28ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P（ξ=3）=（1﹣0.6）×（1﹣0.7）×0.8=0.096．ξ=4，表明李明在第一、二、三次考试都未通过，故P（ξ=4）=（1﹣0.6）×（1﹣0.7）×（1﹣0.8）=0.024．∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544．李明在一年内领到驾照的概第为1﹣（1﹣0.6）×（1﹣0.7）×（1﹣0.8）×（1﹣0.9）=0.9976．20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax+b．（1）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式；（2）若φ（x）=﹣f（x）在[1，+∞）上是减函数，求实数m 的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，得到f′（1）=1=a，求出a的值即可；根据g（1）=0，求出b的值，从而求出g（x）的表达式；（2）求出φ′（x），问题转化为则2m﹣2≤x+，x∈[1，+∞），求出m的范围即可．【解答】解：（1）由已知得f′（x）=，∴f′（1）=1=a，a=2．又∵g（1）=0=a+b，∴b=﹣1，∴g（x）=x﹣1．（2）φ（x）=﹣f（x）=﹣lnx在[1，+∞）上是减函数，∴φ′（x）=≤0在[1，+∞）上恒成立．即x2﹣（2m﹣2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，则2m﹣2≤x+，x ∈[1，+∞），∵x+∈[2，+∞），∴2m﹣2≤2，m≤2．21．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CB：古典概型及其概率计算公式；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ；（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．【解答】解：由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，由于乙队中3人答对的概率分别为，，，P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=，P（ξ=10）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×==，P（ξ=20）=××（1﹣）+（1﹣）××+×（1﹣）×= =，P（ξ=30）=××=，∴ξ的分布列为：ξ0102030P∴Eξ=0×+10×+20×+30×=．（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．又P（A）==，P（B）=××=，则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为P（A+B）=P（A）+P（B）==．22．已知（a∈R）．（Ⅰ）判断f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；（Ⅲ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，试求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性；（Ⅱ）分别讨论f（x）的单调性，通过解关于导函数的不等式结合a 的范围，从而求出结果；（Ⅲ）问题转化为a＞xlnx﹣x3，令g（x）=xlnx﹣x3，通过讨论函数g （x）的单调性，求出g（x）的最大值，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）…当a≥0时，x＞0，∴f′（x）＞0，因此f（x）在定义域（0，+∞）上为单调递增函数．…当a＜0时，则0＜x＜﹣a，f′（x）＜0；x＞﹣a，f′（x）＞0；此时，f（x）在（0，﹣a）上为单调递减函数，在（﹣a，+∞）上为单调递增函数．…（Ⅱ）（1）令f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，即x+a≥0∴a≥﹣x．令a≥﹣1，此时f（x）在[1，e]上为增函数．∴，得（舍去）．…（2）令f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，即x+a≤0∴a≤﹣x．令a≤﹣e，此时f（x）在[1，e]上为减函数．∴，得（舍去）．…（3）令f′（x）=0，得x0=﹣a．当1＜x＜x0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，x0）上为减函数．当x0＜x＜e时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x0，e）上为增函数．∴得．综上可知，．…（III）由f（x）＜x2，得，∵x＞1，∴有a＞xlnx﹣x3，令g（x）=xlnx﹣x3，则g′（x）=lnx﹣3x2+1．…令φ（x）=lnx﹣3x2+1，则，∵x＞1，∴φ'（x）＜0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递减，∴φ（x）＜φ（1）=﹣2＜0，因此g'（x）＜0，故g（x）在（1，+∞）上单调递减，…则g（x）＜g（1）=﹣1，∴a的取值范围是[﹣1，+∞）．…。

2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案(四)(理科)

2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案（四）（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．直线1,13x t y t =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩的斜率为（）．A ．1B ．1-C ．3D ．3-【答案】C【解析】由1,13x t y t =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可得331y x =--，斜率3k =．故选C ．2．用反证法证明命题“23+是无理数”时，假设正确的是（）．A ．假设2是有理数B ．假设3是有理数C ．假设2或3是有理数D ．假设23+是有理数【答案】D【解析】反证法的假设是结论的反面．故选D ．3．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取数名学生进行问卷调查．如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）．A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】A【解析】设高三抽取x 人，由此例可7210300x=，10x =．故选A ． 4．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)P ξ<<=（）．A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6【答案】B【解析】∵随机变量x 服从正态分布2(2,)N σ，2μ=，即对称轴是2，(4)0.8P ξ<=，∴(4)(0)0.2P P ξξ=<=≥， ∴(04)0.6P ξ<<=， ∴(02)0.3P ξ<<=．故选B ．5．用数学归纳法证明4221232n n n +++++=L ，则当1()n k n =+∈N *时，等式左边应在n k =的基础上加上（）．A ．21k +B ．2(1)k +C ．42(1)(1)2k k +++D ．2222(1)(2)(3)(1)k k k k ++++++++L【答案】D【解析】当n k =时，左侧2123k =++++L ，当1n k =+时，左侧222123(1)(1)k k k =+++++++++LL ，所以当1n k =+时，左端应在n k =的基础上加上2222(1)(2)(3)(1)k k k k ++++++++L．故选D ．6．从分别标有1，2，L ，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）．A ．818B ．49C ．59D ．79【答案】C【解析】9张卡牌中共有5个奇数牌，4个偶数牌，所以抽取两次共有9872⨯=种基本事件，其中满足卡片上数字奇偶性不同共有4554202040⨯+⨯=+=种基本事件，故抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是405729=．故选C ．7．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为$$y bx a =+$．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，4b =$．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高约为（）．A ．170B ．166C ．163D ．160【答案】B【解析】由题意得22.5x =，160y =，$$y bxa =+$过点(22.5,160)，又∵4b=$， ∴$16022.54a =⨯+，解出$70a =， ∴$470y x =+，当24x =时，$42470166y =⨯+=．故选B ．8．学校举行“好声音”歌曲演唱比赛，五位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如图所示，已知这组数据的中位数为86，则这组数据的平均数不可能为（）．A ．4185B ．4245C ．85D ．4275【答案】A【解析】由题意69x ≤≤，当6x =时，平均数为1424(7983868690)55++++=，当9x =时，平均数为1427(7983868990)55++++=，即平均数在424427,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦区间内，A 项排除．故选A ．9．若实数a ，b 满足221a b +≤，则关于x 的方程220x x a b -++=有实数根的概率是（）．A ．14B ．34C ．3π24π+ D ．π24π- 【答案】C【解析】根的判别式2(2)41()0a b ∆=--⨯⨯+≥， ∴10a b +-≤，在平面直角坐标系中，作出约束条件，22110a b a b ⎧+⎨+-⎩≤≤，所表示的平面区域如图所示，阴影部分面积为：221131π1π11π4242⎛⎫⨯--⨯⨯=+ ⎪⎝⎭，所求概率31π3π242π4πP ++==．10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学模块的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）． A ．乙可以知道两人的成绩B ．丁可以知道两人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由题知四人中2位优秀，2位良好，且甲在得知乙、丙的成绩后不能判断出自身成绩，所以乙和丙成绩不同，一人优秀一人良好，乙知道丙的成绩，则根据甲所说，乙可知道自己成绩，丁知道甲的成绩，则可判断自己成绩．故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在题中横线上．11．已知双曲线2221(0)y x b b -=>的离心率为2，那么它的焦点坐标为__________，渐近线方程为__________．【答案】(2,0)-和(2,0)3y x =±【解析】∵已知21a =，2ce a==，则223b c a =-=，∴2c =，焦点坐标为(2,0)-，(2,0)，双曲线方程为2213y x -=，渐近线为3y x =±． 12．在极坐标系中，直线cos 10ρθ+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为__________．【答案】1【解析】极坐标系中，直线cos 1ρθ=-，在直角坐标系中为1x =-，圆2sin ρθ=，两边同乘ρ得：22sin ρρθ=，在直角坐标系中变为222x y y +=，即22(1)1x y +-=，圆心(0,1)到直线1x =-的距离d r =，即圆与直线相切，两者只有1个公共点．13．观察下列等式： (11)21+=⨯2(21)(22)213++=⨯⨯3(31)(32)(33)2135+++=⨯⨯⨯按此规律，第n 个等式可为__________．【答案】(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=⨯⨯⨯-LL【解析】由观察类比推理可解． 14．学校安排6名同学参加两项不同的志愿活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有__________种．（用数字作答）【答案】50【解析】由题知，6名同学分成两组，其中一组2人，另一组4人，或一组3人，另一组3人，当一组2人，另一组4人时，安排方法有2262C A 30=种，当一组3人，另一组3人时，安排方法有226222C A 20A ⨯=种，一共有302050+=种．15．4234512345(1)x mx a x a x a x a x a x -=++++中26a =-，则实数m 的值为__________，12345a a a a a ++++值为__________．【答案】32116【解析】由题意4(1)mx -的展开式的通项为14()C r r rr T m x +=-，令1r =，得246a m =-=-， ∴32m =，在展开式中，令1x =，得412345311216a a a a a ⎛⎫-=++++= ⎪⎝⎭．16．已知向量(,)a m n =r ，向量(,)b p q =r ，（其中m ，n ，p ，q ∈Z ）．定义：(,)a b mp nq mq np ⊗=-+r r ．若(1,2)a =r ，(2,1)b =r ，则a b ⊗=r r__________；若(5,0)a b ⊗=r r ，则a =r __________，b =r __________（写出一组满足此条件的a r 和b r即可）．【答案】(0,5) (2,1) (2,1)-【解析】（1）令1m =，2n =，2p =，1q =， ∴0mp nq -=，5mq np +=,(0,5)a b ⊗=r r．（2）∵(5,0)a b ⊗=r r ，∴50mp nq mq np -=⎧⎨+=⎩，①又∵||5a <r ，||5b <r，∴22222525m n p q ⎧+<⎪⎨+<⎪⎩， ∴m ，n ，p ，q ∈Z ，∴2m =，1n =，2p =，1q =-是方程组①的一组解，∴(2,1)a =r ，(2,1)b =-r．三、解答题：本大题共5小题，每小题14分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．（1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和均值．（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【答案】（1）分布列为： X0 1 2 3 P14 1124 14 124均值13()12E x =．（2）1148．【解析】（1）x 取0，1，2，3，1231(0)2344P X ==⨯⨯=，11312112311(1)23423423424P X ==⨯⨯+⨯++⨯⨯=， 1211131111(2)2342342344P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，1111(3)23424P X ==⨯⨯=．X 的分布列为：X0 1 2 3 P14 1124 14 124均值11111()0123424424E X =⨯+⨯+⨯+⨯， 1312=．（2）设甲遇到1个红灯，乙不遇到红灯为事件A ，1112311()2423496P A ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，设甲不遇到红灯，乙遇到1个红灯为事件B ，1112311()2423496P B ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，111111()()969648P A P B +=+=．18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD ．（1）设AB 的中点为Q ，求证：PQ ⊥平面ABCD ．（2）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值．（3）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角M BD C --的大小为60︒，求CMCP 的值．【答案】（1）见解析．（2）3010．（3）25．【解析】（1）证明：∵侧面PAB 是正三角形，AB 中点为Q ，∴PQ AB ⊥，∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB I 底面ABCD AB =，PQ ⊂侧面PAB ，∴PQ ⊥平面ABCD ．（2）连接AC ，设AC BD O =I 点，以O 为原点，OB ，OC 过O 点且垂直于平面ABCD 的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)O ，(3,0,0)B ，(0,1,0)C ，(3,0,0)D -，31,,322P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，331,,322PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =u r，设斜线PD 与平面ABCD 所成角为α，则330sin |cos ,|10||||271344m PDm PD m PD ⋅====⋅++u r u u u ru r u u u r ur u u u r ．（3）设33,,322CM tCP t t t ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ， 33,1,322M t t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，333,1,322BM t t t ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ， (23,0,0)DB =u u u r，设平面MBD 的法向量为(,,)n x y z =r， ∴n DB ⊥r u u u r ，n MB ⊥u u u r ，00333130022x n DB t x t y tz n MB =⎧⎧⋅=⎪⎪⎛⎫⇒⇒⎨⎨⎛⎫-+-++= ⎪⋅= ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩r u u u r r u u u r ，取3z =，60,,332t n t ⎛⎫=⎪-⎝⎭r ，又∵平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =u r ，∴cos cos60||||m nm n m n ⋅=⋅=︒u r ru r r u r r ，∴23126332t t =⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，解出2t =（舍去）或25t =，此时25CM CP =．19．已知函数()ln (1)f x x a x =+-，a ∈R ．（1）当1a =-时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程．（2）若存在0(0,)x ∈+∞，使得0()22f x a -≥成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）220y x -+=．（2）(],1-∞．【解析】（1）∵()ln 1f x x x =+-，(1)ln1110f =+-=，1()1f x x'=+，(1)112f '=+=， ∴()f x 在(1,0)的切线方程为2(1)y x =-，整理得220y x -+=．（2）∵0(0,)x ∃∈+∞，使得0()22f x a -≥， ∴00ln 22x a ax a +--≥， ∴00(12)2ln a x x ----≥，00(1)2ln a x x ++≤， 002ln 1x a x ++≤，令2ln ()(0)1xf x x x+=>+， 211(1)(2ln )ln 1()(1)(1)x x x x x f x x x 2+-+--'==++．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,0)A ，且离心率为32．（1）求椭圆C 的方程．（2）过点(1,0)D 作直线l 与C 交于P ，Q 两点，连接直线PA ，QA 分别与直线3x =交于M ，N 两点．若APQ △和AMN △的面积相等，求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=．（2）1x =和261x y =+和261x y =-+．【解析】（1）∵32ce a==且椭圆过(2,0)A ， 2221a =， ∴24a =，23c =，2221b a c =-=，∴椭圆为2214x y +=．（2）当直线l 斜率不存在时，APQ △与AMN △关于点A 对称， APQ AMN S S =△△，当直线l 斜率存在时，设直线l 为1x ky =+，设P 点坐标11(,)x y ，22(,)Q x y ，联立22141x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，∴22(1)44ky y ++=， 22(4)230k y ky ++-=， ∴12224k y y k -+=+，12234y y k -=+，12284x x k +=+，2122444k x x k -+=+， ∴1211||2APQ S y y =⨯⨯-△，22234k k =++， ∵(2,0)A ，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，∴直线AP 的斜率1112y k x=-，直线AP 方程为：11(2)2y y x x =--，当3x =时，112M y y x =-，直线AQ 的斜率2222y k x =-，直线AQ 的方程为：22(2)2y y x x =--，当3x =，222N y y x =-， ∴121211||12222AMN y y S MN x x =⨯⨯=⨯---△，∵APQ AMN S S =△△，联立解出26k =±，综上，直线方程有1x =和261x y =-+和261x y =+．21．由1，2，L ，n 排列而成的n 项数列{}n a 满足：每项都大于它之前的所有项或者小于它之前的所有项．（1）满足条件的数列中，写出所有的单调数列．（2）当4n =时，写出所有满足条件的数列．（3）满足条件的数列{}n a 的个数是多少？并证明你的结论．【答案】（1）{}n a n =，{}n a n =，(1)n -，(2)n -，L ．（2）①1，2，3，4②2，1，3，4 ③3，2，1，4 ④2，3，1，4 ⑤4，3，2，1⑥3，2，4，1 ⑦3，4，2，1⑧2，3，4，1．（3）12n -个．【解析】（1）（2）题由题目定义即可解出．（3）设所求个数为n A ，则11A =，对1n >，若n 排在第i 位，则它之后的n i -位数完全确定，只能是n i -，1n i --，L ，2，1．而它之前的(1)i -位，1n i -+，2n i -+，L ，1n -有1i A -种排法，令1i =，2，L ，n ，则1211n n n A A A A --=++++L ，121(1)n n A A A --=++++L ，1112n n n A A A ---=+=，∴12n n A -=．。

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(十)(文科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（十）（文科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理得出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为A．②①③ B．③①② C．①②③ D．②③①2、函数()(3)xf x x e=-的单调递增区间是A．(2,)-∞+∞ B．(0,3) C．(1,4) D．(,2)3、如图是集合的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在A．“集合的概念”的下位B．“基本关系”的下位C．“集合的表示”的下位D．“基本运算”的下位4、设(1)()2+=i x yi++=，其中i为虚数单位，,x y、是实数，则2x yi A．1 B．2 C．3 D．55、已知函数()2sin2cos,(2,2)'的图象大致是f x x x x x xππf x=+∈-，则其导函数()6、如下框图所给的程序运行结果为20S=，那么判断框中应填入的关于k的条件是7、设z 是复数，下列命题中的假命题是A ．若20z ≥，则z 是实数B ．若z 是虚数，则0z z ⋅≥C ．若z 是虚数，则20z ≥D ．若z 是纯虚数，则0z <8、以平面支架坐标系的原点为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是1(3x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线被圆C 截得的弦长为 A ．14 B ．214 C ．2 D ．22 9、函数()333f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则 A ．01b << B ．1b < C ．0b > D ．12b < 10、算法程序框图如右图所示，若函数()ln xf x x=，且(3),(4),(5)a f b f c f ===，则输出的结果是 A ．3a b c++ B ．a C ．b D ．c11、已知函数()33f x x x m =-+只有一个零点，则实数m 的取值范围是 A ．[]2,2- B ．(,2)(2,)-∞-+∞U C ．(2,2)- D ．(,2][2,)-∞-+∞U 12、（考生注意：请在（1）（2）两题中，任选一题作答，若多做，则按（1）题计分）（1）已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=，点A 的极坐标为7(22,)4π，则点到直线l 的距离为 A ．522 B ．22 C ．322D ．2 （2）关于x 的不等式2124x x a a +--<-有实数解，则实数a 的取值范围为A ．(,1)(3,)-∞+∞UB ．(1,3)C ．(,3)(1,)-∞--+∞UD ．(3,1)--第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(十)(理科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（十）（理科）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={1，2，3}，B={x∈R|x2﹣x=0}，则A∪B=（）A．{1}B．{0，1}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}2．点P从点A（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（）A．（﹣，）B．（，）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）3．已知a是实数，若是纯虚数，其中i是虚数单位，则a=（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣4．为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将y=cos2x的图象上每一点（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度5．已知与均为单位向量，其夹角为θ，若||＞1，则θ的取值范围是（）A．＜θB．＜θC．＜θ≤π D．＜θ≤π6．若集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，则从集合A到集合B的不同映射的个数是（）A．12 B．24 C．64 D．817．若（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项是（）A．﹣40 B．﹣20 C．40 D．208．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．9．若α，β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则必有（）A．α2＜β2 B．α2＞β2 C．α＜βD．α＞β10．已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为直线l，若直线l与函数y=lnx（x ∈（0，1））的图象相切，则满足（）A．x0∈（，）B．x0∈（1，）C．x0∈（0，）D．x0∈（，1）二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．已知α∈（0，），tanα=，则si nα=，tan2α=．12．已知函数f（x）是定义在R上且周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x﹣1，则f（0）=，f（）=．13．已知单位向量，的夹角为120°，则=，|﹣|（λ∈R）的最小值为．14．由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有个（用数字作答）其中数字0，1相邻的四位数有个（用数字作答）．15．已知，为单位向量，且•=0，若向量满足|﹣（）|=||，则||的最大值是．16．定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为．17．函数f（x）=x2+b•x+c•3x（b，c∈R），若{x∈R|f（x）=0}={x∈R|f（f（x））=0}≠∅，则b+c的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知函数f（x）=cos（2x）﹣2sin（x）cos（x）（1）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的值域．19．袋中装有9个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红色、蓝色、黄色球各3个，现从中随机地连取3次球，每次取1个，记事件A为“3个球都是红球”，事件B为“3 个球颜色不全相同”（Ⅰ）若每次取后不放回，分别求出事件A和事件B的概率（用数字作答）；（Ⅱ）若每次取后放回，分别求出事件A和事件B的概率（用数字作答）．20．已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x﹣1）=f（3﹣x）且方程f（x）=2x有两个相等实数根（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出符合条件的所有m，n的值，如果不存在，说明理由．21．已知数列{a n}前n项的和为S n，满足a1=0，a n≥0，3a n+12=a n2+a n+1（n∈N*）（Ⅰ）用数学归纳法证明：1≤a n＜1（n∈N*）（Ⅱ）求证：a n＜a n+1（n∈N*）22．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4﹣x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）；（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞4．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={1，2，3}，B={x∈R|x2﹣x=0}，则A∪B=（）A．{1}B．{0，1}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【考点】1D：并集及其运算．【分析】分别求出集合A，B，由此利用并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x∈R|x2﹣x=0}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：D．2．点P从点A（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（）A．（﹣，）B．（，）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）【考点】G7：弧长公式．【分析】由题意推出∠QOx角的大小，然后求出Q点的坐标．【解答】解：点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx=，所以Q（cos，sin），即Q点的坐标为：（﹣，）．故选：A．3．已知a是实数，若是纯虚数，其中i是虚数单位，则a=（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据纯虚数的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：若是纯虚数，则===﹣i，若复数是纯虚数，则，得，即a=1，故选：A4．为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将y=cos2x的图象上每一点（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵y=cos2x=sin（2x+）=sin[2（x+）]，∴y=sin（2x+）=sin[2（x+）]=sin[2（x+﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将y=cos2x的图象上每一点向右平移个单位长度即可．故选：B．5．已知与均为单位向量，其夹角为θ，若||＞1，则θ的取值范围是（）A．＜θB．＜θC．＜θ≤π D．＜θ≤π【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由向量数量积的定义和向量的平方即为模的平方，化简可得cosθ＜，再由夹角范围和余弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．【解答】解：与均为单位向量，其夹角为θ，若||＞1，则（﹣）2＞1，即有2+2﹣2•=1+1﹣2cosθ＞1，即为cosθ＜，由0≤θ≤π，可得＜θ≤π．故选：C．6．若集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，则从集合A到集合B的不同映射的个数是（）A．12 B．24 C．64 D．81【考点】3C：映射．【分析】根据定义可以先确定集合A中元素个数，及集合B的元素个数，然后代入映射个数公式，即可得到答案．【解答】解：集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一对应的元素与之对应，A中有4个元素，每个元素可以有3种对应方式，共有34=81种不同的对应方式，即从集合A到集合B的不同映射的个数是81．故选：D．7．若（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项是（）A．﹣40 B．﹣20 C．40 D．20【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】令x=1，（1+a）×（2﹣1）5=2，解得a=1．再利用（2x﹣）5的通项公式，进而得出．【解答】解：令x=1，（1+a）×（2﹣1）5=2，解得a=1．∴（2x﹣）5的通项公式T r+1==（﹣1）r25﹣r x5﹣2r，令5﹣2r=﹣1，5﹣2r=1．解得r=3或2．∴该展开式中常数项=（﹣1）3+=40．故选：C．8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；62：导数的几何意义．【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．9．若α，β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则必有（）A．α2＜β2 B．α2＞β2 C．α＜βD．α＞β【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由题意可得αsinα＞βsinβ，再根据y=xsinx为偶函数，且在[0，]上单调递增，可得结论．【解答】解：α，β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，即αsinα＞βsinβ，再根据y=xsinx为偶函数，且在[0，]上单调递增，可得|α|＞|β|，即α2＞β2，故选：B．10．已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为直线l，若直线l与函数y=lnx（x ∈（0，1））的图象相切，则满足（）A．x0∈（，）B．x0∈（1，）C．x0∈（0，）D．x0∈（，1）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数y=x2的导数，y=lnx的导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得2x0=，lnm﹣1=﹣x02，再由零点存在定理，即可得到所求范围．【解答】解：函数y=x2的导数为y′=2x，在点（x0，x02）处的切线的斜率为k=2x0，切线方程为y﹣x02=2x0（x﹣x0），设切线与y=lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，即有y=lnx的导数为y′=，可得2x0=，切线方程为y﹣lnm=（x﹣m），令x=0，可得y=lnm﹣1=﹣x02，由0＜m＜1，可得x0＞，且x02＞1，解得x0＞1，由m=，可得x02﹣ln2x0﹣1=0，令f（x）=x2﹣ln2x﹣1，x＞1，f′（x）=2x﹣＞0，f（x）在x＞1递增，且f（）=1﹣ln2＜0，f（）=2﹣ln2＞0，则有x02﹣ln2x0﹣1=0的根x0∈（，）．故选：A．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．已知α∈（0，），tanα=，则sinα=，tan2α=﹣．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵α∈（0，），tanα==，sin2α+cos2α=1，则sinα=，∴tan2α===﹣，故答案为：；﹣．12．已知函数f（x）是定义在R上且周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x﹣1，则f（0）=0，f（）=1．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】利用函数的奇偶性和单调性，求得要求的函数值．【解答】解：函数f（x）是定义在R上且周期为2的奇函数，∴f（0）=0．∵当0＜x＜1时，f（x）=4x﹣1，∴f（）=f（2+）=f（）=﹣1=1，故答案为：0；1．13．已知单位向量，的夹角为120°，则=﹣，|﹣|（λ∈R）的最小值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的数量积的定义求得的值，再根据于|﹣|=，计算求得结果．【解答】解：∵单位向量，的夹角为120°，则=1•1•cos120°=﹣；由于|﹣|（λ∈R）====，故当λ=﹣时，|﹣|（λ∈R）取得最小值为=，故答案为：﹣；．14．由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有18个（用数字作答）其中数字0，1相邻的四位数有10个（用数字作答）．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】先排千位数，有种排法，再排另外3个数，有种排法，利用乘法原理能求出组成没有重复数字的四位数的个数；数字0，1相邻，先把0，1捆绑成一个数字参与排列，再减去0在千位的情况，由此能求出其中数字0，1相邻的四位数的个数．【解答】解：由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有：=18．其中数字0，1相邻的四位数有：=10．故答案为：18，10．15．已知，为单位向量，且•=0，若向量满足|﹣（）|=||，则||的最大值是2．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．【解答】解：∵，为单位向量，且•=0，∴可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），∴|﹣（）|=||=，∴=，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．∴||的最大值为+=2．故答案为：2．16．定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为（0，2）．【考点】7E：其他不等式的解法；4O：对数函数的单调性与特殊点．【分析】设g（x）=f（x）﹣x，由f′（x）＜，得到g′（x）小于0，得到g（x）为减函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x，∵f′（x）＜，∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）为减函数，又f（1）=1，∴f（log2x）＞=log2x+，即g（log2x）=f（log2x）﹣log2x＞=g（1）=f（1）﹣=g（log22），∴log2x＜log22，又y=log2x为底数是2的增函数，∴0＜x＜2，则不等式f（log2x）＞的解集为（0，2）．故答案为：（0，2）17．函数f（x）=x2+b•x+c•3x（b，c∈R），若{x∈R|f（x）=0}={x∈R|f（f（x））=0}≠∅，则b+c的取值范围为[0，4）．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】求出c=0，求出f（x）的解析式，通过讨论b，求出满足条件的b的范围，即b+c的范围．【解答】解：设x0∈{x∈R|f（x）=0}={x∈R|f（f（x））=0}，则，故f（0）=0，故c=0，∴f（x）=x2+bx，①b=0时，{x∈R|f（x）=0}={x∈R|f（f（x））=0}，②b≠0时，{x|f（x）=0}={0，﹣b}，则f（f（x））=x（x+b）（x2+bx+b）=0仅有0，﹣b两个根，∴b2﹣4b＜0，解得：0＜b＜4，综上，b∈[0，4），b+c∈[0，4），故答案为：[0，4）．三、解答题（共5小题，满分74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知函数f（x）=cos（2x）﹣2sin（x）cos（x）（1）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的值域．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用两角差的余弦公式，诱导公式及二倍角正弦公式将f（x）化为一角一函数形式得出f（x）=sin（2x﹣），求出函数的最小正周期即可；（2）先求出2x﹣的范围，再求出值域．【解答】解：（1）因为f（x）=cos（2x﹣）﹣2sin（x+）cos（x+）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）=cos2xcos+sin2xsin+2sin（x﹣）cos（﹣x﹣）=cos2x+sin2x+sin（2x﹣）=cos2x+sin2x﹣cos2x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），所以函数f（x）的最小正周期为T==π；（2）因为x∈[﹣，]，2x﹣∈[﹣，]，由正弦函数的性质得值域为[﹣，1]．19．袋中装有9个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红色、蓝色、黄色球各3个，现从中随机地连取3次球，每次取1个，记事件A为“3个球都是红球”，事件B为“3 个球颜色不全相同”（Ⅰ）若每次取后不放回，分别求出事件A和事件B的概率（用数字作答）；（Ⅱ）若每次取后放回，分别求出事件A和事件B的概率（用数字作答）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）每次取后不放回，基本事件总数n=9×8×7=504，事件A包含的基本事件个数m A=3×2×1=6，事件B的对立事件是“3个球颜色全相同”，由此利用等可能事件概率计算公式能求出事件A的概率，利用对立事件概率计算公式能求出事件B的概率．（Ⅱ）每次取后放回，基本事件总数n′=9×9×9=729，事件A包含的基本事件个数m A′=3×3×3=27，事件B的对立事件是“3个球颜色全相同”，由此利用等可能事件概率计算公式能求出事件A的概率，利用对立事件概率计算公式能求出事件B的概率．【解答】解：（Ⅰ）袋中装有9个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红色、蓝色、黄色球各3个，现从中随机地连取3次球，每次取1个，记事件A为“3个球都是红球”，事件B为“3 个球颜色不全相同”每次取后不放回，基本事件总数n=9×8×7=504，事件A包含的基本事件个数m A=3×2×1=6，事件B的对立事件是“3个球颜色全相同”，∴事件A的概率p（A）===．事件B的概率p（B）=1﹣=．（Ⅱ）每次取后放回，基本事件总数n′=9×9×9=729，事件A包含的基本事件个数m A′=3×3×3=27，事件B的对立事件是“3个球颜色全相同”，∴事件A的概率p（A）===．事件B的概率p（B）=1﹣=．20．已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x﹣1）=f（3﹣x）且方程f（x）=2x有两个相等实数根（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出符合条件的所有m，n的值，如果不存在，说明理由．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）由方程ax2+bx﹣2x=0有等根，则△=0，得b，又由f（x﹣1）=f（3﹣x）知此函数图象的对称轴方程为x=﹣=1，得a，从而求得f（x）．（Ⅱ）由f（x）=﹣（x﹣1）2+1≤1，知4n≤1，即n≤．由对称轴为x=1，知当n≤时，f（x）在[m，n]上为增函数，得到关于m，n的方程组，最后看是否满足m＜n≤即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（﹣x+3）=f（x﹣1），∴对称轴是x=1，得到﹣=1 ①∵方程f（x）=2x有两个相等的实数根，即ax2+（b﹣2）x=0有两个相等的实数根，∴△=（b﹣2）2=0，∴b=2，代入①，解得a=﹣1，∴f（x）=﹣x2+2x；（Ⅱ）∵f（x）=﹣（x﹣1）2+1≤1，∴4n≤1，即n≤，而抛物线y=﹣x2+2x的对称轴为x=1，∴当n≤时，f（x）在[m，n]上为增函数．若满足题设条件的m，n存在，则，即⇒又m＜n≤．∴m=﹣2，n=0，这时，定义域为[﹣2，0]，值域为[﹣8，0]．由以上知满足条件的m，n存在，m=﹣2，n=0．21．已知数列{a n}前n项的和为S n，满足a1=0，a n≥0，3a n+12=a n2+a n+1（n∈N*）（Ⅰ）用数学归纳法证明：1≤a n＜1（n∈N*）（Ⅱ）求证：a n＜a n+1（n∈N*）【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．【分析】（I）验证n=1结论成立，假设n=k结论成立，利用不等式的性质推导n=k+1时结论成立即可；（II）使用作差法和二次函数的性质得出结论．【解答】证明：（I）当n=1时，显然结论成立；假设n=k时，结论成立，即1﹣≤a k＜1，则3a k+12=a k2+a k+1＜3，由a k+1≥0，∴a k+1＜1，又a k≥1﹣，∴3a k+12=a k2+a k+1≥（1﹣）2+（1﹣）+1=﹣+3，a k+12≥1﹣+＞1﹣+=（1﹣）2，∴a k+1＞1﹣，∴当n=k+1时，结论成立，∴1≤a n＜1（n∈N*）．（II）3a n+12﹣3a n2=﹣2a n2+a n+1=﹣2（a n﹣）2+，由（1）可知0≤a n＜1，∴﹣2（a n﹣）2+＞0，∴3a n+12﹣3a n2＞0，∴a n＜a n+1．22．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4﹣x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）；（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞4．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出其导函数，利用导函数值的正负对应的区间即可求出原函数的单调区间进而求出极值；（2），求出其导函数利用导函数的值来判断其在（2，+∞）上的单调性，进而证得结论．（3）先由（1）得f（x）在（﹣∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数，故x1、x2不可能在同一单调区间内；设x1＜2＜x2，由（2）可知f（x2）＞g（x2），即f（x1）＞f（4﹣x2）．再结合单调性即可证明结论．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f'（x）=．令f'（x）=0，解得x=2．x（﹣∞，2）2（2，+∞）f'（x）+0﹣f（x）↗极大值↘∴f（x）在（﹣∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数．∴当x=2时，f（x）取得极大值f（2）=．（2）证明：，，∴F'（x）=．当x＞2时，2﹣x＜0，2x＞4，从而e4﹣e2x＜0，∴F'（x）＞0，F（x）在（2，+∞）是增函数．∴．（3）证明：∵f（x）在（﹣∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数．∴当x1≠x2，且f（x1）=f（x2），x1、x2不可能在同一单调区间内．不妨设x1＜2＜x2，由（2）可知f（x2）＞g（x2），又g（x2）=f（4﹣x2），∴f（x2）＞f（4﹣x2）．∵f（x1）=f（x2），∴f（x1）＞f（4﹣x2）．∵x2＞2，4﹣x2＜2，x1＜2，且f（x）在区间（﹣∞，2）内为增函数，∴x1＞4﹣x2，即x1+x2＞4．。

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(四)(理科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（四）（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第2至第4页。

全卷满分150 分,考试时间120 分钟。

考生注意事项:1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。

必须在题号所指示的答题区城作答,超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．,．在试题卷、草稿纸上答题无效。

．．．．．．．．．．．．．．4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题(本题共有12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。

) 1.复数z=i5i51-+= A.-1+i B.i C.-1-i D.-i 2.函数f(x) =e x 在x=0处的切线方程为A.y=x+1B.y=2x+1C.y=x-1D.y=2x-13.某随机变量ξ 服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ 在(0,2)内取值的概率为0.6.则ξ 在(0.1)内取值的概率为A.0.2B.0.4C.0.6D.0.3 4.设函数ƒ(x)=21x 2-9lnx 在区间[a-1,a+1] 上单调递减，则实数a 的取值范围是A.1<a ≤2B.a ≥24C.a ≤2D.0<a ≤35.(1+2x)6 的展开式中二项式系数最大的项是A.160x 3B.120x 2C.80x 4D.20x 6 6.若复数(a 2-a-2)+( |a-1|-1)i(a ∈R)是纯虚数,则a 的取值范围是 A.a=-1或a=2 B.a ≠-1且a €2a=-1 D.a=2 7.用数字0,1,2,3,4 组成无重复数字的四位数,比2340 小的四位数共有A.20个B.32个C.36个D.40个 8.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=31,k=1,2,3,则D(2ξ+3)等于 A.32 B.34 C.2 D.38 9.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B ·曼德尔布罗特(Benoit B.Mandelbrot)在20世纪70 年代创立的一门新学科,它的创立,为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2020年秋高二年级数学期末模拟试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.任意抛两枚一元硬币，记事件p：恰好一枚正面朝上；q：恰好两枚正面朝上；l：恰好两枚正面朝下；m：至少一枚正面朝上；n：至多一枚正面朝上，则下列事件为对立事件的是()A. p与qB. l与mC. q与lD. l与n【答案】B【解析】解：任意抛两枚一元硬币，记事件p：恰好一枚正面朝上；q：恰好两枚正面朝上；l：恰好两枚正面朝下；m：至少一枚正面朝上；n：至多一枚正面朝上，在A中，p与q不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故A错误；在B中，l与m即不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故B正确；在C中，q与l不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故C错误；在D中，l与n能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选：B．利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．本题考查对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.已知集合A={a,1}，B={a2,0}，那么“a=−1”是“A∩B≠⌀”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：当a=−1时，A={−1,1}，B={1,0}，则A∩B={1}≠⌀成立，即充分性成立，若A∩B≠⌀，则a2=1或a2=a，即a=1或a=−1或a=0，当a=1时，A={1,1}不成立，当a=−1时，A={−1,1}，B={1,0}，则A∩B={1}≠⌀成立，当a=0时，B={0,0}不成立，综上a=−1，即“a=−1”是“A∩B≠⌀”的充要条件，故选：C．根据集合交集的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合交集的定义进行运算是解决本题的关键．3. 利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )A. 14B. 13C. 514D. 1027【答案】C【解析】根据题意，9n−1=13，解得n =28.故每个个体被抽到的概率为1028=514．4. 已知圆C ：x 2+y 2−8x +15=0，直线y =kx +2上至少存在一点P ，使得以P为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是( )A. [−35,1]B. [−54,1]C. [−43,0]D. [−53,0]【答案】C【解析】解：问题等价于圆心(4,0)到直线l 的距离小于等于2， ∴√k 2+1≤2，解得−43≤k ≤0，故选：C ．问题等价于圆心(4,0)到直线l 的距离小于等于2．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．5. 已知在平行六面体ABCD −A′B′C′D′中，AB =3，AD =4，AA′=5，∠BAD =120°，∠BAA′=60°，∠DAA′=90°，则AC′的长为( )A. 5√2B. 5√3C. √58D. √53【答案】D 【解析】【分析】本题考查空间向量的模长和夹角的余弦值的运算，化向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是解决问题的关键，属中档题．可得AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由数量积的运算可得|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，开方可得．【解答】解：在平行六面体ABCD −A′B′C′D′中，AB =3，AD =4，AA′=5，∠BAD =120°，∠BAA′=60°，∠DAA′=90°，可得AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=32+42+52+2(−3×4×12+3×5×12+4×5×0)=53，故AC ′的长等于|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√53．故选：D ．6. 某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12.若要使该总体的标准差最小，则4x +2y 的值是A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】A 【解析】【分析】有数据的中位数为12，能推导出x +y 以及平均数，要使总体方差最小，只要(x +10−11.4)2+(y +10−11.4)2最小即可，本题主要考查利用茎叶图整理、分析，数据估计、推断数据的能力，属于中档题．【解答】解：由题可知该十个数据的中位数为12，故x+y+202=12，即x +y =4，则总体平均数=110(2+2+3+4+x +10+y +10+19+19+20+21)=11.4，要使总体的方差最小，只要(x +10−11.4)2+(y +10−11.4)2最小，即(x +10−11.4)2+(y +10−11.4)2≥2(x+10+y+10−22.82)2=0.72，当且仅当x =y =2时可以去等号，故4x +2y =12，故选A ．7. 已知函数，若对任意x 1∈[1,+∞)，总存在，使f(x 1)=g(x 2)，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,12) B.C.D. (1,32]∪[74,2]【答案】B 【解析】【分析】本题考查函数的值域，集合的子集关系，及集合关系中的参数取值问题，属于一般题．先求出函数f(x)的值域A ，设g(x)的值域B ，由题意知A 是B 的子集，从而可以求得实数a 的取值范围．【解答】解：因为x ≥1，所以函数f(x)=2x−2≥12，所以函数f(x)的值域A =[12,+∞),设g(x)的值域B ，由题意知A 是B 的子集，当x <0时，函数g(x)=x 2+2a 为减函数，所以g(x)>2a ，当x ≥0时函数g(x)∈[2−|a |,2+|a |]， (1)当2a <12即a <14时，满足A 是B 的子集，(2)当a ≥14时，{2−a ≤122+a ≥2a，解得32≤a ≤2，综上，a <14或32≤a ≤2，故选B ．8. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，侧面PAD 是边长为4的正三角形底面ABCD 为正方形侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为平面ABCD 上的动点，且满足MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点M 到直线AB 的最远距离为( )A. 2√5B. 3+√5C. 4+√5D. 4+2√2【答案】B 【解析】【分析】取AD 中点E ，易证PE ⊥平面ABCD ，利用数量积为0，可得MP ⊥MC ，即点M 在以PC 为直径的球面被平面ABCD 截得的球面上，问题转会化为求圆上点到直线的距离最值问题．此题考查了线面垂直，面面垂直，圆上的点到直线的距离最值问题等，难度适中．【解答】解：如图，在正三角形PAD 中取AD 中点E ，连接PE ，CE ，则PE ⊥AD∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AD 是平面PAD 和平面ABCD 的交线， ∴PE ⊥平面ABCD ， ∵EC ⊂平面ABCD ， ∴PE ⊥EC ，取PC 中点O ，EC 中点O ′，连接OO ′，则OO ′//PE ， ∴OO ′⊥平面ABCD ，由MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得MP ⊥MC ，可知M 可与E 重合，且点M在以PC为直径的球面上，又M为平面ABCD上的点，故M在以O′为圆心，以O′E为半径的圆上，过O′作FH//AD，通过计算不难得出O′E=√5，O′F=3，故圆O′上的点M到直线AB的最远距离为3+√5，故选：B．二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列命题中错误的是()A. 空间中任意两个非零向量a⃗,b⃗ 共面B. 若{a⃗,b⃗ ,c⃗ }是空间中的一个基底，则a⃗,b⃗ ,c⃗中至多有一个零向量C. 直线的方向向量是唯一确定的D. 若a⃗⋅b⃗ <0，则<a⃗,b⃗ >是钝角【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查了空间的向量的共线定理、共面定理的应用，基底的概念与判定，以及向量的夹角的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.可由空间向量的相关知识对各选项逐个判断．【解答】解：对于A中，空间中任意两个非零向量a⃗,b⃗ 可以平移到某一个共面内，A正确；对于B中，由{a⃗,b⃗ ,c⃗}是空间中的一组基底，则向量a⃗,b⃗ ,c⃗不共面，则a⃗,b⃗ ,c⃗中没有零向量，B错误；对于C中，.直线的方向向量有无数个，它们方向相同或相反，模可大可小，C错误；,π]，对于D中，若a⃗⋅b⃗ <0，又由⟨a⃗,b⃗ ⟩∈[0,π]，即<a⃗,b⃗ >可以为π，所以⟨a⃗,b⃗ ⟩∈(π2D错误．故选：BCD．10.下列说法正确的是()A. 已知随机变量X∼B(n,p)，若E(X)=30，V(X)=20，则p=23B. 在△ABC中cosB>cosA是A>B的充要条件C. 已知A n3=C n4，则n=27D. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得1件次品的概率为4591【答案】CDB【解析】【分析】本题考查二项分布的期望和方差，二项展开式的特定项的系数，排列数和组合数公式，超几何分布，属于中档题．根据二项分布的期望和方差，二项展开式特定项的系数，排列数和组合数公式，超几何分布逐一判断即可得出答案．【解答】解：对于A:根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得E(X)=np=30，V(X)=np(1−p)=20，解得p=13，所以A错误；对于B：∵A，B∈(0,π)，y=cosx在x∈(0,π)时单调递减，∴cosB>cosA⇔B<A，故B正确；对于C：由，得n(n−1)(n−2)=n(n−1)(n−2)(n−3)4×3×2×1，解得n=27，故C正确；对于D:设随机变量X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，所以P(X=1)=C102C41 C143=4591，故D正确．故选BCD．11.下列有关说法正确的是()A. (12x−2y)5的展开式中含x2y3项的二项式系数为20；B. 事件A∪B为必然事件，则事件A、B是互为对立事件；C. 设随机变量ξ服从正态分布N(μ,7)，若P(ξ<2)=P(ξ>4)，则μ与Dξ的值分别为μ=3，Dξ=7；D. 安排5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是126种．【答案】CD【解析】【分析】本题考查了二项式定理，必然事件和对立事件的概念，正态分布以及两个计数原理的综合应用，属于较难题．对选项ABCD依次进行分析，判断各个命题即可得到答案．【解答】解：对A，(12x−2y)5的展开式的通项为T r+1=C5r(12)5−rx5−r(−2)r y r，包含x2y3项的r=3，其二项式系数为C53=10，故A错误；对B，事件A∪B为必然事件，则事件A，B是互为对立事件，错误，例如在抛掷骰子试验中，事件A表示向上数字大于等于3，事件B表示向上数字为小于等于3，故B错误；对C，设随机变量ξ服从正态分布N(μ,7)，若P(ξ<2)=P(ξ>4)，则μ=2+42=3，Dξ=σ2=7，故C正确；对D，根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；由分类加法计数原理，可得共有18+36+72=126种，故D正确；综上，说法正确的是CD，故选CD．12.如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是()A. B.C. 向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是60°D. BD 1与AC 所成角的余弦值为√63【答案】AB 【解析】【试题解析】【分析】本题考查了空间向量的线性、数量积运算，考查了平行六面体的性质，属于中档题．利用平行六面体的性质，空间向量的线性、数量积运算判定即可．【解答】解：以顶点A 为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60∘，可设棱长为1，则AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos60∘=12，对于A ，(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+1+1+3×2×12=6，而2AC 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2(1+1+2×12)=2×3=6，所以A 正确；对于B ，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0，所以B 正确；对于C ，向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，显然△AA 1D 为等边三角形，则∠AA 1D =60∘，所以向量A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是120∘，向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是120∘，所以C 不正确；又BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√3， BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=1，所以cos⟨BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ |BD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√3=√66，所以D 不正确．故选：AB ．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 一个车间为了规定工作原理，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：由表中数据，求得线性回归方程y ̂=0.66x +a ，则估计加工70个零件时间为______分钟(精确到0.1)．【答案】101.7 【解析】【分析】本题考查了线性回归方程，属基础题．先求出样本中心点，再根据回归直线过样本中心点得a ，从而得回归直线方程，再令x =70代入计算可得．【解答】解：x −=15+20+30+40+505=31，y −=65+70+75+80+905=76，∴76=0.66×31+a ，解得a =55.54，即ŷ=0.66x +55.54， ∴x =70时，y ≈101.7，故答案为：101.7．14. 已知空间四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =d⃗ ，若MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x b ⃗ +y c ⃗ +z d ⃗ (x,y,z ∈R)，则y =______．【答案】23【解析】解：如图所示，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CD ⃗⃗⃗⃗⃗=AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ +23c ⃗ +13d ⃗ ． ∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x b ⃗ +y c ⃗ +z d ⃗ (x,y ，z ∈R)， ∴y =23．故答案为：23．如图所示，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ +23c ⃗ +13d ⃗ ，与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x b ⃗ +y c ⃗ +z d ⃗ (x,y ，z ∈R)，比较即可得出．本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 有6张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3从中任取4张，可排出不同的四位数的个数_____．【答案】38 【解析】【分析】本题考查两个计数原理的综合应用，考查排列、组合的综合应用，解题时注意其中重复的数字，属于中档题．根据题意，按取出数字是否重复分3种情况讨论：①取出的4张卡片中有2个数字重复，则2个重复的数字为1或2；②取出的4张卡片为2张1和2张2；③取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类加法计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①取出的4张卡片中有2个数字重复，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，另两个数字为2、3，有A 42·1=12种情况，若重复的数字为2，另两个数字为1、3，有A 42·1=12种情况，共有12+12=24种； ②若取出的4张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有C 42=6种情况，剩余位置安排两个2，则可以排出6×1=6个四位数;③取出的4张卡片中有3个重复数字，则重复的数字为1，在2、3中取出1个卡片，有C 21=2种取法，安排在四个位置中，有C 41=4种情况，剩余位置安排1，可以排出2×4=8个四位数;则一共有24+6+8=38个四位数．故答案为38．16.若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1>0”是假命题，则实数a的取值范围是______．【答案】(−∞,1]【解析】【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了二次函数的图象和性质，属于中档题..若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1>0”是假命题，则¬p是真命题，根据a的取值分类讨论，进而得到实数a的取值范围．【解答】解：若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1>0”是假命题，则∃x∈R，ax2+2x+1≤0为真命题，当a=0时，y=2x+1为一次函数，满足条件；当a<0时，y=ax2+2x+1是图象开口朝下的二次函数，满足条件；当a>0时，y=ax2+2x+1是图象开口朝上的二次函数，则函数图象与x轴有交点，即Δ=4−4a≥0，解得0<a≤1．综上，实数a的取值范围是(−∞,1],故答案为(−∞,1]．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：∃x0∈[−1,1]，x02−x0−m≥0是假命题．(Ⅰ)求实数m的取值集合B；(Ⅱ)设不等式(x−3a)(x−a−2)<0的解集为A.若x∈B是x∈A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)根据题意可得命题：“，都有不等式，成立”是真命题，得在−1≤x≤1恒成立，得m>2，即B=(2,+∞)．(Ⅱ)不等式，①当3a>2+a，即a>1时，解集A=(2+a,3a)，若x∈B是x∈A的必要不充分条件，则A⫋B，∴2+a≥2，此时a∈(1,+∞)．②当3a=2+a即a=1时解集A=⌀，若x∈B是x∈A的必要不充分条件，则A⫋B成立．③当3a<2+a，即a<1时解集A=(3a,2+a)，若x∈B是x∈A的必要不充分条件，则A⫋B成立，,1)．∴3a≥2此时a∈[23,+∞)．综上①②③：a∈[23【解析】【试题解析】本题主要考查了一元二次不等式的解法和充分必要条件在集合中的综合应用．(Ⅰ)分离出m，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出(x2−x)max，求出m的范围．(Ⅱ)通过对二次不等式对应的两个根大小的讨论，写出集合A，“x∈B是x∈A的必要不充分条件”即A⫋B，求出a的范围．18.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒子不放球，共有多少种放法？(2)恰有1个盒子内放2个球，共有多少种放法？(3)恰有2个盒子不放球，共有多少种放法？【答案】解：(1)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1的三组，有C42种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计数原理，共有放法：C 41C 42C 21A 22=144种．(2)“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此，“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事．故也有144种放法.(3)先从四个盒子中任意拿走两个有C 42种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”，从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C 43C 22种放法；第二类：有C 42种放法.因此共有C 43·C 21+C 43=14种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有：C 42·14=84种．【解析】本小题主要考查两个计数原理和排列组合的综合应用.两个计数原理是解决这类问题的基础，而排列组合的准确灵活应用是解决这类问题的关键，要分清是排列问题还是组合问题，是分类还是分步，要坚持特殊元素优先和特殊位置优先的原则． (1)要明确“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事； (2)根据第一问的结果求解即可；(3)问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”是关键．19. 设(1+x)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，n ≥4，n ∈N ∗.已知a 32=2a 2a 4．(1)求n 的值；(2)设(1+√3)n =a +b √3，其中a ，b ∈N ∗，求a 2−3b 2的值．【答案】解：(1)由(1+x)n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+⋯+C n n x n ，n ≥4，可得a 2=C n2=n(n−1)2，a 3=C n3=n(n−1)(n−2)6，a 4=C n4=n(n−1)(n−2)(n−3)24，a 32=2a 2a 4，可得(n(n−1)(n−2)6)2=2⋅n(n−1)2⋅n(n−1)(n−2)(n−3)24，解得n =5；(2)方法一、(1+√3)5=C50+C51√3+C52(√3)2+C53(√3)3+C54(√3)4+C55(√3)5=a+ b√3，由于a，b∈N∗，可得a=C50+3C52+9C54=1+30+45=76，b=C51+3C53+9C55= 44，可得a2−3b2=762−3×442=−32；方法二、(1+√3)5=C50+C51√3+C52(√3)2+C53(√3)3+C54(√3)4+C55(√3)5=a+b√3，(1−√3)5=C50+C51(−√3)+C52(−√3)2+C53(−√3)3+C54(−√3)4+C55(−√3)5=C50−C51√3+C52(√3)2−C53(√3)3+C54(√3)4−C55(√3)5，由于a，b∈N∗，可得(1−√3)5=a−b√3，可得a2−3b2=(1+√3)5⋅(1−√3)5=(1−3)5=−32．【解析】(1)运用二项式定理，分别求得a2，a3，a4，结合组合数公式，解方程可得n 的值；(2)方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；方法二、由于a，b∈N∗，求得(1−√3)5=a−b√3，再由平方差公式，计算可得所求值．本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．20.为了了解我市参加2018年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取60名同学将其成绩(百分制，均为正数)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)六组后，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形，回答下列问题：(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、均值；(3)根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要所少分？【答案】解：(1)分数在[70,80)内的频率为：1−(0.010+0.015+0.020+0.025+0.05)=0.25．补全这个频率分布直方图如下图：=80，(2)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数为：70+902均值为：45×0.01×10+55×0.015×10+65×0.020×10+75×0.025×10+85×0.025×10+95×0.005×10=70.5．(3)根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，[90,100)的频率为0.005×10=0.05，[80,90)的频率为0.025×10=0.25，∴估计获奖的同学至少需要的分数为：×10=88(分)．90−0.1−0.050.25【解析】(1)先求出分数在[70,80)内的频率，由此能求出结果．(2)根据频率分布直方图，能估计本次考试成绩的众数和平均数．(3)根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，[90,100)的频率为0.05，[80,90)的频率为0.25，由此能估计获奖的同学至少需要的分数．本题考查样本频数众数、均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．21.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y=2x−4，设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y=x−3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．【答案】解：(1)由题设，圆心C在y=x−3上，也在直线y=2x−4上，设切点的横坐标为a，2a−4=a−3，∴a=1，∴C(1,−2)．∴⊙C：(x−1)2+(y+2)2=1，=1，由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx−y+3=0，则√1+k2，…(4分)解得：k=−125x+3，又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=−125即x=0或12x+5y−15=0；(2)设点M(x,y)，由|MA|=2|MO|，化简得：x2+(y+1)2=4，∴点M的轨迹为以(0,−1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=√a2+(2a−3)2，∴1≤√a2+(2a−3)2≤3，．解得：0≤a≤125【解析】(1)先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程；(2)设出点C，M的坐标，利用|MA|=2|MO|，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论．此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．22.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1上一点．(1)三角形EFC 1是否可以是钝角三角形？说明理由．(2)当FB 1=2FB 时，在棱AB 上找一点M ，使E ，F ，C 1，M 四点共面．【答案】解：(1)设正方体的棱长为1，分别以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为单位正交基底建立空间直角坐标系A −xyz ，则A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(1,1，0)，D(0,1，0)，E(0,1,12)，C 1(1,1，1)，设F(1,0，λ)(0≤λ≤1)，则C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,λ−1)，C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,−12)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,λ−12)，C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12(λ−1)⩾0，C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+(λ−1)(λ−12)=λ2−32λ+32=(λ−34)2+1516>0，C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1−12(λ−12)=−12λ−34<0，C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，，，，∴△EFC 1不可能为钝角三角形； (2)由FB 1=2BF 可得F(1,0,13)，设M(x,0，0).E 、F 、C 1、M 共面时，平面AA 1B 1B ∩平面EC 1FM =MF ，平面CC 1D 1D ∩平面EC 1FM =C 1E ，平面AA 1B 1B//平面CC 1D 1D ， ∴MF//C 1E ， ∴MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴1−x =23， ∴x =13，即当AM =13AB 时，E 、F 、C 1、M 共面．【解析】本题考查了空间向量的数量积，面面平行的性质．(1)分别以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为单位正交基底建立空间直角坐标系A −xyz ，写出A ，S ，C ，D ，E ，C 1的坐标，计算C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−34)2+1516>0，从而，，，从而得出△EFC 1不可能为钝角三角形；(2)由FB 1=2BF 可得F(1,0,13)，利用面面平行的性质得出MF//C 1E ，进而MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB时，E、F、C1、M共面．从而得出当AM=13。

2020年秋高二数学期末模拟试卷及答案

合集下载

最新版2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(一)(文科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(四)(文科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(一)(理科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(十)(理科)

2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案(四)(理科)

2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案(一)(理科)

最新版2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(六)(文科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(九)(文科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(七)(文科)

最新版2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(四)(文科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(八)(理科)

黑龙江省八校2020年秋高二数学上学期期末摸底考试卷附答案解析

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(一)(文科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(八)(文科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(五)(理科)

2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案(四)(理科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(十)(文科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(十)(理科)

2020年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(四)(理科)

相关主题

文档推荐

最新文档