2018上海中学数学自主招生试卷及答案
1. 因式分解：326114x x x -++= 【答案】(1)(34)(21)x x x --+ 【解析】有理根法，有理根p
c q
=
，分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数。 2. 设0a b >>，224a b ab +=，则a b
a b
+=- 【答案】3
【解析】左右同除以ab ，然后采用换元法；或者采用下面的方式
3. 若210x x +-=，则3223x x ++= 【答案】4
【解析】采用降幂来完成；
4. 已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c
a
+= 【答案】2
【解析】同除以a ，然后采用换元法
()2
2
440b c b c a a ++-+=
5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜 色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 【答案】
4
9
【解析】难度简单，直接为2/3的平方
6. 直线:33l y x =-+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆， 则点C 的坐标是 【答案】33
(,
)2 【解析】采用画图的方法解决
7. 一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是 【答案】
454
【解析】
8. 任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2
n
），如果n 是奇数，则将它乘以3
加1（即31n ），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上 述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为 【答案】128、2、16、20、3、21 【解析】
9. 正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为
【答案】22cm 【解析】
10. 已知212(4)(4)y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，至少有一个是正数，则m 的取值范围为 【答案】4m < 【解析】
11. 已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：
222
()()()()()()()()()
x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------
【答案】1 【解析】
备注：此题类比于这上面的做法，可以将x=a ，代入进行验证和计算；
12. 已知实数a 、b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是 【答案】133
t -≤≤- 【解析】
13.（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒.
【答案】（1）51+；（2）51
-
【解析】
14.（1）32()f x x ax bx c =+++，0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围； （2）432()f x x ax bx cx d =++++，(1)10f =，(2)20f =，(3)30f =，求(10)(6)f f +-. 【答案】（1）69c <≤；（2）8104 【解析】
（1）由于0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤得，
18422793a b c a b c a b c -+-+=-+-+=-+-+
（2）
15. 我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2） 类似给出背景知识：
平面:0Ax By Cz d α+++=； 球：2222()()()x a y b z c R -+-+-=；
点(,,)a b c 到平面:0Ax By Cz d α+++=的距离公式：2
2
2
d A B C
=
++；
球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R > 时，球与平面相离；
问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值； 问题（21
12()2
x y z x y z --=++.
【答案】（1）
1
3
；（2）
1
2
3
x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
【解析】
（1）代入消元来完成；
（2）
附：
1. 因式分解：32
6114
x x x
-++=
2. 设0
a b
>>，224
a b ab
+=，则
a b
a b
+
=
-
3. 若210
x x
+-=，则32
23
x x
++=
4. 已知2
1
()()()
4
b c a b c a
-=--，且0
a≠，则
b c
a
+
=
5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是
6. 直线:33
l y x
=-+x、y轴交于点A、B，AOB
∆关于直线AB对称得到ACB
∆，则点C的坐标是
7. 一张矩形纸片ABCD，9
AD=，12
AB=，将纸片折叠，使A、C两点重合，折痕长是
