圆锥曲线最值问题—5大方面

∵
c
3,e c
3,
a2
可得 a 2,
∴b2 a2 c2 4 3 1
故椭圆 C 的方程为： x 2 y 2 1 4
⑵若直线 l 存在斜率，设其方程为 y kx, l 与椭圆 C 的交点 M (x1, y1 ), N (x2 , y2 )
将 y=kx 代入椭圆 C 的方程 x 2 y 2 1并整理得 (1 4k 2 )x 2 4 0 . 4
a4―54 a2 + 405 ≥0 a2≥45 或 a2≤9.∵a2－9> 0, ∴a2≥45, 故 amin=3 5 ，得（2a）min=6 5 ,
此时椭圆方程为 x 2
y2
.
1
45 36
解法 2：设椭圆 x 2 y 2 =1 与直线 x―y+9=0 的公共点为 M(acosα, a 2 9 sin )， a2 a2 9
k
若直线 l 不存在斜率，则 MN 即为椭圆 C 的短轴，所以 MN=2.
S
1
2
1
.
1
2
于是△MAN 的面积
综上，△MAN 的最大值为 2 .
评注：本题将△MAN 的面积表示为 l 的斜率 k 的函数，其过程涉及弦长公式和点到直线 距离等解析几何的基础知识，在处理所得的面积函数时，运用了分类讨论的思想方法。当然， 也可以将该面积函数转化为关于 k 的一元二次方程，由△≥0 求得面积 S 的最大值。
距离为
，
解析：抛物线 y=x2 的焦点为 F（0
，1
），准线为 y=
1
，过 A、B、M 准
4
4
线 y= 1 的垂线，垂足分别是 A1、B1、M1，则所求的距离 d=MM1+ 3 = 1 (AA1+BB1)
4
42
+ 3 = 1 (AF+BF) + 3 ≥ 1 AB+ 3 = 1 ×4+ 3 = 11 ,当且仅当弦 AB 过焦点 F 时，d 取
a2 )
4
a2 b2
22 8
考虑到 e1 e2 0 ，故得 e1 e2 2 2 . 即 e1+e2 的最小值为 2 2 .
评注：解题关键在于对圆锥曲线性质的准确理解，并注意基本不等式等代数知识的合理 应用.
四、求面积的最值
例
6．已知平面内的一个动点
P
到直线
l
:
x
4
3 的距离与到定点 F (
3,0) 的距离之
故△MAN 的面积 S 1 | MN | d | 2k 1 |
2
1 4k 2
从而 S 2 (2k 1)2 1 4k
1 4k 2
1 4k 2
①当 k=0 时，S2=1 得 S=1
②当 k>0 时，S2<1 得 S<1
③当 k<0 时，
得S 2
S2 1
4
1 4 2
( 1) (4k) 2 4
3
∵
MPN
[0,
2
)
6 y02
6 y0
y0Leabharlann Baidu
26
3
最大值为 .
6
∴
MPN
6
即∠MPN 的
评注：审题时要注意把握∠MPN 与 PM 和 PN 的倾斜角之间的内在联系.
三、求几何特征量代数和的最值
例 3.点 M 和 F 分别是椭圆
x2
y2
上的动点和右焦点，定点 B(2,2).⑴求|MF|+|MB|
圆锥曲线最值问题—5 大方面
最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不 仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从
五个方面予以阐述。
一．求距离的最值
例 1.设 AB 为抛物线 y=x2 的一条弦，若 AB=4，则 AB 的中点 M 到直线 y+1=0 的最短
1
25 9
的最小值. ⑵求 5 |MF|+|MB|的最小值.
4
解析：易知椭圆右焦点为 F(4,0)，左焦点 F(-4,0)，离心率 e= 4 ，准线方程 x=± 25 .
5
4
⑴|MF| + |MB| = 10―|MF| + |MB| =10―（|MF|―|MB|）≥10―|FB|=10―2 10 .
∴
x1
x2
0, x1x2
4 1 4k 2
于是 | MN | (1 k 2 )(x1 x2 ) 2
(1 k 2 )[(x1 x2 ) 2 4x1 x2 ]
(1 k 2 ) 16 4 1 k 2
1 4k 2
1 4k 2
又 点 A 到直线 l 的距离 | k 1 | d 2 1 k2
4
4
评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的 基本关系，是解决此类问题的常见思路。
例 4．点 P 为双曲线 x 2 y 2 1 的右支上一点，M，N 分别为 (x 4
(x 5)2 y 2 1上的点，则 PM－PN 的最大值为
.
5)2 y2 1和
解 析：显 然 两 已 知 圆 的 圆 心 分 别 为 双 曲 线 的 左 焦 点 F1 ( 5,0) 和 右 焦 点 F2 ( 5,0) .对于双曲线右支上每一个确定的点 P，连结 PF1，并延长 PF1交⊙F1于点
∵ M ( 2,0), N ( 2,0)
∴
k PM
tan
2
y0 0 2 2
y0 , 32
kPN
tan
2
y0 0 2 2
y0 于 2
是
tan MPN tan( )
y0 y0
tan tan 2 3 2 1 tan tan 1 y0 y0
2 32
2 2y0
22
2 2
则 acosα― a 2 9 sin +9=0 有解.
∵ 2a 2 9 cos( ) =―9
cos(α+ )= 9 ，∴| 9 | 1
2a2 9
2a2 9
2a 2 9 ≥9 a2≥45,
∴amin=3 5 ，得（2a）min=6 5 ,
此时椭圆的方程 x 2
y2
.
1
45 36
3
比为 2 3 ，点 A(1, 1 ) ，设动点 P 的轨迹为曲线 C.
3
2
⑴求曲线 C 的方程；
⑵过原点 O 的直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点.求△MAN 面积的最大值. 解析：⑴设动点 P 到 l 的距离为 d，
由题意 PF 3 d2
根据圆锥曲线统一定义，点 P 的轨迹 C 为椭圆.
例 5．已知 e1，e2 分别是共轭双曲线 x 2
y2
和
1
x2
y2
的离心率，则 e1+e2
1
a2 b2
a2 b2
的最小值为
.
解析：
e12
a2 b2 a2
1 b2 a2
,
e22
a2 b2 b2
1 a2 b2
(e1 e2 )2 4e1e2 4
(1 b2 )(1 a 2 )
a2
b2
4
2 (b2
42 最小值 11 ，
42 42 4 4
4
评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得 心应手。
二．求角的最值
例 2．M，N 分别是椭圆 x 2
y2
的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点 P 在 l 上，
1
42
则∠MPN 的最大值是
.
解析：不妨设 l 为椭圆的右准线，其方程是 x 2 2 ，点 P(2 2, y0 )( y0 0) ，直线 PM 和 PN 倾斜角分别为和 .
故当 M，B，F三点共线时，|MF|+|MB|取最小值 10―2 10 .
⑵过动点 M 作右准线 x= 25 的垂线，垂足为 H，则 | MF | e 4
4
| MH |
5
|
MH
|
4
|
MF
.于是
|
5
|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|= 17
.可见，当且仅当点
B、M、H
5
4
4
共线时， 5 |MF|+|MB|取最小值 17 .
五.求最值条件下的曲线方程 例 7.已知椭圆的焦点 F1(―3,0)、F2(3,0)且与直线 x―y+9=0 有公共点，求其中长轴最短 的椭圆方程.
解法 1：设椭圆为 x 2 y 2 =1 与直线方程 x―y+9=0 联立并消去 y 得： a2 a2 9
(2 a2― 9) x2 + 18 a2 x + 90 a2―a4= 0， 由题设△=(18 a2)2―4(2 a2―9) (90 a2―a4) ≥0
Mo.则 PM0 为适合条件的最大的 PM，连结 PF2,交⊙F2 于点 No.则 PN0 为适合条件的
最小的 PN.于是 PM PN PM 0 PN0
(PF1 1) (PF2 1) (PF1 PF2 ) 2 4 2 6
故 PM－PN 的最大值为 6.
评注：仔细审题，合理应用平面几何知识，沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本 题的关键.
y2
.
1
45 36
评注：本题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同角度进行分析和处理， 有利于打开眼界，拓宽思路，训练思维的发散性。
解决圆锥曲线中的最值问题，要熟练准确地掌握圆锥曲线的定义、性质，在此基础上， 灵活合理地运用函数与方程、转化与划归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含，寻 求恰当的解题方法。此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、运算准确、规范合理。
解法 3：先求得 F1(―3，0)关于直线 x―y+9=0 的对称点 F(―9,6)，设直线 x―y+9=0 与
椭圆的一个交点为 M，则 2a=|MF1|+|MF2| =|MF| +|MF2|≥|FF2|=6 5 ，于是(2a)min=6 5 ,
此时易得： a2=45, b2=36，
于是椭圆的方程为 x 2