练习
11?问题情境：如图1, AB // CD / PAB = 130 ° , / PCD= 120 °，求/ APC的度数?小明的思路是过点P作PE // AB通过平行线的性质来求/ APC
P不在B, D两点之间运动时(点P与点O B, D三点不重合), 请直接写出/ APC与a , p之间的数量关系.
(1)过点P 作P E // AB
v AB // CD
??? P E / AB // CD
??? / A + / AP E = 180 °, / C + / CP E = 180
v / P AB = 130 °, / P CD = 120 °,
?/ AP E = 50 °, / CP E = 60°,
?/ AP C = / AP E + Z CP E = 110 °?
⑵Z AP C = Z a + Z p ?
理由：如图2,过P作P E // AB交AC于E,
AB // CD
P E // CD
Z a = Z AP E,Z p = Z CP E Z AP C =
Z AP E + Z CP E = Z a
(3)如图3所示，
当P在BD延长线上时，Z CP A = Z a 如图4
所示，
+ Z p .
(1)按照小明的思路，求/ APC的度数；
⑵问题迁移：如图2, AB // CD点P在射线ON上运动，记/ PAB = a , / PCD = p , 当点P在
B, D两点之间运动时，问/ APC与a , p之间有何数量关系请说明理由；
闍1 图2 备用圏
⑶在(2)的条件下，如果点
\f
当P 在DB 延长线上时，/ CP A = Z P - Z a .
24?问题情境：如图1, AB//CD判断/ ABP / CDP / BPD之间的数量关系.
小明的思路：如图2，过点P作PE// AB通过平行线性质，可得/ ABP+Z CDP# BPD= ______________ ° .
问题迁移：AB// CD直线EF分别与AB, C咬于点E, F,点P在直线EF上(点P与点E, F不重合)运动.
(1) 当点P在线段EF上运动时，如图3,判断/ ABP Z CDP Z BP龙间的数量关系，并说明理由；
(2) 当点P不在线段EF上运动时，(1)中的结论是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请你在
备用图上画出图形，并直接写出Z ABP Z CDP Z BP龙间的数量关系.
解：过点P作PE// AB则
PE// CD
???Z ABP+Z BPE=180 , Z DPE Z
CDP=80°,
??? Z ABP+Z BPE Z DPE-Z CDP=360 ,
vZ BPD Z BPE+Z DPE
?Z ABP+Z CDP Z BPD=360 ,
故答案为：360;
(1) Z ABP+Z CDP Z BPD
证明：如图1,过点P乍PQ/ AB,
v AB// CD
?AB// PQ/ CD
?Z B=Z 1,Z D=Z 2,
? Z BPD Z 1+Z 2=Z B+Z D;
⑵不成立，关系式是：Z B-Z D=Z BPD
或Z D-
Z B=Z BPD 理由：如图2,过点P作PQ/
AB
v AB// CD
?AB// PQ/ CD
?Z BPQ Z B , Z D=Z DPQ
?Z B- Z D=Z BPQ-Z DPQ Z
BPD 即Z BPQ Z B- Z D.
女口图3,同理Z D-Z B=Z BPD
25.如图，已知平面内有两条直线 AB CD 且AB// CD P 为一动点.
⑴ 当点P 移动到AB CD 之间时，如图(1)，这时/ P 与/ A 厶C 有怎样的关系证明你的结论;
(2)当点P 移动到图(2)、图(3)的位置时，/ P 、/ A 厶C 又有怎样的关系请分别写出你的结
解：(1) / APC / A+/ C.
证明：如图1,过点P 乍PE// AB,
??? AB// CD
??? AB// CD// PE
???/ A=/ APE / C=/ CPE ???/
APC / APE / CPE / A+/ C.
(2)女口图 2 , / APC+/ A+ /
C=360 , 理由：过点 P 作PE//
AB ??? AB// CD
???CD// PE,
???/A+/ APE=180 , / C+/ CPE=180 ,
? / APC / A+/ C=360 ;
如图3, / APC / C- /
A. 理由：过点P 作PE//
AB
??? AB// CD
? AB// CD// PE,
? / C=/ CPE / A=/ APE
? / APC / CPE-/ APE / C-/
A.
论.
27.已知直线I 1 // I 2，直线I 3与l 1、I 2分别交于C D 两点，点P 是直线13上的一动点
26.如图(1)所示，是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的, 那么你可深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”.
解：如图所示:
①过E 作EM/ AB,
???/ MEB / B ,/ MED / D,
???/ B+/ D=/ E ;
② 过E 作EM/ AB,根据平行线的传递性，则EM/ CD
???/ 1 + / 2+/ 5+/6=/ B+/ 3+/ 4+ / D, 即，/ E+/ G=Z B+/ F+/ D.
??? AB// CD 贝U EM/ CD 故EM/ AB// CD ???/ MEB /
B=180° , / MED /D=180 , ???/ B+/ E+/
D=360 ;
A B ③分别过E, F , G 乍AB
的平行线，
_A 则/ 1 = / B ,/ 2=/ 3,
C B
① 如图(2)所示，已知AB//CD 请问/ B,/ D,/ E 有何关系并说明理由；
② 如图⑶ 所示，已知AB//CD 请问/ B,/ E ,/ D 又有何关系并说明理由;
故EM/ AB// CD
/ 4=/ 5,/ 6=/ D,
⑴ 如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有/ 3+Z仁/ 2这一相等关系试说明理由；
⑵如图②，当动点P在线段CD之外且在的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立若不成立，试写出新的结论，并说明理由；
⑶请画出动点P在线段C龙外且在直线的下方运动（不与C、D两点重合）时的图形，并仿照图①、图②
解：（1）/ 3+Z仁/ 2成立，
理由如下：过点P作PE//I1，如图①,
???/ 仁/APE
■/I1 // I2 ,
??? PE//1 2 ,
???/ 3=Z BPE
vZ BPE+Z APE W 2,
???/3+Z 1=Z 2;
⑶Z 3+Z仁Z 2不成立，新的结论为Z 3- Z仁Z
理由为: 过点P作PE// I 1，如图②
???Z 仁Z APE
vI1 // I2，
? ?? PE//1 2，
???/ 3=Z BPE
vZ BPE-/ APE= 2,
???/3- Z 1=Z2.
⑶如图③所示，Z 1-Z 2=Z 3.
初一相交线与平行线所有知识点总结和常考题提高难题压轴题 练习(含答案解析) 知识点： 1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。 2、三线八角：对顶角（相等），邻补角（互补），同位角，内错角，同旁内角。 3、两条直线被第三条直线所截： 同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧） 内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧） 同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧） 4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。 5、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足 6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 7、垂线段最短。 8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 9、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c 10、平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。③同旁内角互补，两直线平行。 11、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 12、平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。 13、平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________ 14、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段平行且相等。 平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。 对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 15、命题：判断一件事情的语句叫命题。 命题分为题设和结论两部分；题设是如果后面的，结论是那么后面的。 命题分为真命题和假命题两种；定理是经过推理证实的真命题。 用尺规作线段和角 1．关于尺规作图：尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。 2．关于尺规的功能 直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。 圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。
难点突破“相交线与平行线(提高)”压轴题50道(含详细解析) 1．如图，//AD BC ，D ABC ∠=∠， 点E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ．点F 是边AB 上一点．使得FBE FEB ∠=∠，作FEH ∠的角平分线EG 交BH 于点G ，若100DEH ∠=?，则BEG ∠的度数为( ) A ．30? B ．40? C ．50? D ．60? 2．如图，已知//AB CD ，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作： 第一次操作，分别作ABE ∠和DCE ∠的平分线，交点为1E ， 第二次操作，分别作1ABE ∠和1DCE ∠的平分线，交点为2E ， 第三次操作，分别作2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ，?， 第n 次操作，分别作1n ABE -∠和1n DCE -∠的平分线，交点为n E ． 若1n E ∠=度，那BEC ∠等于 度 3．如图，//AB CD ，CF 平分DCG ∠，GE 平分CGB ∠交FC 的延长线于点E ，若34E ∠=?，则B ∠的度数为 ． 4．如图，直线//a b ，A 是直线a 上一点，D 、E 分别是直线b 上的点，C 是AE 上一点，80ACD ∠=?，//EG CD 交AD 于G ，F 是GE 上一点使FGC FCG ∠=∠， 作CB 平分ACF ∠，
则BCG ∠= ． 5．如图，已知//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点A 、C ，CH 平分ACD ∠，点G 为 CD 上一点，连接HA 、HG ，HC 平分AHG ∠，若42AHG ∠=?，180HGD EAB ∠+∠=?， 则ACD ∠的度数是 ?． 6．如图，直线//MN PQ ，点A 在直线MN 与PQ 之间，点B 在直线MN 上，连结AB ．ABM ∠的平分线BC 交PQ 于点C ，连结AC ，过点A 作AD PQ ⊥交PQ 于点D ，作A F A B ⊥交PQ 于点F ，AE 平分DAF ∠交PQ 于点E ，若45CAE ∠=?，5 2ACB DAE ∠=∠，则ACD ∠的度 数是 ． 7．探究：如图①，////AB CD EF ，试说明BCF B F ∠=∠+∠．下面给出了这道题的解题过程，请在下列解答中，填上适当的理由． 解： //AB CD ， （已知） 1B ∴∠=∠．( ) 同理可证，2F ∠=∠． 12BCF ∠=∠+∠， BCF B F ∴∠=∠+∠．( ) 应用：如图②，//AB CD ，点F 在AB 、CD 之间，FE 与AB 交于点M ，FG 与CD 交于
练习 11?问题情境：如图1, AB // CD / PAB = 130 ° , / PCD= 120 °，求/ APC的度数?小明的思路是过点P作PE // AB通过平行线的性质来求/ APC P不在B, D两点之间运动时(点P与点O B, D三点不重合), 请直接写出/ APC与a , p之间的数量关系. (1)过点P 作P E // AB v AB // CD ??? P E / AB // CD ??? / A + / AP E = 180 °, / C + / CP E = 180 v / P AB = 130 °, / P CD = 120 °, ?/ AP E = 50 °, / CP E = 60°, ?/ AP C = / AP E + Z CP E = 110 °? ⑵Z AP C = Z a + Z p ? 理由：如图2,过P作P E // AB交AC于E, AB // CD P E // CD Z a = Z AP E,Z p = Z CP E Z AP C = Z AP E + Z CP E = Z a (3)如图3所示， 当P在BD延长线上时，Z CP A = Z a 如图4 所示， + Z p . (1)按照小明的思路，求/ APC的度数； ⑵问题迁移：如图2, AB // CD点P在射线ON上运动，记/ PAB = a , / PCD = p , 当点P在 B, D两点之间运动时，问/ APC与a , p之间有何数量关系请说明理由； 闍1 图2 备用圏 ⑶在(2)的条件下，如果点 \f
当P 在DB 延长线上时，/ CP A = Z P - Z a .
平行线 例1 翻折 1、如图，把一张长方形纸带沿着直线GF 折叠，∠CGF=30°，则∠1 的度数是 ． 2、如图，生活中将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果∠2=100°，那么∠1的度数为 ． 例2 旋转 1、将一副直角三角尺ABC 和CDE 按如图方式放置，其中直角顶点C 重合，∠D=45°，∠A=30°．将三角形CDE 绕点C 旋转，若DE ∥BC ，则直线AB 与直线CE 的较大的夹角∠1的大小为 度． 1 A E D B C 例3 平行线的性质 1、已知，直线AB ∥DC ，点P 为平面上一点，连接AP 与CP ．
（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC． （2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由． 2、如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=． 3、已知直线AB∥CD． （1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为； （2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则=． 例4 平移 1、如图1所示，已知BC∥OA，∠B=∠A=120°
（1）说明OB∥AC成立的理由． （2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．（3）在（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值． （4）在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，求∠OCA的度数． 2、如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）求∠CBD的度数； （2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． （3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是． 例5 作图—应用 1、（1）如图1，一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线． （2）如图2，在一条河的两岸有A，B两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方
练习 11.问题情境：如图1，AB ∥ CD，∠PAB = 130°，∠PCD = 120°，求∠APC 的度数．小明的 思路是过点P 作PE ∥ AB，通过平行线的性质来求∠APC． (1)按照小明的思路，求∠APC 的度数； (2)问题迁移：如图2，AB ∥ CD，点P 在射线ON 上运动，记∠PAB = α，∠PCD = β，当点 P 在B，D 两点之间运动时，问∠APC 与α，β之间有何数量关系？请说明理由； (3)在(2)的条件下，如果点P 不在B，D 两点之间运动时(点P 与点O，B，D 三点不重合)，请直 接写出∠APC 与α，β之间的数量关系． (1) 过点P 作P E ∥ AB， ∵ AB ∥CD， ∴ P E ∥ AB ∥C D， ∴ ∠A + ∠AP E = 180°，∠C + ∠CP E = 180°， ∵ ∠P AB = 130°，∠P CD = 120°， ∴ ∠AP E = 50°，∠CP E = 60°， ∴ ∠AP C = ∠AP E + ∠CP E = 110°． (2) ∠AP C = ∠α + ∠β． 理由：如图2，过P 作P E ∥ AB 交AC 于E， ∵ AB ∥CD， ∴ P E ∥C D， ∴ ∠α = ∠AP E，∠β = ∠CP E， ∴ ∠AP C = ∠AP E + ∠CP E = ∠α + ∠β． (3) 如图3 所示， 当P 在BD 延长线上时，∠CP A = ∠α?∠β； 如图4 所示， 当P 在DB 延长线上时，∠CP A = ∠β ?∠α．
24.问题情境：如图1，AB∥CD，判断∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系． 小明的思路：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠ABP+∠CDP+∠BPD= °． 问题迁移：AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，点P在直线EF上(点P与点E，F不重合)运动． (1)当点P在线段EF上运动时，如图3，判断∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系，并说明理由； (2)当点P不在线段EF上运动时，(1)中的结论是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请你在备用图上画出图形，并直接写出∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系． 解：过点P作PE∥AB，则 PE∥CD， ∴∠ABP+∠BPE=180°，∠DPE+∠CDP=180°， ∴∠ABP+∠BPE+∠DPE+∠CDP=360°， ∵∠BPD=∠BPE+∠DPE， ∴∠ABP+∠CDP+∠BPD=360°， 故答案为：360； (1)∠ABP+∠CDP=∠BPD； 证明：如图1，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PQ∥CD， ∴∠B=∠1，∠D=∠2， ∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D； (2)不成立，关系式是：∠B-∠D=∠BPD，或∠D-∠B=∠BPD， 理由：如图2，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PQ∥CD， ∴∠BPQ=∠B，∠D=∠DPQ， ∴∠B-∠D=∠BPQ-∠DPQ=∠BPD， 即∠BPQ=∠B-∠D． 如图3，同理∠D-∠B=∠BPD
平行线四大模型 平行线的判定与性质 l、平行线的判定 根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行． 判定方法l： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简称：同位角相等，两直线平行． 判定方法2： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简称：内错角相等，两直线平行， 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简称：同旁内角互补，两直线平行， 如上图： 若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）； 若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）； 若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 另有平行公理推论也能证明两直线平行： 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 2、平行线的性质 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同 旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质． 性质1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简称：两直线平行，同位角相等 性质2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简称：两直线平行，内错角相等 性质3： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简称：两直线平行，同旁内角互补
本讲进阶平行线四大模型 模型一“铅笔”模型 点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三“臭脚”模型 点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四“骨折”模型 点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
第2讲相交线与平行线动点提高题 知识点： 1、平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。③同旁内角互补，两直线平行。 2、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 3、平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。 4、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段平行且相等。 平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。 对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 动点型问题是最近几年中考的一个热点题型， 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 典型例题 例1.（1）如图（1），EF⊥GF，垂足为F，∠AEF=150°，∠DGF=60°．试判断AB和CD 的位置关系，并说明理由． （2）如图（2），AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=147°，∠C=______．（直接给出答案）（3）如图（3），CD∥BE，则∠2+∠3-∠1=______．（直接给出答案） （4）如图（4），AB∥CD，∠ABE=∠DCF，求证：BE∥CF． 解（1）：AB∥CD． 理由：如答图，过点F作FH∥AB，则∠AEF+∠EFH=180°． ∵∠AEF=150°， ∴∠EFH=30°， 又∵EF⊥GF， ∴∠HFG=90°-30°=60°． 又∵∠DGF=60°， ∴∠HFG=∠DGF， ∴HF∥CD，
专题一证明平行的方法 一、借助对顶角转化进行证明 如图，∠1=∠2，求证：AB∥CD. 二、借助邻补角转化进行证明 如图,已知直线AB,CD被直线EF所截,. 证明: 三、转化角度关系进行证明 1.已知：如图，∠DAB=∠DCB，AE，CF分别平分∠DAB，∠DCB，∠2+∠AEC=180°，试判定AB与CD是否平行？ 2.如图,∠B=∠C,B、A、D在同一条直线上,∠DAC=∠B+∠C,AE是∠DAC的平分线,试说明AE 与BC的位置关系.
四．添加辅助线转化角度关系进行证明 1.如图，∠EAB-∠ECD=∠AEC，求证：AB∥CD. 2.如图，已知∠BFM=∠1+∠2，求证：AB∥CD. 五、借助平行公理及推论进行证明 如图，已知∠A+∠B=180°，∠EFC=∠DCG，求证：AD∥EF.
专题二角度计算 一、运用对顶角及邻补角的性质计算 1.如图，O为直线AB与直线CF的交点，∠BOC=40°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°，求∠EOF 的度数. 2.如下图，直线AB和CD相交于O，OE平分∠AOD，且∠EOD = 50°，求∠BOC的度数. 二、与垂直有关的计算 1．如图，AB∥CD，CD⊥EF，若∠1=124°，则∠2=（） A．56° B．66° C．24° D．34° 2.如图,直线AB经过点O,OA平分∠COD,OB平分∠MON,若∠AON=150°,∠BOC=120°. (1)求∠COM的度数; (2)判断OD与ON的位置关系,并说明理由.
3.（2016春?西华县期末）如图，直线AB，CD相交于O点，OM⊥AB于O． （1）若∠1=∠2，求∠NOD； （2）若∠BOC=4∠1，求∠AOC与∠MOD． 三、运用方程思想计算 1.如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠AOD=7：11． （1）求∠COE的度数． （2）若射线OF⊥OE，请在图中画出OF，并求∠COF的度数． 2.如图,直线AB,CD相交于点O,,OF平分, ,求的度数. 四、运用平行线性质进行计算 1.如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1=55°，求∠2的度数.
人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线压轴题专项练习人教版七下第五章相交线与平行线单元能力提升卷 压轴题专项培优 1.（1）如图1，a∥b，则∠1+∠2= （2）如图2，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3= ，并说明理由; （3）如图3，a∥b，则∠1+∠2+∠3+∠4= （4）如图4，a∥b，根据以上结论，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n= （直接写出你的结论，无需说明理由） 2.探究：如图，已知直线l ∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和点D，直线l3有一点P 1 （1）若点P在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生，并说明理由．（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD 之间的关系又是如何？并说明理由．
3.（1）已知：如图1，直线AC∥BD，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD； （2）如图2，如果点P在AC与BD之内，线段AB的左侧，其它条件不变，那么会有什么结果？并加以证明； （3）如图3，如果点P在AC与BD之外，其他条件不变，你发现的结果是_______（只写结果，不要证明）． 4.如图,已知AB∥CD,C在D的右侧,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE、DE所在直线交于点E,∠ADC =70°． （1）求∠EDC的度数； （2）若∠ABC =n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）； （3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，画出图形并判断∠BED 的度数是否改变，若改变，求出它的度数（用含n的式子表示），不改变，请说明理由．
相交线平行线压轴题 一．选择题（共3小题） 1．如图，点M 在线段BC 上，点E 和N 在线段AC 上，EM ∥AB ，BE 和MN 分别平分∠ABC 和∠EMC ．下列结论中不正确的是（ ） A ．∠MBE=∠MEB B ．MN∥BE C ．S △BEM =S △BEN D ．∠MBN=∠MNB 2．如图，AB ∥CD ，点P ，P 1，P 2，分别在两条平行线之间，∠P=40°，∠P 2=130°，若∠PAP 1= 31∠PAP 2，∠PCP 1=3 1 ∠PCP 2 ．则∠P 1的度数为（ ） A ．60° B ．65° C ．70° D ．80° 3．如图，点D 在AC 上，点F 、G 分别在AC 、BC 的延长线上，CE 平分∠A CB 交BD 于点O ，且∠EOD+∠OBF=180°，∠F=∠G ．则图中与∠ECB 相等的角有（ ） A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3 个 二．填空题（共7小题） 4．如图，AB ∥CD ∥EF ，∠1=75°，∠2=45°，点G 为∠BED 内一点，且EG 把∠BED 分成1：2两部分，则∠GEF 的度数为 5．如图，已知AB ∥CD ，F 为CD 上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF ，若6°＜∠BAE ＜15°，∠C 的度数为整数，则∠C 的度数为 6．如图，AB ∥CD ，∠DCE 的角平分线CG 的反向延长线和∠ABE 的角平分线BF 交于点F ，∠E-∠F=33°，则∠E=
7．如图，已知AB∥CD，∠1=55°，∠2=45°，点G为∠BED内 一点，∠BEG：∠DEG=2：3，EF平分∠BED，则∠GEF= 8．在长为20m、宽为16m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的 方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则每 个小长方形花圃的面积是m2． 9．直线AB与CD交于O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF=55°，则∠BOE的度数为 10．已知∠A与∠B的两边分别互相平行，且∠A的度数不小于∠B的一半，但不大于∠B的三分之二，则∠A的最大值与最小值的和为 三．解答题（共3小题） 11．有两个∠AOB与∠EDC，∠EDC保持不动，且∠EDC的一边CD∥AO，另一边DE与直线OB相交于点F． （1）若∠AOB=40°，∠EDC=55°，解答下列问题： ①如图，当点E、O、D在同一条直线上，即点O与点F重合，则∠BOE= ； ②当点E、O、D不在同一条直线上，画出图形并求∠BFE的度数； （2）在（1）②的前提下，若∠AOB=α，∠EDC=β，且α＜β，请直接写出∠BFE的度数（用含α、β的式子表示）．
平行线 例1翻折 1、如图，把一张长方形纸带沿着直线GF 折叠，∠CGF=30°，则∠1 的度数是． 2 、如图，生活中将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果∠2=100 °，那么∠ 1 的度数为． 例2旋转 1、将一副直角三角尺ABC 和 CDE 按如图方式放置，其中直角顶点 C 重合，∠D=45°，∠A=30°．将三角形 CDE 绕点 C 旋转，若 DE ∥BC，则直线 AB 与直线 CE 的较大的夹角∠ 1 的大小为度．A D E 1 C B 例3 平行线的性质 1、已知，直线AB ∥ DC，点 P 为平面上一点，连接AP 与 CP． （1）如图 1，点 P 在直线 AB 、CD 之间，当∠ BAP=60°，∠ DCP=20°时，求∠ APC． （2）如图 2，点 P 在直线 AB 、CD 之间，∠ BAP 与∠ DCP 的角平分线相交于点 K ，写出∠ AKC 与 ∠APC 之间的数量关系，并说明理由． （3）如图 3，点 P 落在 CD 外，∠ BAP 与∠ DCP 的角平分线相交于点 K，∠ AKC 与∠ APC 有何数量关系？并说明理由．
2、如图，两直线AB 、CD 平行，则∠ 1+∠2+∠ 3+∠ 4+∠ 5=． 3、已知直线AB ∥ CD． （1）如图 1，直接写出∠BME 、∠ E、∠ END 的数量关系为； （2）如图 2，∠ BME 与∠ CNE 的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠ P 与∠ E 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图 3，∠ ABM=∠ MBE，∠ CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则=． 例4平移 1、如图 1 所示，已知BC∥ OA ，∠ B= ∠A=120° （1）说明 OB∥ AC 成立的理由． （2）如图 2 所示，若点 E， F 在 BC 上，且∠ FOC= ∠ AOC ， OE 平分∠ BOF ，求∠ EOC 的度数． （3）在（ 2）的条件下，若左右平移 AC ，如图 3 所示，那么∠ OCB ：∠ OFB 的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值． （4）在（ 3）的条件下，当∠ OEB= ∠ OCA 时，求∠ OCA 的度数． 2、如图，已知AM ∥ BN ，∠ A=60°．点 P 是射线 AM 上一动点（与点 A 不重合）， BC、 BD 分别平分∠ ABP 和∠ PBN ，分别交射线AM 于点 C， D．
初一相交线与平行线知识点 11.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 12.平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。 13.平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为相交或平行。 14.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变 换，简称平移。 对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 平移后前：①两个图形形状大小不变，位置改变；②对应点的连线相等且平行（或在一条 直线上）。 15.命题：判断一件事情的语句叫命题。 命题分为题设和结论两部分；题设是“如果”后面的，结论是“那么”后面的。 命题分为真命题和假命题两种。 定理是经过推理证实的真命题。 16.用尺规作线段和角 尺规作图：尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。 直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。 圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意 长度为半径画一段弧。
相交线与平行线综合练习题 一．选择题（共14小题） 1．下列图形中∠1与∠2是对顶角的是（ ） A．B． C. ．D. 2．如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（ ） A．∠1=∠3B．∠2=∠3C．∠4=∠5D．∠2+∠4=180° 3．如图，直线l1∥l2，则∠α为（ ） A．150°B．140°C．130°D．120° 4．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个． （1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A．1B．2C．3D．4 5．如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（ ） A．70°B．100°C．110°D．120° 6．如图，能判定EB∥AC的条件是（ ） A．∠C=∠ABE B．∠A=∠EBD C．∠C=∠ABC D．∠A=∠ABE 7．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1） ∠1=∠2；（2）∠3=∠4；（3）∠2+∠4=90°；（4）∠4+∠5=180°，其中正确的个数是（ ） A．1B．2C．3D．4 8．如图，∠A0B的两边OA，OB均为平面反光镜，∠A0B=40°．在射线OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（ ） A．60°B．80°C．100°D．120°
平行线类压轴题举例 1．已知直线AB∥CD． （1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是． （2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由． （3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系． 2．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC． （1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为度； （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D 三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
3．画图题： （1）在如图所示的方格纸中，经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段AB的垂线EF和平行线GH． （2）判断EF、GH的位置关系是． （3）连接AC和BC，则三角形ABC的面积是． 4．阅读下面的材料，并完成后面提出的问题． （1）如图1中，AC∥DB，请你探究一下∠M，∠A与∠B的数量有何关系，并说明理由 （2）如图2中，当点M向左移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？ （3）如图3中，当点M向上移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？ （4）如图4中，当点M向下移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？ 写出对应图形的数量关系，并选其中的一个图形加以证明
:平行于角平分线 复杂平行线分类练习（冲刺高分）拔高题目 1?已知：如图AB//CD,/DAB ZBCD,AE、BE分别平分? DAB、. ABC ?请求出.E的度数? 2?已知：如上图, AB// CD, EF // AB, BE、 DE分别平分/ ABD、/ BDC.求证：/ 1与/ 2互余? 3?如下图，已知CB 丄AB, CE 平分/ BCD , DE 平分/ CDA，/ 1 + / 2= 90 ° 求证: DA 丄 AB.
4. 已知/ ABD和/ BDC的平分线交于E, BE交CD于点F,/ 1 + / 2 = 90 求证： (1) AB// CD (2 )Z 2 + / 3 = 90 ° . 5. 如图所示，/ ABC=/ ADC BF、DE是/ ABC / ADC的角平分线，/ 仁/2, 求证：DC// AB。 6. 如图，DE// BC / D：Z DBC = 2 ：1,Z 1 = / 2,求/ DEB 的度数. 7.0B、OC分别平分/ ABC、/ ACB，已知/ A=50 °，求/ B0C.（整体思想）
二?平行间有拐点 1.如图，DE// CB 试证明/ AED=Z A+Z B。 2?如图所示，已知AB / CD，分别探索下列四个图形中Z P与Z A、/ C的关系, 请你从所得的四个关系中加以说明. P
3.如图（1）, MA// NA ，则/ A i +Z A 2= ______________ 度。 如图（2）, MA // NA ,则Z A i +Z A>+Z A = ______________ 度。 如图（3）, MA // NA ■，则Z A i +Z A2+Z A+Z A 4= ___________ 度。 如图（4） , MA // NA,则Z A +Z A +Z A+Z A 4+Z A 5= ________________________ 度。从上述结论中你发现了什么规律? 如图（5）, MA // NA ,则Z A +Z A+Z A+……+ Z A n = __________________ 度。 BED= Z ABE+ Z CDE ，那么 AB//CD 吗？为什么? 4?在六边形 ABCDEF 中，AF // CD , Z A= Z D , Z B=Z E ,那么 BC / EF 吗？为什么? 3?已知Z I ）
七下平行线，平面直角坐标系压轴题 一．填空题（共13小题） 1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为． 3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是（填A、B、C、D或E）． 4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到 矩形的边时的点为P 1，第2次碰到矩形的边时的点为P 2 ，…，第n次碰 到矩形的边时的点为P n ，则点P 3 的坐标是；点P 2014 的坐标 是． 5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），AB=5.对△ OAB连续作旋转变换，依次得到△ 1 、△ 2 、△ 3 、△ 4 …，则△ 2013 的直角顶 点的坐标为． 6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点 P依次落在点P 1 ，P 2 ，P 3 ，P 4 ，…，P 2008 的位置，则P 2008 的坐标为．
7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺 序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1， 2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为． 8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依 次得到点P 1 ，P 2 ，P 3 …P 2012 ．则点P 2012 的坐标是． 9．如图，正方形A 1 A 2 A 3 A 4 ，A 5 A 6 A 7 A 8 ，A 9 A 10 A 11 A 12 ，…，（每个正方形从第三 象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A 1 ，A 2 ，A 3 ，A 4 ；A 5 ，A 6 ， A 7 ，A 8 ；A 9 ，A 10 ，A 11 ，A 12 ；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或 y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A 20 的坐标为． 10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→” 方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…， 根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为． 11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中 箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…， 根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为．
2?如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2, 0),点B的坐标为 (0 , 1),将线段AB平移，使其一个端点到C(3 , 2),则平移后另一端点的坐标为___________ ? 3?如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE其中C、D两点坐标分别为 (1 , 0)、(2 , 0).若在没有滑动的情况下,将此五边形沿着x轴向右滚 (填 A、B、C、D 或E). 5?如图，在直角坐标系 中，已知点 A (- 3, 0)、B (0, 4), AB=5 对厶OAB连续作旋转变换，依次得到厶“△2、厶3、厶4…,则厶2013的直角顶点的坐标为 6?如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008 次, 点P 依次落在点P i , P2, P3 , P4 , ? ? \ P2008的位置，则P2008的坐标为 ______ 七下平行线，平面直角坐标系压轴题 ?填空题(共13小题) 1 ?已知点M (3 , 2)与点N (x , y)在同一条平行于x轴的直线上，且点N 到y轴的距离为5,则点N的坐标为______________ . 4?如图，弹性小球从点P (0 , 3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩 形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰 到矩形的边时的点为P i,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…，第n次碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是;点P2014的坐标7?如图, 序按图中 (2, 2) 在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺 “T方向排列，如(1, 0), (2, 0), (2, 1), (1,1), (1, 2), ??根据这个规律，第2012个点的横坐标为________ ?
七年级数学下册平行线与相交线压轴题专项练习 1．已知：直线GH分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，并且EM∥FN． （1）如图1，求证：AB∥CD； （2）如图2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135°． 2．如图，CD⊥AB于D，FE⊥AB于E，∠ACD+∠F＝180°． （1）求证：AC∥FG；
（2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数． 3．如图1，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，GH⊥EG交MN于H． （1）求证：PF∥GH． （2）如图2，连接PH，K为GH上一动点，∠PHK＝∠HPK，PQ平分∠EPK 交MN于Q，则∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．
4．已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D． （1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC； （2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线于点F，当∠DFE ＝8∠DAE时，求∠BAD的度数． 5．问题情境 （1）如图1，已知AB∥CD，∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，求∠BPC的度数．佩佩同学的思路：过点P作PG∥AB，进而PG∥CD，由平行线的性质来求∠BPC，求得∠BPC＝°； 问题迁移
（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB＝90°，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED＝∠α，∠PAC＝∠β． ①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系； ②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由．
平行线压轴题举例 1．已知直线AB∥CD． （1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是． （2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由． （3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系． 2．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC． （1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为度； （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明 理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D 三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
3．画图题： （1）在如图所示的方格纸中，经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段AB的垂线EF和平行线GH． （2）判断EF、GH的位置关系是． （3）连接AC和BC，则三角形ABC的面积是． 4．阅读下面的材料，并完成后面提出的问题． （1）如图1中，AC∥DB，请你探究一下∠M，∠A与∠B的数量有何关系，并说明理由 （2）如图2中，当点M向左移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？ （3）如图3中，当点M向上移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？ （4）如图4中，当点M向下移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？ 写出对应图形的数量关系，并选其中的一个图形加以证明
1、已知直线l1∥l2，l3和l1，l2分别交于C，D两点，点A，B分别在线l1，l2上，且位于l3的左侧，点P 在直线l3上，且不和点C，D重合．（1）如图1，有一动点P在线段CD之间运动时，试确定∠1、∠ 2、∠3之间的关系，并给出证明；（2）如图2，当动点P在线段CD之外运动时，上述的结论是否成立？若不成立，并给出证明．
2、2．已知AB∥CD，点M为平面内一点． （1）如图1，∠ABM和∠DCM互余，小明说过M作MP∥AB，很容易说明BM⊥CM．请帮小明写出具体过程；（2）如图2，AB∥CD，当点M在线段AD上移动时（点M与A，D两点不重合），指出∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点M在A，D两点外侧运动（点M与E，A，D三点不重合）请直接写出∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系．
3、3、在综合与实践课上，老师计同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠ EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动． （1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数； （2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF 与∠FGC间的数量关系； （3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，∠CFG＝β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么？用含α，β的式子表示（不写理由）．
4、如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点， （1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系； （2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数； （3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD 上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值．