6.函数的奇偶性与周期性考点及题型

第6讲模块复习：函数的奇偶性与周期性教案 第6讲：《函数的奇偶性与周期性》教案一、教学目标1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判定奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．二、知识梳理1．函数奇偶性的定义设函数y ＝f(x)的定义域为A.假如关于任意的x ∈A ，都有__________，则称f(x)为奇函数；假如关于任意的x ∈A 都有__________，则称f(x)为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝____；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝____.(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于______对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有______的单调性．3．函数的周期性(1)定义：假如存在一个非零常数T ，使得关于函数定义域内的任意x ，都有f(x ＋T )＝______，则称f(x)为______函数，其中T 称作f(x)的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________．(2)性质： ①f(x ＋T )＝f(x)常常写作f(x ＋T 2)＝f(x －T 2)．②假如T 是函数y ＝f(x)的周期，则kT(k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f(x)的周期，即f(x ＋kT )＝f(x)．③若关于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x 都有f(x ＋a)＝－f(x)或f(x ＋a)＝1f x 或f(x ＋a)＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周期函数．三、题型突破题型一 函数奇偶性的判定例1 判定下列函数的奇偶性． (1)1()(1)1x f x x x -=++； (2)11()()212x f x x =+-； (3) 22()log (1)f x x x =++；(4) 22,0(),0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ 变式迁移1 判定下列函数的奇偶性．(1) 23()f x x x =-；(2) 22()11f x x x =-+-；(3) 24()33x f x x -=+-. 题型二 函数单调性与奇偶性的综合应用例2 已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范畴是________．变式迁移2 已知函数3()f x x x =+，对任意的[]2,2m ∈-，(2)()0f mx f x -+<恒成立，则x 的取值范畴为________． 题型三 函数性质的综合应用例3 已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程()(0)f x m m =>，在区间[－8,8]上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++＝________.四、针对训练(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)[来源:学|科|网Z|X|X|K]1．已知2()f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数，那么a b +的值为________．2．已知定义域为{}0x x ≠的函数()f x 为偶函数，且()f x 在区间(),0-∞上是增函数，若(3)0f -=，则()0f x x <的解集为________________． 3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，并满足1(2)()f x f x +=-，当1≤x ≤2时，()2f x x =-，则(6.5)f = ________.4．设()f x 为定义在R 上的奇函数．当0x ≥时，()22x f x x b =++ (b 为常数)，则(1)f -＝________.5．设函数()f x 满足：①(1)y f x =+是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则(1)f -与(2)f 大小关系为____________________．6．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x +=，若(1)2f =，则(99)f = .7．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 满足(3)()f x f x +=，且(1)1f >，23(2)1m f m -=+，则m 的取值范畴为________________． 8．函数3()812f x x x =+-在区间[]3,3-上的最大值与最小值之和是 ．二、解答题(共42分)9．(14分)已知()f x 是定义在[－6,6]上的奇函数，且()f x 在[0,3]上是x 的一次式，在[3,6]上是x 的二次式，且当3≤x ≤6时，()f x ≤(5)f ＝3，(6)f ＝2，求()f x 的表达式．10．(14分)设函数2()21(33)f x x x x =---≤≤，(1)证明()f x 是偶函数；(2)画出那个函数的图象；(3)指出函数()f x 的单调区间，并说明在各个单调区间上()f x 是增函数依旧减函数；(4)求函数的值域．11．(14分)已知函数2()a f x x x=+ (x ≠0，常数a ∈R)．(1)讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若函数()f x 在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范畴．五、参考答案二、知识梳理1．f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 2.(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3.(1)f(x) 周期 最小正周期 (2)③2a三、题型突破例1 解题导引 判定函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义判定．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y 轴对称，则f(x)为偶函数．(3)差不多函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．解 (1)定义域要求1－x 1＋x≥0且x ≠－1， ∴－1<x ≤1，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(－x)＝－x(12－x －1＋12) ＝－x(2x 1－2x ＋12)＝x(2x 2x －1－12) ＝x(12x －1＋12)＝f(x)． ∴f(x)是偶函数．(3)函数定义域为R.∵f(－x)＝log2(－x ＋x2＋1)＝log21x ＋x2＋1＝－log2(x ＋x2＋1)＝－f(x)，[来源:学&科&网Z&X&X&K]∴f(x)是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x ＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x ＝x2－x ＝－(－x2＋x)＝－f(x)．∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．故f(x)为奇函数．变式迁移1 解 (1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x2≥0|x ＋3|≠3得，f(x)定义域为[－2,0)∪(0,2]． ∴定义域关于原点对称， 又f(x)＝4－x2x ，f(－x)＝－4－x2x ，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． 例2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．解 偶函数满足f(x)＝f(|x|)，依照那个结论，有f(2x －1)< f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 ⇔ f(|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 进而转化为不等式|2x －1|<13，解那个不等式即得x 的取值范畴是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 变式迁移2 (－2，23)解析 易知f(x)在R 上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx －2)＋f(x)<0，等价于f(mx －2)<－f(x)＝f(－x)，现在应用mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h(m)＝mx ＋x －2， 现在，只需⎩⎪⎨⎪⎧ h －2<0h 2<0即可，解得x ∈(－2，23)． 例3 解题导引 解决此类抽象函数问题，依照函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．答案 －8解析 因为定义在R 上的奇函数，满足f(x －4)＝－f(x)，因此f(4－x)＝f(x)．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f(0)＝0，由f(x －4)＝－f(x)知f(x －8)＝f(x)，因此函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，因此f(x)在[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，因此x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.四、针对训练 1.13 解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝－2a b ＝0，∴⎩⎨⎧ a ＝13b ＝0， ∴a ＋b ＝13. 2．(－3,0)∪(3，＋∞) 解析 由已知条件，可得函数f(x)的图象大致为下图，故f x x <0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．3．－0.5[来源:学,科,网Z,X,X,K]解析 由f(x ＋2)＝－1f x ，得f(x ＋4)＝－1f x ＋2＝f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因为f(x)是偶函数，则f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．而1≤x ≤2时，f(x)＝x －2，∴f(1.5)＝－0.5.综上知，f(6.5)＝－0.5.4．－3解析 因为奇函数f(x)在x ＝0有定义，因此f(0)＝20＋2×0＋b ＝b ＋1＝0，b ＝－1.因此f(x)＝2x ＋2x －1，f(1)＝3，从而f(－1)＝－f(1)＝－3.5．f(－1)>f(2)解析 由y ＝f(x ＋1)是偶函数，得到y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，∴f(－1)＝f(3)．又f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f(3)>f(2)，即f(－1)>f(2)．6．132 解析 由()(2)13f x f x +=，得(4)(2)13f x f x ++=，因此(4)()f x f x +=，即()f x 是周期函数且周期为4，因此1313(99)(4243)(3)(1)2f f f f =⨯+===． 7．(－1，23)解析 ∵f(x ＋3)＝f(x)， ∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)．∵f(x)为奇函数，且f(1)>1，∴f(－1)＝－f(1)<－1，∴2m －3m ＋1<－1. 解得：－1<m<23.8．16解析 设在区间[]3,3-上()x f 的最大值为M,最小值为m ，再设()()()x g x f x g ,8-=的最大值为M-8,最小值为m-8,又()312x x x g -=是奇函数，因此在区间[]3,3-上()(),0min max =+x g x g 即()()16m 08-m 8=+=+-M M ，.9．解 由题意，当3≤x ≤6时，设f(x)＝a(x －5)2＋3，∵f(6)＝2，∴2＝a(6－5)2＋3.∴a ＝－1.∴f(x)＝－(x －5)2＋3(3≤x ≤6)．………………………………………………………(4分)∴f(3)＝－(3－5)2＋3＝－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1)两点．∴f(x)＝－13x(0≤x ≤3)．…………………………………………………………………(8分)当－3≤x ≤0时，－x ∈[0,3]，∴f(－x)＝－13(－x)＝13x.又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－13x.∴f(x)＝－13x(－3≤x ≤3)．……………………………………………………………(10分)[来源:ZXX K]当－6≤x ≤－3时，3≤－x ≤6，∴f(－x)＝－(－x －5)2＋3＝－(x ＋5)2＋3.又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝(x ＋5)2－3.………………………………………………………………………(13分)∴f(x)＝⎩⎨⎧ x ＋52－3， －6≤x ≤－3，－13x －3<x<3，……………………………………………14分－x －52＋3， 3≤x ≤6.10．解 (1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．………………………………………………………(3分)(2)当x ≥0时，f(x)＝x2－2x －1＝(x －1)2－2，[来源:学+科+网Z+X+X +K]当x<0时，f(x)＝x2＋2x －1＝(x ＋1)2－2， 即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12－2， x ≥0，x ＋12－2， x<0. 依照二次函数的作图方法，可得函数图象如下图． ……………………………………………………………………………………………(7分)(3)由(2)中函数图象可知，函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．f(x)在[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．………………(10分)(4)当x ≥0时，函数f(x)＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；当x<0时，函数f(x)＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2； 故函数f(x)的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(14分)11．解 (1)当a ＝0时，f(x)＝x2对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．…………………………………………………………………………(2分)当a ≠0时，f(x)＝x2＋a x (x ≠0，常数a ∈R)，若x ＝±1时，则f(－1)＋f(1)＝2≠0；∴f(－1)≠－f(1)，又f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分)综上所述，当a ＝0时，f(x)为偶函数；当a ≠0时，f(x)为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分)(2)设2≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋a x1－x22－a x2 ＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，……………………………………………………………(10分)要使f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f(x1)－f(x2)<0恒成立． ∵x1－x2<0，x1x2>4，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立．………………………………………(12分)又∵x1＋x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16，∴a 的取值范畴为(－∞，16]．………………………………………………………(14分)。

函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳、基础知1．函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝f (x)?，那么函数f(x) 是偶函都有f(－x)＝－f(x)?，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y 轴对称关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：f －x(1) f(－x)＝f(x)? f(－x)－f(x)＝0? f x＝1?f(x)为偶函数；fx2．函数的周期性(1) 周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有T)＝f (x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T，使 f (x＋T) ＝f(x)为恒等式，即自变量x 每增加一个T后，就会重复出现一次．(2) 最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．二、常用结论(2)f(－x)＝－f(x)? f(－x)＋f(x)＝0? ＝－1? f(x)为奇函数．f(x＋函数值f(x)fx1．函数奇偶性常用结论(1) 如果函数 f(x)是奇函数且在 x ＝0 处有定义，则一定有 f(0) ＝0；如果函数 f(x)是偶函 数，那么 f(x)＝ f(|x|)．(2) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相 反的单调性．(3) 在公共定义域内有： 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶， 奇×奇＝偶， 偶×偶＝偶， 奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对 f(x) 定义域内任一自变量 x ：(1) 若 f(x ＋a)＝－ f(x)，则 T ＝2a(a>0)．1(2) 若 f(x ＋ a)＝ ，则 T ＝ 2a(a>0)． fx1 (3)若 f(x ＋a)＝－ f x ，则 T ＝2a(a>0)．fx3．函数图象的对称性(1) 若函数 y ＝ f(x ＋ a)是偶函数，即 f(a －x)＝f(a ＋x)，则函数 y ＝f( x)的图象关于直线 x ＝ a 对称．(2) 若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a －x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a ＋x)，则 y ＝f(x)的图象关于直 线 x ＝ a 对称．(3) 若函数 y ＝f(x ＋b)是奇函数，即 f(－x ＋b)＋f(x ＋b)＝0，则函数 y ＝f(x)关于点 (b,0)中 心对称．考点一 函数奇偶性的判断［典例 ］ 判断下列函数的奇偶性： 36－x 2(1) f(x)＝|x ＋3－|－3；(2) f(x)＝ 1－x 2＋ x 2－ 1； log 2 1－ x 2 (3)f(x)＝ |x －22－|－2 ；义域为 (－6,0)∪ (0,6］，定义域不关于原点对称，故 f(x)为非奇非偶函数．(4)f(x)＝x 2＋x ，x<0，x 2－x ，x>0.［解］ (1) 由 f(x)＝36－x 2≥0，|x ＋ 3|－－ 6 ≤ x ≤ 6，故函数 f( x)的定x ≠0且x ≠－6，|x ＋3|－31－x 2≥ 0，(2) 由 ? x 2＝1? x ＝±1，故函数 f(x)的定义域为 { － 1,1} ，关于原点对称， 且x 2－1≥0f(x)＝0，所以 f(－x)＝f(x)＝－ f(x)，所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数．1－ x 2>0 ， (3)由 ? －1<x<0 或 0<x<1，|x － 2|－ 2≠0定义域关于原点对称．2 2 2 log 2 1－ x log 2 1－x log 2 1－ x此时 f(x)＝ 2＝ 2＝－ 2x ， |x －2|－2 2－ x －2 x22log 2[1 － － x ] log 2 1－ x＝－ f(x) ，－x所以函数 f(x)为奇函数．(4) 法一：图象法故 f(－x)＝x 2－x ＝f(x)，故原函数是偶函数．法三： f(x)还可以写成 f(x)＝ x 2－ |x|(x ≠0)，故 f(x)为偶函数．[题组训练 ]1． (2018 福·建期末 )下列函数为偶函数的是 ( )πA ． y ＝ tan x ＋4 B ．y ＝x 2＋e |x|C ．y ＝xcos xD ． y ＝ ln|x|－ sin x解析：选 B 对于选项 πA ，易知 y ＝tan x ＋ 4 为非奇非偶函数；对于选项B ，设 f(x) ＝＋e |x|，则 f(－x)＝(－x)2＋e |－x|＝ x 2＋ e |x|＝ f (x)，所以 y ＝ x 2＋ e |x|为偶函数；对于选项 C ，设 f(x)＝xcos x ，则 f(－x)＝－ xcos(－x)＝－xcos x ＝－ f (x)，所以 y ＝ xcos x 为奇函数； 对于故有 f(－ x)＝－ 画出函数 f(x)＝x 2＋x ， x<0，故 f(x)为偶函数．法二：定义法x 2－x ， x>0的图象如图所示， 图象关于 y 轴对称，易知函数 f(x)的定义域为 (－∞，0)∪(0，＋ ∞ )，关于原点对称，当 x>0 时， f(x)＝ x 2－ x ， 则当 x<0 时，－ x>0，故 f(－x)＝x 2＋x ＝ f(x)； 当x<0 时， f(x) ＝ x 2＋ x ，则当 x>0 时，－ x<0，选项D，设 f(x)＝ln|x|－sin x ，则 f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2 ≠ f(2)，所以 y＝ln|x|－sin x 为非奇非偶函数，故选 B.e x － e－xf(x)＝ 2 ，则下列结论错误的是A ．|f(x)|是偶函数B ．－ f(x)是奇函数C ．f(x)|f(x)|是奇函数D ．f(|x|)f(x)是偶函数∴f(x)是奇函数． ∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴ f(|x|)f(x)是奇函数．考点二 函数奇偶性的应用［典例］ (1)(2019 福·建三明模拟 )函数 y ＝f(x)是 R 上的奇函数，当 x<0时， f(x)＝2x，则 当 x>0 时， f(x)＝ ( )A ．－ 2xB ．2－xC ．－ 2－xD ．2x(2)(2018 贵·阳摸底考试 )已知函数 f(x)＝a －e x ＋21(a ∈ R)是奇函数，则函数 f(x)的值域为()A ．(－1,1)B ． (－ 2,2)C ．(－3,3)D ． (－ 4,4)［解析］ (1)当 x>0 时，－ x<0，∵x<0时，f(x)＝2x ，∴当x>0 时，f(－x)＝2－x .∵f(x)是 R上的奇函数，∴当 x>0 时， f (x)＝－ f(－ x)＝－ 2－x2．设函数 解析： 选 D ∵f(x)＝e x－e－x则 f(－ x)＝e －x －e x＝－ f(x)．(2)法一： 由 f(x)是奇函数知 f(－x)＝－ f(x)，所以 a －2e－x＋1＝－ a ＋2e x ＋1，2得 2a ＝e x ＋ 12 1 e x 2 1 ＋－x，所以a＝x＋x＝1，所以f(x)＝1－x .因为 e ＋1>1，所以0< x<1，e－x＋1 e x＋1 e x＋1 e x＋ 1 e x＋1－1<1 －x2 <1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．e＋1法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所2 1 2以f(x)＝1－x .因为e x＋1>1，所以0< x <1，－1<1－x <1，所以函数f(x)的值域为e x＋1e x＋ 1 e x＋1(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3) 求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f(x) ±f(－x)＝0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组) ，进而得出参数的值．(4) 画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019 ·贵阳检测)若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0 时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝()A．2B．4C．－2 D ．－4解析：选C根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－ 2.2．已知函数f(x)为奇函数，当x>0 时，f(x)＝x2－x，则当x<0 时，函数 f (x)的最大值为解析：法一：当x<0 时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)1 1 1＝－f(－x)＝－x2－x＝－x＋22＋4，所以当x<0 时，函数f(x)的最大值为4.1 1 1法二：当x>0 时，f(x) ＝x2－x＝x－22－4，最小值为－4，因为函数f(x)为奇函数，所1以当x<0 时，函数f(x) 的最大值为4.答案：143．(2018 合·肥八中模拟)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝__ .解析：∵f(x)＝xln( x＋a＋x2)为偶函数，∴f (－x)＝f(x)，即－xln( a＋x2－x) ＝xln( x＋a＋x2)，从而ln［( a＋x2) 2－x2］＝0，即ln a＝0，故a＝ 1.答案：1考点三函数的周期性［典例］ (1)(2018 开·封期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2］时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 019)＝( )1A ． 5 B.2C．2 D ．－2(2)(2018 江·苏高考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2］上，f(x) ＝πxcos2，0<x≤2，2则f(f(15)) 的值为_____________________ ．1x＋2，－2<x≤0，［解析］ (1)由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为 4 的周期函数，所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－ 2.(2)由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，11所以f(15)＝f(－1)＝－1＋2＝2，所以f(f(15))＝ f 21＝cos4π＝22.［答案］ (1)D (2) 22[ 题组训练 ]1 1．(2019 山·西八校联考 )已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(x ＋2)＝－f x ，当2≤x ≤3 fx11时， f(x)＝x ，则 f － 2 ＝ _____ .1解析： ∵f(x ＋2)＝－ f x ，∴f(x ＋4)＝f(x)， fx55 － 1152 ＝ 2，∴f －2 ＝ 2.答案 ：522．(2019 哈·尔滨六中期中 )设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3的函数，当 x ∈[－2,1)时，f(x)4x 2－ 2，－ 2≤x ≤0，21 则f f 241 ＝ __________ .解析：21 3 3 3 1 1 1由题意可得 f 241 ＝f 6－34 ＝f －34 ＝ 4×－34 2－2＝1，f 1 ＝1. 答案： 14[课时跟踪检测 ]A 级1．下列函数为奇函数的是 ()31－ xA ． f(x)＝ x 3＋ 1B ．f(x)＝ln1＋xC ．f(x)＝e xD ． f(x)＝ xsin x解析： 选 B 对于 A ，f(－x)＝－x 3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于 B ，f(－ x)＝1 ＋ x 1－ x ln ＝－ ln ＝－ f(x)，所以其是奇函数；对于 C ，f(－ x)＝ e －x ≠ －f(x)，所以其不是奇函 1－ x1＋ x数；对于 D ，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x ＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.9x＋12． (2019 ·南昌联考 )函数 f(x)＝ 3x 的图象 ( )112f 25 ，又 2≤x ≤3 时，f(x)＝x ，1 4A ．403B ．405111又当 0≤ x ≤1 时， f(x)＝x 2－x ，所以 f 2 ＝ 2 2－ 2＝6．(2019 ·益阳、 湘潭调研 )定义在 R 上的函数 f(x)，满足 f(x ＋ 5)＝f(x)，当 x ∈(－3,0］时， f(x)＝－x －1，当 x ∈(0,2］时，f(x)＝log 2x ，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋⋯＋f(2 019)的值等于 ()A ．关于 x 轴对称 C ．关于坐标原点对称 B ．关于 y 轴对称 D ．关于直线 y ＝ x 对称解析： 选 B 因为 f(x)＝93＋x 1＝ 3x ＋ 3－x ，易知 f(x)为偶函数，所以函数 f(x)的图象关于y 轴对称．log 2 x ＋1 ，x ≥ 0，3．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)＝则 f(－ 7)＝( )gx ，x <0，A ．3B ．－ 3C ．2D ．－ 2解析： 选 B 因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，log 2 x ＋ 1 ，x ≥0， 且 f(x) ＝g x ， x <0，所以 f(－7)＝－ f(7)＝－log 2(7＋1)＝－ 3.4．若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)＋g(x)＝e x ，则 g(x)＝( )－1－A ．e x － e －xB.21(e x ＋e －x )1 － 1－C.21(e －x －e x )D.21(e x － e －x )解析： 选 D 因为 f(x)＋ g(x)＝e x ，所以 f(－ x)＋ g(－x)＝f(x)－ g(x)＝e －x ，1所以 g(x)＝2(e x － e －x )．5．设 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，当 50≤x ≤1 时， f(x)＝x 2－x ，则 f －2 ＝ ()A ．B ．C.14D.2解析： 选 C 因为 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，所以52＝1 2.15 14，则 f－2 14.解析：选 B 定义在R 上的函数f(x) ，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为 5.又当x ∈(0,2］时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0］时，f(x) ＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－ 1.故f(1) ＋f(2)＋ f (3)＋⋯＋f(2 019)＝403×［f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)］＋f(2 016) ＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2) ＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.17．已知函数f(x)是偶函数，当x> 0时，f(x)＝ln x，则 f f e2 的值为_____ ．11解析：由已知可得 f e2 ＝ln e12＝－2，1所以 f f e2 ＝f(－2)．又因为f(x)是偶函数，1所以 f f e2 ＝f(－2)＝f(2)＝ln 2.答案：ln 218．(2019 惠·州调研)已知函数f(x)＝x＋x－1，f(a)＝2，则f(－a)＝__ .x1解析：法一：因为f(x)＋1＝x＋x1，x设g(x)＝f(x)＋1＝x＋x1，1易判断g(x)＝x＋x为奇函数，11故g(x)＋g(－x)＝x＋x－x－x＝0，即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－ 2.所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－ 4.1法二：由已知得f(a)＝a＋1－1＝2，a1 1 1即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－a＋－1＝－3－1＝－ 4.a a a答案：－49．(2019 ·陕西一测)若函数f(x)＝ax＋b，x∈［a－4，a］的图象关于原点对称，则函数g(x)a＝bx ＋x ，x ∈［－4，－ 1］的值域为．x解析： 由函数 f(x)的图象关于原点对称，可得 a － 4＋a ＝0，即 a ＝2，则函数 f(x)＝2x ＋2b ，其定义域为 ［－2,2］，所以 f(0)＝0，所以 b ＝ 0，所以 g(x)＝x ，易知 g(x)在［－ 4，－ 1］上单1 调递减，故值域为 ［g(－1)，g(－4)］，即 －2，－ 2 .1答案 ： － 2，－ 1210．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 若当 x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x ，则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是 ____ ．解析： 当 x>0 时， lg x>0 ，所以 x>1，当 x<0 时，由奇函数的对称性得－ 1<x<0 ， 故填(－1,0)∪(1，＋ ∞)． 答案 ：(－1,0)∪(1，＋∞ )11．f(x)为 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－2x 2＋3x ＋1，求 f(x)的解析式．解：当 x<0 时，－ x>0，则 f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－ 2x 2－3x ＋1. 由于 f(x)是奇函数，故 f(x)＝－ f(－x)， 所以当 x<0 时， f(x)＝2x 2＋ 3x －1. 因为 f(x)为 R 上的奇函数，故 f(0)＝ 0.－2x 2＋ 3x ＋1，x>0， 综上可得 f(x)的解析式为 f(x)＝0， x ＝ 0，2x 2＋3x － 1， x<0.(1)证明 y ＝ f(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若 f(1)＝ 2，求 f(2)＋ f(3)的值． 33解： (1)证明：由 f 2＋ x ＝－ f 2－x ，且 f(－x)＝－ f(x)，知 f(3＋x)＝f 23＋ 23＋x所以 y ＝f(x)是周期函数，且 T ＝3 是其一个周期．(2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝ 0，且 f(－1)＝－f(1)＝－2，又 T ＝3 是 y ＝f(x)的一个周期，所以 f(2)＋f(3)＝f(－1)＋12．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数x 有f 23＋x ＝－f 23－x成立．＝－f 23－ 32＋x ＝－ f(－x)＝f(x)，f(0)＝ －2＋0＝－ 2.B 级1．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时， f(x)＝ x 3－ x ，则函数 y ＝f(x)的图象在区间 ［0,6］上与 x 轴的交点的个数为 ( )A ． 6B ．7C ．8D ． 9解析： 选 B 因为 f( x)是最小正周期为 2 的周期函数，且 0≤ x<2 时，f(x)＝x 3－x ＝x(x － 1)(x ＋1)，所以当 0≤x<2 时，f(x)＝0 有两个根，即 x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当 2≤x<4 时， f(x)＝0 有两个根，即 x 3＝ 2， x 4＝ 3；当4≤x ≤6 时， f(x)＝0 有三个根，即 x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，故 f(x)的图象在区间 ［0,6］上与 x 轴的交点个 数为 7.2．(2019 洛·阳统考 )若函数 f( x) ＝ ln(e x＋ 1)＋ ax 为偶函数，则实数 a ＝ .解析： 法一： (定义法 )∵函数 f(x)＝ ln(e x ＋ 1)＋ ax 为偶函数，∴ f(－ x)＝ f(x)，即 ln(e －x ＋ 1)－ax ＝ln(e x ＋1)＋ ax ，－xxe －x＋ 1 1∴2ax ＝ln(e －x ＋1)－ln(e x ＋1)＝ln e x ＋1 ＝ ln e x ＝－ x ，1∴ 2a ＝－ 1，解得 a ＝－ 12.法二： (特殊值法 )由题意知函数 f(x)的定义域为 R ，由 f(x)为偶函数得 f(－ 1)＝f(1)，－ 11 －1 1 e 1 ＋ 11 ∴ ln(e －1＋ 1)－a ＝ ln(e 1＋ 1)＋a ，∴ 2a ＝ln(e －1＋ 1)－ ln(e 1＋1) ＝ln e ＋1 ＝ln e ＝－ 1， e ＋ 1 e∴a ＝－ 1.21答案 ：－12－x 2＋2x ，x>0，3．已知函数 f(x) ＝0， x ＝0， x 2＋mx ， x<0是奇函数(1)求实数 m 的值；(2)若函数f(x)在区间［－1，a－2］上单调递增，求实数 a 的取值范围．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f( x)，于是x<0 时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在［－1，a－2］上单调递增，a －2>－ 1 ，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1< a≤3，a－2≤1，故实数 a 的取值范围是(1,3］．。

函数奇偶性和周期性一、必备知识：1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数:一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数． (2)奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即“定义域关于”是“一个函数具有奇偶性”的条件． 4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数对于函数f (x )，如果存在一个 T ，使得当x 取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期:如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．5．函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f (x )为奇函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ； (2)若函数f (x )为偶函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ． 6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ . 7．函数的对称性如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a ＋x )＝f (b －x )，那么函数的图象有对称轴x ＝a ＋b2；如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a －x )＝－f (b ＋x )，那么函数的图象有对称中心⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0.8．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a ，0)，B (b ，0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b ，0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |. 自查自纠：1．(1)f (－x )＝f (x ) (2)f (－x )＝－f (x ) 2．Y 轴 原点3．原点对称 原点对称 必要不充分4．(1)非零常数 每一个 f (x ＋T )＝f (x ) (2)最小 5．(1)增(减)函数 (2)减(增)函数 6．奇 偶 偶 偶 奇二、题型训练题组一 1．函数()2lg 1()22x f x x -=--是_____________函数。

1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数.关于y轴对称奇函数如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数.关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(√)(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)(5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)1．(2015·福建改编)下列函数中，①y＝x；②y＝|sin x|；③y＝cos x；④y＝e x－e－x为奇函数的是________．(填函数序号)答案 ④解析 对于④，f (x )＝e x －e －x 的定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，故y ＝e x －e －x 为奇函数．而y ＝x 的定义域为{x |x ≥0}，不具有对称性，故y ＝x 为非奇非偶函数．y ＝|sin x |和y ＝cos x 为偶函数．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________. 答案 0解析 由f (x ＋1)是偶函数得f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x －1)，即－f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，即f (x )＋f (x ＋2)＝0，所以f (1)＋f (3)＝0，f (2)＋f (4)＝0，因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0. 3．(2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为______________． 答案 c ＜a ＜b解析 由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0， 所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数， log 0.53＝－log 23，所以log 25＞|－log 23|＞0， 所以b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)．4．(2014·天津)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2， －1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f (32)＝________.答案 1解析 函数的周期是2， 所以f (32)＝f (32－2)＝f (－12)，根据题意得f (－12)＝－4×(－12)2＋2＝1.5．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x <0时，f (x )＝________. 答案 x (1－x )解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．题型一 判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0.解 (1)定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－(x 3－x ) ＝－f (x )， ∴函数为奇函数．(2)由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．(3)当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )．∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 均有f (－x )＝－f (x )．∴函数为奇函数．思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(1)下列四个函数：①f (x )＝－x |x |；②f (x )＝x 3；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝ln xx，同时满足以下两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的是________．(2)函数f (x )＝log a (2＋x )，g (x )＝log a (2－x )(a >0且a ≠1)，则函数F (x )＝f (x )＋g (x )，G (x )＝f (x )－g (x )分别是______________(填奇偶性)． 答案 (1)① (2)偶函数，奇函数解析 (1)①中，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x >0，x 2，x ≤0，由函数性质可知符合题中条件，故①正确；②中，对于比较熟悉的函数f (x )＝x 3可知不符合题意，故②不正确；③中，f (x )＝sin x 在定义域内不具有单调性，故②不正确；④中，定义域关于原点不对称，故④不正确． (2)F (x )，G (x )定义域均为(－2,2)，由已知F (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝log a (2－x )＋log a (2＋x )＝F (x )， G (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x ) ＝－G (x )，∴F (x )是偶函数，G (x )是奇函数．题型二 函数的周期性例2 (1)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________. (2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______.答案 (1)－1 (2)2.5解析 (1)因为f (x )是周期为3的周期函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋3＝f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝4×⎝⎛⎭⎫－122－2＝－1. (2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ， ②若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ，③若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝____________. 答案 12解析 ∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π， 又∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0， 即f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12.题型三 函数性质的综合应用命题点1 函数奇偶性的应用例3 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________.(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 (1)1 (2)1解析 (1)因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.命题点2 单调性与奇偶性、周期性结合例4 (1)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a的取值范围为________．(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系是__________________． 答案 (1)(－1,4) (2)f (－25)<f (80)<f (11)解析 (1)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4.(2)∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)， f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)． 由f (x )是定义在R 上的奇函数， 且满足f (x －4)＝－f (x )， 得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0,2]上是增函数， f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)<f (0)<f (1)， 即f (－25)<f (80)<f (11)．思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.(1)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (1)－32(2)(－5,0)∪(5，＋∞)解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln1＋e 3xe 3x ＋e 6x＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.①当x >0时，由f (x )>x 得x 2－4x >x ，解得x >5；②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x 得－x 2－4x >x ， 解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．2．忽视定义域致误典例 (1)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．易错分析 (1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易出现以下错误：由f (1－x 2)>f (2x )得1－x 2>2x ，忽视了1－x 2>0导致解答失误． 解析 (1)∵f (－x )＝k －2－x1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x ＋k，∴f (－x )＋f (x )＝(k －2x )(2x ＋k )＋(k ·2x －1)·(1＋k ·2x )(1＋k ·2x )(2x ＋k )＝(k 2－1)(22x ＋1)(1＋k ·2x )(2x ＋k ).由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1， ∴k ＝±1.(2)画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋2，得x ∈(－1，2－1)． 答案 (1)±1 (2)(－1，2－1)温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对变量所在区间的讨论．②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系．③弄清最终结果取并集还是交集．[方法与技巧]1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．利用函数奇偶性可以解决以下问题①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图象，确定函数单调性． 3．在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用． [失误与防范]1．f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．2．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．下列函数中，①y ＝log 2|x |；②y ＝cos 2x ；③y ＝2x －2－x 2；④y ＝log 22－x 2＋x ，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是________． 答案 ①解析 对于①，函数y ＝log 2|x |是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于②，函数y ＝cos 2x在区间(1,2)上不是增函数；对于③，函数y ＝2x －2－x 2不是偶函数；对于④，函数y ＝log 22－x2＋x 不是偶函数．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为________． 答案 －4解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1，∴f (x )＝3x －1.∵log 35>log 31＝0，∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝3log 5(31)－－＝－4.3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝________. 答案 －2解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2， 即f (2 019)＝－2.4．若函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )为偶函数，且函数y ＝f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的值为________． 答案 1解析 ∵函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )＝ax 2＋(1－a 2)x －a 为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即f (－x )＝ax 2－(1－a 2)x －a ＝ax 2＋(1－a 2)x －a ， ∴1－a 2＝0，解得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝x 2－1，在x ∈(0，＋∞)上单调递增，满足条件．当a ＝－1时，f (x )＝－x 2＋1，在x ∈(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．故a ＝1.5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－2,1)解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.6．函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 －－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 7．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是____________________．答案 (－∞，1]∪[3，＋∞)解析 由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．8．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案 2解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝f (2 016)＝f (0)＝0.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，53 解析 ∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．∴f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，∴f (m －2)>f (－2m ＋3)，∵f (x )是减函数，∴m －2<－2m ＋3，∵⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3.∴1<m <53. 12．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋2 2，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.13．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.14．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案①②解析在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1，且f(x)是周期为2的周期函数．∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误．15．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。

函数的奇偶性与周期性◆高考导航·顺风启程◆最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．常见题型多以选择、填空题形式出现，且奇偶性多2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．与单调性相结合，周期性多与抽象函数相3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、结合，或结合奇偶性求函数值为主，占4～应用简单函数的周期性.5分，中档题为主.[知识梳理]1．函数的奇偶性奇函数偶函数定义域定义xf(x)与f(－x)的关系函数f(x)的定义域关于原点对称对于定义域内的任意一个x都有f(－x)＝－f(x)都有f(－x)＝f(x)结论图象特征函数f(x)为奇函数关于原点对称函数f(x)为偶函数关于y轴对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．(4)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.[知识感悟]1．辨明三个易误点(1)应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内．(2)判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(3)判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x使f(－x)＝－f(x)，对于偶函数的判断以此类推．2．活用周期性三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)f(x＋a)＝f(x－a)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝1，则T＝2a；f(x)1f(x)3．奇、偶函数的三个性质(1)在奇、偶函数的定义中，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法．(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．[知识自测]1．给出下列命题：①函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．②若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．④函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2016)＝2016.其中正确的是()A．①②C．②③B．①③D．③④[解析]①错误．因为函数f(x)＝0的定义域x∈(0，＋∞)没有关于原点对称，所以f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既不是奇函数又不是偶函数．②正确．函数y＝f(x＋a)关于直线x＝0对称，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．③正确．函数y＝f(x＋b)关于点(0,0)中心对称，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．④错误有已知条件可知f(2016)＝0.故选C.[答案]C2．(2017·北京)已知函数f(x)＝3x－⎛⎝3⎫⎭x，则f(x)([解析]f(－x)＝3－x－⎛⎝3⎫⎭－x＝⎛⎝3⎫⎭x－3x＝－f(x)，所以函数是奇函数，并且3x是增函数，⎛1⎫x是减函数，根据增函数－减函数＝增函数，所以函数是增函数，故选A.则f⎝－2⎭＋f(2)＝________.又0＜x＜1时，f(x)＝4x，∴f⎝2⎭＝42＝2，∴f⎝－2⎭＋f(2)＝－f⎝2⎭＋f(2)＝－f⎝2⎭＋f(0)＝－2＋0＝－2.f1)A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数11⎝3⎭[答案]A3．(2016·四川)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，(x)＝4x，⎛5⎫[解析]∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，⎛1⎫1⎛5⎫⎛5⎫⎛1⎫[答案]－2题型一函数的奇偶性(基础拿分题·自主练透)⎧⎪－x 2＋2x ＋1 (x ＞0)，|x ＋3|－3 ⎧⎪3－x 2≥0，⎩⎩判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝ 3－x 2＋ x 2－3； (2)f (x )＝x lg (x ＋ x 2＋1)；(3)f (x )＝⎨⎪x 2＋2x －1 (x ＜0)；4－x 2(4)f (x )＝ .[解](1)由⎨⎪x 2－3≥0，得 x 2＝3，解得 x ＝± 3，即函数 f (x )的定义域为{－ 3， 3}，从而 f (x )＝ 3－x 2＋ x 2－3＝0.因此 f (－x )＝－f (x )且 f (－x )＝f (x )． ∴函数 f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵ x 2＋1＞|x |≥0，∴函数 f (x )的定义域为 R ，关于原点对称，又 f (－x )＝(－x )lg(－x ＋ (－x )2＋1)＝－x lg( x 2＋1－x )＝x lg( x 2＋1＋x )＝f (x )．即 f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当 x ＞0 时，－x ＜0，f (－x )＝x 2－2x －1＝－f (x )，当 x <0 时，－x >0，f (－x )＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．x ＋3－3∴f (x )＝ ＝ ，－x又 f (－x )＝ ＝－ ，⎩ (1)f (x )＝(x －1)1＋x； (∴f (－x )＝－f (x )，即函数是奇函数．⎧⎪4－x 2≥0，(4)∵⎨－2≤x ≤2 且 x ≠0，⎪|x ＋3|≠3∴函数的定义域关于原点对称．4－x 2 4－x 2x4－(－x )2 4－x 2x∴f (－x )＝－f (x )，即函数是奇函数．方法感悟判断函数的奇偶性的三种重要方法1．定义法：2．图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y 轴)对称．3．性质法：对于定义在同一关于原点对称的区间上的两个函数，偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇 偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数．【针对补偿】1．判断下列各函数的奇偶性：1－x(2)f (x )＝ lg (1－x 2) |x 2－2|－2；[解] (1)由≥0 得函数的定义域为[－1,1)，关于原点不对称，所以 f (x )为非奇非偶 －(x 2－2)－2所以 f (x )＝ ＝－ .(－x )2因为 f (－x )＝－ ＝－ ＝f (x )，⎪ ⎩⎧⎪x 2＋x (x ＜0)，(3)f (x )＝⎨0(x ＝0)，⎪⎩－x 2＋x (x ＞0).1＋x1－x函数．⎧1－x2＞0， (2)由⎨⎪|x 2－2|－2≠0得函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)，lg (1－x 2) lg (1－x 2)x 2lg[1－(－x )2] lg (1－x 2)x 2所以 f (x )为偶函数．(3)当 x ＜0 时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )；当 x ＞0 时，－x ＜0，则 f (－x )＝(－x )2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )． 又 f (0)＝0，故对任意的 x ∈(－∞，＋∞)， 都有 f (－x )＝－f (x )，所以 f (x )为奇函数．题型二 函数的周期性(重点保分题，共同探讨)设 f (x )是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x ，恒有 f (x ＋2)＝－f (x )，当 x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)计算 f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)．[解] (1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，⎫⎛ ⎫ ⎛2×4－ ⎫＋f ⎛2×4－ ⎫[解析] 由于函数 f (x )是周期为 4 的奇函数，所以 f ⎛ ＋f ＝f4⎭ ⎝ 6⎭⎝ 4 ⎭ ⎝ 6 ⎭⎝－ ＋f － ＝－f －f ＝－ ＋ ＝.＝f ⎝ 4⎭ ⎝6⎭ ⎝4⎭ ⎝6⎭ 162 16 －x ， 0≤x ＜1，⎪⎩⎪5 ⎪ － ＝f ，则f (5a )的值是__________．其中 a ∈R ，若 f ⎝ 2⎭ ⎝2⎭－ ⎫＝f ⎛－2－ ⎫＝f ⎛－ ⎫＝－＋a ，f ⎛ 2⎭ ⎝ 2⎭⎝ 2⎭ ⎝⎫ ⎛ ⎫ ⎛⎫ ⎪ ⎪f ⎛⎝2⎭＝f ⎝4＋2⎭＝f ⎝2⎭＝⎪5－2⎪＝ . －＝f ，由 f ⎝2⎭ ⎝2⎭＝⎨ 则 f ⎝ 4 ⎭＋f ⎝ 6 ⎭＝________ .[答案]5 ⎩∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为 4 的周期函数．(2)∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1.又 f (x )是周期为 4 的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7) ＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝f (0)＋f (1)＋f (2)＝1.方法感悟函数周期性的判定与应用1．判定：判断函数的周期性只需证明 f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)即可．2．应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT (k ∈Z 且 k ≠0)也是函数的周期．【针对补偿】2．(2018·烟台模拟)若函数 f (x )(x ∈R )是周期为 4 的奇函数，且在[0,2]上的解析式为 f (x )⎧⎪x (1－x )，0≤x ≤1， ⎛29⎫ ⎛41⎫ ⎪sin πx ，1＜x ≤2，29 41 3 7 ⎛ 3⎫ ⎛ 7⎫ ⎛3⎫ ⎛7⎫ 3 15163．(2016·江苏高考)设 f (x )是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[－1,1)上 f (x )＝⎧⎪x ＋a ， －1≤x ＜0，⎨⎪2 ⎪⎛ 5⎫ ⎛9⎫ [解析] 因为函数 f (x )的周期为 2，结合在[－1,1)上 f (x )的解析式，得5 1 1 1 29 1 1 2 1 1 10⎛ 5⎫ ⎛9⎫1 1 3 得－2＋a ＝10，解得 a ＝5.所以 f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)[答案]－ f (－x )＝－f (x )；当 x ＞ 时，f ⎛⎝x ＋2⎫⎭＝f ⎛⎝x －2⎫⎭ .则 f (6)＝( [解析] 当 x ＞ 时，f ⎛⎝x ＋2⎫⎭＝f ⎛⎝x －2⎫⎭，所以当 x ＞ 时，函数 f (x )是周期为 1 的周期函数，1 13 2＝－1＋5＝－5.2 5题型三 函数性质的综合应用(高频考点题，多角突破)考向一 单调性与奇偶性结合1．(2017·课标Ⅰ)函数 f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1 的 x 的取值范围是()A ．[－2,2]C ．[0,4]B ．[－1,1]D ．[1,3][解析] 因为 f (x )为奇函数且在(－∞，＋∞)单调递减，要使－1≤f (x )≤1 成立，则 x 满足－1≤x ≤1，从而由－1≤x －2≤1 得 1≤x ≤3，即满足－1≤f (x －2)≤1 成立的 x 的取值范围为[1,3]，选 D.[答案] D考向二 周期性与奇偶性结合2．(2016·山东理)已知函数 f (x )的定义域为 R .当 x <0 时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1 时，21 1 1)A ．－2C ．0B ．－1D ．21 12 2所以 f (6)＝f (1)，又因为函数 f (x )是奇函数，所以 f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，故选 D.[答案] D考向三 单调性、奇偶性与周期性结合3．已知定义在 R 上的奇函数 f (x )满足 f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)[解析] 因为 f (x )满足 f (x －4)＝－f (x )，所以 f (x －8)＝f (x )，所以函数 f (x )是以 8 为周期的周期函数，则 f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由 f (x )是定义在 R 上的奇函数，且满足 f (x －4)＝－f (x )，得 f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)，因为 f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在 R 上是奇函数，所以 f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以 f (－1)＜f (0)＜f (1)，即 f (－25)＜f (80)＜f (11)．4．(2018·河北省唐山市二模)函数 y ＝ ，x ∈(m ，n ]的最小值为 0，则 m 的取值范围[解析]因为 f (x )＝y ＝ ＝－1＋ 在(－1，＋∞)上单调递减，且 f (2)＝0，所以 na ＋1∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝ ，∴ ＜1，即 ＜0，解得⎧⎪x 2＋1，x ≥0，⎩ ⎩[答案] D方法感悟函数基本性质综合应用的常见题型及求解策略题型函数单调性与奇偶性结合周期性与奇偶性结合求解策略注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解周期性、奇偶性与单 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇调性结合偶性和单调性求解【针对补偿】2－xx ＋1是()A ．(1,2)C ．[1,2) B ．(－1,2)D ．[－1,2)2－x 3x ＋1 x ＋1＝2，－1≤m ＜2；故选 D.[答案] D5．(2018·石家庄一模)已知 f (x )是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，若 f (1)＜1，f (5)2a －3＝ ，则实数 a 的取值范围为()A ．(－1,4)C ．(－1,0) B ．(－2,0)D ．(－1,2)[解析]∵f (x )是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数，2a －3 2a －3 a －4a ＋1 a ＋1 a ＋1－1＜a ＜4，故选 A.[答案] A⎧⎪x 2＋1，x ≥0，6．已知函数 f (x )＝⎨则满足不等式 f (1－x 2)＞f (2x )的 x 的取值范围是 ⎪1，x ＜0，________ .[解析]画出 f (x )＝⎨ 的图象，⎪1，x ＜0，⎩ y f g⎧⎪1－x 2＞0，由图象可知，若 f (1－x 2)＞f (2x )，则⎨⎪1－x 2＞2x ，⎧－1＜x ＜1，即⎨⎩－1－ 2＜x ＜－1＋ 2，得 x ∈(－1， 2－1)．[答案] (－1， 2－1)◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(六)[A 基础巩固练]1．(2018·北京市东城区二模)下列函数中为奇函数的是()A ．y ＝x ＋cos xC ．y ＝ xB ．y ＝x ＋sin xD ．y ＝e －|x |[解析] A 和 C 为非奇非偶函数， ＝e －|x |为偶函数，令 f (x )＝x ＋sin x ，定义域为 R ， (－x )＝－x ＋sin(－x )＝－x －sin x ＝－f (x )，故 y ＝x ＋sin x 为奇函数，故选 B.[答案] B2．已知 f (x )，g (x )分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝()A ．－3C ．1B ．－1D ．3[解析] 因为 f (x )是偶函数， (x )是奇函数，所以 f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.故选 C.[答案] C3．(2018·绵阳诊断)已知偶函数 f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f (2x －1)＜f ⎛⎝3⎫⎭A.⎛⎝3，3⎫⎭B.⎡⎣3，3⎫⎭C.⎛⎝2，3⎫⎭D.⎡⎣2，3⎫⎭∴f (|2x －1|)＜f ⎝3⎭，5．(2018·太原模拟)已知函数 f (x )＝x ⎛⎝e x －e x ⎫⎭，若 f (x 1)＜f (x 2)，则([解析] (1)f (－x )＝－x ⎛⎝e x －e x ⎫⎭＝f (x )，f ′(x )＝e x －x ＋x ⎛⎝e x ＋e x ⎫⎭， g ⎩1的 x 的取值范围是()1 21 2 1 21 2[解析] ∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)，⎛1⎫1 1 2再根据 f (x )的单调性，得|2x －1|＜3，解得3＜x ＜3，故选 A.[答案] A4．(2018·刑台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数 f (x )，其导函数为 f ′(x )＝1＋cos x ，如果 f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，则实数 a 的取值范围为()A ．(0,1)C ．(－2，－ 2)B ．(1, 2)D ．(1， 2)∪(－ 2，－1)[解析] 依题意得，f ′(x )＞0，则 f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数、增函数．不等式 f (1－a )＋f (1－a 2)＜0 等价于 f (1－a 2)＜－f (1－a )＝f (a －1)，则－1＜1－a 2＜a －1＜1，由此解得1＜a ＜ 2.[答案] B1 )A ．x 1＞x 2 C ．x 1＜x 2B ．x 1＋x 2＝0 D ．x 21＜x 21∴f (x )在 R 上为偶函数，1 1 e∴x ＞0 时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，由 f (x 1)＜f (x 2)，得 f (|x 1|)＜f (|x 2|)， ∴|x 1|＜|x 2|，∴x 21＜x 2. [答案] D6．(2018·河南新野第三高级中学月考)已知函数 g (x )是 R 上的奇函数，且当 x ＜0 时， (x )⎧⎪x 3，x ≤0， ＝－ln(1－x )，函数 f (x )＝⎨ 若 f (2－x 2)＞f (x )，则实数 x 的取值范围是()⎪g (x )，x ＞0，⎩2)＝f(2)，∴f(2|a－1|)＞f(2)，∴2|a－1|<2＝2，∴|a－1|<，即－<a－1<，即<a<.[答案]⎛⎝2，2⎫⎭fA．(－∞，1)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(1,2)D．(－2,1)[解析]设x＞0，则－x＜0.∵x＜0时，g(x)＝－ln(1－x)，∴g(－x)＝－ln(1＋x)．⎧⎪x3，x≤0，又∵g(x)是奇函数，∴g(x)＝ln(1＋x)(x＞0)，∴f(x)＝⎨其图象如图所示．⎪ln(1＋x)，x＞0.由图象知，函数f(x)在R上是增函数．∵f(2－x2)＞f(x)，∴2－x2＞x，即－2＜x＜1.[答案]D7．(2018·湖南省常德市一模)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x －1，则f(－2)＝______.[解析]根据题意，当x＞0时，f(x)＝2x－1，则f(2)＝22－1＝3，又由y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－2)＝－f(2)＝－3；故答案为：－3.[答案]－38．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a －1|)>f(－2)，则a的取值范围是______．[解析]∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，(－111113222222 139．(2018·湖南衡阳第三次联考)已知函数 f (x )＝log ⎛⎝x 2＋8⎫⎭－⎪⎪8⎪⎪，则使得 f (x ＋1)＜f (2x ∵f (－x )＝log 8⎝(－x )2＋8⎭－⎪ 8 ⎪＝f (x )，∴函数 f (x )是偶函数，∵偶函数 f (x )在(0，＋1 1 x 8－1)成立的 x 的范围是________．[解析] 由题意得，函数 f (x )定义域是 R ，1⎛ 1⎫ ⎪－x ⎪∞)上单调递减，f (x ＋1)＜f (2x －1)，∴|x ＋1|＞|2x －1|，解得 0＜x ＜2，故答案为：0＜x ＜2.[答案] 0＜x ＜210．已知函数 f (x )是定义在 R 上的奇函数，且它的图象关于直线 x ＝1 对称． (1)求证：f (x )是周期为 4 的周期函数；(2)若 f (x )＝ x (0＜x ≤1)，求 x ∈[－5，－4]时，函数 f (x )的解析式．[解] (1)证明：由函数 f (x )的图象关于直线 x ＝1 对称，有 f (x ＋1)＝f (1－x )，即有 f (－x )＝f (x ＋2)．又函数 f (x )是定义在 R 上的奇函数，故有 f (－x )＝－f (x )．故 f (x ＋2)＝－f (x )．从而 f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即 f (x )是周期为 4 的周期函数．(2)由函数 f (x )是定义在 R 上的奇函数，有 f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－ －x .故 x ∈[－1,0]时，f (x )＝－ －x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－ －x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数 f (x )＝－ －x －4.[B 能力提升练]1．(2018·安徽合肥一模)已知函数在 f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1 在[－1,3]上的最大值为 M ，最小值为 m ，则 M ＋m ＝()A. 4C. 1B. 2D. 0[解析] 设 t ＝x －1，则 f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，t ∈[－2,2]，记 g (t )＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，则函数 y ＝g (t )－2＝(t 2－1)sin t ＋t 是奇函数，由已知 y ＝g (t )－2的最大值为 M －2，最小值为 m －2，所以 M －2＋(m －2)＝0，即 M ＋m ＝4，故选 A.[答案] A2．(2018·宁夏银川市兴庆区长庆高中一模试卷)已知函数 f (x )＝2sin x －3x ，若对任意 m⎩∈[－2,2]，f (ma －3)＋f (a 2)＞0 的恒成立，则 a 的取值范围是()A ．(－1,1)C ．(－3,3)B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析] ∵f (－x )＝2sin(－x )－3(－x )＝－(2sin x －3x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，又 f '(x )＝2cos x －3＜0，∴f (x )单调递减，f (ma －3)＋f (a 2)＞0 可化为 f (ma －3)＞－f (a 2)＝f (－a 2)，由f (x )递减知 ma －3＜－a 2，即 ma ＋a 2－3＜0，∴对任意的 m ∈[－2,2]，f (ma －3)＋f (a 2)＞0 恒⎧⎪－2a ＋a 2－3＜0成立，等价于对任意的 m ∈[－2,2]，ma ＋a 2－3＜0 恒成立，则⎨ ，解得－1⎪2a ＋a 2－3＜0＜a ＜1，故选 A.[答案] A3 ． (2018·广州调研 ) 已知 f (x ) 是奇函数， g (x ) ＝ f (x ) ＋4 ， g (1)＝ 2 ，则 f ( － 1) 的值是________ .[解析] ∵g (x )＝f (x )＋4，∴f (x )＝g (x )－4，又 f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－g (1)＋4＝2.[答案] 24．已知定义在 R 上的奇函数 f (x )满足 f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程 f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根 x 1，x 2，x 3，x 4，则 x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝______.[解析] 因为 f (x )为奇函数并且 f (x －4)＝－f (x )．所以 f (x －4)＝－f (4－x )＝－f (x )，即 f (4－x )＝f (x )，且 f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，即 y ＝f (x )的图象关于 x ＝2 对称，并且是周期为 8 的周期函数．因为 f (x )在[0,2]上是增函数，所以 f (x )在[－2,2]上是增函数，在[2,6]上为减函数，据此可画出 y ＝f (x )的图象．∴f (－1)＝ f (1)＝0.令 x 1＝－1，x 2＝x 有 f (－x )2x x ⎪图象也关于 x ＝－6 对称，x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4， ∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8. [答案] －85．函数 f (x )的定义域为 D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意 x 1，2∈D ，有 f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求 f (1)的值；(2)判断 f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f (4)＝1，f (x －1)＜2，且 f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求 x 的取值范围．[解] (1)∵对于任意 x 1， 2∈D ，有 f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令 x 1＝x 2＝1，得 f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令 x 1＝x 2＝－1，有 f (1)＝f (－1)＋f (－1)，1＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有 f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知， f (x )是偶函数，∴f (x －1)＜2 f (|x －1|)＜f (16)．又 f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0＜|x －1|＜16，解之得－15＜x ＜17 且 x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15＜x ＜17 且 x ≠1}．[C 尖子生专练](2017·台州模拟)已知函数 g (x )是 R 上的奇函数，且当 x <0 时，g (x )＝－ln(1－x )，函数⎧x2，x <0， f (x )＝⎨若 f (2－x 2)>f (x )，则实数 x 的取值范围是______． ⎪⎩g (x )，x >0，[解析]⎪ ⎩设 x >0，则－x <0.∵x <0 时，g (x )＝－ln(1－x )， ∴g (－x )＝－ln(x ＋1)．又∵g (x )是奇函数，∴g (x )＝ln(1＋x )(x >0)，⎧x 3，x ≤0，∴f (x )＝⎨ 其图象如图所示．由图象知，函数 f (x )在 R 上是增函数．⎪ln (1＋X )，x >0.∵f (2－x 2)>f (x )，∴2－x 2>x ，即－2<x <1.所以实数 x 的取值范围是(－2,1)．[答案] (－2,1)。

专题1函数的奇偶性，周期性，对称性知识梳理【题型解读】【知识储备】一．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称二.关于函数对称性的结论扩充1.若函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔对定义域内任意x 都有f (a ＋x )＝f (a －x )⇔对定义域内任意x 都有f (x )＝f (2a －x )⇔y ＝f (x ＋a )是偶函数。

2．函数y ＝f (x )的图象关于点(a,0)对称⇔对定义域内任意x 都有f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔f (2a －x )＝－f (x )⇔y ＝f (x ＋a )是奇函数。

3．若函数y ＝f (x )对定义域内任意x 都有f (x ＋a )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象的对称轴是x ＝a ＋b2。

4．若函数y ＝f (x )对定义域内任意x 都有f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则函数f (x )的图象的对称中心为22a b c+（，）。

5．函数y ＝f (|x －a |)的图象关于x ＝a 对称。

三．关于函数周期性的结论扩充1.若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a )＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期(a ≠0)。

2．若满足f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a )＝1f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期(a ≠0)。

3．若函数满足f (x ＋a )＝－1f (x )，同理可得2a 是函数的一个周期(a ≠0)。

函数的奇偶性与周期性知识点和经典试题本节知识点详解：1．函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．重要结论：1.函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)奇函数的图像在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反。

(5)运算性质①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．2．函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a.(a>0)3．函数对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y ＝f(x)关于点(b,0)中心对称．经典选题一、判断题：判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(5)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、选择题：1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是()A．－13 B.13 C.12D．－12答案：B2．下列函数为奇函数的是()A．y＝2x－12x B．y＝x3sin xC．y＝2cos x＋1 D．y＝x2＋2x答案：A3．下列函数为奇函数的是()A．y＝x B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x－e－x答案：D4．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝－x 3C ．y ＝－ln|x |D ．y ＝2x答案：C5．(高考全国Ⅰ卷)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案：C6.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )，当0＜x ＜12时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝( )A ．－ 2B ．－22C ．－1 D.22 答案：A7． 已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54 C.54 D ．3 答案：A8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案：C9．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，且在(0,1)上f (x )＝3x ，则f (log 354)＝( )A.32B.23 C ．－32 D ．－23 答案：C10．已知f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝－x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝( )A ．－94B ．－14 C.14 D.94 答案：D11． (理科)(2015·高考新课标卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 答案：A12．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 答案：A13．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案：B14．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)<f (11) 答案：D三、填空题1． (2017·高考全国Ⅱ卷)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝ ________ . 答案：122．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是 ________ .答案：(－1,0)∪(1，＋∞)3． (2015·高考全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝ ________ .答案：14．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝ ________ .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <05．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是 __________ .答案： {a |a ≥2或a ≤－2}。

函数的奇偶性和周期性知识回顾1．函数的奇偶性的定义：① 对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-〔或0)()(=+-x f x f 〕，则称)(x f 为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。

② 对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-〔或0)()(=--x f x f 〕，则称)(x f 为偶函数. 偶函数的图象关于y 轴对称。

③ 通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）1． 函数的周期性命定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

注：①若0)(=x f ,则)(x f 既是奇函数又是偶函数,若)0()(≠=m m x f ,则)(x f 是偶函数；②若)(x f 是奇函数且在0=x 处有定义，则0)0(=f ③若在函数)(x f 的定义域内有)()(m f m f ≠-，则可以断定)(x f 不是偶函数，同样，若在函数)(x f 的定义域内有)()(m f m f -≠-，则可以断定)(x f 不是奇函数。

2．奇偶函数图象的对称性（1） 若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x=对称； （2） 若)(x b f y +=是奇函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；3．函数的周期性（1）函数值之和等于零型，即函数)(0)()(b a x b f x a f ≠=+++ 对于定义域中任意x 满足)(0)()(b a x b f x a f ≠=+++，则有)()]22([x f a b x f =-+，故函数)(x f 的周期是)(2a b T -=（2）函数图象有a x =，)(b a b x ≠=两条对称轴型函数图象有a x =，)(b a b x ≠=两条对称轴，即)()(x a f x a f -=+，)()(x b f x b f -=+，得)()]22([x f a b x f =-+，故函数)(x f 的周期是)(2a b T -=（3） 两个函数值之积等于1±，即函数值互为倒数或负倒数型若)(1)()(b a b x f a x f ≠=+⋅+，则得)]22()2[()2(a b a x f a x f -++=+，函数)(x f 的周期是a b T 22-=；同理若)(1)()(b a b x f a x f ≠-=+⋅+，则)(x f 的周期是)(2a b T -=（4） 分式递推型，即函数)(x f 满足)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=+ 由)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=+得)2(1)2(b x f a x f +-=+，进而得 1)2()2(-=+⋅+b x f a x f ，由前面的结论得)(x f 的周期是)(4a b T -=考点一 判断函数的奇偶性及其应用 题型1：判断有解析式的函数的奇偶性[例1] 判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·xx -+11； （3）2|2|1)(2-+-=x x x f ；（4）⎩⎨⎧>+<-=).0()1(),0()1()(x x x x x x x f[解析] （1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f （－x ）=|－x +1|－|－x －1|=|x －1|－|x +1|=－（|x +1|－|x －1|）=－f （x ），∴f （x ）=|x +1|－|x －1|是奇函数.（2）由xx -+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域关于原点不对称，f （x ）不是奇函数不是偶函数. （3）f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x +2＞0.从而有f （x ）= 2212-+-x x =x x 21-，∴f （－x ）=x x ---2)(1=－xx 21-=－f （x ） 故f （x ）为奇函数.（4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0，∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）.当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）.故函数f （x ）为奇函数.注：○1定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则D x ∈时D x ∈-) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件○2分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.题型2：证明抽象函数的奇偶性[例2] 定义在区间)1,1(-上的函数f (x )满足：对任意的)1,1(,-∈y x ，都有)1()()(xyy x f y f x f ++=+. 求证f (x )为奇函数； [解析]令x = y = 0，则f (0) + f (0) = )0()0100(f f =++ ∴ f (0) = 0 令x ∈(－1, 1) ∴－x ∈(－1, 1) ∴ f (x ) + f (－x ) = f (21x xx --) = f (0) = 0∴ f (－x ) =－f (x )∴ f (x ) 在(－1，1)上为奇函数[练习] 1．设函数()()()a x x x f ++=12为奇函数，则=a ___________。

函数性质专题 函数的奇偶性、周期性、对称性第一部分 函数的奇偶性一、奇偶函数的定义 偶函数 奇函数定义 设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数 图象特征 关于y 轴对称 关于原点对称一、函数的奇偶性常用结论1、奇(偶)函数定义的等价形式①f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数； ②f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数. 2、如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0.如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |).3、在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．二、函数的奇偶性常见题型（一）函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 3－1x； (2)f (x )＝x 2－1 ＋1－x 2 ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x >0，x 2＋2x －1，x <0.跟踪练习1、下列函数中为偶函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝1x 2 D ．f (x )＝x ＋1x2、函数f (x )＝1x －x 的图像( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称3、已知函数f (x )＝x ·|x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(－∞，0)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(0，＋∞)4、设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( )A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋15、设函数f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是( )A ．y ＝－|f (x )|B ．y ＝xf (x 2)C ．y ＝－f (－x )D ．y ＝f (x )＋f (－x )6、已知函数f (x )＝9－x 2|6－x |－6，则函数f (x )( )A ．既是奇函数也是偶函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是奇函数，但不是偶函数D ．是偶函数，但不是奇函数7、已知定义在R 上的函数f (x )满足对任意x 1，x 2∈R ，有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－1，则() A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数C ．f (x )－1是偶函数D ．f (x )－1是奇函数8、(多选)下列函数是奇函数的是( )A ．y ＝2x 2－3B ．y ＝x 3C ．y ＝x 2，x ∈[0，1]D ．y ＝x9、(多选)下列说法中正确的是( )A ．图象关于坐标原点对称的函数是奇函数B ．图象关于y 轴对称的函数是偶函数C ．函数y ＝x 2在x ∈(0，＋∞)上是偶函数D ．若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝010、(多选)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝f (－x )C ．y ＝xf (x )D ．y ＝f (x )＋x11、(多选)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的有( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|＋g (x )是偶函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数12、(多选)如果f (x )是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为具有奇偶性的函数的是( )A ．y ＝x ＋f (x )B ．y ＝xf (x )C ．y ＝x 2＋f (x )D ．y ＝x 2f (x )13、(多选)函数f (x )的定义域为R ，且f (x )与f (x ＋1)都为奇函数，则( )A ．f (x －1)为奇函数B ．f (x )为周期函数C ．f (x ＋3)为奇函数D ．f (x ＋2)为偶函数14、判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0；15、判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3－x 2x －1； (2)f (x )＝x 2－x 3；(3)f (x )＝|x －2|－|x ＋2|；(4)f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R).16、(1)已知函数f (x )，x ∈R ，若∀a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，求证：f (x )为奇函数；(2)已知函数f (x )，x ∈R ，若∀x 1，x 2∈R ，都有f (x 1＋x 2)＋f (x 1－x 2)＝2f (x 1)·f (x 2)，求证：f (x )为偶函数；(3)设函数f (x )定义在(－l ，l )上，证明：f (x )＋f (－x )是偶函数，f (x )－f (－x )是奇函数．17、已知f (x )是定义在R 上的函数，设g (x )＝f （x ）＋f （－x ）2，h (x )＝f （x ）－f （－x ）2. (1)试判断g (x )与h (x )的奇偶性；(2)试判断g (x )，h (x )与f (x )的关系；(3)由此你能猜想出什么样的结论？（二）根据奇偶性求函数值例2(2022·重庆模拟)已知函数f (x )＝ax 5＋bx 3＋2，若f (2)＝7，求f (－2)的值.跟踪练习1、(2022·青岛模拟)已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8(a ，b 是常数)，且f (－3)＝5，则f (3)＝( )A ．21B ．－21C ．26D ．－262、如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图像，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A.－2 B ．2 C ．1 D ．03、已知f (x )为奇函数，在区间[3，6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)＝( )A ．－15B ．－13C ．－5D ．54、已知f (x )＝ax 3＋bx ＋1(ab ≠0)，若f (2019)＝k ，则f (－2019)＝( )A ．kB ．－kC ．1－kD ．2－k5、已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54C ．54D ．36、已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )－f (x )＝0，f (0)＝3 ，则f (10)＝________．7、已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________．8、若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，x <0，2x －3，x >0为奇函数，则f (g (－1))＝________. 9、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________．10、已知f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ，则f (1)的值是________．11、若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)，f (1)，f (－2)从小到大的排列是____________．（三）根据奇偶性求函数的解析式例3(1)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x －2)，则当x ＜0时，求f (x )的表达式.(2)已知函数f (x )为偶函数，且当x <0时，f (x )＝x ＋1，则x >0时，求f (x )的表达式跟踪练习1、(2022·广东模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2－x －1，则当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝________．2、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0，f (x )＝2x －2x ＋a ，则a ＝________；当x <0时，f (x )＝_______.3、已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝x (x ＋1)，f (x )＝_______.4、已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)画出函数f (x )的图像．5、已知函数f (x )＝x 2－mx (m >0)在区间[0，2]上的最小值为g (m )．求函数g (m )的解析式；6、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．7、已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25. (1)求函数f (x )的解析式；(2)用定义证明f (x )在(－1，1)上是增函数；(3)解关于实数t 的不等式f (t －1)＋f (t )<0.（四）函数奇偶性的应用例4已知定义在(－1，1)上的函数f (x )＝x x 2＋1. (1)试判断f (x )的奇偶性及在(－1，1)上的单调性；(2)解不等式f (t －1)＋f (2t )<0.跟踪练习1、已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝x (x ＋1)，则下列说法正确的是( )A.函数f (x )有3个单调区间B ．当x >0时，f (x )＝x (x －1)C ．函数f (x )有最小值14D ．不等式f (x )<0的解集是(－1，1)2、已知定义在R 上的函数f (x )在(－∞，2)上单调递减，且f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f ⎝⎛⎭⎫112 的大小关系为( )A ．f (4)<f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫112B ．f (－1)<f (4)<f ⎝⎛⎭⎫112 C ．f ⎝⎛⎭⎫112 <f (4)<f (－1) D ．f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫112 <f (4) 3、定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，当x ∈[0，3]时，f (x )＝x 2－3x ，则以下关于f (x )的结论错误的是( )A ．周期为6B ．图象关于⎝⎛⎭⎫32，0 对称C ．f (2 021)＝2D ．图象关于x ＝32对称 4、若函数f (x )(f (x )≠0)为奇函数，则必有( )A ．f (x )·f (－x )>0B ．f (x )·f (－x )<0C ．f (x )<f (－x )D ．f (x )>f (－x )5、(2022·白银模拟)已知f (x )＝a x －2x (a ≠2)为奇函数，则“m <－12”是“f (m )>0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6、设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (3)>f (－2)>f (－π)D ．f (3)>f (－π)>f (－2)7、如果奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上( )A ．单调递增且最小值为－5B ．单调递减且最小值为－5C ．单调递增且最大值为－5D ．单调递减且最大值为－58、已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则a ＋b 等于( )A ．0B ．－1C ．－2D ．29、已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)10、设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}11、已知定义在R 上的偶函数f (x )满足在[0，＋∞)上单调递增，f (3)＝0，则关于x 的不等式f (x ＋2)＋f (－x －2)x>0的解集为( ) A ．(－5，－2)∪(0，＋∞)B ．(－∞，－5)∪(0,1)C ．(－3,0)∪(3，＋∞)D ．(－5,0)∪(1，＋∞)12、设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)内是增函数，f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集为( )A ．(－1，0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－2，0)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)13、(多选)(2022·岳阳质检)设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数．令f (x )＝x －[x ]，以下结论正确的有( )A ．f (－1.1)＝0.9B ．函数f (x )为奇函数C ．f (x ＋1)＝f (x )＋1D ．函数f (x )的值域为[0,1)14、(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )A ．这个函数有两个单调递增区间B ．这个函数有三个单调递减区间C ．这个函数在其定义域内有最大值7D ．这个函数在其定义域内有最小值－715、若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则a ＝________，函数g (x )＝bx ＋a x，x ∈[－4，－1]的值域为________． 16、已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝________.17、若函已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1，2a ]，则a ＋b ＝________18、单调递减区间是_______．数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________． 19、已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝1，若f (x ＋a )≤1对x ∈[－1，1]恒成立，则实数a 的取值范围是________．20、若函数f (x －2)为奇函数，f (－2)＝0，且f (x )在区间[－2，＋∞)上单调递减，则不等式f (3－x )>0的解集为________．21、已知实数a ，b 满足(a －1)5＋(b －3)5＝2 020(1－a )3＋2 020(3－b )3，则a ＋b ＝________．22、函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是________．23、(2022·福建质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．以下关于f (x )的结论：①f (x )是周期函数；②f (x )在(0,2)上单调递减；③f (x )满足f (x )＝f (4－x )；其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．24、设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积．25、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．26、设函数f (x )＝x 2－2|x －a |＋3，x ∈R .(1)王鹏同学认为，无论a 取何值，f (x )都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；(2)若f (x )是偶函数，求a 的值；(3)在(2)的情况下，画出y ＝f (x )的图象并指出其单调递增区间．第二部分 函数的周期性一、函数周期的定义(1)周期函数：一般地，设函数f (x )的定义域为D ，如果存在一个非零常数T ，使得对每一个x ∈D 都有x ＋T ∈D ，且f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫作周期函数．非零常数T 叫作这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．二、函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0).(2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a (a >0). (3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a (a >0). 三、函数周期性的应用例1定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 023)等于( )A ．336B ．338C ．337D ．339跟踪练习1、(2022·重庆质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x 2，则f ⎝⎛⎭⎫132等于( )A ．－94B ．－14 C.14 D.942、在R 上函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1， 其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝( )A ．0.5B ．1.5C ．2.5D ．3.53、定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x ).若f (2)>1，f (7)＝a ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)4、(2022·宿州市模拟(一))已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝4x －1，则在(1，3)上，f (x )≤1的解集是( )A ．⎝⎛⎦⎤1，32 B ．⎣⎡⎦⎤32，52 C ．⎣⎡⎭⎫32，3 D ．[2，3)5、已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (3－x )＝f (x )，则f (2 025)＝( )A ．－3B ．0C ．1D ．36、已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (2＋x )＋f (x )＝0，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝－x 2－2x ，则当x ∈[4，6]时，y ＝f (x )的最小值为( )A ．－8B ．－1C ．0D ．17、已知函数f (x )的图象关于原点对称，且周期为4，f (3)＝－2，则f (2 021)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－48、已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)9、已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32 ，f (－1)＝1，f (0)＝－2，且f ⎝⎛⎭⎫x －34 为奇函数，则下列说法错误的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )是周期为3的周期函数D ．f (0)＋f (1)＋…＋f (2 021)＝010、函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋4)，若f (2)＝3，则f (2 022)＝( )A ．3B ．－3C ．6D ．2 02211、已知f (x )为R 上的偶函数，且f (x ＋2)是奇函数，则( )A ．f (x )的图象关于点(2,0)对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称C ．f (x )的周期为4D ．f (x )的周期为812、函数f (x )满足f (x )f (x ＋2)＝13，且f (1)＝2，则f (2 023)＝________.13、若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2 023)＝________. 14、函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (2 021)＋f (2 022)＝________.15、已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________．16、已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－6)＝0，则f (2 022)＝________．17、已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－2)＝2，则f (2 026)＝_______．18、已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________．19、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．第三部分 函数的对称性一、函数对称性常用结论(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． f (a ＋x )＝－f (b －x )⇔f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0对称．(3) f (2a －x )＝－f (x )＋2b ⇔f (x )的图象关于点(a ，b )对称．二、函数对称性的应用例已知函数y ＝f (x )－2为奇函数，g (x )＝2x ＋1x，且f (x )与g (x )图象的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)，则y 1＋y 2＋…＋y 6＝________.跟踪练习1、(2022·山东师大附中第二次月考)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，当x ∈[0，3]时，f (x )＝x 2－3x ，则以下关于f (x )的结论错误的是( )A ．周期为6B ．图象关于⎝⎛⎭⎫32，0 对称C ．f (2 021)＝2D ．图象关于x ＝32对称 2、已知函数f (x )的图象关于原点对称，且周期为4，f (3)＝－2，则f (2 021)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－43、已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则a ＋b 等于( )A ．0B ．－1C ．－2D ．24、(多选)(2022·湖北新高考9＋N 联盟模拟)已知f (x )为R 上的偶函数，且f (x ＋2)是奇函数，则( )A ．f (x )的图象关于点(2,0)对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称C ．f (x )的周期为4D ．f (x )的周期为85、(2022·承德模拟)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，且f (－x )＝f (x )，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称B ．f (x )的图象关于点(2,0)对称C ．f (x )的周期为4D ．y ＝f (x ＋4)为偶函数6、已知定义在R 上的奇函数f (x )对∀x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，则下列判断正确的是( )A ．f (x )是周期函数且周期为4B ．f (x )的图象关于点(1,0)对称C ．f (x )的图象关于直线x ＝－1对称D ．f (x )在[－4,4]上至少有5个零点7、函数f (x )的周期为6，且f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，则f (2 025)＝________.8、已知函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (1－x )＝f (1＋x )，f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2＋mx ，若f ⎝⎛⎭⎫352＝12，则m ＝______.9、函数f (x )的周期为6，且f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，则f (2 025)＝______.10、已知函数f (x )满足：①f (0)＝0；②在[1,3]上是减函数；③f (1＋x )＝f (1－x )．请写出一个满足以上条件的f (x )＝_______．11、已知函数y ＝f (x )－2为奇函数，g (x )＝2x ＋1x，且f (x )与g (x )图象的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)，则y 1＋y 2＋…＋y 6＝________.12、函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 020)＋f (2 021)＋f (2 022)＝________．13、若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则a ＝________，函数g (x )＝bx ＋a x，x ∈[－4，－1]的值域为________．。

●高考明方向1.联合详细函数，认识函数奇偶性的含义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3.认识函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 .★备考知考情1.对函数奇偶性的考察，主要波及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决有关问题，利用函数奇偶性求函数值，依据函数奇偶性求参数值等．2.常与函数的求值及其图象、单一性、对称性、零点等知识交汇命题．3.多以选择题、填空题的形式出现 .一、知识梳理《名师一号》 P18注意：研究函数奇偶性一定先求函数的定义域知识点一函数的奇偶性的观点与图象特点1.一般地，假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数．2.一般地，假如对于函数 f(x)的定义域内随意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数．3.奇函数的图象对于原点对称；偶函数的图象对于y 轴对称 .知识点二奇函数、偶函数的性质1.奇函数在对于原点对称的区间上的单一性同样，偶函数在对于原点对称的区间上的单一性相反．2.若 f(x)是奇函数，且在 x＝0处有定义，则 f (0) 0.3.若 f(x)为偶函数，则f ( x) f ( x) f (| x |) .《名师一号》 P19 问题研究问题1奇函数与偶函数的定义域有什么特点(1)判断函数的奇偶性，易忽略判断函数定义域能否对于原点对称．定义域对于原点对称是函数拥有奇偶性的一个必需条件．(2)判断函数 f(x)的奇偶性时，一定对定义域内的每一个 x，均有 f(－x)＝－ f(x)、f(－ x)＝f(x)，而不可以说存在x0使 f(－ x0)＝－ f(x0)、 f(－x0)＝ f(x0)．(增补)1、若奇函数f ( x)的定义域包括0，则f (0)0 ．f (0)0 是 f ( x) 为奇函数的既不充足也不用要条件2．判断函数的奇偶性的方法（1）定义法：1)第一要研究函数的定义域，2) 其次要考虑 f x 与 f x 的关系，也能够用定义的等价形式：f ( x ) f ( x )0 （对数型函数用），f (x )1（指数型函数用）．f ( x)3)分段函数应分段议论（2）图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断．（3）复合函数奇偶性的判断若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，归纳为“同奇为奇，一偶则偶”．注意：证明函数的奇偶性的方法只有定义法知识点三函数的周期性1.周期函数：对于函数y＝f(x)，假如存在一个非零常数T，使适合x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋ T)＝ f(x)，那么就称函数 y＝ f(x)为周期函数，称非零常数 T 为这个函数的周期．2．最小正周期：假如在周期函数 f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．其实不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数 f ( x) a( x R) ；3.几个重要的推论（ 1）《名师一号》 P19问题研究问题3若函数 f ( x) 恒知足 f ( xa)f (x) (a 0) ，则 f (x) 是周期函数， 2a 是它的一个周期；若函数 f ( x) 恒知足 f (xa)1(a 0) ，f (x)则 f (x) 是周期函数， 2a 是它的一个周期；若函数 f ( x) 恒知足 f (xa)1 (a 0) ，f (x)则 f (x) 是周期函数，2a 是它的一个周期；( 增补 ) 若函数 f ( x) 恒知足 f ( x a) f ( x b) ，则 f (x) 是周期函数， a b 是它的一个周期；（ 2） ( 增补 ) 注意划分：若 f (ax) f (a x) （或 f ( x) f (2a x) ）则函数 f ( x) 对于 x a 对称。

（一）函数的单调性1．函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的增函数，D 叫f(x)单调递增区间．当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的减函数，D 叫f(x)单调递减区间．2．函数单调性的判断方法：（1）从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是增函数，若图象是下降的，则此函数是减函数。

（2）一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ．如果对于属于定义域I 内某个区间A 上的任意两个自变量的值1x ，2x ，且21x x <，则021<-x x（1）()()则0-21<x f x f ()()()1212120f x f x x x x x -⇔>≠-)(x f 即在区间A 上是增函数； （2）()()则21x f x f >()()()1212120f x f x x x x x -⇔<≠-)(x f 即在区间A 上是减函数． 如果函数)(x f y =在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）的单调性，这一区间叫做)(x f y =的单调区间．单调区间是函数定义域的子区间，因此函数单调性是函数的局部性质，应以定义域为前提；必须指明在某个区间上函数是增函数或减函数（3）复合函数单调性判断方法：设()()[][],,,,,y f u u g x x a b u m n ==∈∈若内外两函数的单调性相同，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递增，若内外两函数的单调性相反时，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递减．（同增异减）3．常见结论若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ；若f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数)(1x f 在其定义域内为减函数．【题型一、单调性的判断】例、写出下列函数的单调区间（1）,b kx y += （2）x k y =， （3）c bx ax y ++=2．如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上， 它是增函数还是减函数【题型二、用定义法证明单调性】例、定义法证明函数y=2x+3在),(+∞-∞的单调性.例、判断函数f （x ）＝x x 1+在（0,1）上的单调性．【变式训练1】证明函数12)(++=x x x f 在),1(+∞-上是增函数．【方法技巧】根据函数的定义法来进行判别，记好步骤。

函数的性质-单调性、奇偶性、周期性、对称性目录一、常规题型方法1题型一函数的单调性1题型二函数的奇偶性4题型三单调性与奇偶性的综合应用10题型四函数的周期性13题型五函数的对称性18题型六周期性与对称性的综合应用22二、针对性巩固练习26练习一函数的单调性26练习二函数的奇偶性28练习三单调性与奇偶性的综合应用30练习四函数的周期性32练习五函数的对称性34练习六周期性与对称性的综合应用36常规题型方法题型一函数的单调性【典例分析】典例1-1．(2020·天津·高一期末)函数f (x )=log 13-x 2+6x -5 的单调递减区间是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.(1,3]D.[3,5)【答案】C 【分析】首先由函数解析式，求其定义域，根据复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性，可得答案.【详解】由f x =log 13-x 2+6x -5 ，则-x 2+6x -5>0，x -5 x -1 <0，解得1<x <5，即函数f x 的定义域1,5 ，由题意，令g x =log 13x ，h x =-x 2+6x -5，则f x =g h x ，易知g x 在其定义域上单调递减，要求函数f x 的单调递减区间，需求在1,5 上二次函数h x 的递增区间，由h x =-x 2+6x -5=-x -3 2+4，则在1,5 上二次函数h x 的递增区间为1,3 ，故选：C .典例1-2．(2022·湖北武汉·高一期中)若二次函数f x =ax 2+a +6 x -5在区间-∞，1 为增函数，则a 的取值范围为( )A.-2，0B.-2，0C.-2，0D.-2，0【答案】A 【分析】根据条件确定二次函数的图象应开口向下，再利用端点值和对称轴比较大小.【详解】当a <0时，-a +62a≥1，解得：a ≥-2，所以-2≤a <0，当a >0时，不满足条件，综上可知：-2≤a <0故选：A典例1-3．(浙江省台州山海协作体2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题)已知函数f x =x 2-2ax +52a ,x ≤1ax ,x >1 是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( )A.1,2B.1,2C.1,+∞D.0,1【答案】A 【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可.【详解】解：因为函数f x =x 2-2ax +52a ,x ≤1a x,x >1 是定义在R 上的减函数，所以a ≥1a >01-2a +52a ≥a解得1≤a ≤2，即a ∈1,2 .故选：A .【方法技巧总结】1.函数单调性的判断方法有：定义法、性质法、图像法、导数法。

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型命题趋势函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。

满分技巧一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x −与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x −与()f x 的关系时，只需验证()f x −()f x ±=0及()1()f x f x −=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x −与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x −的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x −对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a −=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a −=−（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x xa a a f x a a a −−−−==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log ab xf x b x−=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log a f x x =±（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b ++−为偶函数；7、()f x ax b ax b +−−为奇函数； 四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=−f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=−f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=−f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=−T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=−f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=−f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=−f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22−=−f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=−f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=−f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数()f x 满足()()22−=−f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()−=−f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4−b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a . （2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a . （4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。

2.4 函数的奇偶性学习目标：1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判定奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．重点难点：函数奇偶性和周期性的应用一、知识要点一、函数奇偶性概念：若是关于函数f(x)概念域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，那么称f(x)为奇函数；若是关于函数f(x)概念域内的任意x都有f(－x)=f(x)，那么称f(x)为偶函数；若是函数f(x)不具有上述性质，那么f(x)既不是奇函数也不是偶函数；若是函数同时具有上述两条性质，那么f(x)既是奇函数，又是偶函数．二、函数奇偶性的判定方式：概念法、图像法（1）利用概念判定函数奇偶性的格式步骤：①第一确信函数的概念域是不是关于原点对称；②确信f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，那么f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，那么f(x)是奇函数．②函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性概念可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，概念域关于原点对称．（2)利用图像判定函数奇偶性的方式：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数．3、函数奇偶性的性质：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．二、例题精讲题型1：函数奇偶性的判定1．判定以下函数的奇偶性：① x x x x f -+-=11)1()(, ②29)(x x f -=,③22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩ ④2211)(x x x f --=变式：设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有概念，以下函数：① y =－|f （x ）|； ②y =xf （x 2）； ③y =－f （－x ）； ④y =f （x ）－f （－x ）．必为奇函数的有_ __（要求填写正确答案的序号）题型2： 函数奇偶性的证明1．已知函数f(x),当x,y ∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)．求证：f(x)是奇函数．题型3： 函数奇偶性的应用1．设概念在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，假设f(1-m)<f(m)，求实数m 的取值范围．变式1：已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判定()f x 在(,0)-∞上是增函数仍是减函数变式2：函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，假设()(2)f a f ≤,那么实数a 的取值范围是三、巩固练习1．已知函数y=f(x)是概念在R 上的奇函数，那么以下函数中是奇函数的是 ．①y=f(|x|); ②y=f(-x); ③y=x ·f(x); ④y=f(x)+x ．2．设函数假设函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，那么)(x f 的递减区间是 ．3．已知y=f(x)是概念在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2-2x ，那么在x<0上f(x)的表达式为 ．4．设f (x )=ax 5+bx 3+cx －5(a ,b ,c 是常数)且(7)7f -=,那么f （7）= ．5．假设函数()2f x x b =+的图象关于原点对称，那么实数b 应知足的条件是 ．6．已知函数3()1f x ax bx =++，常数a 、b R ∈，且(4)0f =，那么(4)f -= ．7．()y f x =在(),0-∞内为减函数，又()f x 为偶函数，那么(3)f -与(2.5)f 的大小关系为 ．8．已知函数2()f x ax bx c =++是概念在[]a a -1,2上的偶函数，那么a = ，________b =． 9．已知函数()f x 是概念在R 上的奇函数，当0x <时，2()2f x x x =-，那么(1)f = ．10．判定以下函数的奇偶性 ①xx y 13+=； ②x x y 2112-+-=； ③x x y +=4；11．已知函数()y f x =是概念在实数集R 上的偶函数，当0x ≥时，2()23f x x x =--．（1）写出函数()y f x =的表达式； （2）作出()y f x =的图象；（3）指出函数的单调区间及单调性． （4）求函数的最值．。