2017-2018学年北京四中下学期高一年级期中考试数学试题(解析版)

北京四中2018-2018学年度第二学期期中测验高一年级数学学科数学试卷(试卷满分为100分，考试时间为100分钟)一、选择题(每题3分，共36分)1、如果ααtan cos 与异号，则角α的终边所在象限是( )。

A 、第一、二象限B 、第二象限C 、第三、四象限D 、第四象限2、已知4=α，则α是( )。

A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角3、已知角α的终边经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛65cos ,65sinππP ，则角α可能是( ) A 、3π- B 、3π C 、6π D 、65π 4、已知23παπ<<，312cos =α，则αsin 的值为( ) A 、36 B 、36- C 、33 D 、33- 5、12cos 312sin ππ-的值为( ) A 、0 B 、2- C 、2 D 、26、已知81cos sin =⋅αα，且24παπ<<，则)(sin cos =-αα。

A 、23 B 、23- C 、43 D 、43- 7、已知)(cos cos ,3tan tan ,3=⋅=+=+βαβαπβα则。

A 、61 B 、63 C 、233 D 、22 8、已知α是第二象限角，则απα-22与都不是( )。

A 、第一象限角 B 、第二象限角 C 、第三象限角 D 、第四象限角9、已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos )(,2sin )(ππx x g x x f ，则)(x f 的图象( ) A 、 与g(x)图象相同B 、 B 、与g(x)图象关于y 轴对称C 、是由g(x)的图象向左平移2π个单位得到的 D 、是由g(x)的图象向右平移2π个单位得到的 10、函数f(x)是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，如果f(x)在［-1,0］上是减函数，那么f(x)在［2,4］上是( )A 、减函数B 、增函数C 、先减后增函数D 、先增后减函数11、函数],2[sin 2ππ在x x y -=上的最大值是( )A 、22πB 、142-π C 、π2 D 、无法判断 12、函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4,3sin 2)(ππω在x x f 上递增，则正实数ω的取值范围是( )A 、230≤<ωB 、20≤≤ωC 、7240≤<ωD 、223≤≤ω 二、填空题(每题4分，共24分)13、计算：2sin300°+cos(-240°)-tan418°=________。

2017-2018 学年北京四中高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分）最新试卷多少汗水曾洒下，多少期望曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中挂念，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

1．不等式x2+x﹣ 2＞0 的解集为（）A． {x|x ＜﹣ 2 或 x＞ 1}B． {x| ﹣2＜ x＜ 1}C．{x|x ＜﹣ 1 或 x＞ 2}D． {x| ﹣ 1＜ x ＜ 2}2．在△ ABC中， a2=b2+c 2﹣ bc 则 A 等于（）A．45° B ．120°C．60° D ．30°3． S n是等差数列 {a n } 的前 n 项和，假如S10 =120，那么 a1+a10的值是（）A． 12B． 36C． 24D． 484．关于任意实数a、 b、 c、 d，以下命题中，真命题为（）①若 a＞b， c≠ 0，则 ac＞bc；②若 a＞b，则 ac2＞bc2；③若 ac2＞bc2，则 a＞ b；④若 a＞b，则＜．A．①B．②C．③D．④5．在△ ABC中，若 a=2， b=2，A=30°，则 B 为（）A．60° B ．60°或 120°C．30° D ．30°或 150°6．已知等差数列 {a n} 的公差为2，若 a1， a3和 a4成等比数列，则a1可以等于（）A．﹣ 4B．﹣ 6C．﹣ 8D．﹣ 107．已知实数x、y 满足拘束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A． 24B． 20 C． 16D． 128．在以下函数中，最小值是 2 的是（）A． y=+B．y=（ x＞ 0）C． y=sinx+， x∈（ 0，） D． y=7x+7﹣x9．以以下图，C、 D、 A 三点在同一水平线上，AB 是塔的中轴线，在C、D 两处测得塔顶部B处的仰角分别是α和β，假如 C、 D间的距离是a，测角仪高为b，则塔高为（）A． B ．C．+b D．10．设 {a n} 是等差数列，以下结论中正确的选项是（）A．若C．若a1 +a2＞ 0，则0＜ a1＜ a2，则a2+a3＞ 0a2B．若 a1+a3＜ 0，则 a1+a2＜ 0D．若 a1＜0，则（ a2﹣ a1）（ a2﹣ a3）＞ 0二、填空题：（本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分）11．在△ ABC中， a=3， b= ，∠ A=，则∠ B=．12．数列 {a n} 的前 n 项和 S n=2a n﹣ 3（ n∈N*），则 a5=．13．假如 c＜ b＜a，且 ac＜ 0，那么以下不等式中：①ab＞ ac；② c（ b﹣ a）＞ 0；③ cb2＜ab2；④ ac（a﹣ c）＜ 0，不必定成立的是（填序号）．14．设 x， y∈ R+，且满足 4x+y=40 ，则 lgx+lgy 的最大值是．15．在△ ABC中， a=4， b=5， c=6，则=．16．两等差数列{a n} 和 {b n} ，前n 项和分别为S n，T n，且，则=．三、解答题（本大题共 3 小题，共17．△ ABC中， BC=7， AB=3，且26 分）=．（ 1）求AC的长；（ 2）求∠ A 的大小．18．若不等式ax2+5x 2＞0 的解集是，（1）求数 a 的；（2）求不等式 ax2 5x+a2 1＞ 0 的解集．19． {a n} 是一个公差d（d≠ 0）的等差数列，它的前10 和 S10 =110 且 a1， a2， a4成等比数列．（1）明 a1=d；（2）求公差 d 的和数列 {a n} 的通公式．一、卷（ II ）填：（本大共 6 小，每小 5 分，共 30分）20．在 R 上定运算⊙： a⊙ b=ab+2a+b，足 x⊙（ x 2）＜ 0 的数 x 的取范．21．等比数列 {a n} 的前 n 和 S n．若 a1=1， S6=4S3， a4=．22．若角△ ABC的面，且 AB=5， AC=8， BC等于．23．在△ ABC中，内角 A，B，C 所的分是 a，b，c．已知 8b=5c ，C=2B， cosC=（）A．B．C．D．24．已知 O直角坐系原点，P，Q的坐足不等式，cos∠ POQ的最小（）A．B．C．D．025．已知数列A： a1，a2，⋯， a n（0≤ a1＜ a2＜⋯＜ a n，n≥ 3）拥有性P：任意 i ，j （ 1≤ i≤j ≤ n）， a j +a i与 a j a i两数中最少有一个是数列中的一、出以下四个命：①数列 0， 1，3 拥有性 P；②数列 0， 2， 4，6 拥有性 P；③若数列 A 拥有性P， a1=0；④若数列a1， a2， a3（0≤ a1＜ a2＜ a3）拥有性P， a1+a3=2a2，此中真命有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个二、解答：（本大共 2 小，共20 分）26．已知数列{a n} 满足a1=1， a n+1=，设b n=， n∈N*．（ 1）证明{b n} 是等比数列（指出首项和公比）；（ 2）求数列{log 2 b n }的前n 项和T n．27．已知向量=（ sinA ，）与=（ 3， sinA+）共线，此中 A 是△ ABC 的内角．（1）求角 A 的大小；（2）若 BC=2，求△ ABC面积 S 的最大值，并判断 S 获得最大值时△ ABC的形状．2017-2018 学年北京四中高一（下）期中数学试卷参照答案与试题分析一、选择题：（本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分）1．不等式x2+x﹣ 2＞0 的解集为（）A． {x|x ＜﹣ 2 或 x＞ 1}B． {x| ﹣2＜ x＜ 1}C．{x|x ＜﹣ 1 或 x＞ 2}D． {x| ﹣ 1＜ x ＜ 2}【考点】 74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式x2+x﹣ 2＞ 0 化为（ x﹣ 1）（ x+2）＞ 0，求出解集即可．【解答】解：∵不等式 x2+x﹣ 2＞ 0 化为（ x﹣ 1）（ x+2）＞ 0，解得 x＜﹣ 2 或 x＞ 1；2∴不等式x +x ﹣ 2＞ 0 的解集是 {x|x ＜﹣ 2 或 x＞ 1} ．2．在△ ABC中， a2=b2+c 2﹣ bc 则 A 等于（）A．45° B ．120°C．60° D ．30°【考点】 HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵a2 =b2+c2﹣ bc，∴ bc=b2+c2﹣ a2，∴ cosA===．A∈（ 0°， 180°），∴A=60°．应选： C．3． S n是等差数列 {a n } 的前 n 项和，假如S10 =120，那么 a1+a10的值是（）A． 12B． 36C． 24D． 48【考点】 85：等差数列的前n 项和．【分析】等差数列{a n} 中，由 S10=120，知（a1+a10）=120，由此能求出a1+a10．【解答】解：等差数列{a n} 中，∵S10=120，∴（ a1+a10） =120，∴a1+a10=24．应选 C．4．关于任意实数a、 b、 c、 d，以下命题中，真命题为（①若 a＞b， c≠ 0，则 ac＞bc；）②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＞bc2，则a＞ b；④若a＞b，则＜．A．①B．②C．③D．④【考点】 R3：不等式的基天性质．【分析】经过举反例可以得出①、②、④不正确，从而消除，由不等式的性质可得只有③正确．【解答】解：当c＜ 0 时，①不成立；当c=0时，②不成立；由不等式的性质知③成立，当 b=0 时，④不成立．综上，只有③成立，应选 C．5．在△A．60°ABC中，若B ．60°或a=2， b=2120°C．30°，A=30°，则D ．30°或B 为（150°）【考点】 HP：正弦定理．【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得【解答】解：由正弦定理可知=B．，∴ sinB==∵B∈（ 0，180°）∴∠ B=60°或 120°应选 B．6．已知等差数列{a n} 的公差为2，若 a1， a3和 a4成等比数列，则a1可以等于（）A．﹣ 4 B．﹣ 6 C．﹣ 8D．﹣ 10【考点】 8F：等差数列的性质．【分析】依题意，（ a1+2d）2=a1?（ a1+3d），可求得a1．【解答】解：∵等差数列{a n} 的公差 d=2， a1， a3和 a4成等比数列，∴（ a1+2d）2=a1?（ a1+3d），∴a1d+4d2=0，∴ a1=﹣8，应选： C．7．已知实数x、y 满足拘束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A． 24B． 20 C． 16 D． 12【考点】7C：简单线性规划．【分析】①画可行域② z 为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0， 2）时 z 有最大值【解答】解：画可行域如图， z 为目标函数 z=2x+4y ，可看作是直线 z=2x+4y 的纵截距四倍，画直线0=2x+4y ，平移直线过 A（ 2，4）点时 z 有最大值 20 应选 B．8．在以下函数中，最小值是 2 的是（）A． y=+B． y=（x＞ 0）C． y=sinx+， x∈（ 0，） D． y=7x+7﹣x 【考点】 7F：基本不等式．【分析】由基本不等式成立的条件，逐个选项考据可得．【解答】解：选项A， x 正负不定，不可以满足最小值是2，故错误；选项 B，y===+≥ 2，当且仅当=，即 x=0 时取等号，但x＞ 0，故错误；选项 C，∵ x∈（ 0，），∴ sinx ∈（ 0， 1），∴ y=sinx+≥2，当且仅当 sinx=，即 sinx=1 时取等号，但 sinx ∈（ 0， 1），取不到1，故错误；选项 D，y=7x+7﹣x=7x +≥2，当且仅当 7x=即 x=0 时取等号，故正确．应选： D9．以以下图，C、 D、 A 三点在同一水平线上，AB 是塔的中轴线，在C、D 两处测得塔顶部B 处的仰角分别是α和β，假如 C、 D间的距离是a，测角仪高为b，则塔高为（）A．B．C．+bD．【考点】 HP：正弦定理； HR：余弦定理．【分析】分别在△BCD、△ ABD这两个三角形中运用正弦定理，即可求解．【解答】解：在△BCD中，∴=即 BD=在△ ABD中，∴即 AB=BD?sinβ =则塔高为﹣b应选： A10．设 {a n} 是等差数列，以下结论中正确的选项是（）A．若 a1 +a2＞ 0，则 a2+a3＞ 0B．若 a1+a3＜ 0，则 a1+a2＜ 0C．若 0＜ a1＜ a2，则 a2D．若 a1＜ 0，则（ a2﹣ a1）（ a2﹣ a3）＞ 0【考点】 8F：等差数列的性质．【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若a1+a2＞ 0，则 2a1+d＞ 0， a2+a3=2a1+3d＞ 2d，d＞ 0 时，结论成立，即 A 不正确；若 a +a ＜ 0，则 a +a =2a +d＜ 0， a +a =2a +3d＜ 2d，d＜ 0 时，结论成立，即 B 不正确；13121231{a } 是等差数列， 0＜ a ＜a ，2a2=a +a ＞ 2，∴ a ＞，即 C 正确；n12132若 a1＜ 0，则（ a2﹣ a1）（ a2﹣ a3） =﹣ d2≤ 0，即 D 不正确．应选： C．二、填空题：（本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分）11．在△ ABC中， a=3， b=，∠ A=，则∠ B=．【考点】 HP：正弦定理．【分析】由正弦定理可得sinB ，再由三角形的边角关系，即可获得角B．【解答】解：由正弦定理可得，=，即有 sinB===，由 b＜ a，则可得 B=B＜A，．故答案为：．12．数列 {a n} 的前 n 项和 S n=2a n﹣ 3（ n∈N*），则 a5= 48．【考点】 8E：数列的乞降； 8H：数列递推式．【分析】把a n=s n﹣ s n﹣1代入 s n=2a n﹣ 3 化简整理得2（ s n﹣1 +3） =s n+3 从而可知数列 {s n+3} 是等比数列，求得s1+3，依据等比数列的通项公式求得数列{s n +3} 的通项公式，从而依据5求得答案．a =【解答】解：∵a n =s n﹣ s n﹣1，∴s n=2a n﹣ 3=2（ s n﹣ s n﹣1）﹣ 3整理得 2（ s n﹣1+3） =s n+3∵s1=2s1﹣ 3，∴s1=3∴数列 {s n+3} 是以 6 为首项， 2 为公比的等比数列∴s n+3=6?2n﹣1，∴s n=6?2n﹣1﹣ 3，∴s5=6?24﹣3∴ a5==48故答案为4813．假如 c＜ b＜a，且 ac＜ 0，那么以下不等式中：①ab＞ ac；② c（ b﹣ a）＞ 0；③ cb2＜ab2；④ac（a﹣ c）＜ 0，不必定成立的是③ （填序号）．【考点】 71：不等关系与不等式．【分析】由题意可得 a＞ 0， c＜ 0，应用不等式的基天性质判断即可．【解答】解：由 c＜ b＜ a，且 ac＜ 0，可得 a＞ 0， c＜ 0，故①、②、④必定成立，但③不必定成立，如当 b=0 时，不等式不成立，故答案为：③．14．设 x， y∈ R+，且满足 4x+y=40 ，则 lgx+lgy的最大值是2．【考点】 7F：基本不等式．【分析】利用对数的运算法规转变为真数为乘积形式，而后利用基本不等式求最值即可．【解答】解： 4x?y≤（）2=400当且仅当4x=y=20 时取“ =”∴ xy ≤100，∴ lgx+lgy=lgxy≤ lg100=2．故答案为： 215．在△ ABC中， a=4， b=5， c=6，则= 1 ．【考点】 HR：余弦定理； GS：二倍角的正弦；HP：正弦定理．【分析】利用余弦定理求出cosC， cosA，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中， a=4， b=5，c=6，∴ cosC==，cosA==∴ sinC=， sinA=，∴==1．故答案为： 1．16 ．两等差数列 {a n} 和 {b n} ，前n 项和分别为S n， T n，且，则=．【考点】 8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和．【分析】在 {a n} 为等差数列中，当m+n=p+q（ m，n，p，q∈ N+）时， a m+a n=a p+a q．所以联合此性质可得：，再依据题意获得答案．【解答】解：在{a n} 为等差数列中，当m+n=p+q（ m， n， p， q∈ N+）时，a m+a n=a p+a q．所以，又因为，所以．故答案为：．三、解答题（本大题共 3 小题，共26 分）17．△ ABC中， BC=7， AB=3，且=．（ 1）求AC的长；（ 2）求∠ A 的大小．【考点】 HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（ 1）由已知利用正弦定理即可得解AC的值．（2）由已知利用余弦定理可求 cosA 的值，联合 A 的范围，依据特别角的三角函数值即可得解．【解答】解：（ 1）由正弦定理，可得：=，可得： AC==5．（ 2）由余弦定理可得：cosA===﹣，因为 A∈（ 0°， 180°），可得： A=120°．18．若不等式ax2+5x﹣ 2＞0 的解集是，（1）务实数 a 的值；（2）求不等式 ax2﹣5x+a2﹣ 1＞ 0 的解集．【考点】77：一元二次不等式与一元二次方程；【分析】（1）由二次不等式的解集形式，判断出求出 a 的值．74：一元二次不等式的解法．，2 是相应方程的两个根，利用韦达定理（ 2）由（1）我们易得 a 的值，代入不等式ax2﹣ 5x+a 2﹣ 1＞ 0 易解出其解集．【解答】解：（ 1）∵ ax2+5x﹣ 2＞ 0 的解集是，∴ a＜ 0，，2是ax2+5x﹣2=0 的两根解得 a= ﹣ 2；（2）则不等式 ax2﹣5x+a2﹣ 1＞ 0 可化为﹣ 2x2﹣ 5x+3＞ 0解得故不等式ax2﹣ 5x+a2﹣ 1＞ 0 的解集．19．设 {a n} 是一个公差为d（d≠ 0）的等差数列，它的前10 项和 S10 =110 且 a1， a2， a4成等比数列．（1）证明 a1=d；（2）求公差 d 的值和数列 {a n} 的通项公式．【考点】 8M：等差数列与等比数列的综合；85：等差数列的前n 项和．【分析】（ 1）由已知可得 a22=a1?a4，代入等差数列的通项可转变为（a1+d）2=a1?（ a1+3d），整理可得（ 2）联合（ 1）且有，联立方程可求a1，d 及 a n【解答】（ 1）证明：因a1， a2， a4成等比数列，故2a2=a1a4而 {a } 是等差数列，有 a =a +d，a =a +3d n2141于是（ a1+d）2=a1（ a1+3d）即 a12+2a1d+d2=a12+3a1d化简得 a1=d（ 2）解：由条件S10 =110 和，获得10a1+45d=110由（ 1）， a1=d，代入上式得55d=110故 d=2，a n=a1+（ n﹣ 1） d=2n所以，数列 {a n} 的通项公式为a n=2n一、卷（ II ）选填题：（本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分）20．在 R 上定义运算⊙： a⊙ b=ab+2a+b，则满足 x⊙（ x﹣ 2）＜ 0 的实数x 的取值范围为（﹣2， 1）．【考点】 74：一元二次不等式的解法．【分析】依据题中已知得新定义，列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可获得x 的取值范围．【解答】解：由a⊙ b=ab+2a+b，获得 x⊙（ x﹣ 2） =x（ x﹣ 2） +2x+x﹣ 2＜ 0，即 x2+x﹣ 2＜ 0分解因式得（x+2）（ x﹣ 1 ）＜ 0，可化为或，解得﹣2＜x＜ 1所以实数x 的取值范围为（﹣2， 1）．故答案为：（﹣ 2， 1）21．设等比数列 {a n} 的前 n 项和为 S n．若 a1=1， S6=4S3，则 a4= 3．【考点】 89：等比数列的前n 项和； 8G：等比数列的性质．【分析】依据S6=4S3可求得 q3，从而依据等比数列的通项公式，获得答案．【解答】解：设等比数列的公比为q，则由 S6=4S3知 q≠ 1，∴S6==．∴q3=3．∴ a1q3=3．故答案为： 322．若锐角△ ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于7．【考点】 HS：余弦定理的应用．【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：因为锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，所以，所以 sinA=，所以 A=60°，所以 cosA=，所以 BC==7．故答案为： 7．23．在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c．已知 8b=5c ，C=2B，则 cosC=（）A．B．C．D．【考点】 HQ：正弦定理的应用；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，而后利用平方关系式求出cosC 的值即可．【解答】解：因为在△ABC中，内角A， B， C所对的边分别是a，b， c．已知 8b=5c ，C=2B，所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以cosB=，B为三角形内角，所以B∈（ 0 ，）．C．所以 sinB==．所以 sinC=sin2B=2 ×=，cosC==．应选： A．24．已知 O为直角坐标系原点，P， Q的坐标满足不等式组，cos ∠POQ的最小（）A．B．C．D． 0【考点】7C：性划．【分析】先画出不等式，的平面地域，利用余弦函数在上是减函数，再找到∠POQ最大的点的坐，即可求出cos ∠ POQ的最小．【解答】解：足不等式，的平面地域以下示：因余弦函数在上是减函数，所以角最大的余弦最小，由得，当P 与 A（ 1， 7）重合， Q与 B（ 4，3）重合，∠POQ最大．此 k OB=，k0A=7．由tan∠ POQ==1? ∠POQ=? cos ∠ POQ=．故： A．25．已知数列A： a1，a2，⋯， a n（0≤ a1＜ a2＜⋯＜ a n，n≥ 3）拥有性P：任意 i ，j （ 1≤ i≤j ≤ n）， a j +a i与 a j a i两数中最少有一个是数列中的一、出以下四个命：①数列 0， 1，3 拥有性 P；②数列 0， 2， 4，6 拥有性 P；③若数列 A 拥有性 P， a1=0；④若数列 a1， a2， a3（0≤ a1＜ a2＜ a3）拥有性 P， a1+a3=2a2，此中真命有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【考点】 8B：数列的用．【分析】依据数列A： a1， a2，⋯，a n（ 0≤ a1＜ a2＜⋯＜a n， n≥ 3）拥有性P：任意i ，j （ 1≤ i ≤ j≤ n），a j +a i与a j a i两数中最少有一个是数列中的一，逐个，可知① ，其他都正确．【解答】解：∵ 任意i ，j （ 1≤ i ≤ j ≤ n），a j +a i与 a j a i两数中最少有一个是数列中的，①数列 0， 1， 3 中， a2+a3=1+3=4 和 a3a2=3 1=2 都不是数列中的数，故①不正确；②数列0， 2， 4， 6， a j +a i与 a j a i（ 1≤ i ≤j ≤ 3）两数中都是数列中的，而且a4a3=2是数列中的，故②正确；③若数列 A 拥有性P， a n+a n=2a n与 a n a n=0 两数中最少有一个是数列中的一，∵ 0≤ a1＜a2＜⋯＜ a n，n≥ 3，而 2a n不是数列中的，∴ 0 是数列中的，∴ a1=0；故③正确；④∵数列a1， a2， a3拥有性P，0≤ a1＜ a2＜ a3∴ a1+a3与 a3 a1最少有一个是数列中的一，且a1=0，1°若 a1 +a3是数列中的一，a1+a3=a3，∴a1=0，易知 a2+a3不是数列的∴a3 a2=a2，∴ a1+a3=2a22°若 a3a1是数列中的一，a3a1=a1或 a2或 a3①若 a3a1=a3同 1°，②若 a3a1=a2， a3=a2，与 a2＜ a3矛盾，③a3 a1=a1， a3=2a1上 a1+a3=2a2，故 B．二、解答：（本大共 2 小，共20 分）26．已知数列 {a n} 足 a1=1， a n+1=，b n =， n∈N*．（ 1）明 {b n} 是等比数列（指出首和公比）；（ 2）求数列 {log 2 b n } 的前 n 和 T n ．【考点】 8E ：数列的乞降； 8H ：数列 推式．【分析】（ 1）由 a n+1=，得 =2? ．可得 =2，即可 明．（ 2）由（ 1）可知 b n =1?2n ﹣1=2n ﹣1，可得 log 2b n =log 2 2n ﹣1=n 1．利用等差数列的乞降公式即可得出．【解答】解：（ 1） 明：由 a n+1=，得 =2? ．所以 b n+1=2b n ，即=2．又因 b 1=，所以数列 {b n } 是以 1 首 ，公比2 的等比数列．（ 2）由（ 1）可知 b n =1?2n ﹣1=2n ﹣1，所以 log 2b n =log 2 2 n ﹣1=n 1．数列 {log2 b } 的前 n 和 T =1+2+3+⋯ +（ n 1）=．nn27．已知向量 =（ sinA ， ）与 =（ 3， sinA+ ）共 ，此中 A 是△ ABC的内角．（ 1）求角 A 的大小；（ 2）若 BC=2，求△ ABC 面 S 的最大 ，并判断 S 获得最大 △ ABC 的形状．【考点】 9C ：向量的共 定理； 7F ：基本不等式； G Q ：两角和与差的正弦函数；HP ：正弦定理．【分析】（ 1）依据向量平行得出角2A 的等式，而后依据两角和差的正弦公式和A 三角形内角 个条件获得A ．（ 2）依据余弦定理代入三角形的面 公式，判断等号成立的条件．【解 答 】 解 ： （ 1 ） 因∥ ， 所 以；所以，即，即．因为A∈（ 0，π），所以．故，；（ 2）由余弦定理，得4=b2+c2﹣ bc．又，而 b2+c2≥ 2bc? bc+4≥ 2bc? bc≤4，（当且仅当 b=c 时等号成立）所以；当△ ABC的面积取最大值时，b=c．又；故此时△ABC为等边三角形．2017年 6月 14 日。

2017-2018学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.sin18°cos12°+cos18°sin12°=（）A. B. C. D.2.在△ABC中，已知a=3，b=4，，则sin A=（）A. B. C. D. 13.函数f（x）=sin x cosx的最大值为（）A. 1B.C.D.4.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，那么该几何体的体积为（）A. 3B. 6C.D. 125.如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75°，这时B处与地面目标C的距离为（）A. 5千米B. 千米C. 4千米D. 千米6.如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE和平面CDEF不重合）下面说法正确的是（）A. 存在某一位置，使得平面ABFEB. 存在某一位置，使得平面ABFEC. 在翻折的过程中，平面ADE恒成立D. 在翻折的过程中，平面CDEF恒成立7.在△ABC中，A＜B＜C，则下列结论中不正确的是（）A. B. C. D.8.在△ABC中，若AC=2，∠B=60°，∠A=45°，点D为AB边上的动点，则下列结论中不正确的是（）A. 存在点D使得△为等边三角形B. 存在点D使得C. 存在点D使得：：D. 存在点D使得二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.计算：cos215°-sin215°=______．10.已知，则tanα的值为______．11.已知正四棱柱底面边长为1，高为2，则其外接球的表面积为______．12.在△ABC中，已知A=60°，，b=3，则c=______．13.若α，β均为锐角，且满足，，则sinβ的值是______．14.如图，棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1绕其体对角线BD1逆时针旋转θ（θ＞0），若旋转后三棱锥D1-DC1A1与其自身重合，则θ的最小值是______；三棱锥D1-DC1A1在此旋转过程中所成几何体的体积为______．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.已知函数f（x）=2sin x（cos x-sin x）+1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间，上的最大值．16.如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，∠ACD=45°，∠BCD=90°．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求BC的长．17.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，AC CB，侧面B1BCC1底面ABCD，E，F分别是AB，C1D的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面B1BCC1；（Ⅱ）求证：EF AC；（Ⅲ）在线段EF上是否存在点G，使得AC平面C1D1G？并说明理由．18.正四棱锥S-ABCD的展开图如图所示，侧棱SA长为1，记∠ASB=α，其表面积记为f（α），体积记为g（α）．（Ⅰ）求f（α）的解析式，并直接写出α的取值范围；（Ⅱ）求，并将其化简为的形式，其中a，b，c为常数；（Ⅲ）试判断是否存在最大值，最小值？（写出结论即可）答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查两角和的正弦函数，以及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．根据题意和两角和的正弦函数化简，由特殊角的三角函数值求值．【解答】解：sin18°cos12°+cos18°sin12°=sin（18°+12°）=sin30°=，故选D．2.【答案】C【解析】解：△ABC中，a=3，b=4，，由正弦定理得，=，则sinA==．故选：C．利用正弦定理，即可求得sinA的值．本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由于函数y=sinxcosx=sin2x，而sin2x的最大值等于1，故函数y的最大值等于，故选：B．由二倍角公式可得函数y=sinxcosx=sin2x≤．本题考查二倍角公式，正弦函数的值域，是一道基础题．4.【答案】B【解析】解：由三视图可知，该几何体是一个底面为正方形的直四棱柱，正四棱柱的底面正方形的对角线长为2，高是3；所以，底面正方形的边长为：，该长方体的体积为：=6．故选：B．由几何体的三视图得出原几何体一个底面为正方形的正四棱柱，结合图中数据求出它的体积．本题考查了由几何体的三视图求表面积的应用问题，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意知，在△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，∠ACB=75°-30°=45°，由正弦定理得=，解得BC==5．∴B处与地面目标C的距离为5千米．故选：B．由题意，利用正弦定理即可求得BC的值．本题考查了利用正弦定理解答实际应用问题，是基础题．6.【答案】C【解析】解：在A中，∵四边形DEFC是梯形，DE∥CF，∴CD与EF相交，∴CD与平面ABFE相交，故A错误；在B中，∵四边形DEFC是梯形，DE CD，∴DE与EF不垂直，∴不存在某一位置，使得DE平面ABFE，故B错误；在C中，∵四边形AEFB梯形，BF∥AE，BF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立，故C正确；在D中，∵四边形ABFE是梯形，AB BF，∴BF与FE不垂直，在翻折的过程中，BF平面CDEF不成立，故D错误．故选：C．在A中，CD与EF相交，从而CD与平面ABFE相交；在B中，DE与EF不垂直，从而不存在某一位置，使得DE平面ABFE；在C中，BF∥AE，从而在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立；在D中，BF与FE不垂直，在翻折的过程中，BF平面CDEF不成立．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7.【答案】D【解析】解：∵△ABC中，A＜B＜C，利用大角对大边，可得a＜c．不妨C为钝角，则B是锐角，cosB＞0，cosC＜0，所以cosB＜cosC不成立．故选：D．利用三角形中大角对大边可得a＜c，再利用特殊值判断可得结论．本题主要考查三角形中大角对大边，特殊值判断法的应用，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：若△BCD为边长为x的等边三角形，可得=解得x=＜2，满足AC＞CD，则A成立；cos∠CDA=＜=cos60°，且0°＜∠CDA＜180°，可得∠CDA＞B，AB上存在点D，则B成立；，可得==，可得sin∠BCD=，即有∠BCD=45°＜∠BCA=75°，则C成立；若CD=1，在△ACD中可得=，可得sin∠ADC==＞1，∠ADC不存在，则D不成立．故选：D．运用三角形的正弦定理和三角形的内角和定理、边角关系，结合正弦函数的性质，对选项一一判断，即可得到结论．本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．9.【答案】【解析】解：由二倍角的余弦公式可得，cos215°-sin215°=cos30°=．故答案为：．由二倍角的余弦公式可得cos215°-sin215°=cos30°，从而得到结果．本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．10.【答案】【解析】解：∵已知，则tanα===-，故答案为：-．由题意利用二倍角的正切公式，求得tanα的值．本题主要考查二倍角的正切公式的应用，属于基础题．11.【答案】6π【解析】【分析】通过正四棱柱的对角线就是外接球的直径，求出直径即可求出球的表面积．本题是基础题，考查球的内接体的特征与球的关系，考查计算能力、空间想象能力．【解答】解：正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的直径，就是正四棱柱的对角线的长，所以球的直径为：=，所以球的表面积为：4π（）2=6π．故答案为6π．12.【答案】1或2【解析】【分析】利用余弦定理列方程求得c的值，再验证c的值是否满足题意即可．本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．【解答】解：△ABC中，A=60°，，b=3，则a2=b2+c2-2bccosA，∴7=9+c2-3c，解得c=1或c=2；经验证，c=1或c=2都满足题意，∴c的值为1或2．故答案为：1或2．13.【答案】【解析】解：∵锐角α、β满足cosα=，cos（α+β）=，∴sinα==，∴α+β∈（0，π），sin（α+β）==，∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=×-=．故答案为：．由已知及角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sinα，sin（α+β）的值，利用两角差的正弦函数公式即可化简求值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.【答案】；【解析】解：如图，连接AC，AB1，B1C，A1D，DC1，A1C1，可得正方体体对角线BD1平面AB1C，BD1平面A1DC1，若是旋转后三棱锥D1-DC1A1与其自身重合，则等边三角形A1DC1旋转后与自身重合，即A1旋转到D，此时θ的最小值是；由正方体棱长为，可得，则D1到平面A1DC1的高为，等边三角形A1DC1的边长为2，则外接圆的半径为2，∴三棱锥D1-DC1A1在此旋转过程中所成几何体为圆锥，其体积为．故答案为：；．连接AC，AB1，B1C，A1D，DC1，A1C1，可得正方体体对角线BD1平面AB1C，BD1平面A1DC1，旋转后三棱锥D1-DC1A1与其自身重合，即等边三角形A1DC1旋转后与自身重合，也就是A1旋转到D，此时θ的最小值是；由正方体棱长求出体对角线长，再求出三角形A1DC1的外接圆的半径，由圆锥体积公式求解．本题考查空间几何体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2sin x（cos x-sin x）+1=2sin x cosx-2sin2x+1=sin2x+cos2x=sin（2x+）的最小正周期为=π；（Ⅱ）在区间，上，2x+∈[0，π]，故当2x+=时，f（x）取得最大值为．【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，可得该函数的最小正周期；（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最小正周期、定义域和值域，属于基础题．16.【答案】解：（Ⅰ）在△ACD中，∠ACD=45°，由正弦定理可得：=，可得：AC===AD•sin∠ADC，在△BCD中，∠BCD=90°．则BC=BD•sin∠BDC，由于：∠BDC+∠ADC=π，BD=2AD，所以：BC=BD•sin∠BDC=2AD•sin∠ADC=AC，即：BC=AC．（Ⅱ）在△ABC中，∠ACB=∠ACD+∠BCD=135°，BC=AC，由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC•BC cos∠ACB，…9分即：5=AC2+（AC）2-2AC×（-）=5AC2，因为AC＞0，所以：AC=1，BC=【解析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得AC=AD•sin∠ADC，在△BCD中，由∠BCD=90°．可得BC=BD•sin∠BDC，由∠BDC+∠ADC=π，BD=2AD，即可代入证明．（Ⅱ）在△ABC中，∠ACB=∠ACD+∠BCD=135°，BC=AC，由余弦定理即可解得BC的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．17.【答案】证明：（Ⅰ）解法一：取BC中点M，连结FM、BM，在△CC1D中，∵F，M分别为C1D、C1C中点，∴FM∥CD，FM=CD，在平行四边形ABCD中，∴CD∥AB，E为AB中点，∴FM∥EB，FM=，在平行四边形ABCD中，∵CD∥AB，E为AB中点，∴FM∥EB，FM=EB，∴四边形FMBE是平行四边形，∴EF∥BM，∵BM⊂平面B1BCC1，EF⊄平面B1BCC1，∴EF∥平面B1BCC1．解法二：取CD中点M，连结FM、EM，在△CC1D中，∵F，M分别是C1D，CD中点，∴EM∥CB，又∵EM∩FM=M，EM，FE⊂平面EFM，CC1，CB⊂平面B1BCC1，∴平面EFM∥平面B1BCC1，又∵EF⊂平面EFM，∴EF∥平面B1BCC1．（Ⅱ）∵平面B1BCC1平面ABCD，面B1BCC1∩平面ABCD=BC，AC BC，AC⊂平面ABCD，∴AC平面B1BCC1，∵BM⊂平面B1BCC1，∴AC BM，又∵EF∥BM，∴EF AC．解：（Ⅲ）在线段EF上不存在点P，使得AC平面C1D1G．假设存在点P，使得AC平面C1D1G，∵C1D1⊂平面C1D1G，∴AC C1D1，与已知AC与C1D1不垂直矛盾，∴在线段EF上不存在点G，使得AC平面C1D1G．【解析】（Ⅰ）法一：取BC中点M，连结FM、BM推导出四边形FMBE是平行四边形，从而EF∥BM，由此能证明EF∥平面B1BCC1．法二：取CD中点M，连结FM、EM，推导出EM∥CB，从而平面EFM∥平面B1BCC1，由此能证明EF∥平面B1BCC1．（Ⅱ）推导出AC平面B1BCC1，从而AC BM，由此能证明EF AC．（Ⅲ）假设存在点P，使得AC平面C1D1G，假设AC C1D1，推导出AC C1D1，与已知矛盾，从而在线段EF上不存在点G，使得AC平面C1D1G．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：（I）因为正四棱锥S-ABCD中，SA=SB=1，∠ASB=α，所以f（α）=4S△SAB+S底ABCD=4×SA•SB sin∠ASB+AB2=2sinα+SA2+SB2-2SA•SB-cos∠ASB=2sinα+2-2cosα，其中α∈（0，），（Ⅱ）设正方形ABCD的中心为O，则OA2=AB2=（2-2cosα）=1-cosα，则在Rt△SOA中，SO2=SA2-OA2=cosα，则g（α）=S正方形ABCD•SO=（2-2cosα），则=•=，则（）2==•=，则=，（0＜α＜）（Ⅲ）有最大值，无最小值．【解析】（Ⅰ）根据四棱锥的表面积公式进行求解即可；（Ⅱ）求出的表达式，利用三角函数的关系式进行化简即可；（Ⅲ）根据的表达式，直接进行判断最值即可．本题主要考查三角函数的解析式的求解，以及三角函数的化简，利用三角函数的关系式进行转化是解决本题的关键．。

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！北京四中2018－2019学年下学期高一年级期中测试数学试卷卷（I）一、选择题。

1.某校老年、中年和青年教师的人数如下表所示。

采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为（）A. 9B. 10C. 18D. 30【答案】C【解析】【分析】根据老年教师和青年教师人数的比例列方程，解方程求得老年教师抽样的人数.【详解】设老年教师抽取x人，则3290160x=，解得18x=人.故选C.【点睛】本小题主要考查分层抽样的概念及计算，考查阅读理解能力，属于基础题.2.总体由编号为01，02…，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数表选取4个个体。

选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始，从左往右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）A. 02B. 14C. 18D. 29【答案】D【解析】【分析】根据随机数表法的步骤，将抽取的个体编号抽出，由此得出正确选项.【详解】依题意可知，抽取的编号为08,02,14,29，故选D.【点睛】本小题主要考查抽样方法中的随机数表法，属于基础题.3.10名工人生产某一零件，生产的件数分别是10，12，14，14，15，15，16，17，17，17. 设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则（）A. a>b>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a【答案】D【解析】【分析】分别计算出平均数、中位数和众数，由此得出正确选项.【详解】依题意，1012141415151617171714.710a+++++++++==.中位数15b=，众数为=17c，故c b a>>，故选D.【点睛】本小题主要考查样本平均数、中位数和众数的计算，属于基础题.4.投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是={1，2，3，4，5，6}。

数学试卷（试卷满分为150分，考试时间为120分钟） 试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分卷（I ）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1．集合{1，2，3}的真子集的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82．函数y = ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x U ≥ D ．{}|01x x ≤≤3．函数()22x x f x -=-，则1()2f =（ ）A ．2-B ．C ． 2D ．4．设全集{,,,,}I b c d e f =，若{,,}M b c f =，{,,}N b d e =，则()I M N =I ð（ ） A ．∅ B ．{}d C ．{,}d e D ．{,}b e5．下列函数中的值域是(0,)+∞的是（ ） A ．2()log f x x = B ．2()1f x x =- C ．1()12f x x =+D ．()2x f x =6．下列函数中，在区间()0,2上为增函数的是（ ）A ．1y x =-+B ．y =C ．245y x x =-+D ．2y x=7．函数3()f x x x =+的图象关于（ ） A ．y 轴对称B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称8．4366312log 2log 9log 89+--=（ ）A ．12B ．12-C ．16-D ．4-9．函数111y x -=+-的图象是下列图象中的（ ）A ．B ．C ．D ．10．设2()f x x bx c =++且(0)(2)f f =，则（ ）A ．3(2)()2f c f -<<B ．3()(2)2f c f <<-C ．3()(2)2f f c <-<D ．3()(2)2c f f <<-二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11．若 3.40.5a =、0.5log 4.3b =、0.5log 6.7c =，则,,a b c 的大小关系是____________。

2017-2018学年北京师范大学附属中学下学期高一年级期中考试数学试题一、单选题1．在△ABC中，D是边BC的中点，则＝A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用平面向量的减法法则及共线向量的性质求解即可.详解：因为是的中点，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查共线向量的性质，平面向量的减法法则，属于简单题.2．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝150°，则△ABC的面积为A. 3B.C. 6D.【答案】A【解析】分析：过作交的延长线于点，则可求得的长，再利用三角形的面积公式可求得的面积.详解：如图，过作，交的延长线于点，，，且，，，故选A.点睛：本题主要考查含角的直角三角形的性质及三角形面积公式，掌握直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键.3．下图是500名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则这500名学生中测试成绩在区间[90，100）中的学生人数是A. 60B. 55C. 45D. 50【答案】D【解析】分析：根据频率分布直方图可得测试成绩落在中的频率，从而可得结果.详解：由频率分布直方图可得测试成绩落在中的频率为，所以测试成绩落在中的人数为，，故选D.点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直观图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率.4．已知点A（1，2），B（3，7），向量∥，则A. ，且与方向相同B. ，且与方向相同C. ，且与方向相反D. ，且与方向相反【答案】D【解析】分析：求出向量，利用向量共线的性质列方程求出，然后判断两个向量的方向即可得结果.详解：因为，所以，，可得，解得，与方向相反，故选D.点睛：本题考查斜率共线，向量的坐标运算，是基础题.利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为.若，则角B的大小为A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】解：因为根据余弦定理可知故选C。

北京市2017～2018学年度第二学期期中考试高一数学试卷(考试时间：100分钟 总分：100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 对于α∈R ，下列等式中恒成立的是 （ ）A ．cos()cos αα-=- B.sin()sin αα-=-C.sin(180)sin αα︒+=D.cos(180)cos αα︒+=2.已知向量(4,2)a =，向量(,3)b x =，且//a b ，那么x 等于 （）A.8B.7C.6D.53.下列函数中，在区间[0,]2π上为减函数的是 （ ）A.cos y x =B.sin y x =C.tan y x =D.sin()3y x π=-4.已知02A π<<，且2cos 3A =，那么sin 2A 等于 （ ）A.19B.79C.895.已知),1,5(),2,3(---N M 若,21=则P 点的坐标为 （ ）A.(8,1)-B.(8,1)-C.3(1,)2-- D ．3(1,)26．如果函数3sin(2)y x φ=+的图像关于点(,0)3π中心对称，那么φ的一个值可以为 （ ） A.3π B. 3π- C. 6π D. 6π-7．有下列四种变换方式:①向左平移4π,再将横坐标变为原来的21; ②横坐标变为原来的21,再向左平移8π;③横坐标变为原来的21,再向左平移4π; ④向左平移8π,再将横坐标变为原来的21;其中能将正弦曲线x y sin =的图像变为)42sin(π+=x y 的图像的是 （ ）A.①和② B .①和③ C ．②和③ D．②和④8．函数)sin(ϕω+=x A y ,(0,0,0)A ωϕπ>><<在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为 （ ）A ．)322sin(2π+=x y B ．)32sin(2π+=x y C ．)32sin(2π-=x yD ．)32sin(2π-=x y9．已知,A B 均为锐角，sin A =，sin B =，则A B +的值为 （ ） A ．47π B.45π C ．43π D ．4π10．已知动点111(,cos )P x x ，222(,cos )P x x ，O 为坐标原点，则当1211x x -≤≤≤时，下列说法正确的是 （ ） A.1OP 有最小值1 B ．1OP 有最小值，且最小值小于1 C ．120OP OP ?恒成立 D ．存在12,x x 使得122OP OP ?二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 已知cos α=，且[0,)απ∈，那么α的值等于____________. 12．已知tan 2α=，3tan()5αβ-=-，则tan β= ．13．函数x y 3tan =的图像的相邻两支截直线3π=y 所得的线段长为 ．14．函数2cos y x =在区间[,]33π2π-上的最大值为________,最小值为___________. 15．如图，若AB a =，AC b =，3BD DC =，则向量AD 可用a ，b 表示为___________.16．关于函数()221sin ()32xf x x =-+，有下面四个结论： ①()f x 是偶函数；②无论x 取何值时，()12f x ＜恒成立；③()f x 的最大值是32；④()f x 的最小值是12-. 其中正确的结论是__________________.三、解答题：本大题共4小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题共9分）已知向量(1,2)a =，(2,)b x =-．（Ⅰ）当a b ⊥时，求x 的值；（Ⅱ）当1x =-时，求向量a 与b 的夹角的余弦值； （Ⅲ）当(4)a a b ⊥+时，求||b ．18. (本小题共9分) 已知55cos =θ(0,)2πθ∈．（I ）求sin θ的值； （Ⅱ）求cos 2θ的值；（III ）若sin()2πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．19. (本小题共9分)已知函数()sin 2f x x x =. （I ）求)(x f 的最小正周期； （II ）求)(x f 的单调递减区间； （III ）若函数()()g x f x k =-在[0,]6π上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．20．(本小题共9分)已知函数()2sin()3f x x πω=+，且0ω≠，R ω∈.（I ）若函数()f x 的图象经过点(,2)3π，且03ω<<，求ω的值；（II ）在（I ）的条件下，若函数()()()0g x mf x n m =+>，当[2,]3x ππ∈--时，函数()g x的值域为[2,1]-，求m ，n 的值；（III ）若函数()()3h x f x πω=-在[,]33ππ-上是减函数，求ω的取值范围.北京市2014~2015学年度第二学期期中考试高一数学试卷答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1------5BCADC 6------10AAADA 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.56π 12. 13- 13. 3π14. 2，1- 15. 1344AD a b =+ 16. ①④三、解答题：本大题共4小题，共36分.17．解：（Ⅰ）∵a ⊥b ，∴1(2)20x ⨯-+=，即1x =． ……………………2分 （Ⅱ）∵1x =-，∴1(2)+2(1)=4a b ⋅=⨯-⨯--， (3)分且5a =，5b =． (4)分∴向量a 与向量b 的夹角的余弦值为4cos =5a ba bθ⋅=-． (5)分（Ⅲ）依题意 ()42,8a b x +=+． ……………………6分∵(4)a a b ⊥+，∴(4)0a a b ⋅+=． (7)分即21620x ++=，∴9x =-．∴(2,9)b =--． (8)分∴||481b =+= (9)分17．解：（Ⅰ）由55cos =θ(0,)2πθ∈．得sin θ==…………………2分（Ⅱ）213cos 22cos 12155θθ=-=⨯-=- …………………4分（Ⅲ）∵20πθ<<，20πϕ<<，∴22πϕθπ<-<- (5)分∵()1010sin =-ϕθ，∴()10103cos =-ϕθ …………………6分∴()[]ϕθθϕ--=cos cos()()ϕθθϕθθ-+-=sin sin cos cos …………………8分10105521010355⨯+⨯=22= …………………9分19. 解：（Ⅰ）由1()sin 222(sin 22)2sin(2)223f x x x x x x π==+=+ …………2分得)(x f 的最小正周期为π. …………………3分（Ⅱ）由3222()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得 …………………4分 7()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ …………………5分 所以函数)(x f 的递减区间为7[,]()1212k k k Z ππππ++∈. …………………6分 （Ⅲ）由0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得23x π+∈2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，而函数)(x f 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()f x ∈， …………………7分在2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，()f x ∈， …………………8分所以若函数()()g x f x k =-在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则k ∈. …………………9分 20.解： (Ⅰ) 因为函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象经过点,23π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2sin 233ππω⎛⎫+=⎪⎝⎭ …………………1分所以2,332k k Z πππωπ+=+∈ ………………2分所以16,2k k Z ω=+∈因为03ω<<，所以1063,.2k k Z <+<∈所以0k =所以12ω= ……………… 3分(Ⅱ)因为21=ω， 所以1()2sin .23g x m x n π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，:Z#因为23x ππ-≤≤-， 所以213236x πππ-≤+≤. 所以111sin .232x π⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭ ……………… 4分所以()2.m n g x m n -+≤≤+因为函数()g x 的值域为[]2,1-，所以22,1.m n m n -+=-⎧⎨+=⎩……………… 5分解得 1,0.m n == ……………… 6分 （Ⅲ）因为()3h x f x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以()2sin 2sin .33h x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ………… 7分 因为函数()x h在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数， 所以函数()2sin .h x x ω=的图象过原点，且减区间是.0，2-，2<⎥⎦⎤⎢⎣⎡ωωπωπ 所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤<.32,32,0πωππωπω ……………… 8分 解得 302ω-≤< 所以ω的取值范围是302ω-≤< ……………… 9分。

北京四中2016-2017学年下学期高一年级期中考试数学试卷试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分，共计150分考试时间：120分钟卷（I）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 不等式x2+x-2>0的解集为（）A. {x| x<-2或x>1}B. {x| -2<x<1}C. {x| x<-1或x>2}D. {x| -1<x<2} 【答案】A【解析】,解得，故选A.2. 在△ABC中，若a2=b2+c2-bc，则A等于（）A. 120°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】B【解析】在△ABC中，由余弦定理可得：，所以,故选B.3. S n是等差数列{a n}的前n项和，如果S10=120，那么a1+a10的值是（）A. 12B. 24C. 36D. 48【答案】B【解析】试题分析：根据等差数列的性质可知，项数之和为11的两项之和都相等，即可求出a1+a10的值．解：S10=a1+a2+…+a10=（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a1+a10）=120 +a10=24所以a故选B考点：等差数列的前n项和．4. 对于任意实数a、b、c、d，下列结论：①若a>b，c≠0，则ac>bc；②若a>b，则ac2>bc2；③若ac2>bc2，则a>b；④若a>b，则<；正确的结论为（）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】C【解析】①若a>b,当时有，,故不正确；②若a>b，当时有，故不正确；...③若，显然，两边同除以，可得，正确；④若a>b，当a>0>b，时>，故不正确；故选C.5. 在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B等于（）A. 60°B. 60°或120°C. 30°D. 30°或150°【答案】B【解析】在△ABC中，由正弦定理可得，解得，故选B.6. 已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a1等于（）A. -4B. -6C. -8D. -10【答案】C【解析】等差数列{a n}的公差为2,所以,又a1，a3，a4成等比数列，所以有，即，解得,故选C.7. 已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A. 24B. 20C. 16D. 12【答案】B【解析】试题分析：画出可行域如图所示，为目标函数，可看成是直线的纵截距四倍，画直线，平移直线过点时有最大值20，故选B。

2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+13．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．共线向量的方向相同或相反；方向相同时，夹角为0°，相反时的夹角为180°，∴该说法正确；B．长度相等，方向相同的向量叫做相等向量，∴该说法错误；C．平行向量也叫共线向量，∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上；∴该说法错误；D．零向量的方向任意，并不是没有方向，∴该说法错误．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．【解答】解：选项A，定义域为R，sin|﹣x|=sin|x|，故y=sin|x|为偶函数．选项B，定义域为R，sin（﹣2x）=﹣sin2x，故y=sin2x为奇函数．选项C，定义域为R，﹣sin（﹣x）+2=sinx+2，故y=sinx+2为非奇非偶函数偶函数．选项D，定义域为R，sin（﹣x）+1=﹣sinx+1，故y=sinx+1为非奇非偶函数，故选：B．3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴tanα==，故选：B．4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将ω=4代入T=即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（4x﹣π），∴最小正周期T==．故选：D．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），所以α=；故选：D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数的单调递减区间．【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得∴∴函数的单调递减区间（k∈Z）故选D．7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵对于函数y=3sin（2x+）+2图象，令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数图象的一条对称轴方程为x=π，故选：C．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案．【解答】解：对于A，终边不同的角同一三角函数值可以相等，正确，如；对于B，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，错误，如是终边在坐标轴上的角；对于C，第一象限是锐角，错误，如是第一象限角，不是锐角；对于D，第二象限的角比第一象限的角大，错误，如是第二象限角，是第一象限角，但．故选：A．9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限．【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：向量+++=，故选：D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．12．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的概念．【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．【解答】解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是2x﹣y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：设A（0，2）、B（4，0）．=﹣，所以线段AB的中垂线得斜率k=2，又线段AB的中点为（2，1），直线AB的斜率 kAB所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，∴圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣2=3故答案为：3．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解： +++﹣=+++﹣=﹣=，故答案为：．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得2sinα+cosα．【解答】解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、斜截式即可得出．（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）==﹣，∵KAC∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的一般式方程，把三个点的坐标代入，求解关于D、E、F的方程组得答案．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），由β=α﹣（α﹣β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2， ==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k∈Z．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．。

2016—2017学年北京四中高一（下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．不等式220xx +->的解集为（ ）．A ．{2|x x <-或1}x >B ．{}2|1x x -<<C ．{1|x x <-或2}x >D ．{}1|2x x -<<【考点】74：一元二次不等式的解法． 【分析】把不等式220xx +->化为(1)(2)0x x -+>,求出解集即可．【解答】解：∵不等式220xx +->化为(1)(2)0x x -+>,解得2x <-或1x >； ∴不等式220xx +->的解集是{2|x x <-或1}x >．故选：A ．2．在ABC △中,222ab c bc=+-则A 等于（ ）．A ．45︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒ 【考点】HR ：余弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出． 【解答】解：∵222ab c bc=+-，∴222bc bc a =+-，∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-===．,(01)80A ∈︒︒,∴60A =︒． 故选：C ．3．nS 是等差数列{}n a 的前n 项和,如果10120S=,那么110a a +的值是（ ）．A ．12B ．36C ．24D ．48 【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】等差数列{}n a 中,由10120S =,知110(12010)2a a +=，由此能求出110a a +．【解答】解：等差数列{}na 中，∵10120S =，∴110(12010)2a a +=,∴11024a a+=．故选C ．4．对于任意实数a 、b 、c 、d ，下列命题中,真命题为( )．①若a b >,0c ≠,则ac bc >； ②若a b >，则22ac bc >；③若22acbc >，则a b >；④若a b >,则11a b<． A ．① B ．② C ．③ D ．④ 【考点】R3:不等式的基本性质．【分析】通过举反例可以得出①、②、④不正确，从而排除，由不等式的性质可得只有③正确．【解答】解：当0c <时，①不成立;当0c =时，②不成立；由不等式的性质知 ③成立，当0b =时，④不成立．综上，只有③成立， 故选C ．5．在ABC △中，若2a =,b =30A =︒，则B 为（ ）．A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30︒D ．30︒或150︒ 【考点】HP ：正弦定理．【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B ． 【解答】解：由正弦定理可知sin sin a bA B=，∴1sin 2sin 2b A B a===,∵(0,180)B ∈︒， ∴60B ∠=︒或120︒． 故选B ．6．已知等差数列{}na 的公差为2，若1a ，3a 和4a 成等比数列，则1a 可以等于（ )．A ．4-B ．6-C ．8-D ．10- 【考点】8F ：等差数列的性质． 【分析】依题意，2111()(23)a d a a d ⋅+=+,可求得1a ．【解答】解：∵等差数列{}na 的公差2d =，1a ，3a 和4a 成等比数列，∴2111()(23)a d a a d ⋅+=+,∴2140a d d+=，∴18a =-，故选：C ．7．已知实数x 、y 满足约束条件226x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则24z x y =+的最大值为（ ）．A ．24B ．20C ．16D ．12 【考点】7C ：简单线性规划．【分析】①画可行域②z 为目标函数纵截距四倍③画直线024x y =+，平移直线过(0,2)时z 有最大值【解答】解：画可行域如图，z 为目标函数24z x y =+，可看成是直线24z x y=+的纵截距四倍，画直线024x y =+，平移直线过(2,4)A 点时z 有最大值20， 故选B ．8．在下列函数中，最小值是2的是（ )．A ．22x y x=+ B．0)y x =>C ．1sin sin y x x=+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．77xx y -=+【考点】7F ：基本不等式．【分析】由基本不等式成立的条件，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A ，x 正负不定，不能满足最小值是2，故错误；选项B，2y ，，即0x =时取等号，但0x >，故错误;选项C ，∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin (0,1)x ∈， ∴1sin 2sin y x x =+≥,当且仅当1sin sin x x=,即sin 1x =时取等号， 但sin (0,1)x ∈,取不到1,故错误； 选项D ，177727xx x xy -=+=+≥，当且仅当177xx=即0x =时取等号,故正确．故选:D ．9．如图所示，C 、D 、A 三点在同一水平线上,AB 是塔的中轴线,在C 、D两处测得塔顶部B 处的仰角分别是α和β,如果C 、D 间的距离是a ,测角仪高为b ，则塔高为（ ）．C 1A ．sin sin sin()a bαββα-- B ．cos cos cos()a αββα-C ．cos cos cos()a bαββα+- D ．sin sin sin()a αββα-【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理．【分析】分别在BCD △、ABD △这两个三角形中运用正弦定理，即可求解．【解答】解：在BCD △中，sin sin CD BDCBD C=∠∠， ∴sin()sin BDαβαα=-,即sin sin()a BD αβα=-,在ABD △中，sin sin AB BDADB A=∠∠， ∴sin sin 90AB BDβ=︒，即sin sin sin sin()a AB BD αββαβ==-⋅，则塔高为sin sin sin()a bαββα--，故选:A ．10．设{}na 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）．A ．若12a a+>,则230aa +> B ．若13a a+<，则120a a+<C ．若120a a <<，则2aD ．若10a <，则2123()(0)aa a a -->【考点】8F ：等差数列的性质．【分析】对选项分别进行判断,即可得出结论． 【解答】解：若12a a+>，则120a d +>,231232aa a d d+=+>，0d >时,结论成立,即A不正确;若13a a+<,则12120a aa d +=+<，231232aa a d d+=+<，0d <时，结论成立,即B 不正确；{}n a 是等差数列，120a a <<,2132a a a >=+2a，即C 正确；若10a <，则22123()(0)aa a a d --=-≤，即D 不正确．故选：C ．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11．在ABC △中,3a =，b 2π3A ∠=，则B ∠=__________． 【考点】HP:正弦定理．【分析】由正弦定理可得sin B ,再由三角形的边角关系,即可得到角B ．【解答】解:由正弦定理可得，sin sin a bA B=，即有sin 2sin 3b A B a===，由b a <,则B A <， 可得π4B =．故答案为:π4．12．数列{}na 的前n 项和*23()nn Sa n ∈-=N ，则5a =__________．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式． 【分析】把1nn n as s --=代入23nn sa =-化简整理得12(3)3n n ss -+=+进而可知数列{}3n s +是等比数列，求得13s +，根据等比数列的通项公式求得数列{}3n s +的通项公式，进而根据5532s a +=求得答案．【解答】解：∵1nn n as s --=，∴1232()3nn n n sa s s ---==-整理得12(3)3n n ss -+=+∵1123s s =-， ∴13s =，∴数列{}3ns +是以6为首项，2为公比的等比数列,∴1362n ns-+=⋅,∴1623n ns-=⋅-，∴45623s =⋅-,∴553482s a +==,故答案为48．13．如果c b a <<，且0ac <，那么下列不等式中：①ab ac >；②()0c b a ->；③22cb ab <;④()0ac a c -<，不一定成立的是__________（填序号）． 【考点】71：不等关系与不等式．【分析】由题意可得0a >,0c <,应用不等式的基本性质判断即可． 【解答】解:由c b a <<，且0ac <,可得0a >，0c <,故①、②、④一定成立,但③不一定成立, 如当0b =时，不等式不成立, 故答案为：③．14．设x ，y +∈R ，且满足440x y +=，则lg lg x y +的最大值是__________．【考点】7F ：基本不等式．【分析】利用对数的运算法则转化成真数为乘积形式，然后利用基本不等式求最值即可． 【解答】解：2444002x y x y +⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭≤，当且仅当420x y ==时取“=”, ∴100xy ≤，∴lg lg lg lg1002x y xy +==≤． 故答案为：2．15．在ABC △中，4a =，5b =,6c =,则sin2sin AC=__________． 【考点】HR ：余弦定理；GS ：二倍角的正弦；HP:正弦定理． 【分析】利用余弦定理求出cos C ，cos A ，即可得出结论． 【解答】解:∵ABC △中，4a =，5b =，6c =，∴1625361cos 2458C +-==⨯⨯，2536163cos 2564A +-==⨯⨯，∴sin C =sin A =∴32sin 21sin AC==．故答案为：1．16．两等差数列{}na 和{}nb ，前n 项和分别为nS ，nT ，且723nnS n Tn +=+，则220715a ab b +=+__________．【考点】8F ：等差数列的性质;85：等差数列的前n 项和． 【分析】在{a n ｝为等差数列中，当(,,,)m n p q m n p q ++=+∈N 时，mn p qaa a a +=+．所以结合此性质可得：1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯，再根据题意得到答案．【解答】解：在{}na 为等差数列中,当(,,,)m n p q m n p q ++=+∈N 时，mn p qaa a a +=+．所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯,又因为723n n S n T n +=+,所以22071514924a ab b +=+．故答案为：14924．三、解答题（本大题共3小题，共26分）17．ABC △中，7BC =，3AB =,且sin3sin 5C B =． （1）求AC 的长． （2）求A ∠的大小．【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理．【分析】(1)由已知利用正弦定理即可得解AC 的值．（2)由已知利用余弦定理可求cos A 的值，结合A 的范围，根据特殊角的三角函数值即可得解． 【解答】解：（1）由正弦定理sin sin AC ABB C=,可得：sin sin AB CAC B=，可得：5353AC ⨯==．（2)由余弦定理可得：222925491cos 22352AB AC BC A AB AC +-+-===-⋅⨯⨯，由于(0,180)A ∈︒︒，可得:120A =︒．18．若不等式2520axx +->的解集是1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． （1）求实数a 的值．（2）求不等式ax 2﹣5x+a 2﹣1＞0的解集．【考点】77：一元二次不等式与一元二次方程；74：一元二次不等式的解法．【分析】（1)由二次不等式的解集形式，判断出12，2是相应方程的两个根,利用韦达定理求出a 的值．（2）由（1）我们易得a 的值,代入不等式22510ax x a +->-易解出其解集．【解答】解：（1）∵2520ax x +->的解集是1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭,∴a <，12，2是2520axx +-=的两根解得2a =-； （2）则不等式22510axx a +->-可化为22530xx --+>,解得1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭, 故不等式22510ax x a +->-的解集1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．19．设{}na 是一个公差为(0)d d ≠的等差数列,它的前10项和10110S=且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）证明1a d =．(2)求公差d 的值和数列{}na 的通项公式．【考点】8M:等差数列与等比数列的综合;85：等差数列的前n 项和． 【分析】（1）由已知可得2214aa a ⋅=，代入等差数列的通项可转化为2111()()3a d a a d ⋅+=+,整理可得（2）结合（1）且有101109102sa d ⨯=+，联立方程可求1a ,d 及na ．【解答】（1)证明：因1a ，2a ，4a 成等比数列，故2214aa a =，而{}na 是等差数列，有21aa d=+，413aa d=+，于是2111()(3)a d a a d +=+， 即222111123aa d d a a d++=+，化简得1a d =．（2）解：由条件10110S=和101109102sa d ⨯=+，得到11045110a d +=，由（1），1a d =，代入上式得55110d =， 故2d =，1(1)2naa n d n=+-=，因此，数列{}na 的通项公式为2nan=．一、卷（II ）选填题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分） 20．在R 上定义运算⊙：a ⊙2b ab a b =++，则满足x ⊙(2)0x -<的实数x 的取值范围为__________．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】根据题中已知得新定义,列出关于x 的不等式,求出不等式的解集即可得到x 的取值范围．【解答】解:由a ⊙2b ab a b =++,得到x ⊙(2)(2)220x x x x x -=-++-<，即220xx +-<．分解因式得(2)(1)0x x +-<，可化为2010x x +>⎧⎨-<⎩或2010x x +<⎧⎨->⎩，解得21x -<<．所以实数x 的取值范围为()2,1-． 故答案为：()2,1-．21．设等比数列{}na 的前n 项和为nS ．若11a =,634SS =，则4a =__________．【考点】89:等比数列的前n 项和；8G ：等比数列的性质． 【分析】根据634S S =可求得3q ,进而根据等比数列的通项公式，得到答案．【解答】解:设等比数列的公比为q ，则由634SS =知1q ≠，∴63614(1)11q q S q q--==--． ∴33q=．∴313a q=．故答案为:3．22．若锐角ABC △的面积为,且5AB =，8AC =,则BC 等于__________． 【考点】HS:余弦定理的应用．【分析】利用三角形的面积公式求出A ,再利用余弦定理求出BC ．【解答】解：因为锐角ABC △的面积为且5AB =，8AC =，所以158sin 2A ⨯⨯⨯=所以sin A =,所以60A =︒， 所以1cos 2A =，所以7BC =．故答案为：7．23．在ABC △中，内角A ，B ,C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知85b c =,2C B =,则cos C =（ ）．A ．725B ．725-C ．725± D ．2425 【考点】HQ ：正弦定理的应用；GL ：三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sin B ，cos B ，然后利用平方关系式求出cos C 的值即可．【解答】解:因为在ABC △中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ，c ．已知85b c =,2C B=，所以8sin 5sin 5sin 210sin cos B C B B B ===，所以4cos 5B =，B 为三角形内角，所以π0,4B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．π2C <．所以3sin 5B ．所以4324sin sin225525C B ==⨯⨯=，7cos 25C ．故选：A ．24．已知O 为直角坐标系原点，P ,Q 的坐标满足不等式组4325022010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≤≥，则cos POQ ∠的最小值为（ ）． ABC ．12D ．0【考点】7C ：简单线性规划． 【分析】先画出不等式组4325022010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≤≥，对应的平面区域,利用余弦函数在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，再找到POQ ∠最大时对应的点的坐标，就可求出cos POQ ∠的最小值．【解答】解:满足不等式组4325022010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≤≥，的平面区域如下图示:因为余弦函数在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以角最大时对应的余弦值最小，由图得，当P 与(1,7)A 重合，Q 与(4,3)B 重合时，POQ ∠最大． 此时34OBk=，7OAk=．由37π4tan 1cos 34174POQ POQ POQ -∠==⇒∠=⇒∠=+⨯．故选：A ．25．已知数列1:A a ,2a，，12(,03)nn a a aa n <<<≤≥具有性质P :对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，jiaa +与jiaa -两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题： ①数列0，1，3具有性质P ;②数列0，2，4，6具有性质P ； ③若数列A 具有性质P ，则10a =；④若数列1a ，2a ，3123(0)a a aa <<≤具有性质P ，则1322a aa +=，其中真命题有( ）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【考点】8B ：数列的应用．【分析】根据数列1:A a ，2a ，，12(,03)nn a a aa n <<<≤≥具有性质P ：对任意i，(1)j i j n ≤≤≤，jiaa +与jiaa -两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证,可知①错误,其余都正确．【解答】解：∵对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，jia a +与jiaa -两数中至少有一个是该数列中的项，①数列0，1，3中，23134a a +=+=和32312a a=-=-都不是该数列中的数，故①不正确;②数列0，2，4，6，jia a +与(13)ji aa i j -≤≤≤两数中都是该数列中的项，并且432aa -=是该数列中的项，故②正确；③若数列A 具有性质P ，则2nn na a a +=与0nn aa -=两数中至少有一个是该数列中的一项,∵120na aa <<<≤，3n ≥，而2na 不是该数列中的项，∴0是该数列中的项, ∴10a =；故③正确；④∵数列1a ，2a ，3a 具有性质P ，1230a aa <<≤，∴13a a +与31a a -至少有一个是该数列中的一项，且10a =，1︒若13a a +是该数列中的一项,则133a aa +=，∴10a =，易知23a a +不是该数列的项∴322a aa -=，∴1322a aa +=，2︒若31a a -是该数列中的一项,则311a a a -=或2a 或3a ，①若313a a a -=同1︒，②若312a a a -=，则32aa =，与23aa <矛盾，③311a a a -=，则312aa =，综上1322a aa +=,故选B ．二、解答题:（本大题共2小题，共20分）26．已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n n a a n++=,设n na b n=，*n ∈N ． （1）证明{}nb 是等比数列(指出首项和公比)．(2）求数列{}2log nb 的前n 项和nT ．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式． 【分析】(1）由12(1)n nn a a n++=,得121n na an n+=⋅+．可得12n nb b +=，即可证明．（2)由(1)可知11122n n nb--=⋅=，可得122log log 21n nbn -==-．利用等差数列的求和公式即可得出． 【解答】解：(1）证明：由12(1)n nn a a n++=，得121n na an n+=⋅+．所以12n nb b +=,即12n nb b +=．又因为1111ab ==，所以数列{}nb 是以1为首项,公比为2的等比数列． （2）由（1）可知11122n n nb--=⋅=，所以122log log 21n nbn -==-．则数列{}2log nb 的前n 项和(1)123(1)2nn n Tn -=++++-=．27．已知向量1πsin ,2A ⎛⎫= ⎪⎝⎭与(3,sin )n A A =共线,其中A 是ABC △的内角．（1）求角A 的大小．（2)若2BC =，求ABC △面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时ABC △的形状．【考点】9C ：向量的共线定理；7F ：基本不等式；GQ ：两角和与差的正弦函数;HP ：正弦定理．【分析】（1）根据向量平行得出角2A 的等式，然后根据两角和差的正弦公式和A 为三角形内角这个条件得到A ．(2）根据余弦定理代入三角形的面积公式，判断等号成立的条件．【解答】解：（1）因为πn ∥，所以3sin (sin )02A A A ⋅-=；所以1cos232022A A --=,12cos212A A -=，即πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 因为(0,π)A ∈，所以ππ11π2,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．故ππ262A -=,π3A =;（2)由余弦定理,得224b c bc=+-．又1sin 2ABCS bc A ==△,而222424bc bc bc bc bc +⇒+⇒≥≥≤，（当且仅当b c =时等号成立）学必求其心得，业必贵于专精所以1sin 42ABC S bc A ==△ 当ABC △的面积取最大值时,b c =．又π3A =； 故此时ABC △为等边三角形．。

北京四中2018-2018学年度第二学期期中测验高一年级数学学科数学试卷(试卷满分为100分，考试时间为100分钟)一、选择题(每题3分，共36分)1、如果ααtan cos 与异号，则角α的终边所在象限是( )。

A 、第一、二象限B 、第二象限C 、第三、四象限D 、第四象限2、已知4=α，则α是( )。

A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角3、已知角α的终边经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛65cos ,65sinππP ，则角α可能是( ) A 、3π- B 、3π C 、6π D 、65π 4、已知23παπ<<，312cos =α，则αsin 的值为( ) A 、36 B 、36- C 、33 D 、33- 5、12cos 312sin ππ-的值为( ) A 、0 B 、2- C 、2 D 、26、已知81cos sin =⋅αα，且24παπ<<，则)(sin cos =-αα。

A 、23 B 、23- C 、43 D 、43- 7、已知)(cos cos ,3tan tan ,3=⋅=+=+βαβαπβα则。

A 、61 B 、63 C 、233 D 、22 8、已知α是第二象限角，则απα-22与都不是( )。

A 、第一象限角 B 、第二象限角 C 、第三象限角 D 、第四象限角9、已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos )(,2sin )(ππx x g x x f ，则)(x f 的图象( ) A 、 与g(x)图象相同B 、 B 、与g(x)图象关于y 轴对称C 、是由g(x)的图象向左平移2π个单位得到的 D 、是由g(x)的图象向右平移2π个单位得到的 10、函数f(x)是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，如果f(x)在［-1,0］上是减函数，那么f(x)在［2,4］上是( )A 、减函数B 、增函数C 、先减后增函数D 、先增后减函数11、函数],2[sin 2ππ在x x y -=上的最大值是( )A 、22πB 、142-π C 、π2 D 、无法判断 12、函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4,3sin 2)(ππω在x x f 上递增，则正实数ω的取值范围是( )A 、230≤<ωB 、20≤≤ωC 、7240≤<ωD 、223≤≤ω 二、填空题(每题4分，共24分)13、计算：2sin300°+cos(-240°)-tan418°=________。

2017-2018学年北京市高一下学期期中考试数学试题一、选择题（每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在答题纸上）1. 已知数列满足，且，那么（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】C【解析】是公差为2，的等差数列，本题选择C选项.2. 如果，那么下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若，两边同乘以正数可得，所以，故选．3. 在△ABC中，若∠A=60°，b=3，c=8，则其面积等于（）A. 12B.C.D.【答案】B【解析】本题选择B选项.4. 等比数列满足，。

则公比q的值为（）A. 2B.C. 1D. 2或【答案】D【解析】等比数列中，，，所以得，即，∴，化简得，解得或，故选．5. 若，则下列不等式：①；②；③；④中，正确的不等式有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】故①错；故②对；，，当且仅当时等号成立，而，故，故③对；，故④对；综上，正确的不等式有3个.本题选择C选项.6. 若变量满足约束条件，则的最大值是（）A. B. 0 C. D.【答案】C【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示及其内部，其中，，，设，则，作出直线并进行平移，由图可知，当直线经过点时，纵截距最大，从而目标函数又达到最大值，所以，故选．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7. 在R上定义运算⊙：，则满足的实数的取值范围为（）A. （0,2）B. （-1,2）C.D. （-2,1）【答案】D【解析】由得∴满足的实数的取值范围为（-2,1）.本题选择D选项.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

2017年北京四中高一下学期数学期中考试试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知全集，集合，，那么集合等于A. B.C. D.2. 在中，，则等于A. B. C. D.3. 是等差数列的前项和，如果，那么的值是A. B. C. D.4. 对于任意实数，，，，下列命题中，真命题为①若，，则；②若，则；③若，则；④若，则．A. ①B. ②C. ③D. ④5. 已知，，，，则等于A. B. C. 或 D. 或6. 已知等差数列的公差为，若，和成等比数列，则等于A. B. C. D.7. 已知实数，满足约束条件则的最大值为A. B. C. D.8. 在下列函数中，最小值是的是A. B.C. ，D.9. 如图所示，，，三点在同一水平线上，是塔的中轴线，在，两处测得塔顶部处的仰角分别是和，如果，间的距离是，测角仪高为，则塔高为A. B.C. D.10. 设是等差数列，下列结论中正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则二、填空题（共6小题；共30分）11. 在中，，，，则．12. 数列的前项和，则．13. 如果，且，那么下列不等式中：①；②；③；④，不一定成立的是（填序号）．14. 设，且满足，则的最大值是．15. 在中，，，，则．16. 两等差数列和，前项和分别为，，且，则．三、解答题（共3小题；共39分）17. 中，，，且．（1）求的长；（2）求的大小．18. 若不等式的解集是，求不等式的解集是．19. 设是一个公差为的等差数列，它的前项和且，，成等比数列．（1）证明；（2）求公差的值和数列的通项公式．四、填空题（共3小题；共15分）20. 在上定义运算：，则满足的实数的取值范围为．21. 设等比数列的前项和为．若，，则．22. 若锐角的面积为，且，，则等于．五、选择题（共3小题；共15分）23. 在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，则A. B. C. D.24. 已知为直角坐标系原点，，的坐标满足不等式组则的最小值为A. B. C. D.25. 已知数列：，，，（，）具有性质：对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：①数列，，具有性质；②数列，，，具有性质；③若数列具有性质，则；④若数列，，具有性质，则，其中真命题有A. 个B. 个C. 个D. 个六、解答题（共2小题；共26分）26. 已知数列满足，，设，．（1）证明是等比数列（指出首项和公比）；（2）求数列的前项和．27. 已知向量与共线，其中是的内角．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值，并判断取得最大值时的形状．答案第一部分1. A 【解析】，，故．2. C 【解析】因为，所以，所以．又，所以．3. C4. C 【解析】当时，①不成立；当时，②不成立；由不等式的性质知③成立，当，时，④不成立．综上，只有③成立．5. D6. C 【解析】因为等差数列的公差，，和成等比数列，所以，所以，所以．7. B 【解析】画出可行域如图所示，由图可知当目标函数经过点时取得最大值，所以．8. D 【解析】选项A，正负不定，不能满足最小值是，故错误；选项B，，当且仅当，即时取等号，但，故错误；选项C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，但，取不到，故错误；选项D，，当且仅当即时取等号，故正确．9. A 【解析】在中，，所以，即，在中，，所以，即，则塔高为．10. C【解析】若，，则不一定成立，故A错误；若，，则不一定成立，故B错误；若，则，故C正确；若，则，故D错误．第二部分11.【解析】由正弦定理知，又因为，所以，所以．12.13. ③【解析】由，且，可得，，故①，②，④一定成立，但③不一定成立，如当时，不等式不成立．14.【解析】，当且仅当时取“”，所以，所以．15.16.【解析】在等差数列中，当时，，所以，又因为，所以．第三部分17. （1）由正弦定理，可得：，可得：（2）由余弦定理可得：，由于，可得：．18. 因为的解集是，所以，且，是方程的两根，韦达定理，解得；则不等式即为，解得，故不等式的解集．19. （1）因，，成等比数列，故，而是等差数列，有，．于是，即，化简得．（2）由条件和，得到．由（1），，代入上式得．故，，因此，数列的通项公式为．第四部分20.【解析】根据给出的定义得．又，则，故这个不等式的解集是．21.22.【解析】，解得，因为为锐角，故，．第五部分23. A 【解析】由正弦定理得，将及代入得，化简得，则．所以．24. A 【解析】满足不等式组的平面区域如下图示：因为余弦函数在上是减函数，所以角最大时对应的余弦值最小，由图得，当与重合，与重合时，最大．此时，．由．25. B【解析】因为对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的项，①数列，，中，和都不是该数列中的数，故①不正确；②数列，，，中，与两数都是该数列中的项，并且是该数列中的项，故②正确；③若数列具有性质，则与两数中至少有一个是该数列中的一项，因为，，而不是该数列中的项，所以是该数列中的项，所以；故③正确；④因为数列，，具有性质，，所以与至少有一个是该数列中的一项，由③知，．若是该数列中的一项，则，所以，易知不是该数列的项，所以，所以．．若是该数列中的一项，则或或．①若同．，②若，则，与矛盾，③，则，不成立．综上．第六部分26. （1）由，得．所以，即．又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（）可知，所以．则数列的前项和．27. （1）因为，所以．所以，即，即．因为，所以．故，．（2）由余弦定理，得，又，而，（当且仅当时等号成立）所以．当的面积取最大值时，．又，故此时为等边三角形．。

北京四中18～18学年下学期北京四中高一数学期中试卷（试卷满分为分，考试时间为分钟）参考公式：；；；；；；；；一．选择题：(每小题分，共分)１．若角弧度，则角的终边在（）(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限２．若集合，，则（）(A)(B)(C)(D)３．已知：，且，则=（）(A)(B)(C)(D)４．若和是的正弦线和余弦线，则有（）(A)(B)(C)(D)５．下列函数值：（1）（）；（2）（）；（3）（）；（4）（），其中值为的个数是（）(A)(B)(C)(D)６．锐角三角形中，下列式子成立的是（）(A)(B)(C)(D)７．若点在第一象限，则在内的取值范围是（）(A)(B)(C)(D)８．函数的最小正周期是（）(A)(B)(C)(D)９．函数是（）(A)仅有最小值的奇函数(B)既有最大值又有最小值的偶函数(C)仅有最大值的偶函数(D)既不是奇函数又不是偶函数１０．若右图是周期为的三角函数的图象，则可以写成（）(A)(B)(C)(D)１１．把函数的图象适当变换就可以得到的图象，这种变换是（）(A)向右平移个单位(B)向左平移个单位(C)向右平移个单位(D)向左平移个单位１２．（）(A)(B)(C)(D)二．填空题：（每小题分，共分）１３．函数的值域是_____________。

１４．若，则_____________。

１５．满足（）的的取值范围是_____________。

１６．函数的最小正周期是_____________。

１７．等比数列中，若，，则在数列中的项数是_____________。

１８．函数中，下列命题：①若，则必是的整数倍；②的表达式可以改写成；③的图象关于点对称；④的图象关于直线对称，其中正确命题的序号是_____________。

答题纸行政班级_______________分组班级_______________姓名_______________一．选择题：（每小题分，共分）二．填空题：（每小题分，共分）三．解答题：１９．（本小题分）．求：的值。

外…………○…学校:_内…………○…绝密★启用前2018-2019学年度???学校1月月考卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．某影院有40排，每排46个座位，一次新片发布会坐满了记者，会后留下了每排20号的记者进行座谈，这样的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数表法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 2．下列命题中，正确命题的个数是①有三个公共点的两个平面重合 ②梯形的四个顶点在同一平面内 ③三条互相平行的直线必共面 ④四条线段顺次首尾相接，构成平面图形 A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．8π C ．12 D ．4π 4．△ABC 中，若B ＝45°，b =43 3,c =2 2，则A ＝ A ．15° B ．75° C ．75°或105° D ．15°或75°…………○…………装…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※…………○…………装…………○……的概率为A ．49B ．718C ．29D ．196．若a ，b 是异面直线，则与a ，b 都平行的平面A ．不存在B ．有无穷多个C ．有且仅有一个D ．不一定存在 7．△ABC 中，若∠ABC＝4π， 3AB BC ==，则sin∠BAC＝ A B C D 8．有5个大小相同的球，上面分别标有1，2，3，4，5，现任取两个球，两个球序号相邻的概率是A ．25B ．35C ．45D ．3109．为了了解高一年级学生的体锻情况，学校随机抽查了该年级20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间(分钟)，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5)，[5，10)，…[35，40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是A ．B ．C ．D ．10．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，城市B 在A 的正东40 km 外，B 城市处于危险区内的时间为( ) A ．0.5 h B ．1 h C ．1.5 h D ．2 h 11．△ABC 中，给出以下条件，有唯一解的是 A ．a =4,b =5，A ＝30° B ．a =5,b =4，A ＝60°C．a=3,b=2，B＝120°D．. a=3,b=6，A＝60°12．同时投掷两枚骰子，计算向上的点数之和，则以下各数出现概率最大的是A．5 B．6 C．7 D．813．某科研小组有20个不同的科研项目，每年至少完成一项。

2016-2017学年北京四中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．不等式220x x +->的解集为（ ）．A ．{2|x x <-或1}x >B ．{}2|1x x -<<C ．{1|x x <-或2}x >D ．{}1|2x x -<<【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式220x x +->化为(1)(2)0x x -+>，求出解集即可． 【解答】解：∵不等式220x x +->化为(1)(2)0x x -+>，解得2x <-或1x >；∴不等式220x x +->的解集是{2|x x <-或1}x >． 故选：A ．2．在ABC △中，222a b c bc =+-则A 等于（ ）．A ．45︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒【考点】HR ：余弦定理． 【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵222a b c bc =+-，∴222bc b c a =+-，∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-===． ,(01)80A ∈︒︒，∴60A =︒． 故选：C ．3．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，如果10120S =，那么110a a +的值是（ ）．A ．12B ．36C ．24D ．48【考点】85：等差数列的前n 项和． 【分析】等差数列{}n a 中，由10120S =，知110(12010)2a a +=，由此能求出110a a +． 【解答】解：等差数列{}n a 中，∵10120S =， ∴110(12010)2a a +=，∴11024a a +=． 故选C ．4．对于任意实数a 、b 、c 、d ，下列命题中，真命题为（ ）．①若a b >，0c ≠，则ac bc >； ②若a b >，则22ac bc >； ③若22ac bc >，则a b >； ④若a b >，则11a b <． A ．①B ．②C ．③D ．④【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】通过举反例可以得出①、②、④不正确，从而排除，由不等式的性质可得只有③正确．【解答】解：当0c <时，①不成立；当0c =时，②不成立；由不等式的性质知 ③成立，当0b =时，④不成立．综上，只有③成立， 故选C ．5．在ABC △中，若2a =，b =30A =︒，则B 为（ ）．A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30︒D ．30︒或150︒【考点】HP ：正弦定理．【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B ． 【解答】解：由正弦定理可知sin sin a bA B=，∴1sin 2sin 2b A B a ===， ∵(0,180)B ∈︒，∴60B ∠=︒或120︒． 故选B ．6．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a 和4a 成等比数列，则1a 可以等于（ ）．A ．4-B ．6-C ．8-D ．10-【考点】8F ：等差数列的性质．【分析】依题意，2111()(23)a d a a d ⋅+=+，可求得1a ．【解答】解：∵等差数列{}n a 的公差2d =，1a ，3a 和4a 成等比数列，∴2111()(23)a d a a d ⋅+=+， ∴2140a d d +=，∴18a =-， 故选：C ．7．已知实数x 、y 满足约束条件226x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则24z x y =+的最大值为（ ）．A ．24B ．20C ．16D ．12【考点】7C ：简单线性规划．【分析】①画可行域②z 为目标函数纵截距四倍③画直线024x y =+，平移直线过(0,2)时z 有最大值【解答】解：画可行域如图，z 为目标函数24z x y =+，可看成是直线24z x y =+的纵截距四倍，画直线024x y =+，平移直线过(2,4)A 点时z 有最大值20， 故选B ．8．在下列函数中，最小值是2的是（ ）．A ．22x y x=+ B．0)y x > C ．1sin sin y x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．77x x y -=+【考点】7F ：基本不等式．【分析】由基本不等式成立的条件，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A ，x 正负不定，不能满足最小值是2，故错误；选项B，2y ，，即0x =时取等号，但0x >，故错误； 选项C ，∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin (0,1)x ∈，∴1sin 2sin y x x =+≥，当且仅当1sin sin x x=，即sin 1x =时取等号， 但sin (0,1)x ∈，取不到1，故错误；选项D ，177727x x xx y -=+=+≥，当且仅当177xx=即0x =时取等号，故正确． 故选：D ．9．如图所示，C 、D 、A 三点在同一水平线上，AB 是塔的中轴线，在C 、D 两处测得塔顶部B 处的仰角分别是α和β，如果C 、D 间的距离是a ，测角仪高为b ，则塔高为（ ）．C 1A ．sin sin sin()a b αββα--B ．cos cos cos()a αββα-C ．cos cos cos()a b αββα+-D ．sin sin sin()a αββα-【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理．【分析】分别在BCD △、ABD △这两个三角形中运用正弦定理，即可求解． 【解答】解：在BCD △中，sin sin CD BDCBD C=∠∠，∴sin()sin BDαβαα=-，即sin sin()a BD αβα=-，在ABD △中，sin sin AB BDADB A=∠∠，∴sin sin 90AB BDβ=︒， 即sin sin sin sin()a AB BD αββαβ==-⋅，则塔高为sin sin sin()a b αββα--，故选：A ．10．设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）．A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2aD ．若10a <，则2123()(0)a a a a -->【考点】8F ：等差数列的性质．【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若120a a +>，则120a d +>，231232a a a d d +=+>，0d >时，结论成立，即A 不正确；若130a a +<，则12120a a a d +=+<，231232a a a d d +=+<，0d <时，结论成立，即B 不正确；{}n a 是等差数列，120a a <<，2132a a a >=+2a ，即C 正确；若10a <，则22123()(0)a a a a d --=-≤，即D 不正确．故选：C ．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．在ABC △中，3a =，b 2π3A ∠=，则B ∠=__________． 【考点】HP ：正弦定理．【分析】由正弦定理可得sin B ，再由三角形的边角关系，即可得到角B ． 【解答】解：由正弦定理可得，sin sin a b A B =，即有sin 2sin 3b AB a=== 由b a <，则B A <，可得π4B =． 故答案为：π4．12．数列{}n a 的前n 项和*23()n n S a n ∈-=N ，则5a =__________． 【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】把1n n n a s s --=代入23n n s a =-化简整理得12(3)3n n s s -+=+进而可知数列{}3n s +是等比数列，求得13s +，根据等比数列的通项公式求得数列{}3n s +的通项公式，进而根据5532s a +=求得答案． 【解答】解：∵1n n n a s s --=，∴1232()3n n n n s a s s ---==- 整理得12(3)3n n s s -+=+ ∵1123s s =-， ∴13s =，∴数列{}3n s +是以6为首项，2为公比的等比数列， ∴1362n n s -+=⋅， ∴1623n n s -=⋅-， ∴45623s =⋅-， ∴553482s a +==， 故答案为48．13．如果c b a <<，且0ac <，那么下列不等式中：①ab ac >；②()0c b a ->；③22cb ab <；④()0ac a c -<，不一定成立的是__________（填序号）． 【考点】71：不等关系与不等式．【分析】由题意可得0a >，0c <，应用不等式的基本性质判断即可． 【解答】解：由c b a <<，且0ac <，可得0a >，0c <，故①、②、④一定成立，但③不一定成立， 如当0b =时，不等式不成立， 故答案为：③．14．设x ，y +∈R ，且满足440x y +=，则lg lg x y +的最大值是__________． 【考点】7F ：基本不等式．【分析】利用对数的运算法则转化成真数为乘积形式，然后利用基本不等式求最值即可． 【解答】解：2444002x y x y +⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭≤，当且仅当420x y ==时取“=”， ∴100xy ≤，∴lg lg lg lg1002x y xy +==≤． 故答案为：2．15．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin2sin AC=__________． 【考点】HR ：余弦定理；GS ：二倍角的正弦；HP ：正弦定理． 【分析】利用余弦定理求出cos C ，cos A ，即可得出结论． 【解答】解：∵ABC △中，4a =，5b =，6c =，∴1625361cos 2458C +-==⨯⨯，2536163cos 2564A +-==⨯⨯，∴sin C =sin A∴32sin 21sin A C==．故答案为：1．16．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+__________．【考点】8F ：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和．【分析】在{a n }为等差数列中，当(,,,)m n p q m n p q ++=+∈N 时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯，再根据题意得到答案． 【解答】解：在{}n a 为等差数列中，当(,,,)m n p q m n p q ++=+∈N 时，m n p q a a a a +=+．所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯， 又因为723n n S n T n +=+， 所以22071514924a ab b +=+．故答案为：14924．三、解答题（本大题共3小题，共26分） 17．ABC △中，7BC =，3AB =，且sin 3sin 5C B =． （1）求AC 的长． （2）求A ∠的大小．【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理．【分析】（1）由已知利用正弦定理即可得解AC 的值．（2）由已知利用余弦定理可求cos A 的值，结合A 的范围，根据特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：（1）由正弦定理sin sin AC AB B C =，可得：sin sin AB C AC B =，可得：5353AC ⨯==． （2）由余弦定理可得：222925491cos 22352AB AC BC A AB AC +-+-===-⋅⨯⨯， 由于(0,180)A ∈︒︒， 可得：120A =︒．18．若不等式2520ax x +->的解集是1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．（1）求实数a 的值．（2）求不等式ax 2﹣5x+a 2﹣1＞0的解集．【考点】77：一元二次不等式与一元二次方程；74：一元二次不等式的解法． 【分析】（1）由二次不等式的解集形式，判断出12，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a 的值．（2）由（1）我们易得a 的值，代入不等式22510ax x a +->-易解出其解集．【解答】解：（1）∵2520ax x +->的解集是1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，∴0a <，12，2是2520ax x +-=的两根 解得2a =-；（2）则不等式22510ax x a +->-可化为22530x x --+>， 解得1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，故不等式22510ax x a +->-的解集1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．19．设{}n a 是一个公差为(0)d d ≠的等差数列，它的前10项和10110S =且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）证明1a d =．（2）求公差d 的值和数列{}n a 的通项公式．【考点】8M ：等差数列与等比数列的综合；85：等差数列的前n 项和．【分析】（1）由已知可得2214a a a ⋅=，代入等差数列的通项可转化为2111()()3a d a a d ⋅+=+，整理可得（2）结合（1）且有101109102s a d ⨯=+，联立方程可求1a ，d 及n a ． 【解答】（1）证明：因1a ，2a ，4a 成等比数列，故2214a a a =，而{}n a 是等差数列，有21a a d =+，413a a d =+， 于是2111()(3)a d a a d +=+， 即222111123a a d d a a d ++=+， 化简得1a d =．（2）解：由条件10110S =和101109102s a d ⨯=+，得到11045110a d +=， 由（1），1a d =，代入上式得55110d =， 故2d =，1(1)2n a a n d n =+-=， 因此，数列{}n a 的通项公式为2n a n =．一、卷（II ）选填题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）20．在R 上定义运算⊙：a ⊙2b ab a b =++，则满足x ⊙(2)0x -<的实数x 的取值范围为__________．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】根据题中已知得新定义，列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的取值范围．【解答】解：由a ⊙2b ab a b =++，得到x ⊙(2)(2)220x x x x x -=-++-<，即220x x +-<．分解因式得(2)(1)0x x +-<，可化为2010x x +>⎧⎨-<⎩或2010x x +<⎧⎨->⎩，解得21x -<<．所以实数x 的取值范围为()2,1-． 故答案为：()2,1-．21．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，634S S =，则4a =__________． 【考点】89：等比数列的前n 项和；8G ：等比数列的性质．【分析】根据634S S =可求得3q ，进而根据等比数列的通项公式，得到答案． 【解答】解：设等比数列的公比为q ，则由634S S =知1q ≠，∴63614(1)11q q S q q--==--． ∴33q =．∴313a q =． 故答案为：3．22．若锐角ABC △的面积为5AB =，8AC =，则BC 等于__________． 【考点】HS ：余弦定理的应用．【分析】利用三角形的面积公式求出A ，再利用余弦定理求出BC ．【解答】解：因为锐角ABC △的面积为5AB =，8AC =，所以158sin 2A ⨯⨯⨯=所以sin A ， 所以60A =︒， 所以1cos 2A =，所以7BC =． 故答案为：7．23．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知85b c =，2C B =，则co s C =（ ）．A ．725 B ．725-C ．725±D ．2425【考点】HQ ：正弦定理的应用；GL ：三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sin B ，cos B ，然后利用平方关系式求出cos C 的值即可．【解答】解：因为在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知85b c =，2C B =，所以8sin 5sin 5sin 210sin cos B C B B B ===，所以4cos 5B =，B 为三角形内角，所以π0,4B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．π2C <．所以3sin 5B =．所以4324sin sin225525C B ==⨯⨯=，7cos 25C =． 故选：A ．24．已知O 为直角坐标系原点，P ，Q 的坐标满足不等式组4325022010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≤≥，则c o s P O Q∠的最小值为（ ）． ABC ．12D ．0【考点】7C ：简单线性规划．【分析】先画出不等式组4325022010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≤≥，对应的平面区域，利用余弦函数在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，再找到POQ ∠最大时对应的点的坐标，就可求出cos POQ ∠的最小值． 【解答】解：满足不等式组4325022010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≤≥，的平面区域如下图示：因为余弦函数在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以角最大时对应的余弦值最小，由图得，当P 与(1,7)A 重合，Q 与(4,3)B 重合时，POQ ∠最大．此时34OBk =，7OA k =．由37π4tan 1cos 34174POQ POQ POQ -∠==⇒∠=⇒∠=+⨯． 故选：A ．25．已知数列1:A a ，2a ，L ，12(,03)n n a a a a n <<<L ≤≥具有性质P ：对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P ； ②数列0，2，4，6具有性质P ； ③若数列A 具有性质P ，则10a =；④若数列1a ，2a ，3123(0)a a a a <<≤具有性质P ，则1322a a a +=， 其中真命题有（ ）． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【考点】8B ：数列的应用．【分析】根据数列1:A a ，2a ，L ，12(,03)n n a a a a n <<<L ≤≥具有性质P ：对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证，可知①错误，其余都正确．【解答】解：∵对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的项，①数列0，1，3中，23134a a +=+=和32312a a =-=-都不是该数列中的数，故①不正确；②数列0，2，4，6，j i a a +与(13)j i a a i j -≤≤≤两数中都是该数列中的项，并且432a a -=是该数列中的项，故②正确；③若数列A 具有性质P ，则2n n na a a +=与0n n a a -=两数中至少有一个是该数列中的一项，∵120n a a a <<<L ≤，3n ≥，而2n a 不是该数列中的项，∴0是该数列中的项， ∴10a =；故③正确；④∵数列1a ，2a ，3a 具有性质P ，1230a a a <<≤， ∴13a a +与31a a -至少有一个是该数列中的一项，且10a =，1︒若13a a +是该数列中的一项，则133a a a +=，∴10a =，易知23a a +不是该数列的项 ∴322a a a -=，∴1322a a a +=，2︒若31a a -是该数列中的一项，则311a a a -=或2a 或3a ，①若313a a a -=同1︒，②若312a a a -=，则32a a =，与23a a <矛盾， ③311a a a -=，则312a a =， 综上1322a a a +=， 故选B ．二、解答题：（本大题共2小题，共20分） 26．已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n n a a n ++=，设n n a b n=，*n ∈N ． （1）证明{}n b 是等比数列（指出首项和公比）． （2）求数列{}2log n b 的前n 项和n T ． 【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式． 【分析】（1）由12(1)n n n a a n ++=，得121n n a a n n+=⋅+．可得12n n b b +=，即可证明． （2）由（1）可知11122n n n b --=⋅=，可得122log log 21n n b n -==-．利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）证明：由12(1)n n n a a n ++=，得121n n a a n n+=⋅+．所以12n n b b +=，即12n n b b +=．又因为1111a b ==，所以数列{}n b 是以1为首项，公比为2的等比数列． （2）由（1）可知11122n n n b --=⋅=，所以122log log 21n n b n -==-． 则数列{}2log n b 的前n 项和(1)123(1)2n n n T n -=++++-=L ．27．已知向量1πsin ,2A ⎛⎫= ⎪⎝⎭r与(3,sin )n A A =r共线，其中A 是ABC △的内角．（1）求角A 的大小．（2）若2BC =，求ABC △面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时ABC △的形状． 【考点】9C ：向量的共线定理；7F ：基本不等式；GQ ：两角和与差的正弦函数；HP ：正弦定理．【分析】（1）根据向量平行得出角2A 的等式，然后根据两角和差的正弦公式和A 为三角形内角这个条件得到A ．（2）根据余弦定理代入三角形的面积公式，判断等号成立的条件． 【解答】解：（1）因为πn r r ∥，所以3sin (sin )02A A A ⋅-=；所以1cos 232022A A -+-=，12cos212A A -=， 即πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．因为(0,π)A ∈，所以ππ11π2,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．故ππ262A -=，π3A =； （2）由余弦定理，得224b c bc =+-．又1sin 2ABC S bc A =△， 而222424b c bc bc bc bc +⇒+⇒≥≥≤，（当且仅当b c =时等号成立）所以1sin 42ABC S bc A ===△ 当ABC △的面积取最大值时，b c =．又π3A =；故此时ABC△为等边三角形．。

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！2017-2018学年北京师大附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若，下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论.详解：，，故A错误；，故B错误；，故C正确；，即，故D错误.故选：C.点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，属于基础题.2. 在内角，，的对边分别是，，，已知，，，则的大小为（）A. 或B. 或C.D.【答案】D【解析】分析：利用正弦定理即可得出.详解：由正弦定理可得：，解得，，为锐角，.故选：D.点睛：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.3. 在中，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用余弦定理即可计算.详解：，，.故选：B.点睛：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.4. 等比数列中，，，的前项和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据等比数列的性质可知，列出方程即可求出的值，利用即可求出的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出的前项和.详解：，解得，又，则等比数列的前项和.故选：B.点睛：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．5. 不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：不等式等价于解得，所以选A.考点：分式不等式的解法.视频6. 等比数列的前项和为，已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，，，解得：，，求得，故选C.7. 已知变量，满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据题意，约束条件表示的可行域为以三点为顶点的三角形区域，通过观察可知目标函数在点处取得最大值，代入可求得为，故选B．考点：线性规划．8. 的内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由、、成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将代入，即可用表示出，然后利用余弦定理表示出，将表示出的和代入，整理后即可得到的值.详解：根据题意，、、成等比数列，则，又，则，则.故选：B.点睛：本题考查了余弦定理，以及等比数列的性质，解题的关键是求出、、的关系，进而运用余弦定理求解.9. 数列是首项为，公差为的等差数列，那么使前项和最大的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由等差数列是首项为，公差为写出通项公式，由通项大于等于0求出等差数列前6项大于0，从第7项起小于0，则答案可求.详解：在等差数列是首项为，公差为得：，由，得，等差数列中，，当时，前项和最大.故选：C.点睛：本题考查了数列的函数特性，考查了等差数列的通项公式和前n项和，是基础的计算题.10. 某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元．设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论.详解：设该设备第n年的营运费为万元，则数列是以2为首项，2为公差的等差数列，则，则该设备使用n年的营运费用总和为，设第n年的盈利总额为，则，年平均盈利额，当时，年平均盈利额取得最大值4.故选：D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11. 数列的前项和为，若，则__________．【答案】【解析】试题分析：，所以．考点：数列求和．12. 已知中，，，，则等于__________．【答案】【解析】分析：画出图形，利用已知条件直接求出AC的距离借口.详解：由题意，，，可知，三角形ABC是直角三角形，.故答案为：2.点睛：本题考查三角形形状的判断，勾股定理的应用，考查计算能力，属于基础题.13. 若，则的最小值是__________．【答案】【解析】试题分析：因为，所以，，当且仅当时取等号，故答案为．考点：基本不等式．14. 等比数列的各项均为正数，且，则__________．【答案】【解析】分析：利用等比中项，对数性质可知，进而计算可得答案.详解：为等比数列，又.，.故答案为：10.点睛：本题考查等比数列的等比中项及对数的运算法则，注意解题方法的积累，属于中档题.15. 在中，若，则的形状为___________．【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】分析：左边利用正弦定理，右边切变弦，对原式进行化简整理进而可得A和B的关系，从而得到答案.详解：原式可化为，或解得或.故的形状为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.点睛：(1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．(2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理．16. 已知数列的前项的和为，，，满足，则__________．【答案】【解析】分析：由，得，即，则，说明数列是以2为公差的等差数列，求其通项公式，然后利用累加法求出的通项公式得答案.详解：由，得，即，则，数列是以为首项，以2为公差的等差数列，则，；；；…，累加得：，则，.故答案为：.点睛：本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，把已知数列递推式变形是关键，是中档题.三、解答题：本大题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解关于的不等式．【答案】当时，为或；当时，为或．【解析】分析：对a分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出.详解：不等式对应方程的实数根为和；①当，即时，不等式化为，∴，∴不等式的解集为；②当，即时，解得或，∴不等式的解集为或；③当，即时，解得或，∴不等式的解集为或．综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或．点睛：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．18. 在中，，，点在上，且，．（I）求；（Ⅱ）求，的长．【答案】（I）；（Ⅱ），.【解析】分析：（1）由和诱导公式求出，由平方关系求出，由内角和定理、两角和的正弦公式求出；（2）在中由正弦定理求出BD、AD，在中由余弦定理求出AC的值.详解：（I）∵，且，∴，∴，由得，；（Ⅱ）在中，由正弦定理得，∴，由正弦定理得，∴，在中，由余弦定理得，∴．点睛：应熟练掌握和运用内角和定理：，中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．19. 在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．（I）求与；（II）设数列满足，求的前项和．【答案】（I），；（Ⅱ）.【解析】分析：（1）根据，列方程组计算和，从而得出的公差，从而得出，的通项公式；（2）使用错位相减法求出.详解：（I）∵为等比数列，公比为，，∴，∴，解得，．∵，∴．∴的公差为．∴，．（II）．∴，①∴，②①②得：．∴．点睛：(1)错位相减法是求解由等差数列{b n}和等比数列{c n}对应项之积组成的数列{a n}，即a n＝b n×c n的前n项和的方法．这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练．(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）20. 已知数列满足，且，则__________．【答案】【解析】分析：由已知条件得，从而得到是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出.详解：数列满足，且，，，又，是首项为2，公比为2的等比数列，，，故答案为：.点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法的合理运用. 21. 在中，，，，则的面积等于__________．【答案】或【解析】分析：利用余弦定理列出关系式，将，与的值代入求出b的值，再由于b，c 及的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.详解：在中，，，，由余弦定理得：，即，解得：或，则或.故答案为：或.点睛：三角形面积公式的应用原则：(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．22. 甲船在岛的正南处，，甲船以每小时的速度速度向正北方向航行，同时乙船自出发以每小时的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是__________小时．【答案】【解析】分析：设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案.详解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C、D，如图所示，可知，，当小时时甲乙两船相距最近.故答案为：.点睛：求距离问题的注意事项(1)首先选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化成三角形问题．(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素．(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形．23. 正数，满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】试题分析：，当且仅当时取等号考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误．24. 已知数列满足，给出下列命题：①当时，数列为递减数列；②当时，数列不一定有最大项；③当时，数列为递减数列；④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.请写出正确的命题的序号__________．【答案】③④【解析】分析：由于，再根据k的条件讨论即可得出.详解：①当时，，，当时，，因此数列不是递减数列，故①不正确；②当时，，由于因此数列一定有最大项，故②不正确；③当时，，，因此数列为递减数列，正确；④当为正整数时，，因此数列必有两项相等的最大项，故正确.综上可知：只有③④正确.故答案为：③④.点睛：本题考查了数列的单调性，分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.五、解答题：本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25. 已知函数．（I）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】分析：（1）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，解关于a的不等式即可.详解：（I），，∵，，∴，当且仅当时“”成立，（Ⅱ），，，时，，在递增，∴，解得：，时，令，解得：，令，解得：，∴在递减，在递增，∴成立，综上．点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题.26. 在中，、、分别为内角、、的对边，且满足．（I）求角的大小；（Ⅱ）若，，求．【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】分析：（1）由条件可得，再由正弦定理得，由余弦定理求得，从而求得角的大小；（2）由，求得，再由正弦定理即可求得答案.详解：（I）∵，∴，由正弦定理得，由余弦定理得，∵，∴．（Ⅱ）∵，∴，由正弦定理，求得，解得．点睛：本题主要考查正弦定理和余弦定理、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题.27. 已知函数，其中，.（I）求的解析式；（Ⅱ）若数列满足，，．求证：.【答案】（I）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析：（1）由求得、、的值，代入原函数可得函数解析式；（2）由求得数列递推式，把数列递推式变形，可得，结合已知放缩得答案.详解：（I）∵，，∴，由，解得．∴，∴；（Ⅱ）证明：由，得，∴，则，∵，则，∴．又∵，∴．∴．点睛：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查数列不等式的证明，把已知递推式灵活变形是关键，是中档题.。