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a2 a 2
a2
(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等
式)求解.
例3 设双曲线 y 2 - 3 =1(b>a>0)的半焦距为c,直线l经过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离
b2 4
为 x c,则双曲线的离心率为
.
a
1
= b
c
2
,e越大2 ,双曲线的张口越大,e∈(1,+∞).
a2
2.双曲线 y 2 - x 2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y 2 -y 2 =0.
b2 a2
b2 a2
S 双曲线 x 2 - y 2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为 x 2 - =0.
b2 a2
b 2 PF1F2
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
答案 2
3-1 设F1,F2是双曲线 by 22 - ac =1(a>0,b>0)的左,右焦点,P为双曲线上一点,若|PF1|=2|PF2|,则双曲
线的离心率e的取值范围是
.
答案 (1,3]
解析 ∵|PF1|=2|PF2|,∴P点在双曲线的右支上. 又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a, ∴|PF1|=4a,|PF2|=2a,
a2
例2 (2014天津,5,5分)已知双曲线 y 2 - x 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲
b2 5
线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为 ( )
A. y 2 - x 2 =1
20 20
B. y 2 -3 x 2 =1
5 25
C. 3 y 2 - 3 x =2 1
例1 已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF2|=2|PF2|,则cos∠F1PF2= ( )
A. 3
5
解析
B3. C4 .
4
5
∵a=b= ,∴c=2. |
PF1
|
|
PF2
|2
2,
| PF1 |2| PF2 |,
D2 .
2 由
得|PF |=4 ,|PF |=2 ,由余弦定理得cos∠F PF = 1
方法3 双曲线的几何性质
双曲线的几何性质包括:范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等.常考内容是离心率、渐 近线等问题,解决此类问题的关键在于构造含有a、b、c的等式或不等式. 求双曲线离心率或其范围的方法:
(1)求a,b,c的值,由e2= a 2 b 2 = b =2 1+ 直x 2 接求e.
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
100 100
D. 3 -y 2 =b 1
25 a
解析 由题意可知,双曲线的其中一条渐近线y= b x与直线y=2x+10平行,所以x 2 =2,且左焦点为(-
a
5
5,0),所以a2+b2=c2=25,解得a2=5,b2=20,故双曲线的方程为 y 2 - c 2 =1,故选A.
20 a2
答案 A
.
答案 9 解析 注意到两圆的圆心恰好是双曲线的两个焦点,设双曲线的左,右焦点分别为F1,F2,则(|PM|-| PN|)max=|PM|max-|PN|min=(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2+1=9.
方法2 双曲线的标准方程
求双曲线标准方程的基本步骤:
x 2
高考理数
§10.2 双曲线及其性质
知识清单
1.双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上: y 2 - y 2 =1(a>0,b>0);
b2 a2
焦点在y轴上: x 2 - =1(a>0,b>0).
b2
(2)统一方程:Ax2+By2=1(A·B<0).
c a
【知识拓展】
x 1
1.离心率e= 1ba2 =
2
2
|PF1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1||PF2|
12
=
3 4
x 2 .故选C.
答9 案 C
1-1 (2015陕西西安八校二联)已知点P是双曲线 y 2 - =1的右支上一动点,M,N分别是圆(x+5)2+
y2=4和(x-5)2+y2=1上的动点,则|PM|-|PN|的最大值为1 6
3.焦点△PF1F2,∠F1PF2=θ,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,
(1)△PF1F2的面积 s=i n cθ ·|yP|=b2· 1 cos θ
=b2·1 ta n
θ
2
.
|P F1 | sin β
(2)由 | P F =2 | =|F 1F2 | ,得| P F1=| | P,即F2e|= =| F 1.F 2 |
| F1F2 |
s i n α sin[ (α β)] sin β sin α
s i n ( α β ) | PF1 | | PF2 |
sin(α β ) 1 sin β sin α 4
突破方法
方法1 双曲线定义的应用
双曲线定义的应用主要有以下两个方面:一是利用定义求双曲线的标准方程;二是利用定义 与正弦、余弦定理,均值不等式相结合,解决焦点三角形,离心率等问题.高考中常以客观题形式 出现.
解析 直线l的方程为 y +a b =1,即bx+ay-ab=0.
b a2b2
由原点到直线l的距离d= =3 c,得4 3c4=16a2b2=16a2(c2-a2),即3c4-16c2a2+16a4=0,有3e4-16e2+
16=0,解之得e2=4或e2= x 2 . 4
3
a2
∵b>a>0,∴b2>a2|PF1|+|PF2|≥2c,∴6a≥2c,即 No ≤3.
Image
∵e>1,∴1<e≤3.故填(1,3].
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/10
最新中小学教学课件
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谢谢欣赏！
2019/7/10
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