2010年西安交大数学分析试题

一、解答下列各题（每小题7分，共70分）１．设函数()xy y x f 2arcsin ,=，求),(y x df 。

214２．设由方程09222=--++z xy y x 可确定),(y x z z =，求)1,2,1(-∂∂x z，)1,2,1(2-∂∂∂y x z 。

３．求曲面122-+=y x z 在点A(2,1,4)处的切平面和法线方程。

４．求曲线⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x 2sin 2在0=t 时的切线与法平面方程。

５．交换累次积分的次序：⎰⎰--+=111122),(y y dx y x f dy I ，其中),(y x f 是连续。

６．计算二重积分： ⎰⎰≤+++=222)1sin (2a y x dxdy y x I 。

７．设空间立体Ω是由抛物面22y x z +=及平面0>=h z 所围成，已知它的密度为2),,(z z y x f =，试计算它的质量。

８．求函数22z yx u -=在点A ()1,1,2-处的方向导数的最大值。

９． 10．（工科分析做①其他做②）①设Txy ey x y x f ),(),(22+=求)1,1(),1,1(df Df ；②设方程组⎩⎨⎧-==+22222vu xy uv y x ，确定了函数),(),,(y x v v y x u u ==，求x vx u ∂∂∂∂,。

二、（8分）设函数),(2x y y x f z =，其中),(y x f 二阶偏导数连续，求yx zx z ∂∂∂∂∂2,。

三、（8分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，试讨论该函数),(y x f 在点)0,0(的连续性、可微性。

四、（7分）求曲面221y x z ++=在点M ()3,1,1-的切平面与曲面22y x z +=所围立体的体积。

五．（7分）设函数),,(z y x f 在闭球体3:222≤++Ωz y x 上有连续的偏导数，且满足条件①在Ω上1=∂∂xf，1=∂∂yf，1-=∂∂z f ，②11)1,1,1(=f ，试求函数),,(z y x f 并证明Ω∈∀≤≤),,(,13),,(7z y x z y x f 。

2010年陕西省高考数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题,每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•陕西）集合A=｛x｜0≤x≤2｝，B=｛x｜x＜1｝，则A∩（∁R B）=（）A．｛x｜x≥1｝B．｛x|x＞1} C．{x｜1＜x≤2｝ D．{x｜1≤x≤2｝【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，由集合B结合补集的含义，可得集合∁R B，进而交集的含义，计算可得A∩（∁R B），即可得答案．【解答】解：根据题意，B=｛x｜x＜1}，则∁R B=｛x｜x≥1},又由集合A={x|0≤x≤2},则A∩（∁R B）=｛x|1≤x≤2}，故选D．【点评】本题考查集合的交集、补集的运算，解题的关键是理解集合的补集、交集的含义．2．（5分）（2010•陕西）复数z=在复平面上对应的点位于(）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标,得到位置．【解答】解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中,注意复数是数形结合的典型工具．3．（5分）(2010•陕西）对于函数f（x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是(）A．f(x）在（,）上是递增的B．f（x)的图象关于原点对称C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）的最大值为2【考点】二倍角的正弦．【分析】本题考查三角函数的性质，利用二倍角公式整理，再对它的性质进行考查，本题包括单调性、奇偶性、周期性和最值，这是经常出现的一种问题，从多个方面考查三角函数的性质和恒等变换．【解答】解：∵f(x）=2sinxcosx=sin2x，是周期为π的奇函数，对于A，f（x)在（，）上是递减的,A错误；对于B，f（x）是周期为π的奇函数，B正确；对于C，f（x）是周期为π，错误；对于D，f（x)=sin2x的最大值为1，错误；故选B．【点评】在三角函数中除了诱导公式和八个基本恒等式之外,还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积公式，此外，还有万能公式,在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，用一般常用的方法都能解决我们的问题．4．（5分)（2010•陕西）(x+）5（x∈R）展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．1 D．2【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3,列出方程求出a 的值．【解答】解：∵T r+1=C5r•x5﹣r•（）r=a r C5r x5﹣2r，又令5﹣2r=3得r=1，∴由题设知C51•a1=10⇒a=2．故选D．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题．5．（5分）(2010•陕西）（陕西卷理5）已知函数f（x）=若f（f(0)）=4a，则实数a等于(）A．B．C．2 D．9【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】常规题型．【分析】先求出f(0)=2,再令f(2)=4a，解方程4+2a=4a，得a值．【解答】解：由题知f(0）=2,f(2）=4+2a，由4+2a=4a,解得a=2．故选C．【点评】本题考查对分段函数概念的理解．6．（5分)（2010•陕西）如图是求样本x1,x2，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为(）A．S=S+x n B．S=S+C．S=S+n D．S=S+【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】操作型．【分析】由题目要求可知：该程序的作用是求样本x1,x2，…，x10平均数，循环体的功能是累加各样本的值，故应为：S=S+x n【解答】解：由题目要求可知:该程序的作用是求样本x1，x2，…,x10平均数,由于“输出”的前一步是“"，故循环体的功能是累加各样本的值，故应为：S=S+x n故选A【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点,应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．（5分）（2010•陕西)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．1 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由题意可知图形的形状,求解即可．【解答】解:本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为．【点评】本题考查立体图形三视图及体积公式,是基础题．8．（5分)(2010•陕西）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切，则p 的值为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先表示出准线方程，然后根据抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切,可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到p的值．【解答】解:抛物线y2=2px（p＞0)的准线方程为，因为抛物线y2=2px（p＞0)的准线与圆(x﹣3）2+y2=16相切，所以故选C【点评】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．9．（5分）（2010•陕西）对于数列{a n｝，“a n+1＞｜a n｜(n=1，2,…）"是“｛a n}为递增数列”的（)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】数列的概念及简单表示法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】压轴题．【分析】要考虑条件问题,需要从两个方面来考虑，由a n+1＞｜a n｜（n=1,2，）知{a n｝所有项均为正项，且a1＜a2＜…＜a n＜a n+1,这样前者可以推出后者，反过来，｛a n}为递增数列，不一定有a n+1＞|a n｜(n=1，2，)．【解答】解：由a n+1＞｜a n｜(n=1,2，）知{a n｝所有项均为正项，且a1＜a2＜…＜a n＜a n+1,即｛a n｝为递增数列反之，{a n}为递增数列,不一定有a n+1＞|a n｜（n=1,2，),如﹣2，﹣1，0，1，2，故选B【点评】有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起．本题是把数列同条件的判断结合在一起．10．（5分)（2010•陕西）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=［x］（[x］表示不大于x的最大整数)可以表示为（）A．y=[]B．y=[]C．y=[]D．y=［]【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】压轴题．【分析】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表,也就是x要进一位,所以最小应该加3．进而得到解析式．代入特殊值56、57验证即可得到答案．【解答】解：根据规定10推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表,即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=[]也可以用特殊取值法若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6,排除A；故选：B．【点评】本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．二、填空题(共5小题，每小题5分,满分25分）11．（5分）（2010•陕西)已知向量=（2，﹣1)，=（﹣1，m)，=(﹣1，2）,若（+）∥,则m=﹣1．【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示．【分析】先求出两个向量的和的坐标，再根据向量平行的充要条件写出关于m的等式，解方程得到要求的数值，注意公式不要用错公式．【解答】解：∵+=（1，m﹣1），∵（+）∥∴1×2﹣（m﹣1）×（﹣1)=0，所以m=﹣1故答案为：﹣1【点评】掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题,能用坐标形式的充要条件解决求值问题．12．（5分）（2010•陕西）观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为13+23+33+43+53+63=212．【考点】归纳推理．【专题】规律型．【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加,右边的底数也在增加．从中找规律性即可．【解答】解:∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2,3，4；,右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里3+3=6，6+4=10），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为10+5+6=21．又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为13+23+33+43+53+63=212．故答案为：13+23+33+43+53+63=212．【点评】所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．它与演绎推理的思维进程不同．归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程．属于基础题．13．（5分）（2010•陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y），则点M取自阴影部分部分的概率为．【考点】定积分的简单应用．【专题】数形结合．【分析】本题利用几何概型概率．先利用定积分求出图中阴影部分部分的面积，再结合概率计算公式求出阴影部分部分面积与长方形区域的面积之比即可．【解答】解：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为=x3｜=1，所以点M取自阴影部分部分的概率为．故答案为：．【点评】本题考查的定积分的简单应用，解决本题的关键是熟练掌握定积分的几何意义及运算公式．简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．14．（5分）（2010•陕西)铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表a b(万吨）c（百万元）A 50% 1 3B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产1。

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一、名词解释（每小题4分，共24分）1．自然垄断答：自然垄断是指一个厂商生产市场全部产出带来的成本低于存在许多厂商时的情形。

自然垄断的一个特征是厂商的平均成本在很高的产量水平上仍随着产量的增加而递减，也就是存在规模经济。

因为，这些行业的生产技术需要大量的固定设备，使得固定成本非常大，而可变成本相对小，所以平均成本曲线在很高产量的水平上仍然是下降的。

例如，供电、供水和电信中的线路建设。

自然垄断同样存在着垄断低效率，所以需要政府管制。

对自然垄断的政府管制主要有以下两个方面：①边际成本定价法及其他定价法；②收益率管制。

这些政府管制有助于提高经济运行效率，但无法从根源上解决自然垄断带来的低效率。

2．转移定价答：转移定价一般指大企业集团尤其是跨国公司，利用不同企业不同地区税率以及免税条件的差异，将利润转移到税率低或可以免税的分公司，实现整个集团的税收最小化。

在微观经济学中，转移定价特指厂商内上游部门的零件和部件在“卖”给下游部门时的内部价格。

3．债券的有效收益率答：债券的有效收益率是投资债券得到的回报百分比。

对于一种每年支付W 美元利息的永久债券来说，PDV W R=。

永久债券的市场价格为P ，则W P R =，从而有效利息率W R P =。

对于一种每年支付W 美元利息的，n 年期债券，且n 年后支付M 美元本金的债券来说，有：()()()()()23PDV ...11111n n W W W W M R R R R R =++++++++++ 若债券的市场价格为P ，令P PDV =，代入上式，可以求出有效收益率R 。

2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案西南交通大学2009－2010学年第(二)学期半期考试题一、单项选择题（共5个小题，每小题4分，共20分）．1．累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ??可表示成【 D】（A ）100(,)dy f x y dx ?（B ）10(,)dy f x y dx（C ）10(,)dx f x y dy ?（D ）10(,)dx f xy dy ?解：根据该二重积分可知，积分区域为半圆域：01,0x y ≤≤≤≤，所以应选D 。

2. 两直线1112y z x λ+--==与11x y z +=-=相交，则必有【 D 】（A ）1λ= （B ）32λ=（C ）54λ=- （D ）54λ=解：直线11x y z +=-=的参数方程为：11x t y t z t =-??=+??=?，将此参数方程代入直线1112y z x λ+--==，得2122t t t λ+--==，解得654t λ=??=??，故应选（D ）。

3．极限332200lim x y x y x xy y →→+-+=【 A 】(A) 0 (B) 1 (C)12(D)不存在极限解；因为33222222000000()()lim lim lim()0x x x y y y x y x y x xy y x y x xy y x xy y →→→→→→++-+==+=-+-+，故应选（A ）。

4．曲面2xyz =的切平面与三个坐标面所围四面体的体积V =【 C 】 (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12解：设曲面2xyz =在第一卦限的任意一个切点为(,,)x y z ，则切平面方程为：班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，其中2xyz =，即36yzX xzY xyZ xyz ++==，则该切平面与三个坐标轴的交点分别为：6(,0,0)yz，6(0,,0)xz ，6(0,0,)xy ，则该切平面与三个坐标面所围四面体的体积221666363696()2V yz xz xy xyz ====，故应选（C ）。

硕士研究生入学考试数学分析i 癒刃鬲名立遏尢于顕土碉克隹2005年入学君弑《礙学分柝》弑趣1.叙述下列概念或命题（20分）：i >函数f （x, y ）在（勺,儿）处可微; ii>以b 为瑕点的瑕积分收敛的Cauchy 准则； iii>极限lim /（x ）不存在的Cauchy 准则；•V—>8iv>函数项级数工冷（兀）在X 上收敛但非一致收敛的Cauchy 准则.n=\解：i >定义:设函数/（无，刃在（仏儿）的某邻域有定义•若Az = /（x 0 + Ax, y° + Sy ） 一 /（兀°, %）=人心 + W +。

9），其中A,B 是与 心,Ay 无关的常数，p = 7（ZL V ）2 + （Ay ）2 .则称函数/（x,y ）在（兀（）,儿）处可微分, AAx + BAy 称为/（x, y ）在（x 0,y 0）处的微分，记为dz|（比）二人心+ BAy. rb小ii>定理（Cauchy 准则）：Ub 为瑕点的瑕积分［f^dx 收敛O Vr>0 ,为>0,使得当Ja%,仃 e （b_ &b ）时，有「f\x ）dx < E.J©iii>定理（Cauchy 准则）:极限lim /（x ）不存在<=> 3r 0>0, VX>0,玉］<-X 与勺V —X ,使得 |/（^）-/（%2）|>£0 -OOiv>定理（Cauchy 准则）：函数项级数工冷（兀）在X 上收敛但非一致收敛<=> 3r 0 > 0 , n=\ VN, Bn> N t Bxe X, 3p,使得仆（x ） > £（）.k=\以下四题（第2〜5题）每题10分2.证明 lim 「sin"iz/r = O.〃T8 Jo证明:因为V5（不妨设。

西交大数学试题及答案解析一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3解析：函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$可以通过因式分解为$f(x) = (x-1)(x-3)$，因此函数有两个零点，即$x=1$和$x=3$。

正确答案为C。

2. 以下哪个选项是$\sin(\frac{\pi}{6})$的值：A. $\frac{1}{2}$B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$解析：根据三角函数的定义，$\sin(\frac{\pi}{6})$等于$\frac{1}{2}$。

正确答案为A。

3. 直线$y = 2x + 3$与x轴的交点坐标是：A. $(-\frac{3}{2}, 0)$B. $(\frac{3}{2}, 0)$C. $(0, 3)$D. $(0, -3)$解析：要找到直线与x轴的交点，需要令$y=0$，解方程$0 = 2x +3$得到$x = -\frac{3}{2}$。

因此，交点坐标为$(-\frac{3}{2}, 0)$。

正确答案为A。

4. 以下哪个选项是$e^{\ln 2}$的值：A. 1B. 2C. $\ln 2$D. $\ln e$解析：根据对数的定义，$e^{\ln 2}$等于2。

正确答案为B。

二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数$f(x) = \sqrt{x}$的定义域是 $[0, +\infty)$。

2. 函数$f(x) = \cos x$的周期是 $2\pi$。

3. 函数$f(x) = \log_2 x$的反函数是 $f^{-1}(x) = 2^x$。

4. 函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$的导数是 $f'(x) = 3x^2 - 6x$。

三、解答题（每题15分，共40分）1. 求函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$的极值点。

西安交通大学2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题一、名词解释（20分，每题5分。

）1、恩格尔系数2、收入效应3、流动性偏好4、挤出效应二、简答题（20分，媒体10分。

）1、简述帕累托最优状态的三个必要条件。

2、简要说明投资乘数、政府支出乘数和外贸乘数的基本原理。

三、计算题（30分，媒体15分。

）1、某公司A产品的市场需求函数为：QA=500-6PA+20Y+0.4PB，其中PA、Y、PB分别是A产品的价格，消费者收入和B产品的价格。

（1）若PA=70，Y=20，PB=1300，这时A的需求价格弹性系数、收入弹性系数、交叉价格弹性系数分别是多少？（2）A是什么类型的产品？A和B是互补品还是替代品？2、杰克对商品X的需求函数为X(Px，Py，1)=21/5Px。

已知他的收入I=1000元，Py=20元。

当Px从5元降至4元时，杰克对X的需求量有什么变化？（1）在新的价格下，杰克要购买跟以前相同数量的两种商品，他的收入应该是多少？在这一新的收入水平下，他对X的需求时多少？（2）在需求变动中，哪一部分是替代效应？哪一部分是收入效应？四、论述题（30分）试论我国目前扩大内需的宏观经济政策及其效应。

西安交通大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试试题第一部分 微观经济学一、辨析题（判断下列各题的正误并说出理由，将错误的命题改正过来。

每小题5分，共25分。

）1、需求变化和需求量变化差异的根本区别在于需求曲线变化形态的不同。

（ ）2、引起消费者均衡点的变化的主要原因在于差异曲线的变化。

（ ）3、如果一条总产量曲线通过原定，那么，它的平均产量和边际产量曲线必然也过原点。

（ ）4、既然垄断厂商的产量确定原则也是MR=MC，那么，垄断厂商的供给曲线将会是MC曲线所代表的曲线。

（ ）5、交换的契约曲线是所有可能的交换的契约的轨迹。

（ ）二、计算题（每小题5分，共10分。

）1、设某商品的需求方程为：Q=10-2P，试求价格P1=2和P2=4时的消费者剩余各为多少。

(0,)N σ21215X X ++++量X 服从共 4 页 第 1 页共4 页第2 页求（1）θ的矩估计；共4 页第3 页共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ） 课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰页1(1,F n -(24,19)=0.429,21.507≈∈12(t n n +0.05(43)t =-2.647 1.681-<-)B=)1Y≥=个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。

西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、exp(),5X2(5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第 1页5,x e λ--exp(5)λ(365N ⨯3652)3652⨯=⨯1X θθ=+ 第 2 页(0,1)N的样本是来自正态总体N的置信区间为转中同时需要调整的部件数，求(E Xˆμ,它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)=i n1,2,E X=()的极大似然估计量为,X XX( Z xf zμ>X-()Pλ，且已知{(,)=G x y，共2 页第1 页Y=共 2 页第 2 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)个地区，i9,0< x x(500N ⨯的把握满足客户的兑换）exp(),exp(),(2),2ii iiX Y X Y χθθ∴=即 222(2)nni inXX Y n χθθ∴==∑∑ ）(2)n χθ2nXλ∴<<2112(2), n αλχ-∴=。

西安交通大学往届高等数学（上册）期终考题汇编一．填空题：（4分*4=16分）1. ()sin ,,22 032 0xx f x x x x k x ⎧<⎪=⎨⎪-+≥⎩在0x =处连续，则常数k = ________.2. (221x x -+=⎰___________.3.设1nn n a x ∞=∑的收敛半径为3，则()111n n n na x ∞-=-∑的收敛半径R =_____________.4. sin cos 220d d d 1x tt x t=+⎰___________.二．单项选择题（4分*4=16分）1.设周期函数()f x 在(),-∞+∞内可导，其周期为4，且()()lim1112x f f x x→--=-，则曲线()y f x =在点()(),55f 处的切线的斜率为 （ ） A. 2. B.-2. C. 1. D.-1.2.对于常数0k >，级数()tan 12111n n k n n ∞-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑ （ ）A. 绝对收敛.B.条件收敛.C. 发散.D.收敛性与k 的取值相关.3.()()()ln sin221+1x x x x f x x =-的可去间断点的个数是 （ ） A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.4.设tan 410d x I x x π=⎰，tan 420d xI x xπ=⎰，则 （ ）A. 121I I >>.B. 121I I >>.C. 211I I >>.D. 211I I >>.三． 计算下列各题(6分*9):1.求极限()arctan lim ln 3012x x xx →-+. 2. 计算积分sin cos 5d x x x x ⎰. 3.求定积分41x ⎰. 4. 设ln ,ln 21122d 1d t t x u u ut y u u u⎧=⎪>⎨⎪=⎩⎰⎰，求22d d y x . 5.求微分方程43x xy y x e '-=的通解.6.将函数()f x x =，x π≤展开成傅里叶级数.7. 在抛物线()208y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大.8. 将函数()24253x f x x x +=--在1x =处展开成1x -的幂级数并指出其收敛域.9.（说明：学习《工科分析》者做（1），其余的做（2））（1）设广义积分()21d fx x +∞⎰收敛，证明广义积分()1d f x x x+∞⎰绝对收敛. (2) 计算arctan 31d x x x +∞⎰.四．（8分）求幂级数 112n n n x n -∞=∑的收敛域及和函数.五．（6分）设函数()f x ''存在，且()lim 101x f x x →=-，记()()1011d x f x t t ϕ'=++⎡⎤⎣⎦⎰，求()x ϕ在1x =的某个邻域内的导数，并讨论()x ϕ'在1x =处的连续性.2010-1-19一．填空题：（5分*3=15分）1.在抛物线2y x =上与直线20x y +=垂直的切线方程是______________________.2. 设()(),,21 0ax e x f x b x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩在(),-∞+∞上可微，则a =_______,b =___________. 3.设()f x 的定义域为(),0+∞，已知()(),2311f f x x '==，则()4f =_____________.二．单项选择题（5分*3=15分）1.设()f x 在x a =处取得极值且满足()()()12x f taf x f x e dt +'''+=⎰，则()f x 在x a =处（）A. 必取极大值.B.必取极小值.C. 不可能取极值.D.是否取极值不能确定.2.设a 为常数，则级数()sin 211n na n∞=⎡⎤⎢⎣∑ （ ） A. 绝对收敛. B.条件收敛. C. 发散. D.收敛性与数a 取值有关.3.设()()ln 21f x x x =-，()sin 2g x x =，则当0x →时，()f x 是()g x 的 （ ）A. 同阶但非等价无穷小.B. 等价无穷小.C. 高阶无穷小.D. 低阶无穷小. 三． 解答下列各题(6分*4): 1.设()arctan1y x =>，求lim 1d d x yx +→. 2. 设()2022d 1tu t x e u y e t --⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰，求221d d t y x =.3. 求不定积分()ln 1d x x e e x +⎰.4.求微分方程222xy y x '=+的通解.四． 解答下列各题(8分*4):1.（说明：学习《工科分析》者做（1），其余的做（2））（1）讨论级数12nxn n ∞-=∑在[)(),0δδ+∞>上的一致收敛性，并求和.(2)求幂级数1112n nn x n ∞-=∑的收敛域及和函数. 2. 设函数(),,1 012 12x f x x ≤≤⎧=⎨<<⎩在[],02上将()f x 展成以4为周期的正弦级数，并指出级数在5x =处的值.3. 设函数()sin sin ,,201d 00 0x t t x f x x x ⎧⎛⎫⋅≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩⎰，求()f x '，并讨论()f x '在0x =处的连续性. 4.计算反常积分()20d 1xx xe I x e -+∞-=+⎰. 5. 一抛物线2y ax bx c =++通过()(),,,0012A B 两点，且0a <.（1） 确定,,a b c 的值使得抛物线与x 轴所围图形D 的面积最小. (2) 求此图形D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.五．（6分）设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且()0f x '>. 若极限()lim 2x a f x a x a +→--存在，证明在(),a b 内存在点ξ，使得()()222d b ab a f f x xξξ-=⎰.2009-01-12一．解答下列各题(6分*10): 1．求极限)1ln(lim 1xx e x ++→. 2.设⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d .3.设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3232tt y tt x ，求22d d x y .4.判定级数()()0!12≥-∑∞=λλλn nn n n e 的敛散性.5.求反常积分()⎰-10d 1arcsinx x x x.6.求⎰x x x d arctan .7.⎰-π03d sin sin x x x .8.将⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<=πππx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间. 9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解.10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点()()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值.四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞=-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛.（2）求幂级数()∑∞=-----122121212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数.六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()⎰''-+⎪⎭⎫⎝⎛+-=ba f ab b a f a b dx x f ξ324122008年1月一、解答下列各题（每小题6分，共60分）1．计算极限xx x e x x 30sin 2)2(lim ++-→ 2．设.,5arctan log 22π+-=x x e y x求.dy 3．设).20(cos sin cos ln π<<⎩⎨⎧-==t t t t y t x 求.322π=t dx y d 4．判定级数∑∞=123n n nn 的敛散性. 5．计算反常积分.ln 12dx x x ⎰∞+ 6．计算不定积分.cos sin 23dx xxx ⎰ 7．计算定积分.)1(102⎰+x e dx8．求微分方程0)()1(32=++++dy y y x dx y 的通解.9．将函数⎩⎨⎧<<≤≤=21,210,1)(x x x f 在]2,0[上展成以4为周期的正弦级数.10．求由曲线72+=x y 及532+=x y 所围成的图形绕ox 轴旋转一周而成的旋转体的体积. 二、（9分）证明：当0≥x 时，有).1ln(2arctan 41]1)1ln(2[)1(22x x x x x +-≥+-++三、（9分）设抛物线)0(2<+=a bx ax y 通过点)3,1(M ，为了使此抛物线与直线x y 2=所围成的平面图形的面积最小，试确定a 和b 的值. 四、（8分）设一车间空间容积为10000立方米，空气中含有%12.0的二氧化碳（以容积计算），现将含二氧化碳%04.0的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间，同时按1000立方米每分钟的流量抽出混合气体，问输入新鲜空间10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？ 五、（8分）求幂级数∑∞=+0!21n nnx n n 的收敛域及其和函数. 六、（6分）设函数)(x f 在0=x 的邻域内有连续的一阶导数，且)0()(lim>=→a a xx f x ， 证明：∑∞=--11)1()1(n n n f 条件收敛.2007年1月一、解答下列各题1.计算极限02lim.1cos 2x x→- 2.设cos(3)x y e x -=-，求dy .3.求曲线20213(2)123ln(1)t x du u y t t ⎧=++⎪+⎨⎪=-++⎩⎰在3x =处的切线方程. 4.判定级数143nn n∞=+∑的敛散性. 5.计算反常积分1+∞⎰ 6.计算不定积分. 7.将10/2()0/2x f x x πππ≤≤⎧=⎨<≤⎩展开成以2π为周期的傅里叶正弦级数，并求此级数分别在32x π=和52x π=两点的收敛值.8.将函数()ln f x x =展开为2x -的幂级数，并指出其收敛域.9.求微分方程7/2(1)2(1)x y y x '+-=+的通解. 10.求抛物线25x y =与21x y =+所围图形的面积.二、设2301(),0(),0x t f t dt x F x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中()f t 是可导函数，为了使()F x 在0x =点处连续，试确定k 值，并对所确定的k 值，讨论()F x 在0x =点的可导性. 三、（9分）在曲线(0)x y e x -=≥上求一点00(,)x x e -，使得过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大，并求出此最大面积.四、半径为R 的半球形水池充满水，将水从池中抽出，并抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时，试问此时水面下降的深度H 为多少？五、求函数项级数20(1)nn xx ∞=+∑收敛性及和函数，并证明对任意0αβ<<，此级数在闭区间[,]αβ上一致收敛，但在其收敛域内不一致收敛.六、已知函数()f x 在[0,)+∞上可导，且(0)1f =并满足等式01()()()0,1xf x f x f t dt x '+-=+⎰求()f x '并证明：()1(0).x e f x x -≤≤≥2006年1月一、解答下列各题1.计算极限30tan sin lim .x x xx →- 2.设1arctan(tan )22x y =，求dy . 3.设2,0(),1,0xe xf x x x -⎧≥=⎨+<⎩求21(1).f x dx --⎰ 4.判定级数221112n n n n n ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑的敛散性.5.设()y y x =由方程tan()y x y =+所确定，求y '.6.计算不定积分22(1).1x xe dx e ++⎰ 7.将()2||,[,]f x x x ππ=+∈-展开成以2π为周期的傅里叶级数.8.将函数21()32f x x x =++展成4x +的幂级数，并指出收敛区间.9.求微分方程43x xy y x e '-=的通解.10.设曲线2(0,0)y ax a x =>≥与21y x =-交于点A ，过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一个平面图形，问a 为何值时，该图形绕x 轴旋转一周所产生的旋转体的体积最大.二、试证明不等式：当0x >时，1(01).x x αααα-≤-<<三、设221()x t f x e dt -=⎰，求1().xf x dx ⎰四、一物体在某一介质中按3x ct =作直线运动，已知介质的阻力与物体速度的平方成正比，计算物体由0x =移动到x a =时克服阻力所作的功. 五、（注意：学习《工科分析》者做第（1）题，其余的做第（2）题） （1）证明：级数1nx n ∞-=在区间[,)(0)δδ+∞>上一致收敛，而在(0,)+∞上不一致收敛.（2）求级数01(1)3nn n ∞=+∑的和. 六、设()0,[,],f x x a b ''>∈证明：1()()()().22b a a b f a f b f f x dx b a ++≤≤-⎰2005年1月一、、解答下列各题1. 计算极限()0sin 1lim sin x x e x x x x x →-+-. 2。

(3).已知是四元方程组AX b =的三个解，其中且123,,ηηη()3r A =，则方程组AX b =的通解为1223(1,2,3,4),(4,4,4,4)T T ηηηη+=+=三、(12分) 证明两直线,异面；求两直线间的距1:4l x y z ==-2:l x y z -==离；并求与都垂直且相交的直线方程。

12,l l 四、(12分)线性方程组123113112112x x x λλλλ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦讨论取何值时，该方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,λ求出该方程组的结构式通解.五、(12分). 已知二次曲面方程可经过正交2222224x ay z bxy xz yz +++++=变换化为柱面方程，求的值及正交矩阵P.'''x x y P y z z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22'4'4y z +=,a b 六、(12分) 设,矩阵满足，其中为三阶单位矩101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X 2AX I A X +=+I 阵，求矩阵X .七、(12分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)(1)矩阵，线性空间1123130101111432A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥---⎣⎦求的基与维数.{}4|V b b F Ax =∈，方程组=b 有解V (2) 设,在的基下的矩()3T L R ∈T 3R 123(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα=-=-=阵为 ，求在基下的101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭T 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)T T T βββ===矩阵.八、(10分)设是维列向量组，矩阵12,,,n ααα n 111212122212T T T n T T T n T T Tn n n n A αααααααααααααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦试证明线性无关的充要条件是对任意维列向量，方程组12,,,n ααα n b 均有解。

一、填空题（每小题4分，共24分）1设平面点集22{(,)(2)(2)2}{(,)(01)}E x y x y x y y x x =-+-≤=≤≤，则E 的内核o E = ，E 的导集E '= .2函数列()()n f x n =∈N 在R 上的极限函数是 ，{()}n f x 在R 上 收敛(填“一致”或“不一致”).3 幂级数121(1)2nnn n x ∞=-+∑的收敛域是 . 4 函数2()arctan()f x x =的Maclaurin 级数是：.5(电院) 设函数2(),01f x x x =≤<，其Fourier 正弦级数为1()sin n n S x b n x ∞==π∑，其中12()sin d (n b f x n x x n =π∈⎰)N , 则12S ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.5(管院) 设α为正实数，若级数1!n nn n nα∞=∑与级数1n ∞=同时收敛，则α的取值范围为 .6 设二元函数0,(,),y f x y x y ⎧=⎨⎩当为无理数当为有理数，则(,)f x y 在点(0,0)处连续性情况是 , 在点00(0,)(0)y y ≠处连续性情况是 (填“连续”或“不连续”).二、选择题（每小题3分，共15分）1 设函数()n u x 在[,]a b 上定义，函数项级数1()n n u x ∞=∑在(,)a b 内一致收敛, 则数项级数11(),()n n n n u a u b ∞∞==∑∑均收敛是1()n n u x ∞=∑在[,]a b 上一致收敛的 【 】(A) 充要条件. (B) 充分条件.(C) 必要条件. (D) 既不是充分也不是必要条件.2 设幂级数1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则该级数在2x =处 【 】(A) 条件收敛. (B) 绝对收敛. (C) 发散. (D) 敛散性不能确定.3 设二元函数221sin ,0(,)0,0xy y x x y x f x y x ⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩当时当时，则在(0,0)处(,)f x y 的 (A) 二重极限存在，两个累次极限中至少有一个存在. (B) 二重极限存在，但两个累次极限都不存在.(C) 二重极限不存在，但两个累次极限中至少有一个存在.(D) 二重极限不存在，两个累次极限也都不存在. 【 】4 (电院)考虑下列三角级数，它们是否能分别成为周期为2π可积函数的Fourier级数(Ⅰ) 2sin ln n nx n ∞=∑, (Ⅱ) 1n ∞=.(A) Ⅰ可以，Ⅱ不可以. (B) Ⅰ不可以，Ⅱ可以.(C) Ⅰ和Ⅱ都可以. (D) Ⅰ和Ⅱ都不可以. 【 】 4 (管院)考虑以下断语(Ⅰ) 若存在{}n x D ⊂，使lim ()0n n n u x →∞≠，则1()n n u x ∞=∑必在D 上不一致收敛；(Ⅱ) 若函数项级数1()n n u x ∞=∑的和函数()S x 在D 上不连续，则1()n n u x ∞=∑必在D 上不一致收敛.(A) Ⅰ和Ⅱ都不正确. (B) Ⅰ和Ⅱ都正确.(C) Ⅰ不正确，Ⅱ正确. (D) Ⅰ正确，Ⅱ不正确. 【 】5 设幂级数0n n n a x ∞=∑收敛半径为r ，且它在x r =处收敛. 下列断语中正确断语的个数是(Ⅰ) 0nn n a x∞=∑必在[,]r r -上一致收敛； (Ⅱ)0nn n a x∞=∑必在[0,]r 上一致收敛；(Ⅲ)11n n n na x∞-=∑必在[0,]r 上一致收敛； (Ⅳ)101n n n a x n ∞+=+∑必在[0,]r 上一致收敛. (A) 0个. (B) 1个. (C) 2个. (D) 3个. 【 】三、判断下列函数项级数在指定区间上的一致收敛性(第1小题6分，第2小题8分)(1) 33221arctan(),n n x x n x ∞=+∈+∑R ；(2) 1n x ∞=∈R四 (11分) 求幂级数20(1)nn n n x ∞=++∑的和函数，并计算级数201(1)2nnn n n ∞=++-∑的和.五 (电院，12分) 设函数(),[0,2)2xf x x π-=∈π. (1) 在[0,2]π上将()f x 展开成周期为2π的Fourier 级数；(2) 证明2221cos 1,[0,2]624n nx x x x n ∞=ππ=-+∈π∑ (已知22116n n∞=π=∑)； (3) 求级数411n n ∞=∑之和. 五 (管院，12分) 设函数22()23x f x x x +=--.(1) 将函数()f x 在02x =处展开为幂级数； (2) 求(100)(2)f .六 (14分) 设有函数项级数2e ln n xn n n-∞=∑,(1) 证明该函数项级数在(0,)+∞上收敛，但不一致收敛；(2) 记2e ()ln n xn f x n n -∞==∑. 证明(0,)f C ∈+∞.七 (10分) 设()f x 在R 上有连续的导数，记()()e (e )()(nnn f x f x f x n -=+-∈)N .(1) 求函数列{()}n f x 在R 上的极限函数；(2) 对[,]a b ∀⊂R ，证明：函数列{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛.。

2010－2011学年第(1)学期“工科数学分析”期中考试试题一、计算下列各题（每小题9分，共计63分）1．limn2<≤=（夹逼原理） 或1<≤因为lim 1n =，lim 1n =由夹逼原理得：lim 1n =2．1lim(cos )x x x→∞解：1ln cos 1lim(cos )lim x xxx x e x→∞→∞= （函数变形）01ln cos lim ln coslim x t t x x t →∞→=（变量代换1x =t） 2000ln(1cos 1)cos 12lim lim lim 0t t t t t t t t t→→→−+−−====（等价替换） 所以 1ln cos 1lim(cos lim 1x xxx x e x→∞→∞==3．31lim [ln(1)ln(1x x x x→∞+−+解： 00ln(13)ln(1)2limlim 2t t t t ttt →→+−+===（Taylor 公式、等价替换）4．211lim(1ln x x x x→−− 解： 2210ln 1(1)ln(1)lim lim(1)ln ln(1)x t x x x t t t x x t t →→−+++−==−+（变量代换1x =t） 220(1)ln(1)lim t t t tt →++−=（等价替换） 002(1)ln(1)2ln(1)33limlim 222t t t t t t t →→+++++===（罗比塔法则）5．2240cos limx x x e x −→−解：2424544011()[1()]22422!4lim x x x x x o x o x x →−++−−++=（Taylor 公式）112=−6．证明：当0x >时，1arctan 2x x π+>。

解： 1()arctan f x x x=+在(0,)+∞连续可微，2211()01f x x x ′=−<+，所以()f x ↓。

」、判断题：（共12分，每小题2分，正确的打（话,否则打（X ））1. 向量 X （X I ,X 2,X 3）T，则I Xi | I 2x 2 I 3x^1 是向量范数。

（）2. 若A 是n n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵，使唯一成立。

（ ）b3.形如 af(x)dxi nA i f （X i ）的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代数精确度1的次数为2n 1。

( )1 24.已知矩阵A1 3 ，则在范数意义下条件数Co nd （A ） 4。

—( )35.已知 f(x) Xx ，差商 f[0,m, n] 3.5 （ , , m,n 为实数），则f [m, n, 2] 1.5。

( )6.采用牛顿迭代求解方程x 26 0来计算 6的近似值，若以X 。

4作为初值，则该迭代序列｛X k ｝收敛到 6。

( )、填空题：（共28分，每小题4 分）1 0则|AX 42 1(A)1.向量X (1,-2)T,矩阵A2.设A 0.8°,则lim A k。

4 0.9 k3.为使函数f(x) JT万J X (x 1)的计算结果较精确，可将其形式改为4.设f(X) x2 2yx2 2x y ，则f (x)5.用等距节点的二次插值法求f(x) 的极小点的近似值为 _______________ ；x3 3x在［0,4］中的极小点，则第一次求出第一步删去部分区间后保留的搜索区间为:6.已知如下分段函数为三次样条，试求系数A,B,C :A 1 x2 x 1S(x) 2 2x 3 2 x2Bx3 1 x 02 2x Cx23 x 0 x 1则A= ，B= ，C=7.若用复化梯形公式计算1 1 dx，要求误差不超过10 4，则步长01 x三、（10分）线性方程组：2x x2X3 4x1 2x2X33X x22X3 5考察用Jacobi迭代和Gauss-Seidel 迭代解此方程组的收敛性;四、(10分)已知函数y f(x)的函数值、导数值如下:求满足条件的最低插值多项式及截断误差表示式。

西安交通大学往届高等数学（上册）期终考题汇编2010-1-19一、填空题（每小题5分，共15分）1．在抛物线2x y =上与直线20x y +=垂直的切线方程是 .2．设⎩⎨⎧>-≤=0)1(0e )(2x x b x x f ax 在),(+∞-∞上可微，则=a ,=b . 3．设)(x f 的定义域为),0(+∞，已知32)(,1)1(x x f f ='=，则=)4(f .二、单项选择题（每小题5分，共15分）1．设)(x f 在a x =处取得极值且满足⎰+='+''1)()(2)(x at f dt e x f x f ，则)(x f 在a x =处( ).A. 必取极大值B. 必取极小值C. 不可能取极值D. 是否取极值不能确定. 2．设a为常数，则级数21sin()n na n ∞=⎡⎢⎣∑.( ).A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 收敛性与数a 的取值有关 3. 设x x g x x x f 2sin )(),1ln(2)(=-=,则当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( )A. 同阶但非等价无穷小B. 等价无穷小C. 高阶无穷小D. 低阶无穷小. 三、解答下列各题（每小题6分，共24分）1．设)1(1ln )1arctan(22>---=x x xx y ，求1d lim d x y x +→.2. 设⎪⎩⎪⎨⎧+==--⎰)1(e d e 2 0 22t y u x t t u ，求122d d =t x y . 3. 求不定积分x xx d )1ln(e e ⎰+. 4．求微分方程222x y y x +='的通解四．解答下列各题（每小题8分，共40分）1.（说明：学习《工科分析》者做(1)，其余的做(2)）(1) 讨论级数nxn n -∞=∑21在)0)(,[>+∞δδ上的一致收敛性,并求和.(2) 求幂级数1112n nn x n ∞-=∑的收敛域及和函数. 2. 设函数⎩⎨⎧<<≤≤=21,210,1)(x x x f 在]2,0[上将)(x f 展成以4为周期的正弦级数，并指出级数在5=x 处的值.3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅=⎰0,00,d sin )1(sin )( 02x x t t x x f x ，求)(x f '，并讨论)(x f '在0=x 点处的连续性. 4．计算反常积分20e d (1e )xx x I x -+∞-=+⎰.5. 一抛物线c bx ax y ++=2通过)2,1(),0,0(两点，且0<a 确定c b a ,,的值与x 轴所围图形D 的面积最小？并求此图形D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、（6分）设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且0)(>'x f ，若极限a x a x f a x --+→)2(lim 存在，证明在),(b a 内存在点ξ，使)(2d )( 22ξξf xx f a b b a=-⎰.2008年1月一、解答下列各题（每小题6分，共60分）1．计算极限x x x e x x 30sin 2)2(lim ++-→ 2．设.,5arctan log 22π+-=x x e y x求.dy 3．设).20(cos sin cos ln π<<⎩⎨⎧-==t tt t y t x 求.322π=t dx y d 4．判定级数∑∞=123n n nn 的敛散性. 5．计算反常积分.ln 12dx x x ⎰∞+ 6．计算不定积分.cos sin 23dx xxx ⎰ 7．计算定积分.)1(102⎰+x e dx 8．求微分方程0)()1(32=++++dy y y x dx y 的通解. 9．将函数⎩⎨⎧<<≤≤=21,210,1)(x x x f 在]2,0[上展成以4为周期的正弦级数.10．求由曲线72+=x y 及532+=x y 所围成的图形绕ox 轴旋转一周而成的旋转体的体积. 二、（9分）证明：当0≥x 时，有).1ln(2arctan 41]1)1ln(2[)1(22x x x x x +-≥+-++三、（9分）设抛物线)0(2<+=a bx ax y 通过点)3,1(M ，为了使此抛物线与直线x y 2=所围成的平面图形的面积最小，试确定a 和b 的值. 四、（8分）设一车间空间容积为10000立方米，空气中含有%12.0的二氧化碳（以容积计算），现将含二氧化碳%04.0的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间，同时按1000立方米每分钟的流量抽出混合气体，问输入新鲜空间10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？ 五、（8分）求幂级数∑∞=+0!21n nnx n n 的收敛域及其和函数. 六、（6分）设函数)(x f 在0=x 的邻域内有连续的一阶导数，且)0()(lim>=→a a xx f x ， 证明：∑∞=--11)1()1(n n n f 条件收敛. 2007年1月一、解答下列各题1.计算极限02lim .1cos 2x x→- 2.设cos(3)x y e x -=-，求dy .3.求曲线20213(2)123ln(1)t x du u y t t ⎧=++⎪+⎨⎪=-++⎩⎰在3x =处的切线方程. 4.判定级数143nn n ∞=+∑的敛散性. 5.计算反常积分1+∞⎰ 6.计算不定积分. 7.将10/2()0/2x f x x πππ≤≤⎧=⎨<≤⎩展开成以2π为周期的傅里叶正弦级数，并求此级数分别在32x π=和52x π=两点的收敛值. 8.将函数()ln f x x =展开为2x -的幂级数，并指出其收敛域.9.求微分方程7/2(1)2(1)x y y x '+-=+的通解. 10.求抛物线25x y =与21x y =+所围图形的面积.二、设2301(),0(),0x t f t dt x F x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中()f t 是可导函数，为了使()F x 在0x =点处连续，试确定k 值，并对所确定的k 值，讨论()F x 在0x =点的可导性.三、（9分）在曲线(0)x y e x -=≥上求一点00(,)x x e-，使得过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大，并求出此最大面积.四、半径为R 的半球形水池充满水，将水从池中抽出，并抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时，试问此时水面下降的深度H 为多少？ 五、求函数项级数20(1)nn xx ∞=+∑收敛性及和函数，并证明对任意0αβ<<，此级数在闭区间[,]αβ上一致收敛，但在其收敛域内不一致收敛.六、已知函数()f x 在[0,)+∞上可导，且(0)1f =并满足等式01()()()0,1xf x f x f t dt x '+-=+⎰求()f x '并证明：()1(0).x e f x x -≤≤≥2006年1月一、解答下列各题1.计算极限30tan sin lim.x x xx →- 2.设1arctan(tan )22x y =，求dy . 3.设2,0(),1,0xe xf x x x -⎧≥=⎨+<⎩求21(1).f x dx --⎰ 4.判定级数221112n n n n n ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑的敛散性. 5.设()y y x =由方程tan()y x y =+所确定，求y '. 6.计算不定积分22(1).1x xe dx e++⎰ 7.将()2||,[,]f x x x ππ=+∈-展开成以2π为周期的傅里叶级数.8.将函数21()32f x x x =++展成4x +的幂级数，并指出收敛区间.9.求微分方程43xxy y x e '-=的通解.10.设曲线2(0,0)y ax a x =>≥与21y x =-交于点A ，过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一个平面图形，问a 为何值时，该图形绕x 轴旋转一周所产生的旋转体的体积最大. 二、试证明不等式：当0x >时，1(01).x x αααα-≤-<< 三、设221()x t f x e dt -=⎰，求1().xf x dx ⎰四、一物体在某一介质中按3x ct =作直线运动，已知介质的阻力与物体速度的平方成正比，计算物体由0x =移动到x a =时克服阻力所作的功. 五、（注意：学习《工科分析》者做第（1）题，其余的做第（2）题） （1）证明：级数1nx n ∞-=在区间[,)(0)δδ+∞>上一致收敛，而在(0,)+∞上不一致收敛.（2）求级数01(1)3nn n ∞=+∑的和.六、设()0,[,],f x x a b ''>∈证明：1()()()().22b a a b f a f b f f x dx b a ++≤≤-⎰ 2005年1月一、、解答下列各题1. 计算极限()0sin 1lim sin x x e x x x x x →-+-. 2。