高二数学期中模拟试卷3+参考答案

2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√322．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√557．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．−748．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为1012．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= ． 14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ ．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值．20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形，M ，Q 分别为AC ，A 1B 1的中点，且MQ ⊥AB ． （1）证明：MC 1⊥AB ．（2）若BB 1＝4，MQ =√15，求平面MB 1C 1与平面MC 1Q 夹角的余弦值．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√32解：将l 的方程转化为y =−2√33x +√33，则l 的斜率为−2√33． 故选：A ．2．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）解：因为方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，所以42+22+4m ＞0，解得m ＞﹣5． 故选：B ．3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：椭圆E ：x 29+y 25=1，可知a ＝3，因为P 是椭圆E 上一点，所以|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6﹣|PF 1|＝4． 故选：D ．4．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →解：因为P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，故以A 为坐标原点，AB ，AC ，P A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，令AB ＝a ，AC ＝b ，P A ＝c ，则A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，b ，0），D(0，34b ，14c)， 则AC →=(0，b ，0)，BD →=(−a ，34b ，14c)，所以BD →在AC →方向上的投影向量为AC →⋅BD →|AC →|⋅AC →|AC →|=34b 2|b|⋅AC →|b|=34AC →．故选：A ．5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）解：∵O 1与O 2相交， ∴|r ﹣5|＜|O 1O 2|＜|r +5|， 又|O 1O 2|＝7，∴|r ﹣5|＜7＜|r +5|，解得2＜r ＜12． 故选：D ．6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√55解：由题意得，BA →=(2，2，0)，BC →=(2，0，−1)，则BA →在BC →上的投影向量的模为|BA →⋅BC →||BC →|=√5，则点A 到直线BC 的距离为√|BA →|2−(|BA →⋅BC →||BC →|)2=√(√8)2−(4√5)2=2√305． 故选：A ．7．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．−74解：由已知直线l 的方程为y =b ax ，即bx ﹣ay ＝0，点F （c ，0），则|FA|=|bc|√b +(−a)2=b ，因为FB →=BA →，所以B 为线段AF 的中点，则|BF|=b2， 设双曲线C 的左焦点为F 1，则|BF 1|=2a +b2， 在△BFF 1中，由余弦定理可得：cos ∠BFF 1=|BF|2+|FF 1|2−|BF 1|22|BF||FF 1|=b 24+4c 2−(2a+b 2)22×b2×2c=2b−ac， 又cos ∠BFF 1=bc ，所以a ＝b ，故l 的斜率为1， 故选：B ．8．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117解：√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8=√(x −9)2+y 2+√(x −2)2+(y −2)2， 该式表示直线l ：2x ﹣y +2＝0上一点到P （9，0），Q （2，2）两点距离之和的最小值． 而P ，Q 两点在l 的同一侧，设点P 关于l 对称的点P ′（x 0，y 0），则{y 0−0x 0−9=−122×x 0+92−y 0+02+2=0，解得{x 0=−7y 0=8，∴P ′（﹣7，8），故√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8≥|P′Q|=√(−7−2)+(8−2)2=3√13． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→解：BC →−A 1A →=AD →+AA 1→=AD 1→，A 正确，B 不正确，又因为EF →=12A 1C 1→，故C 正确，D 不正确． 故选：AC ．10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：A ．取m ＝1，则直线l ：y ＝x +1与曲线C ：x 2+y 2＝1满足图中的位置关系，因此A 正确； B ．联立{y =mx +1x 2+my 2=1，化为（1+m 3）x 2+2m 2x +m ﹣1＝0，若直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1有交点，则Δ＝4m 4﹣4（1+m 3）（m ﹣1）＝m 3﹣m +1＞0． 由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，满足Δ＞0，因此B 正确；C ．由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，直线l 与椭圆应该有交点，因此C 不正确；D ．由图可知：直线l 经过点（1，0），则m ＝﹣1，联立{y =−x +1x 2−y 2=1，化为x ＝1，y ＝0，即直线l 与双曲线的交点为（1，0），因此D 正确． 故选：ABD ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为10解：A 、B 选项，由椭圆的定义得，|PF 1|+|PF 2|＝2a ，已知|PF 1|=43|PF 2|，解得|PF 1|=87a ，|PF 2|=67a ，由cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=4c 2−47a 2247ac=35， 整理得5a 2+18ac ﹣35c 2＝0，即（a +5c ）（5a ﹣7c ）＝0，则a ＝﹣5c （舍去）或a =75c ，即c a=57，故椭圆E 的离心率为57，故A 正确，B 不正确；C 选项，由a =75c ，得|F 1F 2|=2c =107a ，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，故PF 1⊥PF 2，故C 正确； D 选项，由PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2内切圆的半径为2，得2c ＝2a ﹣4，因为a =75c ，所以c ＝5，即椭圆E 的焦距为10，故D 正确． 故选：ACD ．12．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63解：设F ，G 在平面ABCD 的投影分别为AB ，BC 的中点R ，S ，由于AF =√5，AB ＝4，所以F 到平面ABCD 的距离为FR =√AF 2−(12AB)2=1， 由于上、下两层等高，所以P 到平面ABCD 的距离为2，又FG =RS =12AC =2√2，由于GS ＝FR ＝1，BS =RB =12×4=2 所以BG =GC =√GS 2+BS 2=√5=BF =AF ，所以△AFB ≌△BGC ，同理可得△CDH ≌△ADE ≌△AFB ≌△BGC ，△BFG ≌△CHG ≌△DEH ≌△AEF ， 则点B 到FG 的距离为√BF 2−(12FG)2=√(√5)2−(√2)2=√3，则△ABF 的面积为12AB ⋅FR =12×4×1=2，△BFG 的面积为12×2√2×√3=√6，故该几何体的表面积4×2+4×√6+4×4+2√2×2√2+2√2×4=32+8√2+4√6，故A 正确； 将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上， 且A 、B 、C 、D ，N 、P 、Q 、M 均在球面上，设球心到下底面ABCD 的距离为x ， 由于四边形MNPQ 为边长为2√2的正方形，四边形ABCD 为边长为4的正方形， 则其对角线长度分别为4，4√2，则(2√2)2+x 2=22+(2−x)2，解得x ＝0，则该球体的半径为2√2，体积为4π3×(2√2)3=64√2π3，故B 错误；以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C （4，4，0），P （2，0，2），B （4，0，0），F （2，0，1），G （4，2，1），M （2，4，2），CP →=(−2，−4，2)，BF →=（﹣2，0，1），BG →=(0，2，1)，BM →=（﹣2，4，2）， 平面ABF 的一个法向量为m →=（0，1，0），则cos ＜CP →，m →＞=−42√6=−√63，设直线CP 与平面ABF 所成角为θ，则sinθ=|cos ＜CP →，m →＞|=√63，故直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63，故C 正确； 设平面BFG 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅BF →=−2x 1+z 1=0n →⋅BG →=2y 1+z 1=0，令x 1＝1，得n →=（1，﹣1，2）， 则点M 到平面BFG 的距离为|n →⋅BM →||n →|=222=√63，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= 5 ． 解：由题可知，N （3，0，4），则ON →=(3，0，4)，∴|ON →|=√32+42=5． 故答案为：5．14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ 1 ．解：由题可知（m +1）+（m 2﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝1或m ＝﹣1（舍去），∴m ＝1． 故答案为：1．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 √3x −y =0 ．解：圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1①，则圆心C （0，1）， 以C （0，1），M （√3，0）为直径的圆的方程为：(x −√32)2+(y −12)2=1②，①﹣②可得，√3x −y =0，故直线AB 的方程为√3x −y =0． 故答案为：√3x −y =0．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为7√111111．解：设I ∩AA 1＝P ，连接NP ，MP ，直线NP 即为直线l ．易证得MP ∥CN ，由AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，得AP =13AA 1，以D 为坐标原点，DA ．DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝6，则得：N （0，0，3），P （6，0，2），A （6，0，0），C 1（0，6，6）， NP →=（6，0，﹣1），AC 1→=（﹣6，6，6）， 所以得：|cos ＜NP →，AC 1→＞|=|NP →⋅AC 1→||NP →|⋅|AC 1→|=37×63=7√111111，故直线与直线 AC 1 所成角的余弦值为7√111111．故答案为：7√111111． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值． 解：（1）因为a ＝1，所以l 1：x +y +1＝0，l 2：2x +4y ﹣4＝0，即x +2y ﹣2＝0， 联立{x +y +1=0x +2y −2=0解得{x =−4y =3，故直线l 1与l 2的交点坐标为（﹣4，3）．（2）因为l 1∥l 2，所以2a 2﹣a ﹣3＝0，解得a ＝﹣1或a =32， 当a ＝﹣1时，l 1与l 2重合，不符合题意． 当a =32时，l 1与l 2不重合，符合题意． 故a =32．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．解：（1）证明：因为E ，F 分别为P A ，PC 的中点， 所以BE →=12BA →+12BP →，BF →=12BC →+12BP →， 所以BG →=BD →+DG →=BD →+23DP →=BD →+23(BP →−BD →)=13BD →+23BP →=13BA →+13BC →+23BP →=23(12BA →+12BP →)+23(12BC →+12BP →)=23BE →+23BF →， 故B ，E ，G ，F 四点共面；（2）由正四棱锥的对称性知，V 1＝2V E ﹣PBG ，V 2＝2V A ﹣PBD ， 设点E 到平面PBG 的距离为d 1，点A 到平面PBD 的距离为d 2，由E 是P A 的中点得d 2＝2d 1， 由DG →=2GP →得S △PBD ＝3S △PBG ，所以V 1V 2=V E−PBG V A−PBD=13S △PBG ⋅d 113S △PBD ⋅d 2=16．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值． 解：（1）设M （x ，y ），则Q （x ，0）， 因为PQ →=2PM →，则P （x ，2y ）， 因为P 在圆C 上，所以x 2+（2y ）2＝12， 故E 的方程为x 212+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若A ，B 是E 上两点，则{x 1212+y 123=1x 2212+y 223=1， 两式相减得x 12−x 2212+y 12−y 223=0，即y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)．因为线段AB 的中点坐标为(−85，25)，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)=1，所以k AB ＝1，则直线AB 的方程为y ＝x +2．联立方程组{y =x +2x 212+y 23=1，整理得5x 2+16x +4＝0，其中Δ＞0， 则x 1+x 2=−165，x 1x 2=45， |AB|=√1+12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√225． 20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）解：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，由图形可得A（﹣8，0），B（8，0），D（0，4），设该圆的半径为r米，则r2＝82+（r﹣4）2，解得r＝10，圆心为（0，﹣6），故该圆弧所在圆的方程为x2+（y+6）2＝100．（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则(d2)2+(6+1.6)2=102，解得d=2√42.24．若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5＜2√42.24．隧道能并排通过4辆该种汽车；若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5＞2√42.24，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，A1B1的中点，且MQ⊥AB．（1）证明：MC1⊥AB．（2）若BB1＝4，MQ=√15，求平面MB1C1与平面MC1Q夹角的余弦值．（1）证明：因为△A1B1C1是等边三角形，Q为A1B1的中点，所以C1Q⊥A1B1，又AB∥A1B1，所以C1Q⊥AB，因为MQ⊥AB，C1Q∩MQ＝Q，所以AB⊥平面MC1Q，又MC1⊂平面C1MQ，所以MC1⊥AB；（2）解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得MN∥C1Q，则MN⊥AB，且MN=√32，由BB 1＝4，得QN =3√72，因为MQ =√15，所以MQ 2+MN 2＝QN 2， 即MQ ⊥MN ，又MQ ⊥AB ，从而MQ ⊥平面ABC ，以M 为坐标原点，MN 所在直线为x 轴，MQ 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M （0，0，0），B 1（0，1，√15），C 1（−√3，0，√15）， 则MB 1→=（0，1，√15），MC 1→=（−√3，0，√15）， 设平面MB 1C 1的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅MB 1→=y +√15z =0m →⋅MC 1→=−√3x +√15z =0，令z ＝1，得m →=(√5，−√15，1)，由图可知，n →=（0，1，0）是平面MC 1Q 的一个法向量，设平面MB 1C 1与平面MC 1Q 的夹角为θ，则cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=√1521=√357．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．解：（1）∵F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点，∴{a 2+b 2=10409a2−69b2=1，解得a 2＝4，b 2＝6，∴E 的方程为x 24−y 26=1．（2）证明：设T （1，m ），由题意得直线l 1的斜率存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ﹣m ＝k （x ﹣1），则直线l 2的方程为y ﹣m ＝﹣k （x ﹣1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 联立方程组{y −m =k(x −1)x 24−y 26=1，整理得（3﹣2k 2）x 2+（4k 2﹣4km ）x ﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12＝0，Δ＝（4k 2﹣4km ）2﹣（12﹣8k 2）（﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12）＝﹣72k 2﹣48km +24m 2+144＞0， 则x 1+x 2=4k 2−4km 2k 2−3，x 1x 2=2k 2−4km+2m 2+122k 2−3，|AT |=√1+k 2|x 1−1|，|BT |=√1+k 2|x 2﹣1|，|CT |=√1+k 2|x 3﹣1|，|DT |=√1+k 2|x 4﹣1|， ∴|AT ||BT |＝（1+k 2）|（x 1﹣1）（x 2﹣1）|＝（1+k 2）|x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1| ＝（1+k 2）|2k 2−4km+2m 2+122k 2−3−4k 2−4km 2k 2−3+1|＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3|，同理，|CT ||DT |＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3，∴|AT||DT|=|CT||BT|，∴△ACT ∽△DBT ，∴∠ABD ＝∠ACD ．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！期中检测卷03姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在等比数列{a n}中，若a4＝3，a9＝96，则a1＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】设出等比数列的公比，利用已知条件求出公比与首项即可．【解答】解：在等比数列{a n}中，若a4＝3，a9＝96，设公比为q，有，有q＝2，则．故选：B．【知识点】等比数列的通项公式2.函数的导函数为f'（x），则f'（x）＞0的解集为（ ）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（0，+∞）【答案】B【分析】先求出函数f（x）导数，再利用f'（x）＞0及函数f（x）的定义域即可解得0＜x＜1．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝，即，解得0＜x＜1．故选：B．【知识点】利用导数研究函数的单调性3.已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），f'（x）的部分图象如图所示，则（ ）A．f（x）在（3，+∞）上单调递增B．f（x）的最大值为f（1）C．f（x）的一个极大值为f（﹣1）D．f（x）的一个减区间为（1，3）【答案】D【分析】根据原函数的单调性与导函数之间的联系，结合各选项判断即可．【解答】解：由于图象只是f'（x）的部分图象，不能保证x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0恒成立，即A无法判断；f（1）是函数f（x）的一个极大值，但不一定是最大值，即B错误；f（﹣1）是函数f（x）的一个极小值，即C错误；当x∈（1，3）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，即D正确．故选：D．【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值4.已知等差数列{a n}，其前n项和为S n，若a3+a4＝12，S3＝S9，则S n的最大值为（ ）A．12B．24C．36D．48【答案】C【分析】利用等差数列通项公式求出a1＝11，d＝﹣2，求出等差数列的前n项和，由此能求出S n的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}，其前n项和为S n，a3+a4＝12，S3＝S9，∴，解得a1＝11，d＝﹣2，∴S n＝＝﹣（n﹣6）2+36．∴n＝6时，S n取最大值36．故选：C．【知识点】等差数列的性质5.在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢（ ）A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】根据具体大老鼠和小老鼠打洞的数值构成两个等比数列，利用等比数列的求和公式进行求解即可．【解答】解：大老鼠打洞构成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠打洞构成首项为1，公比为的等比数列，设相遇时是第n天，则满足+≥33，即2n﹣1+2﹣≥33，即2n﹣≥32，则f（n）＝2n﹣在n≥1上是增函数，∵f（5）＝25﹣＝32﹣＜32，f（6）＝26﹣＝64﹣＞32，∴相遇时是第6天，故选：B．【知识点】等比数列的前n项和6.已知函数f（x）＝，若对任意x1＞x2＞0，f（x1）＞f（x2）恒成立，则a的取值范围为（ ）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[e，+∞）D．[1，e]【答案】A【分析】求出函数的导数，问题转化为在（0，+∞）上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的取值范围即可．【解答】解：由题意知函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，因为f′（x）＝ax﹣lnx﹣1，所以转化为f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，因为x∈（0，+∞），所以在（0，+∞）上恒成立，即转化为，令，则，所以当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝1，所以a≥1，故选：A．【知识点】利用导数研究函数的最值7.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），恒为正数的f（x）符合f（x）＜f′（x）＜2f（x），则的取值范围为（ ）A．（e，2e）B．C．（e，e3）D．【答案】D【分析】分别构造函数g（x）＝，x∈（0，+∞），h（x）＝，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：令g（x）＝，x∈（0，+∞），∵∀x∈（0，+∞），f（x）＜f′（x），∴g′（x）＝＝＞0，∴g（x）＝在区间（0，+∞）上单调递增，∴g（1）＝＜＝g（2），∴＜①；再令h（x）＝，x∈（0，+∞），∵∀x∈（0，+∞），f′（x）＜2f（x）恒成立，∴h′（x）＝＝＜0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴h（1）＝＞＝h（2），∴＞②，综上①②可得：＜＜．故选：D．【知识点】利用导数研究函数的单调性8.已知数集S＝{a1，a2，a3，…，a n}（1≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j∈S或∈S成立，则（ ）A．若n＝3，则a1，a2，a3成等差数列B．若n＝4，则a1，a2，a3，a4成等比数列C．若n＝5，则a1，a2，a3，a4，a5成等差数列D．若n＝7，则a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7成等比数列【答案】D【分析】取特殊的数集，由性质P，符合条件，但是不符合A，B，C，故选D．【解答】解：A：n＝3时，取数集S＝{1，2，4}，也有对任意的i，j（1≤i≤j≤3），∈S成立，但a1，a2，a3不成等差数列，所以A不正确；B：n＝4时，取数集S＝{1，2，3，6}，也有对任意的i，j（1≤i≤j≤4），∈S成立，但a1，a2，a3，a4不成等比数列，所以B不正确；C：n＝5，取数集S＝{1，2，4，8，16}，也有对任意的i，j（1≤i≤j≤5），∈S成立，但a1，a2，a3，a4，a5不成等差数列，所以C不正确；故选：D．【知识点】等比数列的性质二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的；错选或多选不得分。

2023-2024学年山东省济南市高二上册期中考试数学模拟试题一、单选题1．下列关于空间向量的说法中正确的是（）A ．方向相反的两个向量是相反向量B ．空间中任意两个单位向量必相等C ．若向量,AB CD 满足AB CD > ，则AB CD>D ．相等向量其方向必相同【正确答案】D【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A 错误；单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B 错误；向量不能比较大小，故C 错误；相等向量其方向必相同，故D 正确；故选：D.2．两条直线1l ：210x y --=与2l ：3110x y +-=的交点坐标为（）．A ．(32)--，B ．(23)--，C ．(2)3，D ．(32)，【正确答案】C【分析】联立两直线的方程，解方程组即可求解.【详解】因为直线1l ：210x y --=，直线2l ：3110x y +-=，由2103110x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩，所以1l 与2l 两条直线的交点坐标为(2)3，，故选：C.3．已知(2,1)M 、(1,5)N -，则MN =（）．AB ．4C ．5D【正确答案】C【分析】利用两点间距离公式即可求解.【详解】因为(2,1)M 、(1,5)N -，所以5MN ==，故选：C.4．原点到直线250x y +-=的距离为（）A ．1BC ．2D【正确答案】D【分析】利用点到直线的距离公式，求得所求的距离.【详解】由点到直线距离可知所求距离d ==故选：D本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.5．已知直线51230x y +-=与直线512100x y ++=平行，则它们之间的距离是（）A ．1B ．2C ．12D ．4【正确答案】A【分析】直接利用两平行直线之间的距离公式计算即可.1=.故选：A.6．圆224240x y x y +-++=的半径和圆心坐标分别为A ．1;(2,1)r =-B ．2;(2,1)r =-C ．2;(2,1)r =-D ．1;(2,1)r =-【正确答案】D【详解】22(2)(1)1x y -++=∴ 半径和圆心坐标分别为()1;2,1r =-,选D7．椭圆22125169x y +=的焦点坐标为（）A ．(5,0),(5,0)-B ．(05),(05)-,,C ．(0,12),(0,12)-D ．(12,0),(12,0)-【正确答案】C【分析】由方程可得22,a b ，结合椭圆中,,a b c 的关系及焦点位置可得焦点坐标.【详解】因为椭圆的方程为22125169x y +=，所以焦点在y 上，且22169,25a b ==，由22216925144c a b =-=-=可得12c =，所以焦点为(0,12),(0,12)-.故选：C.本题主要考查椭圆的焦点坐标，利用方程求解焦点时，一看焦点位置，二算焦距大小，侧重考查数学运算的核心素养.8．已知两个异面直线的方向向量分别为a ，b ，且|a |＝|b |＝1，a •12b=-，则两直线的夹角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【正确答案】B【分析】先求出向量,a b的夹角，再利用异面直线角的定义直接求解即可【详解】设两直线的夹角为θ，则由题意可得1×1×cos a ＜，12b =- ＞，∴cos a ＜，12b =-＞，∴a ＜，23b π=＞，∴θ3π=，故选：B ．本题主要考查两个向量的数量积的定义，注意两直线的夹角与a ＜，b＞的关系，属于基础题．9．椭圆22125x y +=上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【正确答案】D【分析】由椭圆的定义可得点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，再由点P 到一个焦点的距离为2，可得点P 到另一个焦点的距离．【详解】由椭圆22125x y +=，可得a ＝5、b ＝1，设它的两个焦点分别为F 、F ′，再由椭圆的定义可得|PF |+|PF '|＝2a ＝10，由于点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为8，故选：D ．本题主要考查椭圆的定义和标准方程的应用，属于中档题．10．若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（）A ．11B ．9C ．5D ．3【正确答案】B【分析】由双曲线的定义运算即可得解.【详解】由双曲线的定义得12||||26PF PF a -==，即23||6PF -=，因为2||0PF >，所以2||9PF =.故选：B.11．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线的斜率为2-，则m 的值为（）A ．8-B ．0C ．2D ．10【正确答案】A【分析】利用直线的斜率公式求解即可.【详解】解： 过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线的斜率为2-，422m m-∴=---，解得8m =-，故选：A.12．已知向量,m n 分别是直线l 与平面α的方向向量、法向量，若cos ,m n 〈〉=l 与α所成的角为（）A ．30︒B ．60︒C ．150︒D ．120︒【正确答案】B【分析】根据直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角与线面角之间的关系，可得线面角的正弦值，即可求得答案.【详解】设直线l 与α所成的角为,090θθ≤≤ ，因为向量,m n 分别是直线l 与平面α的方向向量、法向量，且cos ,m n 〈〉=，故cos sin ,|2|m n θ〈〉==，即得60θ= ，故选：B13．如果直线1l 的斜率为2，12l l ⊥，则直线2l 的斜率为（）A ．12-B ．2C ．12D ．-2【正确答案】A【分析】直接由两直线垂直则斜率乘积等于1-,计算可得2l 的斜率.【详解】由于直线1l 的斜率为2且12l l ⊥，所以直线2l 的斜率为12-.故选：A14．圆O 1：2220x y x +-=和圆O 2：2240x y y +-=的位置关系是A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切【正确答案】B【详解】试题分析：由题意可知圆1O 的圆心()11,0O ，半径11r =，圆2O 的圆心()20,2O ，半径12r =，又211212r r O O r r -<=<+，所以圆1O 和圆2O 的位置关系是相交，故选B ．圆与圆的位置关系．15．已知双曲线22x a -25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A ．14B ．4C ．32D ．43【正确答案】C【详解】由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝ca ＝32．16．直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离【正确答案】B【详解】试题分析：求出圆心到直线的距离d ，与圆的半径r 比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B直线与圆的位置关系．二、多选题17．设抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为4，则抛物线的方程是（）A ．28y x =-B ．28y x=C ．24y x=-D ．24y x=【正确答案】AB【分析】根据焦点到准线的距离为p 求解.【详解】解：因为焦点到准线的距离为4，所以4p =，根据四个选项可得28y x =-，28y x =满足4p =，故选：AB 三、单选题18．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x=±【正确答案】C【详解】2c e a ==，故2214b a =，即12b a =，故渐近线方程为12b y x x a =±=±.本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.19．已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ,00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（）A ．1B ．2C ．4D ．8【正确答案】A 【分析】解方程001544x x +=即得解.【详解】解：由题得抛物线的准线方程为14x =-，则有014AF x =+，即有001544x x +=，解得01x =．故选：A20．若抛物线()20y ax a =>的焦点与椭圆2212x y +=的上顶点重合，则=a （）A ．12B ．14C ．2D ．4【正确答案】B分别求得椭圆的上顶点和抛物线的焦点坐标，再利用重合求解.【详解】椭圆2212x y +=的上顶点是()0,1抛物线()20y ax a =>的焦点10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为两点重合所以114a=所以14a =故选：B本题主要考查了椭圆和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.四、多选题21．若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是12,αα，斜率分别为12,k k ，则下列命题正确的是（）A ．若斜率12k k =，则12l l ∥B ．若121k k =-，则12l l ⊥C ．若倾斜角12αα=，则12l l ∥D ．若12παα+=，则12l l ⊥【正确答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项ABC ，举反例可判断D.【详解】对于A,若两直线斜率12k k =，则它们的倾斜角12αα=，则12l l ∥，正确；对于B ，由两直线垂直的条件可知，若121k k =-，则12l l ⊥，正确；对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角12αα=，则12l l ∥，正确；对于D,若12παα+=，不妨取12π2π33,αα==，则1122tan tan k k αα====121k k =-，12,l l 不垂直，D 错误，故选：ABC22．下列命题中，正确的命题为（）A ．若1n ，2n分别是平面α，β的法向量，则12////n n αβ⇔B ．若1n ，2n分别是平面α，β的法向量，则120n n αβ⊥⇔⋅= C ．若n 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若l 与平面α平行，则//n aD ．0PM PN MN -+= 【正确答案】BD【分析】由面面位置关系以及法向量的概念判断A 、B ；由法向量的概念和直线方向向量的定义判断C ，根据空间向量线性运算法则判断D.【详解】解：对于A ，若1n ，2n分别是两个不重合平面α，β的法向量，则12////n n αβ⇔ ，故A中平面α，β可能平行或重合，故A 错误；对于B ，若1n ，2n分别是平面α，β的法向量，则120n n αβ⊥⇔⋅= ，故B 正确；对于C ，若n是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，l 与平面α平行，则n a ⊥ ，所以0n a ⋅= ，故C 错误；对于D ，0PM PN MN NM MN -+=+=，故D 正确．故选：BD ．23．已知双曲线方程为22832x y -=，则（）A ．焦距为6B ．虚轴长为4C ．实轴长为D ．离心率为4【正确答案】BCD【分析】求出双曲线的标准方程，得到a =2b =，6c =，对照选项即可求解.【详解】双曲线方程22832x y -=化为标准方程为：221324x y -=，可得：a =2b =，6c =，所以双曲线的焦距为212c =，虚轴长为24b =，实轴长为2a =，离心率4c e a ==，故选.BCD24．(多选)经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为（）A ．y 2＝xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－8xD ．x 2＝－8y【正确答案】AD【详解】当开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2p 1x (p 1>0)，则(－2)2＝8p 1，所以p 1＝12，所以抛物线方程为y 2＝x .当开口向下时，设抛物线方程为x 2＝－2p 2y (p 2>0)，则42＝4p 2，p 2＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .故选：AD25．已知(2,4)A --，(1,5)B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值可能为（）A ．3-B ．3C ．2-D ．1【正确答案】AB【分析】由点到直线的距离公式可得关于a 的方程，解方程即可．【详解】解：因为(2,4)A --，(1,5)B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，=即236a a +=+，化简得29a =，解得3a =±，所以实数a 的值可能为3±．故选：AB ．五、填空题26．若直线的倾斜角为135︒，则直线的斜率为________．【正确答案】1-【分析】根据斜率和倾斜角的关系求得直线的斜率.【详解】依题意，直线的斜率为135tan 1k =︒=-.故1-27．已知平面α的法向量u ＝(1,0，－1)，平面β的法向量v ＝(0，－1,1)，则平面α与β的夹角为________．【正确答案】【详解】∵cos 〈u ，v 〉＝＝－，∴〈u ，v 〉＝π，∴平面α与β的夹角是.28．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为10，焦距为6，则此椭圆的标准方程为____________.【正确答案】2212516y x +=【分析】依题意可得22221026a c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得a 、b ，即可得解.【详解】依题意，设椭圆方程为()222210,0y x a b a b +=>>，则22221026a c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得534a c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为2212516y x +=.故答案为.2212516y x +=29．以两点()2,0A -和()0,2B 为直径端点的圆的标准方程是___________.【正确答案】()()22112x y ++-=【分析】通过圆过定点A 和B ，以及线段AB 是直径，求出圆心和半径，即可求出圆的标准方程.【详解】解：由题意，在圆中，圆过()2,0A -和()0,2B ，且以AB 为直径，设圆心为C ，半径为r ，∴2012-+=-，0212+=，AB ==∴()1,1C -，12r AB =，∴以两点()2,0A -和()0,2B 为直径端点的圆的标准方程是：()()22112x y ++-=，故答案为.()()22112x y ++-=30．若经过点(),4m 和()22,m 的直线l 与斜率为1-的直线互相垂直，则m 的值是_______.【正确答案】3-【分析】分析可知，直线l 的斜率为1，利用斜率公式可得出关于实数m 的等式，解之即可.【详解】由题意可知，直线l 的斜率为2412m k m -==-且2m ≠，所以，21m --=，解得3m =-.故答案为.3-六、解答题31．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，12AA =，点D 是BC 的中点.(1)求直线AC 与平面1C AD 所成角的正弦值；(2)求平面1C AD 与平面ABC 的夹角的余弦值.【正确答案】33(2)33【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）解：在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，12AA =，点D 是BC 的中点．∴以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，()10,2,2C ，()1,1,0D ，所以()0,2,0AC = ，()10,2,2AC = ，()1,1,0AD = ，设平面1C AD 的法向量(,,)n x y z = ，则10220n AD x y n AC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，则1y =-，1z =，得()1,1,1n =- ，设直线AC 与平面1C AD 所成角为θ，则3sin 323n AC n AC θ⋅===⨯⋅ 所以直线AC 与平面1C AD 33.（2）解：显然平面ABC 的一个法向量可以为()0,0,1m = ，设平面1C AD 与平面ABC 的夹角为α，则cos 3n m n mα⋅===⋅ ，所以平面1C AD 与平面ABC的夹角的余弦值为3.32．已知圆经过点()2,0P 和坐标原点，且圆心C 在直线0x y -=上(1)求圆的标准方程；(2)直线y x b =+与圆C 相交，求b 的范围.【正确答案】(1)()()22112x y -+-=(2)()2,2b ∈-【分析】（1）设圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，根据题意列出方程组，求出,,a b r ，即可得解；（2）根据直线与圆相交可得圆心到直线的距离d r <，结合点到直线的距离公式即可得解.【详解】（1）设圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，由题意得()22222220a b r a b r a b ⎧-+=⎪+=⎨⎪-=⎩，解得2112a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆的标准方程为()()22112x y -+-=；（2）圆C 的圆心为()1,1，半径r =圆心()1,1到直线y x b =+的距离d ==因为直线y x b =+与圆C 相交，所以d r <，<，解得22b -<<，所以()2,2b ∈-.33．已知双曲线标准方程.2213y x -=(1)求此双曲线的渐近线方程；(2)求以原点为顶点，以此双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程，过抛物线的焦点且倾斜角为4π的直线与此抛物线交于两点,A B ，求弦AB 的长度.【正确答案】(1)y =(2)8【分析】（1）根据双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线方程公式，可得答案；（2）根据双曲线的标准方程，求得其右顶点的坐标，利用抛物线的标准方程，由焦点可得方程，写出直线方程，联立写出韦达定理，结合弦长公式，可得答案.【详解】（1）由双曲线标准方程：2213y x -=，则1,a b =y =.（2）由双曲线标准方程：2213y x -=，则其右顶点坐标为()1,0，由题意可得抛物线的标准方程为24y x =，其该抛物线焦点且倾斜角为4π的直线方程为1y x =-，联立可得241y x y x ⎧=⎨=-⎩，整理可得2610x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则126x x +=，121=x x ，则128AB x =-===.34．已知F 1，F 2分别为椭圆2221100x y b +=(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点.(1)若∠F 1PF 2＝60°，且 F 1PF 2，求b 的值；(2)求|PF 1|⋅|PF 2|的最大值.【正确答案】(1)8；(2)100.【分析】（1）利用 F 1PF 2的面积得到122563PF PF ⋅=，再利用余弦定理求解；（2）结合椭圆的定义，利用基本不等式求解.【详解】（1）解：由椭圆方程知2221100x y b+=，a =10，2210036c b =-=则1220PF PF +=，由 F 1PF 2的面积为121sin 602S PF PF =⋅⋅ 解得122563PF PF ⋅=，由余弦定理得2221212122cos 60F F PF PF PF PF =+-⋅⋅ ，()212123400256144PF PF PF PF =+-⋅=-=，即210036b -=，所以264b =，即8b =；（2）由基本不等式得()212121004PF PF PF PF +⋅≤=，当且仅当1210PF PF ==时，等号成立，所以12PF PF ⋅的最大值为100.。

2023-2024学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线3x ﹣2y ﹣3＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）2．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为上底面A 1C 1的中心，若AO →=AA 1→+xAB →+yAD →，则实数x ，y 的值分别为（ ） A ．x ＝1，y ＝1B ．x =12，y =12C ．x =12，y =1D ．x =1，y =123．“a ＝﹣2”是“直线ax +3y ﹣1＝0与直线6x +4y ﹣3＝0垂直”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（ ）A ．√19米B ．√51米C ．2√19米D ．2√51米5．若过点（1，2）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线x ﹣y ﹣5＝0的距离为（ ） A ．5√22B ．3√22C ．√2D ．√226．已知直线l ：x +y cos θ﹣3＝0，则l 的倾斜角α的取值范围是（ ） A ．[0，π） B ．[π4，π2]C ．[π4，3π4]D ．[π4，π2)∪(π2，3π4]7．已知直线3x +2y ﹣6＝0分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若直线x +y ﹣1＝0上存在一点C ，使|CA |+|CB |最小，则点C 的坐标为（ ） A ．(23，13)B ．(65，−15)C ．(43，−13)D ．(45，15)8．如图，二面角α﹣l ﹣β的棱上有两点A ，B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l ，若AB ＝2，AC ＝3，BD ＝4，CD =√41，则二面角α﹣l ﹣β的大小为（ ）A ．π6B ．π3C ．23πD ．5π6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，其圆心坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，﹣2）2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±23．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与BM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →4．已知向量a →=（2，1，3），b →=（﹣1，2，﹣2），c →=（7，6，λ），若向量a →，b →，c →共面，则实数λ等于（ ） A ．10B ．8C ．5D ．35．已知A （﹣2，0），B （4，a ）两点到直线l ：3x ﹣4y +1＝0的距离相等，则a ＝（ ） A ．2B ．92C ．2或﹣8D ．2或926．如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为（ ）A ．12B ．√22C ．13D ．167．若圆O 1：x 2+y 2−2x =0和圆O 1：x 2+y 2+2x −4y =0的交点为A ，B ，则下列结论正确的是（ ）A ．公共弦AB 所在直线的方程为x +y ＝0 B ．线段AB 的垂直平分线的方程为x +y +1＝0C ．公共弦AB 的长为√22D ．P 为圆O 1上一动点，则点P 到直线AB 的距离的最大值为√22+1 8．已知曲线x −1=√4−y 2，则√x 2+(y −4)2的最大值，最小值分别为（ ） A ．√17+2，√17−2B ．√17+2，√5C ．√37，√17−2D ．√37，√5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若a →=(−1，1，−2)是直线l 的方向向量，b →=(−2，−1，12)是直线m 的方向向量，则l 与m 垂直B ．若a →=(1，1，−1)）是直线l 的方向向量，n →=(0，−1，−1)是平面α的法向量，则l ⊥α C ．若n 1→=(1，0，3)，n 2→=(0，1，2)分别为平面α，β的法向量，则α⊥βD ．若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则P ，M ，A ，B 共面 10．下列说法错误的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角和斜率B ．直线y ＝x +1与直线y ＝x +2的距离为1C ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D ．经过（1，1）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为x +y ﹣2＝011．已知圆C ：x 2+y 3﹣4x ﹣4y +7＝0，一条光线从点P （4，1）射出经x 轴反射，则下列结论正确的是（ ） A ．若反射光线平分圆C 的周长，则反射光线所在直线的方程为3x +2y ﹣10＝0 B ．圆C 关于直线y ＝x +1对称的圆的方程为x 2+y 2+2x ﹣6y +9＝0C ．若反射光线与圆C 相切于点A ，与x 轴相交于点B ，则|PB|+|BA|=2√3D ．若反射光线与圆C 交于M ，N 两点，则△CMN 的面积的最大值为1212．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为侧面AA 1D 1D 上的动点，N 为侧面CC 1D 1D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．若BM =√52，则M 的轨迹长度为π4B ．若BM =√52，则M 到直线A 1D 的距离的最小值为√24C ．若B 1N ⊥AC 1，则N ∈CD 1，且直线B 1N ∥平面A 1BD D ．若M ∈A 1D ，则B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最小值为√33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →，则x ＝ ．14．经过两条直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点，且垂直于直线3x ﹣2y +4＝0的直线的方程是 ．15．已知点A （4，6），点B 在圆x 2+y 2＝4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为 ． 16．已知O 为坐标原点，A ，B 均在直线x ﹣y ﹣6＝0上，|AB |＝2，动点P 满足|P A |=√2|PB |，则|OP |的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知空间三点A （1，2，2），B （2，1，2），C （3，2，1）． （1）若向量m →分别与AB →，AC →垂直，且|m →|=2√6，求向量m →的坐标； （2）求点C 到直线AB 的距离．18．（12分）已知△ABC 三个顶点分别为A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1）． （1）求△ABC 的面积；（2）过△ABC 内一点P （1，0）有一条直线l 与边AB ，AC 分别交于点M ，N ，且点P 平分线段MN ，求直线l 的方程．19．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长为3，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，E ，F 分别在侧棱BB 1和DD 1上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，求x +y +z ； （2）求直线EF 与AB 所成角的余弦值．20．（12分）已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x +y ﹣1＝0上，且被x 轴截得的弦长为2√3．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l过点（1，﹣3），圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段CD中点，现将△ADE沿AE折起，使得点D到点P位置，且AP⊥BE．（1）求证：平面AEP⊥平面ABCE；（2）已知点M是线段CP上的动点（不与点P，C重合），若使平面MAE与平面APE的夹角为π4，试确定点M的位置．22．（12分）如图，已知圆C：x2+y2﹣4y+3＝0，动点P（m，﹣1）（m∈R），过点P引圆的两条切线，切点分别为A，B．（1）求证：直线AB过定点；（2）若两条切线P A，PB与x轴分别交于E，F两点，求△PEF的面积的最小值．2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，其圆心坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，﹣2）解：根据题意，圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，即（x +2）2+（y ﹣1）2＝9，其圆心为（﹣2，1）， 故选：C ．2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±2解：因为直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，所以4﹣m 2＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，直线l 1：4x +2y +2＝0即为2x +y +1＝0，直线l 2：2x +y +1＝0，两直线重合，不符合题意， 当m ＝﹣2时，直线l 1：4x ﹣2y +2＝0即为2x ﹣y +1＝0，直线l 2：﹣2x +y +1＝0即为2x ﹣y ﹣1＝0，两直线平行，符合题意，故m ＝﹣2． 故选：A ．3．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与BM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →解：∵BM →=BB 1→+B 1M →=c →+12BD → =c →+12(BA →+BC →) =c →+12(−a →+b →) =−12a →+12b →+c →故选：A ．4．已知向量a →=（2，1，3），b →=（﹣1，2，﹣2），c →=（7，6，λ），若向量a →，b →，c →共面，则实数λ等于（ ） A ．10B ．8C ．5D ．3解：∵向量a →，b →，c →共面，∴存在实数m ，n 使得c →=m a →+n b →．∴{7=2m−n6=m+2nλ=3m−2n⇒{m=4n=1λ=10，∴λ＝10．故选：A．5．已知A（﹣2，0），B（4，a）两点到直线l：3x﹣4y+1＝0的距离相等，则a＝（）A．2B．92C．2或﹣8D．2或92解：∵A（﹣2，0），B（4，a）两点到直线l：3x﹣4y+1＝0的距离相等，∴22=22，解得a＝2或92．故选：D．6．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．12B．√22C．13D．16解：如图，连接BD1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AD＝AA1＝1，AB＝2，得AD1=√2，AC=CD1=√5，则S△ACD1=12×√2×√5−12=32，设点E到平面ACD1的距离为h，则B到平面ACD1的距离为2h，由V D1−ABC =V B−ACD1，得13×12×1×2×1=13×32×2ℎ，解得h=13．故选：C．7．若圆O1：x2+y2−2x=0和圆O1：x2+y2+2x−4y=0的交点为A，B，则下列结论正确的是（）A．公共弦AB所在直线的方程为x+y＝0 B．线段AB的垂直平分线的方程为x+y+1＝0C．公共弦AB的长为√2 2D．P为圆O1上一动点，则点P到直线AB的距离的最大值为√22+1解：对于A，依题意知，两圆相交于AB，故两圆方程作差可得4x﹣4y＝0，即x﹣y＝0，即为两圆公共弦AB所在直线方程，故A错误；对于B，圆O1：x2+y2−2x=0，则其圆心为（1，0），k AB＝1，则线段AB的垂直平分线的斜率为﹣1，故线段AB的垂直平分线方程为y﹣0＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0，故B错误；对于C，圆心O1到直线AB的距离d=|1−0|√1+(−1)2=√22，圆O1半径r＝1，所以|AB|=2√1−(22)2=√2，故C错误；对于D，圆心O1到直线AB的距离d=|1−0|√1+(−1)2=√22，圆O1半径r＝1，则点P到直线AB的距离的最大值为√22+1，故D正确．故选：D．8．已知曲线x−1=√4−y2，则√x2+(y−4)2的最大值，最小值分别为（）A．√17+2，√17−2B．√17+2，√5C．√37，√17−2D．√37，√5解：由x−1=√4−y2，可知x≥1，﹣2≤y≤2，且有（x﹣1）2+y2＝4，表示的图形为以A（1，0）为圆心，2为半径的半圆，如图所示：又因为√x2+(y−4)2表示半圆上的动点与点P（0，4）的距离，又因为|P A|=√12+42=√17，所以√x2+(y−4)2的最大值为|P A|+2=√17+2，当动点与图中B （1，2）点重合时，√x 2+(y −4)2取最小值， 此时|PB |=√(1−0)2+(4−2)2=√5． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若a →=(−1，1，−2)是直线l 的方向向量，b →=(−2，−1，12)是直线m 的方向向量，则l 与m 垂直B ．若a →=(1，1，−1)）是直线l 的方向向量，n →=(0，−1，−1)是平面α的法向量，则l ⊥α C ．若n 1→=(1，0，3)，n 2→=(0，1，2)分别为平面α，β的法向量，则α⊥βD ．若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则P ，M ，A ，B 共面 解：对于A ，因为a →⋅b →=(−1)×(−2)+1×(−1)+(−2)×12=0， 可知a →⊥b →，所以l 与m 垂直，故A 正确；对于B ，因为a →⋅n →=1×0+1×(−1)+(−1)×(−1)=0， 可知a →⊥n →，所以l ⊂α或l ∥α，故B 错误；对于C ，因为n 1→⋅n 2→=1×0+0×1+3×2=6≠0， 所以平面α，β不相互垂直，故C 错误；对于D ，若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则MP →，MA →，MB →为共面向量，所以P ，M ，A ，B 共面，故D 正确． 故选：AD ．10．下列说法错误的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角和斜率B ．直线y ＝x +1与直线y ＝x +2的距离为1C ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D ．经过（1，1）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为x +y ﹣2＝0 解：选项A ：当直线倾斜角为π2时，该直线斜率不存在．判断错误；选项B：直线y＝x+1与直线y＝x+2的距离为√1+1=√22．判断错误；选项C：直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴的交点分别为（2，0）和（0，﹣2），则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×2×2=2．判断正确；选项D：经过（1，1）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为x+y﹣2＝0和x﹣y＝0．判断错误．故选：ABD．11．已知圆C：x2+y3﹣4x﹣4y+7＝0，一条光线从点P（4，1）射出经x轴反射，则下列结论正确的是（）A．若反射光线平分圆C的周长，则反射光线所在直线的方程为3x+2y﹣10＝0B．圆C关于直线y＝x+1对称的圆的方程为x2+y2+2x﹣6y+9＝0C．若反射光线与圆C相切于点A，与x轴相交于点B，则|PB|+|BA|=2√3D．若反射光线与圆C交于M，N两点，则△CMN的面积的最大值为1 2解：圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，故圆心为C（2，2），半径为1，点P（4，1）关于x轴的对称点为Q（4，﹣1），对于A：由题意知，反射光线过圆心C，则k QC=2−(−1)2−4=−32，反射光线所在直线的方程为y﹣2=−32（x﹣2），即3x+2y﹣10＝0，A正确；对于B：将x＝2代入y＝x+1得y＝3，将y＝2代入y＝x+1得x＝1，圆C关于直线y＝x+1对称的圆心为：（1，3），对称圆的半径r＝1，所以对称圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1，即x2+y2﹣2x﹣6y+9＝0，B错误；对于C：如图，P关于x轴的对称点Q，B，切点A三点共线，|PB|+|BA|＝|QB|+|BA|＝|QA|，而|QC|2＝（4﹣2）2+（﹣1﹣2）2＝13，|CA|＝1，所以|QA|=√|QC|2−|CA|2=2√3，C正确；对于D：如图S△CMN=12|CM||CN|sin∠MCN=12×12•sin∠MCN≤12，（当∠MCN＝90°时取等号），D正确．故选：ACD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为侧面AA 1D 1D 上的动点，N 为侧面CC 1D 1D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．若BM =√52，则M 的轨迹长度为π4B ．若BM =√52，则M 到直线A 1D 的距离的最小值为√24C ．若B 1N ⊥AC 1，则N ∈CD 1，且直线B 1N ∥平面A 1BD D ．若M ∈A 1D ，则B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最小值为√33解：对于A ，因为BM =√52，所以M 在以B 为球心，√52为半径的球上． 又M 为侧面AA 1D 1D 上的点，所以M 在球被平面AA 1D 1D 截得的交线上． 因为AB ⊥平面AA 1D 1D ，AM ⊂平面AA 1D 1D ，可得AB ⊥AM ，由AB ＝1，BM =√52，所以AM =√BM 2−AB 2=12，所以，M 为以A 点为圆心，12为半径的圆上，如图，则M 的轨迹长度为14⋅2π⋅12=π4，故A 正确；对于B ，如上图，取A 1D 中点M 1，由正方形AA 1D 1D 的边长为1，可得AM 1=12√1+1=√22，由M 在以A 为圆心，12为半径的14圆弧上运动，可得M 到直线A 1D 的距离的最小值为√22−12，故B 错误；对于C ，如图，连结AC ，AD 1．因为CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ．又BD ⊥AC ，AC ⊂平面ACC 1，CC 1⊂平面ACC 1，AC ∩CC 1＝C ， 所以BD ⊥平面ACC 1．又AC 1⊂平面ACC 1，所以BD ⊥AC 1．因为D 1C 1⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，所以D 1C 1⊥A 1D ， 又A 1D ⊥AD 1，AD 1⊂平面AD 1C 1，D 1C 1⊂平面AD 1C 1，AD 1∩D 1C 1＝D 1， 所以A 1D ⊥平面AD 1C 1．又AC 1⊂平面AD 1C 1，则A 1D ⊥AC 1．又BD ⊂平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ，A 1D ∩BD ＝D ， 所以AC 1⊥平面A 1BD ．又B 1N ⊥AC 1，B 1∉平面A 1BD ，所以直线B 1N ∥平面A 1BD ，故C 正确； 对于D ，以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x ，y ，z 轴的正方向，如上图建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A 1（1，0，1），B （1，1，0），B 1（1，1，1）， DA 1→=(1，0，1)，DB →=(1，1，0)，DB 1→=(1，1，1)．因为M ∈A 1D ，设DM →=λDA 1→=(λ，0，λ)，（0≤λ≤1），B 1M →=DM →−DB 1→=(λ−1，−1，λ−1)． 设m →=（a ，b ，c ）是平面A 1BD 的一个法向量， 则{m →⋅DA 1→=a +c =0m →⋅DB →=a +b =0， 取a ＝1，则b ＝c ＝﹣1，m →=（1，﹣1，﹣1）是平面A 1BD 的一个法向量． 则cos ＜B 1M →，m →＞=m →⋅B 1M→|m →|⋅|B 1M →|=1√3×√(λ−1)2+1+(λ−1)2=1√3×√2λ−4λ+3，又2λ2﹣4λ+3＝2（λ﹣1）2+1≥1，当λ＝1时，有最小值1， 所以，√3√2λ2−4λ+3≤√3=√33，即cos ＜B 1M →，m →＞≤√33，所以，B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最大值为√33，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →，则x ＝ 103． 解：因为a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →， 则2×（﹣4）+（﹣1）×2+3x ＝0，则x =103， 故答案为：103． 14．经过两条直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点，且垂直于直线3x ﹣2y +4＝0的直线的方程是 2x +3y ﹣12＝0 ．解：设两直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点为P ， 联立方程组{2x +y −8=0x −2y +1=0，解得x ＝3，y ＝2，可得两直线的交点为P （3，2）．由直线3x ﹣2y +4＝0的斜率为32，可得所求直线的斜率为k =−23，所以所求直线的方程为y −2=−23(x −3)，即2x +3y ﹣12＝0．故答案为：2x +3y ﹣12＝0．15．已知点A （4，6），点B 在圆x 2+y 2＝4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为 （x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1 ．解：设M （x ，y ），B （x 1，y 1），由定点A （4，6），且M 是线段AB 的中点， 由中点坐标公式可得{x =4+x 12y =6+y 12，即{x 1=2x −4y 1=2y −6， 又点B 在圆上，故x 12+y 12=4，即（2x ﹣4）2+（2y ﹣6）2＝4，整理得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1，所以线段AB 中点M 的轨迹方程是（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1． 故答案为：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1．16．已知O 为坐标原点，A ，B 均在直线x ﹣y ﹣6＝0上，|AB |＝2，动点P 满足|P A |=√2|PB |，则|OP |的最小值为 √2 ．解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由于|AB |＝2，所以|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=2， 整理得(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=4， 由于|P A |=√2|PB |，所以|P A |2＝2|PB |2，整理得(x +x 1−2x 2)2+(y +y 1−2y 2)2=2(x 1−x 2)2+2(y 1−y 2)2=8， 故点P 是以（2x 2﹣x 1，2y 2﹣y 1）为圆心，2√2为半径的圆， 易得圆心在x ﹣y ﹣6＝0上， 由于点（0，0）到直线的距离d =√2=3√2， 所以|OP|min =3√2−2√2=√2． 故答案为：√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知空间三点A （1，2，2），B （2，1，2），C （3，2，1）． （1）若向量m →分别与AB →，AC →垂直，且|m →|=2√6，求向量m →的坐标； （2）求点C 到直线AB 的距离．解：（1）AB →=(1，−1，0)，AC →=(2，0，−1)， 设m →=(x ，y ，z)，∵m →⊥AB →，m →⊥AC →， ∴m →⋅AB →=0，m →⋅AC →=0． ∴{x −y =02x −z =0，整理得{y =x z =2x ，∵|m →|=√x 2+y 2+z 2=√6x 2=2√6，∴x ＝±2， ∴m →=(2，2，4)或m →=(−2，−2，−4)；（2）取u →=AB →|AB →|=(√22，−√22，0)，a →=AC →=(2，0，−1)，则a →⋅u →=√2，a →2=5． ∴C 到直线AB 的距离为√a →2−(a →⋅u →)2=√5−2=√3．18．（12分）已知△ABC 三个顶点分别为A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1）． （1）求△ABC 的面积；（2）过△ABC 内一点P （1，0）有一条直线l 与边AB ，AC 分别交于点M ，N ，且点P 平分线段MN ，求直线l 的方程．解：（1）∵A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1），∴直线AB 的斜率k AB ＝2，可得直线AB 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0， 点C 到直线AB 的距离d =65=65√5， ∵|AB|=√(1+1)2+(1+3)2=2√5，∴S △ABC =12|AB|⋅d =12×65√5×2√5=6；（2）由题知，直线AC 的斜率k AC ＝﹣1，可得直线AC 的方程为x +y ﹣2＝0， 设M （x 0，y 0），则N （2﹣x 0，﹣y 0），∵点M ，N 分别在直线AB ，AC 上，∴{2x 0−y 0−1=02−x 0−y 0−2=0，解得{x 0=13y 0=−13， 因此，直线l 的斜率k l =0+131−13=12，l 的方程为y −0=12(x −1)，即x ﹣2y ﹣1＝0．19．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长为3，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，E ，F 分别在侧棱BB 1和DD 1上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，求x +y +z ； （2）求直线EF 与AB 所成角的余弦值．解：（1）由题意有：EF →=AF →−AE →=AD →+DF →−(AB →+BE →)=AD →+23DD 1→−(AB →+13BB 1→)=AD →+23AA 1→−AB →−13AA 1→=−AB →+AD →+13AA 1→，故x +y +z =−1+1+13=13； （2）令AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则由题意有：|a →|=|b →|=2，|c →|=3，＜a →，b →＞=90°，＜a →，c →＞=＜b →，c →＞=120°，由（1）知：EF →=−a →+b →+13c →，则|EF →|=√(−a →+b →+13c →)2=√4+4+1+2−2=3，所以cos ＜EF →，AB →＞=−a →2+a →⋅b →+13a →⋅c →3×2=−4−16=−56，故直线EF 与AB 所成角的余弦值为56．20．（12分）已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x +y ﹣1＝0上，且被x 轴截得的弦长为2√3． （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 过点（1，﹣3），圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程． 解：（1）设圆C 的标准方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2（r ＞0）， ∵圆心C 在直线x +y ﹣1＝0上， ∴a +b ﹣1＝0①， ∵圆C 与y 轴相切， ∴r ＝|a |②，又∵圆C 被x 轴截得的弦长为2√3， ∴b 2+3＝r 2③，联立①②③解得，a ＝2，b ＝﹣1，r ＝2， ∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y +1）2＝4． （2）∵圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1， ∴圆心C 到直线l 的距离d ＝r ﹣1＝1． 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1， 圆心C （2，﹣1）到直线l 的距离为1，符合题意； 当直线l 斜率不存在时，设直线l 的方程为y +3＝k （x ﹣1）， 即kx ﹣y ﹣k ﹣3＝0， ∴圆心C 到直线l 的距离d =|2k+1−k−3|√k +1=|k−2|√k +1=1，解之得，k =34，∴直线l 的方程为3x ﹣4y ﹣15＝0．综上，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ﹣4y ﹣15＝0．21．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为线段CD 中点，现将△ADE 沿AE 折起，使得点D 到点P 位置，且AP ⊥BE ．（1）求证：平面AEP ⊥平面ABCE ；（2）已知点M 是线段CP 上的动点（不与点P ，C 重合），若使平面MAE 与平面APE 的夹角为π4，试确定点M 的位置．（1）证明：∵E 为CD 中点，AB ＝4，∴DE ＝CE ＝2， 又∵AD ＝2，四边形ABCD 为矩形， ∴AE 2=BE 2=2√2， ∴AE 2+BE 2＝AB 2，∴AE ⊥BE ，又∵AP ⊥BE ，AE ∩AP ＝A ，AP ，AE ⊂平面APE ， ∴BE ⊥平面APE ，又∵BE ⊂平面ABCE ， ∴平面AEP ⊥平面ABCE ；（2）解：过点E 作EQ ⊥平面ABCE ，以E 为坐标原点，以EA ，EB ，EQ 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2√2，0，0)，P(√2，0，√2)，C(−√2，√2，0)，E （0，0，0），B(0，2√2，0)， ∴CP →=(2√2，−√2，√2)，EC →=(−√2，√2，0)，EA →=(2√2，0，0)， 设CM →=λCP →，λ∈（0，1），则EM →=EC →+CM →=(2√2λ−√2，√2−√2λ，√2λ)， 设n →=(x ，y ，z)是平面AME 的一个法向量，则有{n →⋅EM →=0n →⋅EA →=0，即{2√2x =0(2√2λ−√2)x +(√2−√2λ)y +√2λz =0， 取y ＝λ，可得平面AME 的一个法向量为n →=(0，λ，λ−1)， 又EB →=(0，2√2，0)为平面APE 的一个法向量， ∴cos〈n →，EB →〉=√2λ2√2√λ+(λ−1)=√λ+(λ−1)，∵平面MAE 与平面APE 的夹角为π4，∴√λ2+(λ−1)2=√22，解得λ=12，∴当点M 为线段PC 的中点时，平面MAE 与平面APE 的夹角为π4．22．（12分）如图，已知圆C ：x 2+y 2﹣4y +3＝0，动点P （m ，﹣1）（m ∈R ），过点P 引圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）求证：直线AB 过定点；（2）若两条切线P A ，PB 与x 轴分别交于E ，F 两点，求△PEF 的面积的最小值．解：（1）证明：由题意知，圆心C （0，2），半径r ＝1， ∵P A ⊥CA ，PB ⊥CB ，∴A ，B 在以PC 为直径的圆上， ∵|PC|=√m 2+9，PC 的中点M(m 2，12)，∴以PC 为直径的圆M 的方程为(x −m 2)2+(y −12)2=m 2+94，即x 2+y 2﹣mx ﹣y ﹣2＝0．∵AB 为圆C 与圆M 的公共弦， ∴直线AB 的方程为mx ﹣3y +5＝0． ∴直线AB 过定点(0，53)．（2）①当P A ，PB 斜率均存在，即m ≠±1时， 设P A ，PB 的方程为y +1＝k （x ﹣m ）， 即kx ﹣y ﹣km ﹣1＝0，∵P A ，PB 与圆C 相切，∴圆心C到直线的距离d=√k+1=1，∴（m2﹣1）k2+6mk+8＝0．设P A，PB的斜率分别为k1，k2，∴k1+k2=−6mm2−1，k1k2=8m2−1，∴|k1−k2|=√(−6mm2−1)2−48m2−1=√4m2+32(m2−1)2，x E=m+1k1，x F=m+1k2，∴|EF|=|x E−x F|=|m+1k1−m−1k2|=|1k1−1k2|=|k1−k2||k1k2|=|2√m2+8m2−1||8m2−1|=√m2+84．∵当m∈R且m≠±1，∴当m＝0时，|EF|min=√22，此时，S△PEF=12×√22×1=√24．②当P A，PB有一条斜率不存在，即m＝±1时，不妨设P A的斜率不存在，则直线P A的方程为x＝﹣1，P（﹣1，﹣1），E（﹣1，0），设直线PB的方程为y+1＝k（x+1），由圆心（0，2）到PB的距离d=√k+1=1，解得k=43，∴直线PB的方程为4x﹣3y+1＝0，∴F(−14，0)，此时|EF|=34，S△PEF=12×34×1=38．由38＞√24，可得△PEF面积的最小值为√24．。

2021-2022学年度高二第一学期数学期中考试模拟卷03测试范围：第1章—第2章第I 卷（选择题）一、单选题1．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若2156OM OA OB OC λ=++，则A ，B ，C ，M 四点共面的充要条件是（ ） A ．1730λ=B ．1330λ=C ．1730λ=- D ．1330λ=-2．已知向量(2,1,3)a =-，(1,2,1)b =-，若()a a b λ⊥-，则实数λ的值为（ ） A ．2- B ．143-C ．145D ．23．设异面直线1l ､2l 的方向向量分别为()13,0,1n =，()22,2,0=-n ，则异面直线1l 与2l 所成角的大小为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 4．“2a =”是“直线1l ：2430ax y ++=与直线2l ：()2150x a y ---=垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．唐代诗人李的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点(2,3)B -，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A B C D 6．已知圆()()22224244100x y mx m y m m m +--++++=≠的圆心在直线70x y +-=上，则该圆的面积为（ ） A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 7．过点()5,1A --的直线l 与圆()2235)4(x y ++-=相切，则直线l 的方程为（ ）A ．1y =-或43230x y ++=B ．1y =-或43170x y -+=C ．5x =-或43230x y ++=D ．5x =-或43170x y -+=8．已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，若k ⎡⎤∈⎣⎦，则α的取值范围为（ ）A ．20,,43πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．50,,46πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题 9．（多选题）下列命题中不正确的是（ ） A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线 B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若两个非零空间向量AB ，CD ，满足0AB CD +=，则AB ∥CD D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a =λb10．（多选）点()1,1在圆()()224x a y a -++=的内部，则a 的取值不可能是（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．211．直线y ＝ax ＋1a可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中AB AD ==11AA =，60DAB ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒，下列说法中正确的是（ ）A ．1ACB ．1AC DB ⊥C ．向量1B C 与1AA 的夹角是45°D ．1BD 与AC三、填空题13．已知()2,1,3a =-，()4,1,b x =-，且a 与b 垂直，则2a b +=___________.14．直线()21:32l y a x a =+-与2:46l y ax =-平行，则实数a =_________．15．有一光线从点(3,5)A -射到直线:3440l x y -+=以后，再反射到点(2,15)B ，则入射光线所在直线的方程为___________.16．已知点()1,1P 和圆22:2460C x y mx y m +-+++=，若过点P 作圆C 的切线有两条，则实数m 的取值范围是___________．四、解答题17．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点.（1）求点B 到直线1AC 的距离； （2）求直线FC 到平面1AEC 的距离.18．已知圆C 经过点(0,，(及3,0.经过坐标原点O 的斜率为k 的直线l 与圆C 交于M ，N 两点.（1）求圆C 的标准方程；（2）若点()3,0P -，分别记直线PM ､直线PN 的斜率为1k ､2k ，求12k k +的值. 19．已知ABC 的顶点()2,6A ，()4,2B ，()2,0C -. （1）求BC 边的高线所在直线的方程； （2）求ABC 的面积20．在三棱锥A BCD -中，E 是BC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，BD a =，BC b =，BA c =，（1）试用a ，b ，c 表示向量EF ；（2）若底面BCD 是等腰直角三角形，且3BD BC AB ===，60ABD ABC ∠==︒，求EF 的长.21．根据下列条件，求圆的标准方程：（1）圆心在x 轴上，半径为5，且过点()2,3A -；（2）过点A （3，1）和()1,3B -，且圆心在直线320x y --=上．22．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且224AD BC CD ===，PA PD ==AD ，AB 的中点分别是O ，G .（1）求证：GO ⊥平面POC ；（2）求平面DPG 与平面OPG 夹角的余弦值.参考答案1．B 【分析】由四点共面的充要可得21156λ++=，求解即可.【详解】O 是平面ABC 外任意一点，且2156OM OA OB OC λ=++，若A ，B ，C ，M 四点共面的充要条件是21156λ++=，即1330λ=. 故选：B. 2．D【分析】由()a a b λ⊥-，得()0a a b λ⋅-=，再根据向量数量积的坐标表示即可得出答案. 【详解】解：因为()a a b λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=， 所以20a a b λ-⋅=，即()142230λ-++=， 解得2λ=. 故选：D. 3．C 【分析】利用空间向量夹角的公式直接求解. 【详解】126n n ⋅=-，12n =，26n =，1212121cos ,22n n n n n n ⋅-∴===-.由异面直线所成角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，故异面直线1l 与2l 所成的角为3π.故选：C 4．A 【分析】求出两直线垂直的充要条件后再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】若12l l ⊥，则()22410a a --=，解得2a =或12a =. 所以由2a =可以得到12l l ⊥，反之则不然，故“2a =”是“12 l l ⊥”的充分不必要条件. 故选：A. 5．C 【分析】利用直线方程及A 坐标，确定A 关于3x y +=的对称点A '的坐标，则BA '是“将军饮马”的最短路程，利用两点距离公式求距离即可. 【详解】若(,)A x y '是A 关于3x y +=的对称点，如下图示：“将军饮马”的最短总路程为AC BC BA '+=，∥122322yx x y ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，即(3,1)A '.∥||BA ' 故选：C 6．A 【分析】配方得出圆心坐标，代入直线方程求得参数m 值，然后可得圆半径、面积． 【详解】圆的方程可化为()()()222210x m y m m m -+--=≠，其圆心为(),21m m +.依题意得，2170m m ++-=，解得2m =，∴圆的半径为2，面积为4π， 故选：A. 7．D 【分析】根据斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到直线距离等于半径求解． 【详解】圆心为(3,5)-，半径为2，斜率不存在时，直线5x =-满足题意，斜率存在时，设直线方程为1(5)y k x +=+，即510kx y k -+-=，2=，得43k =，直线方程为41(5)3y x +=+，即43170x y -+=． 故选：D ． 8．A 【分析】根据斜率k的范围得到tan α⎡⎤∈⎣⎦，然后结合正切函数的图象及直线倾斜角的取值范围即可求出直线l 的倾斜角α的取值范围. 【详解】因为tan k α⎡⎤=∈⎣⎦，且[)0,απ∈，所以20,,43ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 故选：A. 9．ABD 【分析】举反例判断AD ，根据共面向量的定义判断B ，根据向量共线定理判断C 【详解】对于A ，若0b =，则a 与b 共线，b 与c 共线，但a 与c 不一定共线，所以A 错误， 对于B ，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B 错误，对于C ，因为0AB CD +=，所以AB CD =-，所以AB 与CD 共线，所以AB ∥CD ，所以C 正确，对于D ，若0b =，0a ≠，则不存在λ，使a =λb ，所以D 错误， 故选：ABD 10．AD 【分析】求出实数a 的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】由已知条件可得()()22114a a -++<，即2224a +<，解得11a -<<. 故选：AD. 11．AB 【分析】分类讨论0a >和0a <时，直线的位置． 【详解】因为a ≠0，所以C 错；当a ＞0时，1a＞0，不过第四象限，故A 对； 当a ＜0时，1a ＜0，不过第一象限，故D 错，B 对． 故选：AB 12．ABD 【分析】根据题意，利用空间向量的加减运算和数量积运算，对每个答案进行分析和运算即可得到答案. 【详解】对A ，111AC AB BC CC AB AD AA →→→→→→→=++=++，则22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA →→→→→→→→→→=+++⋅+⋅+⋅221cos601cos 451cos 4511=+++︒+⨯︒+⨯︒=，所以1AC A 正确；对B ，221111=AC DB AB AD AA AB AD AB AA AB AA AD AD →→→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅++⋅-=+⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2112=0=+，所以1AC DB ⊥，B 正确； 对C ，因为11AA BB →→=，若1B C →与1AA →的夹角是45°，则1B C →与1BB →的夹角是45°，即1135BB C ∠=︒，易知145CBB ∠=°，显然不成立，C 错误；对D ，111A AD BD B DD A AB D A A →→→→→→→=++=-++，AC AB AD →→→=+，1||BD →==，AC →== 111212BD AA AC AA AA AB AD AB AD AB AD AB AD →→→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=-++⋅+=-++⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211=-+++，所以，111,||||cos AC AC A BD BD BD C →→→→→→⋅>==<， 于是1BD 与AC，D 正确. 故选：ABD. 13【分析】根据a 与b 垂直，可知0a b ⋅=，进而求出x 的值，结合向量模的求法运算即可. 【详解】 解：a 与b 垂直，∴0a b ⋅=.则()()241130a b x ⋅=⨯-+-⨯+=，解得3x =.∴()4,1,3b =-则()()()22,1,38,2,66,1,9a b +=-+-=-.∴()226a b +=-14．1 【分析】由两直线平行的条件求解． 【详解】由12l l //得，23426a aa ⎧+=⎨-≠-⎩，解得1a =．故答案为：1． 15．18510x y +-= 【分析】设点(3,5)A -关于直线:3440l x y -+=的对称点为(,)A a b '，可得5313435344022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪--⎨-++⎪⨯-⨯+=⎪⎩，解得点(3,3)A '-，再利用点斜式即可得出． 【详解】解：设点(3,5)A -关于直线:3440l x y -+=的对称点为(,)A a b '， 则5313435344022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪--⎨-++⎪⨯-⨯+=⎪⎩，解得33a b =⎧⎨=-⎩．则点(3,3)A '-在反射光线所在的直线上．∴反射光线所在的直线方程为：3153(3)32y x --+=--，化为18510x y +-=． ∴反射光线所在的直线方程为18510x y +-=．故答案为：18510x y +-= 16．()(),12,12-∞-⋃ 【分析】由圆的一般方程得2m >或 1m <-，再利用P 在圆C 的外部得12m <，从而求出m 的范围．【详解】根据题意，圆22:2460C x y mx y m +-+++=， 必有224164(6)4480m m m m +-+=-->， 解可得：2m >或 1m <-；过点P 作圆C 的切线有两条，则P 在圆C 的外部，则有112460m m +-+++>， 即12m <，综合可得：m 的取值范围为()(),12,12-∞-⋃； 故答案为：()(),12,12-∞-⋃． 17．（1；（2【分析】（1）以1D 为原点，11111D A D C D D ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，取a AB =，11AC u AC =，根据空间向量点到直线距离公式，可得点点B 到直线1AC 的距离；（2）易证//FC 平面1AEC ，则点F 到平面1AEC 的距离为直线FC 到平面1AEC 的距离，求出平面1AEC 的一个法向量，再求出(0)1,,02AF =，根据点到面的距离公式，可得直线FC 到平面1AEC 的距离． 【详解】以1D 为原点，11111D A D C D D ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1111,0,11,1101,10)10101,,12()()()2(A B C C E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,，,,,,,,,， 所以(0,1,0)AB =，1(1,1,1)AC =--，)10,,12(AE -=，11111,,01,,0,,02)2(),(),2(0EC FC AF =--==.（1）取(0,1,0)a AB ==，)1131,1,13AC u AC ==--，则231,3a a u =⋅=.所以，点B 到直线1AC()221a a u -⋅=-. （2）因为111,,02FC EC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以1//FC EC ，所以//FC 平面1AEC . 所以点F 到平面1AEC 的距离为直线FC 到平面1AEC 的距离. 设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则100n AE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以102102y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩所以2x z y z =⎧⎨=⎩取1z =，则1,2x y ==.所以，(1,2,1)n =是平面1AEC 的一个法向量.又因为(0)1,,02AF =，所以点F 到平面1AEC 的距离为,2(0AF n n⋅=. 即直线FC 到平面1AEC 18．（1）()2214x y -+=；（2）0.【分析】（1）设圆的一般方程，根据其所过的点求参数，进而写出其标准方程即可.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 为y kx =，联立圆的方程结合韦达定理求12x x +、12x x ，将12121233y y k k x x+=+++整理化简即可求值. 【详解】（1）设圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，由圆C过(0,，(及3,0. ∥23030330F F D F ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪++=⎪⎩可得203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∥圆C 的方程为：22230x y x +--=，其标准方程为()2214x y -+=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 为y kx =，与圆C ：()2214x y -+=联立得：()221230k x x +--=，∥()22443112160k k ∆=+⨯⨯+=+>，则12221x x k +=+，12231x x k =-+， ∥12121212123333y y kx kx k k x x x x +=+=+++++()()()1212122333k x x x x x x ++⎡⎤⎣⎦=++()()22126611033k k k x x -⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==++. 19．（1）3120x y +-=；（2）14.【分析】（1）求出直线BC 的斜率，再由垂直关系得出直线BC 边的高线的斜率，最后由点斜式写出所求方程；（2）求出直线AB 的方程，再求出点C 到直线AB 的距离以及AB ，最后由三角形面积公式计算即可.【详解】（1）直线BC 的斜率为2014(2)3-=--，直线BC 边的高线的斜率为3-， 直线BC 边的高线的方程为：()632y x -=--，即3120x y +-=.（2）直线AB 的方程为：626(2)24y x --=--，即2100x y +-=， 点C 到直线AB 的距离d =AB故ABC 的面积为1142S AB d =⋅=. 20．（1）211323=-+EF a b c ；（2）312EF =. 【分析】 (1)根据给定条件利用空间向量线性运算直接写出并化简计算即可；(2)利用给定条件借助空间向量的数量积即可计算EF 的长.【详解】（1）依题意，因E 是BC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，则2121()3232EF EB AF BA AF BE BA AD BC BA BD BA BC BA ==+-=+-=+--++ 21121132=3323BD BC BA a b c =-+-+， 所以211323=-+EF a b c ； （2）因3BD BC AB ===，90CBD ∠=，60ABD ABC ∠==︒，即||||||3===a b c ，则0a b ⋅=，92a c ⋅=，92⋅=b c ， 由(1)知：222221141131)323949214(3329a b b c c EF a b c a a b c =-+=++-⋅-⋅+⋅=，所以EF 21．（1）22(2)25x y ++=或22(6)25x y -+=；（2）22(2)(4)10x y -+-=.【分析】（1）设出圆心C 坐标，利用半径为5，且过点3(2,)A -，从而可求圆心的坐标和圆的方程；（2）由已知可设圆心(,32)N a a -，求出圆心和半径即得解.【详解】解：（1）设圆心坐标为(,0)x ，则2(2)925x -+=2x ∴=-或6∴圆的方程是22(2)25x y ++=或22(6)25x y -+=（2）由已知可设圆心(,32)N a a -，又由已知得||||NA NB =，=，解得2a =．于是圆N 的圆心(2,4)N ，半径r =所以，圆N 的方程为22(2)(4)10x y -+-=．22．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）连接OB ，BD ，可证明四边形OBCD 为正方形，即BD OC ⊥，即GO OC ⊥，由平面PAD ⊥平面ABCD ，可得PO ⊥平面ABCD ，即PO GO ⊥，由线线垂直推线面垂直，即得证； （2）建立空间直角坐标系，由OC ⊥平面PGO ，所以OC 为平面PGO 的一个法向量，再计算平面DPG 的法向量，利用二面角的向量公式，即得解【详解】（1）证明：连接OB ，BD ，由于//,OD BC OD BC CD ==，且AD CD ⊥故四边形OBCD 为正方形，所以BD OC ⊥.因为AD ，AB 的中点分别是O ，G ，所以//GO BD ，所以GO OC ⊥，因为PA PD =，AD 的中点是O ，所以PO AD ⊥.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD .又GO ，OC ⊂平面ABCD ，所以PO GO ⊥，PO OC ⊥，又因为OC PO O =，所以GO ⊥平面POC .（2）由（1）知OB ，OD ，OP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为224AD BC CD ===，PA PD ==所以2PO OA OB OD ====，则点(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(0,0,0)O ，(2,2,0)C ，(1,1,0)-G .所以(1,1,0)OG =-，(1,3,0)DG =-，(1,1,2)PG =--.由（1）知PO OC ⊥，GO OC ⊥，PO GO O ⋂=，PO ，GO ⊂平面PGO ， 所以OC ⊥平面PGO ，所以(2,2,0)OC =为平面PGO 的一个法向量； 又设平面PGD 的法向量为(,,)n x y z =，由,,n PG n DG ⎧⊥⎨⊥⎩得20,30,n PG x y z n DG x y ⎧⋅=--=⎨⋅=-=⎩得,3,z y x y =⎧⎨=⎩ 取1y =，得(3,1,1)n =.所以|||(2,2,0)|cos ,|||||OC n OC n OC n ⋅〈〉=== 由图得，平面DPG 与平面OPG 夹角为锐角，所以平面DPG 与平面OPG 夹角的余弦值为11.。

2023-2024学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l 过点（2，3），且倾斜角为90°，则直线l 的方程为（ ） A ．﹣x +y ＝1B ．x +y ﹣5＝0C ．y ＝3D ．x ＝22．二次函数y ＝ax 2（a ≠0）的图像为抛物线，其准线方程为（ ） A ．x =−14aB ．x =−a 4C ．y =−14aD ．y =−a 43．已知三条直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，倾斜角分别为α，β，γ．若α＜β＜γ，则下列关系不可能成立的是（ ） A ．k 3＜k 1＜k 2B ．k 1＜k 2＜k 3C ．k 2＜k 3＜k 1D ．k 3＜k 2＜k 14．国家体育场（鸟巢），是2008年北京奥运会的主体育场．在《通用技术》课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm ，短轴长为20cm ，小椭圆的短轴长为10cm ，则小椭圆的长轴长为（ ）cm ．A ．30B ．20C ．10√3D ．105．直线y ＝kx +1与椭圆x 24+y 2m=1总有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，+∞）B ．[1，4）∪（4，+∞）C ．（0，1）∪（1，4）D ．（1，+∞）6．已知△ABC 的顶点在抛物线y 2＝4x 上，若抛物线的焦点F 恰好是△ABC 的重心，则|F A |+|FB |+|FC |的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．已知实数x 、y 满足x 2+y 2＝1，则|2x +y ﹣5|的最小值是（ ） A ．√5−1B ．√5+1C ．5−√5D ．5+√58．如图，加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点P 的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线C ：x 24−y 2=1的蒙日圆的面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0和直线l 2：x +（a +1）y ﹣1＝0，下列说法不正确的是（ ） A ．当a ＝﹣2或1时，l 1∥l 2 B ．当a =−23时，l 1⊥l 2C ．直线l 1过定点（0，1），直线l 2过定点（1，0）D ．当l 1，l 2平行时，两直线的距离为√2 10．已知方程x 27−t +y 23+t=1表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当﹣3＜t ＜7时，曲线C 是椭圆B ．当t ＞7或t ＜﹣3时，曲线C 是双曲线 C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则﹣3＜t ＜2D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞7 11．P 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上的一点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A ．c ≤|OP |≤aB ．若∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=√3b 2C ．若存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆C 的离心率e ∈[√22，1)D ．若PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2|=b2a12．已知F 是抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，直线AB 经过点F 交抛物线于A 、B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 B ．若AF →=2FB →，则直线AB 的斜率k ＝3C ．弦AB 的中点M 的轨迹为一条抛物线，其方程为y 2＝2px ﹣p 2D ．若p ＝4，则|AF |+4|BF |的最小值为18三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．请写出一个焦点在y 轴上，焦距为2的椭圆的标准方程 ．14．P 、Q 分别是圆E ：（x +9）2+（y +4）2＝1与圆F ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝1上的动点，A 为直线y ＝x 上的动点，则|AP |+|AQ |的最小值为 ． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的焦点与椭圆x 281+y 272=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则双曲线C 的离心率为 ；|PF 1|2|PF 2|的最小值为 ．16．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P （当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A ，影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e ＝ ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在平行四边形ABCD 中，A （﹣2，1），B （1，7），D （1，﹣2），点E 是线段CD 的中点． （1）求直线CD 的方程；（2）求过点E 且与直线BC 垂直的直线方程．18．（12分）已知焦点在y 轴上的双曲线的离心率为32，焦点到其中一条渐近线的距离为√5．（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的上焦点F 1的直线l 交双曲线的上支于M 、N 两点．在y 轴上是否存在定点T ，使得∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（12分）已知圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0． （1）证明：圆C 过定点．（2）当λ＝1时，是否存在斜率为1的直线l 交圆C 于A 、B 两点，使得以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2且垂直于x 轴的弦长为3，且_____．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆C 的长轴长为4；②椭圆C 与椭圆x 213+y 212=1有相同的焦点；③F 1，F 2与椭圆C 短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 经过F 2，且与椭圆交于M ，N 两点，求△F 1MN 面积的最大值．21．（12分）已知动圆M 经过点A （2，0），且与直线x ＝﹣2相切．设圆心M 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 为直线x ＝﹣2上任意一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为E 、F ，求证：PE ⊥PF ． 22．（12分）已知两定点A （﹣3，0），B （3，0），过动点P 的两直线P A 和PB 的斜率之积为−89．设动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设F 1（﹣1，0），过F 1的直线l 交曲线C 于M 、N 两点（不与A 、B 重合）．设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明k 1k 2为定值．2023-2024学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l过点（2，3），且倾斜角为90°，则直线l的方程为（）A．﹣x+y＝1B．x+y﹣5＝0C．y＝3D．x＝2解：∵直线l过点（2，3），且倾斜角为90°，∴直线l的方程为x＝2．故选：D．2．二次函数y＝ax2（a≠0）的图像为抛物线，其准线方程为（）A．x=−14aB．x=−a4C．y=−14a D．y=−a4解：将二次函数y＝ax2（a≠0）化为抛物线标准式得x2=1ay，所以准线方程为y=−14a．故选：C．3．已知三条直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α，β，γ．若α＜β＜γ，则下列关系不可能成立的是（）A．k3＜k1＜k2B．k1＜k2＜k3C．k2＜k3＜k1D．k3＜k2＜k1解：若γ＞90°＞β＞α，则tanβ＞tanα＞0＞tanγ，A成立，若α＜β＜γ＜90°，则tanα＜tanβ＜tanγ，B成立，若α＜90°＜β＜γ，则tanα＞0＞tanγ＞tanβ，C成立，故选：D．4．国家体育场（鸟巢），是2008年北京奥运会的主体育场．在《通用技术》课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（）cm．A．30B．20C．10√3D．10解：扁平程度相同的椭圆，即离心率相等，大椭圆a1=20，b1=10，c1=√202−102=10√3，离心率为e1=√32，小椭圆b 2＝5，离心率e 2=e 1=√32=√a 22−25a 2，解得a 2＝10，故长轴长为20．故选：B ．5．直线y ＝kx +1与椭圆x 24+y 2m=1总有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，+∞）B ．[1，4）∪（4，+∞）C ．（0，1）∪（1，4）D ．（1，+∞）解：直线y ＝kx +1恒过点（0，1），只需该点落在椭圆内或椭圆上， 即024+12m≤1，解得m ≥1，又m ≠4，则m 的取值范围是[1，4）∪（4，+∞）．故选：B ．6．已知△ABC 的顶点在抛物线y 2＝4x 上，若抛物线的焦点F 恰好是△ABC 的重心，则|F A |+|FB |+|FC |的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），抛物线y 2＝4x ，则F （1，0）， 因为焦点F 恰好是△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 3＝3×1＝3， 故|F A |+|FB |+|FC |＝x 1+1+x 2+1+x 3+1＝6． 故选：D ．7．已知实数x 、y 满足x 2+y 2＝1，则|2x +y ﹣5|的最小值是（ ） A ．√5−1B ．√5+1C ．5−√5D ．5+√5解：x 2+y 2＝1，则圆心C （0，0），半径r ＝1， |2x +y ﹣5|=√5|2x+y−5|√2+1，√22+12表示圆上的点到直线2x +y ﹣5＝0的距离，该距离的最小值为√22+12−r =√5−1，故|2x +y ﹣5|的最小值是：√5×(√5−1)=5−√5． 故选：C ．8．如图，加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点P 的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线C ：x 24−y 2=1的蒙日圆的面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解：不妨设P （x 0，y 0），则过点P 的切线方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0），联立{x 2a 2−y 2b 2=1y −y 0=k(x −x 0)，消去y 并整理得（b 2﹣a 2k 2）x 2﹣2a 2k （y 0﹣kx 0）x −a 2[(y 0−kx 0)2+b 2]，因为过点P 的切线方程与双曲线只有一个交点，所以Δ＝0，解得(x 02−a 2)k 2−2x 0y 0k +y 02+b 2=0，易知k AP ，k BP 为关于k 的方程(x 02−a 2)k 2−2x 0y 0k +y 02+b 2=0的两个根，且k AP •k BP ＝﹣1，所以y 02+b 2x 02−a 2=−1，整理得x 02+y 02=a 2−b 2，所以点P 的轨迹方程为x 02+y 02=a 2−b 2（a ＞b ），可得双曲线C ：x 24−y 2=1的蒙日圆的轨迹方程为x 2+y 2＝3， 所以r =√3，则该蒙日圆的面积S ＝πr 2＝3π． 故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0和直线l 2：x +（a +1）y ﹣1＝0，下列说法不正确的是（ ） A ．当a ＝﹣2或1时，l 1∥l 2 B ．当a =−23时，l 1⊥l 2C ．直线l 1过定点（0，1），直线l 2过定点（1，0）D ．当l 1，l 2平行时，两直线的距离为√2解：A 中，两条直线平行时，则a （a +1）＝2×1，且a ×（﹣1）≠﹣1×1，解得a ＝﹣2，所以A 不正确；B 中，a =−23时，a •1+2•（a +1）=−23+23=0，即两条直线垂直，所以B 正确； C 中，直线l 1：ax +2y ﹣1＝0可得恒过定点（0，12），直线l 2：x +（a +1）y ﹣1＝0整理可得ay +x +y ﹣1＝0，恒过定点（1，0），所以C 不正确；D 中，由A 可知，两条直线平行时a ＝﹣2，此时直线l 1：﹣2x +2y ﹣1＝0，即x ﹣y +12=0， 直线l 2：x ﹣y ﹣1＝0，所以两条直线的距离d =|12−1|√1+(−1)=√24，所以D 不正确．故选：ACD ． 10．已知方程x 27−t+y 23+t=1表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当﹣3＜t ＜7时，曲线C 是椭圆B ．当t ＞7或t ＜﹣3时，曲线C 是双曲线 C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则﹣3＜t ＜2D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞7 解：当方程x 27−t+y 23+t=1是椭圆时，则{7−t ＞03+t ＞07−t ≠3+t，解得﹣3＜t ＜2或2＜t ＜7，∴A 错误，当方程x 27−t+y 23+t =1是双曲线时，则（7﹣t ）（t +3）＜0，解得t ＜﹣3或t ＞7，∴B 正确；若方程x 27−t +y 23+t =1是焦点在x 轴上的椭圆，则{7−t ＞3+t 3+t ＞0，解得﹣3＜t ＜2，∴C 正确； 若方程x 27−t+y 23+t=1是焦点在y 轴上的双曲线，则 {3+t ＞07−t ＜0，解得t ＞7，∴D 正确．故选：BCD ． 11．P 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上的一点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A ．c ≤|OP |≤aB ．若∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=√3b 2C ．若存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆C 的离心率e ∈[√22，1)D ．若PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2|=b2a解：对于A ，易知|OP |∈[b ，a ]，故A 错误； 对于B ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m +n ＝2a ，根据余弦定理，（2c ）2＝m 2+n 2﹣2mn cos60°，解得mn =4a 2−4c 23=4b23，所以S △F 1PF 2=12mnsin60°=√3b 23，故B 错误；对于C ，若存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°， 则c ⩾b ，所以c 2⩾a 2﹣c 2，即c 2a 2⩾12，所以e ∈[√22，1)，故C 正确；对于D ，若PF 1的中点在y 轴上，则PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|=b2a，故D 正确．故选：CD ．12．已知F 是抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，直线AB 经过点F 交抛物线于A 、B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 B ．若AF →=2FB →，则直线AB 的斜率k ＝3C ．弦AB 的中点M 的轨迹为一条抛物线，其方程为y 2＝2px ﹣p 2D ．若p ＝4，则|AF |+4|BF |的最小值为18解：A ．由抛物线的方程可得焦点F （p2，0），准线方程为：x =−p2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB 的中点M （x 1+x 22，y 1+y 22），利用焦点弦的性质可得|AB |＝x 1+x 2+p ，而AB 的中点M 到准线的距离d =x 1+x 22−（−p 2）=12（1+x 2+p ）=12|AB |，∴以AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A 正确；B ．设直线AB 的方程为x ＝my +p 2，k =1m ＞0，联立{x =my +p2y 2=2px ， 整理可得：y 2﹣2mpy ﹣p 2＝0， 可得y 1+y 2＝2mp ，y 1y 2＝﹣p 2， ∵AF →=2FB →，∴y 1＝﹣2y 2， 解得y 2＝﹣2mp ，y 1＝4mp ， ∴﹣8m 2p 2＝﹣p 2，解得m 2=18， ∴k =√1m 2=2√2，因此B 不正确； C ．设M （x ，y ），结合A ，B 可得：y =y 1+y 22=mp ，x =x 1+x 22=m(y 1+y 2)2+p 2=m 2p +p 2，消去m 可得：2y 2＝2px ﹣p 2，因此C 不正确； D ．若p ＝4，则抛物线C ：y 2＝8x ，不妨设x 1＞x 2＞0，x 1x 2=(y 1y 2)264=4，∴|AF |+4|BF |＝x 1+4x 2+10=4x 2+4x 2+10≥4×2√1x 2⋅x 2+10＝18，当且仅当x 2＝1，x 1＝4时取等号，因此D 正确． 故选：AD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．请写出一个焦点在y 轴上，焦距为2的椭圆的标准方程 y 22+x 21=1（答案不唯一，只要焦点在y轴上且a 2﹣b 2＝1） ． 解：y 22+x 21=1（答案不唯一，只要焦点在y 轴上且a 2﹣b 2＝1）． 故答案为：y 22+x 21=1（答案不唯一，只要焦点在y 轴上且a 2﹣b 2＝1）．14．P 、Q 分别是圆E ：（x +9）2+（y +4）2＝1与圆F ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝1上的动点，A 为直线y ＝x 上的动点，则|AP |+|AQ |的最小值为 11 ． 解：由题意知E （﹣9，﹣4），F （1，3），如图，设圆E 关于y ＝x 的对称圆为圆G ，点Q 与点Q '关于y ＝x 轴对称，则圆G 的方程为（x +4）2+（y +9）2＝1，G （﹣4，﹣9），所以（|AP |+|AQ |）min ＝（|AP |+|AQ ′|）min ≥|PQ ′|，当且仅当P ，A ，Q ′三点共线时取得最小值， 此时|PQ ′|＝|FG |﹣1﹣1=√(−4−1)2+(−9−3)2−1﹣1＝11，所以AP |+|AQ |的最小值为11． 故答案为：11． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的焦点与椭圆x 281+y 272=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则双曲线C 的离心率为 3 ； |PF 1|2|PF 2|的最小值为 8 ． 解：已知椭圆x 281+y 272=1的离心率e 1=√1−7281=13，而c =√81−72=3， 因为双曲线C 与椭圆x 281+y 272=1的离心率互为倒数，所以双曲线C 的离心率e 2＝3，① 因为双曲线C 的焦点与椭圆x 281+y 272=1的焦点重合，所以双曲线C 的半焦距c ＝3，② 又a 2+b 2＝c 2，③联立①②③，解得a ＝1，b ＝2√2，则双曲线C 的方程为x 2−y 28=1，若F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点， 可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ＝2， 即|PF 1|＝2+|PF 2|， 所以|PF 1|2|PF 2|=(2+|PF 2|)2|PF 2|=4+4|PF 2|+|PF 2|2|PF 2|=4|PF 2|+|PF 2|+4，因为|PF 2|≥c ﹣a ＝1， 所以4|PF 2|+|PF 2|+4≥2√4|PF 2|⋅|PF 2|+4=8， 当且仅当4|PF 2|=|PF 2|，即|PF 2|＝2时，等号成立，则|PF 1|2|PF 2|的最小值为8．故答案为：3；8．16．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P （当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A ，影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e ＝79．解：以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意可知，|NQ |＝a +c ，|QR |＝a ﹣c 由题意可得P （0，4），R （﹣3，0），则PR ：4x ﹣3y +12＝0，k PR =43， 设M （n ，1），Q （n ，0）， 则M 到PR 的距离d =|4n−3+12|√4+3=1，解得n ＝﹣1（舍去）．n =−72，则|QR |=72−3=12=a ﹣c ， 又设PN ：kx ﹣y +4＝0，由d =|−72k−1+4|√1+k =1，得45k 2﹣84k +32＝0．∴k PR •k PN =3245，则k PN =815，得x N =−152， ∴2a =152−3=92，a =94，解得c =74． ∴椭圆的离心率e =ca =79． 故答案为：79．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在平行四边形ABCD 中，A （﹣2，1），B （1，7），D （1，﹣2），点E 是线段CD 的中点．（1）求直线CD 的方程；（2）求过点E 且与直线BC 垂直的直线方程． 解：（1）由题意可得k AB =7−11−(−2)=2，由平行四边形可得CD ∥AB ，所以直线CD 的斜率为2，所以直线CD 的方程为y ﹣（﹣2）＝2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣4＝0； （2）设所求直线为l ．设点C 的坐标为（m ，n ），则DC →=(m −1，n +2)， 由题意AB →=DC →，又AB →=(3，6)，故{m −1=3n +2=6，解得m ＝4，n ＝4，即C （4，4）， 点E 是线段CD 的中点，则E(52，1)， 直线BC 的斜率为k BC =7−41−4=−1，由于直线BC 与l 垂直，故直线l 的斜率为1， 所以直线l 的方程为y −1=x −52， 即2x ﹣2y ﹣3＝0．18．（12分）已知焦点在y 轴上的双曲线的离心率为32，焦点到其中一条渐近线的距离为√5．（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的上焦点F 1的直线l 交双曲线的上支于M 、N 两点．在y 轴上是否存在定点T ，使得∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）因为焦点在y 轴上的双曲线的离心率为32，所以e =√1+b 2a2=32，①因为焦点到其中一条渐近线的距离为√5， 所以d =√a 2+b=b =√5，②联立①②，解得a ＝2， 则双曲线的标准方程为y 24−x 25=1；（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y ＝kx +3，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{y =kx +3y 24−x 25=1，消去y 并整理得（5k 2﹣4）x 2+30kx +25＝0，由韦达定理得x 1+x 2=−30k 5k 2−4，x 1x 2=255k 2−4，假设在y 轴上存在定点T ，使得∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立， 不妨设点T （0，t ），此时k TM +k TN ＝0， 即y 1−t x 1+y 2−t x 2=x 2(y 1−t)+x 1(y 2−t)x 1x 2=x 2(kx 1+3−t)+x 1(kx 2+3−t)x 1x 2=2k +(3−t)(x 1+x 2)x 1x 2=2k +(3−t)−30k 5k 2−4255k 2−4=0，解得t =43，则点T 的坐标为(0，43)．综上，y 轴上存在点T(0，43)，使∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立． 19．（12分）已知圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0． （1）证明：圆C 过定点．（2）当λ＝1时，是否存在斜率为1的直线l 交圆C 于A 、B 两点，使得以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．解：（1）证明：圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0，即x 2+y 2﹣10+λ（3x ﹣y ﹣10）＝0， 令{3x −y −10=0x 2+y 2−10=0，解得{x =3y =−1， 把（3，﹣1）代入圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0成立， 所以圆过定点（3，﹣1）．（2）当λ＝1时，圆C 的方程为：x 2+y 2+3x ﹣y ﹣20＝0． 假设存在直线l 符合题意，直线l 的斜率为1，设直线l 的方程为y ＝x +m ，与圆C 联立{y =x +mx 2+y 2+3x −y −20=0，化简整理可得，2x 2+2（m +1）x +m 2﹣m ﹣20＝0，Δ＝4（m +1）2﹣4×2×（m 2﹣m ﹣20）＞0①， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） x 1+x 2＝﹣（m +1），x 1x 2=m 2−m−202， 若以AB 为直径的圆经过原点，则OA ⊥OB ，OA →⋅OB →=0，即x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+m)(x 2+m)=2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=m m 2﹣m ﹣20﹣m （m +1）+m 2＝m 2﹣2m ﹣20＝0，解得m =1±√21，均满足①，故直线l 的方程为y =x +1−√21或y =x +1+√21． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2且垂直于x 轴的弦长为3，且_____．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆C 的长轴长为4；②椭圆C 与椭圆x 213+y 212=1有相同的焦点；③F 1，F 2与椭圆C 短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 经过F 2，且与椭圆交于M ，N 两点，求△F 1MN 面积的最大值． 解：（1）选①：由题意得{2a =42b 2a =3，解得{a =2b =√3．所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．选②：椭圆x 213+y 212=1的焦点坐标为（±1，0），则c ＝1，又2a ＝4，得a ＝2，由a 2＝b 2+c 2得，b 2＝4﹣1＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．选③：由题意得2b 2a=3，因为F 1，F 2与椭圆C 短轴的一个端点组成等边三角形， 所以b =√3c ，又a 2＝b 2+c 2，得a ＝2，b =√3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）【解法一】：由题知F 2（1，0）， 设直线l 的方程为x ＝my +1，联立{x =my +1x 24+y 23=1，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 所以y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4． 所以S △F 1MN =S △MF 1F 2+S △NF 1F 2=12⋅2c|y 1−y 2|=|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−6m 3m 2+4)2−−363m 2+4=12√m 2+13m 2+4， 设t =√m 2+1≥1，则S △F 1MN =12t 3t 2+1=123t+1t，因为函数y =3t +1t在t ∈[1，+∞）上单调递增， 所以函数y =123t+1t在t ∈[1，+∞）上单调递减， 所以当t ＝1时，y max =123×1+1=3（此时m ＝0，直线为x ＝1）， 所以△F 1MN 面积的最大值为3． 【解法二】：由题知F 2（1，0），当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，此时M （1，32），N （1，−32）或M （1，−32），N （1，32），所以|MN |＝3，所以△F 1MN 的面积为12|F 1F 2|⋅|MN|=3，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）， 联立{y =k(x −1)x 24+y 23=1，得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 所以x 1+x 2=8k23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，所以y 1+y 2=−6k3+4k 2，y 1y 2=−9k23+4k2，所以S △F 1MN =S △MF 1F 2+S △NF 1F 2=12⋅2c|y 1−y 2|=|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−6k 3+4k2−4⋅−9k23+4k2)=12√k 2(k 2+1)3+4k 2，设t ＝3+4k 2＞3，则k 2=t−34，所以S =12√(t−34)2−t−34t 2=3√1−2t −3t2（其中0＜1t ＜13），所以当1t→0时，S →3，综上所述：△F 1MN 面积的最大值为3．21．（12分）已知动圆M 经过点A （2，0），且与直线x ＝﹣2相切．设圆心M 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 为直线x ＝﹣2上任意一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为E 、F ，求证：PE ⊥PF ． 解：（1）因为动圆M 经过点A （2，0），且与直线x ＝﹣2相切， 所以|MA |＝|x +2|，即点M 到点A （2，0）的距离与到直线x ＝﹣2的距离相等，由抛物线定义知圆心M 的轨迹C 为抛物线，且焦点为（2，0），准线方程为x ＝﹣2， 所以曲线C 的方程为y 2＝8x ；（2）证明：易知过点P 的切线斜率存在，且不为0； 因为P 为直线x ＝﹣2上任意一点，不妨设P （﹣2，t ），切线方程为x +2＝m （y ﹣t ），联立{x +2=m(y −1)y 2=8x ，消去x 并整理得y 2﹣8my +8mt +16＝0，此时Δ＝64m 2﹣4（8tm +16）＝64m 2﹣32tm ﹣64＝0， 因为过点P 存在两条切线，所以关于m 的方程有两个不相等的实数根m 1，m 2， 由韦达定理得m 1m 2＝﹣1，不妨设切线PE 、PF 的斜率分别为k 1，k 2， 此时k 1k 2=1m 1⋅1m 2=−1，故PE ⊥PF ．22．（12分）已知两定点A （﹣3，0），B （3，0），过动点P 的两直线P A 和PB 的斜率之积为−89．设动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设F 1（﹣1，0），过F 1的直线l 交曲线C 于M 、N 两点（不与A 、B 重合）．设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明k 1k 2为定值．解：（1）不妨设点P （x ，y ），因为过动点P 的两直线P A 和PB 的斜率之积为−89， 所以k PA ⋅k PB =yx+3⋅yx−3=−89， 整理得x 29+y 28=1(x ≠±3)；（2）证明：不妨设直线l 的方程为x ＝my ﹣1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{x =my −1x 29+y 28=1，消去x 并整理得（8m 2+9）y 2﹣16my ﹣64＝0，由韦达定理得y 1+y 2=16m 8m 2+9，y 1y 2=−648m 2+9， 则k 1k 2=y 1x 1+3⋅x 2−3y 2=x 2y 1−3y 1x 1y 2+3y 2=(my 2−1)y 1−3y 1(my 1−1)y 2+3y 2=my 1y 2−4y 1my 1y 2+2y 2=−64m8m 2+9−4y 1−64m 8m 2+9+2(16m8m 2+9−y 1)=−64m8m 2+9−4y 1−32m8m 2+9+2y 1=2．综上，k 1k 2为定值2．。

江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（ ）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（ ）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（ ）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（ ）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。

2023-2024学年河南省濮阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线√3x +y +2024=0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点M （m ，n ，p ）关于平面xOy 对称的点的坐标是（ ） A ．（m ，n ，﹣p ）B ．（m ，﹣n ，﹣p ）C ．（﹣m ，n ，﹣p ）D ．（﹣m ，﹣n ，p ）3．抛物线x 2＝16y 的焦点到点（2，5）的距离为（ ） A ．2B ．√5C ．√7D ．44．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的底面中心为O ，AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则OP →=（ ）A ．−12a →−12b →−c →B ．12a →+12b →−c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →+12b →+c →5．过点A （﹣1，﹣1），B （2，2），C （﹣1，1）三点的圆的方程为（ ） A ．x 2+（y ﹣1）2＝9 B ．x 2+（y ﹣1）2＝4 C ．（x +1）2+y 2＝5D ．（x ﹣1）2+y 2＝56．如图所示为某高中校内伫立于教学楼前的“孔子像”的底座模型图，该底座可看作正方体BCDE ﹣HGJI 与直三棱柱ABH ﹣FEI 的组合体，且△ABH 为等腰直角三角形，则直线AH 与直线IG 所成的角为（ ）A ．π4B ．π6C ．2π3D ．π37．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心F 1为一个焦点且离心率为12的椭圆，地球可看作半径为R 的球体，近地点离地面的距离为r ，则远地点离地面的距离l 为（ ）A ．3r +2RB ．2r +3RC ．r +2RD ．13r +R8．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点P 为△ABC 所在平面内以A ，B 为左、右顶点，√33为半短轴长的椭圆上的一动点，则PD 的最大值为（ ） A ．4B ．2C ．5√66D ．√333二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年湖北省孝感市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．若复数z 满足2z −z =3+12i ，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四 2．已知向量a →=（﹣1，2），b →=（3，4），c →=2a →−λb →，若c →⊥b →，则实数λ＝（ ）A ．−25B ．12C ．−12D ．25 3．甲、乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码的概率均为0.4，则密码被破译的概率为（ ）A ．0.36B ．0.48C ．0.64D ．0.544．经过点（1，3）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）A ．x +y ＝4B ．y ＝x +2C ．y ＝3x 或x +y ＝4D ．y ＝3x 或y ＝x +25．关于空间中两条不同的直线m ，n 与两个不同的平面α，β，下列说法正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则m ⊥nC ．若n ∥α，m ⊥n ，α⊥β，则m ∥βD ．若n ⊥α，m ∥n ，α∥β，则m ⊥β6．东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，从东到西的公路上有相距80（单位：m ）的B 、A 两个观测点，在A 点测得塔在北偏东60°的点D 处，在B 点测得塔在北偏西30°，塔顶C 的仰角为45°，则塔的高度CD 约为（ ）A ．40mB ．37mC ．35mD ．23m7．已知圆C ：x 2+y 2﹣2x ＝0，直线l ：x +y +1＝0，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线P A 、PB ，切点分别A 、B ，当|PC |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．x +y ＝0B ．x ﹣y ＝0C ．2x ﹣2y +1＝0D ．2x +2y +1＝08．如图，棱长为2的长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段B 1D 1上动点（包括端点）．则以下结论正确的为（ ）A ．三棱锥P ﹣A 1BD 中，点P 到面A 1BD 的距离为定值4√33B ．过点P 平行于面A 1BD 的平面被正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1截得的多边形的面积为3√3C ．当点P 为B 1D 1中点时，三棱锥P ﹣A 1BD 的外接球体积为11√11π3 D ．直线P A 1与面A 1BD 所成角的正弦值的范围为[√33，√63] 二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9．已知事件A ，B ，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.2，则下列结论正确的是（ ）A ．如果B ⊆A ，那么P （AB ）＝0.5 B ．如果A 与B 互斥，那么P （AB ）＝0C ．如果A 与B 相互独立，那么P(AB)=0.4D ．如果A 与B 相互独立，那么P （AB ）＝010．已知圆O ：x 2+y 2＝4，过点M （﹣1，0）直线l 与圆O 交于P ，Q 两点．下列说法正确的是（ ）A ．|PQ |的最小值为2√2B ．PO →⋅PQ →∈[6，8]C ．OP →⋅OQ →的最小值为﹣4D ．线段PQ 中点的轨迹为圆11．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 是BB 1的中点，AA 1＝AB ＝4，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 为侧面AA 1C 1C （含边界）上一点，BP ∥平面ADC 1，则下列结论正确的是（ ）A ．BC ⊥AC 1B ．直线C 1D 与直线A 1C 所成角的余弦值是2√55 C ．点A 1到平面AC 1D 的距离是√3D ．线段BP 长的最小值是8√55 12．已知F 为椭圆C ：x 24+y 22=1的左焦点，直线l ：y ＝kx （k ≠0）与椭圆C 交于A 、B 两点，AE ⊥x 轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（ ）A ．1|AF|+4|BF|的最小值为2B ．△ABE 的面积的最大值为√2C ．直线BE 的斜率为k 2D ．∠P AB 为直角 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知有8个样本数据分别为4，7，8，10，12，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为 ．14．已知圆C 1：x 2+y 2＝4和圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4，若点P （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在两圆的公共弦上，则1a +9b 的最小值为 ． 15．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝2AD ＝6，E 是AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，连接A 1C ．当三棱锥A 1﹣CDE 的体积取得最大值时，此时三棱锥A 1﹣CDE 外接球的体积为 ．16．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=π3，若△F 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当R ＝4r 时，椭圆的离心率为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．18．（12分）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC而言，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，P A＝2．（1）求△P AC的面积；（2）求PB的长度．19．（12分）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝DC，E是SC的中点．（1）证明：SA∥平面BDE；（2）若点G在棱SC上，且SG：GC＝2：1，在棱SB上求一点H使得AH∥平面BDG．20．（12分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中A（﹣2，0），B（1，0）且|P A|＝2|PB|．（1）求点P的轨迹方程；（2）若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程；（3）若点P（x，y）在（1）的轨迹上运动，求t=y+4x−6的取值范围．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，P A＝BC＝3，AB ＝AD＝2，PB=√13．E为PD中点，点F在PC上，且PC＝3FC．（1）求证：AB ⊥平面P AD ；（2）求二面角F ﹣AE ﹣D 的余弦值；（3）线段AC 上是否存在点Q ，使得DQ ∥平面F AE ？说明理由．22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点M(√3，12)，点A 为下顶点，且AM 的斜率为√32． （1）求椭圆E 的方程；（2）如图，过点B （0，4）作一条与y 轴不重合的直线，该直线交椭圆E 于C 、D 两点，直线AD ，AC 分别交x 轴于H ，G 两点，O 为坐标原点．求证：|OH ||OG |为定值，并求出该定值．2023-2024学年湖北省孝感市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．若复数z 满足2z −z =3+12i ，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由2z −z =3+12i ，得2a +2bi ﹣a +bi ＝a +3bi ＝3+12i ，∴a ＝3，b ＝4．则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（3，4），所在的象限是第一象限． 故选：A ．2．已知向量a →=（﹣1，2），b →=（3，4），c →=2a →−λb →，若c →⊥b →，则实数λ＝（ ）A ．−25B ．12C ．−12D ．25解：由于知向量a →=（﹣1，2），b →=（3，4），c →=2a →−λb →=（﹣2﹣3λ，4﹣4λ），由于c →⊥b →，故：3×（﹣2﹣3λ）+4×（4﹣4λ）＝0，解得λ=25．故选：D ．3．甲、乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码的概率均为0.4，则密码被破译的概率为（） A ．0.36 B ．0.48 C ．0.64 D ．0.54解：甲乙都不能译出密码的概率为P 1＝（1﹣0.4）×（1﹣0.4）＝0.36，故密码被破译的概率为1﹣P 1＝0.64．故选：C ．4．经过点（1，3）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）A ．x +y ＝4B ．y ＝x +2C ．y ＝3x 或x +y ＝4D ．y ＝3x 或y ＝x +2解：当直线过原点时，由于斜率为3−01−0=3，故直线方程为y ＝3x ；当直线不过原点时，设方程为x a +y −a =1，把点（1，3）代入可得a ＝﹣2，故直线的方程为y ＝x +2，故选：D ．5．关于空间中两条不同的直线m ，n 与两个不同的平面α，β，下列说法正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则m ⊥nC．若n∥α，m⊥n，α⊥β，则m∥βD．若n⊥α，m∥n，α∥β，则m⊥β解：根据题意，依次分析选项：对于A，直线m、n可以平行、相交，也可以异面，A错误；对于B，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n，B错误；对于C，若n∥α，m⊥n，α⊥β，则m可以与平面β相交，C错误；对于D，若n⊥α，m∥n，则m⊥α，又由α∥β，则m⊥β，D正确．故选：D．6．东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，从东到西的公路上有相距80（单位：m）的B、A两个观测点，在A点测得塔在北偏东60°的点D 处，在B点测得塔在北偏西30°，塔顶C的仰角为45°，则塔的高度CD约为（）A．40m B．37m C．35m D．23m解：从东到西的公路上有相距80（单位：m）的B、A两个观测点，在A点测得塔在北偏东60°的点D 处，在B点测得塔在北偏西30°，则∠DAB＝90°﹣60°＝30°，∠DBA＝90°﹣30°＝60°，则∠ADB＝90°，又|AB|＝80，则|BD|＝40，又在B点测得塔顶C的仰角为45°，则∠CBD＝45°，则|CD|＝|BD|＝40，则塔的高度CD约为40m．故选：A．7．已知圆C：x2+y2﹣2x＝0，直线l：x+y+1＝0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线P A、PB，切点分别A 、B ，当|PC |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．x +y ＝0B ．x ﹣y ＝0C ．2x ﹣2y +1＝0D ．2x +2y +1＝0 解：化圆C 为（x ﹣1）2+y 2＝1，则圆心C （1，0），半径r ＝1．∵四边形P ACB 面积S =12|PC |•|AB |＝2S △P AC ＝|P A |•|AC |＝2|P A |＝2√PC 2−4，∴要使|PC |•|AB |最小，则需|PC |最小，此时PC 与直线l 垂直，则直线PC 的方程为y ＝x ﹣1，联立{y =x −1x +y +1=0，解得P （0，﹣1）． 则以PC 为直径的圆的方程为（x −12）²+（y +12）²=12．则两圆方程相减可得直线AB 的方程为x +y ＝0．故选：A ．8．如图，棱长为2的长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段B 1D 1上动点（包括端点）．则以下结论正确的为（ ）A ．三棱锥P ﹣A 1BD 中，点P 到面A 1BD 的距离为定值4√33B ．过点P 平行于面A 1BD 的平面被正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1截得的多边形的面积为3√3C ．当点P 为B 1D 1中点时，三棱锥P ﹣A 1BD 的外接球体积为11√11π3 D ．直线P A 1与面A 1BD 所成角的正弦值的范围为[√33，√63] 解：对于A 中，由题意可得：BB 1∥DD 1且BB 1＝DD 1∴BB 1D 1D 为平行四边形，则BD ∥B 1D 1，且B 1D 1⊄平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ， ∴B 1D 1∥平面A 1BD ，又P 为线段B 1D 1上，则点P 到平面A 1BD 的距离为定值，设点P 到面A 1BD 的距离为h ，△A 1BD 为等边三角形，∴S △A 1BD =12×2√2×2√2×√32=2√3， ∵V P−A 1BD =V A 1−PBD ，∴13×2√3×ℎ=13×√2×12×2√2×2，解得ℎ=2√33，∴A 错误； 对于B 中，过点P 平行于平面A 1BD 的平面被正方体所截的截面为△B 1D 1C ， 此时三角形B 1D 1C 为边长为2√2的等边三角形，其面积为12×2√2×2√2×√32=2√3，∴B 不正确； 设直线P A 1与平面A 1BD 所成角为θ，则sinθ=ℎA 1P =2√33A 1P ， ∵A 1P ∈[√2，2]，则sinθ∈[√33，√63]，∴D 正确； 对于C 中，当点P 为B 1D 1中点时，则A 1P ⊥B 1D 1，∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1P ⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴A 1P ⊥BB 1，又BB 1∩B 1D 1＝B 1，BB 1，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ，∴A 1P ⊥平面BB 1D 1D ，设△PBD 的外接圆圆心为O 1，半径为r ，三棱锥P ﹣A 1BD 的外接球的球心O ，半径为R ，连接OO 1，O 1B ，OB ，则OO 1⊥平面PBD ，且OO 1=12A 1P =√22，对于△PBD ，则PB =PD =√6，BD =2√2，∴cos ∠BPD =PB 2+PD 2−BD 22PB⋅PD=13， 则sin ∠BPD =√1−cos 2∠BPD =2√23，∵2r =BD sin∠BPD =3，则r =32，∴R 2=r 2+OO 12=114，即R =√112， 则三棱锥P ﹣A 1BD 的外接球的体积为43πR 3=11√11π6，∴C 错误．故选：D ．二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9．已知事件A ，B ，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.2，则下列结论正确的是（ ）A ．如果B ⊆A ，那么P （AB ）＝0.5B ．如果A 与B 互斥，那么P （AB ）＝0C ．如果A 与B 相互独立，那么P(AB)=0.4D ．如果A 与B 相互独立，那么P （AB ）＝0解；对于A ，由B ⊆A 得A ∩B ＝B ，则P （AB ）＝P （A ∩B ）＝P （B ）＝0.2，A 错； 对于B ，由A 与B 互斥得A ∩B ＝∅，则P （AB ）＝P （A ∩B ）＝P （∅）＝0，B 对； 对于CD ，A 与B 相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.8=0.4，P （AB ）＝P （A ）P （B ）＝0.5×0.2＝0.1，故C 对D 错；故选：BC ．10．已知圆O ：x 2+y 2＝4，过点M （﹣1，0）直线l 与圆O 交于P ，Q 两点．下列说法正确的是（） A ．|PQ |的最小值为2√2 B ．PO →⋅PQ →∈[6，8]C ．OP →⋅OQ →的最小值为﹣4D ．线段PQ 中点的轨迹为圆解：对于选项A ：由题意可知，当l ⊥x 轴时，|PQ |最小，所以|PQ |的最小值为2×√4−1=2√3，故选项A 错误；对于选项B ：设N 是PQ 的中点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，PO →⋅PQ →=|PO →|⋅|PQ →|⋅cos∠OPQ =|PQ →|⋅|PN →|=12|PQ →|2，∵|PQ →|的最小值为2√3，最大值为4，∴PO →⋅PQ →∈[6，8]，故选项B 正确；对于选项C ：当直线l 的斜率为0时，OP →⋅OQ →=2×2×cosπ=−4，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ﹣1，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立方程{x =my −1x 2+y 2=4，消去x 得（m 2+1）y 2﹣2my ﹣3＝0， ∴y 1+y 2=2m m 2+1，y 1y 2=−3m 2+1， ∴OP →⋅OQ →=(m 2+1)y 1y 2−m(y 1+y 2)+1=−3(m 2+1)−2m 2m 2+1+1=−4m 2−2m 2+1=−4+2m 2+1∈(−4，−2]，∴OP →⋅OQ →∈[−4，−2]，∴OP →⋅OQ →的最大值为﹣2，当且仅当m ＝0，即l ：x ＝﹣1时取等号，故选项C 正确； 对于选项D ：由于MN ⊥ON ，则点N 在以MO 为直径的圆上，圆心为(−12，0)，半径为12，∴点N 的轨迹方程为(x +12)2+y 2=14，即线段PQ 中点的轨迹为圆，故选项D 正确． 故选：BD ．11．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 是BB 1的中点，AA 1＝AB ＝4，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 为侧面AA 1C 1C （含边界）上一点，BP ∥平面ADC 1，则下列结论正确的是（ ）A ．BC ⊥AC 1B ．直线C 1D 与直线A 1C 所成角的余弦值是2√55C ．点A 1到平面AC 1D 的距离是√3D ．线段BP 长的最小值是8√55解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，C 1C ⊥BC ， 在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC •cos60°＝16+4﹣2×4×2×12=12， 所以AC 2+BC 2＝12＝AB 2，可得AC ⊥BC ，结合AC ∩C 1C ＝C ，可知BC ⊥平面AA 1C 1C ，所以BC ⊥AC 1，故A 正确；由前面的分析，可知CA 、CB 、CC 1两两垂直，可知CA →⋅CB →=CB →⋅CC 1→=CC 1→⋅CA →=0，而A 1C →=A 1A →+AC →=−CA →−AA 1→=−CA →−CC 1→，C 1D →=C 1B 1→+B 1D →=CB →−12CC 1→，所以A 1C →⋅C 1D →=(−CA →−CC 1→)⋅(CB →−12CC 1→)=−CA →⋅CB →+12CA →⋅CC 1→−CC 1→⋅CB →+12CC 1→2=12CC 1→2=12×42=8，结合|A 1C →|=√42+22=2√5，|C 1D →|=√12+22=4， 可得cos ＜A 1C →，C 1D →＞=A 1C →⋅C 1D →|A 1C →|⋅|C 1D →|=825×4=√55，所以直线C 1D 与直线A 1C 所成角的余弦值是√55，故B 不正确；根据A 1C 1＝AC ＝2，AA 1＝4，可知D 到平面AA 1C 1的距离等于BC =2√3，可得V D−AA 1C 1=13×12×2×4×2√3=8√33，AD =√16+4=2√5，AC 1=√16+4=2√5，DC 1=√4+12=4， 所以S △AC 1D =12×4×√20−4=8，设A 1到平面AC 1D 的距离为h ， 可得13×8×ℎ=8√33，解得h =√3，即点A 1到平面AC 1D 的距离是√3，故C 正确；分别取CC 1、AC 的中点G 、H ，连接BG ，BH ，GH ，可得BG ∥DC 1，GH ∥AC 1， 又因为BG ⊄平面AC 1D ，DC 1⊂平面AC 1D ，所以BG ∥平面AC 1D ，同理GH ∥平面AC 1D ， 结合BG ∩GH ＝G ，可得平面BGH ∥平面AC 1D ，所以BP ∥平面AC 1D ， 因此，P 点的轨迹为线段GH ，因为BH =√12+1=√13，GH =√4+1=√5，BG =√12+4=4， 所以cos ∠BHG =2×√13×√5=√6565，可得sin ∠BHG =√1−165=8√6565． 所以S △BGH =12×√13×√5×8√6565=4， 设B 到GH 的距离为d ，由等面积法可得：12×√5d =4，即d =8√55，可得线段BP 长的最小值是8√55，故D 正确．故选：ACD ．12．已知F 为椭圆C ：x 24+y 22=1的左焦点，直线l ：y ＝kx （k ≠0）与椭圆C 交于A 、B 两点，AE ⊥x 轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（ ） A ．1|AF|+4|BF|的最小值为2B ．△ABE 的面积的最大值为√2C ．直线BE 的斜率为k 2D ．∠P AB 为直角解：对于A ：因为O 为AB 的中点，O 也是FF 2的中点， 所以AFBF 2为平行四边形，所以BF ＝AF 2， 所以AF +BF ＝AF +AF 2＝2a ＝4， 所以1AF+4BF=14（1AF+4BF）（AF +BF ）=14（5+BF AF +4AF BF ）≥14（5+4）=94，故A 错误； 对于B ：设A （m ，n ），B （﹣m ，﹣n ），E （m ，0），P （x 1，y 1）， 因为A 在椭圆上，所以m 24+n 22=1≥2√m 2n 28，即mn ≤√2，所以S =12•m •2n ＝mn ≤√2，当且仅当m =√2，n ＝1时取等号，故B 正确； 对于C ：因为k ＝k OA =n m ，所以k BE =n 2m =k2，故C 正确； 对于D ：因为A ，P 在椭圆上，所以m 24+n 22=1，x 124+y 122=1，两式相减得n 2−y 12m 2−x 12=−12，即(n+y 1)(n−y 1)(m+x 1)(m−x 1)=−12，即k PB •k P A =−12，所以k 2•k P A =−12，所以k •k P A ＝﹣1，所以∠P AB 为直角，故D 正确， 故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知有8个样本数据分别为4，7，8，10，12，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为 17.5 ．解：由题意，数据的总体的第三四分位数即第75百分位数，又样本数据有8个， 所以8×75%＝6，所以第三四分位数为15+202=17.5．故答案为：17.5．14．已知圆C 1：x 2+y 2＝4和圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4，若点P （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在两圆的公共弦上，则1a+9b 的最小值为 8 ．解：由题意，两圆的方程相减，可得x +y ＝2， ∵点P （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在两圆的公共弦上， ∴a +b ＝2，∴1a+9b =12（1a +9b）（a +b ）=12（10+b a +9a b ）≥12(10+6)=8， 当且仅当ba=9a b ，即b ＝3a 时，取等号，1a+9b的最小值为8，故答案为8．15．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝2AD ＝6，E 是AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，连接A 1C ．当三棱锥A 1﹣CDE 的体积取得最大值时，此时三棱锥A 1﹣CDE 外接球的体积为 36π ．解：因为三棱锥A 1﹣CDE 的底面积S △CDE ＝9为定值，故当高最大值时，体积最大，又因为DE =CE =3√2，且△A 1DE 为等腰直角三角形，取DE 中点为F ， 连接A 1F ，故A 1F ⊥DE ，且A 1F =3√22，所以当A 1F ⊥平面DEBC 时，三棱锥A 1﹣CDE 的高最大为3√22， 可知DE 2+CE 2＝CD 2，即∠CED ＝90°，则△DEC 为等腰直角三角形，所以球心O 在平面DEBC 的投影为DC 中点G ，且△DEC 的外接圆半径为r ＝3， 设OG ＝h ，则FG =12EC =3√22， 由题意可得{R 2=ℎ2+9R 2=92+(3√22−ℎ)2，解得{R =3ℎ=0， 所以三棱锥A 1﹣CDE 外接球的体积为V =43πR 3=36π． 故答案为：36π． 16．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=π3，若△F 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当R ＝4r 时，椭圆的离心率为 23．解：△F 1PF 2的外接圆的半径R ，由正弦定理2R =|F 1F 2|sin∠F 1PF 2=2c sin π3，所以R =2√33c ， 又由于R ＝4r ，所以r =√36c ，在△F 1PF 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2+|PF 2|2﹣2|PF 1||PF 2|•cos ∠F 1PF 2，而∠F 1PF 2=π3， 所以4c 2＝4a 2﹣3|PF 1||PF 2|，所以可得：|PF 1||PF 2|=43（a 2﹣c 2），由三角形的面积相等可得：12（|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|）•r =12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2，所以（2a +2c ）r =43（a 2﹣c 2）•√32， 所以2（a +c ）√36c =43（a 2﹣c 2）•√32， 整理可得：c ＝2（a ﹣c ）＝0，即3c ＝2a ，解得e =23， 故答案为：23．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的x ，y 的值； （2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．解：（1）由频率分布直方图得[50，60）的频率为0.016×10＝0.16， ∵得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2． ∴n =80.016×10=50，y =2n×10=2500=0.004， ∴x ＝[1﹣（0.016+0.04+0.01+0.004）×10]÷10＝0.03． （2）估计本次竞赛学生成绩的众数为：70+802=75，∵[50，70）的频率为：（0.016+0.03）×10＝0.46，[70，80）的频率为：0.04×10＝0.4，∴中位数为：70+0.5−0.460.4×10=71，平均数为：55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04＝70.6．18．（12分）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC而言，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，P A＝2．（1）求△P AC的面积；（2）求PB的长度．解：（1）由已知可得∠P AB＝180°﹣120°﹣45°＝15°，∴∠P AC＝45°﹣15°＝30°，在△P AC中，∠PCA＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴P A＝PC＝2，∴△P AC的面积S=12P A•PC•sin∠P AC=12×2×2×√32=√3．（2）∵sin15°＝sin（45°﹣30°）=√22×√32−√22×12=√6−√24，sin45°=√22，∴在△P AB中，由正弦定理PBsin15°=PAsin45°，可得PB=2sin15°sin45°=2×√6−√24√22=√3−1．19．（12分）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝DC，E是SC的中点．（1）证明：SA∥平面BDE；（2）若点G在棱SC上，且SG：GC＝2：1，在棱SB上求一点H使得AH∥平面BDG．解：（1）证明：连接AC交BD于O，连接EO，由题意得：在△SAC中，EO∥SA，又EO⊂平面EDB，SA⊄平面EDB，∴SA∥平面EDB；（2）连接AC交BD于O，连接GO，取SG的中点F，连接AF，则根据题意可得G为FC的中点，又O为AG中点∴AF∥OG，取SB的中点H，连接FH，则FH∥GB，又AF∩FH＝F，∴平面AFH∥平面BDG，又AH⊂平面AFH，∴AH∥平面BDG，∴当点H为棱SB的中点时，AH∥平面BDG．20．（12分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中A（﹣2，0），B（1，0）且|P A|＝2|PB|．（1）求点P的轨迹方程；（2）若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程；（3）若点P（x，y）在（1）的轨迹上运动，求t=y+4x−6的取值范围．（1）设P（x，y），|P A|＝2|PB|．则（x+2）2+y2＝4[（x﹣1）2+y2]，化简得：x2﹣4x+y2＝0，故点P的轨迹方程为x2﹣4x+y2＝0；（2）设M（a，b），因为点M为AP的中点，所以点P的坐标为（2a+2，2b），将P（2a+2，2b）代入x2﹣4x+y2＝0中，得到a2+b2＝1，所以点M的轨迹方程为x2+y2＝1；（3）因为点P（x，y）在（1）的轨迹上运动，所以x2﹣4x+y2＝0，变形为（x﹣2）2+y2＝4，即点P（x，y）为圆心为（2，0），半径为2的圆上的点，则t=y+4x−6表示的几何意义为圆上一点与（6，﹣4）连线的斜率，当过（6，﹣4）的直线与圆相切时，取得最值，设y+4＝k（x﹣6），则由点到直线距离公式可得：√1+k2=2，解得k=−4−√73或−4+√73，故t=y+4x−6的取值范围是[−4−√73，−4+√73]．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，P A＝BC＝3，AB ＝AD＝2，PB=√13．E为PD中点，点F在PC上，且PC＝3FC．（1）求证：AB⊥平面P AD；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值；（3）线段AC上是否存在点Q，使得DQ∥平面F AE？说明理由．（1）证明：在△P AB中，∵P A＝3，AB＝2，PB=√13，∴PA 2+AB 2=32+22=(√13)2=PB 2． ∴∠P AB ＝90°，即AB ⊥P A ．又∵AB ⊥AD ，在平面P AD 中，P A ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面P AD ；（2）解：∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，AB ⊥AD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴AD ⊥平面P AB ，得AD ⊥P A ，已证AB ⊥P A ，且已知AB ⊥AD ，∴以A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则D （2，0，0），P （0，0，3），C （3，2，0）．AP →=(0，0，3)，AD →=(2，0，0)，AC →=(3，2，0)，CP →=(−3，−2，3)， ∵E 为PD 中点，∴AE →=12(AP →+AD →)=(1，0，32)．由PC ＝3FC 知，AF →=AC →+CF →=AC →+13CP →=(3，2，0)+(−1，−23，1)=(2，43，1)．设平面AEF 的法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅AE →=x +32z =0n →⋅AF →=2x +43y +z =0，令z ＝2，得n →=(−3，3，2)．又AB ⊥平面P AD ，∴平面P AD 的法向量为AB →=(0，2，0)． ∴cos〈n →，AB →〉=n →⋅AB→|n →||AB →|=3×22×9+9+4=3√2222，由题知，二面角F ﹣AE ﹣D 为锐角， ∴二面角F ﹣AE ﹣D 的余弦值为3√2222； （3）解：设Q 是线段AC 上一点，则存在λ∈[0，1]使得AQ →=λAC →． ∵AC →=(3，2，0)，DA →=(−2，0，0)，∴DQ →=DA →+AQ →=DA →+λAC →=(3λ−2，2λ，0)．∵DQ ⊄平面AEF ，∴要使DQ ∥平面AEF ，则DQ →⋅n →=0，即（3λ﹣2，2λ，0）•（﹣3，3，2）＝0．即（3λ﹣2）×（﹣3）+2λ×3+0×2＝0．解得λ＝2． ∵λ＝2∉[0，1]，∴线段AC 上不存在Q ，使得DQ ∥平面AEF ．22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)过点M(√3，12)，点A 为下顶点，且AM 的斜率为√32．（1）求椭圆E 的方程；（2）如图，过点B （0，4）作一条与y 轴不重合的直线，该直线交椭圆E 于C 、D 两点，直线AD ，AC 分别交x 轴于H ，G 两点，O 为坐标原点．求证：|OH ||OG |为定值，并求出该定值．（1）解：∵椭圆过点M(√3，12)，点A 为下顶点，坐标为（0，﹣b ），又AM 的斜率为√32，则有：{ 3a 2+14b2=112+b 3=√32，解得a ＝2，b ＝1．故求椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．（2）证明：由题意知，直线BC 的斜率存在，设直线BC ：y ＝kx +4，由{x 24+y 2=1，y =kx +4整理得，（1+4k 2）x 2+32kx +60＝0．设D （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=−32k 1+4k2，x 1x 2=601+4k2．Δ＝（32k ）2﹣4（1+4k 2）×60＝16（4k 2﹣15）＞0，得|k|＞√152．因为A （0，﹣1），直线AD 的方程为y =y 1+1x 1x −1，令y ＝0，解得x =x1y 1+1， 则H(x 1y 1+1，0)，同理可得G(x2y 2+1，0)， ∴|OH||OG|=|x 1y 1+1||x 2y 2+1|=|x 1x 2(kx 1+5)(kx 2+5)|=|x 1x 2k 2x 1x 2+5k(x 1+x 2)+25| =|601+4k2k 2⋅601+4k2+5k(−32k 1+4k2)+25|=|6060k 2−160k 2+25(1+4k 2)|=125．（定值）。

嘉兴高级中学2023学年第二学期期中考试高二年级数学试卷答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若随机变量满足，其中为常数，则( )A. B. C. D.答案：A2.下列求导结果正确的是( )A. B. C. D.答案：C3.已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A4.方程的正整数解的个数为（）A. B. C. D.答案：B5.设，则的展开式中是系数为（）A. B. C. D.答案：D6.不透明的盒子中有红色、黄色、黑色的球各个，且这些球标有不同的编号，每次从中随机取出个，不放回，当取出相同颜色的球时，结束取球，则结束取球时，恰有种不同颜色的球被取出的取法共有( )A. 种B. 种C. 种D. 种答案：D7.函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.答案：B8.已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（）A. B. C. D.答案：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。

9.若的展开式中第项的二项式系数最大，则的可能值为（）A. B. C. D.答案：BCD10.已知为随机事件，，，则下列结论正确的有（）A.若为互斥事件，则B.若为互斥事件，则C.若相互独立，则D.若，则答案：ACD解析：对于A，根据互斥事件的加法公式可得，,故A正确。

对于B，若A，B为互斥事件，则，所以，故B不正确。

对于C，由于A，B是相互独立事件，所以，所以，故C正确。

对于D，由，得，所以，故D正确。

综上，选ACD。

11.已知直线与函数的图象相交于两点，与函数的图象相交于两点，的横坐标分别为，则A. B. C. D.解析：由题，，当时，，单调递增，当时，，单调递减；，当时，，单调递减，当时，，单调递增。

2024高二数学期中考试题及答案一、选择题（每小题3分，共计60分）1. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，求f(-1)的值是多少？A) -9 B) -7 C) 7 D) 92. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3,4,5}，则A∪B的元素个数是多少？A) 4 B) 5 C) 7 D) 83. 设函数f(x)=4x-1，g(x)=2x+3，求满足f(g(x))=1的x的值。

A) 0 B) -1 C) 1 D) 24. 在等差数列an中，若a1=3，d=4，an=19，则n的值是多少？A) 4 B) 5 C) 6 D) 75. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度是多少？A) 5 B) 7 C) 25 D) 49二、填空题（每小题4分，共计40分）1. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={4,5,6,7}，则A∩B的元素个数是_________。

2. 设函数f(x)=3x+2，则f(-1)的值是_________。

3. 在等差数列an中，若a1=2，d=3，an=23，则n的值是_________。

4. 男生与女生的比例是3:5，班级总人数为80，女生人数是_________。

5. 若正方形的边长为x+2，其面积是_________。

6. 已知平行四边形的底边长为5，高为3，其面积是_________。

7. 若正方形的对角线长为10，边长是_________。

8. 设函数f(x)=x^2+2x-1，g(x)=x-1，则f(g(2))的值是_________。

9. 若直角三角形的两条直角边分别为6和8，斜边的长度是_________。

10. 设集合A={a,b,c}，集合B={c,d,e}，则A×B的元素个数是_________。

三、解答题（共计40分）1. 若函数f(x)满足f(2x-1)=2x^2-2x，则求f(x)的表达式。

2. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-3n-4，求数列{an}的首项和前6项的和。

2023-2024学年河南省信阳市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x +y ﹣2023＝0的倾斜角为（ ） A ．−π4B ．π4C ．π2D ．3π42．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E ＝“点数为奇数”，F ＝“点数为偶数”，G ＝“点数大于2”，H ＝“点数不大于2”，R ＝“点数为1”．则下列结论不正确的是（ ） A ．E ，F 为对立事件B ．G ，H 为互斥不对立事件C ．E ，G 不是互斥事件D ．G ，R 是互斥事件3．已知直线l 1：mx +y +6＝0，l 2：3x +（m ﹣2）y +2m ＝0，若l 1∥l 2，则m 等于（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．3D ．﹣1 或34．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．利用计算机产生一组随机数：907 966 191 924 274 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 986若用1，3，5，7，9表示下雨，用0，2，4，6，8表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（ ） A ．920B ．12C ．1120D ．385．已知PA →，PB →，PC →不共面，PM →=(3−x −y)PA →+xPB →+(y −2)PC →，则（ ） A ．∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，M 四点共面 B ．∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，M 四点不共面C ．∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，P 四点共面D ．∃x ，y ∈R ，A ，B ，C ，P 四点共面6．已知AB 是圆锥PO 的底面直径，C 是底面圆周上的点，∠BAC ＝30°，AB =2√3，P A ＝2，则P A 与平面PBC 所成角的正弦值为（ ）A ．12B ．√32C ．2√1313D ．3√13137．已知直线l ：3x +ay ﹣25＝0与圆C ：x 2+y 2＝25，点A （3，a ），则下列说法不正确的是（ ）A ．若直线l 与圆C 相切，则a ＝4B ．若0＜α＜4，则直线l 与圆C 相离 C ．若a ＞4，则直线l 与圆C 相交D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切8．已知x +y +1＝0，则√x 2+y 2−2x −2y +2+√(x −3)2+y 2的最小值是（ ） A ．√10B ．√13C ．√29D ．6二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若方程x 2+y 2﹣2mx +m 2﹣2m ﹣1＝0表示圆，则m 的取值可以为（ ） A ．2B ．0C ．−12D ．﹣210．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A 和B ，其中n （Ω）＝36，n （A ）＝18，n （B ）＝12，n （A ∪B ）＝24，则（ ）A ．P(A ∪B)=23B ．P(AB)=13C ．事件A 与B 互斥D ．事件A 与B 相互独立11．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是底面ABCD 的中心，Q 是棱A 1D 1上的一点，且D 1Q →=λD 1A 1→，λ∈[0，1]，N 为线段AQ 的中点，则（ ）A ．C ，M ，N ，Q 四点共面B ．三棱锥A ﹣DMN 的体积为定值C ．当λ=12时，过A ，M ，Q 三点的平面截正方体所得截面的面积为4 D ．不存在λ使得直线MB 1与平面CNQ 垂直12．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中证明了命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0且k ≠1）的点的轨迹是圆，人们称之为阿氏圆．现有△ABC ，BC ＝8，sin B ＝3sin C ．以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系xOy ，则（ ） A ．点A 的轨迹方程为x 2+y 2+10x +16＝0（y ≠0）B ．点A 的轨迹是以（5，0）为圆心，3为半径的圆C ．△ABC 面积的最大值为12D ．当AB ⊥BC 时，△ABC 的内切圆半径为4−2√2 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．圆x 2+y 2+mx ﹣2y ﹣m ＝0恒过的定点是 ．14．第三届“一带一路”国际高峰论坛于2023年10月在北京召开．某记者与参会的3名代表一起合影留念（四人站成一排）．则记者站在两端的概率为 ；若记者与代表甲必须相邻，则此两人站在中间的概率为 ．15．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝4，直线l ：x +2y +3＝0，M 为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的两条切线MA ，MB ，则四边形MACB 面积的最小值为 ．16．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点P （x 0，y 0，z 0），且以向量n →=（a ，b ，c ）（abc ≠0）为方向向量，则这条直线可以用方程x−x 0a=y−y 0b=z−z 0c来表示．已知直线l 的方程为x −1=12y +1＝2z ﹣6，则M （3，1，1）到直线l 的距离为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（10分）从三名男生（记为A 1，A 2，A 3）、两名女生（记为B 1，B 2）中任意选取两人． （1）在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率； （2）在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率． 18．（12分）已知A （1，1），B （2，3），C （4，0）．求： （1）过点A 且与BC 平行的直线方程； （2）AB 边垂直平分线方程；（3）过点A 且倾斜角为直线AB 倾斜角2倍的直线方程．19．（12分）在三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OB ＝OC ＝2，OA ⊥OB ，∠AOC ＝∠BOC ＝60°，M ，N 分别为AB ，OC 的中点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →． （1）用a →，b →，c →表示MN →，并求|MN →|； （2）求OM 与NB 所成角的余弦值．20．（12分）在第19届杭州亚运会上中国射击队获得32枚金牌中的16枚，并刷新3项世界纪录．甲、乙两名亚运选手进行赛前训练，甲每次射中十环的概率为0.9，乙每次射中十环的概率为p ，在每次射击中，甲和乙互不影响．已知两人各射击一次至少有一人射中十环的概率为0.98． （1）求p ；（2）甲、乙两人各射击两次，求两人共射中十环3次的概率．21．（12分）正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝2，M 是BB 1的中点，M 到平面ABC 1的距离为34．（1）求A 1A ；（2）在C 1A 上是否存在点P ，使平面ABC 1与平面PBM 夹角的余弦值为√217？ 若存在，求出C 1P PA的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知圆C 经过点A （0，2），B （2，0），且直线x +y +2＝0被圆C 所截得的弦长为2√2．点P 为圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N ． （1）求圆C 的方程；（2）探求|AN |•|BM |是否为定值，若为定值，求出此定值，若不是定值，说明理由；（3）过点D （﹣4，0）的动直线l 与圆C 交于不同的两点E ，F ．记线段EF 的中点为R ，则当直线l 绕点D 转动时，求动点R 的轨迹长度．2023-2024学年河南省信阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x+y﹣2023＝0的倾斜角为（）A．−π4B．π4C．π2D．3π4解：直线x+y﹣2023＝0，即y＝﹣x+2023，斜率为﹣1，设倾斜角为α，则tanα＝﹣1，且α∈[0，π），可得α=3π4．故选：D．2．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”，G＝“点数大于2”，H＝“点数不大于2”，R＝“点数为1”．则下列结论不正确的是（）A．E，F为对立事件B．G，H为互斥不对立事件C．E，G不是互斥事件D．G，R是互斥事件解：抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，即E，F为对立事件，A正确；点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，即G，H为对立事件，B错误；点数为奇数与点数大于2可能同时发生，即E，G不是互斥事件，C正确；点数大于2与点数为1不可能同时发生，即G，R是互斥事件，D正确．故选：B．3．已知直线l1：mx+y+6＝0，l2：3x+（m﹣2）y+2m＝0，若l1∥l2，则m等于（）A．﹣3B．﹣1C．3D．﹣1 或3解：因为l1∥l2，所以m（m﹣2）＝1×3，且m•2m≠6×3，解得m＝﹣1．故选：B．4．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．利用计算机产生一组随机数：907 966 191 924 274 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 986若用1，3，5，7，9表示下雨，用0，2，4，6，8表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（）A ．920B ．12C ．1120D ．38解：由数表可知，20个随机数中，至少有两天下雨为907，191，932，569，431，257，393，556，730，113，537，共11个数，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为1120．故选：C ．5．已知PA →，PB →，PC →不共面，PM →=(3−x −y)PA →+xPB →+(y −2)PC →，则（ ） A ．∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，M 四点共面 B ．∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，M 四点不共面C ．∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，P 四点共面D ．∃x ，y ∈R ，A ，B ，C ，P 四点共面解：∵（3﹣x ﹣y ）+x +（y ﹣2）＝1，∴∀x ，y ∈R ，A ，B ，C ，M 四点共面． 故选：A ．6．已知AB 是圆锥PO 的底面直径，C 是底面圆周上的点，∠BAC ＝30°，AB =2√3，P A ＝2，则P A 与平面PBC 所成角的正弦值为（ ）A ．12B ．√32C ．2√1313D ．3√1313解：依题意：圆锥的高PO =√22−(√3)2=1，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系O ﹣xyz ：则A(0，−√3，0)，B(0，√3，0)，C(32，√32，0)，P(0，0，1)，PB →=(0，√3，−1)，BC →=(32，−√32，0)，PA →=(0，−√3，−1)．设平面PBC 的法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅PB →=0n →⋅B →C =0⇒⇒{√3y −z =032x −√32y =0取x ＝1，得n →=(1，√3，3)， 设P A 与平面PBC 所成角为θ，则sinθ=|cos〈PA →，n →〉|=62×√13=3√1313，即P A 与平面PBC 所成角的正弦值为3√1313． 故选：D ．7．已知直线l ：3x +ay ﹣25＝0与圆C ：x 2+y 2＝25，点A （3，a ），则下列说法不正确的是（ ） A ．若直线l 与圆C 相切，则a ＝4 B ．若0＜α＜4，则直线l 与圆C 相离 C ．若a ＞4，则直线l 与圆C 相交D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切解：圆心C （0，0）到直线l 的距离d =25√9+a 2．若直线l 与圆C 相切，则d =25√9+a 2=5，解得a ＝±4，故A 错误；若0＜a ＜4，则9+a 2＜25，所以d =25√9+a 25，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若a ＞4，则9+a 2＞25，所以d =25√9+a 25，则直线l 与圆C 相交，故C 正确；若点A （3，a ）在直线l 上，则9+a 2﹣25＝0，即a ＝±4，d =25√9+a 2=5，直线l 与圆C 相切，故D 正确． 故选：A ．8．已知x +y +1＝0，则√x 2+y 2−2x −2y +2+√(x −3)2+y 2的最小值是（ ） A ．√10B ．√13C ．√29D ．6解：设点P ′（x ，y ）为直线l ：x +y +1＝0的动点，则√x 2+y 2−2x −2y +2+√(x −3)2+y 2=√(x −1)2+(y −1)2+√(x −3)2+y 2， 可看作P ′（x ，y ）与点A （1，1），B （3，0）的距离之和， 设A （1，1）关于直线l 的对称点为A ′（a ，b ），则{b−1a−1=1a+12+b+12+1=0，解得{a =−2b =−2，所以A ′（﹣2，﹣2），则|P ′A |+|P ′B |＝|P ′A ′|+|P ′B |≥|A ′B |=√(−2−3)2+(−2−0)2=√29， 当且仅当P ′与A ′，B 共线时（即图中位置P ）取等号，即√x 2+y 2−2x −2y +2+√(x −3)2+y 2的最小值是√29． 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若方程x 2+y 2﹣2mx +m 2﹣2m ﹣1＝0表示圆，则m 的取值可以为（ ） A ．2B ．0C ．−12D ．﹣2解：由（﹣2m ）2﹣4×（m 2﹣2m ﹣1）＞0知m ＞−12．结合选项，符合条件的只有2和0． 故选：AB ．10．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A 和B ，其中n （Ω）＝36，n （A ）＝18，n （B ）＝12，n （A ∪B ）＝24，则（ ）A ．P(A ∪B)=23B ．P(AB)=13C ．事件A 与B 互斥D ．事件A 与B 相互独立解：因为n （Ω）＝36，n （A ）＝18，n （B ）＝12，n （A ∪B ）＝24，则n （A ∩B ）＝6， 则P （A ）=1836=12，P （B ）=1236=13，P （AB ）=636=16， 则P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）=23，P （AB ）＝P （A ）•P （B ）， 又A 与B 能同时发生，故不互斥． 故选：AD ．11．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是底面ABCD 的中心，Q 是棱A 1D 1上的一点，且D 1Q →=λD 1A 1→，λ∈[0，1]，N 为线段AQ 的中点，则（ ）A ．C ，M ，N ，Q 四点共面B ．三棱锥A ﹣DMN 的体积为定值C ．当λ=12时，过A ，M ，Q 三点的平面截正方体所得截面的面积为4 D ．不存在λ使得直线MB 1与平面CNQ 垂直解：连接AC 、CQ ，则M 、N 分别为AC 、AQ 的中点，因为MN 为△AQC 的中位线，所以MN ∥CQ ，可得C 、M 、N 、Q 四点共面，故A 正确．根据题意，可得V A ﹣DMN ＝V N ﹣ADM =12V Q ﹣ADM =12×13S △ADM ×2=13为定值，故B 正确． 当λ=12时，过A 、M 、Q 三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形ACFQ ， 如图所示，过Q 作AC 的垂线，垂足为G ，则AG =2√2−√22=√22，QG =√5−12=3√22．因此可得S =12(√2+2√2)×3√22=92，故C 错误． 以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，可得D （0，0，0，），A （2，0，0），A 1（2，0，2），B 1（2，2，2），C （0，2，0），D 1（0，0，2）， M （1，1，0），Q （2λ，0，2），CQ →=(2λ，−2，2)，AC →=(−2，2，0)，MB 1→=(1，1，2)，若存在λ使得直线MB 1与平面CNQ （即平面ACQ ）垂直， 则{MB 1→⋅CQ →=0MB 1→⋅AC →=0，即{2λ−2+4=0−2+2+0=0，解得λ＝﹣1，不符合题意，故不存在λ使得直线MB 1与平面CNQ 垂直，所以D 正确． 故选：ABD ．12．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中证明了命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0且k ≠1）的点的轨迹是圆，人们称之为阿氏圆．现有△ABC ，BC ＝8，sin B ＝3sin C ．以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系xOy ，则（ ） A ．点A 的轨迹方程为x 2+y 2+10x +16＝0（y ≠0）B ．点A 的轨迹是以（5，0）为圆心，3为半径的圆C ．△ABC 面积的最大值为12D ．当AB ⊥BC 时，△ABC 的内切圆半径为4−2√2解：如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系xOy ， 可得B （﹣4，0），C （4，0），由正弦定理和条件sin B ＝3sin C ，可得|AC |＝3|AB |， 设A （x ，y ），可得√(x −4)2+y 2=3√(x +4)2+y 2， 两边平方，化简可得x 2+y 2+10x +16＝0，则A 点的轨迹方程为x 2+y 2+10x +16＝0（y ≠0），圆心为（﹣5，0），半径为3， 故A 正确，B 错误；由A 的轨迹可得A 到直线BC 的距离的最大值为半径3， 则△ABC 面积的最大值为12×8×3＝12，故C 正确；当AB ⊥BC 时，|AB |2+|BC |2＝|AC |2，即，|AB |2+64＝|AC |2， 又|AC |＝3|AB |，解得|AB |＝2√2，|AC |＝6√2，设△ABC 的内切圆半径为r ，可得12×2√2×8=12r （2√2+8+6√2），解得r ＝4﹣2√2，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．圆x 2+y 2+mx ﹣2y ﹣m ＝0恒过的定点是 （1，1） ． 解：因为圆x 2+y 2+mx ﹣2y ﹣m ＝0， 则x 2+y 2﹣2y +m （x ﹣1）＝0，联立{x 2+y 2−2y =0x −1=0，解得{x =1y =1． 故答案为：（1，1）．14．第三届“一带一路”国际高峰论坛于2023年10月在北京召开．某记者与参会的3名代表一起合影留念（四人站成一排）．则记者站在两端的概率为 12；若记者与代表甲必须相邻，则此两人站在中间的概率为13．解：四个位置，记者站在两端，有2种站法，所求概率为A 21A 33A 44=12；记者与代表甲必须相邻，则此两人站在中间的概率为A 22A 22A 22A 33=13．故答案为：12；13．15．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝4，直线l ：x +2y +3＝0，M 为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的两条切线MA ，MB ，则四边形MACB 面积的最小值为 8 ．解：圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝4，则圆心C （1，3），半径r ＝2． 因为四边形MACB 的面积S ＝2S △CAM ＝|CA |•|AM |＝2|AM |＝2√|CM|2−4， 要使四边形MACB 面积最小，则需|CM |最小，此时CM 与直线l 垂直， 直线l ：x +2y +3＝0，|CM |=|1+6+3|1+4=2√5，∴四边形MACB 面积的最小值为2√20−4=8． 故答案为：8．16．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点P （x 0，y 0，z 0），且以向量n →=（a ，b ，c ）（abc ≠0）为方向向量，则这条直线可以用方程x−x 0a=y−y 0b=z−z 0c来表示．已知直线l 的方程为x −1=12y +1＝2z ﹣6，则M （3，1，1）到直线l 的距离为 √693 ． 解：直线l 的方程标准化为：x−11=y+22=z−312，所以直线l 过P （1，﹣2，3），方向向量为n →=（1，2，12），|n →|=√12+22+(12)2=√212，设n →的方向向量为u →，则u →=n →|n →|=2√21•（1，2，12）=1√21•（2，4，1）， a →=PM →=（2，3，﹣2），可得|a →|=√22+32+(−2)2=√17，所以a →•u →=14√21， 所以M 到直线l 的距离为d =√a →2−(a →⋅u →)2=√17−(1421)2=√693． 故答案为：√693． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（10分）从三名男生（记为A 1，A 2，A 3）、两名女生（记为B 1，B 2）中任意选取两人．（1）在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率； （2）在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率．解：（1）样本空间Ω＝{（A 1，A 1），（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，A 1），（A 2，A 2），（A 2，A 3），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，A 1），（A 3，A 2），（A 3，A 3），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（B 1，A 1），（B 1，A 2），（B 1，A 3），（B 1，B 1），（B 1，B 2），（B 2，A 1），（B 2，A 2），（B 2，A 3），（B 2，B 1），（B 2，B 2）}， 设事件A 表示“选到两人都是男生”， 则事件A 包含的样本点有9个， 所以P （A ）=925； （2）样本空间Ω＝{（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，A 1），（A 2，A 3），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，A 1），（A 3，A 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（B 1，A 1），（B 1，A 2），（B 1，A 3），（B 1，B 2），（B 2，A 1），（B 2，A 2），（B 2，A 3），（B 2，B 1）}， 设事件B 表示“选到至少有一名女生”， 则事件B 包含的样本点有14个， 所以P （B ）=1420=710． 18．（12分）已知A （1，1），B （2，3），C （4，0）．求： （1）过点A 且与BC 平行的直线方程； （2）AB 边垂直平分线方程；（3）过点A 且倾斜角为直线AB 倾斜角2倍的直线方程． 解：（1）由于所求的直线l 与BC 平行，故k l =−32，由于直线l 经过点A （1，1），所求的直线的方程为y −1=−32(x −1)，整理得3x +2y ﹣5＝0； （2）由于A （1，1），B （2，3），所以中点D （32，2），直线AB 的斜率k AB ＝2，所以直线AB 的垂直平分线的斜率k =−12，所求的垂直平分线的方程为y −2=−12(x −32)，整理得2x +4y ﹣11＝0．（3）由于A （1，1），B （2，3），所以直线AB 的斜率k AB ＝2，设直线的倾斜角为θ，故tan θ＝2， 所求直线的倾斜角为直线AB 的倾斜角的2倍，所以直线的斜率k ＝tan2θ=2tanθ1−tan 2θ=−43， 故所求的直线的方程为y −1=−43(x −1)，整理得4x +3y ﹣7＝0．19．（12分）在三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OB ＝OC ＝2，OA ⊥OB ，∠AOC ＝∠BOC ＝60°，M ，N 分别为AB ，OC 的中点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →．（1）用a →，b →，c →表示MN →，并求|MN →|； （2）求OM 与NB 所成角的余弦值．解：（1）MN →=ON →−OM →=12c →−12(a →+b →)=12(c →−a →−b →)，∵OA ＝OB ＝OC ＝2，OA ⊥OB ，∠AOC =∠BOC =60°， ∴a →2=b →2=c →2＝4，a →⋅b →=0，a →⋅c →=b →⋅c →=2×2cos60°＝2，∴|MN →|=12√(c →−a →−b →)2=12√c →2+a →2+b →2−2a →⋅c →−2b →⋅c →+2a →⋅b →=1；（2）OM →=12(a →+b →)，NB →=OB →−ON →=b →−12c →，OM →⋅NB →=12(a →+b →)⋅(b →−12c →)=12(a →⋅b →−12a →⋅c →+b →2−12b →⋅c →)=1，|OM →|=12√(a →+b →)2=√2，|NB →|=√(b →−12c →)2=√3， cos ＜OM →，BN →＞=OM →⋅NB →|OM →|⋅|NB →|=2×3=√66．所以，OM 与NB 所成角的余弦值为√66． 20．（12分）在第19届杭州亚运会上中国射击队获得32枚金牌中的16枚，并刷新3项世界纪录．甲、乙两名亚运选手进行赛前训练，甲每次射中十环的概率为0.9，乙每次射中十环的概率为p ，在每次射击中，甲和乙互不影响．已知两人各射击一次至少有一人射中十环的概率为0.98． （1）求p ；（2）甲、乙两人各射击两次，求两人共射中十环3次的概率． 解：（1）由题意，两人各射击一次至少有一人射中十环的概率为0.98， 则都没有击中十环的概率为0.1×（1﹣p ）＝1﹣0.98，求得p ＝0.8．（2）甲、乙两人各射击两次，求两人共射中十环3次，即甲乙二人中，只有一人只击中1次，故它的概率为C 22×0.92•C 21×0.8×0.2+C 21×0.9×0.1×C 22×0.82＝0.3744．21．（12分）正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝2，M 是BB 1的中点，M 到平面ABC 1的距离为34．（1）求A 1A ；（2）在C 1A 上是否存在点P ，使平面ABC 1与平面PBM 夹角的余弦值为√217 若存在，求出C 1P PA的值；若不存在，请说明理由．解：（1）取AC 的中点O ，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系O ﹣xyz ，设A 1A ＝a ，则A （1，0，0），B(0，√3，0)，C 1（﹣1，0，a ），M(0，√3，a2)， 所以AC 1→=(−2，0，a)，AB →=(−1，√3，0)，BM →=(0，0，a2)， 设平面ABC 1的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AB →=−x +√3y =0n →⋅AC 1→=−2x +az =0，取x ＝3，得y =√3，z =6a，所以平面ABC 1的一个法向量为n →=(3，√3，6a )，则M 到平面ABC 1的距离d =|BM →⋅n →||n →|=3√32+3+(6a)2=34，解得a ＝3，即A 1A ＝3；（2）因为C 1A →=(2，0，−3)，BC 1→=(−1，−√3，3)， 设C 1P →=λC 1A →=(2λ，0，−3λ)（0≤λ≤1），所以BP →=BC 1→+C 1P →=(2λ−1，−√3，3−3λ)，BM →=(0，0，32)， 设平面PBM 的法向量m →=(b ，c ，t)，则{m →⋅BP →=(2λ−1)b −√3c +(3−3λ)t =0m →⋅BM →=32t =0， 取b =√3，得c ＝2λ﹣1，t ＝0，所以平面PBM 的一个法向量m →=(√3，2λ−1，0)，由|cos ＜m →，n →＞|=√217，得√3+(2λ−1)√3|2=√217，解得λ=13，或λ＝3（舍去），故在C 1A 上存在点P ，当C 1PPA =12时，可使平面ABC 1与平面PBM 夹角的余弦值为√217．22．（12分）已知圆C 经过点A （0，2），B （2，0），且直线x +y +2＝0被圆C 所截得的弦长为2√2．点P 为圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N ． （1）求圆C 的方程；（2）探求|AN |•|BM |是否为定值，若为定值，求出此定值，若不是定值，说明理由；（3）过点D （﹣4，0）的动直线l 与圆C 交于不同的两点E ，F ．记线段EF 的中点为R ，则当直线l 绕点D 转动时，求动点R 的轨迹长度．解：（1）易知点C 在线段AB 的中垂线y ＝x 上，故可设C （a ，a ），圆C 的半径为r ， ∵直线x +y +2＝0被圆C 所截得的弦长为2√2，且r =√a 2+(a −2)2， ∴C （a ，a ）到直线x +y +2＝0的距离d =|2a+2|√2， 由d 2+(√2)2=r 2，得(|2a+2|√2)2+2=a 2+(a −2)2，∴a ＝0， ∴圆C 的方程为x 2+y 2＝4；（2）当直线P A 的斜率不存在时，|AN |•|BM |＝8．当直线P A 的斜率存在时，如图，设P （x 0，y 0），直线P A 的方程为y =y 0−2x 0x +2， 令y ＝0，得M(2x 02−y 0，0)．直线PB 的方程为y =y 0x 0−2(x −2)，令x ＝0，得N （0，2y 02−x 0）．∴|AN |•|BM |＝（2−2y 02−x 0）（2−2x 02−y 0）=4+4[y 0x 0−2+x 0y 0−2+x 0y0(x 0−2)(y 0−2)]＝4+4×y 02−2y 0+x 02−2x 0+x 0y 0(x 0−2)(y 0−2)=4+4×4−2y 0−2x 0+x 0y 0(x 0−2)(y 0−2)＝4+4×4−2y 0−2x 0+x 0y04−2y 0−2x 0+x 0y 0=8．故|AN |•|BM |为定值8．（3）设CD 的中点为Q ，则Q （﹣2，0），因为线段EF 的中点为R ，所以CR ⊥EF ，即CR ⊥DR ， 所以RQ =12CD =2，设R （x ，y ），则（x +2）2+y 2＝4，如图， 设圆x 2+y 2＝4与（x +2）2+y 2＝4的交点为G ，H ，显然△QCG 是边长为2的正三角形，所以所求弧长GCH ̂的长度即为以Q （﹣2，0）为圆心，以2为半径的圆的13为4π3．。

2023-2024学年高二数学期中模拟卷全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知函数()()2131ln 2f x f x x x =′−++（()f x ′是()f x 的导函数），则()1f =（ ）A ．1B ．2C ．12D ．12−【答案】A【分析】通过对()f x 求导，结合赋值法求得()112f ′=，从而求得()f x ，再求结果即可. 【详解】由函数()()2131ln 2f x f x x x =′−++，可得()()1312f x f x x−′′=+， 令1x =，可得()()1311f f ′′=−，解得()112f ′=， 则()231ln 22f x x x x =−++，所以()31110122f =−++=.故选：A.2．若5250125(12)x a a x a x a x −=++++ ，则24a a +=（ ） A ．100B ．110C ．120D ．130【答案】C【分析】利用二项式定理分别求出24,a a 即可计算得解.【详解】在550125(12)x a a x a x a x −=+++ 中，2225C 240a =×=，4445C 280a =×=，所以24120a a +=. 故选：C3．现有随机事件件A ，B ，其中()()()111,,536P A P B P AB ===，则下列说法不正确的是（ ） A ．事件A ，B 不相互独立 B ．()12P A B =C ．()P B A 可能等于()P BD ．()1130P A B +=【答案】C【分析】利用独立事件的乘法公式、条件概率公式、和事件的概率公式计算即可.【详解】易知()()()1153P A P B P AB ⋅=×≠，所以事件A ，B 不相互独立，即A 正确；由条件概率公式可知()()()116123P AB P A B P B ===，()()()156165P AB P B A P A ===， 故B 正确，C 错误；由和事件的概率公式可知()()()()1111153630P A B P A P B P AB +=+−=+−=， 故D 正确； 故选：C4．已知函数()()2ln f x x a x =++的图象上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在点,A B 处的切线都与直线20x y +=垂直，则实数a 的取值范围是（ ） A．(,1−∞ B．()1C．(,1∞−D．(0,1【答案】A【分析】根据题意()f x ′2=，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的范围. 【详解】由题意知()f x ′122x a x=++，曲线()y f x =在点,A B 处的切线斜率都是2， 所以关于x 的方程1222x a x++=有两个不相等的正实数根； 可得关于x 的方程()21102x a x −−+=有两个不相等的正实数根， 则()2101Δ1402a a −>=−−×>,解得1a <故选：A.5．中国女子乒乓球队是世界乒坛的常胜之师，曾20次获得世乒赛女子团体冠军．2021年休斯敦世界乒乓球锦标赛，中国选手王曼昱以4∶2击败孙颖莎，夺得女单冠军．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．已知甲、乙两人乒乓球水平相当，事件A 表示“乙获得比赛胜利”，事件B 表示“比赛进行了七局”，则P =（ ）A ．716 B ．516 C ．316D ．116【答案】B【分析】根据条件概率计算公式求解.【详解】乙获得比赛胜利，可能进行了4局或5局或6局或7局比赛，乙获胜的概率()45124511C C 22P A =+×+6736111C 222×+×=， 乙获胜并且比赛进行了七局的概率()73615C 232P AB=×= ，∴()P B A =()()55321162P AB P A ==． 故选：B ．6．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +【答案】D【解析】对于选项A ，每人有4种安排法，故有54种；对于选项B ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项C ，先分组再安排；对于选项D ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可. 【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为54，即选项A 错误， ②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为2454C A ，即选项B 错误，③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（312252532222C C C C A A +）33A ，即选项C 错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有13C ,从余下四人中安排三个岗位1112342322C C C A A ， 故有231231111324334322=C C C A C C A A C ；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有23C , 从余下三人中安排三个岗位33A ，故有2333C A ；所以每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +，即选项D 正确， 故选：D ．【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法:1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;6.间接法:正难则反、等价转化的方法.7．已知0.50.3sin0.5,3,log 0.5a b c ==，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【分析】构造函数sin y x x =−，利用导数法求最值得sin x x <，从而有0.5a <，再利用函数0.3log y x =单调递减得0.51c <<，利用函数3x y =单调递增得1b >，即可比较大小.【详解】对π0,2x∈ ，因为sin y x x =−，则cos 10y x ′=−<，即函数sin y x x =−在π0,2 单调递减， 且0x =时，0y =，则sin 0x x −<，即sin x x <，所以sin0.50.5a <，因为0.30.30.32log 0.5log 0.25log 0.31>且0.30.3log 0.5log 0.31<=，所以0.30.5log 0.51c <=<， 又0.50331b =>=，所以a c b <<.故选：B8．已知方程222e e 9e 0x x ax x −+=有4个不同的实数根，分别记为1234,,,x x x x ，则31241234e e e e e e e e x x x x x x x x −−⋅−−   的取值范围为（ ） A ．()40,16eB ．()40,12eC ．()40,4eD ．()40,8e【答案】A【分析】将问题转化为22e e 9e 0x x a x x −+=，进而构造函数()e x f x x =，求导确定函数的单调性，结合二次方程根的分布可得6e 10e a <<，进而可求解.【详解】易知0x =不是方程222e e 9e 0x x ax x −+=的根，故当0x ≠时，222e e 9e 0x x ax x −+=可化为22e e 9e 0x x a x x −+=， 令e xt x=，得229e 0t at −+=．设()e xf x x =，则()()2e 1x xf x x −′=， 令()0f x ′<，可得0x <或01x <<，令()0f x '>，可得1x >，故()f x 在(),0∞−和()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()1e f =， 作出()f x 的大致图象，如图，数形结合可得方程229e 0t at −+=有两个不相等的实数根，设为1t ，2t ， 则21212,9e t t a t t +==，且12e,e t t >>， 则2222Δ36e 0e 2e e 9e 0a aa =−> − > − −+> ，解得6e 10e a <<，不妨设3142121423e e e e ,x x x x t t x x x x ====，则()()312422121234e e e e e e e e e e x x x x t t x x x x  −−−−=−−   ()()22221212e e e 10e e t t t t a −−+−，由6e 10e a <<，可得()224010e e 16e a <−<.故选：A ．【点睛】方法点睛：处理多变量函数值域问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的15%，25%，60%．随机取一个零件，记A =“零件为次品”，i B = “零件为第i 台车床加工” (1i =，2，3)，下列结论正确的有（ ） A ．()0.03P A = B ．31()1i i P B ==∑C ．12()()P B A P B A =D ．123()()(|)P B A P B A P B A +=【答案】BC【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个选项即可．【详解】对于A ：因为()0.050.150.030.250.030.600.033P A =×+×+×=，故A 错误； 对于B ：因为13Σ()0.150.250.601i i P B ==++=，故B 正确；对于C ：因为111()(|)0.050.155(|)()0.03322P B P A B P B A P A ⋅×===， 222()(|)0.030.255()()0.03322|P B P A B P B A P A ⋅×===， 所以12()()P B A P B A =，故C 正确；对于D ：由上可得125()()11P B A P B A +=，又因为333()(|)0.030.606(|)()0.03311P B P A B P B A P A ⋅×===，故D 错误， 故选：BC ． 10．若()()()()202422024012202423111x a a x a x a x −=+−+−++− ，则下列选项正确的有（ ）A ．01a =B ．20241232023202421a a a a a +++++=−C ．2024012202320242a a a a a +++++=D ．202312320232024232023202460722a a a a a +++++=× 【答案】ABD【分析】分别令1,0x x ==可判断AB ，利用二项展开式的通项公式可确定展开式系数的正负，去掉绝对值号，再赋值即可判断C ，取导数后赋值即可判断D. 【详解】对于A ，令1x =，可得()20240231a −==，故A 正确；对于B ，令0x =，可得()1232023202420240230a a a a a a +++++−×+ ，又01a =，所以20241232023202421a a a a a +++++=− ，故B 正确；对于C ，因为()[][]202420242024233(1)113(1)x x x −−−=−−=，展开式的通项公式为()12024C (3)1kkk k T x +=−−，所以2024C (3)(0,1,22024)k k k a k =−= ， 所以0122023202401232014a a a a a a a a a a +++++=−+−++ ， 令2x =，则()20240123201420242324a a a a a −×−+=−++= ，故2024012202320244a a a a a +++++=，故C 错误； 对于D ，因为()202420232332024(23)x x −=−×−′2202312320242(1)3(1)2024(1)a a x a x a x =−−−−−−−−2202312320242(1)3(1)2024(1)a a x a x a x =−+−+−++− ，所以202322023123202432024(23)2(1)3(1)2024(1)x a a x a x a x ×−=+−+−++− ，令0x =，可得202312320232024232023202460722a a a a a +++++=× ，故D 正确. 故选：ABD11．已知()()()2ln 20220x x x f x ax x x −−> = −−+≤，其图像上能找到A 、B 两个不同点关于原点对称，则称A 、B 为函数()y f x =的一对“友好点”，下列说法正确的是（ ）A ．()y f x =可能有三对“友好点”B ．若01a <<，则()y f x =有两对“友好点”C ．若()y f x =仅有一对“友好点”，则a<0D ．当a<0时，对任意的1>0x ，总是存在20x <使得()()120f x f x +=【答案】BD【分析】不妨设0x >，()f x 存在友好点等价于方程2ln x xa x +=有实数根，从而构造函数，利用导数得其单调性，画出图形，讨论()y g x =的图象以及直线y a =的图象的交点个数情况即可逐一判断求解. 【详解】若(),x y 和(),x y −−互为友好点，不妨设0x >，则()2ln 2220x x ax x −−+−++=，即2ln x xa x +=， 令()2ln ,0x x g x x x +=>，则()()243112ln 12ln x x x x x x x g x x x +−+ −−=′=， 令()12ln h x x x =−−，则()210h x x=−−<′， 所以()h x 单调递减，注意到()h x 和()g x ′同号，且()10h =， 所以当01x <<时，()0h x >即(0g x ′>，()g x 单调递增， 当1x >时，()0h x <即()0g x ′<，()g x 单调递减，从而即可在同一平面直角坐标系中作出()y g x =的图象以及直线y a =的图象，如图所示，当1a >时，()y f x =不存在友好点，当1a =或0a ≤时，()y f x =仅存在一对友好点， 当01a <<时，()y f x =存在两对友好点， 从而()y f x =不可能有三对“友好点”，若()y f x =仅有一对“友好点”，则1a =或0a ≤，故AC 错，B 对，当a<0时，()y f x =仅存在一对友好点，即对任意的1>0x ，总是存在20x <使得()()120f x f x +=，D 对. 故选：BD.【点睛】关键点点睛：关键是将设0x >，()f x 存在友好点等价于方程2ln x xa x +=有实数根，由此即可通过数形结合顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有 种．（用数字作答） 【答案】89【分析】借助加法计数原理，得到()12,3n n n a a a n −−=+≥，依次计算即可. 【详解】设小明上n 个台阶有n a 种方法，考虑最后一步：若最后一步小明上1个台阶，则前n 1−个台阶有1n a −种方法且2n ≥； 若最后一步小明上2个台阶，则前2n −个台阶有2n a −种方法且3n ≥. 由加法原理得()12,3n n n a a a n −−=+≥，易知121,2a a ==， 可得33a =，456789105,8,13,21,34,55,89.a a a a a a a ======= 所以小明不同的上楼方法共有89种.故答案为：89.13．已知函数()[],0,πf x x x x ∈，则()f x 的最大值为 ． 【答案】π【分析】求导得出函数()f x 在[]0,π上的单调性，即可求得()f x 的最大值为π.【详解】由()[],0,πf x x x x ∈可得()1f x x =′，令()0f x ′=可得cos x = 又[]0,πx ∈，所以π4x =，当π0,4x ∈时，()0f x ′<，此时()f x 在π0,4上单调递减，当π,π4x∈时，()0f x ′>，此时()f x 在π,π4 上单调递增；易知()()00,ππf f ==； 因此()f x 的最大值为π. 故答案为：π14．已知函数()ln ,0,1,0,x x x f x x x x>= −< 若函数()()()()1g x f f x af x =−+有唯一零点，则实数a 的取值范围是 .【答案】54a =−或11a −≤<【分析】()t f x =换元后转化为()1f t at =−，该方程存在唯一解0t ，且01,e t ∞∈−−，数形结合求解. 【详解】当0x <时，()f x 单调递减，图象为以y x =−和y 轴为渐近线的双曲线的一支；当0x >时，有()ln 1f x x ′=+，可得()f x 在10,e单调递减，在1,e ∞+ 单调递增 且()min 11e e f x f ==−，0lim ()0x f x →=，画出图象如下:由题意，(())()10f f x af x −+=有唯一解，设()t f x =， 则1et <−，（否则至少对应2个x ，不满足题意）， 原方程化为()10f t at −+=，即()1f t at =−， 该方程存在唯一解0t，且0,t ∞∈−.转化为()y f t =与1yat =−有唯一公共点，且该点横坐标在1,e ∞−−，画图如下：情形一：1yat =−与1y t t=−相切，联立得()2110a t t +−−=， 由Δ0=解得54a =−，此时01e t <−满足题意：情形二：1yat =−与1y t t=−有唯一交点，其中一个边界为1a =−(与渐近线平行)， 此时交点坐标为()1,0−，满足题意；另一个边界为1yat =−与ln y t t =相切，即过点()0,1−的切线方程，设切点为()000,ln x x x ，则0000ln 11ln 0x x a x x +=+=−，解得01x =，所以求得1a =，此时左侧的交点D 横坐标为12−满足条件，右侧存在切点E ，故该边界无法取到；所以a 的范围为[)1,1−.综上，a 的取值范围为54a =−或11a −≤<.故答案为：54a =−或11a −≤<【点睛】关键点点睛，解决本题的关键在于第一要换元，令()t f x =，转化为方程()1f t at =−存在唯一解0t ，且01,e t ∞∈−−，作出()y f t =与1yat =−的图象数形结合求解，第二关键点在于分类讨论后利用导数或联立方程组求切线的斜率，属于难题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知m ，n 是正整数，()()()11m nf x x x =+++的展开式中x 的系数为7． (1)求m ，n 为何值时，()f x 的展开式中2x 的系数最小，并求出此时3x 的系数； (2)利用（1）中结果，求()0.003f 的近似值．（精确到0.01） 【答案】(1)3m =，4n =或4m =，3n =，3x 的系数为5 (2)2.02【分析】（1）由x 的系数为7得11C C 7m n +=，2x 的系数为22C C m n +，消元讨论最小值即可求；（2）()()()430.00310.00310.003f =+++，考虑到精度，故各取多项式展开式的前两项即可【详解】（1）根据题意得11C C 7m n +=，即7m n +=．① ()f x 的展开式中2x 的系数为()()222211C C 222mnm m n n m n m n−−+−−+=+=．.......................................................2分 将①变形为7n m =−代入上式，得2x 的系数为2273572124m m m−+=−+，故当3m =，4n =或4m =，3n =时，2x 的系数取得最小值且为9；此时3x 的系数均为3334C C 5+=；........................................................6分 （2）当3m =，4n =或4m =，3n =时，()()()43010144330.00310.00310.003C C 0.003C C 0.003 2.02f =+++≈+×++×≈...........................................13分 16．（15分）已知函数()()()11ln f x ax a x a x=−−+∈R ．(1)求证：当0a =时，曲线()y f x =与直线1y =−只有一个交点； (2)若()f x 既存在极大值，又存在极小值，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)(0,1)(1,)∪+∞.【分析】（1）当0a =时，对()f x 求导，分析函数单调性，确定()f x 图象，可证明曲线()y f x =与直线1y =−只有一个交点.（2）将()f x 既存在极大值，又存在极小值，转换为()f x ′有两个变号零点问题，讨论零点位置可得实数a 的取值范围.【详解】（1）当0a =时，函数1()ln f x x x=−−，求导得：21()xf x x −′=， 令()0f x '>，得01x <<；令()0f x ′<，得1x >； 则函数()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 故max ()(1)1f x f ==−，所以曲线()y f x =与直线1y =−只有一个交点.....................................................7分 （2）函数()()11ln f x ax a x x=−−+的定义域为(0,)+∞，求导得211()a f x a x x +′=+− 设()()2()(1)111g x ax a x ax x =−++=−−，令()0g x =，解得11x a=，21x =. 因为()f x 既存在极大值，又存在极小值，即()g x 在(0,)+∞有两个变号零点，则1011aa> ≠ ，解得0a >且1a ≠， 综上所述：a 的取值范围为(0,1)(1,)∪+∞.......................................................15分 17．（15分）某校为庆祝元宵节，举办了游园活动，活动中有一个填四字成语的游戏，该游戏共两关．(1)第一关中一个四字成语给出其中三个字，参与游戏者需填对所缺的字．小李知道该成语的概率是12，且小李在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率是12．记事件A 为“小李通过第一关”，事件B 为“小李知道该成语”．①求小李通过第一关的概率()P A ；②在小李通过第一关的情况下，求他知道该成语的概率()P BA ∣． (2)小李已通过第一关来到第二关．第二关为挑战关卡，该关卡共五局，每一局互不影响，但难度逐级上升，小李知道第n 局()15n ≤≤成语的概率仍为12，但是在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率为12n，已知每一局答对的得分表如下（答错得分为0）： 局数 第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 得分 1分2分4分7分11分若获得15分及以上则挑战成功且游戏结束，求在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功的概率（保留两位小数）． 【答案】(1)①34②23(2)0.19【分析】利用全概率公式和条件概率公式计算即可；利用全概率公式计算每一局过关的概率，在通过分析在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功,即获得15分及以上，则有三类情况，在求得所求概率 【详解】（1）①依题可知()()()()111,|,22P A B P A B P B P B ====， 由全概率公式可得1113()()()()()12224P A P B P A B P B P A B =+=×+×= ②所求概率()()()122|334P BA P B A P A ===......................................................7分 （2）在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功,即获得15分及以上，则有三类情况：第一类第三四五局全答对；第二类第三局答错，第四五局答对；第三类第三局答对，第四局答错，第五局答对,记事件n C (n 1,2,3,4,5)=为“小李通过第n 局”，事件B 为“小李知道该成语”． 题可知11()1,()(),()()22n n n P C B P C B P B P B ====， 由全概率公式可得1111113()()()()()12224P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 22221115()()()()()1()2228P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 33331119()()()()()1()22216P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 444411117()()()()()1()22232P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 555511133()()()()()1()22264P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 则在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功的概率为123451234512345()()()()()()()()()()()()()()()P P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C =++359173335917333591733(1)(1)481632644816326448163264=××××+××−××+×××−× 2014560.191048576≈.....................................................15分18．（17分）已知函数()1e 1−=−−x f xa x . (1)讨论()f x 的单调性；(2)当()ln 0f x x x +−≥恒成立时，求a 的取值范围； (3)证明：11e ln(1)nii n n =>++∑.【答案】(1)答案见解析 (2)1a ≥(3)证明见解析【分析】（1）借助导数，对0a ≤及0a >进行分类讨论即可得；（2）令()()ln g x f x x x =+−，由()01e ln1110g a a =−−=−≥，即可得其必要条件1a ≥，再借助导数对1a =及1a >的情况分类讨论即可得解； （3）借助（2）中所得，可得1eln 1x x −≥+，令1n x n+=，可得()1e ln 1ln 1n n n >+−+，累加即可得证. 【详解】（1）()1e 1,xf x a x −−′=∈R ，当0a ≤时，易知()0f x ′<，所以函数()f x 在R 上单调递减，当0a >时，令()1e 10x f x a −′=−=，解得1ln x a =−， 令()0f x ′>，解得1ln x a >−，即()f x 在()1ln ,a ∞−+上单调递增， 令()0f x ′<，得1ln x a <−，即()f x 在(),1ln a ∞−−上单调递减， 综上，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递减，当0a >时，()f x 在(),1ln a ∞−−上单调递减，在()1ln ,a ∞−+上单调递增；..............................................5分（2）令()()()1ln e ln 1,0,x g xf x x x a x x ∞−=+−=−−∈+， ()01e ln111g a a =−−=−，故10a −≥恒成立，即1a ≥，()11e x g x a x−=′−，令()()h x g x =′，则()121e x h x a x −′=+，所以()g x ′在()0,∞+上单调递增， 当1a =时，()11ex g x x−=′−，又()10g ′=， 有()()0,1,0x g x ∈′<，即()g x 单调递减，()()1,,0x g x ∞′∈+>，即()g x 单调递增，所以()()01e ln110g x g ≥−−，所以当1a =时，()ln 0f x x x +−≥成立；当1a >时，可得110a−<，11e 1a −∴<，所以11111e e 10a a g a a a a −− =−=−<′又()110,g a =−>′所以存在01,1x a ∈，使得()00g x ′=，即0101e x a x −=，()()()()000,,0,,,0x x g x x x g x ∞′′∈∈+，所以函数()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，()()0100e ln 1x g x g x a x −∴≥=−−，由011e x x −=可得00ln 1ln a x x +−=−， ()0012ln 0g x x a x ≥+−+>， 综上，a 的取值范围为1a ≥；.......................................................11分 （3）由（2）知，当1a =时，有()ln 0f x x x +−≥，即1e ln 1x x −≥+， 令*1,n xn n +∈N ，得()11e ln 1ln 1ln 1n n n n n +>+=+−+， ()112e e e ln2ln1ln3ln2ln4ln3ln 1ln nn n n ∴+++>−+−+−+++−+ ， ()112e e e ln 1nn n ∴+++>++ ，即11e ln(1)nii n n =>++∑.......................................................17分【关键点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于从（2）中所得1e ln 1x x −≥+，再令*1,n xn n+∈N ，可得()1e ln 1ln 1nn n >+−+，再累加即可得证.. 19．（17分）设集合{}1,2,3,,M n =⋅⋅⋅，其中3n ≥，n N ∈，在M 的所有元素个数为K （K N ∈，2≤K ≤n ）的子集中，我们把每个K 元子集的所有元素相加的和记为K T （K N ∈，2≤K ≤n ），每个K 元子集的最大元素之和记为K a （K N ∈，2≤K ≤n ），每个K 元子集的最小元素之和记为K b （K N ∈，2≤K ≤n ）． (1)当n ＝4时，求3a 、3b 的值； (2)当n ＝10时，求4T 的值；(3)对任意的n ≥3，n N ∈，给定的K N ∈，2≤K ≤n ，KKb a 是否为与n 无关的定值？若是，请给出证明并求出这个定值：若不是，请说明理由． 【答案】(1)315a =，35b =；(2)4620 (3)K K b a 与n 无关，为定值1K，证明过程见解析. 【分析】（1）将3元子集用列举法全部列举出来，从而求出3a 、3b 的值；（2）用组合知识得到每个元素出现的次数，进而用等差数列求和公式进行求解；（3）用组合及组合数公式先求出K a ，再求出K a 与k b 的和，进而求出k b 及比值.【详解】（1）当4n =时，{}1,4M =，则3元子集分别为{}{}{}{}1,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4，则3344415a =+++=，311125b =+++=........................................................3分（2）当n ＝10时，4元子集一共有410210C =个，其中从1到10，每个元素出现的次数均有3984C =次，故()410118412108446202T ×=×+++=×= ....................................................9分 （3）K K b a 与n 无关，为定值1K，证明过程如下： 对任意的n ≥3，n N ∈，给定的K N ∈，2≤K ≤n ， 集合{}1,2,3,,M n =⋅⋅⋅的所有含K 个元素的子集个数为K n C ，这K n C 个子集中，最大元素为n 的有11K n C −−个，最大元素为()1n −的有12K n C −−个，……，最大元素为()n m −的有11K n m C −−−个，……，最大元素为1n K −+的有11K K C −−个，则()()()()1111112311121K K K K K K n n n n m K a nC n C n C n m C n K C −−−−−−−−−−−=+−+−++−++−+ ①，其中()11K K n m n m n m C KC −−−−−=，所以()12K K K K KKn n n n m K a K C C C C C −−−=++++++ ()111211K K K K K K n n n n m K n K C C C C C KC ++−−−++++++++= ，这K n C 个子集中，最小元素为1的有11K n C −−个，最小元素为2的有12K n C −−个，最小元素为3的有13K n C −−个，……，最小元素为（m +1）的有11K n m C −−−个，……，最小元素为K 的有11K K C −−个，则()1111112311231K K K K K K n n n n m K b C C C m C KC −−−−−−−−−−−=+++++++ ②，则①+②得：()()()()111111123111111K K K K K K K K K n n n n m K n n a b n C C C C C n C K C −−−−−+−−−−−−++=+++++++=+=+ ，所以()1111111K K K K n n n b K C KC C ++++++=+−=，故1K K b a K=，证毕........................................................17分 【点睛】集合与组合知识相结合，要能充分利用组合及组合数的公式进行运算，当然在思考过程中，可以用简单的例子进行辅助思考.。

浙东北联盟(ZDB)2023-2024学年第二学期期中考试高二数学 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1-8 CBADADBA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分数，有选错的得0分。

9.BCD 10.ACD 11.AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.7 13.2516 14.1511454)()425++∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）已知函数=-+f x x x ()ln(1).（1）求f x ()在=x 1处的切线方程；（2）证明：对∀∈+∞x [0,)，≤f x x 2()12. （1）由题意得：切点-P (1,1ln 2) ++=-=x x f x x 11'()11，则==k f 2'(1)1 设切线方程：--=-y x 2(1ln 2)(1)1 化简得：=+-y x 22ln 211 ……………………………………………………………6分 （2）要证：∀∈+∞≤x f x x 2[0,),()12 即证：∀∈+∞-≤x f x x 2[0,),()012 令=-=-+-g x f x x x x x 22()()ln(1)1122 ++=--=-x x g x x x 11'()112∀∈+∞≤x g x [0,),'()0，则g x ()在+∞[0,)单调递减≤==g x g x g ()()(0)0max ，即-≤f x x 2()012 则∀∈+∞≤x f x x 2[0,),()12得证. ……………………………………………………………13分16．（15分）已知+n1(展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列． （1）求n 的值； （2）求展开式中x 2的系数．（1）由题意得：+=C C C n n n2465---+=⋅n n n n n n (4)!4!(6)!6!(5)!5!!!!2 化简得：-+=n n 21980214或--=⇒=n n n (7)(14)07……………………………………………………………9分（2）由（1）得：14或=n 7=+T C k n k k 1，x 2的系数为C n4 当==n k 7,4时，=C 3574当==n k 14,4时，=C 1001144综上，当=n 7时，x 2的系数为35；当=n 14时，x 2的系数为1001…………………….15分17．（15分）如图，四棱锥-P ABCD ，底面ABCD 为正方形，平面⊥PAB 平面ABCD ，∠=︒PAB 120，=PA AB ，G 为∆PAB 的重心.（1）若点E 在线段BC 上，且=BE BC 31，求证：GE //平面PCD ； （2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.（1）法一（面面平行——线面平行）：取AB 中点为M ，连接PM DM ,在线段PM DM ,上取点G H ,，满足==PG GM DH HM 2,2连接GH HE ,，则GH PD //面平面平面平⎩⊂⎪⎨⊄⇒⎪⎧PD PCD GH PCD GH PCD GH PD //// 13BE BC =，∴HE CD // 面平面平面平⎩⊂⎪⎨⊄⇒⎪⎧CD PCD HE PCD HE PCD HE CD //// 结合上述条件：GH HE H=⊂面平面平面平面平面平⎩⎪⎪⎨⇒⎪⎪⎧GH HE GEH GEH PCD HE PCD GH PCD ,//////GE GEH ⊂面平，面平∴GE PCD //…………………………………….6分法二（线线平行——线面平行）延长ME 交DC 的延长线于N因为MB CN //，所以==EN EC ME BE 21 又=GP MG 21，所以=EN GPME MG 所以GE PN //又⊄GE 平面PCD ，⊂PN 平面PCD所以面平GE PCD //.…………………………………….6分法三（坐标法）：平面⊥PAB 平面ABCD，平面⊥PAB 平面ABCD =AB ，⊂AD 平面ABCD ，⊥AD AB ，∴⊥AD 平面PAB .以A 为坐标原点，垂直平面ABCD 竖直向上为z 轴 以AD AB ,所在直线为x y ,轴建立空间直角坐标系，如图所示 设正方形ABCD 的边长为2，则==PA AB 2则-P (0,，B (0,2,0)，C (2,2,0)，D (2,0,0) 由重心得：⎩⎪=⎪++⎪⎨=⎪++⎪⎪=⎧++z z z z y y y y x x x x G P A B G P A B G P A B 333，即G 3(0,1 由=BE BC 31得：E 3(,2,0)2 所以(0,2DC =，(2,1,3)DP =--，253(,,)GE =-333设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =00n DP n DC ⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎩⎪⎪=--+=⎧⎧y x y z 20230 令=x (3,0,2)n = 23GE n ⋅=⨯+-⨯=333020， 又⊄GE 平面PCD ，面平∴GE PCD //…………………………………….6分（2）法一（传统法）：过点P 作BA 的垂线，交BA 的延长线于点J ，过点J 作AD 的平行线，使得=JK AD ，过点J 作PK 的垂线，交PK 于点Q//,JK AD AD AB ⊥∴⊥AB JK PJ JK J =⊂面平面平⎩⎪⎪⎨⇒⊥⎪⊥⎪⎧⊥PJ JK PJKAB PJK AB JK AB PJ , //JQ PJK AB JQ CD AB CD JQ⊂∴⊥面平∴⊥ PK CD K =⊂面平面平⎩⎪⎪⎨⇒⊥⎪⊥⎪⎧⊥PK CD PCDJQ PCD JQ PK JQ CD , 面平面平面平⎩⊂⎪⎨⊄⇒⎪⎧CD PCD AB PCD AB PCD AB CD //// 因此，JQ 即点B 到平面PCD 的距离设正方形ABCD 的边长为2，直线PB 与平面PCD 所成角为θ平面⊥PAB 平面ABCD，平面⊥PAB 平面ABCD =AB ，⊂PJ 平面PAB ，⊥PJ AB所以⊥PJ 平面ABCD所以⊥PJ JK===⋅PK JQ PJ JK 7设直线PB 与平面PCD 所成角为θ===θPB JQ sin 所以直线与平面PCD……….15分 法二（坐标法）：由（1）得：(3,0,2)n =，(0,3,3)PB =-设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，则. ||237sin |cos ,|||||237PB nPB n PB n ⋅=<>===⨯θ7 故直线PB 与平面PCD…………………………………….15分18．（17分）设函数=---f x x a x ()(1)(1)3，∈x R ，其中∈a R .（1）求f x ()的单调区间；（2）若f x ()存在极值点x 0，且=f x f x ()()10，其中≠x x 10，求证：+=x x 2310； （3）若>a 0，函数=+g x f x ()|(1)|，求g x ()在[0,2]上的最大值.解：（1）=--f x x a '()3(1)2①当≤a 0时，≥f x '()0，所以f x ()在R 上单调递增；②当>a 0时，f x ()在-∞-(,1上单调递增，-+(1上单调递减. …………………………………….5分（2）由（1）知，>a 0，=--=f x x a '()3(1)0002，即=-a x 3(1)02⇔--+--+-=-⇔---=-⇔---=---=x x x x x x a x x x x a x x x a x x a x f x f x ()[(1)(1)(1)(1)]()(1)(1)()(1)(1)(1)(1)()()101100102210103311003310因为≠x x 10所以-+--+-==-x x x x a x (1)(1)(1)(1)3(1)11000222所以-+----=x x x x (1)(1)(1)2(1)0110022所以-+-=x x x x ()(23)01010又≠x x 10，所以+=x x 2310.…………………………………….11分（3）=-g x x ax ()||3g x ()在上单调递增，上单调递减，+∞)上单调递增≥2时，即≥a 12时，==-=-g x g a a ()(2)|82|28max ；<<2时，即<<a 412时，==g x g ()max ；③当<02时，即<≤a 04时，⎩-<<==-=≤≤a a g x g g a a 82,03()max{(2)}82|}4max.综上，⎩->⎪=≤≤⎧-<<a a g x a a a 28,12()31282,03max . …………………………………….17分19．（17分）某手机销售商为了了解一款G 5手机的销量情况，对近100天该手机的日销售量X （单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值=X 300，样本的标准差=s 50.（1）经分析，可以认为该款手机的日销售量X 近似服从正态分布δN u (,)2，用样本的平均值X 作为u 的近似值，用样本的标准差s 作为δ的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在[300,400)之间的概率；（2）为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”的活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球2个和白球4个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分.放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，顾客的积分之和为∈n n (N)的概率为P n (),（i ）求P (0)，P (1)的值，并证明：数列--∈P n P n n {()(1)}(N )*是等比数列；（ii ）销售商家规定当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终的积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数）参考数据：若随机变量2(,)N u ξδ，则-≤<+≈δξδP u u ()0.6827，-≤<+≈δξδP u u (22)0.9545，-≤<+≈δξδP u u (33)0.9973.解：（1）由题知(300,50)X N 2 所以≤<≈⨯=P X 2(300400)0.95450.477251 所以这一天该款手机的销量恰好在[300,400)之间的概率为0.47725.…………………………………….4分（2）（i ）==P P 3(0)1,(1)2 由题知，积分之和为n 的情况分为：①上一次积分为-n 1分，然后这次摸到白球；②上一次积分为-n 2分，然后这次摸到红球. 于是=-+-≥P n P n P n n 33()(1)(2)(221，且∈n N*) --=-+---=----P n P n P n P n P n P n P n 333()(1)(1)(2)(1)[(1)(2)]211又-=-≠P P 3(1)(0)01，所以--≠P n P n ()(1)0 所以---=---P n P n P n P n (1)(2)3()(1)1 所以--∈P n P n n {()(1)}(N )*是以-=-P P 3(1)(0)1为首项，公比为-31的等比数列. …………………………………….12分（ii ）由（i ）知，--=-≥P n P n n n 3()(1)()(1)1--=--=--=-P n P n P P P P n3()(1)()13(2)(1)()13(1)(0)12累加得：11111()(0)()()()[1()]33343n n -=-+-++-=---P n P 2 所以=---≥P n n n 43()1[1()](1)11 又=P (0)1符合上式，所以=---∈P n n n 43()1[1()](N)11 于是=---P 43(18)1[1()]1118，所以==---=+⨯P P 33434123(20)(18){1[1()]}()11111111818 设获得一等奖的顾客人数为Y ，则111(300,())4123Y B +⨯18 所以=⨯+⨯≈E Y 4123()300(())7511118（人） 所以获得一等奖的顾客人数约为75人.…………………………………….17分。

华埠中学高二数学期中考试模拟卷三组卷人：丰三忠班级_________姓名___________一、单选题1. 双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.2. 若实数满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.3. 已知，，为三个互不重合的平面，l为一条直线，则下列命题中错误的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，4. 设全集，集合，，则（）A. B. C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）A.B.C.D.6.已知数列是无穷等差数列，是其前n项和，若存在最大值，则（）A. 在中最大的数是B. 在中最大的数是C. 在中最大的数是D. 在中最大的数是7. 已知，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.8. “”是“直线与直线互相平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图，已知三棱锥，记二面角的平面角是，直线和所成的角为，直线与平面所成的角，则（）A. B.C. D.10. 函数的图象大致是（）A. B.C. D.11. 平面向量满足，，，，则的最小值为（）A. B. C. 1 D. 212. 已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数解，则b，c的取值情况不可能的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，三、填空题13. 已知为自然对数的底数.计算：________.14. 已知幂函数的图像过点，则________.15. 已知直线与圆，若，直线l与圆相交于A，B两点，则________，若直线l与圆相切，则实数________．16.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则圆锥的底面半径为________，体积为________.17.已知角的终边经过点,则+sinα−tanα的值为________18.已知i是虚数单位，复数z满足，则________.其共轭复数对应的点在复平面的第________象限.19 . 函数，，有下列命题：① 的表达式可改写为；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到；④满足的的取值范围是．其中正确的命题序号是_____________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）20 . 函数在区间上的最大值为________在实数集R上的单调递减区间是___________________________________________________.21 . 如图，分别为双曲线的右顶点和右焦点，过作轴的垂线交双曲线于，且在第一象限，到同一条渐近线的距离分别为，且是和的等差中项，则的离心率为________·22.已知函数，若函数恰有2个不同的零点，则实数的取值范围为________．二、解答题23. 在中，内角的对边分别为，且，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设边的中点为D，，求的面积．24.如图，在三棱台中，平面平面，，，.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.25.已知等差数列满足：，是和的等比中项.数列满足：．.（1）求数列和的通项公式.（2）若，求证：.26.如图，过点的直线与抛物线相交于，两点（在第一象限），且交轴于点，过点的直线交抛物线于另一点，且交轴于点，，分别是直线，的斜率，且满足.记，的面积分别为，.（Ⅰ）若，求的方程；（Ⅱ）求的取值范围.27.已知函数（，是自然对数的底数）.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求的单调区间；（Ⅲ）若在内存在两个极值点，求的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】D10.【答案】A11.【答案】B12.【答案】B二、填空题13.【答案】114.【答案】15.【答案】；16.【答案】；17.【答案】−√3+1218.【答案】；二19.【答案】①④20.【答案】3 , [−π12+kπ,5π12+kπ],k∈R.21.【答案】22.【答案】二、解答题23.【答案】解：（Ⅰ）由，得，又，∴，由正弦定理有得，∴即，∴，；（Ⅱ）由余弦定理有，即，解得，∴，∴.24.【答案】（1）证明：设，则，又，由余弦定理知：.由勾股定理的逆定理知：，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴.（2）解：方法一：解：直线与平面所成角即为直线与平面所成角，由（1）知∴平面，∴为所求角.，则，又，，由余弦定理知：，∴在直角三角形中，，方法二：解：令，则，又，，由余弦定理知：，∴，∴，∴平面，∴，∴，如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，，，设点为，则得到：.∴，∴，设平面的法向量为，得到，又，∴25.【答案】（1）解：由于是和的等比中项，则. 即，从而，从而，故.从而.由于，从而.当时，，从而，显然也符合条件，从而综合上述，，.（2）解：由于.（如当时，，故）．设则则两式相减得故故.26.【答案】（Ⅰ）解：由，知直线的方程为，代入抛物线方程，得，解得或，所以，又由，得直线的方程为，即.（Ⅱ）解：设点的坐标为，直线的斜率为，直线方程为，代入抛物线，消去，得，由韦达定理得，所以.因为，所以直线的方程为，代入抛物线，消去，得.由韦达定理得，所以..令，则，..由，知.所以的取值范围是.27.【答案】解：（Ⅰ）所以切线斜率，而，所以曲线在点处的切线方程为即；（Ⅱ）可知函数的定义域为，当时，，可知在，，当时，；当时，，故的递减区间为，递增区间为；（Ⅲ）函数在内存在二个极值点在内有两个异号零点，所以在内存在二个极值点在内有两个异号零点，设，则，①当时，，所以在上递增，所以在内不存在两个不同的根；②当时，由可得；由可得，所以的最小值为，所以在内有两个不同的根解得，综上所述，所求的取值范围为.。

2020-2021高二数学上期中模拟试卷及答案(3)一、选择题1．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +2．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A ．25B ．1225C ．1625D ．453．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献，哥德巴赫猜想是：“任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，如32=13+19．在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（ ） A ．111B ．211C ．355D ．4554．用秦九韶算法求多项式()54227532f x x x x x x =+++++在2x =的值时，令05v a =，105v v x =+，…，542v v x =+，则3v 的值为（ ）A ．83B ．82C ．166D ．1675．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门. 6．执行如图的程序框图，则输出x 的值是 ( )A．2018B．2019C．12D．27．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（）A．35B．13C．415D．158．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k的值可以为A．6B．10C．8D．49．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为150； ④中部地区学生小张被选中的概率为15000A ．①④B ．①③C ．②④D ．②③10．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为67，则输入a 的值为( )A ．7B ．4C ．5D ．1111．下列说法正确的是（ ）A ．若残差平方和越小，则相关指数2R 越小B ．将一组数据中每一个数据都加上或减去同一常数，方差不变C ．若2K 的观测值越大，则判断两个分类变量有关系的把握程度越小D ．若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r = 12．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元二、填空题13．已知一组数据：87,,90,89,93x 的平均数为90，则该组数据的方差为______． 14．将一枚骰子连续掷两次，点数之积为奇数的概率为__________．15．为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体1200名员工中抽80名员工做体检，现从1200名员工从1到1200进行编号，在115~中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从4660~这15个数中应抽取的数是__________．16．已知01a ≤≤，11b -≤≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______．17．已知多项式32256f x x x x =--+（），用秦九韶算法，当10x =时多项式的值为__________．18．已知一组数据分别是,10,2,5,2,4,2x ，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则数据x 的所有可能值为__________．19．某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车出发，并且发出前在车站停靠３分钟，则乘客到站候车时间大于10分钟的概率为________．（结果用分数表示）20．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A ＝{0，1，2，3，4，5}内取值的点中任取一个点，此点正好在直线y x =上的概率为________．三、解答题21．中国神舟十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，引起全国轰动．开学后，某校高二年级班主任对该班进行了一次调查，发现全班60名同学中，对此事关注的占13，他们在本学期期末考试中的物理成绩如下面的频率分布直方图：（1）求“对此事关注”的同学的物理期末平均分（以各区间的中点代表该区间的均值）． （2）若物理成绩不低于80分的为优秀，请以是否优秀为分类变量， ①补充下面的22⨯列联表：物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合计对此事关注 对此事不关注 合计②是否有95%以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系？参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：22．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：（1）画出散点图；（2）如果y与x有线性相关的关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？23．光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；(Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？24．如图是某地区2012年至2018年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图.注：年份代码17~分别表示对应年份20122018~.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数r （0.75r >线性相关较强）加以说明；（2）建立y 与t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年该区生活垃圾无害化处理量. （参考数据）719.32i i y ==∑，()()712.89i i i t ty y =--≈∑()7210.55i i y y =-≈∑，()7212 2.646i i t t =-≈⨯∑，()72128i i t t=-≈∑，2.890.992 2.6460.55≈⨯⨯，2.890.10328≈.（参考公式）相关系数()()()()12211niii nniii i t t y y r t t y y ===--=--∑∑∑，在回归方程$$y bta =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑$，a y bt =-$$.25．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长该地一建设银行统计连续五年的储蓄存款（年底余额）得到下表： 年份x2014 2015 2016 2017 2018 储蓄存款y （千亿元）567810为便于计算，工作人员将上表的数据进行了处理（令2013,t x =-5=-z y ），得到下表： 时间t 1 2 3 4 5 储蓄存款z1235（1）求z 关于t 的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；（3）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nx yb xnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-. 26．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．（I ）求线性回归方程；（参考数据：411120i ii x y==∑，421440i i x ==∑）（II ）根据（I ）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．2．C解析：C 【解析】 【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率． 【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A ，收到张老师的信息为事件B ，A 、B 相互独立，42()()105P A P B ===， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=．故选C ． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．3．C解析：C 【解析】 【分析】利用列举法求得基本事件的总数，再得出选取两个不同的数且和等于30，所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共有11个， 其中随机选取两个不同的数且和等于30的有30=7+23=11+19=13+17，共有3组，所以所求概率为2113355C =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用秦九韶算法，求解即可.【详解】利用秦九韶算法，把多项式改写为如下形式：()((((75)3)1)1)2f x x x x x =+++++按照从里到外的顺序，依次计算一次多项式当2x =时的值：07v =172519v =⨯+= 2192341v =⨯+= 3412183v =⨯+=故选：A 【点睛】本题主要考查了秦九韶算法的应用，属于中档题.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误． 故选D ． 【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．6．D解析：D 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，当2019y = 时，不满足条件退出循环，输出x 的值即可得解． 【详解】解：模拟执行程序框图，可得2,0x y ==.满足条件2019y <，执行循环体，1,1x y =-=；满足条件2019y <，执行循环体，1,22x y == ； 满足条件2019y <，执行循环体，2,3x y ==；满足条件2019y <，执行循环体，1,4x y =-= ； …观察规律可知，x 的取值周期为3，由于20196733⨯＝，可得： 满足条件2019y <，执行循环体，当2,2019x y == ,不满足条件2019y <，退出循环，输出x 的值为2． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x 的值是解题的关键．7．C解析：C 【解析】 【分析】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案. 【详解】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，2314615C p C ==；第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，44246115C p C ==；故12415p p p =+=. 故选：C . 【点睛】本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.8．C解析：C 【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k =，故选C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.解析：B 【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生2400100240016001000⨯=++48人、中部地区学生1600100240016001000⨯=++32人、西部地区学生1000100240016001000⨯=++20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误； ③西部地区学生小刘被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．C解析：C 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-； 3i =，()282131645m a a =--=-； 4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束； 令329367a -=，解得5a =. 故选C.11．B解析：B 【解析】 【分析】由残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断A ；由方差的性质可判断B ；由的随机变量2K 的观测值的大小可判断C ；由相关系数r 的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断【详解】对于A ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，相关指数2R 越大，故A 错误；对于B ，将一组数据的每一个数据都加上或减去同一常数后，由方差的性质可得方差不变，故B 正确；对于C ，对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故C 错误；对于D ，若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r =，故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====Q ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ， ∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程二、填空题13．【解析】该组数据的方差为 解析：4【解析】8790899390591x x ++++=⨯∴=该组数据的方差为222221[(8790)(9190)(9090)(8990)(9390)]45-+-+-+-+-=14．【解析】【分析】先求出总的基本事件的总数再求出点数之积为奇数的基本事件的总数再利用古典概型的概率公式求解【详解】由题得总的基本事件个数为两次点数之积为奇数的基本事件的个数为由古典概型的概率公式得故答解析：14【解析】 【分析】先求出总的基本事件的总数，再求出点数之积为奇数的基本事件的总数，再利用古典概型的概率公式求解. 【详解】由题得总的基本事件个数为66=36⨯，两次点数之积为奇数的基本事件的个数为33=9⨯，由古典概型的概率公式得91364P ==. 故答案为：14【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．52【解析】由题意可知抽取的人数编号组成一个首项为7公差为15的等差数列则从这个数中应抽取的数是：故答案为52解析：52 【解析】由题意可知，抽取的人数编号组成一个首项为7，公差为15的等差数列， 则从4660~这15个数中应抽取的数是：715352+⨯=. 故答案为 52．16．【解析】【分析】有实根则由根的判别式大于零可得之间的关系利用面积型概率求解【详解】关于x 的方程有实根则故答案为【点睛】本题是一道关于几何概型问题的题目根据题意求出判别式大于零的情况满足条件然后结合图 解析：14【解析】 【分析】有实根则由根的判别式大于零，可得a 、b 之间的关系，利用面积型概率求解 【详解】11a -≤≤Q ，11b -≤≤，224u S ∴=⨯=，Q 关于x 的方程220x ax b ++=有实根2240a b ∴->，()()220a b a b +->121112q S ∴=⨯⨯⨯=则14p =故答案为14【点睛】本题是一道关于几何概型问题的题目，根据题意求出判别式大于零的情况满足条件，然后结合图像求出面积即可得到结果，较为基础17．【解析】分析：由题意首先整理所给的多项式然后利用秦九韶算法求解多项式的值即可详解：由题意可得：当时故答案为点睛：本题主要考查秦九韶算法及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：756【解析】分析：由题意首先整理所给的多项式，然后利用秦九韶算法求解多项式的值即可. 详解：由题意可得：()()322256256f x x x x x x x =--+=--+()256x x x ⎡⎤=--+⎣⎦，当10x =时，()()10102105106756f =-⨯-⨯+=⎡⎤⎣⎦. 故答案为 756．点睛：本题主要考查秦九韶算法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．-11或3或17【解析】分析：设出未知数根据这组数的平均数中位数众数依次成等差数列列出关系式因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同所以要讨论x 的三种不同情况详解：由题得这组数据的平均数为众数是解析：-11或3或17 【解析】分析：设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同，所以要讨论x 的三种不同情况．详解：由题得这组数据的平均数为10252422577x x +++++++=，众数是2，若x ≤2，则中位数为2，此时x=﹣11，若2＜x ＜4，则中位数为x ，此时2x=2527x++，x=3， 若x ≥4，则中位数为4，2×4=2527x++，x=17， 所有可能值为﹣11，3，17. 故填 -11或3或17.点睛：本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．在求数列的中位数时，必须分类讨论,不能不分类讨论.19．【解析】由题意知这是一个几何概型因为公共汽车每隔15分钟有一辆车出发所以基本事件总数包括的时间长度为15由于出发前要停靠3分钟所以乘客到站候车时间大于10分钟的事件包括的时间长度为则乘客到站候车时间 解析：215【解析】由题意知，这是一个几何概型，因为公共汽车每隔15分钟有一辆车出发，所以基本事件总数包括的时间长度为15，由于出发前要停靠3分钟，所以乘客到站候车时间大于10分钟的事件包括的时间长度为15132-= ，则乘客到站候车时间大于10分钟的概率为215P =。

高二数学期中模拟试卷3一、选择题（共12小题；共60分）1. 若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )A. 一定平行B. 一定垂直C. 一定是异面直线D. 一定相交2. 已知椭圆C：x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )A. 13B. 12C. √22D. 2√233. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52，则C的渐近线方程为( )A. y=±14x B. y=±13x C. y=±12x D. y=±x4. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA−bsinB=4csinC，cosA=−14，则bc=( )A. 6B. 5C. 4D. 35. 已知椭圆C的焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若∣AF2∣=2∣∣F2B∣∣，∣AB∣=∣BF1∣，则C的方程为( )A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=16. 已知直线l:3x−4y−15=0与圆C:x2+y2−2x−4y+5−r2=0(r>0)相交于A，B两点，若∣AB∣=6，则圆C的标准方程为( )A. (x−1)2+(y−2)2=36B. (x−1)2+(y−2)2=25C. (x−1)2+(y−2)2=16D. (x−1)2+(y−2)2=497. 设F1，F2分别为椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2的公共左、右焦点，它们在第一象限内的交点为M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且∣MF1∣=2若椭圆C1的离心率e∈[38,49]，则双曲线C2的离心率的取值范围是( )A. [54,53] B. [32,+∞) C. (1,4] D. [32,4]8. 以椭圆x24+y23=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( )A. y23−x2=1 B. x2−y23=1 C. x24−y23=1 D. x23−y24=19. 连续投两次骰子，则两次点数均为1的概率是( )A. 16B. 112C. 124D. 13610. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(−1,−2)，则双曲线的焦距为( ) A. 6√5 B. 3√5 C. 6√3 D. 3√311. 已知椭圆 C:x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的离心率为 √32．双曲线 x 2−y 2=1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为 ( ) A. x 28+y 22=1B. x 212+y 26=1C. x 216+y 24=1D. x 220+y 25=112. 设平面区域 D 是由双曲线 y 2−x 24=1 的两条渐近线和抛物线 y 2=−8x 的准线所围成的三角形区域（含边界），若点 (x,y )∈D ，则 2y−x+1x+1的取值范围是 ( )A. [−1,13]B. [−1,1]C. [0,13]D. [0,43]二、填空题（共4小题；共20分） 13. 设抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ．则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为 . 14. 函数 f (x )=sin (2x +3π2)−3cosx 的最小值为 ．15. 以下四个关于圆锥曲线的命题中 ①设 A ，B 为两个定点，k 为非零常数，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=k ，则动点 P 的轨迹为椭圆；②设定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB ，O 为坐标原点，若 OP⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则动点 P 的轨迹为圆； ③方程 ln 2x −lnx −2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线 y 29−x 225=1 与椭圆 x 235+y 2=1 有相同的焦点．其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）．16. 已知抛物线 y 2=4x 的准线为 l ，l 与双曲线 x 24−y 2=1 的两条渐近线分别交于 A ，B 两点，则线段 AB 的长度为 ．三、解答题（共6小题；共70分）17. 一圆经过点 A (2,1)，且和直线 x −y −1=0 相切，圆心在直线 2x −y =0 上．（1）求该圆的标准方程； （2）若直线 l 过点 B (12,1)，且被圆截得的弦长最短，求直线 l 的方程．。