生物统计学第四章 抽样分布

1 2
( X X )
1 2
12
n1

2 2
n2
小结：若两个总体是正态分布总体，
X 1 ~ 1， ），X 2 ~ 2， ） （ （
2 1 2 2
则
X 1 X 2 也服从正态分布:
N[ 1 2）( （ ,
12
n1

2 2
n2
)]
2、总体σi未知但相等时，样本平均数的和或
74 ˆ p 37.04 200
p(1 p) 0.352 0.348 0.4776或47.76%
现从这一总体抽样，以株为单位，用简
单随机抽样，调查200株棉株，获得74株受害， 则观察受害率为
74 ，试问获得这种 ˆ p 37.04 200
抽样平均数与总体真值的差数的概率为多少？
2 F 2 2
第四节
二项总体抽样
例如在棉田棉铃为害，根据总体内个体的某
种性状出现与否分为两组，受害株，未受害
株，赋第一组个体变量值x=1 ，第二组个体
变量取值x=0.
假定总体包括N株，受害株频率以p代表，则
总体内受害株理论次数为Np。
二项总体的平均数和方差计算
fx Np p
x
2
n
pq / n , x
pq / n
ˆ ˆ p (1 p ) 如果总体方差未知，则由 s n 来估计总体方差。
2 ˆ p
练习题
棉田盲蝽为害, 棉株分为受害株与未受害株。现
假定调查2000株作为一个总体，受害株为704株，这是
一个二项总体。计算出受害率 p=35.2% 或 0.352
μn / n 趋于服从参数为 的正态分布。即：
该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调
查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那 么频率就近似服从正态分布。
辛钦中心极限定理
设随机变量x1x2·· n 相互独立，服从同一分布 x ·
且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变 量 ，在n无限增大时，服从参数为a和
1）样本统计量的概率分布，是一种理论分布在重复
选取容量为n的样本时，由样本统计量（样本均值,
样本方差等）的所有可能取值形成的相对频数分 布 ； 2）样本统计量是样本的函数，依据不同的样本计算 出来的值是不同的，所以样本统计量是随机变量;
3）是进行统计推断的理论基础和依据.
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即 总 体 单 位 数 N=4。 4 个 个 体 分 别 为 x1=1， x2=2，x3=3，x4=4 。总体分布、总体的均值 、方差及分布如下
1 1,1 2,1 3,1 2 1,2 2,2 3,2 3 1,3 2,3 3,3 4 1,4 2,4 3,4
4
4,1
4,2
4,3
4,4
计算出各样本的均值，如下表。并给出样 本均值的抽样分布
16个样本的均值（ x
第一个 观察值
x
n
）
P(x )
第二个观察值 1 2 3 4
0. 3
1 2
3 4
1.0 1.5
2.0 2.5
1.5 2.0
2.5 3.0
2.0 2.5
3.0 3.5
2.5 3.0
3.5 4.0
0.2
0. 1 0 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 0 5 0 5 0 5 0 x
样本均值的抽样分 布
样本均值的分布与总体分布的比较

x 的分布形式与原有总体和样本容量n的大小
有关
总体分布
.3 .2 .1 0
2．总体标准差未知
σ未知，则用样本所得的标准差s代替
σ(或称估计σ)，则有
t
x

n
服从自由度为n-1的t 分布。
t
分布也是对称分布，只有自由度这一参数， 随自由度的增加而接近标准正态分布。
t分布的特征数：平均数μt =0
v 标准差 σ t v2

(v即df)
v>30 时接近标准正态分布。（随着v的增加， σt减少，趋近1）
总影响中所起的作用不很大，则这个变量
服从或近似服从正态分布。
二、 从两个正态总体中抽取样本
1、总体标准差已知，样本平均数的和与差的分 布
( X1 X 2 ) 1 2
(X X )
1 2
12
n1

2 2
n2
这是因为将
X1
X2
看成是独立的随机变量。
同理，
( X X ) 1 2
为 s 2 、s 2 的加权平均值 1 2
特别当n1=n2 =n 时，
2 2 (n1 1)s12 (n2 1)s2 s12 s2 (n1 1) (n2 1) 2
第三节
样本方差的分布
一、卡平方分布 从方差为σ2 的正态总体中，随机抽取含量 为n的样本，得样本的s2. 抽取多个样本，则得 到一系列的s2. s2是带有单位的。 标准化s2 , 得到一个随机变量χ2
2
dfs2

2

(n 1) s 2

2
Χ2 的概率密度函数：
其中，k是常数。
f ( 2 ) 分布在第一象限。分布的概率密度
曲线随自由度而变化。随着 df 增加， 近
似于正态分布。
三、两个样本方差比的分布——F分布
2 （ 从平均数和方差分别为 1， 12）和 2， 2） 的两 （
2
N f (x )2 N N Np(1 p) p(1 p) pq N
若从二项总体抽样，样本容量为n，n1表示样
本中具某种性状（如受害株）的个体数;
样本平均数:
(x ) ( n ) x
i 1
n
n
2
X ˆ (或 p x ） n
x p ,
率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立
随机变量之和具有近似于正态的分布 。常见中心 极限定理的表现形式有以下几种。
棣莫佛－拉普拉斯定理 参数为n, p的二项分布以np为均值、
np(1-p)为方差的正态分布为极限。
设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在
每次试验中发生的概率为p，则当n无限大时，频率
差的分布
服从t分布
t n1 n2 2
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
2 (n1 1) s12 (n2 1) s 2 1 1 ( ) (n1 1) (n2 1) n1 n2

自由度为df1+df2=n1+n2-2 其中
2 (n1 1)s12 (n2 1)s2 (n1 1) (n2 1)
生物统计学
第四章 抽样分布
第一节 抽样分布概述
三种不同性质的分布
1、总体分布：总体频率或概率分布；已知或未知 2、样本分布：一个样本中各观察值的形成的相 对频数（频率）分布，也称经验分布；当样本容 量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布。
3、抽样分布
抽样分布：从已知的总体中，独立随机地
抽取含量为n的样本，研究所得样本及其统计 量的概率分布。
1.总体标准差已知
从平均数为μ、标准差为σ的正态总体中，随机、
独立抽取含量为n的样本，有
样本平均数服从正态分布，即：
n 称为“平均数的标准误差”，又称标准误
（standard error of mean）。 注意与“标准差”（standard deviation）区别开来。

当总体服从正态分布N (μ, 2 n)时，样本均值的

总体分布
N
x
i 1
N
i
N
i
2.5
2
.3 .2

2
(x )
i 1
.1 0
1 2 3 4
N
1.25
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条 件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为
所有可能的n = 2 的样本（共16个） 第一个 观察值 1 2 3
第二个观察值
的正态分布即n→∞时，
将该定理应用到抽样调查：如果抽样总
体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体 服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，
只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数
学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
李亚普洛夫中心极限定理
如果一个变量是由大量相互独立的随 机因素影响所造成的，而每一个别因素在
抽样分布仍然是服从正态分布的，其样本均值的 数学期望仍为 μ ，方差为 2 n ，即样本均值的 方差比原总体的方差要小，而且样本容量n越大， 方差越小。
2 =1.25
= 2.5
X
总体分布
将随机变量
x
标准化：
u
x

n
其中，U～N(0,1)，即：U服从于μ=0，σ=1 的正态分布（标准正态分布）。
查t分布表，有两尾表和单侧分位数表等。
上述结论是对正态总体而言的，不过实际 上，即使对于非正态总体而言，随着样本容量 的增加(事实上，只要样本足够大,通常要求样 本容量不小于45），即使是从非正态分布的总 体中抽样，样本均值的抽样分布与从正态分布
总体中抽样所得到的结果也近似相同。
中心极限定理（central limit theorem）是概
.3 .2 .1 0 P(x)
抽样分布
1
2
3
4
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
= 2.5
σ2 =1.25