4.2.1直线与圆的位置关系(第一课时)课时教案

4.2.1 直线与圆的位置关系一、教学目标:1、知识与技能:（1）理解直线与圆的位置关系的种类；（2）会利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．2、过程与方法:通过学习直线与圆的位置关系，掌握解决问题的方法――几何法、代数法。

3、情感态度与价值观:让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．二、教学重、难点:重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系．三、教学方法与手段：1、教学方法：讲解法、讨论法、探究法、演示法2、教学手段：多媒体、几何画板四、教学过程：1、提出问题，情境导入教师利用多媒体展示如下问题：问题1：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域，已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处。

如果轮船沿直线返港，那么它是否会触礁危险？设计意图：让学生感受暗礁这个实际问题中所蕴含的直线与圆的位置关系，思考解决问题的方案。

通过实际问题引入，让学生体会生活中的数学，突出研究直线与圆的位置关系的重要意义。

师生活动：让学生进行讨论、交流，启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课．师：你怎么判断轮船会不会触礁？利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下。

生：暗礁所在的圆与轮船航线所在直线是否相交。

师：（板书标题）这个问题，其实可以归结为直线与圆的位置关系。

2、回顾旧知、揭示课题——直线与圆的位置关系问题2：在初中，我们学习过直线与圆的位置关系，即直线与圆相交，有两个公共点，直线与圆相切，有一个公共点；直线与圆相离，没有公共点。

设计意图：从已有的知识经验出发，建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对问题的理解。

师生活动：引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程，可以展示下面的表格，使问题直观形象。

4..2.1直线与圆的位置关系教学目的：使学生掌握直线与圆的三种位置关系相交、相切、相离，会用两种方法来判定直线与圆的三种位置关系。

教学重点：用解方程组的方法及圆心到直线的距离与半径关系判定直线与圆的关系。

教学难点：直线与圆三种位置关系的理解。

教学过程一、复习提问初中学过直线与圆有几种位置关系？分别是哪几种？二、新课1、新课引入问题：一艘船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？以O为圆心，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，取10km为单位长度。

则圆的方程为：x2＋y2＝9轮船航线所在直线的方程为：4x＋7y－28＝0问题归结为圆与直线有无公共点。

2、直线与圆的三种位置关系（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点。

例1、已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆的位置关系，如果相交，求它们交点坐标。

解法一：由直线与圆的方程，得：⎩⎨⎧=--+=-+04206322y y x y x 消去y ，得：x 2－3x ＋2＝0因为△＝（－3）2－4×1×2＝1＞0，所以，直线与圆相交，有两个公共点。

解法二：圆的方程配方，得：x 2＋（y －1）2＝5圆心C 坐标为（0,1），半径为5，圆心C 到直线的距离为：d ＝221361103+-⨯+⨯＝105＜5所以，直线与圆相交，有两个公共点。

由方程x 2－3x ＋2＝0，解得：x 1＝1，x 2＝2可求得两个交点坐标为（1,3），（2,0）。

例2、已知点M （－3，－3）的直线l 被圆x 2＋y 2＋4y －21＝0所截得的弦长为 45，求直线l 的方程。

解：圆的标准方程为：x 2＋（y ＋2）2＝25，圆为（0，－2），半径5 因为直线被圆截得弦长为45，所以，弦心距为：22)52(5-＝5过点M 的直线方程为：y ＋3＝k （x ＋3），即kx －y ＋3k －3＝0 由弦心距为5，得：133202+-++k k ＝5，解得：k ＝－21或2 所以，所求直线方程有两条：x ＋2y ＋9＝0，或2x －y ＋3＝0练习：P140作业：P144 1、2、3。

24.2.2直线和圆的位置关系教学目标(一)教学知识点1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．(二)能力训练要求1．经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力．2．通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化．(三)情感与价值观要求通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点经历探索直线与圆位置关系的过程．理解直线与圆的三种位置关系．了解切线的概念以及切线的性质．教学难点经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系．探索圆的切线的性质．教学方法教师指导学生探索法．教具准备投影片三张教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．即圆上的点到圆心的距离等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径．因此点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外．也可以把点与圆心的距离和半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内．[师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系．Ⅱ．新课讲解1．复习点到直线的距离的定义[生]从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离．如下图，C为直线AB外一点，从C向AB引垂线，D为垂足，则线段CD即为点C到直线AB的距离．2．探索直线与圆的三种位置关系[师]直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的．如大家请看课本113页，观察图中的三幅照片，地平线和太阳的位置关系怎样？作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？[生]把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；把直尺的边缘看成一条直线，则直线和圆有三种位置关系．[师]从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢？[生]有三种位置关系：[师]直线和圆有三种位置关系，如下图：它们分别是相交、相切、相离．当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点)，这条直线叫做圆的切线(tan gent line)．当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，你能总结吗？[生]当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切；当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离．[师]能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离d和半径r作比较，类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定三种位置关系呢？[生]如上图中，圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相交时，d＜r；当直线与圆相切时，d＝r；当直线与圆相离时，d＞r，因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系．[师]由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法．一种是从直线与圆的公共点的个数来断定；一种是用d与r的大小关系来断定．投影片(§3．5．1A)(1)从公共点的个数来判断：直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断：d＜r时，直线与圆相交；d＝r时，直线与圆相切；d＞r时，直线与圆相离．投影片(§3．5．1B)[例1]已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm．(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？(2)以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？分析：根据d与r间的数量关系可知：d＝r时，相切；d＜r时，相交；d＞r时，相离．解：(1)如上图，过点C作AB的垂线段CD．∵AC＝4cm，AB＝8cm；∴cos A＝12 ACAB，∴∠A＝60°．∴CD＝AC sin A＝4sin60°＝23(cm)．因此，当半径长为23cm时，AB与⊙C相切．(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝23cm，所以，当r＝2cm时，d＞r，⊙C与AB相离；当r＝4cm时，d＜r，⊙C与AB相交．3．议一议(投影片§3．5．1C)(1)你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？(2)上图(1)中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？(3)如图(2)，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD有怎样的位置关系？说一说你的理由．对于(3)，小颖和小亮都认为直径AB垂直于CD．你同意他们的观点吗？[师]请大家发表自己的想法．[生](1)把一只筷子放在碗上，把碗看作圆，筷子看作直线，这时直线与圆相交；自行车的轮胎在地面上滚动，车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相切；杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相离．(2)图(1)中的三个图形是轴对称图形．因为沿着d所在的直线折叠，直线两旁的部分都能完全重合．对称轴是d所在的直线，即过圆心O且与直线l垂直的直线．(3)所谓两条直线的位置关系，即为相交或平行，相交又分垂直和斜交，直线CD与⊙O 相切于点A，直径AB与直线CD垂直，因为图(2)是轴对称图形，AB是对称轴，所以沿AB 对折图形时，AC与AD重合，因此∠BAC＝∠BAD＝90°．[师]因为直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，直线CD是⊙O的切线，因此有圆的切线垂直于过切点的直径．这是圆的切线的性质，下面我们来证明这个结论．在图(2)中，AB与CD要么垂直，要么不垂直．假设AB与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD、垂足为M，则OM＜OA，即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此CD 与⊙O相交，这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾，所以AB与CD垂直．这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不成立推出和已知条件或定理相矛盾．第三步是肯定假设错误，故结论成立．Ⅲ．课堂练习随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习了如下内容：1．直线与圆的三种位置关系．(1)从公共点数来判断．(2)从d与r间的数量关系来判断．2．圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．3．例题讲解．Ⅴ．课后作业习题3．7Ⅵ．活动与探究如下图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向300千米的B 处，并以每小时107千米的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．(1)A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？(2)若A 城受到这次台风的影响，试计算A 城遭受这次台风影响的时间有多长？分析：因为台风影响的范围可以看成以台风中心为圆心，半径为200千米的圆，A 城能否受到影响，即比较A 到直线BF 的距离d 与半径200千米的大小．若d ＞200，则无影响，若d ≤200，则有影响．解：(1)过A 作AC ⊥BF 于C ．在Rt △ABC 中，∵∠CBA ＝30°，BA ＝300，∴AC ＝AB sin30°＝300×12＝150(千米)． ∵AC ＜200，∴A 城受到这次台风的影响．(2)设BF 上D 、E 两点到A 的距离为200千米，则台风中心在线段DE 上时，对A 城均有影响，而在DE 以外时，对A 城没有影响．∵AC ＝150，AD ＝AE ＝200，∴DC ＝22200150507-=．∴DE ＝2DC ＝1007． ∴t ＝1007107s v =＝10(小时)． 答：A 城受影响的时间为10小时．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案： 四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22yx xy- (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． （二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．（三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．（演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ [生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕． （演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．（投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩D CA BD CAB所以△BAD ≌△CAD ． 所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°． [师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？DC A BD CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题．（二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ． ∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ．EDCABPD C A B∴∠4=∠ACD．∴DE=EC．同理可证：AE=DE．∴AE=C E．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1．等边对等角2．三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）A．某一条边上的高B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解 （教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.四、随堂练习计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习1．计算：(1))1)(1(y x x y x y +--+(2)22242)44122(aa a a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xy z y x ++⋅++)111( 2．计算24)2121(a a a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）b a ab - （3）3 五、1.(1)22yx xy - (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。

24.2.2 直线和圆的位置关系（第一课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十四章“圆”24.2.2 直线和圆的位置关系（第一课时），内容包括：直线和圆的位置关系.2.内容解析本节课是在学生已经学习了点和圆的位置关系后，对直线和圆的位置关系进行探索．为后续学习切线判断定理打好基础．直线与圆的位置关系从两个方面去刻画：一是通过再现海上日出的过程中，探索直线与圆的公共点的个数，将直线与圆的位置分为相交、相切、相离三种情况；二是通过比较直线与圆心的距离与半径，对直线与圆的位置进行分类，二者之间相互对应，相互联系．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：探索直线和圆的位置关系.二、目标和目标解析1.目标1)理解直线和圆的三种位置关系．2)经历类比探索点和圆位置关系的过程，探索直线和圆的位置关系，体会类比思想，分类思想以及数形结合思想．2.目标解析达成目标1）的标志是：会根据交点个数及数量关系判断直线和圆的位置关系会运用它解决一些实际问题．达成目标2）的标志是：经历类比探索点和圆位置关系的过程，探索直线和圆的位置关系.三、教学问题诊断分析在研究直线和圆的位置关系中，学生不容易想到去类比探索点和圆位置关系的过程，探索直线和圆的位置关系．此外，在对直线和圆的位置关系进行分类时，需要学生具备运动的观点和一定的分类标准，部分学生可能也会存在困难．本节课的教学难点是：类比点和圆的位置关系的过程，探索直线和圆的位置关系.四、教学过程设计（一）复习巩固【提问】点和圆的位置关系有几种？用数量关系如何来判断呢？师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．【设计意图】通过回顾点和圆的位置关系，为本节课探究直线和圆的位置关系打好基础.（二）探究新知[诗词欣赏]晓日天际霞光入水中，水中天际一时红。

直须日观三更后，首送金乌上碧空。

【问题一】古诗前两句的意思是什么？师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．【问题二】如果从数学的角度来分析，把水面当作一直线，太阳当作一个圆，请同学们利用手中的纸片圆和笔，再现海上日出过程？师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．教师通过多媒体展示海上日出过程，加深学生理解.【问题三】再现海上日出过程中，你认为直线和圆有几种位置关系吗？分类依据是什么？师生活动：教师提出问题，学生认真观察后得出答案．教师根据情况适当提示学生通过观察圆与直线的公共点的数量判断直线和圆的位置关系.【问题四】通过预习，你能根据直线与圆之间公共点个数下定义吗？师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．教师通过多媒体给出答案：1）直线与圆没有公共点，称为直线与圆相离。

§4.2直线与圆的位置关系（1）教学设计学习目标1．了解直线与圆的三种位置关系；2．能根据方程判断直线和圆的位置关系。

学习重点能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；学习难点学会判断直线与圆的位置关系的代数方法及几何方法。

利用数形结合的方法寻找解题途径。

学习过程一、课前准备（预习教材P 126~ P 127，找出疑惑之处） 1． 课前预热：已知圆的方程为：9)2()3(22=++-y x ，则圆心坐标为 ，半径为 已知圆的方程为：x 2+y 2-2y-4=0,则圆心坐标为 ，半径为 求点A(1,2)到直线3x-4y-5=0的距离为 2．2． 学生分小组活动：二、新课导学※ 学习探究学生总结：BA情景导入：2011年第9号热带风暴“梅花于7月28日14时在西北太平洋洋面上生成。

随后两度升级为超强台风. 假设台风在短时间内几乎没有移动,此时在海面上A 点处有一艘货船想沿直线路径驶入港口 B 处避风,请问在行驶过程中货船会遭遇风暴吗?请判断直线x+y-2=0 与圆x 2+y 2=1的位置关系. 请判断直线x+y-1=0 与圆x 2+y 2=1的位置关系. 请判断直线x+y-2=0 与圆x 2+y 2=2的位置关系.新知1：如果直线的方程为）不同时为0,(0B A C By Ax =++，圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，联立直线方程与圆的方程得到的方程组，0=++C By Ax222)()(r b y a x =-+- 消元得一个一元二次方程，⑴当 时，直线与圆没有公共点；⑵当 时，直线与圆有且只有一个公共点； ⑶当 时，直线与圆有两个不同的公共点；新知2：设直线的方程为）不同时为0,(0B A C By Ax =++，圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，圆心坐标为（a,b ）圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： ⑴当 时，直线l 与圆C 相离； ⑵当 时，直线l 与圆C 相切； ⑶当 时，直线l 与圆C 相交；※ 动手试试判断下列直线和圆的位置关系：① 判断直线3x+4y-25=0与圆x 2+y 2=1的位置关系.② 判断直线4x-3y-6=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系 .③判断直线063=-+y x 与圆5)1(22=-+y x 的位置关系.※ 典型例题例1 已知直线 l 的方程为：063=-+y x ，曲线C 的方程为04222=--+y y x （1） 判断l 与C 的位置关系;（2） 如果l 与C 相交，求它们交点A,B 的坐标;变式题：当m 为何值时，直线x+y+m=0与圆122=+y x 相切？※ 思考题：若直线l:y=x+b 与曲线C:y=-24x -有两个公共点，求b 的取值范围.三、总结提升 ※ 学习小结判断直线与圆的位置关系有两种方法： （1）判断直线与圆组成的方程组是否有解有解,直线与圆有公共点. （有一组解则相切; 有两组解则相交） 无解,则直线与圆相离（2） 如果直线的方程为0Ax By C ++=，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，则圆心到直线的距离d =①如果d r < 直线与圆相交; ②如果d r =直线与圆相切; .1、直线3x-4y+6=0与圆(x-2)2+(y+3)2=4的位置关系是（ ） A 相离 B 相切 C 过圆心 D 相交但不过圆心2.、以点P(-4,3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离，则圆的半径r 的取值范围是（ ） 5) C (0,25) D (0,10)1、 复习今天所学知识。

教学设计课题：§4.2.1直线与圆的位置关系（第1课时）课题: §4.2.1直线与圆的位置关系（第1课时）【教材分析】直线与圆的位置关系是必修2第4章第2节第一课时内容，是继直线方程、圆的方程之后，研究解析几何曲线与曲线之间位置关系的重要课题之一。

从知识体系上看，它安排在“点和圆的位置关系”之后，“圆与圆的位置关系”之前；从数学思想方法上看，它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程及相关知识间的联系。

因此，直线与圆的位置关系在圆的一章中起到承上启下的作用。

直线与圆的位置关系判断的方法、建立过程中蕴涵着诸多的数学思想方法，“坐标法”研究直线与圆的位置关系是对圆的方程应用的延续和拓展，又是后续研究圆与圆的位置关系和直线与圆锥曲线的位置关系等内容的基础。

【学情分析】(1)知识储备学生在初中平面几何部分已经学习了直线与圆的位置关系，知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的大小，判断直线与圆的位置关系。

通过数学文化渗透引导学生感受解析几何产生的背景和价值，为学生感受用代数方法解决几何问题的解析几何思想，为本节课的重点用“坐标法”解决平面解析几何问题做好铺垫。

(2)心理特征上课班级为高级中学理科平行班的学生。

根据高级中学已有学生的数学素养和高一学生的认知特点及心理特征，确定本节课的情感目标为让学生感受数学思想文化的价值。

引导学生感受源远流长的数学文化背景，体会代数方法解决几何问题的奇妙，感受代数与几何对立统一的关系。

博大精深的数学文化可以恰如到好处的满足学生的心理需求，同时在意识领域让学生从数学文化背景中感受古人的智慧，膜拜古人持之以恒追求知识的精神，可以进一步激发学生对知识的渴望、对伟大数学家的仰望和敬意。

而高一阶段的学生逻辑思维较初中学生有了大部分的提升，同时学生的观察能力、想象能力在迅速发展。

这个年龄的学生好奇心强、喜欢表现，注意力容易分散，教师采用生动形象、形式多样的教学方法使学生广泛的、积极主动的参与到教学中，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上。

《4.2.1直线与圆的位置关系》教学案一、教材分析学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系，并知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d 与半径r 的关系判断直线与圆的位置关系，但是，在初中学习时，利用圆心与直线的距离d 与半径r 的关系判断直线与圆的位置关系的方法却以结论性的形式呈现.在高一学习了解析几何以后，要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法.解决问题的方法主要是几何法和代数法.其中几何法应该是在初中学习的基础上，结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离d 后，比较与半径r 的关系从而作出判断.适可而止地引进用联立方程组转化为二次方程判别根的“纯代数判别法”，并与“几何法”欣赏比较，以决优劣，从而也深化了基本的“几何法”.含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用，也适度地引入课堂教学中，但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的，要控制难度.虽然学生学习解析几何了，但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法，学生仍是似懂非懂，因此应不断强化，逐渐内化为学生的习惯和基本素质.二、教学目标1．知识与技能(1)理解直线与圆的位置的种类；(2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； (3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. (二)过程与方法设直线l ：ax + by + c = 0，圆C ：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0，圆的半径为r ，圆心(,)22D E--到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：(1)当d ＞r 时，直线l 与圆C 相离； (2)当d ＝r 时，直线l 与圆C 相切； (3)当d ＜r 时，直线l 与圆C 相交； 3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.三、教学重点与难点教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 教学难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系.四、课时安排2课时五、教学设计第1课时(一)导入新课思路1.平面解析几何是高考的重点和热点内容，每年的高考试题中有选择题、填空题和解答题，考查的知识点有直线方程和圆的方程的建立、直线与圆的位置关系等，本节主要学习直线与圆的关系.思路2.(复习导入)(1)直线方程Ax +By +C =0(A ，B 不同时为零).(2)圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2，圆心为(a ，b )，半径为r . (3)圆的一般方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(其中D 2+E 2-4F ＞0)，圆心为(-2D ，-2E)，半径为21F E D 422-+.(二)推进新课、新知探究、提出问题①初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？ ②在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？ ③如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？ ④判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？讨论结果：①初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交三种.②直线与圆的三种位置关系的含义是: 直线与圆的位置关系 公共点个数 圆心到直线的距离d 与半径r 的关系图形相交 两个 d ＜r 相切 只有一个 d =r 相离没有d ＞r方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.④直线与圆的位置关系的判断方法： 几何方法步骤：1°把直线方程化为一般式，求出圆心和半径. 2°利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.3°作判断：当d ＞r 时，直线与圆相离；当d =r 时，直线与圆相切；当d ＜r 时，直线与圆相交.代数方法步骤：1°将直线方程与圆的方程联立成方程组.2°利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程. 3°求出其判别式Δ的值.4°比较Δ与0的大小关系，若Δ＞0，则直线与圆相离；若Δ=0，则直线与圆相切；若Δ＜0，则直线与圆相交.反之也成立.(三)应用示例思路1例1 已知直线l ：3x +y -6=0和圆心为C 的圆x 2+y 2-2y -4=0，判断直线l 与圆的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标.活动:学生思考或交流，回顾判断的方法与步骤，教师引导学生考虑问题的思路，必要时提示，对学生的思维作出评价；方法一，判断直线l 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.解法一:由直线l 与圆的方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-+)2(.042)1(,06322y y x y x消去y ，得x 2-3x +2=0，因为Δ=(-3)2-4×1×2=1＞0，所以直线l 与圆相交，有两个公共点. 解法二：圆x 2+y 2-2y -4=0可化为x 2+(y -1)2=5，其圆心C 的坐标为(0，1)，半径长为5，圆心C 到直线l 的距离d =2213|1603|+-+⨯=105＜5.所以直线l 与圆相交，有两个公共点.由x 2-3x +2=0，得x 1=2，x 2=1.把x 1=2代入方程①，得y 1=0；把x 2=1代入方程①，得y 2=3.所以直线l 与圆相交有两个公共点，它们的坐标分别是(2，0)和(1，3).点评:比较两种解法，我们可以看出，几何法判断要比代数法判断快得多，但是若要求交点，仍需联立方程组求解.例2 已知圆的方程是x 2+y 2=2，直线y =x +b ，当b 为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点没有公共点.活动:学生思考或交流，教师引导学生考虑问题的思路，必要时提示，对学生的思维作出评价.我们知道，判断直线l 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解，或依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.反过来，当已知圆与直线的位置关系时，也可求字母的取值范围，所求曲线公共点问题可转化为b 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+bx y y x ,222有两组不同实数根、有两组相同实根、无实根的问题.圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点的问题，可转化为b 为何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题.解法一:若直线l ：y =x +b 和圆x 2+y 2=2有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点，则方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+b x y y x ,222有两个不同解、有两个相同解、没有实数解，消去y ，得2x 2+2bx +b 2-2=0， 所以Δ=(2b )2-4×2(b 2-2)=16-4b 2.所以，当Δ=16-4b 2＞0，即-2＜b ＜2时，圆与直线有两个公共点；当Δ=16-4b 2=0，即b =±2时，圆与直线只有一个公共点；当Δ=16-4b 2＜0，即b ＞2或b ＜-2时，圆与直线没有公共点.解法二：圆x 2+y 2=2的圆心C 的坐标为(0，0)，半径长为2，圆心C 到直线l :y =x +b 的距离d =2||11|0101|22b b =+-⨯+⨯-.当d ＞r 时，即2||b ＞2，即|b |＞2，即b ＞2或b ＜-2时，圆与直线没有公共点；当d =r 时，即2||b =2，即|b |=2，即b =±2时，圆与直线只有一个公共点； 当d ＜r 时，即2||b ＜2，即|b |＜2，即-2＜b ＜2时，圆与直线有两个公共点.点评：由于圆的特殊性，判断圆与直线的位置关系，多采用圆心到直线的距离与半径的大小进行比较的方法，而以后我们将要学习的圆锥曲线与直线位置关系的判断，则需要利用方程组解的个数来判断.变式训练已知直线l 过点P (4，0)，且与圆O ：x 2+y 2=8相交，求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解法一：设直线l 的方程为y =k (x -4)，即kx -y -4k =0， 因为直线l 与圆O 相交，所以圆心O 到直线l 的距离小于半径， 即1|4|2+-k k ＜22，化简得k 2＜1，所以-1＜k ＜1，即-1＜tanα＜1.当0≤tanα＜1时，0≤α＜4π；当-1＜tanα＜0时，43π＜α＜π.所以α的取值范围是［0，4π)∪(43π，π).解法二：设直线l 的方程为y =k (x -4)，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,8),4(22y x x k y ，消去y 得(k 2+1)x 2-8k 2x +16k 2-8=0. 因为直线l 与圆O 相交，所以Δ=(-8k 2)2-4(k 2+1)(16k 2-8)＞0，化简得k 2＜1.(以下同解法一)点评:涉及直线与圆的位置关系的问题，常可运用以上两种方法.本题若改为选择题或填空题，也可利用图形直接得到答案.思路2例1 已知圆的方程是x 2+y 2=r 2，求经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程.活动:学生思考讨论，教师提示学生解题的思路，引导学生回顾直线方程的求法，既考虑通法又考虑图形的几何性质.此切线过点(x 0，y 0)，要确定其方程，只需求出其斜率k ，可利用待定系数法(或直接求解).直线与圆相切的几何特征是圆心到切线的距离等于圆的半径，切线与法线垂直.解法一:当点M 不在坐标轴上时，设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为k 1，因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以k =-11k . 因为k 1=00x y 所以k =-00y x .所以经过点M 的切线方程是y -y 0=-0y x (x -x 0).整理得x 0x +y 0y =x 02+y 02.又因为点M (x 0，y 0)在圆上，所以x 02+y 02=r 2. 所以所求的切线方程是x 0x +y 0y =r 2.当点M 在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适用.解法二:设P (x ，y )为所求切线上的任意一点，当P 与M 不重合时，△OPM 为直角三角形，OP 为斜边，所以OP 2=OM 2+MP 2，即x 2+y 2=x 02+y 02+(x -x 0)2+(y -y 0)2.整理得x 0x +y 0y =r 2.可以验证，当P 与M 重合时同样适合上式，故所求的切线方程是x 0x +y 0y =r 2.解法三:设P (x ，y )为所求切线上的任意一点，当点M 不在坐标轴上时，由OM ⊥MP 得k OM ·k MP =-1，即0x y ·x x y y --00=-1，整理得x 0x +y 0y =r 2.可以验证，当点M 在坐标轴上时，P与M 重合，同样适合上式，故所求的切线方程是x 0x +y 0y =r 2.点评:如果已知圆上一点的坐标，我们可直接利用上述方程写出过这一点的切线方程. 变式训练求过圆C :(x -a )2+(y -b )2=r 2上一点M (x 0，y 0)的圆的切线方程.解:设x 0≠a ，y 0≠b ，所求切线斜率为k ，则由圆的切线垂直于过切点的半径，得k =b y a x k CM---=-001，所以所求方程为y -y 0=by ax ---00(x -x 0)，即(y -b )(y 0-b )+(x -a )(x 0-a )=(x 0-a )2+(y 0-b )2.又点M (x 0，y 0)在圆上，则有(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2. 代入上式，得(y -b )(y 0-b )+(x -a )(x 0-a )=r 2.当x 0=a ，y 0=b 时仍然成立，所以过圆C :( x -a )2+(y -b )2=r 2上一点M (x 0，y 0)的圆的切线方程为(y -b )(y 0-b )+(x -a )(x 0-a )=r 2.例2 从点P (4，5)向圆(x －2)2＋y 2=4引切线，求切线方程.活动:学生思考交流，提出解题的方法，回想直线方程的求法，先验证点与圆的位置关系，再利用几何性质解题.解:把点P (4，5)代入(x －2)2＋y 2=4，得(4－2)2＋52=29＞4，所以点P 在圆(x －2)2＋y 2=4外.设切线斜率为k ，则切线方程为y －5=k (x －4)，即kx －y ＋5－4k =0.又圆心坐标为(2，0)，r =2.因为圆心到切线的距离等于半径，即1|4502|2+-+-k k k =2，k =2021. 所以切线方程为21x －20y ＋16=0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x =4. 点评:过圆外已知点P (x ，y )的圆的切线必有两条，一般可设切线斜率为k ，写出点斜式方程，再利用圆心到切线的距离等于半径，写出有关k 的方程.求出k ，因为有两条，所以应有两个不同的k 值，当求得的k 值只有一个时，说明有一条切线斜率不存在，即为垂直于x 轴的直线，所以补上一条切线x =x 1.变式训练求过点M (3，1)，且与圆(x -1)2+y 2=4相切的直线l 的方程. 解:设切线方程为y -1=k (x -3)，即kx -y -3k +1=0， 因为圆心(1，0)到切线l 的距离等于半径2， 所以22)1(|13|-++-k k k =2，解得k =-43. 所以切线方程为y -1=-43(x -3)，即3x +4y -13=0. 当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为x =3，圆心(1，0)到此直线的距离等于半径2，故直线x =3也符合题意.所以直线l 的方程是3x +4y -12=0或x =3.例3 (1)已知直线l ：y =x +b 与曲线C ：y =21x -有两个不同的公共点，求实数b 的取值范围；(2)若关于x 的不等式21x -＞x +b 解集为R ，求实数b 的取值范围.图1解:(1)如图1(数形结合)，方程y =x +b 表示斜率为1，在y 轴上截距为b 的直线l ； 方程y =21x -表示单位圆在x 轴上及其上方的半圆， 当直线过B 点时，它与半圆交于两点，此时b =1，直线记为l 1； 当直线与半圆相切时，b =2，直线记为l 2.直线l 要与半圆有两个不同的公共点，必须满足l 在l 1与l 2之间(包括l 1但不包括l 2)， 所以1≤b ＜2，即所求的b 的取值范围是［1，2).(2)不等式21x -＞x +b 恒成立，即半圆y =21x -在直线y =x +b 上方， 当直线l 过点(1，0)时，b =-1，所以所求的b 的取值范围是(-∞，-1). 点评:利用数形结合解题，有时非常方便直观.(四)知能训练 本节练习2、3、4.(五)拓展提升圆x 2+y 2=8内有一点P 0(-1，2)，AB 为过点P 0且倾斜角为α的弦. (1)当α=43π时，求AB 的长； (2)当AB 的长最短时，求直线AB 的方程. 解:(1)当α=43π时，直线AB 的斜率为k =tan 43π=-1，所以直线AB 的方程为y -2=-(x +1)，即y =-x +1.解法一：(用弦长公式)由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=,8,122y x x y 消去y ，得2x 2-2x -7=0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=1，x 1x 2=-27， 所以|AB |=2)1(1-+|x 1-x 2|=2·212214)(x x x x -+=2·)27(41-⨯-=30.解法二：(几何法)弦心距d =21，半径r =22，弦长|AB |=230218222=-=-d r . (2)当AB 的长最短时，OP 0⊥AB ，因为k OP 0=-2，k AB =21，直线AB 的方程为y -2=21(x +1)， 即x -2y +5=0.(六)课堂小结(1)判断直线与圆的位置关系的方法:几何法和代数法. (2)求切线方程. (七)作业习题4.2 A 组1、2、3.。

《直线与圆的位置关系》第课时教案设计
临川区罗湖中学：郑辉车海平
一、教案目标
（）知识与技能：
、使学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义。

、会用定义来判断直线与圆的位置关系。

、通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。

（）过程与方法：
、通过观察、实验、讨论、合作研究等数学活动使学生了解探索问题的一般方法。

、由观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的思想。

（）情感态度与价值观：
、创设问题情景，激发学生好奇心，提高自学能力和效率。

、体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验。

、通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想。

二、教材的重点难点
、探索并理解直线与圆的三种位置关系
、直线与圆的三种位置关系性质和判定的正确运用
三、教具准备
、教师准备：多媒体课件、导学案、尺、规
、学生准备：尺、规、钥匙环
四、活动流程
的距离，
、直线和圆有几种位置关系，分别是什么？
（）、设⊙的半径为，圆心到直线l的距离为，仔细观察
教案反思：本课设计首先引导学生观察图片，联系现实生活中的例子，激发学生对探索直线与圆的位置关系是兴趣。

然后让学生动手操作，参与学习活动，用运动变化的观点观察直线与圆的位置关系的变化及它们之间的公共点个数的变化情况，。

《直线与圆的地点关系》第 1 课时教课设计教课目的：1、利用投影演示，着手操作研究直线和圆的运动变化过程，经历直线与圆的三种地点关系得产生过程；2、在运动中体验直线与圆的地点关系，并察看理解直线与圆的“公共点的个数”的变化，培育猜想、剖析、归纳、归纳能力。

3、正确鉴别直线与圆的地点关系，或依据直线与圆的地点关系正确的得出圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系或直线与圆的公共点的个数。

教课要点：直线与圆的三种地点关系教课难点：直线与圆的三种地点关系的性质和判断俄正确运用教课过程：一、创建情形，引入新课电脑演示：海上日出1.察看三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的地点关系是如何的?2.察看三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的地点关系是如何的?你发现这个自然现象反应出直线和圆的地点关系有哪几种?二、研究直线与圆的地点关系1、着手操作：作一个圆 ,把直尺边沿当作一条直线.固定圆 ,平移直尺 ,认真察看，直线和圆的交点个数如何变化？在学生回答得基础上，教师指出：由直线和圆的公共点的个数，得出直线和圆的三种地点关系：（1）订交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆订交，这时的直线叫做圆的割线；（2）相切：直线与圆有独一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点；（3）直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。

2、做一做：如图， O 为直线L外一点,OT⊥L,且OT=d。

请以O 为圆心 , 分别以 1 d , d, 3d22为半径画圆 .所画的圆与直线l 有什么地点关系 ?OT l3、直线与圆的地点关系量化察看所绘图形，你能从 d 和 r 的关系发现直线l 和圆 O 的地点关系吗？r rO r O Od ddlT学生回答(1)T l后，教师T(2)l总结并板书：(3)假如⊙O 的半径 w 为 r ,圆心 O 到直线 l 的距离为 d,,那么：（1）直线 l 和⊙O 订交d＜r;(2) 直线 l 和⊙O 相切d=r ；（3）直线 l 和⊙O 相离d＞r;三、例题剖析，讲堂练习例 1、在 Rt△ABC 中，∠C=90 °，AC=3cm ，BC=4cm ，以 C 为圆心， r 为半径的圆与AB 有如何的地点关系？为何？（1）r=2cm,(2)r=2.4cm,(3)r=3cm. （本题为课本第 49页课内练习第 1题的第 2 小题）剖析：由于题中给出了⊙ C 的半径，因此解题的要点是求圆心到直线的距离，而后与 r 比较，确立⊙ C A与AB的关D系。

精选教课教课设计设计 | Excellent teaching plan教师学科教课设计[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan直线和圆的地点关系第1课时直线和圆的地点关系教课内容：直线和圆的地点关系。

教课目标：1.知道直线和圆订交、相切、相离的定义。

2.依据定义来判断直线和圆的地点关系。

3.依据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数目关系，揭示直线和圆的地点。

教课重难点：依据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数目关系，揭露直线和圆的地点关系。

教课过程：一、出示学习目标二、教师导学1.点与圆有几种地点关系?2.如何判断点和圆的地点关系?(1)点到圆心的距离半径时,点在圆外.(2)点到圆心的距离半径时,点在圆上.(3)点到圆心的距离半径时,点在圆内.三、研究与合作1.观察日出图和钥匙环挪动图，经过幻灯片的演示,领会直线和圆的地点关系。

2.定义归纳：（依据图形特色）直线和圆没有公共点，这时我们说直线和圆相离。

直线和圆有一个公共点，这时我们说直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线 ,这个点叫做切点。

直线和圆有两个公共点，这时我们说直线和圆订交，这条直线叫做圆的割线。

3.定义运用：a.如何依据基本看法来判断直线与圆的地点关系？b.判断以下直线和圆的地点关系：4.性质研究、知识小结：观察谈论：当直线与圆相离、相切、订交时，圆心到直线的距离 d与半径 r有何关系？直线与圆 O订交 ? d<r直线与圆 O相切 ? d=r直线与圆 O相离 ? d>r5、性质运用：圆的直径是 13cm，假如直线与圆心的距离分别是①；②；③ 8cm，那么直线和圆分别是什么地点关系？有几个公共点？6、归纳：判断直线与圆的地点关系的方法有两种：1.依据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；2.依据性质，由圆心距d与半径 r的关系来判断。

教案课题名称：4.2.1直线与圆的位置关系一、教学目标1、知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．2、过程与方法设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．二、教学重点、难点：重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．四、教学过程设计复习提问：1、点与圆有几种位置关系？2、若将点改成直线 ，那么直线与圆的位置关系又如何呢？1、直线 与圆的位置关系：观察右边的三个图形：直线与圆分别有多少个公共点？1、如图1，直线与圆_______公共点，那么这条直线与圆_________。

2、如图2，直线与圆有______公共点时，那么直线与圆________。

此时，这条直线叫做圆的_______，这个公共点叫做_______。

3、如图3，直线与圆有_______公共点时，那么直线与圆________。

此时，这条直线叫做________。

.O a b.A .O c . F .E.O二、学生动手画出圆心到直线的距离d 与半径r 比较，得出结论：1、当d>r 时，直线与圆相离；2、当d=r 时，直线与圆相切；3、当d<r 时，直线与圆相交 。

归纳与小结：三、例题讲解例1 ：如图，已知直线L:063=-+y x 和圆心为C 的圆04222=--+y y x ,判断直线L 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.解法一：圆04222=--+y y x 可化为5)1(22=-+y x . 其圆心C 的坐标为（0，1），半径长为5 ，点C （0，1）到直线L 的距离所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．解法二：由直线 l 与圆的方程，得：消去y ，得： = 1 > 0510513|6103|22<=+-+⨯=d ⎩⎨⎧=--+=-+.042,06322y y x y x 214)3(2⨯⨯--=∆0232=+-x x所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．所以，直线 l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是：A （2，0），B （1，3）四、课堂小结直线与圆的位置关系的判断方法有两种：①代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即⊿＞０，则相交；若有两组相同的实数解，即⊿＝０，则相切；若无实数解，即⊿＜０，则相离． ②几何法：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小来判断：当d<r 时，直线与圆相交；当d=r 时，直线与圆相切；当d>r 时，直线与圆相离．五、课堂练习1.判断直线 与圆 的位置关系.2.已知直线 ，圆C ： 试判断直线l 与圆C 有无公共点，有几个公共点.由 ，解得： 0232=+-x x 1,221==x x 把 代入方程①，得 ； ,221==x x 01=y 把 代入方程① ，得． 1,221==x x 32=y 0243=++y x 0222=-+x y x 6:+=x y l .04222=--+y y x六、课后练习试解本节引言中的问题.七、课后作业习题4.2 A组1、3、5八、板书设计在教学中我把黑板分为三部分，把知识要点写在左侧，中间多媒体展示，右边实例应用直线与圆的位置关系【教学目标】１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．【教学重难点】教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．教学难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．【教学过程】情景导入、展示目标问题：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域。

《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2第四章教学设计姓名：王光伟单位：安阳一中《4.2.1 直线与圆的位置关系》教学设计【三维目标】1、知识与技能（1）理解直线与圆的三种位置关系；能根据直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系； （2）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 2、过程与方法（1）经历知识的建构过程，培养学生独立思考，自主探究，动手实践，合作交流的学习方式； （2）强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力； 3、情感态度与价值观（1）让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想； （2）加深对解析法解决几何问题的认识，激发学习热情，培养学生的创新意识和探索精神；【重点难点】1、重点：直线与圆的位置关系及其判断方法；2、难点：体会和理解解析法解决几何问题的数学思想；【教学基本流程】【教学设计】 一、创设情境问题1：“海上生明月，天涯共此时”是唐代诗人张九龄的诗句，抒写了对远方亲人的一片深情。

全诗情景交融，细腻入微，情真意永，感人至深。

如果我们把明月看成一个圆，海平面看成 一条直线，直线与圆的位置关系有几种？【解析】直线与圆的位置关系有三种：问题2：点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离是什么？ 【解析】d =；3二、探究新知探究1：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km 的圆形区域．已知轮船位于小岛中心正东70km 处， 港口位于小岛中心正北40km 处．如果轮船沿直线返港，那么它 是否有触礁的危险？（1）如果不建立直角坐标系，你能解决这个问题吗？（2）如果以小岛的中心为原点O ，东西方向为x 轴，建立直角坐标系，其中取10km 为单位长度，你能写出其中的直线方程与圆的方程吗？（3）如何用直线方程与圆的方程判断它们的位置关系，请谈谈你的想法？ 【解析】（1）利用平面几何知识可知，在Rt AOB ∆中，70,40OA OB ==，则AB =O 到AB的距离为d，则34.730OA OB d AB ⋅==≈>，所以轮船沿直线返港，没有触礁的危险； （2）直线方程：174x y+=，即47280x y +-=；圆的方程：229x y +=； （3）根据学生已有经验，判断直线与圆的位置关系，一种方法，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后比较这个距离与半径的大小作出位置关系的判断；另一种方法，就是看由它们组成的方程组有无实数解；学生分组，展示成果，归纳总结； （该问题具有探究性、启发性和开放性，鼓励学生大胆表达自己的看法．） 【归纳】直线与圆的位置关系的判断方法：设直线:0l Ax By C ++=，圆222:()()C x a y b r -+-=， （1）几何法：求圆心到直线的距离：d =，（2）代数法：联立方程2220()()Ax By C x a y b r++=⎧⎨-+-=⎩，消元，考查其判别式∆，相交0d r ⇔<⇔∆>；相切0d r ⇔=⇔∆=；相离0d r ⇔>⇔∆<；三、典例剖析1、如图，已知直线:360l x y +-=和圆心为C 的圆22240x y y +--=， 判断直线l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标. 分析：方法一：判断直线l 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离 与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系；解法一：联立方程22360(1)240(2)x y x y y +-=⎧⎨+--=⎩消去y 得：2320x x -+=， 因为10∆=>，所以直线l 与圆相交，有两个公共点.解法二：圆22240x y y +--=可化为22(1)5x y +-=，圆心(0,1)C ，半径r =(0,1)C 到直线l 的距离d ==<l 与圆相交，有两个公共点.由2320x x -+=，解得12x =，21x =，把12x =代入方程（1），得10y =；把21x =代入方程（1），得23y =； 所以，直线l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是：(2,0),(1,3)A B .2、已知过点(3,3)M --的直线l 被圆224210x y y ++-=所截得的弦长为l 的方程； 解：圆的标准方程为22(2)25x y ++=，圆心(0,2)C -，半径5r =.所以弦心距d ==由已知，设直线l 的方程为3(3)y k x +=+，即330kx y k -+-=， 根据点到直线的距离公式，d =，=|31|k -=，两边平方，并整理得22320k k --=，解得1-2k =，或2k =， 所以，所求直线方程为：290x y ++=，或230x y -+=.四、变式训练1、（1）已知直线43350x y +-=与圆心在原点的圆相切，求圆的方程；（2）已知圆的方程222x y +=，直线y x b =+，当b 为何值时，直线与圆相交，相切，相离？ （3）已知圆的方程222(1)(3)(0)x y r r -+-=>，直线3460x y --=，当r 为何值时，直线与圆相交？解：（1）由已知：7d ==，即圆的半径7r =；所以所求圆的方程为:2249x y +=；（2）解法1：圆心(0,0)O 到直线y x b =+的距离：d =， 当d r <，即22b -<<时，直线与圆相交； 当d r =，即2b =±时，直线与圆相切；当d r >，即2b <-，或2b >时，直线与圆相离；5解法2：联立方程组222y x b x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得：222220x bx b ++-=，2164b ∆=-， 当0∆>，即22b -<<时，直线与圆相交； 当0∆=，即2b =±时，直线与圆相切；当0∆<，即2b <-，或2b >时，直线与圆相离；（3）由已知：圆心到直线的距离3d r ==<，2、已知过点(3,3)M --的直线l 被圆224210x y y ++-=所截得的弦长为8，求直线l 的方程； 解：圆的标准方程为22(2)25x y ++=，圆心(0,2)C -，半径5r =.所以弦心距3d ==，由已知，设直线l 的方程为3(3)y k x +=+，即330kx y k -+-=，根据点到直线的距离公式，d =，3=，即|31|3k -=43k =-，直线方程为：43210x y ++=，经检验，30x +=适合题意，所以，所求直线方程为：43210x y ++=，或30x +=；五、知识归纳1、知识：（1）直线与圆的位置关系的判断；（2）弦长问题；2、思想方法：（1）坐标法的思想；（2）数形结合思想。