专题三《不等关系、一元二次不等式》综合检测

《一元二次函数、方程和不等式》综合测试卷一、单选题1．（2020·安徽蚌埠·高三其他（文））设集合{2,2,4,6}A =-，{}2120B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．(2,2)-B ．{2,0,2}-C ．{2,4}D ．{2,2}-2．（2020·全国高一课时练习）若12,x x 是一元二次方程22630x x -+=的两个根，则12x x -的值为（ ）A ．3B C ．3D 3．（2020·陕西西安·高三二模（理））已知a ，b 为非零实数，且0a b <<，则下列命题成立的是（ ） A ．22a b < B ．2211ab a b <C ．22a b ab <D ．b a a b<4．（2020·全国高一课时练习）已知52x ，则()24524x x f x x -+=-有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值15．（2019·宁波市第四中学高二期中）已知a R ∈，则“0a >”是“12a a+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2020·全国高一课时练习）若方程()2250x m x m ++++=只有正根，则m 的取值范围是（ ） A ．4m ≤-或4m ≥ B ．54m -<≤- C ．54m -≤≤-D ．52m -<<-7．（2020·荆州市北门中学高一期末）若110a b<<，则下列不等式：①a b ab +<；②||||a b >；③a b <；④2b aa b+>中，正确的不等式是（ ） A ．①④B ．②③C ．①②D ．③④8．（2020·浙江高一课时练习）“关于x 的不等式2x 2ax a 0-+>的解集为R”的一个必要不充分条件是 ( ) A ．0a 1<<B ．10a 3<<C ．0a 1≤≤D ． a 0<或1a 3>9．（2020·全国高一课时练习）将一根铁丝切割成三段，做一个面积为22m ，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是( ) A ．6.5mB ．6.8mC ．7mD ．7.2m10．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2二、多选题11．（2020·南京市秦淮中学高二期末）已知命题1:11p x >-，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．12x <<B ．12x -<<C ．21x -<<D ．22x -<<12．（2019·山东莒县·高二期中）已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（ ）. A ．6B ．7C ．8D ．913．（2020·湖南高新技术产业园区·衡阳市一中高二期末）（多选）若0a b >>，则下列不等式中一定不成立的是（ ） A ．11b b a a +>+ B ．11a b a b+>+ C ．11a b b a+>+ D ．22a b aa b b+>+14．（2020·浙江高一单元测试）已知,a b R +∈且1a b +=，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）．A ．14abB ．1174ab ab +C 2bD ．11222a b+ 三、填空题15．（2020·荆州市北门中学高一期末）不等式221x x -≥-的解集是________. 16．（2020·全国高一课时练习）设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ，那么23βα-的取值范围是________． 17．（2020·全国高一课时练习）设a >0，b >0，给出下列不等式： ①a 2＋1>a ；②114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；③(a ＋b )11a b ⎛⎫+⎪⎝⎭≥4；④a 2＋9>6a . 其中恒成立的是________.(填序号) 四、双空题18．（2020·浙江瓯海·温州中学高三一模）《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少．问人数、猪价各多少？”.设,x y 分别为人数、猪价，则x =___，y =___. 19．（2020·山东高三其他）已知正实数,a b 满足10ab b -+=，则14b a+的最小值是__________，此时b =_________.20．（2020·曲靖市第二中学（文））已知x >0，y >0，且x +2y =xy ，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则xy 的最小值为_____，实数m 的取值范围为_____.21．（2020·山东威海·高三一模）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为22400m 的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为228m ，月租费为x 万元；每间肉食水产店面的建造面积为220m ，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则x 的最大值为_________万元． 五、解答题22．（2020·全国高一课时练习）（1）已知0x >，求4y x x=+的最小值．并求此时x 的值； （2）设302x <<，求函数4(32)y x x =-的最大值； （3）已知2x >，求42x x +-的最小值；（4）已知0x >，0y >，且191x y+=，求x y +的最小值； 23．（2020·全国高一课时练习）已知x ，y 都是正数.求证：()12y xx y+≥； ()2()()()2233338.x y x y x y x y +++≥24．（2020·全国高一课时练习）日常生活中，在一杯含有a 克糖的b 克糖水中，再加入m 克糖，则这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明.25．（2020·全国高一课时练习）如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）．26．（2020·浙江高一课时练习）已知关于x 的不等式2260(0)kx x k k -+<≠．（1）若不等式的解集是{|3x x <-或2}x >-，求k 的值．（2）若不等式的解集是1xx k ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣，求k 的值． （3）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围． （4）若不等式的解集是∅，求k 的取值范围．27．（2020·宁夏兴庆·银川一中高一期末）解关于x 的不等式()222ax x ax a R -≥-∈.《一元二次函数、方程和不等式》综合测试卷一、单选题1．（2020·安徽蚌埠·高三其他（文））设集合{2,2,4,6}A =-，{}2120B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．(2,2)-B ．{2,0,2}-C ．{2,4}D ．{2,2}-【答案】D 【解析】{}2120{|43}B x x x x x =+-<=-<<，∴{2,2}A B =-．故选：D ．2．（2020·全国高一课时练习）若12,x x 是一元二次方程22630x x -+=的两个根，则12x x -的值为（ ）A B C ．3D 【答案】B 【解析】3624120∆=-=>，故方程必有两根，又根据二次方程根与系数的关系，可得1212332x x x x +==，，所以12x x -=== 故选：B .3．（2020·陕西西安·高三二模（理））已知a ，b 为非零实数，且0a b <<，则下列命题成立的是（ ） A ．22a b < B ．2211ab a b <C ．22a b ab <D ．b a a b<【答案】B 【解析】对于选项A,令1a =-,1b =时,221a b ==,故A 不正确； 对于选项C,220a b ab >>,故C 不正确；对于选项D,令1a =-,1b =时,1b aa b =-=,故D 不正确； 对于选项B,220a b ab >>,则22110ab a b<<故选：B4．（2020·全国高一课时练习）已知52x ，则()24524x x f x x -+=-有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1【答案】D 【解析】2245(2)1111()(2)2(1242(2)222x x x f x x x x x x -+-+⎡⎤===-+⨯=⎢⎥---⎣⎦当且仅当122x x -=-即3x =时取等号，故选：D ．5．（2019·宁波市第四中学高二期中）已知a R ∈，则“0a >”是“12a a+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当0a >时，112a a a a +=+≥=，当且仅当1a a =，即1a =时取等号，当12a a +≥时，可得12a a +≥或12a a+≤-，得0a >或0a <，所以“0a >”是“12a a+≥”的充分不必要条件， 故选：A6．（2020·全国高一课时练习）若方程()2250x m x m ++++=只有正根，则m 的取值范围是（ ）A ．4m ≤-或4m ≥B ．54m -<≤-C ．54m -≤≤-D ．52m -<<-【答案】B 【解析】方程()2250x m x m ++++=只有正根，则1（）当()()22450m m ∆=+-+=，即4m =±时，当4m =-时，方程为()210x -=时，1x =，符合题意； 当4m =时，方程为()230x +=时，3x =-不符合题意. 故4m =-成立；2（）当()()22450m m ∆=+-+>，解得4m <-或4m >，则()()()224502050m m m m ⎧∆=+-+>⎪-+>⎨⎪+>⎩，解得54m -<<-. 综上得54m -<≤-. 故选B.7．（2020·荆州市北门中学高一期末）若110a b<<，则下列不等式：①a b ab +<；②||||a b >；③a b <；④2b aa b+>中，正确的不等式是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①②D ．③④【答案】A 【解析】 由于110a b<<，所以0b a <<，由此可知： ①0a b ab +<<，所以①正确. ②b a >，所以②错误. ③错误.④由于0b a <<，所以1b a >，有基本不等式得2b a a b +>=，所以④正确. 综上所述，正确不等式的序号是①④. 故选：A8．（2020·浙江高一课时练习）“关于x 的不等式2x 2ax a 0-+>的解集为R”的一个必要不充分条件是 ( ) A ．0a 1<< B ．10a 3<<C ．0a 1≤≤D ． a 0<或1a 3>【答案】C 【解析】因为关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ， 所以函数2()2f x x ax a =-+的图象始终落在x 轴的上方，即2440a a ∆=-<，解得01a <<，因为要找其必要不充分条件，从而得到(0,1)是对应集合的真子集， 对比可得C 选项满足条件， 故选C.9．（2020·全国高一课时练习）将一根铁丝切割成三段，做一个面积为22m ，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是( ) A ．6.5m B ．6.8mC ．7mD ．7.2m【答案】C 【解析】设直角三角形的框架的两条直角边为x ，y （x ＞0，y ＞0） 则xy ＝4，此时三角形框架的周长C 为：x +y x +y∵x +y ≥24∴C ＝x +y ≈6.83 故用7米的铁丝最合适． 故选C ．10．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】C 【解析】()11a ax yx y a x y y x⎛⎫++=+++⎪⎝⎭. 若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立；③当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立.所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C. 二、多选题11．（2020·南京市秦淮中学高二期末）已知命题1:11p x >-，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．12x << B ．12x -<<C ．21x -<<D ．22x -<<【答案】BD 【解析】 由1210(1)(2)01211x x x x x x ->⇔<⇔--<⇔<<--， 选项A 为命题12x <<的充要条件， 选项B 为12x <<的必要不充分条件， 选项C 为12x <<的既不充分也不必要条件， 选项D 为12x <<的必要不充分条件， 故选：BD.12．（2019·山东莒县·高二期中）已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（ ）. A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】ABC 【解析】设26y x x a =-+，其图像为开口向上，对称轴是3x =的抛物线，如图所示.若关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x =,则2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩ 解得58a <≤，.又a ∈Z ，故a 可以为6，7，8. 故选:ABC13．（2020·湖南高新技术产业园区·衡阳市一中高二期末）（多选）若0a b >>，则下列不等式中一定不成立的是（ ） A ．11b b a a +>+ B ．11a b a b+>+ C ．11a b b a+>+ D ．22a b aa b b+>+【答案】AD 【解析】 0a b >>，则()()()()1110111b a a b b b b a a a a a a a +-++--==<+++，11b b a a +∴>+一定不成立；()1111a b a b a b ab ⎛⎫+--=-- ⎪⎝⎭，当1ab >时，110a b a b +-->，故11a b a b +>+可能成立；()11110a b a b b a ab ⎛⎫+--=-+> ⎪⎝⎭，故11a b b a +>+恒成立；()222022a b a b a a b b b a b +--=<++，故22a b a a b b +>+一定不成立. 故选AD.14．（2020·浙江高一单元测试）已知,a b R +∈且1a b +=，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）．A ．14abB ．1174ab ab +C 2bD ．11222a b+ 【答案】ABC【解析】,,1a b R a b +∈+=，2124a b ab +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭(当且仅当12a b ==时取得等号)．所以选项A 正确 由选项A 有14ab ≤，设1y x x =+，则1y x x =+在104⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减. 所以1117444ab ab +≥+=，所以选项B 正确 2(2a b a b ab a b a b +=+++++=(当且仅当12a b ==时取得等号)，2b ．所以选项C 正确. 113332222222a b a b b a b a b a b a ba +++=+=+++=+222ab =时等号成立），所以选项D 不正确．故A ，B ，C 正确故选：ABC三、填空题 15．（2020·荆州市北门中学高一期末）不等式221x x -≥-的解集是________. 【答案】[0,1)【解析】原不等式可化为2201x x --≥-即01x x ≤-，所以()1010x x x ⎧-≤⎨-≠⎩， 故01x ≤<，所以原不等式的解集为[0,1).故答案为：[0,1). 16．（2020·全国高一课时练习）设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ，那么23βα-的取值范围是________． 【答案】,6ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ，所以()20,απ∈，,036βπ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴2,36βπαπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭. 故答案为：,6ππ⎛⎫-⎪⎝⎭. 17．（2020·全国高一课时练习）设a >0，b >0，给出下列不等式：①a 2＋1>a ；②114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ③(a ＋b )11a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥4；④a 2＋9>6a . 其中恒成立的是________.(填序号)【答案】①②③【解析】解析由于a 2＋1－a ＝213024a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，故①恒成立； 由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2， ∴114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故②恒成立；由于a ＋b 11a b +≥ 故(a ＋b )11a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故③恒成立； 当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立.综上，恒成立的是①②③.故答案为：①②③四、双空题18．（2020·浙江瓯海·温州中学高三一模）《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少．问人数、猪价各多少？”.设,x y 分别为人数、猪价，则x =___，y =___.【答案】10 900【解析】由题意可得100100900x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得10y 900x ==，.故答案为10 90019．（2020·山东高三其他）已知正实数,a b 满足10ab b -+=，则14b a +的最小值是__________，此时b =_________.【答案】932 【解析】由10ab b -+=可得1b a b -=， 由10b a b-=>，得1b >， 所以11444(1)511b b b b a b b +=+=+-+--， 因为14(1)41b b +--，所以149b a +，当且仅当13,32a b ==时等号成立. 故答案为：9；32. 20．（2020·曲靖市第二中学（文））已知x >0，y >0，且x +2y =xy ，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则xy 的最小值为_____，实数m 的取值范围为_____.【答案】8 (4,2)-【解析】∵x >0，y >0，x +2y =xy ， ∴21x y+=1，∴121x y =+≥ ∴xy ≥8，当且仅当x =4，y =2时取等号，∴x +2y =xy ≥8(当x =2y 时，等号成立)，∴m 2+2m <8，解得﹣4<m <2.故答案为：8；(﹣4，2)21．（2020·山东威海·高三一模）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为22400m 的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为228m ，月租费为x 万元；每间肉食水产店面的建造面积为220m ，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则x 的最大值为_________万元．【答案】16 1【解析】设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为,a b ,（1）由题意知，0.852********.82400a b ⨯≥+≥⨯，化简得：48075510a b ≤+≤，又+80a b =，所以48075(80)510a a ≤+-≤，解得：4055a ≤≤，40,41,,55a ∴=共16种； （2）由题意知0.80.980b ax x +≥， 0.8(80)72b b x x ∴+-≥，0.880.8[1]88b x b b ∴≤=+--， max 804040b =-=，850.8(1)0.81324x ∴≤+=⨯=， 即x 的最大值为1万元，故答案为：16；1五、解答题22．（2020·全国高一课时练习）（1）已知0x >，求4y x x =+的最小值．并求此时x 的值； （2）设302x <<，求函数4(32)y x x =-的最大值；（3）已知2x >，求42x x +-的最小值； （4）已知0x >，0y >，且191x y+=，求x y +的最小值； 【答案】（1）当2x =时，4y x x =+取得最小值4；（2）92；（3）6；（4）16 【解析】（1）因为0x >，所以44y x x =+≥=，当且仅当4x x =，即2x =时取等号；故当2x =时，4y x x=+取得最小值4； （2）302x <<，320x ∴->． []22(32)94(32)22(32)222x x y x x x x +-⎡⎤∴=-=-=⎢⎥⎣⎦． 当且仅当232x x =-，即34x =时，等号成立． 33(0,)42∈， ∴函数34(32)(0)2y x x x =-<<的最大值为92． （3）2x >，20x ∴-> ()(4422222622x x x x x ∴+=-++-=--，当且仅当422x x -=-时取等号，即4x =时，42x x +-的最小值为6， （4）0x ，0y >，191x y +=，1999()1021016y x y x x y x y x y x yx y ⎛⎫∴+=++=++⋅= ⎪⎝⎭． 当且仅当9y x x y =时，上式等号成立，又191x y +=，4x ∴=，12y =时，()16min x y +=． 点睛：利用基本不等式求函数最值是高考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等．同时注意灵活运用“1”的代换．23．（2020·全国高一课时练习）已知x ，y 都是正数.求证：()12y x x y+≥； ()2()()()2233338.x y x y x y x y +++≥【答案】()1证明见解析；()2证明见解析.【解析】()1证明：由x ，y 都是正实数，可得2y x x y +≥=（当且仅当x y =时取得等号）；()2证明：由基本不等式可知()()()(()(22332x y x y x y xy +++≥⋅⋅ ()23388xy xy x y =⋅=，（当且仅当x y =时取得等号）. 24．（2020·全国高一课时练习）日常生活中，在一杯含有a 克糖的b 克糖水中，再加入m 克糖，则这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明. 【答案】a a mb b m+<+，0a b <<，0m >，证明见解析 【解析】 由题知：原来糖水的浓度为100%a b⨯， 加入m 克糖后的浓度为100%+⨯+a m b m，0a b <<，0m >. 因为这杯糖水变甜了，所以100%100%+⨯<⨯+a a m b b m， 整理得：a a m b b m +<+，0a b <<，0m >. 因为()()-++-=-=+++a b m a a m a a m b b m b b m b b m ， 又因为0a b <<，0m >，所以0a b -<，()0-<m a b ，()0+>b b m ，所以()()0-<+a b m b b m ，即证a a m b b m+<+. 25．（2020·全国高一课时练习）如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）．【答案】a 2＋b 2≥2ab.【解析】如图，设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为,a b ，则大正方形的面积为2()a b +，四个矩形的面积和为4ab ，显然，大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和，所以2()4,a b ab +≥所以a 2＋b 2≥2ab.26．（2020·浙江高一课时练习）已知关于x 的不等式2260(0)kx x k k -+<≠．（1）若不等式的解集是{|3x x <-或2}x >-，求k 的值．（2）若不等式的解集是1xx k ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣，求k 的值． （3）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．（4）若不等式的解集是∅，求k 的取值范围．【答案】（1）25k =-；（2）6k =-；（3）6k <-；（4）6k ≥． 【解析】 （1）由不等式的解集为{3xx <-∣或2}x >-可知k 0<，且3x =-与2x =-是方程2260kx x k -+=的两根，2(3)(2)k∴-+-=，解得25k =-．（2）由不等式的解集为1x x k ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣可知204240k k <⎧⎨∆=-=⎩，解得k =（3）依题意知20,4240,k k <⎧⎨∆=-<⎩解得6k <-．（4）依题意知20,4240,k k >⎧⎨∆=-≤⎩解得k ≥． 27．（2020·宁夏兴庆·银川一中高一期末）解关于x 的不等式()222ax x ax a R -≥-∈.【答案】当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；当0a >时，不等式的解集为2{|x x a≥或1}x ≤-； 当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a ≤≤-； 当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a-≤≤.【解析】原不等式可化为()2220ax a x +--≥，即()()210ax x -+≥， ①当0a =时，原不等式化为10x +≤，解得1x ≤-，②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 解得2x a≥或1x ≤-， ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭. 当21a >-，即2a <-时，解得21x a-≤≤； 当21a=-，即2a =-时，解得1x =-满足题意； 当21a<-，即20a -<<时，解得21x a ≤≤-. 综上所述，当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；当0a >时，不等式的解集为2{|x x a≥或1}x ≤-； 当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a ≤≤-； 当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a-≤≤.。

一元二次函数、方程和不等式单元检测试卷一、单选题1.若0a <b <，则下列不等式中成立的是（ ）A.|a|>b -B.1ab< < D.11a b< 2.关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =（ ） A.52B.72C.154D.1523.若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是（ ）A.若22ac bc >，则a b >B.若0a b <<，则22a b <C.若0a b >>，则11a b< D.若0a b <<,0c d >>，则ac bd < 4．在R 上定义运算:a b ad bc c d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，若不等式1211x a a x --⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．12-B ．32-C ．12D ．325．已知2t a b =+，21s a b =++，则t 和s 的大小关系为（ ） A ．t s > B ．t s ≥ C ．t s < D ．t s ≤6．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（ ） A ．2030x ≤≤B ．2045x ≤≤C ．1530x ≤≤D ．1545x ≤≤7．函数2228(0)y x ax a a =-->，记0y ≤的解集为A ，若()1,1A -⊆，则a 的取值范围（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.关于x 的不等式()()()110x b a x b ⎡⎤+-+->⎣⎦的解集为{1x x <-或}3x >，则关于x 的不等式220x bx a +-<的解集为（ ）A.{}25x x -<<B.1125x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C.{}21x x -<<D.112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭9.已知命题:p x R ∀∈，20x x a -+>，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B.10,4⎛⎤⎥⎝⎦ C.11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10.若不等式()22123013aax a x -+>+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.{}09a a < B.{}9a a C.19a a⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D.109a a⎧⎫<⎨⎬⎩⎭11.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=（ ）A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<12.已知函数f （x )=x 2+（4-k )x ，若f （x )<k -2对x ∈[1，2]恒成立，则k 的取值范围为（ ）A.（-∞，72) B.（72，+∞) C.（-∞，143)D.（143，+∞)二、填空题13.已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_______. 14.武广铁路上，高速列车跑出了350km/h 的高速度，但这个速度的2倍再加上100 km/h ，还不超过波音飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，设高速列车速度为v 1，波音飞机速度为v 2，普通客车速度为v 3.则三种交通工具速度的不等关系分别为______. 15.已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1113a b +++的最小值为________. 三、解答题16.设函数()21f x mx mx =--（1）若对一切实数x ，()0f x <恒成立，求m 的取值范围； （2）若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求m 的取值范围：17．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油22360x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.18．()1若0x >，求函数4y x x=+的最小值，并求此时x 的值； ()2设302x <<，求函数()432y x x =-的最大值；()3已知2x >，求42x x +-的最小值； ()4已知0x >，0y >，且191x y+=，求x y +的最小值.19．如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由。

高中数学一元二次不等式及其解法检测题（附答案）1．下列不等式的解集是的为()A．x2＋2x＋10 B.x20C．(12)x－1＜0 D.1x－3＞1x答案：D2．若x2－2ax＋20在R上恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－2，2] B．(－2，2)C．[－2，2) D．[－2，2]解析：选D.＝(－2a)2－410，－22.3．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个实根，则实数m的取值范围是________．解析：由＝(m－3)2－4m0可得．答案：m1或m94．若函数y＝kx2－6kx＋k＋8的定义域是R，求实数k的取值范围．解：①当k＝0时，kx2－6kx＋k＋8＝8满足条件；②当k＞0时，必有＝(－6k)2－4k(k＋8)0，解得0＜k1.综上，01.一、选择题1．已知不等式ax2＋bx＋c＜0(a0)的解集是R，则()A．a＜0，＞0 B．a＜0，＜0C．a＞0，＜0 D．a＞0，＞0答案：B2．不等式x2x＋1＜0的解集为()A．(－1,0)(0，＋) B．(－，－1)(0,1)C．(－1,0) D．(－，－1)答案：D3．不等式2x2＋mx＋n0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是()A．y＝2x2＋2x＋12 B．y＝2x2－2x＋12C．y＝2x2＋2x－12 D．y＝2x2－2x－12解析：选D.由题意知－2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，得－2＋3＝－m2，－23＝n2.m＝－2，n＝－12.因此二次函数的表达式是y＝2x2－2x－12，故选D.4．已知集合P＝{0，m}，Q＝{x|2x2－5x＜0，xZ}，若P，则m等于()A．1 B．2C．1或25 D．1或2X k b 1 . c o m解析：选D.∵Q＝{x|0＜x＜52，xZ}＝{1,2}，m＝1或2. 5．如果A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝，则实数a的集合为() A．{a|0＜a＜4} B．{a|0a＜4}C．{a|0＜a D．{a|04}解析：选D.当a＝0时，有1＜0，故A＝.当a0时，若A＝，则有a＞0＝a2－4a0＜a综上，a{a|04}．6．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，xN)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台 B．120台C．150台 D．180台解析：选C.3000＋20x－0.1x225xx2＋50x－300000，解得x －200(舍去)或x150.二、填空题7．不等式x2＋mx＋m2＞0恒成立的条件是________．解析：x2＋mx＋m2＞0恒成立，等价于＜0，即m2－4m2＜00＜m＜2.答案：0＜m＜28．(2019年高考上海卷)不等式2－xx＋4＞0的解集是________．解析：不等式2－xx＋4＞0等价于(x－2)(x＋4)＜0，－4＜x＜2.答案：(－4,2)9．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和与t之间的关系)式为s＝12t2－2t，若累积利润s超过30万元，则销售时间t(月)的取值范围为__________．解析：依题意有12t2－2t＞30，解得t＞10或t＜－6(舍去)．答案：t＞10三、解答题10．解关于x的不等式(lgx)2－lgx－2＞0.解：y＝lgx的定义域为{x|x＞0}．又∵(lgx)2－lgx－2＞0可化为(lgx＋1)(lgx－2)＞0，lgx＞2或lgx＜－1，解得x＜110或x＞100.原不等式的解集为{x|0＜x＜110或x＞100}．11．已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x 都成立，求a的取值范围．解：当a＝0时，不等式为－x－1＜0x＞－1不恒成立．当a0时，不等式恒成立，则有a＜0，＜0，即a＜0a－12－4aa－1＜0a＜03a＋1a－1＞0a＜0a＜－13或a＞1a＜－13.即a的取值范围是(－，－13)．12．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，政府决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t万亩，为了既可减少耕地的损失又可保证此项税收一年不少于9000万元，则t应在什么范围内？解：由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为(20－52t)万亩．则税收收入为(20－52t)24000t%.由题意(20－52t)24000t%9000，整理得t2－8t＋150，解得35.当耕地占用税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元．。

不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法 教案1. 若11<β<α<-，则下面各式中恒成立的是（ ）．（A ）02<β-α<- （B ）12-<β-α<-（C ）01<β-α<- （D ）11<β-α<-【解析】本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即11<α<-，11<β<-和β<α，根据不等式的性质，可得11<β-<-，0<β-α，得到22<β-α<-且0<β-α，故02<β-α<-，因此选A ．【答案】C3.不等式组⎩⎨⎧x 2－1＜0x 2－3x ＜0的解集为( ) A ．{x |－1＜x ＜1}B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |－1＜x ＜3} 【解析】⎩⎨⎧ x 2－1＜0x 2－3x ＜0⇒⎩⎨⎧－1＜x ＜10＜x ＜3⇒0＜x ＜1. 【答案】C4.已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(,1)(0,)-∞-+∞B ．(,0)(1,)-∞+∞C ．(－1,0)D ．(0,1)【解析】∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点，因此f (－2)f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，∴－32<a <－56，又a ∈Z ，∴a ＝－1，不等式f (x )>1即为－x 2－x >0，解得－1<x <0. 【答案】C5. 不等式2()0f x ax x c =-->的解集为{|21}x x -<<,则函数()y f x =-的图象为（ ）【解析】不等式2()0f x ax x c =-->的解集为{|21x x -<<，所以(2)42(1)10f a c f a c -=-+=⎧⎨=--=⎩ 解得12a c =-⎧⎨=-⎩，所以函数为2()2f x x x =--+，2()2f x x x -=-++图象为C 。

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【考点18】不等关系与一元二次不等式2009年考题1.（2009天津高考）a b +<<10,若关于x 的不等式2()x b -＞2()ax 的解集中的整数恰有3个，则（ ）（A ）01<<-a （B ）10<<a （C ）31<<a （D ）63<<a【解析】选C 。

由题得不等式2()x b -＞2()ax 即02)1(222<-+-b bx x a ，它的解应在两根之间，故有04)1(4422222>=-+=∆b a a b b 且21a >，不等式的解集为11+<<--a bx a b 又由a b +<<10得110<+<a b ，故213-<--<-a b ，即223323,,110a b a b a a -<<-⎧<<∴⎨-->⎩由122b a b a <+⎧⎨>-⎩得3a <，13a ∴<<。

2.（2009安徽高考）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）（A ）p:a c +＞b+d , q:a ＞b 且c ＞d （B ）p:a ＞1,b>1 q:()(01)x f x a b a a =->≠，且的图像不过第二象限（C ）p: x=1, q:2x x =（D ）p:a ＞1, q: ()log (01)a f x x a a =>≠，且在(0,)+∞上为增函数【解析】选A.由a ＞b 且c ＞d ⇒a c +＞b+d ，而由a c +＞b+d a ＞b 且c ＞d ，可举反例。

3.（2009安徽高考）“”是“且”的 （ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】选A.易得a b c d >>且时必有a c b d +>+.若a c b d +>+，则可能有a d c b >>且.4.（2009四川高考）已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【解析】选B. 显然，充分性不成立.又若a －c ＞b －d 和c ＞d 都成立，则同向不等式相加得a ＞b ，即由“a －c ＞b －d ”⇒“a ＞b ”.5.（2009上海高考）当时10≤≤x ，不等式kx x≥2sin π成立，则实数k 的取值范围是_______________.【解析】作出2sin 1xy π=与kx y =2的图象，要使不等式kx x≥2sinπ成立，由图可知须k≤1。

不等关系与一元二次不等式作业及答案一、选择题：1.如果a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系为 ( )A ．a 2＞a ＞－a 2＞－aB ．－a ＞a 2＞－a 2＞aC ．－a ＞a 2＞a ＞－a 2D ．a 2＞－a ＞a ＞－a 2解析：因为a 2＋a ＜0，即a (a ＋1)＜0，所以－1＜a ＜0，因此－a ＞a 2＞0，则0＞－a 2＞a ，有－a ＞a 2＞－a 2＞a . 答案：B2.设[x ]表示不超过x 的最大整数，又设x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x ]＋13y ＝4[x －3]＋5，如果x 不是整数，那么x ＋y 的取值范围是 ( )A ．(35,39)B ．(49,51)C ．(71,75)D ．(93,94)解析：∵[x －3]＝[x ]－3，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x ]＋13y ＝4[x －3]＋5，得[x ]＝20，y ＝73，∵x 不是整数，∴20<x <21，∴93<x ＋y <94. 答案：D3.已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是 ( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y | 解析：由已知3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0， ∴x >0，z <0.由⎩⎨⎧x >0y >z 得：xy >xz . 答案：C 4．已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，c a －d b ＞0(其中a 、b 、c 、d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由ab ＞0，bc －ad ＞0. 两端同除以ab ，得c a －d b ＞0.同样由c a －d b ＞0，ab ＞0可得bc －ad ＞0.⎩⎪⎨⎪⎧ bc －ad ＞0c a －d b ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧bc －ad ＞0bc －ad ab＞0⇒ab ＞0. 答案：D 5.不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是 ( ) A ．[－3，12] B ．[－12，3] C ．[12，1)∪(1,3] D ．[－12，1)∪(1,3] 解析：法一：首先x ≠1，在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为x ＋5≥2(x－1)2，即2x 2－5x －3≤0，即(2x ＋1)(x －3)≤0，解得－12≤x ≤3，故原不等式的解集是[－12，1)∪(1,3]． 法二：特殊值检验法．首先x ≠1，排除B ，显然x ＝0，x ＝2是不等式的解，排除A 、C. 答案：D6.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析：依题意得25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，整理得x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200，因为0＜x ＜240，所以150≤x ＜240，即最低产量是150台． 答案：C7.若不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2或a ≤－3B ．a ＞2或a ≤－3C ．a ＞2D ．－2＜a ＜2解析：原不等式可化为(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0，显然a ＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x 均成立，必须有a ＋2＞0，且Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，16－4(a ＋2)(a －1)＜0， 解得a ＞2. 答案：C 8.不等式x 2－|x |－2<0的解集是 ( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x <－2或x >2}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <－1或x >1} 解析：原不等式⇔|x |2－|x |－2<0⇔(|x |－2)(|x |＋1)<0⇔|x |－2<0⇔－2<x <2. 答案：A二、填空题：9.用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k (k ∈N *)．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这件实事中提炼出一个不等式组是________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧ 47＋47k <147＋47k ＋47k 2≥1k ∈N *10．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则b a －c 与a b －d的大小关系为________．解析：b a －c －a b －d ＝b 2－bd －a 2＋ac (a －c )(b －d )＝(b ＋a )(b －a )－(bd －ac )(a －c )(b －d ). 因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0， 所以a －c ＞0，b －d ＞0，b －a ＜0，又－c ＞－d ＞0，则有－ac ＞－bd ， 即ac ＜bd ，则bd －ac ＞0，所以(b ＋a )(b －a )－(bd －ac )＜0， 所以b a －c －a b －d ＝(b ＋a )(b －a )－(bd －ac )(a －c )(b －d )＜0， 即b a －c ＜a b －d . 答案：b a －c ＜a b －d11．给出下列命题：①若a ＞b ，则1a ＜1b ； ②若a ＞b ，且k ∈N *，则a k ＞b k ；③若ac 2＞bc 2，则a ＞b ； ④若c ＞a ＞b ＞0，则a c －a ＞b c －a. 其中假命题是________(只需填序号)．解析：当a ＞0＞b 时，1a ＞1b，故命题①错误； 当a ，b 不都是正数时，命题②是不正确的；当ac 2＞bc 2时，可知c 2＞0，∴a ＞b ，即命题③正确；对于命题④，∵c ＞a ，∴c －a ＞0，从而1c －a ＞0，又a ＞b ＞0， ∴a c －a ＞b c －a，故命题④也是正确的． 答案：①② 12．(2010·宁波模拟)设奇函数f (x )在[－1,1]上是单调函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，则t 的取值范围是________． 解析：∵f (x )为奇函数，f (－1)＝－1， ∴f (1)＝－f (－1)＝1.又∵f (x )在[－1,1]上是单调函数， ∴－1≤f (x )≤1，∴当a ∈[－1,1]时，t 2－2at ＋1≥1恒成立， 即t 2－2at ≥0恒成立，令g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ≥2或t ≤0，t ≤－2或t ≥0， ∴t ≥2或t ＝0或t ≤－2. 答案：(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)13．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0的解集是不等式2x 2－9x ＋a ＜0的解集的子集，则实数a 的取值范围是________．解析：因为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0的解集是{x |2＜x ＜3}，设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (3)≤0，解得a ≤9. 答案：a ≤9三、解答题：14．某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车．根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧ 40x ＋90y ≤1 000x ≥5y ≥6x ，y ∈N *，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋9y ≤100x ≥5y ≥6x ，y ∈N *15．已知0＜α－β＜π2，π2＜α＋2β＜3π2，求α＋β的取值范围． 解：设α＋β＝A (α－β)＋B (α＋2β)＝(A ＋B )α＋(2B －A )β.∴⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋B ＝1，2B －A ＝1. ∴⎩⎨⎧ B ＝23，A ＝13.∴α＋β＝13(α－β)＋23(α＋2β)． ∵α－β∈(0，π2)， ∴13(α－β)∈(0，π6)． ∵α＋2β∈(π2，3π2)， ∴23(α＋2β)∈(π3，π)． ∴α＋β∈(π3，7π6)． ∴α＋β的取值范围是(π3，7π6)． 16．2009年第十一届全国运动会在美丽的泉城济南胜利召开，下表为济南全运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用12 000元预订15张下表中球类比赛的门票：若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且足球比赛门票的费用不超过男篮比赛门票的费用，求可以预订的男篮比赛门票数．解：设足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都预订n (n ∈N *)张，则男篮比赛门票预订(15－2n )张，得⎩⎪⎨⎪⎧800n ＋500n ＋1 000(15－2n )≤12 000800n ≤1 000(15－2n )，解得427≤n ≤5514.由n ∈N *，可得n ＝5， ∴15－2n ＝5. 答：可以预订男篮比赛门票5张．17．解关于x 的不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)．解：由12x 2－ax －a 2>0⇔(4x ＋a )(3x －a )>0⇔(x ＋a 4)(x －a 3)>0， ①a >0时，－a 4<a 3， 解集为{x |x <－a 4或x >a 3}； ②a ＝0时，x 2>0， 解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a <0时，－a 4>a 3， 解集为{x |x <a 3或x >－a 4}． 18．某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解：(1)由题意得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1000(1＋0.6x )(0＜x ＜1)，整理得y ＝－60x 2＋20x ＋200(0＜x ＜1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ y －(1.2－1)×1000＞0，0＜x ＜1，即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x ＞0，0＜x ＜1. 解得0＜x ＜13. ∴投入成本增加的比例应在(0，13)范围内． 19．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．解：(1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴－6≤a ≤2.(2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝(x ＋a 2)2＋3－a 24. ①当－a 2＜－2，即a ＞4时，f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7， 由－2a ＋7≥a 得a ≤73，∴a ∈∅. ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24，由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2. ③当－a 2＞2，即a ＜－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7， 由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a ＜－4.综上得a ∈[－7,2]．20．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0， 即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上所述：当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.。

不等关系与一元二次不等式测试题A组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 2x2－3x－2≥0的解集是。

1. {x|x≥2或x≤－12}。

提示：方程2x3－3x－2＝0的根是：x1＝－12，x2＝2，故不等式解集为{x|x≥2或x≤－12 }。

2.已知a＜0,-1＜b＜0，则a、ab、ab2的大小关系是。

2.ab＞ab2＞a.提示：特殊值.a=-1,b=-12,ab=12,ab2=-12.故ab＞ab2＞a.3.不等式-x2+2x-3>0的解集为。

3. {x/-1<x<3}。

提示：原不等式转化为： x2-2x+3<0,解得{x/-1<x<3}。

4.不等式31xx-<+的解集为。

4.{}13x x-<<。

提示：由31xx-<+⇔（x-3）(x+1)<0，得{}13P x x=-<<．5. x2－(m＋3)x＋m2＋3＝0有两个不等的实数根，求实数m的取值范围是 .5.∅。

提示：Δ=(m＋3)2－4(m2＋3)＝m2＋6m＋9－4m2－12＞0即－3m2＋6m－3＞0，∴m2－2m＋1＜0，(m－1)2＜0，无解。

6.有48支铅笔，在甲组里每人分配3支，则有多余；若每人分配4支，则不够分配；乙组里，若每人分配4支，则有多余；若每人分配5支，则不够分配.设甲组为x 人乙组y 人，则x 、y 满足不等式组 .6.⎩⎨⎧3x ＜48＜4x 4y ＜48＜5y 。

提示：由题意可得：3x ＜48，3x ＞48，4y ＜48，5y ＞48. ∴⎩⎨⎧ 3x ＜48＜4x 4y ＜48＜5y 。

7.设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <13}，则a = ，b = 。

7.a ＝－3，b ＝－2。

提示：∵－1，13是方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根， ∴－b a ＝－1＋13，∴b a ＝23，又－1·13＝1a，∴a ＝－3，b ＝－2。

不等关系与不等式一元二次不等式的解法(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设m ，n ∈R ，给出下列结论：①m <n <0⇒m 2<n 2；②ma 2<na 2⇒m <n ；③m n <a ⇒m <na ；④m <n <0⇒n m<1.其中正确的结论有( )A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④2．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x ≤0或1≤x <32B ．{x |x ≤0或x ≥1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <32D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥323．若M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝2(x ＋y －1)，则M 与N 的大小关系为( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4}5．已知集合M ＝{x |x ＞x 2}，N ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝4x2，x ∈M ，则M ∩N ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(0，1) D ．(1，2)6．一元二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1＜x ＜13，则ab 的值为( )A ．－6B ．6C ．－5D ．57．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞bd B.a c ＜b d C.a d >b c D.a d ＜b c8．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．1≤a ≤19B ．1＜a ＜19C ．1≤a ＜19D ．1＜a ≤199．若关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23510．对任意实数x ，不等式2x ＋2x 2＋x ＋1＞k 恒成立，则k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23D ．(2，＋∞)∪⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23 11．实数α，β是方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两根，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值为( )A ．8B ．14C ．－14D ．－25412．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是________． 14．若a ，b 为正实数，则1a ＋1b 与1a ＋b 的大小关系是________．15．若1<α<3，－4<β<2，则12α－β的取值范围是________．16．下列语句中正确的是________． ①若a ＞b ，则a lg 12＞b lg 12；②若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则a 2－d ＞b 2－c ；③若a ＞b ，且a ，b ∈R ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b；④若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，2π3，则1－sin α＞0. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥12或x ≤－2，3＋2x －x 2，－2＜x ＜12，试求不等式f (x )≥0的解集．18．(本小题满分12分)(1)求函数f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋3)的定义域；(2)若不等式x 2－2x ＋k 2－1≥0对一切实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．19.(本小题满分12分)m 为何值时，方程mx 2－(2m ＋1)x ＋m ＝0满足下列条件： (1)没有实数解； (2)有实数解；(3)有两个不相等的实数解．20．(本小题满分12分)如图，有一长AM ＝30 m ，宽AN ＝20 m 的矩形地块，业主计划将其中的矩形ABCD 建为仓库，要求顶点C 在地块的对角线MN 上，B ，D 分别在边AM ，AN 上，其他地方建停车场和路，设AB ＝x m.(1)求矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数解析式；(2)若要求仓库占地面积不小于144 m 2，则AB 的长度应在什么范围？21.(本小题满分12分)设a ＞0，b ＞0，求证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 12≥a 12＋b 12.。

不等关系与一元二次不等式一、选择题（共12小题；共60分）1. 不等式的解集为A. B.C. D.2. 若，则下列结论不正确的是A. B.C. D.3. 若两个正实数，满足，且不等式＜有解，则实数的取值范围是A. B.C. D.4. 对，恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.5. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是A. B.C. D.6. 若不等式在区间上有解，则的取值范围是A. B.C. D.7. 若，则下列不等式中不成立的是A. B.C. D.8. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.9. 若关于的不等式的解集为，且，则等于A. B. C. D.10. 已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为A. B. C. D.11. 当时，设，，则，的大小关系为A. B. C. D.12. 若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是A. 或B.C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. 如果，且，则，，，的大小关系是．14. 若对任意的，函数的值恒大于零，则的取值范围为．15. 若不等式在区间上有解，则实数的取值范围是．16. 不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是．17. 若不等式对任意的恒成立，则实数．三、解答题（共5小题；共65分）18. 若不等式对满足的所有都成立，求的范围．19. 若将例条件改为，，求的取值范围．20. 解不等式：．21. （1）若不等式对于一切恒成立，求的取值范围；（2）若不等式对于一切恒成立，求的取值范围．22. 数列各项均为正数，，且对任意的，有．（1）求的值；（2）若，是否存在，使得，若存在，试求出的最小值，若不存在，请说明理由．答案第一部分1. A 【解析】不等式可化为：，所以，所以，所以不等式的解集为．2. D 【解析】由题可知，所以A，B，C正确，而，故D错误．3. B 【解析】因为不等式＜有解，所以，因为，＞，且，所以当且仅当，即，时取等号，所以，故＞，解得＜或＞．所以实数的取值范围是．4. C 【解析】因为，当时，函数的图象如下图所示：因为对任意，总有恒成立，则的图象恒在的图象的上方（如图中虚线所示），因为的图象与的图象交于点时，，故虚线所示的的图象对应的底数应满足．5. A【解析】由题意知是方程的根，所以由根与系数的关系得，．解得，．不等式即为，解集为．6. A 【解析】由知，方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间上有解的充要条件是，即，解得，所以的取值范围为．7. B 【解析】由不等式的性质可得，，成立．假设成立，由得，所以，由，与已知矛盾．8. C 【解析】由得对恒成立．令，则．由可知在上为减函数，故．所以，即的取值范围为．9. A 【解析】由，得，因为，所以不等式的解集为，即，，由，得，解得．10. D11. C 【解析】因为，所以，．所以所以，由于，，所以．12. D第二部分13.【解析】由得，所以且，所以．14. 或【解析】由，令．由题意知在上，的值恒大于零，所以解得或，故当或时，对任意的，函数的值恒大于零．15.【解析】由，知方程恒有两个不等实根．又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间上有解的充要条件是，解得，故实数的取值范围为．16.【解析】不等式，化为．因为不等式对任意实数都成立，所以．对任意实数都成立，当时，化为，不满足要求，舍去；当时，变形满足，解得：．17.【解析】显然，若，则，而当充分大时，，与题设矛盾．故当时，要使对恒成立，则关于的方程与在内有相同的根，所以，解得，（舍去）．第三部分18. 设，则当时，恒成立，所以只需即解得的范围为．19. 设，则所以即，又因为，，所以，，所以，即，所以的取值范围为．20. 方程的两根是，．函数的图象是开口向上的抛物线，与轴有两个交点，，由图象可得，不等式的解集为或．21. （1）由已知可得对一切恒成立，设，则，当且仅当时，取到最小值，所以的取值范围是．（2）因为，则可把原式看作关于的函数，即，由题意可知，解之得，所以的取值范围是．22. （1）因为，所以，即，，，，所以，所以得．（2）因为，所以单调递增，得，由，因为，所以，解得，此时，，又因为，所以，解得，即数列满足，综上所述，存在，且的最小值为．。

课时跟踪检测(三) 不等关系与一元二次不等式一、题点全面练1．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0，∴M >N .2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( )A ．－n ＜m ＜n ＜－mB ．－n ＜m ＜－m ＜nC ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m 解析：选D m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．3．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 因为1a <1b<0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.4．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定解析：选C 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a 2＝1，解得a ＝2. 又因为f (x )的图象开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， f (x )>0恒成立，即b 2－b －2>0恒成立，解得b <－1或b >2.5．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是( )A ．13B ．18C ．21D ．26解析：选C 设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象为开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ，f ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 22－6×2＋a ≤0，12－6×1＋a ＞0，解得5＜a ≤8，又a ∈Z ，故a ＝6,7,8.则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.6．若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________． 解析：当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]． 答案：(－3,0]7．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________． 解析：由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 8．对于实数x ，当且仅当n ≤x ＜n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x ＜n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)．答案：[2,8)9．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <2. (1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2. (2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12， 即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12. 10．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R.(1)若a ＝2，试求函数y ＝f x x(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求实数a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4. 因为x >0，所以x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f x x的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g ，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34. 则实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 二、专项培优练易错专练——不丢怨枉分1．不等式x2x －1>1的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析：选A 原不等式等价于x 2x －1－1>0， 即x －x －2x －1>0，整理得x －12x －1<0，不等式等价于(2x －1)(x －1)<0，解得12<x <1. 2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b | 解析：选D 由题可知b <a <0，所以A 、B 、C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误．3．已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C 因为x >y >z ，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，y >z 得xy >xz .故选C.4．若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是________．解析：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2.因为－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β ≤7.所以α＋3β的取值范围为[1,7]．答案：[1,7]5．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，则－1≤a ≤1.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．②若x ≠3，由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f －，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.则实数x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．。

第3讲 不等关系与一元二次不等式思维导图知识梳理1．两个实数比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b . (2)a －b ＝0⇔a ＝b . (3)a －b ＜0⇔a ＜b . 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc; a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方性：a >b >0⇒n a > nb (n ∈N ，n ≥2)．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c＝0(a >0)的根有两相异 实根x 1，有两相等实 根x 1＝x 2没有 实数根核心素养分析用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。

本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。

通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。

题型归纳题型1 不等式的性质及应用【例1-1】（2020春•湖北期中）下列命题中，正确的是( ) A ．若ac bc <，则a b < B ．若a b >，c d >，则ac bd > C ．若0a b >>，则22a b >D ．若a b <，c d <，则a c b d -<-【跟踪训练1-1】（2020•玉溪二模）若01b a <<<，1c >，则( ) A ．c c a b < B ．c c ab ba <C ．log log a b c c >D ．log log a b a c b c >【名师指导】比较大小的方法(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论． (2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论． (3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．题型2 一元二次不等式的解法【例2-1】（2019秋•河东区期中）不等式28610x x -+<的解集为 ． 【例2-2】（2019·杭州模拟）求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )的解集．【跟踪训练2-1】（2020春•启东市校级月考）一元二次不等式2260x x +-的解集为( ) A ．3(,2][,)2-∞-+∞B ．3(,][2,)2-∞-+∞C ．3[2,]2-D ．3[,2]2-【跟踪训练2-2】（2019秋•嘉兴期末）已知不等式20ax bx c ++>的解集是{|}x x αβ<<，0α>，则不等式20cx bx a ++>的解集是( )A ．11(,)βαB ．(-∞，11)(βα⋃，)+∞C ．(,)αβD ．(-∞，](,)αβ+∞1.解一元二次不等式的4个步骤2.解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；(2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集．题型3 一元二次不等式的恒成立或有解问题【例3-1】（2020•一卷模拟）已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(0，2]上有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞B ．4(,)7-∞C ．)+∞D ．4(,)7+∞【例3-2】（2018秋•凌源市期末）不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是 ．【跟踪训练3-1】（2020春•湖北期中）若关于x 的不等式210ax ax ++的解集为∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，4]B ．(0,4)C ．(-∞，0](4,)+∞D ．[0，4)【跟踪训练3-2】（2019秋•崇川区校级月考）关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1，4]上有实数解，则实数a 的取值范围是 .1.一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.2.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )>0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .。

不等关系与一元二次不等式A 级——基础达标1．若a ，b ∈R ，且a ＞|b |，则( ) A ．a ＜－b B ．a ＞b C ．a 2＜b 2D ．1a ＞1b解析：选B 由a ＞|b |得，当b ≥0时，a ＞b ，当b ＜0时，a ＞－b ，综上可知，当a ＞|b |时，则a ＞b 成立，故选B.2．已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C 因为x >y >z ，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0，由⎩⎨⎧x >0，y >z得xy >xz .故选C. 3．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－12<x ≤0或1≤x <32 B ．{x |x ≤0或x ≥1} C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <32D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－12或x ≥32 解析：选A 不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x (x －1)≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x ≤0或1≤x <32.4．在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎪⎫ab cd ＝ad －bc ，若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32C.12 D ．32解析：选D 由定义知 ，不等式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －1 a －2a ＋1 x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，所以x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，所以a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.故选D.5．(多选)下列四个结论中正确的有( )A ．不等式2x 2－x －1＞0的解集是{x |x ＞2或x ＜1}B ．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C ．若不等式ax 2＋8ax ＋21＜0的解集是{x |－7＜x ＜－1}，则a 的值是3 D ．关于x 的不等式x 2＋px －2＜0的解集是(q,1)，则p ＋q 的值为－1解析：选BCD 由2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)＞0，解得x ＞1或x ＜－12，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞1或x ＜－12，故A 项错误；因为－6x 2－x ＋2≤0，所以6x 2＋x －2≥0，所以(2x －1)(3x ＋2)≥0，所以x ≥12或x ≤－23，故B 项正确；由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两根，所以－7×(－1)＝21a ，所以a ＝3，故C 项正确；依题意可知，q,1是方程x 2＋px －2＝0的两根，所以q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故D 项正确．故选B 、C 、D.6．(多选)对于实数a ，b ，c ，下列说法中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac <bc B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2 C ．若c >a >b >0，则a c －a >bc －bD ．若a >b ，1a >1b ，则a >0，b <0解析：选BCD 当c ＝0时，ac ＝bc ，故A 错误；若a <b <0，则a 2>ab ，且ab >b 2，即a 2>ab >b 2，故B 正确；若c >a >b >0，则c a <c b ，则c －a a <c －b b ，则a c －a >bc －b，故C 正确；若a >b ，1a >1b ，即b ab >a ab ，故ab <0，则a >0，b <0，故D 正确．故选B 、C 、D.7．不等式|x (x －2)|＞x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|＞x (x －2)的解集即x (x －2)＜0的解集，解得0＜x ＜2，故不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．答案：{x |0＜x ＜2}8．(2021·山西临汾模拟)不等式ax 2＋x ＋1＞0的解集为(m,1)，则m ＋a ＝________. 解析：由不等式ax 2＋x ＋1＞0的解集为(m,1)，得x ＝1是方程ax 2＋x ＋1＝0的根，即a ＋1＋1＝0，解得a ＝－2，则不等式为－2x 2＋x ＋1＞0，解得－12＜x ＜1，则有m ＝－12，则有m ＋a ＝－52.答案：－529．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b 同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b . 所以a ＜b 和1a ＜1b 同时成立的条件是a ＜0＜b . 答案：a ＜0＜b10．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________． 解析：因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a )．答案：(a ，－a )11．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b ＞0. (1)若该不等式的解集为(－4,2)．求a ，b 的值； (2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．解：(1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ，解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b ＞0⇔x 2－ax －(a ＋1)＜0，即[x －(a ＋1)](x ＋1)＜0. 当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅；当a ＋1＜－1，即a ＜－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1＞－1，即a ＞－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a ＜－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a ＞－2时，不等式的解集为(－1，a ＋1)．12．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求实数a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x 时， 即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”， 只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. B 级——综合应用13．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，－∞) B ．(－∞，－6]C ．[－6,2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)解析：选D 由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．故选D.14．(多选)若不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是( ) A ．b ＜0且c ＞0 B ．a －b ＋c ＞0 C ．a ＋b ＋c ＞0D ．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是(－2,1)解析：选ABD 对于A 项，a ＜0，－1,2是方程ax 2－bx ＋c ＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝b a ，－1×2＝ca ，所以b ＝a ，c ＝－2a ，所以b ＜0，c ＞0，所以A 项正确；令f (x )＝ax 2－bx ＋c ，对于B 项，由题意可知f (1)＝a －b ＋c ＞0，所以B 项正确；对于C 项，f (－1)＝a ＋b ＋c ＝0，所以C 项错误；对于D 项，设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ＝－1，x 1x 2＝ca ＝－2，所以两根分别为－2和1，所以不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是(－2,1)，所以D 项正确．故选A 、B 、D.15．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m＝(x －m )(ax －an ＋1)，因为a >0，且0<x <m <n <1a ， 所以x －m <0,1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .C 级——迁移创新。

第1节 不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法考试要求 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知 识 梳 理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b ＜0⇔a ＜b ；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a ＞b （a ∈R ，b ＞0），ab＝1⇔a ＝b （a ∈R ，b ≠0），a b＜1⇔a ＜b （a ∈R ，b ＞0）.2.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2).3.三个“二次”间的关系1.对于不等式a 2＋b ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形.2.当Δ<0时，a 2＋b ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ⇔ac 2＞bc2.( )(2)若不等式a 2＋b ＋c ＜0的解集为(1，2)，则必有a ＞0.( )(3)若方程a 2＋b ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式a 2＋b ＋c ＞0的解集为R .( ) (4)不等式a 2＋b ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) 解析 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞bac 2＞bc 2.(3)若方程a 2＋b ＋c ＝0(a <0)没有实根.则不等式a 2＋b ＋c >0的解集为∅. (4)当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式a 2＋b ＋c ≤0也在R 上恒成立. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a d ＞bc B.ad ＜b c C.a c ＞b dD.a c ＜b d解析 因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d，两边同乘－1，得－1d＞－1c＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质可知－a d ＞－b c ＞0.两边同乘－1，得a d ＜b c.故选B. 答案 B3.当＞0时，若不等式2＋a ＋1≥0恒成立，则a 的最小值为( ) A.－2B.－3C.－1D.－32解析 当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，不等式2＋a ＋1≥0对任意＞0恒成立，当Δ＝a 2－4＞0，则需⎩⎨⎧a 2－4＞0，－a2＜0，解得a ＞2，所以使不等式2＋a ＋1≥0对任意＞0恒成立的实数a 的最小值是－2.答案 A4.(2017·上海卷)不等式x －1x>1的解集为________. 解析 1－1x >1⇒1x<0⇒<0，解集为(－∞，0).答案 (－∞，0)5.若不等式a 2＋b ＋2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＝________，b ＝________.解析 由题意知，方程a 2＋b ＋2＝0的两根为1＝－12，2＝13，则⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2.答案 －12 －26.(必修5P80A3改编)若关于的一元二次方程2－(m ＋1)－m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________.解析 由题意知Δ＝[－(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0， 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)考点一 比较大小及不等式的性质的应用【例1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >aB.a >c ≥bC.c >b >aD.a >c >b(2)(2019·衢州二中二模)已知非负实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则(c －a )(c －b )的取值范围为________.解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)因为a ，b ，c 为非负实数，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＝1－c ，0≤c ≤1，故|(c －a )(c －b )|＝|c －a ||c －b |≤c 2≤1，即－1≤(c －a )(c －b )≤1；又(c －a )(c －b )＝c 2－(1－c )c ＋ab ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫c －142－18≥－18.综上，有－18≤(c －a )(c －b )≤1. 答案 (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1规律方法 (1)比较大小常用的方法： ①作差法；②作商法；③函数的单调性法.(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.【训练1】 (1)已知p ＝a ＋1a －2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2，其中a >2，∈R ，则p ，q 的大小关系是( )A.p ≥qB.p >qC.p <qD.p ≤q(2)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b )B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b C.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2aD.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a解析 (1)由于a >2，故p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号.因为2－2≥－2，所以q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4，当且仅当＝0时取等号，所以p ≥q .(2)令a ＝2，b ＝12，则a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252∈(1，2)，则b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b .答案 (1)A (2)B考点二 一元二次不等式的解法 多维探究角度1 不含参的不等式【例2－1】 求不等式－22＋＋3<0的解集. 解 化－22＋＋3<0为22－－3>0， 解方程22－－3＝0得1＝－1，2＝32，∴不等式22－－3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.角度2 含参不等式【例2－2】 解关于的不等式a 2－2≥2－a (a ∈R ). 解 原不等式可化为a 2＋(a －2)－2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为＋1≤0，解得≤－1.②当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (＋1)≥0，解得≥2a或≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得＝－1满足题意； 当2a＜－1，即－2<a <0，解得2a≤≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{|≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≥2a ，或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1≤x ≤2a .规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便正确写出解集.【训练2】 已知不等式2－2－3＜0的解集为A ，不等式2＋－6<0的解集为B ，不等式2＋a ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( ) A.－3 B.1 C.－1D.3解析 由题意得，A ＝{|－1＜＜3}，B ＝{|－3＜＜2}，所以A ∩B ＝{|－1＜＜2}，由题意知，－1，2为方程2＋a ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案 A考点三 一元二次不等式的恒成立问题多维探究角度1 在R 上恒成立【例3－1】 若一元二次不等式22＋－38＜0对一切实数都成立，则的取值范围为( )A.(－3，0]B.[－3，0)C.[－3，0]D.(－3，0)解析 22＋－38＜0对一切实数都成立，则必有⎩⎨⎧2k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0， 解之得－3＜＜0. 答案 D角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f ()＝m 2－m －1(m ≠0)，若对于∈[1，3]，f ()＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.解析 要使f ()＜－m ＋5在[1，3]上恒成立， 则m 2－m ＋m －6＜0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在∈[1，3]上恒成立.有以下两种方法：法一 令g ()＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，∈[1，3].当m ＞0时，g ()在[1，3]上是增函数， 所以g ()ma ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g ()在[1，3]上是减函数， 所以g ()ma ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0.法二 因为2－＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (2－＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可.因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m |0＜m ＜67或m ＜0.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m |0＜m ＜67或m ＜0角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式2＋(a －4)＋4－2a ＞0恒成立，则的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(－2)a ＋2－4＋4， 则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立， 所以f (－1)＝2－5＋6＞0，且f (1)＝2－3＋2＞0即可，解不等式组⎩⎨⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得＜1或＞3. 答案 C规律方法 恒成立问题求解思路(1)一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式求解.(2)一元二次不等式在∈[a ，b ]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围.(3)一元二次不等式对于参数m ∈[a ，b ]恒成立确定的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)若不等式2－2＋5≥a 2－3a 对任意实数恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，4]B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)D.[－2，5](2)已知函数f ()＝2＋m －1，若对于任意∈[m ，m ＋1]，都有f ()＜0成立，则实数m 的取值范围是______.解析 (1)由于2－2＋5＝(－1)2＋4的最小值为4，所以2－2＋5≥a 2－3a 对任意实数恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4. (2)二次函数f ()对于任意∈[m ，m ＋1]， 都有f ()＜0成立，则⎩⎨⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，解得－22＜m ＜0.答案 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0基础巩固题组一、选择题1.若f ()＝32－＋1，g ()＝22＋－1，则f ()，g ()的大小关系是( ) A.f ()＝g () B.f ()＞g ()C.f ()＜g ()D.随的值变化而变化解析 f ()－g ()＝2－2＋2＝(－1)2＋1＞0⇒f ()＞g (). 答案 B2.已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b成立的有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个解析 运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1b，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C. 答案 C3.若集合A ＝{|3＋2－2>0}，集合B ＝{|2<2}，则A ∩B 等于( ) A.(1，3) B.(－∞，－1) C.(－1，1)D.(－3，1)解析 依题意，可求得A ＝(－1，3)，B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1，1). 答案 C4.若集合A ＝{|a 2－a ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0＜a ＜4} B.{a |0≤a ＜4} C.{a |0＜a ≤4}D.{a |0≤a ≤4}解析 由题意知a ＝0时，满足条件.a ≠0时，由⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 答案 D5.已知函数f ()＝－2＋a ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数都有f (1－)＝f (1＋)成立，若当∈[－1，1]时，f ()＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定解析 由f (1－)＝f (1＋)知f ()的图象关于直线＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f ()开口向下，所以当∈[－1，1]时，f ()为增函数，所以f ()min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f ()＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2. 答案 C6.若实数a ，b ，c 满足对任意实数，y 有3＋4y －5≤a ＋by ＋c ≤3＋4y ＋5，则( ) A.a ＋b －c 的最小值为2 B.a －b ＋c 的最小值为－4 C.a ＋b －c 的最大值为4 D.a －b ＋c 的最大值为6解析 由题意可得－5≤(a －3)＋(b －4)y ＋c ≤5恒成立，所以a ＝3，b ＝4，－5≤c ≤5，则2≤a ＋b －c ≤12，即a ＋b －c 的最小值是2，最大值是12，A 正确，C 错误；－6≤a －b ＋c ≤4，则a －b ＋c 的最小值是－6，最大值是4，B 错误，D 错误，故选A. 答案 A 二、填空题7.已知函数f ()＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f ()＞3的解集为________.解析 由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎨⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得＞1.故原不等式的解集为{|＞1}.答案 {|＞1}8.若关于的不等式a ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于的不等式a 2＋b －45a ＞0的解集为________.解析 由已知a ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式a 2＋b －45a ＞0两边同除以a ，得2＋b a －45＜0，即2＋15－45＜0，解得－1＜＜45，故不等式a 2＋b －45a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，45. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 9.不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________. 解析 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.答案 [－8，4]10.(2019·杭州高级中学测试)若关于的不等式(2－a )·(2＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则2a ＋b 的最小值为________.解析 要使2a ＋b 取得最小值，尽量考虑a ，b 取负值的情况.因此当a <b ≤0时，不等式(2－a )(2＋b )≥0等价于2＋b ≥0，即b ≥－2在(a ，b )上恒成立，则b ≥－2a >0，与b ≤0矛盾；当a <0<b 时，不等式(2－a )(2＋b )≥0等价于2＋b ≥0，即b ≥－2在(a ，b )上恒成立，则b ≥－2a ，即2a ＋b ≥0，此时2a ＋b 的最小值为0；当0≤a <b 时，显然2a ＋b >0.综上可知2a ＋b 的最小值为0.答案 0三、解答题11.已知f ()＝－32＋a (6－a )＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f ()＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}.(2)∵f ()＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－32＋a (6－a )＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.即a 的值为3±3，b 的值为－3. 12.已知－1<＋y <4且2<－y <3，求＝2－3y 的取值范围.解 设＝2－3y ＝m (＋y )＋n (－y )，即2－3y ＝(m ＋n )＋(m －n )y ，所以⎩⎨⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52，由－1<＋y <4知－2<－12(＋y )<12，① 由2<－y <3知5<52(－y )<152，② ①＋②得3<－12(＋y )＋52(－y )<8，即3<<8. 能力提升题组13.下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( )A.a >b ＋1B.a >b －1C.a 2>b 2D.a 3>b 3解析 A 项：若a >b ＋1，则必有a >b ，反之，当a ＝2，b ＝1时，满足a >b ，但不能推出a >b ＋1，故a >b ＋1是a >b 成立的充分而不必要条件；B 项：当a ＝b ＝1时，满足a >b －1，反之，由a >b －1不能推出a >b ；C 项：当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2>b 2，但a >b 不成立；D 项：a >b 是a 3>b 3的充要条件，综上所述答案选A.答案 A14.(一题多解)已知函数f ()＝a 2＋b ＋c (a ≠0)，若不等式f ()<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <12或x >3，则f (e)>0(e 是自然对数的底数)的解集是( )A.{|<－ln 2或>ln 3}B.{|ln 2<<ln 3}C.{|<ln 3}D.{|－ln 2<<ln 3}解析 法一 依题意可得f ()＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(－3)(a <0)，则f (e)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e －3)(a <0)，由f (e)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e －3)>0，可得12<e<3，解得－ln 2<<ln 3，故选D.法二 由题知，f ()>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |12<x <3，令12<e<3，得－ln 2<<ln 3，故选D. 答案 D15.若不等式2＋a －2＞0在R 上有解，则实数a 的取值范围是________；若在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是________.解析 设f ()＝2＋a －2，∵f ()的图象开口向上，∴对任意a ∈R ，f ()>0在R 上有解；由于Δ＝a 2＋8＞0恒成立，所以方程2＋a －2＝0恒有一正一负两根，于是不等式2＋a －2＞0在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)＞0，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 答案 R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 16.若关于的不等式a ≤342－3＋4≤b 的解集恰好是[a ，b ]，则a ＝________，b ＝________. 解析 令f ()＝342－3＋4＝34(－2)2＋1，其图象对称轴为＝2.若a ≥2，则a ，b 是方程f ()＝的两个实根，解得a ＝43，b ＝4，矛盾； 若b ≤2，则f (a )＝b ，f (b )＝a ，两式相减得a ＋b ＝83，代入可得a ＝b ＝43，矛盾； 若a <2<b ，则f ()min ＝1，所以a ≤1(否则在顶点处不满足a ≤f ())，所以此时a ≤f ()的解集是R ，所以f ()≤b 的解集是[a ，b ]，所以f (a )＝f (b )＝b .由⎩⎨⎧f （b ）＝b ，b >2解得b ＝4，由⎩⎨⎧f （a ）＝4，a <2解得a ＝0. 答案 0 417.解关于的不等式a 2－(2a ＋1)＋2＜0(a ∈R ).解 原不等式可化为(a －1)(－2)＜0.(1)当a ＞0时，原不等式可以化为a (－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.因为方程(－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅； 当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. (2)当a ＝0时，原不等式为－(－2)＜0，解得＞2，即原不等式的解集是{|＞2}.(3)当a ＜0时，原不等式可以化为a (－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0， 根据不等式的性质，这个不等式等价于(－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0， 由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＜1a 或x ＞2. 综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2； 当a ＝0时，不等式的解集为{|＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. 18.已知二次函数f ()的二次项系数为a ，且不等式f ()>－2的解集为(1，3).(1)若方程f ()＋6a ＝0有两个相等的根，求f ()的解析式；(2)若f ()的最大值为正数，求实数a 的取值范围.解 (1)∵f ()＋2>0的解集为(1，3)，f ()＋2＝a (－1)(－3)，且a <0，因而f ()＝a (－1)(－3)－2＝a 2－(2＋4a )＋3a .① 由方程f ()＋6a ＝0，得a 2－(2＋4a )＋9a ＝0.②因为方程②有两个相等的实根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15. 由于a <0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①， 得f ()＝－152－65－35. (2)由f ()＝a 2－2(1＋2a )＋3a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a <0，可得f ()的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎨⎧－a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得a <－2－3或－2＋3<a <0.故当f ()的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).。

《不等关系与一元二次不等式》达标检测[A 组]—应知应会1．（2020•重庆模拟）一元二次不等式(23)(1)0x x -+>的解集为( )A ．3{|1}2x x -<<B ．3{|2x x >或1}x <- C ．3{|1}2x x -<< D ．{|1x x >或3}2x <- 2．（2020•绵阳模拟）若0b a <<，则下列结论不正确的是( )A ．11a b <B ．2ab a >C ．||||||a b a b +>+ D3．（2019秋•菏泽期末）不等式220x mx -+>的解集为{|1x x <或2}x >，则实数m 的值为( )A ．2B ．3-C ．1D ．34．（2019秋•临渭区期末）若不等式2440x ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(16,0)-B ．(16-，0]C ．(,0)-∞D ．(8,8)-5．（2020•乃东区校级一模）关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是( )A ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞B ．(1,3)-C ．(1,3)D ．(-∞，1)(3⋃，)+∞6．（2019秋•界首市期末）若关于x 的不等式2(2)20x m x m -++<的解集中恰有4个正整数，则实数m 的取值范围为( )A ．(6，7]B ．(6,7)C ．[6，7)D ．(6,)+∞7．（2019春•黑龙江期中）若关于x 的不等式240x mx +->在区间[2，4]上有解，则实数m 的取值范围为( )A ．(3,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,3)-∞-8．（2020•乃东区校级一模）若不等式210x ax ++对一切(0x ∈，1]2成立，则a 的最小值为( ) A ．52- B ．0 C ．2- D ．3-9．（多选）（2019秋•肥城市校级月考）给出四个选项能推出11a b <的有( ) A ．0b a >>B ．0a b >>C ．0a b >>D ．0a b >>10．（多选）（2019秋•淄博期末）关于x 的一元二次不等式260()x x a a Z -+∈的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．（多选）（2019秋•南通期末）对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()(1)0a x a x -+>的解集可能为( )A ．∅B ．(1,)a -C ．(,1)a -D ．(-∞，1)(a -，)+∞12．（2019秋•开封期末）不等式2342x x -+>的解集为 ．13．（2019秋•南开区期末）设x R ∈，使不等式2144x x -成立的x 的取值范围为 ．14．（2019秋•中山市校级月考）如果a b >，给出下列不等式：①11a b <；②33a b >；；④2222ac bc >；⑤1a b>；⑥221a b ab a b ++>++． 其中一定成立的不等式的序号是 ．15．（2020•连云港模拟）若关于x 的不等式210mx mx -+<的解集不是空集，则m 的取值范围是 ．16．（2019秋•琼山区校级月考）当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，则m 的取值范围是 ．17．（2019春•赤峰期末）若存在实数[2x ∈，5]，使不等式2250x x m -+-<成立，则m 的取值范围是 ．18．（2019秋•河西区校级月考）解下列一元二次不等式：（1）276x x -+>；（2）24(221)(4)x x x x -+>-．19．（2019秋•桥西区校级月考）已知不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >（Ⅰ）求a 、b ；（Ⅱ）解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc +++<．20．（2019•衡阳三模）已知函数()|||21|f x x x =--，记()1f x >-的解集为M ． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）已知a M ∈，比较21a a -+与1a 的大小．21．（2020春•青羊区校级期中）已知关于x 的不等式2210kx kx +-<．（1）若不等式的解集为3(,1)2-，求实数k的值；（2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围．22．（2020春•临安区校级月考）已知2()(1)1f x ax a x=-++．（Ⅰ）解不等式()0f x>；（Ⅱ）若存在实数[2b∈，3]，使得不等式()0f x x a b++-对一切(0,1)x∈恒成立，求实数a的最小值．[B组]—强基必备1．（2019秋•苏州期末）关于x 的不等式22(1)ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是( )A ．3(2-，44](33-⋃，3]2B ．3(2-，44][33-，3)2C ．3[2-，44)(33-⋃，3]2D ．3[2-，44)[33-，3)2 2．（2019秋•无锡期末）已知关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -+--的解集为空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2-，6]5 B ．[2-，6)5 C ．6(5-，2] D ．(-∞，2][2，)+∞3．（2019秋•上饶月考）在R 上定义运算：(1)x y x y =-⊗若存在x R ∈使得()()1x a x a -+>⊗成立，则实数a 的取值范围是 ．4．（2019秋•聊城期末）若a R ∈，解关于x 的不等式2(1)10ax a x +++>．。

不等关系与一元二次不等式检测题1．设集合M ＝[1,2]，N ＝{x ∈Z |x 2－2x －3<0}，则M ∩N ＝( ) A ．[1,2] B ．(－1,3) C ．{1}D ．{1,2}解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －3<0，x ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ∈(－1，3)，x ∈Z ，得N ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1,2}．2．若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q解析：选B p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b ＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b ＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(a ＋b )ab，∵a ＜0，b ＜0，∴a ＋b ＜0，ab ＞0， 若a ＝b ，则p －q ＝0，此时p ＝q ， 若a ≠b ，则p －q ＜0，此时p ＜q ， 综上，p ≤q .3．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0,1)间，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化？( )A ．“屏占比”不变B ．“屏占比”变小C ．“屏占比”变大D ．变化不确定解析：选C 设升级前“屏占比”为ba ，升级后“屏占比”为b ＋m a ＋m (a >b >0，m >0)，因为b ＋m a ＋m －b a ＝(a －b )ma (a ＋m )>0，所以手机“屏占比”和升级前比“屏占比”变大． 4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，5π6 B.⎝⎛⎭⎫－π6，5π6 C ．(0，π)D.⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析：选D 由0<α<π2，0≤β≤π2得⎩⎪⎨⎪⎧0<2α<π，－π6≤－β3≤0.∴－π6<2α－β3<π.5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C. (1，＋∞)D. ⎝⎛⎭⎫－∞，－235 解析：选A ∵关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解， ∴a >2x －x ，x ∈[1,5]⇔a >⎝⎛⎭⎫2x －x min ，x ∈[1,5]． ∵函数f (x )＝2x －x 在x ∈[1,5]单调递减，∴当x ＝5时，函数f (x )取得最小值－235.∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. 6.若0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( )A ．aB ．bC ．cD ．不确定解析：选C 因为b －a ＝1＋x －2x ≥2x －2x >0，所以b >a ；又c －b ＝11－x －x －1＝x 21－x>0，则c >b ，所以最大的一个是c . 7.若实数a ，b 满足0<a <2,0<b <1，则a －b 的取值范围是________． 解析：∵0<b <1，∴－1<－b <0，∵0<a <2， ∴－1<a －b <2. 答案：(－1,2)．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集为________．解析：当x ≤0时，x ＋2≥x 2，解得－1≤x ≤0；① 当x ＞0时，－x ＋2≥x 2，解得0＜x ≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}． 答案：[－1,1]9．(2019·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．解析：①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元)．②由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大．而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，解得x≤15.即x的最大值为15.答案：1301510．(1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．(2)解不等式：x2＋(1－m)x－m>0，其中m∈R.解：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，∵a＞0，b＞0，且a≠b, ∴(a－b)2＞0，a＋b＞0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，即a3＋b3＞a2b＋ab2.(2)∵(x＋1)(x－m)>0，∴当m＝－1时，解得x≠－1，当m>－1时，解得x<－1或x>m；当m<－1时，解得x<m或x>－1，综上所述，当m＝－1时，不等式的解集是{x|x≠－1}；当m>－1时，不等式的解集为{x|x<－1或x>m}；当m<－1时，不等式的解集为{x|x<m或x>－1}．11．函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．解：(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[－6,2]．(2)对于任意x∈[－2,2]，f(x)≥a恒成立．即x2＋ax＋3－a≥0对任意x∈[－2,2]恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3－a.则有①Δ≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，－a2＜－2，g (－2)＝7－3a ≥0或③⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，－a2＞2，g (2)＝7＋a ≥0.解①得－6≤a ≤2，解②得a ∈∅，解③得－7≤a ＜－6. 综上可知，实数a 的取值范围为[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．[素养强化练]1．[逻辑推理]a ，b 为正数，给出下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b ＜1； ②若1b －1a ＝1，则a －b ＜1；③e a －e b ＝1，则a －b ＜1； ④若ln a －ln b ＝1，则a －b ＜1. 其中真命题的有________．解析：①中，a ，b 中至少有一个大于等于1， 则a ＋b ＞1，由a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝1， 所以a －b ＜1，故①正确．②中1b －1a ＝a －b ab ＝1, 只需a －b ＝ab 即可，取a ＝2，b ＝23，满足上式但a －b ＝43>1故②错；③构造函数y ＝x －e x ，x ＞0，y ′＝1－e x ＜0，函数单调递减， ∵e a －e b ＝1，∴a ＞b ，∴a －e a ＜b －e b ， ∴a －b ＜e a －e b ＝1，故③正确；④若ln a －ln b ＝1，取a ＝e ，b ＝1，a －b ＝e －1＞1， 故④不正确． 答案：①③2．[直观想象]已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为________．解析：因为f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ≠0)， Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，所以函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点． 因此f (－2)f (－1)＜0，所以(6a ＋5)(2a ＋3)＜0. 解得－32＜ a ＜－56.又a ∈Z ，所以a ＝－1.不等式f (x )＞1，即为－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0. 答案：(－1,0)3．[直观想象]若关于x 的不等式mx 2－mx －1≥0的解集为∅，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知，函数y ＝mx 2－mx －1的图象都在x 轴下方． 当m ＝0时，原不等式化为－1≥0，其解集是空集；当m ≠0时，要使关于x 的不等式mx 2－mx －1≥0的解集为∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝(－m )2－4m ·(－1)<0，解得－4＜m ＜0. 综上，实数m 的取值范围是(－4,0]． 答案：(－4,0]4．[数学建模]某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨，(0≤t ≤24)(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．解：(1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨， 则y ＝400＋60t －1206t . 令6t ＝x ，则x 2＝6t ，即y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40，∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．(2)依题意400＋10x 2－120x <80， 得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8， 即4<6t <8，83<t <323，因为323－83＝8，所以每天约有8小时供水紧张．。

不等式的性质与一元二次不等式测试题（A 组）一、选择题：1．已知a ＞b ，c ＞d ，且a ，b ，c ，d 均不为0，那么以下不等式成立的是（ ）.A ．ac ＞bdB ．ad ＞bcC ．a －c ＞b －dD ．a ＋c ＞b ＋d2．给出以下命题：①a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；②a ＞｜b ｜⇒a 2＞b 2；③a ＞b ⇒a 3＞b 3；④｜a ｜＞b ⇒a 4＞b 4，其中准确的命题是（ ）.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④3．集合A ＝｛x ｜x 2＜16｝，集合B ＝｛x ｜x 2－x －6≥0｝，则A ∩B ＝（ ）.A ．［3，4）B ．（－4，－2］C ．（－4，－2］∪［3，4）D ．［－2，3］4．若不等式ax 2＋bx －2＞0的解集为｛x ｜－2＜x ＜－14＝, 则a ，b 的值分别是（ ）. A ．a ＝－8，b ＝－10 B ．a ＝－1，b ＝9C ．a ＝－4，b ＝－9D ．a ＝－1，b ＝25．不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是（ ）.A ．［－4，4］B ．（－4，4）C ．（－∞，－4］∪［4，＋∞）D ．（－∞，－4）∪（4，＋∞）6．函数y ＝)3(log 231-x 的定义域为（ ）.A ．（－2，－ 3 ）∪（ 3 ，2）B ．［－2，－ 3 ）∪（ 3 ，2］C ．［－2，2］D ．（－2，－ 3 ］∪［ 3 ，2］．二、填空题：7．不等式1＋ｘ－6ｘ2＞0的解集为 ． 8．若α、β满足－π2 ＜α＜β＜π2 ，则α－β2的范围是 ． 9．不等式（a －2）x 2＋2（a －2）x －4＜0，对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．10．设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是 ．三、解答题：11．已知a ＞0，b ＞0，试比较a b ＋b a与a ＋b 的大小． 12．已知集合A ＝｛x ｜x 2－3x －10≤0｝，集体B ＝｛x ｜p ＋1≤x ≤2p －1｝，若B ⊆A ，求实数P 的取值范围．13．若实数a ≠0，解关于x 的二次不等式（x －2）（ax －2）＞0．14．已知f （x ）的定义在（0，＋∞）上的增函数，f （2）＝1，且对任意正实数x ，y 满足f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ），解不等式f （x ）＋f （x －2）＜3．不等式的性质与一元二次不等式测试题（B 组）一、选择题1．已知a ＜b ＜0，则以下不等式成立的是（ ）.A ．3a ＜3bB ．a 2 ＜b 2C ．3－a ＜3－bD ．－a ＜－b2．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有以下命题：①若ab ＞0，bc －ad ＞0，则c a －d b ＞0；②若ab ＞0，c a －d b，则bc －ad ＞0； ③若bc －ad ＞0，c a －d b ＞0，则ab ＞0；④若a ＞b ＞c ＞d ＞0，则c a －d b＞0． 其中准确命题的个数有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．不等式7x 2－6x －1x 2－x ＋1＜0的解集为（ ）. A ．空集 B ．｛x ｜－17＜x ＜1｝ C ．｛x ｜－1＜x ＜17 ｝ D ．｛x ｜x ＜－17或x ＞1｝ 4．假设ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为｛x ｜x ＜－2，或x ＞4｝，那么对于函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 应有（ ）.A ．f （5）＜f （2）＜f （－1）B ．f （2）＜f （5）＜f （－1）C ．f （－1）＜f （2）＜f （5）D ．f （2）＜f （－1）＜f （5）5．函数f （x ）＝ln （x 2－4x －12）的递减区间为（ ）.A ．（6，＋∞）B ．（－∞，－2）C ．（－∞，2）D ．（2，＋∞）二、填空题6．不等式（13 ）x 2＋x >（19）x ＋15的解集为 ． 7．若函数f （x ）＝kx 2－6kx ＋（k ＋8） 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题8．设f （x ）＝ax 2＋bx ，且1≤f （－1）≤2，2≤f （1）≤4，f （－2）＝m f （－1）＋n f （1）．（1）求m ，n 的值；（2）求f （－2）的取值范围．9．汽车在行驶中，因为惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s （m ）与车速x （km/h ）之间有如下关系：s 甲＝0．1x ＋0．01x 2，s 乙＝0．05x ＋0．005x 2，问：超速行驶并负主要责任的是谁．10．设a ∈R ，关于x 的一元二次方程7x 2－（a ＋13）x ＋a 2－a －2＝0有两实根x 1、x 2，且0＜x 1＜1＜x 2＜2，求a 的取值范围．不等式的性质与一元二次不等式测试题（A 组）答案：一、选择题：1-6.DBC CAB提示：4．由条件知－2，－14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，由韦达定理可求得a ＝－4，b ＝－9．5．由Δ＝a 2－16≤0，得－4≤a ≤4．6．由⎪⎩⎪⎨⎧≥->-0)3(log 032312x x ⇒⎩⎨⎧x 2＞３ x 2－3≤1⇒－2＜ｘ≤－ 3 或 3 ≤ｘ＜2．二、填空题：7．｛x ｜－13 ＜ｘ＜12 ｝；8．（－π2，0）；9．（－2，2］；10．c ≥b ＞a ． 提示：9．⎩⎨⎧a －2＜0 2（a －2）2－4（a －2）（－4）＜0⇒－2＜a ＜2，又a ＝2时原不等式恒成立，∴a ∈（－2，2]．10．∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝（2－a ）2≥0，∴c ≥b ．2b ＝（b ＋c ）－（c －b ）＝2a 2＋2，∴b ＝a 2＋1．b －a ＝a 2－a ＋1＝（a －12 ）2＋34＞0，∴b ＞a ．故c ≥b ＞a ． 三、解答题：11．作差：a b ＋b a －（a ＋b ）＝a －b b ＋b －a a ＝（a －b ）（a －b ）ab＝（a －b ）2（a ＋b ）ab，∵a ＞0，b ＞0，∴ab ＞0，a ＋b ＞0，当a ＝b 时，（a －b ）2＝0，当a ≠b 时，（a －b ）2＞0．∴当a ＝b 时，a b ＋b a ＝a ＋b 当a ≠b 时，a b ＋b a＞a ＋b ． 12．由x 2－3x －10≤0，得－2≤x ≤5，A ＝［－2，5］．①若B ＝φ，则B ≤A ，这时p ＋1＞2p －1，即p ＜2．②若B ≠φ，则⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1≤2p －1 p ＋1≥－2 2p －1≤5⇒2≤p ≤3． 综上可知，P 的取值范围是p ≤3．13．方程（x －2）（ax －2）＝0的两根为2和a 2, （1）当a ＜0时，2＞a 2 ，∴原不等式的解集为｛x ｜a 2 ＜x ＜2｝．（2）当0＜a ＜1时，2＜a 2 ，∴原不等式的解集为｛x ｜x ＜2或x ＞a 2 ｝．（3）当a ＝1时，原不等式变为（x －2）2＞0，∴解集为｛x ｜x ≠2且x ∈R ｝．（4）当a ＞1时，2＞a 2 ，原不等式的解集为｛x ｜x ＜2a 或a ＞2｝．综上所述，原不等式的解集当a ＜0时，为｛x ｜a 2 ＜x ＜2｝；当a ＜1时，为｛x ｜x ＜2或x ＞a 2 ｝；当a ＝1时，为｛x ｜x ≠2且x ∈R ｝；当a ＞1时，为｛x ｜x ＜2a 或a ＞2｝．14．由条件知：f （4）＝f （2×2）＝f （2）＋f （2）＝2，f （8）＝f （2×4）＝f （2）＋f （4）＝1＋2＝3，f （x ）＋f （x －2）＜3变为f （x 2－2x ）＜f （8），由定义域及单调性，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0 x －2＞0 x 2－2 x ＜8⇒2＜x ＜4． ∴原不等式的解集为｛x ｜2＜x ＜4｝． 不等式的性质与一元二次不等式测试题（B 组）答案一、选择题1-5．ＡＣＢＤＢ提示：2． c a －d b ＝bc －ad ab，当 a ＞b ＞c ＞d ＞0时，bc ＞ad 不一定成立，所以④不准确，利用不等式的性质能够判断其余3个命题均成立．3．x 2－x ＋1＝（x －12 ）2＋34 ＞0，解7x 2－6x －1＜0得－17＜x ＜1． 4．由条件知a ＞0，且⎩⎨⎧－b a ＝－2＋4 c a =（－2）×4，∴⎩⎨⎧b ＝－2a c ＝－8a ∴f （x ）＝a x 2－2a x －8a ＝a ［（x －1）2－9］，对称轴为x ＝1，f （－1）＝f （3）， 又∵a ＞0，∴f （x ）在［1，＋∞）上递增，∴f （2）＜f （3）＜f （5）即f （2）＜f （－1）＜f （5）成立．5．g （x ）＝x 2－4x －12的对称轴为x ＝2，g （x ）在（－∞，2］上是减函数，令x 2－4x －12＞0，得x ＜－2或x ＞6，再由复合函数单调性知f （x ）的递减区间为（－∞，－2）．二、填空题6．（－5，6）；7．［0，1］．提示：6．原不等式变为（13 ）x 2＋x >（13）2x ＋30，x 2＋x ＜2x ＋30，⇒－5＜x ＜6． 7．kx 2－6kx ＋k ＋8≥0恒成立，∴k ＝0或⎩⎨⎧k ＞0Δ≤0⇒0≤k ≤1． 三、解答题8．（1）∵f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，f （－2）＝4a －2b ，f （－2）＝m f （－1）＋n f （1），∴4a －2b ＝m （a －b ）＋n （a ＋b ）∴⎩⎨⎧m ＋n ＝4， －m ＋n ＝－2， ∴⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.（2）由（1）知f （－2）＝3 f （－1）＋f （1）．由1≤f （－1）≤2，知3≤3f （－1）≤6，又∵2≤f （1）≤4．∴5≤3 f （－1）＋f （1）≤10 即5≤f （－2）≤10．9．由题意，得⎩⎨⎧0.1x ＋0.01x 2＞12 0.05x ＋0.005x 2＞10 即⎩⎨⎧x 2＋10x －1200＞0 …① x 2＋10x －2000＞0 …②由①x ＜－40，或x ＞30；由②得x ＜－50，或x ＞40，因为车速x ＞0，∴x 甲＞30 km/h ，x 乙＞40 km/h ，经比较乙车超过限速，应负主要责任．10．设f （x ）＝7x 2－（a ＋13）x ＋a 2－a －2．∵x 1、x 2是方程f （x ）＝0的两个实根，且0＜x 1＜1＜x 2＜2．∴⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0， f （1）＜0， f （2）＞0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0， 7－（a ＋13）＋a 2－a －2＜0， 28－2（a ＋13）＋a 2－a －2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0， a 2－2a －8＜0， a 2－3a ＞0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1，或a ＞2， －2＜a ＜4， a ＜0，或a ＞3⇒－2＜a ＜－1，或3＜a ＜4． ∴a 的取值范围是｛a ｜－2＜a ＜－1，或3＜a ＜4｝．。