第五章 函数极值
MATLAB 提供了很多求极值（或最优值）的命令函数，既可以求无条件的极值，也可求有条件的极值，其中，条件可以是不等式，也可以是等式的，可以是线性的，也可以是非线性的，甚至可以是多个条件，目标函数可以是线性的，也可以是非线性的，总之，MA TLAB 针对不同的类型，采用不同的函数命令去求解，以下将分类型来做些简单的介绍。 5.1线性极值（又称线性规划） 5.1.1线性规划模型
规划问题研究的对象大体可以分为两大类：一类是在现有的人、财、物等资源的条件下，研究如何合理的计划、安排，可使得某一目标达到最大，如产量、利润目标等；另一类是在任务确定后，如何计划、安排，使用最低限度的人、财等资源，去实现该任务，如使成本、费用最小等。这两类问题从本质上说是相同的，即都在一组约束条件下，去实现某一个目标的最优（最大或最小）。线性规划研究的问题要求目标与约束条件函数都是线性的，而目标函数只能是一个。在经济管理问题中，大量问题是线性的，有的也可以转化为线性的，从而使线性规划有极大的应用价值。线性规划模型包含3个要素：
（1）决策变量. 问题中需要求解的那些未知量，一般用n 维向量T
n x x x x ),,,(21 表示。
（2）目标函数. 通常是问题需要优化的那个目标的数学表达式，它是决策变量x 的线性函数。
（3）约束条件. 对决策变量的限制条件，即x 的允许取值范围，它通常是x 的一组
线性不等式或线性等式。
线性规划问题的数学模型一般可表示为： min （max ） f T X
s.t A X≤b
Ae q X =beq lb ≤X≤ub
其中X 为n 维未知向量，f T =[f 1,f 2,…f n ]为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩
阵A 为m ×n 矩阵，b 为其右端m 维列向量，Aeq 为等式约束系数矩阵，beq 为等式约束右端常数列向量。lb,ub 为自变量取值上界与下界约束的n 维常数向量。
特别注意：当我们用MA TLAB 软件作优化问题时，所有求maxf 的问题化为求min(-f )来作。约束g i (x)≥0，化为 –g i ≤0来做。
5.1.2．线性规划问题求最优解函数： 调用格式： x=linprog(f,A,b)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
[x,fval]=linprog(…)
[x, fval, exitflag]=linprog(…)
[x, fval, exitflag, output]=linprog(…)
[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…)
说明：x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则令A=[ ]、b=[ ] 。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中lb ,ub为变量x的下界和上界，x0为初值点，options为指定优化参数进行最小化。
[x,fval]=linprog(…) 左端fval 返回解x处的目标函数值。
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b, Aeq,beq,lb,ub,x0) 的输出部分：
exitflag 描述函数计算的退出条件：若为正值，表示目标函数收敛于解x处；若为负值，表示目标函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。Output为关于优化的一些信息。Lambda为解x的Lagrange乘子。
【例5.1】求解线性规划问题：
max f=2x1+5x2
s.t ⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
≥
≤
+
≤
≤
8
2
3
4
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
先将目标函数转化成最小值问题：min(-f)=- 2x1-5x2具体程序如下：
f=[-2 -5];
A=[1 0;0 1;1 2];
b=[4;3;8];
lb=[0 0];
[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)
f=fval*(-1)
运行结果：x = 2 3
fval = -19.0000
maxf = 19
【例5.2】：minf=5x1-x2+2x3+3x4-8x5
s.t –2x1+x2-x3+x4-3x5≤6
2x1+x2-x3+4x4+x5≤7
0≤x j≤15 j=1,2,3,4,5
编写以下程序：
f=[5 -1 2 3 -8];
A=[-2 1 -1 1 -3;2 1 -1 4 1];
b=[6;7];
lb=[0 0 0 0 0];
ub=[15 15 15 15 15];
[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub)
运行结果：x =
0.0000
0.0000
8.0000
0.0000
15.0000
minf =
-104
【例5.3】：假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要材料有A类3600公斤，B类2000公斤，C类3000公斤。每件甲产品需用材料A类9公斤，B类4公斤，C类3公斤。每件乙产品，需用材料A类4公斤，B类5公斤，C类10公斤。甲单位产品的利润70元，乙单位产品的利润120元。问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。
建立数学模型：
设x1、x2分别为生产甲、乙产品的件数。f为该厂所获总润。
max f=70x1+120x2
s.t 9x1+4x2≤3600
4x1+5x2≤2000
3x1+10x2≤3000
x1,x2≥0
将其转换为标准形式：
min f=-70x1-120x2
s.t 9x1+4x2≤3600
4x1+5x2≤2000
3x1+10x2≤3000
x1,x2≥0
