线性代数—相似矩阵

(5) 它们的特征矩阵E A 和E B 也相似；
(6) A ,B 同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵
及伴随矩阵也分别相似。
只证(3)，其余证明留作练习.
P 1 AP B , Bm (P 1 AP)m
(P 1 AP)( P 1 AP) (P 1 AP) P 1 Am P .
5
2 0 0 1 0 0
2 1
3 1 ,
源自文库
3
3
6
0 0 0
特征向量 1 (1 , 1 , 1)T ,
2 2 3 2 2 3
对 2 1， E A 2 2 3 0 0 1 ,
3
3
7
0 0 0
特征向量 2 (1 , 1 , 0)T ,
12
1 2 3 E A 2 1 3 ( 1)( 9) ,
ni 重的特征值i ,矩阵i E A 的秩为n ni . （证略）
即齐次线性方程组iE A X 0 的基础解系所含的
向量个数等于特征根 i 的重数 ni 。
10
1 2 3
例2
设
A 2
1
3 ,
求可逆阵P，使 P1 AP 为对角阵.
3
3
6
r1 r2
1 2 3 1 1 0 解 E A 2 1 3 2 1 3
上述步骤倒过来写,即得充分性证明。 9
推论1 如果矩阵A的特征值互不相同,则A必可对角化. 因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
注意: 这个条件是充分的而不是必要的.
如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性 无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化；但如 果能找到n个线性无关的特征向量, A还是能对角化． 推论 2 n 阶方阵 A 可对角化的充分必要条件是对每一个
3 3 6 3 3 6
1 1 0
10 0
( 1) 2 1 3 ( 1) 2 3 3
3 3 6
3 6 6
3 3
( 1)
( 1)( 9) ,
6 6
11
1 2 3 E A 2 1 3 ( 1)( 9) ,
3 3 6
1
对
1
0 ，0 E
A
2
2 1
3 1 3 0
定理 n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件 是A有n个线性无关的特征向量。
证 必要性：设A与一个对角阵相似,即存在一个可逆
阵P,使
1
P
1
AP
2
,
n
8
P 1 AP , 即 AP P ,
将矩阵 P 按列分块, P (1,2 , ,n ) ,则有
1
A(1,2 ,
,n )
(1,2 ,
0 1 0 3 4
0 1 a 0 2 b
6
计算上面两个行列式，得到
22 a 1 2 2 3 3b 8
比较等式两边 同次幂的系数，得
a 3 b 1 3b 8
解得
a b
3 5
.
7
二、矩阵可相似对角化的条件
如果一个矩阵能与一个对角阵相似,称该矩阵 可以(相似)对角化。
3 3 6
特征向量 1 (1 , 1 , 1)T ,
特征向量 2 (1 , 1 , 0)T ,
8 2 3 1 11 6
对
3
9 ，9E
A
2
8
3 0
2
1 ,
3
3
3
0
0
0
特征向量 3 (1 , 1 , 2)T ,
13
1 2 3 E A 2 1 3 ( 1)( 9) ,
,
n
)
2
,
n
即 ( A1 , A2 , , A n ) (11, 2 2 , , n n ) ,
即得 A i i i , i 1,2, , n ,
说明1,2 , ,n 是 A 的分别对应于特征值1, 2 , , n
的特征向量,
由于 P 可逆，所以1,2 , ,n 线性无关。 必要性得证。
第二节
1
一、相似矩阵的概念和性质
定义 对于n阶方阵A和B，若存在n阶可逆方阵P，使得
P1AP B , 则称A与B 相似,记为 A ~ B .
矩阵的“相似”关系具有以下特性：
(1)反身性：对任何方阵 A，总有 A ~ A (令 P E 即可)；
(2)对称性：若 A ~ B ，则有 B ~ A ；
证 P1 AP B E B E P1 AP
P1(E A)P P1 E A P E A .
推论1 相似矩阵的行列式相等；
推论2 相似矩阵的迹相等；
1
推论3
若矩阵A与一个对角阵
2
相似,
n
则1,2, n 即为 A 的全部特征值。
3
注意: 特征值相同的矩阵不一定相似.
例如,
证 P 1 AP B A PBP1 ( P 1 )1 BP 1 . (3)传递性：若 A ~ B ,且 B ~ C ,则有 A ~ C .
证 P 1 AP B , Q1BQ C
Q1(P 1 AP )Q (PQ)1 A(PQ) C .
2
相似矩阵的性质：
定理 相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同.
3 3 6
1 (1 , 1 , 1)T , 2 (1 , 1 , 0)T , 3 (1 , 1 , 2)T ,
令
1 1
P (1 , 2 3 ) 1 1
1 1,
1
0
2
0
则
P 1 AP
1
.
9
14
例3
4 判断矩阵 A 1
10 3
0
0 能否对角化，若能，
3 6 1
例1 设 A 0 a 2 , B 0 2 0 ,且 A ~ B ,求a, b 。
0 2 3
0 0 b
解
A B 3a 4 b tr( A) tr(B) 5 a 3 b
a 3 b 5 .
另解 相似矩阵有相同的特征多项式，由
det E A det E B
得
2 0 0 2 0 0
求可逆阵P，使 P1 AP 为对角阵.
4 10 0 解 E A 1 3 0 ( 1)2( 2) ,
A
1 0
11
与E
1 0
10 的特征值相同，
但它们不相似, 因为对任意可逆阵P, P 1EP E ,
即与 E 相似的矩阵只有它自己。
相似矩阵的其它性质：
相似矩阵的秩相等； P 1 AP B ,
若P,Q为可逆矩阵,则有 r(PA) r( AQ) r( A) .
4
若 A ~ B ,则 (1) AT ~ BT ； (2) kA ~ kB ,其中 k 为任意常数； (3) Am ~ Bm ,其中 m 为任意正整数； (4) p(A) ~ p(B) ,其中p(x) 为任一多项式；