6 第6讲 空间向量的运算及应用

第6讲 空间向量及其运算[学生用书P157]1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb ．(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．通常规定0≤〈a ，b 〉≤π．若〈a ，b 〉＝π2，则称向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b .(2)两向量的数量积两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (3)向量的数量积的性质①a ·e ＝|a |cos 〈a ，e 〉(其中e 为单位向量)； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③|a |2＝a ·a ＝a 2； ④|a ·b |≤|a ||b |.(4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②a ·b ＝b ·a (交换律)；③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)． 3．空间向量的坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3， a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0，a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )， cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 . (2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)． 4．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．(2)平面的法向量①定义：与平面垂直的向量，称为平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．②确定：设a ，b 是平面α内两个不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n·a ＝0，n·b ＝0.5．空间位置关系的向量表示直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为ml ∥α n ⊥m ⇔n ·m ＝0 l ⊥αn ∥m ⇔n ＝λm 平面α，β的法向量分别为n ，m α∥β n ∥m ⇔n ＝λm α⊥βn ⊥m ⇔n ·m ＝0常用结论1．向量三点共线定理在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点．2．向量四点共面定理在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间内任意一点．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( )(4)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( )(6)若A ，B ，C ，D 是空间中任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ混淆向量共线与共面致误.1．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直解析：选B .由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，所以AB →＝－3CD →，所以AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，所以AB ∥CD.2．若a ＝(2，3，m )，b ＝(2n ，6，8)，且a ，b 为共线向量，则m ＋n 的值为( )A ．7B ．52C ．6D ．8解析：选C.由a ，b 为共线向量，得22n ＝36＝m8，解得m ＝4，n ＝2，则m ＋n ＝6.故选C.3．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ＝( )A.627 B ．637 C.647D.657解析：选D.显然a 与b 不共线，如果a ，b ，c 三向量共面，则c ＝x a ＋y b ，即x (2，－1，3)＋y (－1，4，－2)＝(7，5，λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177，λ＝657.故选D.[学生用书P158]空间向量的线性运算(自主练透)1．在空间四边形ABCD 中，若AB →＝(－3，5，2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为( )A ．(2，3，3)B ．(－2，－3，－3)C ．(5，－2，1)D ．(－5，2，－1)解析：选B.因为点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，O 为坐标原点，所以EF →＝OF →－OE →，OF →＝12(OA →＋OD →)，OE →＝12(OB →＋OC →)．所以EF →＝12(OA →＋OD →)－12(OB →＋OC →)＝12(BA →＋CD →) ＝12[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)] ＝12(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．2．在三棱锥O -ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示(1)MG →；(2)OG →.解：(1)MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN → ＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →. (2)OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC → ＝13OA →＋13OB →＋13OC →.3.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. 解：(1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b . (2)因为N 是BC 的中点，所以A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c . (3)因为M 是AA 1的中点， 所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP → ＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ，又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c .用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量的加法、减法和数乘运算的几何意义．首尾相接的若干个向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．共线、共面向量定理的应用(师生共研)如图所示，已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？【解】 (1)因为AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →， 所以MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→，所以由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面． (2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合， MN 在平面ABB 1A 1内，当0<k ≤1时， MN 不在平面ABB 1A 1内， 又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面， 所以MN ∥平面ABB 1A 1.三点P ，A ，B 共线空间四点M ，P ，A ，B 共面P A →＝λPB →MP →＝xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB →对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB →1．已知a ＝(λ＋1，0，2)，b ＝(6，2μ－1，2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12 B ．－13，12 C ．－3，2D ．2，2解析：选A.因为a ∥b ，所以b ＝k a ，即(6，2μ－1，2λ)＝k (λ＋1，0，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＝k （λ＋1），2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎨⎧λ＝2，μ＝12或⎩⎨⎧λ＝－3，μ＝12. 2．若A (－1，2，3)，B (2，1，4)，C (m ，n ，1)三点共线，则m ＋n ＝________． 解析：AB →＝(3，－1，1)，AC →＝(m ＋1，n －2，－2)． 因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ，使得AC →＝λAB →. 即(m ＋1，n －2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝3λ，n －2＝－λ，－2＝λ，解得λ＝－2，m ＝－7，n ＝4.所以m ＋n ＝－3.答案：－33．如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G 分别是A 1D 1，D 1D ，D 1C 1的中点．(1)试用向量AB →，AD →，AA 1→表示AG →； (2)用向量方法证明平面EFG ∥平面AB 1C . 解：(1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . 由题图得AG →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1G →＝c ＋b ＋12AB →＝12a ＋b ＋c＝12AB →＋AD →＋AA 1→.(2)证明：由题图，得AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b ， EG →＝ED 1→＋D 1G →＝12b ＋12a ＝12AC →， 因为EG 与AC 无公共点，所以EG ∥AC ，因为EG ⊄平面AB 1C ，AC ⊂平面AB 1C ， 所以EG ∥平面AB 1C . 又因为AB 1→＝AB →＋BB 1→＝a ＋c ， FG →＝FD 1→＋D 1G →＝12c ＋12a ＝12AB 1→，因为FG 与AB 1无公共点，所以FG ∥AB 1， 因为FG ⊄平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ， 所以FG ∥平面AB 1C ，又因为FG ∩EG ＝G ，FG ，EG ⊂平面EFG ， 所以平面EFG ∥平面AB 1C .空间向量数量积的应用(典例迁移)如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EG →·BD →.【解】 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°. (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ， EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14.(2)EG →·BD →＝(EA →＋AD →＋DG →)·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＋AG →－AD →·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋12AC →＋12AD →·(AD →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a ) ＝12(－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×12) ＝12.【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，求证EG ⊥AB . 证明：由例题知EG →＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a )， 所以EG →·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0.故EG →⊥AB →，即EG ⊥AB .【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，求EG 的长． 解：由例题知EG →＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22，即EG 的长为22. 【迁移探究3】 (变问法)在本例条件下，求异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．解：由例题知AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.空间向量数量积的三个应用求夹角设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N.设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．解：(1)由题图知MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→ ＝13(c －a )＋a ＋13(b －a )＝13a ＋13b ＋13c . (2)由题设条件知，因为(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，所以|a ＋b ＋c |＝5，|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53.利用向量证明平行与垂直问题(多维探究) 角度一 证明平行问题(一题多解)如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：(1)PB ∥平面EFG ； (2)平面EFG ∥平面PBC .【证明】 (1)因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为正方形，所以AB ，AP ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)．方法一：EF →＝(0，1，0)，EG →＝(1，2，－1)， 设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋2y －z ＝0，令z ＝1，则n ＝(1，0，1)为平面EFG 的一个法向量， 因为PB →＝(2，0，－2)，所以PB →·n ＝0，所以n ⊥PB →， 因为PB ⊄平面EFG ，所以PB ∥平面EFG .方法二：PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)． 设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.所以PB →＝2FE →＋2FG →，又因为FE →与FG →不共线，所以PB →，FE →与FG →共面． 因为PB ⊄平面EFG ，所以PB ∥平面EFG .(2)因为EF →＝(0，1，0)，BC →＝(0，2，0)，所以BC →＝2EF →， 因为BC 与EF 无公共点，所以BC ∥EF . 又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以EF ∥平面PBC ，同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC .又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面PBC.角度二证明垂直问题如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O 落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.【证明】(1)如图所示，以O为坐标原点，以射线DB方向为x轴正方向，射线OD为y 轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)．于是AP→＝(0，3，4)，BC→＝(－8，0，0)，所以AP→·BC→＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0，所以AP→⊥BC→，即AP⊥BC.(2)由(1)知AP＝5，又AM＝3，且点M在线段AP上，所以AM →＝35AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，又BA →＝(－4，－5，0)，所以BM →＝BA →＋AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－165，125，则AP →·BM →＝(0，3，4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－165，125＝0， 所以AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，BM ∩BC ＝B ，BM ，BC ⊂平面BMC ， 所以AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BMC .(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系； ②建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；③通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系； ④根据运算结果解释相关问题． (2)空间线面位置关系的坐标表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)．①线线平行l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. ②线线垂直l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. ③线面平行(l ⊄α)l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0. ④线面垂直l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝t u ⇔a 1＝ta 3，b 1＝tb 3，c 1＝tc 3. ⑤面面平行α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝λv ⇔a 3＝λa 4，b 3＝λb 4，c 3＝λc 4. ⑥面面垂直α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.如图所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证： AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值． 解：(1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， 所以a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，所以|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6.(2)证明：因为AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ， 所以AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a )＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c＝b ·c －a ·c ＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0. 所以AC 1→⊥BD →，所以AC 1⊥BD . (3)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， 所以|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.所以cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.所以AC 与BD 1夹角的余弦值为66.[学生用书P399(单独成册)][A 级 基础练]1．已知三棱锥O -ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →＝( )A.12(b ＋c －a ) B ．12(a ＋b ＋c ) C.12(a －b ＋c )D.12(c －a －b )解析：选D.MN →＝MA →＋AO →＋ON →＝12(c －a －b )．2．已知a ＝(2，1，－3)，b ＝(－1，2，3)，c ＝(7，6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( )A ．9B ．－9C ．－3D ．3解析：选B.显然a 与b 不共线，若a ，b ，c 三向量共面，则c ＝x a ＋y b ，即(7，6，λ)＝x (2，1，－3)＋y (－1，2，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.3．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定解析：选B.如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a ·(c －b )＋b·(a －c )＋c·(b －a )＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0.4．如图，在大小为45°的二面角A ­EF ­D 中，四边形ABFE ，四边形CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3 B ． 2 C ．1D.3－ 2解析：选D.因为BD →＝BF →＋FE →＋ED →，所以|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，所以|BD →|＝3－ 2.5．已知A (1，0，0)，B (0，－1，1)，O 为坐标原点，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B ．66 C ．－66D ．± 6解析：选C.OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，所以λ＝－66.6．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________．解析：因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. 答案：12AB →＋12AD →＋AA 1→7．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是CD ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，MN ＝________．解析：连接PD (图略)，因为M ，N 分别为CD ，PC 的中点，所以MN ＝12PD ，又P (0，0，1)，D (0，1，0)，所以PD ＝02＋（－1）2＋12＝2，所以MN ＝22.答案：228.如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由已知条件得〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |， OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉－|a ||b |cos 〈a ，b 〉， 所以OA →⊥BC →，所以cos 〈OA →，BC →〉＝0. 答案：09.如图，在多面体ABC -A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1綊12BC ，二面角A 1­AB ­C 是直二面角．求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C .证明：因为二面角A 1­AB ­C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形， 所以AA 1⊥平面BAC .又因为AB ＝AC ，BC ＝2AB ， 所以∠CAB ＝90°， 即CA ⊥AB ，所以AB ，AC ，AA 1两两互相垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设AB ＝2，则A (0，0，0)，B 1(0，2，2)，A 1(0，0，2)，C (2，0，0)，C 1(1，1，2)．(1)A 1B 1→＝(0，2，0)，A 1A →＝(0，0，－2)，AC →＝(2，0，0)， 设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·A 1A →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2z ＝0，2x ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝0，取y ＝1，则n ＝(0，1，0)． 所以A 1B 1→＝2n ，即A 1B 1→∥n ，又A 1B 1⊄平面AA 1C ，所以A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)易知AB 1→＝(0，2，2)，A 1C 1→＝(1，1，0)，A 1C →＝(2，0，－2)，设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·A 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1＝0，令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，即m ＝(1，－1，1)． 所以AB 1→·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0， 所以AB 1→⊥m ， 又AB 1⊄平面A 1C 1C ， 所以AB 1∥平面A 1C 1C .10.如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2.求证：(1)EF ∥平面P AB ； (2)平面P AD ⊥平面PDC .证明：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，1)，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，PB →＝(1，0，－1)，PD →＝(0，2，－1)，AP →＝(0，0，1)，AD →＝(0，2，0)，DC →＝(1，0，0)，AB →＝(1，0，0)．(1)因为EF →＝－12AB →， 又EF →与AB →无公共点， 所以EF →∥AB →，即EF ∥AB .又AB ⊂平面P AB ，EF ⊂/ 平面P AB ， 所以EF ∥平面P AB .(2)因为AP →·DC →＝(0，0，1)·(1，0，0)＝0， 所以AP →⊥DC →，AD →⊥DC →， 即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .又AP ∩AD ＝A ，AP ，AD ⊂平面P AD ， 所以DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ， 所以平面P AD ⊥平面PDC .[B 级 综合练]11．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，即OP →＝2OA →－3OB →＋2OC →.则AP →－AO →＝2OA →－3(AB →－AO →)＋2(AC →－AO →)，即AP →＝－3AB →＋2AC →，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，设AP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，即OP →－OA →＝m (OB →－OA →)＋n (OC →－OA →)，即OP →＝(1－m －n )·OA →＋mOB →＋nOC →，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3，2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．12.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1，1，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24，1解析：选C.设M 点的坐标为(x ，y ，1)，因为AC ∩BD ＝O ，所以O ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，又E (0，0，1)，A (2，2，0)，所以OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，AM →＝(x －2，y －2，1)，因为AM ∥平面BDE ，所以OE →∥AM →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－22，y －2＝－22，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝22，所以M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.13．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面边长为1，M 为BC 的中点，C 1N →＝λNC →，且AB 1⊥MN ，则λ的值为________．解析：如图所示，取B 1C 1的中点P ，连接MP ，以MC →，MA →，MP →的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，因为底面边长为1，侧棱长为2，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，B 1(－12，0，2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，2，M (0，0，0)，设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，t ， 因为C 1N →＝λNC →，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，21＋λ， 所以AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，2，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，21＋λ. 又因为AB 1⊥MN ，所以AB 1→·MN →＝0. 所以－14＋41＋λ＝0，所以λ＝15.答案：1514．在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内是否存在一点G ，使GF ⊥平面PCB ？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，试说明理由．解：(1)证明：由题意知，DA ，DC ，DP 两两垂直．如图，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，P (0，0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0)．因为EF →·DC →＝0，所以EF →⊥DC →，从而得EF ⊥CD .(2)存在．理由如下：假设存在满足条件的点G ， 设G (x ，0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a ，0，0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2；由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.所以G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，故存在满足条件的点G ，且点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即G 为AD 的中点．[C 级 提升练]15.如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )A.23 B ．33 C.23D.53解析：选C.以D 点为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，C (0，1，0)，A (1，0，0)，C 1(0，1，2)，所以DC 1→＝(0，1，2)，DA →＝(1，0，0)，DC →＝(0，1，0)．设DP →＝λDC 1→，AQ →＝μAC →(λ，μ∈[0，1])． 所以DP →＝λ(0，1，2)＝(0，λ，2λ)，DQ →＝DA →＋μ(DC →－DA →)＝(1，0，0)＋μ(－1，1，0)＝(1－μ，μ，0)． 所以|PQ →|＝|DQ →－DP →|＝|(1－μ，μ－λ，－2λ)| ＝（1－μ）2＋（μ－λ）2＋4λ2 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ52＋95⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－592＋49≥49＝23，当且仅当λ＝μ5，μ＝59，即λ＝19，μ＝59时取等号． 所以线段PQ 长度的最小值为23.故选C.16．如图，棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由．解：(1)证明：设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，所以A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3，所以AO 2＋A 1O 2＝AA 21， 所以A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，所以A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)，A 1(0，0, 3)，C 1(0，2, 3)．由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→＝(0，1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， 所以BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1. (2)存在．理由如下：假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1， 设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3)． 从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ)． 设平面DA 1C 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧n ⊥A 1C 1→⇔n ·A 1C 1→＝0，n ⊥DA 1→⇔n ·DA 1→＝0，又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→＝(3，0，3)， 则⎩⎪⎨⎪⎧2y 2＝0，3x 2＋3z 2＝0，令x 2＝1，得z 2＝－1，所以n ＝(1，0，－1)， 因为BP ∥平面DA 1C 1， 令x 2＝1，得z 1＝－1，所以n ⊥BP →，即n ·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1， 即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .。

教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。

2. 学会空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。

3. 能够运用空间向量解决实际问题，提高空间想象力。

二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向、表示方法。

2. 空间向量的线性运算：(1) 向量加法：三角形法则、平行四边形法则。

(2) 向量减法：差向量、相反向量。

(3) 数乘向量：数乘的定义、运算规律。

(4) 向量点乘：点乘的定义、运算规律、几何意义。

三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念、线性运算及应用。

2. 教学难点：空间向量线性运算的推导及证明，空间向量在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用多媒体教学，结合图形、动画，直观展示空间向量的概念和运算。

2. 利用实际例子，引导学生运用空间向量解决实际问题。

3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。

五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及表示方法。

2. 第二课时：空间向量的线性运算（向量加法、减法）。

3. 第三课时：空间向量的线性运算（数乘向量、向量点乘）。

4. 第四课时：空间向量线性运算的应用。

5. 第五课时：总结与拓展。

六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度和积极性。

2. 作业完成情况：检查学生完成的作业质量，评估学生对空间向量及其运算的理解和掌握程度。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括团队合作、问题解决能力和创新思维。

4. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对空间向量及其运算的掌握情况，及时发现并解决问题。

七、教学资源1. 多媒体教学课件：通过动画、图形等展示空间向量的概念和运算，增强学生的直观感受。

2. 实际例子：收集与空间向量相关的实际问题，用于引导学生运用空间向量解决实际问题。

3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，供学生进行小组讨论。

4. 课堂测试卷：编写涵盖空间向量及其运算知识的测试卷，用于评估学生的学习效果。

第六章 向量空间一 综述向量空间是高等代数最基本的概念之一,它用公理化方法首次引进了一个代数系,而这种公理化方法在高等代数以后各章以及在近世代数中将屡次遇到,它是近代数学研究的一个重要方法.本书以后各章如线性变换、欧几里德空间等概念都是直接建立在向量空间定义的基础上的.因此本章内容又是以后各章学习的基础. 二 教学目的使学生在集合、映射概念的基础上,理解并掌握向量空间的定义、性质和构造,并培养学生用公理化方法研究代数系的能力. 三 重点、难点教材重点：向量空间的定义、性质 教学难点：向量空间的定义6.1 定义和例子一 教学思考向量空间的定义是本章的重点和难点,是学生首次接触的一个用公理化方法引进的代数系.这一节的教学目的,不仅使学生正确理解和掌握向量空间的概念,而且应该使学生初步了解以集合论为基础运用公理化方法从具体的代数系抽象出一般的代数系的方法和意义,对此要心中有数,以便在教学中把传授知识与培养能力结合起来. 二 内容和要求1．内容：定义、例子及简单性质2．要求：掌握向量空间的概念及其简单性质,初步了解公理化的思想方法. 三 教学过程1． 引例 三维几何空间的实质及更多的类似结构的代数对象（略）. 2． 定义及例子定义 1 令F 是一个数域,F 中的元素用小写拉丁字母 ,,b a 表示；令V 是一个非空集合,V 中元素用小写希腊字母 ,,,γβα表示.我们把V 中的元素叫做向量,F 中的元素叫做纯量.若下列条件满足,就称V 是F 上的一个向量空间.1）在V 中定义了一个叫加法,对V 中任意两个向量βα,都有V 中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做α与β的和,记为βα+.2）有一个纯量乘法,对于F 中的每一个数a 和V 中每一个向量α,有V 中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做a 与α的积,记为αa .3）向量的加法和纯量乘法满足下列算律：F b a V ∈∈∀,;,,γβα有 （1）αββα+=+； （2）)()(γβαγβα++=++；（3）在V 中存在一个向量叫零向量,积作ο；它满足对V ∈∀α 有ααο=+； （4）对V ∈∀α,V ∈'∃α使得οαα=+'；这样的α'叫做α的负向量；（负向量的定义） （5）βαβαa a a +=+)(； （6）αααb a b a +=+)(； （7）)()(ααb a ab =； （8）αα=1. 3． 向量空间的简单性质1）由于向量的加法满足结合律,所以任意n 个向量相加有唯一确定的含义且可写为不加括号的和的形式；再者由于加法满足结合律和交换律,所以在求任意n 个向量的和时可以任意交换被加项的次序.2）命题6.1.1（零向量、负向量的唯一性）在一个向量空间V 中,零向量是唯一的；对V ∈∀α,α的负向量是由α唯一确定的.（同一法,略） 3）命题6.1.2 对V ∈∀α,F a ∈∀有οα=0,οο=a ； αααa a a -=-=-)()(； 0=⇒=a a οα或οα=.4． 介绍一种写法-——（向量矩阵的记法）设V n ∈ααα,,,21 ,把它们排成一行写成一个以向量为元素的n ⨯1矩阵（n ααα,,,21 ）,设)()(F M a A m n m n ij ⨯⨯∈=；定义（n ααα,,,21 ）),,,(21m A βββ =,其中)1(,1m j a ni i ij j ≤≤=∑=αβ.即按照数域F 上矩阵的乘法定义（n ααα,,,21 ）右乘以A （这里约定对V ∈∀α,F a ∈∀有a a αα=）.并且设)(F M A m n ⨯∈,)(F M B P m ⨯∈,由向量与纯量乘法所满足的算律有：（n ααα,,,21 ）B A AB n )),,,(()(21ααα = ,即结合律成立.6.2 子空间一 教学思考1．向量空间一章主要讨论向量空间的运算、性质和结构,一般是通过向量空间自身（基、维数等）或其子结构（子空间）来讨论的,这正是代数学的基本方法.因而本节的概念（子空间）和结论在理论上与方法上是重要的.2．由于本章与以后内容的（抽象）特点,需重点培养学生逻辑论证能力,除了在教学中经常结合问题讲解分析解决问题的一般思想方法外,还需对以后教学有重要影响的几类具体问题的论证思路作出明确的交代.本章主要是“子空间的判定”.3．内容作如下调整,即先定义子空间,再介绍为何称为子空间,然后介绍子空间的判定和运算. 二 内容要求1．内容：子空间的定义、子空间的交与和.2．要求：理解和掌握向量空间的子空间的概念和判定方法、子空间的交与和的概念.三 教学过程1．子空间的概念及判定 （1）定义定义1 设V 是数域F 上的向量空间,W 是V 的非空子集,若对V ∈∀βα,都有W ∈+βα,则称W 对V 的加法封闭.若对F a V ∈∀∈∀,α都有W a ∈α,则称W 对纯量乘法封闭.定义2 令W 是数域F 上的向量空间V 的一个非空子集,若W 对V 的加法和纯量乘法封闭,则称W 是V 的一个子空间.TH6.2.1设W 是数域F 上的向量空间V 的一个非空子集,若W 对V 的加法和纯量乘法封闭,则W 本身也作成F 上一个向量空间.（2）子空间的判定TH6.2.2向量空间V 的一个非空子集W 是V 的一个子空间的充要条件是对W F b a ∈∀∈∀βα,,,都有W b a ∈+βα.2．子空间的交与和定义3 设21,W W 都是V 的子空间,则21W W 称为两个子空间的交. 命题 21W W 也是V 的子空间.定义 4 设21,W W 都是V 的子空间,由所有能表示为),(221121W W ∈∈+αααα的向量组成的集合成为1W 与2W 的和,记为21W W +；即21W W +={}221121,|W W ∈∈+αααα. 命题 21W W +也是V 的子空间.6.3 向量的线性相关性一 教学思考1．向量的线性相关性在研究向量空间的结构时极为重要,并且学生在学习时感到困难的多是由于逻辑思维混乱以及推理不严谨造成的.2．本节重要的在于讲清诸概念,理清它们之间的关系,介绍一般方法和特殊方法,补充一些容易混淆的问题及一些错误做法或判断. 二 内容要求内容：向量的线性相关性定义、性质；替换定理；极大无关组.要求：正确理解和掌握向量组的线性相关性的概念及性质,掌握判断向量组线性关系的一般方法和特殊方法. 三．教学过程1．线性相关与线性无关（1）线性组合、线性表示及其性质定义 1 设r ααα,,,21 是向量空间V 的r 个向量,r a a a ,,,21 是数域F 中任意r 个数,我们把和r r a a a ααα ++2211叫做向量r ααα,,,21 的一个线性组合.定义 2 若V 中向量α可以表示成r ααα,,,21 的线性组合,即∃F a a a r ∈,,,21 使得r r a a a αααα ++=2211,则称α可以由r ααα,,,21 线性表示.（例略）性质 命题6.3.1向量组r ααα,,,21 中每一向量都可以由这一组向量线性表示.命题6.3.2若向量γ可以由r βββ,,,21 线性表示,而每个i β可由s ααα,,,21 线性表示,则γ可以由s ααα,,,21 线性表示.（2）线性相关、线性无关及有关性质定义3 设r ααα,,,21 是向量空间V 的r 个向量,若存在数域F 中r 个不全为0的数ra a a ,,,21 使得οααα=++r r a a a 2211,则称r ααα,,,21 线性相关,否则称r ααα,,,21 线性无关. 例1 若r ααα,,,21 中有一个零向量,则r ααα,,,21 一定线性相关. 例2 判断3F 中向量)9,7,1(),0,1,2(),3,2,1(321-==-=ααα是否线性相关 例3 在][x F 中对任意非负整数n ,证明nx x x ,,,,12线性无关.（解略）性质命题 6.3.3 若向量组{r ααα,,,21 }线性无关,则它的任一部分向量组也线性无关；等价地：若{r ααα,,,21 }有一部分组线性相关,则整个向量组{r ααα,,,21 }也线性相关.（证略）命题 6.3.4 设{r ααα,,,21 }线性无关,而{βααα,,,,21r }线性相关,则β一定可以由r ααα,,,21 线性表示,且表示法唯一.命题6.3.5 向量r ααα,,,21 （2≥r ）线性相关的充要条件是其中某个向量是其余向量的线性组合.（证略）2．向量组的等价、替换定理定义 4 设{}r ααα,,,21 和{}s βββ,,,21 是V 中的两个向量组,若每个),2,1(r i i =α都可以由s βββ,,,21 线性表示,而每个),2,1(s j j =β也可以由r ααα,,,21 线性表示,则称这两个向量组等价.定理6.3.6（替换定理）设向量组{}r ααα,,,21 （1）线性无关,且每个),2,1(r i i =α都可以由{}s βββ,,,21 （2）线性表示.则A ）s r ≤；B ）必要时对（2）中向量重新编号,使得用r ααα,,,21 替换r βββ,,,21 后得向量组{}s r r ββααα,,,,,,121 +（3）与（2）等价.推论6.3.7两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量. 3．极大无关组（讨论一个非零向量组的一种部分组）定义 5 向量组{r i i i ααα,,,21 }是向量组{}n ααα,,,21 的一个部分组（n r ≤）,若满足：1）ri i i ααα,,,21线性无关；2）每个),,1(n j j =α都可由ri i i ααα,,,21线性表示.则称rii i ααα,,,21是向量组{}n ααα,,,21 的一个极大线性无关部分组（简称极大无关组）. 极大无关组的求法：1）一般方法——设给定{}n ααα,,,21 ,求其一个极大无关组.先从1α考虑,若οα≠1,保留；考虑21,αα看其是否线性无关.无关,保留；相关舍去2α,考虑31,αα看其是否线性无关.依次类推直至n α,便得.（由于考虑次序不同可得不同的极大无关组）例4 求向量组{}32,2,,12+++x x x x 的一个极大无关组.（解略）2）特殊方法——对n F 中向量组{}n ααα,,,21 ,求极大无关组. 首先：可以证明“命题”：“设)(F M m n ⨯的矩阵A 经过行的初等变换得到)(F M m n ⨯的矩阵B ,则A 与B 的列向量有相同的线性关系.”（证略）这样可得：A ）求nm F ∈ααα,,,21 的线性关系,可以以m ααα,,,21 列作矩阵A ,通过对A 作行初等变换化为标准形B ,由B 的列向量的线性关系可得A 的列向量的线性关系.进而B ）用上述方法可求n F 中向量组{}n ααα,,,21 的极大无关组. 例5 求3R 中向量组)6,1,5(),4,0,3(),3,1,2(),1,2,1(4321====αααα的一个极大无关组. 解：以4321,,,αααα为列作矩阵B A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210010101001643110125321.设B 的列向量为4321,,,ββββ,这样4321,,,αααα与4321,,,ββββ有相同的线性关系.容易看出321,,βββ线性无关,且=4β3212βββ+-；因此321,,ααα线性无关且=4α3212ααα+-.于是321,,ααα是4321,,,αααα的一个极大无关组.6.4 基与维数一 教学思考1．向量空间的结构中基起着重要作用,那么基概念的引入及作用为重点.2．从内容上本节在于给出了基与维数的概念后,解决基的存在性、个数及求法,要注意方法的总结归纳,特别是生成子空间.3．从定义上维数依赖于基,即要求一个向量空间的维数须求一个基；但反过来从结果上看,若已知维数n 求基的话,即求一组n 个线性无关的向量.4．本节及以后主要讨论有限维向量空间,有所谓的维数公式,其反映有限维向量空间的两个子空间与它们的和与交空间的维数之间的关系.在证明中,从“最小”的子空间的基出发逐步扩充为所出现的子空间的基的方法是重要的.5．基的存在性、个数、求法（生成子空间的基的求法）、余子空间等方法,注意总结归纳. 二 内容要求内容：向量空间的基与维数,有限维向量空间的维数公式,余子空间要求：正确理解和掌握向量空间的基与维数的概念,余子空间的定义,了解基在向量空间的结构中的重要作用,掌握求基、余子空间的一般方法和特殊方法. 三 教学过程1．引言我们知道当{}ο≠V 时,V 有无穷多向量,那么它们之间的结构如何？具体地,我们能否用V 中有限个向量表示所有向量.下面讨论这个问题.2．一类特殊子空间——由一组向量生成的子空间定义1设V r ∈ααα,,,21 ,那么由r ααα,,,21 的线性组合组成的集合{}F a a a a W i r r ∈+++=|2211ααα 称为由这一组向量r ααα,,,21 生成的子空间.记为L （r ααα,,,21 ）,其中r ααα,,,21 叫做生成元.例1 n F 中)1,,0,0(,),0,,,0,1(1 ==n εε,则nn F L =),,(1εε . 例2 ][x F 中n n x x ===+121,,,1ααα ,则][),,,1(x F x x L n n= .关于生成子空间有：定理 6.4.1设V n ∈ααα,,,21 ,且不全为零向量,r i i i ααα,,,21 为其一个极大无关组,则L （n ααα,,,21 ）=L （r i i i ααα,,,21 ）.3．基与维数1）定义2 设V n ∈ααα,,,21 ,若1）n ααα,,,21 线性无关；2）V ∈∀α都可由n ααα,,,21 线性表示.则称n ααα,,,21 为V 的一个基.定义 3 一个向量空间V 的一个基所含向量的个数叫做V 的维数；记为V dim .规定零空间的维数为0.2）定理定理6.4.2（基的作用）设n ααα,,,21 为V 的一个基,则V ∈∀α都可唯一地由n ααα,,,21 线性表示.定理6.4.3n 维向量空间V 任意多于n 个向量的向量组一定线性相关.定理 6.4.4设n V =dim ,V r ∈ααα,,,21 线性无关（易知n r ≤）,则总可以添加r n -个向量n r r ααα,,,21 ++,使得n ααα,,,21 作为V 的一个基.特别V 的任意n 个线性无关向量都可以取作基.例3 将)1,2,3,1(),1,0,2,1(21-==αα扩充为4R 的一个基.解：（法一）思想方法：由定理的证明过程,取4R 的一个基（如标准基4321,,,εεεε）,然后用21,αα代替其中某两个如21,εε,使得21,αα,43,εε线性无关；而代替哪两个,可用逐步添加法使添在21,αα上后线性无关.（法二）思想方法：可以从21,αα出发,利用21,αα为列再添上两个作成一个4阶方阵A ,使得0≠A ,如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1011012000320011,取)1,0,0,0(),0,1,0,0(23==αα,则4321,,,αααα为4R 的一个基. 定理6.4.5设21,W W 是F 上向量空间V 的两个有限维子空间,则21W W +也是V 的一个有限维子空间,且：)dim (dim dim )dim (212121W W W W W W ⋂-+=+.推论 对n 维向量空间V 的子空间21,W W 有：}{dim dim dim 2121ο=⋂⇔=+W W V W W .4．余子空间（1） 定义：设W 是V 的子空间,若存在V 的子空间W '满足：1）V W W ='+,2）){ο='⋂W W ；则称W '是W 的一个余子空间,且称V 是W 与W '的直和,记为W W V '⊕=. （2）定理定理 6.4.6设W W V '⊕=,则对V ∈∀α有α可以唯一地表示成ββα'+=,其中W W '∈'∈ββ,.定理 6.4.7n 维向量空间V 的任一子空间W 都有余子空间.若W '是W 的一个余子空间,则V W W dim dim dim ='+.（3）上述概念及结论可扩充至有限设t W W W ,,,21 是V 的子空间,若1）t W W V ++= 1；2）{}),,2,1(,)(111t i W W W W W t i i i ==+++++⋂+-ο,则称V 是t W W W ,,,21 的直和,记为t W W V ⊕⊕= 1.且有类似于定理6、7的结论.6.5 坐标一 教学思考1．对n 维向量空间V 取定基后,任意向量引入了坐标的概念后,可将抽象的对象用具体的形式（nF中的向量）表示出来,为我们研究抽象的向量空间提供了方便,如由此可建立n V 与nF 的同构,所以本节概念及结论在空间的讨论中有重要的作用.2．注意坐标的概念依赖于基的选择,坐标变换依赖于相应的基变换；注意过渡矩阵的概念与性质以及结论,其是下节建立n V 与nF 的同构的基础.3．具体方法有：1）坐标的求法（定义法、坐标变换法）；2）过渡矩阵的求法；3）过渡矩阵的性质及由此反映的矩阵的运算的意义. 二 内容要求1． 内容：坐标、基变换、坐标变换、过渡矩阵；2． 要求：掌握坐标的概念及其意义,基变换与坐标变换公式,过渡矩阵的概念和性质. 三 教学过程（一） 坐标的概念1．定义 设{}n n V αα,,,dim 1 =是V 的一个基,对V ∈∀ξ有n n a a ααξ++= 11,则称n 元有序数组),,(1n a a 为向量ξ关于基{}n αα,,1 的坐标；其中i a 叫做向量ξ关于基{}n αα,,1 的第i 个坐标.2．定理6.5.1设{}n n V αα,,,dim 1 =是V 的一个基,V ∈ηξ,关于此基的坐标分别为),,(1n x x 和),,(1n y y ,则ξηξk ,+关于此基的坐标分别为: ),,(11n n y x y x ++ ,),,(1n ax ax .（二）坐标变换 1．基变换设,dim n V ={}n αα,,1 和{}n ββ,,1 是V 的两个基,则每个j β),,2,1(n j =可由{}n αα,,1 线性表示,设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=nn n n nn nn a a a a a a ααβααβααβ1112112211111 （1）,以j β关于基{}n αα,,1 的坐标为列构成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a T212222111211称为由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵. （1）式可以写成矩阵等式),,(1n ββ =T n ),,(1αα （2）；称（1）或（2）为（由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的）基变换. 设V ∈ξ关于基{}n αα,,1 的坐标为),,(1n x x ,关于基{}n ββ,,1 的坐标为),,(1n y y ,则一方面=ξ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x 11),,(αα （3）；另一方面=ξ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n y y 11),,(ββ （4）；（2）代入（4）得=ξ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y T 11)),,((αα=))(,,(11⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n y y T αα （5）,比较（3）和（5）由坐标的唯一性得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n y y T 1 （6）；于是得 定理 6.5.2设,dim n V =T 由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵,则V ∈ξ关于基{}n αα,,1 的坐标与关于基{}n ββ,,1 的坐标为),,(1n y y 由等式（6）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n y y T 1联系着.3．过渡矩阵的性质 （1）基变换的传递性设,dim n V ={}n αα,,1 、{}n ββ,,1 、{}n γγ,,1 都是V 的基,且由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵为A ,基{}n ββ,,1 到基{}n γγ,,1 的过渡矩阵为B ,即),,(1n ββ =A n ),,(1αα 、),,(1n γγ =),,(1n ββ B ,则),,(1n γγ =A n ),,(1αα B ,即由基{}n αα,,1 到基{}n γγ,,1 的过渡矩阵为AB .（2）定理6.5.3设,dim n V =由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵为A ,那么A 是一个可逆矩阵.反过来,任意一个n 阶可逆矩阵A 都可以作为n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵.且若由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵为A ,则由基{}n ββ,,1 到基{}n αα,,1 的过渡矩阵为1-A .6.6 向量空间的同构一 教学思考1．向量空间的本质是一个带有加法和数乘的代数系,我们研究向量空间着眼点主要在于运算,至于元素是什么无关紧要.把具有某种关系的向量空间作为本质上没有区别的加以研究,从而取出其代表加以研究讨论以达到目的,本节正是解决这样一个问题.2．“同构”是这种关系的体现,在此关系下,同构的向量空间可以不加区别,因而维数就成了数域F 上有限维向量空间的唯一本质特征.3．注意“同构”映射的概念,向量空间同构的概念及各自的性质,以及有限维向量空间同构的判定. 二 内容要求1、内容：同构映射、向量空间同构的概念及各自的性质,有限维向量空间同构的判定.2、要求：理解向量空间同构的概念及性质,有限维向量空间同构的判定. 三 教学过程1．同构的概念和性质 （1）概念1）同构映射 设V 和W 是数域F 上两个向量空间,V 到W 的一个映射f 叫做一个同构映射； 若A ）f 是V 到W 的一个双射；B ）对)()()(,ηξηξηξf f f V +=+⇒∈∀；C ）对)()(,,ξξξaf a f V F a =∈∀∈∀.（2）定理6.6.1数域F 上任一n 维向量空间V 都与nF 同构. （3）性质 1）同构映射的性质定理6.6.2设V 和W 是数域F 上两个向量空间, f 是V 到W 的一个同构映射,则: A);)(οο=f B)对ααα-=-∈∀)(,f V ;C))()()(1111n n n n f a f a a a f αααα++=++ ,其中V F a i i ∈∈α,; D))(,,1V n ∈αα 线性相关))((,),(1W f f n ∈⇔αα 线性相关; E) f 的逆映射1-f是W 到V 的一个同构映射.2）同构关系的性质（等价关系）A ） 反身性：V V ≅；B ） B ）对称性：若W V ≅,则V W ≅；C) 传递性：若W V ≅,U W ≅,则U V ≅.（由双射性质及定义易证） 2．有限维向量空间同构的充要条件定理6.6.3数域F 上两个有限维维向量空间V 和W 有：W V ≅W V dim dim =⇔.6.7 矩阵的秩,齐次线性方程组的解空间一 教学思考1．矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论,本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义,讨论线性方程组解的结构.2．注意：齐次线性方程组（含n 个未知量）的解的集合构成nF 的子空间,而非齐次线性方程组的解的集合非也.3．注意具体方法：1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；2）求齐次线性方程组的基础解系. 二 内容要求1、内容：矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的解空间.2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的基础解系的求法. 三 教学过程1．矩阵的秩的几何意义几个术语：设)(F M A n m ⨯∈,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m n a a a a A 1111,A 的每一行看作nF 的一个元素,叫做A 的行向量,用),2,1(m i i =α表示；由),2,1(m i i =α生成的nF 的子空间),,(1m L αα 叫做矩阵A 的行空间.类似地,A 的每一列看作mF 的一个元素,叫做A 的列向量；由A 的n 个列向量生成的mF 的子空间叫做矩阵A 的列空间.引理6.7.1设)(F M A n m ⨯∈,1）若PA B =,P 是一个m 阶可逆矩阵,则B 与A 有相同的行空间；2）若AQ C =,Q 是一个n 阶可逆矩阵,则C 与A 有相同的列空间.定理6.7.2矩阵)(F M A n m ⨯∈的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩.定义 矩阵A 的行（列）向量组的极大无关组所含（行（列）空间的维数）向量的个数,叫做矩阵A 的秩.2．线性方程组的解的结构1）再证线性方程组有解的判定定理：“数域F 上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相同.”2）齐次线性方程组的解空间设⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00111111n mn m n n x a x a x a x a（3）是数域F 上一个齐次线性方程组,令A 为其系数矩阵,则（3）可写为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 n x x A （4）或ο=AX ；（3）的每一个解都可以看作n F 的一个向量,叫做（3）的一个解向量.令S 表示（3）的全体解向量构成的集合；首先：因S ∈ο,所以Φ≠S ；其次：F b a S ∈∀∈∀,,,ηξ,有οηξηξ=+=+bA aA b a A )(,即S b a ∈+ηξ.因此S 作成nF 的一个子空间,这个子空间叫做齐次线性方程组（3）的解空间.重新回顾解线性方程组的过程：设（3）的系数矩阵A 的秩为)(n r <,则A 可经过一系列（行）初等变换化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r n r m r r m r n r r C I ,,,οο,与此相应的齐次线性方程组为：（5）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++=+++++++0000001111111 n rn r rr r n n r r y c y c y y c y c y ,这里n y y ,,1 是n x x ,,1 的重新编号.（5）有r n -个自由未知量n r y y ,,1 +,依次让它们取)1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1( ,可得（5）的r n -个解向量：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++++++100,,010,001122121111 rn n n rr r r rr r r c c c c c c ηηη.下面证其是（5）的解空间的一个基. 首先：n r ηη,,1 +线性无关.事实上设οηη=++++n n r r k k 11,由下面r n -个分量易得01===+n r k k .其次：设),,,(21n k k k 是（5）的任一解,代入（5）得：n rn r rr r nn r r nn r r k c k c k k c k c k k c k c k ---=---=---=++++++112112211111又有恒等式：nn r r k k k k ==++ 11此n 个等式即为n n r r n k k k k ηη++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 111,即（5）的每个解向量都可以由n r ηη,,1 +线性表示,故{n r ηη,,1 +}为（5）的解空间的一个基.注意到（5）与（4）在未知量重新编号后同解,所以重新编排n r ηη,,1 +的次序可得（4）的解空间的一个基,从而解决了齐次线性方程组的解的构造问题.并且上述讨论也给出了求解空间的具体方法：即通过解方程组的允许变换得到等价组,在等价组中自由未知量是清楚的,给其一组线性无关值,便得等价组的一组解向量,其构成等价组的解空间的一个基,再调整解向量的次序便得.上述讨论得：定理 6.7.3数域F 上一个n 元齐次线性方程组的一切解作成nF 的一个子空间,称之为这个线性方程组的解空间.若所给方程组的系数矩阵的秩为r ,则解空间的维数为r n -.定义 一个齐次线性方程组的解空间的一个基,叫做这个方程组的一个基础解系.3）非齐次线性方程组的解的结构 设))((,11F M A b b x x A n m m n ⨯∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （6）是数域F 上一个n 元线性方程组.问题当（6）有无穷解时,解的结构如何？为此先引入：把（6）的常数项都换成0,便得一个齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 n x x A （7）,齐次线性方程组（7）叫做方程组（6）的导出齐次线性方程组.定理6.7.4若（6）有解,则（6）的任一解都可以表示为（6）的一个固定解与（7）的一个解的和.。

空间向量及其运算3。

1。

1 空间向量及其加减运算教学目标：（1）通过本章的学习,使学生理解空间向量的有关概念。

(2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。

能力目标：（1)培养学生的类比思想、转化思想,数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。

（2）培养学生空间想象能力,能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。

（3）培养学生空间向量的应用意识教学重点:（1）空间向量的有关概念（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义.（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（1）空间想象能力的培养,思想方法的理解和应用。

(2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解.考点:空间向量的加减运算及其几何意义,空间想象能力，向量的应用思想.易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用教学用具:多媒体教学方法：研讨、探究、启发引导。

教学指导思想:体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。

教学过程：（老师):同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？（学生）:矢量，由大小和方向确定(学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板,重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动?这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？（老师）:我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么?(学生）向量（老师）:这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？(学生）这是三个向量不共面（老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么?（学生):不能，得用空间向量（老师)：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算（老师):实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？（学生)举例（老师）：然后再演示(课件）几种常见的空间向量身影。

江西理工大学理学院第 六 章 向量代数与 空间解析几何江西理工大学理学院第 1 节 空间直角坐标系 向量及其运算江西理工大学理学院数轴上的点与数 x具有一一对应的关系。

平面直角坐标系使我们建立了平面上的点( x , y ) 与一对有序数组之间的一一对应关系，沟通了平面图形与数的研究。

为了沟通空间图形与数的研究，我们用类 似于平面解析几何的方法，通过引进空间直角 坐标系来实现。

江西理工大学理学院一、空间点的直角坐标三个坐标轴的正方向 符合右手系.即以右手握住 z 轴， 当右手的四个手指从z 竖轴π 正向 x 轴以 角 2定点 o•y 纵轴度转向正向 y 轴时， 横轴 x 大拇指的指向就是 z 空间直角坐标系 轴的正向.注：为使空间直角坐标系画得更富于立体感通 常把 x 轴和 y轴间的夹角画成 130 0 左右。

江西理工大学理学院Ⅲzzox 面Ⅱyoz 面Ⅳxoy 面Ⅶ ⅧoyⅥ ⅤⅠx空间直角坐标系共有八个卦限江西理工大学理学院⎯ 空间的点 ←⎯ → 有序数组 ( x , y , z )特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R, 坐标面上的点 A, B , C ,1− −1O ( 0, 0, 0 )B ( 0, y , z )•zR ( 0, 0, z )C ( x , o, z )M ( x, y, z )o xP ( x , 0 ,0 )Q ( 0 , y ,0 )yA( x , y ,0)江西理工大学理学院）各坐标面；（ 2 ）各坐 例1 求点 ( a , b, c )关于（1 标轴；（3 ）坐标原点的对称点的 坐标。

解 (1)点( a , b , c )关于 xOy 面的对称点是 ( a , b ,− c );关于 yOz 面的对称点是 ( − a , b , c ); 关于 zOx 面的对称点是 ( a ,− b , c );( 2 )点( a , b , c )关于 x轴的对称点是 ( a ,− b ,− c ); 关于 y轴的对称点是 ( − a , b ,− c ); 关于 z轴的对 称点是 ( − a ,− b , c ); ( 3 )点( a , b , c )关于原点的对称点是 ( − a ,− b ,− c );江西理工大学理学院二、空间两点间的距离设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点zR• M2M1d = M1 M 2 = ?•Po x2在直角 ∆M 1 NM 2 Q 及 直 角 ∆M PN 1 N 中，使用勾股定 y 理知2 2d = M 1 P + PN + NM 2 ,2江西理工大学理学院Q M 1 P = x2 − x1 , PN = y2 − y1 , NM 2 = z2 − z1 ,zR• M2M1 •Po x2 2Q Ny∴d =M 1 P + PN + NM 222M1 M 2 =( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) .2 2空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O ( 0,0,0)d = OM = x 2 + y 2 + z 2 .江西理工大学理学院例 2 求证以 M 1 (4,3,1)、 M 2 (7,1,2)、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解 M1 M 22(7 − 4)2 + (1 − 3)2 + ( 2 − 1)2 = 14, =M 2 M 3 = (5 − 7)2 + ( 2 − 1)2 + ( 3 − 2)2 = 6,2M 3 M1 =2(4 − 5)2 + ( 3 − 2)2 + (1 − 3)2 = 6,∴ M 2 M 3 = M 3 M1 ,原结论成立.。

第六节空间直角坐标系及空间向量的线性运算复习目标学法指导1.会确定空间点的坐标.2.会求直线方向向量及平面法向量.3.会进行空间向量的几何运算及代数运算.4.会进行空间向量的数量积及坐标运算. 1.空间直角坐标系中的点是由横、纵、竖三个数组成的有序数组.2.直线的方向向量与直线上的向量是共线向量,平面的法向量与平面上的任何直线都垂直.3.空间向量的几何运算及代数运算与平面向量类似.4.会通过数量积进行空间向量的坐标运算表达直线、平面位置关系.一、空间直角坐标系及空间向量的有关概念1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标原点,x 轴、y轴、z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方向,如果中指指向z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.(3)空间一点M 的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x 叫做点M 的横坐标,y 叫做点M 的纵坐标,z 叫做点M 的竖坐标. 2.空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式①设点A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),则②点P(x,y,z)与坐标原点O 之间的距离为 .(2)中点公式设点P(x,y,z)为线段P 1P 2的中点,其中P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),则有121212,2,2.2x x x y y y z z z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩3.空间向量的有关概念向量零向量长度(或模)为0的向量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b记作 a∥b共面向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量概念理解(1)空间直角坐标系的建立原则是:合理利用几何体中的垂直关系,特别是面面垂直;尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上.(2)直线的方向向量:l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称ABu u u r为直线l的方向向量,与ABu u u r平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.(3)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为0,0.n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩ (4)共线向量定理中a ∥b ⇔存在λ∈R,使a=λb,不要忽视b ≠0. (5)一个平面的法向量有无数个,但要注意它们是共线向量,不要误认为是共面向量. 二、数量积与坐标运算 1.数量积及相关概念(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA u u u r =a,OB u u u r=b,则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作<a,b>,其范围是[0,π].若<a,b>=π2,则称向量a 与b 互相垂直,记作a ⊥b.若<a,b>=0,则称向量a 与b 同向共线,若<a,b>=π,则称向量a 与b 反向共线. (2)两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做向量a,b 的数量积,记作 a ·b,即a ·b=|a||b|cos<a,b>. 2.两个向量数量积的性质和结论 已知两个非零向量a 和b.(1)a ·e=|a|cos<a,e>(其中e 为单位向量). (2)a ⊥b ⇔a ·b=0. (3)cos<a,b>=a b a b⋅.(4)a 2=a ·a=|a|2,|a|=.(5)|a ·b|≤|a||b|.3.空间向量数量积的运算律 (1)数乘结合律:(λa)·b=λ(a ·b).(2)交换律:a ·b=b ·a.(3)分配律:a ·(b+c)=a ·b+a·c. 4.向量坐标的定义设i,j,k 为空间三个两两垂直的单位向量,如果OP u u u r=xi+yj+zk,则(x,y,z)叫做向量OP u u u r的坐标. 5.空间向量运算的坐标表示 设a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2),那么(1)加、减运算:a ±b=(x 1±x 2,y 1±y 2,z 1±z 2). (2)数量积:a ·b=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2. (3)夹角公式:cos<a,b>=121212222222111222x y z x y z ++++.(4)模长公式:|a|=a a ⋅=222111x y z ++.(5)数乘运算:λa=(λx 1,λy 1,λz 1)(λ∈R).(6)平行的充要条件:a ∥b ⇔x 1=λx 2,y 1=λy 2,z 1=λz 2(λ∈R). (7)垂直的充要条件:a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0.1.概念理解(1)探求两向量的夹角时, 必须从两向量共起点来看.(2)空间向量的数量积运算律与平面向量数量积运算律保持一致. (3)向量OP u u u r的坐标是终点坐标减去起点坐标.(4)立体几何中的平行或共线问题一般可以用向量共线定理解决,求两点间距离可以用向量的模解决;解决垂直问题一般可化为向量的数量积为零;求角问题可以转化为两向量的夹角.2.与数量积及坐标运算相关联的结论(1)aa表示单位向量.(2)|a|2=a·a.(3)空间向量不满足结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c).1.在平行六面体ABCD-EFGH中,若AG u u u r=2xABu u u r+3yBCu u u r+3zHDu u u r,则x+y+z等于( D )(A)76(B)23(C)56(D)12解析:因为AG u u u r=AB u u u r+BC u u u r-HD u u u r,所以21,31,31,xyz=⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以1,21,31,3xyz⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩所以x+y+z=12.故选D.2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB u u u r,AD u u u r,1AAu u u r两两的夹角均为60°,且|AB u u u r|=1,|AD u u u r|=2,|1AAu u u r|=3,则|1ACu u u u r|等于( A )(A)5 (B)6 (C)4 (D)8解析:设AB u u u r=a,AD u u u r=b,1AAu u u r=c,则1ACu u u u r=a+b+c,21ACu u u u r=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此|1ACu u u u r|=5.故选A.3.在空间四边形ABCD中,AB u u u r·CD u u u r+AC u u u r·DB u u u r +AD u u u r·BC u u u r等于( B )(A)-1 (B)0(C)1 (D)不确定解析:如图,令AB u u u r=a,AC u u u r=b,AD u u u r=c,则AB u u u r·CD u u u r+AC u u u r·DB u u u r+AD u u u r·BC u u u r=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.考点一空间直角坐标系[例1] 在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,2,2),则|OA|= ;点A到坐标平面yOz的距离是.解析:根据空间直角坐标系中两点间的距离公式,得|OA|=()()()222-+-+-=3.102020因为A(1,2,2),所以点A到平面yOz的距离为|1|=1.答案:3 1(1)点P(x,y,z)关于各点、线、面的对称点的坐标点、线、面对称点坐标原点(-x,-y,-z)x轴(x,-y,-z)y轴(-x,y,-z)z轴(-x,-y,z)坐标平面xOy (x,y,-z)坐标平面yOz (-x,y,z)坐标平面zOx (x,-y,z)(2)两点间距离公式的应用①求两点间的距离或线段的长度;②已知两点间的距离,确定坐标中参数的值;③根据已知条件探求满足条件的点的存在性.设点M(2,1,3)是直角坐标系Oxyz中一点,则点M关于x轴对称的点的坐标为( A )(A)(2,-1,-3) (B)(-2,1,-3)(C)(-2,-1,3) (D)(-2,-1,-3)解析:点M关于x轴对称的点与点M的横坐标相同,纵坐标、竖坐标均互为相反数,所以对称点为(2,-1,-3).故选A.考点二空间向量的线性运算[例2] 在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重u u u u r.心,用基向量OA u u u r,OB u u u r,OC u u u r表示OG u u u r,MG解:OG u u u r =OA u u u r +AG u u u r=OA u u u r +23AN u u u r=OA u u u r +23(ON u u u r -OA u u u r)=OA u u u r+23[12(OB u u u r +OC u u u r )-OA u u u r]=13OA u u u r+13OB u u u r+13OC u u u r. MG u u u u r =OG u u u r -OM u u u u r=OG u u u r -12OA u u u r=13OA u u u r +13OB u u u r +13OC u u u r -12OA u u u r=-16OA u u u r+13OB u u u r+13OC u u u r. (1)选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.如本例用OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 表示OG u u u r ,MG u u u u r等,另外解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.(2)首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.所以求若干向量的和,可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和.如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N 分别是对边OA,BC 的中点,点G 在线段MN 上,且分MN 所成的比为2,现用基向量OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 表示向量OG u u u r ,设OG u u u r =x OA u u u r +y OB u u u r+z OCu u u r ,则x,y,z 的值分别是( D ) (A)x=13,y=13,z=13(B)x=13,y=13,z=16(C)x=13,y=16,z=13 (D)x=16,y=13,z=13解析:设OA u u u r =a,OB u u u r =b,OC u u u r=c, 因为G 分MN 所成的比为2,所以MG u u u u r =23MN u u u u r, 所以OG u u u r=OM u u u u r +MG u u u u r =OM u u u u r +23(ON u u u r -OM u u u u r) =12a+23(12b+12c-12a) =12a+13b+13c-13a =16a+13b+13c, 即x=16,y=13,z=13. 考点三 空间向量的数量积与坐标运算[例3] 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=AB u u u r ,b=AC u u u r,(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值;(2)若向量ka+b 与ka-2b 互相垂直,求k 的值.解:因为A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),a=AB u u u r,b=AC u u u r,所以a=(1,1,0),b=(-1,0,2). (1)cos θ=a b a b⋅=10025-++⨯=-1010,所以a 和b 的夹角θ的余弦值为-1010.解:(2)因为ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), ka-2b=(k+2,k,-4)且(ka+b)⊥(ka-2b),所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k 2-8=2k 2+k-10=0. 解得k=-52或k=2. (1)求空间向量数量积的方法①定义法.设向量a,b 的夹角为θ,则a ·b=|a||b|cos θ; ②坐标法.设a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2),则a ·b=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2. ③基向量法.将所求向量用基向量表示,再进行运算. (2)数量积的应用①求夹角.设非零向量a,b 的夹角为θ,则cos θ=a b a b⋅,进而可求两异面直线所成的角;②求长度(距离).运用公式|a|2=a ·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题;③解决垂直问题.利用a ⊥b ⇔a ·b=0(a ≠0,b ≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.1.如图,在棱长为2的正四面体A-BCD 中,E,F 分别为直线AB,CD 上的动点,且3若记EF 中点P 的轨迹为L,则|L|等于 .(注:|L|表示L 的测度,在本题,L 为曲线、平面图形、空间几何体时,|L|分别对应长度、面积、体积)解析:为了便于计算,将正四面体放置于如图的正方体中,可知,正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,设E(0,y 1,y 1),F(2,y 2,2-y 2),P(x,y,z),|EF|=()()()222121222yy y y +-+-+=3,即(y 1-y 2)2+(y 1+y 2-2)2=1,又12122,22x y y y y y z ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+-=⎪⎩即121222,2x y y y y y z ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪+-⎪⎪⎩代入上式得2222=1,即2)22)2=14,即P 的轨迹为半径为12的圆,周长为|L|=2πr=π. 答案:π2.A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足AB u u u r ·AC u u u r =0,AC u u u r ·AD u u u r =0,AB u u u r ·AD u u u r=0,M为BC 的中点,则△AMD 是( C )(A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)不确定 解析:因为M 为BC 的中点, 所以AM u u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r).所以AM u u u u r·AD u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r )·AD u u u r=12AB u u u r·AD u u u r +12AC u u u r ·AD u u u r=0.所以AM ⊥AD,即△AMD 为直角三角形. 考点四 易错辨析[例4] 如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O 是BC 的中点,点A 的坐标是(32,12,0),点D 在平面yOz 内,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.(1)求OD u u u r的坐标;(2)设AD u u u r 和BC u u u r的夹角为θ,求cos θ的值.解:(1)如图所示,过D 作DE ⊥BC,垂足为E.在Rt △DCB 中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=3.所以DE=CDsin 30°3.OE=OB-BDcos 60°=1-12=12.所以D 点坐标为(0,-12,3),即OD u u u r的坐标为(0,-12,3).解:(2)依题意,OA u u u r=(3, 12,0), OB u u u r =(0,-1,0), OC u u u r=(0,1,0),所以AD u u u r =OD u u u r -OA u u u r=(-3,-1,3),BC u u u r =OC u u u r -OB u u u r=(0,2,0).由AD u u u r 和BC u u u r的夹角为θ,得 cos θ=AD BC AD BC⋅u u u r u u u ru u u r u u u r=()()2222223301202233102022-⨯+-⨯+⨯⎛⎫⎛⎫-+-+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-10.所以cos θ=-10.解答空间向量的计算问题时,以下两点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误. (2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化.类型一 空间直角坐标系1.在四棱锥O-ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,设OA u u u r=a, OB u u u r=b,OC u u u r =c,则OD u u u r可表示为(A )(A)a+c-b (B)a+2b-c(C)b+c-a (D)a+c-2b 解析:因为OA u u u r=a,OB u u u r=b,OC u u u r=c,在▱ABCD 中,BA u u u r =OA u u u r -OB u u u r =a-b,OD u u u r - OC u u u r =CD u u u r =BA u u u r=a-b, 所以OD u u u r=OC u u u r+CD u u u r =a-b+c.故选A.2.已知空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若OP u u u r =x OA u u u r +y OB u u u r +z OC u u u r(x,y,z ∈R),则“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的( B ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 解析:当x=2,y=-3,z=2时, 即OP u u u r=2OA u u u r-3OB u u u r+2OC u u u r.则AP u u u r -AO u u u r =2OA u u u r -3(AB u u u r -AO u u u r )+2(AC u u u r -AO u u u r), 即AP u u u r=-3AB u u u r +2AC u u u r,根据共面向量定理知,P,A,B,C 四点共面; 反之,当P,A,B,C 四点共面时,根据共面向量定理, 设AP u u u r =m AB u u u r +n AC u u u r(m,n ∈R), 即OP u u u r-OA u u u r=m(OB u u u r-OA u u u r)+n(OC u u u r-OA u u u r), 即OP u u u r=(1-m-n)OA u u u r+m OB u u u r+n OC u u u r,即x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C 四点共面”的充分不必要条件.故选B.3.已知a=(2,3,1),b=(-4,2,x),且a ⊥b,则|b|= . 解析:因为a ⊥b,所以-8+6+x=0,解得x=2, 故|b|=()222422-++=26.答案:26类型二 空间向量线性运算4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量1DD u u u u r -AB u u u r +BC u u u r化简后的结果是( A )(A)1BD u u u u r (B)1D B u u u u r (C)1B D u u u u r (D)1DB u u u u r解析:根据空间向量加法的平行四边形法则,把向量平移到同一起点,得1DD u u u u r -AB u u u r +BC u u u r =BA u u u r +BC u u u r +1BB u u u r =1BD u u u u r,故选A.类型三 空间向量数量积及坐标运算5.点P 是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点,则PA u u u r·1PC u u u u r 的取值范围是(D )(A)[-1,-14] (B)[-12,-14] (C)[-1,0] (D)[-12,0] 解析:如图,以D 1为原点,以D 1C 1,D 1A 1,D 1D 方向为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则A(0,1,1),C 1(1,0,0),P(x,y,0), PA u u u r=(-x,1-y,1),1PC u u u u r=(1-x,-y,0), PA u u u r ·1PC u u u u r =(x-12)2+(y-12)2-12,(其中0≤x ≤1,0≤y ≤1),所以PA u u u r ·1PC u u u u r的取值范围是[-12,0].故选D.6.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a,点E,F 分别是BC,AD 的中点,则AE u u u r ·AF u u u r 的值为( C )(A)a 2 (B)12a 2 (C)14a 2(a 2解析:AE u u u r ·AF u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r)·12AD u u u r =14(AB u u u r ·AD u u u r +AC u u u r ·AD u u u r)=14(a 2cos 60°+a 2cos 60°)=14a 2.故选C. 7.在四棱锥P-ABCD 中,AB u u u r =(4,-2,3),AD u u u r=(-4,1,0),AP u u u r=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于( B )(A)1 (B)2 (C)13 (D)26解析:设平面ABCD 的法向量为n=(x,y,z),则,,n AB n AD ⎧⎪⎨⎪⎩u u u ru u u r ⊥⊥⇒4230,40,x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩ 令y=4,则n=(1,4,43), 则h=n AP n⋅u u u r=326833-+-=2.故选B.8.OA u u u r=(1,2,3),OB u u u r=(2,1,2),OP u u u r=(1,1,2)(其中O 为坐标原点),点Q 在OP 上运动,当QA u u u r ·QB u u u r取最小值时,点Q 的坐标为( C )(A)( 12,34,13) (B)( 12,23,34) (C)( 43,43,83) (D)( 43,43,73) 解析:设OQ u u u r =λOP u u u r=λ(1,1,2)=(λ,λ,2λ), 则QA u u u r=(1-λ,2-λ,3-2λ), QB u u u r=(2-λ,1-λ,2-2λ),QA u u u r ·QB u u u r=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10 =6(λ-43)2-23.当λ=43时,QA u u u r ·QB u u u r取得最小值,此时Q(43,43,83).故选C.9.A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足AB u u u r ·AC u u u r =0,AC u u u r ·AD u u u r =0,AB u u u r ·AD u u u r=0,则△BCD是( B )(A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)不确定 解析:BC u u u r ·BC u u u r =(AD u u u r -AB u u u r )·(AC u u u r -AB u u u r) =AD u u u r ·AC u u u r -AD u u u r ·AB u u u r -AB u u u r ·AC u u u r +2AB u u u r =2AB u u u r >0,所以cos ∠DBC>0,∠DBC 为锐角, 同理∠BDC,∠BCD 为锐角. 所以△BCD 为锐角三角形,故选B.。

第六节 空间向量及其应用考纲解读1.空间向量及其运算.（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；（3）掌握空间向量的数量积及其表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2.空间向量的应用.（1）理解直线的方向向量与平面的法向量；（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系； （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用. 命题趋势探究立体几何试题中，证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法（非向量法）证明，对于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可以用向量法解答，而且多数情况下向量法会更容易一些.预测在2015年高考对本专题的考查会在解答题中以中档题出现，分值保持在12分左右. 知识点精讲一、空间向量及其加减运算1.空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB ，其模记为a 或AB .2.零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =.模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -. 4.空间向量的加法和减法运算（1）OC OA OB a b =+=+，BA OA OB a b =-=-.如图8-152所示.（2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+，()()a b c a b c ++=++ 二、空间向量的数乘运算1．数乘运算实数λ与空间向量a 的乘积a λ称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λ与向量a 方向相同；当0λ<时，向量a λ与向量a 方向相反. a λ的长度是a 的长度的λ倍.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()a b a b λλλ+=+，()()a a λμλμ=.3.共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作//a b .4.共线向量定理对空间中任意两个向量a ，b ()0b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=. 5.直线的方向向量如图8-153所示，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线.对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA ta =+①，其中向量a 叫做直线l的方向向量，在l 上取AB a =，则式①可化为()()1OP OA t AB OA t OB OA t OA tOB =+=+-=-+②①和②都称为空间直线的向量表达式，当12t =，即点P 是线段AB 的中点时，()12OP OA OB =+，此式叫做线段AB 的中点公式. 6.共面向量如图8-154所示，已知平面α与向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，则说明向量a 平行于平面α.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.7.共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ，使p xa yb =+.推论：（1）空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(),x y ，使AP xAB y AC =+；或对空间任意一点O ，有OP OA x AB y AC -=+，该式称为空间平面ABC 的向量表达式.（2）已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）的点P 与点A ，B ，C 共面；反之也成立.三、空间向量的数量积运算1.两向量夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b ，通常规定0,a b π≤≤，如果,2a b π=，那么向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥.2.数量积定义已知两个非零向量a ，b ，则cos ,a b a b 叫做a ，b 的数量积，记作a b ⋅，即cos ,a b a b a b ⋅=.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2a a a ⋅=.3.空间向量的数量积满足的运算律： ()()a b a b λλ⋅=⋅，a b b a ⋅=⋅（交换律）； ()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）. 四、空间向量的坐标运算及应用（1）设()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则()112233,,a b a b a b a b +=+++；()112233,,a b a b a b a b -=---；Aaaα图 8-154O()123,,a a a a λλλλ=； 112233a b a b a b a b ⋅=++；()112233//0,,a b b a b a b a b λλλ≠⇒===； 1122330a b a b a b a b ⊥⇒++=.（2）设()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=---. 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.①已知()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则221a a a ==+221b b b ==+；112233a b a b a b a b ⋅=++；cos ,a b =；②已知()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则(AB x =或者(),d A B AB =.其中(),d A B 表示A 与B 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.（4）向量a 在向量b 上的射影为cos ,a b a a b b⋅=.（5）设()0n n ≠是平面M 的一个法向量，AB ，CD 是M 内的两条相交直线，则0n AB ⋅=，由此可求出一个法向量n （向量AB 及CD 已知）.（6）利用空间向量证明线面平行：设n 是平面的一个法向量，l 为直线l 的方向向量，证明0l n ⋅=，（如图8-155所示）.已知直线l （l α⊄），平面α的法向量n ，若0l n ⋅=，则//l α.（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量a ，b ，只要证明a b ⊥，即0a b ⋅=.（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.（10）空间角公式.①异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,a b a b a bθ⋅==.②线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,a n a n a nθ⋅==.③二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,n n θ=或12,n n π-（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos n n n n θ⋅=.（11）点A 到平面α的距离为d ，B α∈，n 为平面α的法向量，则AB n d n⋅=.题型归纳及思路提示题型116 空间向量及其运算思路提示空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则.一、空间向量的加法、减法、数乘运算例8.41 如图8-156所示，已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为OA ，BC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN=.解析1122OM OA a ==，()()1122ON OB OC b c=+=+，()()111222MN ON OM b c a b c a =-=+-=+-.变式1 如图8-157所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M 和N 分别是对边OA 和BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，现用基向量OA ，OB ，OC 表示向量OG ，设OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别是（ ）.A 111,,333x y z ===.B 111,,336x y z ===.C 111,,363x y z ===.D 111,,633x y z ===变式2 如图8-158所示，在四面体O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用a ，b ，c 表示）.变式3 在空间四边形ABCD 中，连接对角线,AC BD ，若BCD ∆是正三角形，且E 为其重心，则1322AB BC DE AD +--的化简结果为 . 变式4 如图8-159所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）.A 1122a b c -++ .B 1122a b c ++.C 1122a b c --+ .D 1122a b c -+二、空间共线向量定理的应用空间共线向量定理：()//0a b b a b λ≠⇔=. 利用此定理可解决立体几何中的平行问题.例8.42 已知3240m a b c =--≠，()182n x a b yc =+++，且,,a b c 不共面，若//m n ，求,x y 的值.解析 因为//m n 且0m ≠，所以n m λ=，即()()182324x a b yc a b c λ+++=--.又因为,,a b c 不共面，所以138224x y λλλ+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得138x y =-⎧⎨=⎩.二、空间向量的数量积运算121212cos ,a b a b a b x x y y z z ⋅==++；求模长时，可根据2222111a a x y z ==++求空间向量夹角时，可先求其余弦值cos ,a b a b a b⋅=.要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即0a b a b ⋅=⇔⊥.,a b 为锐角0a b ⇒⋅>；,a b 为钝角0a b ⇒⋅<.由此，通常通过计算a b ⋅的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角.例8.43 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，AE ⋅AF 的值为（ ）..A 2a .B 21.2B a 21.4C a 23.4D a 解析 依题意，点,EF 分别是,BC AD 的中点，如图8-160所示，AE ⋅AF ()1122AB AC AD =+⋅()14AB AD AC AD =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a =︒+︒=. 故选C .变式1 如图8-161所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=︒，且11A A AB AD ===，则1AC = .变式2 如图8-162所示，设,,,A B C D 是空间不共面的4个点，且满足0AB AC ⋅=，0AD AC ⋅=，0AD AB ⋅=，则BCD ∆的形状是（ ）..A 钝角三角形 .B 直角三角形 .C 锐角三角形 .D 无法确定例8.44 如图8-163所示，在45︒的二面角l αβ--的棱上有两点,A B ，点,C D 分别在,αβ内，且AC AB ⊥，45ABD ∠=︒，1AC BD AB ===，则CD 的长度为 . 分析 求CD 的长度转化为求空间向量CD 的模.解析 因为CD CA AB BD =++，故()22CD CA AB BD =++ 222222CA AB BD CA AB AB BD CA BD =+++⋅+⋅+⋅1110211cos1352CA BD =++++⨯⨯⨯︒+⋅，设点C 在β内的射影为H ，则HA AB ⊥，,135HA BD =︒.故()CA BD CH HA BD CH BD HA BD⋅=+⋅=⋅+⋅10cos1351cos 45cos1352HA BD =+︒=⨯︒︒=-.故22CD =，则2CD =-变式1 已知二面角l αβ--为60︒，动点,P Q 分别在面,αβ内，P 到βQ 到α的距离为,P Q 两点之间距离的最小值为（ ）..2B C .4D变式2 在直角坐标系中，设()3,2A ，()2,3B --，沿y 轴把坐标平面折成120︒的二面角后，AB 的长为（ ）.A B C D例8.45 如图8-164所示，设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，记11D PD Bλ=.当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围. 解析 由题设可知，以1,,DA DC DD 为单位正交基底，建立如图8-165所示的空间直角坐标系D xyz -，则有()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D . 由()11,1,1D B =-，()11,,D P D B λλλλ==-，()()()111,0,1,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC DC D P λλλλλλ=-=---=---. 显然APC ∠不是平角，所以APC ∠为钝角，cos cos ,0PA PC APC PA PC PA PC⋅∠==<，等价于0PA PC ⋅<，即()()()()()21110λλλλλ--+--+-<，得113λ<<.因此，λ的取值范围是1,13⎛⎫⎪⎝⎭.评析 利用向量知识将APC ∠为钝角转化为cos ,0PA PC <求解是本题的关键. 变式1 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在线段1BD 上，当APC ∠最大时，三棱锥P ABC -的体积为（ ）.1.24A 1.18B 1.9C 1.12D 例8.46 如图8-166所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（ ）.解析 取AD 的中点O ，以OA 为x 轴，垂直于OA 的OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系如图8-167所示.设(),,0M x y ，正方形的边长为a ，30,0,2P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,,02a C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()222a MC x y a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭22234MP x y a =++，MP MC =， 得()22222324a a x y a x y ⎛⎫++-=++ ⎪⎝⎭，即202a x y -+=.所以点M 在正方形ABCD 内的轨迹为一条线段，且过D 点和AB 的中点.故选A .评注 本题利用空间线面位置关系求解也很快.由题意知空间内与两定点距离相等的点均在线段中垂面内，即M 在线段PC 的中垂面内.又M 为底面ABCD 内一动点，则M 的轨迹为两平面的交线落在底面内的部分，排除C 、D .又BP BC >，故排除B .故选A .变式1 到两互相垂直的异面直线距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）..A 直线 .B 椭圆 .C 抛物线 .D 双曲线变式2 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离，已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是点P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（ ）..33A -.33B -.63C .3D 题型117 空间向量在立体几何中的应用思路提示用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离.因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单.用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算.一、证明三点共线（如A ，B ，C 三点共线）的方法先构造共起点的向量AB ，AC ，然后证明存在非零实数λ，使得AB AC λ=. 例8.47 如图8-168所示，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，点M 为1DD 的中点，点N 在AC 上，且:2:1AN NC =，点E 为BM 的中点.求证：1A ，E ，N 三点共线.解析 以D 为坐标原点建立空间直角坐标系-D xyz ，如图8-169所示.不妨设DA a =，DC b =，1DD c =，则0,0,2c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),,0B a b ，,,224a b c E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,A a c ，2,,033a b N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则13,,224a b c A E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，122,,33a b A N c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为1143A N A E =，故1A ，E ，N 三点共线.变式1 在正方体1111ABCD A B C D -中，E ,F 分别为棱1AA 和1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ ）..A 不存在 .B 有且只有两条 .C 有且只有三条 .D 有无数条变式2 如图8-170所示，在空间四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB 和CD 的中点，P 为线段MN 的中点，Q 为BCD ∆的重心.求证：,,A P Q 三点共线.二、证明多点共面的方法要证明多点（如A ，B ，C ，D ）共面，可使用以下方法解题.先作出从同一点出发的三个向量（如AB ，AC ，AD ），然后证明存在两个实数,x y ，使得AD x AB y AC =+.例8.48 如图8-171所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，90BAD FAB ∠=∠=︒，1//2BC AD ，1//2BE AF .求证：,,,C D E F 四边共面. 解析 由平面ABEF ⊥平面ABCD ，又AF AB ⊥，平面ABEF 平面ABCD AB =， 得AF ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，如图8-172所示.设AB a =，BC b =，BE c =，则(),0,0B a ，(),,0C a b ，()0,2,0D b ，(),0,E a c ， ()0,0,2F c .()0,,CE b c =-，()0,2,2DF b c =-，因为2DF CE =，所以//DF CE ，则 ,CE DF 确定一个平面，即,,,C D E F 四点共面.变式 1 如图8-173所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -，,,,E F G H 分别是棱11111,,,A D D C C C AB 的中点.求证：,,,E F G H 四点共面.三、证明直线和直线平行的方法将证线线平行转化为证两向量共线.设,a b 是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为,a b ，则()//,0a b a b R λλλ⇔=∈≠.例8.49 如图8-174所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，MN 是异面直线1A D 与AC 的公垂线段.求证：1//MN BD .解析 以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图8-175所示.设正方体的棱长为a ，则()1,0,A a a ，(),0,0A a ，()0,,0C a ，(),,0B a a ，()10,0,D a .设(),,z MN x y =，由MN 是异面直线1A D 与AC 的公垂线段，得1MN A D ⊥， MN AC ⊥，又()1,0,A D a a =--，(),,0AC a a =-，故100MN A D MN AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，00ax az ax ay --=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1z =-，1y =，所以()1,1,1MN =-，()1,,BD a a a aMN =--=-，即 1//BD MN .因此1//MN BD .四、证明直线和平面平行的方法（1）利用共面向量定理.设,a b 为平面α内不共线的两个向量，证明存在两个实数,x y ，使得l xa yb =+，则//l α.（2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行.（3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）.例8.50 如图8-176所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，//AB DC ，E 是DC 的中点.求证：1//D E 平面1A BD .解析 因为11D E DE DD =-，11DD AA =，E 是DC 的中点，12DE DC AB ==，所以111D E AB AA A B =-=.又因为1D E ⊄平面1A BD ，11//D E A B ，所以1//D E 平面1A BD .评注 利用空间向量证明线面平行，已知直线的方向向量为a ，只要在平面内找到一条直线的方向向量为b ，问题转化为证明a b λ=即可.变式1 如图8-177所示，已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是PA 、 BD 上的点，且::5:8PM MA BN ND ==.求证：直线//MN 平面PBC .五、证明平面与平面平行的方法（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行.（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）.例8.51 如图8-178所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是11111,,C C B C C D 的中点.求证：平面//MNP 平面1A BD .解析 解法一：以1D 为坐标原点，11D A 为x 轴，11D C 为y 轴，1D D 为z 轴，建立空间直角坐标系1D xyz -，如图8-179所示.设正方体的棱长为a ，则()1,0,0A a ，()0,0,D a ，()10,,0C a ，()0,,C a a ，()1,,0B a a ，0,,2a M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,02a P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a N a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,A D a a =-，11,0,222a a MN A D ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以1//MN A D ，即1//MN A D ，(),,0BD a a =--，1,,0222a a PN BD ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以//PN BD ，即//PN BD .因为MN PN N =，1A D BD D =，所以平面//MNP 平面1A BD .解法二：设平面MNP 的法向量为()1111,,n x y z =，由1MN n ⊥，1PN n ⊥，得1111022022a a x z a a x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令11z =，得111111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以()11,1,1n =-.设平面1A BD 的法向量为()2222,,n x y z =，由12A D n ⊥，2BD n ⊥，得222200ax az ax ay -+=⎧⎨--=⎩，令21z =，得222111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 所以()21,1,1n =-.因为12//n n ，所以平面//MNP 平面1A BD .变式1 如图8-180所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是11111,,A D D D D C 的中点.求证:平面//EFG 平面1AB C .六、证明直线与直线垂直的方法设直线12,l l 的方向向量为,a b ，则a b ⊥0a b ⇔⋅=.这里要特别指出的是，用向量法证明两直线尤其是两异面直线垂直是非常有效的方法.例8.52 如图8-181所示，四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，2CD =，AB AC =.求证：AD CE ⊥.分析 平面ABC ⊥平面BCDE ，在平面ABC 内作AO BC ⊥AO ⇒⊥平面BCDE ，以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系.解析 作AO BC ⊥，垂足为O ，则AO ⊥平面BCDE ，且O 为BC 的中点，以O 为坐标原点，OC 为x 轴，建立如图8-182所示的直角坐标系O xyz -.设()0,0,A a ，由已知条件知()1,0,0C ，()1,2,0D ，()1,2,0E -，()2,2,0CE =-，()1,2,AD a =-.因为0CE AD=⋅，所以CE AD ⊥。

题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体空间向量的坐标运算高考要求要使学生理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式通过解题，会应用空间向量的坐标运算解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题 知识点归纳1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3．空间向量的直角坐标运算律： （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+5．夹角公式：21cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+． 6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==或,A B d =题型讲解例1 已知AB =（2，2，1），AC =（4，5，3），求平面ABC 的单位法向量 解：设面ABC 的法向量(,,)n x y z =，则n ⊥且n ⊥，即n ·=0，且n ·=0，即2x +2y +z=0且4x +5y +3z=0，解得1,2,x z y z ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴n =z （21，－1，1），单位法向量0||n n n ==±（31，－32，32） 点评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n 的某个坐标设为1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解例2 已知A （3，2，1）、B （1，0，4），求： （1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到A 、B 两点距离相等的点P （x ，y ，z ）的坐标满足的条件 解：（1）设P （x ，y ，z ）是AB 的中点，则OP =21（OA +OB ）=21［（3，2，1）+（1，0，4）］=（2，1，25），∴点P 的坐标是（2，1，25），d AB =222)14()20()31(-+-+-=17 （2）设点P （x ，y ，z ）到A 、B 的距离相等，则222)1()2()3(-+-+-z y x =222)4()1(-++-z y x化简得4x +4y －6z +3=0（线段AB 的中垂面方程，其法向量的坐标就是方程中x,y,z 的系数），即为P 的坐标应满足的条件点评：空间两点P 1（x 1，y 1，z 1）、P 2（x 2，y 2，z 2）的中点为（221x x +，221y y +，221z z +），且|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-例3 棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？解：以D 为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P （0，0，z ），AP =（－a ，0，z ）， AC =（－a ，a ，0），1DB =（a ，a ，a ）， ∵B 1D ⊥面P AC ，∴1DB ·AP =0，1DB ·AC =0∴－a 2+az =0∴z =a ，即点P 与D 1重合∴点P 与D 1重合时，DB 1⊥面P AC例 4 在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，AC =2，BC =13，SB =29（1）求证：SC ⊥BC ；（2）求SC 与AB 所成角的余弦值解法一：如图，取A 为原点，AB 、AS 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，则有AC =2，BC =13，SB =29， 得B （0，17，0）、S （0，0，23）、C （21713，174，0）， ∴SC =（21713，174，－23），CB =（－21713，1713，0） （1）∵SC ·CB =0，∴SC ⊥BC （2）设SC 与AB 所成的角为α，∵AB =（0，17，0），SC ·AB =4，|SC || AB |=417，∴cos α=1717，即为所求 解法二：（1）∵SA ⊥面ABC ，AC ⊥BC ，AC 是斜线SC 在平面ABC 内的射影，∴SC ⊥B C （2）如图，过点C 作CD ∥AB ，过点A 作AD ∥BC 交CD 于点D ，连结SD 、SC ，则∠SCD 为异面直线SC 与AB 所成的角∵四边形ABCD 是平行四边形，CD =17，SA =23，SD =22AD SA +=1312+=5，∴在△SDC 中，由余弦定理得cos ∠SCD =1717，即为所求 点评：本题（1）采用的是“定量”与“定性”两种证法题（2）的解法一应用向量的数量积直接计算，避免了作辅助线、平移转化的麻烦，但需建立恰当的坐标系；解法二虽然避免了建系，但要选点、平移、作辅助线、解三角形例5 如图，直棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点 （1）求BN 的长；（2）求cos 〈1BA ，1CB 〉的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M（1）解：如图建立坐标系，依题意得B （0，1，0），N （1，0，1）， ∴｜BN ｜=222)01()10()01(-+-+-=3（2）解：A 1（1，0，2），B （0，1，0），C （0，0，0），B 1（0，1，2）， ∴1BA =（1，－1，2），1CB =（0，1，2）， ∴1BA ·1CB =3，｜1BA ｜=6，｜1CB ｜=5 ∴cos 〈1BA ，1CB 〉=1111||||BA CB BA CB ⋅=1030（3）证明：∵C 1（0，0，2），M （21，21，2）， ∴1A B =（－1，1，－2），1C M =（21，21，0），∴1A B ·1C M =0，∴A 1B ⊥C 1M例6 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点 （1）证明AD ⊥D 1F ； （2）求AE 与D 1F 所成的角； （3）证明面AED ⊥面A 1D 1F 解：取D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2， 则A （2，0，0）、A 1（2，0，2）、 D 1（0，0，2）、E （2，2，1）、F （0，1，0）（1）∵DA ·1D F =（2，0，0）·（0，1，－2）=0，∴AD ⊥D 1F （2）∵AE ·1D F =（0，2，1）·（0，1，－2）=0，∴AE ⊥D 1F ，即AE 与D 1F 成90°角（3）∵DE ·1D F =（2，2，1）·（0，1，－2）=0，∴DE ⊥D 1F ∵AE ⊥D 1F ，∴D 1F ⊥面AE D ∵D 1F 面A 1D 1F ，∴面AED ⊥面A 1D 1F点评：①通过建立空间直角坐标系，点用三维坐标表示，向量用坐标表示，进行向量的运算，轻而易举地解决立体几何问题，不需要添加辅助线一个需要经过严密推理论证的问题就这样被简单机械的运算代替了②本题是高考题，标准答案的解法较为复杂，而运用代数向量求解则轻而易举，充分显示出代数化方法研究几何图形的优越性，这应作为立体几何复习的一个重点去掌握通过坐标法计算数量积去证垂直，求夹角、距离，是高考的重点例7 如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底边长为a,侧棱长为2a建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角分析：（1）所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算，（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之 解：（1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a,0） A 1（0，0，2a),C 1（-23a,a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ，于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1则有13(,0,0)MC =-(0,,0)AB a =，1(0,02)AA a =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角13(,2)22a AC a a =-，(0,2)2aAM a =， ∴2194a AC AM ⋅=,而|13||3,||2AC a AM a ==由cos<1,AC AM >=113||||AC AM AC AM ⋅=,∴ <1,AC AM >=30°解法二： 13(,2)22aAC a a =-， A BCA 1B 1C 1MzyxA BCA 1B 1C 1Mzyx平面ABB 1A 1的一个法向量(1,0,0)n =- ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角θ的正弦为：1sin cos ,AC n θ=<>=1112||||AC n AC n ⋅=∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°例8 棱长为2的正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，E 、F 分别是C 1C 和D 1A 1的中点，（1）求EF 长度；（2）求<,AB EF >；3）求点A 到EF 的距离分析：一般来说，与长方体的棱或棱上的点有关的问题，建立空间直角坐标系比较方便，适当建立坐标系后，正确地写出相关点的坐标及向量然后进行运算即可得解 解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴， y 轴，z 轴建立直角坐标系，则A （2，0，0），B （2，2，0）， E （0，2，1），F （1，0，2） 由此可得：AB =（0，2，0），EF =（1，-2，1）FA =（1，0，-2），|AB |=2，|FA |=5，AB EF ⋅= - 4, FA EF ⋅=1-2=-1， 所以（1）||EF =6 （2）c os<,AB EF >=||||AB EFAB EF ⋅=-36,所以<,AB EF >=π-arcc os 36 (3)FA 在EF 上的射影的数量FA c os<,FA FE >=||FA FE FE ⋅=61∴ A 到EF 的距离21||(6FA -= 点评：点到直线的距离的向量求法，就是先求出该点与直线上某点连线在直线上的射影，再用勾股定理求对应的距离例9 平面ABCD ⊥平面ABEF ，ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且,21a AD AF ==G 是EF 的中点，（1）求证平面AGC ⊥平面BGC ；（2）求GB 与平面AGC 所成角正弦值； （3）求二面角B —AC —G 的大小解：如图，以A 为原点建立直角坐标系， 则A （0，0，0），B （0，2a ，0），C （0，2a ，2a ）， G （a ，a ，0），F （a ，0，0）（1）证明：(,,0),(0,2,2)AG a a AC a a ==，(,,0),(0,0,2)BG a a BC a =-=，设平面AGC 的法向量为111(,,1)n x y =， 设平面BGC 的法向量为222(1,,)n y z =，∴120n n ⋅= 即 12n n ⊥ ∴平面AGC ⊥平面BGC ； （2）由⑴知平面AGC 的法向量为1(1,1,1)n =-(,,0),(0,0,2)BG a a BC a =-=，∴||sin ||||2BG n BG n a θ⋅===⋅⋅（3）因1(1,1,1)n =-是平面AGC 的法向量，又AF ⊥平面ABCD ， 平面ABCD 的法向量(,0,0)AF a =， 得11|||cos |||||3n AF n AF θ⋅===⋅∴二面角B —AC —G 的大小为求平面法向量的另一种方法：由 A （0，0，0），B （0，2a ，0），C （0，2a ，2a ）， G （a ，a ，0），F （a ，0，0） 设平面AGC 的方程为：11110A x B y C z D +++=则11111111111111111111100000000,002200A B C D D A a B a C D A B A C B D A aB aC D B C +++==⎧⎧⎪⎪+++=⇒+=⇒==-=⎨⎨⎪⎪+++=+=⎩⎩ ∴平面AGC 的法向量为11111(,,)(1,1,1)n A B C A ==- 设平面BGC 的方程为：22220A x B y C z D +++=则222222222222222222222220200200220220,0000A aBCD aB D A aB aC D aB aC D B A C aA aB C D aA aB D +++=+=⎧⎧⎪⎪+++=⇒++=⇒==⎨⎨⎪⎪+++=++=⎩⎩∴平面BGC 的法向量为12222(,,)(1,1,0)n A B C A ==点评：①平面平行于哪一个轴，其法向量的对应坐标就是0；②平面经过原点时平面方程中的常数项等于0； ③平面法向量的两种求法的区别 小结：1运用空间向量的坐标运算解决几何问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合公式进行论证、计算，最后转化为几何结论2本节知识是代数化方法研究几何问题的基础，向量运算分为向量法与坐标法两类，以通过向量运算推理，去研究几何元素的位置关系为重点利用两个向量（非零）垂直⇔数量积为零，可证明空间直线垂直；利用数量积可计算两异面直线的夹角，可求线段的长度；运用共面向量定理可证点共面、线面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求点面距、线面角、异面直线的距离等 学生练习1若a =（2x ，1，3），b =（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则 A x =1，y =1 B x =21，y =－21 C x =61，y =－23 D x =－61，y =23解析：∵a =（2x ，1，3）与b =（1，－2y ，9）共线，故有12x=y 21-=93 ∴x =61，y =－23应选C 答案：C 2在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ）A3 B2 C1 D0 解析：P 关于x 轴的对称点为P 1（x ，－y ，－z ），关于yOz 平面的对称点为P 2（－x ，y ，z ），关于y 轴的对称点为P 3（－x ，y ，－z ）故①②③错误 答案：C3已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是A1B51C53 D57 解析：k a +b =k （1，1，0）＋（－1，0，2）=（k －1，k ，2），2a －b =2（1，1，0）－（－1，0，2）=（3，2，－2）∵两向量垂直，∴3（k －1）＋2k －2×2=0∴k =57答案：D 4设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为A （41，41，41） B （43，43，43）C （31，31，31）D （32，32，32） 解析：∵OG =43 1OG = 43（OA +1AG ）=43OA + 43·32［21（AB +AC ）］=43OA +41［（OB －OA ）+（OC －OA ）］=41OA + 41OB + 41OC ，而OG =x OA +y OB +z OC ，∴x =41，y =41，z =41答案：A5在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角为Aarccos23 Barccos1010 Carccos53 Darccos 52 解：建立坐标系，把D 点视作原点O ，分别沿DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，则A （1，0，0），M （1，21，1），C （0，1，0），N （1，1，21） ∴AM =（1，21，1）－（1，0，0）=（0，21，1），CN =（1，1，21）－（0，1，0）=（1，0，21）故AM ·CN =0×1+21×0+1×21=21，|AM |=2221)21(0++= 25，|CN |=222)21(01++=25∴cos α=||||AM CNAM CN ⋅=252521⋅=52∴α=arccos 52答案：D 6已知空间三点A （1，1，1）、B （－1，0，4）、C （2，－2，3），则AB 与CA 的夹角θ的大小是_________解析：AB =（－2，－1，3），CA =（－1，3，－2）， cos 〈AB ，CA 〉=1414)2(33)1()1()2(⋅-⨯+⨯-+-⨯-=147-=－21， ∴θ=〈AB ，CA 〉=120° 答案：120°7已知点A （1，2，1）、B （－1，3，4）、D （1，1，1），若AP =2PB ，则|PD |的值是__________解析：设点P （x ，y ，z ），则由AP =2PB ，得（x －1，y －2，z －1）=2（－1－x ，3－y ，4－z ），即1,3122,8262,,3182,3,x x x y y y z z z ⎧=-⎪-=--⎧⎪⎪⎪-=-=⎨⎨⎪⎪-=-⎩=⎪⎪⎩解得则|PD |=222)13()138()131(-+-+--=377答案： 3778设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，求a 的值解：PA =（－1，－3，2），PB =（6，－1，4） 根据共面向量定理，设PC =x PA +y PB （x 、y ∈R ），则（2a －1，a +1，2）=x （－1，－3，2）+y （6，－1，4）=（－x +6y ，－3x －y ，2x +4y ），∴⎪⎩⎪⎨⎧+=--=++-=-.422,31,612y x y x a y x a 解得x =－7，y =4，a =16 另法：先求出三点确定的平面方程，然后代入求a 的值9已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，P 、Q 分别是BC 、CD 上的动点，且|PQ |=2，建立坐标系，把D 点视作原点O ，分别沿DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，（1）确定P 、Q 的位置，使得B 1Q ⊥D 1P ；（2）当B 1Q ⊥D 1P 时，求二面角C 1—PQ —A 的大小解：（1）设BP =t ，则CQ =2)2(2t --，DQ =2－2)2(2t --∴B 1（2，0，2），D 1（0，2，2），P （2，t ，0），Q （2－2)2(2t --，2，0）， ∴1QB =（2)2(2t --，－2，2），1PD =（－2，2－t ，2） ∵B 1Q ⊥D 1P 等价于1QB ·1PD =0， 即－22)2(2t --－2（2－t ）+2×2=0， 整理得2)2(2t --=t ，解得t =1此时，P 、Q 分别是棱BC 、CD 的中点，即P 、Q 分别是棱BC 、CD 的中点时，B 1Q ⊥D 1P ；（2）二面角C 1—PQ —A 的大小是π－arctan2210已知三角形的顶点是A （1，－1，1），B （2，1，－1），C （－1，－1，－2）试求这个三角形的面积解：S ABC ∆=21|AB ||AC |sin α，其中α是AB 与AC 这两条边的夹角 则S ABC ∆=21|AB ||AC |α2cos 1- =21|AB ||AC |2)||||ABAC =21在本题中，AB =（2，1，－1）－（1，－1，1）=（1，2，－2），AC =（－1，－1，－2）－（1，－1，1）=（－2，0，－3），∴|AB |2=12+22+（－2）2=9， |AC |2=（－2）2+02+（－3）2=13，AB ·AC =1·（－2）+2·0+（－2）·（－3）=－2+6=4， ∴S ABC ∆=2124139-⨯=210111证明正三棱柱的两个侧面的异面对角线互相垂直的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为2∶1证明：如图，以正三棱柱的顶点O 为原点，棱OC 、OB 为y 轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱底面边长与棱长分别为2a 、b ，则A （3a ，a ，b ）、B （0，0，b ）、C （0，2a ，0）因为异面对角线OA ⊥BC ⇔·BC =0⇔（3a ，a ，b ）·（0，2a ，－b ）=2a 2－b 2=0⇔b =2a ，即2a ∶b =2∶1，所以OA ⊥BC 的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为2∶112如图，ABCD 是边长为a 的菱形，且∠BAD =60°，△P AD为正三角形，且面P AD ⊥面ABCD（1）求cos 〈，〉的值；（2）若E 为AB 的中点，F 为PD 的中点，求||的值；（3）求二面角P —BC —D 的大小 解：（1）选取AD 中点O 为原点，OB 、AD 、OP 所在直线A分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，－2a，0），B （23a ，0，0），P （0，0，23a ），D （0，2a，0） ∴AB =（23a ，2a ，0），PD =（0，2a，－23a ），则cos 〈AB ，PD 〉=||||AB PDAB PD⋅00()a a +⨯+⨯41（2）∵E 、F 分别为AB 、PD 的中点， ∴E （43 a ，－4a ，0），F （0，4a ，43a ） 则|EF=410a （3）∵面P AD ⊥面ABCD ，PO ⊥AD ，∴PO ⊥面ABCD∵BO ⊥AD ，AD ∥BC ，∴BO ⊥BC 连结PB ，则PB ⊥BC ，∴∠PBO 为二面角P —BC —D 的平面角 在Rt △PBO 中，PO =23a ，BO =23a ， ∴tan ∠PBO =BO PO =a a2323=1则∠PBO =45°故二面角P —BC —D 的大小为45° 课前后备注。