正定矩阵及其应用

本科毕业论文(设计)正定矩阵及其应用学生：学号：专业：指导老师：答辩时间：装订时间：A Graduation Thesis(Project)Submitted to School of Science，Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2016Positive definite matrices and their applicationsStudent Name: Student No.:Specialty:s Supervisor:Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:摘要矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用.关键词：矩阵正定二次型正定矩阵极值AbstractThe matrix is very important in advanced algebra. It is not only an important branch, but also have become a powerful tool for studying finite dimensional space and quantity r- elationship in the real of modern science and technology. However , extending from the m- atrices, the positive definite matrix is a special matrix, which is a foundation for studying quadratic form and apply properly to both functions and inequality. Thus, its special prop- erty and wide applications have drawn scholars'attention, and a lot of research have been done. This paper begins with the matrix'primary concept and properties, going from the e- asy to the difficult. We define the positive definite matrix and its equivalent one, the sum up its properties and partial evidence, and summarize the determined theorems. At last, we study its application in theory and the solution of the function extremum.Keywords: matrix，positive definite quadratic，positive definite matrix，extremum目录摘要IAbstractII1绪论11.1 课题背景11.2 课题研究的目的和意义11.3 国外研究概况22 预备知识32.1 矩阵32.2二次型53正定矩阵83.1正定二次型83.2正定矩阵的判定定理94正定矩阵的应用134.1正定矩阵的相关命题134.2正定矩阵在函数极值中的应用15总结与展望18致201绪论我们知道矩阵是高等代数中非常重要的容之一. 在学习高等代数时，矩阵方面的知识也经常被用到. 而正定矩阵又是矩阵中的重点，它不单单用来解决数学中的问题，还应用于许多的科学领域. 本课题阐述了正定矩阵研究背景、正定矩阵的研究的目的和意义、正定矩阵的现状以及发展方向，明确指出了研究正定矩阵应用所面临的问题.1.1 课题背景正定矩阵作为一类常用矩阵，对它的研究最早出现在二次型中. 它也是从正定二次型中抽象出来的一个概念，有了正定矩阵的概念后，解决二次型的问题就变得简单方便. 不仅在代数学中应用广泛，在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用. 因此它的性质、定理以及应用问题一直备受学者关注. 而在实际生活问题中也经常出现一些相关数学问题，而用正定矩阵解决问题可能会更方便简洁一点. 这就需要我们研究正定矩阵的应用，如正定矩阵在四则运算、在函数极值、在不等式中的应用. 因此可以使得我们可以更好地使用正定矩阵这一重要工具. 本文通过对正定矩阵的理解和掌握，查阅各种相关资料，对正定矩阵及其相关知识点进行归纳总结，并且由此给出了正定矩阵在四则运算和函数极值及中的应用.根据课题研究容和手中相关文献资料，了解课题研究现状，学习掌握相关理论基础知识，并进行初步研究，撰写开题报告.1.2 课题研究的目的和意义矩阵是代数中一个非常重要的概念，是研究和解决数学问题的一个重要工具. 而正定矩阵是一类非常重要的矩阵，在矩阵中扮演着重要的角色，因此是我们学习矩阵时不可忽略的重点. 本文对我们对数学感兴趣的学生深入理解和掌握正定矩阵理论有非常重要的意义. 能够加强我们对正定矩阵的掌握，也可以促进正定矩阵理论的进一步完善，丰富正定矩阵的应用，加强我们对正定矩阵的理解，丰富矩阵的理论知识. 有助于我们对整个高等代数知识的一体化的认识. 从而可以培养我们对代数知识的串联思想. 正定矩阵多方面的应用，能够开阔我们的视野，加强我们的联想能力，引起我们对数学的探究欲望，对知识的渴望.研究矩阵的正定性，在代数理论和应用中具有重要意义. 正定矩阵不仅在数学方面，在其他各个领域都具有广泛的应用价值，因此引起了学者们极大的研究兴趣. 这些研究不断丰富了正定矩阵的理论知识，也引起了我们对正定矩阵的兴趣.1.3 国外研究概况随着数学的影响力越来越大，矩阵对数学的研究也显得越来越重要. 在代数方面，正定矩阵也同样占有非常重要的地位. 因此人们对正定矩阵的研究也越来越广泛. 因而对正定矩阵的理解和应用也越来越深入，其应用围也越来越广泛. 在函数学、几何学、经济学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用.在历史上，正定矩阵的相关研究最早出现在二次型和Hermite型中. 但是当时对于的正定矩阵局限于对实对称矩阵或者Hermite矩阵. 1970年，Johnson引入了不再局限于对实对称矩阵或者Hermite矩阵实对称矩阵的概念. 他给出了正定矩阵较为广义的定义. 1985年，炯生也给出了正定矩阵较为广义的定义. 1984年，佟文廷再次将正定矩阵的定义进行了推广. 他给出了推广正定矩阵的各种定义. 1988年，夏长富将实对称矩阵的正定性做了深入推广. 他又进一步极大的丰富了正定矩阵的理论. 1990年，屠伯埙将各类广义正定矩阵进行深度结合. 他重新定义了广义正定矩阵，将它称之为亚正定矩阵. 在研究正定矩阵的过程中，许多学者取得了惊人的理论成果，其成果也得到了广泛的应用. 除了对正定矩阵的研究，许多学者还对正定矩阵相关容进行了研究，同样取得了巨大的成就. 近年来，在完善正定矩阵理论成果的历史中，得出了许多其他的概念和定理，将各类正定阵统一起来. 这些新的研究成果对完善正定矩阵的理论和其应用具有非常大的价值.虽然对正定矩阵的研究这么广泛，但是这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面. 它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.2 预备知识2.1 矩阵定义2.1.1 由n m ⨯个数),2,1,,2,1(n j m i a ij ==；排成的m 行n 列的数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211， 称为n m ⨯矩阵，记作.n m ij a A ⨯=）（ 特殊地，当n m =时，矩阵称为方阵.定义2.1.2 把一矩阵A 的行列互换，所得到的矩阵称为A 的转置. 记为T A (或者记为'A ).即， 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211，所谓A 的地转置就是指矩阵.212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sn n n s s T a a a a a a a a a A 显然，n s ⨯矩阵的转置是s n ⨯矩阵，即n s ij a A ⨯=）（，则.s n ij a A ⨯=）（ 转置矩阵满足以下运算规律()()()().T T TT T T T T TT kA kA A B AB B A B A A A ==+=+=，，，定义2.1.3 数域P 上的n n ⨯矩阵A 称为对称矩阵，如果T A A =.即若⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, 且满足=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n nn n a a a a a a a a a212221212111,则称A 为对称矩阵.定理2.1.1 任意一个n 阶实对称矩阵A ，都存在一个n 阶正交矩阵T ，使得AT T T 成对角型. 对角线上的元素为矩阵A 的特征根.定义2.1.4 数域P 上的n n ⨯矩阵A 称为非退化的，如果0≠A ；否则称为退化的. 即，若.0212222111211≠=nnn n nna a a a a a a a a A则A 为非退化的.定义2.1.5N 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得.E BA AB == （1）这里E 是n 级单位阵.如果矩阵B 适合（1），那么B 称为A 的逆矩阵，记为T A . 注1：只有方阵才可能可逆； 注2：非零的矩阵不一定可逆；注3：若A 可逆，则（1）中的B 必唯一； 注4：若AC AB =，且A 可逆，则C B =.设A 是n 阶可逆矩阵，下列结论成立：()()()()()()()()().5);(4;13;2;111111111-*-------=====n TT AA k kA kA AA A A A A 为非零数定理2.1.2 矩阵A 是可逆的充分必要条件是A 是非退化的.定义2.1.6 数域P 上n n ⨯矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的n n ⨯矩阵C ，使.AC C B T =合同是矩阵之间的的一个关系，不难看出，合同关系具有: （1） 反身性：;AE E A T =（2） 对称性：由T C B =即得();11--=BC C A T（3） 传递性: 由111AC C A T =和2122C A C A T= 即得()().21212C C A C C A T=定义2.1.7 设n n y y y x x x ,,,,,,2121 ；是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=+++=.22112222121212121111n nn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ，，（2） 称为由n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或者简称线性替换，如果系数行列式，0≠cij那么线性替换（2）称为非退化的.2.2二次型定义2.2.1设P 是一数域. 一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式() ++=211221113212,,x x a x a x x x f+++++n n n x x a x a x x a 22222212122+2nnn x a + (3) 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，在不致引起混淆时简称二次型. 令ji ij a a =，.j i >由于i j j i x x x x =，所以二次型（3）可以写成()n n x x a x x a x a x x x f 1121122111321,,+++=n n x x a x a x x a 2222221221+++++22211n nn n n n n x a x x a x x a ++++j i n i nj ij x x a ∑∑-==11（5）把（5）的系数排成一个n n ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211， 它就称为二次型（5）的矩阵.令.21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n n Tx x x a a a a a a a a a x x x AX X 2121222211121121,,..),,(21AX X x x x f T n =定理2.2.1 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角阵. 即，对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C 使AC C T成对角矩阵.定义2.2.2二次型),,,(21n x x x f 经过非退化的线性替换所变成的平方和形式称为二次型),,,(21n x x x f 的一个标准形. 即222221121),,,(n n n x d x d x d x x x f ++=为二次型),,,(21n x x x f 的标准形.定义2.2.3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规形. 且规形是唯一的.即任一复数的对称矩阵合同于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0011的对角阵.定义 2.2.4 实二次型),,,(21n x x x f 经过某一个非线性替换，可使),,,(21n x x x f 变成标准形22112211r r p p p p y d y d y d y d --++++ ，再做一次非退化线性替换就变成221221r p p z z z z --+++ ，称为实二次型),,,(21n x x x f 的规形.3正定矩阵在二次型中，正定二次型占有特殊的地位. 作为本章的开始，我们给出了它的定义，引出正定矩阵的定义. 正定矩阵同样占有非常特殊的地位，我们给出了正定矩阵的判定定理.3.1正定二次型定义3.1.1 在实二次型 ),,,(21n x x x f 的标准型形中，正平方项的个数p 称为),,,(21n x x x f 的正惯性指数；负平方项的个数p r -称为),,,(21n x x x f 的负惯性指数；它们的差()r p p r p -=--2称为),,,(21n x x x f 的符号差.定义3.1.2 实二次型),,,(21n x x x f 称为正定的. 如果对于任意一组不全为零的实数 n c c c ,,,21 都有 0),,,(21>n c c c f .定理3.1.1 n 元实二次型 ),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n .推论3.1.1 正定矩阵的行列式大于零.定义3.1.3 在n 阶矩阵中任选k 行，再取相同行号的列，所选取的行列交汇处的2k 个元素组成的新的矩阵称为n 阶矩阵的一个k 阶主子式.定义3.1.4 子式),2,1(212222111211n i a a a a a aa a a P ii i i i i i=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 称为矩阵()n n ij a A ⨯=的顺序主子式.定理3.1.2实二次型AX X x x x x x f T ni nj j i ij n a ==∑∑==1121),,,(是正定的充分必要条件为：矩阵A 的顺序主子式全大于零.定义3.1.5 若对于方阵A 存在一个非零向量X 和实数λ，使得X AX λ=成立. 则称λ为矩阵A 的特征值，X 称为A 相对于λ的特征向量.定义3.1.6 设实二次型AX X x x x f T n =),,,(21 （A 为对称矩阵). 如果对于任意的0X 21≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x ，有0),,,(21>=AX X x x x f T n ，则称该二次型为正定二次型. 矩阵A为正定矩阵.注：本文所讨论的都为实正定矩阵.3.2正定矩阵的判定定理定理3.2.1实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：存在可逆矩阵P ，使得P P A T =.证明 必要性 因为矩阵A 为正定矩阵，所以矩阵A 合同于单位矩阵，即存在可逆矩阵Q ，使得E AQ Q T =， 即()()()1111----==Q Q EQ Q A TT ，若我们记1-=QP ，则有.P P A T =充分性 设存在可逆矩阵P 使得P P A T =，则对任意()0,,,x 21≠=Tn x x x ， 有()()PX PX PX P X AX X TT T T ==，若我们记()Tn y y y PX Y ,,,21 ==. 则22221n T T y y y Y Y AX X +++== ，所以矩阵A 为正定矩阵.定理3.2.2实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：存在可逆矩阵P ，使得n T E AP P =.证明 充分性 因为矩阵A 为正定矩阵，所以矩阵A 对应的是正定二次型. 因此可以经过非退化线性替换PY X =. 其中()Tn y y y Y ,,,21 =. 使得()()()).,,,(),,,(212121n n T T TT n y y y g a a a Y AP P Y PY A PY AX X x x x f=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====所以有n E AP P ='.必要性 存在可逆矩阵P 使得 n T E AP P =，则其对应的二次型).,,,()()(),,,(2121n T T T T n x x x f PY A PY APY P Y EY Y y y y g ==== 因),,(21n x x x g 为正定二次型，所以),,,(21n x x x f 也为正定二次型. 所以其对应的矩阵A 为正定矩阵.定理3.2.3实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A 的正惯性指数n p =.证明 充分性 因为矩阵A 为正定矩阵. 由定理3.2.2知矩阵A 合同于单位阵E . 所以矩阵A 的正惯性指数为n .必要性 因为矩阵A 的正惯性指数为n ，由定理3.1.1知矩阵A 对应的二次型为正定二次型. 因此矩阵A 为正定矩阵.定理3.2.4实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A 的所有顺序主子式都大于零.证明 充分性 因为矩阵A 为正定矩阵，所以矩阵A 对应的二次型为正定二次型. 则构造函数)00)(,,,(21≤<k x x x f k 也为正定二次型. 所以其对应的矩阵顺序主子式k A 为正定矩阵，即0>k A . 所以正定矩阵A 的所有顺序主子式都大于零. 必要性 因为矩阵A 的所有顺序主子式都大于零，所以矩阵A 的任一顺序主子式k A 对应的二次函数都为正定二次型. 因此当n k =时对应的二次型),,,(21n x x x f 为正定二次型. 即对应的矩阵A 为正定矩阵.例3.2.1 设二次型323121232221214-2224),,,(x x x x x x x x x x x x f n -+++=λ ，求λ的取什么围，使得),,,(21n x x x f 为二次型.解 二次型),,,(21n x x x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22-1-2-41-1λλA .由定理3.2.4得,011>=A()(),02244122>+-=-==λλλλλA 得.22<<-λ(),02-24222-12-41123>-=+-=--=λλλλλλA 得.20<<λ 综合可知当20<<λ时，),,,(21n x x x f 正定.定理3.2.5实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A 的所有主子式都大于零.证明 设正定矩阵()n n ij a A ⨯=，则它的任一m 阶主子式为()mm m mk k k k k k k k m a a a a A1111=.作二次型AX X T 和().Y A Y m T 对任意()0,10≠=m k k b b Y ，都有().0,,10≠=n c c X 其中⎩⎨⎧==其它时当,0,,,,21m i i k k k i b c ，由于AX X T 正定，所以000>AX X T . 从而().0000Y A Y AX X m TT= 由0Y 的任意性即证()Y A Y m T 是正定二次型，即().0>m A例3.2.2 判断⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1-10121011A 是否为正定矩阵.解 我们直接可以看出矩阵A 的主子式不全大于零.定理3.2.6实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A 的所有特征值都大于零.证明 由定理2.1.1知对于对称矩阵A 存在一个n 阶正交矩阵T . 使得AT T T 成对角型. 对角线上的元素为矩阵A 的特征根.充分性 因为矩阵A 为正定矩阵，所以存在正交矩阵P ，满足⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T a a a AP P21. 其中n a a a ,,,21 是矩阵A 的全部特征值. 则矩阵A 对应的二次型为AX X x x x f T n =),,,(21 . 令PY X =，则有()()().,,,)(),,,(2121n T T TT n y y y g Y AP P Y PY A PY AX X x x x f ====又因为矩阵A 为正定矩阵，所以二次型为正定二次型. 因此矩阵A 的特征值全部大于零.必要性 因为矩阵A 的特征值),,2,1(n i a i =都是大于零，所以存在正交矩阵P ，满足⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n T a a a AP P21. 则矩阵A 所对应的二次型 ()()()),,,(,,,),,,(2121212121n TT T n n n n x x x f PY A PY APY P Y y y y a a a y y y y y y g===⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=所以二次型()n y y y g ,,,21 是正定二次型. 因此矩阵A 为正定矩阵.4正定矩阵的应用正定矩阵作为本论文的中心容，我们不仅仅只是研究它的定义和性质，它的应用也是我们需要研究的反向. 正定矩阵的应用非常广泛，它在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用. 本论文主要研究了它在理论证明中和在函数极值中的应用.4.1正定矩阵的相关命题命题4.1.1 若矩阵B A ,是n 阶正定矩阵，则矩阵B A +也是正定矩阵. 证明 因为矩阵B A ,为正定矩阵，所以对所有00,0>>≠BX X AX X X T T ，. 因此0)(>+X B A X T .命题4.1.2 若矩阵A 是n 阶正定矩阵，R k ∈<0，则kA 也为正定矩阵. 证明 因为所有0,0>≠AX X X T ，所以0)()(>=AX X k X kA X T T .命题4.1.3 若矩阵B A ,都是n 阶正定阵，BA AB =，则AB 也是正定阵. 证明 因为BA AB =，所以()AB BA A B AB T T T===. 所以AB 是对称矩阵又因为B A ,为正定矩阵，所以存在可逆矩阵Q P ,，使得.,Q Q B P P A T T == 因此Q PQ P AB T T =.又因为()()TT T PQ PQ PQ QP QABQ ==-1正定， 且与AB 相似，所以AB 正定.命题4.1.4 设矩阵A 是正定阵，则*1A A ，-为正定阵.证明 因为矩阵A 为正定矩阵. 所以存在可逆矩阵C ，使得C C A T =. 因此()()()TTT C C C C CC A 111111------===. 所以1-A 正定.又因为01*>⋅=-A A A A ，此时，所以*A 也是正定阵.命题4.1.5 设矩阵A 为正定阵，则与矩阵A 合同的矩阵也是正定阵. 证明 因为正定矩阵A 合同于单位矩阵E ，又因为合同矩阵具有传递性 所以结论成立.命题4.1.6 若矩阵A 为正定矩阵，那么矩阵A 的绝对值最大的元素一定在矩阵A 的主对角线上.证明 设{}00,max 00j i a a ij j i ==，000000000≤j j i j j i i i a a a a . 这与矩阵A 为正定矩阵矛盾.例4.1.1判断矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113121311B 是不是正定矩阵.解 因为绝对值最大的元素不在主对角线上，所以矩阵B 不是正定矩阵.- . -4.2正定矩阵在函数极值中的应用定义4.2.1 设n 元函数()),,,(21n x x x f x f =在n n R x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 210的某个邻域存在一阶和二阶连续偏导数.记⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇n x x f x x f x x f x f )(,,)(,)()(02010 .)(x f ∇称为函数)(x f 在点⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x x 210处的梯度，或记为).(0x gradf定义4.2.2设n 元函数()),,,(21n x x x f x f =有二阶连续偏导数，并且在⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n αααα 21处的一阶偏导全部为零. 则称α为()),,,(21n x x x f x f =的一个驻点，则n 阶矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n x x x x x x x x x x xx x x x x x x f f f f f f f f f x H212221212121)(. 称为()),,,(21n x x x f x f =在α点的黑塞矩阵.定理4.2.1 设函数),,,()(21n x x x f x f =的一阶和二阶连续偏导数存在.并且在),,,(21n αααα =处的一阶偏导为零. 则由函数二阶偏导所确定的n 元黑塞矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n x x x x x x x x x x xx x x x x x x f f f f f f f f f x H212221212121)(，满足 （1）当)(αH 为正定矩阵时，()),,,(21n x x x f x f =在α处取得极小值； （2）当)(αH 为负定矩阵时，()),,,(21n x x x f x f =在α处取得极大值； （3）当)(αH 为不定矩阵时，()),,,(21n x x x f x f =在α无极值.- . -证明 因为()),,,(21n x x x f x f =在α的所有二阶偏导数都存在，所以由泰勒公式得()n n x x x f ∆+∆+∆+ααα,,,2211()+=n f ααα,,,21 ()n n n n x x x f x x x x x x ∆+∆+∆+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∆++∂∂∆+∂∂∆θαθαθα,,,22112211 ())10(,,,21221122211<<∆+∆+∆+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∆++∂∂∆+∂∂∆+θθαθαθα其中！n n n n x x x f x x x x x x 又因为()),,,(21n x x x f x f =在α处的一阶偏导为零，所以()n n n i x i x x x f x f i∆+∆+∆+∆=∆∑=θαθαθα,,,(!212211122()).,,,2221111n n ni x x jni j ix x x f xx j i ∆+∆+∆+∆∆+∑∑=+=θαθαθα所以我们可以得到()n n x x x x x f j i ∆+∆+∆+θαθαθα,,,2211 ()).,2,1,(,,,21n j i c f ij n x x j i =+=ααα 当()0,,,21→∆∆∆=∆n x x x x 时，.0→ij c 所以()n n i x i if x f ααα,,,(!2121122 ∑=∆=∆()n n i x x j ni j i j i f x x ααα,,,22111∑∑=+=∆∆+)211122∑∑∑=+==∆∆+∆+ni jni j iijn i iix x c x c .因为()0,,,21→∆∆∆=∆n x x x x 时.0→ij c 所以存在x 的一个领域，使得在这个区域f ∆的符号与()n n i x i if x f ααα,,,2112'2 ∑=∆=()n ni x x jni j ij i f xx ααα,,,22111∑∑=+=∆∆+的符号一致.所以由实二次型及正定矩阵的定义可以证明以上定理的正确性.例4.2.1 求三元函数()32123222132162432,,x x x x x x x x x f -+-++=的极值. 解 求驻点⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-==+==-=.111.066022044321321321x x x x f x f x f x x x ，，，，所以驻点为()1,1-1，α. 求得二阶偏导分别为.0,6,0,2,0,4313332222111======x x x x x x x x x x x x f f f f f f所以矩阵()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=600020004αH ， 由以上判定定理可知H 为正定矩阵.所以),,(321x x x f 在()1,1-1，α处取得极小值，极小值为()().51,1,1-=-=f f α例4.2.2 求三元函数32123223132126),,(x x x x x x x x x f -+++=的极值. 解 求驻点⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-==+==+=.1,27,9.1,0,0.022062063321321312221321x x x x x x x f x x f x x f x x x 或，，所以驻点为()1,001，α，()1,2792，α. 求得二阶偏导分别为.0,0,2,0,0,2,6,6,61331332332221221111=========x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f f f x f所以矩阵()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2000260661x H α.所以矩阵().2000260601⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αH在()1,001，α处的顺序主子式为 .7220002606036266000321-==-====H H H ，，由定理3.2.4知矩阵()1αH 不是正定矩阵，所以()1,001，α不是),,(321x x x f 的极值点. ().20002606542⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=αH在()1,2792，α处的顺序主子式为 .0144200026065407226654054321>==>==>=H H H ，，由定理3.2.4知矩阵()2αH 是正定矩阵，在()1,2792，α处取得极小值，极小值为 ()().29151,27,92==f f α总结与展望正定矩阵在高等代数中有很多重要的应用，其实质就是简化二次型的运算. 本文一共有四章. 第一章主要介绍了本文的研究背景和现状；第二章归纳了部分矩阵知识和二次型知识；第三章通过正定二次型导出正定矩阵的定义，并且整理了正定矩阵的相关知识，着重归纳证明了正定矩阵的六个判定定理及其证明；第四章在前面两部分的知识基础上，给出了正定矩阵的六个命题及其证明，给出了解决了函数极值存在问题的方法，即正定矩阵在函数极值中的应用. 从代数方面解决分析问题，使我意识到数学的跨度非常大，我们应该加强自己的逻辑思维和联想能力并且要学会多方面思考问题.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，也可能总结不太完整，归纳的不够完善，这就希望其它研究者完善，还有它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 本文作者知识和写作水平有限，不足之处请读者和专家批评指正.致在论文完成之际，我首先要向我的指导老师老师表示最真挚的意，本论文是在导师老师的悉心指导下完成的.在论文写作期间，老师一边要兼顾自己的学业一边还耐心认真地指导我的论文，不辞辛苦，花费了许多宝贵时间和心血. 导师渊博的学识，宽厚待人的学者风，严谨求学的治学态度，忘我的敬业精神让我受益匪浅. 能够师从先平老师，是我的幸运，更是我的荣幸.衷心感和我是同一个指导老师的付江林同学. 感他帮助我指正和修改我论文的不足之处. 因为他的帮助我才能顺利完成我的论文.感我的室友们，感他们的督促与各方面的帮助.还有感我的家人们，没有他们的支持，我的论文不可能顺顺利利的完成.最后，向评阅论文和参加论文答辩的老师们表示由衷的感.由于我知识水平的限制，再加上我写此论文的时间仓促. 文中难免有错误和有待改进之处. 真诚欢迎各位老师、同学提出宝贵意见.参考文献[1]慕生. 高等代数[M]. 复旦大学, 2007.9.[2]王蕚芳. 石生明. 高等代数[M]. . 高等教育, 2003.9.[3]岳贵鑫. 正定矩阵及其应用[J]. 省交通高等专科学校学报, 2008, 10(5):31-33.[4]周杰. 矩阵分析及应用[M]. 大学, 2009.7.[5]王松江. 矩阵不等式[M]. 科学. 科学, 2006.5.[6]文杰. 静. 多元函数的极值问题[J]. 工业大学学报:自然科学版, 2004, 24(1):27-30.[7]邵东南. 马鸿. 正定矩阵的性质及应用.大学学报:自然科学版(2), 1999, 59-62.[8]黄云美. 正定矩阵的性质及其应用.职业学院学报, 17.3(2011).[9]王昊. 正定矩阵的性质及应用[J]. 城市建设理论研究:电子版, 2011(20):59-62.[10]路红军. 一类正定矩阵的性质及其应用[J]. 工学院学报, 2003, 12(3):6-7.[11]史秀英. 正定矩阵的等价命题及其应用[J]. 学院学报:自然科学版,2000(2):44-47.[12]Roger A.Horn . 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正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
一、正定矩阵的定义
正定矩阵是一类特殊的线性代数对象，它是二维以上方阵中所有元素都有正值的一种矩阵。

二、正定矩阵的性质
1、正定矩阵的特性
由于所有元素都是正值，所以正定矩阵是一种对称矩阵，其特征值都是大于0，即特征值>0；特征向量都是有向量，即特征向量≠0；这种矩阵也称为正数矩阵或半正定矩阵。

2、正定矩阵的恒等式
如果一个矩阵M是一个正定矩阵，则它满足：mTm>0，其中mT表示M 的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量。

3、正定矩阵的特殊性质
正定矩阵是线性代数中最重要的矩阵之一，它的特殊性质：（1）正定矩阵是正交矩阵的一类；（2）正定矩阵的逆矩阵是它的转置；（3）正定矩阵的主对角线元素全为正；（4）正定矩阵的最小特征值是它的最大特征值的平方根；（5）正定矩阵的行列式是正值；（6）正定矩阵也是正秩矩阵。

三、正定矩阵的判定方法
1、特征值判定法
如果一个矩阵M的所有特征值都是正值，则它是一个正定矩阵。

2、恒等式判定法
如果矩阵M满足mTm>0，其中mT表示M的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量，则它是一个正定矩阵。

3、行列式判定法。

内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号102093113指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵,其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质,尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics，but also a main research object，at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra。

At the same time，the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory。

The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly。

内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号*********指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices.Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application目录引言...................................................... 错误!未定义书签。

正定矩阵及其应用一、简介正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域中都有广泛的应用。

本文将从定义、性质、判定方法以及应用等方面进行详细介绍。

二、定义正定矩阵是指对于任意非零向量x，都有x^T Ax > 0，其中A为n阶实对称矩阵，x为n维列向量，x^T为x的转置。

三、性质1. 正定矩阵的特征值均大于0。

2. 正定矩阵的行列式大于0。

3. 正定矩阵是可逆矩阵，且其逆仍然是正定矩阵。

4. 正定矩阵可以进行Cholesky分解。

四、判定方法1. Sylvester判据：对于n阶实对称矩阵A，当且仅当A的各个主子式均大于0时，A为正定矩阵。

2. 特征值判据：对于n阶实对称矩阵A，当且仅当A的所有特征值均大于0时，A为正定矩阵。

3. 等价判据：对于n维向量b和n*n实对称矩阵A，当且仅当对于任意非零向量x，都有b^T x > 0和x^T Ax > 0时，A为正定矩阵。

五、应用1. 矩阵分解：正定矩阵可以进行Cholesky分解，即将正定矩阵表示为一个下三角矩阵和其转置的乘积。

这种分解可以用于求解线性方程组、矩阵求逆以及随机向量生成等问题。

2. 优化问题：正定矩阵可以用于求解最小二乘问题、线性规划问题以及二次规划问题等。

其中，最小二乘问题可以通过正定矩阵的Cholesky分解来求解。

3. 特征值计算：正定矩阵的特征值均大于0，因此可以用于计算特征值和特征向量。

在信号处理、图像处理以及物理学中都有广泛应用。

4. 概率论：正定矩阵在多元高斯分布中具有重要作用。

多元高斯分布的协方差矩阵是一个正定矩阵，它描述了不同变量之间的相关性和方差。

六、总结本文介绍了正定矩阵的定义、性质、判定方法以及应用等方面。

正定矩阵在数学和工程领域中都有广泛的应用，特别是在矩阵分解、优化问题、特征值计算以及概率论等方面具有重要作用。

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用一、正定矩阵的判定方法一般而言，正定矩阵是一种特殊的方阵，它是满足下列条件的方阵：1）对于任一非零列向量$\mathbf x$，有$\mathbf x^T\mathbfAx>0$；2）对任一向量$\mathbf y$，有$\mathbf y^T\mathbf Ay\geqslant0$；3）对任一向量$\mathbf z$，$\mathbf z^T\mathbf Az\geqslant 0$，且$\mathbf z^T\mathbf Az=0$当且仅当$\mathbf z=\mathbf 0$。

(1)根据上述定义，可以判断一个矩阵是否为正定矩阵，即可以通过验证上述3个条件是否成立，来判断一个矩阵是否为正定矩阵。

(2)另一种方法是利用一般性的行列式代数秩定理，即一个正定方阵的行列式的秩为整数。

因此，可以根据行列式的秩来判断方阵是否为正定矩阵。

如果行列式的秩为整数，则该矩阵是正定矩阵；如果行列式的秩不为整数，则该矩阵不是正定矩阵。

（1）Cauchy-Schwarz不等式：若$\mathbf u,\mathbf v$是任意二个非零向量，则$\mathbf {u^Tv}\leqslant \sqrt{\mathbf{u^Tu}}\cdot\sqrt{\mathbf {v^Tv}} $。

证明：我们可以构造一个正定矩阵A，其中$A=\begin{bmatrix}\mathbf {u^Tu}&\mathbf {u^Tv}\\ \mathbf {v^Tu}& \mathbf{v^Tv}\end{bmatrix}$根据正定矩阵的定义，可以得到$\mathbf {u^Tv}\leqslant \sqrt{\mathbf {u^Tu}}\cdot\sqrt{\mathbf {v^Tv}} $。

（2）矩阵与向量乘积的定理：设A是$n$阶方阵，$\mathbf u,\mathbf v$是任意$n$个向量，则。

正定矩阵地性质和判定方法及应用正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在优化问题、最小二乘问题、信号处理、机器学习等领域中都有广泛应用。

在本文中，我将介绍正定矩阵的性质、判定方法以及一些应用。

一、正定矩阵的性质：1.定义：设A是n×n矩阵，如果对于任意非零向量x，都有x^TAx>0，则A是正定矩阵。

2.特征值：正定矩阵的特征值都大于0。

3.对称性：正定矩阵一定是对称矩阵。

4.非奇异性：正定矩阵一定是非奇异矩阵，即其行列式不为0。

5.可逆性：正定矩阵一定是可逆矩阵，即存在逆矩阵A^(-1)，使得AA^(-1)=I。

6.二次型：正定矩阵可以表示为二次型的矩阵形式。

二、正定矩阵的判定方法：1.主子式判定法：设A是n×n矩阵，如果A的所有n阶主子式都大于0，则A是正定矩阵。

2.特征值判定法：设A是对称矩阵，如果A的所有特征值都大于0，则A是正定矩阵。

3.正定矩阵的条件：设A是对称矩阵，则A是正定矩阵的充分必要条件是存在n阶非奇异矩阵B，使得A=B^TB。

三、正定矩阵的应用：1.优化问题：正定矩阵在优化问题中应用广泛。

例如，在最小二乘问题中，正定矩阵可用于求解线性方程组的最优解。

正定矩阵还可以用于确定函数的极小值点。

2.信号处理：正定矩阵在信号处理中有重要应用。

例如，在信号滤波中，通过构造正定矩阵，可以设计出有效的滤波器，对信号进行去噪或增强。

3.机器学习：正定矩阵在机器学习中也起到关键作用。

例如，在支持向量机中，可以使用正定矩阵的核函数来进行非线性分类。

正定矩阵还可以用于降维算法中的线性判别分析，提高分类的准确性。

4.最小二乘问题：正定矩阵可以用于解决最小二乘问题，即寻找一组关系最紧密的数据的最优拟合线。

通过构造正定矩阵，可以求得最小二乘问题的闭合解，提高计算效率。

综上所述，正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，具有许多重要的性质和判定方法。

正定矩阵在优化问题、最小二乘问题、信号处理、机器学习等领域中都有广泛应用。

正定矩阵的性质和判定方法及应用正定矩阵在数学和应用中有着重要的地位和作用。

本文将介绍正定矩阵的性质、判定方法以及它们在实际应用中的应用。

一、正定矩阵的性质：1.所有的特征值都大于0：对于一个n阶矩阵A，如果其特征值全部大于0，则A是正定矩阵。

2.所有的主子式大于0：对于一个n阶矩阵A，如果它的所有k阶主子式都大于0，则A是正定矩阵。

其中，k为1到n的整数。

3.正定矩阵是满秩矩阵：正定矩阵的秩等于其阶数。

4.正定矩阵的转置也是正定矩阵：如果矩阵A是正定的，则其转置矩阵A^T也是正定的。

5.正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵：如果矩阵A是正定的，则其逆矩阵A^(-1)也是正定的。

二、正定矩阵的判定方法：1.使用特征值判定法：对于一个n阶矩阵A，计算其特征值λ1,λ2,...,λn，如果所有的特征值都大于0，则A是正定矩阵。

2.使用主子式判定法：对于一个n阶矩阵A，计算它的所有k阶主子式，如果所有的主子式都大于0，则A是正定矩阵。

3.使用矩阵的正定性矩阵判定法：一个n阶矩阵A是正定矩阵，当且仅当存在一个n阶可逆矩阵B，使得B^T*A*B是一个对角矩阵，且对角元素都大于0。

三、正定矩阵在应用中的应用：1.优化问题：正定矩阵在最优化问题中起着重要的作用。

例如，梯度下降法求解最小二乘问题中，需要对函数的海森矩阵进行判断是否为正定矩阵。

2.协方差矩阵：在统计学中，协方差矩阵是刻画多维随机变量之间关系的重要工具。

协方差矩阵是对称、半正定的。

3.特征向量的选择：在图像处理和模式识别等领域中，需要对数据进行降维处理，正定矩阵可以用于选择特征向量，帮助提取出最具有代表性的特征。

4.线性代数中的理论证明：正定矩阵在线性代数中有广泛的应用，用于证明各种定理，如线性变换的范数、二次表单的分类等。

总结起来，正定矩阵是一类非常重要的矩阵，在数学和应用中有着广泛的应用。

它具有许多有用的性质和判定方法，可以应用于优化问题、协方差矩阵、特征选择和线性代数等领域。

正定矩阵的性质及应用论文正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它具有许多重要的性质和广泛的应用。

在本篇论文中，将详细介绍正定矩阵的性质以及其在实际应用中的一些重要应用。

首先，我们来了解一下正定矩阵的定义。

对于一个n阶矩阵A，如果对于任意非零向量x，都有x^T*A*x > 0，那么这个矩阵就是正定矩阵。

也就是说，正定矩阵对于任意非零向量x，都将其映射到一个大于零的数。

因此，正定矩阵是一个非常重要的概念。

下面，我们来介绍一下正定矩阵的性质。

1. 正定矩阵的特征值都是正数。

这是正定矩阵的一个重要性质，它决定了正定矩阵的行列式大于0。

2. 正定矩阵的行列式大于0。

这是由于根据性质1，正定矩阵的特征值都是正数，因此其行列式大于0。

3. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。

这是因为对于任意非零向量x，有x^T*A*x > 0，那么x^T*A^(-1)*x = (A^(-1)*x)^T*A*(A^(-1)*x) > 0。

4. 正定矩阵可以通过Cholesky分解进行分解。

Cholesky分解是将正定矩阵分解为一个下三角矩阵和其转置的乘积。

5. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。

这是因为对于任意非零向量x，有x^T*A*x > 0，那么x^T*A^(-1)*x = (A^(-1)*x)^T*A*(A^(-1)*x) > 0。

现在，让我们来了解一些正定矩阵在实际应用中的一些重要应用。

1. 在数学和物理建模中，正定矩阵常常被用来描述能量、势能、距离等非负量。

例如，在分子动力学模拟中，正定矩阵可以用来描述原子之间的势能，从而模拟分子在空间中的运动。

2. 在机器学习中，正定矩阵也有重要的应用。

在支持向量机（SVM）中，正定矩阵被用来构建二次规划问题的对偶问题，从而实现机器学习模型的训练。

3. 在优化问题中，正定矩阵也经常被用来描述目标函数的二次项。

例如在最小二乘法中，正定矩阵被用来描述模型的误差项，从而求出最优的模型参数。

正定矩阵的判定和应用太原师范学院张彤【内容摘要】正定矩阵是线性代数中的一种重要理论,自有其独特的地位,同时,正定矩阵在高等数学等领域乃至实际生活中都具有十分重要的应用,因此,针对正定矩阵的研究也是许多学者共同关注的问题。

其中,针对正定矩阵的性质、特征,以及其判定方法,历来收到了诸多讨论,本文在前人的基础上,对正定矩阵的性质等进行了一定的总结和讨论,同时,从不同角度介绍正定矩阵的一些初步应用。

正定矩阵,也可简称为正定阵,其在线性代数中占据十分重要的地位,同时,无论是在矩阵理论的讨论方面,还是在数学的其它分支方面,甚至在实际的应用层面,正定矩阵都具有特殊的作用以及独特的重要性。

【关键词】正定矩阵判定特征值正定二次型引言二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准型的问题,正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位,在计算数学,数学物理以及优化控制理论中都得到了广泛的应用。

本文分别在第二部分总结了正定矩阵的判定方法,第三部分从不同角度介绍了正定矩阵一些应用。

一、定义n阶实对称矩阵称A为正定矩阵,如果对于任意n的维实非零列向量X,都有X T AX>0。

正定的实对称矩阵A简称为正定矩阵,记作A>0。

二、判定1.定义判定定义1对于实对称矩阵A=(a y),(其中a y∈R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量X,都有X T AX>0,则称A是正定矩阵.定义2对于复对称矩阵A=(a y),(其中a y∈C,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量X,都有X*AX>0,则称A是正定矩阵.2.定理判定定理1n阶实对称矩阵A正定,当且仅当实二次f(x1,x2,…x n)=X T AX的正惯性指数为n.定理2实对角d1d2d n⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⎫⎭⏐⏐⏐⏐⏐⎬⏐⏐⏐⏐⏐···矩阵正定的充分必要条件是d1>0,(i=1,2,…,n).定理3实对称矩阵A是正定的充要条件矩阵A的秩与符号差n.定理4实对称矩阵A是正定的充要条件是二次型f(x1,x2,…x n,)=X T AX的系数矩阵A的所有特征值都是正数,即大于零.定理5实对称矩阵A是正定的充要条件是存在可逆矩阵C 使得A=C T C.定理6实对称矩阵A正定的充分必要条件是矩阵A的顺序主子式全大于零.定理7A是正定矩阵的充要条件是:存在非退化的上(下)三角矩阵Q,使A=Q T Q.定理8A是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组a1,a2,……a n使A=a1a1T+a2a2T+…a n a n T.推论1正定矩阵的和仍是正定矩阵.推论2实正定矩阵的行列式大于零.推论3与正定矩阵合同的对称矩阵一定是正定矩阵.(事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论成立)推论4正定矩阵A的逆矩阵A-1一定是正定矩阵.推论5正定矩阵的任何顺序主子式阵必为正定矩阵.推论6设A,B均为n阶正定矩阵,且AB=BA,则AB正定.推论7若A是正定矩阵,则A*也是正定的(其中A*表示A 的伴随矩阵).推论8若A,B都是n阶实对称矩阵,且B是正定矩阵,则存在-n阶实可逆矩阵P使P T AP与P T BP同时为对角形.推论9若A是实对称的正定矩阵,则存在a>0,b>0,c>0,使aE+A,E+bA.cE-A均是正定矩阵.推论10已知A是n阶正定矩阵,则A k(k是正整数)也是正定矩阵.推论11若A是n阶实对称正定矩阵,则必有a11>0,a22>0,…,a nn>0.小结:正定矩阵的判定在矩阵理论中占有重要的地位,因此,对正定矩阵的讨论无论在矩阵理论方面,或是实际应用方面都有重要的意义。

学校代码：10722 学号：1006024112分类号：O151.21 密级：公开题目：正定矩阵的判定、性质及其应用Discussion on Determinant,Positive and Application ofPositive Definite Matrix作者姓名：专业名称：学科门类：指导老师：提交论文日期： 2014年5月成绩评定:I咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）摘要在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。

事实上，正定矩阵是代数中一类非常重要的矩阵，它在不等式证明、极值求解、特征值求解、系统稳定性判定中都有着非常重要的应用。

本文首先介绍了实对称矩阵的定义，然后给出了判定正定矩阵的7条定理，接着总结归纳了正定矩阵的相关性质，最后通过举例说明了正定矩阵在证明不等式、判断函数极值等方面的应用。

关键词：实对称；正定矩阵；判定；性质正定矩阵的判定、性质及其应用AbstractWe have studied the concept of quadratic form and the definition of positive-definite matrix is introduced.In fact,positive definite matrix is a kind of very important matrix in algebra, it can be applied to the value of extreme and eigenvalue,the prove of inequality and stability analysis of system.This paper firstly introduced the definition of real symmetric matrices,and 7 theorems are given to determine positive definite matrix,then the related properties of positive definite matrix were summarized, the positive definite matrix in the application of proving inequality,function extreme and so on were illustrated finally.Keywords:properties,determinant,real symmetric, positive-definite matrix.咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)引言 (1)1 正定矩阵的定义 (1)1.1 正定二次型的定义 (1)1.2正定矩阵的定义 (1)2正定矩阵的判定 (2)3 正定矩阵的性质 (6)4 正定矩阵的应用 (6)4.1正定矩阵在证明不等式中的应用 (6)4.2 正定矩阵在数学分析中的应用 (7)4.3正定矩阵的其他应用 (8)小结 (9)参考文献 (10)谢辞 (11)正定矩阵的判定、性质及其应用引言在数学学科的研究中具有极其重要的地位的是矩阵，它不仅仅是数学研究的一个分支和高等代数的主要研究对象，而且还是理科研究中不可缺少的具有最实用价值的工具，如系数矩阵和增广矩阵的很多性质都是由线性方程组的部分性质所反映的。

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用正定矩阵的判定方法是通过特征值判断的。

特征值是指矩阵A经过线性变换后，向量x所在的直线方向仍然不变的那些实数λ，即满足方程Ax=λx的λ值。

具体来说，对于一个n阶方阵A，如果所有特征值均大于零，那么A就是正定矩阵。

正定矩阵在三个不等式证明中有广泛的应用。

这三个不等式分别是半正定矩阵不等式、正定矩阵不等式和负定矩阵不等式。

1.半正定矩阵不等式：给定一个n阶半正定矩阵P，对于任意非零向量x，都有x^TPx≥0，其中x^T表示x的转置。

如果要证明一个矩阵是半正定的，只需要证明它所有的特征值均大于等于零即可。

应用：在工程和经济领域中，半正定矩阵不等式常用于设计稳定的控制系统和优化问题的约束条件。

例如，在线性规划问题中，通过引入半正定矩阵不等式将约束条件加到目标函数中，可以得到更加准确和可行的优化结果。

2.正定矩阵不等式：给定一个n阶正定矩阵P，对于任意非零向量x，都有x^TPx>0。

证明一个矩阵是正定的，需要确保它所有的特征值均大于零。

应用：正定矩阵不等式在数学分析和最优化理论中有广泛的应用。

例如，在函数的变分法中，通过使用正定矩阵不等式可以得到最小化函数的解。

另外，正定矩阵也常用于计算机科学、图像处理和机器学习等领域中的算法设计中。

3.负定矩阵不等式：给定一个n阶负定矩阵P，对于任意非零向量x，都有x^TPx<0。

证明一个矩阵是负定的，需要确保它所有的特征值均小于零。

应用：负定矩阵不等式在控制论、信号处理和优化问题中有重要的应用。

例如，在模拟电路设计中，通过使用负定矩阵不等式可以保证电路的稳定性。

此外，负定矩阵也常用于设计纠错码和密码算法等领域。

总之，正定矩阵的判定方法是通过特征值判断的，特征值大于零时为正定矩阵。

正定矩阵的应用在半正定矩阵不等式、正定矩阵不等式和负定矩阵不等式中。

它在控制系统、优化问题、信号处理和机器学习等领域中有广泛应用，具有重要的理论和实际意义。

正定矩阵的性质及应用摘要： 正定矩阵是矩阵理论中的一类重要的矩阵，且在多个不同领域内均有重要的作用，本文回顾了正定矩阵的发展史、性质及应用。

矩阵理论的应用愈来愈广，它在众多学科和领域中发挥着不可替代的作用，如在数学分析中用黑塞矩阵来判断函数的极值等。

把矩阵理论应用到这些数学学科中时，使很多问题变得简单明了.关键字： 正定矩阵；主子式；顺序主子式；特征值.研究矩阵的正定性，在数学理论或应用中具有重要意义，是矩阵论中的热门课题之一.正定矩阵具有广泛的应用价值，是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类，其应用引起人们极大的研究兴趣.本文首先给出了正定矩阵的定义，然后研究了正定矩阵的一些等价条件和一些正定矩阵的若干性质，最后简单的列举了一些正定矩阵在数学其它方面的应用．一、正定矩阵的定义定义1.设),,,(21n x x x f 是一个实二次型，若对任意的一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f ,则称),,,(21n x x x f 是实正定二次型，它所对应的对称矩阵为正定对称矩阵，简称正定矩阵.定义2.n 阶是对称矩阵A 称为正定矩阵.如果对于任意的n 维实非零列向量),,,(21n x x x f X =都有0>'A X X ，正定的是对称矩阵A 简称为正定矩阵.注：二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定型，不具备有定型的二次型及其矩阵为不定.二次型的有定型与其矩阵的有定型之间具有——对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性的判别.二．正定矩阵的一些性质1.正定矩阵的充分必要条（1）n 元实二次型),,,(21n x x x f 正定⇔它的惯性指数为n . 证：设二次型),,,(21n x x x f 经过非退化矩阵实线性替换成标准=),,,(21n x x x f 2222211n n y d y d y d +++ （1）由“非退化线性替换保持正定性不变”可知),,,(21n x x x f 正定当且仅当2222211n n y d y d y d +++ 是正定的？？由二次型2222211n n y d y d y d +++ 正定当且仅当i d 0>.n i ，， 2,1=.因此二次型正惯性指数为n .（2）一个是对称矩阵A 正定⇔A 与E 合同.既∃可逆矩阵C ，使得C C A '=. 在证明此条件之前先给出一个定义及两个定理：定义：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成221221r p p z z z z ---+++称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.定理：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成规范形，且规范形是唯一的.以下就是上述从要条件的证明：证:正定二次型),,,(21n x x x f 的规范形为22221n y y y +++ （2）因此（2）式的矩阵为单位矩阵E .所以一个是对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. (3) 实二次型AX X x x ax x x f T j i n i nj ijn ==∑∑==1121),,,( 正定⇔A 的顺序主子式全大于零.证：必要性：设二次型j i n i nj ij n x x a x x x f ∑∑===1121),,,(是正定的.对于每个k ，n k ≤≤1，令j i k i kj ij k k x x a x x f ∑∑===111),,(我们来证k f 是一个k 元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数k c c ,,1 ，有0)0,0,,,(),,(1111>==∑∑== k j i k i kj ij k k c c f c c a c c f因此),,(1k k x x f 是正定的.由上面的推论，k f 的矩阵的行列式n k a a a a kkk k ,,101111=>，这就证明了矩阵A 的顺序主子式全大于零. 充分性：对n 作数学归纳法当1=n 时,21111)(x a x f =由条件011>a ,显然有)(1x f 是正定的.假设充分性的论断对于1-n 元二次型已经成立，现在来证n 元的情形.令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n n n a a ,1,1 α于是矩阵A 可以分块写成⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=nn a A A αα1既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零.由归纳假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1-n 级矩阵G 使11-='n E G A G这里1-n E 代表1-n 级单位矩阵，令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001G C ，于是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎥⎦⎤⎢⎣⎡'='-nn n nn a G G E G a A G AC C αααα1111100100再令⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=-10-12αG EC n 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-=''--1010111-n 2112ααααG E a G G E G E C AC C C n nn n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-=-ααG G a E nn n 001 令21C C C = , 则a G G a nn =''-αα，于是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡='a AC C 11 再取行列式 ， a A C =2，由条件，0>A .因此0>a .显然有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a a a 111111111 这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，因之，A 是正定矩阵，或者说，二次型 ),,,(21n x x x f 是正定的.(4) 一个是对称矩阵A 正定⇔A 的主子式全大于零. 证：必要性:对A 的任一k 阶主子式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k k k i i i i i i i i i i ii i i i i i i k a a a a a a a a a A 2122212k 12111存在某个排列矩阵P ，使AP P '的k 阶顺序主子式为k A ,因为0>A ，所以02>='='P A P A P AP P由矩阵充要条件(3)知0>k A .充分性：由A 的主子式全大于零知： A 的顺序主子式全大于零.再由充要条件（3）知“充分性”成立.（5） 一个是对称矩阵A 正定⇔A 的特征值全大于零.证:必要性：由于对称矩阵A 是正定矩阵.因为∃一个正交矩阵T ,使AT T '成对角型的对角线上的元素均为正值.又由对角线的元素又为A 的所有特征值. 因此A 的特征值均为正数.充分性：当对称矩阵A 的特征根都为正数时，对角型矩阵AT T '对角线上的元素均为正数.因为AT T '为正定矩阵，又由于T 为正交阵.所以A 是正定阵.（6）A 、B 是是对称矩阵，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A C 00正定⇔A 、B 均正定.证：必要性：A 、B 因为是对称矩阵.所以C 是实对称矩阵.又因为C 是正定的由充分必要条件（4）知：A 、B 均为正定的充分性：因为A 、B 是正定. 所以∃正交矩阵P 、Q 使得AP P '、BQ Q '为对角阵.所以C 可经合同变换化为对角型，且对角线上的元素为A 、B 的特征值且都大于零.所以C 正定. 2.性质：设矩阵A 为n 阶实方阵，则下列命题等价. <1>A 是正定矩阵. <2>1-A 是正定矩阵.<3>A '是正定矩阵. <4>A A '+是正定矩阵.<5>对任意n 阶可逆矩阵P ,AP P '是正定矩阵.<6>A 的各阶主子矩阵是正定矩阵.证：<1>⇒<2> 若A 是正定的，则存在实可逆矩阵C ，使C C A '=，因为)()(1111'='=----C C C C A又因为C 可逆，于是1-C也是是可逆矩阵所以1-A 也是正定矩阵.⇒<3> 因为A 是正定矩阵，于是存在可逆C 使C C A '=，则C C C C C C A '='''=''='))(()(所以A '是正定矩阵.⇒<4> 因为A 是正定矩阵，于是A A '=，则A A A 2='+.又因为∀nC X ∈都有0>'A X X ，所以02>'A X X ，即0)2(>'X A X所以A 2正定矩阵，因此A A '+就是正定矩阵.⇒<5> 因为A 是正定矩阵，所以∀nC X ∈使得 0>'A X X .令PY X =, 则有nC X ∈为任意的，则Y 为任意的.因此0>''APY P Y因此AP P '为正定矩阵.⇒<6> 设n n ij a A ⨯=)(是正定的，A 的任意k 级主子式对应的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k k k i i i i i i i i i i ii i i i i i i k a a a a a a a a a A 212221212111设A 与k A 的二次型分别为AY Y '和AX X '，对任意=0X 0),,(21≠'n i i i b b b 取),,,(210n c c c Y =≠0,其中=k c 12,(,,0k n b k i i i =⎧⎨⎩)，其它 n k ，，21= 由A 正定知0>'A Y Y ，故0>'A X X 既AX X '是正定的.因此k A 正定，所以A 的各阶主子矩阵是正定矩阵. 还可以由上面的充分必要条件（4）知A 的各阶主子式都大于零可以推得A 的各阶主子矩阵是正定矩阵.以上给出了正定矩阵的一些充分必要条件及性质，以下我们就来探讨一以下正定矩阵在一些方面的应用.三．正定矩阵的应用（1）从二次型理论的起源，既从化二次型曲线和二次型曲面为标准形的问题入手, 我们发现二次型理论对二次型理论对二次型曲线和二次型曲线的方程的化简有着重要的意义. 例1.利用直角坐标变换化简如下二次曲面的方程,032682223222=++--+++z y x xy z y x 其中)1,3,4(),,,(--='='B z y x X⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200021013A 解：作平移变换：),,(,321ααααα='-=Y X 则有03)(2)()(=+-'+-'-αααY B Y A Y即0322=+'-'+'+'-'-'αααααB Y B A AY A Y AY Y 令32+'-'=αααβB A又因为A A AY A Y =''=',αα，所以0)(2=+'--'βαY B A AY Y适当的选取，α使B A =α,由秩=A 秩A 3=,知：B A =α(线性方程组）有唯一解：211321===ααα，由B A ',,α可得29-=β，又由于A 是实可逆矩阵，所以存在正交矩阵T ,使得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='321λλλAT T 使得25-525523,21=+==λλλ，， 为A 的特征根作正交线性替换)(,321Z Z Z Z TZ Y '''='=，，，则 23222123322221125-52552Z Z Z Z Z Z AY Y '+'++'='+'+'='λλλ 即原方程可化简为02552552232221='-+'++'Z Z Z （2）用正定二次型的理论来判定多元函数极值存在的充分必要条件是很方便的.定义1.设n 元函数),,,()(21n x x x X f =在n n R x x x X ∈'=),,(,21 的某个领域内有一阶，二阶连续函数偏导数，记)(),()(21X f x fx f x f X f n∇∂∂∂∂∂∂=∇，，， 称为函数)(X f 在点)(21'=n x x x X ，，， 处的梯度，或记为)(x gradf .定义2. 设n 元函数)(x f 对各自变量具有二阶连续偏导数，则矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n x x x x x x x x x x xx x x x x x x f f f f f f f f f x H212221212111)( 称作是)(x f 在n P 点的黑塞矩阵.)(X H 是由)(x f 的2n 个二阶偏导数构成的n 阶方阵是对称矩阵.定理1.（极值的必要条件） 设n 元函数)(x f 其中)(21n x x x X ，，， =的对各自变量具有一阶连续偏导数，n n R x x x X ∈=),,,(002010 是)(x f 的一个驻点，则)(x f 在)002010n x x x x ，，，（ =取得极值的必要条件是0)()(r n210x x x fx f x f x adf g ='∂∂∂∂∂∂=，，， 定理 2.（极值的充分条件） 设函数)(x f 在点的某个领域内有一阶、二阶连续偏导数，且0))()()(()(n02010=∂∂∂∂∂∂=∇x x f x x f x x f x f ，，， 则： （1）当)(0x H 为正定矩阵时，)(0x f 为)(x f 的极小值. (2) 当)(0x H 为负定矩阵时，)(0x f 为)(x f 的极大值. (3) 当)(0x H 为不定矩阵时，)(0x f 不是)(x f 的极值.例2.求函数321212221321212),,(x x x x x x x x x f ++++=的极值. 解：因为22,122,123331221211+=∂∂+=∂∂+=∂∂x x f x x x f x x x f又因为0,0,0321=∂∂=∂∂=∂∂x f x f x f 得驻点)1,144,24(,)1,0,0(10'--='=X X .)(x f 得各二阶偏导数为：2,0,2,2,12,623231222*********12=∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂∂=∂∂∂=∂∂x fx x f x f x x f x x f x x f 得矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122126)(1x X H在0X 点处，又得矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122120)(0X H , 而)(0X H 的顺序主子式 0152det ,0144212120det ,0det 321<-=<-===H H H故)(0X H 不定，0X 不是极值点，在点1X 处，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2020212212144)(1X H而)(1X H 的顺序主子式02802020212212144det 014421212144det ,0144det 321>==>==>=H H H ，故)(1X H 为正定矩阵. )1,144,24(1'--=X 为极小值点.极小值6913)1,144,24()(1-=--=f x f例3.正定矩阵与柯西不等式 我们学过柯西不等式的表达式为∑∑∑===≤ni i ni ini i i y x y x 022.同时，也可将其用内积的形式来表示为βαβα≤⋅.设矩阵()ij a A =是一个n 阶正定矩阵，对任意向量()321,,,x x x =α，()321,,,y y y =β，我们定义∑∑===⋅n i nj jiij yx a 00βα,从中我们可以看出这是n 维向量的内积.相反，我们可以得出，对于n维向量的任意一种内积，一定存在一个n 阶正定矩阵()ij a A =使得对任意向量α和β可以∑∑===⋅n i nj j i ij y x a 00βα来定义.因此，给定了一个n 阶正定矩阵，在n 维向量间就可以由这个矩阵定义一个内积，从而可以得到如下相应柯西不等式：∑∑∑∑====≤ni j i ijn i n j jiij ni ji ij y y ax x a yx a 000证明：不等式32212322213221232221132332213322112)(2y y y y y y y x x x x x x x y x y x y x y x y x y x y x --++--++≤----++对所有的321,,x x x 和321,,y y y 均成立.证：有题意可得βα⋅是由矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=210121012A 所定义的，则可以得到矩阵A 的顺序主子式 04210121012,032112,02>=---->=--> 因此矩阵A 是正定矩阵，所以该不等式是由正定矩阵A 所确定的内积产生的柯西不等式，既不等式成立.从该例题中也可将不等式推广为：∑∑∑∑∑∑=-=+=-=+=-=++--≤+-ni n i i i in i n i i i i n i n i i i i iii y y yxx x y x yx y x 1111211112111112)(2其中*N n ∈,),,2,1(,n i y x i i =是任意实数.四．结束语本文针对正定矩阵有了深刻的理解.本文探讨了矩阵的各类性质及在不等式、多元函数极值问题中的应用.作为在矩阵中占有特殊地位的正定矩阵，其应用的范围也更加广泛，但由于本人目前能力有限，待做深入研究.参考文献：1.王萼芳、石生明，高等代数[M].北京：高等代数出版社.2003.205-236.2.董可荣、包芳勋，矩阵思想的形成与发展[J].自然辩证法通讯。

正定矩阵的性质和判定方法及应用正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，具有许多重要的性质和应用。

本文将介绍正定矩阵的定义、性质和判定方法，并且讨论一些应用领域。

1.正定矩阵的定义在矩阵理论中，一个n×n实对称矩阵A被称为正定矩阵，如果对于任何非零向量x∈R^n，都有x^TAx>0，即x的转置乘以A再乘以x的结果大于零。

2.正定矩阵的性质（1）正定矩阵的所有特征值都大于零。

这是因为对于任意非零向量x，都有x^TAx>0。

设v是A的特征向量，对应的特征值是λ，则有Av=λv，可以计算x^TAx=x^T(λv)=λx^Tv。

由于x和v都是非零向量，所以λ必须大于零。

（2）正定矩阵的特征值分解不存在负值。

根据性质（1），正定矩阵的特征值都大于零，因此没有负值。

（3）正定矩阵的行列式大于零。

由特征值的性质可以得到，一个正定矩阵的行列式是它的特征值的乘积，因此行列式大于零。

（4）正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。

设A是正定矩阵，对于任意非零向量x，都有x^TAx>0。

我们可以将这个不等式两边同时乘以x^TA^-1，得到x^Tx=x^TAA^-1x，即A^-1是正定矩阵。

3.正定矩阵的判定方法（1）主元顺序准则：一个n×n矩阵A是正定矩阵，当且仅当A的所有n阶主子式均大于零。

主子式是从A的每一行和每一列中选择相同编号的元素，并且这些元素所构成的矩阵的行列式。

（2）Sylvester准则：一个n×n 实对称矩阵 A 是正定矩阵，当且仅当 A 的所有顺序主子式大于零。

顺序主子式是从 A 的前 k 行和前 k列中选择相同编号的元素，并且这些元素所构成的矩阵的行列式。

（3）特征值判定法：一个n×n实对称矩阵A是正定矩阵，当且仅当A的所有特征值都大于零。

4.正定矩阵的应用正定矩阵在数学和工程领域都有广泛的应用，如下所示：（1）最优化问题：正定矩阵是最有用的约束条件，用于定义凸优化问题的约束集合。