高三数学复习专题22函数y=Asinωx+φ的图象与性质学案理苏科版

函数sin()y A x k ωϕ=++的图象【教学目标】1.会用“五点法”画函数sin()y A x k ωϕ=++的简图,理解A 、ω、ϕ的物理意义；2.掌握由函数sin y x =图像到函数sin()y A x k ωϕ=++的图像变换过程；3.通过图像变换的学习,培养学生掌握从特殊到一般,从具体到抽象的思维方法,从而达到从感性认识到理性认识的飞跃；又从一般到特殊,从抽象到具体的辩证思维方法. 【教学建议】 知识结构:【重点与难点分析】本节重点是用“五点法”画函数sin()y A x k ωϕ=++的简图,以及由函数的图像得到函数sin()y A x k ωϕ=++图像的变换过程.“五点法”作图在对图像要求不精确时经常用到,是数形结合中画图常用的方法.图像变换体现了数学的由简单到复杂的转化,由特殊到一般的化归思想,要掌握三角函数的图像变换,关键理解A 、ω、ϕ对图像变换所起的作用.本节难点是当1ω≠时,函数1k +,2k +的图像间的关系.学生在这里经常出错,教学中要帮学生尽量克服这一难点.首先要学生理解A 、 、三个参数的名称、在变换过程中的作用,函数sin()y A x k ωϕ=++的图像如何通过逐步变换得到的,A 、 、三个参数对于图像有什么样的影响.变换的顺序不同 、变换的数据可能就不相同,让学生理解所的变换均是针对x 而言的,关键是看x 是如何变化的. 【教法建议】1.本节的主要内容是“五点法”画函数sin()y A x k ωϕ=++的图像,以及由函数图像到函数sin()y A x k ωϕ=++的图像的变换过程.首先让学生理解由函数的图像分别到函数 , ,图像,是如何变换得到的以及参数、、分别对变换图像影响.讲解过程中一定要结合图像,让学生掌握变换的思路.讲解后配上适当的练习进一步熟悉变换过程.每个例题讲解图象变换的目的,在于揭示各种正弦函数图象的内在联系,而并不要求用图象变换来作图,而是为sin()y A x k ωϕ=++ 图像的变换奠定基础.2.由函数图像变换到函数sin()y A x k ωϕ=++的图像过程中,变换的顺序不同可能变换的量不相同,例如先变相位,再变周期,与先变周期.再变相位,相位变换的量不同,函数的图像可由函数的图像上所有点向左平,再将所得各点的横坐标缩短到原来的；也可先将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的,再将所得各点向左平移.这一不同学生很难理解,学生很容易出错,也是经常考查内容.首先给学生说明对于sin()y A x k ωϕ=++中的、均是针对x 而言的,因此在变换的过程关键就看x 变换了多少,其它因素暂时不考虑.可以借助多媒体课件讲解,能起到更好的效果.3.画函数sin()y A x k ωϕ=++的简图,主要还是先找出确定曲线形状时起关键作用的五个点.要强调一下:这五个点应该是使函数取得最大值、最小值以及曲线与 轴相交的点；找出它们的方法是换元法,设x x ωϕ=+,由x 取0,,,,来确定对应的值.在每道例题中讲图象变化的目的,在于揭示函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与正弦曲线的关系,而不是要求按图象变化规律来画图,这样可以借助函数的性质研究函数sin()y A x k ωϕ=++的性质. 4.由于函数sin()y A x k ωϕ=++的图象在物理和工程技术的很多问题中应用都很多,所以,在引入函数sin()y A x k ωϕ=++的图象时,就可以从物理中的一些实际问题出发,即结合了实际,又体现了学以致用的思想,特别是对、、物理意义的理解。

辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。

1.3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)[学习目标] 1.理解y ＝A sin(ωx ＋φ)中ω、φ、A 对图象的影响.2.掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.知识点一 φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响如图所示，对于函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y ＝sin x 的图象上所有的点向________(当φ>0时)或向________(当φ<0时)平行移动________个单位长度而得到的.知识点二 ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的 图象的影响如图所示，函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的________倍(纵坐标________)而得到.知识点三 A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 的影响如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A >1时)或________(当0<A <1时)到原来的________倍(横坐标不变)而得到.思考 由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象？题型一 三角函数图象的平移变换例1 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象________.(填序号) ①向左平移π3个单位；②向右平移π3个单位；③向左平移π6个单位；④向右平移π6个单位.跟踪训练1 要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象________.(填序号) ①向左平移π8个单位；②向右平移π8个单位；③向左平移π4个单位；④向右平移π4个单位.题型二 三角函数图象的伸缩变换例2 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是________.跟踪训练2 要得到y ＝sin(－12x )的图象，只需将y ＝sin(－12x －π6)的图象________.(填序号)①向左平移π3个单位；②向右平移π3个单位；③向左平移π6个单位；④向右平移π6个单位.题型三 图象变换的综合应用例3 把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3， 求f (x )的解析式.跟踪训练3 将函数y ＝2sin(x ＋π3)的图象向左移m (m >0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为________.例4 将函数y ＝sin(2x －π3)的图象先沿x 轴向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，求与最终的图象对应的函数的解析式.错解1 将原函数的图象沿x 轴向右平移π4个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y ＝sin(2x －π3－π4)＝sin(2x －7π12)，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，则与其对应的函数的解析式为y ＝sin(4x －7π12).错解2 将原函数的图象沿x 轴向右平移π4个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y ＝sin[2(x －π6－π4)]＝sin[2(x －5π12)]，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，则与其对应的函数的解析式为y ＝sin[4(x －5π12)]＝sin(4x －5π3)＝sin(4x ＋π3).错解3 将原函数的图象沿x 轴向右平移π4个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y ＝sin(2x －π3－π4)＝sin(2x －7π12)，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，则与其对应的函数解析式为y ＝sin[2(2x －7π12)]＝sin(4x －7π6)＝sin(4x ＋5π6). 错因分析 以上三种解法都是错误的，错解产生的根本原因是没有抓住变换的对象.错解1在进行平移变换时，错误地把2x 看成了变换对象；错解2在进行伸缩变换时，错误地把2(x －5π12)看成了变换对象；错解3在平移变换和伸缩变换上都犯了错误.正解 将原函数的图象沿x 轴向右平移π4个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y ＝sin[2(x －π6－π4)]＝sin(2x －5π6)，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，则与其对应的函数的解析式为y ＝sin(4x －5π6).点评 由y ＝sin x 的图象变换为y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象时，若先由y ＝sin x 的图象变换为y ＝sin ωx 的图象，再由y ＝sin ωx 的图象变换为y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，则左右平移|φ|ω个单位长度，很多人都直接左右平移|φ|个单位长度，从而导致错误.1.函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________.2.要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，只要将函数y ＝sin x2的图象________.(填序号) ①向左平移π3个单位；②向右平移π3个单位；③向左平移2π3个单位；④向右平移2π3个单位.3.将函数y ＝sin(x ＋π3)的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)而得到的函数解析式为________________.4.由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位. 5.将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位，所得函数图象的解析式为__________.1.由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ). (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ).注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位.(2)先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位.这是很容易出错的地方，应特别注意.类似地，y＝A cos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象也可由y＝cos x的图象变换得到.2.一般地有以下结论：(1)将函数y＝f(x)的图象沿x轴方向平移|a|个单位后，得到函数y＝f(x＋a)(a≠0)的图象，当a>0时，向左平移，当a<0时，向右平移，简记为“左加右减”.(2)函数y＝f(ωx)(ω>0)的图象，可以看作是把函数y＝f(x)的图象上的点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到.(3)函数y＝Af(x)(A>0，且A≠1)的图象，可以看作是把函数y＝f(x)的图象上的点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.答案精析知识梳理 知识点一 左 右 |φ| 知识点二 缩短 伸长 1ω不变 知识点三 伸长 缩短 A思考 方法一 (先相位变换，再周期变换)先将y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，得函数y ＝sin(x ＋π3)的图象；再将函数y ＝sin(x ＋π3)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12倍，得y ＝sin(2x ＋π3)的图象. 方法二 (先周期变换，再相位变换)先将f (x )＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12倍，得函数f (2x )＝sin 2x 的图象，再将函数f (2x )＝sin 2x 的图象上各点沿x 轴向左平移π6个单位长度，得f [2(x ＋π6)]＝sin [2(x ＋π6)]的图象，即函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象.题型探究 例1 ③解析 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin [2⎝⎛⎭⎫x ＋π6]，所以把y ＝sin 2x 的图象上所有点向左平移π6个单位，就得到y ＝sin [2⎝⎛⎭⎫x ＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象. 跟踪训练1 ①解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4. 若设f (x )＝sin 2x＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4， ∴向左平移π8个单位.例2 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 解析 把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象.跟踪训练2 ②解析 因为y ＝sin(－12x －π6)＝sin[－12(x ＋π3)]，所以需将y ＝sin(－12x －π6)的图象向右平移π3个单位才可得y ＝sin(－12x )的图象.例3 解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3−−−−−−−→32纵坐标伸长到原来的倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3−−−−−−−→12横坐标缩短到原来的倍 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3π−−−−−−→6向左平移个单位y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x . ∴f (x )＝3cos x . 跟踪训练3 π6解析 因为函数y ＝2sin(x ＋π3)的图象向左平移m 个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin(x ＋π3＋m )是偶函数，所以π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，所以m的最小值为π6.当堂检测1.122.③3.y ＝sin(2x ＋π3)4.π3 23π5.y ＝－cos 2x解析 y ＝sin(－2x ) π−−−−−→4左移个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－cos 2x .。

函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与性 质及三角分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2012·盐城调研)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4－22·sin 2x 的最小正周期为________．解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4－2(1－cos 2x )＝cos 2x cos 3π4＋sin 2x sin 3π4＋2cos 2x－2＝22 sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案 π2．(2012·苏北四市调研)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最大值为________．解析 法一 由题意可知y ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x cos π3＋sin 2x sin π3＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以最大值为2.法二 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以最大值为2.答案 23．(2012·北京东直门中学模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω＝________.解析 由题图可知，T ＝π，所以ω＝2，易得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π3，因此y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A ， 若OM →·ON →＝0，则π12×7π12－A 2＝0，所以A ＝712π，因此A ·ω＝2×712π＝76π. 答案76π 4．(2012·泰州学情调查)要使sin α－3cos α＝4m －64－m 有意义，则m 的范围为________．解析4m －64－m ＝sin α－3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3∈[－2,2]，所以－2≤4m －64－m ≤2，解得－1≤m ≤73.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，73 5．(2012·镇江调研)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是________．解析 f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π4＋cos x sin π4＋2sin x cos x ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cosx ．设t ＝sin x ＋cos x ，则t 2＝1＋2sin x cos x ，∴2sin x cos x ＝t 2－1，且由π4≤x ≤π2，得t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[1，2]，所以y ＝t ＋t 2－1＝t 2＋t －1，当t ＝2时，y max ＝2＋1. 答案2＋16．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形．其中正确命题的序号为________．解析 ①y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π2⇒y ＝－sin 23x 是奇函数； ②由sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的最大值为2， 2＜32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32.③α＝60°，β＝390°，显然有α＜β，且α，β都是第一象限角，但tan α＝3，tan β＝tan 390°＝33，tan α＞tan β，所以③不成立． ④∵2×π8＋54π＝π4＋54π＝32π，sin 32π＝－1，∴④成立．⑤∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝1≠0，∴⑤不成立． 答案 ①④二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2012·陕西卷)函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解 (1)由题意，A ＋1＝3，所以A ＝2.因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期T ＝π，所以ω＝2.故函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12.又0<α<π2，所以α－π6＝π6，即α＝π3.8．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h .(1)求h 与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2.(2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m. 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30，∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒．分层训练B 级 创新能力提升1．(2012·江苏海安中学二模)设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.解析 因为函数图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3＝0,2x 0＋π3＝k π，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，解得x 0＝－π6.答案 －π62．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋16，当t ＝1100秒时，I ＝－5安．答案 －53．(2013·南通调研)函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，则正数ω的值为________．解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，由题意得f (x )的最小正周期T ＝4×π2＝2π，所以2πω＝2π，即ω＝1. 答案 14．(2013·菏泽模拟)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，下列结论：①图象C 关于直线x＝π6对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；③f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12上是增函数；④函数g (x )＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到f (x )的图象，其中正确的命题序号是________．解析 ①当x ＝π6时，2x －π3＝2×π6－π3＝0，所以C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，所以①不正确．②当x ＝－π6时，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3≠0，所以②不正确．③当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调增，所以③正确．④g ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3≠f (x )，所以④不正确，故正确的题号是③.答案 ③5．(2012·华东师大附中模拟)已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A 、B 、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2.(1)求f (x )的解析式； (2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π，又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(k ∈Z )．故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. (2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z )，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.6．已知函数f (x )＝23sin x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin[⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3]＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.。

§4.4 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅周期频率相位初相AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φπ2π3π2 2πy ＝A sin(ωx ＋φ)0 A 0 －A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)作函数y ＝sin(x －π6)在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)这五个点．( × ) (2)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin(2x ＋π4)．( × ) (3)函数y ＝sin(x －π4)的图象是由y ＝sin(x ＋π4)的图象向右移π2个单位长度得到的．( √ )(4)函数y ＝sin(－2x )的递减区间是(－3π4－k π，－π4－k π)，k ∈Z .( × )(5)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为π，0.( √ )(6)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．(2013·江苏)函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期为________．答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2．(2013·四川改编)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________． 答案 2，－π3解析 ∵34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，∴T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3.3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________． 答案 6解析 由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3 (n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.4．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (23π)＝3sin(4π3＋φ)，则sin(4π3＋φ)＝1或－1.又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，116π)，∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z⇒k π＋π6<x <k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6<x <2π3， 即f (x )在(π6，23π)上单调递减，而在(π12，π6)上单调递增，错误．③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确．④：应平移π12个单位长度，错误.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 解 (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表，并描点画出图象：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 01 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32－2(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．方法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得函数的解析式为________．答案 y ＝－cos 2x 解析 将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)＝－cos 2x .题型二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________.(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________． 答案 (1)2π3(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析 (1)∵f (x )(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，∴T ＝2πω＝π，ω＝2.∵f (0)＝2sin φ＝3，即sin φ＝32(|φ|<π2)，∴φ＝π3. (2)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.思维升华 根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最大值－最小值2；②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最大值＋最小值2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．(1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．解 (1)由图象知A ＝3，以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第一个零点，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0为第二个零点．列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3.(2)f (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )． 题型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质例3 (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由－π2≤φ<π2得k ＝0所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)， 当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤56π，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小＝－32.思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数； φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小正周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得其对称中心．利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．解 (1)∵最小正周期为π. ∴2πω＝π. 即ω＝2.又∵直线x ＝π6是函数图象的一条对称轴，∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z .又∵φ∈(0，π2)，∴φ＝π6.又∵A ＝2，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π6]＝2sin 2x －2sin(2x ＋π3)＝2sin(2x －π3)．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 可得k π－π12≤x ≤k π＋512π，k ∈Z .即函数g (x )的单调递增区间是 [k π－π12，k π＋512π]，k ∈Z .三角函数图象与性质的综合问题典例：(14分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期．(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期； (2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [4分]＝2sin(x ＋π3)，[6分]于是T ＝2π1＝2π.[7分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[9分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[11分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2][12分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤： 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·(sin x ·a a 2＋b2＋cos x ·b a 2＋b2)．第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝ab)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(2)求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解.方法与技巧1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化． 2．由图象确定函数解析式由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 3．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)． 失误与防范1．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如：先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来．2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化． 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．(2013·山东改编)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值为________． 答案 k π＋π4，k ∈Z解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z .2．(2013·浙江改编)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是________． 答案 π，1解析 f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.所以最小正周期为π，振幅为1.3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________． 答案 [k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2.∴取k ＝0，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，其单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .4.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安． 答案 －5解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10，∴10 sin(100π×1300＋φ)＝10，∴sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_____________．答案 (－∞，－2]∪[32，＋∞)解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪[32，＋∞)．6.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________． 答案34解析 取K ，L 中点N ，则MN ＝12，因此A ＝12.由T ＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝12cos πx ，∴f (16)＝12cos π6＝34.7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －(x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃. 答案 20.5解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋A ＝28，a －A ＝18， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －， 当x ＝10时，y ＝23＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝20.5. 8．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 其中真命题是________． 答案 ③④解析 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题； f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π2]，故③是真命题；因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝34π对称，故④是真命题．9．已知函数f (x )＝cos x ·cos(x －π3)．(1)求f (2π3)的值；(2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合．解 (1)f (2π3)＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·cos π3＝－(12)2＝－14.(2)f (x )＝cos x cos(x －π3)＝cos x ·(12cos x ＋32sin x )＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x＝12cos(2x －π3)＋14. f (x )<14等价于12cos(2x －π3)＋14<14，即cos(2x －π3)<0，于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈Z .解得k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z .故使f (x )<14成立的x 的取值集合为{x |k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z }．10．(2014·福建)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 方法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)， 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z .方法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)． (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin(2α＋π4)＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z .B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)1．将函数y ＝sin(x ＋φ)的图象F 向左平移π6个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称中心为(π4，0)则φ的一个可能取值是________．①π12 ②π6 ③5π6 ④π12 答案 ④2．已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A (－π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值分别为________．答案 2，π3解析 因为CD →在x 轴上的投影为π12，又点A (－π6，0)，所以函数的四分之一个最小正周期为π6＋π12＝π4.即函数的最小正周期为π，故ω＝2ππ＝2. 又点A (－π6，0)是处于递增区间上的零点，所以2×(－π6)＋φ＝2k π(k ∈Z )，则φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．又因为0<φ<π2，所以φ＝π3.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈(－π12，5π12)，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________. 答案 12解析 由f (x )的图象可得A ＝1，12T ＝5π12－(－π12)＝π2，所以最小正周期T ＝π＝2πω⇒ω＝2.又f (－π12)＝sin(－π6＋φ)＝0，|φ|<π2，所以φ＝π6.又x 1，x 2∈(－π12，5π12)，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 2＝5π12－π12＝π3，所以f (x 1＋x 2)＝sin(2×π3＋π6)＝12.4．(2014·湖北)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 (1)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin(π12t ＋π3)，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin(π12t ＋π3)≤1.当t ＝2时，sin(π12t ＋π3)＝1；当t ＝14时，sin(π12t ＋π3)＝－1.于是f (t )在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)，故有10－2sin(π12t ＋π3)>11，即sin(π12t ＋π3)<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．5．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)．(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以g (x )∈[－32，1] 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1， 所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}.。

§4.4函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用考情考向分析以考查函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为填空题，中档难度．1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径概念方法微思考1．怎样从y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？ 提示 向左平移φω个单位长度．2．函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的对称轴是什么？ 提示 x ＝k πω＋π2ω－φω(k ∈Z )．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位长度得到的．( √ )(2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( × )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ ) (4)函数y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )题组二 教材改编2．[P39T2]为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，可以将函数y ＝2sin2x 的图象向________平移________个单位长度． 答案 右π63．[P40T5]y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为__________________．答案 2，14π，－π34．[P41T1]如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]解析 从题图中可以看出，从6～14时的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期，所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8. 又π8×10＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，取φ＝3π4， 所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．题组三 易错自纠5．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为________________． 答案 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3解析 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期，即π4个单位长度， 所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6．y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________． 答案π2＋4解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.7.若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．答案3解析 由题干图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.题型一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2 的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.(1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)．解 (1)因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2. 又因为当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，13π6，列表如下：描点、连线得图象：引申探究在本例条件下，若将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象，且y ＝g (x )是偶函数，求m 的最小值．解 由已知得y ＝g (x )＝f (x －m )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －m )＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π6是偶函数，所以2m －π6＝π2(2k ＋1)，k ∈Z ，m ＝k π2＋π3，k ∈Z ，又因为m >0，所以m 的最小值为π3.思维升华 (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．(2)由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练1 (1)(2018·南通、泰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________． 答案π6解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位长度后得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π3，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2φ＋π3＝0，∴－2φ＋π3＝k π(k ∈Z )， 又0<φ<π2，∴φ＝π6.(2)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(0<ω<2)满足条件：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，为了得到函数y ＝f (x )的图象，可将函数g (x )＝cos ωx 的图象向右平移m (m >0)个单位长度，则m 的最小值为________． 答案 1解析 由题意得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12ω＋π6＝0，即－12ω＋π6＝k π(k ∈Z )，则ω＝π3－2k π(k ∈Z )，结合0<ω<2，得ω＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3(x －1)，所以只需将函数g (x )＝cos π3x 的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y ＝f (x )的图象． 题型二由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2(1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π3，k ∈Z解析 根据题干所给图象，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值．(2)(2019·江苏省扬州中学月考)函数f (x )＝6cos2ωx2＋3sin ωx －3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．①求ω的值及函数f (x )的值域；②若f (x 0)＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值． 解 ①由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，∴函数f (x )的值域为[－23，23]， ∴正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4，∴函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.②∵f (x 0)＝835，由①有f (x 0)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 0＋π3＝835，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x 0＋π3＝45，由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知π4x 0＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 0＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. ∴f (x 0＋1)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 0＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 0＋π3＋π4＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 0＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 0＋π3sin π4＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝765.思维升华y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．跟踪训练2已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32对称，则m 的最小值为________．答案π12解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝332，－A ＋B ＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝32，T 2＝πω＝2π3－π6＝π2， 故ω＝2，则f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋32. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＋32＝332，故π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．因为|φ|<π2，故φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.将函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后，得到g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2m ＋32的图象，又函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32对称，即h (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2m 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称， 故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＋2m ＝0，即5π6＋2m ＝k π(k ∈Z )，故m ＝k π2－5π12(k ∈Z )．又m >0，所以m 的最小值为π12.题型三 三角函数图象、性质的综合应用命题点1 图象与性质的综合问题例3已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若f (0)＝3，且AB →·BC →＝π28－8，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)由f (0)＝3，可得2sin φ＝3，即sin φ＝32. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π3.由题意可知，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14T ，2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12T ，－4，则AB →·BC →＝T28－8＝π28－8，∴T ＝π.故ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z . (2)由题意将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32.∴当2x ＋2π3＝2π3，即x ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝32，g (x )取得最大值3，当2x ＋2π3＝3π2，即x ＝5π12时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝－1， g (x )取得最小值－2.命题点2 函数零点(方程根)问题例4已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π，∴题目条件可转化为m 2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π有两个不同的实数根．∴y ＝m 2和y ＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，故m 的取值范围是(－2，－1)． 引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 答案 [－2,1)解析 由上例题知，m 2的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12， ∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)．命题点3 三角函数模型例5据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低，为5千元，则7月份的出厂价格为______元．答案 6000解析 作出函数简图如图：三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知A ＝12(9 000－5 000)＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2πT ＝π6.将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点， 则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．∴f (7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000(元)．故7月份的出厂价格为6 000元．思维升华 (1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )的解析式为______________．答案 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6解析 根据已知两个相邻最高点和最低点的距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ. 又函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6.(2)(2019·江苏省淮海中学测试)已知函数f (x )＝4sin x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋ 3.①求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值；②若方程f (x )－t ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上有唯一解，求实数t 的取值范围． 解 ①f (x )＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos π3－sin x sin π3＋ 3 ＝2sin x cos x －23sin 2x ＋ 3 ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为－π4≤x ≤π6，所以－π6≤2x ＋π3≤2π3，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以－1≤f (x )≤2，当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1；当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.②因为当－π4≤x ≤π12时，－π6≤2x ＋π3≤π2，所以－1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤2，且单调递增；当π12≤x ≤π2时，π2≤2x ＋π3≤4π3， 所以－3≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤2，且单调递减，所以f (x )＝t 有唯一解时对应t 的取值范围是t ∈[－3，－1)或t ＝2.三角函数图象与性质的综合问题例(14分)已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值． 规范解答解 (1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4 －sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分]＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，[5分]于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，[8分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，[10分]∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈[－1,2]．[12分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b 2；第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质．1．(2018·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位长度得到g (x )的图象，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为________． 答案 －12解析 由题意得，将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位长度，得到g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－12.2．若将函数f (x )＝sin2x ＋cos2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π(k ∈Z )，所以φ的最小正值为3π8.3．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移π3个单位长度后对应函数的单调递减区间是________________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )解析 由题意知ω＝2ππ＝2，将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin2x 的图象，由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )．4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为________．答案 [－3＋8k,1＋8k ](k ∈Z )解析 由题图知，T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.把(1,1)代入，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为[8k －3,8k ＋1](k ∈Z )．5．(2018·江苏泰州中学月考)将函数y ＝sin2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ>0)，使得平移后的图象仍过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，则φ的最小值为________． 答案π6解析 将y ＝sin2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ>0)得到y ＝sin2(x －φ)，代入点⎝⎛⎭⎪⎫π3，32得32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2φ，因为φ>0，所以当2π3－2φ＝π3时，第一个正弦值为32的角，此时φ最小，为π6.6．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．答案 －32解析 将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32.7.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.答案3解析 由题干图象知πω＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π2，所以ω＝2.因为2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，这时f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.又函数图象过点(0,1)，代入上式得A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝ 3.8.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.答案32解析 由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，所以f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1， 所以2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，可得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，可得x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32.9．(2018·南京模拟)在同一直角坐标系中，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点的个数是________．答案 2解析 方法一 令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12，可得x ＋π3＝2k π＋π6或x ＋π3＝2k π＋5π6，k ∈Z ，即x ＝2k π－π6或x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，又x ∈[0,2π]，所以x ＝11π6或x ＝π2，故原函数图象与y ＝12的交点的个数是2.方法二 在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为2.10．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18 解析 画出函数的图象如图所示．由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝cosπ＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18.11．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求ω的值，并求出函数f (x )的单调递增区间； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解 (1)因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π(k ∈Z )，ω＝－3k ＋12(k ∈Z )， 因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.令2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z )．(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]， 列表如下：作出函数部分图象如图所示：12．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0， 所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ， 故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0<ω<3， 所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4， 所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.13．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值为________． 答案5π6解析 g (x )＝sin[2(x －φ)＋θ]＝sin(2x －2φ＋θ)，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， 所以sin θ＝32，sin(－2φ＋θ)＝32， 又－π2<θ<π2，所以θ＝π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ＝32.又0<φ<π，所以－5π3<π3－2φ<π3，所以π3－2φ＝－4π3.即φ＝5π6.14．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)．由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝5π6，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.15．已知函数y ＝M sin(ωx ＋φ)(M >0，ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x ＝13对称．该函数的部分图象如图所示，AC ＝BC ＝22，C ＝90°，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________．答案 34解析 依题意知，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形， 因此其边AB 上的高是12，函数f (x )的最小正周期是2， 故M ＝12，2πω＝2，ω＝π，f (x )＝12sin(πx ＋φ)． 又f (x )的图象关于直线x ＝13对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±12. ∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<π， ∴φ＝π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝34. 16．已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12⎝⎛⎭⎪⎫A >0，0<φ<π2的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线x ＝π12对称，若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使m 2－3m ≥f (x )成立，则实数m 的取值范围为______________．答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12⎝⎛⎭⎪⎫A >0，0<φ<π2的图象在y 轴上的截距为1， ∴A sin φ－12＝1，即A sin φ＝32. ∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12的图象关于直线x ＝π12对称， ∴2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴A ·sin π3＝32， ∴A ＝3，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－12. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3， ∴当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时， f (x )min ＝－32－12＝－2.令m 2－3m ≥－2，解得m ≥2或m ≤1.。

4.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(学案)时间：2007.10.18 地点：第二电教室班级：高三（13）教者：杨拴运教学目标：通过对07年考纲中“三角函数图像与性质”内容的解读和命题趋势的了解，同时对06、07两年全国高考试题中涉及到的有关函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质问题的分析和点评，帮助学生在高考复习中能够明确目标，少走弯路，提高复习的命中率。

教学重点、难点：函数y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）的图象、性质，及图象与解析式间的互求。

教学方法：诱思探究教学法思维方法：数形结合，数形转化教学用具：多媒体课件教学过程：解读考纲和命题趋势解读考纲考试要求：（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．命题趋势三角函数的考查近年主要表现在对三角函数的图像与性质的考查。

高考题型大致可以分为如下几类问题：与三角函数单调性有关的问题，与三角函数图像有关（平移、解析时与图像的互求）的问题，应用同角变换和诱导公式，有求三角函数的值及化简、等式的证明的问题，与周期性和对称性有关的问题，三角形中的问题等。

知识归纳⑴一般地，函数y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左（当φ>0时）或向右（当φ<0时）平行移动|φ|个单位长度（得y=sin(x+φ)图）,，再把所得各点的横坐标缩（得 y=sin(ωx+φ)短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的倍（纵坐标不变）图,），再把所得各点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<1时）到原来的Ａ倍（横坐标不变）．（若先伸缩，再平移时移多少？）(2)振幅Ａ、周期、相位ωx+φ、初相φ。

4.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质挖命题【考情探究】分析解读函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质,这部分内容复习时要以基本知识为载体,巩固数形结合思想和三角函数的相关性质.破考点【考点集训】考点一函数y=Asin(ωx+φ)的图象1.(2018江苏东台安丰高级中学月考)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向右平移个单位后,所得图象的解析式为y= .答案sin-2.(2017江苏盐城期中,16)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,且A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.(1)求A,ω,φ的值;(2)设θ为锐角,且f(θ)=-,求f-的值.解析(1)由题图可得A=,最小正周期T=--=π,∴ω==2,∴f(x)=sin(2x+φ),由f=-,得2×+φ=-+2kπ,k∈Z,∴φ=-+2kπ,k∈Z,∵0<φ<π,∴φ=.(2)由f(θ)=sin=-,得sin=-,∵θ∈,∴2θ+∈,又sin<0,∴2θ+∈,∴cos=--=-,∴f-=sin 2θ=sin -=-=-=-.考点二函数y=Asin(ωx+φ)的性质1.(2017江苏南京、盐城第二次模拟考试,7)将函数f(x)=sin x的图象向右平移个单位后得到函数y=g(x)的图象,则函数y=f(x)+g(x)的最大值为.答案2.函数y=asin(ax+θ)(a>0,θ≠0)的图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为.答案2炼技法【方法集训】方法一根据图象确定函数解析式已知曲线y=Asin(ωx+φ)∈-上的一个最高点的坐标为,由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点.(1)试求这条曲线的函数解析式;(2)写出函数的单调区间.解析(1)依题意,知A=,T=4×-=4π.∵T==4π,ω>0,∴ω=.∴y=sin.又曲线上的最高点为,∴sin=1,∴φ+=2kπ+,k∈Z.∵-<φ<,∴φ=.∴y=sin.(2)令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,得4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z,∴函数的单调递增区间为-(k∈Z).令2kπ+≤x+≤π+2kπ,k∈Z,得4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z.∴函数的单调递减区间为(k∈Z).方法二函数y=Asin(ωx+φ)的性质1.已知函数y=asin+b在x∈上的值域为[-5,1],求a、b的值. 解析∵x∈,∴2x+∈,sin∈-.∴当a>0时,--解得-当a<0时,--解得--∴a、b的取值分别是4、-3或-4、-1.2.函数y=tan-sin sin,x∈R.(1)求函数的最大值、最小值;(2)求函数的最小正周期;(3)求函数的单调区间;(4)说明函数的图象可由函数y=cos-,x∈R的图象经过怎样的变换得到. 解析原函数可化简为y=1+sin-=1+sin-.(1)当2x-=+2kπ(k∈Z),即x=+kπ(k∈Z)时,sin-=1,y max=1+;当2x-=+2kπ(k∈Z),即x=+kπ(k∈Z)时,sin-=-1,y min=1-.(2)函数的最小正周期T=π.(3)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z);由+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).所以函数的增区间为-(k∈Z),减区间为(k∈Z).(4)y=cos-=cos-=sin 2x.函数的图象可由y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,即函数的图象可由函数y=cos-,x∈R的图象向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度得到.过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组1.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+φ)-的图象关于直线x=对称,则φ的值是. 答案-2.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-.又x∈[0,π],所以x=.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos.因为x∈[0,π],所以x+∈,从而-1≤cos≤.于是,当x+=,即x=0时, f(x)取到最大值3;当x+=π,即x=时, f(x)取到最小值-2.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数y=Asin(ωx+φ)的图象1.(2017天津理改编,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f =2, f =0,且f(x)的最小正周期大于2π,则ω=,φ=.答案;2.(2017山东理,16,12分)设函数f(x)=sin-+sin-,其中0<ω<3.已知f =0.(1)求ω;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在-上的最小值.解析本题考查了y=Asin(ωx+φ)的图象和性质及最值.(1)因为f(x)=sin-+sin-,所以f(x)=sin ωx-cos ωx-cos ωx=sin ωx-cos ωx=-=sin-.由题设知f=0,所以-=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=sin-,所以g(x)=sin-=sin-.因为x∈-,所以x-∈-,当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.考点二函数y=Asin(ωx+φ)的性质1.(2018课标全国Ⅲ文改编,6,5分)函数f(x)=的最小正周期为.答案π2.(2018天津文改编,6,5分)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,则下列说法正确的是.①所得图象对应的函数在区间-上单调递增②所得图象对应的函数在区间-上单调递减③所得图象对应的函数在区间上单调递增④所得图象对应的函数在区间上单调递减答案①3.(2017课标全国Ⅱ文改编,3,5分)函数f(x)=sin的最小正周期为.答案π4.(2016天津改编,8,5分)已知函数f(x)=sin2+sin ωx-(ω>0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是.答案∪5.(2014北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为.答案π6.(2017北京文,16,13分)已知函数f(x)=cos--2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈-时, f(x)≥-.解析本题考查三角恒等变换,三角函数的性质.(1)f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明:因为-≤x≤,所以-≤2x+≤.所以sin≥sin-=-.所以当x∈-时, f(x)≥-.易错警示正确化简y=f(x)是解题的关键.在(2)中,证明f(x)≥-时容易忽视x的取值范围.7.(2016山东,17,12分)设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.解析(1)f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2=2sin2x-(1-2sin xcos x)=(1-cos 2x)+sin 2x-1=sin 2x-cos 2x+-1=2sin-+-1.由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是-(k∈Z).或∈(2)由(1)知f(x)=2sin-+-1.把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin-+-1的图象,再把得到的图象向左平移个单位,得到y=2sin x+-1的图象,即g(x)=2sin x+-1.所以g=2sin+-1=.方法总结研究三角函数的单调性,首先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h(或y=Acos(ωx+φ)+h)的形式,要视“ωx+φ”为一个整体,另外注意A的正负.评析本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质,考查三角函数图象变换.(1)将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h的形式是解题的关键,要视“ωx+φ”为一个整体.(2)三角函数图象变换仅对“x”而言.C组教师专用题组1.(2014陕西改编,2,5分)函数f(x)=cos-的最小正周期是.答案π2.(2016北京,16,13分)已知函数f(x)=2sin ωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求f(x)的单调递增区间.解析(1)因为f(x)=2sin ωxcosωx+cos2ωx=sin 2ωx+cos2ωx=sin,(3分)所以f(x)的最小正周期T==.(4分)依题意,=π,解得ω=1.(6分)(2)由(1)知f(x)=sin.函数y=sin x的单调递增区间为-(k∈Z).(8分)由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).(12分)所以f(x)的单调递增区间为-(k∈Z).(13分)易错警示本题函数解析式中含有参数ω,在用倍角公式时要注意转化成“2ωx”,在求单调区间时,也要注意x 的系数.评析本题考查了倍角公式、辅助角公式和正弦型函数的单调区间等知识,属中档题.【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共40分)1.(2019届江苏盐城高三第一学期期中)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)-的图象的一个最高点为,其图象的相邻两个对称中心之间的距离为,则φ=.答案-2.(2019届江苏无锡梅村高中月考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数,且其图象的两条相邻对称轴的距离为,则f-的值为.答案3.(2017江苏南京、盐城一模,9)将函数y=f(x)=3sin的图象向右平移φ个单位后,所得图象对应的函数为偶函数,则φ=.答案4.(2018江苏南师大附中期中,6)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,则f= .答案 15.(2019届江苏南通高三上学期第一次调研测试)在平面直角坐标系xOy中,将函数y=sin的图象向右平移φ个单位长度,若平移后得到的图象经过坐标原点,则φ的值为.答案6.(2019届江苏苏州第五中学期初)若将函数f(x)=sin ωx的图象向右平移个单位得到f(x)=sin-的图象,则|ω|的最小值为.答案 47.(2019届江苏海安高级中学上学期第一次月考)将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,再将图象上每个点的横坐标变为原来的(ω>0)(纵坐标不变),得到函数y=f(x)的图象,若函数y=f(x)在区间上有且仅有一个零点,则ω的取值范围为.答案8.(2018江苏如皋高三联考,9)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为4,将函数f(x)的图象向右平移个单位后,所得图象关于原点对称,则函数y=f(x)在[0,1]上的值域为.答案二、解答题(共30分)9.(2019届江苏无锡梅村高中月考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的一段图象如图所示.(1)求函数f(x)的单调增区间;(2)若x∈-,求函数f(x)的值域.解析(1)易知A=2,=--==,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ),又函数图象过点-,∴2sin-=2,又|φ|<π,∴φ=,∴f(x)=2sin,令-+2kπ≤2x+π≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,∴函数f(x)的单调增区间为--,k∈Z.(2)∵x∈-,∴2x+π∈,∴当2x+=,即x=时, f(x)min=-,当2x+=,即x=-时, f(x)max=2,∴函数f(x)的值域为[-,2].思路分析(1)由函数的图象,可求得函数的解析式为f(x)=2sin,进而可求解函数的单调递增区间;(2)由x∈-,得2x+π∈,利用三角函数的性质,即可求解函数的最大值与最小值,得到函数的值域.10.(2019届江苏常州武进期中)如图为函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)图象的一部分,其中点P是图象的一个最高点,点Q是与点P相邻的图象与x轴的一个交点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位,再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的解析式及单调递增区间.解析(1)由题图可知A=2,又T=4-=4π,∴ω==, 则f(x)=2sin,又∵点P是函数图象y=f(x)的一个最高点,则2sin=2,∴+φ=+2kπ(k∈Z),∵|φ|<π,∴φ=-,故f(x)=2sin-.(2)由(1)得, f(x)=2sin-,把函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位,得到y=2sin-的图象,再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的(纵坐标不变),得到g(x)=2sin-的图象, 由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z)得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),∴g(x)的单调增区间是-(k∈Z).。

1.3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(二)[学习目标] 1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.知识点一 “五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象.利用“五点法”作出函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)在一个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤.请完成下面的填空.ωx ＋φ 0 π2 π 32π 2π x y所以，，________，________. 若设T ＝2πω，则这五个关键点的横坐标依次为________，________，________，________，________.思考 利用“五点法”作出函数y ＝2sin(2x ＋π3)一个周期上的图象，通常选取的五个点依次为_____.知识点二 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象 求三角函数的解析式(1)在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是关键，一般地可将所给一段图象左、右扩展找离原点最近且穿过x 轴上升的即为“第一零点”(x 1,0).从左到右依次为第二、三、四、五点，分别有ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝32π，ωx 5＋φ＝2π.(2)由图象确定系数ω，φ通常采用两种方法：①如果图象明确指出了周期的大小和初始值x 1(第一个零点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出ω和φ，或由方程(组)求出.②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图象确定ω和φ. (3)A 的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解A 的方程求出.思考 已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.知识点三 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的奇偶性 关于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的奇偶性有以下结论：①f (x )＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数⇔f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于原点对称⇔f (0)＝0⇔φ＝k π(k ∈Z ).②函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数⇔f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于y 轴对称⇔f (0)＝A 或f (0)＝－A ⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z ).③函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇔f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于原点对称⇔f (0)＝0⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z ). ④函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是偶函数⇔f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于y 轴对称⇔f (0)＝A 或f (0)＝－A ⇔φ＝k π(k ∈Z )思考 (1)若函数f (x )＝5sin(2x ＋α)是偶函数，则α＝________. (2)若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)是奇函数，则φ＝________.题型一 “五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例1 利用五点法作出函数y ＝3sin(12x －π3)在一个周期内的草图.反思与感悟 “五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0、π2、π、3π2、2π，解出x ，从而确定这五点.跟踪训练1 用“五点法”作出函数y ＝2sin(2x －π3)的简图.题型二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段，求其解析式.反思与感悟 A.ω、φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－φω，0)外，还可利用五点法来确定初相φ，即在五点中找两个特殊点列方程组解出φ.跟踪训练2 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的部分函数图象如图所示，求此函数的解析式.题型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称性例3 已知函数f (x )＝a 2sin 2x ＋(a －2)cos 2x 的图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称，求a 的值.反思与感悟 关于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称性有以下结论：①函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x 0,0)中心对称，当且仅当f (x 0)＝0时成立.②函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x 0轴对称，当且仅当f (x 0)＝A 或f (x 0)＝－A 时成立.上述结论若换成函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)同样成立.跟踪训练3 已知函数f (x )＝a 2sin 2x ＋(a －2)cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，求a 的值.例4 已知方程2sin(2x ＋π3)－1＝a ，x ∈[－π6，13π12]有两解，求a 的取值范围.分析 可先作出函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象，再结合直线y ＝a ＋1与图象交点个数判定a 的取值范围.解 构造函数y ＝2sin(2x ＋π3)及y ＝a ＋1，用五点作图法作出函数y ＝2sin(2x ＋π3)在[－π6，13π12]上的图象如图.显然要使y ＝a ＋1与图象有两个交点， 只须－2<a ＋1<0或a ＋1＝2， 解得－3<a <－1或a ＝1，即a 的取值范围为{a |－3<a <－1或a ＝1}.点评 本题从数形结合的角度加以研究，避免了代数方法的烦琐，直观而有效，但注意图形的准确性.1.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象的对称轴为________. 2.若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则ω＝________，φ＝________.3.函数y ＝sin(12x ＋π6)的对称中心是_________，对称轴方程是_________________.4.作出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4在一个周期上的图象.5.设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间.1.利用“五点”作图法作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，要先令“ωx ＋φ”这一个整体依次取0、π2、π、32π、2π，再求出x 的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x 的值，后求“ωx ＋φ”的值.2.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A.ω、φ的值. (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求得周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(－φω，0)(也叫初始点)作为突破口，以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.3.在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值.答案精析知识梳理 知识点一－φω －φω＋π2ω －φω＋πω－φω＋3π2ω －φω＋2πω 0 A 0 －A 0 (－φω，0) (－φω＋π2ω，A )(－φω＋πω，0) (－φω＋3π2ω，－A ) (－φω＋2πω，0) －φω －φω＋T 4 －φω＋T 2 －φω＋34T －φω＋T 思考 (－π6，0)，(π12，2)，(π3，0)，(712π，－2)，(56π，0).知识点二 思考 2 －π6解析 由图象知，T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2.且2×7π12＋φ＝k π＋π(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z ).又|φ|<π2，∴φ＝－π6.知识点三思考 (1)k π＋π2，k ∈Z (2)k π＋π2，k ∈Z解析 (1)f (0)＝5sin α＝±5， ∴sin α＝±1.∴α＝k π＋π2，k ∈Z .(2)f (0)＝cos φ＝0，∴φ＝k π＋π2，k ∈Z .题型探究例1 解 依次令x 2－π3取0、π2、π、3π2、2π，列出下表：x 2－π3 0 π2 π 3π2 2π x 2π3 5π3 8π3 11π3 14π3 y3－3描点，连线，如图所示.跟踪训练1 解 列表：2x －π30 π2 π 3π2 2π x π6 5π12 2π3 11π12 7π6 y ＝2sin(2x －π3)2－2描点，连线得函数y ＝2sin(2x －π3)在一个周期内的图象.再将这部分图象向左或向右延伸k π(k ∈Z )个单位长度，就可得函数y ＝2sin(2x －π3)(x ∈R )的图象.例2 解 方法一 以N 为第一个零点， 则A ＝－3，T ＝2⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝π，∴ω＝2，此时解析式为y ＝－3sin(2x ＋φ). ∵点N ⎝⎛⎭⎫－π6，0， ∴－π6×2＋φ＝0，∴φ＝π3，所求解析式为y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 方法二 由图象知A ＝3， 以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点， P ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点.列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 ＝－3sin(2x ＋π3).跟踪训练2 解 由图象可知A ＝2， T 2＝43－13＝1， ∴T ＝2，∴T ＝2πω＝2，∴ω＝π.∴y ＝2sin(πx ＋φ).代入(13，2)得2sin(π3＋φ)＝2，∴sin(π3＋φ)＝1，∴π3＋φ＝2k π＋π2，φ＝2k π＋π6， 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴y ＝2sin(πx ＋π6).例3 解 ∵函数f (x )＝a 2sin 2x ＋(a －2)cos 2x 的图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝2－a ＝0，∴a ＝2.跟踪训练3 解 根据函数图象关于直线x ＝－π8对称，∴f ⎝⎛⎭⎫－π8＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫－π8－x 对一切x ∈R 恒成立. 取x ＝π8得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫－π4. 代入得a －2＝－a 2， 解得a ＝1或a ＝－2. 当堂检测1.x ＝π12＋k π2，k ∈Z解析 ∵2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，令2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z .2.π4 π4解析 由所给图象可知，T4＝2，∴T ＝8.又∵T ＝2πω，∴ω＝π4.∵图象在x ＝1处取得最高点， ∴π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，∵0≤φ<2π，∴φ＝π4.3.(2k π－π3，0)，k ∈Z x ＝2k π＋23π，k ∈Z4.解 列表：高中数学打印版校对完成版本 xπ2 32π 52π 72π 92π 3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4 0 3 0 －3 0描点、连线，如图所示：5.解 (1)∵直线x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴， ∴sin(2×π8＋φ)＝±1， ∴π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z ). ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4. (2)由(1)知φ＝－3π4， 因此f (x )＝sin(2x －3π4). 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 即k π＋π8≤x ≤k π＋58π(k ∈Z ). ∴函数y ＝sin(2x －3π4)的单调递增区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z ).。

1.3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 第1课时 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象1．理解y ＝A sin(ωx ＋φ)中，A ，ω，φ对图象的影响．(重点)2．掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 阅读教材P 34有关内容，完成下列问题．设物体做简谐运动时，位移s 和时间t 的关系为s ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，其中A 是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T ＝2πω称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f ＝1T ＝ω2π称为振动的频率；ωt ＋φ称为相位，t ＝0时的相位φ称为初相．简谐运动y ＝14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π12的振幅为________，周期为________，频率为________，初相为________．【解析】 由简谐运动的相关概念可知， A ＝14，T ＝2ππ3＝6，f ＝1T ＝16，初相φ＝－π12.【答案】 14 6 16 －π12 教材整理2 图象变换阅读教材P 34～P 37的有关内容，完成下列问题． 1．φ对函数y ＝sin(x ＋φ)的图象的影响(相位变换)： y ＝sin x 图象―――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)图象．2．A 对函数y ＝A sin x 图象的影响(振幅变换)：y ＝sin x 图象各点纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)得到y ＝A sin x 图象． 3．ω对函数y ＝sin ωx 的图象的影响(周期变换)：y ＝sin x 图象各点横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)得到y ＝sin ωx 图象．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)将y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象．( )(2)将y ＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到y ＝sin 12x 的图象．( )(3)将y ＝sin x 图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到y ＝2sin x 的图象．( )【解析】 (1)×.y ＝sin x ―――――→向右平移π4个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(2)×.y ＝sin x ―――――→横坐标变为原来的12y ＝sin 2x .(3)√.y ＝sin x ―――――→纵坐标变为原来的2倍y ＝2sin x .【答案】 (1)× (2)× (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]作出函数y ＝2sin ⎝ ⎭⎪⎫x －3＋3的图象并指出它的周期、频率、相位、初相及单调区间．【导学号：06460030】【精彩点拨】 用“五点法”作图―→ 求周期、频率、相位、初相―→求单调区间 【自主解答】 “五点法”作图． (1)列表如下：(2)描点．(3)作图，如图所示：周期为T ＝2π，频率为f ＝1T ＝12π，相位为x －π3，初相为－π3，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋116π，k ∈Z ，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋56π，k ∈Z .1．用五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，32π，2π，然后解出自变量x 的对应值，作出一周期内的图象．2．若在一个定区间内作图象，则要首先确定该区间端点处的相位，再确定两个端点之间的最值点、零点．即“五点法”演变成了“4＋2”作图．[再练一题]1．画出f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6在长度为一个周期的闭区间上的简图． 【解】 列表：[探究共研型]探究1 将函数y ＝sin x 的图象经过怎样变换，可以得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象？【提示】 先把函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin x＋π3的图象；再把曲线上各点的横坐标变为原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的3倍，就得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．探究2 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π2个单位，可以得到哪个函数的图象？【提示】 y ＝sin 2xy ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x .要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象________．①向左平移π3个单位；②向右平移π3个单位； ③向左平移π6个单位；④向右平移π6个单位．【精彩点拨】 利用平移变换求解，注意平移只是“单纯的变量x 加减．” 【自主解答】 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6， ∴只需将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位便可得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．【答案】 ③已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：(1)将两个函数解析式化简成y ＝A sin ωx 与y ＝A sin (ωx ＋φ)，即A ，ω及名称相同的结构.(2)找到ωx →ωx ＋φ，变量x “加”或“减”的量，即平移的单位为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.(3)明确平移的方向.[再练一题]2．把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式．【解】 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝3cos x ，∴f (x )＝3cos x .[构建·体系]1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T ＝________，初相φ＝________.【解析】 由题意可知f (0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝12， 又|φ|＜π2，φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，∴T ＝2ππ3＝6，φ＝π6.【答案】 6 π62．把函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位得到一个函数图象，则该函数的解析式是________．【解析】 y ＝sin x y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .【答案】 y ＝cos x3．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________．【解析】 将函数图象上所有点向右平移π10个单位，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10，再将各点横坐标伸长到原来的2倍，用12x 代替y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10中的x ，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π10.【答案】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π104．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π6个单位，所得函数的解析式为________．【解析】 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6向左平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x .【答案】 y ＝cos 2x 5．已知函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.(1)用“五点法”画函数的图象；(2)说出此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的？ (3)求此函数的周期、振幅、初相；(4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间．【导学号：06460031】【解】 (1)列表：图象，如图所示，再将这部分图象左右平移4k π(k ∈Z )个单位长度， 得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象．(2)法一：①把y ＝sin x 图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象； ②把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象；③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin 12x －π4的图象．法二：①把y ＝sin x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x 的图象；②把y ＝sin 12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到y ＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象；③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin 12x －π4的图象．(3)周期T ＝2πω＝2π12＝4π，振幅A ＝3，初相是－π4.(4)令12x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ， 解得x ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，即函数的对称轴是直线x ＝3π2＋2k π，k ∈Z . 令12x －π4＝k π，k ∈Z ， 解得x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即函数的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，0，k ∈Z .令－π2＋2k π≤12x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π2＋4k π≤x ≤3π2＋4k π，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋4k π，3π2＋4k π(k ∈Z )．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________．【解析】 y ＝cos x ―――――――――→横坐标变为原来的2倍y ＝cos 12x .【答案】 122．将y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为________．【解析】 y ＝cos 2x →y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3.【答案】 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3 3．将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3向右平移________个单位长度得到y ＝sin x 的图象．【解析】 y ＝sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象变换为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2的图象应向右平移π6个单位． 【答案】 π64．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．【解析】 y ＝sin 2xy ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ―――→向上平移1个单位y ＝cos 2x ＋1.【答案】 y ＝cos 2x ＋1 5．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的．其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)． 【解析】 由图象平移变换可知①③正确． 【答案】 ①③6．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)在一个周期内的简图时，五个关键点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫712π，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，则ω＝________.【解析】 周期T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴2πω＝π，ω＝2.【答案】 27．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别是________．【解析】 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6化为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，相位x ＋5π6，初相5π6.【答案】 x ＋5π6，5π68．(2016·南京高一检测)设ω>0，函数y ＝sin ωx ＋π3＋2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值为________．【解析】 由题意知4π3是函数周期的整数倍，又ω>0，∴2πω·k ＝43π，∴ω＝32k (k ∈Z )， ∴ω的最小值为32. 【答案】 32 二、解答题9．用“五点法”画函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6的图象.【导学号：06460032】【解】 ①列表：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0. ③连线：用光滑曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6的简图，如图所示．10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x (x ∈R )．(1)求f (x )的单调减区间．(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可) 【解】 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得k π－π12≤x ≤k π＋512π(k ∈Z )，∴原函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )．(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12. ∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称， ∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位长度即可．[能力提升]1．将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象，则f (x )＝________.【解析】 将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象向左平移π3个单位长度，得函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π4＝2sin4x ＋13π12的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1的图象，即f (x )＝2sin4x ＋13π12－1.【答案】 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－12．某同学用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内简图时，列表如下：则A ＝【解析】 由表格得A ＝2，34π－π12＝2πω，∴ω＝3，∴ωx ＋φ＝3x ＋φ.当x ＝π12时，3x ＋φ＝π4＋φ＝0，∴φ＝－π4. 【答案】 2 3 －π43．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4图象上的所有点的________．①横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度； ②横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度； ③横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度； ④横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度． 【解析】 y ＝2cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2.法一：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin 2(x ＋π8)y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2――――→横坐标缩短为原来的12y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2. 法二：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4―――――→横坐标缩短为原来的12y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2.【答案】 ②4．已知f (x )＝2sin 2x ，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．【解】 f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.g (x )＝0⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ， 即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。

第 13 课时：§函数y=Asin （ωx+φ）的图象（二）【三维目标】：一、知识与技能“五点法”画出函数)sin(ϕω+=x A y 的简图2.能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到)sin(ϕω+=x A y 的图象，并在这个过程中认识到函数x y sin =与)sin(ϕω+=x A y 的联系；3.进一步理解表达式)sin(ϕω+=x A y ，掌握A 、φ、ωx ＋φ的含义；4.会由函数)sin(ϕω+=x A y 的图像讨论其性质；5.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力； 二、过程与方法1. 通过具体例题和学生练习，使学生能正确作出函数)sin(ϕω+=x A y 的图像；2.并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。

三、情感、态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。

【教学重点与难点】：重点：由x y sin =的图象经过变换得到)sin(ϕω+=x A y 的图象。

难点：几种变换的先后顺序不同意义也不同 【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：一、创设情景，揭示课题ϕω、、A 对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响作用2.如何由x y sin =的图象得到函数)sin(ϕω+=x A y 的图象？ 何用五点法作)sin(ϕω+=x A y 的图象？二、研探新知【思考】：函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象可以由正弦曲线经过哪些图象变换而得到？画出图象变换的流程图。

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1．（教材37P 例1）若函数)32sin(3π-=x y 表示一个振动量：（1）求这个振动的振幅、周期、初相；（2）不用计算机和图形计算器，画出该函数的简图； （3）根据函数的简图，写出函数的单调减区间。

数学：1.3.3《函数y=Asin（ωx+φ）的图象（一）》教案（苏教版必修4）第 12 课时：§1.3.3 函数y=Asin（ωx+φ）的图象（一）【三维目标】：一、知识与技能1. 结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图像，弄清参数的物理意义及它们对函数的图象各有什么影响；2. 理解振幅的定义及振幅变换和周期变换的规律，会画出、、的图象；理解相位变换中的有关概念，会用相位变换画出函数的图象。

二、过程与方法1.通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像，发现规律，总结提练，加以应用；要求学生能利用五点作图法，正确作出函数的图像；讲解例题，总结方法，巩固练习。

2. 经历对函数到的图象变换规律的探索过程，体会由简单到复杂，由特殊到一般的化归、数形结合的数学思想；3.在难点突破环节，培养学生全面分析、抽象、概括的能力；培养学生观察问题和探索问题的能力。

三、情感、态度与价值观1. 通过本节的学习，让学生认识动与静的辩证关系，学会运用运动变化的观点认识事物；2.创设问题情景，通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度；3.让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

【教学重点与难点】：重点：函数的图象以及参数对函数的图象变化的影响；难点：的图象与的关系；对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解；关键：理解三个参数A、ω、φ对函数图象的影响。

理解先进行周期变换时，图象的平移量为是突破本节课教学难点的关键．【学法与教学用具】：1.学法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。

2.学法指导：在前面，我们知道精确度要求不高时，可以用五点作图法，是哪五个关键点？首先请同学们回忆，然后通过物理学中的几个情境引入课题；主要让学生动手实践，两节课尽可能多地让他们画图，教师只是加以点拨；可以从几个具体的、简单的例子开始，在适当的时候加以推广；先分解各个小知识点，再综合在一起，上升更高一层。

第4讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用[最新考纲]1．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.知 识 梳 理1．“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为： (1)定点：如下表所示.x－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象． 2．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．辨 析 感 悟1．对图象变换的认识(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中向左或向右平移的长度一样．(×) (2)将y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．(×) (3)(2013·湖北卷改编)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π6.(√)2．对函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)性质的认识(4)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .(×) (5)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．(×)(6)(2014·广州二模改编)若函数y ＝cos ωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为3.(√)[感悟·提升]1．图象变换两种途径的区别由y ＝sin x 的图象，利用图象变换作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)(x ∈R )的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是|φ|ω个单位，如(1)、(2)．2．两个防范 一是平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；二是解决三角函数性质时，要化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，但最大值、最小值与A 的符号有关，如(4)；而y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离是半个周期，如(5).学生用书第57页考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象画法与变换【例1】 (1)(2013·广东六校教研协作体二联)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的图象与y ＝－1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝cos 2x 的图象( )．A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移5π12个单位D ．向右平移5π12个单位(2)已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.①求它的振幅、周期、初相；②用“五点法”作出它在一个周期内的图象；③说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． (1)解析 依题意T ＝π，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，∴只需y ＝cos 2x＝sin(2x ＋π2)＝sin2(x ＋π4)f (x )＝sin(2x ＋π3)．答案 B(2)解 ①y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. ②令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X .列表，并描点画出图象：x －π6π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X0 1 0 －1 0 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π32－2③法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．法二 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标x 缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．规律方法 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法．(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)三角函数图象进行平移变换时注意提取x 的系数，进行周期变换时，需要将x 的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同． 【训练1】 (1)(2013·合肥第一次质检)将函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象向左平移π2个单位，所得函数的图象与函数y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，则ω的值不可能是( )．A ．2B ．4C ．6D ．10(2)(2014·合肥模拟)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.①求ω和φ的值；②在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．(1)解析 依题意，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ2＋φ的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，于是有A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ2＋φ＋A sin(ωx ＋φ)＝0；注意到ω＝4时，A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋4π2＋φ＋A sin(4x ＋φ)＝2A sin(4x ＋φ)不恒等于0，故选B. 答案 B(2)解 ①∵T ＝2πω＝π，ω＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝32，∴sin φ＝－32，又－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.②由①得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表：2x －π3－π3π2π32π 53π x 0π6 512π 23π 1112π πf (x )121 0 －1 012考点二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象 如图所示，则函数f (x )的解析式为________． 解析 由图可知A ＝2，法一 T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，故ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此2×π3＋φ＝π，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 法二 以⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第二个“零点”，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2为最小值点， 列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3规律方法 已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.学生用书第58页【训练2】 (2013·四川卷)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3解析 由图象知f (x )的周期T ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，又T ＝2πω，ω>0，∴ω＝2.由于f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的一个最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，故有2×5π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3，又－π2<φ<π2，∴φ＝－π3，选A.答案 A考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质应用【例3】 (2014·济南模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间． 解 (1)由题意，得A ＝2，ω＝2ππ＝2，当x ＝π6时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，所以π3＋φ＝k π＋π2，解得φ＝k π＋π6，又0＜φ＜π2，所以φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝2sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .规律方法 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小正周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得单调减区间． (4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得x 、ω.利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．【训练3】 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值．解 (1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin ωx ＋φ－12cos ωx ＋φ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6.因为f (x )为偶函数，则φ－π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝2π3＋k π(k ∈Z )，又因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝2cos ωx .由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f (x )＝2cos 2x .因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2)y ＝2cos 2x ＋2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos 2x ＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x －2sin 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x .令π4－2x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，y 有最大值22， 所以当x ＝－k π－π8(k ∈Z )时，y 有最大值2 2.1．在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．2．由图象确定函数解析式：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A ，ω，φ的题型，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．3．对称问题：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)．易错辨析5——三角函数图象平移变换时因自变量系数致误【典例】 (2013·山东卷改编)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )．A.3π4B.π4C.3π8 D ．－π4[错解] y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8＋φ 则由π8＋φ＝π2得φ＝3π8.故选C.[答案] C[错因] 函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8＋φ是错误的，应注意警惕．[正解] y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，则由π4＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.故选B. 答案 B[防范措施] 对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x ，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向．另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx ＋φ变换成ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φω，最后确定平移的单位并根据φω的符号确定平移的方向． 【自主体验】(2014·湖州二模)将函数y ＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数解析式可以是 ( )． A ．y ＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ＝cos 2x －sin 2x C ．y ＝sin 2x －cos 2xD ．y ＝sin x cos x解析 y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4――→向左平移π4个单位y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝cos 2x －sin 2x . 答案 B基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·北京石景山二模)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )． A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4 C ．x ＝π8 D ．x ＝π4解析 将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程．答案 A2．(2014·深圳二模)如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时，f (x )取得最大值，那么( )． A ．T ＝2，θ＝π2 B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝π D．T ＝1，θ＝π2解析 T ＝2ππ＝2，当x ＝2时，由π×2＋θ＝π2＋2k π(k ∈Z )，得θ＝－3π2＋2k π(k ∈Z )，又0＜θ＜2π，∴θ＝π2.3．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )． A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋k ＝4，－A ＋k ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，k ＝2.又函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最小正周期为π2，所以ω＝2ππ2＝4，所以y ＝2sin(4x ＋φ)＋2.又直线x ＝π3是函数图象的一条对称轴，所以4×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－5π6(k ∈Z )，故可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2符合条件，所以选D.答案 D4．(2014·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )．A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后得到函数为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，因为此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3有最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32.5．(2014·宁德质检)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象，将该图象向右平移m (m ＞0)个单位后，所得图象关于直线x ＝π4对称，则m 的最小值为( )．A.π12B.π6C.π4D.π3解析 令f (x )＝y ＝sin(ωx ＋φ)，由三角函数图象知，T ＝56π＋π6＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2.因为函数f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，且0＜φ＜π2，所以－π6×2＋φ＝0，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将该函数图象向右平移m 个单位后，所得图象的解析式是g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2m ，因为函数g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以2×π4＋π3－2m ＝π2＋k π(k∈Z )，解得m ＝π6－k π2(k ∈Z )，又m ＞0，所以m 的最小值为π6.答案 B 二、填空题6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示， 则ω＝________.解析 由图象可以看出32T ＝π，∴T ＝23π＝2πω，因此ω＝3.答案 37．(2014·山东省实验中学诊断)已知函数y ＝g (x )的图象由f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ＝________.解析 函数f (x )＝sin 2x 的图象在y 轴右侧的第一个对称轴为2x ＝π2，所以x ＝π4，π8关于x ＝π4对称的直线为x ＝3π8，由图象可知，通过向右平移之后，横坐标为x ＝3π8的点平移到x ＝17π24，所以φ＝17π24－3π8＝π3. 答案π38．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则下列命题： ①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称；③f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数；④把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个奇函数的图象． 其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上)．解析 对于①，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12，不是最值，所以x ＝π3不是函数f (x )的图象的对称轴，该命题错误；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝1≠0，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0不是函数f (x )的图象的对称中心，故该命题错误；对于③，函数f (x )的周期为T ＝2π2＝π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，令t ＝2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，显然函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上为增函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数，所以该命题正确；对于④，把f (x )的图象向右平移π12个单位后所对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＝sin 2x ，是奇函数，所以该命题正确．故填③④. 答案 ③④ 三、解答题9．(2014·苏州调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的周期为π，且图象上有一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－3.(1)求f (x )的解析式；(2)求使f (x )＜32成立的x 的取值集合．解 (1)由题意知：A ＝3，ω＝2， 由3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－3,得φ＋4π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－11π6＋2k π，k ∈Z .而0＜φ＜π2，所以k ＝1，φ＝π6.故f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)f (x )＜32等价于3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＜32，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＜12，于是2k π－7π6＜2x ＋π6＜2k π＋π6(k ∈Z )，解得k π－2π3＜x ＜k π(k ∈Z )，故使f (x )＜32成立的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π－2π3＜x ＜k π，k ∈Z .10．(2013·济宁测试)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域．解 (1)因为f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴函数f (x )的最小正周期为T ＝π， 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6；再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝2cos 4x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时，4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，所以当x ＝0时，g (x )max ＝2， 当x ＝－π6时，g (x )min ＝－1.∴y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域为[－1,2]． 能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·长沙一模)定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2x cos 2x 1 3，则将f (x )的图象向右平移π3个单位所得曲线的一条对称轴的方程是( )．A ．x ＝π6B ．x ＝π4C ．x ＝π2D ．x ＝π解析 由定义可知，f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，将f (x )的图象向右平移π3个单位得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6，由2x －5π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴为x ＝2π3＋k π2(k ∈Z )，当k ＝－1时，对称轴为x ＝2π3－π2＝π6.答案 A2．(2014·江南十校联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，下列结论： ①最小正周期为π；②将f (x )的图象向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数；③f (0)＝1； ④f ⎝⎛⎭⎪⎫12π11＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π13；⑤f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3－x .其中正确的是( )． A ．①②③ B ．②③④ C ．①④⑤ D ．②③⑤解析 由题图可知，A ＝2，T 4＝712π－π3＝π4⇒T ＝π⇒ω＝2,2×712π＋φ＝2k π＋3π2，φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⇒f (0)＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛2x ＋π3⎭⎪⎫＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，所以②，③不正确；f (x )的对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π6，0，所以f (x )的图象关于直线x ＝13π12对称，且f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12，12π11－13π12＝π11×12＞13π12－14π13＝π13×12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π11＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π13，即④正确；设(x ，f (x ))为函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上任意一点，其关于对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0的对称点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x ，－f x 也在函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x ＝－f (x )⇒f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3－x ，故⑤正确．综上所述，①④⑤正确．选C.答案 C 二、填空题3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________.解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋1＋12＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6. 答案 sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6三、解答题4．(2013·淄博二模)已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋ cos 2ωx －12(ω＞0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象；再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1又g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k ＜32或－k ＝1， 解得－32＜k ≤32或k ＝－1， 所以实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，32∪{－1}. 步骤规范练——三角函数及三角函数的图象与性质 (建议用时：90分钟)一、选择题1．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan 2α的值为( )． A ．－43 B.43 C.34 D ．－34解析 tan α＝－21＝－2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×－21－4＝43. 答案 B2．(2014·广州一测)函数y ＝(sin x ＋cos x )(sin x －cos x )是( )．A ．奇函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增B ．奇函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增C ．偶函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增D ．偶函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增 解析 y ＝(sin x ＋cos x )(sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，∴函数是偶函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增．答案 C3．(2013·温岭中学模拟)函数f (x )＝sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的最小正周期为( )．A ．4π B．2π C．π D.π2解析 f (x )＝sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x cos x ＝12sin 2x ，故最小正周期为T ＝2π2＝π.答案 C4．(2014·浙江五校联盟)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将函数y ＝sin 2x 的图象( )．A ．向左平移π4单位B ．向右平移π4单位C ．向右平移π8单位D ．向左平移π8单位解析 y ＝sin 2x ――→向右平移π8个单位y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.答案 C 5.已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的表达式为( )．A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋5π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2π9D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2518π 解析 由函数的部分图象可知34T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，则T ＝4π3，结合选项知ω>0，故ω＝2πT ＝32，排除C ，D ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，2，代入验证可知只有B 项满足条件．答案 B6．(2014·成都模拟)将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则y ＝g (x )图象的一条对称轴是( )．A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝2π3解析 将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，即g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2x －π6＝k π＋π2时，解得x ＝k π＋π3，又当k ＝0时，x ＝π3，所以x ＝π3是一条对称轴，故选C.答案 C7．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，由题设知f (x )的最小正周期为T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得，k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，故选C.答案 C8．设函数f (x )＝|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3|，则下列关于函数f (x )的说法中正确的是( )． A ．f (x )是偶函数B ．f (x )的最小正周期为πC ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π12上是增函数 解析 对于选项A ，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3|＝0，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋π3＝|sin π3|＝32≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f (x )不是偶函数；对于选项B ，由于f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为π，而f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是将f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的x 轴上方的图象保持不变，x轴下方的图象关于x 轴对称到上方去，因此f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期的一半，故选项B 不正确；对于选项C ，由于f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象不是中心对称图形，因此也不正确；对于选项D ，由三角函数的性质可知，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的单调递增区间是k π≤2x ＋π3≤k π＋π2(k ∈Z )，即k π2－π6≤x ≤k π2＋π12(k ∈Z )，当k ＝1时，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π12，故选D.答案 D9．(2014·石狮模拟)函数y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象沿x 轴向右平移a 个单位(a ＞0)，所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为( )． A ．π B.3π4 C.π2 D.π4解析 y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－sin 2x 2＝12－12sin 2x ，函数图象向右平移a 个单位得到函数y ＝12－12sin[2(x －a )]＝12－12sin(2x －2a )，要使函数的图象关于y 轴对称，则有－2a ＝π2＋k π，k ∈Z ，即a ＝－π4－k π2，k ∈Z ，所以当k ＝－1时，a 有最小值为π4，选D. 答案 D10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点(x 0,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋32，－2(x 0＞0)上f (x )分别取得最大值和最小值．若函数g (x )＝af (x )＋b 的最大值和最小值分别为6和2，则|a |＋b 的值为( )． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析 由题意知A ＝2，T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋32－x 0＝32，∴T ＝3，即2π|ω|＝3，又ω＞0，∴ω＝2π3.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋φ，又函数f (x )过点(0,1)，代入得2sinφ＝1，而|φ|＜π2，∴φ＝π6， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π6，g (x )＝af (x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π6＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧2|a |＋b ＝6，－2|a |＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝1，b ＝4，∴|a |＋b ＝5.答案 A二、填空题11．(2013·宁波十校测试)函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)(x ∈R )的最大值＝________.解析 y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°) ＝sin(x ＋10°)＋cos[(x ＋10°)＋30°] ＝sin(x ＋10°)＋32cos(x ＋10°)－12sin(x ＋10°) ＝12sin(x ＋10°)＋32cos(x ＋10°) ＝sin(x ＋10°＋60°) ＝sin(x ＋70°)， 故y max ＝1. 答案 1 12.如图所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2图象的一部分，则其函数解析式是________．解析 由图象知A ＝1，T 4＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π2，得T ＝2π，则ω＝1，所以y ＝sin(x ＋φ)．由图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π6 ，1，可得φ＝2k π＋π3(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以所求函数解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π313．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象与直线y ＝b (0＜b ＜A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f (x )的单调递增区间是________．解析 根据分析可得函数的周期为6，即2πω＝6，得ω＝π3，由三角函数的对称性可知，函数在x ＝3处取得最大值，即A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3×3＋φ＝A ，即sin φ＝－1，所以φ＝2k π－π2(k ∈Z )．又|φ|＜π，所以φ＝－π2，故函数的解析式为f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π2，令2k π－π2≤π3x －π2≤2k π＋π2(k ∈Z )，得6k ≤x ≤6k ＋3(k ∈Z )．故函数f (x )的单调递增区间是[6k,6k ＋3](k ∈Z )．答案 [6k,6k ＋3](k ∈Z )14．(2014·淄博二模)下面有五个命题： ①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π2，k ∈Z. ③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点． ④把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位得到y ＝3sin 2x 的图象．⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2在(0，π)上是减函数． 其中真命题的序号是________．解析 ①化简得y ＝－cos 2x ，最小正周期为2π2＝π.真命题．②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π2，k ∈Z，假命题． ③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象，只有一个公共点，假命题． ④把函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝3sin 2x 的图象，真命题．⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2在(0，π)上是增函数，假命题．答案 ①④ 三、解答题15．(2013·辽宁卷)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.16．(2014·衡水模拟)已知函数f (x )＝1＋sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间； (2)若tan x ＝2，求f (x )的值．解 (1)已知函数可化为f (x )＝1＋12sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 则π4＋k π≤x ≤3π4＋k π(k ∈Z )， 即函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由已知f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2xsin 2 x ＋cos 2x ＝tan 2x ＋tan x ＋1tan 2x ＋1， ∴当tan x ＝2时，f (x )＝22＋2＋122＋1＝75.17．(2013·合肥第二次质检)已知函数f (x )＝m sin x ＋2m －1cos x . (1)若m ＝2，f (α)＝3，求cos α；(2)若f (x )的最小值为－2，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π6上的值域．解 (1)由m ＝2，∴f (α)＝2sin α＋3cos α＝3， 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝－17或cos α＝1.(2)f (x )＝m sin x ＋2m －1cos x ＝m 2＋2m －1sin(x ＋φ)≤m 2＋2m －1， ∴m 2＋2m －1＝2， ∴m ＝1或m ＝－3(舍)，∴f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π6，∴x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，5π12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2＋64， 所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，1＋32.18．(2014·江苏省七校联考)已知m ＝(a sin x ，cos x )，n ＝(sin x ，b sin x )，其中a ，b ，x ∈R .若f (x )＝m ·n 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称． (1)求a ，b 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上总有实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝a sin 2x ＋b sin x cos x .由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，得a ＋3b ＝8.①∵f ′(x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，且f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称，∴f ′(0)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴b ＝32a ＋12b ，即b ＝3a .② 由①②得，a ＝2，b ＝2 3.(2)由(1)得f (x )＝1－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴0≤2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －π6＋1≤3，即f (x )∈[0,3]． 又f (x )＋log 2k ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解，即f (x )＝－log 2k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解， ∴－3≤log 2k ≤0，解得18≤k ≤1，即k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1.学生用书第59页。