四川省成都市2020届高三第一次诊断考试 数学(理) 含答案

四川省成都市2020届高三数学第一次诊断性检测试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数1z 与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则1z =( ) A. 3i -- B. 3i -+ C. 3i + D. 3i -【答案】B 【解析】 【分析】由题意得复数z 1与23z i =--的实部相等，虚部互为相反数，则z 1可求．【详解】∵复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称， ∴复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z 1＝3i -+． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．2.已知集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，若{}1,0,1,2A B ⋃=-，则实数m 的值为( ) A. 1-或0 B. 0或1 C. 1-或2 D. 1或2【答案】D 【解析】 【分析】根据集合并集的定义即可得到答案. 【详解】集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，且{}1,0,1,2A B ⋃=-，所以1m =或2m =.故选：D【点睛】本题主要考查集合并集的基本运算，属于基础题．3.若sin )θπθ=-，则tan 2θ=( )A. C.【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得tan θ，再利用倍角公式求得tan 2θ的值． 【详解】sin 5cos(2)θπθ=-，∴sin 5cos θθ=，得tan 5θ=，222tan 255tan 21tan 15θθθ∴===---. 故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，倍角公式的应用，属于基础题． 4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类"的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为( )A. 72.5B. 75C. 77.5D. 80【答案】A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求得中位数即可.【详解】在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，∴中位数为：0.50.01100.0310701072.50.0410-⨯-⨯+⨯=⨯.故选：A【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为1，也考查了中位数，属于基础题．5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且533a a =，则95S S =( ) A. 95 B.59 C. 53D. 275【答案】D 【解析】 【分析】将S 9，S 5转化为用a 5，a 3表达的算式即可得到结论.【详解】由等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，∴95S S ＝19159252a a a a +⨯+⨯＝5395a a ，且533a a =，∴95S S ＝95×3＝275.故选：D ．【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题． 6.已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( )A. 若//m α，//n β，且//αβ，则//m nB. 若//m α，//n β，且αβ⊥，则//m nC. 若m α⊥，//n β，且//αβ，则m n ⊥D. 若m α⊥，//n β，且αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案． 【详解】由m ∥α，n ∥β，且α∥β，得m ∥n 或m 与n 异面，故A 错误； 由m ∥α，n ∥β，且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，又n ∥β，则m ⊥n ，故C 正确；由m ⊥α，n ∥β且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题． 7.261(2)()x x x+-的展开式的常数项为( ) A. 25 B. 25-C. 5D. 5-【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式计算即可得出．【详解】61()x x -的展开式的通项公式为：T r +1＝r 6C （x ）6﹣r r1x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 6C （x ）6﹣r()-r x -=r 6C ()1r - ()6-2rx ．令6﹣2r ＝﹣2，或6﹣2r ＝0，分别解得r ＝4，或r ＝3．所以261(2)()x x x+-的展开式的常数项为()44611C ⨯-+2×()33611C ⨯-＝154025.-=-故选：B【点睛】本题考查了二项式定理的应用、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.将函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为( ) A. ()sin(2)6f x x π=+ B. ()sin(2)3f x x π=-C. ()sin(8)6f x x π=+D. ()sin(8)3f x x π=-【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可.【详解】函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到sin(2)6y x π=-的图象，再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数f （x ）＝sin 2()sin(2)666y x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦的图象.故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.已知抛物线24y x =的焦点为F ，,M N 是抛物线上两个不同的点若5MF NF +=，则线段MN 的中点到y 轴的距离为( ) A. 3B.32C. 5D.52【答案】B 【解析】 【分析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可.【详解】由抛物线方程24y x =，得其准线方程为：1x =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由抛物线的性质得，1211=5MF NF x x +=+++，MN ∴中点的横坐标为32， 线段MN 的中点到y 轴的距离为：32. 故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线定义的应用，属于基础题． 10.已知122a =，133b =，3ln 2c =，则( ) A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >>【答案】C【解析】 【分析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a ，b 的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c ＜1．【详解】∵122a ==＝，且133b ==＝，∴1a b <<，3lnln 12e <=．∴b a c >>． 故选：C ．【点睛】本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题．11.已知定义在R 上的数()f x 满足112n n n b b -+-=，当2x ≤时()(1)1xf x x e =--.若关于x的方程()210f x kx k e -+-+=有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A. (2,0)(2,)-+∞ B. (2,0)(0,2)-C. (,0)(,)e e -⋃+∞D. (,0)(0,)e e -⋃【答案】D 【解析】 【分析】根据f （2﹣x ）＝f （2+x ）可知函数f （x ）关于x ＝2对称，利用当2x ≤时()(1)1xf x x e =--，画出函数y ＝f （x ）的大致图象．由题意转化为y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1与f （x ）有三个交点，直线恒过定点（2，e ﹣1），再根据数形结合法可得k 的取值范围． 【详解】由题意，当x ≤2时，f （x ）＝（x ﹣1）e x ﹣1．f ′（x ）＝xe x ．①令f ′（x ）＝0，解得x ＝0；②令f ′（x ）＜0，解得x ＜0；③令f ′（x ）＞0，解得0＜x ≤2．∴f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，在x ＝0处取得极小值f （0）＝﹣2．且f （1）＝﹣1；x →﹣∞，f （x ）→0．又∵函数f （x ）在R 上满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），∴函数f （x ）的图象关于x ＝2对称． ∴函数y ＝f （x ）的大致图象如图所示：关于x 的方程f （x ）﹣kx +2k ﹣e +1＝0可转化为f （x ）＝k （x ﹣2）+e ﹣1．而一次函数y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1很明显是恒过定点（2，e ﹣1）．结合图象，当k ＝0时，有两个交点，不符合题意，当k ＝e 时，有两个交点，其中一个是（1，﹣1）．此时y ＝f （x ）与y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1正好相切．∴当0＜k ＜e 时，有三个交点．同理可得当﹣e ＜k ＜0时，也有三个交点． 实数k 的取值范围为：（﹣e ，0）∪（0，e ）． 故选：D ．【点睛】本题主要考查数形结合法的应用，利用导数分析函数的单调性并画出函数图象，再根据直线过定点而斜率变动分析出斜率的取值范围，属于中档题．12.如图，在边长为2的正方形123APP P 中，线段BC 的端点,B C 分别在边12PP 、23P P 上滑动，且22P B P C x ==，现将1APB ∆，3AP C ∆分别沿AB ，AC 折起使点13,P P 重合，重合后记为点P ，得到三被锥P ABC -.现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当,B C 分别为12PP 、23P P 的中点时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为6π； ③x 的取值范围为(0,42)-；④三棱锥P ABC -体积的最大值为13. 则正确的结论的个数为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得,折叠成的三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱满足PA ⊥PB 、PA ⊥PC ，由线面垂直的判断定理得①正确；三棱锥P ﹣ABC 的外接球的直径等于以PA 、PB 、PC 为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP ＝2、BP ＝CP ＝1，得外接球的半径R＝2P ﹣ABC 的外接球的体积，故②正确；由题意得(0,2)x ∈，BC =，312PC PB PB PC x ====-，在CPB ∆中，由边长关系得(0,4-，故③正确；由等体积转化P ABC A PBC V V --=计算即可，故④错误.【详解】由题意得，折叠成的三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱满足PA ⊥PB 、PA ⊥PC ， 在①中，由PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，且PB PC P =，所以AP ⊥平面PBC 成立，故①正确； 在②中，当,B C 分别为12PP 、23P P 的中点时，三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱两两垂直，三棱锥P ﹣ABC 的外接球直径等于以PA 、PB 、PC 为长、宽、高的长方体的对角线长，结合AP ＝2、BP ＝CP ＝1x =，得外接球的半径R ＝22=，所以外接球的表面积为224462S R πππ⎛==⨯= ⎝⎭，故②正确；在③中，正方形123APP P 的边长为2，所以(0,2)x ∈，BC =，312PC PB PB PC x ====-，在CPB ∆中，由边长关系得2x -+2x ->，解得(0,4x ∈-，故③正确； 在④中，正方形123APP P 的边长为2，且22PB PC x ==，则2PB PC x ==-， 所以()()222111sin 223263P ABCA PBCx VV CP BP CPB AP x ---==⨯⨯⨯∠⨯≤⨯-⨯=在(0,422)-上递减，无最大值，故④错误.故选：C【点睛】本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、等体积转化求三棱锥的体积最值等知识，属于中档题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数,x y 满足约束条件402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为_______.【答案】6 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足约束条件402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域如图：（阴影部分）由2z x y =+得y ＝﹣12x +12z ，平移直线y ＝﹣12x +12z ， 由图象可知当直线y ＝﹣12x +12z 经过点A 时，直线y ＝﹣12x +12z 的截距最大，此时z 最大．由40220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得A （2，2），代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6.故答案为：6．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题．14.设正项等比数列{}n a 满足481a =，2336a a +=，则n a =_______. 【答案】3n 【解析】 【分析】将已知条件转化为基本量a 1，q 的方程组，解方程组得到a 1，q ，进而可以得到a n ． 【详解】在正项等比数列{}n a 中，481a =，2336a a +=，得312118136a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得133a q =⎧⎨=⎩，∴a n ＝11n a q -⋅＝3•3n ﹣1＝3n . 故答案为：3n【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题．15.已知平面向量a ，b 满足||2a =，||3b =，且()b a b ⊥-，则向量a 与b 的夹角的大小为_______. 【答案】6π【解析】 【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量a 与b 的夹角即可． 【详解】∵平面向量a ，b 满足||2a =，||3b =，且()b a b ⊥-，∴2()0b a b b a b ⋅-=⋅-=，∴2b a b ⋅=．设向量a 与b 的夹角的大小为θ，则，求得cosθ＝2，∵[]0,θπ∈ ，故θ＝6π. 故答案为：6π． 【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．16.已知直线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>相交于不同的两点,A B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足||3||AF BF =，||OA b =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为_______.【答案】3 【解析】 【分析】取双曲线的右焦点'F ，连接A 'F ，B 'F ，可得四边形A 'F BF 为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值． 【详解】设|BF |＝m ，则|||3||3AF BF m ==，取双曲线的右焦点'F ，连接A 'F ，B 'F ，可得四边形A 'F BF 为平行四边形，可得|A 'F |＝|BF |＝m ，设A 在第一象限，可得3m ﹣m ＝2a ，即m ＝a ，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b ）2+（2c ）2＝2（a 2+9a 2），化为c 2＝3a 2，则e ＝ca＝3． 故答案为：3．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平行四边形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22223b c a +-=. （1）求sin A 的值；（2）若ABC ∆223sin B C =，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）13；（2）2632【解析】【分析】（1）由已知条件结合余弦定理可求cos A 的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sin A 的值．（2）利用三角形的面积公式可求bc b ＝3c ，解得b ，c 的值，根据余弦定理可求a 的值，即可求解三角形的周长．【详解】（1）∵222b c a +-=，∴由余弦定理可得2bc cos A ＝3bc ，∴cos A ＝3，∴在△ABC 中，sin A ＝13．（2）∵△ABC ，即12bc sin A ＝16bc ，∴bc ＝，sin B ＝3sin C ，b ＝3c ，∴b ＝，c ＝2，则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝6，a ∴=，所以周长为2abc ++=+.【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G 手机的员工称为“追光族"，计划在明年及明年以后才购买5G 手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.（1）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）已知被抽取的这100名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”.现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X 的分布列及数学期望.附22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++【答案】（1）表见解析，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）分布列见解析，()9 10E X=【解析】【分析】（1）根据题意，列出列联表，计算K2，查表判断即可；（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可．【详解】（1）由题意得，2×2列联表如下：22100(20204020)25= 2.778406040609K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.841<，故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）由题意得，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3，373107(0)24C P X C ===；123731021(1)40C C P X C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 333101(3)120C P X C ===.所以X 的分布列为X 0 1 2 3P724 2140 740 112021719()123.404012010E X ∴=⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查了独立性检验，考查了超几何分布，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．19.如图，在四棱锥P ABCD - 中，AP ⊥平面PBC ，底面ABCD 为菱形，且60ABC ︒∠=，E 为BC 的中点.（1）证明：BC ⊥平面PAE ；（2）若2AB =，1PA =，求平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）33【解析】【分析】（1）根据菱形基本性质得BC⊥AE，再由线面垂直得BC⊥AP，故BC⊥平面PAE；（2）以P为坐标原点，,,PE PQ PA的方向分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BAP与平面CDP的法向量计算即可.【详解】（1）连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE；（2）因为AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，PA＝1，所以PB＝3，由（1）得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC＝3，EC＝1，所以PE＝2，如图，过点P作BC的平行线PQ，则PQ，PE，PA两两互相垂直，以P为坐标原点，,,PE PQ PA的方向分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，0），A（0，0，1），B（2，﹣1，0），C（2，1，0），D（0，2，1），设平面BAP的一个法向量m＝（x，y，z），又PA＝（0，0，1），PB＝（2，﹣1，0），由m PAm PB⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2x﹣y＝0，z＝0，令x＝1，则m＝（1，2，0），设平面CDP的一个法向量n＝（a，b，c），又PC＝（2，1，0），PD＝（0，2，1），由n PCn PD⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2a+b＝0，2y+z＝0，令a＝1，则n＝（1，﹣2，22），所以33cos,311m n==-⋅，即平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值为3333．【点睛】本题考查空间平面二面角问题，涉及证明线面垂直等知识点，建系是解决该类问题的常用方法，属于中档题． 20.已知函数()(1)ln af x a x x x=-++，.a R ∈ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a <-时，证明：(1,)x ∀∈+∞，2().f x a a >-- 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析； 【解析】 【分析】（1）求出导数，讨论a 的取值范围，求出单调区间；（2）由（1）得函数函数()f x 在(1,)+∞内的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=----，根据题意转化为2(1)ln()10a a a +--->在1a <-恒成立即可.【详解】（1）22221(1)(1)()()1a a x a x a x x a f x x x x x'-+---+=+-==,因为0,x a R >∈， 当0a ≥时，0x a +>，函数()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增； 当10a -<<时，即01a <-<，函数()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当1a =-时，22(1)()0x f x x'-=，函数()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当1a <-时，即1a ->，函数()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增；综上：当0a ≥时，()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当10a -<<时，()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增； 当1a =-时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当1a <-时，()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增. （2）当1a <-时，由（1）可得函数()f x 在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增，∴函数()f x 在(1,)+∞内的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=----，要证：不等式2().f x a a >--成立， 即证：2(1)ln()1a a a a a --<----，即证：()2(1)ln()(1)1l 01n a a a a a a ⎡⎤+--=-++->⎣⎦-，1a <-，即证：()1ln 0a a ++-<， 令1(1)()ln 1(1),()10x h x x x x h x x x'--=-+≥=-=≤， 则函数()h x 在[1,)+∞内单调递减，()(1)0h x h ≤=，因为1,1a a <-∴->， 则()ln()10h a a a -=-++<，即当1a <-时，ln()1a a -<--成立 则当1a <-时，2(1,),()x f x a a ∀∈+∞>--成立.【点睛】本题考查利用导数求函数单调性，运用分类讨论思想是关键，涉及构造新函数求区间等问题，属于中档题．21.已知椭圆C :2212x y +=的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l ：2x =与x 轴相交于点H ，过点A作AD l ⊥，垂足为D.（1）求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围； （2）证明直线BD 过定点E ，并求出点E 的坐标. 【答案】（1）；（2）证明见解析，3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由题意设直线AB 的方程，代入椭圆整理得纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，根据底相同，列出关于面积的函数式，再结合均值不等式可得面积的取值范围； （2）由（1）得B ，D 的坐标，设直线BD 的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD 过定点．【详解】（1）由题F （1,0），设直线AB ：()()11221(),,,,x my m R A x y B x y =+∈，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()222210m y my ++-=，因为()224420m m ∆=++>，12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 则1z y y -=== 所以四边形OAHB的面积12121||2S OH y y y y =⋅-=-=，,1,t t S t t t=∴∴==+因为12t t+（当且仅当t =1即m =0时取等号），所以02S <，所以四边形OAHB 的面积取值范围为；（2）()()221,,2,B x y D y ，所以直线BD 的斜率1222y y k x -=-，所以直线BD 的方程为1212(2)2y y y y x x --=--，令y =0，可得212121212122,x y zy my y y y x y y y y -+-==--①由（1）可得121212122221,,222m y y y y y y my y m m +=-=-∴+=++ 化简①可得()()112121212123222z s y y y y y y x y y y y ++--===--则直线BD 过定点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，四边形面积的取值范围，求直线的方程，证明直线过定点的等问题，考查运算能力，属于中档题．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是曲线1C ：22(2)4x y +-=上的动点，将OP 绕点O 顺时针旋转90︒得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，点(3,)2M π，射线(0)6πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别相交于异于极点O的,A B 两点，求MAB ∆的面积.【答案】（1）曲线1C ：4sin ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=；（2【解析】 【分析】（1）由题意，点Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得曲线C 1，C 2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB |＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M （3，2π）到射线()06πθρ=≥的距离h ＝3sin 3π=，即可求得△MAB 的面积．【详解】（1）由题意，点Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C 2：22(2)4x y -+=，∵ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，124sincos1).66AB ππρρ∴=-=-=又点(3,)2M π到射线(0)6πθρ=≥的距离为3sin32h π==MAB ∴∆的面积12S AB h =⋅= 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，属于中档题．23.已知函数() 3.f x x =-（1）解不等式()421f x x ≥-+；（2）若142(0,0)m n m n+=>>，求证：3().2m n x f x +≥+-【答案】（1）2(,][0,)3-∞-⋃+∞；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）原不等式可化为：|x ﹣3|≥4﹣|2x +1|，即|2x +1|+|x ﹣3|≥4，分段讨论求出即可； （2）由基本不等式得m n +的最小值92，转化为|x +32|﹣f （x ）≤92恒成立即可．【详解】（1）原不等式化为3421x x -≥-+，即213 4.x x ++-≥ ①12x ≤-时，不等式化为2134x x ---+≥，解得23x ≤-； ②132x -<<时，不等式化为2134x x +-+≥，解得0x ≥，03x ∴≤<； ③3x ≥时，不等式化2134x x ++-≥，解得2x ≥，3x ∴≥.综上可得：原不等式解集为2(,][0,)3-∞-⋃+∞.（2）() 3.f x x =-3339()3(3)2222x f x x x x x ∴+-=+--≤+--=， 当且仅当3()(3)02x x +-≥且332x x +≥-时取等号.又142(0,0)m n m n+=>>，1141419()()(5)(52222n m m n m n m n m n ∴+=++=++≥+=， 当且仅当4n m m n=时取等号.∴3().2m n x f x +≥+-【点睛】考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，利用分类讨论的思想结合绝对值的性质和基本不等式的应用，属于中档题．。

2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A.−3iB.−3+iC.3+iD.3−i2.已知集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，若A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则实数m的值为（）A.−1或0B.0或1C.−1或2D.1或23.若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（）A.−√53B.√53C.−√52D.√524.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A.72.5B.75C.77.5D.805.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.95B.59C.53D.2756.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若m // α，n // β，且α // β，则m // nB.若m // α，n // β，且α⊥β，则m // nC.若m⊥α，n // β，且α // β，则m⊥nD.若m⊥α，n // β且α⊥β，则m⊥n7.(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为（）A.25B.−25C.5D.−58.将函数y＝sin(4x−π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为（）A.f(x)=sin(2x+π6) B.f(x)=sin(2x−π3)C.f(x)=sin(8x+π6) D.f(x)=sin(8x−π3)9.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A.3B.32C.5 D.5210.已知a=212,b=313,c=ln32，则（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)＝f(2+x)，当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−1．若关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−e, 0)∪(0, +∞)D.(−e, 0)∪(0, e)12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P 1，P 3重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P −ABC ．现有以下结论： ①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为(0, 4−2√2)； ④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13． 则正确的结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 ，则z ＝x +2y 的最大值为________．设正项等比数列{a n }满足a 4＝81，a 2+a 3＝36，则a n ＝________．已知平面向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=√3，且b →⊥(a →−b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为________．已知直线y ＝kx 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．bc．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2−a2=4√23 (Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若△ABC的面积为√2，且√2sinB＝3sinC，求△ABC的周长某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；(Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．附：K2=n(ad−bc)2，其中n＝a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC ＝60∘，E分别为BC的中点．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PAE；(Ⅱ)若AB＝2．PA＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．已知函数f(x)＝(a−1)lnx+x+ax，a∈R．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a<−1时，证明∀x∈(1, +∞)，f(x)>−a−a2．已知椭圆C:x 22+y2＝1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l:x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D．(Ⅰ)求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；(Ⅱ)证明直线BD过定点E．并求出点E的坐标请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1:x2+(y−2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90∘得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3, π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．[选修45：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x+l|；(Ⅱ)若1m +4n=2(m>0, n>0)，求证：m+n≥|x+32|−f(x)．2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A.−3iB.−3+iC.3+iD.3−i【解答】∵复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝−3+i．2.已知集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，若A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则实数m的值为（）A.−1或0B.0或1C.−1或2D.1或2【解答】集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，因为A，B本身含有元素−1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠−1，0即可，故m＝1或2，3.若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（）A.−√53B.√53C.−√52D.√52【解答】若sinθ=√5cosθ，则tanθ=√5，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−√52，4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A.72.5B.75C.77.5D.80【解答】由频率分布直方图得：[50, 70)的频率为：(0.010+0.030)×10＝0.4，[70, 80)的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+0.5−0.40.4×10=72.(5)5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.95B.59C.53D.275【解答】依题意，S9S5=a1+a92×9a1+a52×5=9a55a3，又a5a3=3，∴S9S5=95×3=275，6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若m // α，n // β，且α // β，则m // nB.若m // α，n // β，且α⊥β，则m // nC.若m⊥α，n // β，且α // β，则m⊥nD.若m⊥α，n // β且α⊥β，则m⊥n【解答】由m // α，n // β，且α // β，得m // n或m与n异面，故A错误；由m // α，n // β，且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α // β，得m⊥β，又n // β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n // β且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故D错误．7.(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为（）A.25B.−25C.5D.−5【解答】(x−1x )6的通项公式为T r+1=∁6r x6−r(−1x)r＝(−1)r∁6r x6−2r，r＝0，1，2， (6)则(x 2+2)(x −1x )6的展开式的常数项须6−2r ＝0或者6−2r ＝−2⇒r ＝3或者r ＝4：∴常数项为(−1)4∁64+2×(−1)3∁63=15−40＝−(25)8.将函数y ＝sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为（ ） A.f(x)=sin(2x +π6) B.f(x)=sin(2x −π3) C.f(x)=sin(8x +π6) D.f(x)=sin(8x −π3)【解答】函数y ＝sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y ＝sin(2x −π6)的图象，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)＝sin(2x +π6)的图象， 9.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN 的中点到y 轴的距离为（ ） A.3 B.32C.5D.52【解答】由抛物线方程得，准线方程为：x ＝−1， 设M(x, y)，N(x ′, y ′)，由抛物线的性质得，MF +NF ＝x +x ′+p ＝x +x ′+2＝5， 中点的横坐标为32，线段MN 的中点到y 轴的距离为：32， 10.已知a =212,b =313,c =ln 32，则（ ） A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >c D.b >c >a【解答】∵a =√2=√86，b =√33=√96，∴1<a <b ． c ＝ln 32<(1) ∴c <a <b ．故选：C．11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)＝f(2+x)，当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−1．若关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−e, 0)∪(0, +∞)D.(−e, 0)∪(0, e)【解答】②令f′(x)<0，解得x<0(1)③令f′(x)>0，解得0<x≤(2)∴f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, 2]上单调递增，在x＝0处取得极小值f(0)＝−(2)且f(1)＝−1；x→−∞，f(x)→(0)又∵函数f(x)在R上满足f(2−x)＝f(2+x)，∴函数f(x)的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f(x)的大致图象如下：关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0可转化为f(x)＝k(x−2)+e−(1)而一次函数y＝k(x−2)+e−1很明显是恒过定点(2, e−1)．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝e时，有两个交点，其中一个是(1, −1)．此时y＝f(x)与y＝k(x−2)+e−1正好相切．∴当0<k<e时，有三个交点．同理可得当−e<k<0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：(−e, 0)∪(0, e)．故选：D．12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P−ABC．现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为(0, 4−2√2)； ④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13． 则正确的结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4【解答】当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，PB ＝PC ＝1，BC =√2， 所以PB 2+PC 2＝BC 2，又AP ⊥平面PBC ，所以PA ，PB ，PC 两两垂直，所以三棱锥P −ABC 的外接球与 以PA ，PB ，PC 为长宽高的长方体的外接球半径相等． 设半径为r ，所以(2r)2＝22+12+12＝6，S ＝4πr 2＝6π．即三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π，②正确（1）因为P 2B ＝P 2C ＝x ，所以PB ＝PC ＝2−x ，而BC =√2x ，故2(2−x)>√2x ，解得x <4−2√2，③正确（2）因为△PBC 的面积为S =12×√2x ×√(2−x)2−(√22x)2=12√x 4−8x 3+8x 2 设f(x)＝x 4−8x 3+8x 2，f′(x)＝4x 3−24x 2+16x ＝4x(x 2−6x +4)当0<x <3−√5时，f′(x)>0，当3−√5<x <4−2√2时，f′(x)<0 f m ax ＝f(3−√5)>f(1)=12，所以S >12． V P−ABC ＝V A−PBC =13S ×2=23S >13，④错误． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 ，则z ＝x +2y 的最大值为________． 【解答】作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 对应的平面区域如图：（阴影部分）由z ＝x +2y 得y =−12x +12z ， 平移直线y =−12x +12z ，由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A 时，直线y =−12x +12z 的截距最大， 此时z 最大． 由{x +y −4=0x −2y +2=0，解得A(2, 2)，代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6设正项等比数列{a n }满足a 4＝81，a 2+a 3＝36，则a n ＝________． 【解答】依题意{a 1q 3=81a 1q +a 1q 2=36 ，解得{a 1=3q =3 ，∴a n =a 1⋅q n−1=3⋅3n−1＝3n ，已知平面向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=√3，且b →⊥(a →−b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为________． 【解答】∵平面向量a →，b →满足|a →|＝2，b →=√3，且b →⊥(a →−b →)， ∴b →⋅(a →−b →)=b ¯⋅a →−b →2=0，∴a →⋅b →=b →2． 设向量a →与b →的夹角的大小为θ，则2⋅√3⋅cosθ＝3， 求得cosθ=√32，故θ=π6，已知直线y ＝kx 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为________． 【解答】设|BF|＝m ，则|AF|＝3|BF|＝3m ， 取双曲线的右焦点F ′，连接AF ′，BF ′， 可得四边形AF ′BF 为平行四边形，可得|AF ′|＝|BF|＝m ，设A 在第一象限，可得3m −m ＝2a ，即m ＝a ， 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和， 可得(2b)2+(2c)2＝2(a 2+9a 2)， 化为c 2＝3a 2，则e =ca =√3．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2−a 2=4√23bc ． (Ⅰ)求sinA 的值；(Ⅱ)若△ABC 的面积为√2，且√2sinB ＝3sinC ，求△ABC 的周长 【解答】（1）∵b 2+c 2−a 2=4√23bc ， ∴由余弦定理可得2bccosA =4√23bc ， ∴cosA =2√23， ∴在△ABC 中，sinA =√1−cos 2A =13．（2）∵△ABC 的面积为√2，即12bcsinA =16bc =√2， ∴bc ＝6√2，又∵√2sinB＝3sinC，由正弦定理可得√2b＝3c，∴b＝3√2，c＝2，则a2＝b2+c2−2bccosA＝6，∴a=√6，∴△ABC的周长为2+3√2+√6．某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；(Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．，其中n＝a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】（1）由题，2×2列联表如下：∵K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(20×20−40×20)240×60×60×40=259≈2.778<3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）由题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，P(X＝0)=C30C73C03=724，P(X＝1)=C31C72C103=2140，P(X＝2)=C32C71C103=740，P(X＝3)=C33C103=1120，∴X的分布列为：∴E(X)＝1×2140+2×740+3×1120=910．如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC ＝60∘，E分别为BC的中点．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PAE；(Ⅱ)若AB＝2．PA＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）如图，连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60∘，所以△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE；（2）因为AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，PA＝1，所以PB=√3，由(Ⅰ)得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC=√3，EC＝1，所以PE =√2，如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，PE →,PQ →,PA →的方向分别为xyz 轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则P(0, 0, 0)，A(0, 0, 1)，B(√2, −1, 0)，C(√2, 1, 0)，D(0, 2, 1)， 设平面BAP 的一个法向量m →=(x, y, z)，又PA →=(0, 0, 1)，PB →=(√2, −1, 0)，由{m →⋅PA →=0m →⋅PB →=0，得√2x −y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m →=(1, √2, 0)， 设平面CDP 的一个法向量n →=(a, b, c)，又PC →=(√2, 1, 0)，PD →=(0, 2, 1)，由{m →⋅PC →=0m →⋅PD →=0，得√2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n →=(1, −√2, 2√2)， 所以cos <m →,n →>=√3⋅√11=−√3333， 即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为√3333．已知函数f(x)＝(a −1)lnx +x +ax ，a ∈R ． (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a <−1时，证明∀x ∈(1, +∞)，f(x)>−a −a 2． 【解答】 （1）f′(x)=a−1x+1−ax 2=x 2+(a−1)x−ax 2=(x−1)(x+a)x 2，因为x >0，a ∈R ，所以当a ≥0时，x +a >0，所以函数在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当−1<a <0时，0<−a <1，函数f(x)在(0, −a)上单调递增，在(−a, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当a ＝−1时，f′(x)=(x−1)2x 2≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a <−1时，−a >1，函数f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；（2）当a <−1时，由(Ⅰ)得，函数f(x)在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；函数f(x)在(1, +∞)上的最小值为f(−a)＝(a −1)ln(−a)−a −1， 欲证明不等式f(x)>−a −a 2成立，即证明−a −a 2<(a −1)ln(−a)−a −1，即证明a 2+(a −1)ln(−a)−1>0，因为a <−1，所以只需证明ln(−a)<−a −1， 令ℎ(x)＝lnx −x +1(x ≥1)，则ℎ′(x)=1x −1=−(x−1)x≤0，所以函数ℎ(x)在[1, +∞)上单调递减，则有ℎ(x)≤ℎ(1)＝0， 因为a <−1，所以−a >1，所以ℎ(−a)＝ln(−a)+a +1<0，即当a <−1时，ln(−a)<−a −1成立， 所以当a <−1时，任意x ∈(1, +∞)，f(x)>−a −a 2． 已知椭圆C:x 22+y 2＝1的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l:x ＝2与x 轴相交于点H ，过点A 作AD ⊥l ，垂足为D ．(Ⅰ)求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围； (Ⅱ)证明直线BD 过定点E ．并求出点E 的坐标 【解答】（1）由题意F(1, 0)，设直线AB 的方程：x ＝my +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，与抛物线联立(m 2+2)y 2+2my −1＝0，因为△＝4m 2+4(m 2+2)>0，y 1+y 2=−2m2+m 2，y 1y 2=−12+m 2，所以|y 1−y 2|=√(y 1−y 2)2−41yy 2=2√2√1+m 22+m 2， 所以四边形OAHB 的面积S =12|OH|⋅|y 1−y 2|＝|y 1−y 2|=2√2⋅√1+m 22+m 2，令t =√1+m 2≥1，S =2√2t1+t =2√2t+1t≤√2，当且仅当t ＝1时，即m ＝0时取等号，所以0<S ≤√2，所以四边形OAHB 的面积的取值范围为(0, √2,](2) B(x2, y2)，D(2, y1)，k BD=y1−y22−x2，所以直线BD的方程：y−y1=y1−y2 2−x2(x−2)，令y＝0，得x=x2y1−2y2y1−y2=my1y2+y1−2y2y1−y2由(Ⅰ)得，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m2，所以y1+y2＝2my1y2，化简得x=12(y1+y2)+y1−2y2y1−y2=32(y1−y2)y1−y2=32，所以直线BD过定点E(32, 0)．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1:x2+(y−2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90∘得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3, π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．【解答】（1）由题意，点Q的轨迹是以(2, 0)为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：(x−2)2+y2＝4，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4|sinπ6−cosπ6|=2(√3−1)．又∵M(3, π2)到射线θ=π6(ρ≥0)的距离ℎ=3sinπ3=3√32．∴△MAB的面积S=12|AB|⋅ℎ=9−3√32．[选修45：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x+l|；(Ⅱ)若1m +4n=2(m>0, n>0)，求证：m+n≥|x+32|−f(x)．【解答】（I ）原不等式可化为：|x −3|≥4−|2x +1|，即|2x +1|+|x −3|≥4， 当x ≤−12时，不等式−2x −1−x +3≥4，解得x ≤−23，故x ≤−23； 当−12<x <3时，不等式2x +1−x +3≥4，解得x ≥0，故0≤x <3； 当x ≥3时，不等式2x +1+x −3≥4，解得x ≥0，故x ≥3； 综上，不等式的解集为(−∞, −23]∪[0, +∞)； (II)因为f(x)＝|x −3|，所以|x +32|−f(x)＝||x +32|−|x −3|≤|x +32−x +3|=92，当且仅当(x +32)(x +3)≥0，且|x +32|≥|x −3|时，取等号， 又1m +4n =2(m >0, n >0)，所以(m +n)(1m +4n )≥(1+2)2＝9，当且仅当m ＝2n 时，取得等号， 故m +n ≥92，所以m +n ≥|x +32|−f(x)成立．。

四川省成都市2020届高考一诊模拟试卷数学（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|x＞1}，B={x|x＜5}，则A∩B=（）A. {x|1＜x＜5}B. {x|x＞1}C. {2，3，4}D. {1，2，3，4，5}2.已知复数z满足iz=1+i，则z的共轭复数=（）A. 1+iB. 1-iC.D. -1-i3.若等边△ABC的边长为4，则•=（）A. 8B. -8C.D. -84.在（2x-1）（x-y）6的展开式中x3y3的系数为（）A. 50B. 20C. 15D. -205.若等比数列{a n}满足：a1=1，a5=4a3，a1+a2+a3=7，则该数列的公比为（）A. -2B. 2C. ±2D.6.若实数a，b满足|a|＞|b|，则（）A. e a＞e bB. sin a＞sin bC.D.7.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，点E，F分别为棱BB1，CC1上两点，且BE=BB1，CF=CC1，则（）A. D1E≠AF，且直线D1E，AF异面B. D1E≠AF，且直线D1E，AF相交C. D1E=AF，且直线D1E，AF异面D. D1E=AF，且直线D1E，AF相交8.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m-1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A. m≤2B. m≥4C. 1＜m≤2D. 0＜m≤39.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为（）A. B. C. D.10.函数f（x）=的图象大致为（）A. B.C. D.11.设圆C：x2+y2-2x-3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则线段PC长度的最大值为（）A. B. 2 C. 4 D.12.设函数f（x）=cos|2x|+|sin x|，下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）的最小正周期为π；③f（x）的最小值为0；④f（x）在[0，2π]上有3个零点．其中所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若等差数列{a n}满足：a1=1，a2+a3=5，则a n=______．14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为______．15.已知双曲线C：x2-=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与两条渐进线交于A，B两点，若•=0，=λ，则λ=______．16.若函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，消费次第第1次第2次第3次第4次≥5次收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：消费次第第1次第2次第3次第4次第5次频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X 的分布列和数学期望E（X）．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（Ⅰ）求sin B；（Ⅱ）若△ABC的周长为8，求△ABC的面积的取值范围．19.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ADC=60°，，．（Ⅰ）证明：平面CDD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D1-AD-C的余弦值．20.设椭圆，过点A（2，1）的直线AP，AQ分别交C于不同的两点P，Q，直线PQ恒过点B（4，0）．（Ⅰ）证明：直线AP，AQ的斜率之和为定值；（Ⅱ）直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使得|GM|•|GN|为定值？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．21.设函数，，．（Ⅰ）证明：f（x）≤0；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数）与曲线C：（m为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当α=时，求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）若|MA||MB|=2||MA|-|MB||，其中M（，0），求直线l的倾斜角．23.已知函数f（x）=|x+1|+|ax-1|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，证明：a+b≥0．答案和解析1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】C12.【答案】B13.【答案】n14.【答案】0.415.【答案】116.【答案】[，1）∪{2}∪[e，+∞）17.【答案】解：（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，∴估计一位会员至少消费两次的概率为．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），∴公司这两次服务的平均利润为（元）．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，X的分布列为：X5045403530P0.60.20.10.050.05X数学期望为E（X）=50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05=46.25（元）．【解析】（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，即可得出估计一位会员至少消费两次的概率．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），即可得出公司这两次服务的平均利润．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，即可得出X的分布列．本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵且sin（A+C）=sin B∴，又∵∴，∴，∴，∴，∴．（2）由题意知：a+b+c=8，故b=8-（a+c）∴，∴∴，，∴∴，或（舍），即∴（当a=c时等号成立）综上，△ABC的面积的取值范围为．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．（2）利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】（1）证明：令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，∵，∴D1O⊥DC且又∵底面ABCD为边长为2的菱形，且∠ADC=60°，∴AO=，又∵，∴，∴D1O⊥OA，又∵OA，DC⊆平面ABCD，OA∩DC=O，又∵D1O⊆平面CDD1，∴平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，∵D1O⊥平面ABCD，∴D1O⊥AD，∴AD⊥平面OHD1，∴AD⊥HD1，∴∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，又∵OD=1，∠ODA=60°，∴，∴，∴．【解析】（1）令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，证明D1O⊥DC，D1O⊥OA，然后证明平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，说明∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，通过求解三角形，求解即可．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，由得（1+4k2）x2-32k2x+64k2-8=0，△＞0，可得：，，，==；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，得x3=2-，即M（2-，0），同理，即N（2-，0），设x轴上存在定点G（x0，0），=|（x0-2）2+（x0-2）（）+|=，要使|GM|•|GN|为定值，即x0-2=1，x0=3，故x轴上存在定点G（3，0）使|GM|•|GN|为定值，该定值为1．【解析】（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线y=k（x-4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得到得证；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，求得M的坐标，同理可得N的坐标，再由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积．本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=-cos x在x∈[0，]上单调递增，f′（x）∈[-1，]，所以存在唯一x0∈（0，），f′（x0）=0．当x∈（0，x0），f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（x0，），f′（x）＞0，f（x）递增．所以f（x）max=max=0，∴f（x）≤0，0≤x≤；（Ⅱ）g′（x）=-sin x+m（x-），g″（x）=-cos x+m，当m≥0时，g′（x）≤0，则g（x）在[0，]上单调递减，所以g（x）min=g（）=，满足题意．当-＜m＜0时，g″（x）在x上单调递增．g''（0）=+m＞0，所以存在唯一x1∈（0，），g″（x1）=0．当x∈（0，x1），g″（x）＜0，则g′（x）递减；当x∈（x1，），g″（x）＞0，则g′（x）递增．而g′（0）=-m＞0，g′（）=0，所以存在唯一x2，g′（x2）=0，当x∈（0，x2），g′（x）＞0，则g（x）递增；x，g′（x）＜0，则g（x）递减．要使g（x）≥恒成立，即，解得m≥，所以≤m＜0，当m≤-时，g″（x）≤0，当x∈[0，]，g′（x）递减，又，g′（x）≥0，所以g（x）在递增．则g（x）≤g（）=与题意矛盾．综上：m的取值范围为[，+∞）．【解析】（Ⅰ）利用f（x）的导数可先判断出其单调区间，比较可求出函数的最大值，即可证；（Ⅱ）对g（x）二次求导判断出m≥0时，可求出g（x）min=g（）=，当-＜m＜0时，与题意矛盾，综合可求出m的取值范围．本题考查利用导数求函数单调区间，求函数最值问题，还涉及函数恒成立问题，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程为y=x-；由曲线C：（m为参数），消去参数m，可得曲线C的普通方程为y2=2x；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，得．，．由|MA||MB|=2||MA|-|MB||，得|t1t2|=2|t1+t2|，即，解得|cosα|=．∴直线l的倾斜角为或．【解析】（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程；直接把曲线C的参数方程消去参数m，可得曲线C的普通方程；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知等式列式求得|cosα|=，则直线l的倾斜角可求．本题考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-1|=．∵f（x）≤4，∴或-1≤x≤1或，∴1＜x≤2或-1≤x≤1或-2≤x＜-1，∴-2≤x≤2，∴不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．（Ⅱ）证明：当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，则x+1+|ax-1|≤3x+b，∴|ax-1|≤2x+b-1，∴-2x-b+1≤ax-1≤2x+b-1，∴，∵x≥1，∴，∴，∴a+b≥0．【解析】（Ⅰ）将a=1代入f（x）中，然后将f（x）写出分段函数的形式，再根据f（x）≤4分别解不等式即可；（Ⅱ）根据当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，可得|ax-1|≤2x+b-1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

六大注意1 考生需自己粘贴答题卡的条形码考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。

粘贴前，注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。

如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。

万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。

只要条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。

2 拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况，尽管这种可能性非常小。

如果有，及时举手报告；如无异常情况，请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。

写好后，放下笔，等开考信号发出后再答题，如提前抢答，将按违纪处理。

3 注意保持答题卡的平整填涂答题卡时，要注意保持答题卡的平整，不要折叠、弄脏或撕破，以免影响机器评阅。

若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的，及时报告监考老师用备用卡解决，但耽误时间由本人负责。

不管是哪种情况需启用新答题卡，新答题卡都不再粘贴条形码，但要在新答题卡上填涂姓名、考生号、考场号和座位号。

4 不能提前交卷离场按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。

如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。

5 不要把文具带出考场考试结束，停止答题，把试卷整理好。

然后将答题卡放在最上面，接着是试卷、草稿纸。

不得把答题卡、试卷、草稿纸带出考场，试卷全部收齐后才能离场。

请把文具整理好，放在座次标签旁以便后面考试使用，不得把文具带走。

6 外语听力有试听环外语考试14:40入场完毕，听力采用CD播放。

14：50开始听力试听，试听结束时，会有“试听到此结束”的提示。

听力部分考试结束时，将会有“听力部分到此结束”的提示。

听力部分结束后，考生可以开始做其他部分试题。

四川省成都市2020届高三数学第一次诊断考试试题文本试卷分选择题和非选择题两部分。

第I卷(选择题)1至2页，第II卷(非选择题)3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。

四川省成都市2020 届高三数学第一次诊疗考试一试题文本试卷分选择题和非选择题两部分。

第I 卷( 选择题)1 至 2页，第II 卷 ( 非选择题)3 至 4 页，共 4 页，满分150 分，考试时间120 分钟。

注意事项1.答题前，务势必自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的地点上。

2.答选择题时，一定使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦擦洁净后，再选涂其余答案标号。

3.答非选择题时，一定使用 0.5 毫米黑色署名笔，将答案书写在答题卡规定的地点上。

4.全部题目一定在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，只将答题卡交回。

第 I 卷( 选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。

1. 若复数 z1与 z2＝－ 3－ i(i为虚数单位)在复平面内对应的点对于实轴对称，则(A) － 3－ i (B)－3＋i(C)3＋i(D)3－iz1＝2.已知会合 A＝ { － l ， 0，m}， B＝ {l ， 2} 。

若 A∪ B＝ { － l ， 0，1， 2} ，则实数 m的值为(A) － l 或 0 (B)0或1(C)－l或2(D)l或23.若，则 tan2 θ＝(A)(B)(C)(D)4.已知命题 p：，则为(A)(B)(C)(D)5. 某校随机抽取100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00 名同学的得分都在 [50 ， 100] 内，按得分分红 5 组： [50 ， 60) ，[60 ， 70) ，[70 ， 80) ， [80 ，90) ， [90 ，100] ，获得如下图的频次散布直方图。

则这100 名同学的得分的中位数为(A)72.5 (B)75 (C)77.5 (D)806.设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，且 a n≠0，若 a5＝ 3a3，则(A)(B)(C)(D)7.已知α，β是空间中两个不一样的平面， m，n 是空间中两条不一样的直线，则以下说法正确的是(A) 若 m∥α， n∥β，且α∥β，则 m∥ n (B) 若 m∥α， n∥β，且α⊥β，则 m∥ n(C) 若 m⊥α， n∥β，且α∥β，则 m⊥ n (D) 若 m⊥α， n∥β且α⊥β，则 m⊥ n8. 将函数 y＝ sin(4x － ) 图象上全部点的横坐标伸长到本来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) ，再把所得图象向左平移个单位长度，获得函数f(x) 的图象，则函数 f(x) 的分析式为(A)f(x) ＝ sin(2x ＋ ) (B)f(x) ＝ sin(2x － )(C)f(x) ＝ sin(8x ＋ ) (D)f(x) ＝ sin(8x － )9. 已知抛物线 y2＝ 4x 的焦点为F，M，N是抛物线上两个不一样的点。

2020届四川省成都市高三上学期第一次诊断性检测数学（理）试题一、单选题1．若复数1z 与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则1z =( )A ．3i --B ．3i -+C ．3i +D ．3i -【答案】B【解析】由题意得复数z 1与23z i =--的实部相等，虚部互为相反数，则z 1可求． 【详解】∵复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z 1＝3i -+． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．2．已知集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，若{}1,0,1,2A B ⋃=-，则实数m 的值为( ) A ．1-或0 B ．0或1 C ．1-或2 D ．1或2 【答案】D【解析】根据集合并集的定义即可得到答案. 【详解】Q 集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，且{}1,0,1,2A B ⋃=-，所以1m =或2m =.故选：D 【点睛】本题主要考查集合并集的基本运算，属于基础题．3．若sin )θπθ=-，则tan 2θ=( )A．5-B．5C．52-D．5【答案】C【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得tanθ，再利用倍角公式求得tan2θ的值．【详解】Q sin5cos(2)θπθ=-，∴sin5cosθθ=，得tan5θ=，222tan255tan21tan215θθθ∴===---.故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，倍角公式的应用，属于基础题．4．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类"的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为( )A．72.5B．75C．77.5D．80【答案】A【解析】根据频率分布直方图求得中位数即可.【详解】在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，∴中位数为：0.50.01100.0310701072.50.0410-⨯-⨯+⨯=⨯.故选：A【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为1，也考查了中位数，属于基础题．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且533a a =，则95S S =( ) A ．95 B ．59 C ．53D ．275【答案】D【解析】将S 9，S 5转化为用a 5，a 3表达的算式即可得到结论. 【详解】由等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，∴95S S ＝19159252a a a a +⨯+⨯＝5395a a ，且533a a =，∴95S S ＝95×3＝275.故选：D ． 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题． 6．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( )A ．若//m α，//n β，且//αβ，则//m nB ．若//m α，//n β，且αβ⊥，则//m nC ．若m α⊥，//n β，且//αβ，则m n ⊥D ．若m α⊥，//n β，且αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】C【解析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案． 【详解】由m ∥α，n ∥β，且α∥β，得m ∥n 或m 与n 异面，故A 错误；由m ∥α，n ∥β，且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，又n ∥β，则m ⊥n ，故C 正确；由m ⊥α，n ∥β且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故D 错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题． 7．261(2)()x x x+-的展开式的常数项为( ) A ．25 B ．25-C ．5D ．5-【答案】B【解析】利用二项式定理的通项公式计算即可得出． 【详解】61()x x -的展开式的通项公式为：T r +1＝r 6C （x ）6﹣r r1x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 6C （x ）6﹣r ()-r x -=r 6C ()1r - ()6-2rx ．令6﹣2r ＝﹣2，或6﹣2r ＝0，分别解得r ＝4，或r ＝3．所以261(2)()x x x+-的展开式的常数项为()44611C ⨯-+2×()33611C ⨯-＝154025.-=-故选：B 【点睛】本题考查了二项式定理的应用、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．将函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为( )A ．()sin(2)6f x x π=+ B ．()sin(2)3f x x π=-C ．()sin(8)6f x x π=+D ．()sin(8)3f x x π=-【答案】A【解析】利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可. 【详解】 函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到sin(2)6y x π=-的图象，再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数f （x ）＝sin 2()sin(2)666y x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦的图象.故选：A ． 【点睛】本题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．已知抛物线24y x =的焦点为F ，,M N 是抛物线上两个不同的点若5MF NF +=，则线段MN 的中点到y 轴的距离为( )A ．3B ．32C ．5D ．52【答案】B【解析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可. 【详解】由抛物线方程24y x =，得其准线方程为：1x =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由抛物线的性质得，1211=5MF NF x x +=+++，MN ∴中点的横坐标为32， 线段MN 的中点到y 轴的距离为：32. 故选：B ． 【点睛】本题考查了抛物线定义的应用，属于基础题． 10．已知122a =，133b =，3ln 2c =，则( ) A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．b c a >>【答案】C【解析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a ，b 的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c ＜1． 【详解】∵122a ==133b =∴1a b <<，3lnln 12e <=．∴b a c >>． 故选：C ． 【点睛】本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题．11．已知定义在R 上的数()f x 满足112n n n b b -+-=，当2x ≤时()(1)1x f x x e =--.若关于x 的方程()210f x kx k e -+-+=有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(2,0)(2,)-+∞UB ．(2,0)(0,2)-UC ．(,0)(,)e e -⋃+∞D ．(,0)(0,)e e -⋃【答案】D【解析】根据f （2﹣x ）＝f （2+x ）可知函数f （x ）关于x ＝2对称，利用当2x ≤时()(1)1x f x x e =--，画出函数y ＝f （x ）的大致图象．由题意转化为y ＝k （x ﹣2）+e﹣1与f （x ）有三个交点，直线恒过定点（2，e ﹣1），再根据数形结合法可得k 的取值范围． 【详解】由题意，当x ≤2时，f （x ）＝（x ﹣1）e x ﹣1．f ′（x ）＝xe x ．①令f ′（x ）＝0，解得x ＝0；②令f ′（x ）＜0，解得x ＜0；③令f ′（x ）＞0，解得0＜x ≤2． ∴f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，在x ＝0处取得极小值f （0）＝﹣2．且f （1）＝﹣1；x →﹣∞，f （x ）→0．又∵函数f （x ）在R 上满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），∴函数f （x ）的图象关于x ＝2对称． ∴函数y ＝f （x ）的大致图象如图所示：关于x 的方程f （x ）﹣kx +2k ﹣e +1＝0可转化为f （x ）＝k （x ﹣2）+e ﹣1．而一次函数y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1很明显是恒过定点（2，e ﹣1）．结合图象，当k ＝0时，有两个交点，不符合题意，当k ＝e 时，有两个交点，其中一个是（1，﹣1）．此时y ＝f （x ）与y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1正好相切．∴当0＜k ＜e 时，有三个交点．同理可得当﹣e ＜k ＜0时，也有三个交点． 实数k 的取值范围为：（﹣e ，0）∪（0，e ）． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查数形结合法的应用，利用导数分析函数的单调性并画出函数图象，再根据直线过定点而斜率变动分析出斜率的取值范围，属于中档题．12．如图，在边长为2的正方形123APP P 中，线段BC 的端点,B C 分别在边12PP 、23P P 上滑动，且22P B P C x ==，现将1APB ∆，3AP C ∆分别沿AB ，AC 折起使点13,P P 重合，重合后记为点P ，得到三被锥P ABC -.现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当,B C 分别为12PP 、23P P 的中点时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为6π； ③x 的取值范围为(0,422)-； ④三棱锥P ABC -体积的最大值为13.则正确的结论的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据题意得,折叠成的三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱满足P A ⊥PB 、P A ⊥PC ，由线面垂直的判断定理得①正确；三棱锥P ﹣ABC 的外接球的直径等于以P A 、PB 、PC 为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP ＝2、BP ＝CP ＝1，得外接球的半径R ＝2，由此得三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积，故②正确；由题意得(0,2)x ∈，BC =，312PC PB PB PC x ====-，在CPB ∆中，由边长关系得(0,4-，故③正确；由等体积转化P ABC A PBC V V --=计算即可，故④错误. 【详解】由题意得，折叠成的三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱满足P A ⊥PB 、P A ⊥PC ，在①中，由P A ⊥PB ，P A ⊥PC ，且PB I PC P =，所以AP ⊥平面PBC 成立，故①正确；在②中，当,B C 分别为12PP 、23P P 的中点时，三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱两两垂直，三棱锥P ﹣ABC 的外接球直径等于以P A 、PB 、PC 为长、宽、高的长方体的对角线长，结合AP ＝2、BP ＝CP ＝1x =，得外接球的半径R =，所以外接球的表面积为22446S R πππ==⨯=⎝⎭，故②正确；在③中，正方形123APP P 的边长为2，所以(0,2)x ∈，BC =，312PC PB PB PC x ====-，在CPB ∆中，由边长关系得2x -+2x ->，解得(0,4x ∈-，故③正确；在④中，正方形123APP P 的边长为2，且22PB PC x ==，则2PB PC x ==-， 所以()()222111sin 223263P ABCA PBCx VV CP BP CPB AP x ---==⨯⨯⨯∠⨯≤⨯-⨯=在(0,4-上递减，无最大值，故④错误. 故选：C【点睛】本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、等体积转化求三棱锥的体积最值等知识，属于中档题．二、填空题13．已知实数,x y 满足约束条件402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为_______.【答案】6【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 【详解】作出实数x ，y 满足约束条件402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域如图：（阴影部分）由2z x y =+得y ＝﹣12x +12z ，平移直线y ＝﹣12x +12z ， 由图象可知当直线y ＝﹣12x +12z 经过点A 时，直线y ＝﹣12x +12z 的截距最大，此时z最大．由40220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得A （2，2），代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6. 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题．14．设正项等比数列{}n a 满足481a =，2336a a +=，则n a =_______. 【答案】3n【解析】将已知条件转化为基本量a 1，q 的方程组，解方程组得到a 1，q ，进而可以得到a n ． 【详解】在正项等比数列{}n a 中，481a =，2336a a +=，得312118136a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得133a q =⎧⎨=⎩，∴a n ＝11n a q -⋅＝3•3n ﹣1＝3n . 故答案为：3n 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题．15．已知平面向量a r ，b r 满足||2a =r，||b =r ()b a b ⊥-r r r ，则向量a r 与b r的夹角的大小为_______. 【答案】6π 【解析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量a r 与b r的夹角即可． 【详解】∵平面向量a r ，b r满足||2a =r，||b =r 且()b a b ⊥-r r r，∴2()0b a b b a b ⋅-=⋅-=r r r r r r ，∴2b a b ⋅=r r r ．设向量a r 与b r 的夹角的大小为θ，则•cosθ，求得 cosθ，∵[]0,θπ∈ ，故θ＝6π. 故答案为：6π． 【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．16．已知直线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>相交于不同的两点,A B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足||3||AF BF =，||OA b =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为_______.【答案】3【解析】取双曲线的右焦点'F ，连接A 'F ，B 'F ，可得四边形A 'F BF 为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值． 【详解】设|BF |＝m ，则|||3||3AF BF m ==，取双曲线的右焦点'F ，连接A 'F ，B 'F ，可得四边形A 'F BF 为平行四边形，可得|A 'F |＝|BF |＝m ，设A 在第一象限，可得3m ﹣m ＝2a ，即m ＝a ，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b ）2+（2c ）2＝2（a 2+9a 2），化为c 2＝3a 2，则e ＝ca＝3． 故答案为：3．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平行四边形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22223b c a +-=. （1）求sin A 的值；（2）若ABC ∆223sin B C =，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）13；（2）2632+【解析】（1）由已知条件结合余弦定理可求cos A 的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sin A 的值．（2）利用三角形的面积公式可求bc b ＝3c ，解得b ，c 的值，根据余弦定理可求a 的值，即可求解三角形的周长． 【详解】（1）∵2223b c a +-=，∴由余弦定理可得2bc cos A ＝3bc ，∴cos A ＝3，∴在△ABC 中，sin A ＝13．（2）∵△ABC ，即12bc sin A ＝16bc ，∴bc ＝，又sin B ＝3sin C b ＝3c ，∴b ＝，c ＝2，则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝6，a ∴=，所以周长为2abc ++=+.【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G 手机的员工称为“追光族"，计划在明年及明年以后才购买5G 手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.（1）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）已知被抽取的这100名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”.现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望.附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）表见解析，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）分布列见解析，()910E X =【解析】（1）根据题意，列出列联表，计算K 2，查表判断即可；（2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可． 【详解】（1）由题意得，2×2列联表如下：22100(20204020)25= 2.778406040609K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.841<，故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）由题意得，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3，373107(0)24C P X C ===；123731021(1)40C C P X C ⋅===；21373107(2)40C C P X C ⋅===； 333101(3)120C P X C ===.所以X 的分布列为 X123P724 2140 740 112021719()123.404012010E X ∴=⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查了独立性检验，考查了超几何分布，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD - 中，AP ⊥平面PBC ，底面ABCD 为菱形，且60ABC ︒∠=，E 为BC 的中点.（1）证明：BC ⊥平面PAE ；（2）若2AB =，1PA =，求平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（233【解析】（1）根据菱形基本性质得BC ⊥AE ，再由线面垂直得BC ⊥AP ，故BC ⊥平面P AE ；（2）以P 为坐标原点，,,PE PQ PA u u u r u u u r u u u r的方向分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BAP 与平面CDP 的法向量计算即可. 【详解】（1）连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，所以△ABC 为正三角形，因为E 为BC 的中点，所以BC ⊥AE ，又因为AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以BC ⊥AP ，因为AP ∩AE ＝A ，AP ，AE ⊂平面P AE ，所以BC ⊥平面P AE ； （2）因为AP ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AP ⊥PB ，又因为AB ＝2，P A ＝1，所以PB ＝3，由（1）得BC ⊥PE ，又因为E 为BC中点，所以PB ＝PC ＝3，EC ＝1，所以PE ＝2， 如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，P A 两两互相垂直，以P 为坐标原点，,,PE PQ PA u u u r u u u r u u u r的方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P （0，0，0），A （0，0，1），B （2，﹣1，0），C （2，1，0），D （0，2，1）， 设平面BAP 的一个法向量m u r ＝（x ，y ，z ），又PA u u u r ＝（0，0，1），PB u u u r＝（2，﹣1，0），由00m PA m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得2x ﹣y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m u r ＝（1，2，0）， 设平面CDP 的一个法向量n r ＝（a ，b ，c ），又PC uuu r ＝（2，1，0），PD u u u r＝（0，2，1）， 由00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n r ＝（1，﹣2，22）， 所以33cos ,33311m n ==-⋅u r r，即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为33．【点睛】本题考查空间平面二面角问题，涉及证明线面垂直等知识点，建系是解决该类问题的常用方法，属于中档题． 20．已知函数()(1)ln af x a x x x=-++，.a R ∈ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a <-时，证明：(1,)x ∀∈+∞，2().f x a a >--【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析；【解析】（1）求出导数，讨论a 的取值范围，求出单调区间；（2）由（1）得函数函数()f x 在(1,)+∞内的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=----，根据题意转化为2(1)ln()10a a a +--->在1a <-恒成立即可. 【详解】（1）22221(1)(1)()()1a a x a x a x x a f x x x x x'-+---+=+-==,因为0,x a R >∈， 当0a ≥时，0x a +>，函数()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增； 当10a -<<时，即01a <-<，函数()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当1a =-时，22(1)()0x f x x'-=…，函数()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当1a <-时，即1a ->，函数()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增；综上：当0a ≥时，()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当10a -<<时，()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当1a =-时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当1a <-时，()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增.（2）当1a <-时，由（1）可得函数()f x 在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增，∴函数()f x 在(1,)+∞内的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=----，要证：不等式2().f x a a >--成立，即证：2(1)ln()1a a a a a --<----，即证：()2(1)ln()(1)1l 01n a a a a a a ⎡⎤+--=-++->⎣⎦-，1a <-Q ，即证：()1ln 0a a ++-<， 令1(1)()ln 1(1),()10x h x x x x h x x x'--=-+≥=-=≤Q ， 则函数()h x 在[1,)+∞内单调递减，()(1)0h x h ≤=，因为1,1a a <-∴->， 则()ln()10h a a a -=-++<，即当1a <-时，ln()1a a -<--成立 则当1a <-时，2(1,),()x f x a a ∀∈+∞>--成立. 【点睛】本题考查利用导数求函数单调性，运用分类讨论思想是关键，涉及构造新函数求区间等问题，属于中档题．21．已知椭圆C :2212x y +=的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C相交于A ，B 两点，直线l ：2x =与x 轴相交于点H ，过点A 作AD l ⊥，垂足为D ． （1）求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围； （2）证明直线BD 过定点E ，并求出点E 的坐标. 【答案】（1）；（2）证明见解析，3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）由题意设直线AB 的方程，代入椭圆整理得纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，根据底相同，列出关于面积的函数式，再结合均值不等式可得面积的取值范围；（2）由（1）得B ，D 的坐标，设直线BD 的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD 过定点． 【详解】（1）由题F （1,0），设直线AB ：()()11221(),,,,x my m R A x y B x y =+∈，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()222210m y my ++-=， 因为()224420m m ∆=++>，12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 则1z y y -===所以四边形OAHB的面积12121||2S OH y y y y =⋅-=-=，2,1,11t t St tt=∴∴==++…因为12tt+…（当且仅当t=1即m=0时取等号），所以0S<…所以四边形OAHB的面积取值范围为；（2）()()221,,2,B x y D yQ，所以直线BD的斜率1222y ykx-=-，所以直线BD的方程为1212(2)2y yy y xx--=--，令y=0，可得212121212122,x y zy my y y yxy y y y-+-==--L L①由（1）可得121212122221,,222my y y y y y my ym m+=-=-∴+=++化简①可得()()112121212123222zsy y y y y yxy y y y++--===--则直线BD过定点3,02E⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，四边形面积的取值范围，求直线的方程，证明直线过定点的等问题，考查运算能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线1C：22(2)4x y+-=上的动点，将OP 绕点O顺时针旋转90︒得到OQ，设点Q的轨迹为曲线2C.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C，2C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点(3,)2Mπ，射线(0)6πθρ=≥与曲线1C，2C分别相交于异于极点O的,A B两点，求MAB∆的面积.【答案】（1）曲线1C：4sinρθ=，曲线2C：4cosρθ=；（2【解析】（1）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M（3，2π）到射线()06πθρ=≥的距离h ＝3sin 3π=，即可求得△MAB 的面积．【详解】（1）由题意，点Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C 2：22(2)4x y -+=，∵ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，124sincos1).66AB ππρρ∴=-=-=又Q 点(3,)2M π到射线(0)6πθρ=≥的距离为3sin32h π==MAB ∴∆的面积1922S AB h -=⋅= 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，属于中档题．23．已知函数() 3.f x x =- （1）解不等式()421f x x ≥-+；（2）若142(0,0)m n m n+=>>，求证：3().2m n x f x +≥+-【答案】（1）2(,][0,)3-∞-⋃+∞；（2）见解析.【解析】（1）原不等式可化为：|x ﹣3|≥4﹣|2x +1|，即|2x +1|+|x ﹣3|≥4，分段讨论求出即可； （2）由基本不等式得m n +的最小值92，转化为|x +32|﹣f （x ）≤92恒成立即可．【详解】（1）原不等式化为3421x x -≥-+，即213 4.x x ++-≥ ①12x ≤-时，不等式化为2134x x ---+≥，解得23x ≤-；②132x -<<时，不等式化为2134x x +-+≥，解得0x ≥，03x ∴≤<； ③3x ≥时，不等式化为2134x x ++-≥，解得2x ≥，3x ∴≥. 综上可得：原不等式解集为2(,][0,)3-∞-⋃+∞. （2）() 3.f x x =-Q 3339()3(3)2222x f x x x x x ∴+-=+--≤+--=， 当且仅当3()(3)02x x +-≥且332x x +≥-时取等号.又142(0,0)m n m n+=>>Q ，1141419()()(5)(52222n m m n m n m n m n ∴+=++=++≥+=， 当且仅当4n m m n=时取等号.∴3().2m n x f x +≥+-【点睛】考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，利用分类讨论的思想结合绝对值的性质和基本不等式的应用，属于中档题．。

四川省成都市2020届高三数学上学期第一次诊断性检测试题 理（含解析）本试卷分选择题和非选择题两部分，第1卷（选择题）1至2页，第11卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1，答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2，答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3，答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4，所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5，考试结束后，只将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数1z 与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则1z =( ) A. 3i -- B. 3i -+ C. 3i + D. 3i -【答案】B 【解析】 【分析】由题意得复数z 1与23z i =--的实部相等，虚部互为相反数，则z 1可求．【详解】∵复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称， ∴复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z 1＝3i -+． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．2.已知集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，若{}1,0,1,2A B ⋃=-，则实数m 的值为( ) A. 1-或0 B. 0或1 C. 1-或2D. 1或2【答案】D 【解析】 【分析】根据集合并集的定义即可得到答案. 【详解】集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，且{}1,0,1,2A B ⋃=-，所以1m =或2m =.故选：D【点睛】本题主要考查集合并集的基本运算，属于基础题． 3.若sin 5cos(2)θπθ=-，则tan 2θ=( )A. 5-B.53C. 52-D.5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得tan θ，再利用倍角公式求得tan 2θ的值． 【详解】sin 5cos(2)θπθ=-，∴sin 5cos θθ=，得tan 5θ=，222tan 255tan 21tan 15θθθ∴===---.故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，倍角公式的应用，属于基础题． 4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类"的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为( )A. 72.5B. 75C. 77.5D. 80【答案】A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求得中位数即可.【详解】在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，∴中位数为：0.50.01100.0310701072.50.0410-⨯-⨯+⨯=⨯.故选：A【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为1，也考查了中位数，属于基础题． 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且533a a =，则95S S =( ) A. 95 B.59 C. 53D. 275【答案】D 【解析】 【分析】将S 9，S 5转化为用a 5，a 3表达的算式即可得到结论.【详解】由等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，∴95S S ＝19159252a a a a +⨯+⨯＝5395a a ，且533a a =，∴95S S ＝95×3＝275.故选：D ．【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题． 6.已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( )A. 若//m α，//n β，且//αβ，则//m nB. 若//m α，//n β，且αβ⊥，则//m nC. 若m α⊥，//n β，且//αβ，则m n ⊥D. 若m α⊥，//n β，且αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案． 【详解】由m ∥α，n ∥β，且α∥β，得m ∥n 或m 与n 异面，故A 错误； 由m ∥α，n ∥β，且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，又n ∥β，则m ⊥n ，故C 正确；由m ⊥α，n ∥β且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题． 7.261(2)()x x x+-的展开式的常数项为( ) A. 25 B. 25-C. 5D. 5-【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式计算即可得出．【详解】61()x x -的展开式的通项公式为：T r +1＝r 6C （x ）6﹣r r1x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 6C （x ）6﹣r()-r x -=r 6C ()1r -()6-2rx ．令6﹣2r ＝﹣2，或6﹣2r ＝0，分别解得r ＝4，或r ＝3．所以261(2)()x x x+-的展开式的常数项为()44611C ⨯-+2×()33611C ⨯-＝154025.-=-故选：B【点睛】本题考查了二项式定理的应用、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.将函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为( ) A. ()sin(2)6f x x π=+ B. ()sin(2)3f x x π=-C. ()sin(8)6f x x π=+D. ()sin(8)3f x x π=-【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可. 【详解】函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到sin(2)6y x π=-的图象，再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数f （x ）＝sin 2()sin(2)666y x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦的图象.故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.已知抛物线24y x =的焦点为F ，,M N 是抛物线上两个不同的点若5MF NF +=，则线段MN 的中点到y 轴的距离为( ) A. 3B.32C. 5D.52【答案】B 【解析】 分析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可.【详解】由抛物线方程24y x =，得其准线方程为：1x =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由抛物线的性质得，1211=5MF NF x x +=+++，MN ∴中点的横坐标为32， 线段MN 的中点到y 轴的距离为：32. 故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线定义的应用，属于基础题． 10.已知122a =，133b =，3ln 2c =，则( ) A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a ，b 的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c ＜1．【详解】∵122a ==＝，且133b ==＝，∴1a b <<，3lnln 12e <=．∴b a c >>． 故选：C ．【点睛】本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题．11.已知定义在R 上的数()f x 满足112n n n b b -+-=，当2x ≤时()(1)1xf x x e =--.若关于x的方程()210f x kx k e -+-+=有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A. (2,0)(2,)-+∞ B. (2,0)(0,2)-C. (,0)(,)e e -⋃+∞D. (,0)(0,)e e -⋃【答案】D 【解析】 【分析】根据f （2﹣x ）＝f （2+x ）可知函数f （x ）关于x ＝2对称，利用当2x ≤时()(1)1xf x x e =--，画出函数y ＝f （x ）的大致图象．由题意转化为y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1与f （x ）有三个交点，直线恒过定点（2，e ﹣1），再根据数形结合法可得k 的取值范围． 【详解】由题意，当x ≤2时，f （x ）＝（x ﹣1）e x﹣1．f ′（x ）＝xe x．①令f ′（x ）＝0，解得x ＝0；②令f ′（x ）＜0，解得x ＜0；③令f ′（x ）＞0，解得0＜x ≤2．∴f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，在x ＝0处取得极小值f （0）＝﹣2．且f （1）＝﹣1；x →﹣∞，f （x ）→0．又∵函数f （x ）在R 上满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），∴函数f （x ）的图象关于x ＝2对称． ∴函数y ＝f （x ）的大致图象如图所示：关于x 的方程f （x ）﹣kx +2k ﹣e +1＝0可转化为f （x ）＝k （x ﹣2）+e ﹣1．而一次函数y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1很明显是恒过定点（2，e ﹣1）．结合图象，当k ＝0时，有两个交点，不符合题意，当k ＝e 时，有两个交点，其中一个是（1，﹣1）．此时y ＝f （x ）与y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1正好相切．∴当0＜k ＜e 时，有三个交点．同理可得当﹣e ＜k ＜0时，也有三个交点． 实数k 的取值范围为：（﹣e ，0）∪（0，e ）． 故选：D ．【点睛】本题主要考查数形结合法的应用，利用导数分析函数的单调性并画出函数图象，再根据直线过定点而斜率变动分析出斜率的取值范围，属于中档题．12.如图，在边长为2的正方形123APP P 中，线段BC 的端点,B C 分别在边12PP 、23P P 上滑动，且22P B P C x ==，现将1APB ∆，3AP C ∆分别沿AB ，AC 折起使点13,P P 重合，重合后记为点P ，得到三被锥P ABC -.现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当,B C 分别为12PP 、23P P 的中点时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为6π； ③x 的取值范围为(0,42)-； ④三棱锥P ABC -体积的最大值为13. 则正确的结论的个数为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得,折叠成的三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱满足PA ⊥PB 、PA ⊥PC ，由线面垂直的判断定理得①正确；三棱锥P ﹣ABC 的外接球的直径等于以PA 、PB 、PC 为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP ＝2、BP ＝CP ＝1，得外接球的半径R 6P ﹣ABC 的外接球的体积，故②正确；由题意得(0,2)x ∈，2BC x =，312PC PB PB PC x ====-，在CPB ∆中，由边长关系得(0,422)-，故③正确；由等体积转化P ABC A PBC V V --=计算即可，故④错误.【详解】由题意得，折叠成的三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱满足PA ⊥PB 、PA ⊥PC ， 在①中，由PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，且PB PC P =，所以AP ⊥平面PBC 成立，故①正确； 在②中，当,B C 分别为12PP 、23P P 的中点时，三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱两两垂直，三棱锥P ﹣ABC 的外接球直径等于以PA 、PB 、PC 为长、宽、高的长方体的对角线长，结合AP ＝2、BP ＝CP ＝1x =，得外接球的半径R 2246x x ++=，所以外接球的表面积为224462S Rπππ⎛==⨯=⎝⎭，故②正确；在③中，正方形123APP P的边长为2，所以(0,2)x∈，BC=，312PC PB PB PC x====-，在CPB∆中，由边长关系得2x-+2x->，解得(0,4x∈-，故③正确；在④中，正方形123APP P的边长为2，且22P B P C x==，则2PB PC x==-，所以()()222111sin223263 P ABC A PBCx V V CP BP CPB AP x---==⨯⨯⨯∠⨯≤⨯-⨯=在(0,4-上递减，无最大值，故④错误.故选：C【点睛】本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、等体积转化求三棱锥的体积最值等知识，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数,x y满足约束条件40220x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值为_______.【答案】6【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出实数x，y满足约束条件40220x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域如图：（阴影部分）由2z x y =+得y ＝﹣12x +12z ，平移直线y ＝﹣12x +12z ， 由图象可知当直线y ＝﹣12x +12z 经过点A 时，直线y ＝﹣12x +12z 的截距最大，此时z 最大．由40220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得A （2，2），代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6.故答案：6．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题．14.设正项等比数列{}n a 满足481a =，2336a a +=，则n a =_______. 【答案】3n 【解析】 【分析】将已知条件转化为基本量a 1，q 的方程组，解方程组得到a 1，q ，进而可以得到a n ． 【详解】在正项等比数列{}n a 中，481a =，2336a a +=，得312118136a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得133a q =⎧⎨=⎩，∴a n ＝11n a q -⋅＝3•3n ﹣1＝3n . 故答案为：3n【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题．15.已知平面向量a ，b 满足||2a =，||3b =，且()b a b ⊥-，则向量a 与b 的夹角的大小为_______. 【答案】6π【解析】 【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量a 与b 的夹角即可． 【详解】∵平面向量a ，b 满足||2a =，||3b =，且()b a b ⊥-，∴2()0b a b b a b ⋅-=⋅-=，∴2b a b ⋅=．设向量a 与b 的夹角的大小为θ，则，求得∵[]0,θπ∈ ，故θ＝6π. 故答案为：6π． 【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．16.已知直线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>相交于不同的两点,A B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足||3||AF BF =，||OA b =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为_______.【解析】 【分析】取双曲线的右焦点'F ，连接A 'F ，B 'F ，可得四边形A 'F BF 为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值．【详解】设|BF |＝m ，则|||3||3AF BF m ==，取双曲线的右焦点'F ，连接A 'F ，B 'F ，可得四边形A 'F BF 为平行四边形，可得|A 'F |＝|BF |＝m ，设A 在第一象限，可得3m ﹣m ＝2a ，即m ＝a ，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b ）2+（2c ）2＝2（a 2+9a 2），化为c 2＝3a 2，则e ＝ca【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平行四边形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22223b c a +-=. （1）求sin A 的值；（2）若ABC ∆223sin B C =，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）13；（2）2632【解析】 【分析】（1）由已知条件结合余弦定理可求cos A 的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sin A 的值．（2）利用三角形的面积公式可求bc 2b ＝3c ，解得b ，c 的值，根据余弦定理可求a 的值，即可求解三角形的周长．【详解】（1）∵22223b c a +-=，∴由余弦定理可得2bc cos A 42bc ，∴cos A 22， ∴在△ABC 中，sin A 21cos A -＝13． （2）∵△ABC 2，即12bc sin A ＝16bc 2，∴bc ＝2， 2sin B ＝3sin C ，2b ＝3c ，∴b ＝2，c ＝2，则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝6，a∴=，所以周长为2a b c++=+.【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族"，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.（1）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）已知被抽取的这100名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”.现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X 的分布列及数学期望.附22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++【答案】（1）表见解析，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）分布列见解析，()910E X = 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出列联表，计算K 2，查表判断即可；（2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可．【详解】（1）由题意得，2×2列联表如下：22100(20204020)25= 2.778406040609K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.841<，故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）由题意得，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3，373107(0)24C P X C ===；123731021(1)40C C PX C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 333101(3)120C P X C ===.所以X 的分布列为P724 2140 740 112021719()123.404012010E X ∴=⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查了独立性检验，考查了超几何分布，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．19.如图，在四棱锥P ABCD - 中，AP ⊥平面PBC ，底面ABCD 为菱形，且60ABC ︒∠=，E 为BC 的中点.（1）证明：BC ⊥平面PAE ；（2）若2AB =，1PA =，求平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（233【解析】 【分析】（1）根据菱形基本性质得BC ⊥AE ，再由线面垂直得BC ⊥AP ，故BC ⊥平面PAE ；（2）以P 为坐标原点，,,PE PQ PA 的方向分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BAP 与平面CDP 的法向量计算即可.【详解】（1）连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，所以△ABC 为正三角形， 因为E 为BC 的中点，所以BC ⊥AE ，又因为AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以BC ⊥AP ，因为AP ∩AE ＝A ，AP ，AE ⊂平面PAE ，所以BC ⊥平面PAE ；（2）因为AP ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AP ⊥PB ，又因为AB ＝2，PA ＝1，所以PB 3 由（1）得BC ⊥PE ，又因为E 为BC 中点，所以PB ＝PC 3EC ＝1，所以PE 2， 如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，,,PE PQ PA 的方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P （0，0，0），A （0，0，1），B （2，﹣1，0），C （2，1，0），D （0，2，1）， 设平面BAP 的一个法向量m ＝（x ，y ，z ），又PA ＝（0，0，1），PB ＝（2，﹣1，0），由00m PA m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2x ﹣y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m ＝（1，2，0），设平面CDP 的一个法向量n ＝（a ，b ，c ），又PC ＝（2，1，0），PD ＝（0，2，1），由00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n ＝（1，﹣2，22）， 所以33cos ,311m n ==-⋅，即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为3333．【点睛】本题考查空间平面二面角问题，涉及证明线面垂直等知识点，建系是解决该类问题的常用方法，属于中档题． 20.已知函数()(1)ln af x a x x x=-++，.a R ∈ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a <-时，证明：(1,)x ∀∈+∞，2().f x a a >-- 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析； 【解析】 【分析】（1）求出导数，讨论a 的取值范围，求出单调区间；（2）由（1）得函数函数()f x 在(1,)+∞内的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=----，根据题意转化为2(1)ln()10a a a +--->在1a <-恒成立即可.【详解】（1）22221(1)(1)()()1a a x a x a x x a f x x x x x'-+---+=+-==,因为0,x a R >∈，当0a ≥时，0x a +>，函数()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增； 当10a -<<时，即01a <-<，函数()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当1a =-时，22(1)()0x f x x'-=，函数()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当1a <-时，即1a ->，函数()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增；综上：当0a ≥时，()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当10a -<<时，()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增； 当1a =-时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当1a <-时，()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增. （2）当1a <-时，由（1）可得函数()f x 在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增，∴函数()f x 在(1,)+∞内的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=----，要证：不等式2().f x a a >--成立， 即证：2(1)ln()1a a a a a --<----，即证：()2(1)ln()(1)1l 01n a a a a a a ⎡⎤+--=-++->⎣⎦-，1a <-，即证：()1ln 0a a ++-<， 令1(1)()ln 1(1),()10x h x x x x h x x x'--=-+≥=-=≤， 则函数()h x 在[1,)+∞内单调递减，()(1)0h x h ≤=，因1,1a a <-∴->，则()ln()10h a a a -=-++<，即当1a <-时，ln()1a a -<--成立 则当1a <-时，2(1,),()x f x a a ∀∈+∞>--成立.【点睛】本题考查利用导数求函数单调性，运用分类讨论思想是关键，涉及构造新函数求区间等问题，属于中档题．21.已知椭圆C :2212x y +=的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l ：2x =与x 轴相交于点H ，过点A 作AD l ⊥，垂足为D.（1）求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围； （2）证明直线BD 过定点E ，并求出点E 的坐标. 【答案】（1）；（2）证明见解析，3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由题意设直线AB 的方程，代入椭圆整理得纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，根据底相同，列出关于面积的函数式，再结合均值不等式可得面积的取值范围； （2）由（1）得B ，D 的坐标，设直线BD 的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD 过定点．【详解】（1）由题F （1,0），设直线AB ：()()11221(),,,,x my m R A x y B x y =+∈，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()222210m y my ++-=， 因为()224420m m ∆=++>，12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 则1z y y -=== 所以四边形OAHB的面积12121||2S OH y y y y =⋅-=-=，2,1,11t t S t t t=∴∴==++因为12t t+（当且仅当t=1即m =0时取等号），所以02S <，所以四边形OAHB 的面积取值范围为； （2）()()221,,2,B x y D y ，所以直线BD 的斜率1222y y k x -=-，所以直线BD 的方程为1212(2)2y y y y x x --=--，令y =0，可得212121212122,x y zy my y y y x y y y y -+-==--①由（1）可得121212122221,,222m y y y y y y my y m m +=-=-∴+=++ 化简①可得()()112121212123222z s y y y y y y x y y y y ++--===-- 则直线BD 过定点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，四边形面积的取值范围，求直线的方程，证明直线过定点的等问题，考查运算能力，属于中档题．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是曲线1C ：22(2)4x y +-=上的动点，将OP 绕点O 顺时针旋转90︒得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，点(3,)2M π，射线(0)6πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别相交于异于极点O的,A B 两点，求MAB ∆的面积.【答案】（1）曲线1C ：4sin ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=；（2【解析】 【分析】（1）由题意，点Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得曲线C 1，C 2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB |＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M （3，2π）到射线()06πθρ=≥的距离h＝3sin 3π=，即可求得△MAB 的面积．【详解】（1）由题意，点Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C 2：22(2)4x y -+=，∵ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，124sincos1).66AB ππρρ∴=-=-=又点(3,)2M π到射线(0)6πθρ=≥的距离为3sin32h π==MAB ∴∆的面积12S AB h =⋅= 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，属于中档题．23.已知函数() 3.f x x =- （1）解不等式()421f x x ≥-+；（2）若142(0,0)m n m n+=>>，求证：3().2m n x f x +≥+-【答案】（1）2(,][0,)3-∞-⋃+∞；（2）见解析.【解析】 【分析】（1）原不等式可化为：|x ﹣3|≥4﹣|2x +1|，即|2x +1|+|x ﹣3|≥4，分段讨论求出即可；（2）由基本不等式得m n +的最小值92，转化为|x +32|﹣f （x ）≤92恒成立即可．【详解】（1）原不等式化为3421x x -≥-+，即213 4.x x ++-≥ ①12x ≤-时，不等式化为2134x x ---+≥，解得23x ≤-； ②132x -<<时，不等式化为2134x x +-+≥，解得0x ≥，03x ∴≤<；③3x ≥时，不等式化为2134x x ++-≥，解得2x ≥，3x ∴≥. 综上可得：原不等式解集为2(,][0,)3-∞-⋃+∞. （2）() 3.f x x =-3339()3(3)2222x f x x x x x ∴+-=+--≤+--=， 当且仅当3()(3)02x x +-≥且332x x +≥-时取等号.又142(0,0)m n m n +=>>，1141419()()(5)(52222n m m n m n m n m n ∴+=++=++≥+=， 当且仅当4n m m n=时取等号.∴3().2m n x f x +≥+- 【点睛】考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，利用分类讨论的思想结合绝对值的性质和基本不等式的应用，属于中档题．。

2020届四川省成都市高三第一次诊断考试数学(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分。

第I 卷(选择题)1至2页，第II 卷(非选择题)3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，只将答题卡交回。

第I 卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z 1与z 2＝－3－i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称，则z 1＝ (A)－3－i (B)－3＋i (C)3＋i (D)3－i2.已知集合A ＝{－l ，0，m}，B ＝{l ，2}。

若A ∪B ＝{－l ，0，1，2}，则实数m 的值为 (A)－l 或0 (B)0或1 (C)－l 或2 (D)l 或23.若sin )θπθ=-，则tan2θ＝(A)3-3 (C)2- (D)24.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图。

则这100名同学的得分的中位数为(A)72.5 (B)75 (C)77.5 (D)805.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0，若a 5＝3a 3，则95S S = (A)95 (B)59 (C)53 (D)2756.已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是 (A)若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n (B)若m ∥α，n ∥β，且α⊥β，则m ∥n (C)若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥n (D)若m ⊥α，n ∥β且α⊥β，则m ⊥n7.261(2)()x x x+-的展开式的常数项为 (A)25 (B)－25 (C)5 (D)－5 8.将函数y ＝sin(4x －6π)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为 (A)f(x)＝sin(2x ＋6π) (B)f(x)＝sin(2x －3π)(C)f(x)＝sin(8x ＋6π) (D)f(x)＝sin(8x －3π)9.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点。

成都市2017级高中毕业班第一次诊断性检测（数学理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，第1卷（选择题）1至2页，第11卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1，答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2，答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3，答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4，所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5，考试结束后，只将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数1z 与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则1z =( ) A. 3i -- B. 3i -+ C. 3i + D. 3i -【答案】B 【解析】 【分析】由题意得复数z 1与23z i =--的实部相等，虚部互为相反数，则z 1可求．【详解】∵复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称， ∴复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z 1＝3i -+． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．2.已知集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，若{}1,0,1,2A B ⋃=-，则实数m 的值为( ) A. 1-或0 B. 0或1 C. 1-或2 D. 1或2 【答案】D 【解析】根据集合并集的定义即可得到答案. 【详解】集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，且{}1,0,1,2A B ⋃=-，所以1m =或2m =.故选：D【点睛】本题主要考查集合并集的基本运算，属于基础题． 3.若sin 5cos(2)θπθ=-，则tan 2θ=( )A. 5-B.5 C. 5-D.5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得tan θ，再利用倍角公式求得tan 2θ的值． 【详解】sin 5cos(2)θπθ=-，∴sin 5cos θθ=，得tan 5θ=，222tan 255tan 21tan 15θθθ∴===---. 故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，倍角公式的应用，属于基础题． 4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类"的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为( )A. 72.5B. 75C. 77.5D. 80【答案】A【分析】根据频率分布直方图求得中位数即可.【详解】在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，∴中位数为：0.50.01100.0310701072.50.0410-⨯-⨯+⨯=⨯.故选：A【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为1，也考查了中位数，属于基础题． 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且533a a =，则95S S =( ) A. 95 B.59 C. 53D. 275【答案】D 【解析】 【分析】将S 9，S 5转化为用a 5，a 3表达的算式即可得到结论.【详解】由等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，∴95S S ＝19159252a a a a +⨯+⨯＝5395a a ，且533a a =，∴95S S ＝95×3＝275.故选：D ．【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题． 6.已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( )A. 若//m α，//n β，且//αβ，则//m nB. 若//m α，//n β，且αβ⊥，则//m nC. 若m α⊥，//n β，且//αβ，则m n ⊥D. 若m α⊥，//n β，且αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案． 【详解】由m ∥α，n ∥β，且α∥β，得m ∥n 或m 与n 异面，故A 错误； 由m ∥α，n ∥β，且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，又n ∥β，则m ⊥n ，故C 正确；由m ⊥α，n ∥β且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题． 7.261(2)()x x x+-的展开式的常数项为( ) A. 25 B. 25-C. 5D. 5-【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式计算即可得出．【详解】61()x x -的展开式的通项公式为：T r +1＝r 6C （x ）6﹣r r1x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 6C （x ）6﹣r()-r x -=r 6C ()1r - ()6-2rx ．令6﹣2r ＝﹣2，或6﹣2r ＝0，分别解得r ＝4，或r ＝3．所以261(2)()x x x+-的展开式的常数项为()44611C ⨯-+2×()33611C ⨯-＝154025.-=-故选：B【点睛】本题考查了二项式定理的应用、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.将函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为( ) A. ()sin(2)6f x x π=+ B. ()sin(2)3f x x π=-C. ()sin(8)6f x x π=+D. ()sin(8)3f x x π=-【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可. 【详解】函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到sin(2)6y x π=-的图象，再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数f （x ）＝sin 2()sin(2)666y x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦的图象.故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.已知抛物线24y x =的焦点为F ，,M N 是抛物线上两个不同的点若5MF NF +=，则线段MN 的中点到y 轴的距离为( ) A. 3B.32C. 5D.52【答案】B 【解析】 分析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可.【详解】由抛物线方程24y x =，得其准线方程为：1x =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由抛物线的性质得，1211=5MF NF x x +=+++，MN ∴中点的横坐标为32， 线段MN 的中点到y 轴的距离为：32. 故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线定义的应用，属于基础题． 10.已知122a =，133b =，3ln 2c =，则( ) A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a ，b 的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c ＜1．【详解】∵122a ==＝，且133b ==＝，∴1a b <<，3lnln 12e <=．∴b a c >>． 故选：C ．【点睛】本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题．11.已知定义在R 上的数()f x 满足112n n n b b -+-=，当2x ≤时()(1)1xf x x e =--.若关于x的方程()210f x kx k e -+-+=有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A. (2,0)(2,)-+∞ B. (2,0)(0,2)-C. (,0)(,)e e -⋃+∞D. (,0)(0,)e e -⋃【答案】D 【解析】 【分析】根据f （2﹣x ）＝f （2+x ）可知函数f （x ）关于x ＝2对称，利用当2x ≤时()(1)1xf x x e =--，画出函数y ＝f （x ）的大致图象．由题意转化为y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1与f （x ）有三个交点，直线恒过定点（2，e ﹣1），再根据数形结合法可得k 的取值范围．【详解】由题意，当x ≤2时，f （x ）＝（x ﹣1）e x ﹣1．f ′（x ）＝xe x．①令f ′（x ）＝0，解得x ＝0；②令f ′（x ）＜0，解得x ＜0；③令f ′（x ）＞0，解得0＜x ≤2．∴f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，在x ＝0处取得极小值f （0）＝﹣2．且f （1）＝﹣1；x →﹣∞，f （x ）→0．又∵函数f （x ）在R 上满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），∴函数f （x ）的图象关于x ＝2对称． ∴函数y ＝f （x ）的大致图象如图所示：关于x 的方程f （x ）﹣kx +2k ﹣e +1＝0可转化为f （x ）＝k （x ﹣2）+e ﹣1．而一次函数y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1很明显是恒过定点（2，e ﹣1）．结合图象，当k ＝0时，有两个交点，不符合题意，当k ＝e 时，有两个交点，其中一个是（1，﹣1）．此时y ＝f （x ）与y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1正好相切．∴当0＜k ＜e 时，有三个交点．同理可得当﹣e ＜k ＜0时，也有三个交点． 实数k 的取值范围为：（﹣e ，0）∪（0，e ）． 故选：D ．【点睛】本题主要考查数形结合法的应用，利用导数分析函数的单调性并画出函数图象，再根据直线过定点而斜率变动分析出斜率的取值范围，属于中档题．12.如图，在边长为2的正方形123APP P 中，线段BC 的端点,B C 分别在边12PP 、23P P 上滑动，且22P B P C x ==，现将1APB ∆，3AP C ∆分别沿AB ，AC 折起使点13,P P 重合，重合后记为点P ，得到三被锥P ABC -.现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当,B C 分别为12PP 、23P P 的中点时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为6π； ③x 的取值范围为(0,42)-； ④三棱锥P ABC -体积的最大值为13. 则正确的结论的个数为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得,折叠成的三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱满足PA ⊥PB 、PA ⊥PC ，由线面垂直的判断定理得①正确；三棱锥P ﹣ABC 的外接球的直径等于以PA 、PB 、PC 为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP ＝2、BP ＝CP ＝1，得外接球的半径R 6P ﹣ABC 的外接球的体积，故②正确；由题意得(0,2)x ∈，2BC x =，312PC PB PB PC x ====-，在CPB ∆中，由边长关系得(0,422)-，故③正确；由等体积转化P ABC A PBC V V --=计算即可，故④错误.【详解】由题意得，折叠成的三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱满足PA ⊥PB 、PA ⊥PC ， 在①中，由PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，且PB PC P =，所以AP ⊥平面PBC 成立，故①正确； 在②中，当,B C 分别为12PP 、23P P 的中点时，三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱两两垂直，三棱锥P ﹣ABC 的外接球直径等于以PA 、PB 、PC 为长、宽、高的长方体的对角线长，结合AP ＝2、BP ＝CP ＝1x =，得外接球的半径R 2246x x ++=，所以外接球的表面积为226446S R πππ==⨯=⎝⎭，故②正确；在③中，正方形123APP P 的边长为2，所以(0,2)x ∈，2BC x =，312PC PB PB PC x ====-，在CPB ∆中，由边长关系得2x -+22x x ->，解得(0,422)x ∈-，故③正确； 在④中，正方形123APP P 的边长为2，且22P B P C x ==，则2PB PC x ==-， 所以()()222111sin 223263P ABCA PBCx VV CP BP CPB AP x ---==⨯⨯⨯∠⨯≤⨯-⨯=在(0,422)-上递减，无最大值，故④错误.故选：C【点睛】本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、等体积转化求三棱锥的体积最值等知识，属于中档题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数,x y 满足约束条件402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为_______.【答案】6 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足约束条件402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域如图：（阴影部分）由2z x y =+得y ＝﹣12x +12z ，平移直线y ＝﹣12x +12z ，由图象可知当直线y ＝﹣12x +12z 经过点A 时，直线y ＝﹣12x +12z 的截距最大，此时z 最大． 由40220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得A （2，2），代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6.故答案：6．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题．14.设正项等比数列{}n a 满足481a =，2336a a +=，则n a =_______. 【答案】3n 【解析】 【分析】将已知条件转化为基本量a 1，q 的方程组，解方程组得到a 1，q ，进而可以得到a n ． 【详解】在正项等比数列{}n a 中，481a =，2336a a +=，得312118136a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得133a q =⎧⎨=⎩，∴a n ＝11n a q -⋅＝3•3n ﹣1＝3n . 故答案为：3n【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题．15.已知平面向量a ，b 满足||2a =，||3b =，且()b a b ⊥-，则向量a 与b 的夹角的大小为_______. 【答案】6π【解析】 【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量a 与b 的夹角即可． 【详解】∵平面向量a ，b 满足||2a =，||3b =，且()b a b ⊥-，∴2()0b a b b a b ⋅-=⋅-=，∴2b a b ⋅=．设向量a 与b 的夹角的大小为θ，则，求得∵[]0,θπ∈ ，故θ＝6π. 故答案为：6π． 【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题． 16.已知直线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>相交于不同的两点,A B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足||3||AF BF =，||OA b =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为_______. 【答案】3 【解析】 【分析】取双曲线的右焦点'F ，连接A 'F ，B 'F ，可得四边形A 'F BF 为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值．【详解】设|BF |＝m ，则|||3||3AF BF m ==，取双曲线的右焦点'F ，连接A 'F ，B 'F ，可得四边形A 'F BF 为平行四边形，可得|A 'F |＝|BF |＝m ，设A 在第一象限，可得3m ﹣m ＝2a ，即m ＝a ，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b ）2+（2c ）2＝2（a 2+9a 2），化为c 2＝3a 2，则e ＝ca＝3． 故答案为：3．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平行四边形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222b c a +-=. （1）求sin A 的值；（2）若ABC ∆3sin B C =，求ABC ∆的周长.【答案】（1）13；（2）2【解析】 【分析】（1）由已知条件结合余弦定理可求cos A 的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sin A 的值．（2）利用三角形的面积公式可求bc b ＝3c ，解得b ，c 的值，根据余弦定理可求a 的值，即可求解三角形的周长．【详解】（1）∵222b c a +-=，∴由余弦定理可得2bc cos A ＝3bc ，∴cos A ＝3，∴在△ABC 中，sin A ＝13．（2）∵△ABC ，即12bc sin A ＝16bc ，∴bc ＝，sin B ＝3sin C ，b ＝3c ，∴b ＝，c ＝2，则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝6，a ∴=，所以周长为2abc ++=+.【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G 手机的员工称为“追光族"，计划在明年及明年以后才购买5G 手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.（1）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）已知被抽取的这100名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”.现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X 的分布列及数学期望.附22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++【答案】（1）表见解析，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）分布列见解析，()9 10E X=【解析】【分析】（1）根据题意，列出列联表，计算K2，查表判断即可；（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可．【详解】（1）由题意得，2×2列联表如下：22100(20204020)25= 2.778406040609K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.841<，故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）由题意得，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3，373107(0)24C P X C ===；123731021(1)40C C P X C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 333101(3)120C P X C ===.所以X 的分布列为21719()123.404012010E X ∴=⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查了独立性检验，考查了超几何分布，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．19.如图，在四棱锥P ABCD - 中，AP ⊥平面PBC ，底面ABCD 为菱形，且60ABC ︒∠=，E 为BC 的中点.（1）证明：BC ⊥平面PAE ；（2）若2AB =，1PA =，求平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（233【解析】 【分析】（1）根据菱形基本性质得BC ⊥AE ，再由线面垂直得BC ⊥AP ，故BC ⊥平面PAE ；（2）以P 为坐标原点，,,PE PQ PA 的方向分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BAP 与平面CDP 的法向量计算即可.【详解】（1）连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，所以△ABC 为正三角形， 因为E 为BC 的中点，所以BC ⊥AE ，又因为AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以BC ⊥AP ，因为AP ∩AE ＝A ，AP ，AE ⊂平面PAE ，所以BC ⊥平面PAE ；（2）因为AP ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AP ⊥PB ，又因为AB ＝2，PA ＝1，所以PB 3 由（1）得BC ⊥PE ，又因为E 为BC 中点，所以PB ＝PC 3EC ＝1，所以PE 2， 如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，,,PE PQ PA 的方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P （0，0，0），A （0，0，1），B 2，﹣1，0），C 2，1，0），D （0，2，1）， 设平面BAP 的一个法向量m ＝（x ，y ，z ），又PA ＝（0，0，1），PB 2，﹣1，0）， 由00m PA m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩2x ﹣y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m ＝（12，0），设平面CDP 的一个法向量n ＝（a ，b ，c ），又PC 2，1，0），PD ＝（0，2，1），由00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n ＝（12，2），所以33cos ,311m n ==-⋅，即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为33．【点睛】本题考查空间平面二面角问题，涉及证明线面垂直等知识点，建系是解决该类问题的常用方法，属于中档题． 20.已知函数()(1)ln af x a x x x=-++，.a R ∈ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a <-时，证明：(1,)x ∀∈+∞，2().f x a a >-- 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析； 【解析】 【分析】（1）求出导数，讨论a 的取值范围，求出单调区间；（2）由（1）得函数函数()f x 在(1,)+∞内的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=----，根据题意转化为2(1)ln()10a a a +--->在1a <-恒成立即可.【详解】（1）22221(1)(1)()()1a a x a x a x x a f x x x x x'-+---+=+-==,因为0,x a R >∈， 当0a ≥时，0x a +>，函数()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增； 当10a -<<时，即01a <-<，函数()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当1a =-时，22(1)()0x f x x'-=，函数()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当1a <-时，即1a ->，函数()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增；综上：当0a ≥时，()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当10a -<<时，()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增； 当1a =-时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当1a <-时，()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增. （2）当1a <-时，由（1）可得函数()f x 在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增，∴函数()f x 在(1,)+∞内的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=----，要证：不等式2().f x a a >--成立， 即证：2(1)ln()1a a a a a --<----，即证：()2(1)ln()(1)1l 01n a a a a a a ⎡⎤+--=-++->⎣⎦-，1a <-，即证：()1ln 0a a ++-<， 令1(1)()ln 1(1),()10x h x x x x h x x x'--=-+≥=-=≤， 则函数()h x 在[1,)+∞内单调递减，()(1)0h x h ≤=，因1,1a a <-∴->，则()ln()10h a a a -=-++<，即当1a <-时，ln()1a a -<--成立 则当1a <-时，2(1,),()x f x a a ∀∈+∞>--成立.【点睛】本题考查利用导数求函数单调性，运用分类讨论思想是关键，涉及构造新函数求区间等问题，属于中档题．21.已知椭圆C :2212x y +=的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l ：2x =与x 轴相交于点H ，过点A 作AD l ⊥，垂足为D.（1）求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围； （2）证明直线BD 过定点E ，并求出点E 的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由题意设直线AB 的方程，代入椭圆整理得纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，根据底相同，列出关于面积的函数式，再结合均值不等式可得面积的取值范围；（2）由（1）得B ，D 的坐标，设直线BD 的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD 过定点．【详解】（1）由题F （1,0），设直线AB ：()()11221(),,,,x my m R A x y B x y =+∈，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()222210m y my ++-=， 因为()224420m m ∆=++>，12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 则122z y y m -===+ 所以四边形OAHB的面积121221||22S OH y y y y m =⋅-=-=+，2,1,11t t S t t t=∴∴==++因为12t t+（当且仅当t=1即m =0时取等号），所以02S <，所以四边形OAHB 的面积取值范围为； （2）()()221,,2,B x y D y ，所以直线BD 的斜率1222y y k x -=-，所以直线BD 的方程为1212(2)2y y y y x x --=--，令y =0，可得212121212122,x y zy my y y y x y y y y -+-==--①由（1）可得121212122221,,222m y y y y y y my y m m +=-=-∴+=++ 化简①可得()()112121212123222z s y y y y y y x y y y y ++--===--则直线BD 过定点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，四边形面积的取值范围，求直线的方程，证明直线过定点的等问题，考查运算能力，属于中档题．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是曲线1C ：22(2)4x y +-=上的动点，将OP 绕点O 顺时针旋转90︒得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，点(3,)2M π，射线(0)6πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别相交于异于极点O的,A B 两点，求MAB ∆的面积.【答案】（1）曲线1C ：4sin ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=；（2【解析】 【分析】（1）由题意，点Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得曲线C 1，C 2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB |＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M （3，2π）到射线()06πθρ=≥的距离h ＝3sin 3π=，即可求得△MAB 的面积．【详解】（1）由题意，点Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C 2：22(2)4x y -+=，∵ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，124sincos1).66AB ππρρ∴=-=-=又点(3,)2M π到射线(0)6πθρ=≥的距离为3sin32h π==MAB ∴∆的面积12S AB h =⋅= 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，属于中档题．23.已知函数() 3.f x x =- （1）解不等式()421f x x ≥-+；（2）若142(0,0)m n m n+=>>，求证：3().2m n x f x +≥+-【答案】（1）2(,][0,)3-∞-⋃+∞；（2）见解析.【解析】 【分析】（1）原不等式可化为：|x ﹣3|≥4﹣|2x +1|，即|2x +1|+|x ﹣3|≥4，分段讨论求出即可； （2）由基本不等式得m n +的最小值92，转化为|x +32|﹣f （x ）≤92恒成立即可．【详解】（1）原不等式化为3421x x -≥-+，即213 4.x x ++-≥ ①12x ≤-时，不等式化为2134x x ---+≥，解得23x ≤-； ②132x -<<时，不等式化为2134x x +-+≥，解得0x ≥，03x ∴≤<； ③3x ≥时，不等式化为2134x x ++-≥，解得2x ≥，3x ∴≥. 综上可得：原不等式解集为2(,][0,)3-∞-⋃+∞.（2）() 3.f x x =-3339()3(3)2222x f x x x x x ∴+-=+--≤+--=， 当且仅当3()(3)02x x +-≥且332x x +≥-时取等号.又142(0,0)m n m n+=>>，1141419()()(5)(52222n m m n m n m n m n ∴+=++=++≥+=， 当且仅当4n mm n=时取等号.∴3().2m n x f x +≥+-【点睛】考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，利用分类讨论的思想结合绝对值的性质和基本不等式的应用，属于中档题．。

2021年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）（附解析）2021年成都市高2021届高三第一次诊断考试数学问题（科学）第ⅰ卷（选择题，共50分）一、多项选择题：本主题共有10个子题，每个子题得5分，每个子题给出的四个选项共50分，只有一个符合问题要求1．已知集合a?{x?z|(x?1)(x?2)?0}，b?{x|?2?x?2}，则ab?（a） {x | 1 | x | 2}（b）{1,0,1}（c）{0,1,2}（d）{1,1}2？在ABC中，“a？？2”是“cosa？”424（a）充分和不必要条件（b）必要和不充分条件（c）充要条件（d）既不充分也不必要条件3.如图所示，剩余部分与开挖部分的体积比为（a）3:1（b）2:1（c）1:1（d）1:2正视图侧视图77?19154c?log4．设a?()，b?()，，则a,b,c的大小顺序是2997俯视图（a）b?a?c（b）c?a?b（c）c?b?a（d）b?c?a已知空间中的两条线，N和m，是不同的，？，？对于空间中的两个不同平面，以下命题是正确的的是（a）如果M/？，m/然后呢？/？（b）如果我？？，Mn、那么n/？（c）若m//?,m//n，则n//?（d）若m??,m//?，则6.执行如图所示的程序框图，如果输出结果不大于50，则输入整数k的最大值为（a）4（b）5（c）6（d）77．已知菱形abcd边长为2，?b?开始输入KS？0，n？0n？K不，是吗？s2n？2n？N1输出s？，P点满足AP？？AB，3结束？？r、如果是BD？内容提供商？？3.那么？价值在于121（c）3（a）121（d）?3（b）？1X2y28。

在双曲线2上？2.1的左顶点a（a？0，B？0）是一条斜率为1的直线，这是两条双曲线ab1渐近线的交点分别为b,c.若ab?bc，则此双曲线的离心率为2（a）10（b）5（c）3（d）2xy409．设不等式组?x?y?2?0表示的平面区域为d.若指数函数y?ax(a?0且a?1)的图Y2.0如果图像通过区域D上的点，则a的值范围为（a）[2，3]（b）[3,??)（c）(0，]（d）[,1)10.如果序列{an}中的任意三个连续奇数项和三个连续偶数项可以构成三角形的边长，则{an}称为“次三角形”序列；对于“次三角形”序列{an}，如果函数y？F（x）使1313bn?f(an)仍为一个“亚三角形”数列，则称y?f(x)是数列{an}的一个“保亚三角形函数（n？n），数字序列{CN}的第一n项的总和是Sn，C1？2022，5Sn？1？席席？10080，如果{CN}的项目n的最大值是G（x）？LGX是序列{CN}（参考数据：LG2×10.301，LG2022×3.304）（A）33（B）34（C）35（D）36的“次三角保留函数”。