线性代数—相似矩阵

第六章 矩阵的相似变换本章主要讨论方阵的特征值和特征向量、方阵的相似变换和对角化等问题.第一节 方阵的特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量X 使关系式λ=AX X （6.1）成立，则称数λ为方阵A 的特征值；非零列向量X 称为A 对应于特征值λ的特征向量.将式（6.1）改写成()λ−=A E X 0， （6.2） 将（6.2）看成关于X 的齐次线性方程组，它有非零解当且仅当其系数行列式满足 0λ−=A E ， （6.3）即1112121222120λλλ−−=−n nn n nn a a a a a a a a a ， （6.4）这是以λ为未知数的一元n 次方程，称为A 的特征方程，其左端λ−A E 是λ的n 次多项式，记作()λf ，称为A 的特征多项式，特征方程的根就是A 的特征值.根据代数基本定理，在复数范围内，n 阶方阵A 有n 个特征值（重根按重数计算），记作12,,,λλλ n .求出特征值λi 后，将λi 代入齐次线性方程组（6.2）中，求解方程组()λ−=i A E X 0 （6.5） 的所有非零解向量，就是属于λi 的特征向量。

对不同的特征值逐个计算，可求得属于各特征值的全部特征向量.若非零向量X 是方阵A 的特征向量，则由（6.1）式可知，对任意实数0k ≠，有()()k k λ=A X X ，（6.6） 这表明k X 也是方阵A 的特征向量，因此属于同一特征值的特征向量有无穷多个；反之，不同特征值对应的特征向量必不相同，即一个特征向量只能属于一个特征值（证明留给读者作为练习）.由齐次线性方程组解的性质容易证得如下定理.定理1 设λ是方阵A 的特征值，12,,,s p p p 是属于λ的特征向量，则12,,,s p p p 的任意非零线性组合仍是属于λ的特征向量.例1 求141130002−−=A 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式2141()130(2)(1)002λλλλλλλ−−−=−=−=−−−f A E ,所以A 的特征值为12λ=，231λλ==. 对于12λ=，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由3411012110011000000−−−=→−A E ，得基础解系 1111−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于12λ=的全部特征向量.对于231λλ==，解齐次方程组()−=A E X 0.由 241120120001001000−−−=→A E ，得基础解系 2210−=p ，所以222(0)≠k k p 是对应于231λλ==的全部特征向量. 例2 求204121103−−=A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式2204()121(1)(2)13λλλλλλλ−−−=−=−=−+−−f A E ,所以A 的特征值为11λ=−，232λλ==. 对于11λ=−，解齐次方程组()+=A E X 0.由104104131011104000−−+=→−A E ，得基础解系 1411−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于11λ=−的全部特征向量.对于232λλ==，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由 4041012101000101000−−−=→A E ，得基础解系 2010=p ，3101− = p ,所以2233+k k p p （2k ，3k 不同时为0）是对应于232λλ==的全部特征向量.二、特征值和特征向量的性质定理2* 设12,,,λλλ n 是n 阶方阵()=ij a A 的n 个特征值，则有（1）11n n i ii i i a λ==∑∑； （2）1ni i λ==∏A .其中1niii a=∑是A 的主对角元之和，称为方阵A 的迹，记作tr()A .证明 见附录六例3 设7414744y x −= −−A 的特征值为123λλ==，312λ=，求,x y 的值. 解 由定理2可得123123tr()7718331212108x x y λλλλλλ=++=++=+− A A 解之得4,1x y ==−.定理3 设λ是方阵A 的特征值，p 是A 的属于λ的任一特征向量，则有： （1）k R ∀∈，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量；（2）对任意非负整数k ，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量； （3）若()ϕA 是A 的m （m 为任意非负整数）次多项式，即01()m m a a a ϕ=+++A E A A ，则()ϕλ是()ϕA 的特征值，p 是()ϕA 的属于()ϕλ的特征向量；（4）若A 可逆，则0λ≠，且1λ是1−A 的特征值，p 是1−A 的属于1λ的特征向量；（5）若A 可逆，则λA是*A 的特征值，p 是*A 的属于λA的特征向量；（6）λ也是T A 的特征值.证明 （1）由λ=Ap p ，有k k λ=Ap p 成立。

工地施工现场的地基处理与加固工地施工现场的地基处理与加固是建筑工程中不可或缺的环节。

地基处理与加固的目的是确保建筑物的稳定性和安全性。

本文将从地基处理的必要性、地基处理的方法和地基加固的技术等角度进行探讨。

一、地基处理的必要性地基处理的必要性不言而喻。

地基是建筑物的基础，直接承载着整个建筑物的重量。

如果地基不稳定，建筑物就会存在倾斜、沉降等安全隐患。

因此，在施工前，必须对地基进行处理。

二、地基处理的方法地基处理的方法主要包括土壤改良和地基加固两种。

1. 土壤改良土壤改良是指通过物理或化学手段，改良和提升土壤的力学性质。

常见的土壤改良方法有夯实法、注浆法和灌浆法。

夯实法是通过在土壤中夯实砂石等材料，提高土壤的密实度和稳定性。

注浆法则是通过注入特殊的浆液，增加土壤的粘结力和强度。

灌浆法是将浆液注入土壤中，形成坚固的土体。

2. 地基加固地基加固是指通过加固措施，提高地基的承载能力。

常用的地基加固技术有钢筋混凝土地基桩、钢板桩和钢筋灌注桩等。

钢筋混凝土地基桩是将钢筋混凝土灌注到孔中，形成一个坚固的地基桩。

钢板桩则是将钢板沉入土壤中，形成一个抵抗侧向力的支撑体。

钢筋灌注桩是将钢筋和混凝土灌注到孔中，形成一个强固的地基。

三、地基加固的技术地基加固的技术是指在地基处理的基础上，进一步加固地基，增强地基的承载能力和稳定性。

常用的地基加固技术有振动加固法、地基增强法和地基加压法。

振动加固法是通过振动机械在地基中产生冲击力，使土壤颗粒重新排列，形成一个致密的土体。

地基增强法是通过向地基中注入增强材料，形成一个坚固的地基。

地基加压法则是利用加压水封闭地基，增加地基的承载能力。

地基处理与加固是保证建筑物稳定性和安全性的关键措施。

通过合理的地基处理与加固方法，能够提高建筑物的质量和使用寿命，减少安全隐患。

因此，在工地施工现场，科学地进行地基处理与加固工作是不可或缺的。

结语地基处理与加固是工地施工现场中一项重要的工作。

通过土壤改良和地基加固等方法，能够提高地基的稳定性和承载能力，确保建筑物的安全。