出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 例4 已知1cos sin 2
2
=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．
解：方程可化为1cos 1sin 122=+α
αy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1
cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)4
3
,2(ππα∈．
说明：(1)由椭圆的标准方程知
0sin 1>α，0cos 1
>-α
，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，α
sin 12
=b ． (3)求α的取值范围时，应注
意题目中的条件πα<≤0
例5 已知动圆P 过定点()03，
-A ，且在定圆()64322
=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．
解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，
即定点()03，
-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，
半长轴为4，半短轴长为7342
2
=-=b 的椭圆的方程：
17
162
2=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
题型二 .焦半径及焦三角的应用
例1 已知椭圆方程()0122
22>>=+b a b
y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P
是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 2
1
=
∆求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知：2
2
1F F 2
221PF PF +=12PF -·2
2
4cos c PF =α．① 由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②， 则－①②2
得：α
cos 122
21+=⋅b PF PF ． 故αsin 2
1212
1PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=
b 2tan 2α
b =．
例2 已知椭圆15
92
2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；
分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代
数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．
解：如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=
AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，
22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．
由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当
22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．
建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,022
2y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)214
15
75,2141579(2
-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+
．
题型三 参数方程应用
例1 求椭圆13
22
=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值． 解：椭圆的参数方程为⎩⎨
⎧==.
sin cos 3θθy x ，
设椭圆上的点的坐标为
(
)
θθsin cos 3，，则点到直线的
