x A x
∈使得 ( ).
有一个素数是偶数；
任意正整数都是质数或合数；三角形有且仅有一个外接圆
( B ) 必要不充分条件
D ）既不充分也不必要条件
所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是
答案：
题型一：四种命题之间的关系
例1 命题“2
0(b a b +=∈2
若a 、R ），则a=b=0”的逆否命题是（ D ）. (A) ≠≠若 a b 0∈(a,b R),则20b +≠2a (B) ≠若 a=b 0∈(a,b R),则20b +≠2a (C) 0≠≠若 a 且b 0∈(a,b R),则20b +≠2a
(D) 0≠≠若 a 或b 0∈(a,b R),则20b +≠2a
【审题要津】命题结论中的a=b=0如何否定是关键.
解: a=b=0是a=0且b=0,否定时“且”应变为“或”,所以逆否命题为:
0≠≠若 a 或b 0∈(a,b R),则20b +≠2a ,故应选D
【方法总结】一个命题结论当条件，条件作结论得到的命题为原命题的逆否命题. 题型二：充分、必要条件题型
例2 “,,αβγ 成等差数列”是“等式αγβsin(+)=sin2成立”的 （ A ）. （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分有不必要的条件
【审题要津】,,αβγ 成等差数列,说明2αγβ+= ,问题的关键是由两个角的正弦值相等是否一定有两个角相等.
解: 由,,αβγ 成等差数列,所以2αγβ+= ,所以αγβsin(+)=sin2成立,充分;反之,由
αγβsin(+)=sin2成立,不见得有,,αβγ 成等差数列,故应选A.
【方法总结】p q ⇒:p 是q 充分条件; q 是p 必要条件,否则:p 是q 的不充分条件; q 是p 不必要条件. 变式练习：“1a =”是“,21a
x x x
+
≥对任意的正数”的 （ A ）. （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分有不必要的条件 例3 221
:212;:210(0)3
x p q x x m m --≤-
≤-+-≤>已知，若p ⌝是q ⌝的必要但不充分条件，求实数m 的取值范围.
【审题要津】命题p ,q 可以化的更简,由p ⌝和q ⌝的关系可以得到p 与q 的关系,利用集合的理论方法将问题解决.
解: 由22
210x x m -+-≤得：11,(0)m x m m -≤≤+>，
{}:11,0q A x x m x m m ∴⌝=>+<->或. {}1
12210,:2103
x x p B x x x -≤-
≤-≤≤∴⌝=<->由-2得或. 由p ⌝是q ⌝的必要但不充分条件知：p 是q 的充分但不必要条件，即B A ⊆于是：
012110m m m >⎧⎪
-≥-≤⎨⎪+≤⎩
解得0例4 已知2
:10p x mx ++=方程有两个不等的负实数根；
q ：
方程24x +()4210m x -+=无实根, p q p q 若或为真，且为假，求m 的取值范围. 【审题要津】把两个方程化简，然后根据p q p q 或及且列不等式组，方可求m 的取值范围.
解：240,
:2;0
m p m m ⎧∆=->>⎨
>⎩解得 ()()2
2:16216164301 3.q m m m m ∆=--=-+<<<解得
p q p q 或及且，p q p q ∴为真，为假或为假，为真，
2,2,3121 3.
13m m m m m m m >≤⎧⎧≥<≤⎨⎨<<≤≥⎩⎩即或解得或或 【方法总结】此题是方程与命题的综合题,涉及到一元二次方程的判别式和根与系数的关系,一元二次不等式及不等式组、集合的补集、p q p q 或及且两类复合命题的真假判断.
变式练习：设有两个命题, p :不等式1x x a ++>的解集为R, q :函数()f x =
()73x
a --在R 上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则a 的取值范围是12a ≤<.
题型四：全称命题、特称命题
例5 设,A B 为两个集合,下列四个命题:
(1),A B x A x B ⊆⇔∀∈∉有 (2) A B A
B ⊄⇔=∅
(3) A B B A ⊄⇔⊄ (4) A B x A x B ⊄⇔∃∈∉使得
其中真命题的序号为(4).
【审题要津】根据子集的概念,通过举反例加以排除假命题. 解: {}{}{}1231241112A B A B A B A
B ==⊄∈∈=若，，，，，，满足，但且，，,
所以(1),(2)是假命题; {}{}1241A B A B B A ==⊄⊆若，，，，满足但,所以(3)是假命题,只有(4)为真命题.
【方法总结】全称命题通过“举反例”来否定.
变式练习：下列命题中,既是真命题又是特称命题的是 ( A ).
(A) ()
n 90sin ααα︒-=有一个使si (B) sin 2
x x π
=
存在实数，使
(C) ()
,sin 180sin ααα︒-=对一切 (D) sin15sin 60cos 45cos60sin 45︒︒︒︒︒=- 题型五：综合应用
例6 已知关于x 的实系数二次方程20x ax b ++=有两个实数根,αβ.证明: 2α< 且
2244b βα<<+<是且b 的充要条件.
【审题要津】充要条件的证明题都必须从充分和必要两个方面加以证明,其中的充分性是由条件推出结论，
从题目的叙述中可以看出，2α<且2β<是条件，244b α<+<且b 是结论，由于二次方程的根由相应的
二次函数的图象与x 轴的交点直观的表示出来，因此可以其直观性帮助解题。
证明：（1）充分性：由韦达定理得224αβαβ=
=<⨯=b .
设2
()f x x ax b =++,则函数()f x 的图象是开口向上的抛物线,又
2α<,2β<,(2)0f ∴±>.即有
420a b ++>,420a b -+>
联立解得24a b <+.
(2)必要性: 由24a b <+(2)0f ⇒±>且()f x 的图象是开口向上的抛物线,∴方程 ()0f x =的两根
,αβ同在(2,2)-内或无实根. ,αβ是方程()0f x =的根, ,αβ同在(2,2)-内,即2α<且2β<.
课堂练习： 一、选择题
1．B 可以判断真假的陈述句
2．D 原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题 3．A ①220a b a b >>⇒>，仅仅是充分条件 ②0a b >>⇒
b
a 1
1< ，仅仅是充分条件；③330a b a b >>⇒>，仅仅是充分条件 4．D 否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性 5．A :,120A a R a a ∈<⇒-<，充分，反之不行
6．A :12,31p x x ⌝+≤-≤≤，2
2
:56,560,3,2q x x x x x x ⌝-≤-+≥≥≤或 p q ⌝⇒⌝，充分不必要条件 二、填空题
1．若,a b 至少有一个为零，则a b ⋅为零 2．充分条件 A B ⇒
