最新三垂线定理及逆定理ppt课件

三垂线定理实质是平面内的直线和平面的斜线垂直 的判定定理.
2020/12/10
6
3.如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结 论成立吗？
P
a
o A α
直线a必须要在平面内,如果a 不在平面内,定理就不一定成 立.
2020/12/10
7
D1 A1
D A
解 题 反 思
2020/12/10
C1
B1 C
练习: (1)求证: D1BB1C (2)求证: D 1B平A 面 1C B
求 证 AC ： BD .
B
D
O
C
2020/12/10
10
[思考3]:
D1 A1 P
D A
C1
B1
O
若O为 B1BCC1中心, P为 D1D 上一点,M为CD中 点.
M
C 求证：PO⊥AM
N
B
2020/12/10
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[思考4]:
D1 A1
G
D
C1 B1 E F
C
设正方体 ABC A 1B 1D C 1D 1的 棱长为2,
求证：a⊥PO
2020/12/10
P
oa A α
4
三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它 和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条 斜线在平面内的射影垂直.
P oa
A α
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P
理解和深化
oa
A
⒈为什么称为“三垂线”定理？α
三种垂直关系: ①线面垂直②线射垂直③线斜垂直
⒉这个定理的作用是什么？
若E为 C1C 的中点,
求E到 AB1 距离.
A

三垂线定理的应用实例
角平分线的应用
用角平分线确定两个相等角， 帮助解决几何问题。
内切圆的应用
通过制作内切圆，确定三角形 的重要属性。
图形构造的应用
使用三垂线定理构建各种有趣 的几何图形。
三垂线定理的逆定理的定义介绍
1 逆定理概念
与三垂线定理相反的情况。
2 逆定理表述
在任意三角形中，如果垂心到三个顶点的距离相等，则三条垂线重合于一点。
三垂线定理及其逆定理
本课程将介绍三垂线定理的定义，垂心的性质和应用，以及三垂线定理的逆 定理和内切圆定理。准备好探索这个有趣的几何概念吧！
三垂线定理的定义介绍
1 垂线概念
描述垂直于某线段的线 段，与该线段相交于90 度。
2 三垂线定理
在任意三角形中，三条 垂线交于一点，该点称 为垂心。
3 性质
垂心到三角形顶点的距 离相等，并且垂心通过 高线、中线和角平分线。三条垂线的分类高线源自从一个顶点到对应边的垂线。
角平分线
将角平分为两个相等角的线段。
中线
连接一个顶点和对边中点的线段。
垂心的定义和性质
1 垂心定义
三垂线相交的点。
2 性质 1:
垂心到三角形顶点的距 离相等。
3 性质 2:
垂心通过高线、中线和 角平分线。
三垂线定理的证明
三条垂线都经过垂心的证明是基于三角形的几何性质。通过角平分线、垂线以及等腰三角形的性质，我 们可以得到这一结论。
三角形内心的定义及性质
内心是三角形中到三边距离和最小的点。它有独特的性质和应用。

P
A
a
O
α
三垂线定理说明(2)
• 如果平面α内得直线a垂直于斜线 OP得射影OA,那么α必垂直于斜线 OP;反之也成立
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(3)
• 满足条件(2)得直线a必垂直于斜线 及射影所确定得平面
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(4)
• 运用三垂线定理及逆定理得规律: 确定平面、找到斜线、找到(做出) 垂线、连成射影、查面内线
则AG BC，连结A'G则A'G BC
A'F FG 3 a A'G 6 a
4
4
即A'点到BC的距离是 6 a 4
AG 3 a， 2
A
E F D
B
C G
垂直于AB的两条相等的斜线，且分别在 AB的两侧，若AB 5cm，AC BD 8cm，
AB和平面的距离为7cm，求CD的长
A
B
C
A1 O α
B1 D
举一个例子
分析：①因为AB 平面，又因为AB AC,
A
B
AB BD，则应想AA1 BB1 7cm且AA1 所以A1B1 AB 5cm
得距离 • 求二面角得平面角
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
已知：正方体中截去以P为定点的一角得截面ABC 求证：所截得的 ABC是锐角三角形
P C
A
B
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
证明：过P作PD AB于D， ABP是Rt ， PD的垂足D在AB内， 连结CD，由三垂线定理可知，CD AB， CD为 ABC中AB边上的高线且满足垂足在AB内， 同理可证 ABC中BC边、AC边上的高线的垂足也在BC、AC内 ABC的垂心在 ABC内，故 ABC为锐角三角形

O
C
同理，AC⊥BD
平面ABCD
AC是PC在ABCD上的射影
∴ PC⊥BD
∴ PO⊥BD
P
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，
M是BC的中点， 求证：BC⊥AM 证明: ∵ PA⊥平面PBC
C A
∴ PM是AM在平面PBC上的射影
∵ PB=PC
M B
M是BC的中点
∴ PM ⊥BC 又 BC 平面PBC ∴ BC⊥AM
O
a
α
A
三垂线定理
说明：
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射
影)、a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交，也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。
例1 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) 已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
C
我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件 P
解 题 回 顾
α
A1
A
O
a
α
P
A O
a
P
B1
C1 A M B C
C B
三垂线定理解题的关键：找三垂！
解 题 回 顾
怎么找？
一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直 P
α
A
O
a
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC， PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF P 求证：∠BAO=∠CAO 分析： 要证 ∠BAO=∠CAO 只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC

E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
F
C
B
E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
由三垂线定理知EFAC
F
C
B
E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
由三垂线定理知EFAC
F
C
B
E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
证明：∵AC面，a 面
∴ACa
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：AC和AB分别是平面的垂
线和斜线，BC是AB在平面
C
B
a
上的射影，a，aBC。 求证： aAB。
证明：∵AC面，a 面
∴ACa
∵BCa ，AC∩BC＝C
9.4 直线与平面垂直的判定和性质
————————————————————— —
§6 三垂线定理
教学目的
• 掌握三垂线定理及逆定理 • 运用三垂线定理及逆定理解决数学问题 • 在实际生活中运用三垂线定理及逆定理
重点与难点
•三垂线定理及逆定理的适用条件 •三垂线定理及逆定理的应用

精品课件
如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。
P
直线PO是垂线 直线PA是斜线
直线OA是直线PA在平面内的射影
思考：
O α
a A
若 a OA，直线a和直线PA是什么关系？
精品课件
P
已 知 ： P O 、 P A 分 别 是 平 面 的 垂 线 、 斜 线 ， O A 是 P A 在 内 的 射 影 ， a ,且 a O A α O
三垂线定理
P O α
a
A
精品课件
2021/3/23
直线和平面垂直的定义是什么？有怎样的性质？
定义：一条直线和平面相交，且和平面内经过交点的所有直 线都垂直 性质定理：如果一条直线和平面垂直，那么它垂直于平面 内的任何直线
直线和平面垂直的判定定理是什么？
判定定理：如果平面外一条直线和平面内两条相交直 线都垂直，那么这条直线垂直于平面
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(m) 答：电塔顶与道路的距离是25m。
A
“一垂二射三证”
B
90°
C
精品课件
45°
D
三垂线定理及三垂线定理逆定理
P
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
O α
a
A
定理和逆定理是证明线线垂直的重要方法！
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。

测出仰角∠ACB=θ,于是有AC=
BC a m
coAs CBcos
答：电塔顶与道路的距离是 a m
cos
A
θB
90°
C
-
45°
D
13
四、课堂练习:
(1) 已知:PA⊥正方形ABCD所在平
三垂线定理
P
面，O为对角线BD的中点.
求证：PO⊥BD，PC⊥BD
证明: ABCD为正方形 O为BD的中点
A
-
18
-
10
三、例题分析:
例 2. 如图；PA⊥面ABC，AB是圆O的直
径,C是圆O上的任一点（异于A、B两点).则
图中直角三角形的个数是( D)
A 1个 C 3个
B 2个 P D 4个
想想有几
个？
A
B C
-
11
三、例题分析：
三垂线定理
例3、路旁有一条河，彼岸有电塔AB，只有测角器和 皮尺作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？
明 aα
:
PA⊥a
PO⊥a
P
②
a⊥平面PAO AO 平面PAO
③
a⊥AO
a
o
A α
-
7
三垂线定理
三垂线逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这
个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证： a⊥AO
-
3
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知: PA、PO 分别是平面α的垂线、斜线，AO

P
证：∵PA⊥平面ABC，BC在平 面ABC内
∴PA⊥BC，又∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，
A
PB在平面PAB内，
∴BC⊥PB
思考： （1）证明线线垂直的方法有哪些？ （2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。
C B
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11
例题2:如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC， AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。
P
A Oa α
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三垂线定理包含几种垂直关系:
(1)线面垂直
P
α A Oa
直线和 平面垂直
（2）线射垂直
P
α A Oa
平面内的直 线和平面一 条斜线的射 影垂直
（3）线斜垂直
P
α A Oa
平面内的直 线和平面的 一条斜线垂 直
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10
例题一、引例：如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=90°， 求证：BC⊥PB。
∴∆PQR是直角三角形。
P
Q
C
R
A
B
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巩固性练习：
1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线
与斜线的位置关系是（ D ）
（A）垂直
（B）异面 （C）相交 （D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三
个面（ C ）
（A）至多只能有一个直角三角形
平面：a 斜线：PO 射影：AO
P
O
a
A
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三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么 它也和这条斜线垂直。

0P和CP垂直，怎样做？
分析：
CP在木块内部，直接做难，
若在同一平面内，易做两条
直线垂直。
利用定理将问题转化为同一
个平面内解决
D1
·
P
A1
C1
B1
D
A
C
B
D1
C1
B1
A1
D
A
C
B
D1
C1
B1
A1
D
A
C
B
三垂线定理
三垂线定理的逆定理 ·P


⊥
·A ·O
⊥
线垂直。
P
C
D
B
A
D1
A1
C1
B1
正方体
思考：
（1） “三”指的是什么，
“垂”指的什么.
（2）为何强调平面内？

A

O
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜
线垂直。
P
D
C
B
A
D1
A1
C1
是什么，
“垂”指的什么.
（2）为何强调平面内？

A

O
例1.判断：若一条直线垂直于平
面内的无数条直线，那么这条直线
垂直这个平面.（ ）
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的
一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射
影垂直。
·P
PA
PO
·
·
O
A


AO
⊥
⊥
例2．如图正方体木块
儿的上底面A1C1 内有一

压缩是指在不丢失有用信息的前提下，缩减数据量以减少存储空间，提高其传输、存储和处理效率，或按照一定的算法对数据进行重新组织，减少数据的冗 余和存储的空间的一种技术方法。数据压缩包括有损压缩和无损压缩。 在计算机科学和信息论中，数据压缩或者源编码是按照特定的编码机制用比未经编码 少的数据位元（或者其它信息相关的单位）表示信息的过程。例如，如果我们将“compression”编码为“comp”那么这篇文章可以用较少的数据位表示。 一种流行的压缩实例是许多计算机都在使用的ZIP 文件格式，它不仅仅提供了压缩的功能，而且还作为归档工具（Archiver）使用，能够将许多文件存储到同 一个文件中。 中文名 数据压缩 外文名 Data Compression 包 括有损压缩和无损压缩 功 能 压缩 对于任何形式的通信来说，只有当信息的发送方和接受方都 能够理解编码机制的时候压缩数据通信才能够工作。例如，只有当接受方知道这篇文章需要用英语字符解释的时候这篇文章才有意义。同样，只有当接受方 知道编码方法的时候他才能够理解压缩数据。一些压缩算法利用了这个特性，在压缩过程中对数据进行加密，例如利用
【练习】：
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
Байду номын сангаас
陆的身体是半透明的，怕见阳光，因此它生活在黑暗的岩缝中。巨型马陆的皮肤上还有更小更密集的体毛，能够分泌丝状物质把自己粘在岩石上。虽然它看 上去令人头皮发麻，但实际； 诺拓铝材 诺拓铝材 ；上巨型马陆算是温顺的虫子了，并不会伤害人，和专门吃人的巨型水蟒完全不同。 矩在阻力矩作用下慢下来。因而三相感应电动机又称三相异步电动机。二极电动机中转子转速一般在8转/分以上，与旋转磁场的转速相差很小。旋转磁场的 转速用n表示，转子的转速用n表示，则S=-n/n称为感应电动机的转差率。二极电动机的转差率大约在.～.之间，可见它的转子转速变化范围不大。由于转子 转向与旋转磁场转向一致，而旋转磁场转向又由电流的相序决定，所以当调换两根电源线时由于电流相序的改变旋转磁场的转向就要反向，从而转子的转向 也就反向。可见三相感应电动机可通过任意调换两根电源线方便地使转子转轴改变转动方向。 三相感应电动机是靠通电后转轴上带负载把电能变成机械能的 装置。它有坚固耐用、价格便宜、便于维修、使用简便等优点，但它也有起动转矩不大、调速性能不好等缺点，在这方面直流电动机有明显的优越性。 数据

C
B
a
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线
C
B
a
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
C
B
a
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF
F
B E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
F
C
B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部 的距离。 A
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部 的距离。 A
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部 的距离。 A
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：AC和AB分别是平面的垂