2020高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性增分练

第3节函数的奇偶性与周期性【选题明细表】知识点、方法题号函数奇偶性的判定1,2函数周期性的应用6,8,9函数的奇偶性的应用3,5,7,10,12,13函数基本性质的综合应用4,11,14,15,16基础巩固(建议用时:25分钟)1.(2018·辽宁省大连本溪联考)函数y=x2lg 的图象( B )(A)关于x轴对称 (B)关于原点对称(C)关于直线y=x对称 (D)关于y轴对称解析:记f(x)=x2lg ,定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),f(-x)=(-x)2lg =x2lg=-x2lg =-f(x),所以f(x)为奇函数,即函数y=x2lg 的图象关于原点对称.故选B.2.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( C )(A)f(x)g(x)是偶函数 (B)|f(x)|g(x)是奇函数(C)f(x)|g(x)|是奇函数(D)|f(x)g(x)|是奇函数解析:f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),g(x)是偶函数,则g(-x)=g(x),则f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),选项A错;|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),选项B错;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,选项C正确;|f(-x)·g(-x)|=|f(x)g(x)|,选项D错.3.(2018·浙江省宁波市高三模拟)若函数f(x)=ax2+(2a2-a-1)x+1为偶函数,则实数a的值为( C )(A)1 (B)-(C)1或-(D)0解析:a=0时,f(x)=-x+1不是偶函数,a≠0时,二次函数f(x)=ax2+(2a2-a-1)x+1的对称轴为x=-,若f(x)为偶函数,则-=0,得a=1或a=-,故选C.4.(2018·河南中原名校高考一模)已知函数y=f(x),满足y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数,且f(1)=,设F(x)=f(x)+f(-x),则F(3)等于( B )(A)(B)(C)π(D)解析:由题意得f(-x)=f(x),f(x+2)=f(-x+2)=f(x-2),故f(x)=f(x+4).则F(3)=f(3)+f(-3)=2f(3)=2f(-1)=2f(1)=,故选B.5.(2018·山西省六校第四次联考)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x-7x+2b(b 为常数),则f(-2)等于( A )(A)6 (B)-6 (C)4 (D)-4解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-(32-7×2+2b)=5-2b,又奇函数f(x)在x=0处有意义,所以f(0)=30-7×0+2b=0,所以2b=-1,所以f(-2)=6.故选A.6.(2018·湖南九月调研)定义在R上的函数f(x),满足f(x+5)=f(x),当x∈(-3,0]时,f(x)=-x-1,当x∈(0,2]时,f(x)=log2x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018) 的值等于( B )(A)403 (B)405 (C)806 (D)809解析:定义在R上的函数f(x),满足f(x+5)=f(x),即函数的周期为5.当x∈(0,2]时,f(x)=log2x,所以f(1)=log21=0,f(2)=log22=1.当x∈(-3,0]时,f(x)=-x-1,所以f(3)=f(-2)=1,f(4)=f(-1)=0,f(5)=f(0)=-1.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018)=403×(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5))+f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=403×1+f(1)+f(2)+f(3)=403+0+1+1=405.故选B.7.(2018·江西省六校联考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=则g[f(-8)] 等于( A )(A)-1 (B)-2 (C)1 (D)2解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-8)=-f(8)=-log39=-2,所以g[f(-8)]=g(-2)=f(-2)=-f(2)=-log33=-1.故选A.8.(2018·云南玉溪市高考模拟)设奇函数f(x)的定义域为R,且f(x+4)=f(x),当x∈(4,6]时f(x)=2x+1,则f(x)在区间[-2,0)上的表达式为( B )(A)f(x)=2x+1 (B)f(x)=-2-x+4-1(C)f(x)=2-x+4+1 (D)f(x)=2-x+1解析:当x∈[-2,0)时,-x∈(0,2],所以-x+4∈(4,6].又因为当x∈(4,6]时,f(x)=2x+1,所以f(-x+4)=2-x+4+1.又因为f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为T=4.所以f(-x+4)=f(-x).又因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以-f(x)=2-x+4+1,所以当x∈[-2,0)时,f(x)=-2-x+4-1.故选B.9.(2018·山东省菏泽市高三上学期期中)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=9x,则f(-)+f(2)= .解析:因为函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,所以f(-)=f(--2)=f(-)=-f(),又当0<x<1时,f(x)=9x,所以f(-)=-=-3,又f(2)=f(0)=0,所以f(-)+f(2)=-3.答案:-310.(2018·河南省中原名校质检)已知函数f(x)=asin x++c,x∈[-5π,0)∪(0,5π],若f(1)+f(-1)=4 034,则c= .解析:令g(x)=f(x)-c=asin x+,易知g(x)是奇函数,则g(1)+g(-1)=0,即f(1)-c+f(-1)-c=0,所以c==2 017.答案:2 017能力提升(建议用时:25分钟)11.(2018·陕西省西工大模拟)已知函数f(x)=2sin x-3x,若对任意m∈[-2,2],f(ma-3)+f(a2)>0恒成立,则a的取值范围是( A )(A)(-1,1)(B)(-∞,-1)∪(3,+∞)(C)(-3,3)(D)(-∞,-3)∪(1,+∞)解析:因为f(x)=2sin x-3x,所以f′(x)=2cos x-3<0,则f(x)是一个单调递减函数,而f(-x)=2sin(-x)+3x=-f(x),所以f(x)是一个奇函数,因为f(ma-3)+f(a2)>0,所以f(ma-3)>-f(a2)=f(-a2),所以ma-3<-a2,因为m∈[-2,2],所以所以所以-1<a<1.故选A.12.(2018·安徽省亳州市高三质量检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,若F(x)=f(x)·[g(x)-1],则F(-2)+F(2)等于( A ) (A)0 (B)2 (C)-2 (D)4解析:F(-x)=f(-x)[g(-x)-1]=-f(x)[g(x)-1]=-F(x),所以F(x)是奇函数,所以F(-2)+F(2)=0,故选A.13.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,则f(2)等于( B )(A)2 (B)(C)(D)a2解析:因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a,因为f(2)+g(2)=a2-a-2+2,①所以f(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=a-2-a2+2,②由①、②联立得g(2)=a=2,f(2)=a2-a-2=.14.(2018·山东济宁一模)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1.则f(2 017)+f(2 018)的值为( D )(A)-2 (B)-1 (C)0 (D)1解析:因为函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,所以f(-x)=-f(x),由图象关于x=1对称,得f(1+x)=f(1-x),即f(x)=f(2-x)=-f(-x).所以f(4-x)=-f(2-x)=f(-x),所以周期是T=4.因为当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1.所以f(2 017)+f(2 018)=f(1)+f(2)=f(1)-f(0)=2-1-1+1=1.故选D.15.已知f(x)是周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=lg x,设a=f(),b=f(),c=f(),则( A )(A)c<a<b (B)a<b<c(C)b<a<c (D)c<b<a解析:a=f()=f(-)=-f()=-lg =lg ,b=f()=f(-)=-f()=-lg=lg 2,c=f()=f()=lg ,因为2>>,所以lg 2>lg>lg,所以b>a>c.16.(2018·河北石家庄二中八月模拟)已知函数f(x)满足对任意实数m,n,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,设g(x)=f(x)+(a>0,a≠1),若g(ln 2 017)=2 018,则g(ln)等于( D )(A)2 017 (B)2 018 (C)-2 016 (D)-2 015解析:因为f(m+n)=f(m)+f(n)-1,令m=n=0,得f(0)=1,再令m=x,n=-x,得f(x)+f(-x)=2,设h(x)=,则h(-x)=,得h(x)+h(-x)=1,所以g(x)+g(-x)=f(x)+h(x)+f(-x)+h(-x)=3,所以g(ln)=g(-ln 2 017)=3-g(ln 2 017)=3-2 018=-2 015.故选D.。

【选题明细表】知识点、方法题号函数奇偶性的判定1,4函数周期性的应用3,9函数奇偶性的应用2,5,6,7,8,10,12 函数基本性质的综合应用11,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.(20xx·北京××区二模)下列函数中为奇函数的是( D )(A)y=x2+2x (B)y=ln|x|(C)y=()x (D)y=xcos x2.已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)等于( A )(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(-1)=-f(1),又当x>0时,f(x)=x2+,所以f(1)=12+1=2,所以f(-1)=-2.故选A.3.(20xx·浙江台州一模)若函数y=f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,则f(2 017)等于( B )(A)-2 017 (B) 0 (C)1 (D)2 017解析:因为函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,所以f(1)=f(-1),所以-f(1)=f(-1)=f(1),所以f(1)=f(-1)=0,所以f(2 017)=f(1)=0.故选B.4.(20xx·广东深圳一模)已知f(x)=,g(x)=|x-2|,则下列结论正确的是( D )(A)h1(x)=f(x)+g(x)是偶函数(B)h2(x)=f(x)·g(x)是奇函数(C)h3(x)=是偶函数(D)h4(x)=是奇函数解析:f(x)=,g(x)=|x-2|,A.h1(x)=f(x)+g(x)=+|x-2|=+2-x,x∈[-2,2].h1(-x)=+2+x,不满足函数的奇偶性的定义,是非奇非偶函数.B.h2(x)=f(x)·g(x)=|x-2|=(2-x),x∈[-2,2].h2(-x)=(2+x),不满足奇偶性的定义.C.h3(x)==,x∈[-2,2),不满足函数的奇偶性定义.D.h4(x)==,x∈[-2,0)∪(0,2],函数是奇函数.故选 D.5.(20xx·湖南郴州二模)已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=ax(a>0且a≠1),且f(lo4)=-3,则a的值为( A )(A) (B)3 (C)9 (D)解析:因为奇函数f(x)满足f(lo4)=-3,lo4=-2<0,所以f(2)=3,又因为当x>0时,f(x)=ax(a>0且a≠1),所以f(2)=a2=3,解之得a=±(舍负).故选A.6.导学号 38486027(20xx·山东济宁二模)已知函数y=f(x)是R 上的偶函数,当x1,x2∈(0,+∞)时,都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0.设a=ln,b=(ln π)2,c=ln,则( C )(A)f(a)>f(b)>f(c) (B)f(b)>f(a)>f(c)(C)f(c)>f(a)>f(b) (D)f(c)>f(b)>f(a)解析:由已知条件知f(x)在(0,+∞)上是减函数;且f(a)=f(|a|),f(b)=f(|b|),f(c)=f(|c|);|a|=ln π>1,b=(ln π)2>|a|,c=∈(0,|a|),所以f(c)>f(a)>f(b).故选C.7.已知f(x)=lg(+a)是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是( B )(A)(-∞,0) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(-∞,0)∪(1,+∞)解析:由f(x)+f(-x)=0,即lg(+a)+lg(+a)=0可得a=-1,所以f(x)=lg.解0<<1可得-1<x<0.故选B.8.函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时,f(x)=+1,则当x<0时,f(x)=.解析:令x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-(+1),即x<0时,f(x)=-(+1)=--1.答案:--19.若偶函数y=f(x)为R上周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),则f(-6)等于.解析:因为y=f(x)为偶函数,且f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),所以f(x)=x2+(1-a)x-a,所以1-a=0,所以a=1.f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3).f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1.答案:-1能力提升(时间:15分钟)10.已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为( A )(A) (B)2 (C) (D)解析:设x>0,则-x<0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3(-x)+2]=-x2+3x-2.所以在[1,3]上,当x=时,f(x)max=;当x=3时,f(x)min=-2.所以m≥且n≤-2.故m-n≥.故选A.11.导学号38486028(20xx·宁夏中卫一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且f(-1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+ f(2 017)的值为( C )(A)1 (B)0 (C)-2 (D)2解析:因为f(2-x)=f(x),所以f[2-(2+x)]=f(2+x),即f(-x)=f(2+x),。

第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．周期性的几个常用结论对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则(1) 若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝a－b.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．(教材改编)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－xB [A 为奇函数，C ，D 为非奇非偶函数，B 为偶函数，故选B.]3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13 C.12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]4．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则当x ＜0时，f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x (1＋x ) B ．f (x )＝x (1－x ) C ．f (x )＝－x (1＋x ) D ．f (x )＝x (x －1) B [当x ＜0时，－x ＞0， 又x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )， 故f (－x )＝－x (1－x )．又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x (1－x )，即f (x )＝x (1－x )，故选B.]5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为________． 0 [∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又f (x ＋4)＝f (x )，∴T ＝4. ∴f (8)＝f (0)＝0.]函数的奇偶性及其应用【例1】 (1)若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. (2)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝3－x 2＋x 2－3； ②f (x )＝－x2|x －2|－2；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0.(1)－32 [由f (－x )＝f (x )得ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，整理得ln e 3x＋1e －3x ＋1＋2ax ＝0.∵e 3x＋1e －3x ＋1＝e 3x－3x＋e－3x＋1＝e 3x，∴ln e 3x ＋2ax ＝0，∴2ax ＝－3x ，即(2a ＋3)x ＝0对任意x 恒成立， 故2a ＋3＝0，所以a ＝－32.](2)[解] ①由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．②由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝－x2－x.又∵f (－x )＝lg[1－－x2]x＝－－x 2－x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．③显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数．(1)＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④(2)(2019·湖北重点中学联考)已知函数f (x )＝(e x ＋e －x)ln 1－x 1＋x －1，若f (a )＝1，则f (－a )＝( ) A ．1 B ．－1 C ．3D ．－3(3)若函数f (x )＝x 5＋ax 3＋b sin x ＋2在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.(1)D (2)D (3)4 [(1)由奇函数的定义，f (－x )＝－f (x )验证， ①f (|－x |)＝f (|x |)，故为偶函数； ②f [－(－x )]＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数． 综上可知②④正确，故选D.(2)令g (x )＝f (x )＋1＝(e x ＋e －x )ln 1－x 1＋x ，则g (－x )＝(e －x ＋e x )ln 1＋x 1－x ＝－(e x ＋e －x)ln1－x 1＋x ＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以f (－a )＝g (－a )－1＝－g (a )－1＝－f (a )－2＝－3，故选D.(3)令g (x )＝x 5＋ax 3＋b sin x ，x ∈[－3,3]， 则g (x )为奇函数，f (x )＝g (x )＋2， ∴M ＝f (x )max ＝g (x )max ＋2，m ＝f (x )min ＝g (x )min ＋2，∴M ＋m ＝4.]函数周期性、对称性的应用【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．(1)C (2)22[(1)由f (1＋x )＝f (1－x )可知f (x )＝f (2－x )， 又f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (2＋x )， 故f (2＋x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f (x )， 即函数y ＝f (x )是周期为4的周期函数． 又由题意可知f (0)＝0，f (1)＝2，所以f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0. 又50＝12×4＋2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×0＋2＋0＝2.故选C.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，可知函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.] 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能数的周期，则kTk ∈Z 也是函数的周期(2019·泉州检测)奇函数则f (4)＋f (5)＝________.2[∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是奇函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.]函数性质的综合应用►考法1 单调性与奇偶性结合【例3】函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)为减函数，且f(－1)＝1，若f(x－2)≥－1，则x的取值范围是( )A．(－∞，3] B．(－∞，1]C．[3，＋∞) D．[1，＋∞)A[函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是[0，＋∞)上的减函数，故函数f(x)在R上单调递减．又f(－1)＝1，所以f(1)＝－1，因此f(x－2)≥－1⇔f(x－2)≥f(1)⇔x－2≤1⇔x≤3，所以x的取值范围是(－∞，3]，故选A.]►考法2 周期性与奇偶性结合【例4】(1)(2019·四川模拟)设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈[4,6]时f(x)＝2x＋1，则f(x)在区间[－2,0]上的表达式为( )A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝－2－x＋4－1C．f(x)＝2－x＋4＋1 D．f(x)＝2－x＋1(2)(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.(1)B (2)6 [(1)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，∴－x＋4∈[4,6]．又∵当x∈[4,6]时，f(x)＝2x＋1，∴f(－x＋4)＝2－x＋4＋1.又∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为T＝4，∴f(－x＋4)＝f(－x)．又∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋4＋1，∴当x∈[－2,0]时，f(x)＝－2－x＋4－1.故选B.(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.] ►考法3 奇偶性、周期性、单调性的综合【例5】 (2019·惠州调研)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1＜x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (7)，b ＝f (11)，c ＝f (2 018)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜aB [由①知函数f (x )在区间[4,8]上为单调递增函数；由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以c ＝f (2 018)＝f (252×8＋2)＝f (2)，b ＝f (11)＝f (3)；由③可知函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (2)＝f (6)．因为函数f (x )在区间[4,8]上为单调递增函数，所以f (5)＜f (6)＜f (7)，即b ＜c ＜a ，故选B.] 函数单调性与奇偶性结合称性.周期性与奇偶性结合所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解周期性、奇偶性与单调性结合然后利用奇偶性和单调性求解(1)若f (x )在[－1,0]上单调递减，则函数f (x )在[3,5]上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减的函数 D ．先减后增的函数(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (x )＞0的解集为________．(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＞13或x ＜－13 [(1)已知f (x ＋1)＝－f (x )，则函数周期T ＝2，因为函数f (x )是R 上的偶函数，在[－1,0]上单调递减，所以函数f (x )在[0,1]上单调递增，即函数f (x )在[3,5]上是先减后增的函数．故选D.(2)由已知f (x )在R 上为偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0， ∴f (x )＞0等价于f (|x |)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 又f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴|x |＞13，即x ＞13或x ＜－13.]1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,4]D ．[1,3]D [∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减， ∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.故选D.]2．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数C [A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )， ∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )， ∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．]3.(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.12[法一：令x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．∴f(2)＝2×23－22＝12.法二：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]4．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.1[∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－x ln(－x＋a＋x2)－x ln(x＋a＋x2)＝0恒成立，∴x ln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a ＝1.]5．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x 的取值范围是________．(－1,3)[∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.]。

第3讲函数的奇偶性与周期性板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 函数的奇偶性考点2 函数的周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[必会结论]1．函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f (x )在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0. (2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．周期性的三个常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .(a >0) 3．对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( ) (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( ) (3)函数y ＝1－x ＋x －1既是奇函数又是偶函数．( )(4)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2018)＝2018.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．[2017·北京高考]已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数 答案 A解析 ∵函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数．∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，∴函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数．又∵y ＝3x在R 上是增函数，∴函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．故选A.3．[课本改编]如果f (x )是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( )A ．y ＝x ＋f (x )B ．y ＝xf (x )C ．y ＝x 2＋f (x ) D ．y ＝x 2f (x )答案 B解析 设g (x )＝xf (x )．因为f (－x )＝－f (x )，所以g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )， 所以g (－x )＝g (x )，所以B 正确．4．[课本改编]若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.答案 13解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13.又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为偶函数，所以二次函数的对称轴－b2a ＝0，易得b ＝0.5．[2016·四川高考]若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.答案 －2解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又∵f (x )的周期为2，∴f (2)＝0， 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2.6．[2018·沈阳模拟]已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析 ∵f (2)＝0，f (x －1)>0， ∴f (x －1)>f (2)，又∵f (x )是偶函数，∴f (|x －1|)>f (2)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴|x －1|<2，∴－2<x －1<2，∴－1<x <3，∴x ∈(－1,3)．板块二 典例探究·考向突破 考向函数奇偶性的判断例 1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2－|x |＋1，x ∈[－1,4]； (2)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解 (1)由于f (x )＝x 2－|x |＋1，x ∈[－1,4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f (x )是非奇非偶函数．(2)定义域是R ，关于原点对称， 且f (－x )＝log 2(－x ＋x 2＋1) ＝log 21x ＋x 2＋1＝－log 2(x ＋x 2＋1) ＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．触类旁通判断函数奇偶性的必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．【变式训练1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (2)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.解 (1)定义域为{x |x ＝±1}，化简得f (x )＝0， 故f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)∵－2≤x ≤2且x ≠0，∴f (x )＝4－x2x，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．考向函数奇偶性的应用命题角度1 利用奇偶性求函数值例 2 已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)等于( ) A ．－26B ．－18C ．－10D ．10答案 A解析 解法一：令g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ，易知g (x )是R 上的奇函数，从而g (－2)＝－g (2)，又f (x )＝g (x )－8，∴f (－2)＝g (－2)－8＝10，∴g (－2)＝18， ∴g (2)＝－g (－2)＝－18. ∴f (2)＝g (2)－8＝－18－8＝－26. 解法二：由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝(－2)5＋a (－2)3＋b (－2)－8， ①f (2)＝25＋a ·23＋b ·2－8， ②①＋②得f (2)＋f (－2)＝－16.又f (－2)＝10， ∴f (2)＝－26.命题角度2 利用奇偶性求参数值例 3 [2015·全国卷Ⅰ]若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 解法一：由题意得f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝－x ln(a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x，解得a ＝1.解法二：由f (x )为偶函数有ln (x ＋a ＋x 2)为奇函数，令g (x )＝ln (x ＋a ＋x 2)，有g (－x )＝－g (x )，以下同解法一．命题角度3 利用奇偶性求解析式例 4 f (x )为R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式． 解 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－2(－x )2＋3(－x )＋1＝－2x 2－3x ＋1. 由于f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )，所以当x <0时，f (x )＝2x 2＋3x －1. 因为f (x )为R 上的奇函数，故f (0)＝0. 综上可得f (x )的解析式为f (x )＝⎝⎛－2x 2＋3x ＋1，x >0，0，x ＝0，2x 2＋3x －1，x <0.命题角度4 利用奇偶性的图象特征解不等式例 5 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案 C解析∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2<a<1.触类旁通应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．考向函数奇偶性与周期性的综合问题例 6 (1)[2017·山东高考]已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.答案 6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.(2)奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2018)＋f(2019)＋f(2020)的值为________．答案－1解析函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，由f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]知f(1)＝1，f(2)＝0，又f(x)的周期为4，所以f(2018)＋f(2019)＋f(2020)＝f(2)＋f(3)＋f(0)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.触类旁通奇偶性与周期性综合问题的解题策略函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【变式训练2】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝_______.答案 2.5解析 由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )，故函数f (x )的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5.∴f (105.5)＝2.5.核心规律1.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．2.奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )∓f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)． 满分策略1.函数具有奇偶性的一个必要条件是函数定义域关于原点对称，因此判断函数的奇偶性不可忽视函数定义域．2.函数f (x )是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0，使f (－x 0)＝－f (x 0)．同样偶函数也是如此．3.判断分段函数奇偶性时，要以整体观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇(偶)函数，而否定函数在整个定义域上的奇偶性.板块三 启智培优·破译高考题型技法系列3——利用函数的奇偶性解抽象不等式[2016·天津高考]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．解题视点 由已知可得出f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且f (－2)＝f (2)，利用单调性将f (2|a －1|)>f (2)转化为2|a －1|<2，解该不等式即可．解析 ∵f (x )是偶函数且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且f (－2)＝f (2)， ∴原不等式可化为f (2|a －1|)>f (2)．故有2|a －1|<2，即|a －1|<12，解得12<a <32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32答题启示 解与函数有关的不等式问题，常利用奇函数在对称单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称单调区间上有相反的单调性，利用题目已知条件，转化为不等式问题来求解，而解有关抽象函数不等式问题，也是充分利用函数的奇偶性和单调性求解.跟踪训练[2018·贵阳适应性监测]若f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 3－8，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |－2<x <0或x >2}B ．{x |0<x <2或x >4}C ．{x |x <0或2<x <4}D ．{x |x <－2或x >2} 答案 B解析 当x ＝2时，有f (2)＝0，又因为f (x )为奇函数，所以f (－2)＝0，作出f (x )的大致图象，由图象可知，当－2<x －2<0或x －2>2，即0<x <2或x >4时，有f (x －2)>0.故选B.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·合肥质检]下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |答案 B解析 因为y ＝x 3是奇函数，y ＝|x |＋1，y ＝－x 2＋1，y ＝2－|x |均为偶函数，所以A 错误；又因为y ＝－x 2＋1，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在(0，＋∞)上均为减函数，只有y ＝|x |＋1在(0，＋∞)上为增函数，所以C ，D 两项错误，只有B 正确．2．[2018·南宁模拟]设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．f (x )|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|g (x )是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案 B解析 f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，|f (x )g (x )|为偶函数．故选B.3．[2017·齐鲁名校模拟]已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54C.54 D ．3答案 A解析 因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.4．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，43 答案 B解析 因为偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在区间(－∞，0]上单调递增，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，则－53<2x －1<53，解得－13<x <43. 5．已知f (x )为奇函数，当x >0，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0，f (x )等于( ) A ．－x (1－x ) B ．x (1－x ) C ．－x (1＋x ) D ．x (1＋x )答案 B解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )．6．[2018·贵阳模拟]已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－2答案 B解析 设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0.故选B.7．[2018·德州模拟]设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )＋f (－x )x>0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,0)∪(0,1)答案 A 解析 由f (x )＋f (－x )x >0，可得2f (x )x >0，即f (x )x>0， 当x <0时，f (x )<0，即f (x )<f (－1)，解得－1<x <0； 当x >0时，f (x )>0，即f (x )>f (1)，解得x >1. 故不等式f (x )＋f (－x )x>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 8．[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.答案 12解析 解法一：令x >0，则－x <0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x >0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12.解法二：f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.9．[2017·豫东十校联考]若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝________.答案 12解析 依题意得f (1)＋f (－1)＝0，由此得121－1＋a ＋12－1－1＋a ＝0，解得a ＝12.10．[2018·衡水模拟]已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.答案 －1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1， ∴f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]，∴f (－1)＝－3. 因此g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.[B 级 知能提升]1．[2018·金版创新]已知函数f (x )是定义在R 上的函数，若函数f (x ＋2016)为偶函数，且f (x )对任意x 1，x 2∈[2016，＋∞)(x 1≠x 2)，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (2019)<f (2014)<f (2017)B ．f (2017)<f (2014)<f (2019)C ．f (2014)<f (2017)<f (2019)D ．f (2019)<f (2017)<f (2014)答案 A解析 因为f (x )对任意x 1，x 2∈[2016，＋∞)(x 1≠x 2)，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，所以f (x )在[2016，＋∞)上单调递减，所以f (2017)>f (2018)>f (2019)．又因为f (x ＋2016)为偶函数，所以f (－x ＋2016)＝f (x ＋2016)，所以f (－2＋2016)＝f (2＋2016)，即f (2014)＝f (2018)，所以f (2017)>f (2014)>f (2019)．故选A.2．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x ) 答案 D解析 由f (x )＋g (x )＝e x ，可得f (－x )＋g (－x )＝e －x .又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可得f (x )－g (x )＝e －x ，则两式相减，可得g (x )＝e x －e －x 2.选D. 3．[2018·苏州模拟]定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)·f (x )＝1对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，则f (119)＝________.答案 1解析 ∵f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴周期T ＝4，f (119)＝f (3)．令x ＝－1，f (1)f (－1)＝1， ∴f (1)＝1，f (3)＝1f (1)＝1. 4．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解 ∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.① 又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f (x )在[－2,2]上递减， ∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，解得－2<m <1.② 综合①②可知－1≤m ＜1.即实数m 的取值范围是[－1,1)．5．[2018·大同检测]函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．。

第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x )，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a(a＞0)．(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a＞0)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点． ( )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( ) (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( ) (4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )(a ＞0)，则f (x )是周期为2a 的周期函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13C.12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin xD [A 项，定义域为R ，f (－x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，为奇函数，故不符合题意；B 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；C 项，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－sin x ，－f (x )＝－x 2－sin x ，因为f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，故为非奇非偶函数．]4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2B [∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (8)＝f (0)＝0.]5．(教材改编)已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b ，－a ]上有( )A ．最大值4B ．最小值－4C ．最大值－3D ．最小值－3B [法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B.法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]， 由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )， 即－3≤－f (x )≤4， ∴－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上f (x )min ＝－4，f (x )m ax ＝3，故选B.](对应学生用书第14页)【例1】 (1)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数C [对于A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，A 错．对于B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|·g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错．对于C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )·|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．对于D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．] (2)判断下列函数的奇偶性． ①f (x )＝lgx －1x ＋1；②f (x )＝ln(x 2＋1＋x )； ③f (x )＝1－x 2＋x 2－1；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0x 2－x ，x ＜0.[解] ①由x －1x ＋1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．又f (－x )＝lg －x －1－x ＋1＝lg x ＋1x －1＝－lg x －1x ＋1＝－f (x )∴f (x )为奇函数． ②f (x )的定义域为R ，f (－x )＝(ln x 2＋1－x )＝ln1x 2＋1＋x＝－ln(x 2＋1＋x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．③由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， ∴f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．④易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇× (1)论错误的是( )A ．|g (x )|是偶函数B ．f (x )g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是偶函数D ．f (x )＋g (x )是奇函数D [f (－x )＝e －x＋e x＝f (x )，f (x )为偶函数．g (－x )＝e －x －e x ＝－g (x )，g (x )为奇函数．|g (－x )|＝|－g (x )|＝|g (x )|，|g (x )|为偶函数，A 正确；f (－x )g (－x )＝f (x )[－g (x )]＝－f (x )g (x )，所以f (x )g (x )为奇函数，B 正确；f (－x )|g (－x )|＝f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是偶函数，C 正确；f (x )＋g (x )＝2e x ，f (－x )＋g (－x )＝2e －x ≠－(f (x )＋g (x ))，且f (－x )＋g (－x )＝2e －x≠f (x )＋g (x )，所以f (x )＋g (x )既不是奇函数也不是偶函数，D 错误，故选D.] (2)判断下列函数的奇偶性 ①f (x )＝ln(e ＋x )＋ln(e －x )； ②f (x )＝2x＋12x －1；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ＜0－x 2＋1，x ＞0.[解] ①由⎩⎪⎨⎪⎧e ＋x ＞0，e －x ＞0，得－e ＜x ＜e ，即函数f (x )的定义域为(－e ，e)，关于原点对称．又f (－x )＝ln(e －x )＋ln(e ＋x )＝f (x )， 所以函数f (x )是偶函数．②由2x－1≠0得x ≠0，即函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 又f (－x )＝2－x＋12－x －1＝1＋2x 1－2x ＝－2x＋12x－1＝－f (x )， 所以函数f (x )是奇函数．③函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝－f (x )， 当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2＋1＝－x 2＋1＝－f (x )， 综上所述，f (－x )＝－f (x )．因此函数f (x )是奇函数．【例2】 1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________. (3)函数f (x )＝x ＋x ＋ax3为奇函数，则a ＝________.(1)－2 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0－x 2－4x ，x ≤0(3)－1 [(1)由f (a )＝ln(1＋a 2－a )＋1＝4，得ln(1＋a 2－a )＝3，所以f (－a )＝ln(1＋a 2＋a )＋1＝－ln11＋a 2＋a＋1＝－ln(1＋a 2－a )＋1＝－3＋1＝－2.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， 即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，－x 2－4x ，x ≤0.(3)由题意得f (－1)＋f (1)＝0，即2(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，经检验，a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．]求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出求解析式中的参数：xf －x ＝数的恒等式，由多项式恒等列出关于参数的方程或方程组，进而得出参数的值，也可利用特－＝±直接求参数的值画函数图象：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象(1)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋，x ≥0，g x ，x ＜0，则g (f (－8))＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2(2)已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1D ．－2(3)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________.(4)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (1)＝________.(1)A (2)B (3)⎩⎪⎨⎪⎧e－x －1－x ，x ≤0e x －1＋x ，x ＞0 (4)52[(1)因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1.(2)设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0.故选B.(3)当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x ，又f (－x )＝f (x )，因此f (x )＝ex －1＋x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0e x －1＋x ，x ＞0.(4)由题意知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1. 所以当x ≤0时，f (x )＝2x＋2x －1，所以f (1)＝－f (－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52.]【例3】 0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值为( ) A.12 B.14 C ．－14D ．－12(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f x，则f (2 018)＝( )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3(3)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f x，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为________．(1)A (2)A (3)1 348 [(1)由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12，故选A. (2)由f (x ＋2)＝1－fx得f (x ＋4)＝f (x )．所以函数f (x )的周期为4，所以f (2 018)＝f (2)． 又f (4)＝f (2＋2)＝1－f＝2－3，所以－f (2)＝12－3＝2＋3，即f (2)＝－2－3，故选A.(3)∵f (x ＋2)＝－1f x， ∴f (x ＋4)＝－1fx ＋＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4. 又x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1， ∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f＝－1，f (4)＝－1f＝－13.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2) ＝504⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3－1－13＋1＋3 ＝1 348.] 判断函数周期性的方法f x ＝f xT便可证明函数是周期函数，且周期为f x 定义域内任一自变量的值x ，函数周期性的应用,根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性可将未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上，在解决具体问题时，要注意结论：若kT k ∈也是函数的周期已知定义在上的函数且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则下列函数值为1的是( )A ．f (2.5)B ．f (f (2.5))C ．f (f (1.5))D ．f (2)(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.(1)D (2)1 010 [(1)由f (x ＋1)＝－f (x )知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，于是f (x )是以2为周期的周期函数，从而f (2.5)＝f (0.5)＝－1，f (f (2.5))＝f (－1)＝f (1)＝－1，f (f (1.5))＝f (f (－0.5))＝f (1)＝－1，f (2)＝f (0)＝1，故选D.(2)∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期T ＝2.又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，∴f (0)＝0，f (1)＝1，f (0)＋f (1)＝1. ∴f (0)＋f (1)＝f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＝…＝f (2 018)＋f (2 019)＝1， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝1 010.]►考法1 奇偶性与单调性结合【例4】(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]D [∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.]►考法2 奇偶性与周期性结合【例5】(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.6[∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.]►考法3 奇偶性、周期性与单调性结合【例6】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)D[因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D.](1)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 (2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x )f (x ＋2)＝－1，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.(3)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1]上单调递增，设a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________．(1)A (2)2.5 (3)a ＞b ＞c [(1)因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称， 又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以|2x －1|＜13，所以13＜x ＜23.(2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1fx ＋＝－1－1f x＝f (x )，故函数f (x )的周期为4.所以f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)， 因为2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. 所以f (105.5)＝2.5(3)由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则f (3)＝f (1)，f (2)＝f (0)，f (2)＝f (2－2)＝f (2－2)，由于0＜2－2＜1，且函数f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (3)＞f (2)＞f (2)，即a ＞b ＞c .]1．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.12 [法一：令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．∴f(2)＝2×23－22＝12.法二：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]2．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.1[∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－x ln(－x＋a＋x2)－x ln(x＋a＋x2)＝0恒成立，∴x ln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.]自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

§2.3函数的奇偶性与周期性最新考纲考情考向分析1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数关于坐标原点对称偶函数设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数关于y轴对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)．(2)f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)．(3)f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )．提示 (1)T ＝2|a |；(2)T ＝2|a |；(3)T ＝|a －b |.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( × )(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × ) (3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) 题组二 教材改编2．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝______. 答案 －2解析 f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2.3．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝______. 答案 1解析 f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 4.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．答案 (－2,0)∪(2,5]解析 由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0. 综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]． 题组三 易错自纠5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13C.12D ．－12答案 B解析 ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.6．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 答案 3解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)． 又f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (1)＝f (3)．∴f (－1)＝3.题型一 函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2＋x 2－36； (2)f (x )＝ln (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧36－x 2≥0，x 2－36≥0，得x 2＝36，解得x ＝±6，即函数f (x )的定义域为{－6,6}，关于原点对称， ∴f (x )＝36－x 2＋x 2－36＝0. ∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝ln (1－x 2)－x .又∵f (－x )＝ln[1－(－x )2]x ＝ln (1－x 2)x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()A．f(x)＝x＋sin2x B．f(x)＝x2－cos xC．f(x)＝3x－13x D．f(x)＝x2＋tan x答案 D解析对于选项A，函数的定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin2x为奇函数；对于选项B，函数的定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，所以f(x)＝x2－cos x为偶函数；对于选项C，函数的定义域为R，f(－x)＝3－x－13－x＝－⎝⎛⎭⎫3x－13x＝－f(x)，所以f(x)＝3x－13x为奇函数；只有f(x)＝x2＋tan x既不是奇函数也不是偶函数．故选D.(2)函数f(x)＝lg|sin x|是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数答案 C解析易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sin x|＝lg|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sin x|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数．题型二函数的周期性及其应用1．(2018·抚顺模拟)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.答案－2解析f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2020)＝________. 答案 －2－ 3解析 由f (x ＋2)＝1－f (x )，得f (x ＋4)＝1－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (2020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2020)＝－2－ 3.3．(2017·山东)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 答案 6解析 ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.4．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案2－1解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2， 则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋0＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＝122－1＋20－1＝2－1.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．题型三 函数性质的综合应用命题点1 求函数值或函数解析式例2(1)设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2， 则f (2021)＝________. 答案 －12解析 设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋b ＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2021)＝f (1)＝12×1－1＝－12.(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则f (x )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧e－x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0 解析 ∵当x >0时，－x <0， ∴f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.命题点2 求参数问题例3(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________. 答案 1解析 ∵f (－x )＝f (x )，∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)， ∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0. ∴ln a ＝0，∴a ＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.(3)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋ax －1－a ，若函数f (x )为R 上的减函数，则a 的取值范围是____________． 答案 [－1,0]解析 因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，若函数f (x )为R 上的减函数，则满足当x >0时，函数为减函数，且－1－a ≤0，此时⎩⎪⎨⎪⎧－a －2＝a 2≤0，－1－a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ≥－1，即－1≤a ≤0. 命题点3 利用函数的性质解不等式例4(1)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若f (ln x )<f (2)，则x 的取值范围是( ) A ．(0，e 2) B ．(e －2，＋∞) C ．(e 2，＋∞) D ．(e －2，e 2)答案 D解析 根据题意知，f (x )为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f (ln x )<f (2)⇔|ln x |<2，即－2<ln x <2，解得e －2<x <e 2，即x 的取值范围是(e －2，e 2)． (2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为______________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，1解析 由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)．当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2， 因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x 2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0， 解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.思维升华 解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．跟踪训练2(1)定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f (x )＝12log (1－x )，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32内是( ) A ．减函数且f (x )>0 B ．减函数且f (x )<0 C ．增函数且f (x )>0 D ．增函数且f (x )<0答案 D解析 当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，由f (x )＝12log (1－x )可知，f (x )单调递增且f (x )>0，又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎡⎭⎫－12，0上函数也单调递增，且f (x )<0.由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )知，函数的周期为32，所以在区间⎝⎛⎭⎫1，32上，函数单调递增且f (x )<0.故选D. (2)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝________. 答案 －12解析 由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. (3)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (6－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________． 答案 (－3,2)解析 ∵g (x )是奇函数，∴当x >0时，g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，易知f (x )在R 上是增函数， 由f (6－x 2)>f (x )，可得6－x 2>x ， 即x 2＋x －6<0，∴－3<x <2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 一、函数性质的判断例1(1)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)上单调递增 B ．f (x )在(0,2)上单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称 答案 C解析 f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln [x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． 又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． ∴选项A ，B 错误；∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确；∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )]＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0， ∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D 错误． 故选C. (2)下列函数：①y ＝sin 3x ＋3sin x; ②y ＝1e x ＋1－12；③y ＝lg 1－x1＋x ；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x －1，x >0.其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的是________． 答案 ②③解析 易知①中函数在(0,1)上为增函数；④中函数不是奇函数；满足条件的函数为②③.(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案①②③解析由f(x)＋f(x＋2)＝0可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的最小正周期是4，①对；由f(4－x)＝f(x)，可得f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，②对；f(4－x)＝f(－x)且f(4－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，③对．二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案 C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则() A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)答案 D解析 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2，2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)． (3)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则满足f (a －2)>0的实数a 的取值范围为__________． 答案 {a |a >4或a <0}解析 ∵偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，f (2)＝0，∴不等式f (a －2)>0等价于f (|a －2|)>f (2)，即|a －2|>2，即a －2>2或a －2<－2，解得a >4或a <0.1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝1x 2C ．f (x )＝2x ＋2－x D ．f (x )＝－cos x答案 B解析 函数f (x )＝1x2是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)等于( ) A ．－3B ．－54C.54D ．3答案 A解析 由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0， 即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1， 则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 答案 D解析 由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证， ①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；②f (－(－x ))＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数．可知②④正确，故选D.4．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)等于( )A ．－2B ．0C ．2D ．1 答案 A解析 ∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2， ∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝124-＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 5．(2018·锦州调研)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( ) A ．(2，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，22∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞)答案 B解析 f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )>2＝f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12.6．已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是( ) A ．f (0)<f (－6.5)<f (－1) B ．f (－6.5)<f (0)<f (－1) C ．f (－1)<f (－6.5)<f (0) D ．f (－1)<f (0)<f (－6.5) 答案 A解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是2. ∵函数f (x )为偶函数，∴f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,1]上是单调递增的， ∴f (0)<f (0.5)<f (1)，即f (0)<f (－6.5)<f (－1)．7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.答案 －32解析 函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln(1＋e 3x )－lne 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，即－3x －ax ＝ax ，所以2ax ＋3x ＝0恒成立， 所以a ＝－32.8．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2的值为________． 答案 －ln2解析 由已知可得f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝ln 1e 2＝－2， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)． 又因为f (x )是奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)＝－f (2)＝－ln2. 9．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________． 答案 9解析 由于f (x )在[3,6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.10．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤1e ，e解析 由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ， 由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1)． 又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的， 所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e ≤t ≤e.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. ∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立，则f (2023)＝________. 答案 1解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )， 所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )， 即函数f (x )的周期是4，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)． 因为函数f (x )为偶函数， 所以f (2023)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2023)＝f (1)＝1.14．已知函数f (x )＝x 3＋2x ，若f (1)＋f (1log a3)>0(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (0,1)∪(3，＋∞)解析 因为函数f (x )＝x 3＋2x 是奇函数，且在R 上是增函数，f (1)＋f (1log a3)>0，所以f (1log a3)>－f (1)＝f (－1)，所以1log a 3>－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1a >1，0<a <3或⎩⎪⎨⎪⎧0<1a <1，3<a ，所以a ∈(0,1)∪(3，＋∞)．15．已知函数f (x )＝sin x ＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，则mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx＋x －2，m ∈[－2,2]，此时，只需⎩⎪⎨⎪⎧h (－2)<0，h (2)<0即可，解得－2<x <23.16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝________. 答案 0解析 因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2020)＝0.。