第五章 相似矩阵§1 特征值与特征向量特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都与特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。
定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足：(1)AX X λ=。
则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。
例如矩阵1000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，取11= 0X ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20=1X ⎛⎫⎪⎝⎭，则有 11=1AX X ⋅，22=0AX X ⋅，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征向量。
（1）式又可以写成 ()0(2)E A X λ-=。
即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有||0 (3)E A λ-=。
（3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。
||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。
对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。
例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。
证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。
两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。
又 2A E =，所以2(1)0X λ-=。
由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。
例2：求矩阵110430102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量。
解：因 2110||430(2)(1)102E A λλλλλλ+--=-=----。
所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。
当2λ=时，310100410010100000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，1001η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
故属于2λ=的特征向量为11(0)k k η≠。
当 1λ=时，210101420012101000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，2121η-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭。
故属于1λ=的特征向量为 222(0)k k η≠。
§2 相似矩阵定义2：若n 阶方阵A 和B ，存在一个可逆矩阵P ，使得 1P AP B -=。
则称矩阵A 与B 相似，记为 ~A B 。
对于相似矩阵，有下列性质： 1）任一方阵A ，它与自身相似； 2）若A 与B 相似，则B 与A 相似；3）若A 与B 相似，B 与C 相似，则A 与C 相似；4）A 与B 相似，则 ||||E A E B λλ-=-。
证明：只证4），因A 与B 相似，存在可逆矩阵P ，使得 1P AP B -=。
从而111|||||()|E B P EP P AP P E A P λλλ----=-=-1||||||||P E A P E A λλ-=-=-。
如果方阵A 相似与对角形矩阵，则称A 可以对角化。
并非每个方阵均可以对角化，例如矩阵0100A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，对任何2阶可逆矩阵P ，1P AP -均不能为对角形矩阵。
下面给出一般方阵A 相似对角形的条件。
若A 相似对角形，则有 11 (4)n P AP λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记 1(,,)n P X X =，由（4）式可得111(,,)(,,) n n n A X X X X λλ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭即111(,,)(,,)n n n AX AX X X λλ=。
从而 1,2,,i i i AX X i n λ==()。
由定义知i λ为A 的特征值，由P 可逆知i X 为非零向量，且12,,,n X X X 线性无关。
所以它是属于i λ的特征向量。
以上过程可逆，故存在下面定理。
定理1：n 阶方阵A 可以对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。
该定理给出了矩阵相似对角形的充分必要条件，但如何找出n 个线性无关的特征向量，则需要下列一些结果。
定理2：方阵A 的属于不同特征值的特征向量线性无关。
证明：设1,,s X X 是分别属于不同特征值1,,s λλ的特征向量，当1s =时，命题成立。
设当s k =时命题成立，则当1s k =+时，设有 11110(5)k k k k l X l X l X +++++=（5）式乘以1k λ+，有11111110 (6)k k k k k k k l X l X l X λλλ++++++++=再对（5）式两边左乘以A ，有1111110 (7)k k k k k k l X l X l X λλλ++++++=（6）-（7）得11111()()0 k k k k k l X l X λλλλ++-++-=。
由归纳假设，1,,s X X 线性无关。
从而 1()0 (1,2,,)i k i l i k λλ+-==。
由于1k i λλ+≠，所以 0 (1,2,,)i l i k ==，代入（5）式，得 10k l +=。
即 11,,k X X + 线性无关，故1s k =+命题成立。
从而定理得证。
推论1：n 阶方阵A 有n 个不同的特征值，则A 一定可以对角化。
实际计算中，先求出n 阶方阵A 的全部特征值，再找出属于每个特征值的特征向量的极大线性无关组。
可以证明所有这些线性无关向量组所构成的“大”向量组仍然线性无关。
若这个“大”向量组中向量个数等于n ，则A 可以对角化，若向量个数小于n ，则A 不能对角化。
例3：判别下列矩阵是否可以对角化1）211020413A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ ； 2）100011001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
解：1）2211||020(1)(2)413E A λλλλλλ+---=-=+---。
特征值为 11λ=-，22λ=（二重根）。
当 11λ=-时，111101030010414000---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ，1101η⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
当22λ=时，11141144000000411000⎛⎫-- ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎪⎝⎭，21410η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，31401η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以A 相似于对角形。
取 123(,,)P ηηη=，则有 1122P AP --⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭。
（2）3101||011(1)001E A λλλλλ---=--=-- ， 特征值为 1λ=（三重根）。
当1λ=时，000001001000000000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1100η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1010η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
故A 不能对角化。
例4：已知 111X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪--⎝⎭的一个特征向量。
1）求,a b 和X 对应的特征值λ。
2）问A 能否相似对角形解：1）因X 是A 的属于特征值λ的特征向量，则有2121153111211a b λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
从而 (2)1205()301(2)0a b λλλ---=⎧⎪+--=⎨⎪-+++=⎩ 解得 1,3,0a b λ=-=-=。
2）因 212533102A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭， 3212||533(1)102E A λλλλλ---=-+-=++， 所以特征值1λ=-（三重根）。
又312101523011101000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭基础解系中仅含一个线性无关的向量，故A 不能对角化。
§3 实对称矩阵的对角化上一节提到，并非每个方阵均可以对角化，这一节介绍一类能对角化的矩阵— —实对称矩阵。
记X 表示向量X 中每个分量取其共轭复数所构成的向量，A 为矩阵A 中每个元素取其共轭复数所构成的矩阵，则 AX AX = 。
性质1：实对称矩阵A 的特征值为实数。
证明：因A 是实对称矩阵，所以, A A A A '==。
设λ是A 的特征值，则有向量0X ≠，使得 AX X λ=，且有AX X λ=。
考虑 ()X AX X X X X λλ'''==，另一方面， ()()X AX X A X AX X X X X X λλ''''''====。
∴ ()()X X X X λλ''=。
0X ≠，0X X '>，∴ λλ= 。
即 λ为实数。
性质2：设λ，μ是实对称矩阵A 的两个不同特征值，,X Y 是分别属于λ，μ的特征向量，则X 与Y 正交。
证明： AX X λ=，AY Y μ=（λμ≠）， 考虑 (,)Y AX Y X Y X λλ''==。
又 ()()(,)Y AX Y A X AY X Y X Y X Y X μμμ''''''=====。
从而 ()(,)0 (,)0Y X Y X λμ-=⇒=。
即 X 与Y 正交。
定理3：任一n 阶实对称矩阵A 一定存在正交矩阵Q ，使得11n Q AQ Q AQ λλ-⎛⎫⎪'==⎪ ⎪⎝⎭。
这里1,,n λλ是A 的特征值。
证明：1n =时，命题成立。
设1n -时命题成立。
即对1n -阶实对称矩阵1A 有1n -正交矩阵2Q ，使得1212n Q AQ λλ⎛⎫⎪'=⎪ ⎪⎝⎭。
下面证明在n 时命题也成立。
由性质1，实对称矩阵A 一定存在实的特征值1λ，取1X 是属于1λ的单位特征向量，将1X 扩充成n R 的标准正交基 1,,n X X ，记 11(,,)n Q X X =，则1111*0Q AQ A λ⎛⎫'=⎪⎝⎭。
由A 对称，可得11Q AQ '对称。
从而 111100Q AQ A λ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，1A 仍为(1)n -阶对称矩阵。
由归纳假设存在正交矩阵2Q ，使得 1212n Q AQ λλ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭。
令12100Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 Q 正交，且 1n Q AQ λλ⎛⎫ ⎪'= ⎪⎪⎝⎭。
实际计算中，对每个不同的特征值，求出它们线性无关的特征向量，再进行施密特正交化得到正交向量组。
合并这些单位化了的正交向量组可构成n R 的标准正交基，把标准正交基按列的形式构成的正交矩阵记为Q ，则有1n Q AQ λλ⎛⎫⎪'=⎪ ⎪⎝⎭。
例5：设 400031013A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求正交矩阵P ，使得 1P AP -为对角形。
解：2400||031(4)(2)013E A λλλλλλ--=--=----， 特征值为 12λ= ，24λ=（二重根） 当2λ=时，200100011011011000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，1011η⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭。
