人教版高中数学必修二-全册教案

人教版高中数学必修二全册教案
第一单元相似与全等
教学目标
- 了解相似与全等的基本概念
- 掌握相似三角形的判定方法和相似比的计算
- 掌握全等三角形的判定方法和全等条件
- 能够应用相似与全等的知识解决实际问题
教学内容
1. 相似三角形的判定方法
2. 相似比的计算
3. 全等三角形的判定方法
4. 全等条件
5. 实际问题的解决
教学步骤
1. 导入：通过展示两个相似或全等的图形，引发学生对相似与全等的疑惑，并带入本单元的教学内容。

2. 概念讲解：介绍相似与全等的定义和基本性质，并结合具体例子进行说明。

3. 相似三角形的判定方法：讲解相似三角形的三种判定方法，并通过练巩固学生的理解。

4. 相似比的计算：教授相似比的计算方法，以及在计算过程中常见的注意事项。

5. 全等三角形的判定方法：讲解全等三角形的判定方法，并通过实例演示。

6. 全等条件：介绍全等三角形的各种条件，并进行相关例题讲解。

7. 实际问题的解决：通过一些实际问题，引导学生将相似与全等的知识应用于解决实际情况。

8. 小结：总结本单元的重点内容，强化学生对相似与全等的理解和应用能力。

9. 练：布置相应的练题，巩固学生对本单元知识的掌握。

教学评价与反思
1. 通过学生的课堂参与情况，观察他们对相似与全等概念的理解程度。

2. 检查学生在相似比计算和全等条件判定方面的掌握情况。

3. 分析学生在解决实际问题时的思考能力和应用能力。

扩展阅读
- 人教版高中数学必修二全册教材
- 相似与全等的相关练习册和习题集。

最新⼈教版⾼中数学必修2-全册教案第⼀章空间⼏何体第⼀章课⽂⽬录1．空间⼏何体的结构1．空间⼏何体的三视图和直观图1．3空间⼏何体的表⾯积与体积知识结构：⼀、空间⼏何体的结构、三视图和直观图1．柱、锥、台、球的结构特征圆柱：以矩形的⼀边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲⾯所围成的⼏何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转⽽成的曲⾯叫做圆柱的侧⾯；⽆论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧⾯的母线。

棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：⼀般的有⼀个⾯是多边形，其余各⾯都是有⼀个公共顶点的三⾓形，由这些⾯所围成的⼏何体叫做棱锥；这个多边形⾯叫做棱锥的底⾯或底；有公共顶点的各个三⾓形⾯叫做棱锥的侧⾯；各侧⾯的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧⾯的公共边叫做棱锥的侧棱。

底⾯是三⾓锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……圆锥：以直⾓三⾓形的⼀条直⾓边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲⾯所围成的⼏何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的⾯叫做圆锥的底⾯；斜边旋转形成的曲⾯叫做圆锥的侧⾯。

棱锥与圆锥统称为锥体。

（3）台棱台：⽤⼀个平⾏于底⾯的平⾯去截棱锥，底⾯和截⾯之间的部分叫做棱台；原棱锥的底⾯和截⾯分别叫做棱台的下底⾯和上底⾯；棱台也有侧⾯、侧棱、顶点。

圆台：⽤⼀个平⾏于底⾯的平⾯去截圆锥，底⾯和截⾯之间的部分叫做圆台；原圆锥的底⾯和截⾯分别叫做圆台的下底⾯和上底⾯；圆台也有侧⾯、母线、轴。

圆台和棱台统称为台体。

（4）球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆⾯旋转⼀周形成的⼏何体叫做球体，简称为球；半圆的圆⼼叫做球的球⼼，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

（5）组合体由柱、锥、台、球等⼏何体组成的复杂的⼏何体叫组合体。

⼏种常凸多⾯体间的关系⼀些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质：名称棱柱直棱柱正棱柱有两个⾯互相平⾏，⽽其余每相邻两个⾯的交线都互相平⾏的多⾯体侧棱垂直于底⾯的棱柱底⾯是正多边形的直棱柱侧棱平⾏且相等平⾏且相等平⾏且相等侧⾯的形状平⾏四边形矩形全等的矩形对⾓⾯的形状平⾏四边形矩形矩形平⾏于底⾯的截⾯的形状与底⾯全等的多边形与底⾯全等的多边形与底⾯全等的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有⼀个⾯是多底⾯是正多边⽤⼀个平⾏于由正棱锥截得边形，其余各⾯是有⼀个公共顶点的三⾓形的多⾯体形，且顶点在底⾯的射影是底⾯的射影是底⾯和截⾯之间的部分棱锥底⾯的平⾯去截棱锥，底⾯和截⾯之间的部分的棱台侧棱相交于⼀点但不⼀定相等延长线交于⼀点相等且延长线交于⼀点侧⾯的形状三⾓形全等的等腰三⾓形梯形全等的等腰梯形对⾓⾯的形状三⾓形等腰三⾓形梯形等腰梯形平⾏于底的截⾯形状与底⾯相似的多边形与底⾯相似的正多边形与底⾯相似的多边形与底⾯相似的正多边形其他性质⾼过底⾯中⼼；侧棱与底⾯、侧⾯与底⾯、相邻两侧⾯所成⾓都相等两底中⼼连线即⾼；侧棱与底⾯、侧⾯与底⾯、相邻两侧⾯所成⾓都相等⼏种特殊四棱柱的特殊性质：名称特殊性质平⾏六⾯体底⾯和侧⾯都是平⾏四边⾏；四条对⾓线交于⼀点，且被该点平分正⽅体棱长都相等，各⾯都是正⽅形四条对⾓线相等，交于⼀点，且被该点平分2．空间⼏何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同⼀个⼏何体，画出的空间⼏何体的图形。

人教版高中数学必修二教案篇一：人教版高中数学必修2教案讲义1：空间几何体一、教学要求：通过实物模型，观察大量的空间图形，认识柱体、锥体、台体、球体及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.二、教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱体、锥体、台体、球体的结构特征.三、教学难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括.四、教学过程：（一）、新课导入：1. 导入：进入高中，在必修②的第一、二章中，将继续深入研究一些空间几何图形，即学习立体几何，注意学习方法：直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算.（二）、讲授新课：1. 教学棱柱、棱锥的结构特征：①、讨论：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，得到的几何体有哪些公共特征？把这些几何体用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？②、定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱. → 列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽）.结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线.③、分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等.表示：棱柱ABCDE-A’B’C’D’E’④、讨论：埃及金字塔具有什么几何特征？⑤、定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高. → 讨论：棱锥如何分类及表示？⑥、讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？★棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形★棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.2. 教学圆柱、圆锥的结构特征：① 讨论：圆柱、圆锥如何形成？② 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.→结合图形认识：底面、轴、侧面、母线、高. → 表示方法③ 讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？→ 柱体、锥体.④ 观察书P2若干图形，找出相应几何体；三、巩固练习：1. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5cm,,面积为12cm,求圆锥的底面半径.2.已知圆柱的底面半径为3cm,,轴截面面积为24cm,求圆柱的母线长.3.正四棱锥的底面积为46cm,侧面等腰三角形面积为6cm,求正四棱锥侧棱.（四）、教学棱台与圆台的结构特征：① 讨论：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？② 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高.讨论：棱台的分类及表示？圆台的表示？圆台可如何旋转而得？③ 讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？ 22★ 棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.★ 圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.④ 讨论：棱、圆与柱、锥、台的组合得到6个几何体. 棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥有什么关系？（以台体的上底面变化为线索）2．教学球体的结构特征：① 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体.结合图形认识：球心、半径、直径.→ 球的表示.② 讨论：球有一些什么几何性质？③ 讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体）棱台与棱柱、棱锥有什么共性？（多面体）3. 教学简单组合体的结构特征：① 讨论：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？② 定义：由柱、锥、台、球等几何结构特征组合的几何体叫简单组合体.4. 练习：圆锥底面半径为１cmcm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长. （补充平行线分线段成比例定理）（五）、巩固练习：1. 已知长方体的长、宽、高之比为4∶3∶12，对角线长为26cm, 则长、宽、高分别为多少？2. 棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，求截得这棱台的原棱锥的高3. 若棱长均相等的三棱锥叫正四面体，求棱长为a的正四面体的高.★例题：用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，截得的圆台的上、下底面的半径的比是1：4，截去的圆锥的母线长为3厘米，求此圆台的母线之长。

新人教版高中数学必修二教案(全册)第一章：二次函数与一元二次方程1.1 二次函数的基本性质与图像- 教学目标：了解二次函数的定义和基本性质，掌握画出二次函数的图像的方法。

- 教学内容：二次函数的定义、顶点、对称轴等基本性质，画出二次函数的图像。

- 教学步骤：1. 引入二次函数的概念，阐述其基本性质。

2. 对比一次函数和二次函数的特点，引导学生理解二次函数的图像形态。

3. 指导学生根据给定的二次函数方程画出对应的图像。

- 教学反思：本节课通过引入二次函数的基本概念和性质，帮助学生理解二次函数的图像形态，并通过实例让学生练画出二次函数的图像，加深对二次函数的理解。

1.2 一元二次方程- 教学目标：掌握一元二次方程的概念、解法和应用。

- 教学内容：一元二次方程的定义、解法和应用。

- 教学步骤：1. 介绍一元二次方程的定义和基本概念。

2. 分析一元二次方程的解的情况，讲解解一元二次方程的方法。

3. 引入一元二次方程的应用，如求解实际问题等。

- 教学反思：通过讲解一元二次方程的定义、解法和应用，帮助学生掌握解一元二次方程的方法，并引导学生将所学知识应用于实际问题的求解中，提高数学应用能力。

第二章：不等式2.1 不等式的概念与性质- 教学目标：了解不等式的概念和性质，掌握解不等式的方法。

- 教学内容：不等式的定义、性质、解法。

- 教学步骤：1. 引入不等式的概念和基本性质。

2. 分析不等式的解的情况，介绍解不等式的方法。

3. 给出具体的不等式问题，引导学生解决实际问题。

- 教学反思：通过引入不等式的概念和性质，帮助学生掌握解不等式的方法，并通过实际问题的解决，提高学生的数学应用能力。

2.2 一元一次不等式组- 教学目标：了解一元一次不等式组的概念和解法。

- 教学内容：一元一次不等式组的定义、解法。

- 教学步骤：1. 引入一元一次不等式组的概念和基本性质。

2. 讲解解一元一次不等式组的方法。

3. 给出具体的一元一次不等式组问题，引导学生解决实际问题。

人教版高中数学必修二全册优质教案【可打印】一、教学内容本节课，我们将深入探讨人教版高中数学必修二第二章《函数、方程与不等式》2.3节“一元二次方程解法”。

具体内容涉及一元二次方程标准形式、求解方法，包括直接开平方法、配方法、公式法以及它们适用范围和优缺点。

二、教学目标通过本节课学习，学生应能够：1. 理解一元二次方程基本概念，掌握其标准形式。

2. 运用直接开平方法、配方法和公式法求解一元二次方程。

3. 分析各种解法适用条件，并比较它们优缺点。

4. 解决实际问题中涉及一元二次方程。

三、教学难点与重点重点：一元二次方程求解方法及其实际应用。

难点：配方法运用及其理解，一元二次方程根判别式理解和应用。

四、教具与学具准备1. 教具：PPT展示求解过程，板书重要步骤。

2. 学具：学生每人一份练习纸，包含随堂练习题目。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过一个简单实际情景，如“一个正方形对角线比边长多2，求边长”，引导学生发现其中一元二次方程问题。

2. 新课导入：回顾一元二次方程基本概念，引导学生发现解一元二次方程必要性。

3. 例题讲解：a. 直接开平方法：以方程x^2 = 4为例，讲解求解步骤。

b. 配方法：以方程x^2 5x + 6 = 0为例，详细演示配方法过程。

c. 公式法：依据一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，推导求解公式，并以具体方程为例讲解。

4. 随堂练习：发放练习纸，学生独立完成三道不同类型题目，教师巡回指导。

六、板书设计1. 一元二次方程标准形式。

2. 直接开平方法、配方法和公式法求解步骤。

3. 不同解法适用条件对比。

七、作业设计1. 作业题目：a. 求解方程x^2 3x 4 = 0。

b. 如果一个一元二次方程两个根和是6，它们乘积是15，求这个方程。

c. 实际问题：一块矩形场地长比宽多3米，面积是18平方米，求场地长度和宽度。

答案：a. x1 = 4, x2 = 1。

b. x^2 + 6x 15 = 0。

最新人教版高中数学必修二教案(全册)第一章：二次函数与一元二次方程授课内容本章主要介绍二次函数及其性质以及一元二次方程的解法。

授课目标1. 理解二次函数的定义，并掌握其图像的性质；2. 掌握一元二次方程的解法，包括因式分解、公式法和配方法等；3. 能够在实际问题中应用二次函数和一元二次方程。

教学步骤1. 引入二次函数的概念，让学生了解二次函数的定义和一般式；2. 通过图像展示二次函数的性质，如顶点、对称轴、最值点等；3. 教授一元二次方程的解法，首先介绍因式分解法，然后讲解公式法和配方法；4. 给学生提供一些练题，让他们运用所学知识解决实际问题；5. 总结本章内容，强调重点和难点。

教学资源- 人教版高中数学必修二教材- 教案PPT- 二次函数和一元二次方程的练题教学评估- 学生课堂表现- 练题的完成情况- 小组合作讨论的质量第二章：数列与数学归纳法授课内容本章主要介绍数列的概念、性质以及数学归纳法的应用。

授课目标1. 理解数列和数列的通项公式的概念；2. 掌握常见数列的求和公式；3. 掌握数学归纳法的基本思想和应用方法；4. 能够在实际问题中应用数列和数学归纳法。

教学步骤1. 引入数列的概念，让学生了解等差数列和等比数列的定义；2. 通过例题演示如何求解数列的通项公式和求和公式；3. 引入数学归纳法的基本思想，并讲解其应用方法；4. 提供一些实际问题让学生运用数列和数学归纳法求解；5. 总结本章内容，强调重点和难点。

教学资源- 人教版高中数学必修二教材- 教案PPT- 数列和数学归纳法的练题教学评估- 学生课堂表现- 练题的完成情况- 小组合作讨论的质量...（继续编写剩余章节的教案）。

空间直线、平面的垂直【第一课时】【教学目标】1．会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角2．理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性3．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题【教学重难点】1．异面直线所成的角2．直线与平面垂直的定义3．直线与平面垂直的判定定理【核心素养】1．直观想象、逻辑推理、数学运算2．直观想象【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．异面直线所成的角的定义是什么？2．异面直线所成的角的范围是什么？3．异面直线垂直的定理是什么？4．直线与平面垂直的定义是什么？5．直线与平面垂直的判定定理是什么？二、基础知识1．异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．（2）垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b．（3）范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°．[名师点拨]当两条直线a ，b 相互平行时，规定它们所成的角为0°．所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°．注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直定义一般地，如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直记法l ⊥α有关概念直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示及画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直名师点拨（1）直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．（2）注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α名师点拨判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．三、合作探究异面直线所成的角如图，在正方体ABCD ­EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心．求：（1）BE 与CG 所成的角；（2）FO 与BD 所成的角．【解】（1）如图，因为CG ∥BF ．所以∠EBF （或其补角）为异面直线BE 与CG 所成的角，又在△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°．（2）连接FH ，因为HD ∥EA ，EA ∥FB ，所以HD ∥FB ，又HD ＝FB ，所以四边形HFBD 为平行四边形．所以HF ∥BD ，所以∠HFO （或其补角）为异面直线FO 与BD 所成的角．连接HA ，AF ，易得FH ＝HA ＝AF ，所以△AFH 为等边三角形，又知O 为AH 的中点，所以∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角为30°．1．[变条件]在本例正方体中，若P 是平面EFGH 的中心，其他条件不变，求OP 和CD 所成的角．解：连接EG ，HF ，则P 为HF 的中点，连接AF ，AH ，OP ∥AF ，又CD ∥AB ，所以∠BAF （或其补角）为异面直线OP 与CD 所成的角，由于△ABF 是等腰直角三角形，所以∠BAF ＝45°，故OP 与CD 所成的角为45°．2．[变条件]在本例正方体中，若M ，N 分别是BF ，CG 的中点，且AG 和BN 所成的角为39．2°，求AM 和BN 所成的角．解：连接MG ，因为BCGF 是正方形，所以BF═∥ CG ，因为M ，N 分别是BF ，CG 的中点，所以BM ═∥ NG ，所以四边形BNGM 是平行四边形，所以BN ∥MG ，所以∠AGM （或其补角）是异面直线AG 和BN 所成的角，∠AMG （或其补角）是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39．2°，所以∠AMG＝101．6°，所以AM和BN所成的角为78．4°．[规律方法]求异面直线所成的角的步骤（1）找出（或作出）适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．（3）结论——设由（2）所求得的角的大小为θ．若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒]求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°．直线与平面垂直的定义（1）直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（）A．平行．相交C．异面．垂直（2）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【解析】（1）因为直线l⊥平面α，所以l与α相交．又因为m⊂α，所以l与m相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m．故l与m不可能平行．（2）对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．【答案】（1）A（2）B[规律方法]对线面垂直定义的理解（1）直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．（2）由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b．直线与平面垂直的判定如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．（1）求证：PC⊥平面AEF；（2）设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．【证明】（1）因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC．又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC．又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF．（2）由（1）知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD．1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH．证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ，因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，又FH ⊂平面PAC ，所以BD ⊥FH ．2．[变条件]若本例中PA ＝AD ，G 是PD 的中点，其他条件不变，求证：PC ⊥平面AFG ．证明：因为PA ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以DC ⊥PA ，又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ，所以DC ⊥平面PAD ，又AG ⊂平面PAD ，所以AG ⊥DC ，因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ，所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ，又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ，所以PC ⊥平面AFG ．3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD ．证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG ．因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以GF ═∥ 12CD ，又AE ═∥ 12CD ，所以GF ═∥ AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF ．因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ，易知CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD ．因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD ．（1）线线垂直和线面垂直的相互转化（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒]要证明两条直线垂直（无论它们是异面还是共面），通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．【课堂检测】1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是（）A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C．过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c．因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c．因为b∥c，所以a⊥b．当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（）A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：选B．因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1．3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线（）A．相交且垂直B．不相交也不垂直C．相交不垂直D．不相交但垂直解析：选D．如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD．4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b 平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC 的补角，所以直线a，b所成的角为60°．答案：60°【第二课时】【教学目标】1．了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法2．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题【教学重难点】1．直线与平面所成的角2．直线与平面垂直的性质【核心素养】1．直观想象、逻辑推理、数学运算2．直观想象、逻辑推理【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．直线与平面所成的角的定义是什么？2．直线与平面所成的角的范围是什么？3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？4．如何求直线到平面的距离？5．如何求两个平行平面间的距离？二、基础知识1．直线与平面所成的角（1）定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°．（3）范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．名师点拨把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．2．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言Error!⇒a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线名师点拨（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．（2）定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．3．线面距与面面距（1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．三、合作探究直线与平面所成的角在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【解】取AA1的中点M，连接EM，BM．因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝22＋22＋12＝3．于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝EMBE＝23，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为2 3．[规律方法]线面垂直的性质定理的应用如图，已知正方体A1C．（1）求证：A1C⊥B1D1；（2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN ⊥C1D，求证：MN∥A1C．【证明】（1）如图，连接A1C1．因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1．因为四边形A 1B 1C 1D 1是正方形，所以A 1C 1⊥B 1D 1．又因为CC 1∩A 1C 1＝C 1，所以B 1D 1⊥平面A 1C 1C ．又因为A 1C ⊂平面A 1C 1C ，所以B 1D 1⊥A 1C ．（2）如图，连接B 1A ，AD 1．因为B 1C 1═∥ AD ，所以四边形ADC 1B 1为平行四边形，所以C 1D ∥AB 1，因为MN ⊥C 1D ，所以MN ⊥AB 1．又因为MN ⊥B 1D 1，AB 1∩B 1D 1＝B 1，所以MN ⊥平面AB 1D 1．由（1）知A 1C ⊥B 1D 1．同理可得A 1C ⊥AB 1．又因为AB 1∩B 1D 1＝B 1，所以A 1C ⊥平面AB 1D 1．所以A 1C ∥MN ． [规律方法]（1）若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．（2）直线与平面垂直的其他性质①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③若l ⊥α于A ，AP ⊥l ，则AP ⊂α；④垂直于同一条直线的两个平面平行；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．求点到平面的距离如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P ­ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离．【解】（1）证明：如图，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ．因为四边形ABCD 为矩形，所以点O 为BD 的中点．又点E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ．因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ．（2）V ＝16AP ·AB ·AD ＝36AB ．由V ＝34，可得AB ＝32．作AH ⊥PB 于点H ．由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH ，故AH ⊥平面PBC ，即AH 的长就是点A 到平面PBC 的距离．因为PB ＝AP 2＋AB 2＝132，所以AH ＝AP ·AB PB ＝31313，所以点A 到平面PBC 的距离为31313．[规律方法]从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解．【课堂检测】1．若斜线段AB 是它在平面α内射影长的2倍，则AB 与平面α所成角的大小为（）A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°解析：选A ．斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO 即是斜线段与平面所成的角．又AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝OB AB ＝12，所以∠ABO ＝60°．2．已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，则下列结论中不正确的是（）A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CD C ．PD ⊥BDD ．PA ⊥BD解析：选C ．PA ⊥平面ABCD ⇒PA ⊥BD ，D 正确；Error!⇒BC ⊥平面PAB ⇒BC ⊥PB ．故A 正确；同理B 正确；C 不正确．3．如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，则过M 且与直线AB 和B 1C 1都垂直的直线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条解析：选A ．显然DD 1是满足条件的一条，如果还有一条l 满足条件，则l ⊥B 1C 1，l ⊥AB ．又AB ∥C 1D 1，则l ⊥C 1D 1．又B 1C 1∩C 1D 1＝C 1，所以l ⊥平面B 1C 1D 1．同理DD 1⊥平面B 1C 1D 1，则l ∥DD 1．又l 与DD 1都过M ，这是不可能的，因此只有DD 1一条满足条件．4．如图，已知AD ⊥AB ，AD ⊥AC ，AE ⊥BC 交BC 于点E ，D 是FG 的中点，AF ＝AG ，EF ＝EG ．求证：BC ∥FG ．证明：连接DE ．因为AD ⊥AB ，AD ⊥AC ，所以AD ⊥平面ABC ．又BC ⊂平面ABC ，所以AD⊥BC．又AE⊥BC，所以BC⊥平面ADE．因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG．同理ED⊥FG．又AD∩ED＝D，所以FG⊥平面ADE．所以BC∥FG．【第三课时】【学习目标】1．理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小2．理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理3．理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题【学习重难点】1．二面角2．平面与平面垂直的判定定理3．平面与平面垂直的性质定理【核心素养】1．直观想象、数学运算2．直观想象、数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．二面角的定义是什么？2．如何表示二面角？3．二面角的平面角的定义是什么？4．二面角的范围是什么？5．面面垂直是怎样定义的？6．面面垂直的判定定理的内容是什么？7．面面垂直的性质定理的内容是什么？二、基础知识1．二面角（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．（2）图形和记法图形：记作：二面角α­AB­β或二面角α­l­β或二面角P­AB­Q或二面角P­l­Q．2．二面角的平面角（1）定义：在二面角α­l­β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．（2）图形、符号及范围图形：符号：Error!⇒∠AOB是二面角的平面角．范围：0°≤∠AOB≤180°．（3）规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．名师点拨（1）二面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的．（2）构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直．3．平面与平面垂直（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β．（2）判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直Error!⇒α⊥β名师点拨定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线．4．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言Error!⇒a ⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线名师点拨对面面垂直的性质定理的理解（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．（2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．三、合作探究二面角的概念及其大小的计算（1）在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成锐二面角A 1­BD ­A 的正切值为（）A ．32B ．22C ．2D ．3（2）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为（）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不确定【解析】（1）如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 的中点，因为A 1D ＝A 1B ，所以在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD ．又因为在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，所以∠A 1OA 为二面角A 1­BD ­A 的平面角．设AA 1＝1，则AO ＝22．所以tan ∠A 1OA ＝122＝2．（2）反例：如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是CD ，C 1D 1的中点，二面角D ­AA 1­E 与二面角B 1­AB ­C 的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．【答案】（1）C （2）D（1）求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．（2）作出二面角的平面角的方法方法一：（定义法）在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB 为二面角α­a ­β的平面角．方法二：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠AFE为二面角A­BC ­D 的平面角．方法三：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．如图所示，∠AOB 为二面角α­l ­β的平面角．[提醒]二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．平面与平面垂直的判定角度一利用定义证明平面与平面垂直如图，在四面体ABCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD＝AC ＝a ．求证：平面ABD ⊥平面BCD ．【证明】因为△ABD 与△BCD 是全等的等腰三角形，所以取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则AE ⊥BD ，BD⊥CE ．在△ABD 中，AB ＝a ，BE ＝12BD ＝22a ，所以AE ＝ AB 2－BE 2＝22a ．同理CE ＝22a ，在△AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ．由于AC 2＝AE 2＋CE 2，所以AE ⊥CE ，∠AEC 是二面角A ­BD ­C 的平面角，又因为∠AEC ＝90°，所以二面角A ­BD ­C 为直二面角，所以平面ABD ⊥平面BCD ．角度二利用判定定理证明平面与平面垂直如图，在四棱锥P ­ABCD 中，若PA ⊥平面ABCD 且四边形ABCD 是菱形．求证：平面PAC ⊥平面PBD ．【证明】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ．因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．又因为BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．[规律方法]证明平面与平面垂直的两种常用方法（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：①找出两相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个相交平面互相垂直．（2）利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：面面垂直的性质定理的应用已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【证明】如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC．因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC ，因为AD ∩PA ＝A ，所以BC ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥AC ． [反思归纳]利用面面垂直的性质定理应注意的问题若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．垂直关系的综合问题如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA ．【证明】（1）如图，取EC 的中点F ，连接DF ．因为EC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EC ⊥BC ．同理可得BD ⊥AB ，易知DF ∥BC ，所以DF ⊥EC ．在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，因为EF ＝12EC ，EC ＝2BD ，所以EF ＝BD ．又FD ＝BC ＝AB ，所以Rt △EFD ≌Rt △DBA ，故DE ＝DA ．（2）取CA 的中点N ，连接MN ，BN ，则MN ∥EC ，且MN ＝12EC ．因为EC ∥BD ，BD ＝12EC ，所以MN綊BD，所以N点在平面BDM内．因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN．又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA．因为BN在平面MNBD内，所以平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA．（3）由（2）易知DM∥BN，BN⊥平面ECA，所以DM⊥平面ECA．又DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA．[规律方法]垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：【课堂检测】1．给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直．A．4B．3C．2 D．1解析：选B．①②④正确．①线面平行的性质定理；②线面垂直的判定定理；③这两条直线可能相交或平行或异面；④面面垂直的判定定理．2．在下列关于直线m，l和平面α，β的说法中，正确的是（）A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β，且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α解析：选B．A项中l与α可以平行或斜交，A项错．B项中，l⊥β且α∥β，所以l⊥α正确．C项中，l可在α内，C项错．D项中，l可在α内，D项错．3．在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角P­AB­C的大小为Ｗ．解析：取AB的中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，所以∠PMC就是二面角P­AB­C的平面角．在△PAB中，PM＝22－（3）2＝1，同理MC＝PC＝1，则△PMC是等边三角形，所以∠PMC＝60°．答案：60°4．已知平面α，β和直线m，l，则下列说法：①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；②若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β．其中正确的说法序号为Ｗ．解析：对于说法①缺少了条件：l⊂α；说法②缺少了条件：α⊥β；说法③缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；说法④具备了面面垂直的性质定理的所有条件．答案：④5．如图，四边形ABCD，BD＝23，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．求证：AB⊥DE．证明：在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，BD＝23，所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD．又因为平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面EBD．因为DE⊂平面EBD，所以AB⊥DE．。

5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第2课时）(人教A 高中数学必修第一册第五章)一、教学目标1.掌握两角和与差的正弦、正切公式的推导，并进行简单的化简求值2.掌握两角和与差的正弦、正切公式的变形推导，及相关的应用二、教学重难点1.两角和与差的正弦、正切公式的推导、逆用、变形及其应用2.两角和与差的正弦、正切公式的应用三、教学过程1.正弦公式正切公式的形成问题1：两角和与差的正弦根据两角和与差的余弦公式可推出两角和与差的正弦公式：S α＋β：sin(α＋β)＝S α－β：sin(α－β)＝【预设的答案】证明：由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知：sin()cos[()]cos[()]22cos()cos sin()sin 22ππαβαβαβππαβαβ+=-+=--=-+-=βαβαsin cos cos sin +而且：sin()sin[()]sin cos()cos sin()αβαβαβαβ-=+-=-+-=βαβαsin cos -cos sin 例如,sin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30o o o o o o o=+=+=sin15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30o o o o o o o=-=-=【预设的答案】例如,sin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30o o o o o o o=+=+122224+=⨯+⨯=sin15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30o o o o o o o=-=-122224=⨯-⨯=【对点快练】1．sin 75°＝____________.2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则____________.2.−【设计意图】两角和与差的正弦公式是可以由余弦公式推导的，用实际案例让学生感受该公式的应用，用变式训练让学生快速掌握公式的应用。

【新教材】10.2 事件的相互独立性教学设计（人教A版）事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.课程目标1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.数学学科素养1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.重点：独立事件同时发生的概率．难点：有关独立事件发生的概率计算教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本246-249页，思考并完成以下问题1. 满足什么条件两个事件是相互独立的？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究事件A与B相互独立对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)，简称为独立．注意（1）事件A与B是相互独立的，那么A与B̅，A与B，A与B̅也是否相互独立.（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).四、典例分析、举一反三题型一相互独立事件的判断例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A 与事件B 是否相互独立？【答案】不独立【解析】 因为样本空间(){}{},,1,2,3,4,m n m n m n Ω=∈≠且()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =所以()()61122P A P B ===,()21126P AB == 此时()()()P AB P A P B ≠⋅因此,事件A 与事件B 不独立.解题技巧（独立事件的判断）对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥，一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练一1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A ＝“抽到K”，B ＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ；(2)C 与A .【答案】见解析.【解析】 (1)由于事件A 为“抽到K”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K 的概率为P (A )＝452＝113抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126， 事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥．由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件.题型二 相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】 设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 ()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯= （3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”ABAB AB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB ()()()P AB P AB P AB =++()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练二1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．【答案】(1) 516．(2) 516． 【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本249页练习，250页习题10.2.两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.。

人教版高中数学必修二全册完整教案第一章直线与函数1.1 直线的方程1.1.1 直线的斜率- 定义直线的斜率- 计算直线的斜率的公式- 利用斜率求直线上两点的坐标1.1.2 斜率的性质- 平行线的斜率相等- 垂直线的斜率的乘积为-11.2 一次函数1.2.1 一次函数的概念- 定义一次函数- 一次函数的图像特征1.2.2 一次函数的性质- 一次函数的图像是一条直线- 一次函数的零点和函数值1.3 函数的概念与性质1.3.1 函数的定义- 定义函数的概念- 函数的自变量和因变量1.3.2 函数的性质- 函数的奇偶性- 函数的单调性- 函数的周期性第二章二次函数2.1 二次函数的概念2.1.1 二次函数的定义- 定义二次函数- 二次函数的特征2.1.2 二次函数的图像- 二次函数的开口方向- 二次函数的对称轴2.2 二次函数的图像与性质2.2.1 二次函数图像的平移- 二次函数图像的平移规律- 利用平移法画出二次函数的图像2.2.2 二次函数的最值- 二次函数的最值与对称轴的关系- 求解二次函数的最值2.3 一元二次方程2.3.1 一元二次方程的概念- 定义一元二次方程- 一元二次方程的解的概念2.3.2 二次方程的解法- 利用因式分解法求解一元二次方程- 利用配方法求解一元二次方程第三章数据统计与概率3.1 统计的基本概念3.1.1 总体与样本- 定义总体和样本的概念- 总体与样本的区别和联系3.1.2 统计量- 定义统计量- 常用的统计量3.2 统计图3.2.1 条形图与折线图- 绘制条形图和折线图的步骤- 根据统计图分析数据3.2.2 饼图与频数分布直方图- 绘制饼图和频数分布直方图的步骤- 利用饼图和频数分布直方图分析数据3.3 概率与概率统计3.3.1 概率的定义和性质- 定义概率的概念- 概率的性质和运算法则3.3.2 随机变量和概率分布- 定义随机变量- 描述随机变量的概率分布这份文档包含了《人教版高中数学必修二》全册的完整教案。

人教版高中数学必修2《直线的倾斜角与斜率》教学设计及教案本节课选自高中数学《必修2》（普通高中课程标准实验教科书）第三章第一节第一节课。

一、内容和内容解析内容：解析几何介绍，直线的倾斜角和斜率。

每一章的第一节课非常重要，所讲内容要体现出“大问题”，“显著问题”，要从全章的角度来看问题。

因此教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念，还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等。

直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。

建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。

本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。

倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。

教学重点：1、使学生经历几何问题代数化的过程，初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法；2、理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。

二、目标和目标解析1．理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。

2．理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。

3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。

三、教学问题诊断分析平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。

事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向，这与‘一个点和直线的方向确定一条直线’是一致的”。

高中必修二数学教案（最新8篇）高中数学必修2优秀教案篇一一、教材分析在上一节认识空间几何体结构特征的基础上，本节来学习空间几何体的表示形式，以进一步提高对空间几何体结构特征的认识。

主要内容是：画出空间几何体的三视图。

比较准确地画出几何图形，是学好立体几何的一个前提。

因此，本节内容是立体几何的基础之一，教学中应当给以充分的重视。

画三视图是立体几何中的基本技能，同时，通过三视图的学习，可以丰富学生的空间想象力。

“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图。

光线自物体的前面向后投影所得的投影图称为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的投影图称为“俯视图”。

用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构，这种图称之为“三视图”。

教科书从复习初中学过的正方体、长方体……的三视图出发，要求学生自己画出球、长方体的三视图；接着，通过“思考”提出了“由三视图想象几何体”的学习任务。

进行几何体与其三视图之间的相互转化是高中阶段的新任务，这是提高学生空间想象力的需要，应当作为教学的一个重点。

三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成。

因此，教科书主要通过提出问题，引导学生自己动手作图来展示教学内容。

教学中，教师可以通过提出问题，让学生在动手实践的过程中学会三视图的作法，体会三视图的作用。

对于简单几何体的组合体，在作三视图之前应当提醒学生细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。

教材中的“探究”可以作为作业，让学生在课外完成后，再把自己的作品带到课堂上来展示交流。

值得注意的问题是三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践、动手作图来完成。

另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形。

二、教学目标1、知识与技能（1）掌握画三视图的基本技能（2）丰富学生的空间想象力2、过程与方法主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

第一章：空间几何体一、教学目标1．知识与技能1通过实物操作,增强学生的直观感知;2能根据几何结构特征对空间物体进行分类;3会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征;4会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类;2．过程与方法1让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征;2让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识;3．情感态度与价值观1使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学生的观察能力;2培养学生的空间想象能力和抽象括能力;二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征;难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括;三、教学用具1学法：观察、思考、交流、讨论、概括;2实物模型、投影仪四、教学思路一创设情景,揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物,你能举出一些例子吗这些建筑的几何结构特征如何引导学生回忆,举例和相互交流;教师对学生的活动及时给予评价;2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的,展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体,你能通过观察;根据某种标准对这些空间物体进行分类吗这是我们所要学习的内容;二、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论,对物体进行分类,分辩棱柱、圆柱、棱锥;2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片,它们各自的特点是什么它们的共同特点是什么3．组织学生分组讨论,每小组选出一名同学发表本组讨论结果;在此基础上得出棱柱的主要结构特征;1有两个面互相平行；2其余各面都是平行四边形；3每相邻两上四边形的公共边互相平行;概括出棱柱的概念;4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示;5．提出问题：各种这样的棱柱,主要有什么不同可不可以根据不同对棱柱分类请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体的几何结构特征它们由哪些基本几何体组成的6．以类似的方法,让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征,并得出相关的概念,分类以及表示;7．让学生观察圆柱,并实物模型演示,如何得到圆柱,从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示;8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征,以及相关概念和表示,借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括;9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体,棱台与圆台统称为台体,圆锥与棱锥统称为锥体;10．现实世界中,我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成;请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体的几何结构特征它们由哪些基本几何体组成的三质疑答辩,排难解惑,发展思维,教师提出问题,让学生思考;1．有两个面互相平行,其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱举反例说明,如图2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗3．课本P8,习题组第1题;4．圆柱可以由矩形旋转得到,圆锥可以由直角三角形旋转得到,圆台可以由什么图形旋转得到如何旋转5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系圆台与圆柱、圆锥呢四、巩固深化练习：课本P7练习1、212课本P8习题第2、3、4题五、归纳整理由学生整理学习了哪些内容六、布置作业课本P8练习题组第1题课外练习课本P8习题组第2题空间几何体的三视图1课时一、教学目标1．知识与技能1掌握画三视图的基本技能2丰富学生的空间想象力2．过程与方法主要通过学生自己的亲身实践,动手作图,体会三视图的作用;3．情感态度与价值观1提高学生空间想象力2体会三视图的作用二、教学重点、难点重点：画出简单组合体的三视图难点：识别三视图所表示的空间几何体三、学法与教学用具1．学法：观察、动手实践、讨论、类比2．教学用具：实物模型、三角板四、教学思路一创设情景,揭开课题“横看成岭侧看成峰”,这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同,要比较真实反映出物体,我们可从多角度观看物体,这堂课我们主要学习空间几何体的三视图;在初中,我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图正视图、侧视图、俯视图,你能画出空间几何体的三视图吗二实践动手作图1．讲台上放球、长方体实物,要求学生画出它们的三视图,教师巡视,学生画完后可交流结果并讨论;2．教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图1画出球放在长方体上的三视图2画出矿泉水瓶实物放在桌面上的三视图学生画完后,可把自己的作品展示并与同学交流,总结自己的作图心得;作三视图之前应当细心观察,认识了它的基本结构特征后,再动手作图;3．三视图与几何体之间的相互转化;1投影出示图片课本P10,图请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么2你能画出圆台的三视图吗3三视图对于认识空间几何体有何作用你有何体会教师巡视指导,解答学生在学习中遇到的困难,然后让学生发表对上述问题的看法;4．请同学们画出中其他物体表示的空间几何体的三视图,并与其他同学交流;三巩固练习课本P12练习1、2P18习题组1四归纳整理请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图五课外练习1．自己动手制作一个底面是正方形,侧面是全等的三角形的棱锥模型,并画出它的三视图;2．自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形,侧面是全等的等腰梯形的棱台模型,并画出它的三视图;空间几何体的直观图1课时一、教学目标1．知识与技能1掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图;2采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点;2．过程与方法学生通过观察和类比,利用斜二测画法画出空间几何体的直观图;3．情感态度与价值观1提高空间想象力与直观感受;2体会对比在学习中的作用;3感受几何作图在生产活动中的应用;二、教学重点、难点重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图;三、学法与教学用具1．学法：学生通过作图感受图形直观感,并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程;2．教学用具：三角板、圆规四、教学思路一创设情景,揭示课题1．我们都学过画画,这节课我们画一物体：圆柱把实物圆柱放在讲台上让学生画;2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流,比较谁画的效果更好,思考怎样才能画好物体的直观图呢这是我们这节主要学习的内容;二研探新知1．例1,用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图,由学生阅读理解,并思考斜二测画法的关键步骤,学生发表自己的见解,教师及时给予点评;画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置,因为多边形顶点的位置一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法;强调斜二测画法的步骤;练习反馈根据斜二测画法,画出水平放置的正五边形的直观图,让学生独立完成后,教师检查;2．例2,用斜二测画法画水平放置的圆的直观图教师引导学生与例1进行比较,与画水平放置的多边形的直观图一样,画水平放置的圆的直观图,也是要先画出一些有代表性的点,由于不能像多边那样直接以顶点为代表点,因此需要自己构造出一些点;教师组织学生思考、讨论和交流,如何构造出需要的一些点,与学生共同完成例2并详细板书画法;3．探求空间几何体的直观图的画法1例3,用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图;教师引导学生完成,要注意对每一步骤提出严格要求,让学生按部就班地画好每一步,不能敷衍了事;2投影出示几何体的三视图、课本P15图,请说出三视图表示的几何体并用斜二测画法画出它的直观图;教师组织学生思考,讨论和交流完成,教师巡视帮不懂的同学解疑,引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系;4．平行投影与中心投影投影出示课本P17图,让学生观察比较概括在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形的各自特点;5．巩固练习,课本P16练习11,2,3,4三、归纳整理学生回顾斜二测画法的关键与步骤四、作业1．书画作业,课本P17练习第5题2．课外思考课本P16,探究12一、教学目标1、知识与技能1通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法;2能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系;3培养学生空间想象能力和思维能力;2、过程与方法1让学生经历几何全的侧面展一过程,感知几何体的形状;2让学生通对照比较,理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系;3、情感与价值通过学习,使学生感受到几何体面积和体积的求解过程,对自己空间思维能力影响;从而增强学习的积极性;二、教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算难点：台体体积公式的推导三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,通过剖析实物几何体感受几何体的特征,从而更好地完成本节课的教学目标;2、教学用具：实物几何体,投影仪四、教学设想1、创设情境1教师提出问题：在过去的学习中,我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式,哪些几何体可以求出表面积和体积引导学生回忆,互相交流,教师归类;2教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积,那么,柱体,锥体,台体的侧面展开图是怎样的你能否计算引入本节内容;2、探究新知1利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图2组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成表面积如何求3教师对学生讨论归纳的结果进行点评;3、质疑答辩、排难解惑、发展思维1教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构,并归纳出其表面积的计算公式:r1为上底半径r为下底半径l为母线长2组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系;3教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解;如图：4教师指导学生思考,比较柱体、锥体,台体的体积公式之间存在的关系;s’,s分别我上下底面面积,h为台柱高4、例题分析讲解课本例1、例2、例35、巩固深化、反馈矫正教师投影练习1、已知圆锥的表面积为a ㎡,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面直径为;答案：m a ππ3322、棱台的两个底面面积分别是245c ㎡和80ｃ㎡,截得这个棱台的棱锥的高为35cm,求这个棱台的体积;答案：2325cm 36、课堂小结本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式;用联系的关点看待三者之间的关系,更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握;7、评价设计 习题组§球的体积和表面积一. 教学目标１． 知识与技能⑴通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分 割——求和——化为准确和”,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识; ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题; ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力; ２． 过程与方法通过球的体积和面积公式的推导,从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝34πR 3和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法,即“分割求近似值,再由近似和转化为球的体积和面积”的方法,体现了极限思想;３． 情感与价值观通过学习,使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解,提高了空间思维能力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题的信心; 二. 教学重点、难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法; 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成; 三. 学法和教学用具１． 学法：学生通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤; ２． 教学用具：投影仪四. 教学设计（一） 创设情景⑴教师提出问题：球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢 引导学生进行思考;⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积 激发学生推导球的体积和面积公式;（二） 探究新知 1．球的体积：如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片”,“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱形状,所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积,因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行; 步骤： 第一步：分割如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n 等分,过这些等分点,用一组平行于底面的平面把半球切割成n 个“小圆片”,“小圆片”厚度近似为nR,底面是“小圆片”的底面; 如图：得)1(])1(1[232n i ni n R n R r V i i ⋯⋯=--=⋅⋅≈、２ ππ 第二步：求和 第三步：化为准确的和当n →∞时,n 1→0同学们讨论得出所以3332)6211(R R ππ=⨯-＝Ｖ半球 得到定理：半径是Ｒ的球的体积334R π=球Ｖ 练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径钢的密度是cm 32．球的表面积：球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R 的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”方法推导;思考：推导过程是以什么量作为等量变换的 半径为R 的球的表面积为Ｓ＝４πR 2练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是;答案50元 （三） 典例分析 课本P 47例4和P 29例5 （四） 巩固深化、反馈矫正⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为,表面积比为; 答案：1:33； 3：1⑵在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm 2和400πcm 2,求球的表面积;答案：2500πcm 2分析：可画出球的轴截面,利用球的截面性质求球的半径（五）课堂小结本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导,以及利用公式解决相关的球的问题,了解了推导中的“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”的解题方法;（六）评价设计作业P30练习1、3,B1第二章直线与平面的位置关系§平面一、教学目标：1、知识与技能1利用生活中的实物对平面进行描述；2掌握平面的表示法及水平放置的直观图；3掌握平面的基本性质及作用；4培养学生的空间想象能力;2、过程与方法1通过师生的共同讨论,使学生对平面有了感性认识；2让学生归纳整理本节所学知识;3、情感与价值使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣;二、教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言;难点：平面基本性质的掌握与运用;三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,师生共同讨论等,从而较好地完成本节课的教学目标;2、教学用具：投影仪、投影片、正长方形模型、三角板四、教学思想一实物引入、揭示课题师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的印象,你们能举出更多例子吗引导学生观察、思考、举例和互相交流;与此同时,教师对学生的活动给予评价; 师：那么,平面的含义是什么呢这就是我们这节课所要学习的内容;二研探新知1、平面含义师：以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中抽象出来的,但是,几何里的平面是无限延展的;2、平面的画法及表示师：在平面几何中,怎样画直线一学生上黑板画之后教师加以肯定,解说、类比,将知识迁移,得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长如图平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等; 如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线或不画打出投影片课本P41图说明平面内有无数个点,平面可以看成点的集合; 点A 在平面α内,记作：A ∈α点B 在平面α外,记作：B α3、平面的基本性质教师引导学生思考教材P41的思考题,让学生充分发表自己的见解;师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边,可以看到,直尺的整个边缘就落在了桌面上,用事实引导学生归纳出以下公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容,并加以解析 符号表示为A ∈LB ∈L=>L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内师：生活中,我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等…… 引导学生归纳出公理2公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面; 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线=>有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α;公理2作用：确定一个平面的依据;教师用正长方形模型,让学生理解两个平面的交线的含义; 引导学生阅读P42的思考题,从而归纳出公理3公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线; 符号表示为：P ∈α∩β=>α∩β=L,且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 4、教材P43例1通过例子,让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用;5、课堂练习：课本P44练习1、2、3、46、课时小结：师生互动,共同归纳1本节课我们学习了哪些知识内容2三个公理的内容及作用是什么7、作业布置 1复习本节课内容；2预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系D C B A αα βαβ·B·AαLA·α C ·B·A· α P ·αLβ·B§空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标：1、知识与技能1了解空间中两条直线的位置关系；2理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力；3理解并掌握公理4；4理解并掌握等角定理；5异面直线所成角的定义、范围及应用;2、过程与方法1师生的共同讨论与讲授法相结合；2让学生在学习过程不断归纳整理所学知识;3、情感与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣;二、教学重点、难点重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理;难点：异面直线所成角的计算;三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括,从而较好地完成本节课的教学目标;2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板四、教学思想一创设情景、导入课题1、通过身边诸多实物,引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线;2、师：那么,空间两条直线有多少种位置关系板书课题二讲授新课1、教师给出长方体模型,引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内,没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点;教师再次强调异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如下图：2、1师：在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行;在空间中,是否有类似的规律组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中,BB'∥AA',DD'∥AA',BB'与DD'平行吗生：平行再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行;符号表示为：设a、b、c是三条直线a∥b c∥b =>a∥c共面直线强调：公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用; 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据; 2例2投影片例2的讲解让学生掌握了公理4的运用 3教材P47探究让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力; 3、组织学生思考教材P47的思考题 投影让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何生：∠ADC=A'D'C',∠ADC+∠A'B'C'=1800教师画出更具一般性的图形,师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补; 教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来; 4、以教师讲授为主,师生共同交流,导出异面直线所成的角的概念;1师：如图,已知异面直线a 、b,经过空间中任一点O 作直线a'∥a 、b'∥b,我们把a'与b'所成的锐角或直角叫异面直线a 与b 所成的角夹角; 2强调：①a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为了简便,点O 一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈0,；③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ； ④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角; 3例3投影例3的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角,从而巩固了所学知识; 三课堂练习 教材P49练习1、2充分调动学生动手的积极性,教师适时给予肯定; 四课堂小结在师生互动中让学生了解： 1本节课学习了哪些知识内容 2计算异面直线所成的角应注意什么 五课后作业 1、判断题： 1a ∥bc ⊥a=>c ⊥b 1a ⊥cb ⊥c=>a ⊥b 2、填空题：在正方体ABCD-A'B'C'D'中,与BD'成异面直线的有________条;§—空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系一、教学目标：2。

高中数学必修2课程教案5篇高中数学必修2课程教案5篇教案是实现教学目标的计划性和决策性活动。

教案以计划和布局安排的形式，对怎样才能达到教学目标进行创造性的决策，以解决怎样教的问题。

下面小编给大家带来关于高中数学必修2课程教案，方便大家学习高中数学必修2课程教案1一、知识点归纳(一)空间几何体的结构特征(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

(2)柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.(二)空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——正视图;侧视图;俯视图;是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形;画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4.斜二测法：在坐标系中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴(或在x轴上)的线段保持长度不变，平行于y轴(或在y轴上)的线段长度减半。

(三)空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和②圆柱的表面积③圆锥的表面积④圆台的表面积⑤球的表面积⑥扇形的面积公式 (其中表示弧长，表示半径)2、空间几何体的体积①柱体的体积②锥体的体积③台体的体积④球体的体积二、练习与巩固(1)空间几何体的结构特征及其三视图1.下列对棱柱说法正确的是( )A.只有两个面互相平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行，且各侧棱也平行2.一个等腰三角形绕它的底边所在的直线旋转360。

人教版高中数学必修二全册教案【可打印】一、教学内容第一章：空间几何1.1 平面几何基本概念1.2 平面几何图形的度量关系1.3 空间几何基本概念1.4 空间几何图形的度量关系二、教学目标1. 掌握空间几何的基本概念和性质，能够识别并运用相关的几何图形。

2. 理解并掌握平面几何与空间几何之间的联系与区别，提高空间想象能力。

3. 学会运用几何图形的度量关系解决实际问题，培养解决问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：空间几何图形的认识与度量关系的运用。

教学重点：平面几何与空间几何的联系与区别，几何图形在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备教具：几何模型、多媒体课件、黑板、粉笔。

学具：直尺、圆规、三角板、量角器。

五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示生活中的空间几何图形，让学生观察并描述。

提问：如何计算这些几何图形的面积和体积？2. 例题讲解讲解例1：求一个长方体的表面积和体积。

讲解例2：求一个正四面体的表面积和体积。

3. 随堂练习学生独立完成练习1：求一个圆柱的表面积和体积。

学生独立完成练习2：求一个圆锥的表面积和体积。

学生分享学习心得，互相交流。

5. 应用拓展学生分组讨论：如何将所学的空间几何知识应用于实际问题？教师点评，给予鼓励和建议。

六、板书设计1. 空间几何基本概念及图形2. 平面几何与空间几何的联系与区别3. 几何图形的度量关系及计算公式4. 例题解答步骤5. 练习题解答七、作业设计1. 作业题目计算一个长方体的表面积和体积。

计算一个正四面体的表面积和体积。

计算一个圆柱的表面积和体积。

计算一个圆锥的表面积和体积。

2. 答案长方体表面积：2ab + 2bc + 2ac，体积：abc正四面体表面积：√3a²，体积：(a³/12)√2圆柱表面积：2πrh + 2πr²，体积：πr²h圆锥表面积：πrl + πr²，体积：(1/3)πr²h八、课后反思及拓展延伸1. 反思本次教学过程中的优点与不足，针对学生的掌握情况调整教学方法。

新课标人教版高中数学必修2全册导学教案学案同步练习课堂巩固【附答案]（可编辑）新课标人教版高中数学必修2全册导学教案学案同步练习课堂巩固【附答案]第一章立体几何初步一、知识结构二、重点难点重点:空间直线,平面的位置关系。

柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。

平行、垂直的定义,判定和性质。

难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。

文字语言,图形语言和符号语言的转化。

平行,垂直判定与性质定理证明与应用。

第一课时棱柱、棱锥、棱台【学习导航】知识网络学习要求1.初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。

掌握它们的形成特点。

2.了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。

3.了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4.了解多面体的概念和分类.【课堂互动】自学评价棱柱的定义:表示法:思考:棱柱的特点:.【答】棱锥的定义:表示法:思考:棱锥的特点:.【答】3.棱台的定义:表示法:思考:棱台的特点:.【答】4.多面体的定义:5.多面体的分类:?棱柱的分类?棱锥的分类?棱台的分类【精典范例】例1:设有三个命题: 甲:有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱; 乙:有一个面是四边形,其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥;丙:用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫棱台。

以上各命题中,真命题的个数是 (A)A.0B. 1C. 2D. 3 例2:画一个四棱柱和一个三棱台。

【解】四棱柱的作法:?画上四棱柱的底面----画一个四边形;?画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段;?画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点互助参考7页例1?画一个三棱锥,在它的一条侧棱上取一点,从这点开始,顺次在各个侧面画出与底面平行的线段,将多余的线段檫去.互助参考7页例1点评:1被遮挡的线要画成虚线2画台由锥截得思维点拔:解柱、锥、台概念性问题和画图需要:1.准确地理解柱、锥、台的定义2.灵活理解柱、锥、台的特点:例如:棱锥的特点是:?两个底面是全等的多边形;?多边形的对应边互相平行;?棱柱的侧面都是平行四边形。

【新教材】8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学设计（人教A版）本节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和直观图两个方面认识了旋转体的基础上，进一步从度量的角度认识圆柱、圆锥、圆台、球，主要包括表面积和体积.课程目标1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．数学学科素养1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；难点：圆台的体积公式的理解.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本116-119页，思考并完成以下问题1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？3．球的表面积与体积公式各式什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究（一）圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r，母线长为l)圆锥(底面半径为r，母线长为l)圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l)侧面展开图底面积S底＝2πr2S底＝πr2S底＝π(r′2＋r2)侧面积S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝π(r′＋r)l表面积S表＝2πr(r+l) S表＝πr(r+l) S表＝π(r′2＋r2)+ π(r′＋r)l（二）　棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝13 Sh.3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝13(S′＋S′S＋S)h.(三) 球的体积公式与表面积公式　1．球的体积公式V＝43πR3(其中R为球的半径)．2．球的表面积公式S＝4πR2.四、典例分析、举一反三题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积例1　若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.【答案】8π　12π.【解析】如图所示，∵轴截面是边长为4 cm的等边三角形，∴OB＝2 cm，PB＝4 cm，∴圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π (cm2)，表面积S表＝8π＋π×22＝12π (cm2)．解题技巧（求旋转体表面积注意事项）旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． 跟踪训练一1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )A．81πB．100πC．168πD．169π【答案】C【解析】选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8.故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积例2 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m ，圆柱高0.6m 如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）【答案】423.9kg【解析】一个浮标的表面积是()2220.150.640.150.8478mππ⨯⨯+⨯=，所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.84780.51000423.9(kg)⨯⨯=.解题技巧(求几何体积的常用方法)(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．跟踪训练二1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．【答案】10π.【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.2.　梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积．【答案】见解析【解析】由题意知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝BC－ADcos60°＝2a，AB＝CD sin60°＝3a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝12DD′＝a.由上述计算知，圆柱的母线长为3a，底面半径为2a；圆锥的母线长为2a，底面半径为a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·3a＝43πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(43＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V柱＝π·(2a)2·3a＝43πa3，V锥＝13·π·a2·3a＝33πa3.∴旋转体的体积V＝V柱－V锥＝43πa3－33πa3＝1133πa3.题型三球的表面积与体积例3 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.【答案】23【解析】 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R .球的体积3143V R π=，圆柱的体积23222V R R R ππ=⋅=，123342::233V V R R ππ∴==.例4　平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π【答案】B【解析】如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1.∴OM ＝(2)2＋1＝3.即球的半径为3.∴V ＝43π(3)3＝43π.解题技巧（与球有关问题的注意事项）1．正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．2．球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝2a2，如图(2)．3．长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝a 2+b 2+c 22，如图(3)．4．正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a .5．正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为：2R ＝62a .6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.跟踪训练三1、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6【答案】A.【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是V 球＝43×π×13＝4π3.2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2【答案】B.【解析】选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝(33a)2＋(12a)2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本119页练习，119页习题8.3的剩余题.本节课的重点是掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.须注意的是:①求面积时看清求的是侧面积，还是底面积，还是表面积；②对本节课的难点的理解类比棱台与棱锥、棱锥的联系；③解决实际问题时先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.3、球的表面积与体积公式。

高中数学必修2教案doc
课题：二次函数的图像性质
一、教学目标：
1. 理解二次函数的定义和一般形式；
2. 掌握二次函数与一次函数、常数函数的关系；
3. 掌握二次函数的图像性质；
4. 能够应用二次函数的图像性质解决实际问题。

二、教学重点及难点：
1. 二次函数的定义和一般形式；
2. 二次函数的图像性质。

三、教学过程：
1. 引入：通过展示一些二次函数的图像，引导学生思考二次函数的特点和性质；
2. 讲解：介绍二次函数的定义和一般形式，引导学生认识二次函数与一次函数、常数函数的关系；
3. 演练：让学生练习画二次函数的图像，并观察图像的特点；
4. 深化：讲解二次函数的图像性质，如顶点、对称轴、开口方向等；
5. 应用：通过一些实际问题，让学生应用二次函数的图像性质进行解决。

四、课堂互动：
1. 学生在画二次函数的图像时，老师带领学生讨论图像的特点；
2. 提问引导学生思考二次函数的性质，并给予适当指导；
3. 学生做实际问题时，师生互动，共同解决问题。

五、课后作业：
1. 完成课堂练习；
2. 完成课后习题，巩固所学知识。

六、教学反思：
本节课采用了引入、讲解、演练、深化和应用等多种教学方法，使学生在理解二次函数的基本概念的同时，能够掌握二次函数的图像性质，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

下一步可以引入更多实际问题，提高学生的应用能力。