正比例函数的性质(教案)

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正比例函数的性质(教案)

宛平中学韩群

一、教学目标

(1)知识目标:

能根据正比例函数的图像,观察归纳出函数的性质;并会简单应用。

(2)能力目标:

逐步培养学生的观察能力,概括的能力,通过教师指导发现知识,初步培养学生数形结合的思想以及由一般到特殊的数学思想;

(3)情感目标:

激发学生学习数学的兴趣和积极性,逐步培养学生实事求是的科学态度。

二、教学的重点和难点

教学重点:正比例函数的性质及其应用。

教学难点:发现正比例函数的性质

三、教学方法与学法指导

教学方法:通过本节课的教学,我选用引导发现法和直观演示法,本节课的难点是发现正比例函数的性质,通过教师的引导,启发调动学生的积极性,让学生在课堂上多活动(画图)、多观察(图像),主动参与到整个教学活动中来,最后发现其性质。

学法指导:教师引导学生学会观察、归纳的学习方法。

五、教学过程:

(一)温故知新,引入课题

温故:正比例函数的图像是什么?

答:正比例函数图像是经过原点(0,0)和点(1,k)的一条直线

(二):知新:

在两个直角坐标系内,分别画出下列每组函数的图像:

① y =2x y=x y=41x ② y =-2x y=-x y=-4

1x 引导学生观察图像,看看每组直线分布的特征?

观察图像,思考问题:

1、 图像经过的象限与k 的取值有何联系?不够明确。图像经过的象限与k 的取值(特别是符号)有何联系?

2、 对其中的某一个正比例函数图像(例如y=2x),当x 增大时,函数值y 怎样变化?x 减小呢?是不是要提出减小?请斟酌。

3、 你从中得出什么规律?

第一个问题:图像经过的象限与k 的取值有何联系?

估计生:发现第一组的三条直线都经过第一象限和第三象限;而第二组的三条直线都经过第二和第四象限。 师:从比例系数来看呢,函数的比例系数和他们的图像分布有什么联系?用词前后宜一致

估计生:第一组k>0,而第二组k<0。

师:很好,谁能把他们联系一下?

估计生:当k >0时,函数图像经过第一、三象限;当k <0时,函数图像经过第二、四象限。

师:那么是不是对于所有的正比例函数的图像都有:当k >0时,函数图像经过第一、三象限;当k <0时,函数图像经过第二、四象限呢?【电脑演示:任意正比例函数的图像,当在一、三象限运动时,它的解析式中的k 的值无论怎样变化都是大于零的,反之,图像在二、四象限运动时,k 的值都小于零的。】 下面由老师来证明这个性质:(由观察猜想到逻辑证明)

当k >0时,函数图像经过第一、三象限;当k <0时,函数图像经过第二、四象限。 (板书)证明:这个证明是书上要求的吗?如果书上没有要求,你也不要求。下

面第二个问题同。当k>0时,若x>0,则kx>0,即y>0 ∴点(x,y)在第一象限

若x<0,则kx<0,即y<0 ∴点(x,y)在第三象限

当x=0时,则kx=0,即y=0 ∴点(x,y)即原点。

即函数图像上所有的点(原点除外)都在一、三象限内,所以图像经过一、三象限。同理,当k<0时,亦可证明函数图像经过二、四象限。

我们看到:当k >0时,函数图像的走向很像汉字笔画里的“提”,当k <0时,走向是“捺”。这样更形象,容易记忆。

投影打出正比例函数的性质:当k >0时,函数图像经过第一、三象限;当k <0时,函数图像经过第二、四象限。

师:现在我们做个小练习,由正比例函数解析式(根据k 的正负),来判断其函数图像的走向。

y =-x y=32x y= 2x y =-2

3x y=(a 2+1)x (其中a 是常数) y=(-a 2-1)x (其中a 是常数) 鼓励学生踊跃抢答。

反过来,由函数图象所在的象限,请你说出一个满足条件的正比例函数解析式。 好,我们来看下一个问题,(电脑重现第二问题:2、对其中的某一个正比例函数图像,当x 增大时,函数值y 怎样变化?x 减小呢?)如果一定想讲减少,建议放在练习里讲。

继续观察刚才的函数图像,看看当自变量发生变化时,函数值是怎样变化的。我们以y=2x 为例,【几何画板演示:x 取……-3、-2、-1、0、1、2、3……,观察对应的函数值y 的变化……,发现当x 在逐渐增大时,y 的值也在增大;反之,亦

成立!画板中用 表示x 在增大,用表示y 在增大。图像的走向是不是很像汉字里的提呢,(提)在从左向右的同时,也从下到上的走势,(图像函数值)由小到大的变化。】学生在自己的小方格本上观察有些困难,通过教师的电脑动态演示,使图像动起来,看起来更直观,便于发现正比例函数图像的性质。

再看正比例函数的比例系数k 小于零时的情况(以y =-2x 为例),当自变量x 逐渐增大时,函数值y 反而减小,反之,当自变量x 逐渐减小时,函数值y 却在变大。【几何画板演示,同上。】我们把它很形象地比作汉字里捺的走向,捺从上到下,函数值从大到小。

即:当k >0时,自变量x 逐渐增大时,函数值y 也在逐渐增大;(即“提”的走向)当k <0时,自变量x 逐渐增大时,函数值y 反而减小。(即“捺”的走向) 下面由老师来证明这个性质:(由观察猜想到逻辑证明)

(口述)证明:这个证明是不是书上要求的?当k>0时,若x 1>x 2,则有kx 1>kx 2,即y 1>y 2

若x 1

即当k>0时,自变量x 逐渐增大时,函数值y 也在逐渐增大。同理,当k<0时,亦可证明y 随x 的增大而减小。

师:小练习:由函数解析式,请你说出它的变化情况:

y=3x y =-x y=2x y=-

3

x y=(a 2+1)x (其中a 是常数) y=(-a 2-1)x (其中a 是常数) 鼓励学生踊跃抢答。

第三个问题:你从中得出什么规律?

归纳总结(由学生回答)正比例函数y=kx(k ≠0)的性质:

① 当k >0时,函数图像经过第一、三象限;自变量x 逐渐增大时,函数值y 也在逐渐增大;(也就是“提”的走向)

② 当k >0时,函数图像经过第二、四象限;自变量x 逐渐增大时,函数值y 反而减小。(也就是“捺”的走向)

归纳为一句话,正比例函数图象的性质归根结底看k 的符号。

即: k >0 提 (一、三,增大) ;

k <0 捺 (二、四,减小)