一次函数存在性问题

一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题【知识点】1. 最短路径原理【原理1】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。

连AB，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB．【原理2】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称点B＇连A B＇，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【原理3】作法作图原理在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB .PBPA－（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式；（2）求三角形周长最小值；（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。

3. 口诀：“和小异，差大同”（一）一次函数线段和最小值问题【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy中，y轴上有一点P，它到点(4,3)A，(3,1)B 的距离之和最小，则点P的坐标是()A．(0,0)B．4(0,)7C．5(0,)7D．4(0,)5的值最大 .【原理4】作法作图原理在直线l 上求一点P，使的值最大 .作B 关于l 的对称点B＇作直线A B＇，与l交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤A B＇ .PB PA－PB PA－PB PA－★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)B-，在x轴上存在点P到A，B两点的A，点(2,1)距离之和最小，则P点的坐标是．★★☆练习2．如图，直线34120+-=与x轴、y轴分别交于点B、A两点，以线段AB为边在第一象限x y内作正方形ABCD．若点P为x轴上的一个动点，求当PC PD+的长最小时点P的坐标．★★☆例题2．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3∆的周长最小时，求点E OB=，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当CDEOA=，4的坐标()A ．(3,0)-B ．(1,0)C ．(0,0)D ．(3,0)★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C 是y 轴上的一个动点，连接AC 、BC ，当ABC ∆的周长最小值时，ABC ∆的面积为 ．★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边 在第二象限内作正方形ABCD ．（1）求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）在x 轴上找一点M ，使MDB ∆的周长最小，请求出M 点的坐标，并直接写出MDB ∆的周长最小值．（二）一次函数线段差最大值问题【例题讲解】★★☆例题1．已知，如图点(1,1)A，(2,3)B-，点P为x轴上一点，当||PA PB-最大时，点P 的坐标为()A．1(,0)2B．5(,0)4C．1(,0)2-D．(1,0)★★☆练习1．平面直角坐标系中，已知(4,3)A、(2,1)B，x轴上有一点P，要使PA PB-最大，则P点坐标为★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(6,0)，点P在一次函数1322y x =+的图象上运动，则PB PA -的最大值为( )A ．2B ．233C ．4D ．143【题型知识点总结】一次函数最短路径问题注意事项：1. 根据“和小异，差大同”判断是否需要作对称；2. 作对称时注意要选取动点运动的直线为对称轴作某一定点的对称点。

专题十五 一次函数中的（特殊图形）存在性问题考点一 直角三角形存在性问题【方法点拨】分类讨论哪个角为直角，一般分三种情况，简称“两垂线+一圆”1．如图1，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（﹣4，4），点B 的坐标为（4，0）．（1）求直线AB 的解析式；（2）点M 是坐标轴上的一个点，若AB 为直角边构造直角三角形△ABM ，请求出满足条件的所有点M 的坐标；（3）如图2，以点A 为直角顶点作∠CAD ＝90°，射线AC 交x 轴的负半轴与点C ，射线AD 交y 轴的负半轴与点D ，当∠CAD 绕点A 旋转时，OC ﹣OD 的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．【思路点拨】（1）由A 、B 两点的坐标利用待定系数法可求得直线AB 的解析式；（2）分别过A 、B 两点作AB 的垂线，与坐标轴的交点即为所求的M 点，再结合相似三角形的性质求得OM 的长即可求得点M 的坐标；（3）过A 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，可证明△AEC ≌△AFD ，可得到EC ＝FD ，从而可把OC ﹣OD 转化为FD ﹣OD ，再利用线段的和差可求得OC ﹣OD ＝OE +OF ＝8；【解析】解：（1）设直线AB 的解析式为：y ＝kx +b （k ≠0）．∵点A （﹣4，4），点B （0，2）在直线AB 上，∴{−4k +b =4b =2，解得{k =−12b =2， ∴直线AB 的解析式为：y =−12x +2；（2）∵△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形，∴有∠BAM ＝90°或∠ABM ＝90°，①当∠BAM ＝90°时，如图1，过A 作AB 的垂线，交x 轴于点M 1，交y 轴于点M 2，则可知△AEM 1∽△BEA ，∴M 1E AE =AE BE ，由（1）可知OE ＝OB ＝AE ＝4，∴M 1E 4=48，解得M 1E ＝2， ∴OM 1＝2+4＝6，∴M 1（﹣6，0），∵AE ∥y 轴，∴M 1EM 1O =AEOM 2，即26=4OM 2，解得OM 2＝12，∴M 2（0，12）；②当∠ABM ＝90°时，如图2，过B 作AB 的垂线，交y 轴于点M 3，设直线AB交y轴于点E，则由（1）可知E（0，2），∴OE＝2，OB＝4，由题意可知△BOE∽△M3OB，∴OEOB =OBOM3，即24=4OM3，解得OM3＝8，∴M3（0，﹣8），综上可知点M的坐标为（﹣6，0）或（0，12）或（0，﹣8）；（3）不变．理由如下：过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，如图3．则∠AGC＝∠AHD＝90°，又∵∠HOC＝90°，∴∠GAH＝90°，∴∠DAG+∠DAH＝90°，∵∠CAD＝90°，∴∠DAG+∠CAG＝90°，∴∠CAG＝∠DAH．∵A （﹣4，4），∴OG ＝AH ＝AG ＝OH ＝4．在△AGC 和△AHD 中{∠AGC =∠AHD AG =AH ∠CAG =∠DAH∴△AGC ≌△AHD （ASA ），∴GC ＝HD ．∴OC ﹣OD ＝（OG +GC ）﹣（HD ﹣OH ）＝OG +OH ＝8．故OC ﹣OD 的值不发生变化，值为8．【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质及分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出M 点的位置是解题的关键，在（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．2．已知，如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求经过点E 、D 的直线解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ，使得EF ＝2GO ，请求出此时OG 的长度．（3）对于（2）中的点G ，在直线ED 上是否存点P ，使得点P 与点D 、G 构成的△DPG 是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）只要证明△ADE ∽△BCD ，可得AD BC =AE DB ，求出AE 即可解决问题；（2）由△ADE ≌△RDG ，可得AF ＝RG ，设OG ＝m ，则AF ＝GR ＝2﹣m ，构建方程即可解决问题；（3）分两种情形①作GP ⊥BE 于P ，则△PDG 是直角三角形．②作P ′G ⊥DG 交直线DE 于P ′，则△DGP ′是直角三角形．分别根据一次函数利用方程组确定交点坐标即可；【解析】解：（1）如图1中，∵四边形ABCO 是矩形，∴∠OAB ＝∠B ＝90°，∵∠AOD ＝∠DOC ＝45°，∴OA ＝AD ＝2，DB ＝1，∵DE ⊥DC ，∴∠EDC ＝90°，∴∠ADE +∠BDC ＝90°，∵∠BDC +∠BCD ＝90°，∴∠ADE ＝∠DCB ，∴△ADE ∽△BCD ，∴AD BC =AE DB ，∴AE ＝1，∴E （0，1），设直线DE 的解析式为y ＝kx +b ，则有{b =12k +b =2， 解得{k =12b =1∴直线DE 的解析式为y =12x +1（2）如图2中，作DR ⊥OC 于R ．易知△ADE≌△RDG，∴AF＝RG，设OG＝m，则AF＝GR＝2﹣m，∴EF＝1+2﹣m＝3﹣m，∵EF＝2OG，∴3﹣m＝2m，∴m＝1，∴OG＝1．（3）如图3中，①作GP⊥BE于P，则△PDG是直角三角形．∵G（1，0），GP⊥BE，∴直线PG的解析式为y＝﹣2x+2，由{y =12x +1y =−2x +2，解得{x =25y =65， ∴P （25，65）． ②作P ′G ⊥DG 交直线DE 于P ′，则△DGP ′是直角三角形，∵直线DG 的解析式为y ＝2x ﹣2，∴直线GP ′的解析式为y =−12x +12，由{y =−12x +12y =12x +1，解得{x =−12y =34， ∴P ′（−12，34）， 综上所述，满足条件的点P 坐标为（25，65）或（−12，34）． 【点睛】本题考查一次函数综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．考点二 等腰三角形存在性问题【方法点拨】分类讨论哪两条边相等，一般分三种情况，简称“两圆+一中垂线”1．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴上，已知OA ＝6，OB ＝10．点D 为y 轴上一点，其坐标为（0，2），点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿线段AC ﹣CB 的方向运动，当点P 与点B 重合时停止运动，运动时间为t 秒．（1）当点P 经过点C 时，求直线DP 的函数解析式；（2）①求△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP 折叠，点B 的对应点B ′恰好落在AC 边上，求点P 的坐标．（3）点P 在运动过程中是否存在使△BDP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）设直线DP 解析式为y ＝kx +b ，将D 与C 坐标代入求出k 与b 的值，即可确定出解析式；（2）①当P 在AC 段时，三角形ODP 底OD 与高为固定值，求出此时面积；当P 在BC 段时，底边OD 为固定值，表示出高，即可列出S 与t 的关系式；②当点B 的对应点B ′恰好落在AC 边上时，关键勾股定理即可求出此时P 坐标；（3）存在，分别以BD ，DP ，BP 为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P 坐标即可．【解析】解：（1）∵OA ＝6，OB ＝10，四边形OACB 为长方形，∴C （6，10）．设此时直线DP 解析式为y ＝kx +b ，把（0，2），C （6，10）分别代入，得{b =26k +b =10， 解得{k =43b =2则此时直线DP 解析式为y =43x +2；（2）①当点P 在线段AC 上时，OD ＝2，高为6，S ＝6；当点P 在线段BC 上时，OD ＝2，高为6+10﹣2t ＝16﹣2t ，S =12×2×（16﹣2t ）＝﹣2t +16；②设P （m ，10），则PB ＝PB ′＝m ，如图2，∵OB ′＝OB ＝10，OA ＝6，∴AB ′=√OB′2−OA 2=8，∴B ′C ＝10﹣8＝2，∵PC ＝6﹣m ，∴m 2＝22+（6﹣m ）2，解得m =103 则此时点P 的坐标是（103，10）；（3）存在，理由为： 若△BDP 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，①当BD ＝BP 1＝OB ﹣OD ＝10﹣2＝8，在Rt △BCP 1中，BP 1＝8，BC ＝6，根据勾股定理得：CP 1=√82−62=2√7，∴AP 1＝10﹣2√7，即P 1（6，10﹣2√7）；②当BP 2＝DP 2时，此时P 2（6，6）；③当DB ＝DP 3＝8时，在Rt △DEP 3中，DE ＝6，根据勾股定理得：P 3E =√82−62=2√7，∴AP 3＝AE +EP 3＝2√7+2，即P 3（6，2√7+2），综上，满足题意的P 坐标为（6，6）或（6，2√7+2）或（6，10﹣2√7）．【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．2．如图①，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，点A坐标为（14，0），点B在第一象限，∠BAO＝45°，AB＝8√2．D为射线OB上一点，过D作直线l∥y轴交OA于E，交射线AB于G．（1）求B点坐标；（2）当D为线段OB中点时，在直线l上找点P，当△PBD为等腰三角形，请直接写出P点坐标；（3）如图②，F为AO中点，当S△BDF＝2S△BDG时，求D点坐标．【思路点拨】（1）先求出BH＝AH＝8，进而求出OH＝6，即可得出结论；（2）先设出点P坐标，进而表示出DP，BP，BD，再分三种情况讨论建立方程求解即可得出结论；（3）先求出OF，直线OB，AB的解析式，进而设出点D的坐标，表示出S△BDG=12|m﹣14|×|6﹣m|，S△BDF ＝|143m﹣28|，最后用面积关系建立方程求解即可得出结论．【解析】解：（1）如图①，过点B作BH⊥OA于H，∵∠BAO＝45°，AB＝8√2，∴BH＝AH=1√2AB＝8，∵A（14，0），∴OA＝14，∴OH＝OA﹣AH＝6，∴B（6，8）；（2）∵DE ⊥OA ，∴DE ∥BH ，∵点D 是OB 中点，∴DE =12BH ＝4，OE =12OH ＝3，∴D （3，4），设P （3，m ），∵B （6，8），∴DP ＝|m ﹣4|，BD ＝5，BP 2＝（m ﹣8）2+9，∵△PBD 为等腰三角形，∴①DP ＝BD ，∴|m ﹣4|＝5，∴m ＝9或m ＝﹣1，∴P （3，9）或（3，﹣1），②DP ＝BP ，∴（m ﹣4）2＝（m ﹣8）2+9，∴m =578， ∴P （3，578）③BD ＝BP ，∴25＝（m ﹣8）2+9，∴m ＝4（舍）或m ＝12，∴P （3，12），即：满足条件的点P （3，9）或（3，﹣1）或（3，578）或（3，12）；（3）如图由（1）知，B （6，8），∴直线OB 的解析式为y =43x ，∵A （14，0），∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +14，∵点F 是OA 中点，∴OF =12OA ＝7，设点D （m ，43m ），∴G （m ，﹣m +14）， ∴S △BDG =12|﹣m +14−43m |×|6﹣m |=12|m ﹣14|×|6﹣m |， S △BDF ＝|S △BOF ﹣S △DOF |＝|12×7×8−12×7×43m |＝|143m ﹣28|，∵S △BDF ＝2S △BDG ，∴|143m ﹣28|＝212|m ﹣14|×|6﹣m |， ∴m ＝4或m ＝8， ∴D （4，163）或（8，323）．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，分类讨论的思想，解本题的关键是用方程的思想解决问题．考点三 等腰直角三角形存在性问题【方法点拨】分类讨论哪个角为直角且哪两条边相等1．正方形OABC 的边长为1，把它放在如图所示的直角坐标系中，点M （t ，0）是x 轴上一个动点（t ≥1），连接BM ，在BM 的右侧作正方形BMNP ；直线DE 的解析式为y ＝2x +b ，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，当△PDE 为等腰直角三角形时，点P 的坐标是 （2，4）或（2，1） ．【思路点拨】过点P 作PF ⊥BC 交CB 的延长线于点F ，根据同角的余角相等可得∠ABM ＝∠FBP ，然后利用“角角边”证明△ABM 和△FBP 全等，根据全等三角形对应边相等可得BF ＝AB ，PF ＝AM ，然后根据正方形OABC 的边长为2以及点M （t ，0）表示出点P 的坐标，再利用直线DE 的解析式求出点D 、E 的坐标，然后分①DE 是斜边时，利用勾股定理以及两点间的距离公式分别表示出PD 、PE 、DE 的平方，再根据等腰直角三角形的三边关系，②PD 是斜边时，过点P 作PF ⊥y 轴于点F ，然后利用“角角边”证明△EDO 和△PEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得EF ＝DO ，PC ＝EO ，然后用b 、t 表示并求解即可得到点P 的坐标．【解析】解：如图，过点P 作PF ⊥BC 交CB 的延长线于点F ，∵四边形OABC 与四边形BMNP 都是正方形，∴∠ABM +∠MBF ＝90°，∠FBP +∠MBF ＝90°，∴∠ABM ＝∠FBP ，在△ABM 和△FBP 中，{∠ABM =∠FBP∠BAM =∠F =90°BM =BP，∴△ABM ≌△FBP （AAS ），∴BF ＝AB ，PF ＝AM ，∵正方形OABC 的边长为1，点M （t ，0），∴BF ＝1，PF ＝t ﹣1，点P 到x 轴的距离为t ﹣1+1＝t ，∴点P 的坐标为（2，t ），又∵当y ＝0时，2x +b ＝0，解得x =−b 2，当x ＝0时，y ＝b ，∴点D （−b 2，0），E （0，b ），①DE 是斜边时，PD 2＝（b 2+2）2+t 2，PE 2＝（b ﹣t ）2+22，DE 2＝（b 2）2+b 2， ∵△PDE 是等腰直角三角形，∴PD 2＝PE 2，且PD 2+PE 2＝DE 2，即（b 2+2）2+t 2＝（b ﹣t ）2+22，且（b 2+2）2+t 2+（b ﹣t ）2+22＝（b 2）2+b 2， 14b 2+2b +4+t 2＝b 2﹣2bt +t 2+4，且14b 2+2b +4+t 2+b 2﹣2bt +t 2+4=14b 2+b 2， 整理得，b =83（t +1）且t 2﹣b （t ﹣1）+4＝0，∴t 2−83（t +1）（t ﹣1）+4＝0，整理得，t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝﹣2（舍去），∴点P 的坐标是（2，2）；②PD 是斜边时，∵△PDE 是等腰直角三角形，∴PE ⊥DE ，且PE ＝DE ，过点P 作PF ⊥y 轴于点F∵∠DEO +∠PEO ＝90°，∠DEO +∠EDO ＝90°，∴∠PEO ＝∠EDO ，在△EDO 和△PEF 中，{∠PEO =∠EDO ∠DOE =∠EFP =90°PE =DE，∴△EDO ≌△PEF （AAS ），∴EF ＝DO =b 2，PC ＝EO ＝b ，又∵点P （2，t ），∴b ＝2，b ﹣t =b 2，解得t=b2=12×2＝1，∴点P坐标为（2，1），此时点C、F重合，点M、A重合，综上所述，点P的坐标为（2，4）或（2，1）．故答案为：（2，2）或（2，1）．【点睛】本题是一次函数的综合题型，主要利用了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直线与坐标轴的交点的求解，勾股定理的应用，综合题但难度不大，要注意分情况讨论．2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（a，﹣a），与y轴交于点B（0，b），其中a，b满足（a+2）2+√b−3=0．（1）求直线l2的解析式；（2）在平面直角坐标系中第二象限有一点P（m，5），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标；（3）已知平行于y轴且位于y轴左侧有一动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点Q的坐标．【思路点拨】（1）由偶次方及被开方数非负，可求出a 、b 的值，进而可得出点A 、B 的坐标，由点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线l 2的解析式；（2）由△AOP 和△AOB 等底及S △AOP ＝S △AOB ，可得出点P 到AO 的距离与点B 到AO 的距离相等，分点P 在l 1的右侧及点P 在l 1的左侧两种情况考虑：①当点P 在l 1的右侧时，设点P 为P 1，则P 1B ∥l 1，根据平行线的性质结合点B 的坐标可得出直线P 1B 的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P 1的坐标；②当点P 在l 1的左侧时，设点P 为P 2，设直线y ＝5与直线l 1交于点E ，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E 的坐标，再由点E 为P 1P 2中点，可求出点P 2的坐标；（3）设动直线为x ＝t ，由题可得﹣2＜t ＜0，则点M 的坐标为（t ，﹣t ），点N 的坐标为（t ，12t +3），进而可得出MN 的长度．分∠NMQ ＝90°、∠MNQ ＝90°及∠MQN ＝90°三种情况，利用等腰直角三角形的性质可求出点M 、N 、Q 的坐标，此题得解．【解析】解：（1）∵a 、b 满足（a +2）2+√b −3=0，∴a +2＝0，b ﹣3＝0，∴a ＝﹣2，b ＝3，∴点A 的坐标为（﹣2，2），点B 的坐标为（0，3）．设直线l 2的解析式为y ＝kx +c （k ≠0），将A （﹣2，2）、B （0，3）代入y ＝kx +c ，得：{−2k +c =2c =3，解得：{k =12c =3， ∴直线l 2的解析式为y =12x +3．（2）∵S △AOP ＝S △AOB ，∴点P 到AO 的距离与点B 到AO 的距离相等，且点P 位于l 1两侧（如图1）．①当点P 在l 1的右侧时，设点P 为P 1，则P 1B ∥l 1，∴直线P 1B 的解析式为：y ＝﹣x +3，当y ＝5时，有﹣x +3＝5，解得：x ＝﹣2，∴点P 1的坐标为（﹣2，5）；②当点P 在l 1的左侧时，设点P 为P 2，设直线y ＝5与直线l 1交于点E ，则点E 的坐标为（﹣5，5），∵点E 为P 1P 2中点，∴点P 2的坐标为（﹣8，5）．综上所述：点P 的坐标为（﹣2，5）或（﹣8，5）．（3）设动直线为x ＝t ，由题可得﹣2＜t ＜0，则点M 的坐标为（t ，﹣t ），点N 的坐标为（t ，12t +3）， ∴MN =32t +3（如图2）．①当∠NMQ ＝90°时，有MN ＝MQ ，即32t +3＝﹣t ， 解得：t =−65，∴点M 的坐标为（−65，65）． ∵MQ ∥x 轴，∴点Q 的坐标为（0，65）； ②当∠MNQ ＝90°时，有MN ＝NQ ，即32t +3＝﹣t ， 解得：t =−65，∴点N 的坐标为（−65，125）． ∵NQ ∥x 轴，∴点Q 的坐标为（0，125）；③当∠MQN ＝90°时，点Q 到MN 的距离=12MN ，即﹣t =12×（32t +3），解得：t =−67，∴点M 的坐标为（−67，67），点N 的坐标为（−67，187）．∵△MNQ 为等腰直角三角形，∴点Q 的坐标为（0，127）．综上所述：点Q 的坐标为（0，65）或（0，125）或（0，127）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、偶次方及被开方数的非负性、三角形的面积、一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）分点P 在l 1的右侧及点P 在l 1的左侧两种情况求出点P 的坐标；（3）分∠NMQ ＝90°、∠MNQ ＝90°及∠MQN ＝90°三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出点Q 的坐标．3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：y ＝k 1x +2√3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，OA =√3OB ，直线l 2：y ＝k 2x +b 经过点C （1，−√3），与x 轴、y 轴和线段AB 分别交于点E 、F 、D 三点．（1）求直线l 1的解析式；（2）如图①：若EC ＝ED ，求点D 的坐标和△BFD 的面积；（3）如图②：在坐标轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图1中，作CM⊥OA于M，DN⊥CA于N．由△CME≌△DNE（AAS），推出CM＝DN由C（1，−√3），可得CM＝DN=√3，再利用待定系数法即可解决问题；（3）分点P在y轴或x轴两种情形分别求解即可解决问题；【解析】解：（1）∵直线y＝k1x+2√3与y轴B点，∴B（0，2√3），∴OB＝2√3，∵OA=√3OB＝6，∴A（6，0），把A（6，0）代入y＝k1x+2√3得到，k1=−√33，∴直线l1的解析式为y=−√33x+2√3．（2）如图1中，作CM⊥OA于M，DN⊥CA于N．∵∠CME＝∠DNE＝90°，∠MEC＝∠NED，EC＝DE，∴△CME≌△DNE（AAS），∴CM＝DN∵C （1，−√3），∴CM ＝DN =√3，当y =√3时，√3=−√33x +2√3， 解得x ＝3，∴D （3，√3），把C （1，−√3），D （3，√3）代入y ＝k 2x +b ，得到{k 2+b =−√33k 2+b =√3， 解得{k 2=√3b =−2√3， ∴直线CD 的解析式为y =√3x ﹣2√3，∴F （0，﹣2√3），∴S △BFD =12×4√3×3＝6√3．（3）①如图③﹣1中，当PC ＝PD ，∠CPD ＝90°时，作DM ⊥OB 于M ，CN ⊥y 轴于N ．设P （0，m ）．∵∠DMP ＝∠CNP ＝∠CPD ＝90°，∴∠CPN +∠PCN ＝90°，∠CPN +∠DPM ＝90°，∴∠PCN ＝∠DPM ，∵PD ＝PC ，∴△DMP ≌△NPC （AAS ），∴CN ＝PM ＝1，PN ＝DM ＝m +√3，∴D （m +√3，m +1），把D 点坐标代入y =−√33x +2√3，得到：m +1=−√33（m +√3）+2√3，解得m ＝4√3−6，∴P （0，4√3−6）．②如图③﹣2中，当PC＝PC，∠CPD＝90时，作DM⊥OA于M，CN⊥OA于N．设P（n，0）．同法可证：△DMP≌△PNC，∴PM＝CN=√3，DM＝PN＝n﹣1，∴D（n−√3，n﹣1），把D点坐标代入y=−√33x+2√3，得到：n﹣1=−√33（n−√3）+2√3，解得n＝2√3∴P（2√3，0）．综上所述，满足条件的点P坐标为（0，4√3−6）或（2√3，0）【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．4．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a，b满足b=√a2−4+√4−a2+16a+2（1）求直线AB的解析式；（2）第一象限内是否存在一点M，使△ABM是等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2过点A的直线y＝kx﹣2k交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为﹣1，过点N的直线y=k2x−k2交AP于点M，交x轴于点C，求证：NC＝MC．【思路点拨】（1）由二次根式的被开方数是非负数可以求得a 、b 的值．则易求点A 、B 的坐标．设直线AB 的方程为y ＝kx +b （k ≠0），将其分别代入该解析式列出关于k 、b 的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；（2）需要分类讨论：当AB 为底和当AB 为腰时，分别求得点M 的坐标；（3）将y ＝kx ﹣2k 与y =k 2x −k 2联立求出M 的坐标为（3，k ），由条件可求得N 的坐标为（﹣1，﹣k ），C 的坐标为（1，0），作CG ⊥x 轴于G 点，MH ⊥x 轴于H 点，可证△NGC ≌△MHC ，得NC ＝MC ．【解析】解：（1）依题意，得：{a 2−4≥04−a 2≥0a +2≠0，解得a ＝2；则b ＝4．所以A （2，0），B （0，4），设直线AB 解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A 与B 坐标代入得：{2k +b =0b =4， 解得：{k =−2b =4， 则直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +4；（2）如图1，分三种情况：①如图1，当BM ⊥BA ，且BM ＝BA 时，过M 作MN ⊥y 轴于N ，∵BM ⊥BA ，MN ⊥y 轴，OB ⊥OA ，∴∠MBA ＝∠MNB ＝∠BOA ＝90°，∴∠NBM +∠NMB ＝90°，∠ABO +∠NBM ＝90°，∴∠ABO ＝∠NMB ，在△BMN 和△ABO 中{∠MNB =∠BOA ∠NMB =∠ABO BM =AB，∴△BMN ≌△ABO （AAS ），MN ＝OB ＝4，BN ＝OA ＝2，∴ON ＝2+4＝6，∴M 的坐标为（4，6 ）；②如图2当AM ⊥BA ，且AM ＝BA 时，过M 作MN ⊥x 轴于N ，△BOA ≌△ANM （AAS ），同理求出M 的坐标为（6，2）；③如图4，当AM⊥BM，且AM＝BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，则△BHM≌△AMN，∴MN＝MH，设M（x，x），由勾股定理得，（x﹣2）2+x2＝（4﹣x）2+x2，解得，x＝3；∴M点的坐标为（3，3）综上所知M点的坐标为（4，6）（6，2）（3，3）；（3）将y＝kx﹣2k与y=k2x−k2联立求出M的坐标为（3，k），由条件可求得N的坐标为（﹣1，﹣k），C的坐标为（1，0），作CG⊥x轴于G点，MH⊥x轴于H点，可证△NGC≌△MHC，得NC＝MC．【点睛】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．。

2021年第02期总第495期数理化解题研究一次函数背景下的存在性问题王帅兵(河南省郑州市孜文教育信息咨询有限公司450000)摘 要：一次函数是八年级数学的学习内容，在平面直角坐标系中，研究点和直线的动态特征，以及在动 态情境下产生的几何图形存在性问题，是考察学生思维能力的有效载体，已成为考试的重难点.本文将结合具 体题目，从不同方面探讨存在性问题的解法.关键词：一次函数;存在性；对称；两圆一线；弦图中图分类号:G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333(2021)02 -0017 -02一、两定一动型，注意好“一上一下”两定一动型,是指在给定两个点的情况下,另一点在一条线上运动所产生的面积问题,解决这类问题，要做好 题目分析,有一边与坐标轴平行时直接求解;没有边与坐 标轴平行时，用好“铅锤法”(或“割补法”)，同时注意好 “ 一一上 —下”.例1如图1所示,一次 函数y 二2% +4的图像与坐标 轴分别交于点A 、B ,在一次函数的图象上是否存在一点P , 使得A AOP 的面积为3？思路分析由题设条件，易求出点A 和点0坐标分别为(-2,0)和(0,0),点P 为直 图1线上一动点，不妨设其坐标为(%,y ),当点P 位于%轴上方时,S △A0P 二2 ； y 二3 ,解得y 二3,代入表达式y 二2% + 4 可得点P 坐标为(-1 /2,3).由于坐标系中的对称性，点 P 也可以位于%轴下方，此时可求出点P 的坐标为 (-7/2,-3).综上，点 P 坐标为(-1/2,3)或者(-7/2, -3).一例2如图2所示，直线y 二1 /2%与直线y 二-% + 3 相交于点A ,点B 是直线y 二1 /2%上的一个点，且横坐标 为4.如果点P 是直线y 二-% +3上的一个动点，且满足 △ABP 的面积为9,那么点P 的坐标为 .思路分析 如图2,易求出点A 和点B 坐标分别为(2,1) 和(4,2).如图3,过点P 向%轴做垂线交直线AB 于点F ,设点P ( a , - a +3),那么点F 坐标为(a , ； a )，则A ABP 的面积为："F x ( %B 一 ％a)(3 -a - 2 a )(4 -2)-----------「 - 9.解得 a 二-4,点P 的坐标为(-4,7).同理，如图4时,可得点P 的坐标 为(8,-5).综上，点P 的坐标为(-4,7)或(8,-5).二、等腰三角形，用好“两圆一线”在一次函数的背景下,等腰三角形的存在性问题可 以借助图形的基本性质来解,利用同端点、等长度作圆和 线段垂直平分线.例 3 如图 5 所示, 直线 y - % + 4 与坐标轴交于点 A 和点B ，在%轴上是否存在点P ,使得A ABP 为等腰三角 形？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标.图5 图6思路分析如图6所示,分别以点A 和点B 为圆心 作圆，同时作出线段AB 的垂直平分线，可得与%轴的4个 交点：P ］、戶2、P 3和P 4.分别求解,可得其坐标分别为P 1( -4-4 2 ,0)、P 2(0,0)、P s (4 2 -4,0)心4,0).三、直角三角形，利用顶点来分类对于直角三角形的存在性,可以利用顶点来分类，然 后结合具体条件求解.例4如图7所示,在平面直角坐标系％oy 中，三角收稿日期：2020 -10 -15作者简介：王帅兵(1988. 7 -)，男，河南省鲁山人，本科，从事数学教学研究.17数理化解题研究2021年第02期总第495期板的直角顶点P的坐标为(2,2),一条直角边与兀轴的正半轴交于点A,另一直角边与y轴交于点B,三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当MA为直角三角形时，请求出所有满足条件的点B的坐标.思路分析分析题设条件可得，乙POA二45°,不可能为直角，'FOA的另两个角可以是直角.如图8,当OA丄AP时，可求出点B的坐标为(0,2);如图9,当OP丄PA时，点B和点O重合，点B坐标为(0,0).综上所述，点B的坐标为(0,2)或(0,0).图7图8图9四、等腰直角三角形，借助弦图轻松解等腰直角三角形的分类问题，可以在构造基本直角的情况下，借助弦图求解.例5如图10所示，直线y二-2兀+4与坐标轴交于点A和点B,在第一象限内是否存在点P,使得A ABP为等腰直角三角形？思路分析由题设条件易得,A(2,0)、B(0,4),OA二2,OB二4.利用心A AOB作弦图，如图11所示,其中P】、P2、戶3是满足条件的点.利用弦图中的全等三角形的性质,以及线段长与坐标的相互转化,可得三点的坐标分别为:P1(4,6)、P2(6,2)、P3(3,3).五、全等三角形，对应后综合求解全等三角形的存在性问题,要注意好顶点的对应，然后借助多种基本方法解题.例6如图12所示，在平面直角坐标系中作矩形OABC,点B坐标为(4,8),将A ABC对折,使点A与点C 重合,折痕交AB于点D,坐标系内是否存在点P(除点B 外),使A APC与A ABC全等？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.思路分析由题设条件易得点A与点C的坐标分别为(4,0)、(0,8),直线AC表达式为:y二-2%+8.由矩形性质可得A AOC=△CBA,此时点P与点O重合,坐标为(0,0).由翻折性质可得△ADB'^A CDB',此时,如图13, 18可以延长CP，过点A作CP丄AP于点P,利用等面积法可得点P坐标为(；，?)•如图14,作A ABC关于直线AC 的对称图形，此时，过点P作PQ丄y轴于点Q,利用等面积法可得点P坐标为(-12,24).六、等距离轨迹问题,借助坐标轴三角形构造相似在一次函数背景下的等距离轨迹问题，可以借助一次函数图像与坐标轴的交点,构造相似图形,求出点的坐标，进而找到点所在直线的表达式.例7如图15所示，直线y二2%+6与坐标轴分别交于点A和点B，在平面直角坐标系中是否存在一点,使得点P到直线AB的距离等于25，若存在，请求出点P所在轨迹的表达式;若不存在，请说明理由.思路分析到直线AB距离等于25的点的集合是与直线AB平行的两条直线.由题设条件易得，点A和点B 的坐标分别为(-3,0)和(0,6).如图16,过点B作直线AB的垂线-，在直线-上分别截取BP】二BP?二25,再分别过点P1和点P2作垂直于直线z1的直线z2和z3,直线12和人即为点P的轨迹.因为直线J和厶与直线AB平行,要求其表达式，只要求出点P1和点P2的坐标即可,此时,过点P1作P1Q1丄y轴于点Q1，则△P1Q1B^△BOA,可得P1Q1二4,BQ1二2,可得点P1坐标为(4,4),可求出心:y二2%-4.同理可求出厶：y二2%+16.综上,解决一次函数的存在性问题，一定要研究好背景图形，调用基本技巧和方法,构图确定位置，画图解答.参考文献：[1]王玉新.学好一次函数，善于梳理总结是关键[J].数学学习与研究，2019(19)：135.[2]王淑艳.一次函数解初中几何动点问题[J].理科爱好者，2019(4)：147.[责任编辑:李璟]。

专题六 一次函数背景下的图象存在性问题考点一：一次函数中等腰三角形存在性问题【例1】．如果一次函数y ＝﹣43x +6的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，M 点在x 轴上，并且使得以 点A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，则M 点的坐标为 ．【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线MN 的函数解析式为y ＝﹣x +3，点A 在线段MN 上且满足AN ＝2AM ，B 点是x 轴上一点，当△AOB 是以OA 为腰的等腰三角形时，则B 点的坐标为 ．【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．（1）求点C的坐标．（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△OPC是等腰三角形时P的坐标．考点二：一次函数中直角三角形存在性问题【例2】．已知点A、B的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形．【变2-1】．如图，一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B．若点P是x轴上的一点，且满足△ABP是直角三角形，则点P的坐标是．【变2-2】．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，﹣4）．（1）关于x、y的方程组的解为．（2）求△ABD的面积；（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．考点三：一次函数中平行四边形存在性问题【例3】．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【变3-1】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣21x +3与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，点C 在线段OA 上，将线段CB 绕着点C 顺时针旋转90°得到CD ，此时点D 恰好落在直线AB 上，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ．（1）求证：△BOC ≌△CED ；（2）如图2，将△BCD 沿x 轴正方向平移得△B 'C 'D '，当B 'C '经过点D 时，求△BCD 平移的距离及点D 的坐标；（3）若点P 在y 轴上，点Q 在直线AB 上，是否存在以C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由．考点四：一次函数中矩形存在性问题【例4】．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+(OB﹣6)2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变4-1】．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求点H到x轴的距离；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点五：一次函数中菱形存在性问题【例5】．如图1，直线y ＝43x +6与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，∠ABO 的角平分线与x 轴相交于点C ． （1）求点C 的坐标；（2）在直线BC 上有两点M ，N ，△AMN 是等腰直角三角形，∠MAN ＝90°，求点M 的坐标；（3）点P 在y 轴上，在平面上是否存在点Q ，使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变5-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣2），与直线CD交于点A（m，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F，若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．巩固练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，1），连接OA，点P是x轴上的一动点，如果△OAP是等腰三角形，请你写出符合条件的点P坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为．3．直线l1交x轴于点A（63，0），交y轴于B（0，6）．（1）如图，折叠△AOB，使BA落在y轴上，折痕所在直线为l2，直线l2与x轴交于C点，求C点坐标及l2的解析式；（2）在直线l1上找点M，使得以M、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的M点的坐标．4．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，6）．（1）求点A的坐标；（2）如图1，将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C，求直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC上有一点M，坐标平面内有一点P，若以A、B、M、P为顶点的四边形是菱形，请直接写出点P的坐标．5．如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线BC 与x 轴、y 轴分别交于C 、B 两点，连接BC ，且OC ＝43OB ． （1）求点A 的坐标及直线BC 的函数关系式；（2）点M 在x 轴上，连接MB ，当∠MBA +∠CBO ＝45°时，求点M 的坐标；（3）若点P 在x 轴上，平面内是否存在点Q ，使点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知，一次函数643+=x y -的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，与直线y ＝x 45相交于点C ．过点B 作x 轴的平行线l ．点P 是直线l 上的一个动点．（1）求点A ，点B 的坐标．（2）求点C 到直线l 的距离．（3）若S △AOC ＝S △BCP ，求点P 的坐标．（4）若点E 是直线y ＝x 45上的一个动点，当△APE 是以AP 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点E 的坐标．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝﹣2321+x 与y ＝x 相交于点A ，与x 轴交于点B ． （1）求点A ，B 的坐标； （2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在一点C ，使得以O ，A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在直线OA 上，是否存在一点D ，使得△DOB 是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D 的坐标，如果不存在，请说明理由．8．如图1，已知直线l 1：y ＝kx +4交x 轴于A （4，0），交y 轴于B ．（1）直接写出k 的值为 ；（2）如图2，C 为x 轴负半轴上一点，过C 点的直线l 2：n x y +=21经过AB 的中点P ，点Q （t ，0）为x 轴上一动点，过Q 作QM ⊥x 轴分别交直线l 1、l 2于M 、N ，且MN ＝2MQ ，求t 的值；（3）如图3，已知点M （﹣1，0），点N （5m ，3m +2）为直线AB 右侧一点，且满足∠OBM ＝∠ABN ，求点N 坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．（1）点A的坐标是，点B的坐标是，AB的长为；（2）求点C的坐标；（3）点M是y轴上一动点，若S△MAB＝S△OCD，直接写出点M的坐标；（4）在第一象限内是否存在点P，使△P AB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，直角坐标系中，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（3，0），点B（0，﹣4），过D（0，8）作平行x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x 轴正半轴上，且AG＝AF．（1）求直线AB的函数表达式．（2）当点E恰好是OD中点时，求△ACG的面积．（3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．11．如图，一次函数y1＝x+n与x轴交于点B，一次函数y2＝﹣x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，﹣）．（1）则点B的坐标为，点C的坐标为；（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．12．在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝﹣x+3与坐标轴相交于A，B两点，直线l2：y2＝kx+b（k≠0）与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E 的横坐标为2．已知OC＝，点P是直线l2上的动点．（1）求直线l2的函数表达式；（2）过点P作x轴的垂线与直线l1和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标；（3）若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．13．（1）认识模型：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）应用模型：①已知直线y＝﹣2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B顺时针旋转90度，得到线段CB，求点C的坐标；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（5，4），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣3上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形ADPQ 是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．14．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，点B的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC、BC于点E、D，且点D的坐标是（，6）．（1）求BF的长度；（2）如图2，点P在第二象限，且△PDE≌△CED，求直线PE的解析式；（3）若点M为直线DE上一动点，在x轴上是否存在点N，使以M、N、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．— 21 —。

一次函数与四边形存在性问题1、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，2，点C的坐标为（－18，0）。

（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

2、如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B 点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．(1)求A、B两点的坐标。

(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为4，点B是线段OA上的一个动点．过点B作直线MN平行于x轴，设MN分别交射线OA与X•轴所形成的两个角的平分线于点E、F．（1）求证：EB=BF；为何值时，四边形AEOF是矩形？并证明你的结论；（2）当OBOA（3）是否存在点A、B，使四边形AEOF为正方形．若存在，求点A与点B的坐标；• 若不存在，请说明理由．5、如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=3，∠CAO=30°，将Rt△OAC•折叠，•使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．（1）求折痕CE所在直线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．。

一次函数与三角形的存在性问题1．如图，直线y=2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y=﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=2x+m（m＞0）相交于点D，若AB=4．（1）求点D的坐标；（2）求出四边形AOCD的面积；（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标．2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴交于A、与y轴交于B，点C（a，b），其中a＜b，且a、b是方程x2﹣7x+12=0的两根．（1）求直线AC的解析式；（2）点D为直线AC与y轴的交点，请求出△ABD和△BCD的周长差；（3）点E是线段AC上一动点，是否存在点E，使△COE为直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，34OBOA，点C(x,y)是直线y＝kx＋3上与A、B不重合的动点。

（1）求直线y=kx+3的解析式；（2）当点C运动到什么位置时，△AOC的面积是6；（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

4、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A （0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+=0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求A、C两点的坐标；（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，A（18，0），B（12，8），C（0，8），动点P、Q分别从原点O、点B 同时出发，动点P沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1的单位长度的速度向C运动，当点Q到达C点时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒），直线PQ与直线AB交于点D．（1）直接写出线段AB的长为；（2）求直线AB的函数表达式；（3）当t=2时，求直线PQ的表达式以及点D的坐标；（4）直接写出所有t的值，使得此时△ADP是等腰三角形．6．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为多少时，△PQB为直角三角形．。

3一次函数之存在性问题（一）（讲义）➢课前预习1.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为( ，1)，P 为y 轴上一点，且△POA 为等腰三角形，则满足条件的点P 的坐标为．2.如图是乐乐的五子棋棋盘的一部分（5×5 的正方形网格），以点D，E 为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC 全等，这样的格点三角形最多可以画出个．1➢知识点睛1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查．2.存在性问题的处理思路：①分析不变特征分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类．②分类画图求解分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③结果验证回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、图形；函数背景往往研究点坐标、表达式等．3.等腰三角形存在性的不变特征及特征下操作要点举例：两定一动连接两个定点得定线段，定线段在等腰三角形中作腰或底进行分类（两圆一线），通常借助腰相等或者“三线合一”进行求解．4.全等三角形存在性的特征分析及特征下操作要点：分析两三角形的不变特征及对应关系，根据不确定的对应关系进行分类，通常借助边、角的对应相等进行求解．➢精讲精练1.如图，直线y=kx-4 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，且OB4．OA 3点 C 在第一象限，且在直线y=kx-4 上，△AOC 的面积是6．（1）求点C 的坐标．（2）x 轴上是否存在点P，使△POC 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，直线y=2x+3 与y 轴交于点A，与直线x=1 交于点B．（1）求点A，B 的坐标．（2）在直线x=1 上是否存在点P，使△ABP 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2 3.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的边 OC ，OA 分 别与 x 轴、y 轴重合，AB ∥OC ，∠BCO =45°，BC = 4 ，点 C 的坐标为(-6，0)，直线 BD 交 y 轴正半轴于点 D ，且 OD =2．（1） 求直线 BD 的表达式．（2） 若 P 是直线 BD 上的一个动点，是否存在点 P ，使以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，直线y =1x + 2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是2直线y =1x + 2 上的一个动点，过点P 作直线AB 的垂线，分2别交x 轴、y 轴于点E，F，是否存在点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线y=-x+2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 是直线y=-x+2 上的一个动点（不与点A 重合）．过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于点D，是否存在点C，使△BCD 与△AOB 全等？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．5 5 2 2 2 2 2 【参考答案】➢ 课前预习 1. (0，2)或(0，-2) 2. 4➢ 知识点睛1. 运动的结果 ➢ 精讲精练1. （1）点 C 的坐标为(6，4)；（2）存在，点 P 的坐标为( -2 0)或( 13，0).3，0)，( 2，0)，(12，2. （1）点 A 的坐标为(0，3)，点 B 的坐标为(1，5)； （2）存在，点 P 的坐标为(1，5 + )，(1，5 - )，(1，1)或(1， 15).43. （1）直线 BD 的表达式为 y = -x + 4 ；（2）存在，点 P 的坐标为(2，0)，( ，2 - )，( - ， 2 + 2 )或(1，1).4. 存在，点 P 的坐标为( - 12 ， 4 )或( 4 ， 12)5 5 5 55. 存在，点 C 的坐标为( - ，2 + )，( 2 ，2 - )或(-2，4).13 13 2。

1．如图，点E，F在线段BC上，ABF∆与DCE∆全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE 交于点M，则(DCE∠=)A．ABF∠B．BAF∠C．EMF∠D．AFB∠【答案】A．2．如图，ABC∆的顶点分别为(0,3)A，(4,0)B-，(2,0)C，且BCD∆与ABC∆全等，则点D坐标可以是( )A．(2,3)--B．(2,3)-C．(2,3)D．(0,3)【答案】A．3．如图，直线1:33y x=-+与x轴、y轴分别相交于点A、B，AOB∆与ACB∆关于直线l对称，则点C的坐标为．【答案】3(2，3)．专题导入一次函数与全等存在性全等三角形存在性问题的处理流程：分析不变特征： 从顶点入手，分析定点、动点，在两个三角形中逐层分析确定的角、边长，把公共边作为对应边. 分析形成因素：根据分析得到的不变特征，结合两个三角形全等的判定，同时考虑两个三角形出现的对应关系，综合在一起分析.画图求解：根据上面的分析，画出符合题意的图形，结合图形特征，设计方案.结果验证：回归点的运动范围进行验证；估算数值，结合图形进行验证.例1、如图，ABC ∆的顶点分别为(0,3)A ，(4,0)B -，(2,0)C ，且BCD ∆与ABC ∆全等，则点D 坐标可以是______________．【答案】解：如图所示，BCD ∆与ABC ∆全等，点D 坐标可以是(2,3)-或(2,3)--或(0,3)-． 故答案为：(2,3)-或(2,3)--或(0,3)-．专题精析解法点睛【举一反三】1．线段AB 的两端点的坐标为(0,3)A ，(2,0)B -，现请你在坐标系中（不能在坐标轴上）找一个格点P ，使得以P 为顶点且与AOB ∆共一边的三角形与AOB ∆全等，则满足条件的P 点的坐标是 ________ （写出所有情况）【答案】解：如图所示：1(2,3)P-，2(2,3)P ，3(2,3)P --， 故答案为：(2,3)-、(2,3)、(2,3)--．2．如图，直线24y x =-+分别与x 轴、y 轴相交于点A 和点B ，如果线段CD 两端点在坐标轴上滑动(C 点在y 轴上，D 点在x 轴上），且CD AB =．（1）当COD ∆和AOB ∆全等时，求C 、D 两点的坐标；（2）是否存在经过第一、二、三象限的直线CD ，使CD AB ⊥？如果存在，请求出直线CD 的解析式；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（1）由题意，得(2,0)A ，(0,4)B ，即2AO =，4OB =．①当线段CD 在第一象限时，点(0,4)C ，(2,0)D 或(0,2)C ，(4,0)D ．②当线段CD 在第二象限时，点(0,4)C ，(2,0)D -或(0,2)C ，(4,0)D -．③当线段CD 在第三象限时，点(0,4)C -，(2,0)D -或(0,2)C -，(4,0)D -．④当线段CD 在第四象限时，点(0,4)C -，(2,0)D 或(0,2)C -，(4,0)D（2）(0,2)C ，(4,0)D -．直线CD 的解析式为122y x =+．例2、在平面直角坐标系中，点A 的坐标(0,4)，点C 的坐标(6,0)，点P 是x 轴上的一个动点，从点C 出发，沿x 轴的负半轴方向运动，速度为2个单位/秒，运动时间为t 秒，点B 在x 轴的负半轴上，且3AOC AOB S S ∆∆=．（1）求点B 的坐标；（2）若点D 在y 轴上，是否存在点P ，使以P 、D 、O 为顶点的三角形与AOB ∆全等？若存在，直接写出点D 坐标；若不存在，请说明理由（3）点Q 是y 轴上的一个动点，从点A 出发，向y 轴的负半轴运动，速度为2个单位/秒．若P 、Q 分别从C 、A 两点同时出发，求：t 为何值时，以P 、Q 、O 三点构成的三角形与AOB ∆全等．【答案】解：（1）点A 的坐标(0,4)，点C 的坐标(6,0)，4OA ∴=，6OC =，11641222AOC S OC OA ∆∴==⨯⨯=， 3AOC AOB S S ∆∆=．4AOB S ∆=，设(,0)B x ，点B 在x 轴的负半轴上，OB x ∴=-，11()4422AOB S OB OA x ∆∴==⨯-⨯=， 2x ∴=-，(2,0)B ∴-；（2）P 在x 轴上，D 在y 轴，90POD AOB ∴∠=∠=︒，以P 、D 、O 为顶点的三角形与AOB ∆全等，∴①POD AOB ∆≅∆，2OD OB ∴==，(0,2)D ∴或(0,2)-②DOP AOB ∆≅∆，4OD OA ∴==，(0,4)D ∴或(0,4)-， 即：满足条件的D 的坐标为(0,4)，(0,4)-，(0,2)，(0,2)-．（3）P 在x 轴上，Q 在y 轴，90POQ AOB ∴∠=∠=︒，由运动知，2CP t =，2AQ t =，|26|OP t ∴=-，|24|OQ t =-，当02t <<时，62OP t =-，42OQ t =-，以P 、Q 、O 为顶点的三角形与AOB ∆全等，1t ∴=462OP OA t ===-，1t ∴=，∴满足条件，即：1t s =②QOP AOB ∆≅∆，442OQ OA t ∴===-，0t ∴=，262OP OB t ===-，2t ∴=，∴不满足条件，舍去；当23t <<时，62OP t =-，24OQ t =-，以P 、Q 、O 为顶点的三角形与AOB ∆全等，∴①POQ AOB ∆≅∆，224OQ OB t ∴===-，3t ∴=，462OP OA t ===-，1t ∴=，∴不满足条件，舍去；②QOP AOB ∆≅∆，424OQ OA t ∴===-，4t ∴=，262OP OB t ===-，2t ∴=，∴不满足条件，舍去；当3t >时，26OP t =-，24OQ t =-，以P 、Q 、O 为顶点的三角形与AOB ∆全等，3t ∴=426OP OA t ===-，5t ∴=，∴不满足条件，舍去；，②QOP AOB ∆≅∆，424OQ OA t ∴===-，4t ∴=，226OP OB t ===-，4t ∴=，∴满足条件，即：4t s =即：满足条件的时间1t s =或4s ．13．直线1l 与x 轴的交点A 的坐标为(2,0)-，与y 轴的交点B 的坐标为(0,1)．（1）求这条直线的表达式．（2）直线2l 经过第二、三、四象限，且与x 轴、y 轴分别交于点C ，点D ，如果COD ∆和AOB ∆全等，求直线2l 的表达式．【答案】解：（1）设1l 一次函数表达式为y kx b =+，直线1l 与x 轴的交点A 的坐标为(2,0)-，与y 轴的交点B 的坐标为(0,1)．代入可得201k b b -+=⎧⎨=⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，1l ∴一次函数表达式为112y x =+；（2）点A 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(0,1)．2OA ∴=，1OB =，专题过关COD ∆和AOB ∆全等， 2OC ∴=或1，1OD =或2，(2,0)C ∴-，(0,1)D -或(1,0)C -，(0,2)D -，设2l 一次函数表达式为y mx n =+，∴201m n n -+=⎧⎨=-⎩或02m n n -+=⎧⎨=-⎩ 解得121m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或22m n =-⎧⎨=-⎩∴直线2l 的表达式为112y x =--或22y x =--． 2．已知直线25y x =-与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，点(1,)C n 在直线AB 上，点D 在y 轴的负半轴上，且CD =（1）求点C 、点D 的坐标．（2）若点M 为x 轴上一动点（点M 不与点O 重合），N 为直线25y x =-上一动点，是否存在点M 、N ，使得AMN ∆与AOB ∆全等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）如图1中，点(1,)C n 在直线25y x =-上，3n ∴=-，(1,3)C ∴-，作CF y ⊥轴于F ，10CD =，1CF =，在Rt CDF ∆中，3DF ，(0,6)D ∴-或(0,0)（舍弃）(0,6)D ∴-．（2）如图2中，①当AMN AOB ∆≅∆时， 2.5AM OA ==，5NM OB ==5OM ∴=，(5,5)N ∴．②当△AN M AOB ''≅∆时，52AN OA '==，可得N '，． ③当△AN M AOB ''''≅∆时，52AN OA ''==，可得N ''，．综上所述，满足条件的点N 坐标：(5,5)或或 3 3．直线(0)y x b b =+>与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，点A 的坐标为(6,0)-，过点B 的另一直线交x 轴正半轴于点C ，且13OC OB =． （1）求点B 的坐标及直线BC 的解析式；（2）在线段OB 上存在点P ，使点P 到点B ，C 的距离相等，求出点P 坐标；（3）在x 轴上方存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与ABC ∆全等，画出ABD ∆并请直接写出点D 的坐标．【答案】解：（1）把A 的坐标为(6,0)-代入y x b =+中，得到6b =， (0,6)B ∴，13OC OB =，2OC ∴=，(2,0)C ∴，设直线BC 的解析式为y kx b =+，则有620b k b =⎧⎨+=⎩，解得36k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为36y x =-+．（2）如图1中，由题意PB PC =，设PB PC x ==．在Rt POC ∆中，6OP x =-，PC x =，2OC =，222(6)2x x ∴=-+，103x ∴=，108633OP ∴=-=，8(0,)3P ∴．（3）如图2中，设点C 关于直线AB 的对称点为D ，则ABD ABC ∆≅∆，直线AB 的解析式为6y x =+，∴直线CD 的解析式为2y x =-+，由62y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得24x y =-⎧⎨=⎩，(2,4)H ∴-，DH HC =，(6,8)D ∴-，根据对称性点D 关于直线y x =-的对称点(8,6)D '-也满足条件．综上所述，满足条件的点D 的坐标为(6,8)-或(8,6)-．4．如图，直线124:5l y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，直线2:2l y x b =-+与x 轴、y 轴、直线1l 分别相交于点C 、D 、P ．已知点A 的坐标为(6,0)，点D 的坐标为(0,6)，点M 是x 轴上的动点．（1）求k ，b 的值及点P 的坐标；（2）当POM ∆为等腰三角形时，求点M 的坐标；（3）是否存在以点M 、O 、D 为顶点的三角形与AOB ∆全等？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）直线124:5l y kx =+与x 轴相交于(6,0)A ， 24605k ∴+=，45k ∴=-， ∴直线1424:55l y x =-+① 直线2:2l y x b =-+与y 轴相交于点(0,6)D ，6b ∴=，∴直线2:26l y x =-+②，联立①②解得，14x y =⎧⎨=⎩，(1,4)P ∴；（2）点M 是x 轴上的动点，∴设(,0)M m ，(1,4)P ，OP ∴=||OM m =，MP =POM ∆为等腰三角形，∴当OM OP =时，∴||m =，m ∴=(M ∴0)或0)当OM MP =时，||m ∴=172m ∴=，17(2M ∴，0)， 当OP MP =时，∴，0m ∴=（舍)或2m =，(2,0)M ∴，即：点M 的坐标为(0)或0)或17(2，0)或(2,0)；（3）点A 的坐标为(6,0)，点D 的坐标为(0,6)，6OA OD ∴==，点M 在x 轴上，90AOB DOM ∴∠=∠=︒，以点M 、O 、D 为顶点的三角形与AOB ∆全等，AOB DOM ∴∆≅∆， OM OB ∴=，直线1424:55l y x =-+与y 轴相交于B ， 24(0,)5B ∴，245OB ∴=，245OM ∴=， 24(5M ∴，0)或24(5-，0)．5．已知直线443y x =-+与x 轴和y 轴分别交与A 、B 两点，另一直线过点A 和点(7,3)C ．（1）求直线AC 对应的函数关系式；（2）求证：AB AC ⊥；（3）若点P 是直线AC 上的一个动点，点Q 是x 轴上的一个动点，且以P 、Q 、A 为顶点的三角形与AOB ∆全等，求点Q 的坐标．【答案】解：（1）在443y x =-+中，令0y =，则4043x =-+，3x ∴=，(3,0)A ∴，设直线AC 对应的函数关系式为y kx b =+，∴0337k b k b =+⎧⎨=+⎩，∴3494k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AC 对应的函数关系式为3944y x =-，（2）在直线443ABy x =-+中，143k =-， 在直线3944ACy x =-中，234k =， 121k k ∴=-，AB AC ∴⊥；（3）在443y x =-+中，令0x =，则4y =，3OA ∴=，4OB =，由勾股定理得5AB =，①当90AQP ∠=︒时，如图1，AOB AQP ∆≅∆，4AQ OB ∴==，1(7,0)Q ∴，2(1,0)Q -，②当90APQ ∠=︒时，如图2，AOB AQP ∆≅∆，5AQ AB ∴==，3(8,0)Q ∴，4(2,0)Q -．③当90PAQ ∠=︒时，这种情况不存在，综上所述：点Q 的坐标为：(7，0)(8，0)(1-，0)(2-，0)．6．如图，直线:3l y kx =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，34OB OA =，OM AB ⊥，垂足为点M ，点P 为直线l 上的一个动点（不与A 、B 重合）．（1）求直线3y kx =+的解析式；（2）当点P 运动到什么位置时BOP ∆的面积是6；（3）在y 轴上是否存在点Q ，使得以O ，P ，Q 为顶点的三角形与OMP ∆全等，若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）直线:3l y kx =+与y 轴交于点B(0,3)B ∴，3OB =34OB OA =，4OA ∴=，即(4,0)A点A 在直线l 上，430k ∴+= 解得：34k =-∴直线l 的解析式为334y x =-+（2）过P 作PC y ⊥轴于C ，如图1，162BOP S OB PC ∆∴==4PC ∴=∴点P 的横坐标为4或4-点P 为直线l 上的一个动点且不与A 、B 重合∴横坐标不为4，纵坐标为：3(4)364-⨯-+=∴点P 坐标为(4,6)-时，BOP ∆的面积是6；（3）存在满足条件的P 、QOM AB ⊥，5AB ==90OMP ∴∠=︒ 125OA OB OM AB ==∴以O ，P ，Q 为顶点的三角形与OMP ∆全等时，斜边OP 为对应边，90OQP ∠=︒， ①OMP PQO ∆≅∆125PQ OM ∴==，即P 点横坐标为125-或125，如图2和图3，31224()3455-⨯-+=，31263455-⨯+= ∴点12(5P -，24)5或12(5，65）②OMP OQP ∆≅∆125OQ OM ∴==，即点P 、点Q 纵坐标为125-或125，如图4和图5，312345x -+=- 解得：365x =312345x -+= 解得：45x = ∴点36(5P ，12)5-或4(5，12)5 综上所述，符合条件的点P 的坐标为12(5-，24)5，12(5，6)5，36(5，12)5-，4(5，12)5。

专题：一次函数中等腰直角三角形存在性问题【教学目标】理解、掌握一次函数中等腰直角三角形存在性问题两定一动模型点的找法和算法，以及两动一定模型的解题思路。

经历作图，旋转三角板这些操作，促进学生对数学知识的理解，形成有效的学习模式。

【回顾】 一次函数中等腰三角形存在性问题找点方法： ，算法： 一次函数中直角三角形存在性问题找点方法： ，算法：【新知】以(,)A A A x y 、(,)c c C x y 为三角形的边，在平面内找一点B 使得△ABC 为等腰直角三角形（二定一动）一.找法：二．算法：例题例1：如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)，B(0,b)其中a、b满足关系式|a﹣2|＝-(b﹣6)2（1）求a,b的值，并写出直线AB的函数表达式；（2）过点A作AD⊥AB，交BC延长线于点D，且AB＝AD，N是平面直角坐标系中的一点，是否存在以BD为直角边的等腰直角三角形△BDN，若存在，请直接写出点N的坐标．变式：如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)，B(0,b)，其中a、b满足关系式|a﹣2|＝-(b﹣6)2（1）求a,b的值，并写出直线AB的函数表达式；（2）过点A作AD⊥AB，交BC延长线于点D，且AB＝AD，点M在直线AB 上，点Q是x轴上异于点A的一个动点，是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形△DQM，若存在，请直接写出点Q的坐标．练习1：如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB＝90°,点A坐标(﹣9,0)，直线BC的解析式为y=−34x+12，点D是线段BC上一动点（不与点B、点C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．（1）求点B、点C的坐标；（2）求直线AC的解析式；（3）若点N在射线DE上，是否存在点N使△BCN是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图1，直线y=−34x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B．（1）求△AOB的面积；（2）如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，AB＝BC，P为射线AB（不含A点）上一点，过点P作y轴的平行线交射线AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点N，使△PQN是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。

一次函数与几何综合（讲义）一、知识点睛1.一次函数表达式：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）①k是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM即为竖直高度，BM即为水平宽度，则=AMkBM，②b是截距，表示直线与y轴交点的纵坐标．2.设直线l1：y1=k1x+b1，直线l2：y2=k2x+b2，其中k1，k2≠0．①若k1=k2，且b1≠b2，则直线l1∥l2；②若k1·k2=-1，则直线l1⊥l2．3.一次函数与几何综合解题思路从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点．通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题．二、精讲精练1.如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为______．第1题图第2题图第3题图2.如图，直线l1交x轴、y轴于A，B两点，OA=m，OB=n，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD．CD所在直线l2与直线l1交于点E，则l1____l2；若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2=_______．3.如图，直线483y x=-+交x轴、y轴于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D，则点C的坐标为____________．MAB4.如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象l是第一、三象限的角平分线．探索：若点A的坐标为(3，1)，则它关于直线l的对称点A'的坐标为____________；猜想：若坐标平面内任一点P的坐标为(m，n)，则它关于直线l的对称点P′的坐标为____________；应用：已知两点B(-2，-5)，C(-1，-3)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到B，C两点的距离之和最小，则此时点Q的坐标为____________．5.如图，已知直线l：y x=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线l折叠，点O落在点C处，则直线CA的表达式为__________________．第5题图第6题图第7题图6.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，E是AB上的一点，且BE:EA=5:3，EC=把△BCE沿折痕EC向上翻折，点B恰好落在AD边上的点F处．若以点A为原点，以直线AD为x轴，以直线BA为y轴建立平面直角坐标系，则直线FC的表达式为__________________．7.如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB=2，AD=1，过定点Q(0，2)和动点P(a，0)的直线与矩形ABCD的边有公共点．（1）a的取值范围是________________；（2）若设直线PQ为y=kx+2（k≠0），则此时k的取值范围是________________．8. 如图，已知正方形ABCD 的顶点A (1，1)，B (3，1)，直线y =2x +b 交边AB 于点E ，交边CD 于点F ，则直线y =2x +b 在y 轴上的截距b 的变化范围是____________．第8题图 第9题图9. 如图，已知直线l 1：2833y x =+与直线l 2：y =-2x +16相交于点C ，直线l 1，l 2分别交x轴于A ，B 两点，矩形DEFG 的顶点D ，E 分别在l 1，l 2上，顶点F ，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG :S △ABC =_________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A (4，0)，B (0，-4)，P 为y 轴上B 点下方一点，PB =m （m >0），以点P 为直角顶点，AP 为腰在第四象限内作等腰Rt △APM ． （1）求直线AB 的解析式；（2）用含m 的代数式表示点M 的坐标；（3）若直线MB 与x 轴交于点Q ，求点Q 的坐标．一次函数之存在性问题（讲义）一、知识点睛存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：1.把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息；2.分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；3.结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题．二、精讲精练1.如图，直线3y x=+x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第一象限内的点，由点P，O，B组成了一个含60°角的直角三角形，则点P的坐标为_____________．2.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且43 OCOB=.（1）求点B的坐标和k的值．（2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=C的坐标为(-9，0)．（1）求点B的坐标．（2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4.与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线122y x=+与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为(-3，0)，P(x，y)是直线122y x=+上的一个动点（点P不与点A重合）．（1）在点P的运动过程中，试写出△OPC的面积S与x之间的函数关系式．（2）当点P运动到什么位置时，△OPC的面积为278？求出此时点P的坐标．（3）过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E，F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．一次函数之动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程．1.一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息；②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围；③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案．2.解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s=vt直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．二、精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线334y x=-+与x轴、y轴分别交于A，B两点．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．（1）求OA，OB的长．（2）过点P与直线AB垂直的直线与y轴交于点E，在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．3.如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A(8，0)，B(8，11)，C(0，5)，点D为线段BC的中点．动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA—AB—BD的路线运动，至点D停止，设运动时间为t秒．（1）求直线BC的解析式．（2）若动点P在线段OA上运动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的14？（3）在动点P的运动过程中，设△OPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．4.如图，直线y=+与x轴交于点A，与直线y=交于点P．（1）求点P的坐标．（2）求△OP A的面积．（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿OA方向向终点A运动，过点E 作EF⊥x轴交线段OP或线段P A于点F，FB⊥y轴于点B．设运动时间为t秒，矩形OEFB与△OP A重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．5.如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别交于A，B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别交于M，N两点，设运动时间为t秒（0< t <4）．（1）求A，B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重叠部分的面积为S2，试探究S2与t之间的函数关系式．一次函数之面积问题（讲义）一、知识点睛1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线，通常有以下三种思路： ①公式法（规则图形）；②割补法（分割求和、补形作差）； ③转化法（例：同底等高）． 2. 坐标系中面积问题的处理方法举例①割补求面积（铅垂法）：2△APB S ah = 12△APB S ah= ②转化求面积：l 1l 2如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．二、精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，已知A (-1，3)，B (3，-2)，则△AOB 的面积为___________．2.如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P的坐标为(-2，2)，则S△P AB=___________．第2题图第3题图3.如图，直线AB：y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，点B，直线CD：y=kx-2与x轴、y轴分别交于点C，点D，直线AB与直线CD交于点P．若S△APD=4.5，则k=__________．4.如图，直线112y x=+经过点A(1，m)，B(4，n)，点C的坐标为(2，5)，求△ABC的面积．5.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，4)，B(6，6)，C(8，2)，求四边形OABC的面积．6.如图，直线112y x=-+与x轴、y轴分别交于A，B两点，C(1，2)，坐标轴上是否存在点P，使S△ABP =S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，已知直线m的解析式为112y x=-+，与x轴、y轴分别交于A，B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，且∠BAC=90°，点P为直线x=1上的动点，且△ABP的面积与△ABC的面积相等．（1）求△ABC的面积；（2）求点P的坐标．8.如图，直线P A：y=x+2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：y=-2x+8与x轴交于点B．（1）求四边形PQOB的面积．（2）直线P A上是否存在点M，使得△PBM的面积等于四边形PQOB的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．一、知识点睛 二、精讲精练 1．232．⊥，-1 3．7(0)3-， 4．(1，3)；(n ，m )；1313()55--， 5．y =+6．4163y x =-+7．（1）-2≤a ≤2；（2）k ≥1或k ≤-1 8．-3≤b ≤-1 9．8:910．（1）y =x -4；（2）M (m +4，-m -8)；（3）Q (-4，0) 【参考答案】 一、知识点睛 二、精讲精练1．33(13()4444或(或，或(，) 2．（1）B (3，0)，43k =（2）A (6，4) （3）123413(120)03P P P P 或(-)或，或(，) 3．（1）B (-3，6) （2）y =-x +3（3）123433(30)(22P P P P +，或或或(，) 4．1261224()(46)5555--，或(，)或，5．（1）33(4)433(4)4x x S x x ⎧--<-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩（2）1217919()2424P P --，或(，) （3）12412124()5555P P ，或(-，)1．（1）OA =4，OB =3； （2）t =1或t =7 2．（1）y =+（2）22(04)2(48)t S t <⎪=⎨⎪+<<⎪⎩≤（3）123(08)(08)(0M M M -或或，4(03M 或，3．（1）354y x =+（2）32t =（3）4(08)248(819)248(1924)t t S t t t t <⎧⎪=-+<⎨⎪-+<<⎩≤≤4．（1）(3P （2） （3）22(03)6(34)2t S t <⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤5．（1）(40)(04)A B ，,，（2）2112S t = （3）2221(02)2388(24)2t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤【参考答案】 二、精讲精练1．722．83．524．925．24 6．123451(0)(50)(0)(10)22P P P P --，或，或，或， 7．（1）52；（2）12(13)(12)P P -，或， 8．（1）10；（2）12162242()()3333M M -，或，。

一次函数之存在性问题培优专题XXX教研工作室——您值得信赖的专业化个性化研究方案第九讲：一次函数之存在性问题一、知识点概述1.存在性问题是指在变化过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的问题，主要考查运动的结果。

2.在一次函数的背景下，解决存在性问题需要以下思考方向：①研究背景图形，将函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息。

②分析不变特征，确定分类标准。

③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解。

3.不变特征的举例：①等腰直角三角形：根据直角顶点确定分类标准，然后借助两腰相等或者45°角确定点的位置。

②等腰三角形：以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定点的位置。

③全等三角形：找准目标三角形，根据目标三角形的特征确定分类标准，利用对应关系确定点的位置。

二、精讲精练1.如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B，在第一象限是否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解：通过分析，我们可以得出，等腰直角三角形的顶点必须在直线y=-x+3上，并且在第一象限内。

因此，我们可以设点P的坐标为(x,-x+3)，代入等腰直角三角形的定义式，得到x=1.因此，点P的坐标为(1,2)。

所以存在。

2.直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且1）求点B的坐标和k的值。

2）若点A是第一象限内的直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解：1）由于直线y=kx-4与y轴相交于点C(0,-4)，因此k=-4/0不存在。

而直线y=kx-4与x轴相交于点B(4/k,0)。

因此，点B 的坐标为(4/k,0)。

2) 由于△AOB是直角三角形，所以△AOB的面积为(AB*OA)/2.代入AB=4/k，OA=k，面积为6的条件，得到k=2/3.因此，当点A运动到(3,2)时，△AOB的面积是6.3）由于△POA是等腰三角形，所以点P必须在直线y=kx-4的中垂线上，且在x轴上。

一次函数--直角三角形存在性问题处理方法一次函数y=kx+b（k≠0）中k、b的几何意义：k(称为斜率)表示直线y=kx+b（k≠0）的倾斜程度；b（称为截距）表示直线y=kx+b（k≠0）与y轴交点的。

斜率公式已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式同一平面内，不重合的两直线 y=k1x+b1（k1≠0）与 y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：当时，两直线平行。

当时，两直线垂直。

两直线垂直设两条直线的斜率分别为.若，则.练习1、如图，已知A（1，0），B（0，3），P是直线x=2上一点，若△ABP是以AB为斜边的直角三角形，则点P的坐标为。

2、如图，已知点A（0，1），B（4，3），P是x轴上一点，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标为。

3、如图，一次函数(0)y kx b k=+≠的图像交坐标轴于A，B两点，其中A（-4,0）B（0,3），（1）求直线AB的解析式；（2）点C的坐标为（5,2m），连接AC，BC，若∠ACB=90o，则m的值为___________。

练习21. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且43OC OB =． （1）求B 点的坐标和k 的值．（2）若点A （x ，y ）是第一象限内的直线y =kx -4上的一个动点,则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在直角坐标系中，一次函数y=23x +的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）已知OC ⊥AB 于C ，求C 点坐标；（2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，CB∥OA，∠OCB＝90°，CB＝1，AB112y x=-+过A点，且与y轴交于D点．4.如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=162x-+分别与x轴、y轴交于点B，C，且与直线l2:y=12x交于点A．（1）求出点A，B，C的坐标；（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；。

重难点二：一次函数之存在性问题【知识点睛】通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：1.把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息；2.分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；3.结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）几何特征建立等式来解决问题．【例题精讲】例题1. 如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且OC/OB=4/3.（1）求点B的坐标和k的值．（2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【参考答案】练1、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=，点C的坐标为(-9，0)．（1）求点B的坐标．（2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，练2、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣43点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C 处．（1）求AB的长和点C的坐标；（2）求直线CD的解析式；S△OCD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB=12请说明理由．（4）求S△ADE的面积；（5）直线BA与直线CD相交于点E，若点P是x轴上的一动点记d=PE+PD，求d的最小值及此时点P的坐标．（6）在x轴上是否存在一点Q，使△QAB为等腰三角形，若存在，求Q点坐标；若不存在，说明理由．（7）在坐标轴上是否存在点M，使△MAB为等腰三角形，若存在，求M点坐标；若不存在，说明理由．（8）在直线DC上是否存在点N，使得△NDA为等腰三角形，若存在，求N点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB的长，然后依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；（2）设OD=x，则CD=DB=x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，﹣6），然后利用待定系数法求解即可；（3）先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标．【解答】解：（1）令x=0得：y=4，∴B（0，4）．∴OB=4x+4，解得：x=3，令y=0得：0=﹣43∴A（3，0）．∴OA=3．在Rt△OAB中，AB=√OA2+OB2=5．∴OC=OA+AC=3+5=8，∴C（8，0）．（2）设OD=x，则CD=DB=x+4．在Rt△OCD中，DC2=OD2+OC2，即（x+4）2=x2+82，解得：x=6，∴D（0，﹣6）．设CD的解析式为y=kx﹣6，将C（8，0）代入得：8k﹣6=0，解得：k=3，4∴直线CD的解析式为y=3x﹣6．4S△OCD，（3）∵S△PAB=12∴S △PAB =12×12×6×8=12． ∵点Py 轴上，S △PAB =12，∴12BP•OA=12，即12×3BP=12，解得：BP=8， ∴P 点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．。

一次函数与矩形存在性问题本文讨论一次函数与矩形存在性的问题，并探讨其中的关系和特点。

引言一次函数是指具有形式为 y = ax + b 的函数，其中 a 和 b 均为常数，且 a 不等于 0。

矩形是一个具有四个直角的四边形，其中所有内角均为 90 度。

在数学中，我们经常会遇到一次函数与矩形的相关问题，例如确定一次函数是否与某个矩形相交或相切。

问题分析一次函数与矩形相交或相切的存在性取决于函数的斜率和截距与矩形的边界条件之间的关系。

以下是一些常见情况的分析结果：1. 当函数的斜率为正时，如果函数的截距小于矩形最低边的上端点，并且截距大于矩形最高边的下端点，则函数与矩形相交或相切。

2. 当函数的斜率为负时，如果函数的截距大于矩形最低边的上端点，并且截距小于矩形最高边的下端点，则函数与矩形相交或相切。

3. 当函数的斜率为零时，如果函数的截距在矩形最低和最高边的下、上端点之间，则函数与矩形相交或相切。

需要注意的是，以上分析仅适用于矩形的上、下、左、右四条边界条件，对于矩形内部的情况则不予考虑。

实例分析为了更好地理解一次函数与矩形存在性问题，我们来看一个具体的实例。

假设有一条直线方程为 y = 2x + 3，并且有一个矩形的四个顶点坐标分别为 A(1, 2)，B(4, 5)，C(6, 1) 和 D(3, -2)。

我们可以根据上述分析方法来判断这条直线是否与该矩形相交或相切。

根据函数的斜率和截距，我们可以得知该直线的斜率为 2，截距为 3。

然后我们可以根据矩形的边界条件来判断：1. 矩形的最低边为 AB，上端点为 B(4, 5)。

根据情况 1，我们可以知道直线的截距必须小于 B 的 y 坐标，即 3 < 5，所以该直线与矩形 AB 边相交或相切。

2. 矩形的最高边为 CD，下端点为 D(3, -2)。

根据情况 1，我们可以知道直线的截距必须大于 D 的 y 坐标，即 3 > -2，所以该直线与矩形 CD 边相交或相切。

一次函数与菱形存在性问题
本文讨论了一次函数与菱形存在性问题。

在数学中，一次函数是形如y=ax+b的函数，其中a和b是常数，
且a不等于零。

菱形是一个几何形状，它有四个边，且
所有的边长度相等。

我们将探讨一次函数与菱形之间的
关系，以及它们是否存在。

要探讨一次函数与菱形之间的关系，我们需要考虑
一次函数的图像以及菱形的特征。

一次函数的图像是一
条直线，而菱形的特征是四个边长度相等的四边形。

根据上述分析，我们可以得出结论：一次函数与菱
形存在性取决于直线的斜率和截距的取值范围。

在一定
的条件下，一次函数与菱形可能存在交点。

然而，也存在某些情况下，一次函数与菱形不相交。

通过对一次函数与菱形的分析，我们得出结论：一次函数与菱形的相交性取决于直线的斜率和截距的取值范围。

只有当直线的斜率在一定范围内且截距在菱形的纵坐标范围之内时，一次函数与菱形存在交点。

在其他情况下，一次函数与菱形不相交。

请注意，本文讨论的只是一次函数与菱形存在性问题的一种情况。

在数学中，存在许多其他形式的函数与几何形状的关系问题，需要进一步研究和探索。

一次函数与等腰三角形的存在性问题训练
1 如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B，在第一象限是否
存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2 已知，如图，在平面直角坐标系中，A、B两点坐标分别为A（4，0），B （0，8），直线y=2与直线AB交于点C，与y轴交于点D；
（1）求直线AB的解析式；
（2）点E是直线AB上的一个动点，问：在y轴上是否存在点F，使得△DEF 为等腰直角三角形？若存在，请求出点E及对应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3 如图，四边形OABC的顶点A（0，4），B（﹣2，4），C（﹣4，0）．过作B、C直线l，将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于D，与y轴交于点E．探究：当直线l向左或向右平移时（包括直线l与BC直线重合），在直线AB 上是否存在P，使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
4 如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线y=x和直线y=﹣x+2分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形？若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因．。